1.1. Introducción Introducción al cálculo integralal cálculo integral

Gustavo RochaGustavo Rocha

2006-12006-1

DEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOSDEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOS

Cada cursoCada curso

ANALOGÍA

un platillo

MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

EQUIVALENCIAS

DEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOSDEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOS

INGENIERÍA

MATEMÁTICAS CON MATEMÁTICAS CON SABOR A INGENIERÍASABOR A INGENIERÍA

DEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOSDEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOS

¡OTLA VEZALOZ!

““La juventud prefiere ser La juventud prefiere ser estimulada que instruida”estimulada que instruida”

Johann Wolfgang Von GoetheJohann Wolfgang Von Goethe

MISIÓN Y OBJETIVOS

MISIÓN: Habilitar a nuestros alumnos para que sean capaces de

hacer ingeniería, para que transformando los elementos de la

naturaleza, puedan elevar el nivel de bienestar del ser humano.

OBJETIVO TELEOLÓGICO (FIN): Que los alumnos sean capaces

de enfrentar y resolver problemas de esta índole.

OBJETIVO INSTRUMENTAL (MEDIO): Que los alumnos adquieran

un vasto dominio de las ciencias básicas, para aplicar este

conocimiento a la solución de tales problemas.

“Uno de los males que caracterizan a nuestro tiempo

es la claridad de los medios y la vaguedad de los objetivos. Se debiera tener firmeza en los objetivos y flexibilidad en los

medios”Albert Einstein

““El fin principal de la educación, no es el El fin principal de la educación, no es el conocimiento, sino la acción" conocimiento, sino la acción"

Herbert SpencerHerbert Spencer

Filósofo y sociólogo inglésFilósofo y sociólogo inglés

GABRIELA MISTRAL

“...todo el desorden del mundo viene de los oficios y las profesiones mal o mediocremente servidos:

político mediocre, educador mediocre, médico mediocre, sacerdote mediocre, artesano mediocre,

esas son nuestras calamidades verdaderas"

LA DIALÉCTICA DEL INGENIEROLA DIALÉCTICA DEL INGENIERO

TeóricoTeórico PrácticoPrácticoVerdaderoVerdadero ÚtilÚtilExactoExacto OportunoOportunoAnalíticoAnalítico ArtísticoArtísticoDeductivoDeductivo ImaginativoImaginativoRacionalRacional IntuitivoIntuitivoCorrectoCorrecto CreativoCreativoCientíficoCientífico SistémicoSistémico

Entre lo teórico y lo prácticoEntre lo teórico y lo práctico

Entre lo verdadero y lo útilEntre lo verdadero y lo útil

Entre lo exacto y lo oportunoEntre lo exacto y lo oportuno

Entre lo analítico y lo artísticoEntre lo analítico y lo artístico

Entre lo científico y lo sistémicoEntre lo científico y lo sistémico

Entre lo deductivo y lo imaginativoEntre lo deductivo y lo imaginativo

Entre lo racional y lo intuitivoEntre lo racional y lo intuitivo

Entre lo correcto y lo creativoEntre lo correcto y lo creativo

Entre lo Entre lo teóricoteórico y lo y lo prácticopráctico

Entre lo Entre lo verdaderoverdadero y lo y lo útilútil

Entre lo Entre lo exactoexacto y lo y lo oportunooportuno

Entre lo Entre lo analíticoanalítico y lo y lo artístico artístico

Entre lo Entre lo científicocientífico y lo y lo sistémicosistémico

Entre lo Entre lo deductivodeductivo y lo y lo imaginativoimaginativo

Entre lo Entre lo racionalracional y lo y lo intuitivointuitivo

Entre lo Entre lo correcto correcto y lo y lo creativocreativo

LA DIALÉCTICA DEL INGENIEROLA DIALÉCTICA DEL INGENIERO

DOS HEMISFERIOSDOS HEMISFERIOS

TeóricoTeórico

VerdaderoVerdadero

ExactoExacto

AnalíticoAnalítico

CientíficoCientífico

DeductivoDeductivo

RacionalRacional

CorrectoCorrecto

PrácticoPráctico

ÚtilÚtil

OportunoOportuno

ArtísticoArtístico

Sistémico Sistémico

ImaginativoImaginativo

IntuitivoIntuitivo

CreativoCreativo

INGENIERO

Control de lamano derecha

Habilidadcientífica

LOCALIZACIÓN DE LAS CAPACIDADES EN LOS LOCALIZACIÓN DE LAS CAPACIDADES EN LOS HEMISFERIOS CEREBRALESHEMISFERIOS CEREBRALES

SOCIO-EMOCIONAL

LÓGICO-MATEMÁTICA

CORPORAL

INTRA-PERSONAL

MUSICAL

ESPACIALLINGÜÍSTICA

E = m·c²

Howard Gardner

SOCIO-EMOCIONAL

LÓGICO-MATEMÁTICA

CORPORAL

INTRA-PERSONAL

MUSICAL

ESPACIALLINGÜÍSTICA

Howard Gardner

““... no es posible separar los aspectos ... no es posible separar los aspectos cognitivos, emocionales y sociales...”cognitivos, emocionales y sociales...”

Jean Piaget

En el mejor de los casos, el En el mejor de los casos, el coeficiente de inteligencia contribuye coeficiente de inteligencia contribuye con alrededor de un 20 por ciento en con alrededor de un 20 por ciento en los factores que determinan el éxito los factores que determinan el éxito

en la vida, lo cual deja el 80 por en la vida, lo cual deja el 80 por ciento restante a otras fuerzas, ciento restante a otras fuerzas, fuerzas que se agrupan como fuerzas que se agrupan como

inteligencia emocional.inteligencia emocional.

Objetivos de aprendizajeObjetivos de aprendizaje

Para un estudiante de ingeniería, el aprendizaje del Para un estudiante de ingeniería, el aprendizaje del

cálculo es un medio para aprender a resolver problemas cálculo es un medio para aprender a resolver problemas

reales, para aprender a ser ingeniero:reales, para aprender a ser ingeniero:

– Adquiriendo destrezas y/o habilidades mentalesAdquiriendo destrezas y/o habilidades mentales

La disciplina que estimula las habilidades del pensamiento.La disciplina que estimula las habilidades del pensamiento.

El lenguaje para modelar la solución de algunos problemas.El lenguaje para modelar la solución de algunos problemas.

La fluida manipulación del herramental matemático.La fluida manipulación del herramental matemático.

– Descubriendo por si mismoDescubriendo por si mismo

Comprender Comprender la naturaleza de las situaciones.la naturaleza de las situaciones.

Actuando en consecuencia.Actuando en consecuencia.

Extensión superficial

Extensión profunda

AmplitudNecesaria y Suficiente

ProfundidadNecesaria ySuficiente

CANTIDADCANTIDAD

CALIDAD

““Es más fácil desintegrar un átomo Es más fácil desintegrar un átomo

que un pre-concepto”que un pre-concepto”

Albert Einstein

““El problema no es nunca el como El problema no es nunca el como obtener pensamientos nuevos e obtener pensamientos nuevos e

innovadores en tu cabeza,innovadores en tu cabeza, sino como librarte de los viejos”sino como librarte de los viejos”

Dee HockDee HockFundador de VISAFundador de VISA

““Los exámenes escolares están basados en el Los exámenes escolares están basados en el

principio de que toda pregunta tiene una principio de que toda pregunta tiene una

respuesta correcta. … El enfoque de la respuesta correcta. … El enfoque de la

respuesta correcta queda enraizada respuesta correcta queda enraizada

profundamente en nuestro pensamiento. … La profundamente en nuestro pensamiento. … La

vida es ambigua; existen muchas respuestas vida es ambigua; existen muchas respuestas

correctas, todo depende de lo que se esté correctas, todo depende de lo que se esté

buscando. Pero si piensa que solo existe una buscando. Pero si piensa que solo existe una

respuesta correcta, entonces dejará de buscar respuesta correcta, entonces dejará de buscar

en cuanto encuentre una”en cuanto encuentre una”

La Revolución del AprendizajeGordon Dryden & Jeannete Vos

““¿De dónde vienen las buenas nuevas ideas?¿De dónde vienen las buenas nuevas ideas?!Eso es sencillo! De las diferencias.!Eso es sencillo! De las diferencias.

La creatividad viene de La creatividad viene de yuxtaposiciones improbables.yuxtaposiciones improbables.

La mejor manera de aprovechar las diferencias es La mejor manera de aprovechar las diferencias es mezclar edades, culturas y disciplinas.”mezclar edades, culturas y disciplinas.”

Nicholas NegroponteNicholas NegroponteMedia lab MITMedia lab MIT

Siddhartha, Hermann Hesse

“ ... Tú lo aprenderás, pero no de mí sino del río.Él fue mi maestro, y será el tuyo.Todo lo sabe el río, todo lo puede enseñar, todo.”

“... El río está simultáneamente por doquier: en su fuente y en su desembocadura, en la catarata, en el arroyo y en el rápido, en el mar y en la montaña; en todas partes al mismo tiempo y no hay en él la menor partícula de pasado o la más breve idea de tiempo venidero, sino solamente el presente”

Siddhartha, Hermann Hesse

“ No es que no nos atrevamos porque las cosas son difíciles; es que las cosas

son difíciles porque no nos atrevemos.”Séneca

“De la brevedad de la vida”

“ El peligro más grande enla vida es no arriesgar nada; la persona que no arriesga,

no hace nada, no tiene nada, es nada.”

Séneca“De la brevedad de la vida”

¿C¿Cuál es la diferencia entre los trabajadores japoneses uál es la diferencia entre los trabajadores japoneses yy los los mexicanos?mexicanos?

  

““Creo que el trabajador mexicano es mucho mas hábil, pero las Creo que el trabajador mexicano es mucho mas hábil, pero las relaciones entre los obreros y la empresa son muy deficientes; parece relaciones entre los obreros y la empresa son muy deficientes; parece

que esto se deriva de la religión. En esencia, los dos pueblos son que esto se deriva de la religión. En esencia, los dos pueblos son iguales: les gustan las peregrinaciones, las tamboras, los amuletos, los iguales: les gustan las peregrinaciones, las tamboras, los amuletos, los cuetes, etc., pero los mexicanos van a los templos a pedir y a esperarcuetes, etc., pero los mexicanos van a los templos a pedir y a esperar, ,

mientras quemientras que los japoneses vamos a ofrecer. los japoneses vamos a ofrecer.

Los sindicatos mexicanos presentan Los sindicatos mexicanos presentan pliego de peticionespliego de peticiones y los y los sindicatos japoneses presentamos sindicatos japoneses presentamos pliego de ofrecimientospliego de ofrecimientos, !, !

Pequeña gran diferencia!”Pequeña gran diferencia!”

CARLOS KASUGA OSAKADirector General de Yakult, S. A. de C. V.

““Hacer pensar a los demás en vez Hacer pensar a los demás en vez de pensar por ellos es función de pensar por ellos es función

trascendental de un buen trascendental de un buen formador".formador".

Horst WeinHorst WeinProfesor alemánProfesor alemán

““La función de un verdadero maestro es La función de un verdadero maestro es hacer que entre en acción la inteligencia hacer que entre en acción la inteligencia

del alumno”del alumno”

Jiddu Krishnamurti

El cultivo de la inteligenciaEl cultivo de la inteligencia

Sin cultivar la inteligencia, aprender una técnica e impartir esa técnica es Sin cultivar la inteligencia, aprender una técnica e impartir esa técnica es absolutamente vano.absolutamente vano.

No es aprendiendo técnicas que hemos de ser ingenieros, ingeniosos y No es aprendiendo técnicas que hemos de ser ingenieros, ingeniosos y creativos.creativos.

Las técnicas nos impiden, nos limitan, nos hace pasar por alto la capacidad Las técnicas nos impiden, nos limitan, nos hace pasar por alto la capacidad de descubrir por nosotros mismos.de descubrir por nosotros mismos.

Teniendo todos los instrumentos del descubrimiento, ¿por qué nada Teniendo todos los instrumentos del descubrimiento, ¿por qué nada encontramos directamente?encontramos directamente?

La técnica es lo que destruye la creatividad (lo cual no significa que no La técnica es lo que destruye la creatividad (lo cual no significa que no debamos tener una técnica).debamos tener una técnica).

La creatividad no es para unos pocos, ni es el don de los menos; es para La creatividad no es para unos pocos, ni es el don de los menos; es para todo aquel que consagre su mente y su corazón en la plena investigación todo aquel que consagre su mente y su corazón en la plena investigación del problema. del problema.

El cultivo de la inteligencia le ayudará al alumno a habérselas con los El cultivo de la inteligencia le ayudará al alumno a habérselas con los problemas de la vida.problemas de la vida.

El alumno requiere de guía, de ayuda, pero si el que brinda la ayuda es El alumno requiere de guía, de ayuda, pero si el que brinda la ayuda es incapaz y estrecho, es lógico que su producto sea lo que él es.incapaz y estrecho, es lógico que su producto sea lo que él es.

El maestro necesita mucho más que el alumno que se le eduque.El maestro necesita mucho más que el alumno que se le eduque.

La educación sólo puede ser transformada educando al educador. Y educar La educación sólo puede ser transformada educando al educador. Y educar al maestro es mucho más difícil que educar al joven, porque el maestro ya al maestro es mucho más difícil que educar al joven, porque el maestro ya está formado, estático y condicionado.está formado, estático y condicionado.

Si el maestro no hace sino impartir la instrucción y transmitir información, ni Si el maestro no hace sino impartir la instrucción y transmitir información, ni siquiera se da cuenta de que, en realidad, no le interesa el proceso del siquiera se da cuenta de que, en realidad, no le interesa el proceso del pensamiento y el cultivo de la inteligencia, y ha dejado de ser un verdadero pensamiento y el cultivo de la inteligencia, y ha dejado de ser un verdadero educador.educador.

La función del educador consiste en crear nuevos valores, no en reducirse La función del educador consiste en crear nuevos valores, no en reducirse a implantar valores existentes en la mente del alumno, lo cual no hace sino a implantar valores existentes en la mente del alumno, lo cual no hace sino condicionarlo sin despertar su inteligencia.condicionarlo sin despertar su inteligencia.

El educador ha de consagrar todo su pensamiento, todo su esmero, todo su El educador ha de consagrar todo su pensamiento, todo su esmero, todo su afecto, a crear el ambiente apropiado y la atmósfera conveniente para el afecto, a crear el ambiente apropiado y la atmósfera conveniente para el cultivo de la inteligencia.cultivo de la inteligencia.

Educando al educadorEducando al educador

Reeducando al educadorReeducando al educador

Requerimos reeducar al educador para que aprenda a estar abierto a

aprender y a reaprender, dando con ello el ejemplo requerido a los

discípulos.

Requerimos adaptarnos a la modernidad a través de la incorporación

intensiva de nuevas tecnologías de aprendizaje.

Requerimos de un cambio de enfoque del personal docente, para adoptar el

papel de facilitador del proceso de aprendizaje, en vez del erudito poseedor

y transmisor de toda la información hacia el alumno, como pretende ser

ahora, todavía.

La verdadera educación es la comprensión del educando tal como es y no La verdadera educación es la comprensión del educando tal como es y no

tal como debiera ser.tal como debiera ser.

Si lo coloca en el armazón de un ideal, lo fuerza a seguir determinado Si lo coloca en el armazón de un ideal, lo fuerza a seguir determinado

modelo, le convenga o no; y el resultado es que el alumno o está siempre modelo, le convenga o no; y el resultado es que el alumno o está siempre

en contradicción con el ideal, o se adapta de tal modo al ideal que deja de en contradicción con el ideal, o se adapta de tal modo al ideal que deja de

ser él y actúa como simple autómata sin inteligencia.ser él y actúa como simple autómata sin inteligencia.

Cuando el educador lo considera, lo respeta, lo observa y le da la libertad Cuando el educador lo considera, lo respeta, lo observa y le da la libertad

para ser lo que es él, entonces lo guía, lo ayuda, no a llegar al ideal, sino a para ser lo que es él, entonces lo guía, lo ayuda, no a llegar al ideal, sino a

lo que es él. Hacer todo eso lleva mucho tiempo, exige paciencia, cuidado lo que es él. Hacer todo eso lleva mucho tiempo, exige paciencia, cuidado

y cariño.y cariño.

Cuando en el educador no hay amor, requiere de un ideal y el educando ha Cuando en el educador no hay amor, requiere de un ideal y el educando ha

de someterse a él.de someterse a él.

Un ideal resulta un real estorbo para la comprensión del alumno.Un ideal resulta un real estorbo para la comprensión del alumno.

Comprendiendo al educandoComprendiendo al educando

La función educativa consiste en producir individuos integrados, que sean La función educativa consiste en producir individuos integrados, que sean

capaces de habérselas con la vida inteligentemente, totalmente, no capaces de habérselas con la vida inteligentemente, totalmente, no

parcialmente.parcialmente.

El individuo no puede ser integrado si sólo se guía por una norma idealista El individuo no puede ser integrado si sólo se guía por una norma idealista

de acción. de acción.

Cuando el maestro persigue un ideal, es incapaz de comprender al alumno, Cuando el maestro persigue un ideal, es incapaz de comprender al alumno,

porque entonces el futuro, el ideal, resulta más importante que el alumno, porque entonces el futuro, el ideal, resulta más importante que el alumno,

que es el presente. Y el sacrificio del presente por el ideal del futuro no se que es el presente. Y el sacrificio del presente por el ideal del futuro no se

justifica.justifica.

Educar a partir de un ideal es como producir automóviles; se tiene el diseño Educar a partir de un ideal es como producir automóviles; se tiene el diseño

y se hace pasar al muchacho por el molde, con el resultado de que y se hace pasar al muchacho por el molde, con el resultado de que

creamos seres humanos que son meros técnicos, que no tienen relación creamos seres humanos que son meros técnicos, que no tienen relación

humana con los demás y sólo campean por si mismos, por su propio humana con los demás y sólo campean por si mismos, por su propio

beneficio.beneficio.

La formación integralLa formación integral

Un cambio de enfoqueUn cambio de enfoque

Basta ya de la pura exposición en el pizarrón, buscando con ello

enseñar, cuando existen ya medios mucho más efectivos para

aprender.

Basta ya de evaluaciones arbitrarias, diseñadas para reprobar al

alumno, con exámenes muy duros, generalmente departamentales,

cuyos pobres resultados corroboran, una vez más, “lo difícil que es la

ingeniería, y, por supuesto, lo tontos o irresponsables que son los

alumnos”

““Usted debe ser el cambio Usted debe ser el cambio que desea ver en el mundoque desea ver en el mundo.”.”

GandhiGandhi

El propósito del curso será estrictamente de El propósito del curso será estrictamente de carácter formativocarácter formativo: : disciplina disciplina mental, que estimula el desarrollo de algunas habilidades del pensamientomental, que estimula el desarrollo de algunas habilidades del pensamiento. . Encontraremos, juntos, los elementos para evaluar objetivamente si tal Encontraremos, juntos, los elementos para evaluar objetivamente si tal propósito se logra y en qué medida.propósito se logra y en qué medida.

Los Los contenidos informativos, contenidos informativos, serán aprendidos, no para aprobar cada serán aprendidos, no para aprobar cada examen, sino examen, sino para apropiarse de lo esencial, para apropiarse de lo esencial, del conocimiento fundamental del conocimiento fundamental para comprender y aprender a plenitud los temas de las asignaturas de para comprender y aprender a plenitud los temas de las asignaturas de ciencias básicas y ciencias de la ingeniería. ciencias básicas y ciencias de la ingeniería.

Habrá que garantizar el Habrá que garantizar el dominio de losdominio de los conceptos matemáticos conceptos matemáticos fundamentales, fundamentales, para que la asimilación promedio, a mediano y largo plazos, para que la asimilación promedio, a mediano y largo plazos, sea significativa, para que esos conceptos se les quedan sea significativa, para que esos conceptos se les quedan almacenadas en almacenadas en la memoria e impregnadas en las células de por vidala memoria e impregnadas en las células de por vida, para ser usadas , para ser usadas siempre, cuando lo requieran.siempre, cuando lo requieran.

Las Las destrezas en la manipulación matemáticadestrezas en la manipulación matemática serán adquiridas a través de serán adquiridas a través de la ejecución de la ejecución de muchos ejerciciosmuchos ejercicios..

ESTE CURSO DE CÁLCULO IIESTE CURSO DE CÁLCULO II

ESTE CURSO DE CÁLCULO IIESTE CURSO DE CÁLCULO II

Se dará mucho énfasis a las aplicaciones, Se dará mucho énfasis a las aplicaciones, haciendo referencia a problemas haciendo referencia a problemas

reales; la destreza en la manipulación del herramental matemático fuera de reales; la destreza en la manipulación del herramental matemático fuera de

contexto, en abstracto, no tendrá ninguna relevancia.contexto, en abstracto, no tendrá ninguna relevancia.

El estudiante sabrá, El estudiante sabrá, con el temariocon el temario, cuál será la , cuál será la cobertura del cursocobertura del curso; y ; y con con

el libro deel libro de textotexto, sabrá cuáles , sabrá cuáles los capítulos y secciones que deberá estudiar los capítulos y secciones que deberá estudiar

y dominary dominar, los alcances teóricos, tecnológicos y de aplicación, y el tipo de , los alcances teóricos, tecnológicos y de aplicación, y el tipo de

ejercicios que deberá aprender a resolver. Los ejercicios que deberá aprender a resolver. Los temas fundamentalestemas fundamentales y la y la

distinción de lo esencial de cada tema, distinción de lo esencial de cada tema, serán puntualizados por el profesor, serán puntualizados por el profesor,

en clase.en clase.

Aún cuando el curso tiene alta carga temática, Aún cuando el curso tiene alta carga temática, cada uno de los temas será cada uno de los temas será

tratado a profundidad y con la pausa que resulte necesariatratado a profundidad y con la pausa que resulte necesaria para el grueso para el grueso

del grupo.del grupo.

““El secreto de ser aburridoEl secreto de ser aburridoes decirlo todo"es decirlo todo"

VoltaireVoltaire

El alumno tendrá El alumno tendrá grandes posibilidades de aprendizaje por descubrimientograndes posibilidades de aprendizaje por descubrimiento, ,

pues el pues el profesor actuará como facilitadorprofesor actuará como facilitador en el proceso de aprendizaje, en el proceso de aprendizaje,

reforzando, respondiendo y orientando, y no asumirá el papel tradicional de reforzando, respondiendo y orientando, y no asumirá el papel tradicional de

transmisor único de toda la información hacia el alumno.transmisor único de toda la información hacia el alumno.

Para garantizar su éxito en este curso, Para garantizar su éxito en este curso, el alumno será el responsable de su el alumno será el responsable de su

propio aprendizajepropio aprendizaje, aplicado, autosuficiente y esforzado, como , aplicado, autosuficiente y esforzado, como actor actor

principal del proceso educativoprincipal del proceso educativo..

Únicamente haremos algunas definiciones formales y Únicamente haremos algunas definiciones formales y solo los teoremas solo los teoremas

más importantes serán demostrados con rigormás importantes serán demostrados con rigor..

Exploraremos varias técnicas y métodos para resolver un mismo tipo de Exploraremos varias técnicas y métodos para resolver un mismo tipo de

problema, aunque no para mecanizarlos, sino para compararlos entre si, e problema, aunque no para mecanizarlos, sino para compararlos entre si, e

inducir al alumno a distinguir diferencias entre ellos y a descubrir otras inducir al alumno a distinguir diferencias entre ellos y a descubrir otras

posibilidades.posibilidades.

ESTE CURSO DE CÁLCULO IIESTE CURSO DE CÁLCULO II

Impulsaremos el uso intensivo de material didáctico en Internet. Impulsaremos el uso intensivo de material didáctico en Internet.

Buscaremos aprender a manejar una Buscaremos aprender a manejar una calculadora graficadora calculadora graficadora y a y a

usar algún usar algún paquete matemáticopaquete matemático, pues ambos realizan las , pues ambos realizan las

operaciones aritméticas necesarias, con toda precisión, exactitud y operaciones aritméticas necesarias, con toda precisión, exactitud y

a la mayor velocidad.a la mayor velocidad.

Aprenderemos a Aprenderemos a formular problemasformular problemas sencillos de ingeniería, a sencillos de ingeniería, a

modelarlos matemáticamentemodelarlos matemáticamente, a , a interpretarinterpretar correctamente los correctamente los

resultadosresultados de la solución y a ser capaces de darnos cuenta si tales de la solución y a ser capaces de darnos cuenta si tales

resultados pueden resultados pueden corresponder o no a la realidad vividacorresponder o no a la realidad vivida..

Buscaremos Buscaremos estimular a los alumnos para que se enamoren del estimular a los alumnos para que se enamoren del

modelado matemático y así, continúen estudiando ingenieríamodelado matemático y así, continúen estudiando ingeniería, ,

induciéndolos a que, como futuros ingenieros, se habitúen a recurrir induciéndolos a que, como futuros ingenieros, se habitúen a recurrir

a las matemáticas, en cada estudio que emprendan.a las matemáticas, en cada estudio que emprendan.

ESTE CURSO DE CÁLCULO IIESTE CURSO DE CÁLCULO II

La utilidad del cálculoLa utilidad del cálculo

El cálculo estudia algunos conceptos específicos tales como la tangente, la pendiente, El cálculo estudia algunos conceptos específicos tales como la tangente, la pendiente,

el área, el volumen, la longitud de arco, la curvatura, todos ellos esenciales en el área, el volumen, la longitud de arco, la curvatura, todos ellos esenciales en

ingeniería, de los que se derivan un ingeniería, de los que se derivan un sinnúmero de distincionessinnúmero de distinciones aún más importantes aún más importantes

para el ingeniero, para el ingeniero, que explican el funcionamiento del universo y sus componentes.que explican el funcionamiento del universo y sus componentes.

Es importante distinguir la diferencia entre estudiar matemáticas abstractas, lo que Es importante distinguir la diferencia entre estudiar matemáticas abstractas, lo que

seguramente debe tener su encanto, para los científicos puros, y seguramente debe tener su encanto, para los científicos puros, y estudiar matemáticas estudiar matemáticas

para resolver problemas realespara resolver problemas reales, que es el cometido de los ingenieros. El cálculo no es , que es el cometido de los ingenieros. El cálculo no es

la excepción, especialmente porque su desarrollo se ha derivado la excepción, especialmente porque su desarrollo se ha derivado de las necesidades de las necesidades

del ser humano, de intentar comprender el cosmos y el caos.del ser humano, de intentar comprender el cosmos y el caos.

El cálculo es la matemática del movimiento, del cambio, de la velocidad y de la El cálculo es la matemática del movimiento, del cambio, de la velocidad y de la

aceleración, del flujo, de la rotación y la traslación, del incremento y la disminución, aceleración, del flujo, de la rotación y la traslación, del incremento y la disminución,

desde una perspectiva dinámica, es decir, como desde una perspectiva dinámica, es decir, como “la película” de la ocurrencia de cada “la película” de la ocurrencia de cada

fenómeno.fenómeno.

Otras ramas de las matemáticas, aunque también hacen o llegan a hacer referencia a Otras ramas de las matemáticas, aunque también hacen o llegan a hacer referencia a

esos mismos elementos, lo hacen desde un punto de vista estático, como tomando esos mismos elementos, lo hacen desde un punto de vista estático, como tomando

“una foto instantánea” del fenómeno.“una foto instantánea” del fenómeno.

ARITMÉTICA

LA GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL CONTEXTO LA GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL CONTEXTO DE LAS MATEMÁTICAS Y LA INGENIERÍADE LAS MATEMÁTICAS Y LA INGENIERÍA

ÁLGEBRA GEOMETRÍATRIGONOMETRÍA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

CÁLCULO

MATEMÁTICASSUPERIORES

INGENIERÍA

Repaso históricoRepaso histórico

1.1. Antigüedad:Antigüedad: contaban con piedrecillas; en latín, “ contaban con piedrecillas; en latín, “calculus” significa calculus” significa

piedrecilla.piedrecilla.

2.2. Egipcios y babilonios:Egipcios y babilonios: generaron procedimientos prácticos de cálculo, generaron procedimientos prácticos de cálculo,

relativamente evolucionados, en agrimensura, metrología y astronomía.relativamente evolucionados, en agrimensura, metrología y astronomía.

3.3. Griegos.Griegos. Integraron las reglas empíricas en un sistema teórico, pero su Integraron las reglas empíricas en un sistema teórico, pero su

sistema de numeración lo limitaba al uso de regla y compás.sistema de numeración lo limitaba al uso de regla y compás.

4.4. Siglo XVI:Siglo XVI: Los árabes introdujeron a Europa la numeración india en plena Los árabes introdujeron a Europa la numeración india en plena

expansión cultural renacentista, se desarrollaron el álgebra simbólica y los expansión cultural renacentista, se desarrollaron el álgebra simbólica y los

logaritmos.logaritmos.

5.5. Siglo XVII:Siglo XVII: Descartes creó la geometría analítica, que permitió el cálculo Descartes creó la geometría analítica, que permitió el cálculo

numérico exacto, sentando las bases del cálculo infinitesimal, creado por numérico exacto, sentando las bases del cálculo infinitesimal, creado por

Newton y Leibniz, y origen del análisis matemático moderno.Newton y Leibniz, y origen del análisis matemático moderno.

6.6. Siglo XX:Siglo XX: El cálculo numérico y los métodos de cálculo aproximado han El cálculo numérico y los métodos de cálculo aproximado han

recibido un nuevo impulso, soportados ahora por poderosos equipos y recibido un nuevo impulso, soportados ahora por poderosos equipos y

programas de cómputo.programas de cómputo.

Antecedentes del cálculoAntecedentes del cálculo

El cálculo integral tiene, al menos, unos 2,500 años de historiaEl cálculo integral tiene, al menos, unos 2,500 años de historia– Ya en el siglo VI a.C., Ya en el siglo VI a.C., Tales de Mileto y Pitágoras de SamosTales de Mileto y Pitágoras de Samos se se

percataron de la importancia del estudio de los números, para poder percataron de la importancia del estudio de los números, para poder

entender el mundo.entender el mundo.– DemócritoDemócrito calculó el volumen de pirámides y conos, considerándolos calculó el volumen de pirámides y conos, considerándolos

formados por un numero infinito de secciones de grosor infinitesimal.formados por un numero infinito de secciones de grosor infinitesimal.– Eudoxo y ArquímedesEudoxo y Arquímedes utilizaron el método del agotamiento para utilizaron el método del agotamiento para

encontrar el área del círculo.encontrar el área del círculo.– Hipócrates de CosHipócrates de Cos descubrió que el área de figuras geométricas en forma descubrió que el área de figuras geométricas en forma

de media luna, limitadas con arcos circulares, son iguales a la de ciertos de media luna, limitadas con arcos circulares, son iguales a la de ciertos

triángulos.triángulos.– EuclidesEuclides dejó plasmado en los 13 libros que componen sus Elementos la dejó plasmado en los 13 libros que componen sus Elementos la

mayor parte de los conocimientos matemáticos existentes en finales del mayor parte de los conocimientos matemáticos existentes en finales del

siglo IV AC. siglo IV AC.

Antecedentes del cálculoAntecedentes del cálculo

El cálculo diferencial es, al menos 2,000 años más joven El cálculo diferencial es, al menos 2,000 años más joven

que el integral, pues se inicia apenas en el siglo XVII.que el integral, pues se inicia apenas en el siglo XVII.

– John NapierJohn Napier  descubrió los logaritmos.  descubrió los logaritmos.

– Cavalieri y TorricelliCavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales. ampliaron el uso de los infinitesimales.

– Rene Descartes y Pierre de FermatRene Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el álgebra para utilizaron el álgebra para

encontrar el área y las tangentes.encontrar el área y las tangentes.

– Fermat y BarrowFermat y Barrow intuyeron que el cálculo diferencial y el integral intuyeron que el cálculo diferencial y el integral

estaban relacionados.estaban relacionados.

– Newton y LeibnizNewton y Leibniz demostraron que el cálculo integral es el demostraron que el cálculo integral es el

inverso del diferencial.inverso del diferencial.

El CálculoEl Cálculo

El estudio de las pendientes de las tangentes El estudio de las pendientes de las tangentes -las derivadas--las derivadas- permite permite calcular las razones de cambio instantáneo de un fenómeno. calcular las razones de cambio instantáneo de un fenómeno. Cálculo Cálculo diferencial.diferencial.

El estudio de las áreas bajo la curva El estudio de las áreas bajo la curva -las integrales--las integrales- permite describir permite describir la forma en que se acumulan estos cambios instantáneos para la forma en que se acumulan estos cambios instantáneos para producir las funciones. producir las funciones. Cálculo integral.Cálculo integral.

El El cálculo infinitesimalcálculo infinitesimal es la unión del es la unión del cálculo diferencialcálculo diferencial con el con el cálculo integralcálculo integral y ha sido el logro más poderoso del ser humano en el y ha sido el logro más poderoso del ser humano en el camino para comprender el funcionamiento del universo.camino para comprender el funcionamiento del universo.

El El cálculo cálculo es la rama de las matemáticas dedicada a estudiar el es la rama de las matemáticas dedicada a estudiar el cambio y el movimiento, tratando con cantidades que se aproximan a cambio y el movimiento, tratando con cantidades que se aproximan a otras cantidades otras cantidades –los límites-–los límites- . .

Límite, derivada e integralLímite, derivada e integral son los tres conceptos fundamental del son los tres conceptos fundamental del cálculo.cálculo.

APLICACIONES DEL CÁLCULOAPLICACIONES DEL CÁLCULO

Explicar el movimiento de los planetasExplicar el movimiento de los planetasCalcular las órbitas de los satélites y de las naves espacialesCalcular las órbitas de los satélites y de las naves espacialesPredecir los tamaños de poblacionesPredecir los tamaños de poblacionesEstablecer la rapidez con que se elevan los preciosEstablecer la rapidez con que se elevan los preciosPronosticar los cambios meteorológicosPronosticar los cambios meteorológicosMedir el flujo cardíacoMedir el flujo cardíacoCalcular las primas de segurosCalcular las primas de segurosCalcular el rendimiento de una inversiónCalcular el rendimiento de una inversiónDeterminar la distancia del aeropuerto en que ha de iniciarse el Determinar la distancia del aeropuerto en que ha de iniciarse el descensodescensoDeterminar la cantidad de combustible que se ha fugado de un Determinar la cantidad de combustible que se ha fugado de un tanque en un período determinadotanque en un período determinadoCalcular la cantidad de gasolina que queda en un tanque de forma Calcular la cantidad de gasolina que queda en un tanque de forma irregular, a partir de la medición del nivel con flotador irregular, a partir de la medición del nivel con flotador