estrategias para resolver problemas polya

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS CURSO DE FUNDAMENTOS MATEMTICOS Y DESARROLLO DE COMPETENCIAS Lic. JOHN FAIBERT QUINTERO

SESIN 4: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIN DE PROBLEMASBasado en los aportes deGeorge PlyaGeorge Plya naci en Hungra en 1887. Su enseanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento an ms que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Las aportaciones de Plya incluyen ms de 250 documentos matemticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solucin de problemas. El Mtodo de Cuatro Pasos de Plya. Este mtodo est enfocado a la solucin de problemas matemticos, por ello nos parece importante sealar alguna distincin entre ejercicio y problema. Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no haba ensayado antes para dar la respuesta. Esta caracterstica de dar una especie de paso creativo en la solucin, no importa que tan pequeo sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio. Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemticas: Nos ayuda a aprender conceptos,propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas. A continuacin se presenta una sntesis del mtodo de los cuatro pasos de Plya: Paso 1: Entender el Problema. 1.- Entiendes todo lo que dice? 2.- Puedes replantear el problema en tus propias palabras? 3.- Distingues cules son los datos? 4.- Sabes a qu quieres llegar? 5.- Hay suficiente informacin? 6.- Hay informacin extraa? 7.- Es este problema similar a algn otro que hayas resuelto antes? Paso 2: Configurar un Plan. Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final). 1.- Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). 2.- Usar una variable.

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3.- Buscar un Patrn 4.- Hacer una lista. 5.- Resolver un problema similar ms simple. 6.- Hacer una figura. 7.- Hacer un diagrama 8.- Usar razonamiento directo. 9.- Usar razonamiento indirecto. 10.- Usar las propiedades de los Nmeros. 11.- Resolver un problema equivalente. 12.- Trabajar hacia atrs. 13.- Usar casos. 14.- Resolver una ecuacin. 15.- Buscar una frmula. 16.- Usar un modelo. 17.- Usar anlisis dimensional. 18.- Identificar sub-metas. 19.- Usar coordenadas. 20.- Usar simetra. Paso 3: Ejecutar el Plan. 1.- Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma accin te sugiera tomar un nuevo camino. 2.- Concdete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes xito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (puede que se te prenda el foco cuando menos lo esperes!). 3.- No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al xito. Paso 4: Mirar hacia atrs. 1.- Es tu solucin correcta? Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? 2.- Adviertes una solucin ms sencilla? 3.- Puedes ver cmo extender tu solucin a un caso general? Comnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. As, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa smbolos matemticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta.

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ACTIVIDAD DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS Problema 1Los litros de gasolina suministrados en una estacin de servicio en relacin con la hora del da, vienen reflejados en el grfico. Responde a las siguientes cuestiones: a.- En qu hora del da se vende ms combustible? b.- Cuntas horas al da el resultado de la venta es 0? c.- Cuntos litros de combustible se sirvieron desde las 15 a las 20 horas, incluyndolas? d.- Cuntos litros de combustible se vendieron en todo el da?

Problema 2

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Problema 3:Divide el cuadrado, mostrado en la figura, en cuatro partes congruentes (iguales en forma y tamao) de modo que en cada parte contenga una carita verde y una carita roja, aunque no necesariamente en las mismas posiciones.

Problema 4:Dos entrenadores entrenan un equipo durante las 2 ltimas semanas de Febrero, antes del campeonato. Entre los dos cobran por ello 630 Euros. Luis trabajo 9 das y Marcial el resto del tiempo y se reparten el dinero proporcionalmente al trabajo.

a.- Cunto le corresponder a Luis? b.-Cunto le corresponder a Marcial?

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Problema 5:

Una habitacin tiene 6 m de largo, por 2,4 de ancho y 2,4 de alto. Una mosca, que ha perdido un ala, se encuentra en el medio de una de las paredes cortas a 20 cm del techo, mientras que en el medio de la pared opuesta, a 20 cm del suelo, se encuentra una araa que ha decidido ir a comrsela Cul es el camino ms corto para que la araa consiga alcanzar su presa?

Problema 6:

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Salario Ao (millones de pesos) 1997 3.25 1998 3.325 1999 3.335 2000 3.74 2001 3.2 2002 3.58 2003 3.78 2004 3.448 2005 4.0 2006 3.95 2007 3.61 2008 3.54 Problema 7: Salarios de empleados 2009 3.75 2010 3.8 La tabla siguiente muestra el salario promedio pagado a los empleados de la 2011 3.69 empresa Smith, SA, en los ltimos 15 aos. Un peridico local ha solicitado a la seora Smith, la gerente de la empresa, que suministre un grfico de barras mostrando el salario promedio de los empleados en los ltimos 15 aos. Si usted fuera la gerente, cmo diseara la escala vertical del grfico de barras para maximizar la apariencia de los aumentos del salario promedio? Cmo diseara el grfico de barras si el objetivo fuera enfatizar la estabilidad de la empresa? Si usted fuera un observador externo, cmo diseara el grfico para representar en forma precisa el cambio en los salarios promedio? Muestra tus soluciones.

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Problema 8:Las tres cuartas partes de la edad de Juan exceden en 15 aos a la edad de su hijo. Hace cuatro aos la edad de Juan era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.

Problema 9:En una librera, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cmic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librera tena 12 . Cunto dinero tena Ana?

Problema 10:Un depsito est lleno el domingo. El lunes se vacan sus 2/3 partes, el martes se gastan 2/5 de lo que quedaba y el mircoles 310. Si an qued 1/10, cul era la capacidad del depsito?

Problema 11:Un ciclista que va a 32 km/h pretende alcanzar a otro ciclista que va a 28 km/h y le lleva una ventaja de 8 km. Cunto tiempo tardar en hacerlo y qu distancia recorrer hasta conseguirlo?

Problema 12:Un autobs sale de Pueblo Hediondo hacia Pueblo Tapao a 55 km/h. Simultneamente sale de Pueblo Tapao hacia Pueblo Hediondo un coche a 88 km/h.

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La distancia entre Pueblo Hediondo y Pueblo Tapao es de 221 km. Calcula la distancia que recorre cada uno hasta que se cruzan.

Problema 13:La suma de las edades de cuatro miembros de una familia es 118 aos. El padre es 4 aos mayor que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 23 aos. Cul es la edad de cada uno?

Problema 14:Se Tiene una barra de chocolate de tamao 7 por 9. Cul es el mnimo nmero de veces que debe partirse la barra para obtener 63 cuadritos de chocolate de tamao 1 por 1? (puedes romper solamente un pedazo cada vez, y en lnea recta).

Problema 15:Un caracol quiere salir del fondo de un pozo de 15 metros de profundidad. Durante el da, el caracol sube 3 metros, pero durante la noche resbala 2 metros. A la maana siguiente continua su ascenso desde el lugar donde despierta. Cuntos das tarda en salir del pozo?

SESIN 5: EL CONCEPTO DE FUNCINA continuacin te invito a leer detenidamente y de esta manera comprender esta gua que forma parte del curso de fundamentacin matemtica, a realizar las actividades sugeridas, a preguntar cuando tengas alguna duda y a prepararte para aportar tus ideas cuando tengas la oportunidad en la puesta en comn junto a tus compaeras. En el mundo en que vivimos muchas cosas suelen presentarse en cantidades variables: kilos de manzanas, $ boletos de microbuses, mm de agua cada, etc.Adems podemos tambin observar que muchas veces una cantidad depende de otra, hay relaciones de interdependencia entre ellas. Por ejemplo:

y y y

La cantidad de combustible que consume un vehculo depende de la distancia recorrida. La temperatura ambiente depende del instante que la midamos. La cuenta de luz a fin de mes depende de la cantidad de electricidad que se ha consumido.

Tambin podramos interpretar dependencia como fusionada. Es decir, la cantidad de combustible que se consume est fusionado con la distancia recorrida.Como la cantidad de combustible a consumir depende de la distancia a recorrer y adems se puede determinar cuntos litros se necesitan para viajar una determinada distancia (conociendo previamente el rendimiento que tiene el vehculo).

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Se puede afirmar entonces que la cantidad de combustible est en funcin de la distancia a recorrer (o viceversa). La variable cantidad de combustible depende de la variable distancia a recorrer. Imaginmonos que se tiene un auto que da 14 km por litro de bencina (con 1 litro de bencina puedo recorrer 14 km) . Con esta informacin te invito a llenar la siguiente tabla: Y (litros de gasolina) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 X ( distancia en km) 0 7 14 21 35 49 63

La tabla que has completado corresponde a una forma de mostrar los datos que corresponden a esa funcin. Este mtodo recibe el nombre de Tabla de valores y corresponde a un registro de la funcin.

Otroregistro para la misma funcin corresponde al conocido Diagrama Sagital, donde los datos se mostraran de la siguiente manera:

X 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Y 0 7 14 21 28 35 42

Otro registro es la representacin de la funcin en un conjuntoentre llaves, denominado grafo, como sigue: F = {(0,0); (0.5;7); (1,14); (1,5;21); (2,28); (2,5;35); (3,42); (3,5;49); (4,56); (4,5;63); (5,70)} Se entiende por el punto (1,14) que para 1 litro de bencina se puede recorrer con el vehculo 14 km.

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Nota: Para los distintos registros es conveniente definir los conjuntos de referencia (ms adelante te dars cuenta por qu). Y por ltimo, uno de los registros ms importante sera la Representacin Cartesiana, donde lo que se hace es ubicar los puntos mencionados antes en el plano cartesiano, donde el eje X (Eje de abscisas) representa al conjunto de litros de bencina y el eje Y (Eje de ordenadas) el conjunto de distancias recorridas. Observa:

Nota:En el diagrama, se han unido los puntos del grfico y eso se ha dado porque tiene sentido pensar, por ejemplo, que con 1,8 litros de gasolina puedo recorrer 25,2 km. Esto no se mencion como dato pero puede darse en la realidad. Si observamos este registro, el grfico es una lnea recta que nace en el origen del sistema. Ntese que a ms litros de bencina ms km a recorrer o viceversa. Si recuerdas lo que estudiamos en la gua 1, ese anlisis corresponde a una covariacin proporcional ___________________________(completa con la palabra). Por lo tanto, se puede concluir que las primeras funciones que hemos estudiado han sido las proporciones.

PREPARA TU PUESTA EN COMN Para realizar esta actividad nete auna compaera ms y desarrolla las siguientes actividades: 1) Una funcin se puede representar en distintos registros. Ellos son:

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2) Hay un registro que no se mencion, corresponde a escribir la frmula o ecuacin que genera los datos del problema que hemos usado de modelo. Esta ecuacin debe llevar la x, y, cuando sea necesario. Debe ocurrir que al reemplazar un valor en ella y hacer los clculos debe dar el valor que le corresponda.Si recordamos: X

p Y0 14 28 42 56

X 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5

pY p7 p 21 p 35 p 49 p 63 p

0p 1 2 3 4

p p p p

... p

Entonces, y = Entonces, y =

Analiza la situacin dada y responde: A. De qu otra forma se podra escribir la ecuacin anterior?

B.

Si el rendimiento del vehculo hubiera sido 10 km por litro. Cul sera la ecuacin asociada al problema con la consideracin mencionada recin?

C.

Si la ecuacin asociada al problema hubiera sido y = 18 x, vehculo?

podras decir el rendimiento del

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D. Cuntos km recorrera con 27 litros de gasolina? Cuntos litros de bencina necesita para ir de Cali a Buenaventura, si nos separan 186 Km?

TRABAJO AUTNOMO INDIVIDUAL Para realizar esta segunda parte te invito a realizar las siguientes actividades: A.- Ahora ya empezaremos a definir los conjuntos que se estn considerando para que de a poco te des cuenta de la importancia de conocerlos. Los conjuntos a considerar son A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}.Visualiza distintos ejemplos en este registro:

1)

2)

3)

3)

4)

5)

Se afirma que slo 1), 2) y 4) son diagramas que corresponden a funciones. Por qu ser?Por qu los diagramas mostrados en 3) y 5), se dice que no son funciones, que slo representan una relacin? Anota tus conclusiones:

B.- Analiza distintos ejemplos en este registro, donde X = {1, 2, 3} e Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}: Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4 Tabla 5

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X 1 2 3

Y 2 4 6

X 1 2 3

Y 4 4 4

X 1 2 3

Y 1 2 3

X X 1 2 3 3 Y 4 4 2 1 1 1

Y 1 2

Puede afirmarse que las tablas 1, 2 y 3 representan funciones. A qu se deber que la tabla 4 y la tabla 5 no se consideren funciones? Anota tus conclusiones:

C.- Analiza las siguientes situaciones: a) Sombra de un rbol ( altura del rbol y su sombra) b) El volumen de una caja (medida de la arista y su respectivo volumen) c) Restriccin vehicular (da y el trmino de las patentes de los vehculos) Se puede afirmar que a) y b) corresponden a funciones. Por qu c) no lo es? Anota tus conclusiones:

D.- Analiza ejemplos siguientes en el registro grfico: 1) 2) 3) 4)

Puede indicarse que las grficas 1) y 4) corresponden a funciones. Qu ocurre con las grficas de aquellas que no se consideran funciones?Anota tus conclusiones:

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ACTIVIDAD PARA LABORATORIO DE COMPUTACIN(para estudiantes de grados 9 y 10) A.- Para realizar esta actividad utiliza el computador. Para ello debes utilizar el programa Graphmatica, que puedes descargar en forma gratuita desde Softonic.

Utilizando el programa que se menciona, escribe cada una de las ecuaciones que a continuacin se dan y en tu cuaderno realiza un bosquejo de la grfica que te entrega la pantalla. (Estamos utilizando el ltimo registro estudiado, el que corresponde a la ecuacin de una determinada figura que segn como sea podremos decir si es o no una funcin): a) y = x f) y = log x k) x2 + y2 = 4 b) y = x2 g) y = 2 l) y = x 1 c) y = -3x+2 h) x = 3 d) y = x3 i) y = sin x e) y = 2x j) y = x2+2x+1 n) x = y2 2y +3

m) [|x + 1| = abs(x+1)]

Una vez que tengas los bosquejos analiza si esas grficas corresponden o no a funciones:

SESIN 7: MEDICIN DE ANGULOSExiste una unidad universal para medir ngulos, esta unidad de medida se llama grado.Si dividimos una circunferencia en 360 partes iguales, cada una de esas partes es un grado.

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Para medir se construy un instrumento llamado transportador. Cmo se usa? Debes poner el centro del transportador en el vrtice del ngulo y el cero en uno de los lados del ngulo. 45 La medida de este es de 450 180 0

Observa

Cul de estos ngulos tiene mayor medida?

Si los mides con tu transportador te dars cuenta que los dos miden 300, o sea, tienen igual medida. Conclusin:El largo de los lados de un ngulo no influye en su medida, lo importante es la abertura entre los lados. .

ACTIVIDAD 1) Usa tu transportador para medir cada uno de los siguientes ngulos.

m E=

E F2) Sea CAN un ngulo cualquiera. Cpialo aqu usando regla y

m F=

comps

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N

A C3) Construye un ABC, tal que m ABC = 650 Luego clasifcalo.

3)

Nombra los siguientes ngulos y sin usar tu transportador, anota cuales son agudos, obtusos, rectos o llanos.

I

II

III

IV

V

VI

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NGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE Son los que se forman al prolongar los lados de un ngulo ms all del vrtice.

H EF J

Ees opuesto por el vrtice con F;

H es opuesto por el vrtice con J.

Los ngulos opuestos por el vrtice son de la misma medida.

NGULOS CONTIGUOS Son los que tienen un lado comn y su vrtice comn.

NGULOS ADYACENTES Son ngulos contiguos, con dos de sus lados formando una lnea recta (180).

EJERCICIOS SOBRE NGULOS1) Calcula el complemento de un que mide 140 28 . 2) Si la mE = 18039 58 , su complemento es

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6)Calcular el suplemento deG si la mG 10 20 3) Si la mF = 740 18 . El complemento de F es

=

900

8)Calcular el suplemento deH si la mH= 1450 27

4) Si la mG = 450 79 85 . Su complemento es 9) Calcular el suplemento deI si la mI = 1750 2

5) Calcular el suplemento deE si la mE=1450 27 15

10) Calcular el complemento y suplemento de los siguientes ngulos a) mE = 270 48 6

6) Calcular el suplemento deF 47015 12

si la mF

=

b) mF = 580 24 38

c) mG

=

870

58

38

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11) Mide los siguientes ngulos y clasifcalos

EF

G

mE =

mF =

mG =

12) Dibuja un ngulo obtuso, uno agudo y uno recto.-

13) Dibuja un ngulo de 500, otro de 900, y otro de 1200.

14) Complemento de un ngulo es____________________________________________ 15) ngulos complementarios son___________________________________________ 16) Dibuja el complemento de un ngulo agudo cualquiera.17) Suplemento de un ngulo es_______________________________________________

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18) ngulos suplementarios son_______________________________________________

PREGUNTAS DE SELECCIN MLTIPLE1) Si alfa = 250. Calcular el complemento de alfa. a) 750 b) 650 c) 1550 d) 1000 e) 250

2) Calcular el suplemento del complemento de 500. a) 400 b) 1400 c) 900 d) 1300 e) 600

3) Alfa y Beta son complementarios. Si Alfa es el doble de Beta. Cunto mide Alfa? a) 600 b) 300 c) 1200 d) 1800

e) Otro

4) Alfa y Beta son suplementarios. Si Alfa es 5 veces Beta Cunto mide Beta? a) 300 b) 1500 c) 600 d) 800 e) 450

5) Alfa y Beta son suplementarios. Si Alfa es 6 veces Beta Cunto mide Alfa? a) 1250 b) 27,50 c) 25,70 d) 154,20 e) 1500

6) AB B BC. Si el ABD es la tercera parte del DBC. Cunto mide el ABD? Ver grfico. a) 450 b) 22,50 c) 300 d) 500e) 800

A

D

C B 7) A, B, C, colineales. BD bisectriz del ngulo ABC; BE bisectriz del ngulo ABD. E D

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BF bisectriz del ngulo EBD Cunto mide ABF? a) 200 b) 450 c) 22,50 d) 67,5 e) 900 F

aA B C

8) Determinar el valor del ngulo Alfa. a) 300 E 2E3E b) 450 c) 600 d) 900f) otro

9) Determinar el valor del ngulo cuyo suplemento es igual a la mitad de su complemento. a) 22,50 b) 500 c) 300 d) 600 e) otro

10) La medida de un ngulo es 5 veces la medida de su complemento. Encontrar la medida del ngulo.a) 750 b) 150 c) 1500 d) 300 e) otro

11) La medida del suplemento de un ngulo es 5 veces la medida del complemento del mismo ngulo. Encontrar la medida del ngulo. a) 67,50 b) 22,50 c) 112,50 d) 1350 e) N.A.

12) Si el ngulo E = 630 el ngulo F = 1170 Qu puede concluirse acerca del ngulo Ey del nguloF? a) Suplementarios d) Correspondientes b) Complementarios e) Otro c) Opuestos por el vrtice

13) Si 2 ngulos suplementarios tienen medidas iguales Cul es la medida de cada ngulo? a) 900 y 600b) 450 y 450c) 900 y 900d) 600 y 600 e) Otro

14) Si la medida de un ngulo es 3 veces la medida de su suplemento Cul es la medida del ngulo? a) 450 b) 1350 c) 900 d) 600 e) 0tro

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15) La medida de un ngulo es 240 ms que la medida de su suplemento. Encontrar la medida de cada ngulo. a) 780 b) 1020 c) 730 d) 1070 e) Otro

16) Si la medida de un ngulo es 2 veces la medida de su complemento Cul es la medida de cada ngulo? a) 900 b) 1200 c) 300 d) 600 e) Otro

17) Si E = 850; I = 300 Determinar la medida del ngulo F. a) 1050 b) 650c) 850 e) Otro EFI d) 300

18) En el vrtice del nguloE, se han trazado 2 rayos perpendiculares. Cunto sumarnel ngulo F (formado por estos rayos) y el ngulo E? Por qu razn? Por lo tanto EF son ngulos__________________ E

F

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