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aletosFísica para Ciencias e Ingeniería

CAPÍTULO 1.01

VECTORES1

1.1 Introducción

Hay ciertas propiedades físicas que quedan completamente determinadas en un sistema de unidades, dando sola-mente un número, que es la medida de dichas propiedades.

Por ejemplo, la masa y la energía de una partícula, la temperatura de un cuerpo, la presión de un gas.Estas magnitudes físicas reciben el nombre de magnitudes escalares, o simplemente escalares.Existen, sin embargo, otras propiedades que no quedan determinadas dando solamente un número.Si decimos que una partícula se desplaza con una velocidad de 2m/s., no estamos dando una información com-

pleta del fenómeno. Para que quede totalmente caracterizado el movimiento debemos indicar en qué dirección semueve y en qué sentido.

Si un disco gira en torno a un eje, para que su movimiento quede totalmente determinado es preciso saber cuáles el eje de giro, por medio de una dirección, en qué sentido gira, y además el valor numérico de su velocidad angu-lar.

Estas magnitudes se denominan magnitudes vectoriales, o simplemente vectores.Los vectores que que no están ligados a ningún sentido de rotación se denominan vectores polares, mien-tras que aquéllos que están relacionados con un sentido de giro se denominan vectores axiales.

Vectores polares son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, y muchas otras que irán apareciendo en el estudio dela Física.

Vectores axiales son: la velocidad angular, la aceleración angular, el producto vectorial de dos vectores, y ademásde otros muchos, todas las magnitudes que se definen a partir de un producto vectorial de dos vectores, tales comoel momento de una fuerza, el momento angular, etc.

Los vectores se representan, prescindiendo de su propiedad física, por medio de segmentos orientados en el espa-cio. Son los llamados vectores matemáticos que se estudian siguiendo unas leyes geométricas.

Estas leyes nos permiten describir con una gran sencillez las propiedades físicas de las magnitudes vectoriales.

1.2 Vectores

Las propiedades que suelen citarse normalmente para caracterizar a un vector son:

a,La forma gráfica de representar un vector, es, por ejemplo, y su módulo, se expresa por

a

,

o simplemente, por a

Para poder definir una magnitud física que pueda incluirse en una formulación matemática es necesario estable-cer la igualdad y la suma de dos representantes de dicha magnitud.

Un vector es, desde el punto de vista geométrico, un segmento orientado en el espacio.

módulo, que es la longitud del segmento que lo representa, y que expresa, empleando una escala adecua-da, el valor o medida de dicha magnitud.dirección, que queda determinada por la recta que contiene a dicho segmento.sentido, que queda determinado por la flecha del segmento.

Sin embargo, no suele mencionarse el punto de aplicación, u origen del vector, y en ocasiones, como se verá luego,puede ser un factor decisivo para diferenciar un vector de otro. Tampoco suele mencionarse el extremo del vectorque corresponde a la punta de la flecha que lo representa.

a

FIG. 1-1

En estas páginas, por razones de tipografía, cuando se mencione un vector en las líneas de un párrafo, se repre-sentará en tipo negrita, y su módulo en tipo cursiva.

Y cuando esté formando parte de una fórmula, se representará como se ha indicado anteriormente.

1.3 Igualdad de vectores

a

aDos vectores son, geométricamente iguales, cuando tienen igual módulo, dirección y

sentido.No se debe olvidar que dos rectas tienen igual dirección cuando son paralelas. Pero a la hora de establecer la igualdad de vectores hay que tener cuidado con dedu-

cir conclusiones erróneas. FIG. 1-2

No se debe confundir la igualdad geométrica con la igualdad física.


CAPÍTULO 1.01

VECTORES2

1.4 Suma de vectores

Supongamos que una partícula efectúa un desplazamiento a partir del punto Ohasta el punto A, representado por el vector s1 y a continuación un nuevo desplaza-miento desde A hasta B, representado por el vector s2.

Evidentemente, el desplazamiento total es OB, representado por el vector s.De la figura 1.3 se deduce que el desplazamiento total o suma de los desplaza-

mientos s1 y s2, se obtiene gráficamente uniendo el origen O del vector s1 con elextremo B del vector s2.

Expresaremos la suma en la forma:

FIG. 1-3

Por ejemplo, la condición de igualdad anterior, puede no ser válida físicamente, si consideramos dos fuerzas deigual módulo, dirección y sentido, aplicadas a puntos diferentes de un sólido rígido.

Como se verá en el tema dedicado al momento de una fuerza, los efectos producidos pueden ser muy diferentes,y por tanto, aunque sean geométricamente iguales, no lo son físicamente.

Por consiguiente, el punto de aplicación de un vector, que suele olvidarse frecuentemente al mencionar sus carac-terísticas, puede ser decisivo a la hora de sacar conclusiones.

s1

s2

s1

s2

s

O

OA

B

B

A

s= s

1

+s

2

Hay otra forma de obtener el vector suma:A partir del punto O se trazan dos vectores de igual dirección y sentido que s1 y

s2; a continuación se dibuja a partir del extremo de s1 un segmento paralelo a s2, ypor el extremo de s2, un segmento paralelo a s1.

El vector suma es el vector que se obtiene trazando la diagonal OB. s1

s2

sO

B

FIG. 1-4

Para sumar varios vectores es preferible utilizar el primer método: A partir del extremo del pri-mer vector se traza un vector de igual dirección y sentido que el siguiente sumando, y así sucesi-vamente.

El vector suma es el vector que se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del últi-mo.

s1

s

3

s2

s4

s

5

s

FIG. 1-51.5 Propiedades de la suma de vectores

Se puede comprobar geométricamente de una forma inmediata que la suma de vectores tiene la propiedad con-mutativa

a+b=b+a

y la propiedad asociativa:

a+(b+c)= (a+b)+c

[1.2]

[1.3]

1.6 Vector nulo

Es un vector que cumple la condición:

0+a=a

cualquiera que sea el vector a.El vector nulo se caracteriza por no tener una dirección ni un sentido determinados y cuyo módulo es:

0

= 0

1.7 Vector opuesto a uno dado

[1.4]

Dado un vector a siempre es posible encontrar otro vector b, tal que, sumado con el anterior,dé como resultado el vector nulo:

a+b= 0

de donde se deduce que,

b= −a

a

b= −a

FIG. 1-6

[1.1]

[1.5]


CAPÍTULO 1.01

VECTORES3

El vector opuesto a uno dado tiene su misma dirección y módulo pero sentido contrario.

1.8 Sustracción de vectores

De la figura 1.3, y de la relación [1.1] se deduce que,

s2

= s− s

1

de modo que el vector diferencia entre dos vectores dados, es un vector que tiene por origen el extremo del sustraen-do, y por extremo, el extremo del minuendo.

1.9 Multiplicación de un vector por un escalar

El producto de un vector a, por un escalar λ, es, por definición, otro vector de igual dirección que a, cuyo módu-lo es λ veces el módulo de a, y cuyo sentido es el mismo que el de a, si λ es positivo, y de sentido contrario si λ esnegativo.

Se puede demostrar geométricamente de una forma muy sencilla que esta operación tiene la propiedad distribu-tiva:

λ(a+b)= λa+ λb

[1.6]

1.10 Vector unitario

Si tomamos un escalar λ que sea igual al inverso del módulo de un vector

λ =1

a =

1a

el vector λa, según la definición del producto de un vector por un escalar, es otro vector de igual dirección y senti-do que a, puesto que λ es positivo, y cuyo módulo es:

λa= λ a

=1a×a = 1

Un vector de estas características recibe el nombre de vector unitario en la dirección de a, y se representa

De la definición se deduce que el vector a se puede expresar en la forma: u

a

.por

a=au

a

[1.7]

1.11 Componentes de un vector en el plano

Se llaman componentes de un vector dado a, a dos vectores b y c, coplanarios con él, que, sumados, den el vec-tor a.

Si no se impone ninguna condición a los sumandos, hay infinitas soluciones para hallar b y c. Sin embargo, si sefijan de antemano las direcciones de b y c, siendo coplanarias con a, la solución es única.

Tiene particular interés el caso en que las direcciones de los vectores componentes son perpendiculares entre sí.Si tomamos estas direcciones como ejes coordenados en el plano, y como origen de coordenadas, el origen del vec-

tor a, se puede expresar que:

FIG. 1-7

a=a

x

+a

y

[1.8]

y, si llamamos i y j, respectivamente, a los vectores unitarios en las direccionesde los ejes OX y OY, se puede escribir:

a=a

x

+a

y

=a

xi+a

yj

Los escalares ax y ay reciben el nombre de componentes rectangulares del vec-tor a en el sistema de coordenadas OX y OY.

ax

a

y

i

j

O X

Y

a

Es frecuente denominar también a los vectores unitarios según los ejes de coordenadas, u

x

y u

y


CAPÍTULO 1.01

VECTORES4

1.12 Componentes de un vector en el espacio

Nos interesa en particular el caso en que las direcciones de los vectores componentes son perpendiculares entresí, formando un triedro trirrectangular XYZ.

Este triedro de referencia se tomará siempre de manera que, si imaginamos un sacacorchos, o un tornillo, situa-do perpendicularmente al plano XY, y se le hace girar desde el semieje positivo OX hacia el semieje positivo OY porel camino más corto, el sacacorchos, o el tornillo, avance en el sentido positivo del eje OZ.

Análogamente, si imaginamos el sacacorchos, o un tornillo, situado perpendicularmente al plano YZ, y se le hacegirar desde el semieje positivo OY hacia el semieje positivo OX por el camino más corto, el sacacorchos, o el torni-llo, avance en el sentido positivo del eje OX.

Y, por último, si imaginamos el sacacorchos, o el tornillo, situado perpendicularmente al plano XZ, y se le hacegirar desde el semieje positivo OZ hacia el semieje positivo OX por el camino más corto, el sacacorchos, o el torni-llo, avance en el sentido positivo del eje OY.

Un triedro de esta naturaleza recibe el nombre de triedro positivo o dextrógiro.

a

z

Si situamos un vector, a con su origen en el origen de un triedro posi-tivo, y proyectamos el vector a sobre el plano XY, obtenemos el vectora’. Trazando por el extremo de a un segmento paralelo a aʼ, determinasobre el eje OZ un segmento az, que es el módulo de un vector az tal que

a=a '+a

z

y a su vez, descomponiendo el vector aʼ en sus componentes según losejes OX y OY,

a=a

x

+a

y

+a

z

FIG. 1-8

[1.9]

Si ahora designamos por i, j, y k, a los vectores unitarios según los ejescoordenados, OX, OY y OZ, respectivamente,

a=a

xi+a

yj+a

zk

a

a

x

a

y

a '

O

X

Y

Z

j

i

k

[1.10]

1.13 Producto escalar de dos vectores

A lo largo del desarrollo de la Física, a la vista de ciertas expresiones que han ido apareciendo frecuentemente alestudiar algunas propiedades de magnitudes vectoriales, se ha visto la necesidad de adoptar nuevas definiciones paracaracterizar dichas expresiones. Una de ellas es el producto escalar de dos vectores.

Se llama producto escalar de dos vectores al escalar definido como:

a⋅b=a.b.cos θ [1.11]

siendo θ el menor ángulo formado por los vectores a y b.El producto escalar es conmutativo:

b⋅a=b.a.cos (−θ)=a.b.cos θ =a

⋅b

y tiene la propiedad asociativa respecto de la multiplicación por un escalar:

λ(a⋅b)= λ(a.b.cos θ)= (λa).b.cos θ = (λa

).b

λ(a.b.cos θ)=a(λb).cosθ =a⋅(λb)

Si los vectores a y b son perpendiculares entre sí, el producto escalar es nulo:

a⋅b=a.b.cos 90º= 0

de modo que la condición para que dos vectores sean perpendiculares es que su producto escalar sea nulo.

El módulo de un vector se puede expresar como la raíz cuadrada del producto escalar por sí mismo:

[1.12]

a⋅a= a.a.cos 0º = a 2 =a [1.13]


CAPÍTULO 1.01

VECTORES5

Es útil en algunas ocasiones expresar el producto escalar de dos vectores en laforma:

FIG. 1-9

a⋅b=

a.b.cos θ =a.(b.cos θ)=a.proyección ba

a.b.cos θ =b.(a.cos θ)=b.proyección ab

[1.14]

a

b

θ

Si el vector b es un vector unitario en un determinada dirección,

a⋅u=a.1.cos θ =a cos θ = proyección a

u

que es, precisamente, la componente del vector a en la dirección de u.

1.14 Propiedad distributiva del producto escalar

El producto escalar tiene la propiedad distributiva respecto a la suma de vectores:

(a+b) ⋅c= a⋅c+b⋅c

[1.16]

La demostración se basa en una conocida propiedad geométrica:La proyección de una línea poligonal abierta sobre una dirección dada es la suma de las proyecciones sobredicha dirección de cada componente de la línea poligonal.

proyección (a

+b)c= proyección a

c

+ proyección b

c

[1.15]

y según [1.15], cada término de la igualdad anterior se puede escribir en la forma:

proyección (a+b)c= (a+b) ⋅u

c

proyección ac

=a⋅u

c

proyección bc

=b⋅u

c

siendo u

c

un vector unitario en la dirección del vector c

y en su mismo sentido.

[1.17]

Sustituyendo las relaciones [1.18] en [1.17]:

[1.18]

(a+b) ⋅u

c

=a⋅u

c

+b⋅u

c

Multiplicando ahora los dos miembros por el módulo del vector c,

(a+b) ⋅cu

c

=a⋅cu

c

+b⋅cu

c

de donde, finalmente se obtiene,

(a+b) ⋅c= a⋅c+b⋅c

a+b

c

Según esto, la proyección de sobre el vector es:

Una vez demostrada esta propiedad, se puede obtener una expresión del producto escalar de dos vectores en fun-ción de sus componentes rectangulares.

Vamos a desarrollar esta expresión para dos vectores en el espacio de tres dimensiones, en un sistema de coorde-nadas OXYZ, y luego es fácil particularizar para dos vectores en el plano.

Supongamos que tenemos dos vectores, a y b, expresados en función de sus componentes rectangulares:

a=a

xi+a

yj+a

zk

b=b

xi+b

yj+b

zk

El producto escalar, aplicando la propiedad distributiva, es:

a⋅b= (a

xi+a

yj+a

zk) ⋅(b

xi+b

yj+b

zk)=

=axb

xi⋅ i+a

xb

yi⋅ j+a

xb

zi⋅k+

+ayb

xj⋅ i+a

yb

yj⋅ j+a

yb

zj⋅k+

+azb

xk⋅ i+a

zb

yk

⋅ j+a

zb

zk⋅k

[1.19]


CAPÍTULO 1.01

VECTORES6

y teniendo en cuenta que los productos escalares de los vectores unitarios son

i⋅ i= 1.1.cos0º= 1

i⋅ j= j⋅ i= 1.1.cos90º= 0

i⋅k= k⋅ i= 1.1.cos90º= 0

j⋅ j= 1.1.cos0º= 1

j⋅k= k⋅ j= 1.1.cos90º= 0

k⋅k= 1.1.cos0º= 1

sustituyendo en [1.19], se obtiene finalmente,

a⋅b=a

xb

x+a

yb

y+a

zb

z[1.20]

Como caso particular si a=b

a⋅a=a

xa

x+a

ya

y+a

za

z=a

x2 +a

y2 +a

z2

Si los vectores están referidos a un sistema plano de ejes coordenados OXY, es fácil deducir que la expresión [1.20]se convierte en:

a⋅b=a

xb

x+a

yb

y

Y como caso particular si a=b

[1.22]

a⋅a=a

xa

x+a

ya

y=a

x2 +a

y2

[1.21]

[1.23]

1.15 Producto vectorial de dos vectores

Por la misma razón que se introduce en Física el producto escalar de dos vectores, ante la aparición de ciertasmagnitudes vectoriales se ve la conveniencia de definir sus propiedades por las de un vector cuyas características son:

módulo:igual al producto de los módulos de dos vectores, multiplicado por el seno del ángulo que forman, medi-do en el sentido que va, por el camino más corto, del primer vector hacia el segundo.

dirección:perpendicular al plano determinado por dichos vectores.

sentido:el de avance de un sacacorchos, o el de un tornillo, situado perpendicularmente al plano determinadopor dichos vectores, que gira desde el primer vector hacia el segundo por el camino más corto.

c

= a×b= ab sen θ

FIG. 1-10

a

b c

θ

a

b

Se define el producto vectorial de dos vectores c

c= a×b

como un vector a

y b

cuyo módulo es

[1.24]

[1.25]

Hay que advertir que las características anteriormente mencionadas se debenaplicar teniendo los dos vectores el mismo origen. Si no lo tienen, se traza por elorigen de uno de ellos un vector paralelo al otro, de igual módulo y sentido.

El olvido de esta condición puede llevar a errores en la interpretación delresultado.

FIG. 1-11y cuya dirección y sentido son los que muestra la figura 1.11.

Se deduce fácilmente que el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo delados a y b.

1.16 Propiedades del producto vectorial

I. El producto vectorial no es conmutativo. Si se cambia el orden de los factores, cambia su sentido, como sededuce de la definición del producto vectorial:


CAPÍTULO 1.01

VECTORES7

II. El producto vectorial de dos vectores de igual dirección es nulo: b×a= −( a×b

)

a×b=

a.b sen 0º= 0 si a y b son de igual sentido

a.b sen180º= 0 si a y b son de sentido contrario

lo que nos proporciona un criterio de paralelismo entre dos vectores:Si el producto vectorial de dos vectores es nulo, dichos vectores son paralelos.

III. El producto vectorial es asociativo respecto de la multiplicación por un escalar:

λ( a×b

)= (λ a

)×b= a×(λb

)

[1.26]

[1.27]

IV. El producto vectorial es distributivo respecto de la adición de vectores:

a ×(b+c

)=a×b+a×c

[1.28]

V. El producto vectorial de dos vectores en función de sus componentes rectangulares es:

a×b= (a

xi+a

yj+a

zk)×(b

xi+b

yj+b

zk)=

=axb

x(i× i)+a

xb

y(i× j)+a

xb

z(i× k)+

+ayb

x(j× i)+a

yb

y(j× j)+a

yb

z(j×k)+

+azb

x(k× i)+a

zb

y(k× j)+a

zb

z(k×k)

y teniendo en cuenta que:

i× i= 1.1.sen0º= 0

i× j= k

i×k= −j

j× i= −k

j× j= 1.1.sen0º= 0

j×k= i

k× i= j

k× j= −i

k×k= 1.1.sen0º= 0

[1.29]

[1.30]

sustituyendo [1.30] en [1.29], se obtiene:

a×b= (a

xi+a

yj+a

zk)×(b

xi+b

yj+b

zk)=

= +axb

yk−a

xb

zj−a

yb

xk+a

yb

zi+a

zb

xj−a

zb

yi=

= (ayb

z−a

zb

y)i+(a

zb

x−a

xb

z)j+(a

xb

y−a

yb

x)k

a×b= (a

yb

z−a

zb

y)i+(a

zb

x−a

xb

z)j+(a

xb

y−a

yb

x)k

[1.31]

Si los vectores están referidos a un sistema plano de ejes coordenados OXY, la expresión [1.20] se convierte en:

a×b= (a

xb

y−a

yb

x)k

[1.32]

a×b= (a

xi+a

yj)×(b

xi+b

yj)=

=axb

x(i× i)+a

xb

y(i× j)+a

yb

x(j× i)+a

yb

y(j× j)=

=axb

yk−a

yb

xk= (a

xb

y−a

yb

x)k


CAPÍTULO 1.01

VECTORES8

1.17 Producto mixto de tres vectores

Se denomina producto mixto de tres vectores a

a.(b × c)

es decir, al producto escalar de un vector por el producto vectorial de otros dos.Considerando tres vectores a, b y c, no coplanarios, y recordando las propiedades del producto vectorial de dos

vectores, el producto

b × c

es un vector cuya dirección es normal al plano determinado por los vectores b y c, y supondremos que queda en elmismo semiespacio que el vector a. Si así no fuera, para nuestro propósito, bastaría cambiar el orden del productovectorial.

El módulo es el área del paralelogramo que tiene por lados dichos vectores. De modo que

b × c = área del paralelogramo (

b , c)

⋅n

siendo n un vector unitario en la dirección de la normal al plano (b, c).Por otra parte,

a.(b × c)= a área del paralelogramo (

b , c)

⋅n = área del paralelogramo (

b , c)

a ⋅ n

Pero

a ⋅ n = h

siendo h la altura del paralelepípedo construido sobre los tres vectores como lados, y el paralelogramo (b,c), labase. De modo que

a.(b × c)= área del paralelogramo (

b , c)

h = volumen (a,

b , c)

es decir, el volumen del mencionado paralelepípedo.Y como podemos tomar como base cualquiera de las caras, resulta que

a ⋅(b × c)=

b ⋅(c × a)= c ⋅(a ×

b )

[1.34]

[1.35]

1.18 Derivada de un vector respecto de un escalar

Si un vector no es constante, y depende de una cierta magnitud escalar u, se suele expresar en la forma:

a=a(u)

Si la magnitud escalar experimenta un variación Δu, el vector se transforma en otro vector

a= a(u +Δu)

que, en general, será diferente, tanto en módulo, como en dirección y sentido.El vector ha sufrido un incremento que es la diferencia vectorial

a(u +Δu)−a

(u)

y dividiendo por el incremento de la magnitud escalar Δu,

[1.33]

se obtiene un nuevo vector, y por analogía con la definición para una función escalar, se llama derivada de un vec -tor respecto a un escalar a un vector con el que tiende a coincidir el vector [1.33] cuando Δu tiende a cero, y seexpresa escribiendo:

da

du= lim

Δu→0

a(u +Δu)−a

(u)

Δuy teniendo en cuenta las componentes cartesianas del vector a,

da

du=

dax

dui+

day

duj+

daz

duk

[1.36]


CAPÍTULO 1.01

VECTORES9

1.19 Coordenadas cartesianas o rectangulares

Este sistema queda determinado por tres ejes perpendiculares, dos a dos, siendo el punto de intersección de lostres ejes el origen de coordenadas.

Por convenio, se utiliza siempre un sistema dextrógiro, según el cual, un sacacorchos, o un tornillo roscado a dere-chas, situado a lo largo del eje OZ avanza en el sentido positivo de dicho eje al hacerlo girar desde el eje OX haciael eje OY, siguiendo el recorrido más corto.

Este convenio es indispensable para la correcta aplicación de ciertos teoremas.

El sentido positivo de cada eje coordenado se representa por un vector unitario que denominaremos, respectiva-mente, por ux, uy y uz. Estos vectores unitarios apuntan siempre en la misma dirección y en el mismo sentido, y nocambian, por tanto, de un punto a otro del espacio.

Producto escalar de dos vectores

a ⋅b =a

xb

x+a

yb

y+a

zb

z

Producto vectorial de dos vectores

a ×b = (a

yb

z−a

zb

y) u

x+(a

zb

x−a

xb

z) u

y+(a

xb

y−a

yb

x) u

z

Elemento de longitud infinitesimal

dl=dx u

x+dy u

y+dz u

z

Elemento de área infinitesimal contenido en el plano XY

dS

xy=dx.dy, dS

xy =dx.dy u

z

Elemento de área infinitesimal contenido en el plano XZ

dS

xz=dx.dz, dS

xz =dx.dz u

y

Elemento de área infinitesimal contenido en el plano YZ

dS

yz=dy.dz, dS

yz =dy.dz u

x

Elemento de volumen infinitesimal

dv =dx.dy.dz

[1.37]

[1.38]

[1.39]

[1.40]

[1.41]

[1.42]

[1.43]

X

Y

Z

u

x

x

y

z

(x,y,z)

O

dx

u

y

u

z

X

Y

Z

dS

x

=dydz

dS

y

=dxdz

dS

z

=dx dy

O

dy

dz

Sistemas de coordenadas

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores numéricos que determinan unívocamente la posición de unpunto en el espacio euclidiano. Las coordenadas se escriben en un orden determinado.

El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, y permite formular los problemasgeométricos de forma numérica.


CAPÍTULO 1.01

VECTORES10

1.20 Coordenadas cilíndricas o circulares

Este sistema es particularmente útil cuando existe un eje de simetría, que se considera como eje OZ.

Tomando como punto de partida el sistema cartesiano, cualquier punto del espacio queda determinado por laintersección de tres superficies:

- Una superficie cilíndrica de eje OZ y radio r.- Un plano que pasa por el eje OZ y forma un ángulo ϕ con el plano XZ.- Un plano de coordenada z constante.Las coordenadas cilíndricas de cualquier punto son, pues, (r, ϕ, z).El sentido positivo de cada eje coordenado se representa por un vector unitario, que denominaremos por ur, uϕ

y uz.Estos vectores unitarios son respectivamente perpendiculares a cada una de las superficies citadas anteriormen-

te y su sentido positivo es el que corresponde a un aumento de la coordenada correspondiente.

Hay que hace notar que, a diferencia de lo que ocurre con los vectores unitarios cartesianos, la dirección de losvectores unitarios en coordenadas cilíndricas varía con la posición de cada punto, excepto la del vector unitario uz

Por convenio, la tríada de vectores unitarios ur, uϕ y uz debe formar un sistema rectangular dextrógiro.


a ⋅b =a

rb

r+a

ϕbϕ+a

zb

z


a ×b = (a

ϕb

z−a

zbϕ) u

r+(a

zb

r−a

rb

z) u

ϕ+(a

rbϕ−a

ϕb

r) u

z


dl=dr u

r+r dϕ u

ϕ+dz u

z

Elemento de área infinitesimal contenido en la superficie cilíndrica de radio r

dS

r= r dϕ.dz, dS

r = r dϕ.dz u

r

Elemento de área infinitesimal contenido en el plano determinado por r y el eje OZ

dS

ϕ=dr dz, dS

ϕ =dr dz

y

uϕ

Elemento de área infinitesimal contenido en el plano de coordenada z

dS

z= r dr dϕ, dS

z= r dr dϕ u

z


dv = r drdϕdz

[1.44]

[1.50]

[1.46]

[1.47]

[1.48]

[1.45]

[1.49]

X

Y

Z

φ

r

zO

(r,φ,z)

X

Y

Z

O

uφ

u

r

u

z

X

Y

Z

O

φ

r

z

dr

dz

dφ

rdφ

rdφ

dSz=rdφdr

dSφ=drdz

dSr=rdφdz


CAPÍTULO 1.01

VECTORES11

1.21 Coordenadas esféricas

Este sistema es particularmente útil cuando existe un centro de simetría, que se considera como origen de coor-denadas.

Tomando como punto de partida el sistema cartesiano, cualquier punto del espacio queda determinado por laintersección de tres superficies:

- Una superficie esférica de centro O y radio r.- Un plano que pasa por el eje OZ y forma un ángulo ϕ con el plano XZ.- Una superficie cónica de vértice O y eje OZ de semiángulo cónico θ.

Las coordenadas cilíndricas de cualquier punto son, pues, (r, θ, ϕ).El sentido positivo de cada eje coordenado se representa por un vector unitario, que denominaremos por ur, uθ

y uϕ.Estos vectores unitarios son respectivamente perpendiculares a cada una de las superficies citadas anteriormen-

te y su sentido positivo es el que corresponde a un aumento de la coordenada correspondiente.

Hay que hace notar que, a diferencia de lo que ocurre con los vectores unitarios cartesianos, la dirección de losvectores unitarios en coordenadas esféricas varía con la posición de cada punto.

Por convenio, la tríada de vectores unitarios ur, uθ y uϕ debe formar un sistema rectangular dextrógiro.


a ⋅b =a

rb

r+a

θbθ+a

ϕbϕ


a ×b = (a

θbϕ−a

ϕbθ) u

r+(a

ϕb

r−a

rbϕ) u

θ+(a

rbθ−a

θb

r) u

ϕ


dl=dr u

r+r dθ u

θ+r senθ dϕ u

ϕ

Elemento de área infinitesimal contenido en la superficie esférica de radio r

dS

r= r 2 senθ dθ dϕ, dS

r

= r 2 senθ dθ dϕ u

r

Elemento de área infinitesimal contenido en la superficie cónica de radio r sen θ

dSθ= r senθ drdϕ, dS

θ

= r senθ dr dϕ u

θ

Elemento de área infinitesimal contenido en el plano determinado por r y el eje OZ

dS

ϕ= r dr dθ, dS

ϕ

= r dr dθ u

ϕ


dv = r 2 senθdrdθdϕ

[1.51]

[1.52]

[1.53]

[1.54]

[1.55]

[1.56]

[1.57

X

Y

Z

O

φ

θr

uφ

u

r

uθ

X

Y

Z

O

θ

φdr

r senθ dr

dSr=r2senθ dθ dφ

dSθ =r senθ dr dφ

dSφ = rdrdθ


CAPÍTULO 1.01

VECTORES12

1.22 Relación entre las coordenadas y los vectores unitarios de los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndri-cas y esféricas.

Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas

Coordenadas cartesianasCoordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas

Coordenadas esféricas Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas

r = x 2 +y 2 +z 2 = r 2 +z 2 [1.70]

θ = arc cos z

x 2 +y 2 +z 2= arc cos r

r 2 +z 2[1.71]

ϕ = arc cot xy

=ϕ [1.72]

ur

= sen θ cosϕ ux+ senθ sen ϕ u

y+ cosθ u

z= senθ u

r+ cosθ u

θ[1.73]

uθ

= scosθ cosϕ ux+ cosθ sen ϕ u

y− senθ u

z= cosθ u

r− sensθ u

θ[1.74]

uϕ

= −senθ ux+ cosϕ u

y=uϕ

[1.75]

x = r cosϕ = r senθ cosϕ [1.58]y = r senϕ = r senθ senϕ [1.59]z = z = r cosϕ [1.60]u

x= cosϕ u

r− senϕ u

ϕ= senθ cosϕ u

r+ cosθ cosϕ u

θ− senϕ u

ϕ[1.61]

uy

= senϕ ur+ cosϕ u

ϕ= senθ senϕ u

r+ cosθ senϕ u

θ− cosϕ u

ϕ[1.62]

uz

=uz

= cosθ ur− senθ u

θ[1.63]

Relaciones multiplicativas

a (b × c)= c (a ×

b )=b (c × a) [1.76]

a ×(b × c)=

b (a ⋅ c)− c (a ⋅

b ) [1.77]

a ×(b × c)− c ×(

b × a)=

b ×(a × c) [1.78]

(a ×b )(c ×

d )= (a ⋅ c)(

b ⋅d )−(a ⋅

d )(b ⋅ c) [1.79]

a ×b(c ×

d )

= (b ⋅d )(a × c)−(

b ⋅ c)(a ×

d ) [1.80]

r = x 2 +y 2 = r senθ [1.64]

ϕ = arc tg yx

=ϕ [1.65]

z = z = r cosθ [1.66]ur

= cosϕ ux+ senϕ u

y= senθ u

r+ cosθ u

θ[1.67]

uϕ

= −senϕ ux+ cosϕ u

y=uϕ

[1.68]u

z=uz

= cosθ ur− senθ u

θ[1.69]


CAPÍTULO 1.01

VECTORES13

1.23 Derivadas parciales de los vectores unitarios en los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas yesféricas

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas

Todas las derivadas parciales de los vectores unitarios en coordenadas cartesianas son nulas porque los vectoresunitarios ux, uy y uz, tienen constante su dirección módulo y sentido en cualquier punto del espacio.

En coordenadas cilíndricas son nulas todas las derivadas excepto:

∂ur

∂ϕ=uϕ

[1.81]

∂uϕ

∂ϕ= −ur

[1.82]

∂ur

∂θ=uθ

[1.83]

∂ur

∂ϕ=uϕsenθ [1.84]

∂uθ

∂θ= −ur

[1.85]

∂uθ

∂ϕ=uϕcosθ [1.86]

∂uϕ

∂ϕ= −uϕsenθ − u

θcosθ [1.87]

En coordenadas esféricas son nulas todas las derivadas excepto:

aletos 1 - física · estas magnitudes físicas reciben el nombre de magnitudes escalares, o...

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