resolver problemas con factorizaciÓn parte 2

USO DE LA FACTORIZACIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS(Parte 2)

UNIDAD IFUNCIONES Y TRANSFORMACIONES

A.RE.10.3.3J. Pomales / enero 2009

BIENVENIDOS A ESTE

NUEVO SEMESTRE ESCOLAR

Introducción y Objetivo• El pasado semestre resolvimos problemas

verbales utilizando la factorización.• Estos problemas se relacionaron con números

y área de rectángulos.• Hoy, continuaremos resolviendo problemas

pero con triángulos rectángulos y con el área y perímetro de rectángulos.

• A continuación hacemos un breve resumen de las destrezas y conceptos que debes recordar para realizar estos nuevos problemas.

RESUMEN DE LO QUE

DEBES SABER

Algunas frases que se identifican con las operaciones básicas:

– SUMA:• aumentado en, sumado a, dentro de tantos

años, más que, más viejo que, agregado a...

– RESTA:• menos que, sustraído de, diferencia,

disminuido en, hace tantos años...

– MULTIPLICACIÓN:• veces, producto de, el doble de, duplo de,

triple...

– DIVISIÓN:• dividido por, entre, repartido a, la mitad, un

tercio...

• FACTOR COMÚN

• AGRUPACIÓN

• DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

• CUADRADOS PERFECTOS

• TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

• TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c (Tanteo y Error)

Factorizaciones estudiadas:

Visita nuestro Blog (matematicasenaccion2008.blogspot.com)y repasa cada factorización a través de los videos

• Leer el problema

• Hacer un diagrama o dibujo

• Identificar todos los elementos desconocidos del problema

• Establecer las ecuaciones o inecuaciones

• Resolver las ecuaciones o inecuaciones

• Verificar las posibles respuestas

• Contestar las preguntas del problema

Pasos generales para resolver un problema verbal:

• Perímetro (P): Suma de los lados exteriores de la figura– En un rectángulo P = 2l + 2a– En un triángulo P = a + b + c

• Área (A): Región interna de la figura– En un rectángulo A = l·a– En un triángulo A = ½ b·a

Perímetro y Área:

largo

ancho

a

l

a

l

base

altura

b

a c

• Establece que en todo triángulo rectángulo la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Teorema de Pitágoras:

ac a2 + b2 = c2

b

hipotenusa

cateto

cateto

EJEMPLOS

RELACIONADOS CON FIGURAS

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

Resuelve:

Después de leerlo y entender lo que pide debes hacer un dibujo.

Ejemplo 1

Continua

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

Identificamos todos los elementos del problema en el dibujo previo y otorgamos la variable al elemento del que se habla menos.

hipotenusa

cateto

cateto

Elementos del problema:CatetoTriánguloCatetoHipotenusa

Ejemplo 1

Continua

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

Fíjate que de uno de los catetos no se dice nada. Pues ese será nuestro desconocido.

hipotenusa

cateto

cateto

Elementos del problema:Cateto xCateto 2x + 2Triángulo RectánguloHipotenusa 13

Ejemplo 1

Continua

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

Ubicas esos datos en la figura y procedemos a establecer una ecuación.

hipotenusa

cateto

cateto

13

2x + 2

x

Como este problema habla del triángulo rectángulo debemos utilizar el Teorema de Pitágoras

a2 + b2 = c2

Ejemplo 1

Continua

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

Vuelves a escribir el Teorema de Pitágoras pero utilizando los valores del problema.

hipotenusa

cateto

cateto

c = 13

b = 2x + 2

a = x

a2 + b2 = c2

x2 + (2x+2)2 = 132

Y ahora procedes a resolverlo...

Ejemplo 1

Continua

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

hipotenusa

cateto

cateto

13

2x + 2

x

0)5)(335(

016585

169485

169484

13)22(

2

2

22

222

222

xx

xx

xx

xxx

xx

cba

Ejemplo 1

Continua

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

hipotenusa

cateto

cateto

13

2x + 2

x

533

335

0335

x

x

x ó

0)5)(335( xx

5

05

x

x

Como estamos buscando medidas debes eliminar aquellas que sean negativas. Así que el resultado positivo lo ubicas en la figura y conseguirás los valores deseados:

Ejemplo 1

Continua

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

hipotenusa

cateto

cateto

13

2x + 2 = 12

x = 5

5x Cateto x = 5Cateto 2x + 2 2(5) + 2

10 + 2 12

Siempre es necesario comprobar:

a2 + b2 = c2

52 + 122 = 132

25 + 144 = 169169 = 169

Ejemplo 1

Los catetos miden 5 y 12 cm respectivamente.

Finalmente:

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas.Halla la medida del ancho uniforme.

Resuelve:

Después de leerlo y entender lo que pide debes hacer un dibujo.

Ejemplo 2

Continua

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas. Halla la medida del ancho uniforme.

Ejemplo 2

8

10

CartónFotografía

Elementos del problema:Fotografía 8 por 10Cartón RectangularAncho uniforme xÁrea conjunta 120

Ancho uniforme

x

x

x

x

¿De quién es el área conjunta?

Realmente el área conjunta es del cartón. Continua

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas. Halla la medida del ancho uniforme.

Ejemplo 2

8

10

x

x

x

x

Con estos datos,

¿cuánto sería el ancho del cartón?

¿cuánto sería el largo del cartón?

8 + 2x

10 + 2x

10 + 2x

8 + 2x

Como el área de un rectángulo es A = l·a

¿Cuál es la ecuación que debemos resolver?Continua

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas. Halla la medida del ancho uniforme.

Ejemplo 2

8

10

x

x

x

x

El problema nos dio el Área conjunta 120El ancho es 8 + 2xEl largo es 10 + 2x8 + 2x

10 + 2x

Ahora solo debes sustituir estos valores en A = l·a 120 = (8 + 2x)(10 + 2x)

Procedemos a resolver la ecuación... Continua

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas. Halla la medida del ancho uniforme.

Ejemplo 2

8

10

x

x

x

x8 + 2x

10 + 2x

120 = (8 + 2x)(10 + 2x)(8 + 2x)(10 + 2x) = 12080 + 36x + 4x2 = 120-40 + 36x + 4x2 = 04x2 + 36x + -40 = 04(x2 + 9x + -10) = 04(x + 10)(x + -1) = 0

4 = 0 ó x + 10 = 0 ó x + -1 = 0x = -10 ó x = 1¿Qué valores eliminarías?

¿Por qué? Continua

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas. Halla la medida del ancho uniforme.

Ejemplo 2

8

10

x

x

x

x8 + 2x

10 + 2x

4 = 0 ó x + 10 = 0 ó x + -1 = 0x = -10 ó x = 1

El primero no es una relación correcta. Como no debo tener valores negativos cuando estoy midiendo, también el segundo se elimina.

Comprobamos si x = 1, sería el valor correcto.Continua

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas. Halla la medida del ancho uniforme.

Ejemplo 2

8

10

x

x

x

x8 + 2x8 + 2(1)

10

10 + 2x10 + 2(1)

12

El ancho uniforme mide 1 pulgada.

Finalmente:

A = l·a120 = 12 · 10

120 = 120

Comprobación:Si x = 1

EJERCICIOS

DE PRÁCTICA

Ejercicios de Práctica

Resuelve los siguientes problemas

1) La altura de un triángulo es 3 pulgadas menos que su base. Si el área es 14 pulgadas cuadradas. ¿cuál es la longitud de la base?

2) El número de cm en el perímetro de un cuadrado es igual al número de cm cuadrados de su área. Halla la medida de los lados del cuadrado.

3) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 34 cm. Halla las longitudes de los catetos si uno de ellos es 14 cm mayor que el otro.

4) El perímetro de un triángulo rectángulo es 60 pies y la hipotenusa mide 25 pies. Halla las medidas de los dos catetos.

Ejercicios de Práctica

Resuelve los siguientes problemas5) El largo de un rectángulo es 7 cm más que su ancho

y la diagonal mide 13 cm. Halla la medida del ancho.6) Las dimensiones exteriores de un marco de fotografía

son 12 cm por 15 cm. Se coloca una fotografía dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. Si el área de la fotografía es 88 cm cuadrados, halla la medida del ancho uniforme.

7) Una alfombra de 216 pies cuadrados se coloca en una habitación cuyas dimensiones son 14 pies por 20 pies, dejando un ancho uniforme alrededor de la alfombra. ¿Cuánto mide este ancho?

8) Un cuadro mide 8 cm por 12 cm se coloca en un marco de ancho uniforme. Halla la medida del ancho uniforme, si el área del cuadro es igual a la del marco.

Ejercicios de Práctica

Resuelve los siguientes problemas

9) Las dimensiones de un jardín son de 6 yardas por 12 yardas. Se desea dejar un paseo de ancho uniforme dentro del jardín, de forma que nos quede un área de 40 yardas cuadradas para flores.

¿Cuál es el ancho del paseo?

10)Un cuadro mide 8 pulgadas por 10 pulgadas. ¿Cuánto mide el ancho uniforme alrededor del cuadro si la suma de las áreas del cuadro y el ancho es 120 pulgadas cuadradas?

11)El área de un jardín es 120 pies cuadrados. El largo es 8 pies más que dos veces el ancho. Halla el largo y el ancho del jardín.

Referencia:• ÁLGEBRA, PRIMER CURSO (Segunda Edición),

Juan Sánchez, Santillana