proyecto cÁlculo integral

8/13/2019 PROYECTO CLCULO INTEGRAL

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PROYECTO CLCULO INTEGRAL

APLICACIONES DE LA INTEGRALDEFINIDA

PRESENTADO A:ING.: JUAN MANUEL CORDERO

CLCULO INTEGRALESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERIA

BOGOT D.C2005


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INTRODUCCIN

Uno de los primeros logros del clculo, fue predecir la posicin futura de un objeto, a partirde una ubicacin conocida y la funcin que representa su velocidad. Adems hemos

podido, en muchas ocasiones encontrado una funcin a partir de valores conocidos y una

frmula para su razn de cambio. En nuestros d as, calcular la rapidez que necesita uncohete en cierto punto para poder salir del campo gravitacional de la !ierra o predecir eltiempo de vida "til de un objeto a partir de su nivel de actividad y su razn dedecrecimiento, son procesos rutinarios, gracias al clculo, mediante el uso de las derivadas.#e aqu , podemos concluir que el problema de esta es, que si conocemos el recorrido de un

punto mvil, podemos calcular su velocidad y adicionalmente si tenemos una curva podemos hallar la pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntos.

Esto, es lo que hemos estudiado en la parte del clculo infinitesimal que denominan como$%lculo #iferencial&. Ahora nos centraremos en otra parte de este, que denominan$%lculo 'ntegral&.

Encontrar una funcin f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar toda unafamilia de funciones cuya derivada puede ser f ( estas funciones reciben el nombre deantiderivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el proceso contrario al de laderivacin y este proceso se llama $integracin&. En forma anloga podemos concluir queel problema de esta es, que si tenemos la velocidad de un punto mvil, podemos hallar sutrayectoria o si tenemos la pendiente de una curva, en cada uno se sus puntos, podemoscalcular dicha curva. Esto es a groso modo la una peque)a definicin de integracin, peroesta es indefinida, es decir, que mediante este proceso, podemos encontrar toda la familiade funciones cuya derivada es nuestra funcin dada( ahora, veremos de que se trata laintegracin definida y sus aplicaciones, que es el motivo real de este trabajo.


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%omo hab amos mencionado anteriormente, nuestra preocupacin ahora, es encontrar elrea de cualquier superficie sin importar su forma. -upongamos que queremos hallar elrea de la regin comprendida entre el eje 4, la recta 45a, la recta 45b y la grfica de lafuncin f(x) 63rfica /7.

3rfica 0.

Ahora, supongamos que tomamos la regin y la dividimos en una serie de rectngulos de base 4 63rfica 0.7. -i logrramos calcular el rea de cada uno de esos rectngulos, y lassumramos todas, obtendr amos una apro4imacin del rea total de la regin que deseamos.

ero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola e4presin, podr amoshacerlo de modo que, tomemos un valor 4 i, dentro del intervalo [a,b ], tal que e4ista 4i yun f(xi ), de tal manera que se cumpla que

de esta manera se puede calcular el rea de ese rectngulo as( )( )76 ii x f x A = ,

uesto que el rea de un rectngulo, como todos sabemos, es base por altura. #ebido a que

este rectngulo puede ser cualquier rectngulo dentro de la regin, puesto que 4 i puede sercualquier valor, ya podemos sumar sus reas para lograr la apro4imacin

( )( )=

n

iii x x f

/

76 ,

#onde esta sumatoria nos representa el rea apro4imada de la regin que deseamos. %omoya hab amos visto que xi, representa cada una de las particiones de nuestra regin, ahoradefinamos a P como la particin ms grande de todas, es decir la base de rectngulo msgrande de dotas las de la regin y n el n"mero de particiones. As , si hacemos que P se


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haga tan peque)o como pueda o que el n"mero de particiones n, se haga lo ms grande que pueda, hallamos una mejor apro4imacin del rea que buscamos 63rfica 87.

3rfica 8.

#e aqu podemos deducir que si hallamos el + mite cuando el n"mero de rectngulos seamuy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectngulos sean muy peque)as,lograremos la mejor y ms e4acta apro4imacin del rea que tanto hemos buscado. 9 estose representa as

( )( )=

n

iii

p

x x f /:

76lim ,que es equivalente a,

( )( )=

n

iii

n x x f

/

76lim ,

con esto ya encontramos la mejor apro4imacin del rea. Ahora si, podemos definir laintegral definida ya que,

( )( ) =

=n

iii

n

b

a x x f dx x f

/

7676 limor lo tanto podemos deducir que la integral definida es una suma y as la hemos definido.

9 de esta manera, tambi*n hemos mostrado la primera aplicacin de la integracindefinida, hallar el rea bajo una curva.

9a que definimos la integral definida, identifiquemos cual es su notacin y las partes que lacomponen.

ba

dx x f 76

!oda la e4presin se lee, int !"#$% f(x), desde # hasta &' # y &, son los l mites deintegracin, donde # es el l mite inferior y & es el l mite superior. El s mbolo , es una smay"scula alargada, que significa suma y se llama s mbolo de integracin. +a funcin f(x) ,es el integrando y el dx , se llama diferencial y es el que lleva la variable de integracin queen este caso es x .

REA ENTRE CUR(AS


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%omo ya hemos definido la integral definida como una suma y adems hemos visto comose halla el rea de una regin comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como sehace este mismo clculo para hallar el rea de una regin que este comprendida entre doscurvas, es decir, entre las grficas de dos funciones.

El concepto para calcular el rea entre dos curvas, es el mismo que ya hab amos estudiado.+a regin a trabajar, se divide en rectngulos, y se determinan los mismos parmetros paracalcular el rea de este, es decir su base y su altura. +a diferencia en esta aplicacin es quela altura del rectngulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dosfunciones involucradas.

3rfica ;.

%omo podemos ver en la 3rfica ;, el intervalo de la regin esta definido por los puntos decorte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado,si las funciones no se cortan, para hallar el rea entre ellas, es necesario definir un intervalo

mediante $tapas&, que son rectas constantes en funcin de y, de igual manera que definimosel intervalo en la aplicacin anterior.

Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el rea, slo resta, mostrar como es quecambia el asunto de la altura del rectngulo. 9 eso lo podemos representar as

( ) ( )( ) =

=n

iiii

n

b

a x x g x f dx x g x f

/

76767676 lim#onde f(x)-g(x), representa la altura del rectngulo diferencial. %on esto ya hemosmostrado y definido otra aplicacin de la integral definida.

SLIDOS DE RE(OLUCIN

9a est visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar reas, pero


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el clculo del volumen de un slido, es como una e4pansin del clculo del rea, a unatercera dimensin.

'gual que para hallar el rea, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, porejemplo un cilindro. #ado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelep pedo, su

volumen puede ser calculado como tal, rea de su base por su altura.

si

0r A =

hr AhV 0 ==

M)t*$* $ %*+ $i+,*+

3rfica ?.

%omo ya vimos, el volumen de un cilindro, ahora nos queda ms fcil comprender elconcepto de volumen por el m*todo de los discos. %omo sabemos las dimensiones deldisco diferencial 63rfica ?.7, son muy parecidas a las de un cilindro, de hecho el disco es

prcticamente un cilindro cuya altura es mucho menor al radio de su base. #e esto podemos deducir que si queremos hallar el volumen del slido de la grfica, es necesariosumar los vol"menes de los discos que quepan dentro del slido y si llevamos esa cantidad,hacia el infinito, igual que con el rea, obtendremos la mejor apro4imacin del volumen y

para esto ya vimos como funciona la integral definida, es por eso que para este caso el

clculo del volumen del slido, es una e4pansin del clculo del rea de una superficie plana. %alculemos el volumen del disco si, el radio es f(x) y su espesor es x.( )00 76 x f Ar A == , de aqu , deducimos que,

( ) x x f V = 076 , por lo tanto( ) dx x f dV 076 = , dado que el volumen esta entre # y &,( ) = ba dx x f V 076


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#e esta manera, podemos calcular el volumen de un slido, mediante el m*todo de losdiscos.

M)t*$* $ %#+ #"#n$ %#+

Este m*todo, es sin duda una e4pansin del anterior, debido a que tambi*n se basa endiscos, pero esta vez con un agujero, es por eso que se les llama arandelas. El hecho que se presente el agujero, se debe a que el volumen de revolucin lo forma la rotacin de dosfunciones, a un mismo sentido y a un mismo ritmo, de donde generalmente se forma unslido hueco.

3rfica @.

Ahora, si miramos la 3rfica @( nos damos cuenta que el proceso para hallar el volumen esmuy similar al del m*todo anterior, pero aqu es necesario hacer una resta de vol"menes

para la arandela, si el radio mayor es f(x) y el radio menor es g(x) , y V a es el volumen de la

arandela,

( ) ( ) dx x g dx x f V a00 7676 =

[ ]dx x g x f dV a 00 77667766 = , de aqu ya podemos hallar fcilmente el volumen delslido, desarrollando la integral definida en el intervalo [a,b ].

[ ]dx x g x f V ba = 00 77667766

M)t*$* $ %*+ ,#+- i%%*+ ,i%/n$"i,*+

%uando necesitamos hallar el volumen de un slido de revolucin, a veces los casquilloscil ndricos nos pueden dar una solucin ms fcil, que el m*todo de las arandelas. En parte,la razn es que la formula a la que nos llevan no requiere que se eleve al cuadrado. +osm*todos de discos y arandelas usaban como elemento representativo de volumen un discocircular, generado al girar un rectngulo orientado perpendicularmente al eje de rotacin orevolucin. El m*todo de los casquillos usa como elemento representativo de volumen uncilindro que es generado al girar un rectngulo, orientado de forma paralela al eje derevolucin. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para el volumen delcilindro diferencial.


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3rfica .Anteriormente ya hab amos calculado el volumen de un cilindro, as que aqu , miraremosuna formula geom*trica que nos dice que el volumen de un casquillo barrido por unrectngulo esV 50 6radio promedio del casquillo76altura del casquillo76grosor7en nuestro caso es

iii x x f xV = 760

3rfica B.

-upongamos que hacemos girar la regin sombreada de la 3rfica B, alrededor del eje y para generar un slido. ara hallar una apro4imacin del volumen del slido, as

3rfica C.

%omo podemos ver en la 3rfica C, de la rotacin resultan casquillos cil ndricosdiferenciales. -i hacemos la sumatoria de vol"menes de los casquillos diferenciales,


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obtendremos el volumen del slido de revolucin. Anteriormente, hab amos definido elvolumen de uno de los casquillos diferenciales en t*rminos de la funcin, as que ya

podemos afirmar quedx x f xV

b

a = 7767660 Esto es el resultado de hacer la sumatoria de los vol"menes de los casquillos diferenciales yes el m*todo de los casquillos para calcular vol"menes de revolucin.

(OL MENES POR REBANADAS

%uando analizamos el m*todo de los discos para hallar el volumen de un slido, llegamos ala formula

[ ]dx x g x f V ba =

00 77667766

donde [ ]00 77667766 x g x f , era el rea de la seccin circular y 4 el espesor del disco.

Ahora podemos generalizar este m*todo, para calcular el volumen de slidos con formaarbitraria, si conocemos el rea de una de sus secciones. or ejemplo si A(x), representa elrea de una seccin en 4, perpendicular al eje 4, entonces el volumen del slido se obtendrintegrando A(x) con respecto a 4.

3rfica /:.

or ejemplo en la 3rfica /:, encontramos un slido cuyas secciones transversales sontringulos, de manera que si calculamos el rea de uno de esos tringulos diferenciales y laintegramos con respecto a 4, encontramos el volumen total del slido, es decir

dx x AV b

a = 76y de esta manera podemos encontrar, el volumen de cualquier slido, siempre queconozcamos un elemento diferencial y la formula para hallar su rea.

LONGITUD DE ARCO


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Dasta ahora, hemos usado la integral definida para calcular magnitudes con unidadesc"bicas y con unidades cuadradas( esto nos lleva a preguntarnos,


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76 /== ii xii x xn x y 76 /== ii yii y yn y podemos estimar la longitud de ese en todo el intervalo [a,b ], as

=

+i

nii y x s

/

00 7676

tomando el l mite en el lado derecho y sacando un factor com"n 6 470, podemos afirmarque la longitud del arco es

=

+=

n

ii

i

i

n x

x y

s/

0

76/lim

ahora, como f(x), es continua, entonces es aplicable el teorema del valor medio de modoque e4iste alg"n ci en [ xi-1 ,xi], tal que

( )// 767676 = iiiii x xc f x f x f o equivalente

76G ii

i c f x y =

as , podemos decir que

[ ]=

+=n

iiin

xc f s/

0 7676G/lim

que realmente es equivalente a

[ ] += b

adx x f s 076G/

que finalmente es lo que definimos en clculo integral como longitud de arco.

SUPERFICIES DE RE(OLUCIN

9a hemos usado la integral definida para hallar vol"menes de revolucin, longitudes dearco y reas de regiones planas. Ahora vamos a aprovechar su utilidad para calcular reas

pero esta vez no de regiones planas sino de superficies de revolucin, estas no son ms quela superficie e4terior de cualquier slido de revolucin.

ara poder calcular el rea de una superficie de este tipo, es necesario primero saber comocalcular el rea superficial de un cono circular truncado o tronco de cono.

3rfica /0.

%onsideremos la figura de la 3rfica /0b, donde


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+ es la longitud del segmentor es la distancia de un e4tremo al eje de rotacinH es la distancia del otro e4tremo al eje de rotacin

%on los datos anteriores, podemos afirmar que el rea del tronco de cono es

Lr R Lr R A L 7600 += +=

3rfica /8.

-upongamos que la funcin f(X), de la 3rfica /8, tiene derivada constante y giraalrededor del eje 4. -ea una particin de [a,b ] en subintervalos de anchuras 4i.Entonces el segmento rectil neo de longitud

00 7676 iii y x L +=genera un tronco de rea lateral, - i y la podemos definir como

( ) [ ] 00/ 76767676 iiiiiii y x x f x f Lr RS ++==

[ ] ii

iii x x

y x f x f S

++=

0

/ /7676

y por aplicacin del teorema del valor medio y del teorema del valor intermedio, podemosasegurar que se cumple que

[ ]=

+n

iiii xc f d f S

/

076G/760 ,

por lo tanto concluimos que

[ ] += b

adx x f x f S 076G/760

#el mismo modo podr amos demostrar que, si la grfica de f(x), gira alrededor del eje y, elrea S , viene dada por

[ ] += b

adx x f xS 076G/0


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y de esta manera, con cualquiera de las dos formulas, dependiendo el eje de rotacin podemos calcular el rea de revolucin.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDAA LA INGENIER1A EL CTRICA

CAMPOS EL CTRICOS

Un campo el*ctrico en un punto se define como la fuerza el*ctrica que act"a sobre unacarga de prueba positiva, situada en ese punto dividida por la magnitud de la carga de

prueba q0

:q !

"

Este campo el*ctrico, es producido por alg"n agente e4terno, directamente sobre la part cula y no de la part cula sobre el agente e4terno. #ebemos considerar tambi*n, que elcampo el*ctrico siempre estar all , sin importar si hay o no part cula, sobre la cual act"e lafuerza. ara aplicar la ecuacin anterior, debemos suponer que la carga de prueba es tan

peque)a que prcticamente no afecta al agente e4terno, de manera que la distribucin delcampo el*ctrico es uniforme, es decir, que si hay una part cula que cambia su posicindentro del campo el*ctrico, pero que estas posiciones sean equidistantes del agente que

produce el campo el*ctrico, este tendr la misma magnitud sobre estas part culas.

%onsideremos una carga puntual q localizada a una distancia r de una carga de prueba q0de acuerdo con la ley de %oulomb, la fuerza ejercida sobre la carga de prueba por q es

= r r

qqk ! # 0:

%omo el campo el*ctrico en la posicin de la carga de prueba est definido por

:q !

" , encontramos que, en la posicin de q0, el campo el*ctrico formado por q es

== r r q

k " # 0

donde r

, es un vector unitario orientado de q a q0, si q es positiva, el campo el*ctrico

estar dirigido radialmente hacia fuera, y si es negativa, el campo ser dirigido hacia si

misma.

Ahora, si queremos calcular el campo el*ctrico, en un punto $ , debido a un grupo decargas puntuales, primero calculamos el campo para cada una de las cargas puntuales yluego hacemos la suma vectorial, es decir, que el campo el*ctrico total debido a un grupode cargas es igual al vector suma de los campos el*ctricos de todas las cargas.


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i

i i

i# r r

qk "

= 0

donde r i, es la distancia desde la carga i2*sima , qi, hasta el punto $ , yir

es un vector

unitario dirigido de qi a $ .

C#34* E%),t"i,* $ n# $i+t"i& ,i n $ ,#"!# ,*ntin #

%on frecuencia un grupo de cargas se localizan muy cercanas unas de otras en comparacincon sus distancias a puntos a en los cuales se pretende calcular el campo el*ctrico. En estoscasos, el sistema de cargas puede considerarse como continuo, es decir, que el sistema decargas, con un espaciamiento muy peque)o entre ellas, es como si fuera una sola cargadistribuida continuamente sobre una superficie o un volumen.

ara calcular el campo el*ctrico de una distribucin de carga continua, se recurre alsiguiente procedimiento

rimero dividimos la distribucin de carga en peque)os elementos con una peque)a carga q en cada uno de ellos y con la ley de %oulomb, calculamos el campo el*ctrico para unade estas divisiones en un punto $ .

= r r

qk " # 0

de aqu deducimos que el campo el*ctrico " , total en el punto $ , debido a todos loselementos de la distribucin de carga es

i i

i# r r

qk " 0

donde el sub ndice i se refiere al i2*simo elemento en la distribucin. Ahora si la distanciaentre cada uno de esos elementos es muy peque)a comparada con la distancia al punto $ , ladistribucin de carga puede considerarse apro4imadamente continua y el campo se total se

puede calcular haciendo el l mite cuando qi tienda a cero y se convierte en

== r

r dq

k r r q

k " i

#i i

i

q# i00:

lim

de esta manera aplicamos la integral definida para hallar un campo el*ctrico, aprovechandoque esta est definida como una suma.

E6 34%*:C#34* %),t"i,* $ &i$* # n# ""# ,#"!#$#

Una barra de longitud l tiene una carga positiva uniforme por longitud unitaria y unacarga total Q . %alcule el campo el*ctrico en un punto P a lo largo del eje de la barra, a unadistancia d de un e4tremo.


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ara solucionar este problema, asumimos que la barra se encuentra sobre el eje 4. 4representa un peque)o segmento de la barra de tal forma que q representa la carga en esesegmento. #ebido que la proporcin entre q y 4 es igual a la proporcin entre la cargatotal y la longitud de la barra, es decir,

xq%

&

x

q ===

de aqu podemos deducir que

00 x x

k x

qk " ##

==

El campo total en $ producido por todos los segmentos de la barra, que se encuentran adistintas distancias desde , se puede calcular haciendo la integral definida

+

=d %

d # x

dxk " 0

veamos que aqu los l mites de la integral se e4tienden desde un e4tremo de la barra 645d7hasta el otro lado 645 % Id7. %omo k # y son constantes se pueden sacar de la integral,

+ +

==d %

d

d %

d ## x

k xdx

k " /0

76//

d % d &k

d % d k " ## +=

=

F "7# 3#!n)ti,# +*&" n ,*n$ ,t*" - ,*n$ , ,*""i nt

%uando una part cula cargada aislada se mueve a trav*s de un campo magn*tico, estae4perimenta sobre s misma una fuerza magn*tica. #e igual forma sucede con un alambreque conduce corriente cuando es sometido a dicho campo( esto se debe a que la corrienterepresenta una coleccin de part culas cargadas en movimiento( por lo tanto la fuerza que


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e4perimenta el alambre es el resultado de la suma de las fuerzas individuales ejercidassobre las part culas cargadas del alambre.

%onsideremos un segmento de alambre recto, de longitud L y rea de seccin transversal A,que conduce una corriente ' en un campo magn*tico uniforme B .

+a fuerza magn*tica sobre una carga q que se mueve con velocidad de arrastre vd es qvd B . ara calcular la fuerza total sobre el alambre, multiplicamos la fuerza sobre una carga, por el n"mero de cargas del segmento. 9a que el volumen del segmento es AL, el n"mero

de cargas en el segmento es nAL, donde n es el n"mero de cargas por unidad de volumen.#e ah

nAL (q) ! d 76 = , abreviando la e4presin, decimos que ( 'L ! = , donde L, es el vector director de la corriente ' y la magnitud de L es la

longitud del segmento.

Ahora si consideramos un segmento de alambre de forma arbitraria y de seccin transversaluniforme en un campo magn*tico, podemos deducir que la fuerza magn*tica sobre unsegmento peque)o ds en presencia de un campo B es

( 'dsd! = , de aqu podemos deducir que

= b

a (ds ' !

para ' , que es constante y a, b que son los e4tremos del cable.

EJEMPLOS Ejemplo 1

!raza la regin limitada por las curvas y calcula su rea. x x x y 8; 08 += y x x y = 0


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primero hallamos los l mites e intervalos de integracin x x x x x =+ 008 8; , de aqu hallamos que las funciones se cortan en

:= x , /= x y ;= xAhora,

( ) ( )dx x x xdx x x x x x +=+/:/

:

08008 ;?7678;6

0

/

:

08;

/0A

08?

;/

08?; * x x x

=+=+=ahora a esto hay que sumarle

( ) ( )dx x x xdx x x x x x +=+;

/

;

/

08080 ;?78;676;

/

08;

08

?; += x

x x

0

;;?

08?

;/

808

80:@; *=

+

+=

entonces el rea total es0

@A/

;;?

/0A

* A+ =+=

Ejemplo 2

Dallar el volumen de la regin acotada por la curva y x 1 y la recta y -x / , y que girarespecto al eje x.

20191817161514131211

10

987654321 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

13121110

9

87654321

123456

789

10111213

4

y


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solucin primero hallamos los l mites de integracin.

/0:0

8/0

0

===+++=+

x x x x

x x

identificamos los radios de la arandela diferencial

/76

8760 +=

+=

x xr

x x R

ahora evaluamos la integral( ) ( )

8

/

0

?80

/

0

;0/

0

000

?

//A

?88B

@B7/6786

* x x

x x

x x xdx x x

==

=++

Ejemplo Dallar la longitud de la curva

/8

0; 0J8 = x y , para /: x

solucin

primero derivamos la funcin0J/0J/ 00

08

80;

x xdxdy ==

y elevamos la derivada al cuadrado

( ) x xdxdy

B0000J/

0

==

la longitud de arco de la curva entre : y / es

( ) * xdx x s@

/87B/6

B

/

8

0B/

/

:

0J8/

:=+=+=


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BIBLIOGRAF1A

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