Estática y Dinámica

E.S. Kolosovas-Machuca

Unidad 2. Vectores.

Unidad 2

2.1 Vectores y escalares.

2.2 Propiedades de los vectores.

2.3 Componentes de un vector y vectores unitarios.

Objetivos

• Entender intuitiva y matemáticamente el concepto de vector.

• Comprender las reglas de composición de dos o más vectoresy la descomposición de un vector en componentes.

2.1 Vectores y escalares.

Sistema de coordenadas cartesiano

Ejemplo

Las coordenadas cartesianas de un punto en el plano 𝑥𝑦 son(𝑥, 𝑦) = (−3.5, −2.5)𝑚 . Encuentre las coordenadas polares eneste punto.

Cantidades vectoriales y escalares

• Una magnitud escalar sólo tiene magnitud y no dirección.

• Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud como dirección.

Ejemplos de cantidades vectoriales y escalares

• Desplazamiento

• Velocidad.

• Aceleración.

• Fuerza.

• Longitud.

• Masa.

2.2 Propiedades de los vectores.

Igualdad de dos vectores

Dos vectores Ԧ𝐴 y 𝐵 son iguales si tienen la misma magnitud y lamisma dirección.

Adición

La suma de dos vectores Ԧ𝐴 y 𝐵 es otro vector 𝑅 obtenido

trasladando el origen de 𝐵 al extremo de Ԧ𝐴 y uniendo el origen

de Ԧ𝐴 con el extremo de 𝐵. Analíticamente se expresa Ԧ𝐴 + 𝐵 = 𝑅.

Adición

Las construcciones geométricas se pueden utilizar para sumar

más de dos vectores. 𝑅 es el vector dibujado desde el origen delprimer vector hasta la punta del último vector.

Regla de adición del paralelogramo

Los orígenes de los vectores Ԧ𝐴 y 𝐵 están juntos y el vector

resultante 𝑅 es la diagonal de un paralelogramo formado por Ԧ𝐴 y

𝐵 como sus lados.

Ley conmutativa de la suma de vectores

La adición de dos vectores cumple con la ley conmutativa de lasuma:

Ԧ𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + Ԧ𝐴

Ley asociativa de la suma de vectores

Si tres o más vectores se suman, su total es independiente de lamanera en la que se agrupan los vectores individuales.

Ԧ𝐴 + (𝐵 + Ԧ𝐶) = ( Ԧ𝐴 + 𝐵) + Ԧ𝐶

El negativo de un vector

El negativo de un vector Ԧ𝐴 se define como el vector que da cero

cuando se suma a Ԧ𝐴. Esto significa que Ԧ𝐴 y − Ԧ𝐴 tienen la mismamagnitud pero direcciones opuestas.

Sustracción de vectores

La resta de vectores hace uso de la definición de negativo de un

vector. Se define la operación Ԧ𝐴 − 𝐵 como el vector −𝐵 sumando

al vector Ԧ𝐴:

Ԧ𝐴 − 𝐵 = Ԧ𝐴 + (−𝐵)

Multiplicación de un vector por un escalar

Si el vector Ԧ𝐴 se multiplica por una cantidad escalar positiva 𝑚,

el producto 𝑚 Ԧ𝐴 es un vector que tiene la misma dirección de Ԧ𝐴 yla magnitud 𝑚 𝐴 .

Ejercicios

1. Un automóvil recorre 3 km hacia el norte y luego 5 km hacia elnoreste. Represente gráficamente los desplazamientos y eldesplazamiento resultante.

2. Un perro que busca un hueso camina 3.5 m hacia el sur,después 8.2 m en un ángulo de 30° al Noreste y finalmente 15 mal Oeste. Encuentre el vector de desplazamiento resultante delperro utilizando técnicas gráficas.

2.3 Componentes de un vector y vectores unitarios.

Componentes de un vector

Las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de unsistema coordenado rectangular se conocen como componentes.Cualquier vector puede ser descrito íntegramente mediante suscomponentes.

Ԧ𝐴 = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦

Vector unitario

Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene unamagnitud exactamente igual a uno.

Ejemplo

Determine la suma de dos vectores Ԧ𝐴 y 𝐵 en el plano 𝑥𝑦 queestán dados por:

Ԧ𝐴 = 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗 y 𝐵 = 2 Ƹ𝑖 − 4 Ƹ𝑗

Ejercicios Unidad 1

Ejercicio

Suponga que usted suma dos vectores Ԧ𝐴 y 𝐵. ¿Cuál ánguloentre ellos produce una mayor magnitud en la suma resultante?

a) 0°

b) 45°

c) 90°

d) 180°

Ejercicio

Dado el vector: 33 𝑁 a 45°. Calcule los componentes 𝑥 ᴧ 𝑦 delvector.

Ejercicio

Dado el vector: 8.544 𝑁 a 200.6° . Calcule los componentes𝑥 ᴧ 𝑦 del vector.

Ejercicio

Considere los siguientes vectores de velocidad: Ԧ𝐴 = 3.4 𝑚

𝑠a 90° y

𝐵 = 5.1 𝑚

𝑠a 180° . ¿Cuál es la magnitud de la suma de esos

vectores?

Ejercicio

Una tortuga camina 4.8 𝑚 a 180° después camina 2.7𝑚 a 90° .Finalmente camina 5.5.𝑚 a 330°. ¿Cuál es la magnitud total deldesplazamiento de la tortuga?

Ejercicio

Las coordenadas polares de un punto son 𝑟 = 5.5 𝑚 y θ =240° ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas de este punto?