cálculo usando matlab

Resumo da matéria de cálculo com o uso do MATLAB - Antonio Sérgio Nogueira

A derivada aproximada 1)Função diferenciável

Uma função f é diferenciável se em cada ponto do domínio o gráfico graf(f) tiver uma reta tangente. A reta tangente no ponto (a, f(a)) tem um coeficiente angular m e nós diremos que f′(a) = m. A função derivada, f′ é uma outra função que descreve as derivadas de f e portanto as taxas de variação instantâneas de f. No Cálculo dizemos que a derivada define a reta tangente ao gráfico.

Figura de tangente e 3 secantes.

Se f representar a parte da equação e a o ponto onde temos a tangente, então derivada de f é f'(a) no ponto (a,f(a)).

Como podemos ver na figura temos uma tangente e 3 secantes, as secantes são aproximações da tangente. Como temos 3 secantes podemos dizer que o coeficiente angular de uma das secantes é:

m= f(a+h)-f(a) (a+h) – a

Quanto mais próximo estiver (a+h) de a mas preciso será o valor do coeficiente angular da secante, relativamente ao desejado coeficiente angular da tangente.


Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida

num intervalo de números reais.

Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função

y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + ∆x0 :

Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:

Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y' ou dy/dx.

Guarde então a seguinte conclusão importante:

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0.

Voltando a figura 1 dizemos:

f' (a)=f(a+h) – f(a) x=a e x1=a+h (a+h) – a


f'(x)= f(x1)-f(x)

h

y(x1)=f(x1), f'(x)=y'(x), f(x)=y(x)

y(x1)-y(x)= h* f'(x)


2)Interpolação polinomial

Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra

função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça

algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição à função f(x). A

necessidade de se efetuar esta substituição surge em várias situações, como por

exemplo:

a.)quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; b.)quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas.

Denomina-se interpolação polinomial o processo matemático de interpolação em que a função interpoladora é um polinômio. A função interpoladora é a função Definidos um intervalo e uma função denomina-se interpolação o processo matemático de avaliar substituindo-se a função pela função interpoladora de modo que ( ). Assim, é a função real, definida em da qual conhecem-se os valores nos pontos de abcissas ( ). Consideremos um conjunto de pontos (designados nós de interpolação) x0 , ... , xn , a que estão associados os valores de uma função f0 , ... , fn, respectivamente. Pretendemos encontrar um polinômio p tal que

p ( xi ) = fi para i = 0, ..., n.

O polinómio de 3º grau interpola a função em 4 pontos

Escrevendo p( x ) = a 0 + a 1 x + ... + a m x m , obtemos o sistema


a 0 + a 1 x 0 + ... + a m x 0m = f 0 ... a 0 + a 1 x n + ... + a m x nm = f n

Exemplo: Dados os pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)), portanto (n + 1) pontos, queremos aproximar f(x) por um polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que: f(xk) = pn(xk) k = 0, 1, 2, ..., n Surgem aqui as perguntas: existe sempre um polinômio pn(x) que satisfaça estas condições? Caso exista, ele é único? Representaremos pn(x) por: pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn. Portanto, obter pn(x) significa obter os coeficientes a0, a1, ..., an. Da condição pn(xk) = f(xk), " k = 0, 1, 2, ..., n, montamos o seguinte sistema linear:

com n + 1 equações e n + 1 variáveis: a0, a1, ..., an. A matriz A dos coeficientes é

que é uma matriz de Vandermonde e, portanto, desde que x0, x1, ..., xn sejam pontos distintos, temos det (A) ≠ 0 e, então, o sistema linear admite solução única. Demonstramos assim o seguinte teorema: Existência e unicidade do Polinômio Interpolador

Existe um único polinômio pn(x), de grau £ n, tal que: pn(xk) = f(xk), k = 0, 1, 2,..., n, desde que xk ≠ xj, j ≠ k.


Exercício: Dado x=[0 1 2 3] e y=[-5 -6 -1 16]. Calcular o polinômio interpolador e o valor de x=1.5. Desenhe o gráfico da função e o pontos. Solução MatLab: %Interpolação x=[0 1 2 3]; x=x'; % transformando em matriz coluna y=[-5 -6 -1 16]; y=y' %transformando em matriz coluna % polinômio interpolador p(x)=ao+a1*x+a2*x^2+a3*x^3 % A*p=y A= [ 1 x(1) x(1)^2 x(1)^3; 1 x(2) x(2)^2 x(3)^3; 1 x(3) x(3)^2 x(3)^3; 1 x(4) x(4)^2 x(4)^3]; % calcula p através da matriz inversa p=inv(A)*y; disp(p); %mostra valores de a0,...,an do polinômio %entre o valor a ser interposto interp=input('Digite o valor:'); resultado=p(1)+p(2)*interp+p(3)*interp^2+p(4)*interp^3; disp(resultado); %mostra resultado %definindo uma matriz de valores a serem calculados xx=0:0.01:4; res=p(1)+p(2)*xx+p(3)*xx.^2+p(4)*xx.^3; plot(x,y,'r+',xx,res,'-'); Resultado: Digite o valor:1.5 -5.5000


Exercício 2: resolução Vandermonde clc clear %Interpolação x=[0 1 2 3]; % transformando em matriz coluna y=[-5 -6 -1 16]; y=y' %transformando em matriz coluna % polinômio interpolador p(x)=ao+a1*x+a2*x^2+a3*x^3 % A*p=y A=vander(x) %calcula matriz p=inv(A)*y %definindo uma matriz de valores a serem calculados xx=0:0.01:4; res=p(4)+p(3)*xx+p(2)*xx.^2+p(1)*xx.^3; plot(x,y,'r+',xx,res,'-'); Resposta:p = 1.0000 0.0000 -2.0000 -5.0000


Exercício 3: Dados os valores x=[00 450 600 900] y=[1 √2/2 ½ 0] Calcular o Valor de 350 usando interpolação. Vamos transformar graus em radianos: x=[0 π/4 π/3 π/2] Solução MatLab: %interpolacao cosseno clc clear y=[ 1 sqrt(2)/2 1/2 0]; y=y'; x=[ 0 pi/4 pi/3 pi/2]; A=[1 x(1) x(1)^2 x(1)^3; 1 x(2) x(2)^2 x(2)^3; 1 x(3) x(3)^2 x(3)^3; 1 x(4) x(4)^2 x(4)^3]; p=inv(A)*y; %interpolação de valor valor=input('Leia valor em graus a ser interpolado:'); valor=valor/180*pi; resnum=p(1)+p(2)*valor+p(3)*valor.^2+p(4)*valor.^3; %interpolacao de varios valores xx=0:0.1:pi/2; res=p(1)+p(2)*xx+p(3)*xx.^2+p(4)*xx.^3; plot(xx,res,'-',xx,cos(xx),'r.',valor,resnum,'+b');


Lagrange Interpolação

Dado um conjunto de k +1 pontos:

com todos xj distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange é a combinação linear dos polinômios da base de Lagrange:

,

com polinômios da base de Lagrange dados por:

p(x)=y0 L0(x)+y1 L1(x)+........+yn Ln(x)


Note que: L1(x1)=1 …., Ln(xn)=1 e que Lo(xn) onde n≠0 Lo=0 ….

Exercício: Dado Ө= [0 45 60 90] e y=[1 √2 /2 1/2 0] . Obter a aproximação de 35o por Lagrange. Resolução: Transformando Ө em radianos temos: Ө=[0 pi/4 pi/3 pi/2]=[0 0,79 1,05 1,57] 35 o = pi*35/180=0,611 → x=? L1(x)= (x-x2) (x-x3) (x-x4) (x1-x2)(x1-x3)(x1-x4) L2(x)= (x-x1) (x-x3) (x-x4) (x2-x1)(x2-x3)(x2-x4) L3(x)= (x-x1) (x-x2) (x-x4) (x3-x1)(x3-x2)(x3-x4) L4(x)= (x-x1) (x-x2) (x-x3) (x4-x1)(x4-x2)(x4-x3) p(0,611)=1*L1+√2 /2*L2+1/2*L3+0*L4 Solução no MatLab: %Lagrange interpolação clear clc


%Lagrange interpolação v=pi/3 x=[0 pi/4 pi/3 pi/2] y=[1 sqrt(2)/2 1/2 0] L(1)=((v-x(2))*(v-x(3))*(v-x(4)))/((x(1)-x(2))*(x(1)-x(3))*(x(1)-x(4))); L(2)=((v-x(1))*(v-x(3))*(v-x(4)))/((x(2)-x(1))*(x(2)-x(3))*(x(2)-x(4))); L(3)=((v-x(1))*(v-x(2))*(v-x(4)))/((x(3)-x(1))*(x(3)-x(2))*(x(3)-x(4))); L(4)=((v-x(1))*(v-x(2))*(v-x(3)))/((x(4)-x(1))*(x(4)-x(2))*(x(4)-x(3))); L valor=y(1)*L(1)+y(2)*L(2)+y(3)*L(3)+y(3)*L(4)


3. Integração Numérica Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] da qual se conhece a

primitiva F. O valor da integral definida de f pode ser calculada usando a fórmula de Newton-Leibniz:

Método dos trapézios

2 Exemplo: f(x)=e x Calcular :

Devemos obter um vetor e usar a forma do trapézio. Solução MatLab:


%integral de f(x)=exp(x.^2) x=0:0.05:0.5; y=exp(x.^2); h=0.05; soma=0; for i=1:length(x)-1 soma= s+h/2(y(i)+y(i+1); end disp(['Valor integral:' num2str(soma)); Exercício MatLab – integral de um triângulo clear %calcular a integral de um triangulo xx=0:0.005:5; plot(xx,xx,'-'); hold plot(xx,xx,'r*'); h=0.005; s=0; for y=1:length(xx)-1; s=s+(xx(y)+(xx(y+1)))*h*0.5; end disp(s);

>> integral Current plot released 12.5000 Exercício: Maior valor em módulo dos elementos de uma matriz


%maior valor módulo matriz 5x5 clear maior=0; for x=1:2; for y=1:2; A(x,y)=input(['Leia matriz a(' num2str(x) ',' num2str(y) '):']); if (abs(maior)<= abs(A(x,y))) maior=A(x,y); i=x; j=y; end end end disp(A); disp(['Maior:' num2str(maior)]); disp(['x=' num2str(i) ' y=' num2str(j)]); Exercício: Preencher a diagonal de uma matriz com 5 e as 2 secundárias com 2 e 1. %ex05.m %preeencher matriz 10x10 com a diag principal c 5 e diag sec com 2 n=10; M=zeros(n,n); for i=1:n for j=1:n if i==j M(i,j)=5; end if i+1==j | i-1==j M(i,j)=2; end end end M Exercício: Troca elementos da matriz %troca os elementos da matriz M=[1 2 3 4; 1 2 3 4; 1 2 3 4; 1 2 3 4]; M A=M(1:2,1:2); M(1:2,1:2)= M(3:4,3:4); M(3:4,3:4)= A; M


4.Equações Lineares: Com a notação de matriz, um sistema de várias equações lineares simultâneas pode ser escrito como: Ax=b A – matriz quadrada de ordem n b – vetor coluna com n componentes x – é a coluna de componentes desconhecidos A solução de Ax=b pode ser escrita como x=inv(A)*b. Esta solução é pouco utilizada pois produz resultados menos precisos. MatLab tem o operador Backslash que calcula a inversa de uma matriz. Ax=b x=A\b; Resolver: x1+3x2=5 2x1+4x2=6 Solução MatLab: A=[1 3; 2 4] b=[5; 6]; x=inv(A)*b; x Saída: x= [-1; 2]


5) Método da Eliminação de Gauss

A idéia central do Método da Eliminação de Gauss, é a de transformar em triangular um sistema que não o seja, permitindo, assim, sua solução.

Para tanto, o método contem duas fases:

1. triangularização do sistema original, chamada de “forward”. 2. resolução propriamente dita, da última variável para a primeira, chamada de

“backward”.

Na primeira fase, é preciso eliminar a variável x1 da segunda, terceira, ... até a última equação, só ficando na primeira; em seguida elimina-se x2 da terceira, quarta, ... só ficando nas duas primeiras; elimina-se a variável x3 da quarta em diante, só ficando nas três primeiras etc... Ao final dessa fase, o sistema estará triangularizado. Na segunda fase resolve-se de trás para a frente, calculando-se a última, a penúltima,... até a primeira variável, a exemplo do que foi feito acima.

Exercício MatLab

%preeencher matriz 10x10 com a diag principal c/ 5 e diag sec. com 2 n=10; M=zeros(n,n); for i=1:n for j=1:n if i==j M(i,j)=5; end if i+1==j | i-1==j M(i,j)=2; end end end M for j=2:n af=-M(j,j-1)/M(j-1,j-1); M(j,:)=M(j,:)+M(j-1,:)*af; end M * Programa elimina a matriz secundária inferior.


Exercício MatLab %matriz de gauss generica se a diagonal principal for diferente de zero clear n=3 A=zeros(n,n); for i=1:n for j=1:n if i==j A(i,j)=5; end if ((i+1)==j)| ((i-1)==j) A(i,j)=2; end if ((i+2)==j)| ((i-2)==j) A(i,j)=1; end end end A for j=2:n for k=j:n af=-A(k,j-1)/A(j-1,j-1); A(k,:)=A(k,:)+af*A(j-1,:); end end A * gera matriz triangular superior Resultado: n = 3 A = 5 2 1 2 5 2 1 2 5 A = 5.0000 2.0000 1.0000 0 4.2000 1.6000 0 0 4.1905


Exercício de Solução de sistema linear incorporando a matriz y %gauss genercioincorporandomatriz b n=3; M=zeros(n,n); B=zeros(1,n); for i=1:n for j=1:n M(i,j)=input ('Leia valores da matriz:'); end end for i=1:n B(i)= input('Valores de B:') end %transformando em matriz coluna B=B'; MM=M; M(:,n+1)=B M for i=2:n for j=i:n af=-M(j,i-1)/M(i-1,i-1); M(j,:)=M(j,:)+af*M(i-1,:) end end x(n)=M(n,n+1)/M(n,n) for k=n-1:-1:1 sum=0; for j = k+1: n; sum=sum+M(k,j)*x(j); end x(k)=(M(k,n+1)-sum)/M(k,k); end M x %verificando o resultado MM*x' Solução: M =


5.0000 2.0000 1.0000 1.0000 0 4.2000 1.6000 1.6000 0 0 4.1905 2.1905 x = 0.0227 0.1818 0.5227 Exercício de solução de equações lineares com pivoteamento. %calculando sistema de eq lineares por gauss clc n=3 M=[0 1 5; 10 -1 1; 1 -6 2]; b=[1; 19; -4]; %calcular usando matriz inversa y=inv(M)*b %fazer o pivotamento e calcular matriz triang superior %anexar vetor b a M M(:,n+1)=b for j=1:n-1; maior=abs(M(j,j)); posicao=1; for i=j+1:n; if abs(M(i,j))>maior maior=abs(M(i,j)); posicao=i; end end piv=M(j,:); M(j,:)=M(posicao,:); M(posicao,:)=piv; for k=j+1:n af=-M(k,j )/M(j,j); M(k,:)=M(k,:)+af*M(j,:) end end x(n)=M(n,n+1)/M(n,n); for k=n-1:-1:1 sum=0; for i=n:-1:k+1 sum=sum+M(k,i)*x(i); sum x(k)=(M(k,n+1)-sum)/M(k,i-1) end end x


6) Solução de sistemas retangulares

Resolver sistemas retangulares significa achar a melhor solução. x1+x2=1 x1-x2= -1 2x1-x2=1 x1+3x2=-1 -4x1+5x2

A solução do sistema se obtem da seguinte forma: t t A * A * x = A * b Solução MatLab %Achar a melhor solucao de um sistema retangular clc A=[1 1; 1 -1; 2 -1; 1 3; -4 5]; b=[1 -1 1 -1 1]; b=b'; %construcao do sistema normal B=A'*A bb=A'*b %solucao x=inv(B)*bb


%calculo dos residuos r=Ax-b r=A*x-b %este é o menor residuo em termos da soma %dos quadrados somaq=r1^2+r2^2+r3^2+r4^2+r5^2 soma=0; for x=1:5 soma=soma+r(x)^2; end soma A*[0;0]-b

● Esta solução minimiza os resíduos de r=Ax+b ● soma=r1^2+r2^2+r3^2+r4^5+r^5^2 ● Método dos mínimos quadrados

7)Métodos dos mínimos quadrados para ajustamento de curvas

O Método dos Mínimos Quadrados, ou Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) ou OLS (do inglês Ordinary Least Squares ) é uma técnica de otimização matemática que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados (tais diferenças são chamadas resíduos).

X | x1 x2 x3 x4 Y | y1 y2 y3 y4 Y(xi)=Y=ax+b


ri= yi-Y(xi)= yi-axi-b → reta no ponto n 2 min= ∑ (ri) i=1 Toda vez que eu tiver 2 parâmetros eu consigo fazer a regressão linear. b Ex: y(x)=a*x b log y = log a x = log a + b log x Y = B + A X Y é a reta ajustada aos pontos logx e log y.


8) Método da bisseção

Este método pode ser usado para encontrar as raízes de uma função f(x) contínua com x pertencente aos reais definida num intervalo [a,b], tendo f(a) e f(b) sinais opostos, ou seja, f(a).f(b)≤0. Como f(a) e f(b) têm sinais opostos e f(x) é contínua, pelo teorema do valor intermediário podemos afirmar que existe uma raiz neste intervalo [a,b]. Vamos considerar também que esta raiz seja a única no intervalo.

Algoritmo e=precisao faca x=(a1+b1)/2 se f(x)*f(a)<0 b=x else a=x fim ate que precisao seja obtida


9)Algoritmo de Newton

Em análise numérica, o método de Newton (ou método de Newton-Raphson) tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, toma-se um ponto qualquer do domínio da função, calcula-se a equação da tangente (derivada) da função nesse ponto, calcula-se o intersecção da tangente ao eixo das abcissas a fim de encontrar um novo ponto do domínio da função e repete-se o processo, que deve tender a uma das raízes da função rapidamente, ou não tender a nada, deixando isso claro logo. Em notação matemática representa-se desta forma:

,

onde n indica a n -ésima iteração do algoritmo e é a derivada da função f em x n .

Para que se obtenha sucesso na iteração deve-se primeiramente delimitar um intervalo, a fim de escolher um valor estimado inicial adequado, para que a convergência de (x n ) seja propícia. Para tanto existem apenas quatro condições a serem satisfeitas:

● O intervalo delimitado deve conter a raiz de f ; ● A função f deve ser diferenciável em todo o intervalo; ● A primeira derivada no intervalo não deve trocar de sinal; ● A segunda derivada no intervalo não deve trocar de sinal.

Exercício MatLab clc clear %newton1 f(x)=25*x^2+8x-58 %f'(x)=50*x+8 n=10 %numero de iterações x(1)=input('Valor inicial de x:');


for k=2:n x(k)=x(k-1)- ((25*x(k-1)^2+8*x(k-1)-58)/(50*x(k-1)+8)) end xx=-10:0.1:10 yy=25*xx.^2+8*xx-58 plot(xx,yy,'-') y=25*x(n)^2+8*x(n)-58 hold on plot(x(n),y,'+r')


9)Método iterativo de Jacobi para solução de sistemas lineares

O método de Jacobi trata-se de um algoritmo para determinar a solução de um sistema de equações lineares com os maiores valores absolutos em cada linha e coluna dominados pelo elemento da sua diagonal. Trata-se duma versão simplificada do algoritmo de valores próprios de Jacobi. O método tem o nome do matemático Alemão Carl Gustav Jakob Jacobi, é um método clássico que data do final do século XVIII. Técnicas iterativas são raramente utilizadas para solucionar sistemas lineares de pequenas dimensões, já que o tempo requerido para obter um mínimo de precisão ultrapassa o requerido pelas técnicas diretas como a eliminação gaussiana. Contudo, para sistemas grandes, com grande porcentagem de entradas de zero, essa técnicas são eficientes em termo de cálculo como de armazenamento. Sistemas desse tipo frequentemente surgem na análise de circuitos e na solução numérica de problemas de valor de limite e equações diferenciais parciais. Dado o sistema de equações lineares:

Ax=b

Podemos decompor este sistema em matriz diagonal + matriz resto:

Dx+Rx=b Dx=b-Rx


Dados as equações lineares, calcular as raízes pelo método iterativo de Jacobi Solução MatLab %método de jacobi A=[10 -1 1; 1 -6 2; 0 1 5]; b=[19; -4; 1]; x=[0; 0; 0]; n=length(b); for k=1:5 for i=1:n s=0; for ind=1:i-1 s=s+A(i,ind)*x(ind); end for ind=i+1:n s=s+A(i,ind)*x(ind); end x(i)=(b(i)-s)/A(i,i); end x end x


10) Método de Euler

O método de Euler é um procedimento numérico para aproximar a solução da equação diferencial y0 = f (t, y ) que satisfaz a condição inicial y (t 0) = y 0.

Sabemos que o gráfico da solução passa pelo ponto (t 0, y 0) com inclinaçãoao igual a y0 (t 0) (ou seja, com inclinação igual f (t 0, y 0)). Isto serve de ponto de partida para achar uma aproximação da solução.

Começando pelo ponto (t 0, y 0), podemos seguir na direção dada pela inclinação. Usando um pequeno passo h , seguimos ao longo da reta tangente até chegar ao ponto (t 1 , y 1), onde, t 1 = t 0 + h e y 1 = y 0 + h f (t 0, y 0) .

Tomando (t 1, y 1) como novo ponto de partida, pode-se repetir o processo e obter um segundo ponto ( t 2, y 2), onde t 2 = t 1 + h e y 2 = y 1 + h f (t 1, y 1) .

O método de Euler consiste na repetição deste processo e gera a sucessão de pontos tn +1 = tn + h e yn +1 = yn + h f (tn, yn ) , n = 0, 1, 2, . . .

y(x)=y(a)+(x-a)*f'(a) y(x+h)=y(x)+h* f'(x) – Método de EULER explícito Método de Euler implícito:

y(x+h)=y(x)+h*f'(x+h)


2x Exemplo: y=e { y'=2y e y(0)=1 Vamos calcular até x=1 passo h=0.1 MatLab clc clear %método de Euler explícito %dado: y(x)=2e^2x calcular %y'(x)=2*y(x) y(0)=1 % y(x+1)=y(x)+h*f'(x) y(1)=1; h=0.1; xx=0:h:1; n=length(xx); for i=2:n y(i)=y(i-1)+h*2*y(i-1); end z=exp(2*xx); plot(xx,z,'-',xx,y,'or')


Exercício dado em aula %exercicio de aula e=0.01 A=[5 1 0 0; 1 5 1 0; 0 1 5 1; 0 0 1 5]; b=[ 0 1 4 -4]; v=[0 0 0 0]; v=v'; r=A*v+b'; n=50; for k=1:n tm=(r'*r)/((A*r)'*r) va=v v=v-(tm*r) r=r-tm*A*r if norm(r)<e | norm(v-va)/norm(v)<e break end end v Exercícios Finais 1) Fale sobre o comando de repetição e dê exemplos.

O comando de repetição é usado quando queremos repetir alguma parte do algoritmo, temos comando do tipo “for” em que podemos determinar o número de execuções e comando do tipo “while” onde a execução continua até que uma condição seja satisfeita. Ex: for x=1:10 ---------<comandos> end 2)Fale sobre comando de desvio. Se temos 4 casos ou possibilidades, como implementar?

A implementação de 4 possibilidades pode ser feita através de comandos if aninhados. Ex: %O comando de desvio normalmente é utilizado na tomada de decisão e a


%implementação pode ser feita através de comandos if aninhados. x=input('Leia x:'); if x==0 disp (x); elseif x==1 disp(x); elseif x==02 disp(x); elseif x==3 disp(x); else disp('Maior'); end 3) Dados 3 vetores um com 5, outro com 15 e outro com 10 componentes. Trocar no de 15 os 5 centrais e no de 10 os 5 últimos. clear clc x=[4 3 2 1 0]; y=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]; z=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; y1=[y(1):y(5)] y2=[y(11):y(15)] y=[y1 x y2] z1=[z(1):z(5)] z=[z1 x] 4) Dados um vetor de 13 elementos, com valores inteiros de 10 a 90. Verificar quantos elementos estão entre 10 e 30, 31 e 60 e entre 61 e 90. x=[23 10 34 45 60 90 34 65 56 78 80 61 15] s1=0 s2=0 s3=0 for i=1:length(x) if x(i)>=10 & x(i)<=30 s1=s1+1; end if x(i)>=31 & x(i)<=60 s2=s2+1; end if x(i)>=61 & x(i)<=90 s3=s3+1; end end % s1 entre 10 e 30


s1 % s2 entre 31 e 60 s2 % s3 entre 61 e 90 s3 5) Dado um número entre 5 e 95 verificar se ele é primo. %número primo x=input('Leia x:') primo=0 for i=1:x % ou for i=1:round(sqrt(x)) if mod(x,i)==0 primo=primo+1 end end primo if primo>2 disp('Nao eh primo'); else disp('Eh primo'); end 6)Dados os valores

2 Obter a ∫ dx por trapézio. -2 int = 0; % primeiro intervalo h=2; f1=0; f2=-4; int1=(f2-f1)*h/2 % segundo intervalo h=1; f1=0; f2=-1;


int2=(f2-f1)*h/2 % terceiro intervalo h=1; f1=-1; f2=4; int3=(f2-f1)*h/2 int= int1+int2+int3 7) Interpolar y sobre x com os dados anteriores.

%interpolar x=[-2 0 1 2]; y=[-4 0 -1 4]; A=[1 x(1) x(1)^2 x(1)^3; 1 x(2) x(2)^2 x(2)^3; 1 x(3) x(3)^2 x(3)^3; 1 x(4) x(4)^2 x(4)^3]; p=inv(A)*y' h=0.1 xx=-2:h:2 int=0; for i=2:length(xx) f(i-1)=p(1)+p(2)*xx(i-1)+p(3)*xx(i)^2+p(4)*xx(i-1)^3; f(i)=p(1)+p(2)*xx(i)+p(3)*xx(i)^2+p(4)*xx(i)^3; int=int+h/2*abs((f(i)+f(i-1))); end plot(xx,f) int


8) Faça uma função círculo(x,y,r) para traçar uma circunferência. Dados: centro x, y e raio r. %circunferencia centro x,y raio r function c(x,y,r) z=0:0.1:2*pi; j=r*cos(z)+x; k=r*sin(z)+y; plot(j,k,'-',x,y,'o') end

9. Implemente um algoritmo de eliminação para zerar a diagonal inferior de uma matriz de 10x10.


% algoritmo M= zeros(10,10); n=10; for i=1:n for j=1:n if i==j M(i,j)=4; end if i+1==j | i-1==j M(i,j)=1; end end end M for i=2:n for j=i:n af=-(M(j,i-1)/M(i-1,i-1)); M(j,:)=M(j,:)+af*M(i-1,:) end end M


10) Implementar o algoritmo, para v(0) e Є dados.

%exercicio 10 n=50 k=50 %estabelecemos um valor de K v=[1; 1; 1; 1; 1] %adotamos um valor de vo e=0.01; % estabelecemos a margem de erro A=[4 1 0 1 0; 1 1 1 0 1; 0 1 4 1 0; 0 0 1 4 1; 0 1 0 1 4] b=[ 1 -1 0 -1 1]' ro=A*vo+b p=-ro q1=(ro'*ro)/ ((A*ro)'*ro) v=v+q1*p r1=ro+q1*A*p for k=2:3 alpha=(r1'*r1)/(ro'*ro); p=-ro+alpha*p q=(r1'*r1)/((A*p2)'*p2); v2=v1+(q*p2); r2=r1+(q*A*p2); if ((norm(v2-v1))/norm(v2))<e break end %atualiza valores anteriores r0=r1; r1=r2; v1=v2; disp(norm(v2-v1)/norm(v2)); end

cálculo usando matlab

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