ii. vectores y escalares

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO

ESTÁTICA - Prof. E. Rodríguez B. 1

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ESCUELA DE INGENIERÍA CIVILESCUELA DE INGENIERÍA CIVILESCUELA DE INGENIERÍA CIVILESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: ESTÁTICACURSO: ESTÁTICACURSO: ESTÁTICACURSO: ESTÁTICA

SESIÓN SESIÓN SESIÓN SESIÓN 2: ÁLGEBRA VECTORIAL2: ÁLGEBRA VECTORIAL2: ÁLGEBRA VECTORIAL2: ÁLGEBRA VECTORIAL

Fuerzas Fuerzas Fuerzas Fuerzas coplanarescoplanarescoplanarescoplanares y espacialesy espacialesy espacialesy espaciales

1 2

VECTORES

Definición

Momentos

Velocidad, etc

Co

pla

na

res

Fuerzas

Magnitudes vectoriales

Elementos

Módulo

Dirección:i, j, k

Sentido:

Operaciones:

Aplicaciones

Tri

dim

en

sio

na

les

Algebra vectorial

Producto escalar

Producto vectorial

α, β, γ

I. INTRODUCCIÓN

• Parte de la matemática útil para físicos,matemáticos, ingenieros y técnicos.

• Permite presentar mediante las ecuaciones demodelo matemático diversas situaciones físicas.

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II. VECTORES Y ESCALARES 1. ESCALARES: Se representan por un número

real y su correspondiente unidad. Ejm: La masael tiempo; la temperatura.

2. VECTORES: Para expresarse necesitan de unmódulo, dirección y un sentido Ejm: La velocidad,el desplazamiento, la fuerza, etc.

3. TENSORIALES: Aquellas que tiene unamagnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem:El esfuerzo normal y cortante, la presión.

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III. VECTOR• Definición y representación.

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Elementos de un vector

1. Dirección: Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos

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Elementos de un vector2. sentido: Es el elemento que indica la orientación

del vector . Gráficamente viene representadapor la cabeza de flecha.

3. Módulo: Representa el valor de la magnitudfísica a la cual se asocia. Gráficamente vienerepresentado por la longitud del segmento derecta

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IV. Algebra vectorial Antes de describir las operaciones de suma, resta,

multiplicación de vectores es necesario definir:1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres

elementos idénticos

2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto

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Algebra vectorial: Suma vectorial

• Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regladel paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud de la resultante R se determina mediante laley de cosenos-

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Algebra vectorial: Resta vectorial • Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regladel paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud del vector diferencia D es

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Leyes del algebra vectorial 1. Conmutatividad.

2. Asociatividad

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Suma de varios vectores

Para sumar varios vectores se utiliza la ley delpolígono (aplicación sucesiva de la ley delparalelogramo o del triángulo)

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SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES

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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitascomponentes. El único requisito es que La suma de estacomponentes nos de le vector original. Ladescomposición pude ser en un plan o en el espacio.

EN EL PLANO

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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

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Ejemplo

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Graficar las siguientes fuerzas:

�� 2�̂ � 2 ̂�

�� 3�̂ � 2̂ � 4��

�� ̂ � 3̂ � 3��

�� 7�̂ � 2̂ � 3��

�� 3�̂ � 5̂ � 4��

Ejemplo

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Encontrar el módulo y el vector unitariocorrespondiente a las siguientes fuerzas:

�� 2�̂ � 2 ̂�

�� 3�̂ � 2̂ � 4��

�� ̂ � 3̂ � 3��

�� 7�̂ � 2̂ � 3��

�� 3�̂ � 5̂ � 4��

Ejemplo

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Encontrar la dirección de las fuerzas ycomprobar que: ��α+ �� β+ ��ϴ=1

�� 3�̂ � 2̂ � 4��

�� ̂ � 3̂ � 3��

�� 7�̂ � 2̂ � 3��

�� 3�̂ � 5̂ � 4��



EjemploLa resultante de la tres fuerzas mostradas en lafigura es vertical. Determine: (a) la magnitud dela fuerza A y (b) la resultante del sistema

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Ejemplo2.1 Determine la magnitud de la fuerzaresultante FR=F1+F2, así como su dirección,medida en sentido contraria a las manecillas delreloj desde el eje x positivo.

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Ejemplo2.3 Determine la magnitud de la fuerzaresultante FR=F1+F2, así como su dirección,medida en sentido contraria a las manecillas delreloj desde el eje x positivo.

21

Ejemplo2.10 La fuerza de 500N actúa hacia abajo en Asobre la estructura de dos barras. Determine lasmagnitudes de F dirigidas a lo largo de lasbarras AB y AC.

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Ejemplo2.13 La fuerza de 500lb que actúa sobre laestructura debe resolverse en dos componentesactuando a lo largo de los ejes de las barras ABy AC. Si la componente de fuerza a lo largo deAC debe ser de 300lb. Determine la magnitudde la fuerza que debe actuar a lo largo de AB yel ángulo θ de la fuerza de 500lb

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Ejemplo2.24 Resuelva la fuerza 50 lb en componentesque actúen a lo largo (a) de los ejes x y y, y (b) alo largo de los ejes x y y’.

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Ejemplo

2.28 La viga va a ser levantada usando doscadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600N dirigida a lo largo del eje y positivo, determinelas magnitudes de las fuerzas FA y FB mínima.FA actúa a 30°desde el eje y como se muestra

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Ejemplo2.30 Tres cables jalan el tubo generando una fuerza resultante conmagnitud de 900 lb. Si dos de los cables están sometidos a fuerzasconocidas, como se muestra en la figura, determina la dirección θdel tercer cable de manera que la magnitud de la fuerza F en estecable sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y.

¿Cuál es la magnitud de F? Sugerencia: Encuentre primero laresultante de la dos fuerzas conocidas.

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Ejemplo2.31 Determine las componentes x y y de lafuerza d 800 lb.

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Ejemplo2.32 Determine la magnitud de la fuerzaresultante así como su dirección, medida éstaen el sentido de las manecillas del reloj el eje xpositivo.

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Ejemplo2.34 Determine la magnitud de la fuerzaresultante así como su dirección, medida estaen sentido contrario al de las manecillas del relojdesde el eje x positivo.

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Ejemplo2.40 Determine la magnitud de la fuerzaresultante así como su dirección media ensentido contrario al de las manecillas del relojdesde el eje x positivo

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Ejemplo2.46 Determine la magnitud de la fuerzaresultante así como su dirección con respecto aleje x positivo y en sentido contrario a lasmanecillas del reloj.

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Ejemplo2.48 Si θ = 60° y F : 20 kN, determine lamagnitud de la fuerza resultante y su direcciónmedida en el sentido de las manecillas del relojdesde el eje x positivo.

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Ejemplo2.52 Las tres fuerzas concurrentes que actúansobre la amella roscada producen una fuerzaresultante FR=0. Si F2= 2/3 F1 y F1 debe estar90° de F2 como se muestra , determine lamagnitud requerida de F3 expresada entérminos F1 y del ángulo θ.

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En el espacio. Cualquier vector puededescomponerse en tres componentes

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VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES

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VECTOR UNITARIO • Es un vector colineal con el vector original• Tiene un módulo igual a la unidad • Se define como el vector dado entre su módulo

correspondiente es decir

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� � ��

�� +̂��+̂��

� �Fcos!�+̂��"+̂Fcosγ��

�� F(cos!�+̂��"+̂cosγ��

�� F$̂

VECTORES CARTESIANOS

Componentesrectangulares

Vectores unitarios cartesianos

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Ejemplo2.75 El poste está sometido a la fuerza F quetiene componentes Fx=1.5kN y Fz=1.25kN, siβ = 75°, determine las magnitudes de F y Fy

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Ejemplo2.79 El perno está sometido a la Fuerza F cuyascomponentes a lo largo de los ejes x, y, z comose muestra. Si F=80N, α=60°y %=45°, determinelas magnitudes de las componentes.

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Ejemplo2.80 Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre el perno sila fuerza resultante FR tiene una magnitud de 50 lby los ángulos coordenados de dirección α= 110° yβ = 80°, como se muestra, determine la magnitudde F2 y sus ángulos coordenados de dirección .

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VECTORES DE POSICIÓN

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VECTORES DE POSICIÓN

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VECTORES DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA

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Ejemplo

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Ejemplo2.84 Exprese el vector de posición r en formacartesiana vectorial; luego determine sumagnitud y sus ángulos coordenado de dirección

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Ejemplo2.85 Exprese el vector de posición r en formacartesiana vectorial; luego determine sumagnitud y sus ángulos coordenado dedirección

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Ejemplo2.86 Exprese la fuerza F como un vectorcartesiano luego determine los ánguloscoordenados de su dirección.

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Ejemplo2.87 Determina la longitud de la barra AB de laarmadura estableciendo primero un vectorcartesiano de posición de A a B y entoncescalcule su magnitud.

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Ejemplo2.91 Determine las longitudes de los alambresAD, BD y CD. El anillo en D esta a la mitad de ladistancia entre A y B

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Ejemplo2.92 Exprese la fuerza F como un vectorcartesiano: luego determine sus ánguloscoordenado de dirección.

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Ejemplo2.94 Determine la magnitud y los ánguloscoordenados de dirección de la fuerzaresultante que actúa en el punto A.

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Ejemplo2.98 Las retenidas de alambre se usan para darsoporte al poste telefónico. Represente la fuerzaen a alambre en forma vectorial cartesiana.

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Ejemplo2.106 La torre es sostenida por tres cables. Silas fuerzas en cada cable son las mostradas,determine la magnitud y los ánguloscoordenados de dirección α, β, % de la fuerzaresultante. Considere x=20m, y=15m.

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PRODUCTO ESCALAREl producto escalar o producto punto de dosvectores A y B denotado por y expresado Amultiplicado escalarmente B, se define como elproducto de las magnitudes de los vectores A yB por el coseno del ángulo que forman ellos.

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Propiedades del producto escalar1. El producto escalar es conmutativo

2. El producto escalar es distributivo

3. Producto de un escalar por el producto escalar

4. Producto escalar entre la suma de dos vectorespor un tercer vector

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Propiedades del producto escalar4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales

5. Producto escalar de dos vectores unitariosdiferentes.

6. Producto escalar de dos vectores

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Propiedades del producto escalar7. Producto escalar de dos vectores en forma de

componentes .Entonces tenemos

8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo.Entonces dichos vectores son perpendiculares

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Ejemplo

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Comprobar cuál de las siguientes fuerzasson paralelas

�� 3�̂ � 2 ̂�

�� 6�̂ � 4 ̂�

�� 3�̂ � 2 ̂�

�� 3�̂ � 2 ̂�

Ejemplo

2.110 Determine el ángulo θ entre las colas delos dos vectores

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ii. vectores y escalares

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