ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS (profes.net)

Generalizar

Descripción

La generalización consiste en pasar del estudio de una situación concreta (o de un objeto) al estudio de un conjunto de situaciones entre las que está la de partida (o conjunto de objetos entre los que figura el primero) extrayendo una ley válida para cualquier caso a partir de la comprobación de las conjeturas que sugieran las regularidades observadas en las situaciones u objetos analizados. En realidad, supone la aplicación del método científico, puesto que el objetivo es extraer una ley válida para cualquier situación en general a partir de las regularidades obtenidas en algunos ejemplos (experimentación, planteamiento de hipótesis, comprobación y elaboración de una ley general).

Ejemplo

Si se divide una circunferencia en 33 partes iguales y se unen entre sí todas las divisiones, por medio de líneas rectas, ¿cuántas líneas rectas habrá?

Generalizar

Empezar por el final

Descomponer el problema en partes más pequeñas

Sacar partido de la simetría

Ensayo y error

Sistematizar el trabajo

Particularizar

Simular la situación

Principio del palomar

Resolver un problema más sencillo

Hacer un dibujo

Estudio de casos

Solución

La realización gráfica de este problema es enormemente confusa y pesada, a parte de la complejidad del procedimiento de división en 33 partes iguales (trazado de un diámetro de la circunferencia, división del diámetro en 33 partes aplicando el teorema de Thales, trazado de arcos con radio igual al diámetro, etc.). Se debe, pues, emplear otro método. Empecemos por analizar casos más sencillos: ¿Cuántas líneas hay si se divide la circunferencia en dos partes? ¿Y si se divide en 3? ¿Y en 4? Estudiemos estos casos haciendo los dibujos a mano alzada: N° de divisiones Líneas 2 1 3 3 4 6 5 10 Teniendo en cuenta que cada línea une dos puntos, es como si hubiese el doble de líneas. La línea que une A con B coincide con la que une B con A. Por lo tanto: N° de divisiones Líneas Equivalen a 2 1 2 3 3 6 4 6 12 5 10 20 ¿Qué relación hay entre la primera (n° de divisione s) y la tercera columna (líneas que debería haber)? De cada división sale una línea a cada una de las otras divisiones (no hay un lazo que salga de una división y vuelva a ella). Si hay que relacionar 5 objetos con otros 4, el número de relaciones sería:

5 x 4 ¡Cuando hay 5 divisiones existen 20 líneas! Si hay que relacionar 4 objetos con otros 3, el número de relaciones sería:

4 x 3 ¡Cuando hay 4 divisiones existen 12 líneas! Pero, en realidad, al hacer 5 divisiones sólo hay 10 líneas, y al hacer 4, sólo 6. ¡Que son las que en realidad hay: la mitad de las que debería

haber si se multiplica el número de divisiones por todas las demás! ¿Eso quiere decir que si se divide en 6 partes, habrá 15 líneas?

¡En efecto! Por lo tanto, la ley general será:

Y, en el caso de 33 divisiones, el número de líneas que habrá será:

Observaciones

SPara trabajar la estrategia de generalización se debe potenciar el análisis de casos concretos acostumbrando al alumnado a hacerlo de forma sistemática y ordenada. Esto supone la elaboración de tablas para la recogida de los resultados de los casos concretos y sobre las que analizar las posibles regularidades que existan. Se debe sugerir a los alumnos y alumnas que la búsqueda de regularidades tiene que ver con el cómo pasar del número de objetos de un tipo (divisiones de la circunferencia) al número de objetos correspondiente del otro tipo (número de líneas) y que, ese paso, habrá que buscarlo mediante el empleo de operaciones sencillas (sumas, productos, cocientes, etc.) o combinaciones de ellas. Es bueno hacerles ver que, en general, no se debe buscar la forma de paso a partir del término anterior (n - 1), ya que eso implica el cálculo previo de dicho término precedente. Y si no sabemos cuántas líneas habrá con 33 divisiones, tampoco sabremos cuántas hay al hacer 32. En este ejemplo concreto, muchos chicos y chicas ven rápidamente que el número de líneas que hay es igual a la suma de las que hay en todos los casos anteriores. En este problema, además de observar las regularidades numéricas es imprescindible darse cuenta de que una sola línea representa a dos teóricas. Si esta percepción tarda en producirse, el profesor o profesora puede recurrir a una sugerencia del estilo de "saludaos unos a otros", "¿con cuántos apretones de mano os saludáis", etc.Estas sugerencias, por cierto, no serían sino la aplicación de otra estrategia de resolución: la simulación. Una vez observadas las posibles regularidades, se debe pasar al planteamiento de hipótesis que permitan explicar las regularidades observadas. Estas hipótesis deberán ser comprobadas mediante ejemplos concretos y diferenciados.

Por último, cuando las hipótesis ya han sido comprobadas, hay que pasar a la expresión verbal, escrita y simbólica de la ley general, para la cual, y según el nivel educativo en el que se esté desarrollando el trabajo, habrá que admitir distintos grados de formalización.

Empezar por el final

Descripción

Consiste en partir de la situación final y, extrayendo de ella toda la información posible, ir retrocediendo hacia el principio.

Ejemplo

Calcular el valor de X en la siguiente expresión:

Solución

Si el resultado de esta complicada operación es 1, eso quiere decir que toda la torre de fracciones vale 4. De esa manera al restarle 3, sale la solución 1. Por tanto:

El denominador es 3. Si el resultado es 4, será porque el numerador es 12.

Si la torre de fracciones más 8 vale 12. Eso quiere decir que la torre de fracciones vale 4.

Si el denominador es 2 y el resultado es 4, por fuerza el numerador tiene que ser 8.

La fracción tiene que valer 4.

El numerador forzosamente debe valer 8. De esa forma, al dividirse por 2, da 4.

3 + X = 8 Y a X no le queda otro remedio que ser 5.

Observaciones

Esta es una estrategia especialmente útil en muchos problemas (el ladrón de naranjas o la herencia misteriosa, por ejemplo) y ejercicios (los típicos de fracciones que se van sacando de un depósito) cuyo planteamiento desde el principio lleva unas ecuaciones poco manejables o unos castillos de fracciones realmente repelentes.

Descomponer el problema en partes más pequeñas

Descripción

Consiste en dividir el problema en pequeñas partes e ir resolviéndolas sin perder de vista cuál es el objetivo final.

Ejemplo

¿Cuántas veces aparece la cifra 9 en los mil primeros números?

Solución

Si averiguamos cuántos nueves hay en cada centena, tendremos el problema resuelto. Pero, para saber los nueves que hay en una centena, es más sencillo encontrar primero cuántos hay en cada decena. Con esto, el problema se ha dividido en las dos partes siguientes: ¿cuántos nueves hay en una decena? y ¿cuántos nueves hay en una centena? En cada decena hay 1 nueve:

10 x 1 = 10 Además, en la décima decena (90, 91, 92, ... 99) hay otros 10 nueves:

1 x 10 = 10 Así, pues, en la primera centena hay 20 nueves. En cada centena hay 20 nueves:

10 x 20 = 200 Además, en la décima centena (900, 901, ... 999) hay otros 100 nueves. En resumen: del 0 al 999 hay 300 nueves .

Sacar partido de la simetría

Descripción

Sacar partido de la simetría consiste en aprovechar la simetría de ciertas situaciones, figuras o expresiones para descomponer el problema en otros más sencillos o para poner de manifiesto alguna regularidad.

Ejemplo

¿Cuántos caminos se pueden seguir para formar la palabra "problema"?

Solución

Como el rombo de letras tiene simetría horizontal, se puede considerar sólo la mitad superior y contar cuántas veces se puede formar la palabra PROBLEMAS partiendo de la P de arriba. Está claro que todas las palabras tienen que empezar por la P superior, por tanto ponemos un 1 en el lugar de esta P; de la P se puede ir a la R de la izquierda o a la de la derecha, en las que ponemos un 1 porque sólo hay una manera de formar PR que termine en cada una de ellas; desde estas R se puede ir a las O de los extremos de una sola forma posible, y a la O de en medio desde cada una de las dos R, por lo tanto ponemos un 1 en las O de los extremos y un 2 en la O de en medio; y así, sucesivamente.

Se puede formar la palabra PROBLEMAS de tantas formas como indica la fila de abajo:

1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 Pero, como sólo hemos considerado la mitad del rombo, tenemos otras tantas veces la palabra PROBLEMAS empezando por la P de abajo:

256 x 2 = 512

Ensayo y error

Descripción

Consiste en elegir un resultado y comprobar si puede ser la solución del problema. Si la comprobación es satisfactoria, habremos resuelto el problema. Si no se logra, se repite el proceso con una segunda solución supuesta. Y así sucesivamente, hasta encontrar la solución o demostrar que el problema es insoluble.

Ejemplo

Un profesor algo despistado ha dividido dos números con su calculadora. El resultado es 0,7307692. Pero, no recuerda qué números eran. Lo único que sabe es que ambos eran menores que 30.

Observaciones

Sin necesidad de hablarle a los alumnos y alumnas del triángulo de Pascal, se les puede sugerir que intenten codificar los caminos posibles, puesto que señalarlos con el lápiz lleva a un caos de líneas y a la confusión total. Por otra parte, es evidente que el resultado es igual a 29, es decir, 2 elevado al número de letras de la palabra. Una vez vista la aplicación de la simetría, siempre hay algún alumno que intenta volver a aplicarla y se queda con la cuarta parte del rombo. Esa estrategia no es recomendable puesto que, según sea la palabra, habrá una línea de letras que no constituyen en realidad ningún eje de simetría y se pierden soluciones.

1 + 7 + 20 + 28 + 14 = 70

70 x 4 = 280

Observaciones

A su manera, es una especie de sistematización del trabajo. El único riesgo que existe es que se pierda de vista el objetivo final que se desea alcanzar.

Solución

Teniendo en cuenta que el cociente es menor que 1, elegiremos siempre el dividendo menor que el divisor. Empezaremos por las cantidades más cercanas a 30 que sea posible.

28 : 29 = 0,9655172 El resultado es mayor que el que buscamos. Para conseguir un resultado menor debemos disminuir el dividendo (también se podría aumentar el divisor, pero entonces no sería inferior a 30).

27 : 29 = 0,9310344 Sigue siendo mayor. Iremos restando una unidad cada vez al dividendo.

26 : 29 = 0,8965517 25 : 29 = 0,8620689 24 : 29 = 0,8275862 23 : 29 = 0,7931034 22 : 29 = 0,7586206 21 : 29 = 0,7241379

Ahora, el resultado es menor que el que buscamos. Para conseguir un cociente mayor o aumentamos el dividendo (y volveríamos a 22 : 29) o disminuimos el divisor.

21 : 28 = 0,75 Otra vez, nos hemos pasado. Esto nos permite fijar un criterio de ensayo: si el cociente es mayor que el buscado, se resta una unidad al dividendo, y si el cociente es menor que el buscando, el divisor se disminuye en una unidad.

21 : 27 = 0,7777... 20 : 27 = 0,7407407 19 : 27 = 0,7037037 19 : 26 = 0,7307692

¡Ésta es la respuesta!

Observaciones

En este procedimiento no se debe ir probando al azar con diferentes soluciones. Debe haber un criterio que nos proporcione una pauta de elección de resultados. Tal vez, uno o dos de los primeros ensayos puedan regirse por el azar, pero después se debe ir eligiendo nuevas posibles soluciones por un motivo. De lo contrario, se pueden dar muchas vueltas y no llegar nunca a ningún sitio. La calculadora es de una gran ayuda en un problema como el del

ejemplo, aún cuando sólo sea para realizar los cálculos. Pero, no conviene olvidar que hay calculadoras (casi todas las científicas y algunas de cuatro operaciones) en las que este problema se podría hacer usando la constante de operaciones. La constante de operaciones es la posibilidad de funcionamiento que presenta la calculadora de poder mantener como constante una operación que se le haya indicado. Por ejemplo, y considerando una de las formas que existen de introducir las constantes de operaciones:

La calculadora muestra, normalmente, en pantalla, el 8, un signo de sumar y una "k". Es su forma de indicar que, a cada cantidad que se teclee, le sumará 8. Así:

Si esto lo hacemos con el producto e introducimos como cocienteconstante 0,7307692 (cambiando cociente por divisor), al ir probando con diferentes dividendos llegaremos hasta obtener un resultado (el divisor buscado) que sea exacto, y esa será la respuesta.

Y así sucesivamente hasta llegar a:

que indica que al dividir 19 entre 26, se obtiene el resultado conocido. Por otra parte conviene señalar que esta estrategia de ensayo y error puede usarse también para resolver ecuaciones.

7X - 8 = 102 - 3X

X = 20 ---> 132 = 42 Si la mayor cantidad se obtiene en el miembro en el que hay más "X", hay que probar con un valor más bajo.

X = 8 ---> 48 = 78

Si la mayor cantidad se obtiene en el miembro en el que hay menos "X", hay que probar con un valor más alto.

X = 12 ---> 76 = 66 X = 10 ---> 62 = 72 X = 11 ---> 69 = 79

La solución es X = 11

.

Sistematizar el trabajo

Descripción

Consiste en utilizar un método o sistema que nos permita explorar las diferentes posibilidades de forma ordenada, para evitar que se nos olvide alguna.

Ejemplo

¿Cuántos números distintos de cuatro cifras se pueden formar con el 1, el 3, el 5 y el 7?

Solución

Para evitar el escribir números a lo loco, vamos a empezar por escribir los que empiecen por 1-3: 1357 1375 Ahora, los que empiecen por 1-5: 1537 1573 Ahora, los que empiecen por 1-7: 1735 1753 Ahora, haremos lo mismo empezando por 3 (primero, seguido del 1, después seguido del 5 y, por último, seguido del 7). 3157 3175 3517 3571 3715 3751 Este proceso lo repetiremos con el 5 y con el 7.

5137 7135 5173 7153 5317 7315 5371 7351 5713 7513 5731 7531 Por lo tanto hay 24 números posibles.

Observaciones

Evitar las exploraciones "a lo loco" es muy importante. Se puede trabajar planteando todos los casos posibles, pero debe haber un criterio, un método, que organice todo el trabajo. De esta forma se evita la pérdida de posibilidades o su reiteración. Otro buen ejemplo de esto es el problema de "la quiniela", en el que, aún cuando se trate de generalizar, la exploración sistemática de posibilidades permite llegar al resultado. La quiniela: ¿cuántas posibilidades tiene la quiniela de fútbol?

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Particularizar

Descripción

Consiste en trabajar con ejemplos concretos cuando se desea comprobar alguna cuestión o situación general.

Ejemplo

¿Qué prefieres cuando vas de compras, que primero te hagan el descuento y luego te carguen el IVA, o que primero te carguen el IVA y luego te hagan el descuento?

Solución

Para contestar a una cuestión como ésta, en la que plantea un problema en general, lo mejor es arrancar desde un ejemplo concreto, como punto de partida. Lo que compramos vale 24,78 euros. Nos tienen que cargar el 17% de IVA y nos ofrecen un descuento del 20 %. Trabajemos los dos supuestos: Primero el descuento y luego el IVA 20% de 28,78: (20 x 28,78) : 100 = 5,756 euros de descuento Precio menos el descuento: 28,78 - 5,756 = 23,024 euros

15% de 23,024: (15 x 23,024) : 100 = 3, 4536 euros de recargo. Total a pagar: 23,024 + 3,4536 = 26,4776 euros (26,48 según el redondeo) Primero el IVA y luego el descuento 15% de 28,78: (15 x 28,78) : 100 = 4,317 euros de recargo Precio más el IVA: 28,78 + 4,317 = 33,097 euros 20% de 33,097: (20 x 33,097) : 100 = 6,6194 euros Total a pagar: 33,097 - 6,6194 = 26,4776 euros (26,48 según el redondeo) ¡Da lo mismo!

Observaciones

La respuesta espontánea que más se repite es que es preferible que primero carguen los impuestos y después hagan la rebaja. Esta respuesta errónea es inducida por la idea de que un porcentaje fijo da una mayor cantidad si se aplica sobre un número más grande. En este sentido, se pierde de vista que también el gravamen es mayor si se aplica sobre una cantidad más alta. Es muy interesante el análisis de las ideas erróneas preconcebidas que el tema del tanto por ciento origina en los alumnos y alumnas. Problemas como el del comerciante avispado son una buena muestra de ello. Este problema, además, nos puede permitir trabajar en el aula la forma de obtener porcentajes con calculadora, ya que hay muchos chicos y chicas que, por desconocimiento o por tener una calculadora determinada, ignoran algunas posibilidades de estas. Así, por ejemplo, muchos alumnos harían la siguiente secuencia de teclas para calcular el precio de un objeto al que se aplica un descuento: ¿Cuánto vale un objeto de 18 euros si nos descuentan el 12%?

Cuando la calculadora científica (y muchas de cuatro operaciones) permite esta otra secuencia:

Al teclear "+" después de calcular el porcentaje, se le ordena a la calculadora que sume la cantidad presente en pantalla a la cantidad inicial (18). Por ese motivo, hay que tener cuidado con el orden en que se teclean la cantidad inicial y el porcentaje, ya que si bien es cierto que 18 x 12 es igual que 12 x 18, no es menos cierto que si se añade "2.16" a 12 no dará lo mismo que si se le suma a 18. Y eso es lo que ocurriría si tecleamos la cantidades al revés, puesto que la calculadora considerará 12 como la cantidad inicial.

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Simular la situación

Descripción

Se trata de simular o reproducir la acción o la situación que describe el problema.

Ejemplo

Seis arqueros infalibles disparan sobre seis dianas. ¿Cuántas dianas no reciben ninguna flecha?

Solución

Este es un problema de azar, ya que cada arquero dispara a la diana que prefiere. Puede ocurrir que todos disparen a la misma diana, o que dos disparen a una misma diana y los otros cuatro a otra, etc. En el primer supuesto quedarían cinco dianas intactas y cuatro en el segundo supuesto. Vamos a simular el problema. Para ello, cogemos un dado y lo lanzamos una vez por cada arquero. El número que salga en el dado es el número de la diana a la que ha disparado ese arquero. Estos son los resultados que me han salido a mí.

Arquero Diana 1 2 2 4 3 1 3 1 4 4 5 4 5 3

Esta simulación da como resultado que a la diana nº 1 sólo le ha llegado una flecha (la del tercer arquero), a la diana nº 2 sólo le ha disparado el primer arquero y a la nº 3, el sexto. A la diana nº 4 le han disparado tres arqueros y a las dianas 5 y 6 no les ha disparado nadie. Si repetimos la simulación nueve veces más tendremos los siguientes resultados.

Arquero D D D D D D D D D D 1 2 3 1 5 3 4 2 1 1 6 2 4 4 4 3 6 3 3 3 6 6 3 1 1 2 5 1 4 2 6 2 1 4 4 3 5 5 5 6 2 6 1 5 5 4 4 1 2 4 5 2 2 1 3 6 3 4 5 4 6 3 4 5 1 5

En el total de las diez pruebas, el número de dianas sin flechas es el siguiente:

Arquero Dianas vacías 1 2 (nº 5 y 6) 2 3 (2, 5 y 6) 3 2 (3 y 6)

5 1 (nº 2)

6 2 (1 y 2)

7 3 (1, 5 y 6)

8 1 (nº 4) 9 3 (3, 4 y 5)

10 2 (2 y 4)

Total 22

Si dividimos el número total de dianas vacías entre el número de pruebas realizadas

22 : 10 = 2'2

obtenemos que el número de dianas vacías oscila entre dos y tres, pero que está más cerca de dos que de tres. Por tanto, la respuesta sería: dos o tres dianas no recibirán ninguna flecha y lo más probable es que sean dos las que se queden vacías. Esta simulación permite aproximarse bastante a la respuesta exacta. Cuantas más pruebas se hagan, mayor aproximación al resultado se obtendrá. En mi caso concreto, hice después otras 10 pruebas y las agregué a las anteriores. El total sobre las 20 pruebas era de 49 dianas vacías, lo que significa que 2'45 dianas no recibieron flechas. Como se ve, el resultado con veinte pruebas se ajusta más al resultado teórico que es

Observaciones

Normalmente, es preciso hacer ver a los alumnos y alumnas que si a los arqueros no se les ha obligado a que, cada uno, dispare a una diana concreta y no se han puesto de acuerdo en el blanco a elegir, es posible que, al disparar cada uno a la diana que haya querido, alguna diana quede vacía de flechas. Simplemente, porque nadie la ha elegido. En clase, se puede efectuar un número muy alto de pruebas, ya que si agrupamos a los alumnos y alumnas en grupos de 3 (o mejor, por parejas) y cada grupo realiza veinte ensayos, el número de pruebas será muy elevado y, es de esperar, que el resultado colectivo se aproxima muchísimo al teórico. También sería interesante poder contar con un programa informático que simulase el problema, puesto que nos permitiría realizar una gran cantidad de ensayos y eso, no cabe duda, mejoraría los resultados.

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Principio del palomar

Descripción

Esta estrategia se basa en la siguiente premisa: Si 11 palomas se meten en un palomar que tiene 10 nidos, indefectiblemente en algún nido debe haber más de una paloma.

Ejemplo

¿Cuántas veces se debe lanzar un dado para tener la absoluta seguridad de obtener una misma puntuación dos veces?

Solución

Al lanzar un dado, los resultados diferentes que se pueden obtener son seis: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Si este "palomar" tiene 6 nidos y queremos tener la seguridad de que "dos palomas se meten en el mismo nido" (obtener dos veces el mismo resultado), será necesario contar con 7 "palomas" (efectuar siete lanzamientos). En efecto, en el peor de los casos, obtendremos resultados diferentes según vayamos lanzando el dado. Pero, eso no puede ocurrir más que en los seis primeros lanzamientos, puesto que el séptimo repetirá necesariamente uno de los resultados anteriores.

Observaciones

En este tipo de problemas, en el que intentamos asegurar un resultado, suelen aparecer respuestas que cuentan con tener suerte en los lanzamientos (o en las pesadas, si se trata de determinar cuál es el objeto que pesa diferente) y, por lo tanto, afirman que en un lanzamiento, o dos, etc. Es preciso insistir mucho, en esos casos, en que se quiere "tener la seguridad absoluta", aún en el peor de los casos.

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Resolver un problema más sencillo

Descripción

Consiste en tratar de resolver el mismo problema con números más sencillos, con menos elementos, etc. De esta forma será más fácil comprender la situación y poder sacar conclusiones aplicables al problema que realmente se nos plantea.

Ejemplo

¿De cuántas formas diferentes se pueden combinar 11 camisetas, 12 pantalones y 8 gorras?

Solución

Resolvamos el problema con números más sencillos. Supongamos que el problema dice "3 camisetas, 4 pantalones y 2 gorras". Las camisetas las denominaremos como c1, c2 y c3, los pantalones como p1, p2, p3 y p4, y las gorras como g1 y g2 (1).

El número de combinaciones camiseta-pantalón que se forman es de:

3 (camisetas) x 4 (pantalones) = 12 combinaciones. Cada una de estas combinaciones se completará con una de las dos gorras. Es decir:

El número toral de combinaciones es:

2 (gorras) x 12 (camisetas con pantalones) = 24 Según esto, el problema inicial (11 camisetas, 12 pantalones y 8 gorras) se resuelve así:

11 x 12 x 8 = 1.056 combinaciones

Observaciones

Esta estrategia se confunde en muchas ocasiones con la de generalizar. Sobre todo, según se va avanzando por los distintos niveles educativos. En Secundaria y en Bachillerato, el tratar de hacer un problema con menos elementos o más sencillos, significa buscar pautas generales que expliquen un comportamiento y que puedan ser aplicables a otras situaciones. Sería, pues, en los cursos altos de Educación Primaria, donde alcanzaría, sin duda, su máxima expresión. Sin embargo, es bueno que la tengamos en cuenta porque hay alumnos y alumnas que emplean ese tipo de razonamiento, aún cuando su intención no sea la de buscar regularidades para extraer una ley general. Por otra parte, es preciso tener en cuenta que la codificación es una técnica auxiliar que permite estructurar el trabajo para darle orden y evitar el realizar cosas sin criterio, con la consiguiente confusión y la posible pérdida de casos y de información. Es evidente que habrá que sugerir al alumnado el uso de formas de codificación hasta que sea una herramienta incorporada a su bagaje de resolutores de problemas. Uno de los inconvenientes que puede encerrar esta estrategia es que se llegue a confundir el problema más sencillo que se realiza como paso intermedio, con el problema en sí que se nos había planteado. Por ese motivo, conviene que el profesor o profesora esté muy atento a que esto no se produzca. En definitiva, es hacer permanentemente conscientes a los alumnos y alumnas del "para qué" se hace cada cosa y cuál es, en realidad, el problema que hay que resolver.

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Hacer un dibujo

Descripción

Consiste en representar, dibujar o esquematizar la situación descrita por el problema. La contemplación del aspecto gráfico del problema (allí donde lo haya) contribuye a la mejor comprensión del mismo.

Ejemplo

Los sauces Una empresa de acondicionamientos de jardines recibe un día el encargo de modificar el estanque de un jardín. Los clientes desean que su estanque cuadrado, siga siendo cuadrado, pero quieren que se duplique su superficie. Sin embargo, hay un inconveniente: en cada esquina del estanque crece un sauce llorón y, por supuesto, los dueños del jardín desean que sus sauces permanezcan donde están. ¿Es posible cumplir el

encargo o no?

Solución

El dibujo de la situación podría ser así:

Sí es posible cumplir el encargo si se construye el estanque de forma que cada vértice del cuadrado antiguo coincida con la mitad de cada uno de los lados del nuevo.

Observaciones

También en esta estrategia se puede sacar partido de la simetría de la figura. Si se trazan las diagonales del primer cuadrado, se puede llegar a percibir que el cuadrado se duplica si, por cada triángulo (de los formados al trazar las diagonales), se dibuja otro igual. Para lo cual, cada lado actúa como eje de simetría. El simple hecho de dibujar una situación no garantiza que se llegue a resolver el problema, pero sí ayuda a clarificar las cosas.

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Estudio de casos

Descripción

Consiste en analizar todos los casos posibles que se puedan dar en una situación determinada o todas las posibles soluciones. Los campos del azar y de la lógica generan muchos problemas en los que se puede aplicar esta estrategia.

Ejemplo

El problema de Galileo El príncipe de Toscana preguntó a Galileo: - ¿Por qué cuando se lanzan tres dados, obtenemos con más frecuencia la suma 10 que la suma 9, aunque ambas cantidades se pueden obtener de 6 maneras distintas cada una?

Solución

La afirmación del príncipe de Toscana contiene un error. El error radica en creer que la suma 9 (o la suma 10) se obtiene sólo de seis maneras, ya que eso supone asimilar este problema a la descomposición del número 9 (o 10) en tres sumandos. Desde ese punto de vista, nueve sólo se puede descomponer en tres sumandos de seis maneras.

1 + 2 + 6 1 + 3 + 5 1 + 4 + 4 2 + 2 + 5 2 + 3 + 4 3 + 3 + 3

Y lo mismo ocurre con la suma 10:

1 + 3 + 6 1 + 4 + 5 2 + 2 + 6 2 + 3 + 5 2 + 4 + 4 3 + 3 + 4

Pero, no se trata de descomponer en sumandos, sino de obtener mediante dados y, según eso, no es lo mismo la posibilidad

1 - 4 - 5 que la posibilidad

1 - 5 - 4 Si queremos saber por qué sale más veces la suma "10", debemos hacer todos los casos posibles en los que se obtiene 9 y en los que se consigue 10. Dado 1 Dado 2 Dado 3 Suma

Dado 1 Dado 2 Dado 3 Suma 1 2 6 9 1 3 6 10 1 3 5 9 1 4 5 10 1 4 4 9 1 5 4 10 1 5 3 9 1 6 3 10 1 6 2 9 2 2 6 10 2 1 6 9 2 3 5 10 2 2 5 9 2 4 4 10 2 3 4 9 2 5 3 10 2 4 3 9 2 6 2 10 2 5 2 9 3 1 6 10 2 6 1 9 3 2 5 10 3 1 5 9 3 3 4 10 3 2 4 9 3 4 3 10

3 3 3 9 3 5 2 10 3 4 2 9 3 6 1 10 3 5 1 9 4 1 5 10 4 1 4 9 4 2 4 10 4 2 3 9 4 3 3 10 4 3 2 9 4 4 2 10 4 4 1 9 4 5 1 10 5 1 3 9 5 1 4 10 5 2 2 9 5 2 3 10 5 3 1 9 5 3 2 10 6 1 2 9 5 4 1 10 6 2 1 9 6 1 3 10

25 posibilidades

6 2 2 10

6 3 1 10

27 posibilidades

Observaciones

A la hora de elaborar la nómina de todos los casos posibles, es muy importante la sistematización del trabajo, puesto que resulta fácil equivocarse y perder o duplicar posibilidades. A muchas personas les sorprende la idea de que 1 - 4 no sea la misma posibilidad que 4 - 1. Pero, así es. Es preciso que diferencien entre el resultado final y la forma de obtenerlo. Si en la clase aparece este tipo de rechazo, se puede plantear que realicen, como actividad de grupo el lanzamiento simultáneo de dos monedas (no deja de ser una variante del problema de Galileo) y que anoten los resultados. Si se efectúa un número suficientemente elevado de lanzamientos se obtendrá muchas más veces el resultado de "una moneda sale cara y la otra sale cruz" (el doble de veces) que el resultado "dos caras" o el resultado "dos cruces". La explicación es sencilla: sólo hay una forma de conseguir "dos caras" (cara-cara) y una sola manera de conseguir "dos cruces" (cruz-cruz), pero el resultado "una cara y una cruz" se puede obtener de dos formas (cara-cruz y cruz-cara).

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