cálculo vectorial avanzado

FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURA

EscuelaProfesionaldeIngenieríaElectrónicayTelecomunicaciones

Mag.LuisMarcosDelzoVivas

CicloIII

Dirección Universitaria de Educación a Distancia

CálculoVectorialAvanzado

©UniversidadAlasPeruanasDirecciónUniversitariadeEducaciónaDistancia(DUED)CalleLosLirios144,SanIsidro.Lima‐PerúTeléf.(511)422‐1808http://[email protected]áficosdelaUniversidadAlasPeruanasAv.SanFelipe1109,JesúsMaría.Lima‐PerúTeléf.(511)266‐0195Derechos reservados. No está permitida la reproducción total o parcial de la obra porcualquiermediooprocedimiento,comprendidoslareprografía,eltratamientoinformáticoyelectrónicosinlaautorizacióndelaUniversidadAlasPeruanas.2011

CálculoVectorialAvanzado●Guíadidáctica

5

1. Presentación de la Guía didáctica

2. Presentación del docente-tutor

3. Introducción a la asignatura

4. Objetivos/Competencia y capacidades

5. Requisitos

6. Contenidos

7. Fuente de información

8. Medios didácticos

9. Actividades

10. Evaluación

11. Orientaciones para el estudio

12. Orientaciones para las tutorías

Esquemadecontenidos


6

Estimado alumno:

Reciba usted una cordial bienvenida de la Facultad de Ingenierías y Arquitectura de la

Universidad Alas Peruanas.

La Universidad Alas Peruanas presenta el modelo educativo de estudios a distancia,

en el cual el estudiante es el protagonista de su éxito.

Esta Guía didáctica es el material autoinstructivo que le orientará en el estudio de la

asignatura de Cálculo Vectorial Avanzado y cuyo fiel cumplimiento de sus

instrucciones permitirá culminar exitosamente su estudio.

Al utilizar la guía debe tener en cuenta las siguientes recomendaciones:

Lea detenidamente este documento y utilícelo en todo su proceso de estudio,

consúltelo cada vez que sea necesario.

En caso de buscar un tópico específico, no dude en vez el índice en la parte

inicial de esta guía, el mismo que le facilitará la rápida ubicación del tema o

aspecto a consultar.

Recuerde: cuenta con el apoyo de sus profesores en general, y docente o

tutora particular, para alcanzar los objetivos planteados en este curso y lograr

la aprobación del mismo.

Esperamos que usted tenga éxito en la tarea emprendida y le deseamos buena

1.PresentacióndelaGuíadidáctica


7

La Universidad Alas Peruanas, por intermedio de la Dirección Universitaria de

Educación a Distancia (DUED), tiene a bien presentarle al magíster Luis Marcos Delzo

Vivas quien ha elaborado el presente material didáctico de acuerdo a las

características de ésta modalidad educativa.

El profesor Delzo es licenciado y magister en Matemática Pura, sus estudios los hizo

en la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Nacional Mayor de San

Marcos, de la cual también fue profesor asociado.

Actualmente, el profesor Delzo es docente de la Facultad de Ingenierías y Arquitectura

de la Universidad Alas Peruanas desde hace 11 años, tiene a su cargo los cursos de

Matemática II, Cálculo Vectorial Avanzado y Cálculo IV en la modalidad presencial.

El profesor Delzo está a su servicio siempre que sea requerido.

2.Presentacióndeldocente‐tutor


8

Cálculo Vectorial Avanzado es un curso de tercer ciclo de la Carrera Profesional de

Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones, contiene temas básicos del cálculo

superior que todo ingeniero electrónico debe conocer.

Datos informativos:

Asignatura : Cálculo Vectorial Avanzado

Ciclo Académico : III Ciclo

Créditos : 04

Naturaleza : Obligatorio

Requisitos : Matemática Básica II

El curso proporciona al estudiante los conceptos matemáticos necesarios para que

éstos puedan continuar con los siguientes cursos de matemática y otros de la

especialidad que le requiera.

Como todo curso de matemática el curso teórico – práctico; en la parte teórica se

fundamenta los conceptos matemáticos y sus teoremas correspondientes, la parte

práctica básicamente consiste en resolver los problemas que se propone en cada

unidad didáctica.

El curso está organizado en cuatro unidades didácticas:

a. Unidad de Aprendizaje I

Sistema de Coordenadas e Integrales múltiples.

En esta unidad se estudian algunos sistemas de coordenadas diferentes de las

rectangulares y sus aplicaciones al cálculo de integrales dobles y triples.

3.Introduccióna laasignatura


9

b. Unidad de Aprendizaje II

Funciones Vectoriales y Curvas en el Plano y el Espacio

En esta unidad se estudian las curvas vía las funciones vectoriales de una

variable.

c. Unidad de Aprendizaje III

Campos Vectoriales e Integrales Curvilíneas

Los campos vectoriales y sus operadores diferenciales, las integrales

curvilíneas son los temas que se desarrollan en esta unidad.

d. Unidad de Aprendizaje IV

Integrales de Superficie, Teorema de Green, Teorema de Divergencia y

Teorema de Stokes

Estos son los temas fuertes del cálculo superior avanzado que se estudian en

esta unidad didáctica.


10

Objetivo General

Generar en el estudiante aptitudes y habilidades para el razonamiento lógico y

capacidad de síntesis, abstracción y generalización a fin de que los conceptos

matemáticos aprendidos, los use en generar modelos aplicados a la electrónica o en la

investigación de algún área de su interés.

UNIDAD DIDÁCTICA

OBJETIVOS GENERALES Semana de

Estudio

Primera Dominar la transformación de un sistema de

coordenadas a otro y aplicarlos correctamente al cálculo de integrales múltiples.

1ra. y 2da.

Segunda Entender lo que son las funciones vectoriales y como éstas definen una curva en el plano y el

espacio. 3ra y 4ta.

Tercera

Entender lo que son los campos vectoriales y sus operadores diferenciales.

Entender lo que son las integrales curvilíneas y como éstas son generalizaciones de las integrales

definidas en un intervalo de reales.

5ta. y 6ta.

Cuarta

Entender el significado de los teoremas de Green, de la Divergencia y Stokes y como éstos relacionan

integrales curvilíneas, integrales dobles y triples.

7ma. y 8va.

4.Objetivos


11

En esta sección se detallan los requisitos mínimos que el alumno debe cumplir para

poder llevar el curso con relación al Plan de Estudios.

Haber aprobado el curso de Matemática Básica II.

En el aspecto académico:

Conocer el cálculo de derivadas e integrales de funciones de una y más

variables.

Dominar la gráfica de curvas en el plano y superficies en el espacio.

Conocer bien las operaciones vectoriales en el plano y en el espacio.

5.Requisitos


12

A continuación les mostramos los contenidos distribuidos por unidades didácticas y

semanas de estudio.

UNIDAD DIDÁCTICA

TEMAS SEMANA DE ESTUDIOS

UNIDAD DE

APRENDIZAJE I

SISTEMA DE COORDENADAS E

INTEGRALES MÚLTIPLES

- Sistema de coordenadas polares - Transformación de coordenadas polares a rectangulares y viceversa - Gráfica de curvas en coordenadas polares - Sistema de coordenadas esféricas y cilíndricas - Transformaciones en el plano y en el espacio - Jacobiano de una transformación - Transformaciones de integrales múltiples - Aplicaciones físicas de las integrales múltiples

1ra. y 2da.

UNIDAD DE APRENDIZAJE II

FUNCIONES

VECTORIALES Y CURVAS EN EL PLANO

Y EL ESPACIO

- Funciones vectoriales - Límites, continuidad y derivada de funciones vectoriales - Curvas en el plano y el espacio - Ecuaciones paramétricas de curvas - Longitud de arco - Vectores tangente, normal y binormal - Curvatura y torsión - Vector desplazamiento y velocidad

3ra y 4ta.

EXAMEN PARCIAL 4ta.

UNIDAD DE APRENDIZAJE III

CAMPOS

VECTORIALES E INTEGRALES CURVILINEAS

- Campos vectoriales y escalares - Derivada de un campo vectorial - Gradiente, divergencia y rotacional de un campo vectorial - Integrales curvilíneas - Propiedades de las integrales curvilíneas - Independencia de trayectoria

5ta. y 6ta.

6.Contenidos


13

UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

INTEGRALES DE

SUPERFICIES T. de Green

T. de la Divergencia T. de Stokes

- Curva simple cerrada y región simple conexa - Teorema de Green - Superficies - Integral de superficie - Integral de flujo - Teorema de la Divergencia - Teorema de Stokes

7ma. y 8va.

EXAMEN FINAL 8va.


14

A continuación se detalla las fuentes de información que usted podrá usar:

a. Biblografía Básica

Es el material de estudio obligatorio. Su lectura y comprensión es fundamental

para lograr los objetivos del curso.

Nuestro Texto

b. Bibliografía Complementaria

1. W. Swokowsky Earl (1980).Cálculo con Geometría Analítica. Segunda

Edición. Grupo Editorial Iberoamérica. México D.F.

2. Leithold Louis (2009). El Cálculo. Séptima Edición. Hoxford – Harla.

México D.F.

3. Mitacc Meza Máximo (2005). Cálculo III. Cuarta Edición. Editorial Thales

S.R.L. Lima.

4. Kreyzig Erwin (2003). Matemática Avanzada para Ingenieros: T.I.

Tercera Edición. Editorial Limusa Wiley. México D.F.

5. Larson Rom (2006). Cálculo de Varias Variables. Editorial McGraw–Hill.

México D.F.

c. Bibliografía Complementaria

Direcciones de la web, que brindan información adicional, incluidos

ejemplos resueltos y propuestos, que podrán ayudar a la mejor

comprensión del curso para verlos, buscarlos en el campo virtual.

7.Fuentesdeinformación


15

Pasaremos a especificar aquellos medios que utilizaremos en el desarrollo del curso.

1. IMPRESOS

- La Guía didáctica

Requiere de la lectura obligatoria por parte de usted para iniciar adecuadamente

su estudio. Recuerde que deberá consultarla cada vez que tenga dudas sobre

algún ítem del curso.

- Las unidades didácticas

Son los contenidos del curso. Las unidades didácticas desarrollan los temas del

sílabo del curso, cuyo conocimiento es obligatorio. Las unidades didácticas las

encontrará en el presente texto.

2. CAMPUS VIRTUAL

Es el espacio disponible en Internet, adonde usted va a ingresar con un usuario y

clave que le serán entregados en el momento de su matrícula, en la Coordinación de

su Unidad Descentralizada.

En el Campus Virtual encontrará las Aulas Virtuales (una por cada curso en que se

haya matriculado).

8.Mediosdidácticos

Ruta Web del Campus Virtual: http://dued.up.edu.pe


16

En cada aula virtual usted visualizará:

(NOMBRE Y CÓDIGO DEL CURSO) CICLO 20XX-X

Docente:

Correo electrónico (e-mail):

Orientaciones generales del curso

En esta opción se descargará un archivo con información importante que lo

ayudará en el desempeño del curso.

Cronograma del curso

Aquí tiene usted el Cronograma de evaluaciones (examen parcial, final,

sustitutorio y trabajo académico) y el horario del curso.

Visualizar tutorías grabadas

En esta opción podrá visualizar las tutorías grabadas del curso, previa

ubicación de la fecha de la tutoría programada.

Ingrese al Foro

En esta sección se realizarán los debates académicos definidos para el curso: el

docente planteará temas a ser discutidos, con la finalidad de profundizar o


17

aclarar temas de la asignatura. Usted puede participar del foro cuando lo

requiera, además, planteando sus dudas o comentando sobre lo aprendido.

Anotaciones

Es esta sección, el alumno registrará dos tipos de anotaciones:

privadas, a manera de recordatorio, asignándoles prioridades (alta,

normal o baja)

al coordinador, consignando sugerencias, reclamos o incidencias a

manera de reporte al coordinador de carrera.

Sala de conferencias

Es el espacio en el cual usted encontrará al tutor para recibir su asesoramiento

en línea, para intercambiar opiniones, preguntas y respuestas acerca del curso.

Los horarios de tutoría están especificados en esta sección. Tenga en cuenta

que a esta sala ingresan de todos los participantes. Recuerde, además, que:

1. Para utilizar adecuadamente esta sala debe tener conectados audífonos o

parlantes y micrófonos.

2. Debe instalar con anticipación el programa de la Sala de conferencia.

3. Debe ingresar a la sala identificándose con su nombre completo (nombres y

apellidos).

Además, se recomienda:

1. Prestar atención a las instrucciones durante la charla para mantener el orden

dentro de la sala.

2. Leer el manual de uso de la sala.

Biblioteca virtual

Con el objetivo de brindar formación integral a la comunidad universitaria, en

esta sección se proporciona acceso a bibliotecas virtuales de reconocido

prestigio.

El procedimiento de acceso y adecuada comunicación a través de la Sala de conferencias seencuentradetalladoenelapartadodelaGuíadidácticatitulado«Orientacionesparalastutorías».


18

Compañeros del curso

Este icono muestra la lista de alumnos matriculados en el curso, sus fotos y

correos, para que usted pueda relacionarse con ellos y realizar también trabajos

grupales.

Descargar examen

Para descargar el examen, parcial, final o sustitutorio, a desarrollar.

Envío de exámenes

Para enviar el examen previamente comprimido.

Enviar trabajo académico

Se emplea para enviar los trabajos académicos en los plazos establecidos.

Visualizar trabajos enviados

En esta opción puede asegurarse de que su trabajo fue correctamente enviado.

Visualizar notas

Con este enlace puede ir viendo las calificaciones del curso.

Material del curso

En esta opción encontrará la presentación del docente, ayudas y enlaces

interesantes que ingrese el docente.

En esta sección usted contará con:

Presentación del docente Es la presentación que el docente hace de su asignatura.

Modelo de examen

Es el espacio desde el cual usted podrá descargar un modelo de examen,

de tal forma que pueda prepararse adecuadamente para su evaluación. El

modelo de examen, como bien dice su nombre, es una demostración de la

forma en que vendrá elaborado el examen original.


19

Trabajo académico

Es el espacio en el Aula Virtual en el que usted podrá descargar el trabajo

académico obligatorio que necesita desarrollar y entregar en el plazo que

figura en el «Calendario de evaluación». No olvide descargarla para que

pueda elaborarla.

Ayudas En este espacio usted podrá descargar o compartir las ayudas que se

colocarán cada semana de estudio para reforzar o complementar sus

conocimientos; ellos son parte de las evaluaciones del presente curso.

También usted puede descargar los ejercicios que se resuelven en cada

tutoría o cualquier ejercicio de consulta formulada por los participantes.

Autoevaluaciones

Aquí el docente colocará preguntas, problemas o ejercicios que usted

desarrollará para asegurarse que su nivel de comprensión de los temas

desarrollados cada semana es adecuado.

Enlaces interesantes

Es el espacio en el que el docente colocará rutas o enlaces a páginas web,

con temas de la semana.

Además:

En la parte inferior de cada aula virtual verá:

Tiene un cuadro con los nombres de todas las autoridades de su Facultad.

Para que usted pueda realizar sus pedidos.

Con todos los documentos que usted deberá conocer para cumplir con sus

obligaciones, ejercer sus derechos, cumplir con las normas de su Facultad, así

como efectuar trámites siguiendo las instancias apropiadas, para evitarse

inconvenientes, frustraciones o demoras


20

Con todos los programas que usted deberá trabajar:

3. CORREO ELECTRÓNICO

Es el medio de comunicación que utilizará para comunicarse con el docente

planteándole sus dudas o comentarios al respecto de los temas del curso. Si usted

tiene algún inconveniente con sus notas, trátelo a través de este medio; la Universidad

le ha proporcionado un correo electrónico que tiene la siguiente estructura:

donde «código» es el número de matrícula que la Universidad le asignó.

Ejemplo:

La clave debe solicitarla en la Coordinación de su Unidad Descentralizada luego de

haber efectuado su pago de matrícula y primera cuota, y haberse matriculado en la

coordinación de la Escuela.

código @alu.uap.edu.pe seguido de

[email protected]


21

a. Trabajo académico

Su cumplimiento en cuanto al desarrollo adecuado y entrega oportuna es de

carácter obligatorio, es decir según lo programado en el Aula Virtual; usted debe

desarrollar y los detalles pertinentes que usted necesitará conocer para

realizarla, teniendo en cuenta la fecha límite para la presentación, pudiendo

antes del plazo, consultar con el docente.

Recuerde que el trabajo académico solamente la encontrará en su Aula Virtual.

9.Actividades

IMPORTANTE

Estimado alumno: Usted remitirá el trabajo académico (actividad obligatoria) a más tardar en la sétima semana de estudios:

Publicándolo en el Campus virtual: el alumno ingresa su trabajo académico en el aula virtual del curso, usando el enlace o link:

Una vez que haya ingresado a la opción señalada en la imagen, siga las indicaciones.

Recuerde verificar que el trabajo académico se ha publicado correctamente a través de la opción:

Al publicar su trabajo debe considerar lo siguiente: o El archivo que envía debe estar comprimido (formato WinZip ) y no ser mayor a 4 Mb. o Debe tener como nombre la siguiente estructura:

[Código de alumno].zip Por ejemplo: 20032001549.zip

No se aceptará el trabajo académico después de la fecha límite o entregado mediante cualquier vía diferente de la aquí mencionada.

Las actividades que se encuentran en el texto servirán para su autoaprendizaje, mas no para la calificación, por lo que no deberán ser remitidas. Usted solo deberá realizar y remitir el trabajo académico obligatorio que se le indica en el Aula virtual.

Evite las sanciones académicas por plagio: Internet deber ser únicamente una fuente de

consulta.

i


22

b. Actividades sugeridas y autoevaluaciones

Las actividades sugeridas y las autoevaluaciones las encontrará en cada Unidad

Didáctica así como el correspondiente solucionario. .

En este caso no hay entrega de trabajos aplicativos, pero estamos seguros de

que los ejercicios propuestos por resolver afianzarán lo aprendido y ayudarán de

buena forma a conseguir el éxito que se busca.


23

La evaluación valora y mide los logros del aprendizaje en función de los objetivos

propuestos en el curso. Para ello, se tiene en cuenta una evaluación esencialmente

formativa, que permita formar juicio o calificación y que nos lleve a tomar decisiones

de mejora.

El procedimiento de evaluación está basado en la aplicación de pruebas y la

presentación del Trabajo Académico Obligatorio.

Los instrumentos de evaluación son:

o Un (01) Examen Parcial y un (01) Examen Final, los que se rendirán en forma

virtual en la 4.ª y 8.ª semanas, respectivamente; de acuerdo al cronograma del

curso (disponible en el campus virtual).

Los exámenes serán de tipo mixto, incluyendo aspectos teóricos y prácticos. En la

elaboración de la prueba se incluirán ítems de Verdadero-Falso, completar la frase

y de solución de casos que corresponderán propiamente al examen. El puntaje

asignado a cada pregunta será de acuerdo a la importancia y grado de dificultad, y

su especificación estará indicada en la hoja de preguntas.

Los exámenes serán programados en las fechas indicadas en el campus virtual,

para ser descargados en las fechas indicadas en el cronograma del curso.

o Un (01) Examen sustitutorio. El alumno podrá rendir un Examen Sustitutorio, el que

será único, abarcará todo el curso y cuya nota reemplazará al examen de más baja

nota o a aquel en el cual no haya sido evaluado. Este examen se aplicará en la

decimoctava semana

Procedimiento para descargar y enviar el examen

1. Ingresar al curso según la programación de evaluación 2. Hacer clic en la opción descargar examen

3. Desarrollar el examen y guardarlo con el nombre apellido_nombre 4. Enviar el examen a través del campus con la opción envió de examen. El

archivo debe estar previamente comprimido para adjuntar.

10.Evaluación


24

5. Si la opción no está habilitada es porque no está al día en sus pagos 6. Si ha cancelado en el banco y aun se muestra la opción deshabilitada enviar su

examen al correo del docente adjuntando el boucher escaneado. Indicar en el correo los datos: semestre, sección, curso, UDED, código y nombre de alumno. NOTA: solo serán corregidos aquellos que adjunte el Boucher escaneado.

Forma de calificación

Las pruebas se calificarán teniendo en cuenta el planteamiento de la pregunta o caso,

el criterio utilizado y la respuesta e interpretación de ser el caso. La escala de

evaluación es de 0 a 20.

La autoevaluación al final de cada unidad, por los objetivos que persigue, no recibe

puntuación en el promedio final.

El Trabajo académico (TA) es la actividad obligatoria presentada por el alumno.

Para el Promedio Final (PF), el porcentaje de criterios evaluativos es el siguiente:

Donde: PF= Promedio Final. TA= Trabajo Académico. EP= Examen Parcial. EF= Examen Final.

Inasistencias a exámenes, el alumno que no rinda alguno de los exámenes parcial o

final podrá rendir el examen sustitutorio para reemplazar dicha nota.

Observación a evaluaciones, todo estudiante podrá presentar, previa coordinación

con su tutor, observaciones a alguna de sus calificaciones dentro de los 07 días

siguientes a la publicación de los resultados. Para ello, utilizará preferentemente el e-

mail; de no ser posible lo hará por correo postal. La respuesta a su solicitud es

inapelable.

PF=30%TA+35%EP+35%EF


25

Para organizar el desarrollo académico del curso mediante el estudio de las unidades

temáticas, es necesario que el alumno tenga presente lo siguiente:

Decida su horario de estudios

Realice el estudio y análisis del material didáctico y textos bibliográficos

Es necesario recordar que estos materiales son un medio fundamental para el

aprendizaje, de acuerdo a una organizada planificación personal de estudio

usted podrá aprovechar al máximo la información que en ellos se encuentra,

fundamental para alcanzar los objetivos propuestos.

Contará con un glosario de términos que ayudará en la comprensión y

explicación específica en algunos casos al tratar un nuevo tema.

11.Orientacionesparaelestudio


26

Con relación a las tutorías telemáticas

Es el espacio virtual donde el docente resolverá las inquietudes y profundizará los

conocimientos que usted necesita adquirir o dominar en la presente asignatura.

La comunicación con el docente se realizará a través de la sala de conversación, en

los horarios que usted encontrará en el campus virtual.

Antes de comunicarse con el docente a través de la sala de conversación, usted

deberá preparar:

Las preguntas de los temas que usted considere de difícil comprensión.

Comentarios al docente para profundizar algunos conocimientos o para

consultar los conocimientos que usted considere conveniente.

Se le recuerda que debe tener presente estas consideraciones cuando acuda a la

tutoría telemática:

1. Haga primero el intento de solucionar sus inquietudes estudiando con seriedad,

consultando la bibliografía pertinente e intercambiando opiniones con sus

compañeros, etc. Si después de ello persiste su duda, haga preguntas

específicas y no del tema en general. De lo contrario, indicaría que no está

haciendo su mejor esfuerzo para aprender.

2. Formule sus preguntas de forma concreta y precisa. Esto ayudará a que el tutor

esté en mejores condiciones para atenderlo y evitar confusiones innecesarias.

3. No haga preguntas rebuscadas o que no sean pertinentes al tema. El tiempo es

un recurso valioso para todos.

4. Respete el horario establecido para la tutoría. Si usted estudia a último minuto, lo

más probable es que no podamos atender sus requerimientos de la misma

forma. Por eso, se le sugiere elaborar y cumplir un horario de actividades con la

finalidad de que esto lo ayude a organizarse en su estudio, prácticas y

evaluaciones.

12.Orientacionesparalastutorías


27

5. Como estudiante de la carrera de Ingeniería de Sistemas e Informática debe

contar con las herramientas y equipos para usar en las tutorías y evaluaciones:

PC

Internet

Audífonos/parlantes y micrófono

Cámara Web

Convenciones

El tutor estará esperando su participación en la Sala de Conferencia, según el horario

de tutoría virtual del presente curso.

A continuación se muestran los acuerdos para lograr una mejor comunicación a través

de la Sala de Conferencia:

Si usted desea formular preguntas, en sala de conferencia debe tener audífonos o

parlantes y micrófono. Haga clic en el icono mano para que el docente le

autorice a plantear una interrogante o su comentario. Automáticamente se

visualizará el orden de las participaciones de cada alumno(a).

Si usted está escribiendo un mensaje en la sala de chat de la Sala de conferencia

y no tiene la posibilidad de escribir más caracteres, coloque al final tres puntos

suspensivos (…) y envíe este mensaje a la sala de texto, esta señal le indicará a

todos los participantes que usted no ha culminado con su participación, sino que

seguirá escribiendo otro nuevo mensaje; por ende, todos estará a la expectativa

de lo que usted siga escribiendo.

Utilice la Sala de conferencia para temas académicos, si usted tiene alguna

pregunta sobre su calificación, haga su consulta a través del correo electrónico al

tutor de la asignatura.

¡Éxitos!

El libro de texto resulta bueno e interesante, porque conjuga la experiencia y conocimientos del docente sobre la materia y la compilación de información de diversas fuentes (bibliográficas y/o electrónicas) cuidadosamente seleccionadas y citadas. Se hace la presente aclaración a fin de deslindar responsabilidades por plagio literario.

UnidaddidácticaI

SISTEMADECOORDENADASEINTEGRALESMÚLTIPLES

CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI

5

I Unidad didáctica:

Sistema de Coordenadas e

Integrales Múltiples

1.1. Sistema de coordenadas polares

1.2. Transformación de coordenadas rectangulares a polares

y viceversa

1.3. Gráfica de curvas en coordenadas polares

1.4. Sistema de coordenadas en el espacio

1.5. Coordenadas esféricas

1.6. Coordenadas cilíndricas

1.7. Transformaciones en el plano y en el espacio.

Coordenadas curvilíneas

1.8. Jacobiano de una transformación

1.9. Transformaciones de integrales múltiples

1.10. Aplicaciones físicas de las integrales múltiples

Esquemadecontenidos

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7

Un sistema de coordenadas es un sistema de referencias que permite ubicar puntos

en el plano y el espacio; en particular, un sistema de coordenadas cartesianas o

rectangulares en el plano consiste en dos rectas mutuamente perpendiculares donde

un punto queda ubicada por sus distancias dirigidas a éstas rectas; en el espacio un

sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares consiste en tres planos

mutuamente perpendiculares donde un punto queda determinado por sus distancias a

estos planos.

La geometría analítica es justamente el estudio de la geometría clásica euclideana

usando métodos algebraicos donde la relación entre algebra y geometría, es la

correspondencia entre punto y par ordenado, terna ordenada de números reales

(coordenadas rectangulares del punto).

Casi toda la geometría analítica que hemos estudiado se hace en coordenadas

rectangulares; sin embargo, hay curvas y superficies que en coordenadas

rectangulares es muy difícil estudiarle, en estos casos es preferible usar otros

sistemas de coordenadas como las coordenadas polares en el plano y las

coordenadas esféricas y cilíndricas en el espacio.

Introducción

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8

1.1.

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9

Como r OP es longitud dirigida, entonces el punto ( , )P r se

considera como el punto simétrico con respecto al polo del punto ( , )P r , tal

como se muestra en la Fig. 2.

1.2. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES Y

VICEVERSA

Sean ( , )x y y ( , )r las coordenadas rectangulares y polares de un pto.

P respectivamente; si el origen de coordenadas y el polo, el semieje positivo X

y el eje polar coinciden tal como se muestra en la Figura 3, entonces del gráfico

se deduce el siguiente teorema.

Teorema 1

De lo anterior las relaciones de transformación se puede resumir en lo

siguiente:

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10

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ara P


11

también 2r y º5 3003

son coordenadas polares del punto P, lo cual se

muestra en la Figura 5 ; como los ángulos y 2n , n Z son coterminales,

entonces ( 2 , 2 )n son también coordenadas polares de P ; de lo anterior

podemos observar que el punto P tiene infinitas coordenadas polares.

Ejercicio 2

Ubique el punto 3 , 23

P

en el plano polar y mostrar dos coordenadas polares

diferentes de la dada para el punto P.

Solución

Ubicamos el punto 3 , 23

P

en el plano polar, el punto 3 , 2

3P

es su

simétrico con respecto al polo tal de P’ como se muestra en la Figura 6.

Escue

12

tamb

se m

Ejerc

Halle

polar

Solu

Com

tiene

luego

elaProfesional

bién 3r ,

muestra en la

cicio 3

e las coord

res.

ción

mo 2r y

e: ( 2)x

( 2)y

o 1 , 3

deIngenieríaE

3

y r

a Figura 7.

denadas re

23

, e

cos 2 (3

) 2 (3

sen

son las coo

ElectrónicayT

3 , 5

ctangulares

entonces d

12)

2

32)

2

ordenadas r

Telecomunicaci

3

son coor

s del punto

de acuerdo

1

3

rectangulare

iones

rdenadas p

o 2 , 2P

a las fórm

es del punto

polares del p

3

dado e

mulas de tra

o P

punto P tal

en coorden

ansformació

como

nadas

ón se


13

Ejercicio 4

Halle las coordenadas polares del punto 2 3 , 2P dado en coordenadas

rectangulares.

Solución

Como 2 3x e 2y

entonces: 222 3 2 4r

como 2 1

2 3 3tg

y C

entonces: º5 1506

luego las coordenadas polares del punto P son 4,56

Ejercicio 5

Halle la ecuación polar de la recta:

: 0x y L

Solución

Como cosx r e y rsen , entonces cos 0r rsen

simplificando y reduciendo obtenemos 1tg de donde 34

luego la ecuación polar de la recta dada es 34

Escue

14

Ejerc

Halle

Solu

Reem

cons

tanto

pued

exist

Ejerc

Halle

Solu

Com

polar

elaProfesional

cicio 6

e la ecuació

:C x

ción

mplazando

2r

siderándola

r

o (1) como (

de observar

tencia de r

cicio 7

e la ecuació

ción

mo 2 2r x

r de la circu

deIngenieríaE

ón polar de

2 2 4x y x

cosx r

4 cos 6r

como una e

(4cos 6s

(2) con un s

r que r f

( )f .

ón polar de

2y , entonc

unferencia C

ElectrónicayT

la circunfer

6 4 0x y

e y rsen

6 4rsen

ecuación de

) (4

2

sen

solo signo e

( )f , el teo

la circunfer

ces 2 4r d

C.

Telecomunicaci

encia:

0

en la ec

0

e segundo g

4cos 6sen

es la ecuac

rema de la

encia: :C x

de donde r

iones

cuación ten

(

grado en r

2) 16n

ción polar d

“función im

2 2 4x y

2r o r

emos:

(1)

tenemos:

(2)

e la circunf

mplícita” en

2 , ambas

ferencia C d

(1) garant

son la ecu

de (2)

iza la

ación


15

Ejercicio 8

Halle la ecuación polar de la circunferencia: 2 2 2 4 0C x y x y

Solución

Como cosx r e y rsen , remplazando en la ecuación dada se tiene

2 2 cos 4 0r r rsen de donde 2cos 4r sen , ésta es la ecuación polar de la

circunferencia C.

Ejercicio 9

Halle la ecuación polar de la hipérbola: 2 2: 16H x y

Solución

Reemplazando cosx r e y rsen en la ecuación tenemos:

2 2 2 2cos 16r r sen

ó 2 2cos 2 16r (1)

despejando

r : 4 sec 2r (2)

tanto (1) como (2) con un solo signo es la ecuación polar de la hipérbola dada.

Ejercicio 10

Halle la ecuación rectangular de la curva: : 4C r sen

Solución

Como

2 2r x y y 2 2

ysen

x y

Escue

16

enton

simp

Com

(0,2)

Ejerc

Halle

Solu

Com

enton

elimi

elaProfesional

nces:

2x

plificando se

2x

ó x

mo podemos

) y radio 2.

cicio 11

e la ecuació

:C r

ción

mo

r

nces:

2x

nando los r

2(x

deIngenieríaE

2 2 4y

e tiene

2 4y y

2 2( 2)x y

s observar,

ón rectangu

2 (1 cosr

2 2x y y

2 2 2y

radicales ele

2 22 )y x

ElectrónicayT

2 2

y

x y

2 4

la ecuación

lar de la cu

s )

y cos

2 22

x

x y

evando al c

2 24(x y

Telecomunicaci

n dada repr

rva:

2 2

x

x y

2

cuadrado y

)

iones

resenta a u

simplificand

na circunfe

do se tiene:

erencia de c

centro


17

Como puede observarse, ésta ecuación es de cuarto grado en x e y , es muy difícil

estudiarla en coordenadas rectangulares por eso es preferible hacerlo exclusivamente

en coordenadas polares. Esta curva llamada cadioide la veremos luego.

1.3. GRÁFICA DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES

Sea la curva : ( )C r f , para graficar C se siguen los siguientes pasos:

1. Intersecciones con los ejes polar y de 90

a. Con el eje polar, resolver la ecuación ( ),r f n n Z

Y obtener los valores de r

b. Con el eje de 90, resolver la ecuación 2 1 ,2

r f n n Z

Y obtener los valores de r

2. Simetrías

a. Si la ecuación polar ( )r f no se altera al reemplazar por

hay simetría con respecto al eje polar.

b. Si la ecuación polar ( )r f no se altera al reemplazar por

hay simetría con respecto al eje 90.

c. Si la ecuación polar ( )r f no se altera al reemplazar r por r hay

simetría con respecto al polo.

Escue

18

Ejerc

Grafi

Solu

Sigu

1. Int

a

b

elaProfesional

cicio 12

ique el card

: 2C r

ción

iendo los pa

terseccione

a. Con el e

si 0 ,

si

para mú

luego, la

b. Con el e

si 2

si 32

en valor

intercepc

deIngenieríaE

diode:

(1 cos )

asos dados

es:

eje polar

entonces r

, entonces

ltiplos enter

a curva inter

eje de 90

, entonces

2

, entonce

res múltiplo

ciones con

ElectrónicayT

EJERCI

s para grafic

2(1 cosr

2(1 cor

ros de se

rcepta al eje

2 1 cor

es 2 1r

os impares

el eje polar

Telecomunicaci

CIOS RESU

car curvas e

s0) 4 ,

os ) 0

e repite los

e polar en lo

os 22

,

cos3 22

de 2

se o

r son los pu

iones

UELTOS

en coordena

valores de

os puntos (

2

obtiene el m

ntos 2,2

adas polare

r obtenido

(0, ) y (4,0

mismo valo

y 2,32

es se tiene:

os

0)

or de r lueg

go las


19

2. Simetrías

a. Si , entonces 2(1 cos( ))r

2(1 cos )r

como la ecuación no se altera, hay simetría con respecto al eje polar.

b. Si , entonces 2 1 cos( )r

2 1 cosr

como la ecuación se altera, no hay simetría con respecto al eje de 90.

c. Si r r , entonces 2(1 cos )r

en este caso la ecuación también se altera, luego no hay simetría con respecto

al polo.

3. Hallando algunos valores de r y

Llevando los valores de y r al plano polar se obtiene la gráfica del cardiode

2(4 cos )r .

Escue

20

En

po

Pa

pa

cu

co

1.4.

elaProfesional

n la obtenc

or eso los v

ara termina

ara graficar

urva es co

omplica com

SISTEMA

Com

coordenad

mutuamen

mutuamen

eje X y e

( , , )x y z qu

en la Figu

deIngenieríaE

ción del grá

valores de

ar esta secc

rla es prefer

onocida se

mo en el cas

A DE COOR

mo sabemo

das rectang

nte perpend

nte perpend

el eje Y; a

ue son sus

ra 9.

x

C

ElectrónicayT

fico se ha c

se han co

ción, si una

rible primero

grafica co

so de cardio

RDENADAS

os para fija

gulares se

diculares y q

diculares; u

todo punto

coordenad

z

x

z

FIG. 9

Telecomunicaci

considerado

onsiderado

curva está

o transform

omo en ge

oide, se gra

EN EL ES

ar la posic

considera

que se cort

na vertical,

o P del esp

as rectangu

y

A

P

9

iones

o la simetrí

de 0 a .

á dada por s

marla a coord

eometría an

afica en coo

PACIO

ción de un

sus distanc

an en pares

el eje z y la

pacio le co

ulares y vice

B

ía con resp

su ecuación

denadas re

nalítica; si

ordenadas p

n punto en

cias dirigida

s en tres ej

as otras dos

rresponde

eversa tal c

( ,

( ,

( ,

x d P B

y d P

z d P A

y

ecto al eje

n polar r

ectangulares

la ecuació

polares.

n el espaci

as a tres p

jes coorden

s horizontal

una única

como se mu

)

)

)

B

C

A

polar

( )f

s si la

ón se

io en

lanos

nados

es: el

terna

uestra


21

En general, una ecuación en las variables , ,x y z representa una

superficie; si la ecuación es de segundo grado estas superficies se llaman

superficies cuadráticas.

A continuación estudiaremos dos sistemas de coordenadas en el

espacio: la coordenada esférica y cilíndrica, dada su importancia en el estudio de

algunas superficies y en el cálculo de integrales triples como veremos más

adelante.

1.5. COORDENADAS ESFÉRICAS

Sea la esfera 2 2 2 2: x y z r con centro en el origen de coordenadas

y radio r , si ( , , )P x y z es un punto cualquiera de la esfera en el primer octante

y '( , , )P x y z su proyección sobre el plano XY tal como se muestra en la Figura

10, entonces el punto P puede también ubicarse en términos de los números

,r y donde r OP es la distancia del origen de coordenadas al punto P,

es el ángulo que determina el rayo OP con el semieje positivo Z como lado

inicial y como en coordenadas polares, la terna ( , , )r son las coordenadas

esféricas del punto P.

Escue

22

elaProfesional

Observan

x

como

'OP

x

lo anterior

Teorema 2

Las coord

un punto P

a. x

b. r

do

deIngenieríaE

do el gráfic

'cosOP ,

' rsen , e

cosrsen

r lo resumim

2

denadas rec

P del espac

cosrsen

2 2x y

nde 0,r

x

ElectrónicayT

o vemos qu

'y OP sen

entonces

, y r se

mos en el si

ctangulares

cio, están re

s , y r s

2z , ar

0

x

z

A

F

z

C

O

Telecomunicaci

ue

n y z r

n sen ,

guiente teo

( , , )x y z y

elacionadas

sen sen ,

yrctg

x,

0y

y

z

FIG. 10

z

C ’

O

iones

cosr

cosz r

orema.

las coorde

s por las fór

, cosz r

arccosx

2

B

P

P ’

nadas esfé

mulas:

2 2 2

x

x y z

ricas ( , ,r

y

) de


23

1.6. COORDENADAS CILÍNDRICAS

Sea la superficie cilíndrica

2 2 2S x y r

y ( , , )P x y z un punto del cilindro en el primer octante y '( ,0,0)P x su proyección

sobre el plano XY tal como se muestra en la Figura 11.

del gráfico podemos deducir:

cosx r , y rsen y z z

la terna ( , , )r z son las coordenadas cilíndricas del punto P ; lo anterior lo

resumimos en el siguiente teorema.

Teorema 3

Si ( , , )x y z y ( , , )r z son las coordenadas rectangulares y cilíndricas de

un punto P del espacio, entonces

a. cosx r , y rsen , z z

Escue

24

Ejerc

Halle

coord

Solu

A co

como

como

como

luego

elaProfesional

b. r

A co

coordenad

ecuacione

respectiva

cicio 13

e las coord

denadas re

ción

ordenadas

o 2r x

o arcco

o arc tg

o 2,3 ,74

deIngenieríaE

2 2x y

ontinuación

das tenien

es de un

amente.

denadas e

ctangulares

esféricas:

2 2y z , e

sz

r

, en

ygx

, ent

4

son la

ElectrónicayT

2z , ar

resolverem

do presen

na superfic

EJERCI

esféricas y

s.

entonces: r

tonces:

tonces:

as coordena

Telecomunicaci

yrctg

x, don

mos ejercic

nte que F

cie en co

CIOS RESU

cilíndricas

2 21 1r

arccos

1

1arc tg

adas esféric

iones

nde 0r y

cios referen

( , , ) 0F r

oordenadas

UELTOS

s del punto

2

2 2

2 3

2 4

74

cas del pun

y 0 2

tes a la tra

0 y ( , ,F r

s esféricas

o 1, 1,.P

2

nto P .

ansformació

, ) 0z son

s y cilínd

2 dad

ón de

n las

dricas

o en


25

A coordenadas cilíndricas:

como 2 2r x y , entonces 2 21 1 2r

como y

arc tgx

, entonces 1 34

arc tg

luego 2 , 3 , 24

, son las coordenadas cilíndricas del punto P.

Ejercicio 14

Halle las coordenadas rectangulares del punto 2, ,6 4

P

dado en coordenadas

esféricas.

Solución

Como 2r , 6

y 4

entonces:

1 2 22 cos 2

6 4 2 2 2x sen

1 2 22 s 2

6 4 2 2 2y sen en

32cos 2 3

6 2z

luego 2 2

, , 32 2

son las coordenadas rectangulares del punto P.

Escue

26

Ejerc

Halle

esfér

Solu

Pasa

luego

Pasa

luego

elaProfesional

cicio 15

e las coorde

ricas.

ción

ando primer

x

y

z

o 1 , 0 ,

ando a coor

r

o 1 , ,

deIngenieríaE

enadas cilín

ro a coorde

2 34

sen

2 34

sen

2 cos 34

1 son las c

rdenadas ci

2 21 0 1

1 son las c

ElectrónicayT

ndricas del

nadas recta

cos

sen

24

coordenadas

líndricas:

1 , arctg

coordenada

Telecomunicaci

punto P

angulares:

22 1

2

22 0

2

21

2

s rectangula

0

1g ar

s cilíndricas

iones

2,3 ,4

1 1

0

ares del pu

0rctg

s del punto

que está

nto P.

P.

en coordennadas


27

Ejercicio 16

Halle la ecuación rectangular de la superficie 4r dada en coordenadas esféricas.

Solución

Como 2 2 2r x y z , entonces 2 2 2 4x y z de donde 2 2 2 16x y z

luego la superficie 4r es la esfera 2 2 2 16x y z

Ejercicio 17

Identifique la superficie cuya ecuación en coordenadas polares es 9secr

Solución

Transformando a coordenadas rectangulares

como 2 2 2r x y z y 2 2 2

cosz

x y z

reemplazando en la ecuación dada

2 2 2

2 2 2

9 9

cosx y z

z

x y z

simplificando y reduciendo se tiene

9z

esta superficie es un plano paralelo al plano XY

Escue

28

Ejerc

Ident

Solu

Tran

simp

comp

ésta

Ejerc

Grafi

Solu

Tran

simp

comp

ésta

al eje

elaProfesional

cicio 18

tifique la su

r

ción

sformando

2x

plificando y r

2x

pletando cu

2x

ecuación c

cicio 19

ique la supe

ción

sformando

2x

plificando y r

2x

pletando cu

(x

ecuación c

e Z tal como

deIngenieríaE

uperficie cuy

6r sen s

a coordena

2 2 2y z

reduciendo

2 2 6y z

uadrados

23y

corresponde

erficie cuya

la ecuación

2 2 4y

reduciendo

2 4 0y x

uadrados

2 22) y

corresponde

o se observ

ElectrónicayT

ya ecuación

3 cossen

adas rectan

26

y

x y

se tiene:

6 3 0y z

23 4

2z

e a una esfe

ecuación e

n dada a co

2 2

x

x y

0

4

e a una sup

va en la Figu

Telecomunicaci

n en coorde

s

gulares:

2 23

y

y z

45

4

era de centr

en coordena

oordenadas

perficie cilín

ura 12.

iones

nadas esfé

2 2

z

x y

ro 3

0,3,2

C

adas cilíndr

rectangula

ndrica circul

éricas es

2z

3

2

y radio r

ricas es r

res se tiene

ar de radio

3 5

2r

4cos

e:

o 2 y eje paralelo


29

Ejercicio 20

Transforme la ecuación

2 2 26 1x xy y z

a coordenadas esféricas y cilíndricas.

Solución

A coordenadas cilíndricas

como cosx r , y rsen y z z

entonces:

2 2 2 2 2cos 6( cos )( ) 1r r rsen r sen z

ó 2 2 2 2 2 2cos 6 cos 1r r sen r sen z

es la ecuación en coordenadas cilíndricas.

A coordenadas esféricas:

en este caso

cosx r sen , y r sen sen y cosz r

x

y

FIG. 12

z

O

(2,0,0)

Escue

30

lleva

redu

finalm

es la

1.7.

elaProfesional

ndo a la ec

2r se

ciendo

2r se

mente

2r

a ecuación e

TRANSFO

CURVILÍN

La t

cilíndricas

en el espa

Si T

es una tra

el gráfico

deIngenieríaE

cuación se t

2 2cosen

2 2cosen

2 23 cor sen

en coordena

ORMACION

NEAS

transformac

s y viceversa

acio como v

2 2:T R R

ansformació

u

13 muestra

ElectrónicayT

iene

6 corsen

2sen

os 2 1 0

adas esféric

NES EN EL

ción de coo

as, son cas

veremos lue

/ ( , )T x y

ón del plano

( , ) ,x y v

a esta corres

Telecomunicaci

os rsen

2 23r sen sen

0

cas.

PLANO Y E

ordenadas r

sos particula

ego.

( , ), (x y x

o la cual tam

( , )x y

spondencia

iones

2sen r s

22 cosn r

EN EL ESP

rectangulare

ares de tran

, )x y es un

mbién puede

a.

2 2en sen

2s 1

PACIO – CO

es a polare

nsformacion

na función,

e expresars

2 2cosr

OORDENAD

es; a esféric

nes en el pl

, diremos q

se como:

1

DAS

cas y

ano y

que T


31

Si ( , )x y son las coordenadas rectangulares del punto P, ( , )u v son

también coordenadas del mismo punto en el plano UV llamadas coordenadas

curvilíneas de P.

Si la transformación T está definida por las ecuaciones

( , )u x y , ( , )v u v .

considerando a T como biyetiva la transformación inversa 1T estará

definida por:

( , )x f u v , ( , )y g u v .

Las coordenadas polares ( , )r es un caso particular de coordenadas

curvilíneas del punto P, en este caso la transformación es

cosx r , y rsen .

y

xO

FIG. 13

P(x,y)

v

uO

P(u,v)

Escue

32

1.8.

elaProfesional

JACOBIA

Si x f

definen un

u y v se d

supondrem

si (u x

es el Jaco

En el espa

x

definen u

, ,u v w se

deIngenieríaE

NO DE UNA

( , )u v y y

na transform

define como

( , )

( , )

xx y u

yu v

u

mos que f

, )x y , (v

( , )

( , )

xu v

x y

x

obino de u y

acio las ecu

( , ,x f u v w

na transfor

define com

( , , )

( , , )

x y z

u v w

ElectrónicayT

A TRANSF

( , )g u v

mación en e

o el determ

x x

u vy y

u v

y g son fu

( , )x y es la

u u

x y

v v

x y

y v con res

uaciones

)w , ( ,y g u

mación, en

mo el determ

x x

u vy y

u vz z

u v

Telecomunicaci

ORMACIÓN

(1)

el plano, el J

inante

unciones co

transforma

specto a x e

, )v w , z h

este caso e

minante

x

wy

wz

w

iones

N

Jacobiano d

ontinuas con

ación invers

e y .

( , , )h u v w

el Jacobino

de x e y c

ntinuament

sa de (1), en

o de , ,x y z c

con respecto

e diferencia

ntonces

con respect

o a

ables.

to a


33

la transformación inversa será

( , , )u x y z , ( , , )v x y z , ( , , )w x y z y

( , , )

( , , )

u u u

x y z

u v w v v v

x y z x y z

w w w

x y z

su Jacobiano correspondiente; en ambos casos se considera a las funciones

, ,f g h y , , como continuas y continuamente diferenciales.

Las transformaciones

cosx r sen , y r sen sen , cosz r (Esféricas)

y cosx r , y r sen , z z (Cilíndricas)

ya vistas son casos particulares de transformaciones en el espacio;

( , , )r y ( , , )r z

son casos particulares de coordenadas curvilíneas.

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 21

Escue

34

Dada

recta

Jaco

Solu

Si x

luego

halla

com

enton

como

luego

es la

halla

elaProfesional

a la trans

angulares, h

obiano.

ción

cosx r , y

(

(

x

r

o ( , )

( , )

x y

r

ando la trans

mo x

nces:

x

o y

tgx

,

o 2x x

a transforma

ando su Jac

( , )

( , )

r

x y

deIngenieríaE

sformación

halle el Ja

y y rsen

, )

, )

xx y r

yr

r

r

sformación

cosx r ,

2 2 2x y r

, entonces

2 ,y

ación invers

cobiano:

r r

x y

x y

ElectrónicayT

de coord

cobiano co

entonces

cox

y se

inversa:

y y rsen

, de donde

yarc tg

x

yarc tg

x

sa

2

2

x

x

y

x

Telecomunicaci

enadas x

orrespondie

os

cos

rsen

en r

e 2r x

y

x

2 2

2 2

y

y x

x

y x

iones

cosr y

nte y la tra

2(cosn

r

2y

2

2

y

y

y y rsen

ansformació

2 2 )sen

de polar

ón inversa

r

es a

y su


35

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

x y

x y x y x y x y

2 2

1 1

rx y

luego 2 2

( , ) 1

( , )

r

x y x y

de lo desarrollado se concluye que

( , ) ( , )

. 1( , ) ( , )

x y r

r x y

en realidad, este resultado se esperaba ya que una de las transformaciones es la

inversa de la otra.

Ejercicio 22

Dada la transformación de coordenadas

cosx r , y rsen , z z

de cilíndricas a rectangulares, hallar su Jacobiano correspondiente y su

transformación inversa

Solución

Como cosx r , y rsen , z z

entonces:

Escue

36

halla

su Ja

pued

recta

Ejem

elaProfesional

ando su tran

r

acobiano es

de observa

angulares e

mplo 23

deIngenieríaE

( , , )

( , , )

x y z

r z

nsformación

2 2r x y

s

( , , )

( , , )

r z

x y z

2 2

1

1

x y

r

arse que a

l producto d

ElectrónicayT

x x

ry y

rz z

r

cos

c

r

sen r

r

n inversa:

2 , arc tg

r r

x y

x y

z z

x y

al igual qu

de los Jacob

Telecomunicaci

cos

0

x

zy

senzz

z

cos

rsen

ygx

, z z

r

z

z

z

z

ue en coo

bianos es ta

iones

cos

0

rsen

r

2 2

2 2

0

x

x y

y

x y

ordenadas

ambién 1.

0

0

1

2 2

2 2

0

y

x y

x

x y

polares, e

0

0

1

en coordennadas


37

Dada la transformación de coordenadas

cosx rsen , y r sen sen , cosz r

de esféricas a rectangulares, halle su Jacobiano.

Solución

Hallando el Jacobiano de x , y y z con respecto a r , y

cos cos cos( , , )

cos cos( , , )

cos 0

x x x

rsen r rsen sen

x y z y y ysen sen r sen rsen

r rrsen

z z z

r

factorizando 2r sen

2

cos cos cos

cos cos

cos 0

sen sen

r sen sen sen sen

sen

desarrollando con respecto a la tercera columna y factorizando convenientemente

2 2 2 2cos coscos

cos cos

sen senr sen sen r sen

sen sen

2 2 2 2cosr sen sen r sen

2r sen

luego:

Escue

38

1.9.

elaProfesional

TRANSFO

E

coordenad

regiones c

coordenad

calcular in

integral do

denotará l

Los

dobles y t

Teorema 4

a. Si (

recta

x

ento

dond

plan

coor

deIngenieríaE

( , , )

( , , )

x y z

r

ORMACION

En el curso

das rectang

cerradas e

das polares

ntegrales d

oble de (F x

la integral tr

siguientes

riples.

4

( , )u v son

angulares d

( , )f u v , y

onces

(D

F

de ( , )G u v

no XY la cu

rdenadas.

ElectrónicayT

2r sen

NES DE INT

o anterior

gulares y s

n el plano

s en el plan

dobles y tri

, )x y en la

riple de (F x

s teoremas

las coord

de un punt

( , )y g u v

( , )D

x y dA

( ( , )F f u v

ual se tran

Telecomunicaci

TEGRALES

se definió

se aplicó a

y en el es

no y las esf

iples; en lo

región D d

, , )x y z en la

permiten

denadas cu

to del plano

'

(( , )

D

G u v

, ( , ))g u v ,

nsforma en

iones

S MÚLTIPLE

ó las integ

al cálculo d

spacio; en e

féricas y cil

o que sigu

el plano; ta

a región D d

el cambio

urvilíneas

o, determin

( , )

( , )

x ydA

u v

D es la re

'D del pl

ES

rales doble

de áreas y

esta secció

índricas en

e ( ,D

F x y

ambién en

del espacio

de variabl

y ( , )x y la

nado por la

egión de in

ano UV po

es y triple

y volúmene

ón usaremo

el espacio

)dA denota

( , ,D

F x y z

o.

le en integ

as coorden

a transform

ntegración

or el camb

es en

es de

os las

o para

ará la

)z dV

grales

nadas

ación

en el

io de


39

b. Si ( , , )u v w son las coordenadas curvilíneas y ( , , )x y z son las coordenadas

rectangulares de un punto del espacio determinadas por la transformación

( , , )x f u v w , ( , , )y g u v w y ( , , )z h u v w .

entonces

( , , )( , , ) ( , , )

( , , )D D

x y zF x y z dV G u v w dV

u v w

donde ( , , ) ( ( , , ) , ( , , ) , ( , , ))G u v w F f u v w g u v w h u v w y D es la región de

integración del espacio X Y Z la cual se transforma en 'D

del espacio

UVW por el cambio de coordenadas.

Como vemos en cada caso el Jacobiano es el factor de conversión, los límites de

integración de la región D’ se determina de acuerdo a como varían las nuevas

variables.


Ejercicio 24

Halle la integral doble 2 2( ) ( )

D

x y x y dxdy donde D es la región acotada por el

cuadrado de vértices (0,1), (1,2), (2,1) y (1,0).

Solución

Este ejemplo nos mostrará la conveniencia de hacer un cambio de coordenadas pues

para hallar la integral doble tal como está planteado habrá que dividir la región en dos

o más partes.

Escue

40

si se

enton

por e

tal co

el Ja

luego

elaProfesional

considera

u

nces la tran

x

el cambio de

D

omo se mue

acobiano de

o ( )D

x y

(0,

deIngenieríaE

la transform

u x y , v

nsformación

1( )

2x u v

e coordena

' ,D u v

estra en el g

e x e y con

( , )

( , )

x y

u v

2 2) ( )x y d

y

O

(1

(1,

,1) D

ElectrónicayT

mación de c

v x y

n inversa es

, 1

(2

y v

das la regió

2 / 1R u

gráfico adju

n respecto a

x x

u vy y

u v

1 3

1 1dA u

,2)

(2,1)

0)

Telecomunicaci

coordenada

s

)u

ón D del pla

1 ,1u v

unto.

a u y v es

1 1

2 21 1

2 2

2 2 1

2u v dv

x

(

(

FIG.

iones

s

ano XY se c

3 del pla

:

1

2

vdu

v

O

( 1,3)

( 1,1)

14

’D

convierte en

ano UV

v

O

(1,3

(1,1

’

n la región

3)

1)

u

u


41

331 2

11

1

2 3

vu du

2127 1

6u dU

13

1

26

6 3

u

26

9

Ejercicio 25

Halle el volumen del sólido limitado por el cilindro 2 2: 9S x y y los planos z x ,

0y y 0z .

Solución

El sólido está limitado superiormente en el plano z x e inferiormente por la región

2 2, / 0 3,0 4D x y R x y x

tal como se muestra en la figura adjunta.

Escue

42

trans

luego

luego

en el

es f

elaProfesional

sformando a

D

o el volume

D

V f

3

0

3

0r

3

0

o 9V

l cálculo ha

( , ) cof r r

y

O

(0,3

deIngenieríaE

a coordenad

,D r

en es

,f r dA

22

0cosr

22

0r sen

2 9r dr

y que tener

os

)

(3,0

ElectrónicayT

das polares

2 / 0R r

32

0 0.r r

d dr

r presente q

x0)

y = 4 x 2

Telecomunicaci

s la región D

3,0r

cos d d

que ( , )f x y

x

FIG. 15

iones

D se convie

4

dr

x lo que

z

rte en

en coordennadas polar

res

y


43

en coordenadas rectangulares comprobar que

23 9

0 09

xV x dydx

Ejercicio 26

Hallar el volumen de una esfera de radio a usando integrales dobles.

Solución

Sea la esfera 2 2 2 2:S x y z a con centro en el origen y radio r, la ecuación define

implícitamente a las funciones de dos variables

2 2 2( , )z f x y a x y , 2 2 2( , )z g x y a x y

que representa el casquete superior e inferior de la esfera respectivamente tal como

se ve en la Figura 16.

x

z

y

FIG. 16

z = a x 2 2 2y

z = a x 2 2 2y

y

xO

y = a x 22

( a,0) (a,0)

D

y = a x 2 2

Escue

44

el vo

dond

calcu

Integ

Veam

se co

( ,f r

elaProfesional

olumen de la

V

de la región

ulando la int

V

grando con

2a

V

2a

V

2a

V

a

aV

V a

43

aV

mos ahora c

onvierte en

2) a

deIngenieríaE

a esfera es

22D

V a

de integrac

( , )D x y

tegral

2a

aV

respecto a

2

2

a

a

ya

2 2(

2

a

a

a x

2

22

a

a

a x

2 2( )aa x dx

32

3

a

a

xa x

3

3

a

como el cál

' ( , )D r

2r

ElectrónicayT

2 2x y dA

ción es

2 /R a

22

22

x

x

a

adydx

la variable

2 2 (ax y

)(1)arc sen

2

2

xdx

x

culo se sim

2) / 0R r

Telecomunicaci

A

,x a a

y e iterand

2 2)

2

a xarc

2 2()

2

a x

mplifica usan

,0r a

iones

2 2a x y

do

2

yc sen

a

)(arc sen

ndo coorden

2 y (f

2 2a x

2

22

a x

a

y

x

1)

nadas polar

2( , )x y a

2

2

x

x

dx

res; la regió

2 2x y e

ón D

en


45

luego

2 2 2

'

2D

V a x y dA

2 2

'

2D

a r r dA

2 2

0 0

22

aa r rd dr

22 2

0 02

ar a r dr

2 2

02 2

ar a r dr

2 2

04

ar a r dr

3

2 2 243

a

o

a r

343a

Ejercicio 27

Halle el volumen de la esfera de radio a usando integrales triples

Solución

Sea la esfera

2 2 2 2:S x y z a

en este caso la región de integración es

3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( , , ) / , ,D x y z R a x a a x y a x a x y z a x y

Escue

46

el vo

la int

halla

el vo

de lo

coord

recta

elaProfesional

olumen es

V

V

tegral triple

ando el volu

olúmen es

V

os ejemplos

denadas po

angulares.

deIngenieríaE

34

3

D

V dv

aV

se reduce a

men en coo

' ( ,D r

2

'D

V r se

0 0

a

0 0

ar

02

a

02

a

3

43

r

34

3

a

25 y 26, ob

olares y esfé

ElectrónicayT

2 2

2 2

a x

a x

a

a

a la integra

ordenadas e

3, , ) /

en dV

2 2

0r sen

2

2

0r sen

2

0r sen d

2

0cos

ar

0

a

bservamos

éricas es m

Telecomunicaci

2 2 2

2 2 2

a x y

a x yd

l doble del e

esféricas, la

/ 0 0,0r

d d dr

d dr

d dr

0dr

que el cálc

menos labori

iones

dz dy dx

ejemplo ant

a región de

0 ,0

ulo de integ

ioso que ha

terior.

integración

2

grales doble

acerlo en co

n es

es y triples e

oordenadas

en

s


47

Ejercicio 28

Halle el volumen de un cilindro de radio a y altura h

Solución

Considerando el cilindro

2 2 2:S x y a

con el eje en el eje Z y base en el plano XY (Figura 17) , la región de integración es:

3 2 2 2 2( , , ) / , ;0D x y z R a x a a x y a x z h

el volumen es

2 2

2 2 0

a a x h

a a xD

V dV dz dy dx

2 2

2 20

ha a x

a a xz dydx

x

y

FIG. 17

z

O

y

xO

y = a x 22

( a,0) (a,0)

D

y = a x 2 2

Dz = h

(0,a)

Escue

48

luego

halla

la reg

el vo

elaProfesional

h

2

2

2

V

o V a

ando el volu

gión de inte

D

olumen es:

V

deIngenieríaE

2 2

2 2

a a x

a a xh

2

2

a xa

a ah y

22a

ah a

222

xh a

22h a arc se

2a h

2h

men en coo

egración es

' , ,D r z

'D

V r dV

2

0 0

2

0 0

0

0

2

2

a

a

a

a

r

h r d

h r

a h

ElectrónicayT

2dydx

2

2

x

xdx

2x dx

22

2

ax arc

1en

ordenadas c

3 / 0z R

V

0

0

h

h

r dz d dr

r z d dr

dr

r dr

Telecomunicaci

a

a

xc sen

a

cilíndricas:

, 0r a

r

iones

2 , 0 z h


49

reiterando lo dicho, en este caso el uso de coordenadas cilíndricas es mucho más

simple.

Ejercicio 29

Hallar la integral triple

22 2 2 2 2

0 0 0

x xz x y dzdydx

Solución

La región de integración es

3 2( , , ) / 0 2 , 0 2 , 0 4D x y z R x y x x z

como 22y x x , entonces 2 2( 1) 1x y , la región de integración es parte del

cilindro 2 2( 1) 1x y de altura 4 y radio 2 en el primer octante tal como se muestra

en la Figura adjunta.

x

y

FIG. 18

z

O

(2,0,0)

(0,0,4) z = 4

Escue

50

como

pasa

de do

luego

luego

elaProfesional

o 2y x

ando a coor

r

onde

r

o en coorde

D

o:

deIngenieríaE

2x , entonc

denadas cil

2 2 2r sen r

2cosr

enadas cilín

( , ,D r z

22 2

0 0

x x

2cos2

0 0

2cos2

0 0

2c2

0 08

3

2

08

3

r

2

0

64co

3

64

3sen

128

9

ElectrónicayT

ces 2 2y x

líndricas

2cos cr r

ndricas la re

3) / 0z R

2 2

0z x

4 2

0z r dz dr

42s 2

02

zr d

cos 2r dr d

2cos

0

d

3os d

3 2

03

sen

Telecomunicaci

2x x

cos

egión de inte

2cosr

2y dz dy dx

r d

dr d

iones

egración es

, 02

x

s

, 0 42

z

4


51

1.10. APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES

INTEGRALES DOBLES

Si la masa M se distribuye de modo continua en la región D del plano y ( , )x y

es la densidad de la masa en el punto ( , )x y , entonces

a.

( , )D

M x y dA

b. El primer momento de la masa M con respecto al eje X es

( , )x

D

M y x y dA

c. El primer momento de masa respecto al eje Y es

( , )x

D

M x x y dA

d. Las coordenadas del centro de masa (centroide o centro de gravedad)

son:

Myx

M ,

MxY

M

otras aplicaciones físicas son los momentos de inersia de la masa M llamados

también segundos momentos de masa, así se tiene:

e. Momentos de inersia respecto al eje X

2 ( , )x

D

I y x y dA

f. Momentos de inersia respecto al eje Y

2 ( , )y

D

I x x y dA

Escue

52

elaProfesional

INTEGRA

Si la masa

, ,x y z

entonces:

a.

b.

c.

x

d.

en el uso

respecto a

así, si D e

( , ,x y z

deIngenieríaE

ALES TRIPL

a M se distr

es la dens

Masa

M

Momentos

xyM

xzM

yzM

Las coorde

(D

x x

xM

Momentos

xI

xI

xI

de estas fó

a los ejes y

es simétrico

) ( , ,x y

ElectrónicayT

LES

ribuye de m

idad de la m

( , ,D

x y z

de masa re

( ,D

z x y

( ,D

y x y

( ,D

x x y

enadas del

, , )x y z dV

M ,

de inersia

2 2(D

y z2 2(

D

x z2 2(

D

x y

rmulas es d

planos coo

respecto a

)z

Telecomunicaci

odo continu

masa en el

)z dV

especto a lo

, )y z dV

, )y z dV

, )y z dV

centro de la

D

y

y

respecto a

) ( , , )x y z d

) ( , , )x y z d

) ( , , )x y z d

de gran utili

ordenados.

al plano XY

iones

uo en la reg

punto ,x y

os planos co

a masa son

( , , )x y z dV

M

los ejes coo

dV

dV

dV

dad las sim

Y lo cual geo

gión D del e

,y z

oordenados

n:

y

Dz

ordenados:

metrías de la

ométricame

espacio, y

s

( , , )D

z x y z

M

a región D

ente es

)dV


53

entonces 0z ; análogamente con respecto a los otros planos coordenados.

Si D es simétrico con respecto al eje x , es decir si ( , , ) ( , , )x y z x y z ;

entonces

0y z

análogamente con respecto a los otros ejes coordenados.


Ejercicio 30

Halle el centro de gravedad (centro de masa) del sólido geométrico limitado por el

hemisferio superior de la esfera 2 2 2 2: x y z a , si su densidad es proporcional a

su distancia al origen de coordenadas.

Solución

El sólido D (región de integración) está definido por

3 2 2 2 2 2 2 2( , , ) / , ,0D x y z R a r a a x x a x z a x y

Y la densidad por 2 2 2( , , )x y z K x y z , tal como se muestra en la Figura 19.

la masa es:

( , , )d

M x y z dV

por las características de la integral triple, conviene hallarlo en coordenadas esféricas;

la región D en coordenadas esféricas es

3( , , ) / 0 , 0 , 0 22

D r R r a

Escue

54

luego

evalu

como

halla

pasa

elaProfesional

o en coorde

M

uando la int

M

o ( , ,x y

x

ando z , ten

z

ando a coor

deIngenieríaE

enadas esfé

2

0 0

aM

2

0 0

a

tegral, se tie

41

2M k a

, ) ( , ,z x y

0x y

emos

(D

z x

zM

denadas es

x

ElectrónicayT

éricas, la ma

2 2

0krr sen

2 3

0kr sen

ene

4

, )z , el eje

, , )x y z dV

M

sféricas

z

(x,y,zr

Telecomunicaci

asa es:

n d d d

n d d d

de simetría

z

FIG. 19

z)

iones

dr

dr

de D es el

9

x2 2 +y +z

eje z, luego

y

2 2z = a

o


55

2 22

0 0 0

4

cos

12

ar r sen kr d d dr

zka

2 42

0 0 0

4

cos

12

akr sen d d dr

zka

evaluando la integral

5

4

251 52

k aa

zka

luego el centro de gravedad es el punto 2

0,0,5

a

tal como se muestra en el

Gráfico 20.

x

z

y

FIG. 20

(0,0,z)

Escue

56

Ejerc

Una

( ,x

circu

como

Solu

En c

luego

elaProfesional

cicio 31

lámina delg

2)y x y

unferencia C

o se muestr

ción

oordenadas

o la masa M

5

6

M

deIngenieríaE

gada tiene l

1

2 2y

, halla

2 2:C x y

ra en la figu

s polares la

D

M es:

46

2.

senr r

=5

ElectrónicayT

a forma de

ar la masa d

22 4 y

ura adjunta.

a región está

2( , ) /r R

1dr d

D

56

Telecomunicaci

la región D

de la lámina

exterior a la

á dada por

/ 2 4r se

FIG. 21

y

O (

(x,y)

v

iones

D y su densi

a D, si es la

a circunfere

,6

en

(2,0)

=

= 4sen

dad es

región inte

encia 2 :C x

56

x

=6

erior a la

2 2 4y , tal


57

5 462

6

56

6

4 2

senM r d

M sen d

4 3 4

3M

los momentos de masa son

5 4 5 46 6

2 26 6

cossen sen

x yM rsen drd y M r drd

evaluando las integrales

4 3 0x yM y M

luego el centro de gravedad es

, ,y X

M Mx y

M M

0 12 3, ,

12 3 4x y

M

12 3, 0 ,

12 3 4x y

Escue

58

De l

soluc

1

2

3

4

elaProfesional

os 20 ejerc

ciones con

. Ubique e

diferente

2. En un sis

5 ,4

A

Sol. 7

3. Halle la

polares y

a. r

b. r

c.

Sol.

a. x

b. x

c. x

4. Halle la

Sol. 2x

deIngenieríaE

cicios prop

las solucion

el punto en

e de la dada

stema de c

8y B

ecuación re

y graficar d

4r sen

cosr s

4

2 2 4x y y

2 2x y x

0x y

ecuación re

22 2y a

ElectrónicayT

puestos en

nes dadas e

EJERCIC

el plano P

a.

oordenadas

8 ,12

cal

ectangular d

ichas curva

sen

0y

0y

ectangular d

2a xy

Actividad

Telecomunicaci

esta unida

en cada eje

CIOS PROP

2, 23

s polares se

lcule la dist

de las siguie

as

de la curva

dessugeri

iones

ad, resolver

ercicio propu

PUESTOS

y dar tres c

e tiene en lo

ancia entre

entes curva

2 2 2r a sen

idas

r mínimo 8

uesto.

coordenada

os puntos

e dichos pun

as dada en c

2 , a cons

8, compara

as polares d

ntos.

coordenada

stante

r sus

e P

as


59

5. Halle la ecuación polar de las siguientes curvas

a. 2 24 9 36x y

b. 2 6y x

c. 2 1 2y x

Sol.

a. 2 24 9cos 36r sen

b. 2 2 cos 6r sen

c. 1 cos 1r

6. Convierta las coordenadas esféricas dadas a coordenadas cilíndricas

a. 4 , ,3 3

b. 2 , 5 ,6 4

Sol.

a. 2 3 , , 23

b. 1 , , 34

7. Convierta las coordenadas rectangulares dadas a coordenadas esféricas

a. 1 ,1 , 2

b. 1 , 3 , 0

Sol.

a. 2

10 , , arccos4 5

b. 2 , ,3 2

Escue

60

8

9

1

elaProfesional

8. Conviert

superfici

a.

b. r

c.

Sol.

a. z

b. x

c. E

9. Encuent

esféricas

a. 3

b. y

c. 6

Sol.

a. 3

r

b. r

c. r

0. Halle la

cuadrant

Sol. 14

deIngenieríaE

ta las coord

ie resultante

6

4 cosr

0

23 3z x

2 2 2x y z

Eje Z

tre una ecua

s para la gr

3 4x y z

2 2 9y z

2 26x x y

3 cosr r s

3 cosr sen

2 2 2r sen z

6cos ,r

integral dob

te acotado

2

1 ae

ElectrónicayT

denadas dad

e

23y medio

4x esfer

ación en co

áfica de la e

12

2

4sen z

s sen sen

2 29, r s

6rsen

ble 2x y

D

e

por la circu

Telecomunicaci

das en coor

cono

ra

oordenadas

ecuación da

12

4 cosn

2 2sen sen

cos

2ydA donde

nferencia x

iones

rdenadas re

cilíndricas

ada

12

2cos

e D es la r

2 2 2x y a

ectangulare

y una en co

9

región en el

y los ejes

es y graficar

oordenadas

primer

coordenado

r la

s

os.


61

11. Halle la integral doble 22 4 2 2

0 0

yx y dxdy

graficar la región de integración.

Sol. 43

12. Halle la integral doble

1

2 2 24D

dxdy

x y donde D es la región limitada por la

circunferencia 2 2 2 0x y x

Sol. 2 2

13. Halle el volumen del sólido limitado por las superficies

2 2 2 22 , 2 0 0x y x x y y z

Sol. 34

14. Halle el área de la región limitada por las circunferencias

2 2 2 22 , 4x y x x y x y la recta y x

Sol. 3

34 2

15. Calcule la integral triple 2 2

D

x y dx dy dz donde D es el sólido limitado por

las superficies 2 2 , 1z x y z

Sol. 6

16. Calcule la integral triple 2 2 21 1 1 2 2 2

0 0 0

x x yx y z dz dy dx

graficar la

región de integración.

Sol. 8

17. Calcule la integral triple 2 2

D

x y dx dy dz

donde D es la región limitada

por el cilindro 2 2 4x y y los planos 1, 2z z

Sol. 24

Escue

62

1

1

2

elaProfesional

8. Halle el v

plano z

Sol. 8

9. Evalúe la

2 2x y

Sol. 30

20. Calcule

superfici

Sol. 2

5

deIngenieríaE

volumen de

8

a integral tr

2 1z en

las coorden

ies 1x y

2 7, ,

5 30

ElectrónicayT

el sólido lim

riple 2

D

y d

el primer oc

nadas del ce

21, z x y

Telecomunicaci

itado por el

dV donde D

ctante

entro de gra

2 , 0,y x y

iones

l paraboloid

D es el sóli

avedad del

0

de 2 2x y

ido limitado

cuerpo limi

12z y e

por la esfe

itado por las

l

era

s


63

1. Se definen las coordenadas polares en el plano y las coordenadas

esféricas y cilíndricas en el espacio y se hacen las correspondientes

transformaciones de coordenadas con las coordenadas rectangulares.

2. Se definen en general las transformaciones en el plano y en el espacio y los

correspondientes Jacobianos.

3. Se transforma las integrales dobles en coordenadas rectangulares a

coordenadas polares teniendo como factor de conversión al Jacobiano

correspondiente, todo ello para facilitar el proceso de integración.

4. Se transforma las integrales triples en coordenadas rectangulares a

coordenadas esféricas y cilíndricas teniendo como factor de conversión al

Jacobiano correspondiente; todo ello para facilitar el proceso de

integración.

Resumen

Escue

64

A. F

W

L

M

K

L

B. F

Direc

y pro

busc

elaProfesional

Fuentes bib

W. Swokow

Grup

Leithold Lou

Mitacc Meza

Lima

Kreyzig Erw

Edito

Larson Rom

D.F.

Fuentes ele

cciones de

opuestos, qu

carlos en el

deIngenieríaE

bliográfica

wsky Earl (

po Editorial

uis (2009). E

a Máximo

a.

win (2003). M

orial Limusa

m (2006). C

ectrónicas

la web, que

ue podrán a

campo virtu

F

ElectrónicayT

as

1980).Cálcu

Iberoaméric

El Cálculo. S

(2005). Cá

Matemática

a Wiley. Méx

Cálculo de

s

e brindan inf

ayudar a la

ual.

Fuentesde

Telecomunicaci

ulo con Ge

ca. México

Séptima Ed

álculo III. C

a Avanzada

xico D.F.

Varias Var

formación a

mejor comp

einformac

iones

eometría A

D.F.

dición. Hoxfo

uarta Edici

para Ingen

riables. Edi

adicional, in

prensión de

ción

Analítica. Se

ord – Harla

ón. Editoria

nieros: T.I. T

itorial McG

ncluidos eje

el curso par

egunda Ed

. México D.

al Thales S

Tercera Ed

raw-Hill. M

mplos resu

ra verlos,

dición.

.F.

S.R.L.

dición.

México

eltos


65

Actuando con toda seriedad, sin ver el solucionario resuelva los ejercicios propuestos

y mida el nivel de su aprendizaje. Compare sus respuestas con el solucionario.

1. Transforme a coordenadas rectangulares el punto 5 , 53

P

dado en

coordenadas polares.

2. Halle las coordenadas cilíndricas del punto 2 , ,6

P

dado en

coordenadas esféricas

3. Identifique la curva 3

1 cosr

4. Usando coordenada polares, halle la integral doble

23 9 2 2

0 09

xx y dy dx

5. Halle la integral triple

D

y dx dy dz

Si D es parte de la esfera sólida de radio 2 en el primer octante. Usando

coordenadas esféricas.

Autoevaluación

UnidaddidácticaII

FUNCIOENESVECTORIALESYCURVASENELPLANOYENEL

ESPACIO

CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII

69

II Unidad

didáctica:

Funciones

Vectoriales y

Curvas en el

Plano y en el

Espacio

2.1. Funciones Vectoriales

2.2. Límites y Continuidad de funciones vectoriales

2.3. Derivada e integral de una función vectorial

2.4. Curvas en el plano y en el espacio

2.5. Representación paramétrica de una curva en el plano y el

espacio

2.6. Ecuaciones paramétricas de las cónicas

2.7. Longitud de arco

2.8. Vectores tangente unitario, normal unitario, y binormal

unitario

2.9. Curvatura y torsión de una curva

2.10. Vector desplazamiento y vector velocidad

Esquemadecontenidos

Escue

70

elaProfesional

1

2

3

4

deIngenieríaE

1. Obtene

e integr

2. Hallar c

de una

(param

3. Domina

de una

4. Conoce

ElectrónicayT

er destreza

rales de fu

correctame

curva a pa

etrizar curv

ar el cálcul

curva del

er el cálcul

Compet

Telecomunicaci

a en el cálc

nciones ve

ente las co

artir de su

vas).

o del triedr

espacio.

o de la lon

tenciasyc

iones

culo de lím

ectoriales.

ordenadas

ecuación r

ro móvil en

ngitud de u

capacidade

ites, deriva

s paramétr

rectangula

n cada pun

na curva

es

ada

ricas

r

nto


71

Una función real de dos o tres variables asigna a cada par o terna ordenada de

números reales un número real, éstas funciones fueron estudiadas en cursos

anteriores al curso que estamos desarrollando; la correspondencia será ahora entre un

número real y un único vector del plano o del espacio, a ésta correspondencia le

llamaremos función vectorial.

Introducción

Escue

72

2.1.

2.2.

Uni

dad

elaProfesional

FUNCION

S

correspon

VECTORI

E

( ), ( )f t g t

funciones

es el conju

curva com

S

correspon

vectorial d

E

vectoriales

particulare

LÍMITES Y

Los conce

variables s

FUNC

deIngenieríaE

NES VECTO

Si ,a b es

ndencia F

IAL” de una

Esta corresp

), ( ) (h t f

componen

unto (Ran f

mo veremos

Similarmente

ndencia F

de una varia

En lo que s

s en el es

es de éstas

Y CONTINU

eptos de lím

se extiende

CIONES VE

ElectrónicayT

ORIALES

un interval

: ,a b R

a variable.

pondencia a

( ) ( )t g t i j

tes de F ,

) ( ),f f t g

s más adela

e si f y g

: ,a b R

able en el p

sigue, las d

spacio, las

.

UIDAD

mites y conti

en de mane

ECTORIAL

Telecomunicaci

o de R y f

3 / ( )F t f

asigna a un

( )h t k , la

el intervalo

( ), ( )g t h t

ante.

g son func

2 / ( )R F t f

lano.

definiciones

funciones

nuidad de f

ra natural a

LES Y CURESPACIO

iones

, , : ,f g h a b

( ), ( ), (f t g t h

n número re

as funcione

o ,a b es e

3 / ,t a b

ciones real

( ), ( )f t g t

y teorema

vectoriales

funciones re

a las funcion

RVAS EN EO

b R func

( )t se lla

eal ,t a b

es ,f g y h

el dominio y

será la d

es con do

define

as se darán

s en el pla

eales de do

nes vectoria

EL PLANO

ciones reale

ama “FUNC

un único v

h son llam

y el rango d

definición de

ominio ,a b

a una fu

n para func

no serán c

os o tres

ales.

Y EN EL

es, la

CIÓN

vector

madas

de F

e una

b , la

nción

iones

casos


73

DEFINICIÓN 1

a. Si 3,a b R es una función vectorial y 0t un punto de acumulación

de ,a b , entonces el vector 3Ru es el límite de ( )F t cuando t

tiende a 0t lo cual se expresa por 0

lim ( )t tF t u

si y solo si dado un número 0 , existe otro número 0 tal que

Si 00 ( )t t F t u

b. ( )F t es continua en 0t si 0 ,t a b y

00lim ( ) ( )

t tF t F t

Hay que precisar que u y ( )F t son vectores y ( )F t u es la normal del vector

diferencia.

DEFINICIÓN 2

Si 3: ,F a b R es una función vectorial y : ,a b R es una función real, la

función F se define como sigue : , / ( )( ) ( ) ( )F a b R F t t F t

Escue

74

elaProfesional

PROPIED

TEOREMA

Si F y G

Entonces:

1. lt

2. lt

3. lt

4. lt

en (2) es e

respectiva

TEOREM

Si ( )F t

,a b y u

0

limt t

Se ha res

dada la na

deIngenieríaE

DADES DE

A 1

G son func

:

0

lim ( )tF t

0

lim ( )tF t G

.

0

lim ( ) xtF t

0

lim ( )t

t F

el producto

amente.

MA 2

( ), ( ),f t g t

1 2 3( , ,u u uu

( )F t u

umido los c

aturaleza de

ElectrónicayT

LOS LÍMIT

ciones vecto

( )G t u

( )G t .u v

( ) XG t u

( )F t c u

interior y e

( )h t es un

3) un vector

0

0

0

lim

lim (

limt t

t t

t t

f

g

h

conceptos b

el curso obv

Telecomunicaci

TES

oriales tales

v

v

X v

donde 0

limt t

n (3) es el p

na función v

r de 3R , e

1

2

3

( )

( )

( )

f t u

g

t u

t u

básicos sob

viaremos su

iones

s que 0

limt tF

0

m ( )t c

producto ve

vectorial de

entonces:

re límites de

u demostrac

( )F t u y

ectorial de v

finida en el

e funciones

ción.

0

lim ( )t tG t

vectores

intervalo

s vectoriales

v

s,


75


Ejercicio 1

Dadas las funciones vectoriales definidas en R

2 1 cos( ) , , tsen t tF t e

t t

, 32

1 cos 4 2( ) 3 , ,

t tG t t

t t

y la función real

1

( )2

tet

t

Halle:

a. Los Dominios de F , G y

b. 0

lim ( ) ( )t

F t G t

c. 0

lim ( ) ( )t

F t G t

.

d. 0

lim ( )X ( )t

F t G t

e. 0

lim ( ) ( )t

t F t

Solución

a. ( ) 0Dom F R

( ) 4, 0

( ) 0

Dom G

Dom R

hallando el límite de las funciones correspondientes de F

0 2 0

2 2lim 2 lim 2

2t t

sen t sen t

t t

Escue

76

elaProfesional

lt

y 0

lim t

te

luego

lit

similarm

l

l

t

t

también:

lt

deIngenieríaE

0

1 cosimt

t

t

02 lim

tsen

(2)(0)(1)

0

1t

0im ( ) (2F t

ente para G

2

0

20

im 3

1 cosim

t

t

t

t

t

02

1lim

2

1

2

t

se

:

0

4imt

t

t

1

4

ElectrónicayT

2 0limt

sent

t

02

lim2 t

stn

2, 0,1)

G

0

3

2limt

set

t

2

2

ten

t

0

2limt

Telecomunicaci

2

2t

n

t

2

2

tsen

t

2

22t

en

t

1

4 2t

iones


77

luego 0

1 1lim ( ) 3, ,

2 4tG t

Para

0 0

1 1lim lim

2 2 2

t t

t t

e e

t

luego:

b. 0

1 1 1 5lim ( ) ( ) (2,0,1) 3, , 1, ,

2 4 2 4tF t G t

c. 0

1 1 23lim ( ) ( ) (2,0,1) 3, ,

2 4 4tF t G t

. .

d. 0

1 1 1 7lim ( ) X ( ) (2,0,1) X 3, , , ,1

2 4 2 2tF t G t

e. 0

1 1lim ( ) ( ) (2,0,1) 1,0,

2 2tt F t

2.3. DERIVADA E INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

DEFINICIÓN 1

Si 3: ,F a b R es una función vectorial, la derivada de F se define como

sigue:

0

( ) ( )'( ) lim

h

F t h F tF t

h

si el límite existe; hay que precisar que la derivada 'F t es también una

función vectorial, geométricamente representa a un vector tangente a la curva

que define F como veremos más adelante.

Escue

78

elaProfesional

TEOREMA

Si ( )F t

F

siempre q

teorema e

TEOREMA

Si ( )F t y

( )t es u

1

2

3

4

en particu

Éstas r

el plano, e

3R .

deIngenieríaE

A 1

( ), ( ),f t g t

'( ) '(F t f t

ue las deriv

es consecue

A 2

( )G t son f

una función

. ( )F t G

2. ( )F t G.

3. ( )XF t G

4. ( ) (t F t

lar, si ( )t

reglas de d

excepto pa

ElectrónicayT

( )h t es un

), '( ), '(t g t h t

vadas de la

encia del te

funciones v

real, enton

( ) ' '(G t F

( ) ' ( )G t F t

( ) ' (G t F t

) ' ( )t t F

c , entonc

erivación s

ara la deriva

Telecomunicaci

a función v

)t

s funciones

orema refe

vectoriales q

ces

) '( )t G t

'( ) '(G t F.

)X '( )t G t F

'( ) '( )F t t F

es ( ( )) 'cF t

on válidas

ada del pro

iones

ectorial, en

s correspon

rente a los

que tienen d

( ) ( )t G t.

'( )X ( )F t G t

( )F t

'( )cF t

también pa

oducto vecto

tonces:

dientes exis

límites ya v

derivada (di

)

ara funcione

orial que so

sten, éste

visto.

iferenciable

es vectoriale

olo se defin

es) y

es en

ne en


79

DEFINICIÓN 2

Sea la función vectorial ( ) ( ( ), ( ), ( ))F t f t g t h t entonces

a. La integral indefinida de F se define como sigue

( ) ( ) , ( ) , ( )F t dt f t dt g t dt h t dt

b. La integral definida de ( )F t de a hasta b se define como sigue

( ) ( ) , ( ) , ( )b a a a

a b b bF t dt f t dt g t dt h t dt

siempre que las integrales definidas de las funciones correspondientes existan.

Si '( ) ( )H t F t

entonces ( ) ( ) ( ) ( )b b

aaF t dt H t H b H a

desde que ( ) ( )F t dt H t c

Resolveremos a continuación algunos ejercicios de los temas vistos.


Ejercicio 2

Sea F la función vectorial definida por 22

1( ) 4 , , ln

1F t t t t

t

, halle:

a. ( )Dom F

b. '( )F t

c. ( )F t dt

Escue

80

Solu

a

b

c

elaProfesional

ción

a. El domin

t Dom

2

luego

( )Dom F

b. La deriva

como

entonce

luego

c. La integr

como

deIngenieríaE

nio

( ) 4F t

2 24t t

2t t

) 0,1 1

ada

( )f t

es

'( )f t

'( )f t

ral definida

3 2

24t t d

3

22 1 2

dt

t

3

2lntdt t

ElectrónicayT

2 20t t

2 1 0t

1 0t

1, 2 0, 2

24 ,t t

2

2

2 4)

4

t

t

2

2

2 4)

4

t

t

1

3dt

1ln( 1)

2t

32ln( )t t t

Telecomunicaci

1 0 0t

1

2

1, ( )g t

t

2, '( )g t

t

22

4 2, ,

1

t

t

33

2

2

4 t

ln( 1)t

3ln(3)

iones

0

, ( ) l1h t

22

2, '( )

1

th t

1

t

11 2

3

3

2

1ln(3

2

2ln(2) 1

ln t

1)t

2

3) ln(2)


81

entonces:

3

2

1 1( ) 1 2 2 , ln(3) ln(2) ,3ln(3) 2 ln(2) 1

3 2F t dt

Ejercicio 3

Demuestre que ( )X ( ) ( )X ( ) ( )X ( )' ' 'F t G t F t G t F t G t

Solución

Demostración:

Si ( ) ( ) X ( )H t F t G t

entonces:

( ) ( ) ( ) X ( ) ( ) X ( )H t h H t F t h G t h F t G t

sumando y restando ( ) X ( )F t h G t

( ) X ( ) ( ) X ( ) ( ) X ( ) ( ) X ( )F t h G t h F t h G t F t h G t F t G t

agrupando

( )X ( ) ( ) ( ) ( ) X ( )F t h G t h G t F t h F t G t

dividiendo entre t y tomando límites

0

( ) ( )'( ) lim

h

H t h H tH t

t

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) X lim lim X lim ( )h h h h

G t h G t F t h F tF t h G t

h h

( ) X ( ) ( ) X ( )' 'F t G t F t G t

Escue

82

2.4.

elaProfesional

CURVAS

En g

ecuación

un sistem

representa

Intro

funciones

analítica y

DEFINICIÓ

Sea :F a

R

define una

se llaman

C

denotará a

Similarme

F

define a la

C

en el plan

deIngenieríaE

EN EL PLA

geometría

de dos var

ma de dos

a una supe

oduciremos

vectoriales

y permite el

ÓN 1

3,a b R u

( )Ran F

a curva en

ecuaciones

: ( ) ,C x f t

a la curva

ente, la func

: ,F a b

a curva

: ( ) ,C x f t

o.

ElectrónicayT

ANO Y EL E

analítica el

iables es u

s ecuacion

rficie.

ahora las

s de una

uso de der

una función

( ), ( ),f t g t h

el espacio

s paramétri

, ( ) ,y g t z

C en forma

ción vectoria

3 / ( )R F t

, ( ) ;y g t t

Telecomunicaci

ESPACIO

l conjunto d

na curva; e

nes con tr

s curvas en

variable, é

rivadas e int

n vectorial c

( ) /h t t a

o 3R ; las ec

cas de la cu

( ) ;z h t t

a paramétric

al

( ), ( )f t g t

,t a b

iones

de puntos

en el espac

res variable

n el plano y

ésta forma

tegrales de

continua, el

,a b

cuaciones x

urva; en lo q

,a b

ca.

del plano q

io una curv

es donde

y el espaci

de presen

funciones v

rango de F

( )x f t , y

que sigue

que verifica

va está dad

cada ecu

io por med

ntación es

vectoriales.

F

( )y g t , z

a una

a por

ación

io de

más

.

( )h t


83

2.5. REPRESENTACIÓN DE UNA CURVA EN EL PLANO Y EL ESPACIO

Una curva en el espacio puede expresarse analíticamente en una de las formas

siguientes:

a. Como la intersección de dos superficies

: ( , , ) 0 ; ( , , ) 0C F x y z G x y z

(Forma rectangular o cartesiana)

b. En forma paramétrica

: ( ) , ( ) , ( ) , ,C x f t y g t z h t t a b

donde t es un parámetro.

En el plano en una de las siguientes formas:

a. En forma rectangular

: ( , ) 0C F x y

b. En forma paramétrica

: ( ) , ( ) , ,C x f t y g t t a b

Como vemos, toda función vectorial continua define una curva que es

su rango y recíprocamente, las ecuaciones paramétricas de una curva definen

una función vectorial.

En ésta forma de definir una curva, ésta no necesariamente es una

“curva” en el sentido que percibimos, una recta también es una curva como

veremos luego.

Parametrizar una curva es transformar su ecuación rectangular a su

forma paramétrica.

Escue

84

Ejerc

Grafi

Solu

Si F

obse

por e

Figur

si (x

elaProfesional

cicio 4

ique la curv

F

ción

( )F t es un p

P

P

ervamos que

el punto (2,

ra.

, ) (2, 3x y

deIngenieríaE

va C definid

2: /F R R

punto P del

(2 3 ,4

(2,4)

P t

P t

e la expresi

4) en la dir

3 , 4 )t t

ElectrónicayT

EJERCI

da por la fu

/ ( ) (2F t

plano, ento

4 )

( 3,1),

t

t t

ión obtenida

rección del

u

P

Telecomunicaci

CIOS RESU

nción vecto

3 , 4 )t t

onces:

a es la ecua

vector u

FIG. 22

y

(2,4

u

iones

UELTOS

orial

ación vecto

( 3,1) tal c

4)

orial de la re

como se mu

x

ecta L que

uestra en la

pasa


85

entonces

2 3 , 4 ,x t y t t R

son justamente las ecuaciones paramétricas de la recta L , eliminando el parámetro t

se obtiene la ecuación 3 14 0x y que es la ecuación rectangular de la recta L .

Ejercicio 5

Grafique la curva definida por la función vectorial

2: / ( ) ( cos , ) , 0F R R F t r t r sent r

Solución

Las ecuaciones paramétricas de la curva son

cos ,x r t y rsent

el gráfico adjunto muestra a algunos de sus puntos

FIG. 23

y

xO( r,0) (r,0)

(0,r)

(0, r)

+ F(+)

0 (r,0)

2 (0,r)

( r,0)

32

(0, r)

2 (r,0)

Escue

86

que

coord

fuera

las e

obse

plano

tenem

que e

Ejerc

Para

Solu

Si x

luego

pudo

elaProfesional

llevados a

denadas y

a del interva

ecuaciones

C

ervamos que

o ya estudia

mos la ecua

x

es justamen

cicio 6

ametrice la

L

ción

t , entonc

o las ecuac

L

o haberse fij

L

deIngenieríaE

al plano f

radio r tal

alo 0,2 s

paramétrica

: cosC x r

e estas ecu

adas; elimin

ación:

2 2 2x y r

nte la ecuac

ecuación d

: 3 9x y L

ces 1

3y

ciones param

: ,x t yL

jado como

: 9 3x t L

ElectrónicayT

forman una

l como se m

se repiten l

as de la circ

,t y rsent

uaciones so

nando el pa

ción rectang

e la recta

9 0

33t

métricas de

13 ,

3y t

parámetro y

, ,t y t

Telecomunicaci

a circunfer

muestra en

os puntos.

cunferencia

, 0,2t t

n las coord

rámetro t

gular de la c

e la recta y

t R

y obtenidos

t R

iones

rencia con

la Figura 2

son:

enadas pol

circunferen

y son

se las ecuac

centro en

23, como pa

ares de un

cia C .

ciones

n el orige

ara valores

punto en e

n de

s de t

l


87

que también son las ecuaciones paramétricas de L , de lo anterior concluimos que

una curva puede tener varias ecuaciones paramétricas.

Ejercicio 7

Parametrice la ecuación de la circunferencia

2 2: ( 4) ( 1) 16C x y

Solución

Si ' 4 , ' 1x x y y

entonces

: 4cos , 4 , 0,2C x t y sent t

luego

4 cos , 1 4 , 0,2x t y sent t

son las ecuaciones paramétricas de la circunferencia C

Ejercicio 8

Grafique la curva definida por la función vectorial

30,2 / ( ) (2 2 , 2 3 , 3 2 )F R F t t t t

Solución

Si ( )F t es el punto ( , , )x y zP de 3R

entonces

( 2,2,3) ( 2, 3,2)P t t R

Escue

88

es la

direc

es un

como

Sus

elaProfesional

a ecuación v

cción del ve

P

n segmento

o se muestr

ecuaciones

C

deIngenieríaE

vectorial de

ctor ( 2u

(2,2,3)P

o de recta c

ra en la Fig

s paramétric

: 2 2C x t

ElectrónicayT

la recta L

, 3,2) , co

(2, 3,2t

uyos extrem

ura 24.

cas son:

, 2 3t y t

Telecomunicaci

que pasa p

omo 0,2t

) 0,2t

mos son los

, 3 2t z t

iones

por el punto

2 , entonc

2

s puntos (A

, 0,2t

o 0 (2,2,3)P

ces

(2,2,3) y B

) en la

(6, 4,7)B taal


89

2.6. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LAS CÓNICAS

PARÁBOLA

a. Dada la parábola

2: 0x ax by c P

Sus ecuaciones paramétricas son

2

: , ,t a c

x t y t tb b b

P

b. Dada la parábola

2: 0y ax by c P

Sus ecuaciones paramétricas son

2

: , ,t b c

x t y t ta a a

P

ELIPSE

Sea la elipse

2 2

2 21 ,

x ya b

a b E:

Considerando dos circunstancias concéntricas una que inscribe y otra que

circunscribe a la elipse tal como se muestra en el gráfico adjunto,

se tiene:

y

x

(0,b)

(a,0)O B C

A P (x,y)

t

: xa

2

2+ y

b

2

2= 1

C : x + y = a22 2

FIG. 24

Escue

90

elaProfesional

en el OC

O

x

en el AO

A

y

luego

son las ec

Si se tiene

E

sus ecuac

E

HIPÉRBO

Sea la hip

deIngenieríaE

:CD

co

cos

OC OD

x a t

OB

AB OAsen

y bsent

: cosx a

cuaciones p

e la elipse

2 2

2 2:x y

b a E

ciones para

: cosx bE

OLA

pérbola H

ElectrónicayT

os t

nt

, ,t b bsent

paramétricas

1, a b

métricas so

,t y asent

2 2

2 2:x y

a b H

Telecomunicaci

, 0,2t

s de la elips

on

, 0,2t t

1 como se

iones

se E.

e muestra een la Figura adjunta.


91

en el OCD

sec

sec

OD OC t

x a t

en el EBO

BE OBtgt

y b tg t

luego las ecuaciones paramétricas de la hipérbola son

: sec , , 0,2x a t y btgt t H

y

x

(0,b)

(a,0)O B A

EP(x,y)

t

FIG. 25

D

: xa

2

2+ y

b

2

2= 1

’

C

Escue

92

elaProfesional

Ejercicio 9

Halle las e

C

Solución

Completa

(

ésta ecua

si

x

entonces

x

x

luego las e

Ejercicio 1

Halle la ec

deIngenieríaE

9

ecuaciones

2:9 4x yC

ndo cuadra

2( 2) (

4

x y

ción corres

2,x x

2 2

14 9

x y

2cos ,x t

ecuaciones

: 2 2C x

10

cuación rec

ElectrónicayT

EJE

paramétric

2 36 24y x

ados en la e

23)1

9

y

ponde a un

3y y

1 cuyas ecu

3y sent

s de la curva

2cos ,t y

ctangular de

:C x

Telecomunicaci

ERCICIOS R

cas de la cu

4 36 0y

ecuación se

na elipse co

uaciones pa

a son:

3 3 ,sent t

e la curva

2sec 1,t

iones

RESUELTO

rva

tiene:

n eje focal

aramétricas

0,2

y tg t

OS

paralelo al e

s son

2

eje y


93

Solución

Como 1

sec2

xt

y 2tgt y elevando al cuadrado y restando miembro a

miembro:

2 1

2 2 ( 1) ( 2)1 sec 1

4 1

x yt tg t

luego:

2 2( 1) ( 2)

: 14 1

x yC

es una hipérbola con centro en el punto ( 1,2) y eje focal paralelo al eje x

Ejercicio 11

Grafique la curva 2: , , 2 ,C x t y t t t y hallar su ecuación rectangular

Solución

Como x t e y t entonces x y , luego 2z y , la ecuación rectangular de la

curva es:

2: 0,C x y z y

C es la intersección del plano X Y y el cilindro 2z y tal como se muestra en

le Figura adjunta.

Escue

94

2.7.

elaProfesional

LONGITU

La lo

segmento

pequeños

Dada la cu

C

su longitud

L

ó

Para curva

Si :C x

L

ó

deIngenieríaE

UD DE ARC

ongitud de

os poligonal

s arcos.

urva del esp

: ( ),C x f t

d es:

'(b

aL F

ó b

aL

as en el pla

( ), (f t y g

'(b

aL F

ó b

aL

x

ElectrónicayT

O

una curva

les inscritos

pacio.

( ),y g t z

( )t dt

2'( )f t

ano:

( ), ,t t a b

( )t dt

2'( )f t

z

Telecomunicaci

se define c

s en la curv

( ),h t t a

2'( )g t h

entonces,

2'( )g t dt

z

FIG. 26

iones

como el lím

va determin

,a b

2( )h t dt

, su longitud

6

z = t2

x =

ite de las lo

nados por u

d es:

y

y = t

ongitudes d

una partició

de los

ón en


95

Si : ( ), ,C y f x x a b entonces, su longitud es:

21 ( )

b

aL f x dx

Si : ( )C r f es la ecuación polar, entonces:

2 2( )L r r d

donde ,


Ejercicio 12

Halle la longitud de la curva

: 2 , 1 2 , 4 3 , 1,2C x t y t z t t

Solución

Como 1, 2x y y 3z , entonces

2 22 2 2

1 11 2 3 14 3 14L dt dt

luego

3 14L

Se observa que : 2 , 1 2 , 4 3 , 1,2C x t y t z t t es un segmento de

extremos (1, 3,7)A y (4,3, 2)B cuya longitud es la distancia entre los extremos.

efectivamente, por la fórmula de la distancia entre dos puntos del espacio se tiene

2 2 2( , ) (4 1) (3 3) ( 2 7)L d A B

( , ) 3 14L d A B

Escue

96

Ejerc

Halle

Solu

Cons

ecua

luego

es la

halla

como

deriv

elaProfesional

cicio 13

e la longitud

ción

siderando la

aciones para

C

o, su longitu

L

L

L

L

a longitud de

aremos su lo

o

C

vando implic

y

deIngenieríaE

d de la una

a circunfere

amétricas s

: cosC x r

ud es 2 2 2

0(cos)()Lrt rsentdt

2

0:L

2

0L r

2

0L r t

2L r

e la circunfe

ongitud en c

2 2:C x y

citamente

xy

y

ElectrónicayT

circunferen

encia con ce

son

,t y rsent

cosr t

2 cosen t

2

0t

erencia

coordenada

2r

Telecomunicaci

cia de radio

entro en el o

, 0,2t t

r sent

2s tdt

as rectangu

iones

o r.

origen de co

2

dt

lares el res

oordenadas

sultado debe

s, sus

e ser el missmo:


97

luego:

la longitud del arco AB es (Figura 27)

2

01 ( )

r

ABL y dx

2

201

r xdx

y

2 20

r rdx

r x

0

rx

r arcsenr

2r

FIG. 27

y

xA(r,0)

B(0,r)

Escue

98

luego

Ejerc

Halle

Solu

Usan

enton

los lí

como

elaProfesional

o la longitud

L

cicio 14

e la longitud

C

ción

ndo la fórmu

nces

L

L

L

ímites de int

o se observ

deIngenieríaE

d de la circu

42

L r

d del cardioi

: 2(1C r

ula de la lon

22 (L

04 2L

16L tegración, e

va en la Figu

ElectrónicayT

unferencia C

2 r

ide

cos )t

ngitud en co

22 )sent

01 cost

es de 0 a

ura adjunta

O

FIG

t

Telecomunicaci

C es:

oordenadas

2 (1 co

tdt

pues hay

.

G. 28

(r

r = 2(1+

iones

s polares, co

2os )t dt

simetría co

(r,0)

r,t)

+cos )

omo 2r

on respecto

A

2sent

al eje polarr tal


99

Ejercicio 15

Halle la longitud de la curva

2 2 2: ,C x y r z h

Solución

La curva C es la intersección del cilindro 2 2 2x y r y el plano z h tal como se

observa en la Figura 29

sus ecuaciones paramétricas son:

: cos , , 4 ; 0,2C x r t y rsent z t

su longitud es:

2 2 2

2( ) ( cos )L rsent r t dt

2L r

en realidad estamos hallando la longitud de una circunferencia de radio r.

x

y

z

z = h

(0,r,0)

(0,r,h)

x + y = r22 2

C

FIG. 29

Escue

100

Ejerc

Halle

Solu

Las e

como

enton

2

t

elaProfesional

cicio 16

e la longitud

C

ción

ecuaciones

C

o

x

nces:

L

21 4

117 ln 4

2

t

deIngenieríaE

d de la curva

2:C y x de

paramétric

: ,C x t y

' , ' 2x t y

2

01 4L

1ln 2 1

2

4 17

t

ElectrónicayT

a

el punto 0,

cas de la cu

2 , 0, 2t t

2t

24t dt

2

2

0

4t

Telecomunicaci

0 hasta el

urva son

iones

l punto 2, 4


101

2.8. VECTORES UNITARIOS TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

VECTORIAL

Sea ( )F t una función vectorial derivable y C la curva que define ( )F t tal

como se muestra en la figura adjunta.

Los vectores OP y OQ corresponden a los vectores de posición ( )F t y

( )F t h 0h respectivamente,

como

OP PQ OQ ,

entonces PQ OQ OP

multiplicando por 1

h , se tiene:

1 1PQ OQ OPh h

en términos de F

x

z

y

FIG. 31

O

P

QF(t)

F(t + h)C

Escue

102

elaProfesional

1

h

si h tiende

coinciden

y se tiene

F

luego la d

tangencia

Una interp

DEFINICIÓ

Si F

define (F

t se defin

T

como los v

entonces

B

los tres v

“triedro m

para curva

el product

deIngenieríaE

1 1PQ Fh h

e a cero, en

y PQ se c

:

0( ) lim

hF t

erivada F

P.

pretación an

ÓN 1

( )F t es una

( )t , los vect

en respecti

(( )

(

F tt

F t

T

vectores T

(( )

(

F tt

F t

B

vectores un

óvil” pues e

as en el pla

to vectorial.

ElectrónicayT

( ) (F t h F

ntonces el p

convierte en

1m lim

hPQh

es un vect

náloga se d

a función ve

tores tange

vamente co

), ( )

)

tt

tN

( )t y F

) X ( )

) X ( )

t F t

t F t

itarios defin

existen en c

ano, excepto

Telecomunicaci

( )t

punto Q se v

n un vector t

0

( )mF t h

h

or tangente

a para func

ectorial der

nte unitario

omo sigue

( )

( )

T t

T t

( )t son par

nidos son m

cada punto

o el binorm

iones

va acercan

tangente a

) ( )F t

h

e a la curva

ciones vecto

rivable en e

, normal un

( )y t B

ralelos, lo m

mutuament

de la curva

al unitario p

do a P, en e

la curva en

a C en el pu

oriales en e

el espacio y

nitario y bino

( ) X ( )T t N t

mismo que

te ortogona

a C; similar

pues en 2R

el límite P y

el punto P

unto de

el plano.

y C la curva

ormal unitar

)

( )N t y F

ales y se lla

rmente se d

no está de

y Q

,

a que

rio en

( )F t

aman

define

finido


103

DEFINICIÓN 2

Si se fija 0t t , el punto de tangencia es 0P , las rectas que pasan por 0P

en las direcciones de 0 0 0( ),t t y tT N B se llaman respectivamente

“recta tangente, recta normal y recta binormal”.

DEFINICIÓN 3

Los planos “oscular”, “normal” y “rectificante” son los planos formados por

las rectas tangente y normal , normal y birnormal y tangente y binormal

respectivamente. La Figura adjunta ilustra gráficamente todos estos conceptos.

Plano rectificadorPlano normal

Plano osculador

Normal principalp

b

u

Tangente

Bin

orm

al

Curva

FIG. 32

Escue

104

2.9.

elaProfesional

CURVATU

La fu

arco”, der

DEFINICIÓ

Dad

llaman res

como (tT

tiene 2 (T t

multiplican

K

vemos qu

también s

N

De la defi

de variaci

palabras s

en un dete

deIngenieríaE

URA Y TOR

unción real

ivando se ti

ÓN 1

a la curva

spectivame

)t es un ve

). ( ) 0t T t

ndo escalar

( ) ( )t t .K T

e los vecto

on ortogona

( )( )

( )

K tt

tN

k

nición de v

ón de la di

simples, la

erminado p

ElectrónicayT

RSIÓN DE U

( )t

S t iene ( )S t

C, el vec

nte vector c

ector unitar

, luego (tT

rmente los v

1( )

( )t

S t

T

res ( )tK

ales, entonc

)

) que es o

vector curva

irección de

curvatura k

unto.

Telecomunicaci

UNA CURV

0

( ) ,t

tF t

( )F t , lue

ctor ( )t K

curvatura y

rio, entonce

) ( )y tT

vectores K

( ) 0t .T

( )y tT so

ces

otra versión

atura conclu

la curva c

( )k t mide e

iones

VA

0, t fijo se l

ego ( )t T

( )

( )

T t

S t

y su

curvatura d

es 1 ( )T t

) son ortogo

( ) (t yK T

on ortogona

n equivalent

uimos que K

con respecto

l grado de a

llama “Func

( )

( )

F t

S t

norma k

de la curva C

2( ) (T t T .

onales.

)t

ales y como

te de ( )N t

( )tK es el

o a la long

abertura qu

ción Longitu

( ) ( )k t t K

C en t .

( )t derivand

( )t yN

.

vector velo

itud de arc

ue tiene la

ud de

) se

do se

( )tT

cidad

co, en

curva


105

TEOREMA

Dada la curva C, si su curvatura ( )k t

es diferente de cero, existe un número

( )t tal que:

( ) ( ) ( )( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t t tk t t k t t t t y t t

S t S t S t

T N B

N T B N

las fórmulas descritas se llaman “FÓRMULAS DE FRENET – SERRET” y el

número ( )t (función real) torsión de la curva; la torsión mide la tendencia de la

curva o alabearse con respecto al plano oscular.

La forma más directa de hallar la curvatura y la torsión de una curva del espacio

es mediante las fórmulas

3

( ) X ( )( )

( )

F t F tk t

F t

Y 2

( ) X ( ) ( )( )

( ) X ( )

F t F t F tt

F t F t

.

que se deducen de la definición de curvatura y torsión; no hay que perder de

vista que ( ) ( )k t t K donde ( )tK es el vector curvatura; ambos ( )k t y ( )t

son funciones reales de la variable t .

Para curvas en el plano

a. Si : ( )C y f x , entonces

3

2

( )( )

1 ( )

y xk x

y x

, Forma rectangular

b. Si : ( ), ( )C y f x y g t , entonces

Escue

106

2.10

elaProfesional

c. S

e

las curvas

. VECTOR

Si en la

posición d

es el vect

un instan

adjunto

el vector

respectiva

deIngenieríaE

(

( )f t

k tf

Si :C r f

entonces:

2

2

( )r

kr

s planas tien

DESPLAZA

función vec

de una part

or de posic

te arbitrario

velocidad V

amente por

( )tV

x

ElectrónicayT

2

) ( ) (

( ) (

g t g

t g

( )f ; ecua

2

32 22

(2 )r rr

r

nen torsión

AMIENTO, V

ctorial ( )F t

ícula móvil

ción en el in

o t es ( )F t

( )tV y el v

las ecuacio

( )F t y

x

Telecomunicaci

3

2 2

) ( )

)

t f t

t

,

ación polar

cero.

VELOCIDA

, la variab

en el espa

nstante 0t , e

0) ( )F t co

ector acele

ones:

( ) (a t V

z

FIG. 33

O

P

F(T0

iones

Forma re

de la curva

AD Y ACELE

ble t es el ti

cio; si 0t t

el desplaza

omo puede

eración ( )ta

( )t

3

P0

)

F(t)

F(t)

ctangular

,

ERACIÓN

iempo, (F t

0 es el tiem

amiento de

e apreciars

de la part

y

F(T ) 0

) es el vect

mpo inicial, F

la partícula

se en el g

tícula se de

tor de

0( )F t

a para

ráfico

efinen


107


Ejercicio 17

Si C es la curva definida por la función vectorial 21

( ) ,2

F t t t t R i j

halle: los vectores tangente unitario y normal unitario, la curvatura y las ecuaciones

de la recta tangente y normal en 1t .

Solución

La función vectorial que define a la curva C es

21( ) ,

2F t t t

como ( ) 1,F t t entonces

2 2

( ) 1( ) ,

( ) 1 1

F t tt

F t t t

T

evaluando en 1t , se tiene:

1 1

,2 2

T

que es el vector unitario tangente en el punto 1

1,2

como

3 3 12 2 22 2 2( ) (1 ) , (1 ) (1 )T t t t t t t

evaluando en 1t , se tiene

1 1

,2 2 2 2

N

luego

1 1

,2 2

N

Escue

108

la cu

cuya

elaProfesional

urva que def

C

ó

a gráfica se

Hallando

como

entonces

al mismo

deIngenieríaE

fine ( )F t e

: ,C x t y

ó 2

:2

xC y

muestra en

o la curvatu

y x

s

k

o resultado

ElectrónicayT

es la parábo

21

2y t

n la Figura 3

ra en 0 1

P

x e y

3

2

1

21 1

se llega si u

Telecomunicaci

ola:

34.

1,

2

1

1

2 2

usamos las

iones

s ecuacione

s paramétriicas:


109

Hallando la ecuación de la recta tangente

0:P P t L

1 1 1( , ) 1, ,

2 2 2x y

: 2 2 1 0x y L

Hallando la ecuación de la recta normal

0 0:P P N L

1 1 1( , ) 1, ,

2 2 2x y

: 2 2 3 0x y L

Ejercicio 18

Dada la curva 2 2: 2, 2 , 2 2 ,C x t y t z t t

Halle:

a. Los vectores unitarios ,T N y B

b. Las ecuaciones de los planos: oscular, normal y rectificante

c. Las ecuaciones de las rectas tangente, normal y binormal

d. La curvatura y torsión

todo en el punto 0 ( 1,2,0)P

Escue

110

Solu

La fu

en t

a

Halla

Com

enton

luego

elaProfesional

ción

unción vecto

F

1 se tien

a. Como F

entonces

T

en 1t

T

ando B

mo (1) (2F

nces

F

o

B

B

deIngenieríaE

orial que de

2( ) 2F t t

e el punto

( ) 2 ,2F t t

s

2

(2( )

4

tT t

t

1,

6T

2, 2, 4) y

(1) X (1F F

(1)X

(1)X

FB

F

2,0

5B

ElectrónicayT

efine a la cu

2 , 2 , 2 2t t

0 ( 1,2,0)P

2, 4t y

2

, 2, 4)

4 16

t

t

1 2,

6 6

(1) (F

1) 2 2

2 0

i j

X (1)

X (1)

F

F

10,

5

Telecomunicaci

urva C es

2t

( ) (2,F t

2,0,4)

4 8

4

k

i

iones

0, 4)

4k


111

hallando el vector normal N

2 1 1 5 2X 0

5 5 30 30 301 1 2

6 6 6

i j k

N B T i j k

1 5 2, ,

30 30 30N

hay que tener presente que

X , X XB T N N B T y T N B

b. Como el punto de paso es 0 ( 1,2,0)P entonces:

plano oscular OP

0: ( ) 0O P P B .P

: 1, 2, 2,0, 1 0x y z .

: 2 2 0O x z P

Plano Normal NP

0: 0N P P N .P

: 1, 2, 1, 5, 2 0x y z .

: 5 2 11 0N x y z P

Plano Rectificante RP

0: 0R P P T .P

: 1, 2, 1,1, 2 0x y z .

: 2 1 0R x y z P

Escue

112

c

d

Ejerc

elaProfesional

c. Recta ta

P

(

L

Recta No

P

(

L

Recta Bi

P

(

L

d. Curvatur

De la pa

luego

luego la

también

La torsió

cicio 19

deIngenieríaE

angente TL

0P P T

( . , ) (x y z

: 3T x y L

ormal NL

0P P N

( . , ) (x y z

1:

1N

x yL

inormal BL

0P P B

( . , ) (x y z

: 2B x z L

ra y torsión

rte (a) tene

(1)F

k

curvatura e

F

(

ón en el pun

ElectrónicayT

1,2,0) (1

3 0, 0z

N

1,2,0) (1

2

5 2

y z

B

1, 2,0) (

1 0, y

mos

) (2,2,4)

3

(1) X (

(1)

F F

F

en el punto

(1) X (1

(1) X

F F

F F

( 8,0, 4) (

( 8,0, 4

.

nto ( 1,2,0

Telecomunicaci

1,1, 2)

0

1, 5, 2)

2,0, 1)

2

(1) Xy F

(1) ( 8,0

(2, 2,

( 1,2,0) es

2

1) (1)

(1)

F

F

.

2

(0,0,0)0

4)

0) es 0

iones

X (1) (F

3

0, 4) 4

4) 2

s 5

12 6k

8,0, 4)

3

5

6


113

Dada la curva

: 2 2cos , 3 2 , 0, 2C x t y sent t

Halle:

a. Los vectores unitarios tangente y normal

b. La curvatura

c. La ecuación de la recta tangente y normal

todo lo anterior en el 0 (3, 3 3) P de la curva

Solución

a. En coordenadas rectangulares la curva es la circunferencia

2 2( 2) ( 3) 4C x y

tal como se muestra en la Figura 35

la función vectorial que define a la curva C es;

( ) 2 2cos , 3 2 , 0,2F t t sent t

FIG. 35

y

x

C(2, 3)(4, 3)

N

NT

T

Escue

114

b

elaProfesional

el punto

como

entonces

evaluand

el vector

evaluand

b. Hallarem

Como f

entonces

evaluand

deIngenieríaE

0P corresp

( )F t

s

( )T t

do en 3

t

T

r normal uni

( )N t

do en 3

t

( )N t

mos la curva

( ) 2 2cf t

s

( )f t

(f t

do en 3

t

3f

ElectrónicayT

ponde a t

) 2 ,sent

( )

( )

F t

F t

, se tiene

3 1,

2 2

itario es

( )

( )

T t

T t

se tiene

1,

2 2

atura usand

cos t y g

) 2 ,sent

) 2cos ,t

3,3

Telecomunicaci

3

, 2cos t

, cossent

cos ,t se

3

2

do la fórmula

( ) 3 2t s

( ) 2cg t

( )g t

13

g

iones

t

ent

a paramétri

sent

cos t

2sent

ica


115

1, 3

3 3f g

luego

3

2 22

3 3 1 ( 1)

3 1

k

1

2k

c. Ecuación de la recta tangente

0:T P P T L

( , ) 3, 3 3 3,1x y

: 3 6 3 3 0T x y L

Ecuación de la recta normal

0:N P P N L

1 3

( , ) 3, 3 3 ,2 2

x y

: 3 3 2 3 0N x y L

Ejercicio 20

Si C es la curva definida por la función vectorial 2 2( ) , , 4t tF t e e t

halle:

a. Los vectores unitarios ,T N y B

b. Las ecuaciones de las rectas tangentes normal y binormal

c. La curvatura y la torsión

todo lo anterior en el 0(1,1,4)P

Escue

116

Solu

a

elaProfesional

ución

a. Como P

derivand

( ) (F t

evaluand

'(0) (F

luego

el vector

el vector

Como N

N

1

14N

3

7N

deIngenieríaE

0 (1,1,4) CP

do ( )F t

2(2 , ,2t te e

do en 0t

(2, 1,0) ,

T

r tangente u

T

r unitario bin

B

B

XN B T ,

1 2,

14 14

1. 1

4 52

i

3 6, ,

70 70

ElectrónicayT

C , entonces

2 ) , ( )t F t

(0) (4,F

'(0) (2

'(0)

F

F

unitario es

2 1, ,

5 5

normal

0 X

0 X

F F

F F

1,

14

entonces

3, X

14

2 3

1 0

j k

5

70

Telecomunicaci

s 21 te , d

2(4 , ,2)t te e

,1, 2) y F

2 , 1,0)

5

0

0 2,

0 2,

2 3,

14 14

2 1, ,0

5 5

iones

e donde t

) (y F t

(0) (0,F

1,0 X 4,

1,0 X 4,

0

0

) (8 , tt t e

1,0)

1,2

1,2

,0)


117

luego el triedro móvil es

2 1 3 6 5 1 2 3, ,0 , , , , ,

5 5 70 70 70 14 14 14T N y B

b. Como el punto de paso es 0(1,1,4)P entonces

: (1,1, 4) (2, 1, 0),T P R L F. Vectorial

: 2 3 0, 4T x y z L F. Rectangular

Similarmente:

: (1,1, 4) (3, 6, 5),N P R L F. Vectorial

1 1 4:

3 6 5N

x y z L

F. Rectangular

c. Plano oscular:

0: . 0O P P B P F. Vectorial

( 1, 1, 4) ( 1, 2,3) 0x y z .

: 2 3 9 0O x y z P

F. Rectangular

Plano normal

0: . 0N P P T P F. Vectorial

( 1, 1, 4) (2, 1,0) 0x y z .

: 2 1 0O x y P

F. Rectangular

Plano rectificante

0: . 0R P P N P F. Vectorial

Escue

118

d

elaProfesional

( 1,x y

:3O xP

d. Curvatur

es la cur

También

es la tors

deIngenieríaE

1, 4) (3z .

6 5 2y z

ra y torsión

k

1

5k

rvatura en

n

F

1

sión en 0 (P

ElectrónicayT

3,6,5) 0

29 0

F.

3

'(0) X ''

'(0)

F F

F

1 56

5 5

0 (1,1,4)P

'(0) X ''(0

'(0) X

F F

F F

1

14

(1,1,4)

Telecomunicaci

. Rectangul

(0) (2,

2

0) '''(0)

''(0)

F

F

.

iones

ar

3

1,0) X (4,1

(2, 1,0)

( 2, 4,6)

( 2, 4

, 2)

2

(0, 1,0)

4,6)

.


119

De los 20 ejercicios propuestos en esta unidad, resolver mínimo 8, comparar sus

soluciones con las soluciones dadas en cada ejercicio propuesto.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dadas las funciones vectoriales

2 4 3 2 2 3

2 2 3 2 2 22

4 2 2 3 2 2 4 5 10 8( ) , , ( ) , ,

5 6 4 2 2 4 4 8 44

t t t t t t t t tF t y G t

t t t t t t t t tt

halle:

a. 2

lim ( ) ( )t

F t G t

b. 2

lim ( ) ( )t

F t G t

.

c. 2

lim ( ) X ( )t

F t G t

Sol.

a. 5 13

3, ,4 4

b. 13

4

c. 5 49

, , 516 4

Actividadessugeridas

Escue

120

2

3

4

5

elaProfesional

2. Sean las

halle las

a. F

b. F

c. F

Sol.

a. b. 3

c. 3. Halle la

a. F

b. F

c. F

Sol.

a.

b.

c. (

4. Determin

función v

Sol. en l

5. Halle la

la funció

a. F

b. F

c. F

deIngenieríaE

s funciones

( )F t

derivadas

( )F t , en t

( ) ( )F t G t. , e

( ) X ( )F t G t

1,2,3

3

1,1,0

derivada de

2( )F t sen t

( ) 3F t

( ) cosF t t

2cos0,

4

3

, 02

(0,0,0)

ne los punto

vectorial (F

os puntos F

ecuación de

ón vectorial

3( )F t t

( ) cos3F t

( ) ,tF t e e

ElectrónicayT

vectoriales

2t t i j

parciales d

1t

en 1t

) , en 1t

e la función

2 ,t senti j

3 21,ln t 2cos 2ti j

os en que la

3( ) 3t t t

(2) 2,F

e la recta ta

F en el pu

22 , 1,3t t

3 , 3 ,3t sen t t

,te t punto

Telecomunicaci

s

3t y G k

e las siguie

vectorial da

en 2

t

1 , en t

3cos 3tj k

a recta tang

3 2 3,3 ,3t t t

12,14 , F

angente y d

nto indicado

punto (1)F

punto (0F

o (0)F

iones

( )G t t i j

entes funcio

ada en el p

0

, en t

gente a la c

es parale

( 1) 2,F

el plano no

o.

)

0)

1 t k

nes vectori

unto indicad

curva descr

ela al plano

3, 4

rmal a la cu

ales.

do.

rita por la

3x y z

urva descrit

5

ta por


121

Sol.

a. La recta: 1, 2 2 , 3x t y t z plano 2 3x y

b. La recta: 1, 3 , 3x y t z t plano 0y z

c. La recta: 1 2 , 1 ,x t y t z t plano 2 3 0z x y

6. Halle las siguientes integrales definidas

a. 2

0( )F t dt

si 2 2( ) 3 2 3F t t t t k i j

b. 1

0( )F t dt

si 2( ) t tF t e e t i j k

Sol.

a. 4,4,6

b. 2 11,1 ,

2e e

7. Halle la función vectorial ( )F t que define las curvas

a. Recta que pasa por el punto 1,1,0A en la dirección al vector k

b. Recta que pasa por los puntos 1,2,1 2,1,4A y B

c. Parábola 2 4y x

d. Elipse 2 2

41

4 9

x t y

Sol.

a. ( )F t t i j k

b. ( ) 3 3 2F t t t i j k

c. ( ) 1 cos 4 3F t t sent i j

Escue

122

8

9

elaProfesional

8. Halle la

a. F

b. F

c. F

d. F

Sol.

a.

b. x

c. x

d. y

9. Halle la

a. S

b. S

c. C

d. E

Sol.

a. x

b. x

c. x

d. x

OBS: (

deIngenieríaE

ecuación re

( ) (1 cF t

2( ) , ,F t t t

( ) ,tF t e e

( ) 2F t t

21x y

1,xy z x

12

2

yx

2 ,y x z x

ecuaciones

Segmento q

Segmento q

Circunferenc

Elipse: 29x

2,

7x t y

1 2 ,x t y

2 3 ,x t y

2 2cosx

b) una recta

ElectrónicayT

ectangular d

cos ) 1t i

3t

2,t te e

1 2t t i

21 1

2x

1

2

z

3x

s paramétric

que une los

que une los

cia: 2 2x y

24 36y x

2 24,

7 7t t

2, 1y z

3 3 ,y t

s , 1 3t y

a puede ten

Telecomunicaci

de la curva

sent j

2tj k

cas de las s

puntos (A

puntos (1,A

4 6x y

8 4 0y

2,5

2 , 0t t

0,2t

3 ,sent t

ner muchas

iones

definida po

siguientes c

2, 4) y

, 2,3) y B

4 0

0

,1

0,2

ecuaciones

r la función

curvas

(5,2)B del

( 1,2,1)B d

s paramétri

vectorial F

plano

del espacio

icas

F


123

10. Halle la longitud de las curvas dadas

a. 2: 12C y x ,limitado por la ordenada correspondiente a 3x

b. 2 2: 2 9C x y

c. : 2 3 6 , 0,3C x y x

Sol.

a. 6 2 ln 1 2

b. 6

c. 13

11. Halle la longitud de las curvas dadas

a. 2 2: , , 0,4C x t y t t

b. : , 1 cos , 0,2C x t sent y t t

c. : cos , , 0,4t tC x e t y e sent t

Sol.

d. 837 37 1

27

a. 8

a. 42 1e

12. Halle la longitud de las curvas representadas por las funciones vectoriales

a. ( ) cos , 0,2F t t sent sent t i j k

b. ( ) 2 cos2 , 0,1F t t sen t t t i j k

c. ( ) cos3 3 0,2F t t sen t t i j

Sol.

a. 3

b. 21 4 n

c. 6

Escue

124

1

1

1

1

elaProfesional

3. Dada la

halle los

3, 3

indicado

Sol.

T

: 3T xY

: 3N x Y

4. Halle los

curva C

Sol.

1

22T

0 :P x y

5. Halle la

plano no

función v

Sol. :TL

0

:

:B

P

L

6. Lo mism

punto F

Sol. :TL

0

:

:B

P L

deIngenieríaE

curva

:C x

vectores u

3 ; halle t

o

3 1, ,

2 2N

3 9x y

3 6 3y

s vectores u

2: 1 3x t

3, 2, 3 ,2

1 0y z

ecuación de

ormal, el pla

vectorial (F

1, ,x y t

1,

0, N

x y t

z y P

mo que en e

(0)F

1,x t y

1 ,

2

x t y

x y z

ElectrónicayT

2 2cos t

nitarios T

también la e

1,

2N

3 0

3 3 0

unitarios ,T

, 4 ,y t z

1

11N

e la recta ta

ano oscular

( ) cost t i

, :Nz t L

,

: 0,N

t z t

y z

l ejercicio 1

1 ,t z t

1 , 2

0, :N

t z t

P x

Telecomunicaci

, 3 2t y

y N , la

ecuación de

3,

2k

N y B y

24 3t

1, 3,1 , B

angente, la

y el plano r

sent tg j +

1 2 ,x t y

, : 1RP x

5 para la fu

: 3N x tL

0,

t

y z P

iones

2 , 0sent t

curvatura to

e recta tang

1

2

y la ecuació

1,0,

2B

recta norma

rectificante

g t k en el p

0, 0y z

unción vecto

1, 3t y t

: 2RP x y

0,2

odo ene l pu

gente y norm

ón del plano

1,

2

al, la recta b

de la curva

lano (0)P

orial ( )F t

1, 0z

2

unto

mal en el pu

o oscular de

binormal, e

a definida po

, ,t te e t e

unto

e la

l

or la

en el


125

17. Dada la curva

21 1: , ,

t tC x t y z

t t

halle la torsión y la ecuación de su plano oscular en 1t

Sol. 0 : 1 0, 0P x y z

18. Halle la ecuación de la recta tangente, el plano normal y el plano oscular de la

curva C definida por la función vectorial 2 3( )F t t t t i j k en el punto

2,4,8

Sol. 2 4 8

: , : 4 12 1441 2 12T N

x y zP x y z

L

0 :12 6 8 0P x y z

19. Demuestre que la curva C definida por la función vectorial

3 2 3( ) 3 ,3 ,3F T t t t t t tiene curvatura y torsión iguales en todos sus

puntos.

20. Dada la curva

2: , , 2C x t y t z t

halle el triedro móvil en 1t

Sol. 1 1 11,2,2 , 2,5, 4 , 4,0,2

3 3 5 20T N B

Escue

126

elaProfesional

1. Se in

difere

reale

2. Se i

funci

3. Se tr

vicev

4. Se d

travé

noció

deIngenieríaE

ntroduce la

enciales co

es de una va

ntroducen

iones vecto

ransforman

versa de cu

desarrolla un

és del triedr

ón de curva

ElectrónicayT

as funcione

orrespondien

ariable.

las curvas

oriales.

las ecuaci

rvas en el p

n aspecto e

ro móvil: ve

atura y torsió

R

Telecomunicaci

s vectoriale

ntes como

en el pla

ones rectan

plano y en e

elemental d

ectores unit

ón.

Resumen

iones

es de una

una extens

no y en e

ngulares a

el espacio,

de la geome

arios tange

variable y

ión natural

el espacio a

ecuaciones

etría diferen

ente, norma

sus operad

de las func

a través d

s parametri

ncial de curv

al y binorma

dores

ciones

e las

cas y

vas a

al y la


127

A. Fuentes bibliográficas

1. W. Swokowsky Earl (1980).Cálculo con Geometría Analítica. Segunda Edición.

Grupo Editorial Iberoamérica. México D.F.

2. Leithold Louis (2009). El Cálculo. Séptima Edición. Hoxford – Harla. México

D.F.

3. Mitacc Meza Máximo (2005). Cálculo III. Cuarta Edición. Editorial Thales S.R.L.

Lima.

4. Kreyzig Erwin (2003). Matemática Avanzada para Ingenieros: T.I. Tercera

Edición. Editorial Limusa Wiley. México D.F.

5. Larson Rom (2006). Cálculo de Varias Variables. Editorial McGraw–Hill. México

D.F.

B. Fuentes electrónicas

Direcciones de la web, que brindan información adicional, incluidos ejemplos resueltos

y propuestos, que podrán ayudar a la mejor comprensión del curso para verlos,

buscarlos en el campo virtual.

Fuentesdeinformación

Escue

128

Actu

y mid

1

2

3

4

5

elaProfesional

ando con to

da el nivel d

. Dada las

( ) lnF t

halle:

a.

b.

2.

a. P

C

b. H

C

3. Dada la

:C x

halle los

la curvat

4. Dada la

: 1C x

Halle los

torsión e

5. Halle la

: 2C x

deIngenieríaE

oda serieda

de su apren

s funciones

n t senti j

( ) ( )F t G t.

( ) (xF t G t

Parametrice

2 2:C x y

Halle la ecua

: 2C x

curva

2 2cos ,t

vectores u

tura en el p

curva

22 , 2t u

s vectores u

en el punto

longitud de

22 ,t y t

ElectrónicayT

ad, sin ver e

ndizaje. Com

vectoriales

te y k

'

) 't

e la ecuació

4 6 4x y

ación recta

2cos ,t y

3 3y s

nitarios T

unto donde

2 , 2 2t z

unitarios T y

donde t

la curva

, 1, 4t

Auto

Telecomunicaci

el solucionar

mpare sus r

s

2( )G t t i

n de la curv

4 0

ngular de la

3 3sen t

, 0,sent t

y N, la ecu

e 3

t

22 ,t t R

y N, la ecua

1

oevaluació

iones

rio resuelva

respuestas

cos 2t j k

va

a curva

t

2

uación de la

ación del pl

ón

a los ejercic

con el soluc

k

a recta tang

ano oscular

cios propues

cionario.

gente y norm

r, la curvatu

stos

mal y

ura y

UnidaddidácticaIII

CAMPOSVECTORIALESEINTEGRALESCURVILÍNEAS

CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII

131

III Unidad

didáctica:

Campos

Vectoriales e

Integrales

Curvilíneas

3.1. Campos vectoriales y campos escalares

3.2. Derivada parcial de un campo vectorial

3.3. Gradiente de un campo escalar

3.4. Divergencia de un campo escalar

3.5. Rotacional de un campo vectorial

3.6. Integrales curvilíneas

3.7. Propiedades de las integrales curvilíneas

3.8. Independencia de la trayectoria de una integral curvilínea

Esquemadecontenidos

Escue

132

elaProfesional

1

2

3

deIngenieríaE

1. Entende

cálculo d

2. Conoce

de integ

3. Domina

ElectrónicayT

er lo que es

de su deriva

r y operar c

grales curvil

r el cálculo

Compet

Telecomunicaci

s un campo

ada, su rota

correctamen

íneas en el

del Laplaci

tenciasyc

iones

vectorial y

acional y div

nte las técn

plano y en

ano de un c

capacidade

dominar el

vergencia.

icas del cál

el espacio.

campo esca

es

culo

.

alar.


133

Para estudiar los fenómenos de la naturaleza como la gravedad, expansión

del calor; fenómenos electromagnéticos, etc. se requiere un modelo matemático

que lo sustente y explique, en física por ejemplo al considerar el movimiento de

un fluido a cada partícula del fluido representado por un punto ( , , )x y z lo

asociamos un vector ( , , )V x y z que representa la velocidad de la partícula,

estudiar la velocidad de la partícula es estudiar la función vectorial ( , , )V x y z en

términos de sus derivadas parciales y otros operadores diferenciales que se

definen, como lo veremos más adelante.

Las funciones vectoriales de una variable asocian a un número real t un

vector del plano o del espacio, en esta sección extenderemos la correspondencia

entre pares y ternas de números reales; hay varias posibilidades para tal

correspondencia como se muestra luego:

( , ) ( , ) ( , )F x y f x y g x y i j

( , ) ( , ) ( , ) ( , )F x y f x y g x y h x y i i k

( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z f x y z g x y j i k

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z f x y z g x y z h x y z i j k

las correspondencias descritas son transformaciones de la forma:

: n mF R R

A estas transformaciones las llamaremos funciones vectoriales de varias

variables o campos vectoriales.

Introducción

Escue

134

3.1.

Uni

dad

elaProfesional

CAMPOS

DEFINICIÒ

U

es una fun

único vect

:F R

las funcion

reales de

en lo que

S

sigue:

:F R

las propie

campos ve

para funci

para la de

CA

deIngenieríaE

VECTORIA

ÒN 1

Un campo v

nción que a

tor ( , ,F x y z

3 3 /R R F

nes , ,f g h

tres variabl

sigue a ést

Similarmente

2 2 /R R F

dades usua

ectoriales s

ones vecto

erivada se ti

AMPOS VE

ElectrónicayT

ALES Y CA

ectorial de

asigna a cad

)z ; en la not

( , , )F x y z f

son llamad

es de la for

3

3

3

:

:

:

f R

g R

h R

os tipos de

e, un cam

( , ) (F x y f

ales de cont

son general

riales de un

ene:

ECTORIAL

Telecomunicaci

AMPOS ESC

tres variabl

da punto (x

tación usua

( , , )f x y z i

as funcione

rma

/

/ (

/ (

R z f

R z g

R z h

funciones l

po vectoria

( , ) (x y g xi

tinuidad, de

izaciones in

na variable

LES E INTE

iones

CALARES

es o funció

, , )x y z de u

al

( , , )g x y z j

es compone

( , , )

( , , )

, , )

x y z

x y z

x y z

las llamarem

al de dos

, )x y j

erivación, in

nmediatas d

ya estudiad

EGRALES

n vectorial d

una región D

( , , )h x y z k

entes de F,

mos “campo

variables s

ntegración, e

de las corre

da en la unid

CURVILÍN

de tres vari

D del espac

k

son funcion

os escalare

se define

etc. para

espondiente

dad anterio

NEAS

ables

cio un

nes

es”

como

es

or; así


135

3.2. DERIVADA PARCIAL DE UN CAMPO VECTORIAL

DEFINICIÓN 2

Si ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z f x y z g x y z h x y z i j k es un campo vectorial, la

derivada parcial de F con respecto a ,x y y z se define respectivamente

como sigue:

0

0

0

( , , ) ( , , )lim

( , , ) ( , , )lim

( , , ) ( , , )lim

h

h

h

F F x h y z F x y z

x hF F x y h z F x y z

y h

F F x y z h F x y z

z h

si los límites existen, similarmente se definen las segundas derivadas parciales.

como

( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , )F x y z f x y z g x y z h x y z

entonces

1( , , ), ( , , ), ( , , )

Ff x y z g x y z h x y z

x x x x

similarmente para las otras variables parciales.

Si F y G son campos vectoriales, entonces

a. G FF G F G

x x x

. . .

b. X X XG F

F G F Gx x x

lo mismo para las otras variables.

Escue

136

3.3.

a.

b.

c.

elaProfesional

GRADIEN

DEFINICIÓ

Si (u f x

de f deno

en cada p

escalares

es llamado

campo es

si (u f x

( )f g

( )fg f

f g

g

Sea

0 0 0, ,P x y

deIngenieríaE

NTE DE UN

ÓN 3

, , )x y z es u

otado por g

,f

fx

punto ( ,x y

de dos var

ix y

o “operador

calar, así se

f

f

, , )x y z y v

f g

f g g

2

g f f

g

la superfic

0z S , la

0

fP

x

ElectrónicayT

CAMPO E

una función

( )grad f o

, ,f f

y z

, )y z del dom

riables, el op

j ky z

r diferencia

e tiene:

x y

f f

x y

i

i

( , , )g x y z

f

, 0g

g

ie : ( ,S f x y

a ecuación

0x x

Telecomunicaci

SCALAR

n de tres va

o f se de

f f

x y

i j

minio de f ;

perador dif

l NABLA”, e

fy z

f

z

j k

j k

son campo

0

, )y z c , c

del plano ta

0

fP y

y

iones

ariables (ca

efine como s

f

z

k

; la definici

ferencial

es un vecto

f

s escalares

constante,

angente a S

0

fy P

z

ampo escal

sigue:

ón es simil

r simbólico,

s, entonces

si el punto

S en el pun

0 0P z z

ar), el grad

lar para ca

, actúa sobr

nto 0P es:

0

diente

mpos

re un


137

De donde

0 0 0 0 0 0, , , , 0f P f P f P x x y y z zx y z

.

luego el vector gradiente 0f P es normal a la superficie S en cada punto P.

3.4. DIVERGENCIA DE UN CAMPO ESCALAR

DEFINICIÓN 4

Si ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z f x y z g x y z h x y z i j k es un campo vectorial, la

divergencia de F denotado por ( )div F o F . es el campo escalar.

( )

f g hF div V

x y z

.

en la definición x y z

i j k está actuando como un vector y se tiene el

producto interno.

, ,F f g h

x y z

. .

f g h

x y z

Sea el campo escalar ( , , )z f x y z

como el gradiente f es un campo vectorial

entonces

, , , ,f f f

div f V fx y z x y z

. .

2 2 2

2 2 2

f f f

x y z

Escue

138

3.5.

elaProfesional

denotando

se llama

Laplaciano

escalar en

la ecuació

se conoc

satisface l

ROTACIO

DEFINICIÓ

Si ( ,F x y

rotacional

r

hay que t

por si solo

deIngenieríaE

o f . po

22

2

ff

x

“Laplacian

o”; actúa s

ntonces:

22

2

gg

x

ón diferencia

22

2

ff

x

e con el

la ecuación

ONAL DE U

ÓN 5

, ) ( ,y z f x y

de F denot

( ) Xrot F

tener prese

o no es un v

ElectrónicayT

or 2 f la fu

2 2

2 2

f f

y z

o” de f ;

sobre un c

2 2

2 2

g g

y z

al en deriva

2 2

2 2

f f

y z

nombre de

de Laplace

N CAMPO

, ) ( ,y z g xi

tado por ro

X F

ente que

vector.

Telecomunicaci

unción

2

f

; y el ope

campo esca

g

adas parcial

20

f

e “Ecuación

e se llama f

ESCALAR

, ) (y z h xj

( )ot F es el

F . y X

iones

rador 2

alar, así se

les

n de LAPL

función arm

, , )x y z k es

campo vec

F son pura

2 2

2 2x y

e tiene si g

LACE y to

ónica.

s un camp

torial

amente for

2

2z

“ope

g es un ca

oda función

po vectoria

rmales pues

erador

ampo

n que

al, la

s


139

de la definición de rotacional se tiene

( ) X

i j k

rot F Fx y z

f g h

( )h g f h g f

rot Fy z z x x y

i j k

las propiedades del gradiente, divergencia y rotacional lo resumimos en el

siguiente teorema.

TEOREMA 1

Si F y G son campos vectoriales y ,f g son campos escalares, entonces

1. ( ) ( ) ( )div F G div F div G

2. ( ) ( ) ( )rot F G rot F rot G

3. f F f F f F . . .

4. X X Xf F f F f F

5. X X XF G G F F G . . .

6. X XF G G F G F F G F G . . . .

7. X X X XF G G F F G G F F G . . .

8. X 0f (vector cero)

9. X 0F . (cero real)

10. 2X X F F F .

Desde que ( , , ) , ( , , )F x y z G x y z son vectores y ( , , ) , ( , , )f x y z g x y z son

números reales, las propiedades descritas en el teorema, no son más que

propiedades vectoriales del producto interno, producto vectorial y productos

mixtos de vectores vistos ya en cursos anteriores.

Escue

140

Ejerc

Dado

( ,f x

Solu

elaProfesional

Hay que te

rotación, p

r

el menor

considera

cicio 1

o el campo

, , )y z xyz

a. El lapla

b. Diverge

c. Rotaco

d. Diverge

e. Rotacio

ción

a. Si (f x

deIngenieríaE

ener presen

por ejemplo

( )

i

rot Fx

f

compleme

formalmen

vectorial F

, halle:

aciano de f

encia de F

onal de F

encia de f

onal de f F

, , )y z x y

,f f

yzx

ElectrónicayT

nte que cua

o:

i j k

x y z

f g h

entario de

nte como h

y

EJERCI

( , , )F x y z x

f

F

F

y z , entonc

,f f

xzy z

Telecomunicaci

ando se des

i es el de

h g

y z

CIOS RESU

3 lnx z y ei

es sus deriv

fxy

z

iones

sarrolla el d

eterminante

UELTOS

2 2x x j

vadas parc

eterminante

y z

g h

2z k y el ca

iales de prim

e que define

cuyo valo

ampo esca

mer orden s

e a la

or se

lar

son


141

las segundas derivadas parciales

2 2 2

2 2 20 , 0 , 0

f f f

x y z

luego el Laplaciano es

2 0f (Función cero)

b. Divergencia de F

3 2

3 2

2

( ) , , ln , , 2

ln 2

3 ln 2

x

x

x

div f F x z ye x zx y f

x z ye x zx y z

x z e

. .

como pude verse la divergencia de F

2 2( ) 3 ln 2div F x z e

es un campo escalar

c. Rotacional de f

3 2

( ) X

ln 2x

rot F F

i j k

x y z

x z ye x z

Escue

142

elaProfesional

0 ,

y

la rotac

r

d. Diverge

f

luego

e. Rotacio

Como

entonce

deIngenieríaE

y

ye

i

2

3

2

2 ,

x zz

xx y

z

cional de f

( ) 2rot f

encia de f

( )f F xyz

4x yz

( )

( )

f F

f F

.

.

4

onal de f F

4f F x y

es

ElectrónicayT

2 2x

y z

x z

x

x

ye iz

ye

f es el cam

3

2x

xz

j

f F

3 ln , xx z ye

2ln ,z z xy ze

4

,

ln

x y z

x y zx

34 lnx yz z

F

2ln ,yz z xy ze

Telecomunicaci

3 lnx

x z

j

2( 2x zx

mpo vectoria

xye k

2, 2x x z

3, 2x x yz x

4 ln ,x yz z

z x yy

.

2 xxyze x

3, 2xe x yz

iones

2 2z

z x z

3) ( lnz x z

al

2xyz

2 3

2

, ,x

x

xy ze x y

y z ez

3 4x y xyz

2xyz

3 ln

x

x z

k

) (z jx

2

3

2

2

yz xyz

x y zz

x

y

ye

( ) (xye xy

2x y z

3 ln )x z k


143

4 2 3 2

X

ln 2x

i j k

rot f F f Fx y z

x yz z xy ze x yz xyz

3 2 2 4 4 2 2 2 42 ln 2 3 lnx xrot f F x z xz xy e i x y x y z yz x yz j y ze x z z k

Ejercicio 2

Halle un vector normal unitario a la superficie

2 2: 2 4 5 8S xy x z z

en el punto 0 (1,1, 1)P

Solución

Si 2 2( , , ) 2 4 5 8 0f x y z xy x z z

el gradiente de f en el punto (1,1, 1) será el vector normal a la superficie que

representa f , hallándolo

2( ) 2 8 2 4 10grad f y xz x x z i j k

evaluando en (1,1, 1)

( ) 10, 2,6grad f

luego el vector unitario es

5 1 3, ,

35 35 35u

Ejercicio 3

Si ( , , )f x y z xyz y 2( , , ) 4F x y z x y y z x y z i j k

halle 2

f Fx y

Escue

144

Solu

Com

enton

luego

Ejerc

Dem

Solu

Sea

enton

luego

se su

conti

elaProfesional

ción

mo 3f F x

nces:

f Fy

o

2

fx y

cicio 4

muestre que

ción

( , , )F x y z

nces

( )rot F

o

div rot

upone que l

inuas, en es

deIngenieríaE

2 2 2y zi xy z

32x y z i

26F x y z

la divergen

( , , )f x y z i

XF

F .

x

2h

x y

0

las funcione

se caso las

ElectrónicayT

2 2 24j x y z

22x y z j

22z y z i j

ncia de la ro

( , , )g x y z

h g

y z

i

X F

h g

y z

2h g

y x z

es compone

derivadas

Telecomunicaci

2k

2 28 x y z k

216x y z k

otacional de

) ( , ,h x y zj

f h

z x

f

y z

2 2f h

y z y x

entes de F t

mixtas son

iones

e un campo

)z k

g

x

j

h g

x z x

2h g

x z x

tienen segu

iguales.

o vectorial e

f

yk

g f

x y

2 f

z y

undas deriva

es cero.

adas parciaales


145

En términos del operador diferencial , lo que se ha demostrado es

X 0F . (del teorema anterior)

Ejercicio 5

Demuestre que la rotacional del gradiente de un campo escalar es el vector cero.

Solución

En términos del operador diferencial , lo que hay que demostrar es:

X f , donde ( , , )u f x y z es un campo escalar (Teorema 8)

como

, ,f f f

fx y z

entonces

X

i j k

fx y z

f f f

x y z

2 2 2 2 2 2f f f f f f

y z z y z x x z x y y x

i j k

0 0 0 i j k

0

Escue

146

Ejerc

Si F

u f

Solu

En té

Ejerc

Dem

( ,G x

Solu

elaProfesional

cicio 6

( , , )F x y z f

, ,f x y z e

f F .

ción

érminos del

f F .

cicio 7

muestre que

1, , ) (y z g x

a. div F

b. rot F

ción

a. En térm

div F

deIngenieríaE

1( , , )f x y z i

es un camp

f F .

operador d

1f fx

1ff fx

1ffx

f F .

si ( , ,F x y z

2, , )x y z gi

(G div

(G rot F

minos del op

G .

ElectrónicayT

2 ( , , )f x y z

o escalar, d

F f.

diferencial

2f fy

21

fff fx y

32 ff

y z

F f .

1) ( , ,z f x y

2 ( , , )x y z j

) ( )F div G

) ( )F rot G

perador dife

F G

Telecomunicaci

3 ( , ,f x yj +

demuestre q

, lo que ha

2f f fz

22

ff fy

1

ff fx

2) ( ,z f x yi

3 ( , , )g x y z k

)

)

erencial

iones

)z k es un c

que

ay que dem

3f

33

f ff fz x

2 3

f ff fy x

3, ) (y z f xj

k son camp

campo vect

mostrar es:

f

x

f

x

, , )x y z k y

pos vectoria

torial y

ales, entoncces


147

F G . . , por la distribuidad del producto interno

( ) ( )div F div G

luego ( ) ( ) ( )div F G div F div G

b. En términos del operador diferencial

Xrot F G F G

1 1 2 2 3 3

i j k

x y z

f g f g f g

1 2 3 1 2 3

i j k i j k

x y z x y z

f f f g g g

;

por propiedad de determinantes

X XF G

( ) ( )rot F rot G

luego ( ) ( ) ( )rot F G rot F rot G

Ejercicio 8

Halle la rotacional del campo vectorial

2 3( , , ) 3F x y z x y x y z x y z i j k

Solución

2 3

( )

3

i j k

rot Fx y z

x y x y z x y z

Escue

148

luego

3.6.

elaProfesional

o

r

INTEGRA

Las

generaliza

extendere

reemplaza

definida y

línea o int

Las

física y ot

F al despl

DEFINICIÓ

Sea

como se

definidas

partes eli

deIngenieríaE

3

x y zy

xx

3 1x z i

( )rot F x z

ALES CURV

integrales

ación de la

emos la n

ado por una

y acotada s

egral curvil

s integrales

ras áreas, c

azar a una

ÓN 6

C una cu

muestra en

en todo pu

igiendo n

ElectrónicayT

3

3

xz

y zz

3 1yz j

3 31,z y z

VILÍNEAS

s dobles

integral de

noción de

a curva de

sobre esta

ínea”.

de línea s

como por e

partícula a

urva del pla

n la figura

unto de la c

1 puntos

Telecomunicaci

2

3y z

x y

k

k

2x k

2,1 x

y triples

finida b

af

integral e

2R o R

curva ; dic

se presenta

ejemplo el tr

lo largo de

ano que un

36 y ( ,P x y

curvaC , co

dados por

iones

2x yz

han sido

( )f x dx en

en el cual

3R descrita p

cha integra

an de forma

rabajo que

una curva.

ne los punt

)y y ( ,Q x y

onsiderando

r 1 1, ,x y x

3x y zx

introducid

un intervalo

el interv

por una Fun

l será llam

a natural e

realiza un c

tos 1 1,A a b

)y dos func

o una partic

2 2, ...,x y x

3

j

das como

o cerrado

valo ,a b

nción Vecto

ada “integr

en problema

campo de fu

y 2 ,B a b

ciones cont

ción de C

1 1,n nx y s

una

,a b ,

será

orial F

ral de

as de

uerza

2b tal

tinuas

en n

iendo


149

1 1 0 0 2 2 1 1, , , ,n na b x y y a b x y , si 1k k kx x x y 1k k ky y y y

,k k un punto deC situados entre 1 1,k kx y y ,k kx y el límite

1

lim , ,n

k k k k k kn

k

P x Q y

cuando 0 0k kx y y , si existe se llama “integral curvilínea” A lo largo

de C y se denota por

2 2

1 1

,

,( , ) ( , ) ( , ) ( , )

a b

C a bP x y dx Q x y dy ó P x y dx Q x y dy

de forma similar se define la integral curvilínea a largo de C si C es una curva

en el espacio; así se tiene

( , , ) ( , , ) ( , , )CP x y z dx Q x y z dy S x y z dz

1

lim , , , , , ,n

k k k k k k k k k k k kn

k

P x Q Y S z

cuando 0, 0 0k k kx y y z

y ( , , ), ( , , ) ( , , )P x y z Q x y z y S x y z son funciones continuas y el límite existe

Si ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , )F x y z P x y z Q x y z S x y z i j k y , ,dr dx dy dz ,

vectorialmente la integral curvilínea se expresa como:

c cP dx Qdz Sdz F dr .

Escue

150

3.7.

elaProfesional

similarme

donde (F

vectorial.

Si a cada

(campo de

representa

de la curv

PROPIED

TEOREMA

1. Ck

cons

2. cP

3. 2

1

( ,

( ,

a

a b

4. 2

1 1

( ,

( ,

a b

a b

donde 3( ,a

para curv

también s

deIngenieríaE

nte, si C es

cPd

( )x Pi Q

a punto ( ,x y

e fuerza), e

cF dr .

a físicamen

a C.

DADES DE

A 2

( , , )P x y z

stante

( , )P x y dx Q

2

1

)

)( , )

b

bP x y dx

2 )

)( , )

bP x y dx

3, )b es un p

vas en el

e cumplen.

ElectrónicayT

s una curva

dx Qdy

Qj y (dr

, )y z se aso

ntonces la

nte el trabajo

LAS INTEG

( ,dx Q x y

( , )Q x y dy

( , )dx Q x y

( , )x Q x y dy

punto cualq

espacio, e

Telecomunicaci

del plano, s

cF dr .

( , )dx dy , e

ocia a una

integral cur

o total efect

GRALES CU

, )y z dy K

( , )cP x y

1

2

( ,

( ,

a b

a bdy

3 3

1 1

( , )

( , )

a b

a by P

quiera de la

en forma s

iones

se tiene

n ambos c

fuerza F

rvilínea

tuando al de

URVILÍNEA

( , )C

K P x y

(c

dx Q x1

2

)

)( , )

b

bP x y dx

( , )P x y dx Q

curva entre

similar las

casos (F x

que actúa

esplazar el

AS EN EL P

) ( ,dx Q x y

, )x y dy

( , )x G x y d

( , )Q x y dy

e 1 1( , )a b y (a

propiedade

)x es un ca

sobre un o

objeto a lo

LANO

)y dy y k

dy

2 2

3 3

( , )

( , )( ,

a b

a bP x y

2 2, )a b ;

es mencion

ampo

objeto

largo

) ( ,y dx Q x

nadas

)y dy


151

CÁLCULO DE INTEGRALES CURVILINEAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

1. Si los extremos de la curva son los puntos 1 1( , )A a b y 2 2( , )B a b se tiene

a. Si : ( )C y f x entonces:

2

1

( , ) ( , ) ( , ( )) ( , ( )) '( )a

C aP x y dx Q x y dy P x f x dx Q x f x f x dx

b. Si : ( )C x g y , entonces:

2

1

( , ) ( , ) ( ( ), ) '( ) ( ( ), )b

C bP x y dx Q x y dy P g y y g y dy Q g y y dy

2. Si 1 2: ( ) , ( ) , ,C x f t y g t t t t

entonces

2

1

( , ) ( , ) ( ), ( ) '( ) ( ( ), ( )) '( )t

C tP x y dx Q x y dy P f t g t f t dx Q f t g t g t dx

donde 1t y 2t son los valores de t correspondientes a los puntos extremos A y B.

Similarmente si C es una curva del espacio.

3.8. INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA

Bajo ciertas condiciones la integral curvilínea

( , , ) ( , , ) ( , , )CM x y z dx N x y z dy S x y z dz

entre los puntos A y B resulta independiente de la curva que los une, es decir tiene el mismo valor para dos o más trayectorias que unen A y B. Como vemos

luego.

La diferencial ( , , ) ( , , ) ( , , )M x y z dx N x y z dy S x y z dz se dice que es

exacta si existe una función ( , , )f x y z real de tres variables tal que

df Mdx Ndy Sdz donde f f f

df dx dy dzx y z

es la diferencial de

f .

Escue

152

elaProfesional

TEOREMA

Sean func

derivadas

la condició

que la inte

no depend

Si 1 1,A a b

entonces:

CPf

donde df

Si ( , ,F x y

equivalent

F

Particulari

CP

deIngenieríaE

A 3

ciones (M x

parciales d

Mdx Ndy

es exa

ón dada en

egral curvilí

den de la cu

1 1,c y B

Pdx Qdy

2 2 2, ,a b c

Mdx Nd

) ( ,z M x y

te a

( )rot F

izando al pl

( , )P x y dx Q

ElectrónicayT

, , )x y z dx N

de primer or

dy Sdz

acta

el teorema

nea

Curva C sino

2 2 2, ,B a b c

Sdz 1 1 1, ,f a b c

Ndy Sdz

, ) (y z N xi

0

ano el teore

( , )Q x y dy

Telecomunicaci

( , , )N x y z dy

rden tambié

M N

y x

a anterior es

Mdx M

o solo de su

son dichos

2 2 2

1 1 1

, ,

, ,

a b c

a b cPdx

1

, , ) (y z Sj

ema anterio

iones

( , , )y S x y z

én continuas

;N M P

x z x

s condición

dy S dz

us extremos

s extremos,

x Qdy S

( , , )x y z k , la

or, la integra

)dz reales c

s, entonces

P Ny

z

necesaria y

s.

,

Sdz

a condición

al

continuas co

s

M

y

y suficiente

de exactitu

on

para

d es


153

es independiente de la trayectoria C, si solo si existe una función ( , )f x y real tal

que:

, ,df P x y dx Q x y dy

y para que exista la exista f debe cumplirse

P Q

y x

y se tendrá:

2 2

1 1

,

,( , ) ( , ) ( , ) ( , )

a b

C a bP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy

2 2 1 1( , ) ( , )f a b f a b

donde 1 1 1 2 2 2, ,A a b y B a b son los extremos de la curva C.

Escue

154

Ejerc

Halle

desd

Solu

Las e

tal co

luego

elaProfesional

cicio 9

e la integral

de 1, 2 has

ción

ecuaciones

omo se mue

o 2

Cx xy

deIngenieríaE

2

Cx xy

sta 4, 4

paramétric

estra en la g

y dx xy

4 2

12t

4 2

12t

6

5

ElectrónicayT

EJERCI

y dx xy

cas de la cu

grafica 37

2x dy

32 2t dt

32t dt

Telecomunicaci

CIOS RESU

2x dy si

urva son: 1,

3 12t t t

322t t dt

iones

UELTOS

C es parte

,4

12dt

de la paráb

bola 2 4y x x


155

Ejercicio 10

Halle la integral 3 3

Cy x dx x y dy si C es el segmento que une los puntos

1,1 y 2, 4

Solución

La ecuación de la recta que pasa por los puntos 1,1 y 2, 4 es : 2y x L luego

la curva es:

: 2, 1, 2C y x x

tal como se muestra en la figura 38

en términos de x se tiene

3 3

Cy x dx x y dy

2 2 33

1 12 2x x dx x x dx

2 23 3 2

1 12 6 13 8x x dx x x x dx

2 2

16 14 10x x dx

69

Escue

156

Otro

Se tie

Com

depe

funci

por o

por la

si f

x

ésto

deriv

comp

elaProfesional

planteamie

ene ( , )P x y

mo P Q

y x

ende de la c

ión ( , )f x y

(df y x

otro lado: d

a unicidad d

(fdx yx

(fdx y xx

( , )f x y

es porque

vando f co

fx

y

parando

3( )c y x

deIngenieríaE

ento:

3) y x

1Q , la dife

curva C, sol

tal que:

3 ) (x dx x

fdf dx

x

de la diferen

3)y x dx

3)x dx ,

integ

4

4

xxy c

en el proce

on respecto

( )c y x

3 , de donde

ElectrónicayT

( , )y Q x y

erencial y

lo depende

3 )y dy

fdyy

ncial de f

y (

fx

y

grando con

y

so ( )c y es

o a y

3y pues

f

y

e 4

( )4

yc y

Telecomunicaci

3x y

3x dx x

de sus extr

, se cumple

3 )x y dy

respecto a

s constante;

fN dy

y

iones

3x y dy es

remos y por

e

x se tiene

hallando c

s exacta, lue

r ser exacta

( )c y

ego su valo

a existe una

or no

a


157

luego

4 4

( , )4 4

x yf x y xy

evalundo la integral

3 3( ) ( ) (2,4) ( 1,1) 69

cy x dx x y dy f f

Y lo afirmado en el teorema anterior se cumple; téngase presente que esto solo

funciona para diferenciales exactas; C puede ser cualquier curva que pasa los puntos

( 1,1) y (2,4) el valor de la integral curvilínea es independiente de la trayectoria C.

Ejercicio 11

Halle la integral curvilínea

2 3 3(3 2) ( 4 )cx y dx x y dy

si la curva C es el segmento que une los puntos 3,4 4,3y

Solución

Si 2 3 3( , ) 3 2 ( , ) 4P x y x y y Q x y x y

como

23P Q

xy X

la diferencial Pdx Qdy es exacta y la integral curvilínea es independiente de la

trayectoria su valor solo depende de los extremos de C, por ser exacta, existe una

función ( , )f x y tal que:

2 3 3(3 2) ( 4 )df x y dx x y dy

Escue

158

como

enton

si

integ

( ,f x

Halla

luego

La fu

y el

elaProfesional

o también

fdf

x

nces

fdxx

fdyy

grando con

3, )y x 3x y y

ando ( )c x

( ,F x y

x

o '( ) 2c x

unción f e

( , )f x y

l valor de la

2(3Cx y

deIngenieríaE

fdx dy

y

2(3 2)x y dx

3( 4 3)x y dy

respecto a

34y dy c

4 ( )y c x

2)3

yx u c

( )y c x

es

3 4x y y

a integral cu

2) (y dx x

281 142

139

ElectrónicayT

fdx y d

y

dy

y se tiene

( )c x

'( ) (c x M x

2x

2x

urvilínea es

3 34 )x y dy

Telecomunicaci

3( 4dy x y

e

, )x y

(4,3)y f

iones

3)y dy

( 3,4)f


159

Ejercicio 12

Halle la integral curvilínea 2

Cx ydx xydy

si C es la parábola de (1,2) a (2,8)

Solución

La curva

2: 2 , 1, 2C y x x se muestra en el gráfico adjunto.

hallando la integral curvilínea:

2 22 2 2 2

1 1

2 24 4

1 1

2 4

1

(2 ) ( )(2 )(4 )

2 8

10

62

Cx ydx xydy x x dx x x xdx

x dx x dx

x dx

Ejercicio 13

Sea el campo vectorial

2( , , ) (3 6 ) (2 3 ) (2 2 )F x y z x yz x xz xyz i j k

Escue

160

Halle

curva

Solu

elaProfesional

e F dr . de

as:

a. :C x

b. C: el se

c. C es la

ción

a. Como

CF d .

donde

son las

CF .

b. En este

C

luego

CF .

deIngenieríaE

esde el pun

3, ,t y t z

egmento de

a curva que

,dr dx dy

23C

dr x : ,C x t y

s ecuacione

1 2

03dr t

1

013 t 11

3

e caso la cu

: ,C x t y

1

03dr t 1

02

5

2

t

ElectrónicayT

nto (0,0, 0)

3t

e recta con e

se muestra

,y dz , ento

2 6yz dx

2 3, ,t z t

es paramétr

2 56t dt

12

06t dt t

urva C es

, ,t z t t

2 26t t dt

1

02dt dt

Telecomunicaci

hasta punt

extremos (

a en gráfico

onces

2 3x xz

, 0,1t

icas de C, l

1 2

04 6t

8t

0,1

22 3t t

1 3

02t t dt

iones

o (1,1,1) a l

0,0,0) y

40.

2 2dy

uego

15

06t dt

2 2dt

t

lo largo de

(1,1,1)

2xyz dz

1 2 8

06 6t t

32t dt

las siguient

dt

tes


161

c. En este caso la curva C es 1 2 3:C C C C

Donde

1

2

3

: , 0, 0, 0,1

: 1, , 0, 0,1

: 1, 1, , 0,1

C x t y z t

C x y t z t

C x y z t t

tal como se muestra en el gráfico 40

entonces

1 2 3C C C CF dr F dr F dr F dr . . . .

1 1 12

0 0 03 2 2 1t dt dt t

4

Ejercicio 14

SI C es la curva formada por las superficies 2 2 2

1 04 3 1

x y zy z , halle el

trabajo realizado para mover una partícula a lo largo de la curva C en el primer

octante. Si el campo de fuerza está dado por

2 4( , , ) 2 3 2 2 4F x y z x y z x y z xz y z i j k

Escue

162

Solu

En e

elips

para

Lueg

T

elaProfesional

ción

l plano XY

e 2 2

4 3

x y

métricas so

: 4 cC x

go el trabajo

CF dr .

2

02 3x

2

02 4co

2

023se

2

0

23

2se

23cos 2

4t

236

2

deIngenieríaE

Y el campo

1 tal co

on

os , 3t y se

o realizado

2 3Cx y

3y dx x

os 3t se

cos 4ent t

2 24en t

20

12 sen

ElectrónicayT

vectorial es

omo se mue

, 0,2

ent t

es

,y x y d .

y dy

4ent se

248cos 36

2

01 cos 2

20

2 12n t

Telecomunicaci

s ( , )F x y

estra en el g

2

,dx dy

4entdt

6dt

2

02 36t

20t

iones

2 3x y i

gráfico adju

cos 3t sen

dt

x y j y

nto, sus ecu

3cosnt td

y la curva e

uaciones

dt

s la


163

Ejercicio 15

Halle la integral curvilínea

2 2 2

Cx y dx y z dy z x dz

si

a. C: es el segmento que une el origen con el punto 1,1,1

b. C: es la intersección de las superficies 2y x , 3z x desde el origen al punto

1,1,1

Solución

a. La curva de integración es

: , , , 0,1C x t y t z t t

luego 2 2 2


1 2

03

1

2

t t dt

b. Si x t entonces 2 3y t y z t

luego, las ecuaciones paramétricas de la curva C son:

2 3: , , , 0,1C x t y t z t

2 2 2


1 4 3 6 2

02 3t t tdt t t t dt

1 15 4 8 3

0 02 3t t dt t t dt

29

60

Escue

164

Ejerc

Si la

desd

dond

Solu

Las e

Su g

Lueg

CF

elaProfesional

cicio 16

curva C es

de el punto

CF dr .

de ( , , )F x y z

ción

ecuaciones

: ,C x t y

ráfico se m

go

CF dr x .

2

Cx

1

0t

17

5

deIngenieríaE

s la intersec

0, 0, 2 ha

2) (x y x i

paramétric

2 , 2,y t z

uestra en la

2 (x ydx x

2 (ydx x

4 22 4t t t

ElectrónicayT

cción de la s

sta 1,1, 2

)x z x y j

cas de la cu

0,1t

a figura adju

)z dy xyz

2)dz desde

t

Telecomunicaci

superficie ci

halle la int

y z k

urva son

unta

zdz

e que 0dz

iones

ilíndrica y

egral curvil

0

2x y el pla

ínea

ano 2z ,


165

De los 20 ejercicios propuestos en esta unidad, resolver mínimo 8, comparar sus

soluciones con las soluciones dadas en cada ejercicio propuesto.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Si 2 2, , 2F x y z xz y x y i j k es un campo vectorial y 2 2, ,x y z y z = x

es un campo escalar, hallar

a.

b. F .

c. X F

d. div F

e. rot F

Sol.

a. 3 2 3 2 22 3x y z x z x y z i j k

b. - 2z y

c. 22 4x x xy i j

d. 2 4 2 2 3 4 2 23 3 6x y z x y z x y z

e. 4 3 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 44 3 4 8 2x yz x y z x yz x y z xy z x z i j - k

2. Hallar un vector normal unitario a la superficie 2 2: 2 4 5 10 0S x yz z en el

punto (3, 1, 2)P

Sol. 3 2 6

, ,7 7 7

Actividadessugeridas

Escue

166

3

4

elaProfesional

3. Si ,x y

, ,F x y z

a.

b.

c.

d. F

e.

f.

g.

Sol.

a. b. 4

c. d. -

e. 1

f. g. 6

4. Si ,F x

es un ca

a.

b. r

c.

d. r

todo en e

deIngenieríaE

2, 3y z x

23z x y z i

F .

XF

F .

F.

X F

2

6, 1,1

4

1, 8, 5

15

3, 41, 3

6

, , 2y z xz

ampo escala

XF

rot F

X XF

rot grad

el punto 1,

ElectrónicayT

yz es un c

32x y i j

35

3z yz x i j

ar, hallar

F

,1,1

Telecomunicaci

campo esca

2x y zk , ha

3x z k es un

iones

alar y

allar en el p

n campo vec

punto (1,P

ctorial y

1,1)

2, ,x y z x 2y z


167

Sol.

a. i j

b. 5 3 4k i j

c. 5 3i k

d. 0,0,0

5. Mostrar que el campo escalar

2 2 2

1, ,x y z

x y z

es armónica

6. Si 2, , 2F x y z z x x i + j k es un campo vectorial y 2 2 2, , 2x y z x y z ,

hallar XF en el punto 1, 1,1

Sol. 8, 4,4

7. Calcular la integral curvilínea

4,2

1,1x y dx y x dy

a lo largo

a. de la parábola 2y x

b. del segmento que une los puntos 1,1 y 4,2

c. de los siguientes segmentos de 1,1 a 1,2 y de 1,2 a 2,4

d. de la curva 2 22 1, 1x t y t

Sol.

a. 34

3

b. 11

c. 14

d.

32

3

Escue

168

8

9

1

1

1

1

elaProfesional

8. Calcular

0,0 , 3

Sol. 12

9. Si ,F x

0,0,0 a

a. C

b. C

c. C

Sol.

a. 2

1

b. 1

3

c. 5

3

0. Demostr

independ

1. Calcular

2:C x t

Sol. 23

14

2. Hallar la

Sol. 4

3. Calcular

arco que

Sol. cos

deIngenieríaE

r (2Cx y

3,0 (3,2)y

, , (3y z x

(1,1,1)a si:

: ,C x t y

2: ,C x z z

:C segmen

23

15

13

30

5

3

rar que la in

diente del c

r la integral

2 3, 2 ,y t z

integral cu

r la integral

e une los pu

1 e

ElectrónicayT

4) (5y

recorrido e

2 ) (y y i

2 3,t z t

2y

to de recta

ntegral (2,1)

(1,0)camino de in

curvilínea 2 1;t t

rvilínea C

curvilínea

untos 1,0 y

Telecomunicaci

3 6)x dy

en el sentido

22 )z x j k

que une dic

) 42xy y

ntegración y

2Cxy z

0,1

sCtg y dx x

cosx

Ce ydx

0,1y

iones

en torno al

o positivo.

k , calcular

chos puntos

23 dx x

y hallar su v

dx yz dy

2sec y dy de

xx e sen y d

l triángulo d

CF dr .

s.

34xy dy

valor.

x dz a lo l

e 2,0 ha

dy donde C

de vértices

de

es

argo de la c

asta 4,4

B

C es cualqu

curva

4

uier


169

14. Evaluar la integral curvilínea (3,0) 4 3 2 2 4

( 2, 1)4 6 5x xy dx x y y dy

Sol. 60

15. Evaluar la integral curvilínea (2,4)

( 1, 1)y dx xdy

Sol. 5

16. Evaluar la integral curvilínea (2,1) 2

(0,2)2xydx x dy

Sol. 4

17. Evaluar la integral curvilínea (6,4,8)

(1,6, 3)xdx ydy z dz

Sol. 20

18. Evaluar la integral curvilínea

4 3 2 2 44 6 5Cx xy dx x y y dy

si C es cualquier arco que une los puntos 2, 1 3,0y

Sol. 60

19. Hallar la integral curvilínea 2 2Cx dx y x dy donde C es la frontera de

la región limitada por los gráficos de las rectas 0, 0,2 2x y y x y la

parábola 22 4y x

20. Hallar la integral curvilínea 3 2 2 2 22 8 6 1 8 3Cy xz dx xy dy x z dz si

C es cualquier curva que une los puntos 2,0,0 3,2,1y

Escue

170

elaProfesional

1. Se

corre

de u

2. Se d

rotac

3. Se d

espa

4. Se d

integ

deIngenieríaE

definen lo

espondiente

na variable

definen los

cional de un

efinen las i

acio y se da

dan las def

grales curvil

ElectrónicayT

os campos

es como un

.

vectores g

n campo vec

ntegrales c

an los corres

finiciones y

íneas que n

Re

Telecomunicaci

s vectoriale

na extensió

gradiente d

ctorial y se

curvilíneas a

spondientes

y teoremas

no depende

sumen

iones

es y sus

n natural d

de un camp

manejan su

a lo largo de

s teoremas

que permi

en de la tray

operadore

de las funcio

po escalar

us propieda

e curvas en

que permit

iten conoce

yectoria de

es diferenc

ones vecto

y divergen

ades.

n el plano y

ten calcular

er y calcula

integración

ciales

riales

ncia y

en el

los.

ar las

.


171




2. Leithold Louis (2009). El Cálculo. Séptima Edición. Hoxford–Harla. México D.F.


Lima.



5. Larson Rom (2006). Cálculo de Varias Variables. Editorial McGraw–Hill. México

D.F.


Direcciones de la web, que brindan información adicional, incluidos ejemplos resueltos

y propuestos, que podrán ayudar a la mejor comprensión del curso para verlos,

buscarlos en el campo virtual.


Escue

172

Actu

y mid

1

2

3

4

5

elaProfesional

ando con to

da el nivel d

. Halle el g

f

2. Sean los

F

G

halle

a. d

b. r

3. Halle la

Si C es l

4. Halle la

Si C es l

5. Halle la

Si C es e

deIngenieríaE

oda serieda

de su apren

gradiente y

( , )f x y e

s campos ve

2

2

( , )

( , )

F x y x

G x y x y

( )div F

( )rot G

integral cur

2

Cx y dx x

a gráfica de

integral cur

2

Cx dx x y

a curva y

integral cur

22 2Cxy

el segmento

ElectrónicayT

ad, sin ver e

ndizaje. Com

y el Laplacia

y

x

ectoriales

2

lnxyz

z x ye

y z e

i

i j

rvilínea

2x y dy

e la curva x

rvilínea

y dy

22x desde

rvilínea

22y dx x

o que une lo

Autoeval

Telecomunicaci

el solucionar

mpare sus r

ano del cam

2ze x y z

x y z

j

j k

22x y des

e 1,2 a

2 2x dy

os puntos

luación

iones

rio resuelva

respuestas

mpo escalar

yk

sde 2,1

2,8

2, 1 y

a los ejercic

con el soluc

18,3a

4,3

cios propues

cionario.

stos

UnidaddidácticaIV

INTEGRALDESUPERFICIESTEOREMADEGREEN

TEOREMADELADIVERGENCIATEOREMADESTOKES

CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV

175

IV Unidad

didáctica:

INTEGRALES DE

SUPERFICIES –

TEOREMA DE

GREEN

– TEOREMA DE

LA DIVERGENCIA

– TEOREMA DE

STOKES

4.1. Curva simple cerrada y región simple conexa

4.2. Teorema de Green

4.3. Superficies

4.4. Integral de su superficie

4.5. Integral de flujo

4.6. Teorema de la divergencia

4.7. Teorema de Stokes

Esquemadecontenidos

Escue

176

elaProfesional

1

2

3

deIngenieríaE

1. Domina

2. Domina

3. Entende

de Stoke

integrale

ElectrónicayT

r el cálculo

r el cálculo

er los Teore

es y saber a

es curvilíne

Competen

Telecomunicaci

de integrale

del flujo de

emas de Gre

aplicarlos a

as, integral

nciasycap

iones

es de super

e un campo

een, de la D

al cálculo de

es dobles y

pacidades

rficies

vectorial

Divergencia

e áreas,

y triples.

a y


177

Los importantes teoremas que conforman esta sección estudian ciertas relaciones

entre las integrales curvilíneas, las integrales dobles, las integrales triples y las

integrales de superficies que definiremos luego; son los clásicos teoremas del cálculo

avanzado como son: Teorema de Green, el Teorema de Stoker y el Teorema de la

Divergencia, cuyas demostraciones se dan en cursos más avanzados.

Introducción

Escue

178

4.1.

Uni

dad

elaProfesional

CURVA S

DEFINICIÓ

Una

mismo en

C

es cerrada

f

Son curva

es cerrada

DEFINICIÓ

Una

dentro de

así, se dic

una regió

múltipleme

DEFINICIÓ

Sea la cur

C

al variar t

en sentido

INTEO

deIngenieríaE

SIMPLE CER

ÓN 1

a curva “SIM

ningún pun

: ( ) ,C x f t

a si f y

( ) ( )f a f b

as cerradas

a pero no e

ÓN 2

a región pla

la región p

ce que la re

ón con hu

ente conexa

ÓN 3

rva

: ( ) ,C x f t

t de a hasta

o anti horari

NTEGRAL OREMA DE

ElectrónicayT

RRADA Y R

MPLE CERR

nto; es deci

, ( ) ,y g t t

g son con

) ( )y g a

s por ejemp

s simple.

ana es SI

puede reduc

egión es M

uecos es

a,

, ( ) ,y g t t

a b, queda

io al sentido

DE SUPERE LA DIVE

Telecomunicaci

REGIÓN SI

RADA” es u

r: la curva

,a b

tinuas y se

( )g b

lo la circun

MPLEMEN

cirse a un p

MULTIPLEM

simplemen

,t a b

descrito un

o es positivo

RFICIES – ERGENCIA

iones

MPLE CON

una curva c

cumple:

ferencia, el

TE CONEX

punto sin sa

MENTE CON

nte conexa

n sentido o

o y negativo

TEOREMAA – TEOREM

NEXA

cerrada que

lipse, el 8 v

XA si toda

alirse de la

NEXA; en t

a y si tie

dirección d

o en caso c

A DE GREEMA DE ST

e no se corta

visto como

a curva ce

región; si n

érminos sim

ene hueco

de la curva,

contrario.

EN – OKES

a a si

curva

errada

no es

mples

s es

si es


179

Así, si el sentido de la curva C es positivo, denotaremos con –C a la curva en

sentido contrario y se cumple

C C

si la curva es cerrada, la integral curvilínea correspondiente se denotará por

4.2. TEOREMA DE GREEN

Sean ( , ) ( , )P x y y Q x y funciones continuas con P Q

yy x

también continuas en una región simplemente conexa D cuya frontera es una

curva simple cerrada C, entonces:

C

D

Q PPdx Qdy dA

x y

como se dijo en la introducción, éste teorema relaciona bajo ciertas condiciones

una integral curvilínea y una integral doble; tiene muchas aplicaciones como se

verá más adelante.

en el Teorema de Green:

Si ( , ) 0 ( , )P x y y Q x y x ,

entonces C

D

xdy dA A

Si ( , ) ( , ) 0P x y y y Q x y ,

entonces C

D

ydx dA A

Escue

180

Ejerc

Halla

dond

Solu

La cu

la reg

elaProfesional

en ambos

2x

A d

de donde

cicio 1

ar la integra

3

Cx ydx

de C es la c

ción

urva C y la

gión D es:

,D x

deIngenieríaE

s casos A es

Cdy ydx

1

2 CA x

al curvilínea

2 3dx x x

curva cerrad

región que

2, / 0y R

ElectrónicayT

s el área de

x

xdy ydx

EJERCI

xy dy

da formada

encierra se

21;4x x

Telecomunicaci

e la región D

CIOS RESU

por la pará

e muestra e

4y x

iones

D; de lo ante

UELTOS

bola y P :

n el gráfico

erior

24x y la re

o 43.

ecta : y L 4x


181

y 1 2:C C C donde

21 : , 4 , 0,1C x t y t t y

2 : , 4 , 0,1C x t y t t

por el Teorema de Green

3 2 33 2 3C

D

x ydx x xy dy x y x dA

2

1 4 3

0 42 3

x

xx y x dydx

2

421 3

04

2 32

x

x

yxy x y dx

1 4 3 4 5

016 8 20 4x x x x dx

8

3

Luego

3 2 83

3Cx ydx x xy dy

Ejercicio 2

Comprobar la validez del Teorema de Green para la integral curvilínea

2 22Cxy y dx x y dy

si D es limitada por la curva C que forman las parábolas 2 2y x y y x

Solución

La curva 2 2: ,C y x y x y la región D se muestra en el gráfico 44.

si 21 : , 0,1C y x x y 2

2 : , 0,1C x y x

entonces 1 2:C C C

Escue

182

evalu

Tam

Lueg

Halla

la reg

Lueg

elaProfesional

uando en ca

1

2C

xy

bién en 2C

2

2C

xy

go:

ando el equ

gión de inte

D

go

D

deIngenieríaE

ada una de

2y x dx

10

2x

1 5

02x

7

6

:

2y x dx

1 2

02 y 1 2

04y

17

15

1

2C

xy x7 17

6 5 3

ivalente en

egración es

,D x y

D

Q P

x y

ElectrónicayT

las curvas:

2x y dy

2 2x x x

5 2 32x x

x y dy

22y y

5 22 2y y

2x dx x

1

30

integrales

2 / 0R

1

0

PdA

y

1

0

1

0

1

30

Telecomunicaci

:

y

2 dx x

3 dx

y

2ydy

2y dy

dobles

21,x x

21 2

x

xx

1 2x y

122 2x x

iones

22 2x x

2 2y y d

y x

dydx

2

x

xdx

3322 2x x

xdx

dy

dx


183

Luego

11 2

30D

x dA

Como puede verse, se verifica el Teorema de Green.

Ejercicio 3

Usando el T. de Green hallar el área de la circunferencia

2 2 2:C x y r

Solución

En coordenadas paramétricas, la circunferencia es:

: cos , , 0, 2C x r t y rsent t

luego

1

2 CA xdy ydx

Escue

184

Ejerc

Halla

usan

Solu

La re

Si C

dond

elaProfesional

cicio 4

ar el área de

ndo integrale

ción

egión plana

es la curva

C

de:

C

deIngenieríaE

2

0

1

2

2

0

1

2r

2

0

1

2r

2r

e la región p

es curvilíne

y la curva C

a cerrada, e

1C C C

2

1 : ,4

xC y x

ElectrónicayT

cos cr t r

2 2cosr tdt

2r dt

plana limita

eas

C que lo lim

ntonces

2C

0,4x y

Telecomunicaci

cos t dt

2 21

2r sen t

ada por las p

mita se mue

y 2 : 2C y

iones

rsent r

tdt

parábolas y

stra en el g

2 , 0,4x x

rsent dt

2 4y x y

gráfico adjun

4

2 4x y

nto


185

Hallando el área de la región D

1 2C C CA xdy xdy xdy

1 2

4 42

0 0

1

C Cxdy xdy

x x dx x dxx

4 42

0 0

1

2x dx xdx

16

3

Luego 16

3A

Ejercicio 5

Verificar la validez del T. de Green para la integral curvilínea

2 3Cy dy dx xdy

donde D es la región limitada por la circunferencia 2 2 2:C x y r

Solución

Como ( , ) 2 ( , ) 3P x y y Q x y x

entonces

(3 2)D D

Q PdA dA

x y

2

D

dA

r

Escue

186

Lueg

Halla

como

enton

Lueg

lo qu

4.3.

elaProfesional

go:

D

Q

x

ando la inte

o cosx r

nces

go

2cydx

ue demuestr

SUPERFI

VECTOR

Si S es u

variables d

se ha dem

siempre q

simultánea

deIngenieríaE

PdA

y

gral curvilín

,t y r sen

2 3Cydx

3xdy

ra la validez

CIES

NORMAL Y

na superfic

de la forma

mostrado en

ue las deriv

amente, el

ElectrónicayT

2r

nea en coor

, 0, 2nt t

2

03 2xdy

22r

4

4 r 2r

2r

z del Teore

Y REPRES

ie, ésta pue

a:

n 3.4 que el

vadas parci

vector unita

Telecomunicaci

rdenadas po

2

2 rsent

22 2

0sen t d

2 2

0

5

2r r 2 25r r

ma de Gree

ENTACIÓN

ede represe

, ,G x y z

vector grad

ales de G s

ario normal

grad

gradn

iones

olares

rsent dt

22

03dt r

2

0

5

2dt r

en.

N PARAMÉT

entarse por

0

diente grad

sean contin

a S en cad

d G

d G

3 cosr t

2cos t dt

2

0cos 2td

TRICA

una ecuaci

d G es no

uas y no se

da punto es

cosr t dt

dt

ón de tres

ormal a S

e anulan

s


187

si la superficie S está definida por la función ( , )z f x y , haciendo

( , , ) ( , ) 0G x y z z f x y estamos en el caso anterior.

La superficie S se llama “superficie suave” si tiene una única normal n cuya

dirección depende de cada punto de S , será positiva si es hacia afuera y

negativa si es hacia dentro de la superficie.

Si S no es suave pero puede subdividirse en un número finito de partes suaves

se llama seccionalmente suave, por ejemplo la esfera es una superficie suave y

un cubo es seccionalmente suave.

Así como las curvas tienen su representación paramétrica, las superficies

también pueden representarse paramétricamente; eso es lo que haremos a

continuación.

Sea la función vectorial de dos variables

( , ) ( , ) ( , ) ( , )r u v f u v g u v h u v i j k

continua y definida en una región D acotada y simplemente conexa del plano

uv , si ( , )u v varía en todo D la expresión ( , )r u v describe una superficie S en

el espacio 3 , el gráfico siguiente ilustra la correspondencia.

Escue

188

elaProfesional

La función

r

se llama “

x

son las ec

VECTOR

Sea la sup

r

Si 0v v ,

r

determina

Si 0u u ,

r

deIngenieríaE

n vectorial d

( , ) (r u v f u

representac

( , ),x f u v y

cuaciones p

NORMAL

perficie S c

( , ) (r u v f u

la función v

0( , ) (r u v f

a una curva

la función v

0( , ) (r u v f

ElectrónicayT

de dos varia

, ) ( ,u v i g u

ción paramé

( , ),y g u v

paramétricas

A UNA SUP

cuya repres

, ) ( ,u v g ui

vectorial de

0( , ) (u v g ui

1C

vectorial de

0( , ) (u v g ui

Telecomunicaci

ables

) ( ,v j h u v

étrica de la

( , ),z h u v

s de S .

PERFICIE D

entación pa

) ( ,v h u vj

e una variab

0, ) (u v h uj

e una variab

0 , ) (u v h uj

iones

) ; ( , )k u v D

superficie

( , )u v D

DADA EN F

aramétrica e

)v k

ble

0, )u v k

ble

0 , )u v k

D

S , las ecua

FORMA PA

es

aciones

ARAMÉTRICCA


189

determina otra curva 2C , tal como se muestra en el gráfico adjunto.

si , ,u vr u v y r u v , son las derivadas parciales de ,r u v respectivamente,

entonces

0 0 0 0, ,u vr u v y r u v

son los vectores tangentes a las curvas 1 2C y C en el punto

0 0 0 0 0 0, , , , ,f u v g u v h u v respectivamente, el vector normal unitario en

dicho punto es:

0 0 0 0

0 0 0 0

, ,

, ,u v

u v

r u v X r u vn

r u v Xr u v

esto se puede hacer en cualquier punto, luego el vector normal unitario en

cualquier punto de la superficie es:

, ,

, ,u v

u v

r u v X r u vn

r u v Xr u v

ésta fórmula nos da otra forma de hallar el vector normal unitario, cuando la

superficie está dada paramétricamente.

Escue

190

Ejerc

Halle

Solu

En 1

Si r

es la

son s

Si u

si v

tal co

si ur

enton

ur

evalu

el ve

elaProfesional

cicio 6

e la represe

ción

.6 hemos v

x

,a v

r

a representa

x a sen

sus ecuacio

2

se tien

2

se tien

omo se mue

vy r so

nces:

a senv se

uando en u

r

ector norma

n

deIngenieríaE

entación par

visto las coo

cox r sen

v y u

( , )r u v a se

ación param

cos ,nv u y

ones param

ne la curva

ne la curva

estra en la f

n las deriva

, cenu a senv

,2 2

u v

,0,0ur a

l unitario en

0,1,0n =

ElectrónicayT

EJERCI

ramétrica de

ordenadas e

os , y r se

, entonces

cosenv u i

métrica de la

a senv sen

métricas.

1C (meridia

2C (Ecuado

figura adjun

adas parcia

cos ,0u y

2

se tiene lo

0,0vy r

ntre es

= j

Telecomunicaci

CIOS RESU

e una supe

esféricas de

,en sen z

s la función

senv senu

a esfera de

, cosu z a u

ano)

or)

nta,

les de con

covr a

os vectores

0, a

iones

UELTOS

rficie esféric

e un punto,

cosr

vectorial

cosa vj

radio a y

0u con ,

respecto a

os cos , cv u a

s tangentes

ca de radio

las que son

2 , 0

u y v r

cos ,v senu

a.

n:

v

respectivam

a senv

mente,


191

Ejercicio 7

Hallar la representación paramétrica del plano

: 3x y z P

Solución

Si , 3x u y v y z u v

entonces, la función vectorial

( , ) 3 ; ,r u v u v u v u v R i j k

es la representación paramétrica del plano P

Ejercicio 8

Hallar la representación paramétrica de la superficie cilíndrica

2 2: 1 2 9C x y

Solución

Si 1 3cos , 2 3x u y senu

entonces

1 3cos , 2 3x u y senu

Escue

192

luego

es un

son s

Ejerc

Grafi

Solu

Es m

es p

obten

Las e

de la

enton

es la

cónic

elaProfesional

o

r

na represen

x

sus ecuacio

cicio 9

icar la supe

r

ción

muy difícil g

preferible e

ner la ecua

ecuaciones

x

as dos prime

x

nces

x

a ecuación

ca tal como

deIngenieríaE

( , ) 1r u v

ntación para

1 3cosx u

ones param

erficie S cuy

( , )r u v u co

raficar la su

liminar los

ción rectan

paramétric

cos ,x u v y

eras ecuaci

2 2 2x y u

2 2 2x y z

rectangula

se muestra

ElectrónicayT

3cosu i

amétrica de

, 2 3u y

métricas..

ya represen

osv u seni

uperficie da

paramétro

gular y así

cas de la su

,y u senv z

iones eleva

2, como z

ar de la su

a en el gráfi

Telecomunicaci

2 3senu

el cilindro C

3 ,senu z v

ntación para

;nv u uj k

ando valore

os u y v de

identificarla

uperficie S s

z u

ndo al cuad

2u

uperficie; co

ico adjunto.

iones

; ,v uj k

y las ecuac

, ,v con u v

amétrica es

,u v R

es a u y v

e la repres

a.

son:

drado y sum

omo puede

.

v R

ciones

R

s la función

( , )y r u v ,

entación p

mando se tie

e verse es

vectorial

, en estos c

aramétrica

ene

una supe

casos

para

erficie


193

Ejercicio 10

Graficar la superficie S cuya representación paramétrica es

( , ) cos cos

0 2 , 0

r u v a senv u b senv senu c u

con u v

i j k

Solución

Las ecuaciones paramétricas de la elipse son

cos , , cosx a senv u y b senv senu z c u

eliminando los parámetros u y v

tenemos:

cos , , cos

x y zsenv u senv senu c u

a b c

elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro

2 2 22 2 2 2 2

2 2 2cos , cos

x y zsen v u sen v sen u u

a b c

2 2(1) cos

1

sen v u

luego

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

es la ecuación rectangular de la superficie y corresponde a una elipsoide tal como se

muestra en el gráfico adjunto.

Escue

194

4.4.

elaProfesional

INTEGRA

En la

camino de

pasaremo

DEFINICIÓ

Sea S un

continua d

1 2,A A

cada kS fo

k

la integral

define com

S

si el límite

TEOREMA

deIngenieríaE

ALES DE SU

as integrale

e integració

os a definirlo

ÓN 4

na porción d

definida en

... nA resp

ormamos la

1

,k kk

G x y

de superfic

mo sigue:

( , ,S

G x y z

e existe.

A 2 (TEOR

ElectrónicayT

UPERFICIE

es curvilínea

n es una su

o a continua

de una supe

S ; tomand

pectivament

a suma

,k k kz x ,

cie de ( ,f x

00

) limk

nS

ds

EMA DE EV

Telecomunicaci

E

as el camin

uperficie ten

ación.

erficie de ár

o una partic

e y un punt

, )y z sobre

1

,n

kk

G x y

VALUACIÓ

iones

o de integra

ndremos int

ea finita y G

ción 1 2, ,.S S

to kP de coo

S denotad

,k k ky z A

N)

ación es un

tegrales de

( , , )G x y z u

..., nS de S

ordenadas

do por S

G

na curva, si

superficie q

una función

de áreas

, ,k k kx y z

( , , )x y z ds

el

que

en

s se


195

Sea ( , , )u x y z una función definida en S , entonces:

a. Si : ( , )S z f x y tiene derivadas parciales continuas en D , entonces

22

( , , ) , , ( , ) 1S D

f fG x y z dS G x y f x y dA

x y

donde D es la proyección de S al plano XY

b. Si : ( , )S y g x z tiene derivadas parciales continuas en D , entonces

2 2

( , , ) , ( , ) 1S D

g gG x y z dS G x h x z dA

x z

donde D es la proyección de S al plano XZ

c. Si : ( , )S x h y z tiene derivadas parciales continuas en D , entonces

2 2

( , , ) ( , ), , 1S D

h hG x y z dS G h y z y z dA

y x

donde D es la proyección de S al plano YZ

d. Si ( , , ) 1G x y z , entonces

S

A dS es el área en la superficie S

Si ( , , ) ( , , )G x y z x y z representa la densidad de una lámina S en el espacio,

entonces

a. La masa de la lámina es

( , , )S

M x y z dS

Escue

196

Ejerc

Halla

si S coord

Solu

La su

(b).

elaProfesional

b. El ce

c. Los

resp

cicio 11

ar la integra

D

es la super

denados

ción

uperficie S

deIngenieríaE

entro de gra

xM

momentos

pectivament

2x

D

I x

al de superfi

2

D

x yrficie formad

y su proye

ElectrónicayT

avedad ,x

1(

S

x xM

s de iners

te son

2 2y x

y I

EJERCI

icie

dS

da por los p

cción sobre

Telecomunicaci

,y z (mom

, , )x y z dS

1

S

zM

ia de la lá

, ,x y z dS

2z

D

I x

CIOS RESU

planos 3x

e el plano X

iones

mento de ma

1,

S

yM

( , ,z x y zámina S a

, y

D

I

2 ,y x y

UELTOS

2 6 0y

XY

se mues

asa) de la lá

( , ,S

y x y z

)dS

alrededor d

2 2x y

,y z dS

6y z

stran en la f

ámina es:

)z dS

de los ,x y

, ,x y z dS

y los plano

figura 51 (a

y z

S

s

a) y


197

Como 2 3( , ) 6 ( , ) ,0 2 ; 0 3

2z f x y y D x y R x y x

entonces

22

2 2 1S D

f fx y dS x y dA

x y

3

2 3 22

0 0

xx y dy dx

2 2 3

0

21 21 99

2 4 8x x x dx

13

2

Ejercicio 12

Hallar la integral de superficie

2

S

x dS

si S

es la parte del cono 2 2 2z x y

entre los planos 1 2z y z

Escue

198

Solu

Las s

Com

En c

elaProfesional

ción

superficie S

mo ( ,z f x y

S

oordenadas

deIngenieríaE

S

y su proye

2)y x y

2

S

x dS

D

s polares:

1

ElectrónicayT

ección sobr

2y , entonce

2 1D

x

2 1D

xx

22

D

x dA

2 2

1 0

2 2 3

1 0

2 23

1 0

2 3

1

2 3

1

2

2

2

2

2

2

2

15 2

4

r

r

r

r

r dr

Telecomunicaci

re el plano

es

2z z

x y

2

2 2 2

x

y x

2 2

3 2

2

0

cos

cos

1 cos 2

1

2

r

d

s

r

iones

XY

se mue

2zdA

y

2

2 2

ydA

y

2

02

d dr

dr

d dr

sen d

estra en el g

dr

gráfico adjuunto.


199

Ejercicio 13

Usando integrales de superficie, hallar el área de un cilindro circular de radio a y altura

h.

Solución

Sea el cilindro 2 2 2x z a

con eje en el eje Y tal como se muestra en la figura adjunta

Considerando la parte superior del cilindro 2 2z a x

se tiene

22

2 2 1S S

z zA dS dA

x y

Escue

200

luego

4.5.

elaProfesional

o:

2A a h

INTEGRA

El c

en particu

velocidade

delgada a

cruza la m

integral lla

DEFINICIÓ

Si S

punto y F

campo ve

D

Si , ,x y

D

deIngenieríaE

2

2

22

2

a

a

a

a

a

ah

xah

a h

ALES DE FL

oncepto de

ular, si se

es represen

a través del

membrana p

amado integ

ÓN

S es una su

F y es un c

ctorial F s

D

F dS .n

, z es la de

D

F dS .n

ElectrónicayT

20

2 2

2 2

2

h

a

dydx

a xdx

a x

xa x

LUJO

e flujo se pr

considera e

ntado como

l cual se fil

por unidad

gral de flujo

uperficie or

campo vect

obre la sup

ensidad de f

Telecomunicaci

2

2

2

aarcse

resenta en

el movimie

o una funció

tra el fluido

de tiempo,

.

ientada por

torial, la int

perficie S se

fluido, ento

iones

a

a

xena

muchas ram

nto de un

ón vectoria

o, el flujo e

su modelo

r su vector

tegral de flu

e define com

nces la inte

mas de la c

fluido com

l y S como

s el volume

o matemátic

normal uni

ujo o simpl

mo la integr

egral de flujo

ciencia; en

mo un camp

o una memb

en de fluido

co es un tip

itario n en

emente fluj

ral de supe

o

física

po de

brana

o que

po de

cada

jo del

rficie:


201

es la masa de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo.

en la definición anterior, la superficie puede darse en su forma rectangular como:

: , , 0S G x y z

o en su forma paramétrica como

: , , , ,S r u v f u v g u v h u v i j k

en ambos casos, se ha visto como hallar el vector unitario n .


Ejercicio 14

Hallar la integral de flujo del campo vectorial , , 2 2F x y z x y z i j k si la S

superficie es parte del plano 3 2 6x y z

en el primer octante

Solución

La superficie S y su proyección sobre el plano XY

se muestra en el gráfico adjunto

Escue

202

el flu

luego

Ejerc

Halla

Solu

La su

mues

elaProfesional

ujo es

S

F .n

o

S

F ds .n

cicio 15

ar el flujo de

x

ción

uperficie es

stra en el g

deIngenieríaE

2S

dS x

1

14

1

14

6

0

6

0

1

14

1

2

1

2

6

6s

el campo ve

2 2 2x y z

sférica, su p

ráfico adjun

ElectrónicayT

, 2 ,x y z .

2 6

2 6

S

D

x y

x y

1

6 23

0 0

2

2

9

2

56

6

xx

yxy

x x

ectorial F x

2 2a

proyección s

nto

Telecomunicaci

1 3,

14 1

.

2

2 1

y z dS

y z

12

3

0

19 6

2

6

6

x

y

y dx

dx

, ,x y z x

sobre el pla

iones

3 2,

14 14d

1 9

4 4dA

14

2dy dx

x y zi + j k

no XY y e

dS

si S

es la

el vector uni

esfera

tario normaal se


203

como

2 2 2 2: ( , , ) 0S G x y z x y z a

entonces su gradiente es

( ) 2 , 2 , 2grad G x y z

luego el vector normal unitario en cualquier punto es

( ), ,

( )

grad G x y z

grad G a a a

n

dirigido en sentido positivo (hacia afuera), luego el flujo en la semiesfera superior 1S es

1 1

, , , ,S S

x y zF dS x y z dS

a a a . .n

1

1

2 2 2

2 2 2

, ,

1

S

S

x y zdS

a a a

x y z dSa

Escue

204

halla

luego

Ejerc

Halla

para

Solu

La su

elaProfesional

ando la integ

o el flujo en

S

cicio 16

ar el flujo

boloide z

ción

uperficie S

deIngenieríaE

gral en coor

n toda la esf

S

F dS .n

del campo

2 2x y ac

S , su proyec

ElectrónicayT

2

2

2

2

1

11

D

D

D

x ya

aa

da

a

rdenadas p

22

0 0

2

0

3

2

2

a

a

a r

a r a

a

fera es:

34 a

o vectorial

cotado por lo

cción sobre

Telecomunicaci

2 2 2

2

2 2

2 2

y a x

x

a x y

dA

x y

olares

1

22 2

2 2

a r d

a r dr

( , , )F x y z

os planos z

el plano X

iones

2

2

2 2 2

1y

y

y a x

d dr

x y z i j

0z y z

XY se mues

2

2

z z

x y

dAy

zk si S

e

4z

stra en el gr

zdA

y

es la parte

ráfico adjunt

e Del

to


205

Como 2 2: , , 0S G x y z x y z

su gradiente es

( ) , , 2 ,2 1

G G Ggrad G x y

x y z

luego el vector normal unitario es

2 2 2 2 2 2

( ) 2 2 1, ,

( ) 4 4 1 4 4 1 4 4 1

grad G x y

grad G x y x y x y

n

el flujo es

2 2 2 2 2 2

2 2 1, , , ,

4 4 1 4 4 1 4 4 1D S

x yF dS x y z dS

x y x y x y

. .n

2 2

2 2

22 2 2

2 2

2 2

2 2

4 4 1

14 4 1

S

D

D

x y zdS

x y

x y z zdA

x yx y

x y dA

Escue

206

halla

luego

4.6.

elaProfesional

ando en coo

2

0

2

0

2

8

o el flujo es

S

F dS .n

EL TEOR

E

e integrale

Divergenc

integrales

simple, co

En lo que

evaluarse

también p

deIngenieríaE

ordenadas p

2 2

0

2 3

0

2 3

0

.r r d d

r d dr

r dr

8S

EMA DE LA

El teorema d

es dobles t

cia o Teore

de superf

orresponde

sigue D e

y S es la

puede evalu

ElectrónicayT

polares

dr

r

A DIVERGE

de Green en

tiene su an

ema de Ga

ficie, como

a cursos de

es una regió

frontera de

arse.

Telecomunicaci

ENCIA

n el plano R

nálogo en e

auss; éste t

ya se dijo

e cálculo su

ón 3R de e

e la región

iones

2R que rela

el espacio

teorema re

o en 4.1 s

uperior más

en la cual la

D en la cu

aciona integ

3R llamado

laciona inte

u demostra

avanzado.

as integrale

ual la integ

rales curvil

o Teorema

egrales trip

ación no e

es triples pu

ral de supe

íneas

de la

ples e

s tan

ueden

erficie


207

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Sea D una región de 3R acotada por una superficie cerrada S con un

vector normal unitario n en cada punto de S de dirigido hacia el exterior, si F es

un campo vectorial definido a y con derivada parciales continuas en D ,

entonces:

S D

F dS F dV . .n

En palabras simples, éste teorema afirma que el flujo de F sobre S es

igual a la integral triple de la divergencia de F sobre la región D .

Si , , , , , , , ,F x y z f x y z g x y z h x y z i i k

entonces

, , , ,div F F f g h

x y z

. .

f f f

x y z

por otro lado

, ,F f g h

f g h

. .. . .

n n

i n j n k n

luego

S D

f f ff g h dS dV

x y z

. . .i n j n k n

de donde se tiene:

S D

S D

S D

ff ds dV

x

gf ds dV

y

hf ds dV

z

.

.

.

i n

j n

k n

Escue

208

4.7.

elaProfesional

É

en término

las aplicac

EL TEOR

Con

demostrac

avanzado

integrales

TEOREMA

Si S es u

F

es un cam

donde dr

curva es a

superficie

deIngenieríaE

Éstas iguald

os de las fu

ciones del T

EMA DE ST

el mismo

ción, el Teo

cuya dem

de superfic

A DE STOK

na superfic

, ,F x y z

mpo vectoria

CF dr .

, ,dx dy d

antihorario (

(positivo).

ElectrónicayT

dades es otr

unciones co

T. de la Dive

TOKES

o comenta

orema de St

mostración

cie en integ

KES

ie abierta c

, ,M x y z

al con deriva

XS

F

dz y S e

(positiva) y

Telecomunicaci

ra forma de

omponente

ergencia.

rio del teo

tokes es otr

es muy

rales curvilí

uyo contorn

, ,N x y zi

adas parcia

dS.n

es la super

el vector n

iones

expresar e

s de F , la

orema de

ro teorema

laboriosa;

íneas.

no es la cur

,z P x yj

ales continu

rficie :S z

ormal n dir

el teorema d

s cuales so

la Diverge

clásico del

éste teore

rva cerrada

,y z k

uas, entonce

,f x y , e

rigido hacia

de la diverg

on muy útile

encia sobr

cálculo sup

ema transf

simple C y

es

el sentido

a el exterior

encia

es en

re su

perior

forma

y

de la

de la


209


Ejercicio 17

Comprobar la validez del Teoreama de Stokes si S es la superficie del paraboloide

2 21

2z x y limitado por 2z el plano siendo el campo vectorial

2( , , ) 3 4F x y z y xy z i j k

Solución

La figura adjunta ilustra los aspectos gráficos del problema

el teorema de Stokes afirma que

X

S

F dr F dS . .n

evaluando la integral curvilínea

si 2z , entonces 2 2 4x y

luego el contorno de es la curva

: 2 cos , 2 , 2 ; 0, 2C x t y sent z t

Escue

210

luego

así s

Evalu

como

enton

luego

elaProfesional

o

se tiene

uando la int

o ( , , )G x y z

nces el vec

n

o

S

deIngenieríaE

CF dr

.

20CF dr .

tegral de su

X

3

i

Fx

y

2 2x y

ctor normal u

2

x

x y

n

XS

F .n

ElectrónicayT

2

0

2

0

2

0

3 ,

3

3 2

12

8

10

20

C

C

C

y

y dx

s

dt

d

0

uperficie, la

j k

x y z

y xz yz

2z

unitario es

2 2,

1y x

S

ds x n

Telecomunicaci

2

2

2

0

2

0

,

2

8c

4

2 co

x z y z

x xz dy

ent se

sen t

sen

dt

rotacional d

2

2

x zz

2,

1

y

y

2 , 0 ,z z

iones

2

2

2

, ,

2

os

os 2

dx dy d

y z dz

ent dt

t

n t dt

t dt

.

de F es:

3z i k

2 2

1

x y

3z ds .n

2 cos 2

dz

t

k

1

2 cos t dtt


211

2 2

2 2

2 222 2 2 22

22 2 2 22

3

1

3 12 2

32 2

S

D

D

x z zdS

x y

x y x y z zx x dA

x y

x y x yx x dA

en coordenadas polares:

2 22 2 2 2

0 0

6 32 2 3 2

0 0

cos cos 32 2

coscos 3

4 2

r rr r t r t d dr

r t rr t r d dr

2 2 23 3

0 0 0

2 24 2

0 0

6

64 2

20

r dr r dr rdr

r r

luego

XS

F .n = 20

Como puede verse se comprueba la validez del Teorema de Stokes; hay que tener

presente que en la integral curvilínea se ha considerado la orientación negativa de la

curva para compatibilizar con la orientación de la normal que está dirigido hacia

afuera.

Escue

212

Ejerc

Sea

la cu

en el

vecto

Solu

El gr

el Te

evalu

dond

elaProfesional

cicio 18

la superficie

urva C la fro

l gráfico adj

orial ( ,F x y

ción

ráfico descr

eorema de S

uando la int

1C C de

C

C

Y 3 :C x

deIngenieríaE

e S parte d

ontera de c

junto, verific

2, ) 2z x i

ito en el en

Stokes afirm

CF dr .

tegral curvil

2 3C C

1

2

: cos

: 0,

C x

C x y

, 0sent y

ElectrónicayT

de la esfera

ompuesta d

car la valide

2 x y x zj k

unciado es

ma que:

XS

Fínea, la cur

, ;

cos ,

t y sent

y t z

, cos ; 0z t

Telecomunicaci

2 2x y z

de la curvas

ez del Teore

k

:

dS.n

rva de integ

; 0; 0

; 0

z

sent

02

t

iones

2 1z conte

s 1 2,C C y

ema de Sto

gración es:

2

2

t

t

enida en el p

3y C tal co

okes si F e

primer octan

omo se mue

es el campo

nte y

estra


213

luego

2 2C CF dr x dx x y dz xz dz .

1 2 3

1 3

2 2

2 2

2 2 2 22 2

0 0

2 0

2

cos 2cos cos cos

C C C

C C

x dx xy dy dt x dx x z dz

x dx xy dy x dx x z dz

sent t sent dt sen t t sen t t dt

22

0

3 2

0

cos

cos

3

1

3

t sent dt

t

luego

1

3CF dr .

Evaluando la integral de superficie tenemos

2

( ) X 2

2

i j k

rot F F z yx y z

x xy xz

j k

el vector normal unitario a es

( , , )x y zn

luego

X 0, ,2 , ,S S

F ds= z y x y z dS . .n

222 2

2

1 1

S

D

D

yz yz dS

z zy x y

x y

y dy dx

Escue

214

como

enton

luego

como

Ejerc

Sea

la div

y los

Solu

La su

elaProfesional

o

D

nces

o

S

o puede ver

cicio 19

la función v

vergencia. S

planos coo

ción

uperficie es

deIngenieríaE

( , ,D x y z

21 1

0 0

1

3

xy

XS

F .n

rse, se verif

vectorial (F

Si D es la r

ordenados.

stá formada

ElectrónicayT

2) / 0z R

y dy dx

1

3ds n

fica el Teor

2( , , )x y z x

egión del e

por las car

Telecomunicaci

1 ,0x y

ema de Sto

2 2 2y z i j

espacio limi

ras del cubo

iones

21y x

okes

2k , verificar

tado por los

o que se mu

r la validez d

s planos x

uestra en el

del Teorem

1, 1 ,y z

l gráfico adj

ma de

1z

junto.


215

el teorema de la divergencia afirma

S D

F dS F dV . .n

evaluando el flujo de F

en cada cara del cubo

Cara ABGF , si: 1x , vector normal unitario n i

flujo:

1 1

2 2 2, , 1,0,0S S

F dS x y z dS . .n

1

1

2

2 2

1 1

0 0

1

1

S

D

x dS

x xdA

y z

dy dz

donde 2, / 0 1,0 1D y z R y z

(Proyección de S

sobre el plano YZ )

Cara OCDE, 2 : 0S x , vector normal unitario n i

flujo:

2

2 2 2, , 1,0,0S S

F dS x y z dS . .n

0 pues 0x

Cara BCDG: 3 : 1S y , vector normal unitario n j

Escue

216

flujo:

dond

(Proy

Cara

como

Cara

flujo:

elaProfesional

S

de ,D x

yecciones d

a OAFE: 4S

o 0y , en

S

a DEFG: 5S

S

deIngenieríaE

3S

F dS .n

2 / 0z R

de S

sobre

: 0y , vec

ntonces

4S

F dS .n

: 1z , vec

5S

F dS .n

5

1

2

1 1

0 0

1

1

S

D

z

dy dx

ElectrónicayT

3

2 2, ,S

x y z

3

1

2

1 1

0 0

1

1

S

D

y dS

y

x

dz dx

1,0x z

el plano X

ctor normal

0

tor normal u

5

2 2, ,S

x y z

2z z

x y

dx

Telecomunicaci

2 0, 1 ,0z .

2y y

x z

x

1z

XZ )

unitario n

unitario n

2 0, 0 ,1z .

2zdA

y

iones

dS

2

dA

j

k

dS


217

Cara ABCO: 6 : 0S z , vector normal unitario n k

flujo:

6

0S

F dS .n pues 0z

Sumando flujo en S

6

1 0 1 0 1 0 3S

F dS .n

luego

6

3S

F dS .n

evaluando la integral triple

D

F dV .

hallando la divergencia de F

2 2 2, , , ,F x y zx y z

. .

2 2 2

2 2 2

x y zx y z

x y z

como la región de integración es

3( , , ) / 0 1,0 1,0 1D x y z R x y z

entonces

1 1 1

0 0 02 2 2

D

F dV x y z dz dy dx .

Escue

218

como

Ejerc

Verif

F x

2x

elaProfesional

o puede ver

S

cicio 20

ficar el Teor

, , 2x y z x

2 6,y z

deIngenieríaE

rse, se cum

S

F dS .n

rema de la d

2xy z y i

0, 0x y

ElectrónicayT

1 1

0 0

1 1

0 0

1 1

0 0

1

0

1

0

2

2

2

2

2

2

22

3

xy

x

x

mple:

D

F dV .

divergencia

2 3x j k

0, 0z

Telecomunicaci

1

0

2

2

1

2

1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

x y z

zxz yz

x y

yy y

dx

x x

V

a para el cam

k en la regi

iones

12

0

1

0

1

0

2

z dz dy dx

z

dy dx

y

x

mpo vector

ión del espa

ial

acio limitadoo por los plaanos


219

Solución

La región del espacio limitado por los planos 2 2 6, 0, 0, 0x y z x y z es el

prisma triangular D en el primer octante definido por

3, , / 0 3 , 0 3 , 0 6 2 2D x y z R x y x z x y

y mostrado en la figura adjunta.

el teorema de la divergenca establece:

S

F dS F dV . .n

evaluando el flujo deF ; como el vector normal unitario es 2 2 1

, ,3 3 3

n , entonces

2 2 2 12 , , 3 , ,

3 3 3S S

F dS xy y x dS . .n

Escue

220

en el

'D so

luego

Evalu

como

enton

elaProfesional

l cálculo D

obre el plan

o

S

F d .n

uando la int

o F

.

nces

deIngenieríaE

' ,x y

no XY

27dS

tegral triple

, ,x y z

D

F dV .

ElectrónicayT

'

'

14

3

14

3

14

3

S

D

D

xy

xy

xy

'

4 5D

xy x

3 3

0 0

3 2

0

3 3

0

4 3

4

2

4

3

1

3

27

xx

xy

x

x x

2 / 0R x

22 ,xy z

.

4D

V y d

Telecomunicaci

22 2

5 4 2

5 4 2

z y x

x y y

x y y

24 2x y y

2

2

5 4

5 2

3 12

12 27

xy x y

xy y

x x

x

3,0 3y

2 4y y

dV

iones

2

2

3

9 1

9 3

x dS

y

y dA

2 9 dA

2

3

3

0

2 9

29

3

27

7

y y

y

dx

3 x es la

2z

x

3

0

9

9x

dydx

y

a proyección

2zdA

y

n de la regióón


221

3 3 6 2 2

0 0 0

6 2 23 3

0 0 0

3 3 2

0 0

4

4

4 6 2 2

x x y

x yx

x

y dz dy dx

y z dy dz

y xy y dy dz

33 2 2 3

00

3 3 2

0

34 3 2

0

24 3

3

14 3 9 9

3

1 94 9

12 2

27

x

y xy y dx

x x x

x x x x

así se tiene

27F dV .

luego se verifica la validez del Teorema de la divergencia.

Escue

222

De l

soluc

1

2

3

4

5

elaProfesional

os 20 ejerc

ciones con

. Hallar un

a. e

b. e

c. e

2. Evaluar

siendo S

octante.

Sol. 3 1

3. Evaluar

en donde

Sol. 0

4. Hallar el

vértices

Sol. 48

5. Aplicand

C es la

deIngenieríaE

cicios prop

las solucion

na represen

el plano y

el cilindro pa

el cilindro el

la integral d

S

y d

S la porción

14

la integral d

S

yz

e S es la s

flujo del ca

1, 1, 1

do el Teorea

circunferen

ElectrónicayT

puestos en

nes dadas e

EJERCIC

ntación para

x

arabólico z

íptico 2 4x

de superfici

dS

n del plano

de la superf

z dS

uperficie co

ampo vector

ama de Gre

ncia 2 2x y

Actividad

Telecomunicaci

esta unida

en cada eje

CIOS PROP

amétrica de

2y

24 4y

e

3 2x y z

ficie

on la ecuaci

rial , ,F x y

een, calcula

2a recor

dessugeri

iones

ad, resolver

ercicio propu

PUESTOS

e las siguien

6 compre

ión paramé

, 2 ,z x y

ar la integral

rido en sen

idas

r mínimo 8

uesto.

ntes superfic

endida en e

trica x uv

,3z siendo

l 2

Cx y dx

tido antihor

8, compara

cies

el primer

,v y u v

o S el cubo

2x xy dy d

rario.

r sus

con

onde


223

Sol. 2

2

a

6. Aplicando el Teorema de Green, calcular la integral

2 2 2 2lnCx y dx y xy x x y dy

siendo el contorno C del rectángulo 1 4,0 2x y

7. Comprobar el Teorema deGreen para

2 3 2 2Cx xy dx y xy dy

siendo C un cuadrado de vértices 0,0 , 2,0 , 2,2 0,2y .

Sol. Valor común 8

8. Comprobar el Teorema deGreen para

3 2 2

Cx x y dx xy dy

siendo C el contorno de la región común a las circunferencias

2 2 2 24 16x y y x y

Sol. Valor común 120

9. Aplicando el Teorema de Green calcular la integral 32Cx y dx xy dy

siendo C el contorno de la región limitada por las circunferencias

2 2 2 21 9x y y x y

Sol. 60

10. Usando el Teorema de Green calcular el área limitada por la elipse

cos ,x a t y b sent

Sol. ab

11. Calcular la integral de superficie 2 2

S

x y dS siendo S la superficie del cono

2 2 23z x y entre 0 3z y z

Sol. 9

12. Determinar el área del plano 2 2 16x y z limitado por los planos

0, 0, 2, 3x y x y

Sol. 9

Escue

224

1

1

1

1

1

1

1

elaProfesional

3. Hallar la

que se e

Sol. 4

4. Hallar el

porción d

0 1x

Sol. 11

5. Hallar el

esfera x

Sol. 64

6. Hallar el

esfera x

Sol. 4

8

a

7. Verifique

, ,F x y z

2 2x y

Sol. 9

8. Verificar

, ,F x y z

Sol. 4

9. Verificar

, ,F x y z

espacio

Sol. 4

deIngenieríaE

integral de

encuentra e

2

flujo del ca

del parabol

1, 0 1y

10

6

e

flujo del ca

2 2 2x y z

43

flujo del ca

2 2 2x y z

4

e el Teorem

2 3z y x i

2 9z y la

r el Teorema

z x y i j

3a

r el Teorema

( )z x z i

: , ,D x y z

ElectrónicayT

e superficie

n el interior

ampo vector

oide 2z x

ampo vector

4

ampo vector

2a en el p

ma de Stoke

2x zj k sie

a curva C s

a de diverg

z k y es S

a de la dive

( )y z i j +

3 / 0z R

Telecomunicaci

S

x dS sie

r del cilindro

rial , ,F x y

2y que s

rial , ,F x y

rial , ,F x y

primer octan

es para el ca

endo S la p

su contorno

encia para

S la esfera

ergencia par

( )x y+ k s

2 2 1,y z

iones

ndo la S po

o 2 2 1x y

yz e y i +

e encuentra

2z xz i -

2 ,z x y

nte.

ampo vecto

parte superio

o.

el campo v

2 2 2x y z

ra el campo

siendo S la

, 0 2x

orción del p

1

2xy e x yj k

a arriba del

2 3y zj k s

2 2,y z a tra

orial

or de la sup

ectorial

2 2a

o vectorial

a frontera de

plano z y

k siendo S

cuadrado

siendo S la

avés de la

perficie esfé

e la región d

3

la

a

érica

del


225

20. Verificar el Teorema de Stokes para el campo vectoria , ,F x y z z x y i j + k l

siendo el hemisferio superior de la esfera 2 2 2 2x y z a .

Sol. 2a

Escue

226

elaProfesional

1. Se d

el pla

2. Se e

curvi

3. Se d

camp

4. Se e

cálcu

deIngenieríaE

definen las c

ano y en el

estudia el te

ilíneas cerra

efinen las i

po vectorial

estudia el t

ulo de integ

ElectrónicayT

curvas simp

espacio.

eorema de G

adas a travé

ntegrales d

l.

teorema de

rales triples

Re

Telecomunicaci

ples cerrad

Green y su

és de integ

de superficie

e la diverge

s e integrale

sumen

iones

as y las reg

s aplicacion

rales dobles

es y se apli

encia y Sto

es curvilínea

giones simp

nes al cálcu

s.

ca al cálcul

okes y sus

as sobre cu

ples conexa

ulo de integ

lo del flujo d

aplicacion

urvas cerrad

as en

grales

de un

nes al

das.


227




2. Leithold Louis (2009). El Cálculo. Séptima Edición. Hoxford–Harla. México D.F.


Lima.



5. Larson Rom (2006). Cálculo de Varias Variables. Editorial Mc. Graw–Hill.

México D.F.


Direcciones de la web, que brindan información adicional, incluidos ejemplos

resueltos y propuestos, que podrán ayudar a la mejor comprensión del curso para

verlos, buscarlos en el campo virtual.


Escue

228

Actu

y mid

1

2

3

4

elaProfesional

ando con to

da el nivel d

. Usando

Si C es l

2. Comprue

Si C es l

3. Halle la

S

si S es p

4. Halle el f

F

si S es p

deIngenieríaE

oda serieda

de su apren

el teorema

2 2Cx xy

la curva cer

ebe la valid

2Cx y d

la curva cer

integral de

S

x y z

parte del pla

flujo del cam

( , , ) 2F x y z

parte del pla

ElectrónicayT

ad, sin ver e

ndizaje. Com

de Green,

2y dx x

rrada forma

dez del teore

2dx x y

rrada forma

superficie

ds

ano 2x y

mpo vectori

2x y z i j

ano 2x y

Autoeva

Telecomunicaci

el solucionar

mpare sus r

halle la inte

y dy

ada por la pa

ema de Gre

dy

ada por las p

4z en e

ial

z k

6z en e

aluación

iones

rio resuelva

respuestas

egral curvilín

arábola y

een para la

parábolas y

el primer oc

el primer oc

a los ejercic

con el soluc

nea

2x y la rec

integral cur

2y x y x

ctante

ctante

cios propues

cionario.

cta x y

rvilínea

2y

stos

Solucionariosdelasautoevaluaciones

CálculoVectorialAvanzado●Solucionario

231

1. Como

cosx r e y rsen

entonces:

5 cos 53

5cos53

5

2

x

x

x

también:

5 53

5 53

35

2

x sen

x sen

x

luego:

5 3

, 52 2

son las coordenadas rectangulares.

2. Transformando primero a coordenadas rectangulares:

cos

2 cos6

2 cos6

x r sen

x sen

x sen

Solucionariodelaautoevaluación

UnidadI

Escue

232

3

elaProfesional

x

x

y

y

y

y

y

z

z

z

luego 1Transfor

r

r

r

como

Se está

coorden

3. Como

r

entonces

deIngenieríaE

12

2

1

x

x

2

26

12

2

0

y r sen s

y sen

y sen

y

y

cos

2cos

3

z r

z

z

1 , 0 , 3 so

rmando a ci

2 2

21 0

1

r x y

r

r

0

yarc tg

x

consideran

adas cilíndr

2 2r x y

s

ElectrónicayT

1

6

6

0

sen

sen

sen

6

on las coord

ilíndricas

2

do el meno

ricas del pu

2 cosy

Telecomunicaci

denadas re

or valor de

unto 2 ,P

2 2

x

x y

iones

ctangulares

, luego

,6

2

s

1 , 0 , 3

sson las


233

2 2

2 2

3

1x y

x

x y

2 2

2 2

3

1

x y

x y

luego

2 2 3x y x

elevando al cuadrado y simplificando

2 6 9y x

la ecuación correspondiente a la parábola.

4. En coordenadas rectangulares la región de integración es

2 2, / 0 3 , 0 9D x y R x y x

en coordenadas polares es

2' , / 0 3 , 02

D r R r

luego

23 9 32 2 22

0 0 0 09 9

xx y dydx r r d dr

3 2 2

00

3 2

0

9

92

92

r r

r r dr

5. La región de integración es

3, , / 0 2 , 0 , 02 2

D r R r

Luego

2 2 2 2

0 0 0D

y dx dy dz r sen sen r sen d d dr

Escue

234

elaProfesionaldeIngenieríaEElectrónicayT

2 2

0 0 0

2 2 2

0 0

2 2 3

0 0

2 3

0

2 3

0

1

2

4

r

r

r

r

Telecomunicaci

2 3 2

0

2 2

3 2

co

12

2

r sen s

sen

sen dr

sen

iones

2

0

2

0

os

en d d d

d dr

dr

dr


235

1. Producto interior de ( ) ( )F t y G t

2( ) ( ) ln , , , cos , 2tF t G t sent e t t. .

2

2

ln cos 2

1ln 2 2

2

t

t

t t sent t e

t t sen t e

Su derivada

( ) ( ) ' 2 ln cos 2 2 tF t G t t t t t e .

Producto vectorial

2

( ) ( ) ln

cos 2

x t

i j k

F t G t t sent e

t t

2 22 cos 2ln ln cost tt e t t e t t t t sent i j k

Su derviada

2

2( ) ( ) ' 2 cos 2

cosln cos 2

x t t t tF t G t e sent e t te tet

tt sent t t t sent

t

i j

k

2.

a. 2 2: 4 6 4 0C x y x y

: 2 2cos , 3 3C x t y sen t

la curva es una circunferencia con centro 2,3 y radio 3

si ' 2 , 3x x y y

entonces

Solucionariodelaautoevaluación

UnidadII

Escue

236

3

elaProfesional

lu

s

b. C

c

e

la

3. La funció

F

su deriva

F

F

vector ta

T

vector no

N

N

Ec. de la

punto de

deIngenieríaE

:C x

uego

:C x

son las ecua

: 2C x

como: cos t

elevando al

:x

C

a curva es u

ón vectorial

( ) 2F t

ada:

'( ) 2

'( ) 3

F t s

F t

angente unit

'3

'3

FT

F

ormal unita

'(( )

'(

1,

2

T tN t

T t

N

a recta tang

e paso P

ElectrónicayT

' 2 ,x

2 3cos

aciones par

2cos ,t y

2,

4

xs

cuadrado y

22

4

x y

una elipse c

l que define

2cos t i

, 2 cos

3,1

sen t t

tario:

3

2

rio:

)

)

3

2

tsen

t

gente:

1 ,3 3

Telecomunicaci

' 3y y

s , 3t y

ramétricas d

3 3sen t

3

9

ysent

y sumando

23

19

y

con eje foca

e a la curva

3 2sent j

1,2

, cost t

iones

3 3 ,sent t

de la curvas

t

miembro a

al vertical.

C es

j

0,2

s

miembro


237

3 1

: 1 ,3 3 ,2 2

: 3 2 3 3

T

T

P

x y

L

L

Ec. de la recta normal:

1 3

: 1 ,3 3 ,2 2

: 3 3 2 3 0

N

N

P

x y

L

L

Curvatura:

' 2 , cos

'' 2 cos , 2

F t sent t

F t t sent

evaluando en: 3

t

luego:

3

2 22

3 3 1 1 1

23 1

k

4. La función vectorial que define a la curva C es3

2 21 2 , 2 , 2 2F t t t t

Sus derivadas:

' 4 , 2 , 4

'' 4 , 0 , 4

F t t t

F t

Evaluando en 1t

1 1, 2 , 4

' 1 4 , 2 , 4

'' 1 4 , 0 , 4

F

F

F

Vector tangente unitario:

' 14 , 2 , 4

' 6

2 1 2, ,

3 3 3

FT

F

Escue

238

5

elaProfesional

luego T

Vector b

B

B

Vector n

N

luego N

0

0

1

P B

P x

.

Curvatur

K

Torsión:

5. : 2C x

Longitud

L

deIngenieríaE

2 1,

3 3T

binormal uni

'

'

1, 0

2

xx

F FB

F F

B

normal unita

xN B T

1

3 2N

0 0

1 1, 0 ,

2 2

3 0

P P

z

ra:

3

'

'

xF FK

F

' ''

'

xx

F F

F F

22 ,t y t

d:

4 2

11L

ElectrónicayT

2,

3

itario:

'' 1

'' 8 2

1,

2

F

F

ario:

10

22 1

3 3

i j

4 1, ,

3 2 3

0

1, 2x y .

3

1,''F

2

1,'''

''

F

F

.

, 1, 4t

24t dt

Telecomunicaci

8 , 0 , 8

1

2 32

3

k

1

2

2, 4 0z

2,4 4

1,2, 4

x

, 2 , 4 4

'

xxF F

iones

1 4,

3 2 3 2

0

3

, 0 , 4 8

2

23

,0, 4 0,0

''F

.

1,3 2

2

21

, 00


239

4 2

1

42 2

1

1 4

1 11 4 ln 2 1 4

2 2

1 5 12 65 ln 8 65 ln 2 5

4 2 4

t dt

t t t t

Escue

240

1

elaProfesional

. Hallando

f

También

Luego:

El gradie

El Lapla

deIngenieríaE

o la primera

( , )f x y e

2

y

xfe

x x

x y e

2

2

4y

x

fx

x x

y xx

e x

n:

2

2

2

1 y

x

y

fe

y x

f

y y

x e

ente es:

2f x y e

ciano es:

2y

xf e

Sol

ElectrónicayT

a y segunda

y

x

y

x

y

x

2

2

4 2 32

y

x

y

x

x ye

x e

y x y

1

y

x

y

x

y

x

ex

y y

x xe

i

4 2 32x y x

lucionario

U

Telecomunicaci

a derivada p

3 2y x

delaauto

UnidadIII

iones

parcial de f

oevaluació

( , )f x y con

ón

respecto a X


241

2. La divergencia de F

2 2

2 2

2

, , ln , ,

ln

2 ln

z

z

z

F x z x y e x y zx y z

x z x y e x y zx y z

x z x e x y

. .

luego

22 ln zF x z xe x y .

La rotacional de G:

2 2

2 2 22

xxyz

xyz xyz

i j k

Gx y z

x y z e xyz

x z x y e x y z y z y z e x y

i j k

Luego:

2 2 22x xyz xyzG x z x y e x y z y z y z e x y i j k

3. Las ecuaciones parametricas de C son:

2: 2 , , 1,3C x t y t t

luego:

3 22 2 2 2

12 4 2

Cx y dx x y dy t t tdt t t dt

3 5

1

36

1

36

1

12

126

2

1456

t dt

t

t

luego:

2 2 1456Cx y dx x y dy

OBS: este ejercicio también puede ser resuelto usando el Teorema 3.

Escue

242

4

5

elaProfesional

4. Como la

C

entonces

luego: C

5. Sea (M

como M

por el T.

como la

d

como tam

d

entonces

integrand

f

deIngenieríaE

a curva C es

2: 2C y x

s

Cx ydx xy

Cx ydx xy

2( , ) 2x y xy

4M N

y x

3, la integra

diferencial

22df xy

mbién

fdf dx

x

s:

2fdx xyx

do con resp

2

( , )f x y

x y

ElectrónicayT

s:

, 1, 2x

2 2

1y dy x

2

1

2

1

2

10

105

2 32

62

x

x

x

62dy

2 2y y

4xy

al curvilínea

es exacta,

2 2y dx

fdyy

2 2y y dx

pecto a x

2

2

2 2

2

xy y d

y xy c

Telecomunicaci

2

22x dx

24 4

1

4

25

1

8

5

x dx x

x dx

x

( , ) 2N x y

a es indepe

existe una f

22 2x y x d

fy dy

y

dx

c y

iones

2 2

12x x

4dx

22 2x y x

ndiente de

función (f x

dy

22 2x y

4xdx

la curva de

, )x y tal que

2x dy

e integración

e:

n.


243

derivando con respecto a y e igualando a ( , )N x y

2 2( , )2 2 '( ) 2 2

f x yx y x c y x y x N

y

comparando:

' ( ) 0c y

y ( )c y c

luego:

2 2( , ) 2f x y x y xy c

Hallando la integral curvilínea:

2 2

4,3 2 2

2,1

2 2 2 2

2 2 2 2

(4,3) ( 2, 1)

160

Cxy y dx x y x dy

xy y dx x y x dy

f f

finalmente: 2 22 2 2 2 160Cxy y dx x y x dy

Escue

244

1

2

elaProfesional

. El Teore

como D

entonces

luego C

2. Hallando

sea la cu

C

donde

C

C

integran

deIngenieríaE

ema de Gree

CPdx Qdy

,D x y

s

2 2Cx xy

2 2Cx xy

o la integral

urva

1C C C

1

22

: ,

: ,

C x t y

C x t y

do a lo larg

1

2Cx y

ElectrónicayT

en establec

D

dyx

2 / 0R x

2dx x

2dx x y

curvilínea

2C

2 , 0,1

, 0,1

t t

t t

o de 1C

2x y dy

Solucion

Telecomunicaci

ce

PdA

y

21 , x y

D

y dy 1

0

1

0

1

0

4

4

1

3

1

3y dy

nariodela

Unida

iones

x

2 2x x

2

2

1

0

1 2 3

0

4x

x

x

x

x dy dx

x y dx

x x dx

aautoevalu

adIV

x

uación


245

1 12 2

0 0

1 1 12 3

0 0 0

2 2 2

6 2

3

t t dt t t tdt

t dt t dt t

integrando a lo largo de 2C

2

2 22 2 2Ct t t dt t t dt

1 1 13 2

0 0 02 6

3

t dt t dt tdt

luego 2 2 3 3 0Cx y x y dy

Hallando la integral doble

D

PdA

x y

como 2P

x y

entonces

2 2 0D

dA

Luego ser verifica el T. de Green

3. La superficie S es:

: ( , ) 4 2S z f x y x y

luego:

22

4 2 1S D

z zx y z ds x y x dA

x y

4 6D

x dA

donde: 2( , ) / 0 2 , 0 4 2D x y R x y x

Escue

246

4

elaProfesional

La integr

4. La super

S

el vector

n

hallando

S

donde D

deIngenieríaE

ral de super

rficie S es:

: 6S z x

r normal uni

1 2,

6 6n

o el flujo de

S

F n ds .

,D x y

ElectrónicayT

2

0

2

0

2

0

6

6

6

40 6

3

rficie es: S

2y

itario a Z es

1,

6 6

F.

2 , ,S

x y z

2 2

1 6

S

D

x y

x

2 / 0R x

16 3

2

0 0

6

0

(

6

xx

x y

Telecomunicaci

2 4 2

0 0

2 4

00

2

0

4

4

16 12

6

xx

x y

x

S

x y z

s:

1 2, ,

6 6

.

2

1

z ds

z

z

6 , 0x y

1

32

0

6)

x

dydx

y dx

iones

4 2

0

22

z

x dydx

dx

x dx

40 6

3ds

1

6ds

2zdA

y

13

2x


247

6 2

0

118

2x dx

72

luego 72S

F nds .

cálculo vectorial avanzado

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