notas de cálculo vectorial

Cálculo Vectorial Profe: Miguel Molina Rivera Profesor del Área de Física de Preparatoria Agrícola de la UACh. Las presentes notas son una de las herramientas básicas para el estudio, análisis y aplicación del cálculo vectorial en el mundo de la Física.

CONTENIDO

Pág.

I. La Geometría del Espacio Euclidiano

1. Vectores en el Espacio Tridimensional.

2. El Producto Interno.

3. El Producto Cruz.

4. Coordenadas Esféricas y Cilíndricas.

5. Espacio Euclidiano n-Dimensional

5.1 Funciones de más de una variable.

5.2 Límites de funciones de más de una variable.

5.3 Continuidad de funciones de más de una variable.

4

5

9

16

18

23

23

26

32

II. Diferenciación

1. Diferenciación Parcial.

2. Diferenciación Total.

3. Diferenciaciones Exactas.

4. Regla de la Cadena.

5. Gradiente y Derivada Direccional.

6. Multiplicadores de Lagrange.

34

35

37

39

42

44

46

III. Funciones con Valores Vectoriales

1. Trayectorias y Velocidad.

2. Longitud de Arco.

3. Campos Vectoriales.

4. Divergencia y rotacional de un campo vectorial.

50

51

53

55

57

IV. Derivadas de Orden Superior; Máximos y Mínimos

1. Teorema de Taylor.

2. Extremos de Funciones con valores reales.

3. Teorema de la función implícita.

4. Aplicaciones.

60

61

64

65

65

CONTENIDO

Pág. V. Integrales Dobles

1. Integral doble.

2. Integrales iteradas.

3. Evaluación de integrales dobles.

4. Centro de masa y momentos.

5. Integrales dobles en coordenadas polares.

6. Área de superficies.

7. Integral triple

8. Integrales triples en otros sistemas de coordenadas.

a) Coordenadas cilíndricas.

b) Coordenadas esféricas.

66

67

68

70

73

76

78

80

82

82

83

VI. Integración de los Campos Vectoriales

1. Integrales circuitales.

2. Integrales curvilíneas planas.

3. Integrales curvilíneas en el espacio.

4. Integrales independientes del camino.

5. Campo de fuerzas, Trabajo.

6. Teorema de la divergencia.

7. Teorema de Green.

8. Teorema de Stokes.

85

86

91

95

98

99

103

104

107

4

I. La Geometría del Espacio Euclidiano

1. Vectores en el Espacio Tridimensional.

2. El Producto Interno.

3. El Producto Cruz.

4. Coordenadas Esféricas y Cilíndricas.

5. Espacio Euclidiano n-Dimensional


5.2 Límites de funciones de más de una variable.

5.3 Continuidad de funciones de más de una variable.

5

1. Vectores en el espacio tridimensional.

Representación Gráfica

R2 R3

Vector a y b Representación Múltiple

Vectores Unitarios i y j Vectores unitarios i, j y k

6

Suma de vectores

Resta de Vectores

Vector 7,6,3ˆ7ˆ6ˆ3 kjia

7

Representación algebraica

n

n Renxxxxc

Renzyxb

Renyxa

,.....,,,

,,

,

321

3

2

O también

nnaxaxaxaxc

kzjyixb

jyixa

ˆ......ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

332211

Propiedades

a) zyxzyx ,,,,

b) zyxzyxzyx ,,,,,,

c) 111321 ,,,,,,,, zyxzyxxxxzyx

d) 0,0,00,0,0

e) 0,0,0,,0 zyx

f) zyxzyx ,,,,1

En donde R,,,

zyxzyx ,,,,

y zcbyaxcbazyx ,,,,,,

8

Ejemplos:

24,12,06,3,04

30,21,1210,7,43

4,10,15,2,31,8,4

10,2,108,2,72,0,3

Problema:

Obtenga la ecuación de la recta que pasa por i3 y es paralela al eje Y

Solución:

jtijtibr

ib

jtir

ˆˆ3ˆˆ3

ˆ3

ˆˆ3

9

2. Producto punto o producto interno.

Teorema.- si A

es el vector 21,aa 2

2

2

1 aaA

Demostración: A es la magnitud de la longitud de A

, por construcción esta es la

distancia del punto 0,0 al punto 21,aa . Por la fórmula para la distancia entre dos

puntos 2

2

2

1

2

2

2

1 00 aaaaA

Observación.- El teorema anterior indica que para 3 dimensiones si:

2

3

2

2

2

1321 ,, aaaAaaaA

Ejemplo: Encontrar la magnitud de A

para 3,4A

Solución: Por la formula

525

91634 22

2

2

2

1

A

A

aaA

Ejemplo: Obtenga A

para 2,4,7 A

Solución: Por la formula

31.869

41649247 222

2

3

2

2

2

1

A

A

aaaA

10

Observación: Sea 21,aaA

y la medida en radianes del ángulo que da la

dirección de A

Entonces

ji

ji

senAA

senAAA

ˆˆ

ˆˆ

cos

cos

Demostración:

senAaAaA

asen

A

a 2121 ,cos,cos

11

Ejemplo: Exprese al vector 2,5 A

en la forma anterior.

Solución:

29

2

29

5cos

29425

2,5

2

1

A

asen

A

a

A

A

jiA ˆ

29

2ˆ29

529

Teorema.- Si el vector no es cero

jA

ai

A

aA

esAunitariovectoreljaiaA

ˆˆˆ

ˆˆˆ

21

21

Demostración:

1ˆ

ˆ

ˆ

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

A

AA

A

aaA

A

a

A

aA

12

Y como

AA

A

aaA

A

1ˆ

,1ˆ

21

Como A1

es positivo entonces A tiene la misma dirección que A

y su magnitud

es 1.

Observación: para 321 ,, bbbB

se tiene

kB

bj

B

bi

B

bB ˆˆˆˆ 321

Ejemplo: con 1,5,4B

y 2,9,3D

, encontrar el vector unitario que tiene la

misma dirección que DB

.

Solución

kjiDB

DB

DB

DB

ˆ66

1ˆ66

4ˆ66

7

66

11649147

1,4,72,9,31,5,4

222

Definición: Si 21,aaA

y 21,bbB

son dos vectores, se define el producto

punto de A

y B

esta dado por:

13

22112121 ,, bababbaaBA

Y para R3

332211321321 ,,,, babababbbaaaBA

Ejemplo: Encontrar ML

para 3,2 L

y 8,7M

Solución.

102414

83728,73,2

ML

ML

Observación: Se puede obtener que

1ˆˆ

1ˆˆ

1ˆˆ

kk

jj

ii

Y

0ˆˆˆˆ

0ˆˆˆˆ

0ˆˆˆˆ

ikki

jkkj

ijji

Teorema.- Si es la medida en radianes del ángulo entre los vectores A

y B

diferentes de O

, entonces

cosBABA

Demostración.

14

Ejemplo: Dados 2,3 A

y 1,2B

encontrar el ángulo entre los vectores.

Solución.

cosBABA

Como

514

1349

B

A

Y

cos5134

42,6

BA

67".27´15º604961.0cos

4961.065

4cos

1

Demostración.- Como BA

, y BA

forman un triángulo entonces por la ley de

los cosenos

cos2222

BABABA

Pero

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

22

2

2

2

211

2

1

2

1

2

22

2

11

2

22

bbB

aaA

babababababaBA

15

cos

cos22

cos222

2211

2

2

2

1

2

2

2

122

2

2

2

211

2

1

2

1

BABA

BAbaba

BAbbaababababa

ndosimplifica

Definición: Dos vectores no cero se dice que son paralelos si y sólo si el ángulo

entre ellos es 0 ó radianes.

Definición: Dos vectores no cero se dice que son ortogonales o perpendiculares

si y sólo si el ángulo entre ellos es 90º ó 2

radianes.

Teorema.- Dos vectores no cero A

y B

son ortogonales si y sólo si 0BA

Demostración.

º90

0cos

0

cos0

0

0cos

cos

0cos

º90

ByA

BABA

BAsi

BABA

BABA

16

3. Producto Vectorial

Definición: El producto vectorial de dos vectores a

y b

es el vector

nsenbaba ˆ

en donde es el ángulo entre los vectores tal que 0

y n es un vector unitario perpendicular al plano de a

y b

, con sentido dado por la

regla de la mano derecha.

Observación: Cuando el ángulo entre dos vectores no nulos es 0º, o bien

rad , entonces 0sen , y de esta manera 0

ba

Definición: Una forma general de obtener ba

con 321 ,, aaaa

y 321 ,, bbbb

es por medio de el siguiente desarrollo.

kbabajbabaibababa

kbb

aaj

bb

aai

bb

aa

bbb

aaa

kji

ba

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

122113312332

21

21

31

31

32

32

321

321

Ejemplo: Obtenga ba

si kjia ˆ5ˆ2ˆ4

y kjib ˆˆˆ3

kjiba

kji

kji

ba

ˆ10ˆ19ˆ3

ˆ13

24ˆ13

54ˆ11

52

113

524

ˆˆˆ

17

Observación: abba

Observación: si ia ˆ

y jb ˆ

por la definición

nnsenjiji ˆˆ2

ˆˆˆˆ

Pero como k es un vector perpendicular al plano que contiene a i y j con la

dirección indicada por la regla de la mano derecha y entonces:

kji ˆˆˆ

Análogamente podemos obtener:

jik

ikj

kji

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

jki

ijk

kij

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

Productos especiales.- podemos demostrar que

baccabcba

cbacba

18

4. Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

Coordenadas Cartesianas Coordenadas Polares

senrYo

rXo

cos

XoYo

YoXor

1

22

tan

Relación entre los dos tipos de coordenadas

Ejemplo: Localizar los siguientes puntos 4

3,3,4

,2,6

,4

Solución

19

Ejemplo: convierta 6

,2 de coordenadas polares a rectangulares.

Solución.

1,36

,2

12

12

62

32

32

6cos2

6,2

senr

X

r

Ejemplo: Convertir 1,1 de coordenadas rectangulares a polares.

Solución

º50

1tan1

1tantan

211

111

2222

Xo

Yo

YoXor

20

Coordenadas cilíndricas y esféricas.

ZZ

X

Y

YXr

1

22

tan

ZZ

senrY

rX

cos

Zr ,20,0 Coordenadas cilíndricas

Ejemplo: transforma las coordenadas cartesianas 2,7,4 a coordenadas

cilíndricas.

Solución.

2,7,42,"18´15º60,06.8

2

"18´15º60

4

7tan

06.8

65491674

2,7,4,,

1

22

Z

r

r

zr

21

Coordenadas Esféricas.

0

20

0

cos

cos

tan

tan

221

1

221

222

r

rXZ

sensenrXY

senrX

Z

YX

X

Y

YXr

ZYXr

22

Ejemplo: Transforme las coordenadas cartesianas 8,3,5 a coordenadas

esféricas.

9.99864925835

8,3,5,,

222

r

r

8,3,530,"15´536,9.9

30

5

3tan

"15´536

8

34tan

8

925tan

8

35tan

1

1

1

221

23

5. Espacio Euclidiano n - Dimensional.


Observación: Así como denotamos un punto en R´ por el punto X, con un punto

en R2 por una pareja ordenada de números reales YX, y un punto en R3 por una

tripleta ordenada de números reales ZYX ,, , representaremos un punto en el

espacio numérico n-dimensional Rn, por una n-ada ordenada de números reales

usualmente denotados por XnXXP ,...,, 21 .

Observación: En particular, si 1n , hacemos XP ; si 1n , YXP , ; si 3n ,

ZYXP ,, ; si 6n , 654321 ,,,,, XXXXXXP .

Definición: El conjunto de todos las n-adas ordenadas de números reales se

llama el espacio numérico n-dimensional y se denota por Rn. Cada n-ada

ordenada xnxx ,...,, 21 se llama un punto en el espacio numérico n-dimensional.

Definición: Una función de n variable es un conjunto de parejas ordenadas de la

forma wp, en el cual dos parejas diferentes no tienen el mismo primer elemento.

p Es un punto en el espacio numérico n-dimensional y w es un número real a la

24

totalidad de todos los valores posibles de p se llama el dominio de la función y la

totalidad de los posibles valores de w se llama rango de la función.

Ejemplo: La función de dos variables X y Y es el conjunto de todas las parejas

ordenadas de la forma:

2225, YXYXf

Encontrar el dominio y rango de f y hacer un dibujo mostrando con un área

sombreada en R2 el conjunto de puntos del dominio de f .

Solución. El dominio de f será para YX, tales que

25025 2222 YXYX

Que es el conjunto de puntos dentro del círculo.

2522 YX

Y el mismo círculo como:

5,025, 22 YXfYXYXf

Por lo que el rango de f es el conjunto 5,0

El dibujo es.

25

Ejemplo: si f es la función definida por:

2225, YXYXf

Encontrar

4,3 f , 1,2f

Solución.

20142512251,2

01692543254,3

22

22

f

f

Ejemplo: si g es la función definida por:

252,, yzxzxzyxg

Encontrar

2,4,1 g , xzyg ,,

Solución.

zxxyyxzxyyxzyg

g

2222

22

55,,

27161012421512,4,1

26

4.2 Límite de Funciones de más de una variable.

En R´ la distancia entre dos puntos es el valor absoluto de la diferencia de dos

números reales. Esto es, ax es la distancia entre los puntos x y a .

En R2 la distancia entre dos puntos YXP , y YoXoPo , está dada por

22YoYXoX .

En R3 la distancia entre los puntos ZYXP ,, y ZoYoXoPo ,, está dada por

222ZoZYoYXoX .

Definición.- Si XnXXP ,....,, 21 y naaaA ,....,, 21 son dos en Rn, entonces la

distancia entre en P y A está dada por:

22

22

2

11 ... nn aXaXaXAP

AP Se lee como “La distancia entre P y A”

Ejemplo: En R2 la bola cerrada 3,2,1B es el conjunto de puntos YX, en R2

tales que:

222

22,,

rYoYXoX

rYoYXoXYoXoYX

27

Es decir, en nuestro caso 92122 YX que es un circulo de radio 3 con

centro en (1, 2)

Definición: Si A es un punto en Rn y r un número positivo, entonces la bola

abierta rAB , se define como el conjunto de todos los puntos P en Rn rAP .

Definición: Si A es un punto en Rn y r es un número positivo, entonces la bola

cerrada rAB , se define como el conjunto de todos los puntos P en Rn tales que

rAP

Ejemplo: En R´ la bola abierta

ra

B 3,2 es el conjunto de todos los puntos X en R´

tales que.

51

323

32

x

x

xax

28

Definición: Sea f una función de n variables la cual está dada en alguna bola

abierta rAB , excepto posiblemente en el punto A mismo. Entonces el límite de

Pf cuando P se aproxima a A es L y se escribe:

LPfLím AP

Si para cualquier 0 no importando que tan pequeña, existe una 0 talque

LPf siempre que AP0 .

Observación: Para el caso de una variable es LXfLím aX Se escribe

Lxf siempre que aX0 .

Y para el caso de dos variable se dice: Sea f una función de dos variables la cual

está definida en algún disco abierto rXoXoB ,, excepto posiblemente en el

punto YoXo, mismo.

Entonces

LYXfLím YoXoYX ,,,

Si para cualquier 0 , no importando que tan pequeño, existe una 0 talque

LYXf , siempre que 22

0 YoYXoX

29

Ejemplo: Demostrar que 11323,2, YXLím YX por criterio ,

Solución: mostramos que para cualquier 0 existe una 0 talque

1132 YX siempre que 22

310 YX por la desigualdad del

triángulo.

331293221132 YXYXYX

Y como

22

22

313

311

YXY

y

YXX

Por lo que

5323312 YX

Con 5

5

se demuestra lo pedido.

30

Ejemplo: Demostrar que 53 2

2,1, YXLím YX

Solución: mostraremos que para cualquier 0 existe una 0 talque

53 2 Yx

Siempre que

22

210 YX

Por la desigualdad

211321323353 222 YXXYXYXYX

Y como

22

211 YXX

Y

22

212 YXX

Y entonces

73

63

232113

2122

11

2

2

YXX

X

XX

Haciendo

07373 22

31

Entonces

6

12497

32

34497

Para que 0

32

4.3 Continuidad de Funciones de más de una variable.

Definición.- Supongamos que f es una función de n variables y A es un punto de

Rn. Entonces se dice que f es continua en el punto A si solo si se satisface.

a) Existe Af

b) Existe PfLím AP

c) AfPfLím AP

Ejemplo.- Sea

0,0,

0

3

, 22

2

YXconYX

YX

YXf

Diga si f es continua en 0,0

Solución.-

a) 00,0 f

b) 22

2

0,0,0,0,

3,

YX

YXLímYXfLím YXYX

Veamos que

0,0,0, YXfLím YX

Es decir que 0 0 talque

22

122

2

00,0,003

YXYXquesiempreYX

YX

Como

33

222 YXX y 22 YXY

Por lo que

3

13

333333 22

22

22

22

2

22

2

YXY

YX

YYX

YX

YX

YX

YX

c) Por a) y b)

0,0,0,0, fYXfLím YX

34

II. Diferenciación

1. Diferenciación Parcial.

2. Diferenciación Total.

3. Diferenciaciones Exactas.



6. Multiplicadores de LaGrange.

35

1. Diferenciación Parcial

Observación.- Como la derivada de una función de una variable es:

X

XfXXfLím

dX

dYX

0

Definición.- Si YXfZ , la derivada parcial con respecto a X es:

X

YXfYXXfLím

X

ZX

,,0

Y la derivada parcial con respecto a Y es:

Y

YXfYXXfLím

Y

ZX

,,0

Observación.- Cuando de evalúa X

Z

la variable es X y a Y se le considera una

constante. Cuando se evalúa Y

Z

la variable es Y y a X se le considera una

constante.

Ejemplo: Si 144 6323 YXYXZ , determinar X

Z

y

Y

Z

Solución.

53

22

68

812

XYXY

Z

y

XYXX

Z

36

Observación.- Para YXfZ ,

fyxxfyYX

Z

Y

Z

X

y

fxyyfxXY

Z

X

Z

Y

fyZyY

f

Y

Z

y

fxZxX

f

X

Z

2

2

De manera análoga si: zyxF ,, , se puede obtener: ..,,, etcFFF YZXZYXXYZ ,

Observación.- en general

XYXYXXXXY

ZXYYXZXYZ

FFF

FFF

y

fyxfxy

Ejemplo: Si 2105 cos XYYXZ obtener YXZ

Solución.-

294

2295211522116

2952116

2952105

cos50

1012cos2

cos102

cos102

XYYX

XYsenYYXXYsenYXXYYYXZ

y

XYYXXYsenYXZ

XYYXXYsenXYYXZ

YX

Y

Y

37

1. Diferencial Total

Definición.- Si Yxf es una función diferenciable, la derivada es:

dx

dy

dx

dfxf ´

Y la diferencial dfdy es

dxxfdy ´

dxdx

dfdy

En dos y tres dimensiones la diferencial de YXfZ , y de zyxF ,, serán

respectivamente:

dzz

dyy

dxx

d

y

dyy

zdx

x

zdz

O bien

dzzyxfzdyzyxfydxzyxfxd

y

dyyxfydxyxfxdz

,,,,,,

,,

Ejemplo: Si XYXZ 2 obtenga dZ

Solución.- Como

XZy

YXZx

y

ZydyZxdxdZ

2

38

dyXdxYXdZ 2

Ejemplo: ¿Cuál es d si 432 32 ZYX ?

Solución.-

dzZdyYXdxd

ZYX

y

dzdydxd

ZYX

ZYX

32

32

1262

12,6,2

39

2. Diferenciales Exactas.

Definición.- Se dice que una expresión como dyyxQdxyxP ,, es una

diferencia exacta si existe una función f talque dyyxQdxyxPdf ,, .

Teorema: sean P y Q continuas y con primeras derivadas parciales continuas en

una región rectangular del plano XY , entonces dyyxQdxyxP ,, es una

diferencial exacta si y sólo si: X

Q

Y

P

para todo YX, en la región.

Demostración: Si dyyxQdxyxP ,, es una diferencial exacta, existe una

función f talque:

x

Q

y

P

x

Q

yx

f

y

P

xy

f

Qy

fyP

x

f

dyy

fdx

x

fdf

dyyxQdxyxPdf

22

,,

Ahora si

x

Q

y

P

40

Se quiere encontrar una función f talque.

Qy

fyP

x

f

Si hacemos:

X

Xo

Y

Yo

dyYXoQdxYoXPyxf ,,, Con YoXo, un punto fijo de la región,

ahora:

YXP

YoXPYXPYoXP

YXPYoXP

dyX

PYoXP

dyX

QYoXP

dyYXoQdxYoXPxx

f

Y

Yo

Y

Yo

Y

Yo

X

Xo

Y

Yo

,

,,,

,,

,

,

,,

Análogamente:

Qy

f

Ejemplo: Determine si las siguientes expresiones son diferenciales exactas.

a) dyXXYdxYY 222 2

b) dyxXYdx 12 2

Solución: a) 12,24

2,22 2

Yx

QY

y

P

XXYQYYP

41

x

Q

Y

P

No es diferencial exacta.

b) X

x

QX

y

P

XQXYP

2,2

1,2 2

x

Q

Y

P

Es diferencial exacta

Ejemplo: Resolver 0cos 22 dyYXYdxXYsenxx

Solución.

X

QXY

Y

P

2

Ahora bien

xhYXYfYXYx

f

2222

2

1

2

1

Pero

XsenYXYyxf

Xsen

dxxsenxxh

senxxxh

XYsenxxx

f

xhXYPx

f

2222

2

2

2

2

1,

2

1

cos

cos´

cos

´

42


Observación.- Si ufY y xgu son funciones diferenciables entonces:

dx

du

du

dy

dx

dy

Teorema.- Si ,ufZ y yxgu , yxh , , tienen primeras derivadas

parciales continuas, entonces:

y

z

y

u

u

z

y

Z

y

x

z

x

u

u

z

x

Z

Caso Especial.- Si ,ufZ es diferente y tgu y th son diferenciales,

dt

dz

dt

du

u

z

dt

dz

Generalizaciones.

1.- Si nuuufZ ,..., 21 y nuuu ,..., 21 son funciones de kxxx ,..., 21 con n no

necesariamente igual a k.

kicon

x

u

u

z

x

u

u

z

x

u

u

z

x

z

i

n

niii

1

....2

2

1

1

2. Si nuuufZ ,..., 21 y las thu ii con ni 1

dt

du

u

z

dt

du

u

z

dt

du

u

z

dt

dz n

n

....2

2

1

1

43

Ejemplo: Si 32 uZ y yxeu 32 , 22 yxsen , determine x

Z

.

Solución. Como ,ufZ y yxhu , , yxg , ; por regla de la cadena.

x

z

x

u

u

z

x

z

Y como

22232

22232

22322

cos64

cos2322

cos2,2,3,2

yxuex

z

yxxeux

z

yxxx

ex

uzu

u

z

yx

yx

yx

44


Definición.- Si yxfZ , y zyxh ,, son funciones diferenciables, el

gradiente de Z y se define como:

jy

fi

x

ffgrad

fjy

ix

fgrad

ffgrad

ˆˆ

ˆˆ

y

kz

hj

y

hi

x

hgrad

hkz

jy

ix

hgrad

hhgrad

hˆˆˆ

ˆˆˆ

Ejemplo: Obtenga yxf , para 235, yxyyxf

Solución.

jyxyiyxf

jyxyy

iyxyx

f

jy

fi

x

ff

ˆ25ˆ3

ˆ5ˆ5

ˆˆ

322

2323

Ejemplo: Para 322 3,, zxxyzyxF hallar 4,1,2 F

Solución.

kjiF

kzjxyixyF

kz

Fj

y

Fi

x

FF

ˆ48ˆ4ˆ134,1,2

ˆ3ˆ2ˆ6

ˆˆˆ

22

45

Definición.- La derivada direccional de yxfZ , en la dirección de un vector

unitario jseniu ˆˆcos

es:

uyxfyxfuD ,,

Ejemplo: Obtenga la derivada direccional de xyyxyxf 62, 32 en 1,1 en la

dirección de un vector unitario cuyo ángulo con el eje x positivo es 6

.

Solución.

jxyxiyxyyxf

jy

fi

x

fyxf

ˆ66ˆ64,

ˆˆ,

323

Como

uffuD 1,11,1 y

612

6cos10

ˆ6

ˆ6

cosˆ12ˆ101,1

ˆ6

ˆ6

cos

ˆˆcosˆˆcos

ˆ12ˆ101,1

senuD

jsenijifuD

jseniu

jseniujseniu

jif

46

5. Multiplicadores de LaGrange.

Es un método para determinar los llamados extremos con restricciones de una

función.

Método.

1. Supóngase que se desea encontrar extremos de la función yxfZ , con

la restricción dada por 0, yxg

2. Como f y g son respectivamente a las curvas Cyxf , y 0, yxg ,

entonces para cumplir las restricciones f y g deben ser paralelas es

decir gf para R

0,

,,

,,

yxg

yxgyxfy

yxgyxfx

y

x

A se le llama multiplicador de LaGrange.

47

Ejemplo: Aplicar el método de los multiplicadores de LaGrange para determinar el

máximo de 229, yxyxf sujeta a 3 yx

Solución.

2

3

23

032

03

22

03

2

2

11

30,

2

2

xy

y

y

yy

yx

xx

yxy

Y

x

gyygx

yxyxg

yfy

xfx

Luego el máximo con restricciones es 2

9

2

3

2

39

2

3,

2

3,

22

fyxf

48

Ejemplo: Un cilindro recto tiene un volumen de 31000 lt . La tapa y la base del

cilindro se hacen de un metal que cuesta 2 dólares por diámetro cuadrado. La cara

lateral se cubre con un metal que cuesta 2.5 dólares por diámetro cuadrado:

calcule el costo de la construcción mínimo.

Solución.

La función de costo es:

hrrhrC

hrrhrC

54,

25.22,

2

2

Restricción:

3............................01000

2..................................5

1............258

,5

2,58

1000,1000

2

2

2

22

hr

rr

hrhr

rghrCh

hrgrhrCr

hrhrghr

Con r1 y h22 y restando

058

058 2

hrr

hrr

Si 0r no da cilindro alguno debemos tener

49

hr

hr

8

5

058

Por (3)

010008

52

hh

2

25

25

40

25

641000

3

3

rh

h

Luego el costo buscado es

75.1284$2530025

40,

2

25 3

3

C

50

I. Funciones con Valores Vectoriales

1. Trayectorias y Velocidad.

2. Longitud de Arco.

3. Campos Vectoriales.


51

1. Trayectoria y Velocidad

Ejemplo: Grafique la siguiente función 2RR con

2,0,,cos tsenttt

Solución.

Como 1cos 2222 tsentyX

Definición.- Sea 3: RR

una trayectoria. El vector velocidad esta dado por

ttV

en donde una trayectoria en nR es una función.

txtxtRba n

n ,...,,: 1 Y la rapidez es la longitud del vector t .

tV ´

Además la aceleración es ttVta ´´

Ejemplo: Obtenga la velocidad, rapidez y aceleración para las trayectorias:

a) tsentttS ,,cos:

b)

t

rsenrt

rrtr

O

O

O

O

,cos

Solución.

52

a)

0,,cos

´

2

1cos

1,cos,

22

sentta

tVta

V

ttsentV

tsenttV

b)

tr

senr

trr

ta

tVta

tV

tr

tr

sentV

OO

OO

22

,cos

´

cos,

53

2. Longitud de Arco

Definición.- nRba ,: una trayectoria.

La longitud es

b

a

b

a

b

a

dttztytx

Reny

dttytx

esRen

dtt

222

3

22

2

´´´

´´

´

Ejemplo: Encuentre la longitud de arco de las curvas:

a) 20,cos tsenttrt

b) 405,2cos2,22´ tttsent

Solución.

a)

2

0

2

0

2222

2

cos

,cos

rdtr

dttrsenr

senttrt

54

b)

4

0

4

0

22

129

52cos424

dt

dtttsen

55

3. Campos vectoriales.

a) Campo Vectorial.- Un campo vectorial en nR es una función nn RRCAF :

que asigna a cada punto AX un vector xF

b) Ejemplo: La fuerza de atracción de la tierra sobre una masa m puede

describirse mediante un campo vectorial en 3R . De acuerdo con la ley de Newton,

este campo está dado por:

rr

mMGF

3

Ejemplo: De acuerdo con la ley de Coulomb, la fuerza que actúa sobre unas

carga q en la posición r

debida a una carga Q en el origen, es.

rr

qQkF

3

Si 0qQ la fuerza es repulsiva y para 0qQ la fuerza es atractiva.

56

c) Línea de Flujo.- Una línea de flujo para un campo vectorial F

es una

trayectoria t talque tFt

Observación.- Geométricamente una líneas de flujo es una curva cuyo vector

tangente a ellas es un punto oX

coincida con el campo vectorial.

Observación.- Analíticamente el problema de hallar una línea de flujo que pase

por oX

en el tiempo 0t significa (implica) resolver la ecuación diferencial

tFt

´ con la condición inicial oX

; esto es oX

0 , es decir para 3R se

deben de resolver:

ZoYoXoZYX

tZtYtXFtZ

tZtYtXFtY

tZtYtXFtX

,,0,0,0

,,´

,,´

,,´

3

2

1

57


a) Rotacional

Definición.- El rotacional de un campo vectorial F

en 3R se define como:

ky

F

x

Fj

zx

F

z

Fi

z

F

y

F

FFFzyx

kji

FFrot ˆˆˆ

ˆˆˆ

123121

321

En donde como antes

kFjFiFF

y

kz

jy

ix

ˆˆˆ

ˆˆˆ

321

b) Rotacional del gradiente 0

Teorema.- Para cualquier función f , el rotacional de un gradiente es igual a cero.

Demostración: Como

0

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

222222

kxy

f

yx

fj

zx

f

xz

fi

yz

f

zy

f

y

f

y

f

x

fzyx

kji

fgradrot

kz

fj

y

fi

x

fffgrad

58

c) Ejemplo. Si jXiYV ˆˆ

con R obtenga Vrot

Solución.

k

XYzyx

kji

Vrot ˆ2

0

ˆˆˆ

Ejemplo: Sea jXiYL ˆˆ

muestre que L

no es un campo gradiente, es decir que

0L

Solución.

0ˆ2

0

ˆˆˆ

k

XYzyx

kji

Lrot

d) Divergencia.

Definición.- La divergencia de un campo vectorial F

en 3R se define como:

z

F

y

F

x

FFdiv

kFjFiFkz

jy

ix

Fdiv

FFdiv

321

321ˆˆˆˆˆˆ

e) Divergencia del Rotacional 0

Teorema.- Para cualquier campo vectorial F

de clase 2C la divergencia de su

rotacional es igual a cero.

59

Demostración.

y

F

x

F

zx

F

z

F

yz

F

x

F

xFrotdiv 123123

Haciendo la correspondiente eliminación de términos nos queda:

0Frotdiv

f) Ejemplo: Obtenga la divergencia de kXYZjZiYXF ˆˆˆ2

Solución.

XYXYXYFdiv

XYZz

Zy

YXx

Fdiv

302

2

g) Laplaciano.- Para funciones f , el Laplaciano se define como:

2

2

2

2

2

22

z

f

y

f

x

fff

Y para un campo vectorial F

se define:

kFjFiFF ˆˆˆ3

2

2

2

1

22

60

V. Derivadas de Orden Superior; Máximos y Mínimos

1. Teorema de Taylor.

2. Extremos de Funciones con valores reales.

3. Teorema de la función implícita.

4. Aplicaciones.

61

1. Teorema de Taylor

a) En una dimensión.

Observación.- Para funciones de una variable se tiene:

axRaxK

afax

afaxafafxf k

Kk

!

...!2

´´´

12

Con a constante.

b) Error de orden k

Observación.- Se llama error de orden K a

x

a

K

K

K dttfK

txaxR 1

!

Lo que significa que

0

K

K

ax

axR Cuando ax

Ejemplo. Desarrollar xexf alrededor de 0X

Solución.

0

32

32

0

0

0

0

!

...!3!2

1

....0!3

10

!2

1011

1´´´´

1´´

1´

1

0

K

K

x

K

x

xxxxf

xxxexf

eaf

eaf

eaf

eaf

a

62

c) De primer orden.

Teorema.- Sea RRUf n : , diferenciable en UoX

,

oXhRoXxi

fhioXfhoXf

n

i

,1

1

Donde

0

,1 h

oXhR

Cuando 0 nRh

d) De segundo orden.

Teorema.- Sea RRUf n : con derivadas parciales continúas

n

ji

n

i

oXhRoXxjxi

fhjhioX

xi

fhioXfhoXf

1,

2

2

1

,2

1

Donde

0

,2

2 h

oXhR

Cuando 0

h

Ejemplo: Desarrolle la serie de Taylor de segundo orden para yxsenyxf 2,

alrededor del punto 0,0oX

Solución.

ohRhhhhfhf

yx

f

y

f

x

f

y

f

x

f

f

,2,

0,0,0,20.20cos2,10.20cos

00,0

22121

2

2

2

2

2

Donde

63

0

,2

2 h

ohR

Cuando 0

h

Ejemplo: Calcular la formula de Taylor de segundo orden para yeyxf x cos,

alrededor de 0,0, YooX

Solución.

ohRhhhhhfhf

yx

f

y

f

x

f

y

f

x

f

f

,

2

1

2

11,

00,0,10,0,10,0,0,10,0

10,0

2

2

2

2

1121

2

2

2

2

2

Donde

0

,2

2 h

ohR

Cuando 0,0h

64

2. Extremos de Funciones con Valores Reales.

Definición.- Si RRUf n : es una función escalar dada, un punto UoX

se

llama mínimo local de f si existe una bola de oX

tal que para todos los puntos X

de la bola, oxfxf

de manera análoga UoX

es un máximo local si existe

una vecindad V de oX

talque oxfxf

para todo X

de la bola.

El punto UoX

es un extremo local o relativo, si es mínimo local o máximo local.

Un punto oX

es un punto crítico de f sí 0oXDf

. Un punto crítico que no es un

extremo local se llama punto silla.

Teorema.- Si nRU y RRUf n : es diferenciable y UoX

es un extremo

local, 0 oXDf

Ejemplo: Hallar los máximos y mínimos de la función RRf 2: con

22, yxyx

Solución.

02,02

0,,0,

yy

fx

x

f

yxy

fyx

x

f

El punto crítico es 0,0

Y como 00,0, fyxf el punto es un mínimo relativo.

65

3. Teorema de la Función Implícita.

Teorema.- Suponer que RRF n 1: tiene derivadas parciales continúas. Si

1, nRoZoX

con nRoX

satisface: 0, oZoXF

y 0,

oZoX

Z

F entonces

existe una función XgZ

talque:

ni

Z

Fxi

F

xi

g,...,1,

1

Ejemplo: Considere la ecuación 01, 22 ZXZXF en este caso 1n

muestre que se satisface el teorema.

Solución.

22

2

2

112

2

1

01

02

x

x

x

x

x

g

xxgz

y

zsixxgz

y

zz

F

Como

212

2

2,2

x

x

z

x

z

x

z

Fx

F

zz

Fx

x

F

66

V. Integrales Dobles

1. Integral doble.

2. Integrales iteradas.

3. Evaluación de integrales dobles.

4. Centro de masa y momentos.


6. Área de superficies.

7. Integral triple


a) Coordenadas cilíndricas.

b) Coordenadas esféricas.

67

1. Integral Doble.

La integral

R

dA Área de la Región y

R

dAyxf , Volumen del sólido arriba de la región R y abajo de la superficie

yxfZ ,

Ejemplo: Evalúe R

dA10 para R indicada

Solución.

260610101010 uAdAdA

68

2. Integrales Iteradas.

Observación.- Si se integra con respecto a X se considera a Y fija, y si se

integra a Y se considera a X fija.

Ejemplo: Evaluar

3

1

2

2

1

2

46

46

dYY

XXY

dYY

XXY

Solución.

3

1

22

22

3

1

3

1

222

2

1

2

2

1

1

232

162446

23

18272346

241446

14224164246

YYdY

Y

XXY

YY

YY

Y

XYXdY

Y

XXY

XLnXdYY

XXY

XLnXXLnXXLnYXYdYY

XXY

Definición.- Si bxa y xgyxg 21 se integrara:

dxdyyxf

xg

xg

b

a

2

1

,

Y para dyc y yhxyh 21 se integrará:

dydxyxf

yh

yh

d

c

2

1

,

69

Ejemplo: Evalúa la integral de xyyxf 2, para la región.

Solución.

4

63

41

6

1

1

2,

2

1

432

2

1

222

2

1

122

1

2

1

11 222

xx

dxxxxx

dxxydxdyxydxdyyxfx

x

x

x

x

x

Ejemplo: Evaluar 298, yxyxf para la región.

Solución.

199896132713122712

2724213218

3898,

223

1

2

3

1

3

1

33

3

1

1

2

33

1

1

2

2

xx

dxxdxx

dxyxydxdyyxdydxyxfR

70

3. Evaluación de integrales dobles

Ejemplo: Evaluar la integral doble dydxeR

yx

3 en la región.

Solución.

64.27714

1

2

1

4

1

2

1

4

1

2

1 4789

2

1

425

2

1

2

1

2

1

425535

33

eeeeee

dyeeedydxedydxe

yy

yyy

y

yxy

y

yx

R

yx

Ejemplo: Evaluar la integral doble dydxR

en la región.

2

2

23

2

2

2

2

22

2

228

3

64

3

28

2882

2

ux

x

dxxdxxxdydxdydxx

xR

71

Ejemplo: Determine el volumen V del sólido del primer octante limitado por los

planos coordenados y graficas de 122 yx y yxz 3

Solución.

3

1

0

323

221

1

0

222

1

0

1

0

1

0

21

0

1

0

1

0

05.42

1

2

3

6

1

2

11

3

11

2

33

2

1

2

1113

233,

2

22

uxxxxxxsen

dxxxxx

dxy

xyydxdyyxdxdyyxfV

xxx

Ejemplo: Evaluar R

dAyx en la región limitada por las graficas de 2yx y

2

3

2

1 xy

72

Solución:

93.468

9

24

2

8

11

5

2

5

4

8

9

8

5

4

112

22

9

1

3225

1

0

25

1

0

9

1

223

23

9

1

2

3

2

21

0

2

1

0

9

12

3

2

21

xxxxx

dxxxxdxx

dxy

xydxy

xy

dxdyyxdxdyyx

dAyxdAyxdAyx

x

x

x

x

x

x

x

x

RRR

Otra solución.

93.462

9

2

9

3

4

410

2

994

2

2

3

1

2345

3

1

234

3

1

322

3

1

32

2

2

yyyyy

dyyyyy

dyxyx

dydxyxdAyx

y

y

y

yR

73

4. Centro de Masa y momentos.

Definición.- Si una región R tiene una densidad superficial (masa por unidad de

área) yx, , su masa es R

dAyxm , y su centro de masa YXMC ,. con

m

MyX ,

m

MxY y

R

dAyxxMy , R

dAyxyMx , .

A Mx se le llama momento respecto al eje X y a My se le llama momento respecto

al eje Y.

R

R

R

R

dAyx

dAyxy

YydAyx

dAyxx

X,

,

,

,

Observación.-

2

2

4cos

4

10cos00

02

cos12

cos2cos 22

sen

sen

sen

xsenxx

74

Ejemplo: Ubique el centro de masa de una figura limitada por las graficas entre

0X y 4

x . La densidad es Yyx ,

Solución.

4

0

4

0

4

0

224

0

cos4

0

cos2

4

12

4

12cos

2

1

cos2

1

2

,,,,,.

xsenxdx

dxxsenxdxY

Ydydx

YdydxdAyxmm

MxY

m

MyXYXMC

x

senx

x

senx

RR

Por otra parte

16

22cos

8

12

4

12cos

2

1

2

1,

4

0

4

0

4

0

cos4

0

cos

2

xxxsensdxx

dxyxydxdyxydxdydAyxxMyx

senx

x

senxRR

Análogamente

R

x

senx

x

senxR

dxydydxydydxydAyMx 4

0

cos4

0

cos3222

3

1

75

68.0,29.0.

68.09

8210

4

18

425

29.04

2

4

116

2

8

425cos

3

1cos

3

1

3

1

cos11cos3

1cos

3

1

4

0

33

4

0

4

0

2233

MC

m

MxX

m

MyX

xxxsensenx

dxxsenxxsenxdxxsenx

76


Observación.- Si R es la región limitada por las gráficas de las ecuaciones

polares 1gr , 2gr y los rayos a y b

Entonces

R

b

a

g

gddrrrfdArf

2

1

,, Y para una región R de la forma:

Se tiene

R

b

a

h

hdrdrrfdArf

2

1

,,

Ejemplo: Obtener la masa de una superficie limitada por el pétalo de rosa

22senr en el primer cuadrante; la densidad es rr ,

Solución.

77

La gráfica se obtiene variando de 2

0

a así que:

mdu

dsen

dsendr

drdrrdArm

sen

R

sen

..9

16

2cos6

12cos

2

1

8

322cos1

8

3

28

3

3,

2

0

2

0

32

2

0

2

0

3

22

0

32

0

22

0

0

78

6. Área de Superficies

El área de la superficie sobre R está dada por:

R

dAfyfxA22

1

Ejemplo: Halle el área de superficie de la porción de la esfera 2222 azyx

que está arriba del plano xy y dentro del cilindro 222 byx , ab 0

Solución. Con

drdrdAyxrcondAyxa

aA

yxa

afyfx

yxa

afyfx

yxa

yfyy

yxa

xfx

yxayxfz

,,

1

1

,

222

222

222

22

222

222

222222

222

79

222

2

00

2

0

21

2221

22

2 Ubaaa

draadrdrraAb

a

b

80

7. Integral Triple.

Definición.- Para una función F de tres variables definida en una región D del

espacio. La integral triple de F en D es:

dVzyxFD

,,

Observación.- Si la región D está limitada por arriba por la gráfica de yxfz ,2 y

por abajo por la gráfica de yxfz ,1 y además la proyección de la región D es el

plano es R la que está limitada por xgy 2 xgy 1 , bxa entonces:

b

a

xg

xg

yxf

yxfD

dzdydzxzyxFdVzyxF2

1

2

1

,

,,,,,

También se puede integrar:

d

c

yk

yk

zyh

zyhD

dzdydzxzyxFdVzyxF2

1

2

1

,

,,,,,

81

Observación.- En particular el volumen del sólido D es D

dVV y la masa es

D

dVzyxm ,,

Ejemplo: Obtener el volumen del sólido primer octante limitado por las gráficas de

21 yz , xy 2 y 2yx

Solución.

3

1

0

23

1

0

1

0

323

2

2

1

0

3

2

21

0

3

2

1

0

8

15

8

1

4

13

2

1

233

12

Uyyy

dyyy

ydyxyx

dxdyydzdxdy

dVV

y

yy

y

D

82


a) Coordenadas cilíndricas

cosrx , rseny , zz

222 yxr , x

ytan , zz

drdzdrdV Y

D

b

a

g

g

rf

rfdzdrdrzrFdVzrF

2

1

2

1

,

,,,,,

83

Ejemplo: Un sólido en el primer octante tiene la forma determinada por la gráfica

del cono 22 yxz y los planos 1z , 0x , 0y ; obtenga la masa si la

densidad está dada por rzr ,,

Solución.

24212

34

4

1

3

1

43

2

0

2

0

1

0

43

2

0

1

0

322

0

11

0

22

0

1

0

1

0

ddrr

drdrrdrdzrdzdrdrrdVrmrD

b) Coordenadas esféricas

2222 zyxr , x

ytan ,

222cos

zyx

z

84

Y

cossenrx , sensenrY , cosrz , ddrdsenrdV 2

r0 , 0 , 20

Ejemplo: Obtenga el volumen de una esfera de radio R

2

0

333

2

0

2

0

2

00

3

0

3

2

0 00

32

0 0 0

2

2

3

42

32

32

0coscoscos33

3

RR

dR

dR

ddsenR

ddsenr

ddsendrr

dVV

RR

85

VI. Integración de los Campos Vectoriales


2. Integrales curvilíneas planas.


4. Integrales independientes del camino.

5. Campo de fuerzas, Trabajo.

6. Teorema de la divergencia.

7. Teorema de Green.

8. Teorema de Stokes

86


Observación.- Sabemos que la integral 1.... b

a

b

adxxfydxA representa el

área de la curva xfy , el eje X0 y las dos ordenadas ax y bx .

La expresión 1 puede usarse para calcular las áreas de tipo más complicadas.

Ejemplo: el área entre la parábola xy 2 y la parábola semicúbica 32 xy es:

1

0

1

0

1

0

31

0 sP

ydxydxdxxdxxA

Donde los índices P y S en el segundo miembro indican que las integrales se

deben calcular para las curvas P y S , respectivamente. Puesto que el

intercambio de los límites hace cambiar el signo de la integral, se puede poner:

1

0

0

1

1

0

0

1 SPSP

ydxydxydxydxA

Cuando se considera el área en la región interior de una curva cerrada, es

conveniente disponer los límites de las diferentes integrales de tal modo que la

curva sea recurrida en un sentido determinado. Si alguien recorre P de 0 a 1,

regresa por S de 1 a 0; la curva cerrada ha sido descrita en sentido uniforme, ya

que el área A permanece constantemente a la derecha avanzando por S de 0 a 1

87

y regresando por P de 1 a 0, la curva cerrada se describe en sentido opuesto al

anterior y el área permanece siempre a la izquierda del observador. Para ser

consecuentes este último es el que se considera positivo para el área A :

ydxydxydxA

PS

0

1

1

0

Y donde el símbolo llamado integral circuital o integral cerrada, indica que debe

calcularse la integral dada a lo largo de la curva cerrada recorriéndola en el

sentido positivo.

En la misma forma, si se considera el área RQP ,, limitada por tres curvas cuyas

ecuaciones sean conocidas, tendremos:

2......321

321

ydxydxydxydxA

ydxydxydxydxA

Q

R

R

P

P

Q

Q

P

Q

R

R

P

b

a

La formula 2 puede aplicarse al caso elemental dado en la siguiente figura:

88

Aquí el circuito consiste del contorno ABCDA , esto es,

B

A

A

D

D

C

C

Bydxydxydxydxydx

La primera integral se anula porque 0y en la primera parte del contorno, y lo

mismo sucede con la segunda y la cuarta debido a que siendo x constante 0dx

luego:

C

D

D

Cydxydxydx

Consideraciones semejantes pueden hacerse para obtener la integral circuital:

3.........xdyA

De 2 y 3 se obtiene:

4.........2

1

2

1

dydx

yxydxxdyA

Una formula fundamental para el cálculo de áreas planas.

La forma vectorial de 4 se puede obtener de:

5...........2

1

2

ˆˆ

ˆ

0,,,,,

rdrA

dydx

yxKAKA

ydxxdyKrdr

dydxrdzyxr

El vector unitario K indica únicamente que el área está en el plano xy y que el

vector A

es perpendicular a dicho plano

89

Fig. g1 Fig. g2

Hemos deducido la fórmula 4 para un área simple cuyo contorno es cortado por

una recta, paralela a los ejes de coordenadas, solamente en dos puntos, no

obstante puede hacerse extensiva a contornos más complicados haciendo uso de

subregiones apropiadas, las cuales se reducen al caso anterior. Esto es, si

tenemos el área 1.gFigQRSP , basta unir P con R por medio de una curva

simple cualquiera, puesto que:

RPPQRRSPPRPQRPPRSP

Anulándose los valores de las integrales tomadas sobre PR por recorrerse en

sentidos opuestos.

Para un contorno que contenga huecos o cavidades 2.gFig trazándose PR y

QS el área A se obtiene haciendo el recorrido en el sentido indicado por las

flechas.

90

Una región A en la cual puede trazarse una curva cerrada talque la deformarse

paulatinamente se reduzca a un punto sin cruzar el contorno o recinto, se dice que

es una región simplemente conectada. Así las regiones limitadas por una

circunferencia, un rectángulo o una elipse son simplemente conectadas. Las

regiones que no tienen esta propiedad se llaman múltiplemente conectadas. Por

ejemplo, la región 2.gFigA es múltiplemente conectada, porque si se traza una

circunferencia dentro de A encerrando a 1C no se puede reducirse a un punto por

deformación paulatina ni cortar a 1C .

91

2. Integrales Curvilíneas planas.

La expresión 4 es un caso particular de un caso mucho más general de ciertas

integrales llamadas integrales de línea a integrales curvilíneas y cuya definición es

la siguiente:

Consideramos una función de dos variables yxP , definida y continua para una

cierta región del plano xy , tomemos en esta región una curva C extendiéndose

desde el punto baA , hasta el punto dcB , . La integral curvilínea de yxP , a lo

largo de C es

1.......,,

,

, C

dc

badxyxPdxyxP

El valor de esta integral depende no sólo de los límites, sino también de la curva

C y que toma el nombre de camino, contorno o trayecto.

Cuando la ecuación de C está dada por xfy la formula se reduce a la integral

C

adxxfxP , ó si la curva está dada por las ecuaciones tfx y tgy la

ecuación 1 tendrá la forma: 2

1

t

tdttF como ya conocíamos.

92

Generalmente las integrales curvilíneas se representan en la forma:

2........,, C

dyyxQdxyxP

Y para el caso en que C sea una curva cerrada la integral se convierte en la

integral circuital:

3........,, dyyxQdxyxP

Ejemplo: Encontrar el valor de

4,2

0,0

2 32 xydydxy sobre xyC 2:

Solución.- rediciendo la integral a la variable x :

3

328

3

4

3

12

3

8

12822322

2

0

33

2

0

222

0

2

xx

dxxdxxdxxxdxxQdyPdxC

Ejemplo: Encontrar el valor de la integral circuital dyxdxy 22 a lo largo del

triángulo cuyos vértices son 0,1,1,0,0,1 y

Solución.

93

Las ecuaciones de los lados del triángulo son:

0,0

,1

,1

dyy

dxdyXy

dxdyXy

Empezando el circuito en el punto 0,1 , tenemos:

3

2111

3

21

3

221221

2121

011

2

1

0

2

0

1

230

1

1

0

2

0

1

1

0

2222

1

1

1

0

220

1

2222

xxxxxdxxdxxx

dxxxxdxxxx

dxdxxdxxdyxdxxdyxdxy

Ejemplo: Determinar el valor de

0,2

2,0

22 xdydxyx a lo largo de una

circunferencia con centro en 0,0 .

Solución. Como la curva debe pasar por los puntos 2,0 y 0,2 y la circunferencia

tendrá por ecuación:

422 yx

94

3

8

3

2416

22

48

3

161

2

424

3

82

22

4

2

44

3

2

44

4

4

1

2

0

12

3

0,2

2,0

2

0 2

22222

2

2

sen

xsen

xxxx

dxx

xxxxdydxyx

dyx

xdy

xy

95


Definición.- Para la curva C en el espacio y zyxP ,, zyxQ ,, zyxR ,, la

integral curvilínea es:

C

dzzyxRdyzyxQdxzyxP ,,,,,,

Si zyxr ,,

es un vector sobre C sea S la longitud de arco desde A hasta X ,

el vector ds

rdT

es un vector tangente ha C apuntando en el sentido creciente de

S para un campo vectorial zyxF ,,

definido sobre la curva C talque:

kzyxRjzyxQizyxPzyxF ˆ,,ˆ,,ˆ,,,,

Obsérvese que rdds

se define la proyección ortogonal de F

sobre T

cómo

TFFT

y la integral curvilínea de F

sobre C se define

C C

T dsTFdsF

si

despejamos:

dzdydxdsTrd ,,

Por lo que

CC

r

rRdzQdyPdxrdFdsTF

f

O

Se puede considerar también integrales curvilíneas sobre C con integrados

vectoriales definidos como:

C CCC

kRdsjQdsiPdsdsF ˆˆˆ

96

C C CCC

QdxPdyPdzRdxRdyQdzrdFdsTF ,,

Ejemplo: Encontrar el valor de la integral curvilínea C

Uds siendo 32 yxU a lo

largo de la recta xy 2 desde el origen hasta el punto 4,2 .

Solución.

C C

rdyxdsyxUds2

0

3232 8

En este caso

C

xx

dxxxUds

dxdxdxdxrd

y

dxdxrd

xxr

53

10452

358

5412

2,

2,

2

0

43

2

0

32

222

Ejemplo: Si xxzyF ,,2

encontrar el valor de la integral C

rdF a lo largo de

la recta xy 2 desde el origen hasta el punto 4,2

Solución.

CC C

xdzdyxzydxRdzQdyPdxrdF2

Como

0,2,

0,2

dzdxdydxdx

zxy

97

3

28

.3

222

2

0

322

0

2

xxdxxxdxrdF

C

Ejemplo: Calcular el valor de la integral C

rdF desde A hasta B

Cuando 22 ,, xzayzxaF

y C es la intersección del cilindro 222 ayx y en el

plano azx

Solución.

dzxzayzdydxaxrdzQdyPdxdzdydxRQPrdF 22,,,,

Para la curva C tenemos:

dxdz

xaz

y

xdxydy

xdxxadydydy

xay

22 222

222

Los puntos son 0,0,aA y aaB ,,0

0

4322222

0 22

42

a

Ca

adxxdxaxxdxadxaxxdxadxax

dxxaxxdxxaadxaxrdF

98

4. Integrales Independientes del camino.

La integral curvilínea C

r

rrdFrdF

2

1

en general, depende de la curva sobre la

cual es calculada. Pero si el integrando es una diferencial exacta es decir;

kz

Uj

y

Ui

x

UuF ˆˆˆ

en la que zyxU ,, es una función uniforme y

continua, y: por lo que la integral se convierte en C

r

rrUrUdUrdF

2

112

que

depende únicamente de los puntos extremos.

Si la trayectoria es cerrada, la integral circuital 0 rdF

y recíprocamente, si la

integral circuital rdF es nula F

proviene de un gradiente.

99

5. Campo de Fuerzas. Trabajo.

Si F

representa una fuerza, el vector asociado con cada punto de una región R ,

decimos que tenemos un campo vectorial de fuerzas.

Cuando F

es la fuerza ejercida sobre una partícula de masa m , el trabajo W ,

efectuado por el campo sobre la partícula cuando esta se mueve de Po a Pf

sobre la curva trr

, se define por la integral curvilínea:

f

O

f

O

t

tC

t

tdtVFdt

dt

rdFrdFW

La unidad de trabajo en el sistema MKS recibe el nombre de Joule.

ergcmdinasmNewtonJoule 75 1010010111

En general, el trabajo depende de la trayectoria, pero si F

es el gradiente de una

función escalar, el trabajo es independiente del camino seguido: VF

donde

zyxV ,, es la función potencial.

Así 1.......0

fo

C

r

rrVrVdVrdFW

f

Por la segunda Ley de Newton

VmF Multiplicando por V

2222

2

1

2

1

2

1

dt

dmVzVyVx

dt

dmVV

dt

dmVVmFV

Sustituyendo en la definición de trabajo

100

2.......2

1

2

1

2

1

2

1 2222

f

O

f

O

t

tOf

C

t

tmVmVVmddtV

dt

dmdtVFW

Al recalcar 2

2

1mV se llama energía cinética por 1 y 2

CterVmVrVmV

mVmVrVrV

OOff

OffO

22

22

2

1

2

1

2

1

2

1

Que es conocida como la Ley de Conservación de la Energía.

Para el caso en que VF

decimos que el campo de fuerzas es conservatorio

porque la energía total que es la energía cinética más la energía potencial se

conserva constante.

Sabemos que 0Ggradrot

en nuestro caso 0 UxUxFrot

así que para que un campo sea conservativo basta mostrar que su rotacional es

cero.

Ejemplo: El campo gravitatorio de la tierra.- la tierra atrae a una partícula de masa

m con la fuerza zmgkmggmF ˆ donde g

es la aceleración local de la

gravedad y zk ˆ es el vector vertical unidad apuntando hacia arriba. Si una

partícula es lanzada con rapidez inicial OV desde una altura hz ¿conque

rapidez llegará al suelo?

Solución.

VmgzF

101

mgzV Por conservación de energía

ghVV

ghVV

mgmVmghmV

Of

Of

fO

2

2

02

1

2

1

2

22

22

Ejemplo: El campo gravitatorio del sol. Una partícula de masa m es atraída por el

sol de masa M con la fuerza r

r

r

mMF

2 donde r es la distancia de m hasta

el centro del sol, r

r

es un vector unitario radial y la constante de gravitación.

Puesto que:

r

Mmr

r

MmF

r

rr

2

Por lo tanto, el campo gravitatorio del sol tiene la energía total constante:

Ur

MmmV

2

2

1

Ejemplo: Un aerolito de masa m está en reposo cuando 0, Ur . Si entra al

campo gravitatorio del sol, llegará a la superficie con una rapidez iV tal que rR

02

1 2

1 r

MmmV

102

R

MV

21

Si M y R denotan la masa y radio de la tierra, la expresión anterior dará la

rapidez 1V con la cual un aerolito entra a la atmosfera. Cerca de la superficie de la

tierra:

2R

Mg

Y gRV 21

Recíprocamente, para que una partícula abandone la tierra, debe ser lanzada con

una rapidez mínima 1V (no considerando la resistencia del aire). A iV se le llama

rapidez de escape.

103

6. Teorema de la Divergencia.

La integral de superficie de una función F

sobre el contorno de una superficie

cerrada, es igual a la integral de la divergencia de F

sobre el volumen limitado por

la superficie.

S V

dVFdivdsnF

ˆ

Ejemplo: Calcular la integral de superficie de la función zxyxxzyxF 223 ,,,,

siendo S el cilindro 222 ayx limitado por los planos bzz ,0

Solución

2222

223

53 xxxx

z

zx

y

yx

x

x

z

Fz

y

Fy

x

FxFFdiv

De aquí

badzaa

dza

xsenaxax

axa

xdxdzxax

dydxdzxdVxdVFdivdsnF

b

abb a

S V

b a xa

V

2

0

22

00

12222

322

0 0

222

0 0 0

22

16

5

285

8455

55ˆ22

104

7. Teorema de Green en el plano.

Este teorema establece una relación entre una integral circuital y una doble

integral.

Consideremos una región plana R limitada por una curva cerrada C , talque

cualquier recta paralela a los ejes de coordenadas, corte a la curva en solamente

dos puntos. Si yxP , es una función definida y continúa para cada punto de R ,

obtendremos:

PdxdxyxPdxyxPdxyxPyxPdxdy

y

P b

a

a

b

b

a2112 ,,,,

En la misma forma si yxQ , es otra función definida y continua en R :

Qdydxdy

x

Q Por lo que

QdxPdxdxdy

Y

p

X

Q

Que es el teorema de Green.

105

Ejemplo: Aplicar el teorema de Green para encontrar el valor de la integral

circuital ydyydxx2 a lo largo de la curva cerrada formada por xy 2 , xy ,

entre 0,0 y 1,1

Solución

En este caso

1

0

631

0

22

2

2

28

1

3

1

0,

,

dyyydydxxydyydxx

x

Qx

y

P

yQyxP

Ejemplo: Comprobar el resultado calculando la integral circuital directamente

Solución.

A lo largo de la recta xy

1

0

32

4

3xdxdxxydyydxx

A lo largo de la curva 2

1xY

106

1

0

21

21

25

2

14

11

2

1dxxxdxxydyydxx

Y la suma da el valor de la integral circuital

28

1

14

11

4

3

107

8. Teorema de Stokes.

La integral circuital de la componente tangencial de un vector, tomada alrededor

de una curva simple C , es igual a la integral de superficie de la componente

normal del mismo vector, tomada sobre cualquier superficie que tiene a C como

periferia.

S

S

S

sdFrot

dsnF

sdFrdF

ˆ

notas de cálculo vectorial

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