cálculo vectorial

1. La geometría del espacio euclidiano

2. Funciones vectoriales

3. Diferenciación

4. Integrales múltiples

5. Integrales de línea

6. Integrales de superficie

7. Los teoremas integrales

Escribir los vectores base de las

coordenadas esféricas en terminos

ˆˆ ˆde , y i j k

sin cos sin sin cos

0 0 0 2

x r

y

z

x r y r z r

r

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos

ˆˆ ˆsin cos sin sin cos

ˆˆ ˆcos cos cos sin sin

ˆ ˆsin sin sin cos

1 sin

P xi yj zk r i r j r k

Pi j k

r

Pr i r j r k

Pr i r j

P P Pr r

r

ˆˆ ˆˆ sin cos sin sin cos

ˆˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin

ˆ ˆˆ sin cos

r i j k

i j k

i j

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos

ˆˆ ˆsin cos sin sin cos

ˆˆ ˆcos cos cos sin sin

ˆ ˆsin sin sin cos

1 sin

P xi yj zk r i r j r k

Pi j k

r

Pr i r j r k

Pr i r j

P P Pr r

r

2 2

2 2

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos cos cos cos sin sin

sin cos cos sin cos sin sin cos

sin cos cos sin sin cos

sin cos sin cos 0

r

i j k i j k



ˆ ˆˆ sin cos

r i j k

i j k

i j

ˆˆ 0

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ 0

r

r



ˆ ˆˆ sin cos

r i j k

i j k

i j

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos cos cos cos sin sin

ˆˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos cos cos

ˆˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos cos sin

ˆ ˆˆ ˆsin cos sin sin cos sin

r

i j k i j k

i j k i

i j k j

i j k k



ˆ ˆˆ sin cos

r i j k

i j k

i j

ˆˆ

ˆˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos cos cos

ˆˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos cos sin

ˆ ˆˆ ˆsin cos sin sin cos sin

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin sin cos cos cos cos cos

ˆsin cos cos

r

i j k i

i j k j

i j k k

i i j i k i

i

ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin sin cos sin cos cos sin

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆsin cos sin sin sin sin cos sin

j j j k j

i k j k k k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin sin cos cos cos cos cos

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos sin sin sin cos sin cos cos sin

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆsin cos sin sin sin sin cos sin

ˆsin sin cos cos cos c

i i j i k i

i j j j k j

i k j k k k

k

ˆos cos

ˆ ˆsin cos cos sin cos cos sin

ˆ ˆsin cos sin sin sin sin

ˆcoˆsin sin cos cos

ˆsin cos cos s

s cos cos

ˆcos coi s sin

ˆ ˆsin cos sin sin sin sin

ˆ ˆ ˆs

n

in cos

k

k

j

k i

j i

j

i

j i

i j


coordenadas esféricas en terminos

ˆˆ ˆde , y i j k



ˆ ˆˆ sin cos

r i j k

i j k

i j


coordenadas cartesianas en terminos

de los vectores base de las

coordenadas esféricas.

sin cos sin sin cos

0 0 0 2

x r

y

z

x r y r z r

r

ˆ ˆsin cos sin sin cosˆ ˆcos cos cos sin sin

ˆ ˆsin cos 0

r i

j

k



ˆ ˆˆ sin cos

r i j k

i j k

i j

sin cos sin sin cos 1 0 0

cos cos cos sin sin 0 1 0

sin cos 0 0 0 1



ˆ ˆˆ sin cos

r i j k

i j k

i j



ˆ ˆˆ sin cos

r i j k

i j k

i j

sin( )cos( ) cos( )cos( ) sin( )

sin( )sin( ) cos( )sin( ) cos( )

cos( ) sin( ) 0



ˆ ˆˆ sin cos

r i j k

i j k

i j

sin( ) cos( ) cos( )cos( ) sin( )

sin( )sin( ) cos( )sin( ) cos( )

cos( ) sin( ) 0

ˆˆ

ˆˆ

ˆ ˆ

ˆˆ ˆˆsin cos cos cos sin

ˆˆ ˆˆsin sin cos sin cos

ˆ ˆˆcos sin

ri

j

k

i r

j r

k r

ˆˆ ˆˆsin cos cos cos sin

ˆˆ ˆˆsin sin cos sin cos

ˆ ˆˆcos sin

i r

j r

k r


coordenadas cartesianas en terminos

de los vectores base de las

coordenadas esféricas.

lr

(radianes)=l

r

2

El ángulo sólido subtendido por una superficie es

área de

S

aS

a

2 2

ˆ ˆ ˆ

donde

ˆ es el radio vector desde hasta un punto

arbitrario de la superficie

ˆ es la normal de dirigida alejandose de

S S

r n dS r dSS

r r

r P

S

n S P

2


área de

S

aS

a

2 2

V

Para demostrar que

ˆ ˆ ˆ

usamos el teorema de la divergencia

S S

S V

r n dS r dSS

r r

F dV F dS

2


área de

S

aS

a

2 2

ˆ ˆ ˆ

S S

r n dS r dSS

r r

V

2

Usamos el teorema de la divergencia

con

ˆ, ,

y

El volumen formado por los rayos proyectados

S V

F dV F dS

rF r

r

V

2


área de

S

aS

a

2

V

ˆ con

S V

rdV F dS FF

r

22

22 2 2

2 2

1 1 1div sin

sin sin

ˆ 1 1 1 1div sin 0 0

sin sin

ˆ 1div 1 0

rF P r F F rFr r r r

rP r r

r r r r r r

rP

r r r

2

V

ˆ con

S V

rdV F dS FF

r

3 / 22 2 2

2

3 / 2 3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2 2 2 2

div

, ,, ,

1 3 2

2

yx z

x

FF FF P

x y z

x y zF x y z

x y z

F x x

x x x y z x y z x y z

2

V

ˆ con

S V

rdV F dS FF

r

3 / 22 2 2

2

3 / 2 3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2 2 2 2

div

, ,, ,

1 3 2

2

yx z

y

FF FF P

x y z

x y zF x y z

x y z

F y y

y y x y z x y z x y z

2

V

ˆ con

S V

rdV F dS FF

r

3 / 22 2 2

2

3 / 2 3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2 2 2 2

div

, ,, ,

1 3 2

2

yx z

z

FF FF P

x y z

x y zF x y z

x y z

F z z

z z x y z x y z x y z

2

3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2

2

3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2

2

3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2

div

13

13

13

yx zFF F

F Px y z

x

x y z x y z

y

x y z x y z

z

x y z x y z

3 / 22 2 2

, ,div , ,yx z

F x y zF FF P F x y z

x y z x y z

2 2 2

3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2

3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2

div

33

3 3

0

yx zFF F

F Px y z

x y z

x y z x y z

x y z x y z

3 / 22 2 2

, ,div , ,yx z

F x y zF FF P F x y z

x y z x y z

2


área de

S

aS

a

2 2

ˆ ˆ ˆ

S S

r n dS r dSS

r r

V

2

Usamos el teorema de la divergencia

con

ˆ, ,

y

El volumen formado por los rayos proyectados

S V

F dV F dS

rF r

r

V

2 2

ˆ ˆ ˆ

S S

r n dS r dSS

r r

2 3

Como 0

0

pero

S V

S V S S S

F

F dS

F dS F dS F dS F dS

2


área de

S

aS

a

2 2

ˆ ˆ ˆ

S S

r n dS r dSS

r r

2 3

2

3 3 3 3

2 2 2

2

0

ˆ ˆ 1ˆ

ˆ

S V S S S

S

S S S S

S S

F dS F dS F dS F dS

F dS

r rF dS dS r dS dS

r a a

rF dS dS

r

El ángulo sólido subtendido por una

superficie se puede medir como el área

en una esfera unitaria (de radio 1)

cubierta por la proyección de la superficie

en la esfera

S

2


área de

S

aS

a

Los ángulos sólidos se miden en:

i) Steradianes

ii) Grados cuadrados

2


área de

S

aS

a

2

Como un grado es radianes, 180

los ángulos sólidos hay que multiplicarlos

180por para obtener los

grados cuadrados

2


área de

S

aS

a

2180

1 Steradian= grados cuadrados

11 grado cuadrado= steradianes

3283

2


área de

S

aS

a

2

ˆ ˆ

S

r ndSS

r

2

ˆ ˆ4

S

n rdSS

r

2

2 2

20 0

2

0 0

0

ˆ ˆ

ˆ ˆ sin

sin

2 sin

4

S

n rdSS

r

r rr d dS

r

S d d

S d

S

2

4 steradianes

180 1296004 41,253 grados cuadrados

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Sun920607.jpg

, 1S x y x y

1x y 1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

X

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0Y

, 1S x y x y

1x y

1x y 1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

X

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0Y

, 1S x y x y

1x y

1x y

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0X

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0Y

1x y

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0X

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0Y

u x y

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0U

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0V

1u

, 1S x y x y

1x y 1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

X

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0Y

, 1S x y x y

1x y

1x y

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0X

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0Y

v x y

1x y

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0X

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0Y

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0U

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0V

1v

1x y

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0X

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0Y

v x y

1v

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0V

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

U

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1 0 1

1

0

1 1

0

1

, , , ,0F x y z x y

2, cos , sin ,4

0,2 0, 2

r u v v u v u v

v u

2, cos , sin ,4

0,2 0, 2

r u v v u v u v

v u

2 2

2 2

, ,sin , cos ,0 cos

2 cos , 2 sin ,

2 cos ,2 sin ,

,sin , 2

, ,

, ,

r u v r u vv u v u u u v

v u v u v

v u

u v

r u v r u v

u v

r u v rv

u v

v uv u

, , , ,0F x y z x y

2, cos , sin ,4

0,2 0, 2

r u v v u v u v

v u

2cos , sin ,4 cos , sin ,0F v u v u v v u v u

2 22 cos ,2 sin ,, ,r u v r u v

v uv u v u v

2

2 2

3 2 3 2 3

2 cos ,2 sin ,

2 c

cos , sin ,4

cos , sin

os in

0

2 s

,

2

v

F v u v u v n

v u v u v u v

v u v

u

v u

2 2 23 3

0 0 0

2 4 16S

F dS v dudv v dv

, , , ,0F x y z x y

•Teorema de la divergencia

•Teorema del rotacional

•Teorema de Green

3 3: , , 3 ,3 , 2FF F x y z y x D R R

2 2

es la porción del plano 1 que queda

dentro del cilindro 9.

S z

x y

•Ejercicio 1

•Ejercicio 2

•Ejercicio 3

•Ejercicio 4

•Ejercicio 5

cálculo vectorial

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