tesis-cÁlculo integral

Clculo Integral

SEP

SES

DGEST

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO

CLCULO INTEGRAL

ELABORACION DE TEXTOS Y PROTOTIPOS DIDACTICOS (OPCION II) LIBRO DE TEXTO

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE: INGENIERO INDUSTRIAL E INGENIERO ELECTROMECNICO

PRESENTAN: SASHA ALTAGRACIA CARMONA ROJAS Y RAFAEL FLORES PEREZ

APIZACO, TLAX.1

JUNIO 2006

Clculo Integral PROLOGO El presente texto est diseado para alumnos que se preparan para una carrera a nivel licenciatura en las diferentes ingenieras del sistema de Institutos Tecnolgicos. Se da por hecho que se tienen conocimientos previos de lgebra y clculo diferencial, por ende, centramos nuestra atencin en mostrar las tcnicas del clculo integral que se requerirn tanto en cursos de especialidad, posgrado y con toda seguridad en su futuro ejercicio profesional.

En lo que se refiere al profesor, es nuestro deseo que el texto se constituya en una herramienta til al proceso de enseanza-aprendizaje, con la finalidad de poder usar el tiempo de clase ms eficazmente y as contribuir significativamente a la comprensin de los temas contenidos en el programa de estudios.

Es importante hacer notar que las propuestas que se plantean, han sido producto de un anlisis exhaustivo a travs de muchos aos de ensear clculo, es decir, no se trata de una hiptesis, sino del resultado sistemtico de un riguroso proceso de investigacin.

CARACTERSTICAS DIDCTICAS. 1. Los contenidos han sido diseados exclusivamente para cubrir el curso de clculo integral (matemticas II) de las ingenieras que ofrecen los Institutos Tecnolgicos dependientes de la DGEST.

2. En cada unidad, los nuevos conceptos se presentan a travs de ejercicios resueltos, cada tema se ilustra mediante ejemplos que van desde bsicos hasta avanzados.

2

Clculo Integral 3. Al final de cada unidad se presenta una serie de ejercicios cuidadosamente previstos para que el alumno vaya adquiriendo seguridad y dominio del tema.

4. En la parte final del texto aparecen las soluciones a los ejercicios de nmero par.

5. Conscientes de que ningn conocimiento vale la pena si no es empleado en la obtencin de un beneficio, se han seleccionado minuciosamente aplicaciones variadas y realistas, y que requieren un mnimo de conocimientos en otras reas.

6. No obstante, que el presente libro ha sido elaborado con la intencin de contribuir al enriquecimiento del proceso de enseanza-aprendizaje, es necesario concluir que la disposicin, creatividad, tenacidad, voluntad, etc., tanto del profesor como de los estudiantes es factor fundamental en el logro del mismo.

3

Clculo Integral JUSTIFICACIN

Para muchos estudiantes la matemtica es un verdadero dolor de cabeza, ya que no logran aprenderla, es preocupante que a nivel nacional es la materia que ms se reprueba. A pesar de que durante la educacin bsica (preescolar, primaria y secundaria) y la educacin media superior (bachillerato) se estudia, los alumnos no pueden superar su deficiente aprendizaje.

Cuntos estudiantes truncan sus estudios por haber reprobado matemticas? No se sabe el nmero aproximado y menos el exacto, debido a que jams se ha llevado estadstica alguna. El problema es serio, a quin culpar? , a los libros de texto?, a los profesores?.

En una sociedad globalizada como la nuestra en la que imperan los criterios de eficiencia y eficacia, de productividad y competitividad, de orientacin a logros y resultados, es necesario modificar algunas estrategias pedaggicas para hacer menos complicado el aprendizaje de las matemticas, particularmente del clculo integral, en este sentido, es conveniente desde nuestro particular punto de vista, trabajar en la elaboracin de un libro de texto en el que intervengan la inteligencia y la voluntad para hacer las cosas de manera ldica, sin dejar de ser profesional, que ofrezca a los profesores como a los alumnos una propuesta de trabajo que se pueda desarrollar, sin dificultad, a partir de las indicaciones contenidas en el mismo.

Desde nuestra perspectiva, el papel de los profesores como promotores del desarrollo individual y colectivo de las habilidades y destrezas de los estudiantes exige un gran esfuerzo, que se duplica con la carga de trabajo administrativo que deben realizar a lo largo del curso. 4

Clculo Integral Conscientes de esta problemtica, consideramos este texto como un conjunto de material de apoyo que contribuya a hacer ms accesible el conocimiento de esta importante y noble rama de la matemtica, el clculo integral.

Es deseable que las sugerencias, incluidas en el libro, motiven la imaginacin y creatividad de los profesores y les sirvan como punto de arranque para disear procedimientos didcticos ms acordes con los intereses y las necesidades de los alumnos.

5

Clculo Integral

INDICE2 4

PROLOGO JUSTIFICACIN CAPITULO 1- Diferenciales. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Incrementos, su interpretacin geomtrica. Diferenciales, su interpretacin geomtrica. Teoremas tpicos de diferenciales. Clculo de diferenciales. Clculo de aproximaciones usando la diferencial.

9 10 11 12 13

CAPITULO II.- Integrales indefinidas y mtodos de integracin. 2.1 Definicin de funcin primitiva. 2.2 Definicin de integral indefinida. 2.3 Clculo de integrales indefinidas. 2.3.1 Directas. 2.3.2 Por cambio de variable. 2.3.3 Por partes. 2.3.4 Trigonomtricas. 2.3.5 Por sustitucin trigonomtrica. 2.3.6 Por fracciones parciales. CAPITULO III.- Integral definida. 3.1 3.2 3.3 3.4 Definicin de integral definida. Propiedades de la integral definida. Teorema fundamental del clculo. Clculo de integrales definidas. 66 67 68 68 18 19 20 22 24 33 40 47 54

CAPITULO IV.- Aplicaciones de la integral. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Longitud de curvas. Clculo de reas. reas entre curvas. Slidos de revolucin. Clculo de volmenes por el mtodo de los discos. Clculo de momentos, centros de masa y trabajo. 73 75 76 80 80 86

6

Clculo Integral CAPITULO V.- Integrales impropias. 5.1 Definicin de integral impropia. 5.2 Integral impropia de 1ra clase. 5.3 Integral impropia de 2da clase. APENDICE I. APENDICE II. APENDICE III. APENDICE IV. RESPUESTAS A PROBLEMAS PARES. BIBLIOGRAFIA. 95 95 97 100 102 104 107 115 129

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Clculo Integral

DIFERENCIALES

DIFERENCIALES

Incrementos, su interpretacin geomtrica. Definicin de diferencial. Teoremas tpicos de diferenciales. Clculo de diferenciales. Clculo de aproximaciones usando la diferencial.

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Clculo Integral

CAPITULO 1DIFERENCIALES 1.1 Incrementos, su interpretacin geomtrica. Sea y = f(x) una funcin. En muchas aplicaciones se tiene que la variable independiente x vara ligeramente y se necesita encontrar la variacin correspondiente de la variable dependiente y. Si x cambia de x1 a x2 , entonces la magnitud del cambio se denota por x ( se lee delta x ). Es decir, el incremento de x est dado por: x = x2 x1 Anlogamente y denotar la variacin de la variable dependiente y, correspondiente al cambio x. Entonces, el incremento de y, est dado por:

y = f(x2) f(x1) = f(x1 + x) f(x1)

La representacin geomtrica de estos incrementos en trminos de la grfica de f se muestra en la siguiente figura:Y

Q x1 + x , f x1 + xQ

(

(

))

P x1 , f x1

(

( ))Px

y

x1

x2

X

Fig. 1

9

Clculo Integral Ejemplo 1: Sea y = 2x2 3. Encuentre el incremento y si el valor inicial de x es 3 y x = 0.1

Solucin:

y = f(3.1) f(3) = f(x1 + x) f(x1) y = [2(3.1)2 - 3] - [2(3)2 - 3] y = 1.22

Ejercicios tema 1.1 Calcule y para las funciones dadas, considerando los valores de x y x indicados. 1. y = x2 en x = 2 y x = 0.3 2. y = 3. y = x3 4. y =3

x

en x = 16 y x = 0.1 en x =1 3

y x = 0.2

x

en x = 8 y x = -0.1 en x = 1 y x = -0.2 en x = 1 y x = -0.1

5. y = 3x2 + 2x 5 6. y = x3 3x2 + x 4

7. y = 1/x2 en x = 2 y x = 0.2 8. y = (x 2)(x 3) 9. y = tan x 10. y = sen x en x = en x = en x = 0 y x = -0.024

y x = y x =

12

6

12

1.2 Definicin de diferencial. Sea y = f(x) donde f es derivable y sea x un incremento de x. Entonces: (i) la diferencial dx de la variable independiente x est dada por dx = x (ii) la diferencial dy de la variable dependiente y est dada por dy = f(x) x. Sustituyendo dx en lugar de x obtenemos: dy = f(x) dx 10

Clculo Integral 1.3 Teoremas tpicos de diferenciales. Puesto que la diferencial de una funcin es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, las frmulas para hallar las diferenciales son las usadas para obtener las derivadas, con solo multiplicar cada una de ellas por dx (diferencial de la variable independiente).

d (c) = 0 d (x) = dx d ( u + v w) = du + dv dw d (cv) = c dv d (xn) = n xn-1 dx d ( un) = n un-1 du d (uv) = u dv + v du

d ( cos u ) = - sen u du d ( tan u ) = sec2 u du d ( cot u ) = - csc2 u du d ( sec u ) = sec u tan u du d ( csc u ) = - csc u cot u du

d sen u =

1

du 1 u- du 1 u2

2

u v du - u dv d( ) = v du v 2 d (ln u) = ulog e du u

d cos u =

1

d tan u =d (log u) =

1

du 2 1+u

d cot 1u =d ( eu) = eu du d ( au) = au ln a du d ( sen u ) = cos u dud csc u =1

- du 2 1+udu u u 1 - du u u 12 2

d sec u =

1

11

Clculo Integral 1.4 Clculo de diferenciales. Ejemplo 2: Dada y = 2x3 + 3x2 4x +3. Hallar: (a) dy (b) el valor de dy para x = 2 y x = 0.2

Solucin:a) b)

dy = ( 6x2 + 6x - 4 ) dxsustituyendo dx = x = 0.2 y x = 2

dy = [ 6(2)2 + 6(2) - 4] [0.2] dy = 6.4

Ejercicios tema 1.4 Encuentra la diferencial dy para las funciones dadas, expresndolas en trminos de x y dx. 11. y = 100 3x2 12. y = 7x2 11 13. y =1 2

21. y = cos2 22. y =1 3 1 2

x 2

cot2 (x2- a2) tan 3x

x2 -

1 4

x+35

23. y = 24. y =

3

14. y = 2 5 x -

x

1 2

x - 1 sen (2 4x) 8

15. y = 16. y = 17. y =3

x b

+ 2x a

25. y = x2 sen-1 3x 26. y = cot-1

2x + 3

1 x 1+ x 1 ) x

x +13 4x

27. y = csc-1 ( x +

18. y = x2

28. y = ln

19 y = 1 sen2 x 20. y = sen x3 2

1 + tanx 1 tanx

29. y = log ( ex + e-x ) 30. y = cos2 e3x 12

Clculo Integral1.5 Clculo de aproximaciones usando la diferencial.

Cuando x 0, las diferenciales nos facilitan una manera de predecir el valor de f(x1 + x) conociendo el valor de la funcin y su derivada en x. f(x1 + x) = f(x1) + y

f(x1 + x) = f(x1) + dy

haciendo referencia al tema 1.2 obtenemos: f(x1 + x) = f(x1) + f(x) dx

Ejemplo 3: Hallar una aproximacin a

36.4 x . En donde deseamos calcular el valor

Solucin: Identificamos la funcin f(x) = aproximado de f(x + x) =

x + x cuando x = 36 y x = dx = 0.4 dy = 1 2 x dx

f(x1 + x ) = f(x1) + f(x) dx x + x x + 1 2 x 1 2 36 dx

36.4

36 +

(0.4)

Valor real 6.03324 6.03333 Valor aproximado

Considerando que: Error absoluto = valor real valor aproximado Error relativo = error absoluto valor real error absoluto (100) valor real

Error relativo (%) =

13

Clculo Integral Del ejemplo anterior se tiene: Error absoluto = 6.03324 6.03333 = 0.00009 Error relativo = 0.00009 = 0.0000014 6.03324

Error relativo (%) = 0.00014 %

Ejemplo 4: Hallar una aproximacin a

3

293

Solucin: Identificamos la funcin aproximado de f(x + x) =3

f(x) =

x En donde deseamos calcular el valor

x + x cuando x = 27 y x = dx = 2 dy =1 33

x2

dx

f(x1 + x) = f(x1) + f(x )dx3

27 + 2

3

27 +2 27

1 3 7293

(2)

3

29 3 +

3.07231 3.07407 Error absoluto = 3.07231 3.07407 = 0.00176 Error relativo = 0.00176 = 0.00057 3.07231

Error relativo (%) = 0.057%

Ejemplo 5: La medida efectuada al lado de un cubo es de 20 cm, con un error posible de

0.01 cm. Cul es el error mximo posible aproximado en el volumen del cubo?Solucin: El volumen de un cubo es V = x3, en donde x es la longitud del lado. Si x representa el error en la longitud del lado, entonces el error correspondiente en el volumen es:

14

Clculo Integral V = ( x + x)3 x3 Para simplificar, se utiliza la dV como una aproximacin a V. Por lo que, para x = 20 y x = 0.01, el error mximo aproximado es: dV = 3x2 dx dV = 3( 20)2 ( 0.01) = 12 cm3 Error relativo (%) =

12 (100) = 0.15% 8000

Ejercicios tema 1.5

Utiliza el concepto de diferencial para encontrar una aproximacin a la expresin dada.31. 32.

38 1 90

36.

3

303

37. cos (

- 0.2)

33. (1.3)4 34. 9 35. (1.1)3 + 6 (1.1)2

38. sen 33 39. tan (3

- 0.2)

40. cos 60.01

41. Se determina que el dimetro de un disco es aproximadamente igual a 15 cm con un error

mximo en la medicin de 0.04 cm. Usa diferenciales para estimar el mximo error obtenido al calcular el rea de una de las caras del disco. Cul es el error relativo y el error porcentual obtenidos?42. Se encontr que la arista de un cubo es de 20 cm, con un error mximo en la medicin de

0.1 cm, utiliza diferenciales para estimar el error mximo calculando a) el volumen del cubo y b) el rea superficial del cubo. 15

Clculo Integral43. Usa diferenciales para estimar el crecimiento del volumen de un cubo si cada uno de sus

lados aumenta de 12 a 12.1 cm. Cul es el valor exacto del incremento del volumen?44. Aplica las diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una

mano de 0.05 cm de espesor a un domo hemisfrico que tiene un radio de 30 m.45. La arena que chorrea de un recipiente, va formando un montculo cnico cuya altura es

siempre igual a su radio. Usa diferenciales para estimar el incremento del radio correspondiente a un aumento de 5 cm3 en el volumen del montculo, cuando el radio mide 12 cm.

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Clculo Integral

INTEGRALES INDEFINIDAS Y MTODOS DE INTEGRACIN

Definicin de funcin primitiva. Definicin de integral indefinida. Clculo de integrales indefinidas.

Clculo de integrales indefinidas directas. Clculo de integrales indefinidas por cambio de variable. Clculo de integrales indefinidas por partes. Clculo de integrales trigonomtricas. Por sustitucin trigonomtrica. Por fracciones parciales.

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Clculo Integral

CAPITULO IIINTEGRALES INDEFINIDAS Y MTODOS DE INTEGRACIN

2.1 Definicin de funcin primitiva.

En el capitulo anterior mediante las tcnicas del Clculo diferencial hemos aprendido a calcular la diferencial de una funcin, operacin que se representa por: d f(x) = f(x) dx El Clculo integral se ocupa de la operacin inversa, es decir: Hallar una funcin f(x) cuya diferencial f(x) dx es conocida. La funcin f(x) que se obtiene se llama funcin primitiva o integral de la expresin diferencial dada; el procedimiento de hallarla se llama integracin; la operacin se indica escribiendo el signo integral

delante de la expresin diferencial dada:

El signo

f(x) dx = f(x)

se lee integral o integral de.

La funcin antes mencionada se lee la integral de f(x) dx es igual a f(x). Donde la diferencial dx indica que x es la variable de integracin. Por ejemplo:

Funcin f(x) = x4 f(x) = sen x

Diferencial f(x) = 4x3dx f(x) = cos x dx dx x 18

Funcin primitiva o integral

4x3dx = x4 cos x dx = sen x dx = ln x x

f(x) = ln x

f(x) =

Clculo Integral2.2 Definicin de integral indefinida.

En base al tema anterior podemos sealar que: Funcin f(x) = x4 f(x) = x4 + 3 f(x) = x4 - 2 f(x) = x4 + C Diferencial f(x) = 4x3dx f(x) = 4x3dx f(x) = 4x3dx f(x) = 4x3dx Funcin primitiva o integral

4x3dx = x4 4x3dx = x4 + 3 4x3dx = x4 - 2 4x3dx = x4 + C

En general, podemos decir que

4x3dx = x4 + C. La constante arbitraria C se llama constante

de integracin y es una cantidad independiente de la variable de integracin. Como la constante C puede tomar un nmero indeterminado de valores, podemos deducir que si una expresin diferencial dada tiene una integral, tambin tiene una infinidad de integrales que solo difieren entre si por una constante C,

de f(x) dx .

f(x) dx = f(x) + C

y como C es desconocida e indefinida, a la expresin f(x) + C se le llama: integral indefinida

El valor de C puede determinarse cuando se conozca el valor de la integral para algn valor de la variable, como se ver en el siguiente capitulo. Por ahora aprenderemos a hallar las integrales indefinidas de expresiones diferenciales dadas, dando por hecho que toda funcin continua tiene una integral indefinida, proposicin cuya demostracin queda fuera del propsito del presente texto.

19

Clculo Integral En todos los casos de integracin indefinida, el criterio que debe aplicarse al verificar los resultados es que la diferencial de la integral ha de ser igual a la expresin diferencial dada.2.3 Clculo de integrales indefinidas.

La integracin es un procedimiento esencialmente de ensayos. Para facilitar el trabajo, se utilizan tablas de integrales, llamadas tablas de integrales inmediatas. Para efectuar una integracin cualquiera, comparamos la expresin diferencial dada con las tablas, si se encuentra registrada en ellas, se sabe la integral; si no est registrada, buscaremos por varios mtodos reducirla a una de las formas registradas. Como muchos de los mtodos se sirven de artificios que solo la prctica nos puede mostrar, en este libro nos ocuparemos de explicar detalladamente los mtodos para integrar las funciones que se encuentran frecuentemente en la resolucin de problemas prcticos. Para verificar el clculo de una integral

se deriva

f(x) dx = f(x) + C

f(x) + C

Si la derivada es igual a f(x), el clculo es correcto, pero si es diferente de f(x), evidentemente se ha cometido un error. Esta relacin entre la derivacin y la integracin permite utilizar las siguientes formulas en la obtencin de las integrales indefinidas directas:

20

Clculo IntegralFormulas fundamentales de integracin indefinida.

i

xiiidx = x + C

csc u du = ln (csc u - cot u) + C

ii

c du = C

xivdu

sec u tan u du = sec u + C

iii

(du + dv dw) = du + dv dw

xv

csc u cot u du = - csc u + C

iv

u

n

du =

u

n+1

xvi + C

sec2 u du = tan u + C

n+1 xvii du csc2 u du = - cot u +C

v

= ln u + C

uxviii e du = e + Cuu u

vi

du

=2

1 a

tan 1

u a

+ C

u +a

2

vii

a du =

u

aln a

xix +C

du u -a2 2

=

1 2a

ln

u -a u +a

+ C

viii

sen u du = - cos u + C

xx

du a -u2 2

=

a+u 1 ln +C 2a a-u

ix

cos u du = sen u + C

xxi

du a u2 2

= sen

1 ua

+ C

x

tan u du = - ln cos u + C

xxii

du u a2 2

= ln

(

u+

u a

2

2

)2

+C

xi

cot u du = ln sen u + C

xxiii

a u du =

2

2

u 2

a u +

2

2

1 u a sen +C 2 a

xii

sec u du = ln (sec u + tan u) + C

xxiv

u a

2

2

du =

u 2

u a

2

2

a ln 2

2

(

u+ u a

2

2

)

+C

21

Clculo Integral2.3.1 Clculo de integrales indefinidas directas. Ejemplos ilustrativos:

1. Hallar la integral:

( 6x2 5x + 2 ) dx

Solucin: aplicando la formula iii:

( 6x2 5x + 2 ) dx =

6x dx - 5x dx + 2 dx.2

Aplicando la formula ii: ( 6x2 5x + 2 ) dx = 6

x dx - 5 x dx + 2 dx.2

Aplicando la formula iv en el primer y segundo trminos, la formula i en el tercer trmino y simplificando:

( 6x2 5x + 2 ) dx =

6x 2+1 5 x1+1 + C + C + 2x + C 2+1 1+1

6 x3 5 x2 ( 6x 5x + 2 ) dx = + C + C + 2x + C 3 22

( 6x2 5x + 2 ) dx = 2 x3 - 2

5

x2 + 2x + C

Nota.- Cada integracin requiere una constante arbitraria, no obstante, escribiremos al final slo una constante que representa la suma algebraica de ellas.

2.- Hallar la integral:

3 2 2 x + 2 dx x

Solucin: subiendo el denominador en el segundo trmino y aplicando la formula iii: 3 2 2 x + 2 dx = x

2 x2 dx +

3 x -2 dx

3 2 x 2+1 3 x 2+1 2 2 x + 2 dx = + C + + C 2 + 1 2 +1 x

22

Clculo Integral

3. Hallar la integral:

3 2 2 x + 2 dx = x =

2 3

x3 3 x -1 + C

3 2 2 x + 2 dx x

2 3

x3

3 x

+ C

3x 3 + 2 x 2 1 dx x

Solucin: Dividiendo las expresiones y resolviendo siguiendo la secuencia de los ejemplos anteriores:

3x 3 + 2 x 2 1 dx = x

3 x2 dx +

2 x dx -

dx x

empleando la formula v en el tercer trmino: 3x 3 + 2 x 2 1 dx = x

x3 + x2 ln x + C

4. Hallar la integral de:

(e (e (

x

+ + +

x x x

) )

dx dx = dx =

(e

x

e ex

x

dx + dx +

x dx

x

)

x

x dx

usando las formulas vi y iv respectivamente: e +x

x

x

) )

dx

=

e +2 3

x + 1 +C +1 x3 2 + C

(e5. Hallar la integral de:

+ +x

xa

dx = e x + dx

(ax

x

)a

(a

x

+x

a

)

dx =

a

dx +

x

dx

23

Clculo Integral empleando las formulas vii y iv respectivamente:x a (a + x )

dx =

ax xa + 1 + +C ln a a+1

Ejercicios tema 2.3.1

Calcula las integrales siguientes: 1.

x 4 3 x3 2 2y

(

)

dx dy

9.

x3 3 3 dx x 3

2.

3 2 y

10.

2 x2 3 3 x + 3 dx x

3.

( x + 1)(3x 2) dx( 92

11.

(t

3

2

)

3

dt1

4.

3 + 4 d

)

12.

( (

x

3

2

+x

2

) dx3

5.

3x 3 ( (x3

x dx 2 x dx x3 2

13.

ax

2

3

+ bx

2

) dx

6.

x

14.

7.

y 9ya3

) dy15.3

a 12 + x 12 x 2 ( x 1) x

dx dx

8.

2

2

)

x dx

2.3.2 Clculo de integrales indefinidas por cambio de variable.

En los siguientes casos las integrales no se ajustan directamente a las frmulas fundamentales, siendo necesario cambiar variables mediante una cuidadosa eleccin de u, misma que al obtener su diferencial du nos permita adaptarlas a las correspondientes frmulas fundamentales. Para lo anterior la mejor forma de exponerlo es mediante los siguientes ejemplos ilustrativos:

24

Clculo Integral 6. Hallar la integral de:

( 3x2 2)3 6x dx

Solucin: Tomando u = 3x2 2 , du = 6x dx, comparando estos parmetros en la integral original vemos que se puede adaptar a la frmula iv, se dice entonces que la integral esta completa:

(3x 2) 6x dx

2

3

=

1 4

u3 + 1 u du = + C = u4 + C 3 +13

reemplazando u por 3x2 2

(3x 2)2

3

6x dx

=

( 3x2 2 )4 + C


x dx 3x 2 - 2

Solucin: Tomando u = 3x2 2 , du = 6x dx, comparando estos parmetros en la integral original vemos que nos falta el factor 6 en du, se dice entonces que la integral esta incompleta, pero como el factor faltante es una constante, la integral se puede completar adecundose a la frmula v de la siguiente manera:

3x

x dx = 2 -2

1 6

3x

6x dx = 2 -2

1 6

u

du

=

1 6

ln u + C

reemplazando u por 3x2 2

x dx = 3x 2 - 2

1 ln 3 x 2 - 2 + C 6


3sen x dx

Solucin: Tomando u = x du= dx, comparando estos parmetros en la integral , original vemos que nos falta el factor en du y nos sobra el 3, se dice entonces que la integral esta incompleta, pero como el factor faltante es una constante, la integral se puede completar adecundose a la frmula viii de la siguiente manera: 25

Clculo Integral

3sen x dx = 3sen x dx = 9. Hallar la integral de:3

3

sen x dx = sen u du3

aplicando la formula y reemplazando u por x cos x + C

sen x dx cos x + 162

Solucin: Es necesario sealar que es bsico dominar con fluidez el clculo de diferenciales para una mejor interpretacin de las frmulas fundamentales de integracin, en el presente ejemplo, tomando u = cos x, du = - sen x; a = 4, completando el signo en du se adapta la frmula xxii como se ilustra a continuacin:


=

- sen x dx cos x + 42 2

=

du

u +a

2

2

aplicando la formula y reemplazando u por cos xsen x dx cos x + 1622

= ln cos x + cos x + 16 + C

(

2

)


tan x sec x dx2 2 2

Solucin: Tomando u = tan x , du = sec2 x dx ; por medio de la frmula iv, tenemos:

tan x sec

x dx =

u

2

du = u3 + C

aplicando la formula y reemplazando u por tg x tan2 x sec2 x dx = tan3 x + C


e 2 x dx 25 + e 4 x

Solucin: Tomando a = 5 , u = e 2 x , du = e 2 x 2 dx ; y mediante la frmula xviii:

26

Clculo Integral

e 2 x dx 1 = 4x 25 + e 2

e 2dx 1 = 2 4x 5 +e 2

2x

1 10

du a + u22

aplicando la formula y reemplazando u por e 2 x e 2 x dx = 25 + e 4 x 1 1 2 5

tan-1 u + C =

tan-1 e 2 x + C


tan 1 2 x dx 1 + 4x22 dx , completando el factor faltante 2 en du 2 1 + 4x

Solucin: Tomando u = tan 1 2 x , du = y mediante la frmula iv, tenemos:


tan 1 2 x dx 1 + 4x2 tan 1 2 x dx 1 + 4x2

=

1 21 4

tan 1 2 x

2 dx 1 = 2 2 1+ 4x

u du

=

( tan-1 2x)2 + C

x

2

dx + 4x + 3

Solucin: Completando el trinomio cuadrado perfecto en el denominador, la integral toma la forma de la frmula xix de la siguiente manera:

x

2

dx = + 4x + 3

( x + 2) (1) = u2 2

dx

2

du x + 2 1 1 = ln +C = 2 x + 2 +1 2 (1) a

1 2

ln

x +1 +C x+3


x

( 2 x + 5) dx2

+ 2x + 5

Solucin: Haciendo u = x2 + 2x + 5, du = 2x + 2, es preciso descomponer el numerador en tres trminos, ya que, 5 = 2 + 3 para formar dos integrales, de la siguiente manera:

x

( 2 x + 5) dx2

+ 2x + 5

=

x

( 2 x + 5) dx2

+ 2x + 5

+

x

2

3dx + 2x + 5

27

Clculo Integral

x

( 2 x + 5) dx2

+ 2x + 5

=

x

( 2 x + 5) dx2

+ 2x + 5

+3

( x + 1)

dx2

+ ( 2)

2

Para la primera integral se mantiene u = x2 + 2x + 5, du = 2x + 2 y se aplica la frmula v; y para la segunda integral u = x + 1, du = dx, a = 2 y aplicando la frmula xviii, tenemos:

x xEjercicios tema 2.3.2

( 2 x + 5) dx2

+ 2x + 5

=

du u

+ 3

(u ) + ( a )2

du

2

( 2 x + 5) dx2

+ 2x + 5

= ln

x2 + 2 x + 5 +

3 tan 1 ( x + 1) + C 2


( a + bt ) (t 2

2

dt

9.

( 2x 1)2

x dx

2

2.

2

)

2

t dt

10.

( 2x+3) dxx 2 + 3x

3.

y a+by 22

(

)

2

dy 11.

( x+3) dxx2 + 6x dx x +1 dx 2x +1 x dx 2 +1

4.

(8 - x )

3

dx

5.

x 2 3 - 2x 3

(

)

3

12.2

dx 13.

6.

1 2 x dx 14.3

7.

a + bx dx 15.

x

8.

2 dx 2 x 6x + 9 28

(1+2x ) dxx2 + x

Clculo Integral

16.

(1-x ) dxx -2x2

30.

102 x dx3 x

17.

( 5-2x ) dxx -5x e 3 x dx e bx dx ex 2

31.

5

dxx

18.

32.

10

x1

dx

19.

33.

a x dx x2

20.

x1

dx

34.

( 3 + 1)x

2

3

x

dx

21.

e x dx x2cos x

35.

2x 2x + 4

dx

22.

e e

s e n x dx

36.

sen 3x dx 5sen x dx sen ( 2-3x ) dx cos ( b+ax ) dx x3 cos 5x 4 dx 1-sen d

23.

sen x

cos x dx sec 2 2x dx

37.

24.

6e

tan 2x

38.

25.

eln x dx x dx e +1x2 x

39.

26.

40.

27.

e e

dx 2 dx ex

41.

cos

28.

x

42.

cos3 s e n d tan x dx x

29.

dx 9e + 4e xx

43.

29

Clculo Integral 44.

e x tg e x dx2 2

59.

c sc 5 + d 5 2

45.

tan x s ec x dx tan 2 x s ec 2 x dx5 2

60.

x c sc x cs c cs c cs c2 2

dx

46.

61.

( a-bx ) dx

47.

cot

3

d

62.

cs c 2 cot 2 d2

48.

cot 2d3

63.

2 cot 2 2 d

49.

cot

csc2

3

d

64.

2

( a-b ) d

50.

cot ln ( sen ) d sec 3x dx 4

65.

4x + 9 dx 9 x2 + 4 dx 5 x + 122

dx

51.

66.

52.

e 3 x s e c e 3 x dx sec2 tan d sec 2 tan d3

67.

53.

68.

dx x + 2x + 52

54.

69.

4x + 4x + 52

dx

55.

sec

3

tan

3

d

70.

2x 2x +12

dx

56.

sec ( 2 ) tan ( 2 ) dsec 22

71.

x + 2x + 52

( 2 x + 5 ) dx ( 3x + 5)2

57.

d

72.

dx

x + x +1 dx 9 x2 1

58.

sec (1-2x ) dx30

73.

Clculo Integral

74.

dx 25 x 2 4 dx 3x 2 5 b dx a x 2 c22

88.

dx 4x x2 dx 6x x2

75.

89.

76.

90.

6x xdx2

( x+3) dx2

77.

x + 4x + 32

dx

91.

4x + 9 dx 9x + 4 dx 5 x + 12 dx x + 2x + 5 dx 4x + 4x + 5 dx 2x 2x +12 2 2 2 2

78.

dx x + 2x 32

92.

79.

dx x + 11x + 302

93.

80.

dx 3x + 4 x + 12

94.

81.

4x 4x 32

(8 x 1)

dx

95.

82.

4x 4x 32

(1 x ) dx

96.

83.

dx 4 9 x2 dx 9 4 x2 dx 5 3x 2 dx 3 5x2dx 4 ( 2 x 1)

97.

( 2 x + 5) dxx2 + 2x + 5

84.

98.

( 3x + 5)dx 9x 1 dx2

dx

85.

x2 + x + 1

86.

99.

87.

100.2

25 x 4 dx 3x 52

2

101. 31

Clculo Integral

102.

b dx a x c dx x + 4x + 3 dx x + 2x 3 dx x + 11x + 30 dx 3x + 4 x + 12 2 2 2 2 2 2

115.

dx 6x x2

103.

116.

( x+3) dx6 x x2 4 x 2 + 9 dx 9 x 2 + 4 dx 5 x 2 + 12 dx x 2 + 2 x + 5 dx 4 x 2 + 4 x + 5 dx 2 x 2 2 x + 1 dx 9 x 2 1 dx 25 x 2 4 dx 3 x 2 5 dx a 2 x 2 c 2 b dx x 2 + 4 x + 3 dx x 2 + 2 x 3 dx x 2 + 11x + 30 dx

104.

117.

105.

118.

106.

119.

107.

( 8 x 1) dx4 x2 4 x 3

120.

108.

(1 x )dx 4 9x dx 9 4x dx 5 3x dx 3 5x2 2 2 2

121. dx 122.

4 x2 4 x 3

109.

123.

110.

124.

111.

125.

112.

126.

113.

dx 4 ( 2 x 1)dx 4x x2 2

127.

114.

128.

129. 32

Clculo Integral 130.

3 x 2 + 4 x + 1 dx 4 x 2 4 x 3 dx 4 9 x 2 dx 9 4 x 2 dx 5 3x 2 dx 3 5 x 2 dx

141.

sen x dx cos 2 x + 16 sen d 4 cos 2 cos d 4 sen 2 sec 2 d tan 2 + 1 2e x dx 4 e2 x e x dx 1 e2 xx

131.

142.

132.

143.

133.

144.

134.

145.

135.

146. 4 ( 2 x 1) 4 x x 2 dx 148. 6 x x 2 dxsen d 4 cos 2 2

136.

dx 147.

e

16 + e 2 x dx 9 4 x dx

137.

2

x

138.

149.

139.

e 2 dx 1 ex dx2

x

150.

140.


x ( ln

x+9

)

2.3.3 Clculo de integrales indefinidas por partes.

La integracin por partes, es uno de los denominados mtodos de integracin, y consiste en hallar la integral de funciones que por alguna razn no pueden resolverse por medio de las frmulas fundamentales de integracin.

33

Clculo Integral La integracin por partes tiene por objeto hallar la integral de la diferencial de un producto; el de una funcin u por la diferencial de otra funcin dv de la misma variable, quedando representadas en la siguiente frmula:

u dv = uv v duPara aplicar la frmula a una integral dada, representamos por u a una parte del integrando y por dv al resto ( incluyendo dx). No puede darse una regla general que nos permita saber con facilidad el factor que deba ser u y dv respectivamente, no obstante es importante que la diferencial dv sea fcilmente integrable. Al sustituir los parmetros u, du, v, y dv, en la frmula de integracin por partes, se debe comparar la integral que resulta en el segundo miembro de la igualdad, ya que si sta es ms complicada que la integral original, entonces, la eleccin que hicimos de u y dv al inicio no es la correcta y nos veremos en la necesidad de probar otras opciones. Mediante la prctica podremos reconocer que tipo de integrales es preciso hallar por este mtodo, sin embargo, podemos adelantar que generalmente la integracin por partes tiene aplicacin en productos indicados, funciones trigonomtricas inversas, funciones logartmicas, como veremos en los siguientes:Ejemplos ilustrativos:

15. Hallar:

x senx dx

Solucin: u = x, entonces du = dx si dv = sen x dx , entonces v = sen x dx = cos x

x senx dx = (x) ( - cos x ) ( cos x ) dx , x senx dx =- x cos x + sen x + C 34

Clculo Integral 16. Hallar:

x cos x dx2

Solucin: Si u = x2; entonces du = 2x dx si dv = cos x dx, entonces v = cos x dx = sen x, sustituyendo en la frmula:

x

2

cos x d x = ( x2) (sen x) 2

x sen x dx x sen x dx, y como x2

comparamos la integral que resulta en el segundo miembro, podemos ver, es ms simple que la integral original,

cos x dx, por lo que la

eleccin de u y dv ha sido correcta, sin embargo, dicha integral an no puede resolverse mediante frmulas fundamentales, siendo necesario aplicar nuevamente el mtodo de integral por partes en

x sen x dx, y como ya ha sido mostrado en el

ejemplo 15 queda de la siguiente manera:

x

2

cos x dx = x2 sen x 2 [ - x cos x + sen x ] + C x2 sen x + 2x cos x 2 sen x + C

x cos x dx =2

17. Hallar:

e

x

sen x dx

Solucin: si u = e x , entonces du = e x dx y dv = sen x dx, entonces v =

sen x dx = cos x, sustituyendo en la frmula: e cos x dxx

e sen x dx = e x cos x +

x

comparando la integral del segundo miembro, dificultad que la integral original,

e

x

cos x dx , es de igual grado de

e

x

sen x dx , validando con esto la eleccin de u y 35

Clculo Integral dv, siendo necesario aplicar nuevamente el mtodo de integracin por partes de la siguiente manera:

e

x

sen x dx = e x cos x +

e

x

cos x dx

si u = e x , entonces du = e x dx si dv = cos x dx, entonces v =

cos x dx

= sen x, sustituyendo en la frmula:

e sen x dx = e x cos x + e x sen x

x

e sen x dx

x

la integral que se forma en el segundo miembro de la igualdad, es igual a la integral original, por tanto, mediante la transposicin de trminos, como est restando, pasa sumando al primer miembro:

e 18. Hallar:

x

sen x dx +

e

x

sen x dx = e x cos x + e x sen x

2 e sen x dx = e x sen x e x cos x e sen x dx =x

x

1 2

e ( sen x cos x ) + C

x

x

2

e dx

x

Solucin: supongamos que; u = e x entonces du = e x dx si dv = x2 dx , v =

x dx =2

1 3

x 3, sustituyendo en la frmula:1 3

x

2

e dx =

x

x 3 ex

1 3

x

3

e dx

x

al comparar la integral del segundo miembro con la integral inicial del primer miembro de la igualdad, podemos constatar que es de mayor grado de dificultad, por lo que en esta ocasin, invalidamos la eleccin de u y dv, y nos disponemos a elegir otra opcin: 36

Clculo Integral supongamos ahora que; u = x2, entonces du = 2x dx si dv = e x dx , v =

e dx =x

e , sustituyendo en la frmula:2

x

x

e dx = x2 e 2x x

x e dxx

en esta ocasin la integral de la derecha es de menor grado de dificultad que la de la izquierda, validando la eleccin de u y dv, sin embargo, es necesario aplicar nuevamente el mtodo de integracin por partes: u = x, dv = e x dx , du = dx v =x

e dxx

= e x , sustituyendo en la frmula:

x x x19. Hallar:2

2

e dx = x2 e 2x

x

e dx

x

2

x x x x e dx = x2 e 2 xe e dx

2

e dx = x2 e 2 x e + 2 e + C = e ( x2 2x + 2 ) + Cx x x x x

x ln x dxu = ln x, dv = x2 , du = v=

Solucin:

dx x

x dx =2

1 3

x3 dx x

x ln x dx =2

2

1 3

x3 ln x x3 ln x x3 ln x

1 3

1 3

x32

x ln x dx2

=

1 3

x dxx3 + C

x ln x dx =

1 3

1 9

37


x

2

s e n x dx u = s e n 1 x ,dx 1 x2

1

Solucin:

du =

dv = x2 dx,

v =

x2 dx =

1 3

x3, sustituyendo en la frmula: 1 3

x s e n x dx =

2

1

1 3

x3 s e n 1 x

x 3 dx 1 x2

integrando nuevamente por partes: u = x2 , dv = du = 2x dxx dx 1 x2

,

v =

x dx 1 x1 3

2

= -

1 2

1 x2

x x

2

s e n x dx = s e n x dx =1

1

1 3

x3 s e n 1 x x3 s e n 1 x +x3 s e n 1 x +

1 2

x

2

1 x +1 3

2

1 x

2

x dx

2

1

1 3

1 6

x2 1 x2

1 x 2 x dx2 3

x s e n x dx =

2

1 3

1 6

x2 1 x2 +

1 6

(1 x )



x s e n 2 x dx x s e n 3 x dx x2

5.

cos 4 d se n ax sen bx dx se n x sen 3x dx 2

2.

6.

3.

sen x dx

7.

4.

x cos 2x dx38

8.

sen 2 d

Clculo Integral 9.

2 cos 3 d2

24.

x 2 e x dx

10.

x

cos x dx2

25.

ln ( x+2) dx ln 3x dx x ln 3x dx 3x ln x dx ln x x2

11.

x cos 2 x dx x sen 3x dx2

26.

12.

27.

13.

x sec 2 x dx2

28.

14.

x tan x dx2

29.

2x dx3

15.

e s e n 2 dxx

x

30.

x ln2

x dx

16.

e 5 s e n t dtt

t

31.

ln x dx

17.

e

cos t dt

32.

3

ln x dx

18.

e 4 cos t dtx

t

33.

sen ( ln x ) dx cos ( ln x ) dx ln ( cos x ) sen x dx ln ( x + ( x + 1) ln ln x dx2

19.

x 10 dx x 2 dxx

34.

20.

35.

21.

x e x

2x

dx

36.

x2 + a 2

) dx

22.

3x e x dx2

37.

23.

e 2 x dx

38. 39

( x + 1) dxx +1

Clculo Integral

39.

ln t dt t3 x 2 ln 2 x dx s e n 1 2 d s e n 1 d

47.

tan 1a d2

40.

48.

x x x x

tan 1 d

41.

49.

x cot 1 x dx2

42.

50.

cot 1 x dx x + 1 dx

43.

2 s e n 1 2 dcos 1 cos 1

51.

44.

2 2

d d

52.

3

x 2 + 1 dx x + 1 dx5

45.

53.

2

46.

2 cos 1 d2

54.

(t + 8)3

t dt

2

2.3.4 Clculo de integrales trigonomtricas.

Se presentan con frecuencia algunas diferenciales trigonomtricas, que a simple vista no se adaptan a las frmulas fundamentales, no obstante, se pueden integrar fcilmente por medio de reducciones trigonomtricas sencillas.Caso I. integrales de la forma:

s e n u cos u du

m

n

Si m o n es entero positivo impar, sin importar lo que sea el otro, la integral puede resolverse, transformando la expresin por medio de la identidad: s e n 2 + cos 2 = 1 mediante la frmula iv:

u n du =

un + 1 + C . Si m es impar, escribiremos s e n m 1 s e n y podremos n+1

40

Clculo Integral sustituir s e n m 1 por su equivalente s e n 2 = 1 cos 2 , hasta convertir la expresin a la siguiente forma:

(suma de trminos que contienen cos u ) sen u duSi n es impar, escribiremos cos n 1 cos y sustituyendo s e n m 1 por su equivalentecos = 1 s e n , y convertir la expresin a la forma:2 2

(suma de trminos que contienen sen u ) cos u duEjemplos ilustrativos:

21. Hallar:

cos

4

x s e n x dx

3

Solucin: s e n 3 x = s e n 2 x s e n x = 1 cos 2 x sen x

(

)

cos cos 22. Hallar:4

4

x s e n x dx = x s e n x dx =3

3

cos x (1 cos x) sen x dx4 2

4

cos

4

x sen x dx

cos

6

x sen x dx

haciendo u = cos x, du = sen x dx; cos x s e n x dx =3

1 5

cos x +

5

1 7

cos x + C

7

cos x s e n5

2

x dx

Solucin:cos x = cos x cos x = 1 s e n x cos x = 1 2s e n x + s e n x cos x5 4

(

2

)

2

(

2

4

)

cos x s e n5

2

x dx =

(1 2s e n2

2

x + s e n 4 x s e n 2 x cos x dx

)

cos x s e n5

2

x dx =

sen

x cos x dx 2 s e n x cos x dx + s e n x cos x dx

4

6

41

Clculo Integral

haciendo u = s e n x ,

du = cos x dx1 3

cos x s e n5

2

x dx =

sen x

3

2 5

sen x +

5

1 7

sen x + C

7

23. Hallar:

sen

7

x dx

Solucin: s e n 7 x = s e n 6 x s e n x = s e n 2 x7

(4

)6

3

s e n x = 1 cos 2 x

(

)

3

sen x

s e n x = 1 3cos x + 3cos x cos x s e n x

(

2

)

s e n x dx = s e n x dx 3 cos x s e n x dx + 3 cos x s e n x dx 7 2 4

cos

6

x s e n x dx

sen

7

x dx = cos x + cos3 x

3 5

cos x +

5

1 7

cos x + C

7

Cuando m y n son ambos pares, enteros y positivos, la expresin diferencial dada puede transformarse por sustituciones trigonomtricas, empleando las siguientes identidades trigonomtricas:

s e n cos = sen =2

1 2

s e n 2

1 2 1 2

+

1 2 1 2

cos 2 cos 2

cos =2

24. Hallar:

cos

2

x dx

Solucin:

cos x dx =

2

1 2 +

1 2

cos 2 x dx =

1 2

x+

1 4

s e n 2x + C

42


sen

4

x cos x dx

4

Solucin: s e n 4 x cos 4 x = s e n x cos x = s e n 4 x cos 4 x =s e n x cos x =4 4

(

)

4

1 161 16

(4

(

1 21 44

1 21 24

cos 4 x =cos 4 x +

)

2

1 1 16 4

(

(

1 2

s e n 2x

)

4

=

1 16

(s e n 2x )2

2

1 2

cos 4 x +

1 1 1 + 4 2 2

cos 8x1 32

)=

1 cos 2 43 128

4x

)cos 4 x +1 128

1 32

cos 8 x

s e n x cos x dx =4

3 1283 128

dx x n

cos 4 x dx +1 1024

1 128

cos 8 x dx

sen

x cos x dx =

1 128

s e n 4x +

s e n 8x + C

Caso II. integrales de la forma:

tan u du o

cot u du

n

Si n es un entero par o impar, las identidades trigonomtricas pitagricas siguientes son de gran ayuda:

sec 2 tan 2 = 1 y c sc2 cot 2 = 1 descomponiendo las expresiones diferenciales dadas como a continuacin se indica: tan n u = tan n 2 u tan 2 u = tan n 2 u sec2 u 1 cot n u = cot n 2u cot 2u = cot n 2u c sc2 u 1 26. Hallar:

(

)

(

)

tan

5

x dx

Solucin: tan 5 x = tan 3 x tan 2 x = tan 3 x sec 2 x 1 = tan 3 x sec 2 x - tan 3 x = tan 3 x sec2 x tan x sec 2 x 1

(

)

(

)

tan

5

x dx = tan x sec x dx

3

2

tan

x sec x dx

2

+

tan x dx

haciendo u = tan x,

du = sec 2 x dx1 2

tan

5

x dx =

1 4

tan x -

4

tan x + ln sec x + C

2

43


cot

3

x dx

Solucin: cot 3 x = cot x cot 2 x = cot x (csc2 x 1) = cot x csc2 x cot x

cot

3

x dx =

cot

x csc x dx cot x dx

2

haciendo u = cot x;

du = csc 2 x dx en la primera integral para aplicar las

formulas iv y xi respectivamente:

cot

3

x dx =

1 2

cot x ln sen x + C

2

Caso III. integrales de la forma:

sec u du o csc u dun n

Cuando n es nmero entero positivo par, las expresiones diferenciales dadas se descomponen como a continuacin se indica: sec u = sec csc u = c sc 28. Hallar:n n n2

u sec u = tan u + 1 u c sc u = cot u + 12

2

(

2

)

n2 2

sec 2 u c sc2 u

n2

(

2

)

n2 2

sec x dx6 6 4 2

Solucin:sec x = sec x sec x = tan x + 1 sec x = tan x sec x + 2 tan x sec x + sec x

(

2

)

2

2

4

2

2

2

2

sec x dx = tan6

4

x sec x dx + 2 tan x sec x dx + sec x dx

2

2

2

2

haciendo u = tan x ; du = sec 2 x dx en la primera y segunda integral, empleando las formulas iv y xvi:

sec x dx =6

1 5

tan x +

5

2 3

tan x + tan x + C

3

44


csc x dx4

Solucin: csc 4 x = csc 2 x csc 2 x = cot 2 x + 1 csc 2 x = cot 2 x csc 2 x + csc 2 x

(

)

csc x dx = cot4

2

x csc x dx +

2

csc x dx ;2

haciendo u = ctg x ; du = csc 2 x dx para emplear las formulas iv en la primera integral y xvii en la segunda:

csc x dx =

4

1 3

cot x cot x + C

3

Caso IV. integrales de la forma:

tan

m

u sec u du

n

o

cot

m

u csc u du

n

Si n es un nmero entero positivo par, se procede similarmente al caso III. 30. Hallar:

tan

4

sec x dx

4

Solucin: tan 4 x sec 4 x = tan 4 x sec 2 x sec 2 x = tan 4 x tan 2 x+1 sec 2 x = tan 6 x sec 2 x + sec 2 x

(

)

31. Hallar: Solucin:

tan sec x dx =4

4

4

tan x sec x dx +

6

2

sec x dx =

2

1 7

tan x + tan x + C

7

cot6

x csc x dx

6

cot x csc x = cot x cot x + 1 csc x = cot x csc x + 2 cot x csc x + cot x csc x

4

4

(

2

)

2

2

8

2

6

2

4

2

cot cot

4

x csc x dx = cot x csc x dx + 2 cot x csc x dx + cot x csc x dxx csc x d x = 6

6

8

2

6

2

4

2

4

1 9

cot x

9

2 7

cot x

7

1 5

cot x + C

5

45

Clculo Integral Si m es impar, se deben descomponer como se ilustra en el siguiente ejemplo: 32. Hallar:

tan

5

x sec x dx

4

Solucin: tan 5 x sec 4 x = tan 4 x sec3 x tan x sec x = sec2 x 1 sec3 x sec x tan x

(

)

2

tan

5

x sec x dx = sec x sec x tan x dx - 2 sec x sec x tan x dx + sec x sec x tan x dx4 7 5 3

haciendo u = sec x ; du = sec x tg x dx y empleando la formula iv:


tan

5

x sec x dx =

4

1 8

sec x -

8

1 3

sec x +

6

1 4

sec x + C

4

Calcula las integrales siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

sen x dx2

8. 9.

cos 2 d3

sen ax dx2

sen x dx4

cos

2

x dx

10. 11. 12. 13. 14.

sen ax dx4

cos ax dx3

2

cos x dx4

4

sen x dxsen 2 d3 3

cos ax dxsen x dx5 5

cos x dx46

sen bx dx

Clculo Integral 15. 16. 17. 18. 19. 20.

cos

6

x dx

26. 27.2

sen 23

2

cos34

2

d

cos bx dx2

6

sen 2 cos 2 d tan d3

sen ax cos ax dxx sen x cos x dx3 3 2 2 2 2

28. 29.

tan 3 d5

sen x cos x dx sen mt cos mt dt3 3

30. 31. 32. 33. 34.

tan

3

3

sec3

3

d

tan d6

21. 22. 23. 24.

sen

4

2

cos 44

2

d

tan sec d4 4

sen 2 cos 2 d4

( tan ( tan

+ ctg ) d2

sen 2 cos 2 d2 4 3 2

+ sec ) d2

sen cos dsen 4

25.

2

cos 2

2

d

2.3.5 Clculo de integrales indefinidas por sustitucin trigonomtrica.

El mtodo de integrar por sustitucin consiste en reemplazar la variable de integracin, o una expresin que la contenga, por otra variable o una funcin de otra variable. Mediante esta sustitucin se transforma el integrando propuesto en otro de ms fcil realizacin. En este capitulo trataremos particularmente tres sustituciones trigonomtricas importantes:

47

Clculo Integral

I. Cuando aparece

a 2 x2

en el integrando, se tomar en cuenta el siguiente tringulo

rectngulo:

a

x

a2 x2

Y se sustituir de la manera siguiente: x = a sen dx = a cos d a 2 x 2 = a cos

Ejemplo: Hallar:

x 2 dx 4 - x2

Solucin: Tomando a = 2, tenemos: x = 2 sen dx = 2 cos d 4 x 2 = 2 cos

x 2 dx 4 - x2 x 2 dx 4 - x2

=

2 ( 2s e n )

2 cos d =4 2 cos

s e n d = 42

(

1 2

1 4

sen 2

)

= 2 - sen 2 ;

48

Clculo Integral Por medio de identidades trigonomtricas, tenemos que sen 2 = 2 sen cos , y en el tringulo rectngulo se toma: s e n = manera siguiente:x , 2 x = s e n 1 2 , cos =

4 x2 , quedando de la 2

II. Cuando aparece

x 2 dx 4 - x2 x 2 dx 4 - x2a 2 + x2

= 2 - 2 sen cos =

2

s e n 1

x x 4 x -2 2 2 2

2

=

2

s e n 1

x x 4 x 2 +C 2 2

en el integrando, se tomar en cuenta el siguiente tringulo

rectngulo:

a 2 + x2

x

a Y se sustituir de la manera siguiente: x = a tan dx = a s ec 2 d a 2 + x 2 = a sec

Ejemplo: Hallar:

x

dx2

16 + x

2

Solucin: Tomando a = 4, tenemos: x = 4 tan dx = 4 s ec 2 d

49

Clculo Integral16 + x 2 =

4 sec

x x xdx2

dx2

16 + x dx

2

=

1 16

4 sec 2 d = (4 tan ) 2 4sec

sec d 16 tan 2 d1 16

2

16 + x

2

=

d cos = tan sen cos

1 16

tan sen = cot

csc d

16 + x

2

=

1 16

csc ; del tringulo rectngulo, se tiene que: csc =

16 + x 2 x

xrectngulo:

dx2

16 + x

2

=

( )1 16

16 + x 2 +C x

III. Cuando aparece

x 2 a 2 en el integrando, se tomar en cuenta el siguiente tringulo

x

x2 a 2

a Se sustituye: x = a sec dx = a sec tan d x 2 a 2 = a tan

Ejemplo: Hallar:

x 3dx x 2 25

Solucin: Tomando a = 5, tenemos: x = 5 sec dx = 5 s ec tan d

50

Clculo Integralx 2 25 = 5 tan

x 3dx x 25 x 3dx x 252 2

= ( 5 sec )2

3

5 sec tan d 5 tg 2

= 125 s ec 3 2

sec d

= 125 s ec (1+ tan ) d = 125 s ec = 125 tan + 125 tan + C , pero tan =3

d + 125

tan s ec 2 2

d

x 3dx x 2 25 x 3dx

3

x 2 25 ; 5

2 = 125 x 25 + 125 3 5 x 2 25 x 3dx x 2 25

x 2 25 5

3

=

25 x 2 25 +

1 3

(x

2

25 + C

)

3


Calcula las integrales siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

x x x x x x

2

1 x dx 9 x dx 4 x dx 5 2 x dx2 2 2

2

7. 8.

x x

3

4 + x dx 16 + 5 x dx2

2

2

3

3

9.

3 x 2 dx x 5 x 2 dx x 4 x 2 9 dx x

3

10.3

4 x 25 dx 11. x 16 dx2

2

3

51

Clculo Integral

12.

x x x x

x 2 25 dx x x 2 + 16 dx x x 2 + 5 dx x 16 x 2 dx x2 4 9 x 2 dx x2 4 x 2 9 dx x2 2 x 2 5 dx x2 x 2 + 9 dx x2 3x 2 + 5 dx x2dx 16 x dx 25 x dx 3+ x dx 4x 92 2 2 2

25.

x x x

x 2 dx 25 x 2 x 2 dx 16 3 x 2 x 2 dx x2 6 x 2 dx 9x2 4 x 2 dx 5 + x2 x 2 dx x2 + 9dx2

13.

26.

14.

27.

15.

28.

16.

29.

17.

30.

18.

31.

5 x dx

2

19.

32.

2

7 4x dx

2

20.

33.

2

x 4

2

21.

34.

dx x2

4 x2 9 dx

22.

35.

x2

9 x 2 + 25dx

23.

36.

x

2

25 x + 16

2

24.

37.

x3dx 4 x2

52

Clculo Integral

38.

x 3dx 9 4x x 3dx 4x 7 x 3dx x2 9 x 3dx 4x +1 x 3dx x2 + a 2dx3 2 2 2

52.

(

x3 8 + x 2dx

)

3

2

dx

39.

53.

(5 x )2

3

2

40.

54.

( 25 x )2

dx

3

2

41.

55.

( x 1)2

dx

3

2

42.

56.

( x 3)2

dx

3

2

43.

x x x x x x

5 x dx

2

57.2

44.

( x + 3)2

dx

3

2

3

7 4x dx

58.

45.

( x + 2)2

dx

3

2

3

x 4 dx

2

59.2

46.

3

4x 9 dx

(3 x )2

x 2 dx

3

2

47.

60.

3

9 x + 25 dx

2

(4 x )2

x 2 dx

3

2

48.

3

25 x + 162

2

61.

( x + 8)2

x 2 dx

3

2

49.

(a

x2

)3

3

2

dx 62.

50.

( x + 4)2

2

dx

( x + 2)2

x 2 dx

3

2

51.

(

x3 9 4 x 2

)

3

2

dx 53

Clculo Integral

63.

( x 1)2

x 2 dx

3

67.2

( x + 8)2

x 2 dx

5

2

64.

( x 3)2

x 2 dx

3

68.2

( x + 2)2

x 2 dx

5

2

65.

(3 x )2

x 2 dx

5

69.2

( x 1)2

x 2 dx

5

2

66.

(4 x )2

x 2 dx

5

70.2

( x 3)2

x 2 dx

5

2

2.3.6 Clculo de integrales indefinidas por fracciones parciales.

Es posible escribir cualquier expresin racional

g( x )

f ( x)

como una suma de fracciones cuyos

denominadores son potencias de polinomios de grado no mayor que dos;g( x ) f ( x)

= F1 + F2 + + Fkf ( x)

donde a cada Fi se le denomina fraccin parcial de siguientes:A

g( x )

, y tiene una de las dos formas

( px + q )

m

o

( ax

Cx + D2

+ bx + c

)

n

donde m y n son enteros positivos y ax2 + bx + c es una expresin cuadrtica sin races reales, es decir, b2 4ac < 0.f x Para descomponer una expresin racional ( ) en fracciones parciales es necesario que f(x) g( x )

tenga grado menor que g(x). Si no es as, se debern dividir algebraicamente las expresiones hasta conseguir tal situacin, despus se representa el denominador g(x) como un producto de 54

Clculo Integral factores de la forma px + q expresiones cuadrticas irreducibles de la forma ax2 + bx + c; despus agrupamos los factores repetidos de manera que g(x) queda expresado como un producto de factores distintos de la forma ( px + q )m ( ax2 + bx + c )n donde m y n son enteros positivos, y aplicamos lo siguiente:Caso I. Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y ninguno se repite.

Para cada factor de la forma siguiente manera:f ( x) g ( x)=

( Ax + B ) ,

la expresin racional

g( x )

f ( x)

se descompone de la

A B + +. A 1 x+ B 1 A 2 x + B 2

. .+

C Anx+ Bn

Ejemplo: Hallar:

x 6x3

( x + 3) dx2

+ 5x =

Solucin:

x 6x3

( x + 3) dx2

+ 5x

( x + 3 ) dx x ( x 5)( x 1)

( x + 3) x ( x 5 )( x 1)

=

A B C , donde A, B y C son constantes por determinar: + + x x5 x 1

Multiplicando por x ( x 5 )( x 1) , obtenemos: x + 3 = A ( x 5 )(x 1 ) + B x ( x 1 ) + C x ( x 5) x + 3 = ( A + B + C) x2 + ( -6A B 5C) x + 5A igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad, obtenemos tres ecuaciones simultneas: A+B+ C = 0 -6A B 5C = 1 5A = 3 resolviendo el sistema, obtenemos: A = 3, B =5 2 5

, C = -1 55

Clculo Integral

Sustituyendo estos valores en las fracciones parciales, se obtiene:

x 6x3 3

( x + 3 ) dx2

+ 5x

=

( x + 3) dx = A + B + C dx = 3 5 + 2 5 + -1 dx x ( x 5)( x 1) x x 5 x 1 x x 5 x 1 3 ln x 5

x 6x

( x + 3 ) dx2

+ 5x

=

+

2 ln 5

( x 5)

ln ( x 1) + C =

( x ) 5 ( x 5) 5 lnx 1

3

2

+ C

Caso II. Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se repiten.

Para cada factor de la forma ( px + q )m donde m 1, la expresin racional descompone de la siguiente manera: f ( x) A1 A2 Am = + +. . .+ m m 1 g ( x ) ( px + q ) px + q ( px + q ) donde cada Ai es un nmero real. Ejemplo: Hallar:

g( x )

f ( x)

se

3

( x 2 + 1 )dx

( x 2)=

3

Solucin: obtenemos:

( x2 + 1 )

A

( x 2)

( x 2)

3

+

B

( x 2)

2

+

C ( x 2)

multiplicando por ( x 2 )

3

x2 + 1 = A + B ( x 2 ) + C ( x 2 ) 2 x2 + 1 = C x2 + ( B - 4C ) x +A-2B + 4C

igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad, obtenemos tres ecuaciones simultneas: C = 1 B 4C = 0 A -2B + 4C = 1 Resolviendo el sistema, obtenemos: A = 5, B = 4, C = 1 56

Clculo Integral


( x 2 + 1 ) dx

( x 2)

3

=

A B C + + dx ( x 2 )3 ( x 2 ) 2 ( x 2 ) 5 4 1 + + dx ( x 2 )3 ( x 2 ) 2 ( x 2 ) -5

( x 2 + 1 ) dx

( x 2) ( x 2)

3

=

( x 2 + 1 ) dx3

=

2 ( x 2)

2

4 + ln ( x 2 ) + C ( x 2)

Caso III. Cuando el denominador contiene factores de segundo grado y ninguno se repite.f x Para cada factor de la forma (ax2 + bx + c ), la expresin racional ( ) se descompone de la g( x )

siguiente manera: f ( x) g ( x)=

A1x+B1 A2x+B2 + 2 a1x + b1x+c1 a 2 x2 + b2 x+c2

+. . .+

Anx+Bn a n x 2 + b n x +cn

donde cada i, Ai y B i son nmeros reales Ejemplo: Hallar: 1 = x +13

dx x +13

Solucin:

( x + 1) ( x

12

x +1

)

=

A Bx + C + 2 x+1 x x +1

multiplicando por ( x + 1) x 2 x + 1

(

)

1 = A ( x 2 x + 1 ) + ( Bx + C )( x + 1) 1 = ( A + B ) x2 + ( B A + C ) x + ( A + C ) igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad, obtenemos tres ecuaciones simultneas: 57

Clculo Integral A+B = 0 -A + B + C = 0 A +C = 1 resolviendo el sistema, obtenemos: A =1 , 3

B=

1 3

, C =

2 3


dx = 3 x +1 dx = x +13

x+1 x3

1

dx

+

-1

2 3x + 3

2

x +11 ln 6

dx

1 ln 3

( x+1)

1

(x

2

x +1 +

)

1 2 3

tan 1

2x 1 + C 3

dx 3 x +1

= ln

( x+1) 3

(x

2

x +1

)

1

+6

1 2 3

tan 1

2x 1 + C 3

Caso IV. Cuando el denominador contiene factores de segundo grado y algunos se repiten.

Para cada factor de la forma (ax2 + bx + c )n donde n 1 y ax2 + bx + c es una expresinf x cuadrtica irreducible, la expresin racional ( ) se descompone de la siguiente manera: g( x )

f ( x) g ( x)

=

A1x+B1 n (ax2 +bx+c)

+

A2x+B2 Anx+Bn n 1 + . . . + ax 2 + bx+c (ax +bx+c)2

donde cada i, Ai y B i son nmeros reales. Ejemplo: Hallar:

( x + 3x ) dx ( x + 1)3 2 2 2

Solucin:

( x + 3x ) ( x + 1)3 2

=

(x

Ax + B2

+1

)

2

+

(x

Cx + D2

+1

)

,

multiplicando por:

(x

2

+1

)

2

x + 3x =3

3

( Ax + B ) + ( Cx + D ) ( x 2 + 1)

x + 3 x = Cx3 + Dx2 + ( A + C )x + ( B + D )

58

Clculo Integral igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad, obtenemos cuatro ecuaciones simultneas: C D A+C B+D = = = = 1 0 3 0

Resolviendo el sistema, obtenemos: A = 3, B = 0, C = 1, D = 0 Sustituyendo estos valores en las fracciones parciales, se obtiene:

( x + 3x ) dx = Ax + B ( x + 1) ( x + 1)3 2 2 2

2

+

+ ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)2

Cx + D

=

3 x dx2

x dx2

2

( x + 3 x ) dx = 3 ( x + 1) 2 ( x + 1)3 2 2 2

+

1 ln x 2 + 1 = ln 2

(

)

x2 + 1

2 x2 + 1

(

3

)

+C



x

2

dx + 2x 3 dx + 2 x 15 dx 6x + 52

7.

6x 9xdx

dx2

+ 15

2.

x x

2

8.

21 4 x x x 2

2

3.

2

9.

dx + 3x2

4.

dx 4 x 12 x + 5 dx 2x + 5x + 42 2

10.

dx 2x 6x dx x 4x3

5.

11.

6.

4x

dx + 6 x + 10

12.

x ( x 4)2

dx

59

Clculo Integral

13.

( 2 x + 3) ( 4 x 1)2

x dx

2

26.

x ( 2 x 5) (x2

(x

2

+ 1 dx

))

14.

x 3 dx x2 4x + 3 x 4 dx x2 1

27.

+ 1 dx3

xx

15.

28.

(5x(5x

2

3 dx3

)

16.

( x 1) dx ( x 3)( x + 2)

x x2 3

29.

9 dx

)

17.

2x x2

( x + 1) dx2

x 9x

+ 6x + 9 dx

30.

18.

( x + 5)

x ( x 1)2

(x

4

+ 1 dx

)

+ x631.

19.

x

( x + 7 ) dx2

+ 2x 8 dx + 8x32.

( x 2) ( x 1)2

(x

4

3x 3 dx

)

20.

x + 6x3

( x 3)2

(x

2

+ 6 x 8 dx x 4x3

)

21.

x

( 2 x + 3) dx2

+ x 30

33.

(x

2

+ x 3 dx2

)

x + x6

22.

( 3x + 2 ) dxx2 + x

34.

( x2 + x+1) dx2 x 7 x +10

23.

( 3x + 7 ) dx ( x + 1)( x + 2)( x + 3)

35.

(x

2 3

+ x + 2 dx2

)

x + 2 x 3x

24.

( x + 2) x

( 4 x + 2 ) dx2

1

36.

( x 1)( x 2)( x 3) ( x + 1)( x 2)( x 3)(x2

(x

2

+ x + 1 dx

)

25.

x ( x 4)2

(x

2

+ 1 dx

)

37.

2 x + 3 dx

)

60

Clculo Integral

38.

( x 1)( x + 2)( x 3) x ( x 1)( x 2)( x 3) ( 3x2

(x

2

17 x + 22 dx

)

50.

( x +1) dx x2 ( x 1)2

39.

(x

3

+ x + 1 dx

)

51.

dx x + x43

40.

+ 11x + 2 dx

( x + 3) ( x 2 1)53. dx2

)

52.

x+3 2 dx x + 4x + 5

2

41.

x ( x 1)

x

( x + 2 ) dx4

+ 2 x3 + x 2

54.

42.

dx 2 x ( x + 1)

x 4x3

( x 8 ) dx2

+ 4x

55.

43.

x(x2

dx2

( 3x +4 ) dx ( x 6)( x + 2)2 ( 3x +4 ) dx x ( x 4 )2

+ 2x +1 dx2

)

56.

44.

x (x2

2x +1

)57.

45.

x ( x 4)2

dx

( x + 2) (x2

( x +1) dx2 2

46.

( x 2)( x + 1) ( x 1)3

dx

58.2

4 dx3

)

( x + 1)

47.

x dx3

2

59.

( 2x ( 3x

2

+ 1 dx3

)

( x 2)2

48.

( x + 3) ( x + 1)x3 dx

x dx

60.2

+ 6 x dx2

)

( 2 x + 1)

49.

4

61.

( x 1)( x + 1)

( 3x

2

+ 5 x dx2

)

61

Clculo Integral

62.

( 3x3

2

2 dx3

)

74.

( x + 2)

dx x 14

63.

x ( x 1) (x5 4

( x + 1) dx3

75.

dx x 164

76.

64.

2 dx3

)

dx x + x24

x 2x

77.2

65.

( x 3)( x 1)( 3x2

( x 1 2 x ) dx2

x

4

dx + 9 x2 dx

78.

( x 1) ( x + 1)2

66.

( x + 3)( x 3) (5x2

3 x + 5 dx2

)

79.

x ( x + 1)2

dx

67.

+ 14 x + 10 dx2

)

( x + 2 )( x + 1)

80.

( x + 1) ( x + 1)2

dx

68.

( 24 x (x3

2

+ 10 x + 5 dx2

)

81.

( 2 x 1)( 2 x + 1) 2 x 4 dx x + 2x4 3

( x + 1)( x + x )2 2

dx

69.

)

82.

( x + 4) ( x 1)2

x dx

70.

( 4x

3

2 x + x + 1 dx3

2

)

83.

( x 2 )( x + 1)dx 3 x 1 dx 3 x +8 dx 3 x 8

x

4

x dx + 3x 2 4x dx2

71.

84.

( 2 x + 3) ( x + 9 )2

72.

85.

x3 dx x2 + x + 1

73.

86.

( x +3) dx ( x + 1) ( x2 + 1)

62

Clculo Integral

87.

x x

( x +4 ) dx2

+ 4

99.

( x 4) ( x( 2x2

(x

2

+ 9 x + 29 dx2

)

+ 2x + 3

)

88.

( x 18) dx4 x3 + 9 x

100.

( x 2) ( x + 4)2

8 x 8 dx

)

89.

x ( x + 1)2 2

( 2 x + 1) dx101.

( x + 2) ( x( 2x3 2 4

(2x

2

+ 3 x + 2 dx2

)

+ 2x + 2

)

90.

x ( x + 4)(x2

( 5 x + 12 ) dx102.

+ x + 2 x + 2 dx x + 3x + 22 3 2

)

91.

( x 1) ( x + 1)2

+ x dx

)

103.

(15 5x + 10 x x ) dx x ( x + 5)2 2

92.

( 4 x 3 ) dx ( x 2 ) ( x + 2 x + 5)2 2

104.

( 2x

3

x + 8 x 3 dx x +42

2

)

93.

( 4x

2 3

+ 6 dx

)

x + 3x3

105.

( 3x( 3x

3

+ 3x 6 dx

( x + 1) ( x3 + 1)3

)

94.

( x + 1) dx ( x 1) ( x + 1)2 2

106.

+ 3 x + 1 dx4 2

)

x + 3x dx2

95.

( x 1) dx3

107.

x+x

3

x ( x + 1)dx2 2

2

96.

(x

4

+ 1 dx3

)

x+x

108.

x ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)2

97.

( x + 1) ( x + 1)2

(x

4

+ 3 dx

)

109.

dx

2

98.

( 2 x 3) ( x

(x

2

x 8 dx2

)

+ 2x + 2

)63

110.

( x + 4)2

x dx

5

2

Clculo Integral

111.

( x + 3 x ) dx ( x + 1)3 2 2

114.

( x + x ) dx ( x + 2)3 2 2

112.

) ( x + 2)5 2

(x

+ 4 x 3 dx3

115.

( 4x

3

+ 3x 2 + 18 x + 12 dx

(x

2

+4

)

)

2

113.

( 4x

2

+ 2 x + 8 dx

x x2 + 2

(

)

)

2

64

Clculo Integral

INTEGRAL DEFINIDA

Definicin de integral definida. Propiedades de la integral definida. Teorema fundamental del clculo. Clculo de integrales definidas.

65

Clculo Integral

CAPITULO III INTEGRAL DEFINIDA 3.1 Definicin de integral definida.

Sea f una funcin definida en un intervalo cerrado [ a, b ] . La integral definida de f desde a hasta b denotada por

b

a

f ( x ) dx , est dada por:

siempre que el lmite exista. La expresin

b

a

f ( x ) dx = lim f ( wi ) xiP 0 i

b

a

f ' ( x ) dx se conoce como la integral definida de f desde a hasta b, el proceso

de hallar c en la expresin anterior, se llama calcular la integral definida, el smbolo

se llama

signo integral y se usa para indicar la relacin entre las integrales definidas y las sumas de Riemann1. A los nmeros a y b se les llama lmites de integracin; a es el lmite inferior y b el lmite superior, en estos casos la palabra lmite se refiere a los nmeros mnimo y mximo del intervalo [ a, b ] y no tiene relacin con los lmites en clculo diferencial, la expresin f ( x ) se llama integrando y el signo dx, nicamente indica la variable, no debe confundirse con la diferencial de x definida en el capitulo 1. Siempre que se use un intervalo [ a, b ] se considera que a < b , pero en aquellos casos en los que se tenga que b > a , es decir, cuando el lmite inferior es mayor que el lmite superior, entonces:

b

a

f ' ( x ) dx = -

a

b

f ' ( x ) dx

66

Clculo Integral1.- Si el alumno desea profundizar el estudio de las sumas de Riemann, se sugiere consultar SWOKOWSKI, Earl W. Calculo con geometra analtica. Pginas 227-230.

Asimismo, cuando se tenga que a = b , es decir, cuando el lmite inferior sea igual al lmite superior, tendremos:

b

a

f ' ( x ) dx = 0

3.2 Propiedades de la integral definida

A continuacin se presentan las propiedades de la integral definida nicamente de manera informativa, es decir, sin ocuparnos de la demostracin de las mismas por considerar que stas se encuentran fuera de los propsitos del presente. 1. Si k es cualquier constante, entonces:

k dx = k ( b a )a

b

2. Si f es integrable en [ a, b ] y si k es cualquier constante, entonces:

b

a

k f ( x ) dx = k

b

a

f ( x ) dx

3. Si f y g son integrables en [ a, b ] , entonces f g en [ a, b ] .

b

a

f ( x ) + g ( x ) dx =

b

a

f ( x ) dx

+

b

a

g ( x ) dx

4. Si f es integrable en [ a, b ] , [ a, c ] y [ c, b ] , donde a < c < b

b

a

f ( x ) dx =

c

a

f ( x ) dx +

b

c

f ( x ) dx

5. Si f y g son integrables en [ a, b ] y si f ( x ) g ( x ) para toda x en [ a, b ] , entonces:b

a

f ( x ) dx

b

a

g ( x ) dx

67

Clculo Integral 6. Si f es continua en [ a, b ] . Si m y M son, respectivamente, los valores mnimo absoluto y mximo absoluto de f en [ a, b ] de tal forma que: m f ( x ) M para a x b, entonces:m (b a )

f ( x ) dxa

b

M (b a )

3.3 Teorema fundamental del clculo.

Histricamente, los conceptos bsicos de la integral definida fueron empleados por los antiguos griegos, principalmente por Arqumedes (287-212 a. C.), hace ms de 2000 aos, es decir, mucho antes de que se descubriera el clculo diferencial. En el siglo XVII, casi simultneamente, pero trabajando en forma independiente, en Inglaterra; Sir Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) en Alemania, descubrieron el Teorema Fundamental del Clculo, denominado as por su importancia en la evaluacin de integrales definidas y sobre todo por mostrar la conexin entre el clculo diferencial y el clculo integral. Es principalmente por este descubrimiento que se les atribuye a estos sobresalientes matemticos la invencin del clculo. As, el Teorema Fundamental del Clculo se define de la siguiente manera: Sea f una funcin continua en un intervalo cerrado [ a, b ] , entonces:

b

a

f ' ( x ) dx = f ( b ) f ( a )

siendo f la integral de la expresin diferencial f ' ( x ) dx3.4 Clculo de integrales definidas

Para el clculo de integrales definidas se puede proceder de la siguiente manera: a) Se integra la expresin diferencial dada. b) Se reemplaza la variable en esta integral indefinida primero por el lmite superior, despus por el lmite inferior y se resta el segundo resultado del primero. Es decir: 68

Clculo Integral

Ejemplos ilustrativos: 1. Hallar:

b

a

f ' ( x ) dx = f ( x ) = f ( b ) f ( a ) a

b

3

1

x 2 dx = 1 x 3 = 3 1 sen 2x dx = 1 2

3

1 3

( 3)3 (1)3 = 8 31 2

2. Hallar:

0

0

cos 2x = 01 3

[cos 2

cos 0] =

1 2

2 = 1

3. Hallar:

3

3 dx x = 1 tan 1 3 = 2 3 0 9+ x

tan 11 tan 1 0 = 121x

4. Hallar: e dx = e x = e1 e 1 = -1 1Ejercicios tema 3.4.1

1

e2 1 e

Calcular el valor de las siguientes integrales definidas: 1.

2

1 3

2 x dx

8.

(8x x ) dx42

0

2.

2 (3x+1) dx 1 (1 x ) dx22 x 4 dx 0 16

9.

( x 3)6 3

2

dx

3.

10.

2

0 6

x3 dx dx x dx x 1

4.

8

11.

2

5.

(5 1

7x 5 x2

2

)

dx

12.

4

2

6.

(aaa3

x

2

) dx )

13.

x 2 dx 1 x + 22 2

7.

(2

6 + x x 2 dx 69

14.

0

x 3dx x +1

Clculo Integral1

15.

dx 1+ x2

29.

- 3

2 2

cos d cos

16.

3

2

2x dx 1 + x2 x dx 64 + x dx x + 4 x +13dx 2 2x x 3 x dx4 3

2

30.

0

2

d

2 2

17.

31.4

0

cos 2 d cos3 2 d tan d tan 2 d

0

1 2

32.

4

18.

0

2

5

33.

3

19.

0

2

34.

4 4

20.

(x0

2

+ 16

)

2

35.2

2

cot 3 d

21.

(x + 2 x)40

4

dx 36.

4 4

22.

1

sec 2 d

0

25-16x dx 37.

2

2

3

0

se n cos dse n2 2

23.

0

x 2 + 16 dx 38.x dx x4

16

0 1

cos

2

d

24.

0

39.

4

25.

0 1

se n 2 x dx

-1

sen x dx2

40. x 2-3sen dx 2

2 2

1

x se n -1 x dx

26.

0

41.

2

0

x se n x dx

27.

4

0

se n 2 d2

42.2

2

28.

0

x se n x dx

2

se n d3

6

70

Clculo Integral

43.

4

0

x se n 2x dx

2

49.

1

0

x e x dx6

44.

4 4

cos 1+sen d2

50.

0 4

e cos 2x dx

x

45.

4

0 1

sec 3 + tg d2

51.

1

ln x dx ln x dx x 1 + ln x dx x2

e

46.

0

e

3 x

dx e x dx 1 + ex

52,

1

3ln2

e

47.

53.

0

1

ln3

48.

0

e dx ex + 1

x

54.

( ln sen x )

cos x dx

6

71

Clculo Integral

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Longitud de curvas. Clculo de reas. reas entre curvas. Slidos de revolucin. Clculo de volmenes por el mtodo de los discos. Clculo de momentos, centros de masa y trabajo.

72

Clculo Integral

CAPITULO IVAPLICACIONES DE LA INTEGRAL

4.1 Longitud de curvas.

Para determinar la longitud de una recta, basta con determinar el nmero de veces que cabe en ella una unidad de longitud tomada como medida. Sin embargo, para determinar la longitud de una curva es imposible hacer que sobre ella coincida una unidad de longitud tomada como medida; es decir, no podemos medir las lneas curvas de la misma manera que las rectas. Para determinar la longitud de una curva, se divide el arco de la curva en cualquier nmero de partes y unimos los puntos sucesivos de divisin formando una poligonal. As, definimos la longitud de un arco de curva como el lmite de la suma de los lados de la poligonal cuando el nmero de los puntos de divisin tiende a infinito, al mismo tiempo que cada uno de los lados tiende a cero. Hallar la longitud de una curva se le llama tambin rectificar la curva. Para obtener la longitud de una curva y = f ( x ) , comprendida entre dos puntos de abscisas x = a y y = b , se aplicar la siguiente frmula: La =b

b

a

1 + f ' ( x ) dx 2

Ejemplo 1: Hallar la longitud de la curva 6 y = x 2 ; en el intervalo [ 0, 4] Solucin: f ( x ) =f '( x) = L0 =4

1 6 1 3

x

2

x2

4

0

x 1 + 3 dx =

4

0

1 + x9 dx =

2

4

0

9+ x2 9

dx =

1 3

4

0

9 + x dx

2

73

Clculo Integral

L0 =4

1 3

x 9 + x 2 + 9 ln x + 9 + x 2 = 20 + 9 ln 3 4.98 2 2 60

(

)

4

Ejemplo 2: Hallar la longitud de la circunferencia x 2 + y 2 = 25 Solucin: Despejando f ( x ) = 25 x 2 ;f '( x) = x 25 x2

;

Tomando el arco correspondiente a un cuarto de la circunferencia,L =5 0

5

0

x 1+ dx = 25 x 2 1

2

5

0

1+

x2 dx = 25 x 2

5

0

25 dx = 25 x 2

5

5dx 25 x 2

0

L 0 = 5 se n 5

5 x 50

= 5 se n 1 1 5 se n 1 0 =

5 2

5 Longitud de la circunferencia = 4 = 10 2 Ejercicios tema 4.1.1

1. Hallar la longitud de la curva y = x 2 ; en el intervalo [ 0, 2] 2. Hallar la longitud de la curva 2 y = x 2 ; en el intervalo [ 0,1] 3. Hallar la longitud del arco de la parbola 4 y = x 2 ; del vrtice a un extremo del lado recto 4. Hallar la longitud de la curva x 2 + 2 y + 2 = 0 ; entre los puntos 2, 2 ; ( 0,1) 5. Hallar la longitud de la curva y 2 = 4 x ; en el intervalo [ 0,3] 6. Hallar la longitud del arco de circunferencia x 2 + y 2 = 25 ; en el intervalo [3, 4] 7. Hallar la longitud de la curva 3 y 2 = x ( x 1) ; en el intervalo [ 0,1]2

(

)

74

Clculo Integral 8. Hallar la longitud de la curva 18 y 2 = x ( x 6 ) ; en el intervalo [ 0, 6]2

9. Hallar la longitud de la curva y = x 2 ; en el intervalo [ 0, 4] 10. Hallar la longitud de la curva y 2 = x 3 ; en el intervalo [ 0,8] 11. Hallar la longitud de la curva ay 2 = x 3 ; en el intervalo [ 0,5a ] 12. Hallar la longitud de la curva 9 y 2 = 4 x 3 ; del punto ( 0, 0 ) al punto 3, 2 3 13. Hallar la longitud de la curva y 2 = ( x 2 ) ; en el intervalo [ 2, 6]3

3

(

)

14. Hallar la longitud de la curva y 2 = ( 2 x 1) ; en el intervalo [ 0,5]3

4.2 Clculo de reas.

Si f es una funcin continua en un intervalo cerrado [ a, b ] y f ( x ) 0 para todo x en [ a, b ] , entonces el rea limitada por el eje x, la grafica de f y las abscisas x = a y y = b , viene dada por: A=

b

a

f ( x ) dx

Ejemplo 1: Hallar el rea limitada por la parbola y = x 2 , el eje de las x y las ordenadasx = 2 y x = 3 .

Solucin: En la figura se muestra el rea a determinar;Y

y = x2

5

x=-2

x=3

X

75

Clculo Integral A= x 2 dx = 1 x 3 3 23 3

2

=

27 3

8 = 3

( )

35 3

Algunas veces es necesario encontrar el rea de una regin acotada por las grficas dey = c y y = d y la de una ecuacin de la forma x = f ( y ) , donde f es continua para todo y en [ c,d ] .

En este caso, por la forma de la grafica es necesario cambiar la variable de integracin de la siguiente manera: A=

d

c

f ( y ) dy

Ejemplo 2: Hallar el rea limitada por la parbola x = y 2 , el eje de las y y las abscisasy = 3 y x = 1 .

Solucin:

Y

x = y2

y=1 5 y=-3 X

A=

1

3

y 2 dy = 1 x3 = 1 27 = 3 3 3 3

1

( )

28 3

4.3 reas entre curvas.

Si f y g son continuas en [ a,b ] y f ( x) g ( x) para todo x en [ a,b ] . Entonces el rea A de la regin acotada por las grficas de f, g, x = a y x = b , est dado por:

76

Clculo IntegralA =

f ( x ) g ( x) dxb a

Ejemplo 3. Hallar el rea limitada por la parbola y = 1 x 2 y la recta y = x 1 .

Y

(1,0)

y = x 1X

y = 1 x2(-2,-3)

Solucin: Resolviendo simultneamente ambas funciones, encontramos que sus puntos de interseccin son: ( 2, 3) y (1, 0 ) , siendo las abscisas de estos puntos, los lmites de la integral.A =

(1

1 x 2 ( x 1) dx = 2

)

( 2 x x ) dx = 2 x 1 2

2

1 2

x 2 1 x3 = 9 32

1

2

Ejemplo 4. Hallar el rea limitada por las parbolas 2 y = x 2 ; y 2 = 16 x.

Y (4,8)

y 2 = 16 x5

2 y = x2

77 4

X

Clculo Integral

Solucin: Resolviendo simultneamente ambas funciones, encontramos que sus puntos de interseccin son: ( 0, 0 ) y ( 4,8 ) , siendo las abscisas de estos puntos, los lmites de la integral.A =

(4 0

16 x ( x 2 ) dx = 32 2 3

)

Se sugiere como ejercicio para el alumno, realizar este mismo problema cambiando la variable de integracin, A = interseccin.

d

c

f ( y ) dy usando como lmites para la integral las ordenadas de los puntos de


1. Hallar el rea limitada por la parbola y = x 2 , el eje X y las rectas x = 1; x = 4. 2. Hallar el rea limitada por la parbola y = x 2 + 4 x , el eje X y las rectas x = 4; x = 2. 3. Hallar el rea limitada por la parbola y = 1 x 2 + x , el eje X y las rectas x = 1; x = 4. 2 4. Hallar el rea limitada por la parbola y = 9 x 2 , el eje X y las rectas x = 0; x = 3. 5. Hallar el rea limitada por la parbola y = 4 x x 2 , el eje X y las rectas x = 1; x = 3. 6. Hallar el rea limitada por la parbola y = 5 x x 2 , el eje X y las rectas x = 0; x = 4. 7. Hallar el rea limitada por la parbola y = x 2 , el eje Y y las rectas y = 1; y = 4. 8. Hallar el rea limitada por la parbola y = 4 x 2 , el eje Y y las rectas y = 0; y = 3. 9. Hallar el rea limitada por la parbola y = x 2 , el eje Y y las rectas y = 1; y = 4. 78

Clculo Integral 10. Hallar el rea limitada por la curva y = x 3 , el eje Y y las rectas y = 1; y = 8. 11. Hallar el rea limitada por la parbola y = x 2 + x + 1 , el eje X y las rectas x = 2; x = 3. 12. Hallar el rea limitada por la parbola y = x 2 2 x + 2 , el eje X y las rectas x = 1; x = 3. 13. Hallar el rea limitada por la parbola y = x 2 8 x + 15 , el eje X y las rectas x = 2; x = 5. 14. Hallar el rea limitada por la parbola y = 2 x 2 4 x + 7 , el eje X y las rectas x = 1; x = 2. 15. Hallar el rea limitada por la curva y = x 3 , el eje Y y la recta y = 8. 16. Hallar el rea limitada por la curva 3 y = x3 , el eje X y las rectas x = 2; x = 3. 17. Hallar el rea limitada por la curva y = x 3 , el eje X y las rectas x = 0; x = 4. 18. Hallar el rea limitada por la curva y = x 3 8 x , el eje X y las rectas x = 0; x = 2. 19. Hallar el rea limitada por la curva y = 9 x x3 , el eje X y las rectas x = 3; x = 3. 20. Hallar el rea limitada por la curva y = x 3 + 3 x 2 + 2 x , el eje X y las rectas x = 3; x = 3. 21. Hallar el rea limitada por la parbola y = x 2 y la recta 2 x y + 3 = 0. 22. Hallar el rea limitada por la parbola 32 y = 5 x 2 y la recta 4 y = 5 x + 80. 23. Hallar el rea limitada por la parbola 32 y = 5 x 2 y la recta 16 y 5 x = 20. 24. Hallar el rea limitada por la parbola y = x2

4

y la recta 3 x 2 y 4 = 0.

25. Hallar el rea limitada por la parbola x = y 2 + 2 y y la recta x + 2 y = 0. 26. Hallar el rea limitada por la parbola x = y 2 4 y la recta x = 0. 27. Hallar el rea limitada por la parbola x = y 2 + 3 y y la recta x = 3 + y. 28. Hallar el rea limitada por la parbola y = x 2 + 1 y la recta x + y = 1. 29. Hallar el rea limitada por la parbola y = 4 x 2 y la recta y = 4 4 x. 30. Hallar el rea limitada por la hiprbola x 2 4 y 2 = 4 y la recta x = 6. 79

Clculo Integral 31. Hallar el rea limitada en el primer cuadrante por la curva y = x 3 y la recta y = 4 x. 32. Hallar el rea limitada en el primer cuadrante por la curva y = x 3 3x y la recta y = x. 33. Hallar el rea limitada por las parbolas y = 2 x 2 + 1 ; y = x 2 + 5 .

34. Hallar el rea limitada por las parbolas y = 9 x 2 ; y = x 2 . 35. Hallar el rea limitada por las parbolas y = 5 x x 2 ; 2y = 5 x x 2 . 36. Hallar el rea limitada por las curvas 4 y = x 2 ( 5 - x ) ; y = ( x 2 ) .2

37. Hallar el rea limitada por las curvas x = y 2 ( 4 - y ) ; x = 4 y y 2 . 38. Hallar el rea limitada por las curvas y 2 = 16 x ; y 2 = x3 . 39. Hallar el rea limitada por las curvas 3 y 2 = 16 x ; x 2 + y 2 = 25 . 40. Hallar el rea limitada por las circunferencias x 2 + y 2 = 25; x 2 + y 2 16 x + 39 = 0 . 41. Hallar el rea limitada por las parbolas x 2 2 x y 3 = 0; x 2 6 x + y + 3 = 0 . 42. Hallar el rea limitada por las parbolas y 2 = 4 ( x 1) ; y 2 2 ( x 2 ) . 43. Hallar el rea limitada en el primer cuadrante por las curvas x 2 + y 2 = 25; xy = 12. 44. Hallar el rea limitada por las curvas y 2 = x + 6 ; x = 4 y 2 .

4.4 Slidos de revolucin.

Si una regin del plano gira alrededor de una recta del mismo, se obtiene un slido llamado slido de revolucin y se dice que el slido est generado por la regin. La recta alrededor de la cual gira la regin, se llama eje de revolucin.

4.5 Clculo de volmenes por el mtodo de los discos.

80

Clculo Integral Si la regin acotada por la grafica (i) de x =y , por el eje Y y y = 9 , gira alrededor del eje Y,

genera un slido como se muestra en la figura (ii), y el volumen del slido de revolucin generado se obtiene mediante: V =

f ( y ) dy a2Y

b

Y

5

x=

y

4

X

X

(i)

(ii)

Si la regin acotada por la grafica (iii) de y = x 2 , por el eje X y x = 3 , gira alrededor del eje X, genera un slido como se muestra en la figura (iv) y el volumen del slido de revolucin generado se obtiene mediante: V =

f ( x ) dx a

b

2

Y

y = x2

Y

5

X

4

X

81

Clculo Integral (iii) (iv)

Por ejemplo, si f es una funcin constante, entonces la regin es un rectngulo y el slido generado es un cilindro circular recto. Si la grafica de f es un semicrculo tal que ( a, 0 ) y ( b, 0 ) con b>a son los extremos de uno de sus dimetros, entonces el slido de revolucin es una esfera de dimetro b-a. Ejemplo1. Sea f ( x ) = x 2 + 1 . Calcule el volumen del slido generado al girar la regin bajo la 2 grafica de f entre x = 0 y x = 1 alrededor del eje X.

Y

X

Solucin. El slido se muestra en la figura, y su volumen se obtiene de la siguiente manera: V=

f ( x ) dx = x 2 + 1 dx = 2 a 0

b

2

1

2

(x1 0

4

+ x 2 + 1 dx = 47 4

)

60

Ejemplo 2. Sea f ( x ) = x 2 + 1 . Calcule el volumen del slido generado al girar la regin bajo la 2 grafica de f entre y =1 2

y y = 2 alrededor del eje Y.

82

Clculo Integral

Solucin. El slido se muestra en la figura, y su volumen se obtiene de la siguiente manera: V=

f ( y ) dy = a

b

2

2 2

1

y 12 dy =

2

2 2

1

( y 12 ) dy

=9

8

Y

X

Ejemplo 3. La regin acotada por el eje Y y las grficas de y = x 3 , y = 1 y y = 8 gira alrededor del eje Y. Calcula el volumen del slido resultante.V=

f ( y ) dy = a

b

2

3 y dy = 1Y

8

2

8

1

y

2

3

dy =

93 5

X

83

Clculo Integral


1. La superficie limitada por y = 1 , x = 1, x = 2, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el x volumen generado. 2. La superficie limitada por y = x 2 6 x, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 3. La superficie limitada por 2 y = x 3 , x = 2, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 4. La superficie limitada por y = 2 x , x = 9, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 5. La superficie limitada por y = 2 x , x = 9, y = 3, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 6. La superficie limitada por 5 y 2 = 32 x, x = 10, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 7. La superficie limitada por y 2 = 4 x, y 2 = 8 x 4, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 8. La superficie limitada por y 2 = 4 x, y 2 = 5 x, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 9. La superficie limitada por y 2 = x 3 , x = 4, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 10. La superficie limitada por y 2 = ( 2 x ) , x = 0, x = 1, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado.3

11. Hallar el volumen del elipsoide generado cuando la superficie limitada por el eje X y la mitad superior de la elipse 9 x 2 + 25 y 2 = 225 gira alrededor del eje X. 12. La superficie en el pr

tesis-cÁlculo integral

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