Campos vectoriales

Laboratorio de Electricidad y Magnetismo 1LF321

Marlon Recarte

Departamento de Fsica

UNAH-VS

Marlon Recarte Practica 2

Campos vectoriales

Calculo vectorial con matlab

Practica # 2.Practica # 2.Practica # 2.

Marlon Recarte Practica 2

Campos vectoriales

Campos vectoriales

Expresamos un campo vectorialV R2 de la forma

V = u(x, y)+ v(x, y).

Las funciones escalares u, v son llamadas componentes del campo.

Los campos vectoriales se representan con la instruccion

>>quiver[x,y,u,v].

El comando [x,y]= meshgrid(a,b) toma dos vectores de entrada a, b ycrea dos matrices bidimensionales y las asigna a las variables x e y.

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Campos vectoriales

Ejemplo

Graficar el campoV = x y en el cuadrado [1, 1] [1, 1]

>>[x,y]=meshgrid(-1:0.5:1)

>>u=x, v=-y

>>quiver(u,v), axis square

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Campos vectoriales

Campos vectoriales

Expresamos un campo vectorialV R3 de la forma

V = u(x, y)+ v(x, y)+ w(x, y).

Las funciones escalares u, v, w son llamadas componentes del campo.

Los campos vectoriales se representan con la instruccion

>>quiver3[x,y,z,u,v,w].

Marlon Recarte Practica 2

Campos vectoriales

Ejemplo

Graficar el campoV = x+ y z en el cubo [1, 1]3

>>[x,y,z]=meshgrid(-1:0.1:1)

>>u=-x, v=y,w=z

>>quiver(x,y,z,u,v,w), axis square

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Campos vectoriales

Gradiente de un campo escalar

El gradiente de un campo escalar f(x, y, z) se define como

f =(f

x,f

y,f

z

)Podemos graficar al gradiente de f puesto que es un campo vectorial.

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Campos vectoriales

Ejemplo

Graficar el gradiente de f(x, y) = 9 x2 y2 en [5, 5]

[x,y]=meshgrid(-5:1:5)

vx=-2x

vy=-2y

quiver(x,y,vx,vy);

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Campos vectoriales

Curvas de Nivel con el comando contourcontourcontour

[x,y]=meshgrid(-5:1:5)

vx=-2x

vy=-2y

quiver(x,y,vx,vy);[x,y]=meshgrid(linspace(-5,5,50))

z=9-x.^2-y.^2

hold on

contour(x,y,z)

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Campos vectoriales

Calculo del gradiente

Sea f una funcion vectorial

f(x, y, z) = f1(x, y, z)+ f2(x, y, z)+ f3(x, y, z)

Se define la matriz jacabiana

J(f) =

f1x

f1y

f1x

f2x

f2y

f2z

f3x

f3y

f3z

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Campos vectoriales

La matriz jacobiana se obtiene con el comando

jacobian([f1,f2,f3],[x,y,z])

Las variables x, y, z deben estar definidas como variables simbolicas.

Notese que si f es una funcion escalar entonces

J(f) = fEjemploEjemploEjemplo : Calcular el gradiente de la funcion f(x, y, z) = x2y + ex+y z

jacobian(x^2*y+exp(x+y)*z,[x,y,z])

ans =

[ 2*x*y + z*exp(x + y), z*exp(x + y) + x^2, exp(x + y)]

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Divergencia

Sea A una matriz de dimension 3 3.

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal.

Traza(A) = a11 + a22 + a33.

Entonces para una funcion vectorial f

Traza(J(F )) = Div(f)

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Campos vectoriales

La traza de una matriz A se calcula con el comando

trace(A)

EjemploEjemploEjemplo Calcular la divergencia del campo V = xy+ zy zx2trace(jacobian([x*y,z*y,-z*x^2],[x,y,z]))

ans =

- x^2 + y + z

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Rotacional

Sea f una funcion vectorial

f(x, y, z) = f1(x, y, z)+ f2(x, y, z)+ f3(x, y, z)

Se define el rotacional de f como

f =(f3y f2

z

)+

(f1z f3

x

)+

(f2x f1

y

).

El rotacional puede calcularse a partir de la matriz jacobiana.

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EjemploEjemploEjemplo Obtener el rotacional del campo V = xcos(y)+ xy2

j=jacobian([x*cos(y),x*y^2,0],[x,y,z]);

rot=[j(3,2)-j(2,3),j(1,3)-j(3,1),j(2,1)-j(1,2)]

rot =

[ 0, 0, x*sin(y) + y^2]

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