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Introducción a la física

Representación simbólica de la ruptura de la concepción medieval del mundo. Grabado Flammarion (1888). © Latinstock.

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IntroducciónEn este bloque haremos un repaso histórico de la física, centrándonos en el concepto de

materia y los modelos del universo que existían en la antigua Grecia para ilustrar la evolu-

ción del razonamiento lógico que llevó a su desarrollo. En este mismo desarrollo histórico,

abordaremos de manera breve y general la separación de la ciencia de la fi losofía para llegar

al concepto moderno de ciencia y terminaremos conociendo cuál es la clasifi cación de la fí-

sica actualmente. De ahí pasaremos a discutir lo que se conoce popularmente como método

científi co, en donde repasaremos los distintos intentos para formular los procedimientos

que son propios de la ciencia y entender que, aunque no existe un único método científi co,

es posible partir de una única formulación para empezar a incursionar en la investigación

científi ca. Con la idea general comprendida sobre qué es y cómo se hace la física, veremos las

herramientas básicas para iniciar en la experimentación y conoceremos las herramientas ma-

temáticas básicas para realizar cálculos de los fenómenos físicos. Para esto, veremos primero

qué es medir, cómo se mide y qué unidades se utilizan frecuentemente en física, así como la

importancia de tener un sistema de unidades común a todo el mundo. En las herramientas

matemáticas, veremos cómo se transforman unidades utilizando la llamada "regla de tres"

y, posteriormente, el concepto de vector y magnitudes vectoriales y escalares, así como las

operaciones básicas entre vectores, entre escalares y su representación gráfi ca y conceptual.

Con esto tendremos los requisitos mínimos para empezar a construir formalmente −es decir,

física y matemáticamente− los conceptos necesarios para el desarrollo de todos los temas que

se verán en este curso.

Conceptos básicos de físicaAntecedente histórico

Es posible hacer una exposición evolucionista de la historia de la física

desde el inicio de las civilizaciones hasta el presente, aunque no todos

los autores están de acuerdo con dicha exposición, pues lo que hoy con-

sideramos ciencia apareció en tiempos relativamente modernos, cuando

en el siglo XIX se empezó a diferenciar la ciencia de la fi losofía. Algunos

autores consideran que la física surgió a partir de la publicación del libro

De revolutionibus orbium coelestium (Sobre las revoluciones de las esferas celestes), de Nicolás Copérnico, publicado en 1543 (fi gura 1.1), en el que se expone

el modelo heliocéntrico con el Sol situado en el centro del universo y los

planetas y la Tierra girando alrededor de éste. Sin embargo, parte de la

importancia de este modelo estriba en la concepción de la conformación

del universo que va en contra de lo que anteriormente se creía, por lo que

es necesario conocer un poco sobre las ideas anteriores a Copérnico para

entender el impacto revolucionario de su libro y el posterior desarrollo de la ciencia a partir de

éste. Por esta razón a continuación haremos un esbozo de las ideas más relevantes de algunas

civilizaciones que contribuyeron al desarrollo de la física moderna.

Empecemos por mencionar que todas las civilizaciones conocidas tienen alguna explicación

sobre la creación del mundo, ya sea en términos mitológicos o religiosos. Esto hace evidente

la necesidad del ser humano de preguntarse sobre la génesis de lo que le rodea. Este tipo

de preguntas son la semilla que da origen a la ciencia moderna.

Evaluación diagnóstica,

p. 3

Figura 1.1 Por la controversia que generarían sus ideas, Copérnico esperó 30 años para

publicar su libro.

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En este texto nos centraremos en la historia de la ciencia occidental, empezando por la

civilización griega, que fue de las primeras en buscar explicaciones racionales a fenómenos

naturales. Luego hablaremos de otras culturas de Europa y, por último, de la cultura contem-

poránea, dejando de lado, por cuestión de espacio, el conocimiento de los pueblos originarios

de otras partes del mundo y otras épocas.

Composición de la materiaTales de Mileto (624-546 a.n.e.) es considerado el primer fi lósofo, geómetra y físico de la histo-

ria occidental, debido a que fue el primero que intentó dar explicaciones racionales a distintos

fenómenos y buscó los principios subyacentes, es decir, las causas básicas de las cuales nacen

las demás. A partir de esta idea, Tales postuló que el origen de todo lo que conocemos es el

agua. Otra de sus grandes aportaciones fue el razonamiento deductivo, por medio del cual se

puede llegar a conclusiones lógicas a partir de postulados iniciales que deben tener ciertas

características. Aunque Tales lo aplicó a la geometría (por ello existen algunos teoremas que

llevan su nombre), el razonamiento deductivo sería aplicado por sus sucesores para describir

el mundo y los fenómenos físicos.

En la época de Tales era común la creación de escuelas o

grupos de discusión fi losófi ca en los que el maestro ense-

ñaba a sus discípulos su fi losofía y éstos, posteriormente,

se convertían en maestros o fundaban nuevas escuelas de

pensamiento (fi gura 1.2). Debido a esta forma de comuni-

car el conocimiento, es posible trazar ciertas líneas con-

tinuas entre los distintos pensadores que contribuyeron

a formular las bases de lo que sería la ciencia en general,

y la física, en particular. Sin embargo, la unión entre fí-

sica y fi losofía permaneció desde la antigua Grecia hasta

el siglo XVII, cuando se presentaron clasifi caciones que

distinguían a las ramas del conocimiento como las cono-

cemos actualmente.

Anaximandro (610-545 a.n.e.), uno de los discípulos de Tales, después de la muerte de su maes-

tro, continuó con la escuela fundada por éste. Para Anaximandro, el origen de todas las cosas

no era el agua, como suponía Tales, sino una sustancia indefi nible e infi nita a la que llamó

apeirón, llevando así la explicación material de las cosas a una sustancia abstracta que ya no

puede ser representada por los objetos conocidos. Anaxímenes (590-524 a.n.e.), discípulo de

Anaximandro, se opuso a la idea de su maestro y postuló que ni el agua ni el apeirón eran el

origen de todas las cosas, sino el aire, el cual por medio de la condensación daba lugar a las

nubes, éstas al agua, el agua al hielo, el hielo a la tierra, y de la tierra se formaba todo lo demás.

Del mismo modo existía el proceso inverso. De esta forma y con un sólo elemento fundamental

(el aire) se podía explicar el surgimiento de todas las cosas materiales.

Por otro lado, Jenófanes (quien nació y murió entre los años 580-466 a.n.e.) sostenía que la

tierra y el agua eran los elementos que, cada uno por su cuenta y también al mezclarse, daban

origen a todos los seres vivos y todas las cosas. Jenófanes dijo:

“Tierra y agua es todo cuanto nace y se confi gura […], pues todos de la tierra y del agua hemos nacido.”

Figura 1.2 En esta pintura, una de las más conocidas de Rafael de Sanzio (1483-1520), se muestra a los filósofos y matemáticos más famosos de la Época Clásica.

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Por el mismo tiempo, Heráclito de Éfeso (540-480 a.n.e.) suponía que el fuego era el princi-

pio de todas las cosas. Aunque es importante señalar que algunos autores consideran que el

fuego del que habla Heráclito no es el que conocemos, sino sólo una analogía que utilizaba

para referirse al movimiento, del que el fuego mismo era característico.

Poco después, Empédocles de Agrigento (aproximadamente 495-444 a.n.e.) aseguró que el

mundo está formado de cuatro elementos: aire, fuego, agua y tierra. Para Empédocles estos

cuatro elementos a su vez están constituidos de pequeñas partículas que

se mezclan como ladrillos y piedras de distinto tamaño pero que, al fi nal,

lo llenan todo, de tal forma que en su concepción el vacío no existe.

Pitágoras (570-495 a.n.e., aproximadamente) fue un fi lósofo griego que

fundó una de las escuelas fi losófi cas más importantes, cuyas ideas se desa-

rrollaron en conjunto con las de sus discípulos, todos los cuales fi rmaban

con el nombre de Pitágoras, por lo que no sabemos realmente qué textos le

pertenecen a él personalmente. Para ellos, las matemáticas adquieren un papel central en la

fi losofía, al punto de argumentar que toda la realidad podía representarse mediante números,

al notar que existen principios matemáticos incluso en la naturaleza. Debido a esto, Pitágoras

postuló que la materia estaba formada por cinco elementos que podían ser representados por

fi guras geométricas: el cubo corresponde a la tierra, la pirámide al fuego, el octaedro al aire,

el icosaedro al agua y el dodecaedro representa la esfera del todo. Este modelo de la materia

será retomado posteriormente por Platón (427-347 a.n.e), como veremos más adelante.

Con estos fi lósofos se inicia la búsqueda basada en explicaciones causales del mundo que

nos rodea.

Para la segunda mitad del siglo V a.n.e., Demócrito (460-370 a.n.e.), quien fue un destacado

fi lósofo, contemporáneo de Sócrates (470-399 a.n.e.), postuló que la materia estaba hecha de

pequeñas partículas que no podían dividirse en pedazos más pequeños y las llamó átomos.

Estas partículas tenían distintos tamaños y formas y se podían combinar entre sí para con-

formar toda la materia existente. Algo notable sobre las ideas de Demócrito es que para él los

átomos se movían en un espacio vacío de manera aleatoria pero no azarosa, lo cual entraría

en confl icto directo con las ideas de Platón y Aristóteles (384-322 a.n.e.), cuya concepción del

mundo perduró en el mundo occidental hasta la época del Renacimiento. Según menciona

el historiador romano Diógenes Laercio (siglo III), Demócrito dijo:

Los filósofos griegos iniciaron el estudio de

prácticamente todos los principios del saber humano.

“Los principios de todas las cosas son los átomos y el vacío; todo lo demás es dudoso y opinable.”

Ref: Diógenes, p. 195.

Sería injusto no mencionar a Leucipo (siglo v a.n.e), de cuya vida no se sabe mucho. Fue

maestro de Demócrito y desarrolló algunas de las ideas atomistas que pulió y desarrolló este

discípulo suyo.

INFORMACIÓN

IMPORTANTE

A los discípulos de Pitágoras se les conoce como los pitagóricos. Ellos consideraban que la estructura del universo era aritmética y geométrica. Los pitagóricos estaban divididos en dos partes: los estudiantes, que aprendían las enseñanzas filosóficas, matemáticas y religiosas de su fundador, y los oyentes, los cuales se dedicaban a ver el comportamiento de los pitagóricos.

INFORMACIÓN IMPORTANTE

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Casi en la misma época que Demócrito, Platón propuso una estructura fragmentada de la

materia, a la cual le confi rió cinco tipos de sólidos (fi gura 1.3), como se mencionó anterior-

mente, llamados ahora sólidos platónicos: según Platón, en voz de Timeo:

Sería injusto no mencionar a Leucipo (siglo v a.n.e), de cuya vida no se sabe mucho. Fue

maestro de Demócrito y desarrolló algunas de las ideas atomistas que pulió y desarrolló este

discípulo suyo.

INFORMACIÓN

IMPORTANTE

“La pirámide es elemento y simiente del fuego”, ya que por su forma puntiaguda logra lasti-

mar al contacto con él. A la pirámide se le llama también “tetraedro”. El octaedro es el aire,

el icosaedro es el agua, el hexaedro es la tierra y el dodecaedro es el quinto elemento: el éter,

sustancia que forma el cielo y los cuerpos celestes.

Platón también creía que estos elementos se podían transformar entre sí y

además unirse para conferir a todas las cosas la estructura que observamos.

Aristóteles, discípulo de Platón, aceptó la existencia de los cinco elementos

platónicos y comparte hasta cierto punto la tesis atomista de Demócrito y

Leucipo, ya que admite que los elementos pueden tener algún tamaño míni-

mo indivisible. Por otro lado, Aristóteles rechaza la idea de los sólidos plató-

nicos como la forma de los cinco elementos y, de manera muy fi rme, niega

que exista el vacío en la naturaleza.

Vale la pena señalar que, según testimonios sobre los fi lósofos de los que

hemos hablado, todos escribieron algún trabajo titulado Sobre la física,

cuya etimología es precisamente griega y se utilizaba para referirse a la

“naturaleza”, de este modo tenemos una primera defi nición de lo que signifi ca física para el

desarrollo occidental del conocimiento humano. En este sentido, para los antiguos griegos,

cuando se habla de física se trata de las explicaciones que se dan sobre la composición del

mundo y sus elementos a partir de unas pocas hipótesis.

Astronomía y cosmologíaSegún cuentan Aristóteles y Séneca (este último fue un fi lósofo romano que

vivió entre el año 4 a.n.e. hasta el 65 de nuestra era), Tales de Mileto, al consi-

derar al agua como la sustancia elemental de la materia, afi rmó que la Tierra

se encuentra fl otando como si fuera un barco sobre el agua (fi gura 1.4) y que

es precisamente este movimiento sobre el agua el causante de los terremotos.

Curiosamente, Aristóteles crítica esta idea del mundo al hacer notar que el

problema de poner a la Tierra sobre el agua implica una situación análoga

para el agua que sostiene la Tierra: ¿qué sostiene al agua? Sin embargo, a

pesar de dar una explicación parcial, éste fue uno de los primeros intentos

de dar una explicación racional, fuera de los mitos religiosos.

El modelo del cosmos de Anaximandro consistía en una Tierra en forma de cilindro, en cuya

cara plana superior habitaba el hombre. El Sol, la Luna y las estrellas eran resultado del mo-

vimiento del calor y el frío que surgieron al formarse la Tierra.

Actividad 1,p. 4

El ser humano siempre ha mirado al cielo y ha dado explicaciones complejas al universo y a los fenómenos que en él ocurren. Conoce más acerca de las ideas y modelos que tenían las antiguas civilizaciones sobre el universo y el lugar que creían ocupar en él en la siguiente página electrónica: http://edutics.mx/UxW.

AVERIGUA MÁS

Figura 1.3 Los sólidos platónicos son poliedros regulares y ya eran conocidos desde antes de Platón, quien los empleó para representar los elementos que componen la materia.

Figura 1.4 Para Tales de Mileto, el agua es el origen de todas las cosas.

Tetraedro Hexaedro Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

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Para Anaximandro, nuestro mundo fl ota sin que nada lo sostenga, pero

se mantiene inmóvil al situarse a la misma distancia de todo lo que le

rodea (fi gura 1.5). Cabe hacer notar que, según Hipólito de Roma (siglo II),

Anaximandro calculó que el disco del Sol era 27 veces mayor que el de la

Tierra y 18 veces el de la Luna. Lo anterior pone de manifi esto la búsqueda

racional para entender el mundo. A pesar de tener todavía muchos ele-

mentos mitológicos entre sus explicaciones, ya empezaba a darse un paso

para medir, calcular y llegar a los métodos más usados comúnmente en la

ciencia hasta nuestros días.

Los pitagóricos propusieron que la Tierra es una esfera y que no es el cen-

tro del universo, sino que en éste había fuego y la Tierra se encontraba girando a su rededor

en órbitas circulares. Esto, según ellos, explicaba el ciclo del día y la noche, pues miramos el

fuego cuando estamos frente a él y observamos la noche al darle la espalda. Además, imagi-

naron una Tierra opuesta a la nuestra a la que le llamaron “anti-Tierra”, que sería la causante

de los eclipses. En órbitas más alejadas situaban a la Luna, el Sol y los cinco planetas conocidos

hasta entonces; y rodeándolo todo se encontraba una esfera de fuego en donde habitaban las

estrellas fi jas. En este modelo, tanto la Luna como el Sol son astros que no emiten su propia

luz, sino que refl ejan la luz del fuego central. Además, ya que Pitágoras encontró que la mú-

sica obedece a proporciones matemáticas armónicas, supuso que los astros orbitan también a

distancias proporcionales y que sus órbitas vibran generando notas musicales. De aquí viene

la famosa frase “la música de las esferas”.

Para Jenófanes, los cuerpos celestes eran partículas de fuego que se juntaban hasta formar

nubes incandescentes que seguían un ciclo en donde se desintegraban y se volvían a reunir,

lo que una explicación al fenómeno del día y de la noche y a la existencia de las estrellas,

pues en el día están dispersas iluminando el cielo y en el transcurso de éste se van agrupando

hasta formar estrellas, oscureciendo el cielo nuevamente. Para Jenófanes, la Tierra era plana

e infi nita y no se encontraba rodeada de aire. Por otro lado, como el Sol estaba compuesto

también de partículas incandescentes que se juntaban y se separaban, propuso que hay un

número infi nito de soles y lunas y que, presumiblemente, estos soles eran las estrellas.

Por su parte, Demócrito tenía una concepción infi nita del universo en la que los átomos dan

forma a la materia y a los astros, por lo que pensó que en el universo hay infi nitos mundos.

Esta idea será retomada y reformulada después por Giordano Bruno (1548-1600), quien mu-

rió en la hoguera por órdenes de la Inquisición, en parte, por sostener la

existencia de otros mundos.

Eudoxo de Cnido (390-337 a.n.e.) propone un modelo del universo con una

Tierra esférica e inmóvil en el centro, rodeada de 27 esferas crecientes en-

tre las cuales habitan los astros. El planteamiento de Eudoxo correspondía

a un modelo geométrico en el cual las esferas podían moverse simulando

los movimientos de los astros que observamos desde la Tierra y el cual

permitía predecir la posición de éstos en el cielo. De esta manera, Eudoxo

aplica las matemáticas a los fenómenos celestes. A este modelo se le llama

modelo geocéntrico (fi gura 1.6) (geo signifi ca tierra en griego) y estará vigente

hasta el Renacimiento, cuando Copérnico lo refute y reemplace con su

modelo heliocéntrico (helio signifi ca sol en griego).

Figura 1.5 Anaximandro colocó a la Tierra en el centro del universo. Creía que nuestro

planeta era cilíndrico.

Figura 1.6. El modelo geocentrico planteado por Eudoxo,en el siglo IV a.n.e, estuvo vigente

hasta la llegada de Copérnico.

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Aristarco de Samos (320-250 a.n.e.) midió las distancias de la Tierra a la

Luna y de la Tierra al Sol, por lo que se dio cuenta de que éste es de un

tamaño mucho mayor al de la Tierra, así que propuso el primer modelo he-

liocéntrico del universo con el Sol en el centro y los demás planetas (inclui-

da la Tierra) girando alrededor de él (fi gura 1.7). Para Aristarco, la Tierra y

los demás astros también eran esféricos y, curiosamente, ubicó a la Luna

orbitando a la Tierra y no al Sol. Debido a sus conocimientos matemáticos,

determinó también que las estrellas se encontraban demasiado lejanas, y que

éstas y el Sol eran los únicos astros que permanecían fi jos. Aristarco aplicó

el razonamiento matemático respecto a las dimensiones y distancias de

los astros. Esto lo llevó a postular un modelo de universo determinado

por conclusiones analíticas sustentadas en mediciones. Su trabajo inspiraría a Eratóstenes de

Cirene (276-194 a.n.e.) para demostrar que la Tierra es redonda y calcular su diámetro.

Aristóteles, en cambio, concibe un modelo geocéntrico similar al de Eudoxo (fi gura 1.6, pági-

na 14), pero para explicar mejor los movimientos errantes de los planetas, le añadió esferas

hasta llegar a un total de 55.

Los fi lósofos griegos, desde los tiempos de Tales de Mileto hasta la conquista de Grecia por

el Imperio Romano en el año 146 a.n.e., intentaron dar explicaciones a todas las cuestiones

posibles, desde el concepto del “ser” hasta las artes y la política. En su cultura fi losófi ca, de-

sarrollaron las matemáticas, la ingeniería, la astronomía, la óptica, la mecánica y la hidráu-

lica, entre otras muchas ramas del saber humano. Aunque la mayor parte de las doctrinas

fi losófi cas griegas de las que tenemos conocimiento y algunos fi lósofos destacados han sido

omitidos en esta escueta revisión centrada en las ideas sobre la estructura de la materia y la

astronomía, hay señales de que éstos son sólo dos elementos físicos que ilustran un poco el

desarrollo del pensamiento en esa época.

Después de los griegos: el Imperio Romano y la Edad MediaEn términos generales −con lo cual cometeremos alguna injusticia histórica−, para los roma-

nos era más importante el uso práctico de la física que la formulación analítica y teórica de

ésta, lo cual conllevó un abandono paulatino de la misma. La interrupción de la generación

de conocimientos fue acentuada por el hecho de que la lengua que hablaban los romanos

era el latín, por lo que las obras de los fi lósofos griegos fueron accesibles a un mínimo gru-

po privilegiado que sabía griego. Solamente el Timeo de Platón, algunos libros de Euclides

(325 a.n.e.-265 a.n.e.) y la Aritmética de Nicómaco fueron traducidos del griego al latín.

No sería hasta la Edad Media que se llegarían a traducir muchas de las grandes obras de los

fi lósofos griegos, en particular los textos de Aristóteles, traducidos y adaptados por Guillermo

de Moerbecke (1215-1286), cuya visión fi losófi ca descansaba en la concepción de que el mundo

existe para cumplir un fi n último. Esta visión se adaptó a las ideas cristianas de la época y a

partir de entonces, Aristóteles se convirtió en referente máximo del conocimiento humano,

adecuado a las ideas eclesiásticas.

Actividad experimental 1,p. 12

Los libros de Nicolás Copérnico, Giordano Bruno, René Descartes y Francis Bacon, así como el libro Diálogos sobre los principales sistemas del mundo, de Galileo Galilei y Curso de filosofía positiva de Auguste Comte, estuvieron prohibidos por la Iglesia católica hasta el año 1966.

INFORMACIÓN IMPORTANTE

Figura 1.7 Sistema heliocéntrico. Harmonia Macrocosmica. Andreas Cellarius (1660).

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A pesar de estas condiciones sociales poco apropiadas para el desarrollo científi co, es justo

reconocer que hubo algunos personajes que hicieron contribuciones que tuvieron cierto im-

pacto, por ejemplo, Jean Buridan (1300-1358), quien postuló que el aire frenaba a los cuerpos

durante su caída, y Nicolás Oresme (1323-1382), quien tradujo al francés algunas obras de

Aristóteles. Además, los escritos originales de los griegos, a pesar de no haberse traducido y,

por ello, haber permanecido en el abandono, no fueron destruidos, por lo que la tradición de

la ciencia griega no desapareció y, como ya mencionamos, sólo algunos conocían sus obras.

Por otro lado, la cultura árabe musulmana se encargó de traducir las obras de los fi lósofos

griegos a partir del año 800, preservándolos y enriqueciéndolos. Entre los exponentes más re-

presentativos podemos mencionar a Al-Juarismi (780-850 aproximadamente) en matemáticas,

Alfraganus (800-870 aproximadamente) en astronomía, Alhazen (987-1038) en óptica y Avicena

(930-1037) y Averroes (1126-1198) en fi losofía aristotélica. Además, con el establecimiento de las

universidades a partir del año 1150, se empezaron a popularizar entre los sectores académicos

de Europa las ideas de Platón y Aristóteles. Sin embargo, no hubo un desarrollo novedoso de

las ideas establecidas por los griegos, salvo algunas pocas excepciones, como ya se mencionó.

La revolución científicaA partir de la publicación del libro de Copérnico en 1543, donde propone el modelo heliocén-

trico que desafi aba toda la tradición cristiana-aristotélica, empezó a renacer el interés por el

desarrollo científi co en Occidente. Este hecho dio pie

a lo que se considera la primera revolución científi ca.

Johannes Kepler (1571-1630), astrónomo y matemático

alemán, logró hacerse con los datos observacionales

más precisos de la época, pertenecientes a Tycho Bra-

he (1546-1601). Analizando éstos, intentó encontrar un

modelo matemático que describiera el movimiento

planetario y descubrió que los planetas siguen trayec-

torias elípticas, con el Sol ubicado en uno de los focos

de dichas elipses. Kepler formuló tres leyes respecto a

los movimientos planetarios (fi gura 1.8):

• Primera ley. Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, con éste

localizado en uno de sus focos.

• Segunda ley. La línea que conecta al Sol con un planeta recorre áreas iguales en tiempos

iguales.

• Tercera ley. ∝T a2 3, el cuadrado del periodo (T) de cualquier planeta es proporcional al

cubo del semieje mayor de su órbita (a).

Cabe mencionar que Kepler formuló un modelo geométrico del sistema planetario que con-

travenía la postura de la Iglesia, quitando la idea de que la Tierra era el centro del universo

y, más aún, se enfrenta a la idea aristotélica deformando las órbitas del círculo para hacerlas

elípticas. Finalmente, la tercera ley proporciona una formulación matemática específi ca para

calcular los periodos orbitales de los planetas.

Revisa el siguiente simulador sobre las leyes de Kepler. Lo puedes consultar en: http://edutics.mx/Uxe.

TIC

Actividad HSE, p. 16

Figura 1.8 Las leyes de Kepler explican matemáticamente el movimiento de los planetas del Sistema Solar. En ellas, describen

órbitas elípticas en las que el Sol ocupa uno de los focos.

Perihelio(distancia mínima del planeta la Sol)

Afelio(distancia máxima del planeta al Sol)

Planeta

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Galileo Galilei (1564-1642), físico y matemático italiano, siete años mayor que Kepler, tuvo co-

nocimiento de las ideas de Copérnico y Kepler, quien publicó sus leyes en 1609. Galileo es con-

siderado por algunos autores como el primer científi co moderno, ya que revolucionó varios

aspectos del quehacer científi co. Al igual que Aristóteles, Galileo analizó una cantidad enorme

de fenómenos naturales relacionados con diferentes ámbitos del conocimiento: mecánica, as-

tronomía, matemáticas y óptica. Pero, a diferencia de Aristóteles, desarrolló experimentos para

confrontar sus ideas, tanto materiales como mentales. De esta manera, descubrió la propiedad

de los péndulos, cuyo tiempo de oscilación es independiente de la amplitud

inicial (es decir, qué tan alto se suelte la masa del péndulo al iniciar el mo-

vimiento), perfeccionó distintos tipos de relojes y creó el termoscopio para

medir la temperatura; además, diseñó y perfeccionó el telescopio para poder

observar objetos celestes. Estudiando el movimiento de los cuerpos, postuló

el llamado principio de la relatividad galileana, al que regresaremos más

adelante. Gracias a su aguda intuición para obtener conclusiones abstractas a

partir de sus experimentos materiales, formuló una ley sobre la caída de los

cuerpos. Por último, con ayuda del telescopio, demostró que la Tierra no es el

centro del universo, idea que lo llevó a enfrentar un juicio ante la Inquisición

en el que tuvo que retractarse públicamente para evitar ser condenado a muerte. Prácticamen-

te, todas las ideas de Galileo sobre física se contraponen a la física aristotélica y su manera de

proceder en el estudio de la naturaleza sentó las bases del quehacer científi co moderno. Cabe

mencionar dos detalles que también fueron revolucionarios para la época, pero que pocas veces

se toman en cuenta: el primero es que Galileo fue el primero en publicar sus ideas en lengua

franca, es decir, en italiano, cuando todos lo hacían en latín y continuarían haciéndolo varios

años después; segundo, Galileo evitó hacer alguna referencia a Dios o a la religión, aun cuando

en su época (y aún en tiempos posteriores) muchos científi cos basaron sus conocimientos en la

idea de descubrir a Dios por medio del estudio de la naturaleza, postura que, incluso, fue objeto

de crítica por parte de René Descartes(1596-1650).

A partir de aquí, una pléyade de personajes aparecieron en el desarrollo de las ciencias:

Descartes, Robert Hooke (1635-1703), Leibniz (1646-1716), Daniel Bernoulli (1700-1782), Blaise

Pascal (1623-1662) y Evangelista Torricelli (1608-1647), entre otros, de quienes no hablaremos

por cuestión de espacio. Pero en la historia de la ciencia, aunque todos sean importantes, hay

nombres que no pueden omitirse, como es el caso de Isaac Newton (1642/1643-1727).

Newton creó el cálculo diferencial e integral; además, entre sus con-

tribuciones más importantes a la ciencia, está su tratado de óptica y

la formulación de la mecánica que, al día de hoy, es la que se enseña

en las escuelas y es la misma que se utiliza para hacer los cálculos de

ciertos proyectos espaciales, como el lanzamiento de sondas al espacio

exterior (fi gura 1.9). Junto a la Ley de la Gravitación, que él también for-

muló, curiosamente desarrolló trabajos en teología y alquimia. Ya que

la mecánica newtoniana es tema central en el presente curso de física 1,

diremos algo más al respecto aquí. Vale la pena detenernos un poco y

hacer énfasis en la paulatina incorporación de modelos matemáticos en

la física a partir de los trabajos de Kepler, que se volvieron indisolubles

con los trabajos de Newton, haciendo más clara la diferencia entre la

labor fi losófi ca y la moderna concepción de la ciencia, aunque es necesa-

rio subrayar que la mecánica newtoniana fue publicada en 1687 bajo el

Actividad experimental 2,p. 13

Galileo es considerado por buena parte de la comunidad científica como el padre de la ciencia moderna.

Figura 1.9 La mecánica desarrollada por Newton ha permitido a la humanidad realizar la exploración del Sistema Solar por medio de sondas espaciales como Rosetta lanzada en 2004.

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título Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios matemáticos de fi losofía natural), lo cual muestra que, aun en la época de Newton y más de cien años después, la física sería

considerada de cierta manera parte de la fi losofía.

A partir de Newton, la física se empieza a entender como la explicación de los fenómenos

naturales con base en un lenguaje matemático que permita describir estos fenómenos y,

además, predecirlos; aunque no existirá un intento riguroso de defi nirlo sino hasta Auguste

Comte (1798-1857), mediante su fi losofía positivista y la primera separación explícita entre las

ciencias y la fi losofía. Con respecto a la composición de la materia, en su libro Óptica, Newton

propone que la materia está formada de partículas sólidas, masivas, duras, impenetrables

y móviles de diferentes tamaños y formas. Mientras que, con respecto al universo, asume

el modelo kepleriano y llega a darle una explicación física y matemática por medio de su

mecánica y la Ley de Gravitación Universal, llegando incluso a dar una explicación y una

predicción a la trayectoria de los cometas.

Física clásicaDurante los siglos XVIII y XIX se desarrolla enormemente la física, sentando las bases de lo que

hoy en día se conoce como física clásica. La mecánica, que es el estudio del movimiento de los

cuerpos y las fuerzas, fue reformulada en dos ramas: la mecánica analítica, creada por Leonhard

Euler (1707-1783) y Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), y la mecánica hamiltoniana, formulada

por William Rowan Hamilton (1805-1865). Sin embargo, más que una nueva teoría, éstas son

formulaciones matemáticas de la mecánica newtoniana que permiten resolver problemas de

manera más simple.

Sadi Carnot (1796-1832) sentó las bases de la termodinámica, que es el estudio de los fenó-

menos del calor y temperatura de los cuerpos macroscópicos (es decir, de los cuerpos que

podemos distinguir a simple vista). A esta disciplina contribuyeron también Rudolf Clausius

(1822-1888), James Prescott Joule (1818-1889) y William Thompson (1824-1907), entre otros. La

termodinámica estadística (llamada también mecánica estadística), que es el estudio de los

fenómenos termodinámicos a nivel microscópico, fue desarrollada por James Clerk Maxwell

(1831-1879), Ludwig Boltzmann (1844-1906) y Josiah Willard Gibbs (1839-1903), entre otros.

El electromagnetismo quedó fundamentado por los trabajos de André-Marie Ampère (1775-1836),

Michael Faraday (1791-1867), Charles Augustin de Coulomb (1736-1806), Johann Karl Friedrich

Gauss (1777-1855) y, fi nalmente, James Clerk Maxwell, quien unifi có los fenómenos eléctricos

y magnéticos en una nueva teoría llamada electromagnetismo. Además, el mismo Maxwell

demostró que la luz es un fenómeno electromagnético, por lo que la óptica, a cierto nivel de

estudio, se convirtió en un área particular de esta nueva teoría.

Física modernaCon estas tres grandes áreas de la física, a fi nales del siglo XIX, se pensaba que se había

llegado a entender todo lo que valiera la pena relacionado con los fenómenos naturales. Sin

embargo, al mismo tiempo, empezaron a surgir algunos fenómenos que parecían desafi ar lo

que se sabía de física hasta el momento. De esta manera, el siglo XX trajo consigo una nueva

Actividad 2, p. 4

Newton no sólo fue un científico talentoso, fue un niño tímido y retraído y después un alquimista dedicado. Averigua más sobre su vida y aportaciones en la siguiente página electrónica: http://edutics.mx/UxB.

AVERIGUA MÁS

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revolución científi ca con la aparición de la mecánica cuántica, que es el estudio de las partícu-

las subatómicas y de altas energías. A esta nueva teoría contribuyeron Max Planck (1858-1947),

Albert Einstein (1879-1955), Niels Bohr (1885-1962), Erwin Schrödinger (1887-1961), Paul Adrien

Marie Dirac (1902-1984), Werner Heisenberg (1901-1976), Max Born (1882-1970) y Pascual Jordan

(1902-1980).

En 1905, Albert Einstein formuló la teoría de la relatividad especial y diez

años después, en 1915, la teoría de relatividad general, que es una nueva

teoría gravitacional que abre, además, una nueva área de estudio: la cos-

mología, dedicada al estudio de la evolución del universo.

A partir de estas tres nuevas teorías (la mecánica cuántica, la relatividad

especial y la general), hubo un desarrollo exponencial tanto a nivel teórico

como experimental y tecnológico de la física (fi gura 1.10), creándose formu-

laciones nuevas como la teoría cuántica de campos, las teorías supersimé-

tricas, la teoría de cuerdas, las teorías de gravedad modifi cada, de estado

sólido y de gravedad cuántica, sólo por citar algunas de las más populares.

ClasificaciónEn 1848, Auguste Comte fue el primero en proponer una separación entre fi losofía y ciencia. La

propuesta de Comte era que las ciencias pueden clasifi carse en matemáticas, astronomía,

física, química, biología y sociología. Posteriormente aparecieron otros autores proponiendo

clasifi caciones diferentes, como Rudolph Carnap (1891-1970) o Mario Bunge (1919) quienes

eligieron una clasifi cación según su enfoque fi losófi co sobre lo que para ellos era una ciencia.

En este sentido, diferentes clasifi caciones de las ciencias implicarían diferentes defi niciones

de sí misma. Paradójicamente, el problema de lo que una ciencia es o no es, ha sido enfren-

tado casi en su totalidad por fi lósofos de la ciencia y no por científi cos, lo que ha llevado a

debates que hasta hoy día no han logrado resolverse del todo; incluso algunas de las ciencias

propuestas por dichos autores, en algunas de sus áreas no logran defi nirse como científi cas,

a pesar de ser reconocidas como parte del ámbito científi co.

Sin embargo, ignorando los problemas fi losófi cos sobre las defi niciones de ciencia, en física

se han ido defi niendo de manera más o menos clara las distintas áreas de estudio de esta

disciplina, como ya hemos mencionado.

Hoy la física abarca tantos campos del conocimiento que una primera separación que se puede

realizar es entre la física experimental y la física teórica. Esta dicotomía no es propiamente

una clasifi cación del área de la física, puesto que en todas las áreas existe esta distinción o algo

parecido. Por ejemplo, en astronomía hay astrónomos teóricos y astrónomos observacionales

(los cuales realizan una labor similar a la experimentación en el sentido de la recopilación de

datos). Aunque es importante subrayar que, con el desarrollo tecnológico de las computadoras,

la astronomía tiene una nueva forma de abordar los fenómenos que se estudian por medio de

simulaciones computacionales, que son un equivalente más cercano a la física experimental

que se realiza en los laboratorios, sólo que ahora el laboratorio es una computadora.

Conviene aclarar que la clasifi cación que daremos no es única, pues habrá autores que con-

sideren otras áreas o que omitan algunas que nosotros proponemos, no obstante, gran parte

de la clasifi cación estará de acuerdo con lo que afi rman otros autores.

Figura 1.10 La Teoría de la relatividad de Einstein se aplica en el Sistema de Posicionamiento Global (GPS, por sus siglas en inglés) que utilizan los teléfonos celulares.

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Entonces podemos empezar a dividir la física en clásica y moderna:

• Física clásica: mecánica, termodinámica, electromagnetismo, mecánica estadística y óptica.

• Física moderna: mecánica cuántica, relatividad especial, relatividad general, teoría cuán-

tica de campos, física de partículas y cosmología.

Puesto que la física es una ciencia en constante evolución, existen muchas áreas que actualmen-

te están en desarrollo y, por ello, no es común hablar de ellas en una clasifi cación como la que

hemos propuesto. Por ejemplo: teoría cuántica de lazos, teoría de cuerdas (supercuerdas), teorías

de supersimetría (son muchas), teorías de gravedad cuántica (también son muchas), teorías mo-

difi cadas de gravedad (quintaesencia, teorías f(R) y otras), modelos de materia oscura, etcétera.

A su vez, es usual dividir a la mecánica (clásica) en estática (estudio de las fuerzas que intervie-

nen en los cuerpos en reposo), dinámica (el estudio de las fuerzas que originan cambios de es-

tado o de movimiento en los cuerpos) y cinemática (el estudio del movimiento de los cuerpos).

La termodinámica se puede dividir en termodinámica en equilibrio (cuando no hay cambios

macroscópicos en los sistemas termodinámicos) y fuera del equilibrio (cuando se llevan a

cabo estos cambios), entre muchas otras.

La óptica suele dividirse en geométrica (cuando se estudia la luz como si fuera un haz de

luz) y óptica física (cuando se estudia como fenómeno ondulatorio). A partir de esta clasifi ca-

ción pueden encontrarse otras áreas que son una mezcla de estas disciplinas, por ejemplo:

hidrodinámica (el estudio de los fl uidos en movimiento), hidrostática (estudio de los fl uidos

en reposo).

Método científicoExiste el supuesto de que en ciencias existe un método científi co que consiste en observa-

ción, inducción, hipótesis, experimentación, refutación o confi rmación, tesis o teoría, que

inició con Francis Bacon (1561-1626), un fi lósofo inglés que se oponía a los métodos aristo-

télicos. Pero ¿cuáles eran esos métodos de Aristóteles?, ¿existen otros métodos científi cos?,

¿cuál método científi co se usa en la actualidad?

Como se puede intuir de las preguntas anteriores, hablar del método científi co de manera

crítica es más complicado de lo que muchos autores hacen creer al dar la idea de que existe un

único método científi co, que es el que todos los científi cos y las personas interesadas en hacer

ciencia deben seguir. Por desgracia sólo abordaremos de manera breve las cuestiones sobre el

método científi co, pero es importante señalar que, así como la defi nición de lo que es ciencia

no es única, la defi nición del método científi co tampoco lo es, además de ser un problema que

aún genera acaloradas e, incluso, divertidas discusiones.

Las palabras “método científi co” presuponen que existe un camino o una serie de pasos o

preceptos para razonar, modelar y llevar a cabo los experimentos que son parte de lo que ter-

minará por ser ciencia, o “conocimiento científi co”, sin embargo, la realidad en el quehacer

científi co es que existen varios caminos que dependen del tipo de área científi ca, del tipo de

fenómeno que se esté analizando e, incluso, de la fi losofía personal del científi co acerca de la

ciencia. Además, en algunos casos, el resultado científi co viene a ser encontrado por azar. En

nuestro caso, hablaremos de los métodos científi cos que son más populares en física.

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Empecemos por presentar, antes del método científico, algunos métodos filosóficos que con

más frecuencia son usados por los científicos. De entrada, se debe a Aristóteles la creación de

la lógica y la estructura de los silogismos, los cuales, si recordamos, son oraciones con dos pre-

misas y una conclusión, por ejemplo: (premisa 1) “Todos los hombres son mortales” (premisa 2),

“Aristóteles es un hombre” (conclusión), entonces Aristóteles es mortal. Debemos recordar

que en la lógica aristotélica existen 19 silogismos válidos que convendrá revisar y discutir en

otro momento. Lo que aquí nos interesa es enfatizar la estructura lógica subyacente como

una forma de razonar a partir de premisas iniciales. En el ejemplo expuesto, notemos que la

premisa 1, “todos los hombres son mortales”, puede que realmente no sea verdadera, ya que

sin que nosotros lo sepamos puede existir en el mundo algún humano inmortal. Primero,

en el sentido lógico es irrelevante si no se cumple la realidad en todos los casos para todo

el mundo; basta con que la premisa sea suficientemente general y confiable como para que

sea considerada verdadera y la estructura lógica no cambia. En el razonamiento aristotélico

era necesario considerar que las premisas eran indemostrables, es decir, verdades que son

inmutables por sí mismas, y que, además, era posible que todos pudieran descubrir esas ver-

dades generales. La forma de descubrir esas verdades da pie a lo que se conoce como método

inductivo-deductivo.

El método inductivo es un razonamiento que parte de observar fenómenos particulares e inclu-

ye aspectos que pueden ser verdades generales, aunque no siempre sean ciertas. Por ejemplo:

supongamos que tomamos cinco plantas silvestres de distintos lugares del mundo y notamos

que las cinco tienen espinas. Esto nos podría sugerir que todas las plantas silvestres tienen

espinas. Eso nos da nuestra premisa para el silogismo: “Las plantas silvestres tienen espinas;

las rosas son plantas silvestres; entonces las rosas tienen espinas”. A medida que se avanza en

el conocimiento, las premisas y el proceso inductivo pueden cambiar. Por ejemplo, tomemos

cinco plantas silvestres de distintas partes del mundo y supongamos que descubrimos que una

de ellas no tiene espinas. Eso contradice nuestra primicia inicial, sin embargo, notamos que

las plantas silvestres que tienen espinas tienen además pétalos azules, mientras que las que no

tienen espinas no incluyen pétalos azules. Entonces la inducción nos indica que: “todas las flores

silvestres con pétalos azules tienen espinas”. Existen otras formas de inducción pero nos basta

con entender bien la que hemos dado para seguir el tema del método científico.

El método deductivo implica recorrer el camino contrario al inductivo, es decir, en el deduc-

tivo se va de lo general a lo particular. En silogismos, el razonamiento deductivo consiste en

enunciar las premisas, es decir, las verdades generales conocidas, para luego concluir ver-

dades particulares. Por ejemplo: sabemos que la madera de los muebles viene de los árboles.

Si consideramos un escritorio de madera, entonces concluimos que el escritorio está hecho

con árboles.

El método inductivo-deductivo es un método filosófico que nos ayuda a obtener enunciados o

razonamientos que se consideran verdaderos dentro de un formalismo lógico. Por esta razón,

es un método de razonamiento muy usado por los científicos.

Así como existe el método inductivo-deductivo también existe el método a priori-deductivo, en

donde el individuo que lo usa formula sentencias que considera verdaderas por inspiración

o simple existencia ideal de ellas, o el método analítico y método sintético, de los que no ha-

blaremos aquí pero que explícitamente nos muestran que hay más de una forma de razonar

para adquirir conocimiento confiable.

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Otro método muy importante es el hipotético-deductivo, el cual es el que se enseña en las escue-

las como el método científi co. El método hipotético-deductivo es precisamente el instaurado

por Francis Bacon y reformulado posteriormente por otros fi lósofos. La versión moderna

de dicho método estipula que el camino para generar conocimiento científi co presenta los

siguientes pasos:

1. La observación de un fenómeno que sea de interés comprender. Este proceso lleva a la

formulación de preguntas específi cas y claras respecto al fenómeno observado.

2. La formulación de la hipótesis, es decir, formular razones causales que den explicaciones

a las preguntas específi cas que se plantearon en el punto anterior.

3. La deducción de las consecuencias que se derivan de considerar cada una de las hipótesis

formuladas como causa de que se observe el fenómeno estudiado. En este punto, se ana-

liza no sólo por qué la hipótesis explica el fenómeno, sino que también se verifi ca qué

otras consecuencias se derivan de considerar esa hipótesis en particular.

4. La experimentación o confrontación son las consecuencias derivadas a partir de pruebas

en la naturaleza que logren verifi car o contradecir la hipótesis.

5. La conclusión del proceso en el que se estima la pretensión de verdad que se alcanza con

la experimentación y análisis de resultados. En este punto se juzga si es necesario cam-

biar las hipótesis e iniciar el proceso o postular la hipótesis inicial como una explicación

exitosa del fenómeno.

En esencia, los pasos anteriores contienen todos los puntos que la mayoría

de los textos consideran como método científi co. Algunos añaden la induc-

ción, que queda contenida en nuestro punto 2, o cambian los nombres de

los pasos, pero el método es el mismo.

Resumiendo, podemos afi rmar que el método descrito anteriormente es

uno de los muchos empleados por la ciencia para llegar al conocimiento

científi co de los fenómenos (fi gura 1.11). Algo muy importante y que pocos

autores mencionan, es que en el quehacer científi co es fundamental con-

frontar los resultados, los datos y las explicaciones con los obtenidos por

otros miembros de la comunidad científi ca, de tal manera que puedan ser

reproducidos o corregidos por otros, labor que es crucial, ya que permite

separar la ciencia de las pseudociencias.

Medición y sistemas de unidadesSistema de unidadesEl 11 de diciembre de 1998, la sonda Mars Climate Orbiter (Orbitador Climatológico Marciano)

fue lanzada por la NASA desde Cabo Cañaveral para estudiar el clima del planeta Marte. La

misión estaba programada para que la sonda estudiara el clima durante un año marciano

(una vuelta al Sol hecha por Marte), lo cual equivale a 686.971 días terrestres (poco más de

1 año y 10 meses terrestres), sin embargo, para sorpresa de todos, el 3 de diciembre de 1999 la

sonda fue destruida al entrar a la atmósfera de Marte. Al analizar la causa de su destrucción se

encontró que el equipo de control de la Tierra mandaba las instrucciones calibradas con el Sis-

tema Inglés de Unidades, mientras que la sonda interpretaba estas instrucciones con el Sistema

Internacional de Unidades, es decir, cuando la nave determinaba la altura a la que se encontra-

Figura 1.11 El campo de estudio de la astronomía son los astros, los cuales son tan

grandes y lejanos que es imposible llevar a cabo la experimentación con ellos.

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ba de la superfi cie de Marte, decía, por ejemplo, 300 km, mientras que en el centro de control

de la Tierra recibían la información como 300 millas, que equivalen a 482.8 km, entonces le

decían a la nave que bajara a 87 millas (aproximadamente 140 km) y la nave interpretaba la

instrucción en km, por lo que bajaba 87 km en lugar de los 140 km equivalentes. De esta ma-

nera la sonda fue acumulando errores en su trayecto hasta que se acercó demasiado al planeta

Marte y, atrapada por su gravedad, penetró a la atmósfera y fue destruida en su trayecto.

Los sistemas de unidades son un acuerdo que existe respecto a qué cosas se miden y con

qué se miden. Como se puede observar en el caso de la sonda, resulta muy importante tener

un sistema común para hacerlo. En este apartado conoceremos el Sistema Internacional de

Unidades y sus equivalencias con el Sistema Inglés. Pero primero repasaremos el concepto

de medición, el cual es fundamental en física.

Medición en físicaA Galileo Galilei se le considera el primer científi co moderno, entre otras

muchas cosas, por ser, hasta donde sabemos, la primera persona en la cul-

tura occidental que confrontó sus ideas sobre el mundo con experimentos

que le mostraban lo que en realidad pasaba en la naturaleza (fi gura 1.12).

Antes de Galileo, era frecuente que las personas argumentaran lógicamente

sus ideas para que éstas se consideraran ciertas: Aristóteles, por ejemplo,

argumentaba que los cuerpos caen al suelo porque existe una afi nidad o

deseo natural de los cuerpos, que están formados por cierto porcentaje del

elemento tierra, de no separase entre sí (recordemos que Aristóteles creía

que la materia estaba formada por cinco elementos); así, entre más “tierra”

tuviera cierto cuerpo, más rápido caería al suelo, pues su deseo de regresar

a la tierra era mayor. Con esta idea, uno podría decir qué cuerpo tiene más

elemento “tierra” que otro al ver cuán rápido caen, pero para saber exactamente cuánta “tierra”

tiene un cuerpo sería necesario tener una forma de medir la cantidad de tierra de cualquier

cuerpo. Es decir, es necesario fi jar un patrón de medida de “tierra” para que, a partir de éste,

podamos dar una cantidad común a todos los interesados en saber cuánta “tierra” tienen los

cuerpos.

Gracias a los experimentos de Galileo en relación con la caída de los cuerpos sabemos que la

idea de la “tierra” contenida en los cuerpos no es correcta y que, de hecho, en el vacío todos

los cuerpos caen con la misma aceleración, independientemente de su masa, ya que el aire

es el responsable de frenar de distinta manera a los cuerpos al caer.

La palabra medir viene del latín metīri, que signifi ca “comparar una cantidad con su respec-

tiva unidad”. Tomando esta defi nición podemos decir que cuando se indica que la casa tiene

una altura igual a dos veces el tamaño de una persona, no es una medición en estricto sen-

tido, pues la unidad de medida es “una persona”, y las personas tienen alturas distintas, por

lo que si tomamos a cualquier otra persona y la comparamos con la misma casa, puede ser

que la casa mida 2.37 veces esa persona, o 1.2 veces otra persona. Sin embargo, si decimos: la

Ve el famoso experimento de Galileo que fue realizado por el astronauta estadounidense David Scott (1932-) dejando caer en la superficie de la Luna, al mismo tiempo, una pluma y un martillo. El video original y otro más reciente en la Space Power Facility de la NASA, en: http://edutics.mx/Ufi y http://edutics.mx/Uf5.

TIC

Figura 1.12 Galileo, para describir cómo caían los cuerpos, utilizó dispositivos como el plano inclinado.

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casa mide dos veces la altura de cierta vara que tomemos, entonces la medida es más clara y

se mantendrá fi ja para todo aquel que desee comparar esta medición, siempre que utilice la

misma vara obtendrá una medida de longitud equivalente.

Cuando tenemos una medición bien defi nida, entonces a la unidad de medida que se utilizó se

llamará patrón de medida, pues es a partir de ella que se realizarán las mediciones. De hecho,

si lo que queremos medir es más pequeño que nuestro patrón de medida, podemos dividir el

patrón en un número igual de partes más pequeñas: por ejemplo, a la vara le podemos hacer

ocho marcas entre las que haya la misma longitud y entonces seremos capaces de hacer medi-

ciones de hasta un octavo de vara, por lo que, si tenemos algo que mida una vara y dos octavos

de vara, bajo estas unidades y subunidades podemos dar la lectura de 1.25 unidades de vara.

Con este ejemplo es claro que cualquier persona podrá entender lo que signifi ca esta medida,

sin embargo, como ha sucedido en la historia de la civilización, distintos pueblos pueden

tener distintas varas, por lo que, para que todos estén de acuerdo con la medida, es necesario

que todos tengan un modelo de la vara original y sus respectivas marcas, de lo contrario,

sería un desastre que podría tener repercusiones importantes, como fue el caso de la sonda

de la NASA que se destruyó por mezclar distintos patrones de medida. Es por esto que, en

el siglo XVIII, se empezó a buscar defi nir patrones de medida que sirvieran para todos los

ciudadanos del mundo.

Sistema Internacional de Unidades y unidades baseEn Francia se inició la unifi cación de las unidades de medida. En 1670, el abate Gabriel Mouton

(1618-1694) propuso que se tomara como sistema nacional de medida cierta distancia sobre

la superfi cie de la Tierra, correspondiente a un minuto de arco del meridiano terrestre, a la

cual se le llamaría “milla”. Propuso también que las subunidades de esta medida se hicieran

dividiendo entre diez a la milla. Así inicia el sistema decimal.

Después de algunos intentos por defi nir de manera más sencilla a la unidad de distancia, fi -

nalmente, en 1792, la Academia de Ciencias de Francia resuelve que la unidad de medida será

el metro, el cual se defi ne como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por París, es decir,

( ) ( )=1 metro1/4 longitud del meridiano

10000000

Bastante trabajo costó hacer la medición del meridiano para poder determinar la longitud

del metro y construir una barra de hierro con dicha longitud, para que cualquier ciudadano

pudiera obtener, a partir de la barra, la medida de “un metro”. Ofi cialmente, el 7 de abril

de 1795, se puso en vigor el metro, aceptando la división decimal y los múltiplos decimales.

El símbolo del metro es m, lo cual no debe considerarse como una abreviatura, pues no

es correcto escribir 1 met. o 1 me.; la letra m indica metro en el sistema métrico decimal.

En ese mismo año, también se defi nió como unidad de volumen (la pinta) como aquella igual

Conoce más sobre sobre la historia de las medidas de longitud en la siguiente página electrónica: http://edutics.mx/UQA.

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a la décima parte de un cubo de un metro de lado; la unidad de la masa

(el grave, llamado después kilogramo) como la masa que hay en una pinta

de agua destilada a la temperatura de fusión del hielo y, fi nalmente, la

unidad de temperatura como 1 grado centígrado (posteriormente llamada

Celsius). Se construyeron patrones de platino para el metro y el kilogra-

mo y se hicieron las copias pertinentes para los países que lo solicitaran,

guardando los patrones originales en los Archivos de la República Francesa

(fi gura 1.13).

Al correr de los años varios países empezaron a adoptar este sistema de

unidades con sus respectivos patrones. En 1875, diecisiete países se reunie-

ron en la “Convención del Metro” (llamada también “Tratado del Metro”) y

aceptaron el sistema métrico decimal como el sistema ofi cial para usarse

en sus países. México se unió a este tratado el 30 de diciembre de 1890.

Hasta 1960, después de realizar varias convenciones se decidió llamar a este sistema “Sis-

tema Internacional de Unidades (SI)”, el cual defi nía tanto las unidades como sus símbolos,

además de los nombres de los múltiplos y las fracciones. En 1971 se añade el “mol” como una

unidad más, y es hasta 1995 cuando queda asentado el Sistema Internacional de Unidades

como lo conocemos hasta el día de hoy. Cada unidad se defi ne para medir “algo” y ese algo

se conoce como magnitud, que se defi ne como una propiedad física de algún cuerpo que

puede ser medida.

En la tabla 1.1 se muestran las unidades base que defi nen al SI, las magnitudes que miden y

su defi nición moderna.

Tabla 1.1 Magnitudes, unidades base y su defi nición

Magnitud Unidad Símbolo Definición Año

Distancia

(longitud)Metro m

Longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el

vacío en un lapso de 1 / 299 792 458 de segundo.1983

Masa Kilogramo kgMasa igual a la del prototipo internacional del

kilogramo.1889

Tiempo Segundo s

Duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación

correspondiente a la transición entre los dos niveles

hiperfi nos del estado base del átomo de cesio 133.

1967

Corriente

eléctricaAmpere A

Intensidad de una corriente constante, que mantenida

en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud

infi nita, de sección circular despreciable, colocados a

un metro de distancia entre sí en el vacío, produciría

entre estos conductores una fuerza igual a × −2 10 7

newton por metro de longitud.

1948

Temperatura Kelvin KCorresponde a la fracción 1/273, 16 partes de la

temperatura del punto triple del agua.1967

Cantidad de

sustanciaMol mol

Cantidad de materia que contiene tantas unidades

elementales como átomos existen en 0.012 kilogramos

de carbono 12 ( C12 ).

1971

Intensidad

luminosaCandela cd

La intensidad luminosa, en una dirección dada de

una fuente que emite una radiación monocromática

de frecuencia ×540 1 0  12 Hz y cuya intensidad energética

en esa dirección es de 1/683 watt por estereorradián.

1979

Figura 1.13 El patrón o prototipo internacional del kilogramo consiste de un cilindro hecho con una aleación de platino e iridio. En el 2019, esta unidad, junto con otras, será definida a partir de constantes físicas fundamentales.

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Unidades derivadas y prefijosA partir de las defi niciones de las unidades, cualquier otra magnitud física puede obtenerse

efectuando una operación sobre las demás unidades, por ejemplo, la rapidez se defi ne como

la distancia d que recorre un cuerpo en un tiempo dado t, es decir:

=velocidaddistancia recorrida

tiempo

En física, cuando nos interesa conocer las unidades de una magnitud se suele hacer uso del

símbolo [ ]   para indicar que estamos hablando de esas unidades. Por ejemplo, si v representa

la velocidad, d la distancia y t el tiempo, entonces [ ]v representa las unidades de la velocidad:

= =vdt

dt

[ ][ ][ ]

Es decir, la unidad de la velocidad es igual a la división de las unidades de la distancia entre

el tiempo, por lo que si =d[ ] m y =t[ ] s, entonces

=v[ ]ms

Las unidades de la velocidad se leen como metro sobre segundo. A cualquier otra magnitud

se le asocian entonces unidades derivadas de las unidades base, por esto se les llaman Unida-des Derivadas. Es común encontrarse con unidades derivadas que tienen su propio nombre,

como es el caso de los Joules [ J] , que es la unidad con la que se mide la energía, sin embargo,

siempre podemos expresar cualquier unidad derivada como la operación de unidades base.

En el caso del Joule, corresponde

=[ J] kgms

2

2

Posteriormente nos iremos familiarizando con estas unidades y la forma de obtenerlas, a

medida que las vayamos necesitando.

Una vez que tenemos un sistema adecuado para realizar las mediciones, resulta conveniente

darnos cuenta de que en la naturaleza las cosas pueden medir mucho o muy poco respecto a

una cierta unidad de medida. Por ejemplo, consideremos una cantidad muy pequeña, la masa

de un electrón mide 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 215 kg, mientras que el

Sol tiene una masa aproximada de 2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. Para facilitar

la lectura y la escritura de estas cantidades tan largas o tan pequeñas se han defi nido prefi jos

para ciertos múltiplos y fracciones de la unidad base y la llamada “notación en potencias

de 10” para expresar las cantidades en múltiplos de 10.

La tabla 1.2 muestra los prefi jos y su equivalente en la notación científi ca.

Tabla 1.2 Prefi jos utilizados en el Sistema Internacional de Unidades

Prefijo SímboloNotación en

potencias de 10Equivalencia decimal

Yotta Y 1024 1 000 000 000 000 000 000 000 000

Zetta Z 1021 1 000 000 000 000 000 000 000

Exa E 1018 1 000 000 000 000 000 000

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Tabla 1.2 Prefi jos utilizados en el Sistema Internacional de Unidades

Prefijo SímboloNotación en

potencias de 10Equivalencia decimal

Peta P 1015 1 000 000 000 000 000

Tera T 1012 1 000 000 000 000

Giga G 109 1 000 000 000

Mega M 106 1 000 000

Kilo k 103 1 000

Hecto h 102 100

Deca da 101 10

(unidad) no tiene prefi jo 10  0 1

Deci d 10-1 0.1

Centi c 10-2 0.01

Mili m 10-3 0.001

Micro μ 10-6 0.000 001

Nano η 10-9 0.000 000 001

Pico ρ 10-12 0.000 000 000 001

Femto f 10-15 0.000 000 000 000 001

Atto a 10-18 0.000 000 000 000 000 001

Zepto z 10-21 0.000 000 000 000 000 000 001

Yocto y 10-24 0.000 000 000 000 000 000 000 001

Con los prefi jos de la tabla 1.2, podemos decir que un electrón tiene una masa de

0.000 000 910 938 215 ykg = 0.000 000 910 938 215 × 10− 24 kg

Y el Sol una masa aproximada de

= ×2000000000 Ykg 2000000000 10 kg24

Aunque, en estos ejemplos, aún parece difícil leer la cifra, es evidente que es mucho más fácil

decir “dos mil millones de yottakilogramos” que “dos mil millones de cuatrillones de kilogra-

mos” para referirnos a la masa del Sol. Sin embargo, estos ejemplos son un extremo de las can-

tidades que se manejan en la física y resultan aún muy grandes o muy pequeñas para manejar,

por lo que, dependiendo de la escala empleada, se defi nen nuevos nombres de unidades que

son lo sufi cientemente grandes o pequeñas para escribirlas a partir de ellas, por ejemplo, en

el caso de la astronomía, existe una unidad de distancia denominada “año luz” (su símbolo es

al), defi nida como la distancia que recorre la luz en un año, y que equivale aproximadamente a

9.46 × 1012 m = 9.46 Tm = 9.46 Terametros = 9 460 000 000 000 m

Con esta cantidad podemos formar cantidades con los prefi jos del sistema internacional, por

ejemplo, 2 Pal (dos petaañosluz) equivalen a 18.92 × 1027 m

Ejercicio 1,p. 4

En México, la unidad de medida para el café es el quintal (QQ). Un quintal de fruto de café (café cereza) equivale a 250 kg. A lo largo del proceso del café, 1 QQ de café cereza produce solamente 38 kg de café tostado.

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Conversión de unidadesNos detendremos un momento para revisar el manejo de exponentes y potencias de 10. La

potencia (el número pequeño que se coloca sobre otro número) indica cuántas veces se debe

multiplicar ese número por sí mismo. Es decir:

105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10

Una potencia negativa nos indica la división del número 1 entre la poten-

cia que tiene, es decir:

= =−101

10110

11

Teniendo claro lo anterior, observemos qué pasa cuando multiplicamos 10,

elevado a una potencia a dada, por 10 elevado a la potencia − a:

× = × = =−10 10 101

101010

1a a aa

a

a

Por otro lado, cuando multiplicamos 10a por 10b, tenemos que el producto es:

× = +10 10 10a b a b

En el caso de que b = −a tenemos, sustituyendo en la ecuación anterior,

× = =− −10 10 10 10a a a a 0

Por lo que:

100 = 1

Las potencias de 10 tienen una propiedad que permite hacer operaciones fácilmente al apli-

carlas a alguna cantidad. Tomemos, por ejemplo, al número 3.761 y multipliquémoslo por

100, 102, 10−5:

× = × =3.761   10 3.761   1 3.7610

× = × =3.761  10 3.761 100 376.12

× = × = × =−3.761 10 3.7611

103.761

1100000

0.000037 6155

Podemos notar que, al multiplicar al número 3.761 por una potencia dada, resulta que el

punto decimal se recorre, a la derecha o a la izquierda, el mismo número de veces que

el número de la potencia, por ejemplo, en el primer caso multiplicamos por 100, la potencia

es 0 y el punto decimal no se mueve (o se mueve “cero” lugares). Cuando multiplicamos por

102, el punto decimal se recorre dos lugares a la derecha (el mismo número de la potencia);

cuando multiplicamos por 10−5 el punto decimal se recorre cinco lugares a la izquierda, el

mismo número de veces que indica la potencia y en la dirección que indica el signo. Esto

ocurre siempre cuando multiplicamos un número por potencias de 10, por lo que basta

recordar este hecho para ahorrarnos operaciones y agilizar las cuentas.

En el Reino Unido existe una unidad de medida

llamada “piedra” (igual a 6.35 kg), que se usa desde

la antigua Roma.

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Notación científicaExiste una notación particular que se utiliza comúnmente para presentar cantidades de

manera científica y se llama notación científica, la cual se usa escribiendo inicialmente el

primer número distinto de cero que pertenece a la cantidad, después un punto decimal y a

continuación el resto de la cantidad multiplicada por la potencia adecuada de 10 que man-

tenga equivalente la cantidad original. Por ejemplo, la cantidad 0.004 521 se puede escribir

en notación científica como:

4.521 × 10−3

De igual forma, la cantidad 312, en notación científica es:

3.12 × 102

De esta manera, podemos mezclar la notación científica con los prefijos de las unidades, sin

embargo, no podemos mezclar los prefijos, por ejemplo, resulta incorrecto escribir 10 nkm

(10 nanokilómetros) pero es posible escribir

7 315 cm = 7.315 × 103 cm

Si queremos expresar el ejemplo anterior en sus unidades naturales, es decir, escribir el nú-

mero en metros y no en centímetros, bastará con sustituir el valor del prefijo (recordemos de

la tabla 1.2 que el prefijo centi corresponde a 10−2 e implica recorrer el cero adecuadamente

de la siguiente manera:

= × −7 315 cm 7 315 10  m2

=7 315 cm 73.15 m

De esta manera, sabemos que 7 315 cm equivalen a 73.15 m (en esta última cifra hemos

recorrido el punto decimal dos lugares a la izquierda, como indica la operación sobre las

potencias de 10).

Transformación de unidades mediante el uso de prefijosUna manera sencilla de hacer el cambio de una cantidad de un prefijo a otro es la que se

presenta en la tabla 1.3, donde cada una de las cantidades se puede modificar para que co-

rresponda a los prefijos de una casilla determinada.

Tabla 1.3 Prefijos y potencias de 10 para transformar unidades recorriendo el punto decimal

Recorrer el punto decimal a la izquierda

1012 109 106 103 102 101 1 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12

Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca Deci Centi Mili Micro Nano Pico

Recorrer el punto decimal a la derecha

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Dentro del universo en el que vivimos existen objetos de diferentes tamaños, muchos de estos cuerpos son tan pequeños o tan grandes que nos resultan difíciles de concebirlos. Para darte una idea de la escala del universo macro y macroscópico en el que vives y puedas aplicar tus conocimientos sobre notación científica, te recomendamos la animación interactiva The escale of universe, la cual puedes consultar en la siguiente dirección electrónica: http://edutics.mx/UQh

AVERIGUA MÁS

Así, por ejemplo, si queremos transformar 9.3 kilómetros a micras, lo que debemos hacer es

ver cuántos lugares separan los kilómetros de las micras: son nueve. Así que, como pasamos de

un prefi jo mayor a uno menor, basta recorrer el punto decimal nueve lugares hacia la derecha,

es decir, tendríamos que:

9.3 km equivalen a 9.3 × 109 μm, o bien, 9300000000 μm.

Notemos que el lugar de veces que se recorre el punto es equivalente a la resta del exponen-

te del prefi jo original (tres para kilo) menos el exponente del prefi jo fi nal (−6 para micras),

es decir, 3 − (−6) = 3 + 6 = 9.

Ahora bien, si quisiéramos hacer una transformación en la otra dirección, de un prefi jo menor

a uno mayor, tendríamos que hacer lo contrario, por ejemplo, si queremos convertir 6.5 micro-

segundos a centésimas de segundo, tenemos, apoyándonos en la tabla, que la separación es de

− 4 lugares, con lo que deberemos recorrer el punto 4 lugares pero, en esta ocasión, hacia la

izquierda, pues la unidad fi nal es menor que la original. Tendríamos entonces, representado

en notación científi ca, que 6.5 s son 0.00065cs, es decir 6.5 × 10−4 cs.

Notemos también aquí que la resta del exponente del prefi jo original (−6 para micro) menos

el exponente del prefi jo fi nal (−2 para centi) es −6 −(−2) = −6 + 2 = −4 y es justamente 4 lugares

a la izquierda que se ha desplazado el punto decimal.

Transformación de unidades en distintos sistemas de unidadesExisten sistemas de unidades diferentes al sistema internacional. El más conocido es el

Sistema Inglés (también llamado Sistema Imperial, Sistema Británico o Sistema Anglosajón), ya

que es en Inglaterra, en Estados Unidos de América y en las colonias británicas y países con

infl uencia anglosajona en donde se usa de manera ofi cial.

Sus patrones de medida están guardados en Londres, Inglaterra. Este sistema utiliza las mis-

mas magnitudes base que el sistema internacional (longitud, masa, tiempo, etc.) pero las

unidades son diferentes, como se muestra en la tabla 1.4.

Tabla 1.4 Unidades base del Sistema Inglés

Magnitud Unidad Símbolo Equivalencia en el Sistema Internacional

Longitud Pie ft 1 ft = 30.48 cm

MasaSlug

Libra

slug

lb

1 slug = 14.59 kg

=1 lb 0.45359kg1 lb = 0.031 slug

Tiempo Segundos s 1 s

Ejercicio 2, p. 4

Te recomendamos el siguiente widget para que compruebes y expreses cantidades en notación científica. Lo puedes encontrar en: http://edutics.mx/UfB

TIC

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Regla de tresPara transformar unidades de un sistema a otro se hace uso de la llamada “regla de tres”, en

donde se escribe una equivalencia en un renglón y la cantidad por transformar en el renglón

siguiente, es decir:

x − yu − ?

La expresión anterior se lee: “x es equivalente a y, entonces u equivale a ?”. Es muy importante

que se respete el orden que se muestra, de manera que las unidades de x sean las mismas que

las unidades de u. Por ejemplo, si queremos transformar 21 lb a centigramos tenemos

que poner primero la equivalencia =1 lb 0.45359kg.

Si ponemos en el primer renglón esta equivalencia, el resultado se obtendrá en kilogramos,

por lo que podemos hacer dos cálculos de manera equivalente: primero calculamos cuántos

kilogramos corresponden a 21 lb y después convertimos esos kilogramos a centigramos (como

vimos anteriormente) o convertimos esta equivalencia a centigramos desde el principio. Apli-

cando esto último tenemos que: = = × =0.45359kg 453.59 g  453.59 10 cg 45359cg2

Realicemos entonces la regla de tres como sigue:

=1 lb 45359cg

21 lb  − ? cg

En la columna izquierda ambas cantidades tiene las mismas unidades (libras) y la columna

derecha también (centigramos). Ahora, la regla de tres nos indica la siguiente secuencia de

operaciones:

• Se multiplican las 21 lb y los 45359cg.

• Se dividen entre la primera cantidad (1 lb).

Lo que resulta es:

× =21 lb 45359cg1 lb

952539cg

Si hubiéramos ocupado la equivalencia a kilogramos, tendríamos que hacer

=1 lb 0.45359kg

21 lb − ? kg

Nota que las unidades que obtendremos serán kilogramos. Resolviendo se tiene:

× =21 lb 0.45359kg1 lb

9.52539kg

Transformando a centigramos:

=9.52539kg 952539cg

De esta manera podemos transformar unidades de un sistema a otro, mientras sepamos cuál

es la equivalencia entre unidades y respetemos el orden de operación.

Actividad experimental 3, p. 14

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Transformación por sustitución de unidadesLa regla de tres obedece a una razón matemática simple que puede verse al aplicar las opera-

ciones de acuerdo con la sustitución de unidades adecuadas. Por ejemplo, si tomamos el caso

anterior, tenemos 21 lb, que es igual a tener 21 lb × (1 lb). Ahora, de acuerdo con la equivalencia

de unidades, tenemos que =1 lb   45359cg, y podemos sustituir 1 lb por su equivalencia:

21 lb = 21 × (1 lb) = 21 × (45 359 cg) = 952 539 cg

Del mismo modo, podemos hacer la transformación de unidades cuando tenemos unidades

elevadas a una potencia. Por ejemplo, transformar 1.5 L (litros) a metros cúbicos y después me-

tros cúbicos a centímetros cúbicos. La equivalencia es 1 L = 0.001 m3 (los litros se pueden usar

como unidades de volumen, al igual que los metros cúbicos).

1.5 L = 1.5 × 0.001 m3 = 0.001 5 m3

Para transformar 0.001 5 m3 a centímetros cúbicos hacemos lo siguiente, tomando en cuenta

que 1 m = 100 cm:

0.0015 m3 = 0.0015 (m × m × m) = 0.0015 × (100 cm × 100 cm × 100 cm) = 

0.0015 × 100 × 100 × 100 (cm × cm × cm) = 1 500 cm3

O bien, podemos hacer también:

0.0015 m3 = 0.0015 × (100 cm)3 = 0.0015 × (1003 cm3) == × = 0.0015 1 000000 cm 1 500 cm3 3

Lo importante, en el último procedimiento, es notar que la equivalencia la tenemos de metros

a centímetros, no de metros a centímetros cúbicos, por lo que sustituimos únicamente el

valor de los metros y lo elevamos a la potencia de 3.

Errores de mediciónCuando medimos algo y decimos “mide más o menos 5.2 cm”, el error es la estimación

de lo que valdría ese “más o menos”. Lo que queremos decir es que la medición real se en-

cuentra muy cerca, pero no exactamente, de los 5.2 cm. El error es una determinación de

“qué tan cerca o lejos” del valor real se encuentra la medida. Si nuestro instrumento sólo

logra medir milímetros como mínimo, podemos decir que el error es de 0.5 mm, es decir,

el valor real se encuentra dentro de los 5.2 cm, más o menos 0.5 mm de

diferencia de la lectura dada.

Al realizar una medición pueden aparecer un número de factores que la modi-

fi quen, los cuales infl uirán sobre el valor del error estimado que se adjudique

a esa medición. De esta manera, los errores más comunes se clasifi can en:

Ejercicio 3, p. 5

Problema 1, p. 5

Applicación 1, p. 11

Se cuenta que el rey Jorge III de Inglaterra (1738-1820) decidió que un galón debería corresponder al volumen de su bacinica y que la definición de la unidad de medida sería “galón imperial”. Investiga qué otras unidades tienen un origen curioso.

INFORMACIÓN IMPORTANTE

Al no existir una medición exacta, se debe procurar

reducir al mínimo el error.

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• Sistemáticos: son errores originados por las imperfecciones de los instrumentos de medición

(dilatación del instrumento, error en la fabricación, entre otros). Si medimos con un instru-

mento defectuoso todas nuestras medidas serán afectadas de la misma forma. La manera de

notar que existe este error es comparar nuestras medidas con las realizadas con otro ins-

trumento de medición del mismo tipo y analizar cuidadosamente las discrepancias. Si todas

las medidas tienen el mismo factor de error, entonces tenemos un error de este tipo, y será

conveniente determinar cuál es el instrumento adecuado para corregir las medidas y elimi-

nar el error sistemático.

• Estadísticos: son errores originados por diversos factores, por ejemplo, al leer la hora en

un reloj desde distintos ángulos existirá un desplazamiento aparente de la aguja indicado-

ra sobre la escala (error de paralaje) o se pueden contar mal las divisiones del instrumento,

etcétera. Estos tipos de errores dan valores distintos cada vez que se repite la medición, por

lo que, para disminuir este problema, conviene repetir la mayor cantidad de veces cada

medición y después tomar el valor promedio de la medición.

Debido a que, siempre que medimos, usamos un instrumento de medición fabricado con

algún material (sujeto a dilatación por temperatura), debemos considerar el hecho de que

siempre habrá un error estimado en cada valor medido, también llamado “incertidumbre” y

que esta incertidumbre indica a quien lea los datos cuál es el grado de confianza que se puede

tener en ellos.

Es práctica común indicar el error de una medición con el signo ± después del valor de la

medida. Por ejemplo, un dato como 4.17 ± 0.3 m nos indicará que, aunque el valor real no es

4.17 m, éste se encuentra entre 3.87 m y 4.47 m, por lo que se puede considerar el valor de 4.17 m

siempre que se tome en cuenta que puede tener un error de 0.3 m.

Como mencionamos, el error o incertidumbre es una estimación del valor real respecto de

nuestra medición. La forma de cuantificarlo depende del tipo de error que logremos identificar.

En el siguiente apartado veremos cómo asignar la incertidumbre asociada a cualquier instru-

mento de medición, lo cual es suficiente siempre y cuando no entren en juego otros factores

que pudieran incrementar la incertidumbre.

Precisión y exactitud en las mediciones Preciso y exacto no significan lo mismo. La precisión se puede enten-

der como la capacidad que tiene un instrumento de medición para dar

el mismo valor al realizar diferentes mediciones al mismo objeto, bajo

las mismas condiciones. Es más sencillo entender esto cuando vemos

una forma de medir que se consideraría poco precisa, por ejemplo,

supongamos que queremos determinar cuántos segundos tarda en

caer de cierta altura una pelota y decidimos que el instrumento de

medición es un conteo mental de los segundos. Si comparamos éste con el del cronómetro

nos daremos cuenta de que cada que contamos la caída de la pelota (sin mirar el cronómetro)

nuestra estimación de medida varía décimas de segundo (posiblemente hasta segundos),

mientras que la lectura del cronómetro variará, posiblemente, sólo centésimas de segundo,

por lo que podremos afirmar que el cronómetro es más preciso que nuestro conteo mental.

En general, mientras el instrumento que usemos mantenga su escala sin modificarse de

manera notable por efectos de la temperatura, presión o cualquier otra causa, su precisión

Actividad 3, p. 6

La precisión de los instrumentos depende de la mínima medida que pueden realizar directamente.

Actividad experimental 4, p. 15

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estará asociada a la mínima lectura que pueda hacer, es decir, si las divisiones del instrumen-

to están separadas para medir milisegundos, micras o grados, de acuerdo a cada instrumento,

será considerada la precisión de dicho instrumento.

Por otra parte, la exactitud está asociada con la capacidad del instrumento para medir el

valor “real” de lo que deseamos medir. Por ejemplo, si medimos la longitud de un lápiz

con una regla, con precisión de milímetros, y nos acercamos a donde termina el lápiz, ve-

remos, muchas veces, que la gomita del lápiz no termina exactamente en la marca fi nal

que determinamos con nuestra regla. Si usamos un instrumento que mida subunidades

de milímetro, podrá parecer que ahora sí coincide la medición con la longitud real de la

regla, sin embargo, si vemos esta lectura con un microscopio, notaremos que todavía hay

un pedacito pequeño de goma que sobresale de la última rayita de nuestra lectura. Aunque

puede suceder que con una regla que mida solamente centímetros la gomita no sobresalga

mientras que con las otras sí. En este caso, la regla de centímetros se dice que es más exacta

aunque los otros instrumentos sean más precisos.

Precisión en los instrumentos de medición y su incertidumbrePara medir algo es necesario usar un instrumento de medida, el cual estará graduado de

alguna manera conveniente (en el mejor de los casos). Por ejemplo, para medir longitudes,

existen reglas de madera de 1 m de largo con 101 marcas internas equidistantes, es decir, la

separación mínima entre marcas consecutivas es de 1 cm.

También conocemos las reglas escolares de 30 cm que tienen subdivisiones

de 1 mm de separación entre marcas consecutivas, es decir, en la regla de

30 cm hay 301 marcas (incluyendo al cero). Si quisiéramos medir la longi-

tud de un lápiz con ambos instrumentos, podría suceder que con la regla

de 30 cm encontremos que mide 17.4 cm, pero, si lo hacemos con la regla

de 1 m, lo que podemos decir es que el lápiz mide 17 cm. No es válido decir

otra cosa, pues en la regla de un metro lo mínimo que podemos medir es

1 cm y no fracciones de centímetros. Existen aparatos de medición como

el vernier o nonio (fi gura 1.14), los cuales son capaces de medir longitudes

mínimas de hasta 1 / 50 de milímetro, es decir, 0.02 mm, por lo que, con

un vernier, podríamos leer que el lápiz mide 17.438 cm.

La precisión depende de la capacidad del intrumento de dar el mismo resul-

tado al realizar diferentes mediciones bajo las mismas condiciones. La exactitud es la capacidad

que tiene el instrumento de medir un valor muy cercano a un valor real, y la apreciación de

un instrumento se defi ne como la mínima cantidad que es capaz de determinarse con éste.

Podemos entonces decir que la regla de un metro tiene una precisión de 1 cm, la regla de 30 cm

tiene una precisión de 1 mm y que el vernier tiene una precisión de 0.02 mm.

En función de la precisión de un instrumento, podemos defi nir también la incertidumbre de

medición de ese instrumento como la mitad del valor de la precisión. De esta forma, la incerti-

dumbre de la regla de un metro es 0.5 cm, la de la regla de 30 cm es 0.5 mm y la del vernier es

0.01 mm (fi gura 1.14). Al escribir una medición debemos hacerlo de manera que contenga toda

la información de la medida con la fi nalidad de obtener mediciones más precisas, por tanto,

escribiremos (17 ± 1) cm en el caso de la regla de un metro; (17.4 ± 0.5) cm para la regla de 30 cm

y (17.438 ± 0.01) cm para el caso del vernier.

Actividad 4, p. 6

Problema 2, p. 7

Figura 1.14 El vernier es un instrumento que permite medir diámetros exteriores e

interiores, así como profundidades. Su invención se atribuye al cosmógrafo

y matemático portugués Pedro Nunes (1492-1577).

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Magnitudes vectorialesUna magnitud es una propiedad que puede ser medida, como el peso,

la masa, el tamaño espacial, el tiempo, la densidad, etcétera.

De algunas magnitudes sólo basta saber su valor para obtener todo su

significado, pero hay que mencionar siempre qué significa este valor,

es decir, si nos preguntamos ¿qué es un sloab? y nos dicen que un sloab es

una vara plana y delgada de cobre con una longitud de 24.3, podría-

mos decir que ya entendemos lo que es, pero, si analizamos un poco y

alguien más nos pide que dibujemos un sloab, ¿de qué tamaño lo dibu-

jaríamos? Con esto nos damos cuenta de que, a pesar de que nos indi-

caron que 24.3 es una cantidad de longitud, hasta que nos indique las

unidades se considera esta medida no tendrá sentido este valor numérico, por lo que 24.3 será

sólo un número abstracto y no una cantidad física. Es por esto que siempre que hablemos de

magnitudes físicas (escalares o vectoriales) debemos añadir las unidades que les correspondan.

La distancia, el tiempo y la energía, son magnitudes que sólo necesitan su valor y sus unidades

para saber todo lo que se puede decir de ellas, por ejemplo, la distancia que hay entre dos

puntos es 5.37 km o algo tardó 23 s en repetirse. Es decir, no es necesario añadir información

para que queden completamente definidas las magnitudes.

Si, por otro lado, hablamos del desplazamiento que experimentó un balón, podríamos decir:

“se desplazó 1.3 m”. Sin embargo, cuando decimos “desplazar” algo implica moverlo de un

punto a otro. Por lo que, para entender por completo el concepto de desplazamiento, necesita-

mos saber, además de la distancia, la direción y el sentido hacia la que se movió el cuerpo. Por

otro lado, cuando hablamos de que se aplicó una fuerza, es importante saber en qué dirección

y sentido se aplicó, ya que, dependiendo de esta dirección, las consecuencias de aplicar la

fuerza serán distintas.

Cuando una magnitud tiene la información de su tamaño y, además, tiene la información de la

dirección y sentido en la que se considera, se llama magnitud vectorial; cuando una magnitud

física sólo considera el “tamaño” de la magnitud (con sus unidades) se llama magnitud escalar.

Para distinguir cuándo una magnitud puede ser vectorial o escalar, es común hacer la si-

guiente pregunta: ¿hacia dónde? Si no tiene sentido la respuesta, entonces es una magnitud

escalar, de lo contrario es una magnitud vectorial. Por ejemplo, la distancia entre el punto A

y el punto B es de 5 cm. ¿Hacia dónde? En este caso no importa hacia dónde, pues si se mide la

distancia de A a B será la misma que la distancia de B a A. No importa si algo se mueve o no,

la distancia nos define una cantidad independientemente de la dirección de lo que suceda. La

distancia es entonces una magnitud escalar. En cambio, si decimos: la moneda se desplazó del

punto A hacia el punto B, al preguntar ¿hacia dónde se movió?, la respuesta será del punto A

al punto B, no al revés. En este caso tiene sentido la pregunta, por lo que el “desplazamiento”

es una magnitud vectorial.

De esta manera, cuando tengamos duda, podemos determinar si una magnitud física admite

una descripción vectorial. En la tabla 1.5 de la página 36, se presentan algunas magnitudes

escalares y vectoriales.

Las magnitudes físicas (escalares o vectoriales) adquieren sentido cuando se indican sus unidades correspondientes, sin ellas son sólo cifras abstractas.

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Tabla 1.5 Ejemplos de magnitudes escalares y vectoriales

Magnitudes escalares

Distancia Masa Energía Volumen Rapidez

Tiempo Temperatura Intensidad luminosa Potencia Densidad

Magnitudes vectoriales

Velocidad Fuerza Desplazamiento

Aceleración Campo eléctrico Campo magnético

El manejo de cantidades tanto vectoriales como escalares es común en la física, en particular

en la mecánica desarrollada por Isaac Newton, que es la que estudiaremos en este texto, y en

el electromagnetismo, tema que se cubre en el curso de Física 2.

Aunque Newton desarrolló la mecánica y publicó su obra en 1687, no fue sino hasta 1844 (157

años después) cuando William Rowan Hamilton (1805-1865), matemático, físico y astrónomo

irlandés, defi nió los términos de “escalar” y “vector” en su sentido matemático preciso, pero

fueron Josiah Williard Gibbs (1839-1903), físico estadounidense, y Oliver Heviside (1850-1925),

físico inglés, quienes desarrollaron y popularizaron el cálculo vectorial y defi nieron las nota-

ciones que utilizamos hoy en día al manejar las magnitudes vectoriales.

Características de un vectorUna magnitud vectorial queda descrita por su magnitud, dirección y sentido, en tanto que una

magnitud escalar queda descrita por su magnitud. Para tener bien defi nidas las magnitudes

vectoriales, tenemos, entonces, que defi nir correctamente lo que es un vector. Un vector es

una entidad matemática que contiene información de dirección y senti-

do. Al tener esta característica se requerirá de una forma diferente para

realizar operaciones entre vectores, en comparación con las operaciones

que usualmente hacemos con los números reales (escalares). Por fortuna,

los vectores admiten una representación gráfi ca que ayuda a visualizarlos

y entender las operaciones entre ellos.

De manera gráfi ca, un vector puede ser representado por una fl echa cuyo

tamaño indica su magnitud, el ángulo representa su dirección y la punta

indica su sentido (fi gura 1.15). Dos vectores cualesquiera serán iguales si

ambos tienen la misma magnitud, dirección y sentido, independientemen-

te del lugar del espacio donde éstos se dibujen.

Para distinguir los vectores de los escalares, se representan los vectores

con una letra diferente. A lo largo del texto, nosotros pondremos una

fl echa pequeña arriba de la variable, por ejemplo, el vector fuerza F lo

escribiremos

F.

Es conveniente defi nir ahora lo que son los espacios cartesianos. René Descartes, un fi lósofo

y matemático francés, es considerado el creador de la geometría analítica, para lo cual es-

tableció un sistema de referencia de ejes ortogonales (perpendiculares) que usaremos para

describir gráfi camente a los vectores. Un sistema de referencia que nos permite describir la

posición de un objeto con respecto de un origen defi nido. Tomemos el caso de dos dimensio-

nes, es decir, un plano. Coloquemos dos rectas ortogonales y graduadas correctamente. El

origen del sistema es el punto en donde se intersectan o cruzan ambas rectas.

Ejercicio 4, p. 7

La palabra vector significa en latín “el que acarrea,

conduce o transporta”.

Figura 1.15 Elementos que definen un vector, magnitud, dirección y sentido.

aDirección

Sentido

Magnitud

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Si llamamos x a una de las rectas y a la otra recta y, el punto en donde se

intersecan es donde definiremos el valor 0 para ambas rectas. Las rectas

tienen una flecha en un extremo que indica la dirección en la que au-

menta la numeración (figura 1.16). A partir de esta construcción podemos

decir exactamente en dónde se encuentra un punto cualquiera del plano al

ubicarlo a partir de los ejes del plano. Por ejemplo, si tenemos un punto P

en el plano (figura 1.17), podemos decir que el punto se ubica sobre el

número 5 del eje x y en el número 6 sobre el eje y. De esta manera, cual-

quier punto sobre el plano puede describirse por dos números (ya que son

dos rectas de referencia) que se llaman coordenadas. Las coordenadas se

representan por (x, y), en donde la primera entrada del paréntesis pertene-

ce, por convención, al eje horizontal (eje x, en nuestro caso) y la segunda

entrada al eje vertical y. Por tanto, del ejemplo anterior, el punto P, queda

representado por las coordenadas (5, 6).

Un vector, como dijimos, se representa gráficamente por una flecha. Es

suficiente entonces describir al vector

A mediante dos coordenadas. Una

coordenada para su cola y otra coordenada para su punta (figura 1.18).

Normalmente, gracias a que dos vectores que tienen la misma dirección,

magnitud y sentido son el mismo vector, es usual describir a los vectores

poniendo su cola en el origen, de esta manera, como ya conocemos una de

las coordenadas (la de la cola que se encuentra en el origen cuyas coor-

denadas son (0, 0), basta conocer solamente las coordenadas de la punta

para describir al mismo vector. Si analizamos la figura 1.19 veremos que

las coordenadas del vector han cambiado: (0, 0) para la cola y (7, 4) para la

punta. La manera en la que hicimos el cambio de coordenadas, sin modi-

ficar las propiedades del vector, fue observando que la cola se movió de

(−2, −3) a (0, 0), es decir, a la coordenada x le sumamos 2 y a la coordenada

y le sumamos 3. Para que el vector no se modifique, hacemos lo mismo

con la punta. Las coordenadas originales de la punta eran (5, 1); enton-

ces le sumamos 2 a la coordenada de x y le sumamos 3 a la coordenada

y de la punta, esto es (5 + 2, 1 + 3) = (7, 4), que corresponde a las coordenadas

de la punta del vector

A de la figura 1.19.

De esta manera, movimos del mismo modo tanto a la cola como a la punta.

Ahora, el vector

A puede ser descrito únicamente por las coordenadas de

su punta (7, 4). Es importante recordar, a partir de ahora, que un vector

puede describirse solamente por una coordenada cuando tiene la cola en

el origen, de lo contrario, será necesario utilizar dos pares de coordenadas

(cola y punta).

Ahora, si queremos saber la magnitud de un vector (su tamaño), parecería

que lo más sencillo sería tomar una regla y medir su longitud, sin em-

bargo, para hacer esto se debe cumplir que los ejes hayan sido dibujados

con la misma escala de dicha regla y, además, que el vector mida exacta-

mente lo que puede medir la regla (milímetros, por ejemplo). Existe una forma sencilla de

calcular el tamaño del vector de manera exacta. Para entender el procedimiento, primero

dibujemos un triángulo rectángulo en donde la hipotenusa (el lado más largo del triángulo)

Figura 1.16 Sistema de referencia.

Figura 1.17 Ubicación del punto P en el plano.

Figura 1.19 Ambos vector son los mismos porque tienen la misma magnitud, dirección y sentido..

00

-3

-2

-1-1 1 32-2-3

1

2

3y

x

00

P (5,6)

-1-1 1 32 4 5 6 7

12

3

4

5

6

7y

x

00

-3

-1-1 1 32 4 5-2

1

2y

x

-2

00

(7, 4)

(5, 1)

(−2, −3)

(−2, −3)

(5, 1)

-3

-2

-1-1 1 32 4 5 6 7 8-2

1

2

3

4

5y

x

Figura 1.18 Representación de un vector en el plano.

A

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corresponda al vector. De esta manera, la base del triángulo se puede determinar partiendo

de las coordenadas de la cola y punta (fi gura 1.20). De igual forma, la altura del triángulo

se puede determinar con las coordenadas de la cola y de la punta. Si las coordenadas de la

cola son (x0, y0) y las coordenadas de la punta son (x1, y1), entonces, llamando a a la base, b

a la altura del triángulo y c a la hipotenusa. Vemos que la base es = −a x x1 0 y la altura es

b = y1 − y0. El Teorema de Pitágoras nos dice que, para triángulos rectángulos, “el cuadrado de

la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”, es decir:

c2 = a2 + b2

Despejando el valor de la hipotenusa, se tiene:

= +c a b2 2

Tomando los valores de a y b respecto a las coordenadas de la cola y pun-

ta, y llamando

A a la magnitud del vector

A, es decir,

=A c, podemos

representar el Teorema de Pitágoras de la siguiente manera:

( ) ( )= − + −A x x y y1 0

2

1 0

2

De esta forma, tomando el ejemplo de la fi gura 1.18, haremos el cálculo

para el vector cuando su cola está en el punto (−2, −3) y su punta en (5, 1). Sustituyendo los

valores correspondientes a x, y en la ecuación de la magnitud, vemos que ésta es:

Entonces, la magnitud del vector

A es =65 8.062257 75.

Como vemos, una regla no basta para medir esta cantidad con tanta precisión. Podemos pro-

ceder a calcular la magnitud del mismo vector, pero conviene recordar que ha sido desplazado

con su cola en el origen. Su punta tenía las coordenadas (7, 4) y su cola (0, 0). Sustituyendo estos

valores en la ecuación para la magnitud, tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )= − + − = + =A 7 0   4 0   7   4 65 2 2 2 2

En consecuencia, los dos vectores tienen la misma magnitud.

Recordemos de la fi gura 1.15 que la dirección de un vector está asociada al ángulo que presenta.

En general, el ángulo se mide con respecto al eje horizontal. Si tomamos de nuevo un triángulo

rectángulo, como el de la fi gura 1.21, página 39 podemos aprovechar las propiedades trigonomé-

tricas de los triángulos rectángulos para obtener el ángulo α del vector. Resulta que la tangente

del ángulo α es igual al cociente de b sobre a, es decir:

α = ba

tan 

Despejando al ángulo, tenemos entonces que:

α = ba

  arctan

Ejercicio 5, p. 7

Figura 1.20 La magnitud del vector se puede calcular mediante el Teorema de Pitágoras.

y¹

y0

x0 x1

y

x

c = a2+b2

b= y1-y0

a= x1-x0

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Sustituyendo los valores de a y b respecto a las coordenadas de la cola y

punta, tenemos entonces (figura 1.21):

α =−−

y yx x

  arctan 1 0

1 0

Tomando ahora el ejemplo anterior, primero para el vector cuando su cola

está en el punto (−2, −3) y su punta está en (5, 1) y sustituyendo los valores

correspondientes a x, y en la ecuación anterior, se tiene que:

Entonces, el valor del ángulo es   = arctan47

 = 29. 7449° . Ahora, to-

mando al vector que en su punta tenía las coordenadas (7, 4) y en su

cola, (0, 0) tenemos:

  = arctan4 07 0

 = arctan47

 

En consecuencia, se observa que, para ambos vectores, la dirección es la

misma.

Por último, el “sentido” del vector está dado por la dirección de la flecha

que tiene el vector en esa dirección. Por ejemplo, si tomamos al vector con,

la cola en el punto (−2, −3) y la punta en (5, 1), y tomamos otro vector

con las coordenadas invertidas, la cola en el punto (5, 1) y la punta en (−2, −3),

vemos que la flecha se dirige en sentido contrario, como se muestra en la

figura 1.22.

Vemos que tanto el vector del ejemplo como el vector desplazado al ori-

gen tienen el mismo sentido, por lo que, resumiendo todos los resultados

obtenidos en este ejemplo, hemos calculado su magnitud, su dirección

y el sentido para ambos vectores, y resultó que eran iguales. Por tanto,

demostramos que lo desplazamos en la forma correcta.

En el siguiente apartado veremos las propiedades de las operaciones que se pueden realizar

sobre los vectores.

Propiedades de un vectorEn el devenir de la historia vectorial, una de las cosas que fueron difíciles de entender fue

cómo operar con vectores, es decir, ¿cómo se suman o multiplican? Cuando los científicos se

encontraban con estas cantidades hacían cálculos muy elaborados para encontrar el resultado.

Como mencionamos, no fue sino hasta finales del siglo XIX que se desarrollaron los modelos

matemáticos que nos permiten hoy entender el álgebra de vectores.

Suma de vectoresLos vectores se pueden sumar (o restar) pero, paradójicamente, permiten definir dos tipos de

producto entre ellos: el llamado producto punto o producto escalar y el producto cruz o vectorial. Primero analicemos la suma entre vectores. La suma de vectores, por el método analítico, se

define como la suma de las coordenadas x y y de los vectores involucrados, siempre y cuando

  = arctan1 3( )5 2( ) = arctan

1 + 35 + 2

= arctan47

    

Actividad 5, p. 8

Figura 1.21 Calculo del ángulo con respecto al eje x de un vector en el plano cartesiano mediante propiedades trigonométricas.

Figura 1.22 Dos vectores con sentido opuesto. El vector A trasladado al origen.

y

x

a

y¹

y0

x0 x1

b= y1-y0

a= x1-x0

A

B

00

-3

-2

-1-1 1 32 4 5 6 7 8-2

1

2

3

4

5y

x

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se tomen todos los vectores con su cola en el origen. Al vector que resulta

se le llama Vector resultante R (fi gura 1.23). Es decir, tomemos dos vectores

A y

B, con su cola en el origen dentro del plano cartesiano. Si las coorde-

nadas de las puntas son (xA ,yA) para el vector

A , y ( )x y, B B para el vector

B, entonces, el vector resultante R tiene las coordenadas:

( )+ +x x y y  ,A B A B

Esta suma puede hacerse de manera gráfi ca por los métodos conocidos

como Suma por Triángulo o Suma por Paralelogramo. Ambos métodos son

equivalentes, por lo que deben dar el mismo resultado que el método

analítico.

Para el método gráfi co de suma por triángulo, tomando los vectores

A y

B (fi gura 1.24A), y

que hacemos es fi jar uno de los vectores, digamos, el vector

A , y desplazamos el otro vector,

de manera que la cola del vector

B quede sobre la punta del vector

A (fi gura 1.24B).

El vector resultante R = A + B es el vector que inicia en la cola de

A y termina en la punta de

B (fi gura 1.24C). El vector resultante será independiente del orden de la suma que se tome, es

decir, podemos ahora fi jar al vector

B, mover el vector

A de manera que su cola quede sobre

la punta de

B dibujar al vector resultante

= +R B A , y el resultado es el mismo, es decir:

= + = +R A B B A

Lo que indica que la suma de vectores es conmutativa.

Te recomendamos revises el siguiente objeto de aprendizaje en el cual aprenderás más acerca de la suma vectorial. Lo puedes encontrar en: http://edutics.mx/Ufu.

TIC

Si juntamos las dos formas de triángulo de sumar vectores, es decir,

= + = +R A B B A , for-

mamos una fi gura geométrica llamada Paralelogramo. Éste es el método del paralelogramo.

Para describirlo, lo que hacemos es fi jar ambos vectores

A y

B y desplazar el vector

B de

forma que su cola quede sobre la punta de

A; desplazamos también al vector

A de forma que

su cola quede sobre la punta de

B y, fi nalmente, dibujamos al vector resultante R

iniciando

en las colas originales de los vectores

A y

B y terminando en donde se juntan las fl echas

de los vectores desplazados (fi gura 1.25A, B y C, página 41).

Figura 1.24 Vectores el en el plano (A). Desplazamiento de vector (B). Suma de vectores (C).

Figura 1.23 Vector resultante.

y

x

R

B

A

y

x

y

x

y

xB

A

B

A

R

B

A

00 1 32 4 5 6

1

2

3

4

5

6

0 0 00 0 01 1 13 3 32 2 24 4 45

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

CA B

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y

x

y

x

y

xR

B

A

B B

A

Hagamos un ejemplo para fijar las ideas. Al vector

A , con coordenadas (3, 1) y al vector

B , con

coordenadas (1, 2) (figura 1.25A). Sumemos

+A B por el método del triángulo y por el método

del paralelogramo (figura 1.25B y 1.25C). Vemos que, en ambos casos, el vector resultante R

tiene coordenadas (4, 3). Hagamos ahora la suma de los vectores por el método analítico. Según

vimos, la forma de sumar vectores está dada por la relación

( )+ +x x y y  ,A B A B

Es decir, sustituyendo las coordenadas de los vectores

A y

B, tenemos

(3 + 1, 1 + 2) = (4, 3)

Como vemos, los tres métodos son equivalentes. Por último, veremos cómo sumar más de

dos vectores generalizando los métodos anteriores.

Apliquemos la siguiente notación: un vector

A , con cola en el origen y coor-

denadas de su punta ( )x y  ,A A , puede ser representado por la expresión:

( )=A x y,A A

La expresión anterior nos queda clara cuando hemos supuesto lo ya expuesto

hasta este punto, pero recordemos que sólo es una manera que escogimos

para escribirlo, pues, en estricto sentido, no es correcto hacerlo, ya que ( )x y  ,A A

representan en realidad un punto en el plano cartesiano, no un vector, pero

como el vector tiene su cola en el origen (0, 0), podemos abusar de la notación y

entender lo anterior como un vector con cola en el origen y punta en ( )x y  ,A A .

Ahora, si tenemos n vectores

…A A A ( , , , )n1 2 , con coordenadas de su punta

(x1 , y1), (x2 , y2), ... , (xn , yn) (figura 1.26A), diremos que el vector resultante

= + +…+R A A A  n1 2

Cuyas coordenadas están determinadas por la expresión

( ) ( )( ) ( )= + + + = + +…+ + +…+R x y x y x y x x x y y y, , ... ,  , n n n n1 1 2 2 1 2 1 2

Es decir, el vector resultante es la suma de cada una de las componentes

x y y de cada uno de los vectores involucrados (figura 1.26B).

R

B

A

Figura 1.26 Representación de vectores (A). Suma de dos o más vectores (B).

Figura 1.25 Vectores en el plano (A). Vector B trasladado a la punta de A. (B). Vector A trasladado a la punta de B y suma de vectores por el método del paralelogramo (C).

y

x

+

y

x

A1 A2= + A3R

CA B

00

1 32 4

1

2

3

00

1 32 4

1

2

3

4

00

1 32 4

1

2

3

4 4

00

1−1 32 4

1

2

3

4

A1

A2

A3

00

1 32 4 5 6

1

2

3

4

5

6

A2

A3

A1

A

B

1

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El método gráfi co para sumar más de dos vectores se conoce como suma por polígono. Consiste

en colocar cada vector uno después de otro, de manera que la cola de uno quede en la punta de

otro, formando una “línea quebrada” que contenga todos los vectores puestos de ese modo. El

vector resultante R

es el vector que se traza a partir de la cola del primer vector (en el origen)

hasta la punta del último vector.

Llevando a cabo un ejemplo, tomemos A = (2, 1), B = (3, 3), C = (− 2, 0) y D = (− 2, − 2) (fi gura 1.27A).

El método del polígono nos dibuja un vector resultante (fi gura 1.27B).

( )=R 1,2

Si aplicamos el método analítico, tenemos:

De esta manera, podemos sumar cualquier número de vectores, ya sea de manera gráfi ca o

analítica.

Cuando se tiene un espacio de tres o más dimensiones podría ser muy complicado hacer estas

operaciones de manera gráfi ca, pero la generalización del método analítico es inmediata. Por

ejemplo, si tenemos tres dimensiones, entonces el sistema de referencia tiene ahora tres rectas

que se intersecan, lo que implica que cada vector, con cola en el origen, estará representado

por tres coordenadas (x, y, z). Para un vector

A en este espacio, su magnitud está dada por:

en donde

( )=A x y z, , A A A

La suma de dos vectores

( )=A x y z, , A A A y

( )=B x y z, , B B B está dada por

( )= + + +R x x y y z z, , A B A B A B

Si queremos sumar n vectores

…A A A, , ,  n1 2 con coordenadas de su punta

( ) ( ) ( )= = =A x y z A x y z A x y z, , , , , ,..., , ,n n n n1 1 1 1 2 2 2 2 , diremos que el vector resultante

= + +…+R A A A  n1 2

es:( )= + +…+ + +…+ + +…+R x x x y y y z z z,  ,n n n1 2 1 2 1 2

Figura 1.27 Vectores en el plano (A). Suma de vectores por el método del polígono (B).

By

x

y

x

B

C

C

D

D

R

A

A

A B

0

0

0

0

1

2 3 51−1

−1−2−3 32

4

1

2

1

−1

3

5

−1

−2

−3

2 4

3

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En general, los problemas a los que nos enfrentaremos tendrán, a lo más, tres coordenadas,

sin embargo, si tenemos espacios de cuatro o más dimensiones, lo único que tenemos que

hacer es añadir las coordenadas extra igual que como lo hicimos al pasar de dos dimensiones

a tres.

Producto punto o producto escalarComo mencionamos, hay dos tipos de productos que se pue-

den definir en los vectores. Primero veamos el producto pun-

to. En donde

A y

B son las magnitudes de los vectores

A y

B,

respectivamente, y α es el ángulo entre los vectores

A y

B, tal

como se muestra en la figura 1.28. Si tenemos dos vectores

A y

B .

El producto punto

•A B (figura 1.29) se define como:

α( )• =A B A B cos

Este producto tiene una interpretación geométrica. Resulta que hacer la operación del produc-

to punto equivale a la proyección del vector de menor tamaño en el vector de mayor tamaño

(figura 1.29A). De esta manera, podemos observar dos hechos importantes: primero, cuando los

vectores

A y

B son ortogonales, es decir, forman un ángulo de 90º entre ellos, el producto

punto resulta ser cero:

α( ) ( )• = = ° = =A B A B A B A Bcos cos 90 (0) 0

Puesto que cos(90°) = 0 (figura 1.29B).

Actividad 6, p. 9

Geométricamente, vemos que cuando dos vectores se encuentran a 90º, ninguno de los dos

proyecta “sombra” sobre el otro, es decir, su proyección es cero. Ahora, el producto punto de

un vector sobre sí mismo es:

α( ) ( )• = = ° = =A B A A A A Acos cos 0 (1)  2 2 2

Pues cos(0°) = 1, lo que implica que la proyección de un vector sobre sí mismo es igual al

cuadrado de su magnitud (figura 1.29C).

Figura 1.29 Producto punto de dos vectores (A). Producto punto de dos vectores ortogonales (B). Producto punto del mismo vector (C).

B

B

A

A

A

A

A

B

B

A A A 2•

A B C

Figura 1.28 Magnitud de vectores.

B

B

A

A

a

0• =

=a

A coseno (a)

1

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cion

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. A. d

e C

. V.

Hay que observar que el producto punto nos da como resultado un número escalar, no un

vector. Ya que la magnitud de un vector es un número escalar, así como el cos(α), por lo que

la multiplicación de números escalares es un número escalar.

Producto cruzEl otro producto que puede defi nirse en los vectores es el producto cruz

×A B. Este producto, a diferencia del producto punto, da como resultado

un nuevo vector

C, no un escalar, por lo que debe poseer las características

de dirección, magnitud y sentido.

La magnitud del vector

C la podemos obtener con la siguiente ecuación

En donde α es el ángulo interno que forman los vectores

A y

B. Aunque

la ecuación se parezca mucho a la del producto punto, hay una diferencia

crucial: resulta que en este caso se toma el seno del ángulo, a diferencia del

producto punto, en donde se toma el coseno del ángulo. La magnitud del

producto punto también tiene un signifi cado geométrico. En este caso, la

magnitud resulta ser igual al área encerrada por el paralelogramo formado

por los vectores

A y

B (fi gura 1.30).

Una característica importante que debemos recordar del producto cruz, es que el nuevo

vector

C es un vector que es ortogonal al plano formado por los vectores

A y

B. La forma de

encontrar correctamente el sentido del vector está dada por lo que se conoce como la regla de la mano derecha.

Este producto lo vamos a utilizar hasta que veamos el electromagnetismo, en el curso de

Física 2, donde lo explicaremos de nuevo y veremos cómo aplicar la regla de la mano dere-

cha. Basta decir por ahora que, en el producto cruz, no es lo mismo multiplicar

×A B que

multiplicar

×B A (fi gura 1.31A y 1.31B).

Ejercicio 6, p. 10

Ejercicio 7, p. 10

Actividad 7, p. 10

Actividad de integración,

p. 17

El producto cruz da como resultado un nuevo vector.

Evaluación final, p. 18

1.30 La magnitud del producto cruz de dos vectores es igual al área encerrada por el

paralelogramo formado por ellos.

Figura 1.31 El producto cruz de dos vectores es una operación no conmutativa, es decir, al cambiar el orden de aparición de los vectores se obtiene un vector distinto.

y

xa

×

B

A

a= sen ( )B BA A

=

= ×

B

×

B

C

C

AA

BC A

BC A

Repasa todo lo que hemos revisado acerca de vectores y sus componentes en la siguiente unidad didáctica, en ella comprenderás el concepto de vector, realizarás operaciones de suma, producto punto y producto cruz así como sus aplicaciones, la puedes encontrar en: http://edutics.mx/Udw

TIC

A B

Introducción a la física

MATERIAL D

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Física 1CUADERNO DE TRABAJO

Luisa Guadalupe Jaime González /

Gustavo Alfredo Arciniega Durán /

Genaro de la Vega Rivera

MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

Introducción a la física 3

Cinemática 21

Dinámica 35

Trabajo, energía y potencia 51

1234

Índice

MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

Evaluación diagnóstica 1B

Introducción a la física

I. Responde las siguientes preguntas o realiza lo que se pide según sea el caso.

1. ¿Qué es la física?

2. ¿Qué entiendes por método científi co?

3. ¿Consideras que en la ciencia actual se sigue aplicando el método científi co? ¿Por qué?

4. ¿Cómo defi nirías el concepto de medición?

5. Escribe diferentes unidades de medición para las magnitudes que se indican.

a) Tiempo

b) Distancia

c) Masa

d) Peso

6. Escribe en notación científi ca las siguientes cantidades.

a) Masa de un mosquito: 0.002 5 kg.

b) Radio del Sol: 695 700 000 m.

c) Edad del universo: 14 000 000 000 años.

7. Convierte las siguientes cantidades a las unidades que se indican.

a) Masa de un mosquito de kilogramos a libras.

b) Radio del Sol de metros a kilómetros.

c) Edad del universo de años a segundos.

8. Traza sobre un plano cartesiano los siguientes vectores y calcula las sumas que se piden.

Vectores: A = (3, 5), B = (−1, 3), C = (−2, −4) y D = (3, −5)

Sumas: S1 = A + D, S2 = B + C + D y S3 = A + B + C + D

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4

B 1Introducción a la física

IDENTIFICAR APORTACIONES DE LOS FILOSÓFOS GRIEGOS

I. Elabora en una cartulina o en una presentación electrónica, una línea de tiempo sobre los fi ló-

sofos griegos y sus aportaciones más importantes al razonamiento deductivo y la construcción

del conocimiento sobre la estructura de la materia.

RECONOCER LA EVOLUCIÓN EN LA CONCEPCIÓN DEL UNIVERSO

I. Elabora una línea de tiempo de la concepción del universo que abarque desde los fi lósofos grie-

gos hasta Newton. Puedes hacerlo por medio de una presentación de diapositivas.

EMPLEAR LA NOTACIÓN CIENTÍFICA

I. Escribe las siguientes cantidades en notación científi ca.

1. Edad del universo: 13 800 000 000 años.

2. Masa de Júpiter: 1 898 000 000 000 000 000 000 000 000 kg.

3. Tamaño de un virus de infl uenza: 0.000 000 08 m.

4. Tamaño de una bacteria: 0.000 005 m.

CONVERTIR A MÚLTIPLOS O SUBMÚLTIPLOS DE UNIDADES

I. Realiza las siguientes transformaciones de unidades. Escribe tus resultados en notación científi ca.

1. 9 753 000 cm a km.

2. 29 dam a mm.

3. 355 mL a L.

4. 3.56 × 1022 kg a mg.

ACTIVIDAD 1

ACTIVIDAD 2

EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

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5

B 1Introducción a la física

EXPRESAR CANTIDADES EN DISTINTOS SISTEMAS DE UNIDADES

I. Realiza las siguientes transformaciones de unidades.

1. 55 yd (yardas) a cm.

2. 75 000 ft (pies) a km.

3. 782 000 km a millas.

4. 6 482 lb (libras) a kg.

5. 8 245 slug a mg.

IDENTIFICAR Y TRANSFORMAR UNIDADES

I. Lee y resuelve lo que se pide.

Para hacer un pastel se piden los siguientes ingredientes.

• 2 libras de harina.

• ¼ de libra de azúcar.

• ½ libra de mantequilla.

• 2 huevos.

• 5 moldes de 3 pulgadas de diámetro.

• ½ cucharada de vainilla.

• 3 onzas de mermelada de fresa.

• 1 taza de leche.

• Horno a 350 °F.

1. Identifi ca los ingredientes a los que se les debe hacer una conversión de unidades para usar el

Sistema Internacional de Medidas.

2. Realiza las conversiones necesarias.

EJERCICIO 3

PROBLEMA 1

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B 1Introducción a la física

IDENTIFICAR LOS TIPOS DE ERRORES EN LAS MEDICIONES

I. Responde lo que se pide.

1. Describe con tus propias palabras el concepto de incertidumbre.

2. ¿Qué importancia tiene la incertidumbre en el desarrollo de experimentos científi cos?

3. Describe los tipos de errores que existen cuando se realizan mediciones.

4. Menciona alguna situación en la que el simple hecho de no considerar la incertidumbre puede

producir errores que, a su vez, generan consecuencias desastrosas.

IDENTIFICAR LA DIFERENCIA ENTRE PRECISIÓN Y EXACTITUD EN LAS MEDICIONES

I. Investiga en fuentes impresas o electrónicas acerca de los siguientes instrumentos de medición.

Describe qué cantidad física miden y cuál puede ser su incertidumbre.

Instrumentos de medición

Cantidad física que miden Cuál puede ser su incertidumbre

Vernier

Baumanómetro

Balanza

Termómetro

Voltímetro

Dinamómetro

ACTIVIDAD 3

ACTIVIDAD 4

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B 1Introducción a la física

UTILIZAR HERRAMIENTAS DE MEDICIÓN

I. ¿Cómo podrías medir el tamaño de tu goma de borrar utilizando solamente un metro de listón?

1. Describe cómo procederías para medir tu goma.

2. ¿Cuál es el resultado de tu medición?

DISTINGUIR ENTRE MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

I. Describe la diferencia entre una cantidad escalar y una cantidad vectorial.

UBICAR VECTORES EN EL PLANO CARTESIANO

I. Sitúa en el plano cartesiano los siguientes puntos.

1. (5, 3)

2. (−3, 4)

3. (−1, −4)

4. (3, −1)

5. (3, 3)

6. (4, −3.5)

PROBLEMA 2

EJERCICIO 4

EJERCICIO 5

0

0

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-6

-6

-2

-5

-5-1

-4

-4 -1 1 43 62 5-2-3

1

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6

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y

x

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8

B 1Introducción a la física

COMPRENDER LA DIFERENCIA ENTRE DISTANCIA RECORRIDA Y DEZPLAZAMIENTO

I. Con base en el mapa, escribe las indicaciones que debe seguir una persona para llegar a los pun-

tos que se indican. Considera que cada cuadro de la retícula del mapa corresponde a 5 m. No olvi-

des considerar la dirección de desplazamiento tomando como referencia los puntos cardinales.

ACTIVIDAD 5

1. Del punto O al punto A.

2. Del punto O al punto D.

3. Del punto O al punto E y luego al punto F.

4. Del punto O al punto B y luego al punto C.

5. Del punto O al punto C, luego al punto D y, fi nalmente, al punto E.

II. Reúnete con dos compañeros y, con base en el mapa, discutan sobre cuál sería el camino más

corto para ir a los siguientes puntos. Expliquen por qué.

1. Del punto O al punto C.

2. Del punto A al punto G.

3. Del punto O al punto C y luego al punto G.

A

N

S

EO

B

C

E

D G

F

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B 1Introducción a la física

SUMAR VECTORES

I. Efectúa la suma de los siguientes vectores de manera analítica y representa dicha operación

gráfi camente en el plano cartesiano.

1. A = (−1, 3) y B = (2, −5) 2. A = (−2, −1), B = (−1, −2) y C = (3, 6)

3. A = (−1, 3), B = (2, −5), C = (3, 4) y D = (2, −3)

II. Realiza la suma de los vectores resultantes obtenidos en los incisos anteriores y represéntala

gráfi camente en el plano cartesiano.

ACTIVIDAD 6

00

-3

-7-6

-6

-2

-5

-5 -1

-4

-4 -1 1 43 762 5-2-3-7

1234

67

5

y

x00

-3

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-2

-5

-5 -1

-4

-4 -1 1 43 762 5-2-3-7

1234

67

5

y

x

00

-3

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-6

-2

-5

-5 -1

-4

-4 -1 1 43 762 5-2-3-7

1234

67

5

y

x

00

-3

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-6

-2

-5

-5 -1

-4

-4 -1 1 43 762 5-2-3-7

1234

67

5

y

x

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B 1Introducción a la física

REALIZAR EL PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCALAR

I. Calcula el producto punto (escalar) de los siguientes vectores.

1. (−3, 5) • (−2, 4) =

2. (7, 5) • (8, 3) =

3. (8, 5) • (−2, −1) =

4. (−5, 2.4) • (12, −4) =

5. (−1, 5) • (−9, 6) =

REALIZAR EL PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES

I. Calcula el producto cruz de los siguientes vectores.

1. (−3, 5) × (−2, 4) =

2. (7, 5) × (8, 3) =

3. (8, 5) × (−2, −1) =

4. (−5, 2.4) × (12, −4) =

5. (−1, 5) × (−9, 6) =

IDENTIFICAR LA DIFERENCIA ENTRE EL PRODUCTO CRUZ Y EL PRODUCTO PUNTO

I. Analiza y contesta lo que se pide a continuación.

1. En los ejercicios 7 y 8 realizaste, para las mismas parejas de vectores, el producto punto y después

el producto cruz. Explica a qué se debe la diferencia de resultados.

EJERCICIO 6

EJERCICIO 7

ACTIVIDAD 7

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B 1Introducción a la física

CONVERTIR UNIDADES CON PYTHON

I. Utiliza la aplicación Jupyter Notebook, para hacer conversiones entre sistemas de unidades.

1. En tu computadora, con ayuda de tu explorador web preferido, abre el siguiente enlace electrónico

http://edutics.mx/UQ9

2. Se abrirá una libreta interactiva de Python, llamada Jupyter Notebook, la cual contiene código escrito en

Python separado en celdas. Posiciona tu cursor en la primera de las celdas: import numpy y presiona

el botón Run (ver imagen). Hazlo en todas las celdas siguiendo el orden que se presenta.

3. Estas celdas contienen las funciones que convierten del sistema inglés al métrico y viceversa.

4. Las últimas 4 celdas contienen algunos ejemplos de conversiones.

5. Sustituye el valor de x en alguna de éstas celdas, presiona el botón Run de nuevo y observa debajo de

la celda como cambia el resultado, prueba con distintos valores en cada una de las celdas e identifi ca

los cambios.

6. Responde y realiza lo que se indica:

a) ¿Podrías escribir tu propia función para convertir millas a kilómetros?

b) Usa la celda apropiada para convertir 2 kilogramos y medio a onzas.

c) ¿Qué modificaciones harías al código para expresar en millas la profundidad máxima de las

Fosas Marianas?

d) Si compras un pastel de 4 libras para 18 invitados, ¿cuántos gramos de pastel comerá cada uno?

APPLICACIÓN 1

1

2

3

4MATERIAL D

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B 1Introducción a la física

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Actividad experimental 1

Reconocer el formato de reporte de actividades Reconocer el formato de reporte de actividades experimentalesexperimentalesIdentificación del problema y formulación de preguntas de carácter Identificación del problema y formulación de preguntas de carácter científicocientífico

En ciencia es importante que los resultados de las investigaciones sean transmitidos de manera clara en un

reporte escrito. Ya se trate de un texto que pretenda comunicar los resultados de un experimento o de

un trabajo teórico, el reporte debe permitir a otros repetir la investigación. A lo largo del curso, deberán rea-

lizar reportes de las prácticas que realicen, tomando en cuenta que deben contener estas secciones:

1. Título. Frase corta que sintetiza el núcleo de la investigación.

2. Resumen. Presenta de forma breve los elementos y logros de la investigación.

3. Introducción. Presenta las bases teóricas para entender en qué se basa la investigación.

4. Diseño experimental. En un experimento se enlista y describe minuciosamente el material utilizado

y se explica su uso. Se debe acompañar esta información con diagramas.

5. Procedimiento. Describe el experimento o el desarrollo argumentativo y/o matemático.

6. Resultados. Presenta los resultados de las mediciones realizadas, incluyendo las incertidumbres de los

instrumentos. Las mediciones deben ser claras y apoyarse en tablas. En caso de que los resultados sean

cualitativos y no cuantitativos, se debe contar con apoyo visual de gráfi cas, fotografías o videos e incluir

una descripción de éstos.

7. Análisis de resultados. Se analizan los resultados obtenidos (cualitativos o cuantitativos). Si se rea-

lizaron mediciones en el experimento, entonces se deben comparar con modelos matemáticos que

describan la relación entre las variables involucradas. Si el experimento es cualitativo, se dan los

argumentos que explican las observaciones.

8. Conclusiones. Resumen del análisis de resultados con el propósito de demostrar si se cumplió el obje-

tivo de la investigación. El reporte de resultados incluye aspectos positivos y negativos, ya que son de

gran importancia para el desarrollo del conocimiento.

Planteamiento de hipótesisPlanteamiento de hipótesisTrabajen con la hipótesis “Dos objetos de diferente masa caerán al mismo tiempo”. Reúnete con dos com-

pañeros y discutan sobre cómo realizar un reporte de esa actividad.

Experimentación (obtención y registro de información)Experimentación (obtención y registro de información)Hagan un borrador del reporte con los contenidos que consideren pertinentes, incluyendo ilustraciones

y observaciones.

Contrastación de resultadosContrastación de resultadosCompartan su trabajo con los demás equipos.

Comunicación de resultadosComunicación de resultadosIncorporen las observaciones de sus compañeros y hagan una diapositiva para exponer su reporte al grupo.MATERIA

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B 1Introducción a la física

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Actividad experimental 2

Caída libre de los cuerpos y la teoría de Galileo GalileiCaída libre de los cuerpos y la teoría de Galileo GalileiIdentificación del problema y formulación de preguntas de carácter Identificación del problema y formulación de preguntas de carácter científicocientífico

Si tienen dos cuerpos de distinta forma o peso y los dejan caer de la misma altura al mismo tiempo, ¿cuál

llegará primero al suelo?, ¿a qué se debe? Al experimentar con distintos cuerpos y observar su caída,

pueden llegar a respuestas concretas.

Planteamiento de hipótesisPlanteamiento de hipótesisElaboren una hipótesis. Tomen en cuenta las preguntas: ¿será que los cuerpos más pesados caen al mismo

tiempo que los ligeros?, ¿qué factores extra intervienen en el experimento?

Experimentación (obtención y registro de información)Experimentación (obtención y registro de información)

Materiales Materiales Tres pelotas de esponja (una pequeña, una mediana y una grande), 2 hojas tamaño carta, celular para

grabar y observar la caída con mayor detenimiento.

ProcedimientoProcedimiento 1. Elijan la distancia desde la que van a soltar los objetos (puede ser la altura del mayor de los integrantes

del equipo). Esa distancia va a ser la única que van a utilizar.

2. Coloquen la pelota chica y la mediana a esa altura.

3. Graben el video desde que las dejen caer al mismo tiempo y observen la caída poniendo atención al

momento en que tocan el suelo.

4. Anoten en una lista sus observaciones.

5. Repitan el experimento al menos 3 veces. ¿Cuál pelota chocó primero contra el suelo?

6. Ahora dejen caer las pelotas mediana y grande; luego, la chica y la grande. Repitan los pasos 2 a 5.

7. Hagan bolita una de las hojas de papel y después repitan los pasos 2 a 4 con la hoja sin doblar y la que

hicieron bolita. Efectúen los pasos 2 a 4 con la bolita de papel y una de las pelotas de esponja.

Contrastación de resultadosContrastación de resultadosComenten por equipos sus resultados. ¿Pasó lo que supusieron en la hipótesis? Difundan entre en el grupo

sus resultados. ¿Todos obtuvieron los mismos resultados? ¿En qué varían?

Comunicación de resultadosComunicación de resultadosIndiquen qué ocurrió con el par de cuerpos que soltaron. ¿Caen al mismo tiempo todos, algunos o ninguno?

¿De qué dependerá que un objeto caiga más rápido o más lento al suelo? ¿Recuerdas qué afi rmaba Galileo

sobre la caída de los cuerpos? Revisa el video de la nasa disponible en http://edutics.mx/Uf5.

Hagan una exposición ante su grupo donde presenten sus videos y comenten sus resultados.MATERIAL D

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B 1Introducción a la física

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Actividad experimental 3

Construir un termómetro y definir una escalaConstruir un termómetro y definir una escalaIdentificación del problema y formulación de preguntas de carácter científicoIdentificación del problema y formulación de preguntas de carácter científico

Construirán un termómetro y defi nirán una escala de temperatura. Elaborarán una tabla de equivalencias entre

su escala y la escala Celsius. Hallarán una expresión que les permita hacer conversiones entre ambas escalas.

¿Por qué es importante saber cómo expresar una cantidad en distintas escalas? ¿Qué conocimientos se necesitan

para encontrar el cambio de escala?

Planteamiento de hipótesisPlanteamiento de hipótesisElaboren una hipótesis sobre el tipo de fórmula para hacer la conversión de unidades.

Experimentación (obtención y registro de información)Experimentación (obtención y registro de información)

Materiales Materiales Botella de vidrio, agua, alcohol, colorante de alimentos, popote, gotero, plastilina, marcador indeleble de

punta delgada, recipiente con hielo o agua fría, recipiente con agua caliente, regla, cinta métrica o vernier

y termómetro.

ProcedimientoProcedimiento 1. Llenen la botella con partes iguales de agua y alcohol y agreguen el colorante. Introduzcan el popote

en la botella y, usando plastilina, cierren la boca de la botella para que no haya fi ltraciones. Dejen salir

10 cm de popote.

2. Añadan por el popote más solución de agua coloreada y alcohol con ayuda del gotero, para que el nivel de

la solución llene 5 cm del popote a partir de la boca de la botella. Añadan una gota de aceite en el popote

con el gotero para evitar que la solución se evapore.

3. Marquen en el popote la altura del nivel de la solución. Éste será el 0 de su escala.

4. Con ayuda de un termómetro midan y registren la temperatura del ambiente en grados Celsius.

5. Enfríen la botella en el recipiente con hielo y esperen unos minutos a que el nivel del popote descienda

y deje de moverse. Marquen en el popote la altura del nivel de la solución. Éste será el −5 de su escala.

Antes de retirar el termómetro casero, tomen el termómetro calibrado en grados Celsius y midan la

temperatura a la que se encuentra el agua fría.

6. Midan la distancia entre las marcas 0 y −5 y coloquen marcas que dividan esta longitud en 5 partes

iguales. Cada una de estas marcas es su unidad de temperatura. Midan hacia arriba a partir del 0 y

hagan otras 5 marcas equidistantes que coincidan con el espaciamiento entre las marcas hecho ante-

riormente. Midan la temperatura usando el termómetro que construyeron y el graduado en Celsius.

Repitan las mediciones usando el agua caliente y registren ambas temperaturas. Encuentren una

expresión matemática que de la equivalencia entre ambas cantidades usando todos sus registros.

Contrastación de resultadosContrastación de resultadosComenten en equipo los resultados y compártanlos en grupo. ¿La fórmula que obtuvieron es muy compleja

o sencilla? ¿Qué tienen en común los resultados? ¿En qué difi eren?

Comunicación de resultadosComunicación de resultadosDen la fórmula del cambio de escala obtenida y justifi quen con base en sus datos.

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B 1Introducción a la física

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Actividad experimental 4

Distancia de reacciónDistancia de reacciónIdentificación del problema y formulación de preguntas de carácter científicoIdentificación del problema y formulación de preguntas de carácter científico

Usando el tiempo de reacción a los estímulos visual, auditivo y táctil, se pretende que se puedan estimar los

errores en las mediciones y decidir con un juicio crítico qué cantidades son confi ables. ¿Por qué es importante

incorporar en los experimentos los errores de medición? ¿Cómo se sabe si las mediciones son confi ables?

Planteamiento de hipótesisPlanteamiento de hipótesisHagan una hipótesis respecto a qué mediciones de los estímulos son confi ables y cuáles no.

Experimentación (obtención y registro de información)Experimentación (obtención y registro de información)

Materiales Materiales Regla de 30 cm y cronómetro (puede ser el del celular).

ProcedimientosProcedimientosProcedimiento 1. Estímulo visual 1. Hagan equipos de tres personas. Un miembro del equipo colocará su mano en forma de pinza a la

altura de su pecho sin moverla. Un compañero pondrá la regla entre sus dedos a la altura donde el

extremo del dedo pulgar señale el cero y dejará caer la regla y el tercero registrará la distancia a la

que logró atrapar el compañero la regla.

2. La persona que sostenga la regla la soltará sin decirlo ni dar señales de ningún tipo acerca de en qué

momento lo hará y el elegido intentará atrapar la regla en cuanto la vea caer.

3. Se toman los datos de la distancia que recorrió la regla antes de ser atrapada. Repitan este mismo proce-

dimiento 5 veces con la misma persona y tomen los datos. Repitan los pasos con los otros compañeros.

Procedimiento 2. Estímulo auditivo 1. Repitan el procedimiento visual, pero la persona que atrape la regla deberá cerrar sus ojos y quien

suelte la regla deberá decir “fuera” al momento de hacerlo.

Procedimiento 3. Estímulo táctil 1. Repitan el procedimiento anterior con los ojos cerrados pero, en esta ocasión, se debe tocar en el hom-

bro a la persona que deberá atrapar la regla, sin decir ni hacer otra seña.

Contrastación de resultadosContrastación de resultadosRealicen una tabla de las mediciones para cada uno de los miembros del equipo. Comenten los resultados:

¿Cuál fue el estímulo donde el cuerpo actuó más rápido y en cuál más lento? ¿Sucedió lo mismo con todos

los participantes? ¿Qué errores en las mediciones se tuvieron en el experimento?

Comunicación de resultadosComunicación de resultados¿Cuáles resultados son confi ables? Incluyan una discusión sobre la rapidez de la reacción con respecto al

tipo de estímulo que se recibe.MATERIA

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B 1Introducción a la física

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Actividad HSE

Toma responsable de decisiones Toma responsable de decisiones Habilidad general: Conciencia social

Habilidad específi ca: Toma de perspectiva

En esta actividad discutirás con tus compañeros sobre dos de las concepciones occidentales del universo

que han sido de suma importancia en la construcción de nuestro conocimiento: El modelo de Ptolomeo

y el modelo de Copérnico.

I. Formen equipos de cuatro personas. Dos estarán a cargo de la argumentación sobre el modelo

de Ptolomeo y dos sobre el de Copérnico.

II. Por parejas discutan y escriban una respuesta conjunta sobre cada una de las preguntas del

modelo que les corresponde:

1. ¿Qué plantea el modelo?

2. ¿Qué argumentos se plantearon para dar fundamento al modelo?

3. ¿Qué observaciones apoyan la validez del modelo?

III. En equipo, elaboren en su cuaderno un cuadro comparativo de los modelos con base en las pre-

guntas anteriores y respondan:

1. ¿Por qué resulta mejor el modelo heliocéntrico de Copernico? ¿Qué argumentos se plantearon

para dar fundamento al modelo?

2. ¿Qué cambios en la sociedad hubo tras aceptarse el modelo heliocéntrico?

3. ¿Qué papel jugó la revolución copernicana en el Renacimiento?

IV. Investiguen sobre el concepto de “antropocentrismo” y relaciónenlo con la revolución coperni-

cana. Expongan cómo la ruptura de este concepto permitió el desarrollo científi co y social.

V. En grupo, elijan un moderador y discutan sobre lo siguiente:

1. ¿Qué les hace pensar acerca de sí mismos saber que la humanidad no es el centro del universo?

VI. Para fi nalizar, refl exiona y responde.

1. ¿Te es fácil cambiar de opinión sobre temas que consideras importantes?

2. Al exponer tus ideas a otros, ¿cómo son los argumentos que das? Es decir, ¿tienen éstos bases

sólidas? ¿Qué elementos hacen que un argumento sea sólido?

3. ¿Consideras que puedes cambiar tu forma de pensar ante argumentos sólidos?MATERIA

L DE P

ROMOCIÓN

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odos

los

dere

chos

res

erva

dos,

Edi

cion

es C

asti

llo, S

. A. d

e C

. V.

17

B 1Introducción a la física

17

Actividad de integración

I. En equipos lean con atención el siguiente parrafo.

Una de las características más importantes de un procedimiento científi co es el proceso con base en el cual

se puede confi rmar la validez o falsedad de una hipótesis. En ocasiones no es posible realizar experimentos

que permitan tocar el objeto de estudio, pero aun así se puede realizar un estudio científi co del mismo. Ése

es el caso de la astronomía. Dada la imposibilidad de recolectar datos en otras estrellas o galaxias, se dise-

ñan instrumentos que permiten la observación indirecta de las características de esos objetos. Partiendo

del principio de que las leyes de la física que hemos logrado descubrir hasta ahora son válidas en todo el

universo, es posible realizar diferentes hipótesis y comprobarlas.

III. Con base en lo estudiado en el bloque, diseñen una manera de comprobar la siguiente hipótesis:

“La Luna no emite luz por sí misma, sólo refl eja la luz del Sol.”

IV. Describan cada uno de ustedes cómo comprobarían esta hipótesis.

V. Discutan los argumentos que planteó cada uno y, con base en ello, construyan una argumenta-

ción que demuestre dicha hipótesis.

VI. Describan las observaciones en las que basan su argumentación.

VII. Elaboren un cartel con sus resultados y conclusiones, el cual presentarán en el salón de clases.

Consideren que debe cumplir con los siguientes elementos.

1. Ser una unidad estética formada por imágenes y textos breves de gran impacto.

2. Tener un tamaño de 70 cm × 100 cm y una orientación vertical.

VIII. En grupo, comenten sobre los éxitos o problemas que tuvieron durante la comprobación de sus

hipótesis.

Lista de verificaciónLista de verificaciónAspectos por evaluar Sí No

Describimos una manera de comprobar la hipótesis.

Discutimos mis argumentos y escuché con atención los de mis compañeros.

Construimos una argumentación que demuestra la hipótesis.

Describimos las observaciones en las que se basa nuestro argumento.

El cartel tiene un diseño creativo que facilita la comprensión de los argumentos.

El cartel usa correctamente los elementos del lenguaje.

El cartel comunica rápidamente los argumentos que sustentan la manera de comprobar la hipótesis.

En el desarrollo de la actividad tomamos en cuenta las opiniones de todos los integrantes del equipo.

MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N

B1

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llo, S

. A. d

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Introducción a la física

Evaluación final I. En tu cuaderno, contesta lo siguiente.

1. ¿Qué es una hipótesis?

2. ¿En qué consiste el modelo heliocéntrico?

3. ¿En qué consiste la notación científi ca?

4. ¿Qué es un sistema de unidades?

5. ¿Qué son los errores en una medición? ¿Qué tipos de errores conoces?

6. Explica el concepto de incertidumbre.

7. Explica la diferencia entre una cantidad escalar y una vectorial.

II. Realiza las siguientes transformaciones de unidades. Expresa tus resultados en notación cientí-

fi ca cuando sea necesario.

1. 29 654 000 km a cm.

2. 23.5 cm2 a mm2.

3. 0.000 001 35 mg a kg.

III. Realiza las siguientes conversiones de unidades. Expresa tus resultados en notación científi ca en

caso de ser necesario.

1. 29 650 000 km a ft.

2. 0.023 5 kg a lb.

3. 1 000 pc a m.

IV. Realiza la suma de los siguientes vectores y ubícalos en el plano cartesiano.

1. A = (−3, 7), B = (1, −3) y C = (2, 4)

2. A = (5, 4), B = (−1, −3) y C = (−2, −5)

V. Realiza el producto punto (escalar) de los siguientes vectores.

1. (−1, 3) • (3, 1) = 2. (−2, −5) • (3, −7) =

VI. Realiza el producto cruz (vectorial) de los siguientes vectores.

1. (−2, 8) × (3, 7) = 2. (4, 5) × (−3, −3) =

00

-3

-7-6

-6

-2

-5

-5 -1

-4

-4 -1 1 43 762 5-2-3-7

1234

67

5

y

x

MATERIAL D

E PROMOCIÓ

N