analisis numerico de ecuaciones diferenciales usando matlab
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Guıa de Practicas:
Analisis Numericode
Ecuaciones Diferenciales
usando MATLAB
2
Indice general
Notaciones 5
Introduccion 6
I Elementos basicos de MATLAB 9
1. Introduccion a MATLAB. 11
1.1. Vectores en MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Matrices en MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Funciones de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Bucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5. La instruccion if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6. Ficheros ejecutables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7. Subrutinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8. Cadenas de texto, mensajes de error, entradas . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9. Comparando la eficiencia de algoritmos: cputime . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.10. Formatos de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.11. Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.11.1. Representaciones en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.11.2. Representaciones en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.12. Resumen de funciones elementales y matrices especiales . . . . . . . . . . . 39
3
4
II Introduccion a la construccion de algoritmos 41
2. Sistemas de numeracion; errores y sus fuentes 432.1. Sistemas de numeros y conversiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.1. Sistemas de numeracion en base q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.2. Conversion de base decimal a base q . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.3. Estandar IEEE de representacion de numeros enteros y en coma
flotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2. Errores y sus causas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.2. Fuentes de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3. Propagacion de errores: condicion y estabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . 542.4. Eficiencia de un algorıtmo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.1. Ejemplo: Evaluacion de polinomios, metodo de Horner . . . . . . . 572.5. EJERCICIOS PRACTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5
NOTACIONES
Notaciones generales
Sımbolo Significadox = (x1, x2, ..., xN ) Elemento de IRN
r = |x| = (x21 + x2
2 + ... + x2N)1/2 Modulo de x
∇u =(
∂u∂x1
, ∂u∂x2
, ..., ∂u∂xN
)
Gradiente de u
Espacios de funciones
Sımbolo SignificadoC(Ω) Funciones continuas en ΩC0(Ω) Funciones continuas en Ω con soporte compactoCk(Ω) Funciones de clase k en ΩCk
0 (Ω) Funciones de Ck(Ω) con soporte compactoC∞(Ω) Funciones indefinidamente diferenciables en ΩC∞
0 (Ω) = D(Ω) Funciones de C∞(Ω) con soporte compacto
6
Introduccion
7
8
Parte I
Elementos basicos de MATLAB
9
Capıtulo 1
Introduccion a MATLAB.
Vamos a optar por MATLAB para programar los algoritmos que aparecen asociadosa los distintos metodos numericos que estudiaremos a lo largo del curso. La razon de elloes que, para propositos docentes, existen ventajas en la utilizacion de este software decalculo matematico respecto a lenguajes de programacion como C o Fortran: por un lado,la sintaxis de programacion de MATLAB es bastante similar a la de cualquier lenguajede alto nivel, lo que nos permitira adaptarnos a las peculiaridades de su programacionsin demasiados problemas; por otro lado, podremos utilizar como test de nuestros propiosalgoritmos las rutinas especıficas que incorpora MATLAB; por ultimo, la integracionde una serie de paquetes graficos en el entorno de programacion de MATLAB facilitaextraordinariamente la tarea de presentacion de resultados.
Los ejemplos que se incluyen en las secciones siguientes se han obtenido con la version6.0 (R12) de MATLAB. Al tratarse de ejercicios sencillos, no es esperable diferenciassignificativas cuando se reproduzcan en versiones posteriores de MATLAB.
La aritmetica de trabajo en MATLAB es doble precision (concepto que aclararemosposteriormente) aunque la version 7.0 ha introducido la posibilidad de trabajar con arit-metica entera y real de precision simple.
Una vez hemos accedido a MATLAB y estando situados en la ventana de coman-dos, comenzamos nuestro recorrido introductorio. En el texto que sigue a continuacion,cualquier lınea que comienza con dos signos >> se utiliza para denotar una lınea decomando MATLAB.
11
12
1.1. Vectores en MATLAB
Casi todos los comandos basicos en MATLAB implican el uso de vectores. Podemosdefinir un vector tecleando cada uno de sus elementos o, alternativamente y cuando esposible, podemos hacerlo especificando el primer elemento, un incremento y el ultimoelemento. Por ejemplo, para crear un vector cuyos elementos son 0, 2, 4, 6 y 8, podemosteclear:
>> 0:2:8
ans =
0 2 4 6 8
MATLAB tambien guarda el ultimo resultado. En el ejemplo previo, se ha creadouna variable “ans”. Para obtener el vector traspuesto, tecleamos:
>> ans’
ans =
0
2
4
6
8
Para guardar los vectores creados de modo que seamos capaces de trabajar con ellosposteriormente, debemos darles nombre. Por ejemplo, para crear el vector fila v, tecleamos:
>> v = [0:2:8]
v =
0 2 4 6 8
13
>> v
v =
0 2 4 6 8
>> v;
>> v’
ans =
0
2
4
6
8
Podemos darnos cuenta a partir del ejemplo anterior que si finalizamos una lınea conun punto y coma no se muestra el resultado. MATLAB permite tambien trabajar conelementos especıficos del vector:
>> v(1:3)
ans =
0 2 4
>> v(1:2:4)
ans =
0 4
>> v(1:2:4)’
ans =
14
0
4
Una vez especificada la notacion podemos realizar diversas operaciones. Por ejemplo:
>> v(1:3)-v(2:4)
ans =
-2 -2 -2
1.2. Matrices en MATLAB
Damos a continuacion una introduccion basica a la definicion y manipulacion dematrices. La definicion de una matriz es analoga a la definicion de un vector. Podemosconsiderarla como una columna de vectores fila:
>> A = [ 1 2 3; 3 4 5; 6 7 8]
A =
1 2 3
3 4 5
6 7 8
o como una fila de vectores columna:
>> B = [ [1 2 3]’ [2 4 7]’ [3 5 8]’]
B =
1 2 3
15
2 4 5
3 7 8
A estas alturas de la introduccion, si hemos estado reproduciendo los ejemplos anteri-ores tendremos, muy probablemente, una considerable cantidad de variables definidas ennuestro espacio de trabajo. Si queremos conocer esta informacion utilizaremos el comandowhos:
>> whos
Name Size Elements Bytes Density Complex
A 3 by 3 9 72 Full No
B 3 by 3 9 72 Full No
ans 1 by 3 3 24 Full No
v 1 by 5 5 40 Full No
Volviendo a las matrices y a la hora de realizar operaciones basicas con las mismas, lanotacion que utiliza MATLAB es la usual en algebra lineal. Obviamente, las operacionesmatriciales deben ser legales si no queremos tener problemas:
>> v = [0:2:8]
v =
0 2 4 6 8
>> A*v(1:3)
??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree.
>> A*v(1:3)’
ans =
16
16
28
46
Podemos trabajar con diferentes partes de una matriz, al igual que vimos que se podıahacer con vectores. De nuevo, debemos tener cuidado en hacer operaciones permitidas:
>> A(1:2,3:4)
??? Index exceeds matrix dimensions.
>> A(1:2,2:3)
ans =
2 3
4 5
>> A(1:2,2:3)’
ans =
2 4
3 5
Aparte de las operaciones elementales (suma, producto), podemos hacer otras deinteres como por ejemplo, obtener la inversa de una matriz (cuando esta operacion tengasentido, si no obtendremos un error). Sin embargo, debemos tener cuidado puesto que lasoperaciones que se realizan pueden presentar errores de redondeo. En el ejemplo, la matrizA no es una matriz invertible, pero MATLAB devuelve una matriz como resultado.
>> inv(A)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 4.565062e-18
ans =
17
1.0e+15 *
-2.7022 4.5036 -1.8014
5.4043 -9.0072 3.6029
-2.7022 4.5036 -1.8014
Conviene hacer notar, en este punto, que MATLAB distingue entre mayusculas yminusculas. Esta es otra potencial fuente de problemas cuando trabajamos con algoritmoscomplicados:
>> inv(a)
??? Undefined function or variable a.
Otra posible operacion es, por ejemplo, la obtencion de los valores propios aproxima-dos de una matriz. Hay dos versiones de esta rutina: una encuentra los valores propios yla otra encuentra los valores y vectores propios. Si no recordamos cual es cual, podemosobtener mas informacion tecleando eig en la lınea de comandos.
>> eig(A)
ans =
14.0664
-1.0664
0.0000
>> [v,e] = eig(A)
v =
-0.2656 0.7444 -0.4082
-0.4912 0.1907 0.8165
-0.8295 -0.6399 -0.4082
18
e =
14.0664 0 0
0 -1.0664 0
0 0 0.0000
>> diag(e)
ans =
14.0664
-1.0664
0.0000
Existen tambien rutinas que permiten encontrar soluciones de ecuaciones. Por ejem-plo, si Ax = b y queremos encontrar x, un modo “lento” de hacerlo es, simplemente,invertir A y realizar una multiplicacion por la izquierda sobre ambos lados de la ecuacion.Obviamente, hay metodos mas eficientes y mas estables para hacer esto (descomposicionesL/U con pivotes, por ejemplo). MATLAB tiene comandos especiales para hacer esto.MATLAB posee ademas dos tipos diferentes de operadores / y \. La accion del primeroperador es la siguiente: x = A\v ≡ A−1v; la accion del segundo operador es: x = v/B ≡vB−1. Se dan ejemplos de su uso a continuacion:
>> v = [1 3 5]’
v =
1
3
5
>> x = A\v
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
19
Results may be inaccurate. RCOND = 4.565062e-18
x =
1.0e+15 *
1.8014
-3.6029
1.8014
>> x = B\v
x =
2
1
-1
>> B*x
ans =
1
3
5
>> x1 = v’/B
x1 =
4.0000 -3.0000 1.0000
>> x1*B
20
ans =
1.0000 3.0000 5.0000
Finalmente, si queremos borrar todos los datos del sistema y comenzar de nuevo uti-lizaremos el comando clear. Conviene utilizar este comando con cuidado porque MATLABno pide una segunda opinion ...
>> clear
>> whos
1.3. Funciones de vectores
Es indudable que la gran ventaja de trabajar con MATLAB es la facilidad de ma-nipulacion de vectores y matrices. En este apartado comenzaremos con manipulacionessimples (suma, resta, multiplicacion). A continuacion mostramos como se pueden definiroperaciones relativamente complejas con un pequeno esfuerzo.
Comenzamos con la suma y resta de vectores. Definiremos dos vectores y a conti-nuacion los sumaremos y restaremos:
>> v = [1 2 3]’
v =
1
2
3
>> b = [2 4 6]’
b =
2
21
4
6
>> v+b
ans =
3
6
9
>> v-b
ans =
-1
-2
-3
La multiplicacion de vectores y matrices sigue, logicamente y como comentamos an-teriormente, reglas estrictas, ası como la suma. En el ejemplo anterior los vectores sonambos vectores columna con tres componentes:
>> v*b
Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree.
>> v*b’
ans =
2 4 6
4 8 12
6 12 18
>> v’*b
ans =
22
28
Hay ocasiones en las que queremos realizar una operacion sobre cada elemento de unvector o matriz. MATLAB permite hacer este tipo de operaciones. Por ejemplo, supon-gamos que queremos multiplicar cada componente de un vector v por la correspondientecomponente del vector b. En otras palabras, Supongamos que queremos hallar v(1)*b(1),v(2)*b(2) y v(3)*b(3). Estarıa bien utilizar el sımbolo * puesto que estamos haciendo untipo de multiplicacion. Sin embargo, como este sımbolo ha sido definido con otra funcion,debemos recurrir a otra cosa. Los programadores ocupados del desarrollo de MATLABdecidieron entonces utilizar los sımbolos .* para hacer esta operacion. De hecho, se puedeemplear este sımbolo antes de cualquier sımbolo matematico para especificar a MATLABque la operacion en cuestion debe tener lugar sobre cada entrada del vector.
>> v.*b
ans =
2
8
18
>> v./b
ans =
0.5000
0.5000
0.5000
Puesto que hemos comenzado a hablar de operaciones no lineales continuemos conellas: si pasamos un vector a una operacion matematica predefinida, obtendremos unvector del mismo tamano con entradas obtenidas realizando la operacion especificadasobre la correspondiente entrada del vector original:
>> sin(v)
23
ans =
0.8415
0.9093
0.1411
>> log(v)
ans =
0
0.6931
1.0986
La posibilidad de trabajar con estas funciones vectoriales es una de las ventajas deMATLAB. De este modo, podemos definir operaciones complejas rapida y facilmente. Enel siguiente ejemplo trabajamos con un vector con muchas componentes:
>> x = [0:0.1:100]
x =
Columns 1 through 7
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000
(stuff deleted)
Columns 995 through 1001
99.4000 99.5000 99.6000 99.7000 99.8000 99.9000 100.0000
>> y = sin(x).*x./(1+cos(x));
Ademas de esta simple manipulacion de vectores, MATLAB nos permitira tambienrepresentar graficamente los resultados que obtengamos. Tecleando,
24
>> plot(x,y)
tendremos una representacion grafica de la funcion antes considerada. Si tecleamos
>> plot(x,y,’rx’)
obtenemos la misma grafica pero las lıneas son reempladas por puntos rojos en forma dex. Para ver mas opciones del commando plot, podemos teclear
>> help plot
El comando help es, sin duda, el camino mas corto para estar seguro de la sintaxis de undeterminado comando de MATLAB.
La notacion compacta permitira realizar un gran numero de operaciones utilizandopocos comandos. Veamos el siguiente ejemplo:
>> coef = zeros(1,1001);
>> coef(1) = y(1);
>> y = (y(2:1001)-y(1:1000))./(x(2:1001)-x(1:1000));
>> whos
Name Size Elements Bytes Density Complex
ans 3 by 1 3 24 Full No
b 3 by 1 3 24 Full No
coef 1 by 1001 1001 8008 Full No
v 3 by 1 3 24 Full No
x 1 by 1001 1001 8008 Full No
y 1 by 1000 1000 8000 Full No
Grand total is 3011 elements using 24088 bytes
>> coef(2) = y(1);
>> y(1)
ans =
0.0500
25
>> y = (y(2:1000)-y(1:999))./(x(3:1001)-x(1:999));
>> coef(3) = y(1);
>>
>>
A partir de este algoritmo podemos encontrar el polinomio de Lagrange que interpolalos puntos definidos anteriormente (vector x). Por supuesto, con tantos puntos el procesopuede resultar algo tedioso. Afortunadamente MATLAB dispone de un modo sencillo dehacer tareas monotonas, como veremos a continuacion.
1.4. Bucles
En esta seccion veremos como utilizar los bucles for y while. En primer lugar, dis-cutiremos el uso del bucle for con ejemplos para operaciones fila sobre matrices. A con-tinuacion, mostraremos el uso del bucle while.
El bucle for permite repetir ciertos comandos. Todas las estructuras de bucles enMATLAB comienzan con una palabra clave (como for o while) y terminan con un end(parece sencillo, ¿no?). Veamos un ejemplo trivial:
>> for j=1:4,
j
end
j =
1
j =
2
j =
26
3
j =
4
>>
Otro ejemplo:
>> v = [1:3:10]
v =
1 4 7 10
>> for j=1:4,
v(j) = j;
end
>> v
v =
1 2 3 4
Este es un ejemplo simple y una demostracion bonita de como funcionan los buclesfor. Sin embargo, no se debe utilizar en la practica: la notacion utilizada en la primeralınea es mucho mas rapida que el bucle. Un mejor ejemplo se presenta a continuacion,donde realizamos operaciones sobre las filas de una matriz. Si queremos comenzar enla segunda fila de una matriz y restar la fila previa y repetir esta operacion sobre lassiguientes filas, un bucle for puede ocuparse de esto:
>> A = [ [1 2 3]’ [3 2 1]’ [2 1 3]’]
A =
27
1 3 2
2 2 1
3 1 3
>> B = A;
>> for j=2:3,
A(j,:) = A(j,:) - A(j-1,:)
end
A =
1 3 2
1 -1 -1
3 1 3
A =
1 3 2
1 -1 -1
2 2 4
Presentamos a continuacion un ejemplo mas realista (implementacion de eliminacionGaussiana):
>> for j=2:3,
for i=j:3,
B(i,:) = B(i,:) - B(j-1,:)*B(i,j-1)/B(j-1,j-1)
end
end
B =
1 3 2
0 -4 -3
3 1 3
28
B =
1 3 2
0 -4 -3
0 -8 -3
B =
1 3 2
0 -4 -3
0 0 3
La forma general de un bucle while es
>> while (condiciones)
(operaciones)
end
Las operaciones se repetiran mientras que las condiciones sean ciertas. Por ejemplo,dado un numero a, el siguiente bloque permite calcular y mostrar el entero no negativomas pequeno tal que 2n ≥ a:
>> n=0;
>> while 2^n < a
n=n+1;
end
>> n
1.4.1. Relaciones
Los operadores de relacion en MATLAB son:
29
< menor que> mayor que<= menor o igual que>= mayor o igual que== igual que∼= distinto a
Demonos cuenta que el sımbolo “==” se utiliza en lugar de “=” en una relacion.Podemos conectar varias relaciones utilizando los operadores logicos:
& y| o∼ no
1.5. La instruccion if
La forma general de una instruccion if simple es:
>> if (condiciones)
(operaciones)
end
Las operaciones se realizaran unicamente si se cumplen las condiciones especificadas.Se admiten las ramificaciones multiples como puede verse en el siguiente ejemplo:
>> if n <0
a=1;
elseif n<5
a=2;
else
a=3;
end
1.6. Ficheros ejecutables
En esta seccion introducimos los conceptos basicos para crear ficheros ejecutables. Losficheros ejecutables son ficheros de texto que incluyen una serie de comandos MATLAB.
30
Si una tarea MATLAB la vamos a ejecutar muchas veces, es buena idea escribir un ficherocon estos comandos para poder ejecutarlos tantas veces como queramos.
La edicion del fichero ejecutable la realizamos con un editor cualquiera. Si nos resultamas comodo, podemos utilizar el editor que incorpora MATLAB y al que invocaremosdesde la lınea de comandos como:
>>edit
Los ficheros ejecutables de MATLAB (llamados ficheros M) deben tener como exten-sion “.m”. En el ejemplo que damos a continuacion, crearemos un programa que calculael factorial de 6:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Este es un programa no muy util,
%que calcula el factorial de 6
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
n=6; fac=1; for i=2:n
fac=fac*i;
end fac
Si guardamos esto en el fichero fac.m en el directorio de trabajo (o cualquier otroincluido en el “path”) y tecleamos el comando fac, obtenemos
>> fac
fac =
720
Las lineas tras el sımbolo “ %” son lıneas de comentario, que se conviene utilizar comoexplicacion del programa. El comando help sirve para mostrar esas lıneas:
>> help fac
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Este es un programa no muy util,
que calcula el factorial de 6
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
31
En efecto, este no es un programa muy util, en primer lugar porque el propio MAT-LAB tiene su comando para calcular el factorial de numeros enteros:
)) factorial(6)
ans =
720
y en segundo lugar porque nuestro programa solo calcula el factorial de 6. Para podercalcular el factorial para distintos numeros deberemos crea una subrutina o funcion MAT-LAB.
1.7. Subrutinas
Si ahora escribimos en un fichero con nombre facf.m los siguientes comandos
%Esta es una funcion para calcular
%el factorial de n.
%El valor de entrada es n
function fac=facf(n) fac=1; for i=2:n
fac=fac*i;
end
habremos definido una funcion que podemos utilizar tal como lo hacemos con los comandosintrınsecos de MATLAB. Por ejemplo, tecleando en la linea de comandos facf(6) tenemos:
>> facf(6)
ans =
720
Las funciones pueden tener varios parametros de entrada y/o salida. Por ejemplo,la siguiente es una funcion que, dados dos vectores con la misma longitud, devuelve dosvalores (es decir, la subrutina implementa una funcion f : R
n × Rn → R
2).
32
%Esta es una funcion que, dados
%dos vectores de la misma longitud
%calcula dos valores reales a y b
%a=sin(x*y’), b=a*x*x´
function [a,b]=funci(x,y) a=sin(x*y’); b=a*x*x’;
Guardamos este fichero como funci.m y, como prueba, ejecutamos en la lınea decomandos:
>> x=1:1:5
x =
1 2 3 4 5
>> y=0:0.1:0.4
y =
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000
>> [f1,f2]=funci(x,y);
>> f1
f1 =
-0.7568
>> f2
f2 =
-41.6241
Por supuesto, si las matrices de entrada x e y no son vectores de la misma longitud,el programa puede fallar. En el siguiente ejemplo, la primera llamada a funci es correcta,pero no ası la segunda:
33
>> [a,b]=funci(1:1:5,0:1:4);
>> [a,b]=funci(1:1:5,0:1:5);
??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree.
Error in ==> c:\matlab\temporal\funci.m On line 6 ==>
a=sin(x*y’);
Importante:
– Fijemonos que la sintaxis de las rutinas es:
function [output1,output2,...]=nombre(input1,input2,...)
– Si queremos crear un fichero independiente que contenga a la rutina, el nombre queasignemos al fichero debe ser el mismo que el de la rutina con extension “.m”.
Por supuesto, las funciones ası definidas pueden ser utilizadas tantas veces como seanecesario dentro de otras funciones y programas.
Una norma muy conveniente que conviene seguir es sera escribir todos los progra-mas en ficheros de texto (utilizando un editor simple) y procurar que estos sean lo masestructurados posibles, utilizando subrutinas (funciones) para implementar tareas inde-pendientes. Se trata de programar de la forma mas modular y estructurada posible.
1.8. Cadenas de texto, mensajes de error, entradas
Se pueden introducir cadenas de texto en MATLAB si van entre comillas simples.Por ejemplo, la instruccion
>> s=’Mi asignatura preferida es Calculo Numerico’
asigna a la variable s la anterior cadena de texto.Se pueden mostrar cadenas de texto utilizando la funcion disp. Por ejemplo:
>> disp(’En particular, me encantan las practicas de la asignatura’)
Los mensajes de error pueden (deben) mostrarse utilizando la funcion error
34
>> error(’Fue un error no acabar las memorias a tiempo’)
puesto que cuando se utiliza en un fichero “.m”, interrumpe la ejecucion del mismo.Podemos, asimismo, en un fichero “.m” pedir que un usuario introduzca datos de
forma interactiva utilizando la funcion input. Cuando, por ejemplo, durante la ejecucionde un programa aparece la lınea
>>ifaltas =input(’Cuantas veces has faltado a practicas?’)
el citado mensaje de texto aparece en pantalla y la ejecucion del programa se interrumpehasta que el usuario teclea el dato de entrada. Despues de presionar la tecla de “return”,eldato es asignado a la variable “ifaltas” y se reanuda la ejecucion del programa.
1.9. Comparando la eficiencia de algoritmos: cputime
Una forma adecuada de determinar la eficiencia de un algoritmo es medir el tiempode CPU transcurrido en la ejecucion del mismo. Este tiempo puede obtenerse utilizandoel comando cputime.
De hecho, la secuencia
>> cpu1=cputime, (cualquier conjunto de operaciones), cpu2=cputime-cpu1
nos proporcionara el tiempo de cpu invertido en la ejecucion del mencionado conjunto deoperaciones.
1.10. Formatos de salida
Mientras que todos los calculos en MATLAB se realizan en doble precision, el formatode los datos de salida puede ser controlado con los siguientes comandos:
format short Punto fijo y 4 decimales (es el que hay por defecto)format long Punto fijo y 14 decimalesformat short e notacion cientıfica con 4 decimalesformat long e notacion cientıfica con 14 decimales
35
1.11. Graficos
Aunque ya hemos mencionado anteriormente la utilizacion del comando plot, vamosa dar en esta seccion algun detalle adicional sobre las posibilidades graficas de MATLAB.
MATLAB permite generar representaciones graficas de curvas en 2D y 3D. Los co-mandos basicos con los que nos manejaremos seran plot, plot3, mesh y surf.
1.11.1. Representaciones en 2D
El comando plot crea graficos de curvas en el plano x-y; si x e y son vectores de lamisma longitud, el comando plot(x,y) abre una ventana grafica y dibuja en el plano x-ylos elementos de x versus los elementos de y. Podemos, por ejemplo, dibujar el grafico dela funcion seno en el intervalo -4 a 4 con los siguientes comandos:
x=-4:.01:4; y=sin(x); plot(x,y)
El vector x es una particion del dominio en intervalos de longitud 0.01; el vector y esun vector que proporciona los valores del seno en los nodos de la particion.
Como segundo ejemplo vamos a dibujar el grafico de y = e−x2
en el intervalo -1.5 a1.5:
x=-1.5:.01:1.5; y=exp(-x.^2); plot(x,y)
Demonos cuenta de que la operacion de elevar al cuadrado esta precedida por unpunto para que opere sobre cada una de las componentes del vector x.
MATLAB posee ademas la utilidad fplot para representar de forma eficiente y sim-ple el grafico de una funcion: para representar el ejemplo anterior podemos, de formaalternativa, definir la funcion en un fichero M (que llamaremos, por ejemplo, expcu.m):
function y=expcu(x) y=exp(-x.^2)
Entonces el comando
fplot(’expcu’,[-1.5,1.5])
nos proporcionara el grafico en cuestion.Podemos generar tambien graficos de curvas definidas parametricamente. Por ejem-
plo,
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t=0:.001:2*pi; x=cos(3*t); y=sin(2*t); plot(x,y)
De forma complementaria, podemos asignar a los graficos: tıtulos, etiquetas en losejes y texto (en la zona del grafico). Para ello utilizaremos los comandos
title tıtulo del graficoxlabel etiqueta del eje xylabel etiqueta del eje ygtext situa texto sobre el grafico utilizando el ratontext situa texto en las coordenadas especificadas
Ejemplo, el comando:
title(’Hola caracola’)
proporciona al grafico el tıtulo en cuestion.Los ejes del grafico son, por defecto, autoescalados. Para modificar esto podemos
utilizar el comando axis:
axis([xmin,xmax,ymin,ymax])
El comando axis debe utilizarse despues de plot.Es posible realizar distintas representaciones en un mismo grafico. Por ejemplo,
x=0:.01:2*pi;y1=sin(x); y2=sin(2*x); y3=sin(4*x);
plot(x,y1,x,y2,x,y3)
Otra posibilidad es utilizar hold. El comando hold on “congela” la terminal graficaen la que estamos trabajando, de modo que se pueden superponer diversos graficos enella. Los ejes pueden, sin embargo, ser reescalados. El comando hold off “descongela” laterminal grafica.
Dentro de las opciones graficas podemos elegir el tipo de lınea, el tipo de punto y elcolor. Por ejemplo,
x=0:.01:2*pi;y1=sin(x); y2=sin(2*x); y3=sin(4*x);
plot(x,y1,’--’,x,y2,’:’,x,y3,’+’)
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dibuja una lınea discontinua y punteada, respectivamente, para los dos primeros graficosmientras que el tercer grafico se muestra con el sımbolo “+”. Los tipos de lınea y marcason:
Tipos de lınea: solida (-), discontinua (–), punteada (:), discontinua y punteada (-.)Tipos de marca: punto (.), mas (+), estrella (*), cırculo (o), x (x)Se pueden especificar colores para los distintos tipos de lınea y marca:Colores: amarillo (y), magenta (m), rojo (r), verde (g), azul (b), blanco (w), negro
(k)El comando subplot puede utilizarse para hacer una particion de la terminal grafica,
de modo que pueden situarse varios subgraficos en una misma figura.
1.11.2. Representaciones en 3D
Graficos de lınea
El comando plot3 en 3 dimensiones es el analogo al comando plot en 2 dimensiones:produce curvas en el espacio tridimensional. Si x, y y z son vectores del mismo tamano,entonces el comando plot3(x,y,z) producira un grafico de perspectiva de la curva en elespacio tridimensional que pasa por los puntos especificados por x, y y z. Estos vectoressuelen estar definidos de forma parametrica. Por ejemplo,
t=.01:.01:2*pi; x=cos(t); y=sin(t); z=t.^3; plot3(x,y,z)
proporciona una helice que esta comprimida cerca del plano x-y.
Graficos de malla y de superficie
Pueden obtenerse graficos tridimensionales mallados de superficies utilizando el co-mando mesh. Si tecleamos mesh(z) obtenemos un grafico de perspectiva tridimensionalde los elementos de la matriz z. La superficie representada esta definida por las coorde-nadas z de los puntos sobre un retıculo rectangular en el plano x-y. El siguiente ejemplomuestra un grafico de estas caracterısticas de los elementos de la matriz identidad 10×10(comando eye(10)):
mesh(eye(10))
Analogamente pueden obtener graficos tridimensionales “compactos” de superficiesutilizando el comando surf:
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surf(eye(10))
Para dibujar el grafico de una funcion z = f(x, y) sobre un rectangulo debemos,en primer lugar, definir vectores xx e yy que proporcionan particiones sobre los ladosdel rectangulo. Con la funcion meshgrid creamos una matriz x, cada fila de la mismacontiene las componentes del vector xx y cuyo numero de columnas es igual a la longituddel vector yy. De manera analoga creamos la matriz y, cuyas columnas contienen lascomponentes del vector yy. Esto lo conseguimos con la instruccion:
[x,y]=meshgrid(xx,yy);
Una vez hecho esto, obtenemos la matriz z haciendo actuar f sobre las matrices xe y. La representacion de la matriz z se puede hacer acudiendo a los comandos mesh ysurf.
Veamos un ejemplo:Vamos a dibujar el grafico de z = e−x2
−y2
sobre el cuadrado [−2, 2] × [−2, 2] delsiguiente modo:
xx=-2:.2:2; yy=xx; [x,y]=meshgrid(xx,yy); z=exp(-x.^2-y.^2);
mesh(z)
Las caracterısticas del comando axis introducido previamente son aplicables tambiena los graficos tridimensionales, ası como lo son las de los comandos para tıtulos, etiquetadode ejes y el comando hold.
El color de las superficies se ajusta utilizando el comando shading. Hay 3 opcionespara este comando: faceted (el que esta por defecto), interpolated y flat. Se accede aestas opciones tecleando:
shading faceted, shading interp, shading flat
El comando shading debe introducirse despues del comando surf. La utilizacion deshading interp y shading flat causa la desparicion del mallado en la superficie.
El perfil de colores de una superficie se controla mediante el comando colormap.Mapas de colores predefinidos son:
hsv (por defecto), hot, cool, jet, pink, copper, flag, gray, bone
Por ejemplo, el comando colormap(cool) proporciona un determinado perfil de col-ores en la figura en cuestion.
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1.12. Resumen de funciones elementales y matrices
especiales
En la tabla que se muestra a continuacion se presentan algunas funciones de MATLABque nos pueden ser de utilidad:
abs valor absoluto o modulosqrt raız cuadradareal parte realimag parte imaginariaconj complejo conjugadoexp exponenciallog logaritmo naturallog10 logaritmo en base 10sin, asin, sinh, asinh seno, arcseno, seno hiperb., arcseno hiperb.cos, acos, cosh, acosh idem para el cosenotan, atan, tanh, atanh idem para la tangentecot, acot, coth, acoth idem para la cotangentesec, asec, sech, asech idem para la secantecsc, acsc, csch, acsch idem para la cosecante
Finalmente, algunas matrices especiales de MATLAB:
zeros matriz de cerosones matriz de unoseye identidaddiag diagonalrand numeros aleatorios distribuidos unif.
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Parte II
Introduccion a la construccion dealgoritmos
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Capıtulo 2
Sistemas de numeracion; errores ysus fuentes
En este tema se introducen los distintos sistemas de numeracion y se describe comorealizar la conversion entre distintos sistemas, ası como el estandar IEEE de representacionde numeros en el sistema binario. A continuacion, se introducen las nociones de error abso-luto y relativo y se analizan las causas mas frecuentes de error en un calculo computacional,ilustrandolo con ejemplos. Finalmente, se introducen los conceptos de (in)estabilidad ycondicion.
2.1. Sistemas de numeros y conversiones
Es necesario conocer como se representan los numeros enteros y decimales en forma-to digital para entender las limitaciones intrınsecas que nos encontraremos al programarun algoritmo numerico, tanto en cuanto a la mayor precision alcanzable como en cuantoal rango de valores admisibles. Veremos ademas como un mınimo conocimiento del sis-tema de representacion estandar sirve para evitar la aparicion de desastrosos errores deprogramacion (como bucles infinitos).
2.1.1. Sistemas de numeracion en base q
El sistema de numeracion decimal es el sistema posicional de numeracion mas uti-lizado, que utiliza como base de numeracion el 10 (dıgitos 0...9). Como es bien sabido, sepuede utilizar cualquier numero natural mayor que 1 como base de numeracion.
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Un numero en base q se denota como (anan−1...a1a0.b1b2...bk...)q donde ai y bj pertenecenal conjunto de los q dıgitos elementales 1 . Estos q dıgitos representaran valores desde 0hasta q − 1. La conversion a decimales es, por definicion:
(anan−1...a1a0.b1b2...bk...)q = anqn + an−1q
n−1 + ... + a1q + a0q0
+b1q−1 + b2q
−2 + ... + bkq−k + ...
(2.1)
El sistema natural de numeracion digital es el binario (base 2), utilizando solo losdıgitos 0 y 1.
Ejemplo 2.1.1. Decimal: (123.25)10 = 1× 102 +2× 101 +3× 100 +2× 10−1 +5× 10−2.
Binario (base 2) con 2 dıgitos 0 y 1: 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 10.
(1011.01)2 = 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2−1 + 1 × 2−2 = 11.25.
Hexadecimal (base 16) tiene 16 dıgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F ,que representan los valores desde 0 hasta 15 respectivamente. Por tanto:
(7B.4)15 = 7 × 161 + B × 160 + 4 × 16−1 = 123.25.
Los sistemas de numeracion octal y hexadecimal, tambien son muy utilizados, enparte debido a que es muy sencilla su conversion a binario con la ventaja de que unmismo numero se representa con menos cifras cuanto mayor es la base.
2.1.2. Conversion de base decimal a base q
Ya sabemos como convertir un numero en base q a base decimal (2.1). La conversionde base decimal a base q se base en el hecho de que, acudiendo a la definicion (2.1)observamos que (eliminamos el subındice 10 para numeros en base decimal):
(anan−1...a1a0.b1b2...bk...)q × q = (anan−1...a1a0b1.b2b3...bk...)q
(anan−1...a1a0.b1b2...bk...)q × q−1 = (anan−1...a1.a0b1b2...bk...)q(2.2)
1Vamos a utilizar el punto decimal (.) en lugar de la coma decimal (′) para ser consistentes con losejemplos MATLAB.
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Utilizaremos esto para obtener la conversion de un numero en base 10 a base 2. Paraesto, conviene separar la conversion de la parte entera (antes del punto decimal) de lafraccionaria (despues del punto); observemos que un numero entero es necesariamenteentero en cualquier base y que un numero fraccionario lo es en cualquier base.
Conversion entera
De (2.2) deducimos que:
(an...a0)q−1 = (an...a1)q + (.a0)q
es decir, que
(an...a0)q = (an...a1)q × q + (.a0)q × q = (an...a1)q × q + (a0)q (2.3)
que es una identidad entre numeros, que podemos evaluar en cualquier base, y en par-ticular en base 10 (observese que de hecho mezclamos base numeros en distintas bases).Vemos pues que al dividir un numero entero entre q el resto es el dıgito menos significativodel numero en base q. Dividiendo sucesivamente (hasta llegar al cociente 0) obtenemoslos sucesivos dıgitos del numero en base q.
Conversion fraccionaria
A partir de (2.2) vemos que:
(.b1b2...bk)q × q = (b1)q + (.b2...bk)q
Vemos pues que la parte entera del resultado de multiplicar nuestro numero por qes el primer dıgito tras el punto decimal. Reteniendo la parte fraccionaria que resulta encada paso y repitiendo sucesivamente el proceso, vamos obteniendo el resto de cifras trasel punto.
Ejemplo 2.1.2. Escribamos (26.1)10 en base 2.
1. Parte entera. Dividiendo sucesivamente, tenemos que:
26 = 2 × 13 + 0 ; 13 = 2 × 6 + 1 ; 6 = 2 × 3 + 0 ; 3 = 2 × 1 + 1 ; 1 = 2 × 0 + 1
Leyendo de izquierda a derecha los numeros subrayados: (26)10 = (11010)2
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2. Parte fraccionaria. Multiplicando sucesivamente por dos y separando la parte frac-cionaria:
0.1×2 = 0.2 ; 0.2×2 = 0.4 ; 0.4×2 = 0.8 ; 0.8×0.2 = 1.6 ; 0.6×2 = 1.2 ; 0.2×2 = ...
Leyendo de izquierda a derecha tenemos los dıgitos de la parte fraccionaria (sub-rayados) luego:
(0.1)10 = (0.00011)2
donde las cifras subrayadas son las cifras periodicas.
Observese que el numero 0.1 tiene infinitas cifras distintas de cero cuando se escribeen base 2 (se repiten indefinidamente desde la segunda a la quinta cifra fraccionaria).
Sumando los resultados de la parte entera y la fraccionaria tenemos que
(26.1)10 = (11010.00011)2
En el anterior ejemplo hemos aprendido que un numero fraccionario con un numerofinito de dıgitos en cierta base no tiene por que tener un numero finito en otra base. Enefecto, (0.1)10 es un numero periodico con infinitas cifras cuando se escribe en base 2. Estoes importante puesto que en un procesador digital los numeros se almacenar en binarioutilizando un numero finito de cifras. Esto quiere decir que el numero 0.1 no se representaexactamente en un ordenador. Esto hay que tenerlo en cuenta para evitar errores queconduzcan a bucles que se repiten indefinidamente. El siguiente algoritmo en Matlab esun ejemplo de bucle infinito,
Algoritmo 2.1. Bucle infinito en precision finita binaria:x=0;while x∼=10 (Nota: en Matlab esto significa x 6= 0)
x=x+0.1;end
Esto nos deberıa prevenir de utilizar bucles que terminan cuando se alcanza ciertovalor concreto de una variable que involucra numeros no enteros.
Ejercicio 2.2. Si en la tercera lınea del anterior algoritmo cambiamos 0.1 por 0.125,¿seguirıamos teniendo un bucle infinito?.
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2.1.3. Estandar IEEE de representacion de numeros enteros yen coma flotante
Numeros enteros
Asumamos, como es comun en la mayor parte de los procesadores, que cada palabratiene una longitud de 32 bits, es decir, que cada numero vendra representado por 32dıgitos binarios. La forma mas sencilla de representar un numero entero es asignando unode los 32 bits para designar el signo (0 para +, 1 para menos) y utilizando las 31 restantesposiciones para representar los dıgitos del modulo del numero entero. En consecuencia, elmayor numero entero que se puede representar es 231 − 1.
Este es el estandar IEEE salvo porque, por lo general, no se suele reservar un bit parael signo, sino que se utiliza una ordenacion distinta para guardar los enteros negativos.Sin embargo, en la practica una y otra prescripcion son practicamente equivalentes.
Tambien pueden utilizarse enteros en longitud doble, utilizando dos palabras de 32bits, con lo que se aumenta el rango de enteros admisibles.
Numeros no enteros
Para representar numeros con parte fraccionaria se utiliza el formato de punto (ocoma) flotante. Esta representacion es la correspondiente version binaria de la conocidanotacion cientıfica o exponencial para los numeros decimales:
±M × 10E , 1 ≤ M < 10
pero utilizando base 2:x = ±M × 2E , 1 ≤ M < 2
donde M es la mantisa y E el exponente. Inevitablemente el numero de dıgitos que sepueden almacenar de la mantisa y exponente es limitado. Hay dos tipos de precision, lasimple y la doble, que difieren en el numero de bits de los que se dispone para almacenarlas cifras; la distribucion estandar es:
1. Precision simple: 32 bits, de los cuales:
a) uno corresponde al signo,
b) 8 al exponente, luego −128 ≤ E ≤ 127 (2 × 128 = 28)
c) 23 a la mantisa
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2. Precision doble
a) uno para el signo
b) 11 al exponente (−1022 ≤ E ≤ 1023)
c) 52 para la mantisa
Ejemplo 2.1.3. Veamos de forma simplificada como se guardarıa el numero 5.5 en pre-cision simple. Primero lo pasamos a binario: 5.5 = (101.1)2 y normalizamos para que lamantisa 1 < M ≤ 2, de forma que 5.5 = (1.011)2 × 22, que tiene exponente E = 2 (quese guardara en binario), signo + (bit 0) y mantisa 1.011. Normalmente, salvo para elcaso del numero cero, que se almacenan de distinta forma, el numero delante del puntosera siempre 1, por lo que no se suele almacenar.
Ejemplo 2.1.4. El anterior es un ejemplo de un numero decimal que se puede guardarde forma exacta en una palabra de 32 bits. Un ejemplo en el que esto no serıa ası esel ya conocido caso de 0.1 = (0.00011)2 = (1.1001)2 × 2−4, que necesariamente ha deredondearse antes de almacenarse; esquematicamente (sin entrar en detalles de como sealmacena el exponente), tendrıamos, en precision simple, la representacion (recordemosque el 1 antes del punto decimal no se suele almacenar)
0|E = −4|10011001100110011001101
donde la 23a cifra tras el punto se ha redondeado a 1 porque la siguiente era 1. De estaforma, lo que realmente se almacena es:
(1.10011001100110011001101)2 × 24 = 0.10000000149011611938
Esto muestra explıcitamente que, efectivamente, el algoritmo 2.1 es un bucle infinito.
Debemos resaltar que la especificacion del numero de bits que se utilizan para al-macenar mantisa y exponente es lo unico que necesitamos para determinar cuales sonlos mayores y menores numeros que se pueden almacenar en coma flotante ası como lamaxima precision que se puede obtener. Veamos como obtener estos parametros en el casode doble precision (que es la precision utilizada por Matlab).
Ejemplo 2.1.5. Obtener los numeros de “overflow” y “underflow” ası como la precisionmaquina en doble precision, es decir:
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1. Obtener el mayor numero entero positivo representable en formato de coma flotanteen el caso de doble precision (lımite de “overflow”)
Puesto que el mayor exponente es 1023, el mayor numero representable es (1.1....1)2×21023 ≃ 1.8 × 10308 (hay 52 unos detras del punto “decimal”).
2. Obtener el menor numero entero positivo representable en formato de coma flotanteen el caso de doble precision (lımite de “overflow”). El menor decimal representablecon 52 dıgitos significativos binarios es (1.00...01)2×10−1022 ≃ 2.23×10−308. Sin em-bargo, el estandar IEEE admites numeros mas pequenos, aunque tengan menos cifrassignificativas (es lo que llaman numeros sub-normales); estrictamente el numeromas pequeno representable en coma flotante es: (0.00..01)2 × 2−1022 = 2−1074 ≃4.94× 10−324 (52 dıgitos tras la coma decimal). Para no perder dıgitos significativoses mejor moverse en el rango (1/Nov, Nov), donde Nov es el numero de overflowNov ≃ 2.23 × 10−308.
3. Obtener la diferencia entre 1 y el menor numero positivo mayor que 1 en comaflotante (epsilon-maquina).
El numero que se nos pide es (1.0...01)2 − (1.0...0)2 = (0.0...01)2 = 2−52 ≃ 2.2 ×10−16. Este numero representa el mejor error relativo que se puede manejar endoble precision (definimos este conocido concepto a continuacion). Este valor deepsilon-maquina significa que todos los numeros con 15 cifras significativas se puedenguardar de forma exacta en doble precision y que ocurre lo mismo para la mayorparte de los numeros de 16 cifras.
Nota 2.3. Es importante tener en cuenta que MATLAB trabaja en doble precision2
aunque por defecto solo muestre 5 cifras significativas. Para que el sistema muestre mascifras se puede utilizar el comando “format long”.
Ademas de los detalles senalados hay otras caracterısticas fundamentales del estandarIEEE que no describiremos como son:
1. Redondeo correcto de la aritmetica (volveremos mas adelante sobre este punto)3.
2La version 7.0 ya permite trabajar en precision simple y con aritmetica entera, aunque doble precisionsigue siendo la disponible por defecto.
3Un error en el “hardware” de punto flotante de los Intel Pentium (1994) le dio una considerable malapublicidad a la companıa. El problema fue solventado reemplazando los procesadores defectuosos
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2. Tratamiento de excepciones. Es decir, que un operacion del tipo log(0.0) no da errore interrumpe la ejecucion del programa, sino que se asigna un valor especial pararepresentar esta excepcion (para significar −∞).
3. Compatibilidad entre procesadores. Esta es por supuesto, una de las grandes ven-tajas de los estandares.
2.2. Errores y sus causas
El analisis numerico trata de la construccion de metodos discretos para la resolucionde problemas continuos. Esta discretizacion, que se presenta tanto en la representacionnumerica en un ordenador como en los propios algoritmos de calculo, necesariamenteimplica la aparicion de errores cuyo origen y propagacion debemos estudiar 4.
2.2.1. Definiciones
Si xA es una aproximacion del verdadero valor xT , definimos entonces:
Error absoluto: Eabs = |xT − xA|
Error relativo: Erel = |1 − xA
xT
|, si xT 6= 0.
Tambien se pueden utilizar estas definiciones con signo (es decir, sin el valor absoluto).El error relativo en ocasiones se expresa tambien en tanto por ciento.
2.2.2. Fuentes de errores
Las fuentes de error en un calculo numerico pueden ser de variada naturaleza, algunasde ellas independientes del metodo numerico empleado.
1. Un metodos numerico para resolver determinado problema cientıfico puede dar lugara resultados erroneos si el modelo no es una fiel descripcion de la realidad.
4No por ello se debe adoptar la vision reduccionista consistente en definir el analisis numerico comoel area de la matematica que analiza los errores de calculo
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2. Un algoritmo numerico puede depender de ciertos datos de entrada (por ejemplo,datos fısicos) afectados de cierto error. Se debe vigilar que el metodo numerico nosea crucialmente dependiente de la exactitud de tales valores de entrada y que laprecision de estos valores sea suficiente para nuestros propositos. En el caso en queel propio modelo fısico/matematico sea muy sensible a estos parametros, tendremosun problema mal condicionado e imposible de resolver numericamente de formaestable.
3. Los errores de programacion son practicamente inevitables durante la construccionde un metodo numerico. Una vez construido un algoritmo numerico que en aparien-cia funciona correctamente es necesario certificar su funcionamiento mediante todoslos tests que esten a nuestro alcance.
4. Errores en la aritmetica de punto flotante: errores de redondeo, perdida de cifrassignificativas por cancelaciones, problemas de “underflow/overflow”. Estos son losproblemas derivados de la representacion en punto flotante, en la cual se dispone deun numero finito de bits para representar la mantisa y el exponente. Como ya vimos,esto limita tanto la mejor precision relativa alcanzable (15-16 dıgitos decimales endoble precision) como el rango de valores disponible.
Aunque la segunda de las limitaciones no suele presentar graves problemas, es nece-sario evitar la evaluacion de cantidades demasiado grandes o pequenas.
La limitacion de la precision tiene por lo general mayores consecuencias. Por ejem-plo, cuando se sustraen cantidades muy parecidas, el error relativo empeora drasti-camente por perdida de cifras significativas.
5. Errores de truncamiento o de discretizacion, inherentes al hecho de aproximar unproblema continuo mediante una aproximacion discreta. Por ejemplo, veremos quela regla trapezoidal sirve para aproximar integrales mediante:
∫ b
a
f(x)dx ≈ h
2(f(a)+f(b))+h
N−1∑
k=1
f(a+kh) ≡ S(h) , donde h =b − a
N, h = (b−1)/N
El significado de “≈” es “aproximadamente”, lo cual significa que
∫ b
a
f(x)dx = S(h) + ǫ(h)
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donde ǫ(h) es el error de truncamiento, que es de esperar que sea menor cuanto menorsea h (N ∈ N lo mayor posible). Un calculo explıcito de los errores de truncamientoes al menos igual de difıcil que el calculo del problema original. Nos conformaremoscon un conocimiento cualitativo de estos errores y con buscar acotaciones lo masfinas posible.
Trataremos de estimar los errores de truncamiento en cada algoritmo numerico quese presente.
Discutamos en este punto acerca de los errores debidos a las limitaciones en la repre-sentacion de punto flotante, en particular por lo que respecta a la precision limitada delsistema
Redondeo y perdida de cifras significativas
Puesto que la representacion en coma flotante es limitada en cuanto al numero decifras significativas que se pueden almacenar, los numeros reales se redondearan a un de-terminado numero de cifras (siempre utilizando el sistema de numeracion binario) cuandoel valor verdadero tenga mas cifras de las que se pueden almacenar.
Asimismo, tras cada operacion aritmetica se vuelve a redondear el resultado. En elestandar IEEE esto se hace de la mejor manera posible en el sentido de que el resultado dela operacion aritmetica esta redondeado de forma que se almacena el valor mas proximoal resultado exacto. Ası, por ejemplo, supongamos que, para simplificar, la precision fuesede tres dıgitos binarios tras el punto (y no consideremos limitacion en el exponente),si se suman los numeros en punto flotante x = (1.010)2, y = (1.001)2 × 2−4 tenemosque el resultado exacto es (1.0101001)2 que no serıa un numero en punto flotante (solodisponemos de 3 posiciones tras el punto). El resultado IEEE serıa redondear la ultimacifra, aumentandola si la siguiente fuese 1 y dejandola como esta en otro caso. Ası, x + yse almacenarıa como (1.011)2.
Otra posibilidad (menos recomendable) es, sin mas, eliminar las cifras que no quepan(truncamiento). Esta desafortunada prescripcion se utilizaba en los supercomputadoresCray, pero esta en total deshuso.
Aun cuando en el estandar IEEE se redondea al numero en coma flotante mas cercano,que es la opcion mas conveniente, es necesario estudiar como pueden afectar sucesivosredondeos al resultado de un algoritmo numerico.
Por otra parte, la limitacion en el numero de bits para la mantisa tiene como conse-cuencia la posible perdida de cifras significativas en ciertos calculos donde dos cantidades
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tienden a cancelarse entre sı 5. Para evitar este tipo de errores, es recomendable:
a) O bien reescribir la formula en cuestion de modo que se eviten las restas de cantidadesde la misma magnitud.
b) O bien utilizar (cuando sea posible) un desarrollo de Taylor para aproximar la formulahasta la precision requerida.
Veamos algunos ejemplos en los que se da perdida de cifras significativas
Ejemplo 2.2.1. Obtener las raıces de x2 − 106x + 1.En una modesta calculadora con 10 decimales y aplicando la archiconocida formula
x = −b ±√
b2 − 4ac2a , vamos obteniendo los resultados:
x =106 ±
√1012 − 4
2≃ 106 ± 106
2
que da x = 106 para la mayor raız y x = 0 para la menor. Es evidente que hemos perdidotodas las cifras significativas para la menor raız. De hecho, la famosa formula deberıa serdesterrada de cualquier metodo numerico. Es mucho mejor reescribir la solucion de laecuacion de segundo grado como:
x1 = L/2a , x2 = 2c/L , L = −b − signo(b)√
b2 − 4ac
De esta forma la mayor raız es como antes y en la calculadora la menor saldrıa x = 10−6,cuyo error relativo respecto a la solucion verdadera es ∼ 10−12.
Ejemplo 2.2.2. Consideremos por ejemplo f(x) = (√
x + 1−√x) para x > 0. Cuando x
es grande, se producen errores de redondeo importantes puesto que los valores de√
x + 1y√
x se aproximan considerablemente. ¿Como evitarıamos esta fuente de error?. Lo quepodemos hacer es reescribir f(x) del siguiente modo:
f(x) = (√
x + 1 −√
x)
√x + 1 +
√x√
x + 1 +√
x=
1√x + 1 +
√x.
En la expresion resultante podemos apreciar que no se producen cancelaciones decantidades de la misma magnitud.
5Un famoso y lamentable error de este tipo fue el que motivo le fallo de los misiles Patriot para derribarlos misiles Skud iraquıes durante la guerra del golfo: se medıan intervalos de tiempo restando tiemposdesde el reinicio del sistema con la consiguiente perdida progresiva de precision
54
Ejemplo 2.2.3. Consideremos g(x) =1 − cos(x)
x2 . Cuando se evalua g(x) para |x| << 1
se produce una perdida considerable de cifras significativas. En este caso, para remediarel problema consideramos el desarrollo de Taylor de cos(x) entorno a 0. De este modo:
g(x) =1 − [1 − x2/2! + x4/4! + ...]
x2≈ 1
2− x2
4!+
x4
6!.
Esta expresion es apropiada entonces para evaluar g(x) cuando x << 1.
Errores de overflow /underflow
Aunque los lımites de overflow/underflow son considerablemente generosos, convieneescribir las expresiones que se utilicen de manera que se minimice esta posibilidad. Porejemplo, es preferible calcular el modulo de un numero complejo, z = x + iy, |z| =√
x2 + y2, como
|z| = |x|√
1 + (y/x)2
De esta forma, no hay que elevar al cuadrado numeros que pueden ser muy grandes. Dela misma forma, hay que tomar precauciones para calcular la argumento de un numerocomplejo de manera que no se produzcan “overflows/underflows” en el calculo de y/x.
Ejercicio 2.4. Escribir un programa en Matlab que obtenga la representacion polar deun numero complejo dado z = reiθ, 0 ≤ θ < 2π, eliminando el riesgo de problemas deoverflow-underflow.
2.3. Propagacion de errores: condicion y estabilidad.
Un error en un calculo numerico contamina las sucesivas evaluaciones. Esta propa-gacion del error puede describirse en terminos de dos conceptos relacionados, los de(in)estabilidad y condicion.
La condicion de una funcion f(x) mide la sensibilidad de los valores de f(x) apequenos cambios en x y se define como
C =
∣
∣
∣
∣
Erel(f(x))
Erel(x)
∣
∣
∣
∣
donde Erel(f(x)) es el error relativo de f(x) para un error relativo Erel(x) en x.
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Entonces, como 6
f(xT ) − f(xA) ≃ f ′(xt)(xT − xA) → Erel(f(x)) ≃ f ′(xT )
f(xT )(xT − xA)
luego
C ≃∣
∣
∣
∣
xTf ′(xT )
f(xT )
∣
∣
∣
∣
Utilizaremos esta ultima expresion como definicion de condicion para funciones f(x)de una variable real. Definimos entonces los numeros de condicion como
C(x) =
∣
∣
∣
∣
xf ′(x)
f(x)
∣
∣
∣
∣
Cuando para un x dado 0 < C(x) < 1 para ese x se dira que el problema (calculode f) esta bien condicionado (y cuanto menor sea C mejor condicionado), mientras que siC(x) > 1 el problema estara mal condicionado. Si C(X) = 1, el error relativo se mantiene.
Ejemplo 2.3.1. La funcion f(x) =√
x esta bien condicionada, pues C(x) = 1/2, luegoel error relativo se reduce.
En cambio f(x) = x2 − 1 esta mal condicionada para x ≃ 1 pues C(x) =∣
∣
∣
2x2
x2 − 1
∣
∣
∣
El concepto de condicionamiento se puede extender a situaciones mas generales que lade una funcion de una variable continua. Por ejemplo, un problema clasico que involucrafunciones de una variable discreta, es el estudio del condicionamiento de relaciones derecurrencia:
Ejemplo 2.3.2. Las funciones de Bessel Jn(x) satisfacen la relacion de recurrencia:
Jn+1(x) = −Jn−1(x) + 2nx Jn(x), pero como las funciones de Bessel de segunda especia
cumplen la misma relacion y lımn→∞ Jn(x)/Yn(x) = 0, el calculo de las funciones Jn apartir de J0 y J1 esta mal condicionado, pues una pequena perturbacion en los datos ini-ciales J0 y J1 contamina nuestra secuencia de funciones Jn con la secuencia Yn, quecrece mas rapido con n.
Ası, por ejemplo, empezando con los valores en precision simple J0(2) = 0.22389078y J1(2) = 0.57672481, y aplicando la recurrencia obtenemos J8(2) = 4.00543213 × 10−5
que no tiene bien ni siquiera un cifra significativa: J8(2) = 2.2180 × 10−5.
6Recordemos el teorema del valor medio: Si g(x) continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces∃c ∈ (a, b) : f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a)
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Un concepto relacionado, que no equivalente, es el de (in)estabilidad de un algoritmo,que describe la sensibilidad de un metodo numerico especıfico respecto a los inevitableserrores de redondeo cometidos durante su ejecucion en aritmetica de precision finita.Observemos que la condicion no depende de errores de redondeo pero que la estabilidadde un algoritmo sı depende del condicionamiento de la funcion que queramos evaluar. Unejemplo puede servir para distinguir estos dos conceptos relacionados:
Ejemplo 2.3.3. Dada la funcion f(x) =√
x + 1 −√x, su numero de condicion es:
C(x) =
∣
∣
∣
∣
xf ′(x)
f(x)
∣
∣
∣
∣
=x
2√
x√
x + 1
y vemos que C(x) < 1/2 para x > 0, luego la funcion esta bien condicionada (su errorrelativo es menor que el error relativo en x).
Sin embargo, el algorıtmo para calcular x consistente en ir realizando las operacionesimplicadas en f(x) =
√x + 1 −√
x, a saber:
1. Input: x
2. y = x + 1
3. f1 =√
x + 1
4. f2 =√
x
5. f = f1 − f2
es inestable para x grande por culpa del paso 5 (hay cancelaciones entre numeros simi-lares). Como sabemos, un algoritmo estable lo proporciona la siguiente reescritura de lafuncion:
f(x) =1√
x + 1 +√
x
2.4. Eficiencia de un algorıtmo numerico
Por supuesto, cualquier algoritmo numerico sensato debe evitar ser inestable. Porotra parte, si existieran varios metodos para evaluar una misma funcion, entonces conven-dra adoptar aquel metodo que sea mas eficiente, es decir, mas rapido. Con la mejora enproporcion geometrica de la velocidad de los procesadores, podrıamos estar tentados en
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despreocuparnos por la rapidez de calculo. Esta es, sin embargo, una pesima filosofıa: setrata de aprovechar los recursos para poder resolver problemas mas complejos y no pararesolver peor problemas simples. La eficiencia es y siempre sera de importancia capital enel desarrollo de buenos metodos numericos.
La diferencia en tiempos de ejecucion pueden llegar a ser muy considerables si ciertasoperaciones elementales, que se pueden repetir miles y miles de veces, no se realizan concuidado. Por ejemplo, para calcular x4 para cierto valor de x, es muy mala idea calcularx4.0 (exponente en coma flotante); hay que tener cuidado en utilizar un exponente enteroya que los metododos de exponenciacion en coma flotante son distintos que los de enterosy mucho mas lentos; aun es mejor idea considerar el calculo en dos pasos: x2 = x ∗ x,x4 = x2 ∗ x2, con lo que se economizar un producto frente a x4 = x ∗ x ∗ x ∗ x.
2.4.1. Ejemplo: Evaluacion de polinomios, metodo de Horner
Otro ejemplo notable (y por desgracia no suficientemente) conocido es la evaluacionde polinomios. Por ejemplo, supongamos que nos planteamos evaluar el polinomio
P (x) = 2 + 4x − 5x2 + 2x3 − 6x4 + 8x5 + 10x6
Contando con que cada potencia de exponente k entero cuente como k − 1 productos,tendrıamos que el numero total de productos para evaluar el polinomio de forma directaes:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
y el numero de sumas es 6.Una forma mejor de proceder es ir calculando primero las potencias de forma sucesiva:
x2 = xx , x3 = xx2 , x4 = xx3 , x5 = xx4 , x6 = xx5
con lo que solo se anade una nueva multiplicacion por potencia, par un total de
1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 11
Pero aun se puede hacer mejor reescribiendo
P (x) = 2 + x(4 + x(−5 + x(2 + x(−6 + x(8 + x10)))))
con lo que solo necesitamos 6 multiplicaciones (y el numero de sumas no cambia). Vemospues que para evaluar un polinomio de grado n en el que ninguno de los coeficientes
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es cero, se necesitan n(n + 1)/2 multiplicaciones por el primer metodo, 2n − 1 por elsegundo y n para el tercero. De forma que se debe procurar utilizar el ultimo metodo,particularmente cuando n es grande.
Este metodo es ademas sencillo de programa, en efecto:
Algoritmo 2.5 (Algoritmo de Horner o de division sintetica).
Algoritmo de HornerDado el polinomio
P (x) = a0 + a1 x + ... + an xn , an 6= 0
la evaluacion de P (x) para cierto valor x = z se puede realizar en npasos mediante
(1) bn = an
(2) bn−1 = an−1 + z ∗ bn
(3) bn−2 = an−2 + z ∗ bn−1
...
(n) b0 = a0 + z ∗ b1
donde P (z) = b0.
Es facil programa este algoritmo en forma de bucle, sobretodo si no nos interesan loscalculos intermedios. Ası, se puede escribir:
(1) b = an
(2) Repetir mientras n > 0
(3) n = n − 1
(4) b = an + z ∗ b
(5) Volver a (2)
(6) p(z) = b.
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Esta forma de evaluar polinomios es mucho mejor que el metodo directo, especial-mente para ordenes grandes. Dependiendo del orden de un polinomio y las veces que serepita el calculo, sera importante aplicar el metodo de Horner.
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2.5. EJERCICIOS PRACTICOS
Introduccion a la construccion de algoritmos
El objetivo de estos ejercicios es el de poner en practica algunos conceptos introducidosen este tema desarrollando algunos ejemplos con MATLAB.
Ejercicios:Se propone realizar los siguientes ejercicios y responder a las cuestiones que se plantean:
1. Comprobar que el epsilon-maquina es 2−52 = 2.2204 10−16, tecleando en la lınea decomandos:
>> a=1+2^(-53);b=a-1
y comparando con
>> a=1+2^(-52);b=a-1
2. Escribir la secuencia de comandos:
x=0; while x~=10
x=x+0.1
end
en un fichero (con extension .m) y ejecutarlo en MATLAB. Para interrumpir laejecucion, pulsar CTRL+C. ¿Que ocurre si en lugar de incrementarse la variable en0.1 lo hace en 0.125?. ¿Por que?.
3. Obtener el mayor y el menor numero positivo en punto flotante (numeros de over-flow y underflow). Para obtener el numero de overflow escribir un bucle que vayacalculando las sucesivas potencias de 2 y que finalice cuando se produce overflow. Serecomienda utilizar el comando isinf para detectar cuando se produce el overflow(teclear help isinf) para obtener informacion sobre este comando. Otra instruccionque puede resultar util es break para interrumpir el bucle cuando se produce el over-flow. El numero de underflow se puede obtener calculando las sucesivas potenciasnegativas de 2 hasta obtener un numero indistinguible del cero en punto flotante.
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4. Escribir dos funciones MATLAB para la resolucion de ecuaciones de segundo gradoax2 + bx+ c = 0, una de ellas (que llamaremos mala.m) implementando la formula:
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
y otra (buena.m) utilizando el metodo alternativo:
x1 = L/2a , x2 = 2c/L
donde L = −b − signo(b)√
b2 − 4ac.
La sintaxis de la llamada a la funciones ha de ser
>> [x1,x2]=buena(a,b,c);
y similarmente para mala.m.
Discutir la ventaja de buena.m sobre mala.m escribiendo un fichero con un ejemploilustrativo.
5. Escribir una rutina que implemente el algoritmo de Horner (horn.m) para la eval-uacion de polinomios. La sintaxis de llamada a la rutina habra de ser:
>> p=horn(coefs,x);
donde p es el valor del polinomio, coefs es un vector con los coeficientes del poli-nomio, de mayor a menor grado y x es el valor de la variable independiente. Es decirque si, por ejemplo, hacemos:
>> p=horn([1 -5 6 2],2);
entonces en la variable p se almacenara el valor P (2) donde P (x) = x3−5x3+6x+2.