cÁlculo vectorial tema 9
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CÁLCULO VECTORIAL
TEMA 9
ROTACIONAL Y DIVERGENCIA
En nuestro estudio de campos de gradientes, vimos que una condición que debe cumplirun campo vectorial F = (F1, F2, F3) : U ⊆ R3 → R3 de clase C1 para que sea un campo degradientes es que:
∂F3
∂y− ∂F2
∂z= 0,
∂F1
∂z− ∂F3
∂x= 0,
∂F2
∂x− ∂F1
∂y= 0. (i)
En otras palabras, es necesario que el vector(∂F3
∂y− ∂F2
∂z,∂F1
∂z− ∂F3
∂x,∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)se anule para que F sea un campo de gradientes. Más aún, para cierto tipo de dominios U(por ejemplo, si U es simplemente conexo o si U es convexo), ser un campo de gradienteses equivalente a la condición anterior. Entonces, podemos afirmar con cierta seguridadque ya conocemos los campos vectoriales que cumplen con (i). Ahora, es natural pregun-tarse qué ocurre con aquellos campos para los cuales(
∂F3
∂y− ∂F2
∂z,∂F1
∂z− ∂F3
∂x,∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)6= (0, 0, 0).
Esto último tiene que ver con el fenómeno de rotación estudiado en mecánica, como ex-plicaremos más adelante.
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9.1 Rotacional y transformación gradiente
Una de las cosas que pudimos apreciar en las notas anteriores es que, dado un campoescalar f : U ⊆ R3 → R de clase C2, el gradiente de f define un campo vectorial ∇f : U ⊆R3 → R3 de clase C1. Hablando en el lenguaje del álgebra lineal, tenemos una transfor-mación lineal ∇ : f 7→ ∇f que va del R-espacio vectorial de campos escalares de clase C2
al R-espacio vectorial de campos vectoriales de clase C1. La linealidad de∇ se sigue de lalinealidad de las derivadas parciales. Si usamos notación matricial, tenemos
∇ =(
∂∂x
∂∂y
∂∂z
).
A ∇ la llamaremos transformación gradiente.1 Esta transformación se puede extender acampos vectoriales a través de una transformación conocida como rotor o rotacional.
Definición 9.1.1. Sea F = (F1, F2, F3) : U ⊆ R3 → R3 un campo vectorial de clase C1, se defineel rotor o rotacional de F como:
rot(F ) = ∇× F :=
∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣ =(∂F3
∂y− ∂F2
∂z,∂F1
∂z− ∂F3
∂x,∂F2
∂x− ∂F1
∂y
).
Si rot(F ) = 0, se dice que F es irrotacional.
Ejemplo 9.1.2. En los siguientes ejemplos, el primero tiene el propósito de mostrar simplementecómo se trabajan las cuentas a la hora de calcular un rotacional. Mientras que en los siguientesdos, además de cálculos, daremos algunas interpretaciones físicas de cada rotacional.
1. Calculemos el rotacional del campo vectorial
F (x, y, z) = (xy2z2, z2 sin(y), x2ey).
En este caso, tenemos:
rot(F ) =
∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
xy2z z2 sin(y) x2ey
∣∣∣∣∣∣=
(∂
∂y(x2ey)− ∂
∂z(z2 sin(y)),
∂
∂z(xy2z)− ∂
∂x(x2ey),
∂
∂x(z2 sin(y))− ∂
∂y(xy2z)
)= (x2ey − 2z sin(y), xy2 − 2xey,−2xyz).
1En parte de la bibliografía existente, se suele usar el término operador gradiente u operador nabla. Creemosque este término no es conveniete, porque en álgebra lineal se reserva la palabra “operador” para transfor-maciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo.
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2. La idea de rotacional puede llevarse a campos vectoriales de la formaF = (F1, F2), agregandoF3 = 0, es decir, F = (F1, F2, 0). Por ejemplo, vamos a calcular el rotacional del campovectorial F : U ⊆ R2 → R2 dado por
F (x, y) =
(− y
x2 + y2,
x
x2 + y2
),
donde U = R2 − {(0, 0)}. Entonces,
rot(F ) =
∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
− yx2+y2
xx2+y2
0
∣∣∣∣∣∣ =(0, 0,
∂
∂x
(x
x2 + y2
)+
∂
∂y
(y
x2 + y2
))
=
((x2 + y2)− x · 2x
(x2 + y2)2+
(x2 + y2)− y · 2y(x2 + y2)2
)=
(0, 0,
y2 − x2 + x2 − y2
(x2 + y2)2
)= (0, 0, 0).
En este caso, el campo F es irrotacional. Se puede aprovechar este ejemplo para darle unainterpretación física a la palabra “irrotacional”. Coloquemos en cada punto (x, y) el vectorde fuerza F (x, y).
Figura 9.1: Flujo de F . (Imagen tomada de Math Stack Exchange)
Podemos pensar en el flujo de vectores F (x, y) pintados en azul como la corriente de un río.Si colocamos un bote en dicho río, con un timón como en la figura de abajo, entonces por ladirección que tiene el flujo F , el bote se moverá pero no rotará.
Figura 9.2: Bote con timón formado por dos paletas cruzadas.
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3. Supongamos que tenemos un objeto rígido girando sobre su eje, por ejemplo el planeta Tierra.Su movimiento de rotación se describe de la siguiente manera. Supongamos que el origen denuestro sistema de coordenadas lo fijamos en el centro de la Tierra. Ésta gira con rapidezangular ||ω||, donde el vector ω es paralelo al eje de rotación (eje Z), y apunta hacia “arriba”para corresponder con el sentido de rotación según la regla de la mano derecha. Sabiendo eso,es posible calcular la velocidad tangencial en cada punto de la Tierra (ya sea en su superficieo en cualquiera de sus mantos). Sea (x, y, z) un punto de la Tierra, que podemos ver tambiéncomo vector de posición. Sea θ el ángulo que forma (x, y, z) con el eje Z. Luego, la distan-cia del punto (x, y, z) al eje Z viene dada por ||(x, y, z)|| sin(θ), y la rapidez tangencial en(x, y, z) está dada por
||v|| = ||ω||||(x, y, z)|| sin(θ).
Al ser v tangencial a (x, y, z) y perpendicular a ω, tenemos que
v(x, y, z) = ω × (x, y, z) =
∣∣∣∣∣∣i j k0 0 ||ω||x y z
∣∣∣∣∣∣ = (−||ω||y, ||ω||x, 0).
Si calculamos el rotacional al campo de velocidades v(x, y, z), obtenemos
rot(v(x, y, z)) =
∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
−||ω||y ||ω||x 0
∣∣∣∣∣∣ = (0, 0, 2||ω||) = 2ω.
Entonces, hay una estrecha relación entre la velocidad angular de un cuerpo rígido que girasobre su eje y el rotacional de su campo de velocidades tangenciales. Conociendo la veloci-dad angular del cuerpo podemos calcular el rotacional del campo de velocidades tangenciales.Recíprocamente, conociendo el rotacional de este campo podemos determinar la velocidad an-gular o de rotación.
Teniendo ahora un poco más claro qué información nos da el campo rot(F ), estudiemosalgunas de sus propiedades.
Proposición 9.1.3 (propiedades del rotacional). SeanF ,G : U ⊆ R3 → R3 campos vectorialesde clase C1 y f : U ⊆ R3 → R un campo escalar de clase C1. Entonces, las siguientes afirmacionesse cumplen:
1. Linealidad: rot(aF + bG) = a rot(F ) + b rot(G), para todo a, b ∈ R.
2. rot(f · F ) = f · rot(F ) +∇f × F .
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Demostración:
1. Haciendo F = (F1, F2, F3) yG = (G1, G2, G3), tenemos
aF + bG = (aF1 + bG1, aF2 + bF2, aF3 + bG3).
Entonces,
rot(aF + bG) =
∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
aF1 + bG1 aF2 + bG2 aF3 + bG3
∣∣∣∣∣∣=
(∂
∂y(aF3 + bG3)−
∂
∂z(aF2 + bG2),
∂
∂z(aF1 + bG1)−
∂
∂x(aF3 + bG3),
∂
∂x(aF2 + bG2)−
∂
∂y(aF1 + bG1)
)=
(a∂F3
∂y− a∂F2
∂z+ b
∂G3
∂y− b∂F2
∂z, a∂F1
∂z− a∂F3
∂x+ b
∂G1
∂z− b∂G3
∂x,
a∂F2
∂x− a∂F1
∂y+ b
∂G2
∂x− b∂G1
∂y
)= a
(∂F3
∂y− ∂F2
∂z,∂F1
∂z− ∂F3
∂x,∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)+ b
(∂G3
∂y− ∂G2
∂z,∂G1
∂z− ∂G3
∂x,∂G2
∂x− ∂G1
∂y
)= a rot(F ) + b rot(G).
2. Haciendo nuevamente F = (F1, F2, F3), tenemos que fF = (fF1, fF2, fF3). En-tonces,
rot(fF ) =
∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
fF1 fF2 fF3
∣∣∣∣∣∣ =(∂
∂y(fF3)−
∂
∂z(fF2),
∂
∂z(fF1)−
∂
∂x(fF3),
∂
∂x(fF2)−
∂
∂y(fF1)
)
=
(∂f
∂y· F3 + f · ∂F3
∂y− ∂f
∂z· F2 − f ·
∂F2
∂z,∂f
∂z· F1 + f · ∂F1
∂z− ∂f
∂x· F3 − f ·
∂F3
∂x,
∂f
∂x· F2 + f · ∂F2
∂x− ∂f
∂y· F1 − f ·
∂F1
∂y
)= f
(∂F3
∂y− ∂F2
∂z,∂F1
∂z− ∂F3
∂x,∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)+
(∂f
∂y· F3 −
∂f
∂z· F2,
∂f
∂z· F1 −
∂f
∂x· F3,
∂f
∂x· F2 −
∂f
∂y· F1
)
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= f · rot(F ) +
∣∣∣∣∣∣i j k∂f∂x
∂f∂y
∂f∂z
F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣ = f · rot(F ) +∇f × F .
Proposición 9.1.4 (condición necesaria para que un campo vectorial sea de gradientes). Sif : U ⊆ R3 → R es un campo escalar de clase C2, entonces
rot(∇f) = 0.
En otras palabras, todo campo de gradientes de clase C1 es irrotacional.
Demostración: Esta prueba ya se hizo en las notas anteriores, cuando demostramos lacondición necesaria para que un campo fuera de grandientes. Sin embargo, vamos a re-escribir los argumentos según la notación de rotacional.
Sabemos que ∇f =(
∂f∂x, ∂f∂y, ∂f∂z
). Al ser f de clase C2, las derivadas parciales de f de
orden 2 existen y son continuas, por lo que en particular se tiene ∂2f∂x∂y
= ∂2f∂y∂x
, ∂2f∂x∂z
= ∂2f∂z∂x
y ∂2f∂z∂y
= ∂2f∂y∂z
. Entonces, obtenemos lo siguiente:
rot(∇f) =
∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
∂f∂x
∂f∂y
∂f∂z
∣∣∣∣∣∣=
(∂
∂y
(∂f
∂z
)− ∂
∂z
(∂f
∂y
),∂
∂z
(∂f
∂x
)− ∂
∂x
(∂f
∂z
),∂
∂x
(∂f
∂y
)− ∂
∂y
(∂f
∂x
))=
(∂2f
∂y∂z− ∂2f
∂z∂y,∂2f
∂z∂x− ∂2f
∂x∂z,∂2f
∂x∂y− ∂2f
∂y∂x
)= (0, 0, 0).
La proposición anterior indica que, si queremos ver que un campo no es de gradientes,entonces basta con verificar que no es irrotacional.
Ejemplo 9.1.5. Demostremos que el campo vectorial F : R2 → R2 dado por
F (x, y) = (y,−x)
no es un campo de gradientes. Calculemos su rotacional: rot(F ) =
∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
y −x 0
∣∣∣∣∣∣ = (0, 0,−2).
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Como rot(F ) 6= (0, 0, 0), el campo es rotacional, por lo que no se trata de un campo de gradientes.Podemos notar además que F es un flujo que hace rotar al plano XY alrededor del eje Z, conrapidez angular igual a 1 y en sentido horario.
Figura 9.3: Flujo de F .
Bajo ciertas condiciones adicionales, va a ser válido el recíproco de la proposición ante-rior, extendiendo así la caracterización de campos de gradientes de clase C1 vista en lasnotas anteriores. Estas condiciones tienen que ver con el dominio del campo a considerar,a saber, si éste es convexo o simplemente conexo.
Teorema 9.1.6. Sea F : U ⊆ R3 → R3 un campo vectorial de clase C1, donde U es un conjuntosimplemente conexo, o abierto y convexo. Entonces, F es un campo de gradientes (es decir, conser-vativo) si, y solo si, rot(F ) = 0.
Este teorema también vale para campos vectoriales de dos variables, y de manera másgeneral, para cualquier campo de Rn en Rn. Nos interesarán los casos n = 2 y n = 3.
La implicación (⇒) es la proposición anterior. Por otro lado, la prueba de que F es uncampo de gradientes a partir de rot(F ) = 0 se verá más adelante cuando estudiemos elTeorema de Stokes, para el caso donde U es simplemente conexo. El caso donde U esconvexo se puede probar sin usar este teorema, pero la demostración es algo larga y laomitiremos. El lector interesado la puede encontrar en el volumen II del libro Calculus, deTom Apostol (Teorema 12.4).
Cerramos esta sección definiendo lo que son conjuntos convexos y simplemente conexos.
Definición 9.1.7. Un conjunto U ⊆ Rn es convexo si, para cualesquiera par de puntos x0,x1 ∈U , el segmento de recta que conecta a x0 con x1 está contenido en U , es decir, x0+ t(x1−x0) ∈ Upara todo t ∈ [0, 1].
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Definición 9.1.8. Un conjunto U ⊆ Rn es simplemente conexo si es abierto, conexo, y si todacurva cerrada contenida en U es homotópica a un punto.
¿Qué significa que una curva sea homotópica a un punto? Intuitivamente, significa quela curva puede deformarse continuamente (es decir, sin romperla) hasta convertirla enun punto. Matemáticamente, la definición es la siguiente: una curva cerrada C contenidaen U , con parametrización α : [a, b] → Rn, es homotópica a un punto x0 ∈ U si existe unafunción continua H : [0, 1]× [a, b]→ Rn tal que
H(0, t) = α(t), para todo t ∈ [a, b]
H(1, t) = x0, para todo t ∈ [a, b], yH(s, a) = H(s, b), para todo s ∈ [0, 1].
Dejaremos los ejemplos de curvas homotópicas a puntos y de conjuntos simplementeconexos para más adelante. Pasemos al estudio de la divergencia de campos vectoriales.
9.2 Divergencia
En la sección anterior estudiamos la transformación lineal rotacional que envía un campovectorialF = (F1, F2, F3) en otro campo vectorial dado por
(∂F3
∂y− ∂F2
∂z, ∂F1
∂z− ∂F3
∂x, ∂F2
∂x− ∂F1
∂y
).
En esta sección estudiaremos la transformación lineal conocida como divergencia, que en-vía a F en un campo escalar.
Definición 9.2.1. SeaF : U ⊆ Rn → Rn un campo vectorial de claseC1. Se define la divergenciade F como el campo escalar div(F ) : U ⊆ Rn → R dado, para todo x ∈ U , por
div(F )(x) =n∑
k=1
∂Fk
∂xk(x) =
∂F1
∂x1(x) +
∂F2
∂x2(x) + · · ·+ ∂Fn
∂xn(x).
Observación 9.2.2.
1. En particular, para el caso n = 3, la divergencia de F = (F1, F2, F3) luce de la siguientemanera para todo (x, y, z) ∈ U :
div(F )(x, y, z) =∂F1
∂x(x, y, z) +
∂F2
∂y(x, y, z) +
∂F3
∂z(x, y, z).
2. La transformación de divergencia puede denotarse como un producto escalar simbólico, asícomo pasaba con la transformación de rotacional y el producto vectorial, de la siguiente ma-nera:
div(F ) = 〈∇,F 〉 =n∑
k=1
∂Fk
∂xk.
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Así como ocurría con el rotacional, la divergencia de un campo vectorial también tiene unainterpretación física. Podemos pensar en F = (F1, F2, F3) como un campo de velocidadesde un fluido. Entonces, ∂F1
∂x(x) mide la tasa de cambio instantánea en dirección (1, 0, 0)
de la componente del flujo F en esa misma dirección (a saber, F1) y en el punto x ∈ U .En otras palabras, ∂F1
∂x(x) mide la tasa de expansión del fluido en dirección (1, 0, 0) y en
el punto x. Por otro lado, para las componentes del flujo F2 y F3 en direcciones (0, 1, 0) y(0, 0, 1) tenemos interpretaciones similares. Luego, div(F ) mide la tasa total de expansióndel fluido en el punto x. Si div(F ) > 0, tenemos que el fluido tiene una tasa de expansiónpositiva de unidad de volumen por unidad de tiempo. En cambio, si div(F ) < 0, tenemosque el fluido tiene una tasa de expansión negativa, es decir, que se comprime.
Ejemplo 9.2.3. Calcular la divergencia de los siguientes campos vectoriales:
1. F (x, y, z) = (x, y, z). Tenemos que
div(F )(x, y, z) =
⟨(∂
∂x,∂
∂y,∂
∂z
), (x, y, z)
⟩=∂x
∂x+∂y
∂y+∂z
∂z= 3.
Entonces, si F representa la velocidad de un fluido, tenemos que éste se expande a 3 unidadescúbicas de volumen por unidad de tiempo, en cualquier punto.
2. F = (xy2z2, z2 sin(y), x2ey). Tenemos que
div(F ) =
⟨(∂
∂x,∂
∂y,∂
∂z
), (xy2z2, z2 sin(y), x2ey)
⟩=
∂
∂x(xy2z2) +
∂
∂y(z2 sin(y)) +
∂
∂z(x2ey)
= y2z2 + z2 cos(y).
Anteriormente nos hemos referido a div(−) como una transformación lineal. Esto lo va-mos a probar a continuación, dentro del conjunto de propiedades que tiene la divergencia.
Proposición 9.2.4 (propiedades de la divergencia). Las siguientes propiedades se cumplenpara cualesquiera campos vectoriales F ,G : U ⊆ Rn → Rn de clase C1 y cualesquiera camposescalares f : U ⊆ Rn → R de clase C1.
1. div(aF + bG) = adiv(F ) + bdiv(G), para todo a, b ∈ R. En otras palabras, div es unatransformación lineal del espacio vectoriales de los campos vectoriales de clase C1 en el espa-cio vectorial de los campos escalares continuos.
2. div(fF ) = fdiv(F ) + 〈∇f,F 〉.
3. Para n = 3, si además F es de clase C2, entonces div(rot(F )) = 0.
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Demostración: Solamente probaremos 2. y 3., mientas que 1. se deja como ejercicio.
2. Escribimos F = (F1, . . . , Fn). Entonces, fF = (fF1, . . . , fFn) es claramente uncampo vectorial de clase C1, por lo que podemos calcular su divergencia:
div(fF ) =n∑
k=1
∂
∂xk(fFk) =
n∑k=1
(f∂Fk
∂xk+
∂f
∂xkFk
)= f
n∑k=1
∂Fk
∂xk+
n∑k=1
∂f
∂xkFk
= fdiv(F ) +
⟨(∂f
∂x1, . . . ,
∂f
∂xn
), (F1, . . . , Fn)
⟩= fdiv(F ) + 〈∇f,F 〉.
3. Al ser F de clase C2 se puede calcular su rotacional, rot(F ), que resulta en un campovectorial de clase C1, y por ende podemos calcular su divergencia:
div(rot(F )) = div
∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣ = div
(∂F3
∂y− ∂F2
∂z,∂F1
∂z− ∂F3
∂x,∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)
=∂
∂x
(∂F3
∂y− ∂F2
∂z
)+
∂
∂y
(∂F1
∂z− ∂F3
∂x
)+
∂
∂z
(∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)=∂2F3
∂x∂y− ∂2F2
∂x∂z+∂2F1
∂x∂z− ∂2F3
∂x∂y+∂2F2
∂x∂z− ∂2F1
∂y∂z= 0.
El campo vectorial rot(F ) de la proposición anterior pertenece a una familia especial decampos vectoriales que tienen divergencia nula.
Definición 9.2.5. Un campo F : U ⊆ Rn → Rn de clase C1 es solenoidal si div(F ) = 0.
Ejemplo 9.2.6.
1. El campo dado por F (x, y) =(− y
x2+y2, xx2+y2
), para todo (x, y) 6= (0, 0), es solenoidal. En
efecto, tenemos que
div(F ) =∂
∂x
(− y
x2 + y2
)+
∂
∂y
(x
x2 + y2
)=
y
(x2 + y2)2· 2x− x
(x2 + y2)2· 2y = 0.
2. Encuentre los valores de n para los cuales F (x, y, z) = (x2+y2+z2)n/2(x, y, z) es un camposolenoidal.
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Lo primero es notar que
∂F1
∂x=
∂
∂x(x(x2 + y2 + z2)n/2) = (x2 + y2 + z2)
n−22 ((1 + n)x2 + y2 + z2),
∂F2
∂y=
∂
∂y(y(x2 + y2 + z2)n/2) = (x2 + y2 + z2)
n−22 (x2 + (1 + n)y2 + z2),
∂F3
∂z=
∂
∂z(z(x2 + y2 + z2)n/2) = (x2 + y2 + z2)
n−22 (x2 + y2 + (1 + n)z2).
Luego,div(F ) = (x2 + y2 + z2)
n−22 ((3 + n)x2 + (3 + n)y2 + (3 + n)z2).
Por lo tanto, div(F ) = 0 si, y solo si, n = −3.
En la sección anterior, vimos que, para campos vectoriales F de clase C2 en dominiossimplemente conexos (o también en abiertos y convexos), rot(F ) = 0 si, y solo si, F es uncampo de gradientes, es decir, se puede encontrar un potencial escalar f tal que F = ∇f .La condición div(F ) = 0 que define a los campos solenoidales guarda un paralelismo conlo anterior. En lo que sigue, nuestro objetivo será demostrar que div(F ) = 0 si, y solo si,existe un campo vectorialG de clase C1 tal que F = rot(G).
Definición 9.2.7. Un campo vectorial F : U ⊆ R3 → R3 de clase C1 se dice de rotores si existeun campo vectorial G : U ⊆ R3 → R3 de clase C2 tal que F = rot(G). Al campo G se le denom-ina potencial vector de F .
Así como vimos que los potenciales escalares de un campo vectorial difieren en una fun-ción constante, probaremos una propiedad similar para los potenciales vectores.
Proposición 9.2.8. Sea F : U ⊆ R3 → R3 un campo vectorial de clase C1, donde U es simple-mente conexo. Si G,H : U ⊆ R3 → R3 son potenciales vectores de F , entonces G −H = ∇f ,para algún campo escalar f : U ⊆ R3 → R de clase C3.
Demostración: Tenemos que rot(G) = F = rot(H). Por la linealidad del rotacional,tenemos que rot(G −H) = 0, es decir, G −H es un campo irrotacional en un dominiosimplemente conexo. Por el Teorema 9.1.6, tenemos queG−H es un campo de gradientes,es decir, que existe un campo escalar f : U → R de clase C3 (pues G −H es de clase C2)tal queG−H = ∇f .
A la hora de probar si un campo vectorial F = (F1, F2, F3) es de rotores, debemos hallarun campo vectorialG = (G1, G2, G3) de clase C2 tal que
(F1, F2, F3) =
(∂G3
∂y− ∂G2
∂z,∂G1
∂z− ∂G3
∂x,∂G2
∂x− ∂G1
∂y
).
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Es decir, debemos resolver el sistema∂G3
∂y− ∂G2
∂z= F1,
∂G1
∂z− ∂G3
∂x= F2,
∂G2
∂x− ∂G1
∂y= F3.
Este sistema se trata de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales, donde F1, F2
y F3 son funciones dadas, mientras que G1, G2 y G3 son funciones incógnitas. Veamosun ejemplo para entender cómo resolver esto, y el método general lo presentaremos en elteorema que está más adelante.
Ejemplo 9.2.9. Sea F : R3 → R3 el campo vectorial dado por F (x, y, z) = (xz,−yz, y). Sabiendoque F es de rotores, hallar un potencial vector para F .
Planteamos el sistema de ecuaciones en derivadas parciales a resolver:∂G3
∂y− ∂G2
∂z= xz,
∂G1
∂z− ∂G3
∂x= −yz,
∂G2
∂x− ∂G1
∂y= y.
Tengamos en cuenta que necesitamos hallar alguna terna (G1, G2, G3) que satisfaga lo anterior,no todas, por lo que podemos asumir G3 = 0 para simplificar un poco el problema. Entonces, laprimera y segunda ecuación se convierten en
∂G2
∂z= −xz y
∂G1
∂z= −yz.
Luego,G2(x, y, z) = −xz2
2+g2(x, y) yG1(x, y, z) = −yz2
2+g1(x, y). Entonces, la tercera ecuación
se convierte en:
∂G2
∂x− ∂G1
∂y= y
−z2
2+∂g2∂x
+z2
2− ∂g1
∂y= y
∂g2∂x− ∂g1
∂y= y.
La ecuación anterior resultante podemos simplificarla haciendo g1 = 0, de donde
g2(x, y) = xy + h2(y),
donde podemos hacer también h2 = 0 y tener finalmente g2(x, y) = xy. Entonces:
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G1(x, y, z) = −yz2
2,
G2(x, y, z) = −xz2
2+ xy,
G3(x, y, z) = 0.
Por lo tanto,
G(x, y, z) =
(−yz
2
2,−xz
2
2+ xy, 0
)es un potencial vector de F (x, y, z) = (xz,−yz, y).
Teorema 9.2.10. Sea F : I ⊆ R3 → R3 un campo vectorial de clase C1, donde I = (a1, a2) ×(b1, b2)× (c1, c2) es un intervalo abierto de R3 (en particular, I puede ser el mismo R3). Entonces,F es un campo de rotores si, y solo si, div(F ) = 0.
Demostración: La implicación (⇒) ya fue probada en el conjunto de propiedades ante-riores. Ahora supongamos que div(F ) = 0. Como se dijo antes, debemos resolver elsistema
∂G3
∂y− ∂G2
∂z= F1,
∂G1
∂z− ∂G3
∂x= F2,
∂G2
∂x− ∂G1
∂y= F3.
Nuevamente, podemos simplificar el problema haciendo G3 = 0. Entonces, el sistemaanterior se convierte en:
∂G2
∂z= −F1,
∂G1
∂z= F2,
∂G2
∂x− ∂G1
∂y= F3.
Hallar G1 y G2 se convierte en un problema de primitivas. Entonces, por el teorema fun-damental del cálculo, tenemos que:
G2(x, y, z) = −∫ z
z0
F1(x, y, t)dt+ g1(x, y) y G1(x, y, z) =
∫ z
z0
F2(x, y, t)dt+ g2(x, y),
donde c1 ≤ z0 ≤ c2. Ahora hacemos g2 = 0 para hallar una solución. Luego, de la terceraecuación del sistema se tiene lo siguiente:
∂G2
∂x− ∂G1
∂y= F3
∂
∂x
(−∫ z
z0
F1(x, y, t)dt+ g1(x, y)
)− ∂
∂y
(∫ z
z0
F2(x, y, t)dt
)= F3.
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Por un resultado de cálculo en varias variables, las funciones∫ z
z0F2(x, y, t)dt y
∫ z
z0F1(x, y, t)dt
tienen derivada parcial respecto a x y a y, respectivalemte, y se puede permutar la derivacióncon el símbolo de integral. Entonces:
−∫ z
z0
∂F1
∂x(x, y, t)dt−
∫ z
z0
∂F2
∂y(x, y, t)dt+
∂g1∂x
(x, y) = F3∫ z
z0
(−∂F1
∂x(x, y, t)− ∂F2
∂y(x, y, t)
)dt+
∂g1∂x
(x, y) = F3.
Ahora, por hipótesis, sabemos que ∂F1
∂x(x, y, t) + ∂F2
∂y(x, y, t) + ∂F3
∂z(x, y, t) = 0. Entonces,∫ z
z0
(∂F3
∂z(x, y, t)
)dt+
∂g1∂x
(x, y) = F3(x, y, z)
F3(x, y, z)− F3(x, y, z0) +∂g1∂x
(x, y) = F3(x, y, z)
∂g1∂x
(x, y) = F3(x, y, z0)
g1(x, y) =
∫ x
x0
F3(s, y, z0)ds,
para algún a1 ≤ s ≤ a2. Por lo tanto, se tiene que una solución del sistema viene dada por
G(x, y, z) =
(∫ z
z0
F2(x, y, t)dt,−∫ z
z0
F1(x, y, t)dt+
∫ x
x0
F3(s, y, z0)ds, 0
).
Escrito en LATEX por Marco A. Pérez.
Material consultado:• Cálculo Vectorial, de Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba.• Calculus Vol. 2, de Tom Apostol.• Cálculo Vectorial, notas de A. González.
Última actualización: 19 de Octubre de 2020.
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