1. Escalares, vectores y el álgebra vectorial

2. Funciones vectoriales de varias variables

3. Diferenciación parcial

4. El gradiente, la divergencia y el rotacional

5. Integración múltiple

6. Integral de línea

7. Integral de superficie

8. El teorema de la divergencia

9. El teorema de Stokes

10. Otros teoremas integrales

1.Los conceptos de escalar, de vector y sus operaciones

2.Entender las funciones vectoriales de un vector

3.Los diferentes conceptos de derivadas de campos escalares y vectoriales

4.El concepto de gradiente, de divergencia y de rotacional. Sus significados físicos.

5.Entender y saber hacer integrales múltiples, integrales de línea e integrales de superficie

6.Conocer, entender y saber aplicar los diferentes teoremas integrales

1. Álgebra elemental

2. Trigonometría

3. Geometría analítica plana y del espacio

4. Calculo elemental

5. Álgebra lineal

:f D R R

x

y f x

:

Derivadas:

Integrales:

n

n

x

a

f D R R

d f

dx

f x dx

En este curso un

ESCALAR

será cualquier número real

En este curso un ESCALAR será cualquier número real

Ejemplos de cantidades escalares:• La temperatura• La corriente eléctrica• La presión• El volumen• La cantidad de carga• La masa• La energía

1 2

Es un conjunto ordenado de cantidades:

, ,...,

Los vectores son los elementos del

espacio euclidiano

n

n

n

a a a

R

1 2

En este curso usaremos la definición más lim

Es un conjunto ordenado de cantidades:

, ,

itada

y tradicional de un "objeto" que pos

...,

Son los ele

ee

magnitud, dir

mentos de

ección y sentido

n

n

n

a a a

R

A los vectores los representaremos por

flechas en el espacio.

Pensaremos en el vector como la flecha misma

1 2 3

-La posición de un objeto en movimiento

-Una fuerza

-El momento angular

-El campo electromagnético

Un vector es una cantidad que tienemagnitud, dirección y sentido.Es un ente con 3 componentes:

, ,a a a

El valor absoluto o magnitud de un vector es

su longitud, su tamaño.

Si el vector es , su magnitud se representa

como

ó

A

A A

Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 1

es unitario si 1

A los vectores unitarios los denotaremos

con un acento circunflejo ó "gorrito":

ˆ

a a

a

Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 0

es cero si 0

Lo denotaremos como 0

a a

a

b

a b

a

b

a b

1) Es conmutativa:

2) Es asociativa:

Así que podemos poner

a b b a

a b c a b c

a b c

Se define

donde tiene la misma magnitud que ,

y la misma dirección, pero sentido inverso.

a b a b

b b

a

b

a b

a

b

a b

a b

El producto del escalar por el vector es

Es un vector cuya longitud es ,

tiene la misma dirección que ,

y el sentido es el de si >0

y el inverso que si 0

a

a

a

a

a

a

a a

Si llamamos al ángulo que hacen los vectores

y ,

se define el producto escalar (interno ó punto)

como

cos cos

a b

a b a b ab

a

b

Lo podemos ver como

cos cos

Es la proyección de uno de los dos en el otro,

por la magnitud de ese otro

a b a b b a

a

b

cos cos

Es la proyección de uno de los dos en el otro,

por la magnitud de ese otro

a b a b b a

a

b

a

cos cosp

p aa

p

1) Si 1, entonces cos que es la

proyección de en la dirección de

a a b b

b a

2 2

1) Si 1, entonces cos que es la

proyección de en la dirección de

2) Si entonces =0 cos 1 y se tiene

a a b b

b a

a b a a a a

2 2

1) Si 1, entonces cos que es la

proyección de en la dirección de

2) Si entonces =0 cos 1 y se tiene

3) El producto escalar es conmutativo

a a b b

b a

a b a a a a

a b b a

2 2

1) Si 1, entonces cos que es la

proyección de en la dirección de

2) Si entonces =0 cos 1 y se tiene

3) El producto escalar es conmutativo

4) El producto

a a b b

b a

a b a a a a

a b b a

escalar es distributivo respecto a la suma

a b c a b a c

Si el producto escalar, cos ,

de dos vectores es cero, entonces

1) Al menos uno de los dos es cero

ó

2) Los vectores son perpendiculares (ortogonales),

es decir, 90 / 2 ó

Si dos vecto

3 / 2

r

70

a b a b

es son ortogonales, entonces su

producto escalar es cero

a b

a b

sina b a b

Si llamamos al ángulo que hacen los vectores

y ,

se define el producto vectorial o cruz, de la

siguiente manera:

a b

1) sina b a b

2) Su dirección es perpendicular al plano formado

por los vectores y a b

3) El sentido del vector está definido por el avance

de un tornillo que va de a (por la regla de la

mano derecha)

a b

a b

a b

sina b a b

a b

a b

sin es el área

de este paralelogramo

a b a b

1) El producto vectorial NO ES CONMUTATIVO:

2) El producto vectorial es distributivo respecto

a la suma

3) Para todo vector 0

a b c a b a c

a a

a b b a

Si el producto vectorial de dos vectores

sin

es cero, entonces

1) Al menos uno de los dos es cero

ó

2) Los vectores son paralelos

es de

Si dos vectores son paralelos, entonce

cir, 0 0 ó 18

s su

0

a b a b

producto vectorial es cero

Denotaremos como

ˆˆ ˆ, ,

los vectores unitarios a lo largo de los ejes

, ,

Así un punto estará representado por el

vector

ˆˆ ˆ

i j k

X Y Z

P

r xi yj zk

X

Y

Z

i

j

k

ˆ ˆLos vectores 0

ˆˆbase cartesianos 0

ˆ ˆson ortogonales entre si 0

ˆ ˆLos vectores 1

base

i j

j k

k i

i i

ˆ ˆ cartesianos 1

ˆ ˆson unitarios 1

j j

k k

Los vectores base cartesianos constituyen,

además, una base "der

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

h ":

ˆ

ec a

i k

k

k i

j i

j

j

X

Y

Z

i

j

k

Los vectores base cartesianos constituyen,

además, una base "derecha"

Trivialmente se cumple también,

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0

:

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

i j k

j k i

i i j j k k

k i j

X

Y

Z

i

j

k

x

y

z

, ,P x y z

ˆˆ ˆr xi yj zk

r

1 2 3 1 2 3ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆSi y a a i a j a k b b i b j b k

1 1 2 2 3 3ˆˆ ˆ1) a b a b i a b j a b k

1 1 2 2 3 32) a b a b a b a b

2 2 21 2 33) a a a a

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆSi y

4)

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

a a i a j a k b b i b j b k

i j k

a b a a a

b b b

a b a b i a b a b j a b a b k

En el cálculo elemental se estudian funciones de una sola variable.Sin embargo, en la vida real la mayoría de los fenómenos y los procesos dependen de varias variables.Por tanto, son las funciones de varias variables las que, en general, sirven para describir correctamente los procesos de la naturaleza.Por motivos metodológicos las podemos dividir como:

• Funciones vectoriales• Funciones escalares de un vector o campos escalares• Funciones vectoriales de un vector o campos

vectoriales

: nV R R

3

1 2 3

1 2 3

:

ˆˆ ˆ

, ,

El vector es una función

V R R

V t V t i V t j V t k

V t V t V t V t

3:V R R

X

Y

Z

V t

2

1 2

1 2

:

ˆ ˆ

,

V R R

V t V t i V t j

V t V t V t

1V t

3V t

2V t

X

Y

3

1 2 3

1 2 3

:

ˆˆ ˆ

, ,

Cada una de las componentes de la función es una

función real de una variable real

: 1,2,3

y por lo tanto vale todo lo del cálculo elementali

V R R

V t V t i V t j V t k

V t V t V t V t

V t D R R i

31 2 3

1 2 3

: , ,

es continua si y sólo si las tres

funciones

, y

son contínuas

V R R V t V t V t V t

V t

V t V t V t

3

0 0

:

lim limt t

V R R

dV t V t t V t V

dt t t

3

0 0

1 2 3

:

lim lim

ˆˆ ˆ

t t

V R R

dV t V t t V t V

dt t t

dV t dV dV dVi j k

dt dt dt dt

3

2

:

sin , , t

V R R

V t t t t t e

3

2

:

sin , ,

1 sin cos ,2 ,

t

t

V R R

V t t t t t e

dV t t t t edt

3

2

2

2

2cos sin

:

sin , ,

1 sin cos ,2 ,

,2,

t

t

t

V R R

V t t t t t e

dVt t

d Vt t t e

dt

t t edt

3

3

3

2

2

2

3sin

:

sin , ,

1 sin cos ,2 ,

2cos sin ,2,

cos ,0,

t

t

t

t

V R R

V t t t t t e

dVt t t t e

dt

d

d Vt t t e

dt

Vt t t e

dt

3

2

2 1

1

:

sin , ,

1 sin cos ,2 ,

1 1 sin1,1 , 1.84,1.00,0.37

1 1 sin1 cos1,2, 2.38,2.00, 0.37

t

t

V R R

V t t t t t e

dVt t t t e

dt

V t e

dVt e

dt

2

sin cos , cos tV t t t t t te

1.5, 1.5t

2

sin cos , cos tV t t t t t te

, V tV t tt Vt

, V tV t tt Vt

, V tV t tt Vt

, V tV t tt Vt

, V tV t tt Vt

, V tV t tt Vt

, V tV t tt Vt

, V tV t tt Vt

, V tV t

t

t t

t

Vt

, V tV t

t

t t

t

Vt

, V tV t

t

t t

t

Vt

, V tV t

t

t t

t

Vt

, V tV t

t

t t

t

Vt

, V tV t

t

t t

t

Vt

, V tV t

t

t t

t

Vt

, V tV t

t

t t

t

Vt

, V tV t

t

t t

t

Vt

, V tV t

t

t t

t

Vt

0 0

lim limt t

dV t V t t V t V

dt t t

V t t

V t X

Y

3:V R R

X

Y

Z

dV

dt

La derivada en un punto nos da un vector

tangente a la curva en dicho punto

3

1 2 3

1 2 3

:

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆn n n n

n n n n

V R R

dV t dV dV dVi j k

dt dt dt dt

d V t d V d V d Vi j k

dt dt dt dt

d U V dU dV

dt dt dt

d V d dVV

dt dt dt

d U V dU dVV U

dt dt dt

d U V dU dVV U

dt dt dt

: nR R

:

A cada elemento de ,

es decir, a cada vector,

se le asocia un número real,

n

n

R R

R

x x

3

:

A cada elemento de , es decir, a cada vector,

se le asocia un número real

En el caso de 2, podemos "dibujar" la gráfica,

Gráf

,

ica , , ,

n

n

R R

R

x x

n

x R x y x y

2

3

: , 1

Gráfica , ,1

R R x x y x y

x R x y x y

Gráfica

x Y φ(x,y)=1-x-y0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 1 -1

-1 -1 3

-1 1 1

1 -1 1

2 0 -1

3 -1 -1

2 2 2

2 2

: , 1

Gráfica , , 1

f f x y z x y

x y z z x y

R R

Gráfica

x Y f(x,y)=1-x2-y2

0 0 11 0 00 1 01 1 -1-1 -1 -12 3 -12-4 5 -40

2:

, 1 sin cos

Gráfica , , 1 sin cos

x y z x y

x y z z x y

R R

Gráfica

2

En este caso también se pueden

graficar las curvas de nivel, es

decir, las curvas que se obtienen

haciendo

,

siendo una consta

:

nte arbitraria

x y c

c

R R

2: , 1

1

x y z x y

x y c

R R

2 2 2

2 2

: , 1

1

f f x y z x y

x y c

R R

2: , 1 sin cos

1 sin cos

x y z x y

x y c

R R

3

1

2

2 33

: 1,2,3

, ,

, , sin cos sin

, ,

i R R i

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

3

En estos casos se puede "pintar" la gráfica

de la función, ya que queda en 4 dimensiones.

Se pueden graficar las curvas de nivel, es decir,

las superficies que se obtienen hacie

no

ndo

siendo

:

, ,

R R

x y z c

una constante arbitrariac

32 2 2

2 2 2

1: , ,

Las superficies de nivel son aquellas dadas

por

1, , constante

En este caso, es obvio que son esferas

R R x y zx y z

x y zx y z