cÁlculo integral

Sistema Avanzado de Bachillerato y Educación Superior Página 1

PROGRAMA DE ESTUDIO

Unidad de aprendizaje Competencia general

Cálculo Integral

Soluciona problemas sobre situaciones y fenómenos de distintas disciplinas que impliquen el

planteamiento y evaluación de integrales, a través del empleo de las principales reglas y técnicas

de integración, en un ambiente que favorezca la cooperación, el respeto, la tolerancia y la

reflexión sobre los saberes que adquiere para el análisis crítico del entorno en que se

desenvuelve.

Línea curricular Área Propedéutica

Matemáticas Ciencias Exactas y Naturales

Clave Semestre Sesiones a la semana Total de sesiones Créditos

EN10685 Sexto 5 90 7

FUNDAMENTACIÓN

Propósito

La unidad de aprendizaje Cálculo Integral tiene como propósito que el alumno aplique los conceptos y procedimientos del cálculo

integral en la solución de problemas en distintos contextos. Su importancia y fundamentación reside en que permite al alumno

analizar y comprender fenómenos de distintas disciplinas, mediante el empleo de las reglas y técnicas básicas de integración para

evaluar integrales.

Contexto y Composición

Cálculo Integral forma parte de la línea curricular de Matemáticas y, en lo referente al Área Propedéutica de Ciencias Exactas y

Naturales, se integra con otras cinco unidades de aprendizaje: Dibujo, Técnico, Temas Selectos de Física, Temas Selectos de Química,

Temas Selectos de Matemáticas y Temas Selectos de Biología.

Dentro del Bachillerato SABES, un antecedente directo de Cálculo Integral es la unidad de aprendizaje Cálculo Diferencial, en la

cual el alumno pudo aplicar los conceptos y procedimientos del cálculo diferencial en la solución de problemas en distintos

contextos. Ahora se continúa con la promoción del uso de procedimientos y métodos básicos del cálculo integral para dar solución

a situaciones de distintas disciplinas que impliquen el planteamiento y evaluación de integrales.


En el Bachillerato SABES se busca consolidar y diversificar los aprendizajes y desempeños adquiridos en secundaria, en este caso,

ampliando y profundizando los conocimientos, habilidades, actitudes y valores relacionados con el campo de las matemáticas y

específicamente en la unidad de aprendizaje Cálculo Integral promoviendo el análisis y comprensión de fenómenos de distintas

disciplinas, auxiliándose de los recursos tecnológicos disponibles y con el apoyo de una metodología orientada al desarrollo de

valores y habilidades sociales.

Si bien desde el punto de vista curricular, cada unidad de aprendizaje mantiene una relación vertical y horizontal con el resto, el

enfoque por competencias reitera la importancia de establecer este tipo de relaciones al promover el trabajo interdisciplinario, en

similitud a la forma como se presentan los hechos reales en la vida cotidiana. En este caso, Cálculo Integral promueve el análisis y

comprensión de situaciones y fenómenos que comúnmente se encuentran en diferentes disciplinas como física, química, biología,

economía, y otras ciencias del ámbito social o natural.

Algunos ejemplos de fenómenos o situaciones que pueden analizarse mediante las herramientas que nos proporciona el cálculo

integral son: trabajo, momentos, centros de masa, fuerza y presión de fluidos, superávit del consumidor, flujo sanguíneo, gasto

cardiaco, función de densidad de probabilidad, etcétera.


Además, Cálculo Integral se puede auxiliar de la Informática para la elaboración de reportes o presentaciones de investigaciones o

proyectos interdisciplinarios, y además en el empleo de aplicaciones informáticas para el modelado y análisis de funciones

matemáticas.

Procesos

Tanto la teoría psicopedagógica, la metodología y el método propuestos en el Modelo Académico del Bachillerato SABES

favorecen:

El desarrollo de los conocimientos declarativos y procedimentales propios de esta unidad de aprendizaje.

El empleo de enfoques didácticos como el Método de Casos, el Aprendizaje Basado en Problemas y el Aprendizaje

Orientado a Proyectos.

La creación del ambiente adecuado para el desarrollo de actitudes y valores para el logro de la competencia de la unidad

de aprendizaje, así como de las competencias genéricas y disciplinares relacionadas.

Para cumplir con lo anterior, es fundamental que los profesores pongan en práctica los fundamentos del paradigma

psicopedagógico del Constructivismo Social a través de la Metodología del Aprendizaje Cooperativo y la aplicación creativa del

Método ELI para el desarrollo de las lecciones, enfocando las estrategias y actividades hacia el análisis de casos, la solución de

problemas y el tratamiento de los valores que se desean promover.

Mediante el Método de Casos y el Aprendizaje Basado en Problemas se puede lograr una conexión con otras disciplinas mediante el

planteamiento de casos y problemas sencillos relacionados con los contenidos de otras unidades de aprendizaje. Sin embargo, para

asegurar un trabajo interdisciplinario más estructurado, se puede recurrir al enfoque didáctico del Aprendizaje Orientado a

Proyectos, en el cual cobra especial relevancia el proceso investigador en torno a un tópico propuesto con la finalidad de resolver

problemas a partir de soluciones abiertas que permitan la generación de nuevo conocimiento y el logro de competencias genéricas

y disciplinares.

Bloques

Esta unidad de aprendizaje está organizada en cuatro bloques, mismos que articulan y secuencian los contenidos de manera que

resultan favorecidas tanto la construcción e integración del conocimiento, como el desarrollo de habilidades reflexivas. Cada uno

de ellos con el objeto de facilitar y garantizar el desarrollo gradual y sucesivo de distintos saberes declarativos, procedimentales y

actitudinales y valorales en el alumno.


Bloque 1 Integración:

Se hace una presentación preliminar del cálculo integral partir de la descripción de problemas que dan origen a sus conceptos

fundamentales, a la vez que se realiza el planteamiento de los conceptos, teoremas y procedimientos básicos del proceso de

integración.

Bloque 2 Aplicaciones de la Integración:

Se presentan diversas situaciones en las que se aplica la integración como principal proceso matemático para resolverlas. Estas

situaciones se orientan al cálculo de elementos geométricos importantes en las áreas de ingeniería, así como a varias aplicaciones

específicas en algunas ciencias.

Bloque 3 Funciones trascendentes en la Integración:

Se abordan las funciones logarítmicas y exponenciales desde el enfoque del cálculo integral a la vez que se presentan algunas

aplicaciones de éstas en problemas dentro de un contexto científico.

Bloque 4 Técnicas de Integración:

Se presentan los procedimientos básicos y las técnicas más importantes del proceso de integración de funciones complicadas.

PERFIL DE EGRESO

Competencias Genéricas

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en capacidad de desempeñar, y les permitirán a los

estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para

continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc.

Estas competencias junto con las disciplinares básicas constituyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.

Si bien todas las unidades de aprendizaje contribuirán al desarrollo de las competencias genéricas, cada una tiene una

participación específica, es importante destacar que Cálculo Integral contribuye ampliamente al desarrollo de varias de las

categorías en las que estas competencias están agrupadas, ya que en este curso, se promueve que el alumno:


Se autodetermine y cuide de sí, por ejemplo, al enfrentar las dificultades que se le presentan al hacer un análisis o resolver un

problema o un caso y sea capaz de tomar decisiones ejerciendo el análisis crítico.

Se exprese y comunique utilizando distintas formas de representación matemática (variables, funciones, tablas, diagramas,

gráficas) o incluso emplee el lenguaje ordinario, u otros medios (ensayos, reportes) e instrumentos (computadoras) para

exponer sus ideas.

Piense crítica y reflexivamente al construir hipótesis, diseñar y desarrollar modelos matemáticos, realizar procedimientos

analíticos y gráficos para determinar el comportamiento de una función o elegir fuentes de información al resolver casos o

solucionar problemas.

Aprenda de forma autónoma cuando revise sus procesos de construcción del conocimiento matemático (aciertos, errores) o

los relacione con su vida cotidiana.

Trabaje en forma colaborativa al aportar puntos de vista distintos o proponer formas alternas de solucionar un problema

empleando el proceso de integración.

A continuación se enlistan las competencias genéricas a las que contribuye en su desarrollo la unidad de aprendizaje Cálculo

Integral:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y

herramientas apropiados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera

crítica y reflexiva.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.


Competencias disciplinares

Bloques de Cálculo

Integral

1 2 3 4

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante el al planteamiento y evaluación de

integrales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos por medio de la aplicación de los conceptos,

procedimientos básicos y técnicas del cálculo integral.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta

con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos y analíticos,

mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la

comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o

estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades

físicas de los objetos que lo rodean.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.


BLOQUE I

Nombre Sesiones asignadas

INTEGRACIÓN 20

Competencia

Aplica los conceptos, propiedades y teoremas fundamentales del cálculo integral en la evaluación de funciones matemáticas, en

un ambiente que favorezca la cooperación, el respeto, la tolerancia y la reflexión sobre los saberes que adquiere para el análisis

crítico del entorno en que se desenvuelve.

Atributos de las competencias genéricas

1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance

de un objetivo.

5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y

confiabilidad.

7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos

específicos.

8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos

de trabajo.


Contenidos del bloque

Saberes requeridos para el logro de la competencia

Declarativos Procedimentales Actitudinales y Valorales

Introducción al cálculo integral

El problema del área

Notación sigma

Aproximaciones de áreas

con polígonos inscritos y

circunscritos

La integral definida

Suma de Reimann

Concepto de integral

definida

Cálculo de integrales por su

definición

El proceso de integración

Primer teorema fundamental

del cálculo

Las integrales definidas y sus

propiedades fundamentales

Segundo teorema

fundamental del cálculo

Integración por sustitución

El teorema del valor medio

Distingue la importancia

del cálculo integral para el

desarrollo de diversas

ramas del conocimiento.

Describe las situaciones

problemáticas específicas

que dan origen a los

conceptos que

fundamentan el cálculo

integral.

Interpreta gráficamente el

concepto de suma de

Reiman.

Describe el concepto de

integral definida.

Explica el planteamiento

del primer teorema

fundamental del cálculo.

Describe las principales

propiedades de la integral

definida.


del segundo teorema

fundamental del cálculo.


del teorema del valor

medio para integrales.

Desarrolla sumatorias

aplicando las propiedades de

∑ como operador.

Estima el área de curvas

mediante polígonos inscritos y

circunscritos.

Calcula la suma de Reimam

para funciones en intervalos

dados.

Desarrolla el cálculo de

integrales a través de su

definición.

Aplica el segundo teorema

fundamental del cálculo en la

evaluación de integrales

sencillas.

Aplica el procedimiento de

sustitución en la evaluación de

integrales indefinidas y

definidas.

Calcula los valores que

satisfacen el teorema del valor

medio para integrales de f(x)

en un intervalo dado.

Tiene disposición para

desarrollar de manera

individual o en

colaboración con otros las

actividades propuestas.

Ofrece puntos de vista

personales con apertura y

considera los de otras

personas al reflexionar sus

procesos de aprendizaje.

Promueve la tolerancia y el

diálogo como mecanismo

para la solución de

conflictos al trabajar en

grupo.

Elige las tecnologías de la

información y

comunicación como un

medio auxiliar para la

investigación y el

procesamiento de

información.


Evidencias

Mapa conceptual, mapa mental o cuadro sinóptico sobre “El Cálculo Integral”.

Glosario de términos, conceptos y definiciones principales del bloque.

Ejercicios y/o casos contextualizados sobre:

Sumatorias aplicando las propiedades de ∑.

Estimaciones del área de curvas mediante polígonos inscritos y circunscritos.

Calculo de la suma de Reimam para funciones en intervalos dados.

Cálculo de integrales a través de su definición.

Evaluación de integrales sencillas.

Evaluación de integrales indefinidas y definidas por la técnica de sustitución.

Reportes o informes de actividades orientadas al desarrollo de actitudes y valores:

Tomar notas en pares.

Trabajo escrito en pares.

Discusión en grupo sobre lo tratado.

Transferencia ¿Cómo se relaciona el tema de hoy con tu experiencia cotidiana?

Reflexión acerca de lo aprendido y realizado.


BLOQUE II


APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 25

Competencia

Soluciona problemas sobre situaciones y fenómenos de distintas disciplinas mediante la aplicación de los conceptos, propiedades y

teoremas fundamentales del cálculo integral en la evaluación de funciones matemáticas, en un ambiente que favorezca la

cooperación, el respeto, la tolerancia y la reflexión sobre los saberes que adquiere para el análisis crítico del entorno en que se

desenvuelve.


1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.



de un objetivo.




confiabilidad.



específicos.



de trabajo.





La integración en el cálculo de

elementos geométricos

Área de una región plana

Volúmenes de sólidos de

revolución

Longitud de una curva en el

plano

Aplicaciones de la integración

en ciencias

Aplicaciones en física

(trabajo, centros de masa,

fuerza y presión de fluidos)

Aplicaciones en economía

(superávit del consumidor)

Aplicaciones en biología

(flujo sanguíneo y gasto

cardiaco)

Define el “área de una

región plana”, el “volumen

de un sólido de revolución”

y la “longitud de una curva”

considerando el concepto

de integral definida.

Define el “trabajo

efectuado por una fuerza”

y el “centro de masa de un

cuerpo sólido”



Define el “superávit del

consumidor” considerando

el concepto de integral

definida en la curva de

demanda de un artículo.

Define el “flujo sanguíneo” y

el “gasto cardiaco”


de integral definida en la

curva de demanda de un

artículo.

Calcula el área de regiones

planas acotadas por alguna

curva y el eje x en un

intervalo dado.

Calcula el área de regiones

planas acotadas por dos

curvas.

Calcula el volumen de

sólidos de revolución

mediante la aplicación de

distintos métodos (discos y

arandelas).

Calcula la longitud de

arcos de curvas mediante la


definidas.

Aplica las formas integrales

del trabajo de una fuerza y

del centro de masa en la

solución de problemas

físicos.

Aplica la forma integral del

superávit del consumidor en

la solución de problemas de

economía.

Aplica las formas integrales

del flujo sanguíneo y el

gasto cardiaco en la

solución de problemas de

biología.



individual o en colaboración

con otros las actividades

propuestas.






Contribuye de forma

propositiva y creativa a la

solución de los ejercicios y

problemas planteados.





grupo.


información y



investigación y el

procesamiento de

información.


Evidencias

Mapa conceptual, mapa mental o cuadro sinóptico sobre “Aplicaciones de la Integración”.


Soluciones de problemas sobre:

El área de regiones planas.

El volumen de sólidos de revolución.

La longitud de arcos de curvas.

Las formas integrales del trabajo de una fuerza y del centro de masa.

La forma integral del superávit del consumidor.

Las formas integrales del flujo sanguíneo y el gasto cardiaco.

Proyecto en equipo en el que los alumnos extrapolen sus conocimientos y habilidades adquiridas sobre aplicaciones de la

integración, empleando las tecnologías de la información y comunicación.








BLOQUE III


FUNCIONES TRASCENDENTES EN LA INTEGRACIÓN 20

Competencia

Aplica los conceptos y propiedades fundamentales de las funciones logarítmicas y exponenciales en la solución de ejercicios que

impliquen su derivación o integración, en un ambiente que favorezca la cooperación, el respeto, la tolerancia y la reflexión sobre los

saberes que adquiere para el análisis crítico del entorno en que se desenvuelve.


1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.



de un objetivo.




confiabilidad.



específicos.



de trabajo.





La función logarítmica

Definición de la función

logaritmo natural y sus

propiedades

La función logarítmica

general

Derivada e integral de

funciones logarítmicas

La función exponencial

Definición de la exponencial

natural y sus propiedades

La función exponencial

general

Derivada e integral de

funciones exponenciales

Define la “función

logaritmo natural”



Describe las propiedades

del logaritmo natural.

Define la función

logarítmica general e

identifica las reglas

empleadas para su

derivación e integración.

Define la “función

exponencial natural”



Describe las propiedades

de los exponentes.

Define la función

exponencial general e

identifica las reglas

empleadas para su

derivación e integración.

Aplica las propiedades de los

logaritmos en el cálculo de

derivas de funciones

logarítmicas.


logaritmos en la evaluación de

integrales de funciones

logarítmicas.


exponentes en el cálculo de

derivas de funciones

exponenciales.


exponentes en la evaluación

de integrales de funciones

exponenciales.



individual o en








Contribuye de forma








grupo.


información y



investigación y el

procesamiento de

información.


Evidencias

Mapa conceptual, mapa mental o cuadro sinóptico sobre “Funciones exponenciales y logarítmicas”.


Ejercicios y/o casos contextualizados sobre:

Cálculo de derivadas de funciones logarítmicas.

Evaluación de integrales de funciones logarítmicas.

Calculo de derivadas de funciones exponenciales.

Evaluación de integrales de funciones exponenciales.








BLOQUE IV


TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 25

Competencia

Aplica las reglas básicas y los procedimientos de las técnicas de integración en la evaluación de integrales definidas e indefinidas,

en un ambiente que favorezca la cooperación, el respeto, la tolerancia y la reflexión sobre los saberes que adquiere para el análisis

crítico del entorno en que se desenvuelve.


1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.



de un objetivo.




confiabilidad.



específicos.



de trabajo.





Reglas básicas de integración

Formas estándar de

integración

Procedimientos básicos para

ajustar los integrandos a las

formas estándar de

integración

Integración por partes

La integración por partes y

las directrices para su

evaluación

Integración trigonométrica

Integrales con potencias y

productos del seno y coseno

Integrales con potencias de

la secante y la tangente

Sustitución trigonométrica

Integración por fracciones

parciales

Las funciones racionales

propias e impropias

Descomposición en

fracciones parciales con

factores lineales

Descomposición en

fracciones parciales con

factores cuadráticos

Clasifica las formas estándar

de integración.

Describe el procedimiento

de evaluación de integrales

mediante la integración por

partes.

Identifica las identidades

trigonométricas aplicables a

las formas integrales de

potencias y productos del

seno y coseno.

Identifica las identidades

trigonométricas aplicables a

las formas integrales de

potencias de la secante y la

tangente.

Identifica los tipos de

integrandos con radicales

que admiten una sustitución

trigonométrica para su

simplificación.

Describe la diferencia entre

funciones racionales propias

e impropias.

Identifica los tipos de

factores en que se puede

descomponer una fracción.

Describe el procedimiento

de descomposición de una

función racional propia en

fracciones parciales.

Aplica los procedimientos

básicos de ajuste de

integrandos a sus formas

estándar en la evaluación

de integrales.


integración por partes en la


indefinidas y definidas.

Aplica la sustitución por

medio de identidades

trigonométricas en la

evaluación de integrales de

potencias y productos del

seno y coseno.

Aplica la sustitución por

medio de identidades

trigonométricas en la

evaluación de integrales de

potencias de la secante y la

tangente.

Aplica la sustitución de

formas trigonométricas en la


con radicales.


descomposición en

fracciones parciales en la


indefinidas y definidas.



individual o en








Contribuye de forma








grupo.

Valora la importancia y

utilidad de los contenidos

desarrollados para

representar, examinar y/o

solucionar situaciones y

problemas en una variedad

de dominios.


información y



investigación y el

procesamiento de

información.


Evidencias

Mapa conceptual, mapa mental o cuadro sinóptico sobre “Técnicas de Integración”.


Ejercicios y/o casos contextualizados sobre evaluación de integrales definidas e indefinidas mediante:

Ajuste de integrandos a sus formas estándar.

El procedimiento de integración por partes.

Sustitución de identidades trigonométricas en integrandos con potencias y productos del seno y coseno.

Sustitución de identidades trigonométricas en integrandos con potencias de la secante y la tangente.

Sustitución de formas trigonométricas en integrandos con radicales.

El procedimiento de descomposición en fracciones parciales.








ESTRATEGIA DIDÁCTICA

Orientaciones didácticas para la enseñanza del contenido (métodos y actividades)

Para la enseñanza de los contenidos de Cálculo Integral se sugiere que las estrategias didácticas seleccionadas o diseñadas en la

planeación, además de cumplir la función didáctica de algún momento del Método ELI, aseguren ir más allá de la simple obtención

de resultados numéricos y de la aplicación descontextualizada de procedimientos propios del cálculo integral, lo cual se logrará en

la medida en que el profesor emplee en el aula enfoques didácticos que favorezcan el desarrollo del pensamiento matemático y

seleccione actividades que propicien la creación del ambiente adecuado para el desarrollo de actitudes y valores para el logro

completo de las competencias.

Los enfoques didácticos deseables para ser empleados como complemento del Método ELI son:

El Método de Casos, consiste en otorgar a los alumnos toda la información relativa a un caso, con el objeto de realizar un minucioso

análisis y conclusiones significativas del mismo. Se utiliza preferentemente cuando los alumnos tienen cierto grado de dominio sobre

la materia. Estimula el análisis y la reflexión de los alumnos y permite conocer cierto grado de predicción del comportamiento de los

alumnos en una situación determinada.

De manera general este método se desarrolla de la siguiente forma:

El profesor presenta el caso de estudio a fondo con base en los objetivos, nivel de desarrollo de los alumnos y tiempo que

se dispone.

Se distribuye el caso en subgrupos para que lo analicen.

Los subgrupos trabajan al interior para encontrar las posibles soluciones al caso.

Los subgrupos preparan una presentación del trabajo realizado.

En sesión plenaria se analizan los resultados de los subgrupos.

El profesor orienta la discusión del caso hacia el objetivo de aprendizaje.

El grupo obtiene conclusiones significativas del análisis y resolución del caso.

El profesor retroalimenta y señala los puntos débiles del análisis.

Se realiza la evaluación del proceso.


El Aprendizaje Orientado a Proyectos busca enfrentar a los alumnos a situaciones que los lleven a rescatar, comprender y aplicar

aquello que aprenden como una herramienta para resolver problemas y/o proponer mejoras en las comunidades en donde se

desenvuelven. Se enfoca a los conceptos centrales y principios de una disciplina, involucra a los alumnos en la solución de

problemas y otras tareas significativas, les permite trabajar de manera autónoma para construir su propio aprendizaje y culmina en

resultados reales generados por ellos mismos.

Al trabajar con proyectos, el alumno aprende a investigar utilizando las técnicas propias de las disciplinas en cuestión, llevándolo así

a la aplicación de estos conocimientos a otras situaciones.

Elementos característicos del Aprendizaje Orientado a Proyectos:

Los contenidos manejados en los proyectos son significativos y relevantes para el alumno ya que presentan situaciones y

problemáticas reales.

Las actividades permiten a los alumnos buscar información para resolver problemas, así como construir su propio

conocimiento favoreciendo la retención y transferencia del mismo.

Las condiciones en que se desarrollan los proyectos permiten al alumno desarrollar habilidades de colaboración, en lugar de

competencia, ya que la interdependencia y la colaboración son cruciales para lograr que el proyecto funcione.

El trabajo con proyectos permite al alumno desarrollar habilidades de trabajo cooperativo, así como habilidades de

aprendizaje autónomo y de mejora continua.

A continuación se presentan los elementos o pasos generales para planear un proyecto como estrategia de aprendizaje:

1. Organización y tiempo para la planeación del proyecto.

2. Definir las metas del proyecto e identificar en base a éstas los resultados de aprendizaje esperados en los alumnos.

3. Elaborar preguntas guía que regulen la actividad de los alumnos y los conduzcan hacia el logro de los objetivos del proyecto.

4. Hacer una lista con todas las subpreguntas y actividades potenciales derivadas de cada pregunta guía.

5. Anticipar algunos productos que los alumnos pudieran realizar durante el proyecto.

6. Establecer bloques de actividades de aprendizaje que lleven a los alumnos a alcanzar contenidos de conocimiento, de

desarrollo de habilidades y de resultados de procesos.

7. Definir el apoyo instruccional necesario para guiar el aprendizaje de los alumnos, así como facilitar un exitoso desarrollo del

producto del proyecto.

8. Facilitar la creación y mejora de los ambientes de aprendizaje para elevar el interés de los alumnos por el proyecto.

9. Identificar tanto los recursos de información, como las herramientas tecnológicas que suministren lo necesario para que los

alumnos logren desarrollar los productos del proyecto.


El Aprendizaje Basado en Problemas, como su nombre lo dice, está enfocado a la solución de problemas, por ello es preciso señalar

alguna distinción entre ejercicio y problema. Para resolver un ejercicio, los alumnos aplican un procedimiento rutinario que los lleva a

la respuesta. Para solucionar un problema, los alumnos deben hacer una pausa, reflexionar y hasta puede ser que ejecuten pasos

originales que no habían ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de paso creativo en la

solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio.

Lo anterior no quiere decir que hemos de prescindir de la solución de ejercicios ya que hacer ejercicios es muy valioso en el

aprendizaje de las matemáticas pues ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos, los cuales podremos aplicar

cuando nos enfrentemos a la tarea de solucionar problemas.

El Aprendizaje Basado en Problemas distingue cuatros fases principales que determinan las acciones que deberán seguir los alumnos

para plantear y solucionar problemas:

Comprender el problema, ver claramente lo que se pide, es decir, identificar las principales partes del problema (datos,

condiciones e incógnitas).

Concebir un plan, analizar las relaciones que existen entre los elementos del problema a fin de establecer un modelo para

llegar a la solución.

Realizar el plan, desarrollar el modelo, concebir la idea de la solución y comprobar que cada paso se esté llevando de

manera correcta.

Examinar la solución obtenida, interpretar y explicar los resultados y, una vez encontrada la solución, volver atrás para

revisarla, discutirla y argumentarla.

El propósito principal de los enfoques anteriores es que los alumnos se enfrenten a situaciones de la vida real, presentándose éstas

como casos, problemas o proyectos, y haciendo uso del conocimiento matemático sean capaces de encontrarles soluciones

significativas y puedan extrapolar los métodos y procedimientos empleados a la solución de otras situaciones similares; para ello

deberán desarrollar, en uno o varios momentos de su actividad, un proceso fundamental en la solución de situaciones del mundo

real denominado matematización.

La matematización de una situación real permite hacer uso del conocimiento matemático para adquirir aprendizajes significativos al

transitar del mundo real al mundo matemático y viceversa a través de los siguientes pasos:


1. Enfrentar un problema de la realidad.

2. Identificar las matemáticas pertinentes.

3. Formular el problema en términos matemáticos.

4. Resolver el problema matemático.

5. Interpretar el resultado.

Este proceso caracteriza en un sentido amplio:

La forma en que los matemáticos suelen hacer matemáticas.

El modo en que la gente emplea las matemáticas en gran cantidad de situaciones reales o hipotéticas.

La forma en que un ciudadano reflexivo y bien alfabetizado en matemáticas debe utilizar las matemáticas.

Este enfoque debe incorporar además distintos tipos de procesamiento de información matemática, así como códigos de

representación y comunicación de ideas; debe también, en lo posible, permitir interrelacionar contenidos de diferentes ramas de la

matemática y de otros campos del conocimiento, de modo que posibiliten ampliar la visión del mundo que posee el alumno y

contribuyan al análisis crítico y reflexivo de su entorno.

Con el objeto de que los alumnos puedan analizar, razonar y comunicar ideas de manera efectiva mediante el planteamiento,

formulación y resolución de problemas matemáticos, los enfoques didácticos empleados en todas las unidades de aprendizaje de la

línea curricular de matemáticas deberán asegurar la activación y desarrollo de las capacidades de reproducción, de conexión y de

reflexión descritas a continuación:

Reproducción: Comprende el conocimiento de hechos, la retención memorística de objetos y propiedades matemáticas, el

desarrollo de procedimientos que resultan de rutina y la aplicación de algoritmos estándar. Implica la realización de cálculos

simples para la solución de problemas comunes; incluye el conocimiento, definición de hechos y representación de

problemas.

Conexión: Este proceso de conexión de información de ideas y procedimientos matemáticos permite resolver problemas que

ya no son sólo de rutina, pero que incluyen escenarios familiares. Para su desarrollo la conexión considera la construcción de

modelos, traducción, interpretación y solución de problemas. Requiere también de la capacidad de distinguir y relacionar

diferentes definiciones, afirmaciones, ejemplos y demostraciones; así como decodificar e interpretar el lenguaje simbólico y


formal y su relación con el lenguaje natural.

Reflexión: Consiste en distinguir lo que es una demostración matemática y sus diferencias con otros tipos de razonamiento, así

como tener un sentido de la heurística (qué puede ocurrir y por qué) y crear argumentos matemáticos. Supone la capacidad

de matematizar una condición, es decir, que reconozcan y extraigan las matemáticas de una situación y emplearlas para

solucionar un problema, también para desarrollar sus propios modelos y estrategias y presentar argumentos matemáticos

(incluyendo demostraciones y generalizaciones).

Dentro del enfoque por competencias cobra importancia buscar y mantener un ambiente de trabajo basado en el respeto por la

opinión del otro, lo cual fomenta la tolerancia, la apertura a la discusión y capacidad de negociación; así como promover el trabajo

en equipo o grupo. En ambos casos estos valores y actitudes se conciben como parte del ambiente de aula que profesores y

alumnos promueven y mantienen en el día a día como parte de una relación estrecha.

Orientaciones para el diseño de plan de clase

Un plan de clase, es un resumen o guía de lo que se enseñará y aprenderá en cada clase, que debe contener los siguientes

componentes:

Propósito, objetivos y/o resultados de aprendizaje de la lección.

Saberes de la asignatura, los cuales involucran contenidos declarativos, procedimentales y actitudinales con la finalidad de

contribuir al desarrollo de competencias.

Método o enfoque didáctico en el que se sustenta el desarrollo de la lección.

Estrategias de aprendizaje y recursos didácticos que regularán las actividades realizadas por los alumnos.

Distribución de tiempo.

Evaluación del aprendizaje de los alumnos y del propio proceso enseñanza-aprendizaje.

Las orientaciones didácticas propuestas en este programa de estudio permiten abordar cada uno de los componentes

mencionados al elaborar los planes de clase atendiendo a las siguientes orientaciones:

Identificar el contenido declarativo y procedimental de cada bloque de manera que éstos puedan ser tratados mediante el

enfoque didáctico adecuado y ser debidamente dosificados en el número de lecciones establecidas. Pueden combinarse

varios enfoques didácticos durante el desarrollo de un bloque o de la unidad de aprendizaje.

Establecer el propósito de cada lección basándose en el tipo y cantidad de contenido que se van a desarrollar y cuidando

que éste se favorezca con el enfoque didáctico en el que se sustentará la lección y además contribuya al logro de la


competencia del bloque y de la Unidad de Aprendizaje.

Apoyarse en los recursos disponibles al seleccionar las estrategias didácticas para desarrollar la lección, de acuerdo con el

enfoque didáctico y el tiempo disponible; preparar los materiales, herramientas e instrumentos requeridos para ejecutar el

plan de clase.

Especificar las actitudes y valores a desarrollar en la lección y las competencias genéricas que se favorecen con las

estrategias didácticas seleccionadas para los momentos de la lección.

Procurar que en cada lección se cuente con algún instrumento o medio para efectuar la autoevaluación, coevaluación o

evaluación formativa de los aprendizajes, de manera que puedan irse generando evidencias durante el transcurso del

semestre.

Al finalizar, se sugiere que el profesor desarrolle un PNI de la sesión como retroalimentación para la elaboración de planes de

clase posteriores.

Aplicación de las TICS Materiales didácticos

Para incorporar los recursos tecnológicos de información y

comunicación disponibles en cada localidad y centro

educativo, se propone el empleo de videos didácticos,

presentaciones digitales, animaciones multimedia, además de

información disponible en internet relacionada con los

contenidos de la unidad de aprendizaje.

Es preciso consultar y participar en el espacio virtual académico

de la línea curricular de matemáticas para la comunicación y

retroalimentación de sus procesos en el aula.

Así mismo, se recomienda promover en los alumnos el uso de la

computadora y la consulta de sitios web para realizar

investigaciones, composiciones escritas o presentaciones.

El empleo de software (preferentemente de código libre) para el

desarrollo de gráficas bidimensionales, puede ser una potencial

herramienta para el desarrollo de sesiones prácticas o tareas.

Respecto al uso de materiales y recursos didácticos, se

recomienda:

Incorporar los recursos tecnológicos disponibles en cada

localidad y centro educativo, para apoyar el desarrollo de las

competencias de los bloques, del atributo 5.6 de las

competencias genéricas y de la competencia disciplinar 4.

Promover el uso de materiales bibliográficos y gráficos diversos

como libros de texto, documentos científicos, tablas, gráficas,

mapas, diagramas, para el procesamiento de información, así

como modelos matemáticos de fenómenos sociales o naturales,

favoreciendo así, además del desarrollo de las competencias de

los bloques, los atributos 4.1 y 6.1 de las competencias genéricas

y la competencia disciplinar 8.

Para todos los enfoques didácticos que sean abordados durante

el desarrollo de la unidad de aprendizaje es necesario asegurar

el planteamiento de situaciones contextualizadas, ya sean reales

o hipotéticas, que recuperen temas de interés para los alumnos

con la finalidad de lograr aprendizajes más significativos.


Bibliografía

Ibáñez, Patricia y García, Gerardo. (2007). Matemáticas VI Cálculo Integral. México: Cengage.

Jiménez, René. (2008) Cálculo Integral. México: Pearson.

Larson, Ron; Hostetler, Robert y Edwars, Bruce. (2005). Cálculo diferencial e integral. México: Mc Graw Hill.

Leithold, Louis. (2008). El Cálculo. México: Oxford.

Lezama, Mario; Cuesta, Vivaldo y Soto, Emilio. (2009). Cálculo Integral. México: Book Mart.

Purcell, Edwin; Valberg. Dale y Rigdon, Steven. (2007). Cálculo diferencial e integral. México: Pearson.

Salazar, Ludwing; Bahena, Hugo y Vega Francisco. (2007). Cálculo Integral. México: Patria

Stewart, James. (2006). Cálculo conceptos y contextos. México: Cengage.

CRITERIOS Y PROCEDIMIENTOS PARA LA EVALUACIÓN

Para evaluar el nivel de desarrollo de las competencias establecidas no es suficiente calificar numéricamente a los alumnos con

tareas, ejercicios y exámenes parciales individuales. El sistema de evaluación de la unidad de aprendizaje Cálculo Integral, debe

permitir que:

a) Los profesores cuenten con información objetiva para emitir juicios de valor respecto a los aprendizajes desarrollados por los

alumnos, así como de las estrategias, recursos y/o materiales seleccionados, para estar en la posibilidad de retroalimentar

constructivamente a los alumnos respecto al nivel de desarrollo de las competencias alcanzado.

b) Los alumnos tomen conciencia de sus logros y dificultades en el proceso de aprendizaje, de tal manera que puedan

corregirlos y superarlos.


Para el logro de las finalidades anteriores, se requiere llevar a cabo una evaluación sistémica que incluya las categorías de

evaluación diagnóstica, formativa y sumativa a lo largo del proceso de aprendizaje pues éstas tienen propósitos, finalidades y

tiempos específicos. Pero también se debe incluir la participación activa de los alumnos en la evaluación, y llevar a cabo acciones

de autoevaluación y coevaluación.

Algunos de los criterios para evaluar la construcción de conocimientos declarativos y procedimentales que provean a los alumnos

elementos sólidos para emplear exitosamente los enfoques didácticos sugeridos se describen a continuación.

Conocimiento declarativo:

Recupera información de hechos o conceptos sobre el Cálculo Integral.

Identifica y compara características esenciales en los conceptos del Cálculo Integral.

Clasifica de manera jerárquica información sobre tópicos de la integral definida, el proceso de integración, aplicaciones de

la integración, funciones trascendentes y técnicas de integración.

Integra conceptos y teoremas del Cálculo Integral en una totalidad significativa.

Conocimiento procedimental operativo (o de destreza práctica):

Describe un procedimiento preestablecido para la evaluación de integrales definidas e indefinidas, así como para la

aplicación de las principales técnicas de integración.

Emplea el procedimiento en una situación específica.

Generaliza el procedimiento a otras situaciones.

Selecciona el procedimiento adecuado que debe usarse en una situación determinada.

Conocimiento procedimental ejecutivo (o habilidad de solución de problemas):

Define el problema: Precisa la situación específica, explora los factores relevantes, define claramente los datos y la(s)

incógnita(s).

Diseña un plan para resolver el problema: Identifica los conocimientos (declarativos y procedimentales) y recursos necesarios,

ordena los pasos necesarios para solucionar el problema.

Ejecuta el plan para resolver el problema: Aplica los conceptos, desarrolla correctamente los procedimientos, emplea

eficientemente los recursos, obtiene resultados.

Establece la solución correcta del problema: Evalúa, interpreta y retroalimenta los resultados. Una vez encontrada la solución,

la explica, argumenta y considera la posibilidad de transferirla a otros problemas.


Como ejemplos de criterios para la evaluación de actitudes podemos considerar si el alumno:

Establece la forma en que se compromete a participar de manera responsable en un equipo.

Muestra iniciativa cuando se requiere realizar alguna actividad individual o en equipo.

Presenta sus trabajos con pulcritud tanto en la forma como en el contenido.

Se muestra activo y dispuesto todo el tiempo.

Brinda apoyo a sus compañeros cuando se necesita.

Escucha con atención y respeto al profesor y a sus compañeros.

Refiere sus comentarios o juicios al tema, tarea o actividad a realizar de manera impersonal.

Realiza preguntas para comprender puntos de vista que discrepan de su postura personal, sin que necesariamente lo

modifique.

Mantiene una actitud asertiva respecto a las ideas opuestas a las propias.

Instrumentos de evaluación

Los instrumentos de evaluación proporcionan a quien evalúa una forma de registro y análisis sobre las características medibles y/o

evaluables de los resultados de aprendizaje a través de criterios de evaluación que ofrecen pautas para observar y comparar

cualidades o características deseables o requeridas. De acuerdo con lo anterior, los instrumentos que se sugieren como apoyo para

llevar a cabo una evaluación sistémica de esta unidad de aprendizaje son los siguientes:

Listas de Cotejo

Guías de Observación

Rúbricas

Aunque en la parte final del desarrollo de cada bloque de este programa de estudio se sugieren diversas evidencias de aprendizaje,

se considera importante recalcar que éstas no tienen carácter de obligatorias, son productos sugeridos para evidenciar el avance

de los alumnos en el proceso de adquisición de las competencias, sin embargo, los profesores deben incorporar además en su

sistema de evaluación, otras estrategias o instrumentos que evalúen los conocimientos, habilidades y actitudes, de acuerdo con

criterios de evaluación establecidos y con otros que sean pertinentes, considerando las condiciones del grupo, el tiempo, los medios

y recursos disponibles.


PERFIL ACADÉMICO DEL PROFESOR

Si bien los profesionistas egresados de programas universitarios de ingenierías y ciencias exactas (ingeniería mecánica, ingeniería

química, ingeniería electrónica, ingeniería civil, licenciatura en matemáticas, licenciatura en física, etcétera), muestran un mayor

nivel de desarrollo de los conceptos, métodos y procedimientos relacionados con las matemáticas (en este caso con el cálculo

integral), el dominio de los contenidos declarativos y procedimentales es una competencia necesaria pero no suficiente en los

docentes que imparten la unidad de aprendizaje Cálculo Integral, toda vez que el papel que deben desarrollar demanda, además

del perfil académico mencionado, la mediación pedagógica del profesor, quien tiene el compromiso de motivar y crear ambientes

propicios para el trabajo en el aula; planear, preparar, problematizar, desestructurar o reactivar conocimientos previos; modelar,

exponer, complementar, regular o ajustar la práctica educativa; ofrecer diversas fuentes de información, proponer materiales de

procesamiento de información significativos, auténticos y pertinentes; retroalimentar y monitorear las acciones en el aula y permitir el

desarrollo de un sistema de evaluación.

Aunque el Perfil del Docente del SNB establece el conjunto de competencias que integran conocimientos, habilidades y actitudes

que el docente pone en juego para generar ambientes de aprendizaje en los que los alumnos desplieguen las competencias del

Marco Curricular Común, específicamente el docente de la unidad de aprendizaje Cálculo Integral debe contar, al menos, con las

siguientes competencias:

Muestra un dominio amplio y profundo de los saberes que serán desarrollados por los alumnos en esta unidad de aprendizaje.

Investiga y reflexiona sobre los métodos y enfoques didácticos orientados hacia la construcción del conocimiento y los

propios de la didáctica de las matemáticas.

Se mantiene actualizado en el uso de las tecnologías de la información y la comunicación para favorecer su desarrollo

profesional y el proceso de aprendizaje de sus alumnos.

Genera ambientes de aprendizaje orientados hacia la construcción social del conocimiento, la solución de situaciones reales

o hipotéticas bien contextualizadas y el desarrollo de habilidades sociales.

Despliega valores y actitudes que fomentan el aprendizaje significativo y las relaciones humanas genuinas.

Lleva a cabo una evaluación sistémica de las competencias establecidas en esta unidad de aprendizaje, con criterios y

procesos pertinentes con la metodología y enfoque didáctico propuestos y que incluyen la participación activa de los

alumnos.

Cabe mencionar finalmente que como apoyo a su labor académica y desempeño del rol de maestro mediador, el profesor cuenta

con varios recursos entre los cuales se encuentran el libro de texto como apoyo didáctico del alumno, material bibliográfico de

consulta en su centro de trabajo y un espacio virtual académico para la comunicación y retroalimentación de sus procesos en el

aula, entre otros.

cÁlculo integral

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