mdc pres 2015 09 04 escalares vectores y tensores

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Mecánica del medio continuoEscalares, vectores, tensores y sistemas coordenados

Ricardo L. Parra Arango

1Universidad Nacional de Colombia1

Posgrado en Ingeniería - Estructuras

Bogotá, Agosto 26 - Septiembre 4 de 2015

Ricardo L. Parra Arango Mecánica del medio continuo

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1 Escalares

2 Álgebra vectorial

3 Sistemas coordenados

4 Álgebra y análisis vectorial y tensorial

5 Algunos teoremas referentes a tensores


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EscalaresÁlgebra vectorial

Sistemas coordenadosÁlgebra y análisis vectorial y tensorial

Algunos teoremas referentes a tensores

Números, espacios y escalares

La clase superior de los números corresponde a los númeroscomplejos C, compuestos de una parte real R y una parteimaginária i.

DefiniciónLos numeros reales son todos aquellos números que pueden serrepresentados con o sin decimales, desde el infinito negativo,pasando por el cero, hasta el infinito positivo

La clasificación general de los números reales R, se presenta en lasiguiente diapositiva.


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Clasificación de los números reales

Figura : Clasificación de los números reales R.


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Operadores lógicos y matemáticos

En el marco de este curso se utilizarán los siguientes operadores:

Operacionales + - xBooleanos ∪ ∩ ⊂ ⊃ ∅Relacionales < ≤ = 6= > ≥ ≡ 6≡Funcionales ∀ ∃ ∈ /∈ | : 3 → ⇒ ⇔

Nota tipográfica: El signo adecuado para describir lascomponentes de un vector es ⇒, sin embargo por claridadtipográfica se usará el signo =, aunque la descripción vectorial nosea realmente una ecuación.


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La geometría

La geometría como definición etimológica, corresponde a la“medida de la tierra”. Es la rama de la matemática que estudia laspropiedades de los cuerpos en el plano o en el espacio.

Los “Elementos” de Euclides constituyen el primer sistemaaxiomático para la representación de los cuerpos. En 1899 DavidHilbert publica los 21 axiomas de la geometría moderna, dandoorígen a otros tipos de geometría:

Geometría euclideana (Euclides)Geometría hiperbólica (Gauss, Lobachebsky, Bolya)Geometría elíptica (Riemann)


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El espacio

El espacio en el cual se representan los cuerpos está asociado a sugeometría. Los espacios para representar geometrías de una, dos otres dimensiones construidas a partir de los “Elementos” deEuclides, son espacios euclideanos y se denotan como E1, E2, E3.

Si, para la construcción de los cuerpos se utilizan dimensiones entérminos de los números reales R, estos espacios euclideanospueden representarse como R1, R2, R3, donde el superíndice indicala dimensión del espacio.

Existen también otras versiones de espacios, polares, cilíndricos,esféricos y cónicos.


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El espacio

Como se vió, para cada tipo de geometría se requiere de un espacioadecuado. Algunos de los espacios más comunes son los siguientes:

Espacio de Euclides: También conocido como espacioeuclídeo, corresponde al espacio que se pueda construir oconcebir a partir de los “Elementos” de Euclides y seráconsiderado como un espacio vectorial.Espacio de Hilbert: Generalización del concepto de espacioeuclideano, donde se consideran geometrías de formasarbitrárias a partir de expresiones algebráicas complejas.Espacio de Riemann: Espacio caracterizado porque laspropiedades de distancias o métricas, entre sus puntos puedenvariar de punto a punto.


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Escalares

En la mecánica no relativista hay cantidades como la masa, lalongitud, el volumen, etc. que son independientes del espacio en elcual se representan. Estas cantidades reciben el nombre deescalares.

DefiniciónUn escalar es una representación matemática de una entidad físicaque puede ser caracterizada o representada por una y solo unamagnitud.


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Escalares

Matemáticamente se puede identificar si una cantidad es escalar, apartir de la forma en que las componentes de un sistema, una omás, puedan cambiar bajo transformaciones admisibles, impuestasal espacio que las contiene. Para que un sistema pueda serdenominado escalar, debe cumplir las siguientes propiedades:

El sistema tiene una y una sola componente antes y despuésde la transformación impuesta al espacio.El sistema tiene el mismo valor y unidad en el espacio antes ydespúes de experimentar la transformación.Si el valor del sistema cambia después de transformar elespacio, en forma consistente deberá cambiar la unidad delsistema.


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Campo escalar

Como campo escalar se entiende en la matemática la asociaciónde una magnitud con un valor en cada punto del espacio. Laexpresión matemática para representar un campo escalar es

f : A ⊂ Rn → R

Expresión que significa, que f es una función de varias variables enla que a cada punto de su dominio A le corresponde un escalar. Lafunción f denominada función de punto o funcion escalar serepresenta como

f(x1, x2, ..., xn−1, xn)

Físicamente un campo escalar representa la distribución espacialde una cantidad escalar.


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Campo escalar

Algunos ejemplos de campos escalares los constituyen las líneasequipotenciales, las presiones al interior de un cuerpo, el potencialelectroestático, la energía potencial de un sistema gravitacional, lasdensidades de población, etc.

Gráficamente un campo escalar Rn puede representarse mediantealguna de las siguientes variantes:

Mapa de líneas de igual intensidad en un espacio Rn

Curva o superfície continua en un espacio Rn+1

Se concluye, por ejemplo, que para un un campo escalar en R2 serequiere de una superfície en tres dimensiones


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Campo escalar

Figura : Representación de un campo escalar definido en R2, mediantelíneas de igual intensidad


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Campo escalar

Figura : Representación de un campo escalar definido en R2, medianteuna superfície


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Propiedades de los escalaresPropiedades compartidas por los números reales:

Carácter real de la adición α+ β ∈ RConmutatividad de la adición α+ β = β + αAsociatividad de la adición α+ (β + γ) = (α+ β) + γMódulo de la adición ∃0 3 α+ 0 = αInversa de la adición ∃(−α) 3 α+ (−α) = 0Carácter real de la multiplicación α β ∈ RConmutatividad de la multiplicación α β = β αAsociatividad de la multiplicación (α β) γ = α (β γ)Módulo de la multiplicación 1 α = αInversa de la multiplicación ∃ 1

α 3 α1α = 1 para α 6= 0

Producto cero 0 α = 0Distributividad sobre la suma (α+ β) γ = α γ + β γConjunto ordenado satisface α < β o α = β o α > β


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Vectores

En los trabajos sobre mecánica, tanto de Arquímedes como deHerón se encuentran referenicias a la Regla del paralelogramo

Galileo Galilei (1564-1642) fué el primer científico en formular laRegla del paralelográmo en una forma explícita.

La idea de concebir una nueva unidad de medida fué sugeridainicialmente por el matemático alemán G.W. Leibniz (1646-1716)

El primer corolario sobre magnitudes de carácter vectorial seencuentra en la obra de Newton Principia mathematica (1687)

C. Wessel, J.R. Argand y C.F. Gauss a principios del siglo XIXconcibieron el vector, tal como lo conocemos hoy.


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Vectores

En la mecánica existen cantidades, que deben ser definidas a partirde la siguiente información:

Magnitud o módulo, que representa la intensidadDirección, que define una inclinaciónSentido, que determina una orientación

DefiniciónUn vector es la representación matemática de un entidad física quepuede ser caracterizada o representada por una cantidad que poseaun módulo o magnitd, una dirección o inclinación y un sentido


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Vectores

Los vectores también se denominan como vectores euclideanosdebido a que se construyen en un espacio Rn. Algunos ejemplos devectores euclideanos, o simplemente vectores, son el movimiento,la velocidad, la fuerza, la aceleración, etc.

Matemáticamente se puede identificar si una cantidad es vectorialo no, si luego de aplicarle una transformación al espacio que lacontiene, la cantidad presenta cambio en alguna o varias de suscomponentes: módulo, dirección o sentido.


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Vectores

Un vector v de dimensión n se representa sobre un espacio, en Rn,en la siguiente forma

v = (x1, x2, ..., xn) 3 v ∈ Rn

o en forma de arreglo vertical

v =

x1x2...xn


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Vectores

Notación tipográfica Existen diversas formas de denotar lascantidades vectoriales

Mediane una flecha dirigida, en la parte superior →vMediante un guión, en la parte superior −v o inferior v

−Mediante el estilo de letra gótico v

Mediante la intensidad de letra en negrilla vEncerrando la cantidad o variable entre corchetes v

Cuando se usan editores de texto, es más práctico usar la negrilla.Para toma de notas a mano o en el tablero es más cómodo usar elguión inferior. Los corchetes se utilizan con mayor frequencia en elanálisis matricial y en el método de los elementos finitos.


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Campo vectorial

Como campo vectorial se entiende en la matemática la asociaciónde una magnitud con un valor en cada punto del espacio. Laexpresión matemática para representar un campo vectorial es

f : A ⊂ Rn → Rn

Expresión que significa, que f es una función de varias variables enla que a cada punto de su dominio A le corresponde un vector. Lafunción f denominada función vectorial se representa como

f(x1, x2, ..., xn−1, xn)

Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacialde una cantidad vectorial


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Campo vectorial

Algunos ejemplos de campos vectoriales los constituyen ladistribución de un fluido en el espacio, la distribución de la fuerzaelectromagnética, la representación del acción gravitacional sobrela tierra, etc.

Gráficamente un campo vectorial Rn puede representarse mediantealguna de las siguientes variantes:

Mapa de distribución de la intensidad, dirección y sentido delos vectores en el espacio Rn

Superfície continua en un espacio Rn+1 acompañada de ladistribución de intensidad, dirección y sentido de los vectores.


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Campo vectorial

Figura : Representación de un campo vectorial definido en R2, mediantelíneas de igual intensidad, acompañada de vectores


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Campo vectorial

Figura : Representación de un campo vectorial definido en R2, medianteuna superfície acompañada de vectores


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Especialización de los espacios

En el espacio euclideano se pueden identificar y conformar lossiguientes espacios

El espacio vectorial cuyos elementos son los vectores, es otraforma de denotar el espacio euclideanoEl espacio normado se construye a partir de la norma de losvectores o vectores normadosEl espacio métrico cuyos elementos son los puntos, secontruye a partir de conceptos topológicos como el dedistancia y el de la métricaEl espacio del producto interno se obtiene apartir delproducto punto o escalar y permite calcular el ángulo entre losvectores, a partir de la norma o métrica natural.


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Espacio vectorial

El espacio vectorial es otra forma de llamar al espacio euclideano.Los elementos con los cuales se trabaja en el espacio vectorial sonlos vectores.

Con el objeto de identificar las principales operaciones, operadoresy propiedades que rigen sobre el espacio vectorial, se define unconjunto de vectores “que pertenecen al espacio vectorial”denominado como X. Igual se hará para los otros espacios

Las principales operaciones y propiedades que aplican sobre elconjunto de vectores X se indican en la siguiente diapositiva


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Espacio vectorial

∀ u, v, w ∈ X Vectores en el espacio normado∀ α, β ∈ R Escalar en el espacio de los realesu + v ∈ X Carácter vectorial de la adicionu + v = v + u Conmutatividad aditiva(u + v)+ w = u + (v+ w) Asociatividad aditiva∃0 3 u + 0 = u Existencia de la identidad aditiva∃(−u) 3 u + (−u) = 0 Existencia de la inversa aditivaα u ∈ X Carácter vectorial de la multiplicaciónα (β u) = (α β) u Asociatividad de la multiplicación1 u = u Módulo de la multiplicación(α + β) u = α u + β u Distributividad de la adición escalarα(u + v) = α u + α v Distributividad de la adición vectorial


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Espacio métrico

En el espacio métrico los elementos de trabajo son los puntos.En este espacio se reconoce la función valuada sobre los realesd(u, v), conocida como métrica o distancia. Esta función aceptacomo argumentos dos vectores y arroja como resultado la distanciaentre ellos. Las siguientes propiedades aplican en el espacio métrico

∀ u, v, w ∈ X Vectores en el espacio métricou 6= v ⇒ d(u,v) > 0d(u,u) = 0d(u,v) = d(v,u)d(u,w) ≤ d(u,v) + d(v,w)


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Espacio normado

El espacio normado es un espacio donde existe una funciónvaluada sobre los reales | u | conocida como norma. Esta funciónacepta como argumento un vector y arroja como resultado sulongitud o norma. Las siguientes propiedades aplican en el espacionormado

∀ u, v, w ∈ X Vectores en el espacio normado∀ α ∈ R Escalar en el espacio de los reales| 0 | = 0u 6= 0 ⇒ | u | > 0| αu | = | α || u || u + v | ≤ | u | + | v |


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Espacio producto interno

El espacio producto interno es un espacio en el cual se reconocela función u·v denominada como producto interno. Esta funciónacepta como argumento dos vectores y arroja como resultado unacantidad asociada con el ángulo de los vectores del argumento. Lassiguientes propiedades aplican en el espacio del producto interno

∀ u, v, w ∈ X Vectores en el espacio producto interno∀ α ∈ R Escalar en el espacio de los realesu·v = |u||v| cos(θ) Definición del producto internou·v = v·u(αu) · v = α(u · v)u 6= 0 ⇒ u·u > 0(u+v)·w = u·w + v·w


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Relación entre los espacios

Gráficamente se pueden relacionar los cuatro espacios mediante elsiguiente tetraédro


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Álgebra vectorial

Las siguientes son algunas de las operaciones algebráicas que sepueden realizar sobre vectores

Adicion a+b=cSubstracción a-b=cMultiplicación por un escalar αb=cProducto escalar, producto punto o

producto interior a·b = | a || b | cos(θ)= αProducto vectorial, producto crúz o

producto externo a×b = cProducto mixto escalar-vectorial

o producto spat a·(b×c)= αTriple producto vectorial a×(b×c)= v


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Álgebra vectorial

Algunos vectores especiales del álgebra vectorial son

Vector unitario v = v|v|

Vector cero o

Nota tipográfica Los vectores unitarios por definición son i, j y k.Cuando se requiera de una operación adicional, como la indicada,para obtener un vector unitario a partir de un vector cualquiera,algunos autores, por claridad, acostumbran denotar esta deducciónmediante un “∧” o un “∼” encima del vector ∧v o ∼v


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Álgebra vectorial

Algunas propiedades y operadores especiales en el álgebra vectorialson

Vector cero como módulo 0 + a = a

Proyección vectorial proy(a,b)= a·b|b|∧b = c

Ortogonalidad entre vectores a·b = 0

Ortogonalidad entre vectores a×b = c


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Matrices

Una extensión del concepto de vector lo constituye la matriz. Adiferencia del Tensor, que se verá más adelante, la matriz no tieneel carácter de propiedades de una entidad física.

DefiniciónPor matriz se entiende un arreglo de escalares o de vectores, quegenera una entidad de dos o más dimensiones.

Algunas particularidades del álgebra matricial, de aplicación en lamecánica del continuo, se indican en las siguientes diapositivas


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Matrices

Notación tipográfica Las matrices se denotan generalmentemediante letras mayúsculas, algunas de las formas más usualespara denotar una matriz son:

Mediante dos guiones en la parte superior=A o inferior A

=Acompañada de las dimensiones como subíndice Am×nMediante la intensidad de letra en negrilla AMediante el tipo de letra gótica A

Encerrada en paréntesis cuadrados [A]

Igual que para los vectores, la notación en negrilla es más cómodacuando se usa editores de texto, y la del doble guión abajo para latoma de notas.


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Álgebra matricial

Si la matriz es el resultado de la agrupación de varios vectores,aplican las operaciones, operadores y propiedades de los camposvectoriales; si la matriz es un arreglo de escalares aplican, en formaextendida las reglas de los escalares.

Los coeficientes de la matriz se denotan, generalmente, por la letraque identifica la matriz, pero en minúscula y acompañados de lossubíndices, por ejemplo ai,j es un coeficiente de la matriz Am×n.


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Álgebra matricial

Algunas matrices especiales

Matriz general Am×n×,..,qMatriz rectangular Am×nMatriz cuadrada Am×mMatriz fila A1×nMatriz columna Am×1Matriz diagonal Dm×m di,j = 0 ∀ i 6= jMatriz identidad Im×m ii,j = 1 ∀ i = jMatriz nula 0m×m 0i,j = 0 ∀ i, j


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Álgebra matricial

Algunas operaciones más frecuentes sobre matrices

Adición Am×n + Bm×n = Cm×nSubstracción Am×n - Bm×n = Dm×nMultiplicación escalar α Am×n = Bm×nMultiplicación matricial Am×n × Bn×p = Cm×pTransposición AT

m×n = An×mInversión A−1

m×m = Bm×m si A definida positivaCálculo del determinante det(Am×m) = α si A definida positivaCálculo del rango rank(Am×n) = γ ∀γ ∈ N


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Álgebra matricial

Algunas propiedades características de las matrices

Transponibilidad ATm×n = An×m

Simetría ATm×m = Am×m

Antisimetría ATm×m = A−1

m×m

Invertibilidad A−1m×m = Bm×m


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Sistemas coordenados

El primer sistema coordenado del que se tiene noticia, fuédesarrollado por René Descartes (1596-1650) y recibió el nombrede Cooordenadas cartesianas o Sistema cartesiano

El sistema cartesiano es un sistema bi- o tridimensionalconformado por dos o tres ejes ortogonales, sobre los cuales serepresentan los números reales R

Debido a que los números reales pueden ir desde valores negativosR− a valores positivos R+, el sistema cartesiano es por naturalezaun sistema de ejes dirigidos, con dos sentidos cada uno.


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Al igual que los espacios, se desarrollaron posteriormente, diversossistemas de coordenadas, con el objeto de poder representarcuerpos más complejos, como por ejemplo

Sistema de coordenadas ortogonales en el espacioSistema de coordenadas polaresSistema de cooordenadas cilíndricasSistema de cooordenadas cónicasSistema de coordenadas esféricasSistema de coordenadas inclinadas o curvilíneo


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Para la representación de un vector o de un tensor se requiere deun sistema coordenado, que sea independiente del vector o tensor.

El sistema de coordenadas, en principio, puede tener cualquierforma, por lo que se denominará sistema general decoordenadas.

El sistema cartesiano de coordenadas es una especialización delsistema general de coordanas, en la que los ejes del sistema generalson rectos y además están dispuestos en forma ortogonal.


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Debido a la disposición ortogonal de los ejes cartesianos, se debecumplir:

La dirección y sentido de cada uno de los ejes está dada porun vector, denominado vector unitario, que en forma generalse pueden denominar como i, j y k. Por definición estosvectores tienen una magnitud unitaria | i | = | j | = | k | = 1Como los vectores unitarios están dispuestos en formaortogonal unos con otros, se cumple que i·j = j·k = k·i = 0Por la misma razón anterior, se cumple que la dirección delvector resultante del producto cruz, define la direcciónpositiva del tercer vector. i×j = k, j×k = i, k×i = jPropiedad conocida como la Regla de la mano derecha


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La transformación de un sistema de coordenadas en R3 se puederepresentar mediante una sistema lineal usando una matriz detransformación, en la siguiente forma

y = Ax

en forma expandida

y1 = a11x1 + a12x2 + a13x3

y2 = a21x1 + a22x2 + a23x3

y3 = a31x1 + a32x2 + a33x3

Donde yi y xi representan el mismo punto en los dos sistemascoordenados Sy y Sx.


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A partir de la definición anterior, se deduce que la base de unsistema coordenado, elegido en forma arbitraria sobre un espacioE3, debe ser un sistema linealmente independiente.

a = a1e1 + a2e2 + a3e3

Donde ej para j = 1, 2, 3 corresponde a tres vectores unitarios ovectores directríces, ortogonales y por lo tanto linealmenteindependientes.

Los coeficientes aj para j = 1, 2, 3 se denominan comocoodenadas de la base ej


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La ubicación de un orígen O del sistema coordenado permite queel espacio para el cual se ha concebido el sistema cartesiano, seamedible.

Cualquier punto ubicado sobre el sistema cartesiano estará definidomediante un vector de posición r. Para un espacio euclideano E3

el vector de posición estará definido por las componentes en lasdirecciones de la base del sistema r1, r2, r3

A un punto le corrersponde uno y sólo un vector de posición, peroun vector de posición puede tener infinitas combinaciones de lastripletas que lo componen, de acuerdo a los sistemas coordenadosusados para definir el vector de posición


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Transformación entre sistemas coordenados

Sea Sx un sistema coordenado ortogoanal tomado como referenciapara ubicar un punto material p, es posible concebir otro sistemacoordenado Sy, también ortogonal, para referenciar el mismopunto material p. En forma independiente la ubicación del puntopen los dos sistemas se hace a partir de los vectores unitarios obase de cada sistema

Sistema Sx SyBases e1, e2, e3 f1, f2, f3Componentes de p x1e1 + x2e2 + x3e3 y1f1 + y2f2 + y3f3

Se pretende obtener la posición del punto p en el sistema Sx perousando las bases del sistema Sy


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Se evidencia, la necesidad de afectar por una entidad compatiblelas bases del sistema Sy en la siguiente forma

e = Sfei = Sijfj

En forma análoga se puede plantear el mismo razonamiento para elsistema Sx

f = Tefi = Tijej

Posteriormente se demostrará la T = ST


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Los coeficientes de la matriz T se conocen como los cosenosdirectrices o directores, generados por la rotación de cada una delas bases. En forma explícita la transformación de las componentesdel punto p en el sistema Sx al sistema Sy son las siguientes

y1y2y3

=

t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33

x1x2x3

Es importante anotar que la matriz de transformación T fueconcebida para transformar las componentes del sistema Sx en elsistema Sy. Esta dirección define un sistema de referencia y unsistema deducido, sistemas que más adelante serán definidosespecíficamente


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Tensores

La palabra tensor proviene del latin tendo “tensionar”. Comoconcepto fué introducido por William Rowan Hamilton en 1840bajo el nombre de Quaternion (H), luego de algunas precisionesdió orígen al tensor que conocemos hoy en día.

James Clerk Maxwell aparentemente utilizó en 1864 el concepto detensor para agrupar en la teoría de la elasticidad, las diferentesconfiguracions de esfuerzos sobre una particula en el espacio.

La generalización y unificación en la notación de los conceptos devector, matriz y tensor, se le atribuye a Woldemar Voigt en su obra“Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle inelementarer Darstellung” 1898.


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Antecedentes

Las obras de Grerorio Ricci-Curbastro “AbsoluteDifferentialgeometrie”, 1898 y Tullio Levi-Civita “Calcolodifferenziale assoluto”, 1890 se constituyen en el primer intento deextender los conceptos del cálcuo diferencial a los tensores.

A partir de estas publicaciones, Albert Einstein pudo replantear losfundamentos matemáticos de la “’Teoría general de la relatividad”en 1915. En 1916 Einstein complemento el trabajo deRicci-Cubastro y Levi-Civita, adicionándole operadores diferencialesacuñando el nombre de “Análisis tensorial”. Posterior a los trabjaosde Einstein, han aparecido innumerables aportes, ampliando elcampo de aplicación del cálculo tensorial a diferentes áreas


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Concepto de tensor

El concepto de tensor se puede extrapolar a partir de los conceptosde escalar y vector, en la siguiente forma:

Una función escalar dependiente de una o más variables, arrojacomo resultado una entidad escalar en los reales

Una función vectorial dependiente de uno a más variables, arrojacomo resultado una entidad vectorial.

En forma similar un funcion tensorial dependiente de variasvariables arroja como resultado un conjunto de vectores o unaentidad tensorial


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Definición de tensor

A partir del razonamiento anterior se puede concluir que el tensorse pude concebir como una unidad multilineal, en la cual para cadauno de los vectores que conforman el argumento, está mapeado oasociado con un grupo o campo de vectores.

DefiniciónUn tensor corrersponde a una configuración lineal entre espaciosvectoriales; el conjungo de las combinaciones lineales entreespacios vectoriales de dimensiones finitas se conoce como tensor

La característica fundamental de un tensor radica en que esindependiente del sistema de referencia en el cual se encuentre


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Clasificación de los tensores

El tensor de orden cero tiene una sola componente, igualpara todo sistema coordenado. Esta propiedad se conocecomo la invarianza del escalarEl tensor de primer orden en un espacio E2 tiene doscomponentes, se requiere de un subíndice para denotar todaslas combinaciones ti para i = 1, 2El tensor de segundo orden en un espacio E2 tiene cuatrocomponentes, se requiere de dos subíndices para denotartodas las combinaciones tij para i, j = 1, 2El tensor de orden superior, por ejemplo de tercer grado, enun espacio E2 tiene ocho componentes, se requiere de tressubíndices para denotar las combinaciones tijk parai, j, k = 1, 2


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Clasificación de los tensores

El tensor de orden cero o nulo corresponde al escalar. Sedenota por variables alfabéticas o mediante letras griegasa, b, c, α, β, γ

El tensor de primer orden corresponde al vector. Se denotamediante letras minúsculas en negrilla o mediante una flechaen la parte superior u, v,w,→u,→v ,→w,El tensor de segundo orden se representa por letrasmayúsculas en negrilla T; algunos autores colocan tantas

flechas sobre la variable como el grado del tensor,→→u .

En el tensor de orden superior, el orden del tensor se colocacomo superíndice, bien sea mediante un número romano SIIIo mediante un número natural encerrado entre paréntesis S(3)


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Propiedades básicas de un tensor

Otra interpretación matemática para identificar a un tensorcorresponde a “la forma en que esta entidad, el tensor T, actúasobre otro tensor del mísmo orden S, sobre uno o más tensores deorden inferior u, v e incluso sobre un escalar α”

Propiedades básicas de un tensor

T(v + u) = Tv + TuT(αv) = α(Tv)

(S + T)v = Sv + Tv(αSv) = α(Sv)


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Matriz de transformación entre tensores

Dos sistemas coordenados Sy y Sxse relacionan mediante elconcepto de la matriz de transformación T, visto anteriormente, enla siguiente forma

y = Tx

en forma explícita para un espacio E3 corresponde al sistema

y1 = t11x1 + t12x2 + t13x3

y2 = t21x1 + t22x2 + t23x3

y3 = t31x1 + t32x2 + t33x3

donde tij corresponde a los coeficientes de la matriz detransformación.


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Coeficientes de la matriz de transformación

Utilizando una notación indical y el operador de sumatoria, unsistema, como el anterior, se puede reescribir como

yi =N∑j=1

tij xj

yij =N∑k=1

N∑l=1

tiktjl xkl

yijk =N∑l=1

N∑m=1

N∑n=1

tiltjmtkn xlmn

donde N corresponde al tamaño del sistema euclideano EN y lossubíndices i, j, k, l,m, n toman los valores 1, 2, ..., N n ∈ N


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Orden de un tensor

DefiniciónEl orden de un tensor se determina a partir de la cantidad desubíndices necesarios para representar la matriz de transformaciónentre dos sistemas de coordenadas.

CorolarioLa cantidad de términos de un tensor de orden G en un espacioeuclideano EN se obtiene a partir de la expresión NG.


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Notación tipográfica

La forma más clara para denotar un tensor corresponde a la deindicar su orden mediante uno, dos o más subíndices ti, tij , tijk.

Así por ejemplo, el tensor de momentos inerciales de un cuerpo enel espacio E3 se representa como

ϑij =

ϑxx −ϑxy −ϑxz−ϑyx ϑyy −ϑyz−ϑzx −ϑzy ϑzz

Los tensores, como entidad, se denotan generalmente, por letrasmayúsculas en negrilla, letras griegas en negrilla ,


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Notación tipográfica

(continuación)

Los tensores, como entidad, se denotan generalmente, por letrasmayúsculas, a veces también con minúsculas, en negrilla I, T, u, yletras griegas en negrilla θ o σ

Los tensores también pueden denotarse e identificarse por lacantidad de subínces de una variable, así por ejemplo ti, tij y tijkson tensores de primer, segundo y tercer orden respectivamente

Algunos autores colocan alternadamente los índices en la partesuperior e inferior ∼ei = aki ek de los elementos que intervienen enuna operación


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Notación tipográfica Resúmen

Notación indicial Cuando se denota el tensor por suscomponentes acompañadas de índices, por ejemplo ui, Cij ,σk. Como se trata de las componentes, no es necesaria lanegrilla.Notación compacta Cuando se denota el tensor por sunombre en negrilla, se utiliza generalmente, letra minúsculapara tensores de primer orden u y mayúscula para tensores deorden superior C. Algunos tensores tienen letras griegas quelos identifica claramente, σNotación matricial Los vectores se denotan por letrasminúsculas en negrilla encerradas entre corchetes u[l], lasmatrices por letras mayúsculas en negrilla encerradas entreparéntesis cuadrados [K][m×n] acompañada, o no, de lasdimensiones


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Notación tipográfica Resúmen(continuación)

Notación de Voigt Es un tipo de notación matricial paratensores simétricos, en la cual se evita la duplicación decoeficientes. Un tensor de esfuezos en el plano tiene nuevecoeficientes, pero solo seis valores independientes.

σij =

σ11 σ12 σ13σ21 σ22 σ23σ31 σ32 σ33

→ σVij =

σ11σ22σ33σ12σ23σ31

Notación de Nye y Kelvin-Mandel Notaciones en las cualesse destaca el carácter aditivo de la deformación y ladescomposición de los esfuerzos tangenciales


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Tensores y operadores especiales

Convención de la sumatoria de Einsteina.) Un índice no debe aparecer más de dos veces en alguna oen todas las componentes de un término de una expresióntensorialb.) En una expresión dos índices comunes, en una o variascomponentes de una expresión tensorial, equivalen a unasumatoria sobre estos índicesc.) El o los índices que no se repiten se denominan índicesmudos o índices libres y determinan la cantidad de sumatoriaso ecuaciones independientesd.) Los subíndices repetidos en las componentes de untérmino equivalen a una sumatoria simple, doble o triple


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Convención de la sumatoria de Einstein(continuación)e.) La adición o substracción de componentes tensoriales deigual índice, equivale a un conjunto de ecuacionesindependientes, sin sumarsef.) Dos componentes o expresiones tensoriales son iguales sisus índices son iguales o representan los mismos valores. Porclaridad se prefiere usar los mísmos índices a lado y lado de laigualdadg.) El o los índices que “desaparecen” en algunas operacionestensoriales como el producto punto, se denominan comoíndices contraidos


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Convención de la sumatoria de Einstein(continuación)h.) En principio, los índices se pueden representar porcualquier letra o conjunto de letras, siempre y cuando tomenlos mismos valores. Por claridad es conveniente utilizar letrasdiferentes como índices para las diferentes componentes de untérmino de una expresión tensoriali.) En un espacio E2 la cantidad de términos de la sumatoriaes 2 o 2Nen un espacio E3 la cantidad es 3 o 3N . N dependedel orden de los tensores que intervienen en la operación

La expresión yi =∑3i=1 tikxk se puede simplificar, utilizando

la convención de Einstein, como yi = tikxk, para i, k = 1, 2, 3


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Operador delta de Kronecker δij

Es un operador que toma el valor unitario cuando lossubíndices i y j tienen el mismo valor, en caso contrario eloperador toma valor cero

δij =

1 si i = j0 si i 6= j

El tensor asociado con el Delta de Kronecker se denominatensor Kronecker

tij = δij


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Operador de permutación de Levi-Civita εijk

Operador que indica si el orden de numeración de tres índiceses horario o antihorario εijk = 1

2(i− j)(j − k)(k − i) parai, j, k = 1, 2, 3

εijk =

1 si el sentido es antihorario−1 si el sentido es horario

0 si no hay periodicidad

El tensor asociado con el Epsilon de Levi-Civita se denominatensor Levi-Civita

tijk = εijk


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Operador diádico ⊗

Producto tensorial o producto diádico entre tensores. Elproducto diádico recibe como argumento dos tensores de igualorden y arroja como resultado un tensor de orden superior,con todas las combinaciones posibles entre sus coeficientes.Por ejemplo para i, j = 1, 2, 3

u⊗ v = Wuivj = wij

uivj =

u1v1 u1v2 u1v3u2v1 u2v2 u2v3u3v1 u3v2 u3v3

=

w11 w12 w13w21 w22 w23w31 w32 w33


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Operador diádico ⊗(continuación)

El producto diádico no es ni un producto punto, ni unproducto cruz, es una entidad completamente diferente, en lacual se generan todas las posibles combinaciones de lascomponentes de los vectores que intervienen

Kolecki J.A. autor del artículo”An Introduction to tensors forstudents of physics and engineering” así como otros, noutilizan un símbolo especial ⊗ para denotar el productodiádico; en su lugar se refieren a una “diáda” y la denotan porlos nombres de los vectores en negrilla y mayúsculas UV


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Producto punto o contracción de tensores “·”

El producto punto “·”, producto escalar o contracción deíndices, recibe como argumento dos tensores de segundoorden n = 2 o superior n y arroja como resultado un tensor deorden inferiorEl producto punto puede aplicarse dos veces en formasimultánea “:” o en forma sucesiva “··” (doble productocontraido), hasta llegar a un tensor de cero orden; siempre ycuanto el orden de los tensores lo permita.

Algunos idiomas denotan esta operación, literalmente, como“rejuvenecimiento”


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Producto punto o contracción de tensores “·”(continuación)

Contracción del tensor de segundo orden wij obtenido,previamente a partir de un producto diádico como u⊗ v o suequivalente en notación indicial uivj

u · v = γ

uivi = γ

uivi = (u1v1 + u2v2 + u3v3) = γ

El producto contraido también puede aplicarse entre tensores dediferente orden, siempre y cuando las operaciones sean compatibles


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Otras operaciones elementales entre tensores

AdiciónSubstracciónMagnificaciónAsociatividad aditivaConmutatividad aditivaNo conmutatividad multiplicativaExistencia del módulo de la sumaExistencia del módulo de la multiplicaciónExistencia de la identidad de la sumaExistencia de la identidad de la multiplicación


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Tensores de segundo orden y orden superior

En vista, de que el tratamiento de los tensores de primer orden,con algunas excepciones, se asemeja al tratamiento de vectores, esconveniente ampliar, en forma general, las propiedades de lostensores de segundo orden y de orden superior.

Los tensores de segundo orden resultan del producto diádico de dosvectores o tensores de primer orden u⊗ v = W.u = (u1e1 + u2e2 + u3e3) y v = (v1e1 + v2e2 + v3e3)

Todas las combinaciones de las componentes de los vectores u v seobtienen a partir de la expresión

W = Wij (ei ⊗ ej) = Wij ei ⊗ ej


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Desarrollo del producto tensorial o producto diádico en un espacioEuclideano E3

u⊗ v =(uiei)⊗ (vjej) = (uivj)(ei ⊗ ej)= (u1v1)(e1 ⊗ e1) + (u1v2)(e1 ⊗ e2) + (u1v3)(e1 ⊗ e3) +

(u2v1)(e2 ⊗ e1) + (u2v2)(e2 ⊗ e2) + (u2v3)(e2 ⊗ e3) +(u3v1)(e3 ⊗ e1) + (u3v2)(e3 ⊗ e2) + (u3v3)(e3 ⊗ e3)

= wij(ei ⊗ ej)


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En forma análoga se construyen tensores de orden superior

Tensor de tercer orden

R = Rijk ei ⊗ ej ⊗ ek

Tensor de cuarto ordenS = Sijkl ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el

DefiniciónEl orden de un tensor se puede determinar a partir de la cantidadde índices libres del producto de sus componentes o por el de lasbases de sus diádas


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Algunos tensores especiales de segundo orden

a. Tensor transpuestob. Tensor simétricoc. Tensor antisimetrícod. Descomposición simétrica-antisimétricae. Tensor ortogonalf. Tensor inversog. Tensor isótropoh. Tensor esféricoi. Tensor identidad


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Algunas propiedades de los tensores de segundo orden

j. Determinantek. Trazal. Valores propios o principalesm. Direcciones propias o principalesm. Parte esférican. Parte desviadorao. Descomposición esférica-desviadorap. Tensor definido positivo


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Variante e Invariante de un tensor

Bajo el concepto de variante e invariante se agrupan algunaspropiedades de los tensores, que como su nombre lo indica puedenvariar o no de un sistema de coordenadas a otro.

El teorema de Cayley-Hamilton define las siguientes funciones oinvariantes para un tensor

I1(U) =trz(U)

I2(U) =12((trz(U))2 − trz(U2)

)I3(U) =1

3(trz(U3)− I1trz(U2) + I2trz(U)

)Estas invariantes arrojan como resultado un escalar


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Variante e Invariante de un tensor

Finalmente, el mismo teorema de Cayley-Hamilton define unapropiedad adicional o ecuación característica la cual deben cumplirlas invariantes

U3 − I1(U)U2 + I2(U)U− I3(U)I = 0

En la expresión anterior I y 0 son los tensores identidad y nulorespectivamente.

Una primera aplicación de los invariantes, la constituye losmomentos de inercia principales de una sección transveral,independiente del sistema de referencia, siempre so obtendrán losmismos valores.


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Covariante y Contravariante

Para identificar los sistemas coordenados de referencia y de destinose utilizan el término de covariante y contravariante

La covariante y contravariante se pueden identificar mediante elcambio de la letra que denota la base, mediante una tilde o guiónsobre las letras que denotan la base o mediante la posiciónalternada, abajo, arriba de los índices

Covariante : e1, e2, e3 Contravariante : f1, f2, f3

Covariante : e1, e2, e3 Contravariante : ∼e1,∼e2,∼e3

Covariante : e1, e2, e3 Contravariante : e1, e2, e3


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Cálculo diferencial de tensores

Algunos conceptos previos:Campo escalar de varias variablesCampo vectorial de varias variablesCampo tensorial de varias variablesDerivada espacial según LeibnizDerivada temporal según NewtonOperador de diferenciación de EulerOperador de diferenciación de JacobiDerivadas parcialesRegla de la cadena


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Sea f = f(T, x, t) una función valuada escalar. Las derivadasparciales respecto a un escalar t, un vector x y un tensor T son

∂

∂tf(T, x, t) = lım

α→0

f(T, x, t+ α)− f(T, x, t)α[

∂

∂xf(T, x, t)]· u = lım

α→0

f(T, x + αu, t)− f(T, x, t)α[

∂

∂Tf(T, x, t)]· S = lım

α→0

f(T + αS, x, t)− f(T, x, t)α

donde S, u y α son tensores, vectores y escalares respectivamente


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Observaciones sobre la derivada parcial de f = f(T, x, t)

∂∂tf es un escalar∂∂xf es un vector∂∂Tf es un tensor


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Sea v = v(T, x, t) una función valuada vectorial. Las derivadasparciales respecto a un escalar t, un vector x y un tensor T son

∂

∂tv(T, x, t) = lım

α→0

v(T, x, t+ α)− v(T, x, t)α[

∂

∂xv(T, x, t)]· u = lım

α→0

v(T, x + αu, t)− v(T, x, t)α[

∂

∂Tv(T, x, t)]· S = lım

α→0

v(T + αS, x, t)− v(T, x, t)α



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Observaciones sobre la derivada parcial de v = v(T, x, t)

∂∂tv es un vector∂∂xv es un tensor∂∂Tv es un tensor de tercer orden


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Sea R = R(T, x, t) una función valuada tensorial. Las derivadasparciales respecto a un escalar t, un vector x y un tensor T son

∂

∂tR(T, x, t) = lım

α→0

R(T, x, t+ α)− R(T, x, t)α[

∂

∂xR(T, x, t)]· u = lım

α→0

R(T, x + αu, t)− R(T, x, t)α[

∂

∂TR(T, x, t)]· S = lım

α→0

R(T + αS, x, t)− R(T, x, t)α



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Observaciones sobre la derivada parcial de R = R(T, x, t)

∂∂tR es un tensor∂∂xR es un tensor de tercer orden∂∂TR es un tensor de cuarto orden


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Retomando las tres propiedades invariantes de los tensores sepuede demostrar que

d I1(R)dR = I

d I2(R)dR = I1(R)I− RT

d I3(R)dR = I3(R)R−T

Donde Ii(R) para i = 1, 2, 3 representa, respectivamente, elinvariante uno, dos y tres del tensor R


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La regla de la cadena para escalares, vectores y tensores implica

d

dtf(T(t), x(t), t) = ∂f

∂T ·dTdt

+ ∂f

∂x ·dxdt

+ ∂f

∂td

dtv(T(t), x(t), t) = ∂v

∂T ·dTdt

+ ∂v∂x ·

dxdt

+ ∂v∂t

d

dtR(T(t), x(t), t) = ∂R

∂T ·dTdt

+ ∂R∂x ·

dxdt

+ ∂R∂t


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Otra forma de expresar el concepto de diferenciación es medianteel operador Nabla ∇. Se trata de un operador de diferenciaciónque se obtiene a partir de la derivada parcial de una funciónvaluada sobre los escalares, vectores o tensoresen forma de variable

∇( ) = ∂

∂xi( )

o en forma tensorial∇( ) = ∂

∂x( )

El operador ∇ incrementa el orden de la entidad sobre la cualopera, también se puede interpretar como un tensor ∇


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El operador gradiente corresponde a la aplicación del operador ∇a una función valuada sobre escalares, vectores o tensores, talcomo se indica a continuación

grad f = ∂

∂xf(T, x, t)

grad v = ∂

∂xv(T, x, t)

grad R = ∂

∂xR(T, x, t)

Los resultados del gradiente son vector, tensor y tensor de tercerorden respectivamente


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Las principales propiedades del operador gradiente son

grad(f v) = f grad v + v⊗ grad f

grad(u · v) = (grad u)T v + (grad v)T u

grad( 1f

)= − 1

f2 grad f

El operador gradiente puede aplicar tanto a un vector de posiciónx, como a un tensor que describa algún comportamiento S


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El operador divergencia es un operador compuesto y recursivo queaplica a vectores v y tensores R y se obtiene en la siguiente forma

div v = trz(grad v)

sus principales propiedades son

div (R + S) = div R + div S(div R) · v = div (RT v)

La divergencia de un vector es un escalar, mientras que la de untensor de segundo orden es un vector


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El operador rotor o rotacional de un vector, denominado comocurl el inglés, se define en la siguiente forma

rot v = ∇× v

Las principales propiedades del rotor son

(rot u)× v = [grad u− (grad u)T ]vrot(u + v) = rot u + rot v

El operador rotor o rotacional se caracteriza por no alterar el ordende la entidad sobre la cual aplica


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El operador Laplaciano es básicamente un operador compuesto,que resulta de la aplicación sucesiva del operador ∇ en la siguienteforma

4f = ∇2f = ∇ · ∇f4v = ∇2 v = ∇ · ∇v4S = ∇2S = ∇ · ∇S

Al igual que el rotor o rotacional el operador Laplaciano tampócoaltera el orden de la entidad sobre la cual aplica


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Propiedades del Laplaciano

∇ · (∇vT ) =∇(∇ · v)∇× v = 04v =∇ · (∇v)

∇ · (∇v) =∇ · (∇vT )∇ · (∇vT ) =∇(∇v)∇(∇v) = 04v = 0


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Algunas propiedades conjuntas de los operadores gradiente,divergencia y rotor son

div (f v) = f div v + v · grad fdiv (ST v) = S · grad v + v · div Sdiv (fA) = f div A + A grad f

div (u⊗ v) = u div v + (grad u) vdiv (rot v) = 0

rot (u× v) = (grad u)v− (grad v)u + u(div v)− v(div u)


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Cálculo tensorial en coordenadas cartesianas

Las componentes de una funcion escalar f , vectorial v y tensorial Sen un sistema cartesiano se obtienen a partir de la regla de lacadena en la siguiente forma

d

dtf(T(t), x(t), t

)= ∂ f

∂Tij

dTijdt

+ ∂ f

∂xi

dxidt

+ ∂ f

∂t

d

dtvi(T(t), x(t), t

)= ∂vi∂Tjk

dTjkdt

+ ∂vi∂xj

dxjdt

+ ∂vi∂t

d

dtSij(T(t), x(t), t

)= ∂Sij∂Tij

dTkldt

+ ∂Sij∂xk

dxkdt

+ ∂Sij∂t


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Se puede demostrar que estas expresiones corresponden a

(grad f)i = ∂f

∂xi≡ f,i

(grad v)ij = ∂vi∂xj≡ vi,j

(grad S)ijk = ∂Sij∂xk

≡ vij,k

Donde la “,” representa la derivada parcial respecto a loscoeficientes con los subíndices que la preceden


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En forma similar se pueden obtener las divergencias

div v = ∂vi∂xi

= vi,j

(div S)i = ∂Sij∂xj

= Sij,j

A partir de estas definiciones se deduce el Teorema de ladivergencia, el cual se explica más adelante. El vector decomponentes cartesianas debe cumplir

(rot v)i = εijk vk,j


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Cálculo tensorial en coordenadas curvilíneas

Recordando que en cualquier sistema de coordenadas en E3 tieneasociadas tres bases, se puede definir un sistema fijo de basesortonormales ei = e1, e2, e3, de tal forma que cualquier vectorv pueda ser expresado en términos de estas bases como

u = u1e1 + u2e2 + u3e3

o en forma indicial como

u = uiei


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Las componentes ui del sistema anterior, se conocen comoComponentes cartesianas del vector u. Por supuesto existeninfinitas posibilidades de definir las bases ortonormales en E3, aligual que otras bases no ortogonales ni fijas, denonimadasComponentes no cartesianas o Componentes curvilíneas

Las coordenadas cartesianas tienen mayor aceptación debido a quelas bases están fijas y no cambian de dirección ni magnituddurante un evento y por este motivo son más fáciles de manipular

Los sistemas de coordenadas curvas más conocidos son el sistemade coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadasesféricas


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Como el espacio E3 es a su vez un espacio métrico, el vector deposición x puede ser considerado como un punto en el espacio ocomo un vector desde el orígen hacia el punto

x = x1e1 + x2e2 + x3e3 = xiei

Cada componente xi del vector x define una superfície decoordenas, cuyas intesecciones se conocen como coordenadascurvas. En el caso especial de coordenadas cartesianas lascoordenadas curvas corresponden a líneas rectas. En formasimilar se definen las caras de un diferencial de volumen.


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Sea θ1, θ2, θ3 un sistema de coordenadas curvas no coplanarcon g1, g2, g3. El sistema de bases naturales gi para el sistemade coordenadas curvilíneas θi se define como

gi = ∂x∂θi

x es el vector de posición, gi es el vector de bases covariantes otangentes. Las bases covariantes no son fijas ni en magnitud ni endirección y pueden tener dimensiones. Como bases recíprocas sedefine la relación

gi · gj = δij

g1 es perpendicular tanto a g2 como a g3 y g1 es paralelo con g1


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Sistemas coordenados de ejes cartesianos y de ejes curvos


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Cualquier vector en E3 puede ser expresado tanto en el sistema debases co- contravariantes

v = v1g1 + v2g2 + v3g3 = vigiv = v1g1 + v2g2 + v3g3 = vigi

el mismo criterio aplica para tensores, por lo tanto

T = T ijgi ⊗ gjT = Tijgi ⊗ gj

al trabajar en coordenadas curvilíneas es importante retener conquién están relacionados los subíndices y los superíndices


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Sistemas coordenados de ejes cartesianos y de ejes curvos


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La diferenciación espacial de la covariante se define como elcambio de gi a lo largo de la curva θi

∂gi∂θj

= Γkijgk = Γ1ijg1 + Γ2

ijg2 + Γ3ijg3

donde Γkij se denomina como el Operador Christoffel desegunda clase el cual tiene la siguiente propiedad

∂gi∂θj

= −Γikjgk


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El gradiente de un tensor se definió como

grad v = ∂v∂x = ∂

∂x(vigi

)por lo tanto

= ∂

∂θj(vigi

)⊗ gj

=(∂vi∂θj

+ Γimjvm)gi ⊗ gj

en forma similar se pude demostrar

grad v = ∂v∂x =

(∂vi∂θj− Γmij vm

)gi ⊗ gj


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La divergencia de un vector se definió como

div v ≡ trz (grad v)por lo tanto

=(∂vi∂θj

+ Γimjvm)gi ⊗ gj

=(∂vi∂θj

+ Γimjvm)gi · gj

= ∂vi

∂θj+ Γimivm


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La divergencia de un tensor se definió como

(div S) · u = div(STu)

si v es constante ∂v∂x = 0 por lo tanto

∂

∂θj(vigi

)⊗ gj =

( ∂vi∂θj− Γmij vm

)gi ⊗ gj = 0

lo cual implica ∂vi∂θj

= Γmij vm


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La divergencia de un tensor se definió como

(div S) · u = div (STu)div(STu) = div

[(T jigi ⊗ gj

)vkgk

]= div

[T jivk

(gj · gk

)gi]

= div(T jivjgi

)= ∂T ji

∂θjvj + T ji

∂vj∂θi

+ ΓimiT jmvj

finalmente se obtiene

divT =(∂T ij∂θj

+ ΓimjTmj + ΓjmjTim)gi


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Algunos teoremas sobre tensores


Teorema de la divergenciaTeorema de StokesIdentidades de Green

A partir de estos teoremas es posible reducir el orden de laintegración o derivación obteniéndose expresiones más sencillas


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El Teorema de la divergencia aplica a funciones de carácterescalar f , vectorial v y tensorial S∫

Rf,i dv =

∫∂R

f ni da∫Rvi,i dv =

∫∂Rvi ni da∫

RSij,j dv =

∫∂R

Sij nj da

Donde R, ∂R, ni, dv y da corresponden a la región, frontera,normal, diferencial sobre la región y diferencial sobre la frontera,respectivamente


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En forma compacta y en términos de sus componentes el Teoremade la divergencia se puede representar en la siguiente forma, parauna región en el espacio euclideano E3∫

V∇ · v dV =

∫∂V

v · n dA∫Vvi,i dV =

∫∂V

vi ni dA

Donde V , ∂V , ni, dV y dA corresponden al volumen, el área, lanormal, diferencial de volumen y diferencial de árearespectivamente


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El Teorema de Stokes es una variante del Teorema de ladivergencia y se enuncia en la siguiente forma∫

Ω(∇× v) · n dA =

∫Γ

v · t ds

Donde Ω es una superficie no cerrada con borde Γ, v es un campovectorial “suave”, t es el sentido de avance sobre la curva Γ, s esel arco recorrido y n define el sentido del área recorrida o deintegración.


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Las Identidades de Green son expresiones que se obtienen apartir de la derivada vectorial

Primera identidad∫Sf(∇h) · dA =

∫V

[f∇2h+ (∇f) · (∇h)

]dV

Segunda identidad∫V

(f∇2h− h(∇2f)

)dV =

∫S

(f∇h− h∇f

)·dA

Donde V es el volumen, S la superfície, A el área, f y h sonfunciones escalares y ∇ es el operador Nabla de la diferenciación


mdc pres 2015 09 04 escalares vectores y tensores

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