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Electricidad y Magnetismo Introducción

07/01/2009 EyM 1-1

EyM 1-1

Tema 1: Introducción

Concepto de campoCampos escalares y vectorialesOperaciones con vectores

Sistemas de coordenadasCartesianoCurvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.

Operadores vectoriales.GradienteDivergenciaRotacionalCombinación de operadores: LaplacianaExpresiones con operadores

Ejercicios

EyM 1-2

Concepto de campo

• Un campo en Física es la descripción de una determinada propiedad (física) de los puntos del espacio.

• Campo Escalar.– Se puede describir con sólo un número para cada punto.– Se representa por medio de una función de la posición.– Ejemplos: Temperatura de un medio. Altura del terreno.

Potencial Electrostático...• Campo Vectorial.

– Para cada punto la propiedad varía con la dirección considerada.

– Requiere una función vectorial: un vector que cambia con cada punto del espacio.

– Ejemplos: La velocidad de un fluido. La fuerza de la gravedad...

• El campo electromagnético requiere al menos dos campos vectoriales.


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EyM 1-3

Las magnitudes escalares son aquellas que llevan asociado solamente un valor numérico.

Se designan mediante una letra generalmente minúscula, p.e. t=temperatura, h=altura, …

Las magnitudes vectoriales son aquellas que no solo tienen asociado un valor numérico sino también una dirección y sentido en el espacio.

Se designan mediante una letra sobre la que se coloca una flecha A o también un guión A, aunque en textos mecanografiados suele utilizarse una letra subrayada A o incluso una letra negrilla A.

Se representan geométricamente por medio de vectores o sea una línea terminada con una flecha.

La longitud del vector representa su magnitud, que se designa bien por la letra del vector A o como |A|, y la flecha indica la dirección.

rA A

Algebra vectorial

rA

rA A=

EyM 1-4

Operaciones sobre Vectores

Igualdad.- Se dice que dos vectores A y B son iguales si y solo si sus magnitudes, direcciones y sentidos son iguales.

Suma.- Dados dos vectores A y B se define el vector C suma de los anteriores C = A + B como aquel que se obtiene de la siguiente forma: se coloca el vector B a continuación del A y el vector C es el que une el origen del A con el extremo del B.

Resta.- Dados dos vectores A y B el vector resta C = A - B es la suma del A con el -B (opuesto del B ) que se define como aquel que tiene la misma magnitud y dirección que el B pero sentido opuesto. Su construcción geométrica es evidente.

rA

rA

rB −

rB

r r rC A B= +

r r rC A B= −


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EyM 1-5


Propiedad Conmutativa.- A + B = B + A

rA

rB

r r r r rC A B B A= + = +

rB

rA

Propiedad Asociativa.- (A + B ) + C = A + (B + C)

rA

rB

r rB C+

rCr r

A B+

( ) ( )r r r r r rA B C A B C+ + = + +

EyM 1-6


Multiplicación y división por un escalar.- Dados un vector A y un escalar m el producto mA es un nuevo vector cuyo módulo es |mA|= |m|.|A| y cuya dirección es la de A si m>0 o el opuesto si m<0.

La división es una multiplicación por el inverso del escalar, o sea por 1/m.

Vector unitario.- Dado un vector A el vector unitario según A es aquél que tiene su misma dirección y sentido pero módulo unidad.

Se obtiene dividiendo el vector A por su módulo |A|.

Los vectores unitarios suelen designarse con una letra minúscula con un símbolo especial superpuesto: â.

Propiedades.-Conmutativa: m A = A mAsociativa: m(nA) = (mn)ADistributiva respecto al escalar: (m+n)A = mA + nADistributiva respecto al vector: m(A + B) = mA + mB


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EyM 1-7


Propiedades importantes del producto escalar:

Producto escalar.- Dados dos vectores A y B el producto escalar de ambos es una magnitud escalar cuyo valor es el producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman.

Si designamos por α a dicho ángulo será:

Geométricamente puede interpretarse como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él.

r r r rA B A B• = cosα

rA

rB

αrB cosα

Conmutativa: A·B = B·A

Asociativa respecto de la suma: A·(B + C) = A·B + A·C

EyM 1-8


Producto vectorial.- El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuyo módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman ambos y cuya dirección es la del vector unitario en la dirección de la normal al plano que forman los factores y cuyo sentido es el matemático positivo de avance del sacacorchos al girar desde el primer factor al segundo.

r r r rA B A B u× = sin $α

rA

rB

α$u

Geométricamente el módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo que forman los factores.

Propiedades importantes del producto vectorial:

Conmutativa: A×B ≠ B×A pero A×B = - B×A

Distributiva respecto de la suma: A×(B + C) = A×B + A×C

Asociativa : A × (B × C) ≠ (A × B) × C


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EyM 1-9


Geométricamente representa el volumen del paralelepípedo que forman A, By C

Cumple la siguiente propiedad de rotación del orden de los factores:

Producto mixto escalar y vectorial.- Dados tres vectores A, B y C se define como:

( ) φθ sincosCBACBArrrrrr

=×•$u

φ

θ

rA

rB

rC

donde φ es el ángulo formado por B y Cy θ es el ángulo formado por A y la normal al plano que forman B y C.

( ) ( ) ( )ACBBACCBArrrrrrrrr

×•=×•=×•

Producto vectorial doble.-

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BACCABCABA

CBCBArrrrrr

rrrr

rrrrr

•−•=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

••=××

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Ejercicios


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EyM 1-11

z z= 0

y y= 0

x x= 0

P

Sistemas de coordenadas

• Hacen falta para describir analíticamente los puntos del espacio.• El más simple es el cartesiano:

– Al decir que un punto P tiene coordenadasx0, y0, z0 se quiere decir que está contenidoen los planos:

– Los vectores unitarios llevan la dirección y sentido en que se desplaza el punto al incrementar la coordenada correspondiente.

– Los vectores unitarios se ordenan deforma que el producto vectorial del primero por el segundo da el tercero:

000 zzyyxx ===

zyx ˆˆˆ =×

X

Z

Y

$x

$y

$z

EyM 1-12

Sistema cartesiano (2)

rrr rr l+ ∆

∆rl

O

– El vector de posición del punto es el vector que une el origen de coordenadas con el punto.

– Sus componentes en cartesianas:

– Un desplazamiento a lo largo de una curva se puede definir por un vector:

– Si el desplazamiento es de magnitud muy pequeña (infinitesimal) se puede representar por:

– La longitud del desplazamiento infinitesimal será:

» Puesto que una curva está definida por dos ecuaciones, los tres diferenciales se pueden reducir a uno.

zzyyxxr ˆˆˆ ++=r

222 dzdydxldldlddl ++=⋅==rrr

zzyyxxl ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆r

zdzydyxdxld ˆˆˆ ++=r

O

P

XY

Z

rr


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Ejercicios

EyM 1-14

Sistemas de Coordenadas Curvilíneas Ortogonales

En el manejo de problemas físicos y para simplificar las manipulaciones matemáticas es necesario describir los vectores en función de sus componentes sobre un conjunto de direcciones de referencia.

Un sistema de coordenadas utiliza la representación de cada punto como intersección de tres superficies mutuamente ortogonales:

u cteu cteu cte

1

2

3

===

Estas superficies se llaman superficies coordenadas del sistema y para que la representación de cada punto sea unívoca se requiere que las funciones que representan las superficies coordenadas sean:

• independientes • uniformes • derivables y con derivadas continuas• admitan función inversa


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EyM 1-15

Sistemas de CoordenadasCurvilíneas Ortogonales

Las líneas de intersección de las superficies coordenadas se llaman curvas coordenadas (u1 , u2 , u3) y en cada punto son ortogonales entre sí.

Los vectores unitarios tangentes a las curvas coordenadas, respectivamente â1 , â2 y â3 , son ortogonales entre si y coinciden con los vectores unitarios normales a las superficies coordenadas Â1, Â2 y Â3 por lo que ambos conjuntos forman la base para representar cualquier vector en el sistema de coordenadas.

u1

u2

u3 P

â1

â2

â3332211

332211

ˆˆˆˆˆˆ

BABABA

BaBaBaB

++=

++=r

EyM 1-16

Sistemas de CoordenadasCurvilíneas Ortogonales

En general los vectores unitarios cambian de dirección punto a punto en el espacio.

En general las coordenadas no representan distancias:

Los sistemas de coordenadas de utilización más frecuente son el Cartesiano, el Cilíndrico y el Esférico que pasamos a describir.

por lo que para medir distancias a lo largo de las curvas coordenadas es necesario utilizar unos factores de proporcionalidad llamados factores de escala:

dl dudl dudl du

1 1

2 2

3 3

≠≠≠

dl h dudl h dudl h du

1 1 1

2 2 2

3 3 3

===


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EyM 1-17

Sistema de coordenadas Cartesiano

Las superficies coordenadas del sistema son planos paralelos a tres planos ortogonales entre si que se toman como referencia.

Sus ecuaciones se designan como:x ctey ctez cte

===

Por tanto cada punto resulta de la intersección de tres planos y sus coordenadas son las constantes correspondientes a los mismos y que en general se designan mediante una terna (x,y,z). Para poder describir todos los puntos del espacio las tres coordenadas deben poder variar entre - ∞ y + ∞. z

x

y

P

EyM 1-18

Sistema de coordenadas Cartesiano

Estos vectores unitarios son constantes en todos los puntos del espacio (se mantienen paralelos a los de referencia en todos los puntos).

Las líneas coordenadas son rectas ortogonales entre sí y los vectores unitarios llevan sus direcciones y se designan: $, $, $x y z

Cualquier punto del espacio puede designarse mediante su vector de posición r que se define como el vector que une el origen del sistema de coordenadas con el punto en cuestión. Sus componentes serán las coordenadas del punto y por tanto será: rr xx yy zz= + +$ $ $

Las coordenadas son métricas por lo que sus factores de escala son la unidad. La diferencial de longitud a lo largo de cada línea coordenada será: dx, dy, dz. Las diferenciales de superficie serán: dydz, dzdx y dxdyrespectivamente en las superficies coordenadas x=cte, y=cte y z=cte. La diferencial de volumen será: dv = dxdydz.

x

y

z

r


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EyM 1-19

• El diferencial de superficie y volumen:– En cartesianas:

– En curvilíneas generalizadas ortogonales:A pesar del aspecto del dibujo,al ser las dimensiones muypequeñas, los lados son“rectos” y ortogonales.

Curvilíneas

dy

dz

dxX

Z

YdzdydxdV =

u2

u1

u3h2du2

h3du3

h1du1

321321 dududuhhhdV =

dydxdSz =

22113 duhduhdS =

EyM 1-20

Ejercicio

Dados dos vectores A y B cuyas componentes cartesianas son conocidas (Ax, Ay, Az) y (Bx, By, Bz) obtenga la expresión de su producto escalar y vectorial

( )( ) =++++=⋅ zBzyByxBxzAzyAyxAxBA ˆˆˆ.ˆˆˆrr

==×BzByBxAzAyAxzyx

BAˆˆˆ

rr

AzBzAyByAxBx ++=

( ) ( ) ( )AyBxAxByzAxBzAzBxyAzByAyBzx −+−+− ˆˆˆ

( ) ( )

=×+×+×++×+×+×+×+×+×=

=++×++=×

zzAzBzyzAzByxzAzBxzyAyBzyyAyByxyAyBxzxAxBzyxAxByxxAxBx

zBzyByxBxzAzyAyxAxBA

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆrr

( ) ( ) ( )AyBxAxByzAxBzAzBxyAzByAyBzx −+−+−= ˆˆˆ


07/01/2009 EyM 1-11

EyM 1-21

Ejercicio

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )BACCAB

BzAzCzzBzAzCzzByAyCyyByAyCyyBxAxCxxBxAxCxxAyByAxBxCzzAzBzAxBxCyyAzBzAyByCxxAyCyAxCxBzzAxCxAzCzByyAzCzAyCyBxx

AyBzCyAyByCzAxBxCzAxBzCxzAxByCxAxBxCyAzBzCyAzByCzy

AzBxCzAzBzCxAyByCxAyBxCyxByCxBxCyBxCzBzCxBzCyByCz

AzAyAxzyx

CBA

rrrrrr

rrr

•−•=

=−+−+−+++−+−+−+++++=

=+−−++−−+

++−−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=××

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆ

Usando las componentes cartesianas de A , B y C demuestre la igualdad:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BACCABCABA

CBCBArrrrrr

rrrr

rrrrr

•−•=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

••=××

( ) ( ) ( )ByCxBxCyzBxCzBzCxyBzCyByCzxCzCyCxBzByBxzyx

CB −+−+−==× ˆˆˆˆˆˆ

rr

EyM 1-22

Sistema de coordenadas Cilíndricas

Las superficies coordenadas del sistema son: . Planos z = cte. . Semiplanos que contienen al eje z y forman un ángulo

ϕ con el semiplano xz que se toma como referencia. . Cilindros de eje el z y radio ρ.

x

P

y

z

ρϕ

z

$z

ϕ

$ρ

Las coordenadas del sistema serán ternas de valores ρ, ϕ, z. Para describir unívocamente todos los puntos del espacio las coordenadas deberán variar en los márgenes: 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π y - ∞ < z < + ∞.


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La relación entre las coordenadas del sistema cilíndrico y las del cartesiano puede expresarse fácilmente observando que aquel se obtiene de éste mediante un giro de ángulo ϕ alrededor del eje z. La relación puede expresarse pues por medio de la correspondiente matriz de giro. Así los vectores unitarios se relacionan como:

x

y

z

ρ

ϕ

z

$z

ϕ

$ρ

$y

$x

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zyx

z ˆˆˆ

1000cossin0sincos

ˆˆˆ

ϕϕϕϕ

ϕρ

Nótese que la matriz de giro es unitaria y por tantosu inversa es igual que su transpuesta. Pueden obtenerse por tanto las relaciones:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=

+=

zzyx

yx

ˆˆcosˆsinˆˆ

sinˆcosˆˆϕϕϕ

ϕϕρ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−=

zzyx

ˆˆcosˆsinˆˆsinˆcosˆˆ

ϕϕϕρϕϕϕρ

ϕ

ϕ

yϕ

x

$ρ

EyM 1-24


En cilíndricas el vector de posición de un punto se expresará como:rr zz= +$ $ρρ

Por tanto:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zzyx

01000cossin0sincos ρ

ϕϕϕϕ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

zzyx

ϕρϕρ

sincos

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

−

zzxytg

yx

1

22

ϕ

ρ

Las coordenadas ρ y z son métricas, por lo que su factor de escala es la unidad, mientras que la coordenada ϕ es angular y su factor de escala es el radio del arco que se describe con su variación, o sea ρ.

Por tanto las diferenciales de longitud a lo largo de las líneas coordenadas son:dzdlddlddl z === ,, ϕρρ ϕρ

Las diferenciales de superficie son:ρϕρρϕρ ϕρ dddSdzddSdzddS z === ,,

Y la diferencial de volumen es: dzdddV ⋅⋅= ϕρρ


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EyM 1-25

Ejercicio

Obtener geométricamente las coordenadas cartesianas de un punto en función de sus coordenadas cilíndricas.

Obtener geométricamente las coordenadas cilíndricas de un punto en función de sus coordenadas cartesianas.

Obtener geométricamente las componentes cartesianas de los vectores unitarios en cilíndricas.

Obtener geométricamente las componentes cilíndricas de los vectores unitarios en cartesianas.

zzyx === ;sin;cos ϕρϕρ

zzxytgyx =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+= − ;; 122 ϕρ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=

+=

zzyx

yx

ˆˆcosˆsinˆˆ

sinˆcosˆˆϕϕϕ

ϕϕρ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−=

zzyx

ˆˆcosˆsinˆˆsinˆcosˆˆ

ϕϕϕρϕϕϕρ

EyM 1-26

Ejercicio

Obtener el área lateral y el volumen de un cilindro de radio R y altura H .

R

H

x

y

z

dz

ϕϕρ Rdd =

dzddS ϕρ=

( ) RHHRdzdSH

z

ππϕρπ

ϕ

220

2

0

=== ∫ ∫= =

( ) dzdddzdddV ϕρρϕρρ ==

( ) ( ) HRzdzddV HRH

z

R2

020

0

2

0

2

0 0 2πϕρϕρρ π

π

ϕ ρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∫ ∫ ∫

= = =


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EyM 1-27

Ejercicio

Obtener la longitud de media circunferencia usando cartesianas y cilíndricas .

( ) ( ) ( )233

222

211; duhduhduhdldlL

C

++== ∫

∫ +==⇒=====C

zyx dydxLdzctezhhh 22;00;1

( )( ) 2

12222

2222

222

1

;022;

xR

RdxxR

xdxdydx

dxyxdyydyxdxRyx

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=+

−==+=+

RRRxsenR

xRdxRL

R

R

R

Rx

πππ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=

−

−

−=∫ 22

1

22

RdL πϕρπ

ϕ

== ∫=0

x

y

R− R

( ) ( ) ( ) ϕρϕρρ ddzdddl =++= 222

EyM 1-28

Las coordenadas del sistema serán ternas de valores r, θ, ϕ. Para describir unívocamente todos los puntos del espacio las coordenadas deben variar en los márgenes: 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π

Sistema de coordenadas Esféricas

Las superficies coordenadas del sistema son: . Semiplanos que contienen al eje z y forman ángulo ϕ con el xz. . Esferas con centro en el origen y radio r. . Conos de eje el z, vértice en el origen y ángulo θ con el semieje z

positivo.

y

z

r

ϕ

Pθ

x

$zϕ

$ρ

r

$θ

x

y

z

r

ϕ

P

θ

θ


07/01/2009 EyM 1-15

EyM 1-29


La relación entre las coordenadas del sistema esférico y las del cilíndrico puede expresarse fácilmente observando que aquél se obtiene de éste mediante un giro de ángulo θ alrededor del eje ϕ que es común a ambos sistemas. La relación puede expresarse mediante una matriz de giro y los vectores unitarios se relacionan (obsérvese el orden de los vectores) mediante:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zr ˆˆˆ

cos0sin010

sin0cos

ˆˆ

ˆ

ϕρ

θθ

θθϕθ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

+=

ϕϕθρθθ

θρθ

ˆˆˆsinˆcosˆˆcosˆsinˆ

z

zr

Si se sustituyen los vectores unitarios en cilíndricas en función de los cartesianos obtendremos la relación entre los vectores unitarios en esféricas y los cartesianos:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zyx

zyx

r ˆˆˆ

cossinsincossin0cossin

sinsincoscoscos

ˆˆˆ

1000cossin0sincos

cos0sin010

sin0cos

ˆˆ

ˆ

θϕθϕθϕϕ

θϕθϕθϕϕϕϕ

θθ

θθϕθ

EyM 1-30


Como la matriz de giro es producto de dos matrices unitarias es también unitaria y su inversa es igual a su transpuesta por lo que:

Por tanto:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=−+=

++=

yxzyx

zyxr

ˆcosˆsinˆˆsinˆsincosˆcoscosˆˆcosˆsinsinˆcossinˆ

ϕϕϕθϕθϕθθ

θϕθϕθ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

rzyx

ˆˆ

ˆ

cos0sinsinsincossincoscossinsincoscos

ˆˆˆ

ϕθ

θθϕθϕϕθϕθϕϕθ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

++=

−+=

θθθ

ϕϕθϕθϕθ

ϕϕθϕθϕθ

ˆsinˆcosˆ

ˆcosˆsincosˆsinsinˆ

ˆsinˆcoscosˆcossinˆ

rz

ry

rx

El vector de posición será : por lo quezzyyxxrrr ˆˆˆˆ ++==r

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

rzyx

00

cos0sinsinsincossincoscossinsincoscos

θθϕθϕϕθϕθϕϕθ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

θϕθϕθ

cossinsincossin

rzryrx


07/01/2009 EyM 1-16

EyM 1-31


La coordenada r es métrica y su factor de escala es la unidad.

Las coordenadas θ y ϕ son angulares y sus factores de escala son los radios de los arcos que se describen, respectivamente r y r sen(θ).

La diferencial de volumen será:dV= r2sen(θ) dr dθ dϕ.

x

y

z

r

ϕ

dr

dϕ

dθrsinθ

θ

Las diferenciales de superficie serán, sobre superficies r constante, θ constante y φ constante, por tanto:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

θϕθϕθθ

ϕ

θ

rd)drsen( d)drsen( rd

drdSrdS

dSr

Las diferenciales de línea serán: ϕθθ ϕθ drdlrddldrdlr sin,, ===

EyM 1-32

Ejercicio

Obtener geométricamente las coordenadas cartesianas de un punto en función de sus coordenadas esféricas.

Obtener geométricamente las coordenadas esféricas de un punto en función de sus coordenadas cartesianas.

Obtener geométricamente las componentes cartesianas de los vectores unitarios en esféricas.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

θϕθϕθ

cossinsincossin

rzryrx

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=++= −−

zyx

tgxytgzyxr

2211222 ;; θϕ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=−+=

++=

yxzyx

zyxr

ˆcosˆsinˆˆsinˆsincosˆcoscosˆˆcosˆsinsinˆcossinˆ

ϕϕϕθϕθϕθθ

θϕθϕθ

z

y

rϕ

Pθ

x

zx

y


07/01/2009 EyM 1-17

EyM 1-33

Ejercicio

Obtener el área y el volumen de una esfera de radio R.

La superficie es la de una superficie r=cte (r=R). Por lo tanto:

( )( ) ϕθθϕθθ ddsenrdrsenrddScter

2===

( )

( )( ) 22

02

2

0 0

2

0

2

0

2

0

2

0

4112

cos2

RR

RdsendRddsenrdSS

ππ

θπθθϕϕθθ ππ

ϕ

π

θ

π

θ

π

ϕ

π

θ

π

ϕ

=+−−=

=−==== ∫ ∫∫ ∫∫ ∫= == == =

( )

34

223

3

32

0 00

2

0

2

0 0

2

R

RdsenddrrdrddsenrVR

r

R

r

π

πθθϕϕθθπ

ϕ

π

θ

π

θ

π

ϕ

=

=== ∫ ∫∫∫ ∫ ∫= === = =

EyM 1-34

Ejercicio

Obtener el área lateral y el volumen de un cono de altura H y radio de la base R .

ϕθθ drdrsendS 0=

22

22

220

2

00 2

2

22

HRR

HRHR

RdrdrsenSHR

rlat

+=

+

+== ∫ ∫

+

= =

π

πϕθπ

ϕ

y

z Rθ0

x

H

dr

rsenθ0dφ

dφ

ϕθθ ddrdsenrdV 2=

=== ∫∫ ∫∫== ==

00

03

32

0

cos

0

2

0 cos32 θ

θ

π

ϕ

θθ

θ

θθθπθθϕ dsenHdrrdsendV

H

ry

x

z R

θHr

θcosHr =

31

32cos

32 2

2

223

0

23 0HR

HHRHH ππθπ

θ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−


07/01/2009 EyM 1-18

EyM 1-35

Ejericio

( ) 0cos2ˆ

2ˆ

21cosˆˆˆ

2

0

2

0

=+−=+−== ∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕϕϕϕϕρϕππ

dydsenxdysenxdldCC

C

r

X

Y

( ) ( )22 ϕρρ dddl += ϕϕρ dd cos=

( ) ( ) ϕρϕϕϕρϕϕ dddddl =+=+= 2222 coscos

πϕπ

ϕ

== ∫∫=0

ddlC

φρ sen=

=∫Cdl

Obtenga los valores de las siguientes integrales de línea sobre la curva definida entre 0 y π.

=∫Cldr

222222

21

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⇒=+⇒=⇒= yxyyxsensen φρρφρ

x

EyM 1-36

Ejercicio cont.

ϕϕρφρ ddsen cos=⇒=

Gráficamente también se ve que la integral es la suma de vectores longitud a lo largo de la línea por lo que el resultado es la diferencia entre el vector de posición del punto final y el del punto inicial. Si ambos coinciden el resultado es nulo (ocurre para cualquier contorno cerrado).También se ve gráficamente que para cada elemento diferencial hay uno simétrico cuya suma da cero. Por tanto la integral es cero.También se puede hacer analíticamente de la siguiente forma:

02

ˆ222ˆcos2ˆ2cosˆ

0

2

000

=+=+= ∫∫∫ππππ ϕϕϕϕϕϕϕ senysenxdsenydxld

C

r

ϕϕρρρ ˆˆ ddld +=r

ϕϕϕϕϕρ

cosˆˆˆˆcosˆˆysenxsenyx

+−=+=

( ) ( )( ) ( ) ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕρρϕϕϕρρϕ

dsenydsenxddsenydsendxld

cos2ˆcosˆcosˆcosˆ

22 +−=

++−=r


07/01/2009 EyM 1-19

EyM 1-37

Ejericio

xaxeaABld

Cˆˆ2 −=−=∫

rrr

( ) ( )22 ϕρρ dddl += ϕπ

ρ πϕ

dead−

−=

ϕπ

ϕϕπ

πϕ

πϕ

πϕ

deadaedeadl−−−

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2211

Sobre la curva en z=0 de la figura calcular: πϕ

ρ−

= ae=∫C

dl =∫Cldr

aedxe

axax =∫

x

y

a

a/e2ldr

Ar

Br

( )( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−+=+== −

=

−∫∫ 22

2

02

2

02

11111111e

aeadeadlLC π

πππ

ϕπ

ππϕπ

ϕ

πϕ

EyM 1-38





Ejercicios


07/01/2009 EyM 1-20

EyM 1-39

Representación del Campo escalar

Anteriormente se estableció el concepto de campo escalar y campo vectorial como magnitudes físicas de carácter escalar y vectorial respectivamente. En general estas magnitudes varían en el espacio y en el tiempo siendo necesaria su representación algébrica y gráfica. Normalmente la representación gráfica en función del tiempo suele hacerse mediante una sucesión de representaciones gráficas espaciales, correspondientes a sucesivos instantes de tiempo, que permiten así dar una idea de la evolución del campo. Para cada instante de tiempo la representación gráfica del campo escalar se hace mediante el uso de las superficies isotímicas o de igual valor del campo.Para un campo bidimensional las superficies isotímicas se reducen a curvas

isotímicas. Es bien conocido el ejemplo de las curvas de nivel de los mapas geográficos que representan la altura de los diversos puntos de una región.

xy

h y

x

h1 h2 h3

EyM 1-40

Representaciones 3D de una función:a) Mesh plot b) Surf plot


07/01/2009 EyM 1-21

EyM 1-41

Representación del Campo

2

0.004

M1 0.5 0 0.5 1

1

0.5

0

0.5

1

1.819

1.819

1.637

1.637

1.637

1.456 1.456

1.456

1.274 1.274

1.274

1.274

1.093

1.093

1.093

1.093

1.093

0.911

0.9110.911

0.911

0.911

0.911

0.911

0.911

0.73

0.730.73

0.73

0.73

0.73

0.73

0.73

0.549

0.5490.549

0.549

0.549

0.549

0.549

0.549

0.367

0.367

0.3670.367

0.186

0.186

0.1860.186

M

Las figuras muestran la representación de la superficiey de sus curvas de nivel.

1010

1010cos

1010cos ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=yxz

EyM 1-42

Representación del campo escalar

F

f x y,( ) cos x sin y( )+( ):=

FF


07/01/2009 EyM 1-22

EyM 1-43

Representación del campo escalar

)10

(),( tsentf πρρ −=

M

EyM 1-44

Representación del Campo vectorial

Para los campos vectoriales suele recurrirse a la utilización de las líneas de campo, aquellas en las que el campo es tangente a las mismas en todos sus puntos. Tal como indica esta definición, las líneas de campo permiten dar una idea de la dirección del campo en los puntos de una región. Para añadir información sobre el sentido del campo se superpone una punta de flecha a las líneas de campo en el sentido del mismo.Para dar una idea de la magnitud del campo en la zona de representación, se recurre a poner mayor densidad de líneas de campo allí donde éste es más intenso, de manera que la densidad de líneas sea proporcional al módulo del campo.

ω

rv

rv


07/01/2009 EyM 1-23

EyM 1-45


A veces resulta más sencilla una representación más directa del campo consistente en la elección de una malla de puntos dentro de la zona de estudio y el dibujo en cada uno de esos puntos del campo como una pequeña flecha que marca la dirección y sentido del campo y cuya longitud se hace proporcional a su magnitud.

EyM 1-46

Gradiente de un Campo Escalar

La representación algébrica de un campo escalar se hace por medio de una función f(r) = f(u1,u2,u3) que expresa el valor del campo en cada punto.

Un desplazamiento elemental desde un punto r a un punto próximo r + dr se expresa mediante

333222111 ˆˆˆ duahduahduahrd ++=r

El campo habrá variado su valor en

=++= 33

22

11

duufdu

ufdu

ufdf

∂∂

∂∂

∂∂

De esta manera se define el gradiente de un campo escalar como una magnitud vectorial que nos permite calcular la variación direccional del campo.

u1

u2

u3

O

P f=cte

rr drr

[ ]

( ) rdfgrad

duahduahduahauf

ha

uf

ha

uf

hr

⋅=

++⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= 3332221113

332

221

11

ˆˆˆˆ1ˆ1ˆ1∂∂

∂∂

∂∂


07/01/2009 EyM 1-24

EyM 1-47

Gradiente de un Campo Escalar

La dirección del gradiente indica la dirección de máxima variación del campo ya que df = grad f ·dr =|grad f||dr|cosα es máximo si dr es paralelo a grad f (α=0).

Si el desplazamiento se realiza sobre una superficie de campo constante (isotímica) entones df = 0 = grad f ·dr lo que implica, si dr ≠ 0 y grad f ≠ 0 (o sea f ≠ cte), que grad f es perpendicular a dr cualquiera que sea dr sobre la superficie isotímica. Por lo tanto la dirección de grad f es perpendicular al plano tangente sobre la superficie isotímica y tiene la dirección de la normal a dicha superficie.

Pf=cte

$n

drr

Veamos que indica el módulo del gradiente:

( ) ( ) αcosgragra rdfdrdfddf rr=⋅=

donde α es el ángulo entre ambos vectores. Por tanto:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= rd

dfmaxfd rgra que se produce si α = 0.

En resumen: el módulo del gradiente es la máxima variación posible del campo para un desplazamiento diferencial, que debe hacerse a lo largo de la dirección del gradiente que, a su vez, es la dirección perpendicular a las superficies isotímicas del campo.

EyM 1-48

Ejercicio

La figura muestra las líneas φ = cte de un pozo de potencial. Superponga una representación de las líneas de campo mostrando claramente (indique cómo) su dirección, intensidad y simetría.

Er

ϕgradE −=r

Las líneas de campo deben ser perpendiculares a las equipotenciales y su sentido hacia potenciales decrecientes. Debe representarse mas densidad de líneas donde el campo es más intenso que es donde están más próximas las equipotenciales


07/01/2009 EyM 1-25

EyM 1-49

Ejercicio

22),,(yx

zzyxf+

=

Dada la siguiente función f calcule su gradiente en coordenadas cilíndricas.

Primero transformamos la ecuación a coordenadas cilíndricas: 2),,(ρzzyxf =

( )

zzfffz

zfy

yfx

xf

auf

ha

uf

ha

uf

hfgrad

ˆˆ1ˆˆˆˆ

ˆ1ˆ1ˆ13

332

221

11

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

++=

ϕϕρ

ρρ

∂∂

∂∂

∂∂

La expresión del gradiente en curvilíneas, cartesianas y cilíndricas es:

( ) zzzzffffgrad ˆ1ˆ2ˆˆ1ˆ

23 ρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ+

−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

EyM 1-50


f x y,( ) sin x( ) cos y( )⋅:= grad x y,( )x

f x y,( )dd

yf x y,( )d

d

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=

surf M N,( )


07/01/2009 EyM 1-26

EyM 1-51

Fuentes de un Campo Vectorial

Dada la existencia de un campo vectorial A(r) resulta necesario averiguar la existencia y naturaleza de sus fuentes en determinadas regiones del espacio. El ejemplo del campo de velocidades de un fluido incompresible, por ejemplo agua, permite dar una idea intuitiva del objeto de nuestro estudio.Sea un estanque lleno de agua en reposo y planteémonos la manera de provocar el movimiento del agua para crear así nuestro campo de velocidades. Abriendo un agujero en la base del estanque el agua saldrá por dicho agujero creándose el campo de velocidades. Las líneas de campo evidentemente convergen hacia el agujero que constituye un sumidero para dichas líneas. El efecto opuesto se produce si a través del agujero introducimos agua en el estanque: ahora las líneas de campo divergen de la fuente que hemos creado. Este tipo de agentes productores de campo reciben, por razones obvias, el nombre de fuentes de tipo divergencia.

EyM 1-52

Divergencia de un Campo Vectorial

Para averiguar si en una región existen fuentes o sumideros del campo habráque rodear dicha región por una superficie y medir si a través de dicha superficie entra más agua de la que sale o viceversa. En el primer caso habrá un sumidero mientras que en el segundo habrá una fuente. La medida del agua que entra o sale a través de la superficie se realiza por medio del caudal o flujo de agua sobre la superficie. Se define el flujo del campo A(r) sobre una superficie elemental , donde es el vector unitario normal al elemento de superficie, como:

ndSSd ˆ=r

$n( ) SdrAflujod

rrr⋅= )(

Si la superficie a considerar es cerrada el sentido de es hacia el exterior del volumen encerrado por la superficie, estando indeterminado en el caso de superficies abiertas.

$n

dS$n $n

dS

S

rA

En el caso del campo de velocidades del agua a través de dS pasará, por unidad de tiempo, un volumen de agua . r r

v dS⋅


07/01/2009 EyM 1-27

EyM 1-53

• Definiciones:– El flujo de un campo vectorial a

través de una superficie se define como:» es un vector de módulo dS y dirección

normal a la superficie. Sentido el que se quiera.

– Si la superficie es cerrada, el flujo se representa como:

» Por convenio es saliente del volumenencerrado por la superficie.

• Interpretación:– El flujo de un vector a través

de una superficie cerrada mide si las líneas de campo tienen su origen o su fin en el volumen encerrado:

Flujo de un vector a través una superficie

∫∫ ⋅S

SdArr

Sdr ∫∫ ⋅

SSdArr

dSr

S

s rA dS

S⋅ >∫∫ 0

s rA dS

S⋅ <∫∫ 0

s rA dS

S⋅ =∫∫ 0

dSr

S

Sdr

EyM 1-54


El flujo total sobre una superficie cerrada será: ∫∫ ⋅=S

SdrAFlujorrr )(

Para investigar si en un punto tenemos o no una fuente rodeamos dicho punto por una superficie cerrada S, calculamos el flujo sobre S y calculamos el límite de dicho flujo cuando hacemos la superficie cada vez más pequeña tendiendo al punto.Es decir calculamos: ∫∫ ⋅→ SS SdrA

rrr )(lim 0

Pero, desafortunadamente, este límite siempre es nulo si A se mantiene finito.Para poder seguir obteniendo información acerca de la existencia o no de

fuentes calculamos una nueva magnitud, relacionada con el flujo y que llamamos divergencia del campo, como:

∫∫ ⋅= → SV SdrAV

Adivrrrr

)(1lim)( 0

siendo V el volumen encerrado por la superficie S. Como V es esencialmente positivo el signo de la divergencia será el mismo que el del flujo y obtendremos información de la existencia de fuentes o sumideros en el punto en cuestión.


07/01/2009 EyM 1-28

EyM 1-55


Puede encontrarse fácilmente la expresión de la divergencia en coordenadas curvilíneas ortogonales en un punto P. Rodeemos dicho punto por una superficie elemental como indica la figura y cuyo volumen es: ∆V = h1h2h3∆u1∆u2∆u3.

u1

u2

u3

P

A

BC

D

E

FG

h1du1

h2du2

h3du3

El flujo de A(u1,u2,u3) = A1â1+ A2â2+ A3â3 sobre la superficie PEFG será:

( ) ( )[ ]( ) 3232132321ˆ

ˆ

uuhhAuuhhaA

PEFGareanA PenPEFG

∆∆−=∆∆−⋅=

⋅=Φr

r

Si consideramos ahora la superficie ABCD, el valor del flujo se podrá obtener, en primera aproximación, como:

Flujo(ABCD)=Flujo(PEFG) + (Variación Flujo con u1) x (Variación u1)

( ) ( ) 1323211

3232111

uuuhhAu

uuhhAuu

PEFGPEFGABCD ∆∆∆+∆∆=∆

Φ−+Φ−=Φ

∂∂

∂∂

Sin embargo la normal hacia el exterior del volumen en ABCD es opuesta a la normal en PEFG por lo que:

EyM 1-56


Por lo tanto será: ( ) 3211321

uuuAhhuPEFGABCD ∆∆∆=Φ+Φ

∂∂

El mismo proceso puede seguirse en el resto de caras con lo que quedará:

( ) ( ) ( ) 3213213

3212132

3211321

uuuAhhu

uuuAhhu

uuuAhhuTotal ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=Φ

∂∂

∂∂

∂∂

Por tanto la divergencia será:

( )

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

∆∆∆Φ

=

→∆→∆→∆

3213

2132

1321321

321321

000

1

lim)(

3

2

1

Ahhu

Ahhu

Ahhuhhh

uuuhhhAdiv Total

uuu

∂∂

∂∂

∂∂

r

Y en cartesianas: ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= zyx A

zA

yA

xAdiv

∂∂

∂∂

∂∂)(

r


07/01/2009 EyM 1-29

EyM 1-57

Ejercicio

zxyzyexxA xy ˆˆˆ2 ++=r

Calcular la div(A) en (-1, 1, 2) siendo

( ) xyxexzA

yA

xAAdiv xyzyx ++=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

= 2r

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 111

2,1,1311112 −−

−−−=−+−+−= eeAdiv

r

EyM 1-58

Rotacional de un Campo Vectorial

Otra forma de generar el campo de velocidades en el estanque con agua puede ser el giro de un mecanismo con paletas que al rotar provoquen una rotación de la masa de agua. Este nuevo tipo de generador de campo recibe el nombre de fuente de tipo rotacional.

Para medir la rotación de las líneas de campo se utiliza una herramienta matemática que se llama circulación del campo.

( ) ldrAncirculaciodrrr

⋅=)(

Dada una trayectoria a lo largo de una curva C con un determinado sentido de recorrido y un campo vectorial se define la circulación elemental como:( )rA rr

C

( )rA rr

dlr dl es un vector cuyo módulo es la diferencial de arco

sobre la curva C, cuya dirección es la de la tangente a la curva y cuyo sentido es el establecido para el recorrido.


07/01/2009 EyM 1-30

EyM 1-59


Si las líneas de campo no presentan remolinos en una determinada dirección, supongamos que son paralelas, y tomamos una espira perpendicular al campo, resultará que en todos los puntos de la espira A·dl = 0 al ser A ⊥ dl y por tanto la circulación del campo sobre la espira será nula.

( )rA rr

ldr

ldr

C

Por el contrario si el campo presenta remolinos, entonces, A·dl ≠ 0 y la circulación será no nula.

( )rA rr

ldr

ldr

C

Naturalmente que el resultado obtenido dependerá de la orientación de la espira (se obtiene la rotación del campo respecto al eje perpendicular al plano de la espira), por lo que, al hacer la medida, habrá que situarla en tres posiciones mutuamente ortogonales y así se obtendrá una información de tipo vectorial.

EyM 1-60

Se define así el rotacional de un campo vectorial como un vector cuya componente según la normal a una espira C de área S es:n


Si se quiere averiguar si en punto existen o no fuentes de tipo rotacional del campo habría que situar tres espiras ortogonales centradas en el punto, medir la circulación del campo sobre ellas y obtener el límite cuando las espiras se hacen tender al punto.Sin embargo dicho límite es siempre idénticamente nulo por lo que conviene dividir la circulación por el área de la espira que, al tender también a cero al tender la espira al punto, permite obtener un límite no idénticamente nulo, de valor proporcional a la circulación.

( ) ∫ ⋅=⋅→ CS

ldAS

nArotrrr 1limˆ

0Puede encontrarse fácilmente la expresión para el rotacional de un campo vectorial en coordenadas curvilíneas ortogonales calculando la circulación sobre la espira elemental de la figura.

u1

u2

u3

P A

BC

h2du2

h3du3

$a1


07/01/2009 EyM 1-31

EyM 1-61


La circulación en el segmento PA será: ( ) 222222 ˆ uhAauhAldACPA ∆=∆⋅=⋅=rrr

( ) ( ) 32223

22233

uuhAu

uhAuuCCC PA

PABC ∆∆−∆−=∆−

+−=∂∂

∂∂

La circulación sobre el segmento BC puede obtenerse en primera aproximación de la circulación sobre PA teniendo en cuenta que el sentido de circulación es el opuesto:

De forma análoga pueden obtenerse: ( )( ) 333333 ˆ uhAauhAldACCP ∆−=−∆⋅=⋅=rrr

( ) ( ) 23332

33322

uuhAu

uhAuuCCC CP

CPAB ∆∆+∆=∆−

+−=∂∂

∂∂

Por tanto será: ( ) ( )

323

22

2

33 uuu

hAu

hACTotal ∆∆⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

∂∂

∂∂

Y la componente según del rotacional:1a

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

∆∆=⋅

→∆→∆

3

22

2

33

323232001

1limˆ3

2 uhA

uhA

hhuuhhCaArot Total

uu ∂

∂∂

∂r

EyM 1-62


Finalmente se podrá escribir el rotacional como:

( )332211

321

21

3

13

2

32

1 ˆˆˆ

hAhAhAuuu

hha

hha

hha

Arot∂∂

∂∂

∂∂

=r

Y en cartesianas:( )

zyx AAAzyx

zyx

Arot∂∂

∂∂

∂∂

ˆˆˆ

=r


07/01/2009 EyM 1-32

EyM 1-63

Ejercicio

( )

( ) ( ) ( )yxyzzyxyx

zxyzyxzyx

zyx

AAAzyx

zyx

Arot

zyx

2

222

22ˆ00ˆ20ˆ

2

ˆˆˆˆˆˆ

−+−−−=

===∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂r

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xzxArot ˆ4212122ˆ2120ˆ 2

)1,2,1(=−−−+−−=

−

r

Calcular el rotacional de A en (1, -2, 1) siendo zzyxyzxyxA ˆˆ2ˆ 222 ++=r

EyM 1-64

Teorema de Gauss

De la definición de divergencia como: ∫∫ ⋅= → SV SdrAV

Adivrrrr

)(1lim)( 0

podemos obtener para un elemento diferencial la expresión:∫∫∆ ⋅=

SSdrAdVAdivrrrr

)()(donde ∆S es la superficie que rodea al elemento diferencial.

Supongamos que dicho elemento diferencial es uno de los elementos en que se ha dividido una región V rodeada por una superficie S. Si sumamos el resultado anterior a todos los elementos del volumen: ∑∫∫∑ ∆

⋅=S

SdrAdVAdivrrrr

)()(

El sumatorio del primer miembro en el límite, cuandoel número de elementos es muy grande, se transformaen la integral de volumen de la divergencia.

En el segundo miembro hay que observar que el flujo sobre la superficie común de dos elementos de volumense cancela, al ser las normales de sentidos opuestos.

Solo quedará el flujo sobre las caras no comunes, que corresponden a la superficie S que encierra el volumen. Por tanto quedará:

∫∫∫∫∫ ⋅=SV

SdrAdVAdivrrrr

)()(

VS

$n


07/01/2009 EyM 1-33

EyM 1-65

Teorema de Stokes

Retomando la definición de la componente del rotacional sobre la normal a unaespira elemental ∆C tenemos: ( ) ∫∆→∆

⋅∆

=⋅CS

ldAS

nArotrrr 1limˆ

0Podemos reescribir: ( ) ∫∆ ⋅=⋅

CldAdSnArotrrr

ˆSi suponemos que nuestra espira elemental es uno de los elementos en los que hemos subdividido una superficie S apoyada en un contorno C, con la normal a la superficie en el sentido adecuado según el del recorrido sobre C, la suma sobre todos los elementos será:

( ) ∑∫∑ ∆⋅=⋅

CldASdArotrrrr

La suma de los términos del primer miembro da una integral sobre la superficie S. La suma de los términos del segundo miembro se cancela en las caras comunes de los diversos contornos elementales y solo queda la integral sobre C. Por tanto resulta:

( ) ∫∫∫ ⋅=⋅CS

ldASdArotrrrr

$ndS

S

C

EyM 1-66

Operador Nabla (∇)

Si se escriben en coordenadas cartesianas las expresiones del gradiente, la divergencia y el rotacional tendremos:

( ) ffzz

yy

xx

zzfy

yfx

xffgrad ∇=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ˆˆˆˆˆˆ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

( ) AAzz

yy

xx

Az

Ay

Ax

Adiv zyx

rrr⋅∇=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ˆˆˆ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

( ) AAzz

yy

xx

AAAzyx

zyx

Arot

zyx

rrr×∇=×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++== ˆˆˆ

ˆˆˆ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Vemos que podemos definir un operador diferencial de carácter vectorial, llamado “nabla”, como:

∇≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ z

zy

yx

xˆˆˆ

∂∂

∂∂

∂∂

con el que se compacta considerablemente la notación.


07/01/2009 EyM 1-34

EyM 1-67


La simbología introducida en el sistema de coordenadas cartesiano se extiende a cualquier sistema de coordenadas considerando que la “forma” del operador, en este caso, será diferente para el gradiente, la divergencia y el rotacional:

Gradiente

Divergencia

Rotacional

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≡∇ 3

332

221

11

ˆ1ˆ1ˆ1 auh

auh

auh ∂

∂∂∂

∂∂

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≡∇ 321

3213

2132

1321

ˆˆˆ1 ahhu

ahhu

ahhuhhh ∂

∂∂∂

∂∂

332211

321

332211

321

ˆˆˆ1

AhAhAhuuu

ahahah

hhh ∂∂

∂∂

∂∂

≡∇

Conviene resaltar que aunque el operador ∇ tiene carácter vectorial no es un vector por lo que su analogía con un vector es simbólica. ∇ no tiene módulo ni dirección y por ejemplo el que ∇⋅A = 0 no implica que ∇ ⊥ A.

EyM 1-68

Expresiones de la Divergencia

• Curvilíneas:

• Cartesianas:

• Cilíndricas:

• Esféricas:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂=⋅∇

3

213

2

132

1

321

321

1u

hhAu

hhAu

hhAhhh

Ar

zA

yA

xAA zyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇r

zAAA

A z

∂∂

+∂ϕ∂

ρ+

∂ρ∂ρ

ρ=⋅∇ ϕρ 11r

∂ϕ∂

θ+

∂θθ∂

θ+

∂∂

=⋅∇ ϕθ Ar

Arr

Arr

A r

sen1sen

sen11 2

2

r


07/01/2009 EyM 1-35

EyM 1-69

• Curvilíneas:

• Cartesianas:

• Cilíndricas: Esféricas:

332211

321

332211

321

ˆˆˆ1

hAhAhAuuu

uhuhuh

hhhA

∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

zyA

xA

yxA

zAx

zA

yA

AAAzyx

zyx

A xyzxyz

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

zAAAz

z

A

ϕρ ρ∂∂

∂ϕ∂

∂ρ∂

ϕρρ

ρ=×∇

ˆˆˆ1

32

2

sen

ˆsenˆˆ

sen1

ArrAAr

rrr

rA

r θ∂ϕ∂

∂θ∂

∂∂

ϕθθ

θ=×∇

Expresiones del rotacional

EyM 1-70


Dado su carácter de operador diferencial debe seguir las reglas de la notación diferencial. Ello significa que el operador debe escribirse delante de la función sobre la que opera, debiendo situarse el resto de factores delante del operador para que no haya lugar a equívocos.

Las normas de utilización del operador cuando se aplica a productos de funciones consisten en:

a) Utilizar en primer lugar su carácter diferencial escribiendo tantos sumandos como factores. En cada sumando el operador actúa sobre un factor, lo que se indica por medio de algún símbolo que se sitúa sobre dicho factor.

b) Utilizar a continuación su carácter vectorial para reescribir cada sumando de acuerdo con la notación diferencial antes mencionada. Para ello deberán tenerse en cuenta las propiedades de conmutación y operación de los productos: escalar, vectorial, mixto y vectorial doble. Una vez situado al final de cada sumando el factor sobre el que actúa el operador (el que lleva el símbolo recordatorio), delante de él el operador y delante de éste el resto de términos, ya puede suprimirse el símbolo recordatorio.


07/01/2009 EyM 1-36

EyM 1-71


La aplicación sucesiva del operador ∇ conduce a nuevos operadores de ordensuperior. Así por ejemplo: ( ) ( ) fff ∆=∇⋅∇=∇⋅∇

donde ∆ es un operador diferencial escalar de segundo orden llamado operador de Laplace o “laplaciano”.

Su expresión en coordenadas curvilíneas ortogonales resulta:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∆ ∑

= iii i uf

hhhh

uhhhf

∂∂

∂∂

2321

3

1321

1

Este operador escalar puede operar también sobre campos vectoriales en cuyocaso resulta:

( ) AAArrr

×∇×∇−⋅∇∇=∆

EyM 1-72

Laplaciana de un escalar:Definición y expresiones

Es la divergencia de su gradiente:• Curvilíneas:

• Cartesianas:

• Cilíndricas:

• Esféricas:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=∆⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⋅∇

++=∇

33

21

322

13

211

32

1321

3

213

2

132

1

321

321

333

222

111 1

1

ˆ1ˆ1ˆ1

uf

hhh

uuf

hhh

uuf

hhh

uhhhf

uhhA

uhhA

uhhA

hhhA

uuf

hu

uf

hu

uf

hU

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

r

2

2

2

2

2

2

zf

yf

xfU

∂∂

∂∂

∂∂

++=∆

2

2

2

2

22

2

2

2 1111z

fffz

ffff∂∂

∂ϕ∂

ρ∂ρ∂ρ

∂ρ∂

ρ∂∂ρ

∂ϕ∂

ρ∂ρ∂ρ

∂ρ∂

ρ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆

2

2

2222

2

2

22

2

111

11

∂ϕ∂

θ∂θ∂θ

∂θ∂

θ∂∂

∂∂

∂ϕ∂

θ∂θ∂θ

∂θ∂

∂∂θ

∂∂

θ

fsenr

fsensenrr

frrr

fsen

fsenrfsenr

rsenrf

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆

( ) fff ∆=∇=∇⋅∇ 2


07/01/2009 EyM 1-37

EyM 1-73

Rotacional del gradiente de un escalar:

• Rotacional del gradiente:– Es nulo siempre:

– Demostración: Para cualquier contorno C y una de sus superficies S:

Luego el rotacional de un gradiente siempre debe ser nulo.

0≡∇×∇ U

( ) 0==⋅∇=⋅∇×∇ ∫∫∫∫C

CSdUldU

StokesSdU

rr

S$n

C

EyM 1-74

Ejercicio

Demostrar utilizando coordenadas cartesianas que 0=∇×∇ φ

0ˆˆ

ˆˆˆˆ

2222

22

≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂∂

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂∂

=∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂=∇×∇

xyyxz

xzzxy

yzzyx

zyxzyx

zyx

φφφφ

φφ

φφφφ


07/01/2009 EyM 1-38

EyM 1-75

Divergencia del rotacional de un vector.

• Divergencia del rotacional:

– Basta con tomar volumen arbitrario:

» Como C1 y C2 son el mismo contorno recorrido en sentidos contrarios, el resultado es nulo:

( ) 0≡×∇⋅∇ Ar

( )∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫=⋅+⋅=⋅×∇+⋅×∇=

=⋅×∇=×∇⋅∇

2121

0CCSS

SV

ldAldASdASdA

SdAdVArrrrrrrr

rrr

+

S1$n

C1S2

$n

C2V

S

EyM 1-76

Ejercicio

Demostrar utilizando coordenadas cartesianas que 0=×∇⋅∇ Ar

0

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆ

222222

=∂∂

∂−

∂∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

∂−

∂∂∂

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

=∂∂∂∂∂∂⋅∇=×∇⋅∇

yzA

xzA

zyA

xyA

zxA

yxA

yA

xA

zz

AxAy

zA

yAxz

zy

yx

x

AAAzyx

zyxA

xyxzyz

xyxzyz

zyx

r


07/01/2009 EyM 1-39

EyM 1-77

Ejercicio

Obtener Ar

×∇×∇( ) AAArrr

×∇×∇−⋅∇∇=∆ a partir de

( ) ( )AAA

AArr

r

rr

∇⋅∇−⋅∇∇=⋅∇∇⋅∇

∇=×∇×∇

( ) AAArrr

×∇×∇−⋅∇∇=∆

EyM 1-78

Laplaciana de un vector.

• Definición:

• Su expresión es complicada, salvo en cartesianas:– Limitando el cálculo a su componente x:

( ) AAArrr

×∇×∇−⋅∇∇=∆

( )[ ]zx

Ayx

AxA

xzA

yA

xA

xA zyxzyx

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ 22

2

2

++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++∇=⋅∇∇

r

[ ] [ ] [ ]

2

2

2

222

zA

yA

zxA

yxA

xA

zA

zyA

xA

yA

zA

yxA

zxzy

zxxyyz

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−−+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=×∇−×∇=×∇×∇

rrr

[ ] ( )[ ] [ ] xxxx A

zA

yA

xA

xAxAxA ∆=++=×∇×∇−⋅∇∇=∆ 2

2

2

2

2

2

∂∂

∂∂

∂∂rrr


07/01/2009 EyM 1-40

EyM 1-79

Laplaciana de un vector. (2)

• Repitiendo el cálculo para las componentes y y z:

– La laplaciana de un campo vectorial es otro campo vectorial cuyas componentes en coordenadas cartesianas (y sólo en cartesianas) son las laplacianas (escalares) de las componentes del campo original.

zAyAxAA zyx ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆r

EyM 1-80

Ejercicio

Siendo r el vector de posición de un punto (x,y,z) calcule:

( )rr∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆˆˆˆˆ =∆+∆+∆=++∆=∆ zzyyxxzzyyxxrr

( )rar∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆˆˆˆˆ =∆+∆+∆=++∆=∆ zzayyaxxazazyayxaxrar


07/01/2009 EyM 1-41

EyM 1-81

Ejercicio

Siendo φ un escalar y A y B vectores desarrolle:

( )Ar

ϕ⋅∇ ( ) ( ) AAAAAAArr&r&

r&rr&

r⋅∇+∇⋅=⋅∇+∇⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⋅∇+⋅∇=⋅∇ ϕϕϕϕϕϕϕ

( )Ar

ϕ×∇ ( ) ( ) AAAAAAArr&r&

r&rr&

r×∇+×∇=×∇+∇×−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛×∇+×∇=×∇ ϕϕϕϕϕϕϕ

( )BArr

×⋅∇ ( ) ( ) BAABBABABArrrr&rrr&rrr

×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ×⋅∇=×⋅∇

( )BArr

⋅∇ ( ) ( ) ( )BAABBABABA &rr&rr&rrr&rrr⋅∇+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅∇=⋅∇+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅∇=⋅∇

( )ABABABB

AABBA &rr&rr

&rrr&r

&rrr&r ∇⋅+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅−∇=

⋅∇⋅∇−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ×∇×−=×⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ×∇

( ) ( ) ( )ABABABBAABrrrr&rrr&r&rr

∇⋅+×∇×=∇⋅+×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ×∇−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅∇

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BABAABABBArrrrrrrrrr

∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇

EyM 1-82

Ejercicio cont.

( )BArr

××∇ ( ) ( )BABABA &rrr&rrr××∇+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ××∇=××∇

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BABABABABA

BABArrrr&rr&rr

&rr&rr

&rr∇⋅−⋅∇=⋅∇−⋅∇=

⋅∇⋅∇=××∇

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BAABABBABArrrrrrrrrr

∇⋅−∇⋅+⋅∇−⋅∇=××∇


07/01/2009 EyM 1-42

EyM 1-83

Ejercicio

Si a es un vector constante y r es el vector de posición calcule:

( )rr⋅∇

( )rr×∇

( )ra rr⋅∇

( )ra rr××∇

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3ˆˆˆ =∂∂

+∂∂

+∂∂

=++⋅∇=⋅∇ zz

yy

xx

zzyyxxrr

( )

0ˆˆ

ˆˆˆˆ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=∂∂∂∂∂∂=×∇

yx

xyz

xz

zxy

zy

yzx

zyxzyx

zyxrr

( ) ( ) azayaxazayaxara zyxzyxrrr

=++=++∇=⋅∇ ˆˆˆ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) aaarara

rarara

rarara

rrr&rr&rr

&rr&rr&rr&rr

&rrrr

23 =−=∇⋅−⋅∇=

=⋅∇−⋅∇=⋅∇⋅∇

=××∇=××∇

( ) ( )( ) axxxaxxxara xxr

LLLrr

=+∂∂=++∂∂=∇⋅ ˆˆ

EyM 1-84





Ejercicios


07/01/2009 EyM 1-43

EyM 1-85

Revisión de Conceptos Básicos

Producto mixto escalar y vectorial.- Dados tres vectores A, B y C cumple la siguiente propiedad de rotación del orden de los factores:

( ) ( ) ( )ACBBACCBArrrrrrrrr

×•=×•=×•

Producto vectorial doble.-

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BACCABCABA

CBCBArrrrrr

rrrr

rrrrr

•−•=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

••=××

Para medir distancias a lo largo de las curvas coordenadas es necesario utilizar unos factores de proporcionalidad llamados factores de escala:

dl h dudl h dudl h du

1 1 1

2 2 2

3 3 3

===

En Cilíndricas las diferenciales de longitud a lo largo de las líneas coordenadas son:

dzdlddlddl z === ,, ϕρρ ϕρ

ϕθθ ϕθ drdlrddldrdlr sin,, ===En Esféricas las diferenciales de longitud a lo largo de las líneas coordenadas son:

( ) ( ) ( )233

222

211 duhduhduhldldlddl ++=⋅==

rrr

EyM 1-86


Gradiente

Divergencia

Rotacional

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≡∇ 3

332

221

11

ˆ1ˆ1ˆ1 auf

ha

uf

ha

uf

hf

∂∂

∂∂

∂∂

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≡⋅∇ 321

3213

2132

1321

1 Ahhu

Ahhu

Ahhuhhh

A∂∂

∂∂

∂∂r

332211

321

332211

321

ˆˆˆ1

AhAhAhuuu

ahahah

hhhA

∂∂

∂∂

∂∂

≡×∇r

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∆ ∑

= iii i uf

hhhh

uhhhf

∂∂

∂∂

2321

3

1321

1

( ) AAArrr

×∇×∇−⋅∇∇=∆

Laplaciano

Laplaciano de un vector

0≡∇×∇ U ( ) 0≡×∇⋅∇ Ar


07/01/2009 EyM 1-44

EyM 1-87

Ejercicio

Calcule: ∫∫Resfera

dSr

zysensenxsenr ˆcosˆˆcosˆ θϕθϕθ ++= ϕθθ ddsenRdS 2=

02

2ˆ00cosˆ

ˆcosˆˆ

0

22

0

2

0

2

0

22

0

2

0

22

0

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=+

++=

∫∫

∫∫∫∫∫∫

==

====

ππ

θ

π

ϕ

π

θ

π

ϕ

π

θ

π

ϕ

θπθθθϕ

θθϕϕθθϕϕ

senRzdsendRz

dsendsenRydsendRxdSrResfera

EyM 1-88

Ejercicio

Calcule: ∫∫Resfera

dSθ

zsenysenx ˆˆcosˆcoscosˆ θϕθϕθθ −+=

22

0

2

0

22

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

ˆ42

22ˆ00ˆ

cosˆcoscosˆˆ

πθθπθθϕ

θθθϕϕθθθϕϕθ

ππ

θ

π

ϕ

π

θ

π

ϕ

π

θ

π

ϕ

RzsenRzdsendRz

dsendsenRydsendRxdSResfera

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=−

−+=

∫∫

∫∫∫∫∫∫

==

====


07/01/2009 EyM 1-45

EyM 1-89

Ejercicio

( ) ( ) 242222Ldl 22B

A=+++==∫

( )yx4B2ABLldB

A+==−==∫

rrrrr

X

Y

A:(-2,-2)

B:(2,2)

1.Obtenga los valores de las siguientes integrales de línea sobre la curva y=x definida entre (-2,-2) y (2,2).

=∫B

Adl

=∫B

Aldr

EyM 1-90

Ejercicio

∫=CdlL

Sobre la espiral logarítmica de ecuación situada en el plano z=0y con 0≤φ<2π calcular:

πϕ

ρ −= ae

∫=C

ldLrr

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )222

211

211

211

dzdd

duhduhduhdl

++=

=++=

ϕρρ

ϕπ

ϕπ

ρρ πϕπϕπϕ

deadldz

deadz

ae −−−

+=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

−=⇒⎭⎬⎫

==

2

1100

( )( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−+=+== −

=

−∫∫ 22

2

02

2

02

11111111e

aeadeadlLC π

πππ

ϕπ

ππϕπ

ϕ

πϕ

xeaax

eaxarrldldL AB

r

rC

B

A

ˆˆˆ 22 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=−=== ∫∫

rrrrr r

r

ρϕ

Brr

Arr a2ea


07/01/2009 EyM 1-46

EyM 1-91

Ejercicio

Verificar el teorema de Gauss para la superficie de un cubo de lado unidad centrado en el origen y con aristas paralelas a los ejes coordenados usando el vector xxA ˆ=

r

x

y

z1)( == ∫∫∫∫∫∫ VV

dVdVAdivr

( ) 1=∂∂

+∂

∂+

∂∂

=zA

yA

xAAdiv zyx

r

Como A solo tiene componente según x solo habráflujo sobre las caras x=1/2 y x=-1/2.

( )

( ) 121

211

21

21

ˆˆˆˆ

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=−⋅+⋅=⋅

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫∫ ∫ ∫

−= −=−= −=

−= −=−= −=

z yz y

z yS

z y

dydzdydz

dydzxxxdydzxxxSdArr

EyM 1-92

Ejercicio

Verificar el Teorema de Stokes sobre un contorno cuadrado de lado 2, vértice en el origen y sobre el plano z=0 siendo zxyyyxxxA ˆˆˆ 22 ++=

r

( ) ( ) ( ) ( )02ˆˆ02ˆˆˆˆ

2

22

−+−−=∂∂∂∂∂∂= xyzyyxyxxyyxx

zyxzyx

Arotr

zx

y

zn ˆ=r

( ) ( ) 822

22ˆ2

0

22

0

22

0

2

0

===⋅=⋅ ∫ ∫∫∫∫∫= =

xyxydxdydxdyzArotSdAroty x

SS

rrr(1)

(2)

(3)

(4)

La integral de circulación se calcula por tramos.

En cada tramo dl marca el sentido de circulación y los límites de la integral van desde el valor inferior al superior de la variable.

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅4321

ldAldAldAldAldAC

rrrrrrrrrr


07/01/2009 EyM 1-47

EyM 1-93

Ejercicio cont.

( ) ( )2

2ˆ

2

0

22

0

2

011

====⋅=⋅ ∫∫∫∫==

xxdxdxAdxxAldAxx

x

rrr

( ) ( )8

244ˆ

2

0

22

0

2

0

22

022

=====⋅=⋅ ∫∫∫∫∫===

yydyydyxdyAdyyAldAyyy

y

rrr

( )( )

( )2

2ˆ

2

0

22

0

2

033

−=−=−=−=−⋅=⋅ ∫∫∫∫==

xxdxdxAdxxAldAxx

x

rrr

( )( )

( )( ) 00ˆ

2

0

22

0

22

044

===−=−⋅=⋅ ∫∫∫∫∫=== yyy

y ydyydyxdyAdyyAldArrr

80282 =+−+=⋅∫C

ldArr

EyM 1-94

Ejercicio

Verificar el Teorema de Stokes sobre el contorno circular de la figura usando a) el círculo inscrito, b) la semiesfera y c) el cilindro mostrados. El campo es:

zzzzyxxyA ˆˆˆˆˆ −=−+−= ϕρr

a)

b)

c)

Cálculo de la circulación del vector:

( ) 22

0

2ˆˆˆ RdzzldAC

πϕρϕϕρπ

ϕ

=⋅−=⋅ ∫∫=

rr

Cálculo del rotacional:

( ) 222

0 0

22

22ˆˆ2 RRddzzSdArotR

Sa

ππϕρρπ

ϕ ρ

=⋅=⋅=⋅ ∫ ∫∫∫= =

rr

Cálculo del flujo del rotacional sobre a):

( ) zzxyzyx

zyxArot ˆ2

ˆˆˆ=

−−∂∂∂∂∂∂=

r


07/01/2009 EyM 1-48

EyM 1-95

Ejercicio cont.

a)

b)

c) ( ) ( ) ϕρρϕρρϕρρ dddzdddzzSdArot 2ˆˆˆ2 =+⋅=⋅rr

Cálculo del flujo del rotacional sobre c):

El flujo sobre la superficie lateral es cero. El flujo sobre la tapa superior del cilindro es:

( ) 222

0 0

22

222 RRddSdArotR

Sc

ππϕρρπ

ϕ ρ

=⋅==⋅ ∫ ∫∫∫= =

rr

Cálculo del flujo del rotacional sobre b): ( ) ϕθθ ddsenRrzSdArot 2ˆˆ2 ⋅=⋅rr

( ) 222

0

2

0

2 22122cos2 RRdsendRSdArot

bSππθθθϕ

π

θ

π

ϕ

===⋅ ∫∫∫∫==

rr

concepto de campo - gr.ssr.upm.es · 9campos escalares y vectoriales 9operaciones con ... las...

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