2esomapi gd esu07.pdf

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*Esta programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma podrás encontrarlas enel CD Programación y en www.smconectados.com.

6

4

5

3

2

1

2 ES

O

G U Í A D I DÁ C T I C A UNIDAD 7

Sistemas de ecuacionescon dos incógnitas

CO N T E N I D O

2

Para iniciar el estudio de los sistemas de ecuaciones, en primer lugar se presentan los conceptos básicos de una ecua-ción lineal con dos incógnitas. Aunque las expresiones algebraicas con dos variables ya se trabajaron en el curso ante-rior, esta unidad pretende profundizar en el manejo de varios símbolos y, mediante ejemplos concretos, poner de mani-fiesto la necesidad de usar varias letras para describir relaciones entre varios números o datos en un problema de la vidacotidiana.

Se introducen los términos y definiciones básicas necesarios para un aprendizaje adecuado de los sistemas de ecuaciones.Es importante incidir en la noción de solución de un sistema para conseguir un uso idóneo de estos.

Mediante la resolución de sistemas por tablas se potencian contenidos y destrezas de unidades anteriores como des-pejar una incógnita en una ecuación, calcular el valor de una expresión algebraica eligiendo previamente los valores,decidir cuáles son los más adecuados y estudiar si un determinado par de números es o no solución de una ecuación.Puesto que la eficacia de este método es relativa, se proponen dos métodos más clásicos, el método de sustitución y elmétodo de reducción para resolver sistemas de ecuaciones, trabajando el automatismo de estos métodos hasta queel alumnado consiga ver sus ventajas y se familiarice con cada uno de ellos.

La resolución de problemas es imprescindible para que los alumnos integren las distintas formas de pensamiento mate-mático y puedan con ellas enfrentarse a diferentes situaciones, tanto en su vida cotidiana como en ámbitos científicos oámbitos tecnológicos. En concreto, en esta unidad, mediante el planteamiento de sistemas de ecuaciones para resolverproblemas, se potencian, simultáneamente, la lectura comprensiva, el establecimiento de un plan de trabajo y la valo-ración de los resultados obtenidos, puntos todos ellos fundamentales en la adquisición de las competencias básicas dela etapa.

• Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

• Solución de un sistema de ecuaciones

• Planteamiento y resolución de sistemas de dos ecuacionesde primer grado con dos incógnitas por medio de tablas

• Planteamiento y resolución de sistemas de dos ecuacio-nes de primer grado con dos incógnitas aplicando losmétodos de sustitución, reducción y reducción doble

• Planteamiento y resolución de problemas mediante sis-temas de dos ecuaciones de primer grado con dos incóg-nitas

• Valoración de la utilidad de los sistemas de ecuaciones enla resolución de problemas de la vida cotidiana

• Perseverancia y confianza en la resolución de problemasmediante sistemas de ecuaciones

Unidad 7 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

CONTENIDOS

Programación de aula

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitasUnidad 7

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Conocer las ecuaciones linealescon dos incógnitas.

1.1 Hallar soluciones de una ecuación line-al con dos incógnitas.

• Lingüística• Matemática• Interacción con el mundo

físico• Social y ciudadana• Tratamiento de la

información y competenciadigital

• Aprender a aprender

2. Comprender qué es un sistemade ecuaciones lineales con dosincógnitas.

2.1 Reconocer los elementos de un sistemade ecuaciones.

2.2 Comprobar si un par de números essolución de un sistema.

3. Resolver sistemas de ecuacionespor tanteo.

3.1 Usar tablas de valores para resolversistemas.

4. Conocer y aplicar los métodos deresolución de sistemas.

4.1 Resolver sistemas por el método desustitución.

4.2 Resolver sistemas por el método dereducción.

4.3 Resolver sistemas por el método dereducción doble.

5. Usar los sistemas de ecuacionespara resolver problemas de la vidacotidiana.

5.1 Resolver problemas de la vida cotidia-na y otras ciencias usando sistemas deecuaciones.

3


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosPara que los alumnos puedan aprovechar los contenidos expuestos y conseguir un adecuado aprendizaje, es imprescindibleque resuelvan ecuaciones con paréntesis y denominadores con soltura y realicen operaciones con expresiones alge-braicas.

2. Previsión de dificultadesLa principal dificultad surgirá cuando los alumnos tengan que elegir el método más adecuado para resolver un siste-ma. Para solventarla conviene apoyar la introducción de cada uno de los métodos con ejemplos concretos, tratando deresolver el sistema primero por el método aprendido anteriormente y después por el nuevo, para que los alumnos valo-ren la practicidad de cada uno de los métodos.

También encontraremos dificultades a la hora de aplicar los sistemas a la resolución de problemas. Los alumnos pre-sentarán problemas a la hora de elegir las incógnitas y de establecer las relaciones que hay entre ellas.

3. Vinculación con otras áreasEsta unidad va encaminada a la aplicación de los sistemas para resolver problemas; de hecho, la mayoría de los ejem-plos se presentan con problemas contextualizados. Por ello esta unidad está ligada con la mayoría de las materias delcurrículo.

4. Esquema general de la unidadComo continuación natural a la resolución de ecuaciones de pri-mero y segundo grado, se estudian ahora los sistemas de dosecuaciones con dos incógnitas.

Tras introducir a los alumnos los conceptos de ecuación con dosincógnitas, se presentan los sistemas de dos ecuaciones condos incógnitas para entrar después en el estudio de los métodosde resolución por tablas, sustitución y reducción.

Todas las técnicas de esta unidad se trabajan en problemas dela vida cotidiana para hacer ver a los alumnos la utilidad de lossistemas.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en 10 sesiones:

1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias

2.ª Ecuaciones lineales con dos incógnitas

3.ª Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

4.ª Resolución de un sistema mediante tablas

5.ª Método de sustitución

6.ª Método de reducción

7.ª Método de reducción doble

8.ª Resolución de problemas

9.ª Actividades de consolidación

10.ª Pon a prueba tus competencias

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas Unidad 7

Por tablas Por reducción

SISTEMAS DE ECUACIONES

Solución

Resolución de sistemas

Por sustitución

Resolución de problemas

4

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y,en general, la resolución de problemas contextualizados, desarrollan de forma más específica los descriptores recogi-dos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

En esta unidad se puede considerar que se trabajan aspectos de las tres subcompetencias matemáticas: razonamien-to y argumentación, resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físicoAl tratar la interpretación y resolución de problemas, se trabaja a lo largo de toda la unidad la subcompetencia aplica-ción del método científico en diferentes contextos, en concreto el descriptor realizar predicciones con los datos que seposeen, obtener conclusiones basadas en pruebas y constatar las soluciones obtenidas.

En las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Observa e interpreta” de “Pon a prueba tus competencias” se de-sarrollan de forma concreta algunos descriptores de las subcompetencias conocimiento y valoración del desarrollo cien-tífico-tecnológico y medio natural y desarrollo sostenible, ya que nos van a permitir hacer valoraciones sobre el papel quepodemos desempeñar en mantener una salud ambiental adecuada, con ayuda de las aportaciones tecnológicas.

Competencia social y ciudadanaEsta competencia se trabaja especialmente en la sección “Interpreta y reflexiona” de “Pon a prueba tus competencias”,en particular el descriptor desarrollar el juicio moral y social para razonar críticamente sobre la realidad.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalA lo largo de la unidad aparecen en “Librosvivos” y “En la red” varias referencias para realizar actividades interactivasy buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando la subcompetenciade obtención, transformación y comunicación de la información.

Al tener que realizar comprobaciones de soluciones de sistemas, también trabajaremos la subcompetencia uso de lasherramientas tecnológicas.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de la sección “Autoevaluación” planteadas en las páginas finales de la unidad, se puede inda-gar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia ycontrol de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

La utilización del programa Google Earth tal y como se propone en la actividad 4 de “Eficiencia energética” permitefomentar el manejo de las herramientas informáticas como recurso de aprendizaje.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico delalumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate enrelación con las actividades señaladas.



5

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidadsugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores com-petenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.


COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

Lingüística

Comunicación escrita

Conocer y comprender diferentes tiposde textos con distintas intencionescomunicativas.

– Interpreta textos con contenido matemático y extraeinformación para responder de forma razonada.Pon a prueba tus competencias:Investiga y calcula, 2Observa e interpreta

Leer, buscar, recopilar, procesar ysintetizar la información contenida enun texto para contribuir al desarrollodel pensamiento crítico.

– Elabora informes a partir de textos científicos.Pon a prueba tus competencias:Observa e interpreta, 5

Reflexión sobre el lenguaje

Ser consciente de que el lenguaje esuna herramienta de interpretación ycomprensión de la realidad.

– Conoce e identifica los prefijos de las unidades decapacidad de memoria.Pon a prueba tus competencias:Investiga y calcula, 2 y 3

Matemática

Razonamiento y argumentación

Interpretar y expresar con claridad yprecisión distintos tipos deinformación, datos yargumentaciones, utilizandovocabulario matemático.

– Extrae e interpreta información de diferentes tiposde tablas.Pon a prueba tus competencias:Interpreta y reflexionaObserva e interpreta, 1

Resolución de problemas

Seleccionar las técnicas adecuadaspara calcular resultados, y representare interpretar la realidad a partir de lainformación disponible.

– Utiliza los sistemas para resolver problemas de lavida cotidiana y otras áreas.A lo largo de toda la unidad.

Uso de elementos y herramientasmatemáticos

Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos en situacionesreales o simuladas de la vidacotidiana.

– Realiza cálculos necesarios aplicandoherramientas ya consolidadas, como el cálculo deporcentajes.Pon a prueba tus competencias:Interpreta y reflexiona, 1

Interacción con elmundo físico

Conocimiento yvaloración deldesarrollo científico-tecnológico

Conocer y valorar la aportación deldesarrollo de la ciencia y la tecnologíaa la sociedad.

– Valora la utilidad del GPS.– Valora positivamente la evolución y desarrollo del

rendimiento de los ordenadores.Desarrolla tus competencias

Medio natural y desarrollo sostenible

Comprender la influencia de laspersonas en el medioambiente através de las diferentes actividadeshumanas y valorar los paisajesresultantes.

– Investiga sobre la contaminación en su ciudad.Pon a prueba tus competencias:Observa e interpreta, 4

Social y ciudadana Desarrollo personal y social

Desarrollar el juicio moral y socialpara razonar críticamente sobre larealidad.

– Estudia la diferencia tecnológica entre los paísesdesarrollados y subdesarrollados.Pon a prueba tus competencias:Interpreta y reflexiona

Tratamiento de lainformación y

competencia digital

Obtención,transformación y comunicación de la información

Buscar y seleccionar información condistintas técnicas según la fuente o elsoporte, valorando su fiabilidad.

– Visita la página librosvivos.net.Actividades 9, 13, 16 y 20

– Utiliza Internet para realizar actividades y buscarinformación.Desarrolla tus competenciasPon a prueba tus competencias:Observa e interpreta, 4 y 5

Aprender a aprender

Manejo de estrategiaspara desarrollar laspropias capacidades ygenerar conocimiento

Fomentar el manejo de lasherramientas informáticas comorecurso de aprendizaje.

– Utiliza programas informáticos para conocer lacalidad del aire.Pon a prueba tus competencias:Observa e interpreta, 4


6

EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en latabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores:

• Educación para el consumidor: ejemplo 9 y actividad 59.

• Educación medioambiental: actividades 47 y 63. Eficiencia energética.

• Educación para la igualdad: Desarrolla tus competencias. Actividad I.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADHay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colo-res según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad.

De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, biena las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma.

Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno:

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS



SM

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuaderno de refuerzo de Matemáticas. 2.º de ESO. “Aprende y aprueba”

– Unidad 6. Expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado

• Cuadernos de Matemáticas. 2.º de ESO. N.º 3. Ecuaciones y sistemas

– Unidad IV. Sistemas de ecuaciones

• Cuadernos de matemáticas para la vida. 2º de ESO

– Golosinas

• Cuadernos de resolución de problemas I y II

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Unidad didáctica del programa Descartes sobre sistemas de ecuaciones.

www.e-sm.net/2esomatprd12

Actividades para practicar con los sistemas de ecuaciones lineales.

www.e-sm.net/2esomatprd13

• Hoja de cálculo para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tablas

• Calculadora científicaOtr

os

mat

eria

les

Inte

rnet

Bib

liogr

áfic

os

7

Sugerencias didácticas

Entrada

Desarrolla tus competencias

1. Ecuaciones lineales con dos incógnitas

El texto de entrada y la fotografía que lo ilustra nos permi-ten hacer una reflexión sobre la evolución de la tecnologíay su aportación al desarrollo de la humanidad.

Podemos sugerir a los alumnos que busquen informaciónsobre si desde octubre de 2010 ha aparecido algún nuevosuperordenador.

En el texto se describe brevemente la prueba que se utili-za para medir la velocidad del ordenador. Podemos apro-vecharlo para indicar a los alumnos la importancia de lapresencia y utilización de las herramientas matemáticas,los sistemas de ecuaciones en este caso, en el desarrollode la tecnología.

Sería interesante indicar a los alumnos que este test no seutiliza también para medir el rendimiento de las consolas,los teléfonos smartphone, los tablets PC…

3. Resolución de sistemas por tablas• Resolver un sistema por tablas es el método más concreto

y accesible a los alumnos. Pero conviene señalar que esútil cuando las soluciones son números naturales peque-ños y enteros. Para otras soluciones hay diversos proce-dimientos que se estudian posteriormente. Además con-viene recalcar que es un método de ensayo-error, en elque hay que ir probando soluciones hasta encontrar lacorrecta.

• Para desarrollar este método de resolución de sistemases necesario explicar a los alumnos que a pesar de quelas ecuaciones tengan dos incógnitas, se puede despejaruna de ellas en la ecuación, recalcando que la otra incóg-nita aparece en el otro miembro de la ecuación.

• Con el ejemplo es fundamental que comprendan que sise fija un valor x, existe un único valor de y que cumple laecuación y = 8 − x, identificando el par obtenido comouna de las infinitas soluciones de la ecuación x + y = 8.

• Es importante que los alumnos se den cuenta de que enel tercer paso el término independiente de la ecuaciónvaría en función de los valores que se sustituyen, que-dándonos solo con aquel par que nos da como resultadoel término independiente.

• Conviene dar a los alumnos gran cantidad de ejemplos paraque decidan qué incógnita es conveniente despejar en cadacaso y en qué ecuación es más adecuado hacerlo.

Las actividades I y II van encaminadas a que los alumnoscomprendan la necesidad de que las pruebas que se rea-lizan para evaluar el rendimiento de los ordenadores debenser idénticas para no alterar los resultados de las medi-ciones.

En la actividad III, los alumnos podrían elaborar un listadoordenado con la velocidad de rendimiento de las herra-mientas tecnológicas que les rodean. Al realizar esta acti-vidad se puede incidir en la presencia de las nuevas tec-nologías en nuestra vida cotidiana y en cómo, en muchasocasiones, estas hacen que sea más cómoda.

• El concepto de ecuación lineal con dos incógnitas no esla primera vez que aparece, ya se describió en la unidad6 a la hora de enumerar diferentes tipos de ecuaciones.Pero sí es la primera vez que se estudia en profundidad,describiendo sus elementos e indicando el conjunto desus soluciones.

• Es muy importante que los alumnos comprendan queuna ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas solu-ciones y que estas están formadas por un par de núme-ros. Para ello puede ser útil que construyamos tablas devalores. Aprovecharemos el ejemplo para completar unatabla, suponiendo primero que el número de monedasde 2 céntimos que tiene Sara es múltiplo de 5. Por últi-mo, daremos algún ejemplo más de solución de la ecua-ción planteada, pero que no se corresponde con el con-texto del problema.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 2, 3 y 28 a 31

Medio 4 y 32

Alto 33 y 73

2. Sistemas de ecuaciones. Solucionesde un sistema de ecuaciones

• Una vez expuesto el concepto de sistema de ecuacioneslineales con dos incógnitas, conviene relacionar los sis-temas con la necesidad de representar los datos de unproblema con dos incógnitas y las relaciones existentesentre ellos con dos ecuaciones.

• Los alumnos ya saben por el epígrafe anterior que unaecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas solu-ciones, pero les cuesta identificar que la solución de unsistema es la solución común a las dos ecuaciones quelo forman.

• En los ejercicios propuestos 6 y 7, muchos alumnos seráncapaces de expresar la información con una sola ecuaciónlineal con una incógnita, porque sin saberlo están apli-cando el método de sustitución. Aprovecharemos estasituación para introducir dicho método en el epígrafe 4.


Básico 5 y 34

Medio 6 a 8, 35 y 36

Alto 74 y 76


Básico 37 a 39

Medio 11, 12 y 40


8



5. Resolución de sistemas por reducción de incógnitas

• Una vez trabajados los métodos, conviene proponer a losalumnos la resolución de sistemas, siendo ellos los queelijan el método que consideren más apropiado, fomen-tando así el trabajo de la competencia para la autonomíae iniciativa personal.

• La información que aparece en la sección “Sabías que…”vuelve a poner de manifiesto el empleo de las matemá-ticas en el desarrollo tecnológico.

Organiza tus ideas• Para reforzar los contenidos de esta unidad se pueden

plantear las siguientes actividades:

– Pedir a los alumnos que escriban sistemas de ecua-ciones con alguna condición sobre los coeficientes: quesean números naturales, que todos sean números natu-rales, excepto el coeficiente de x en la segunda de lasecuaciones, o que el coeficiente de una de las incógni-tas en cada una de las ecuaciones sea opuesto, o unoel doble que el otro, etcétera. Se puede valorar la con-veniencia de pedir que los coeficientes sean númerosdecimales e incluso racionales. Una vez escritos lossistemas, les pediremos que los resuelvan por el méto-do que crean más adecuado.

– Se pueden intercambiar los sistemas planteados y pedira cada alumno que resuelva el sistema que le ha corres-pondido por el mismo procedimiento que el que ha usa-do el alumno que lo ha propuesto. Se puede corregirpor parejas.

• Conviene recordar brevemente la regla del producto parala obtención de ecuaciones equivalentes a una dada,haciendo hincapié en que es preciso multiplicar toda laecuación, pues a menudo se olvidan de multiplicar el tér-mino independiente e incluso solo multiplican la incóg-nita implicada en la reducción.

• Para facilitar la adquisición de las técnicas necesariaspara resolver sistemas de ecuaciones mediante reducciónconviene resolver en la pizarra ejemplos en los que seanalicen los distintos casos en función de los coeficien-tes de las incógnitas:

1. Los coeficientes de una de las incógnitas son opuestos.

2. Los coeficientes de una de las incógnitas son igualesy ningún coeficiente es 1.

3. Uno de los coeficientes de una de las incógnitas es 1 o −1.

4. Los coeficientes de las dos incógnitas son distintos.

• El método de reducción doble se introduce para evitar elpaso de sustituir la incógnita hallada cuando es una frac-ción, que en ocasiones lleva a los alumnos a cometererrores. Como el método de reducción se supone ya asi-milado, trabajar el ejemplo y el ejercicio resuelto, asícomo que los alumnos realicen los ejercicios propues-tos, debe ser suficiente para entender correctamenteeste epígrafe.

6. Resolución de problemas mediantesistemas

• Aunque en los epígrafes anteriores ya se han ido plante-ando problemas en los que se emplean sistemas, aquíse describen brevemente los pasos a seguir.

• En el ejemplo se explica detenidamente un problema demezclas, y en los ejercicios propuestos aparecen proble-mas de edades, geométricos y de números. Muchos deellos pueden ser resueltos planteando una sola ecua-ción, tal y como hacíamos en la unidad anterior, perohabrá alumnos a los que les resultará más fácil la utili-zación de dos incógnitas en el planteamiento.

4. Resolución de sistemas por sustitución de incógnitas

• Es el momento de introducir el método, que se sabe porexperiencia, preferido por los alumnos. Hay que aprove-char este hecho para asegurar su correcta comprensión.Conviene que los alumnos asimilen bien los pasos quese siguen, para ello pueden confeccionar una ficha en laque consultar cada vez que vayan a aplicar este método.

• Conviene hacer ver a los alumnos que el método de sus-titución es práctico cuando una de las incógnitas tienecoeficiente 1 o −1, siendo en este caso la incógnita quese despejará. Conviene hacer un ejemplo en el que elcoeficiente de la incógnita despejada sea −1, para quese den cuenta de que antes de sustituir necesitamos cam-biar de signo la ecuación multiplicando por −1.

• Hay que poner especial énfasis en que para resolver unsistema se debe calcular el valor de las dos incógnitas,por lo que una vez que se ha calculado una de ellas, esimprescindible sustituir su valor en la ecuación en la quese despejó para calcular la que falta.

• Conviene detenernos en la resolución del ejercicio resuel-to 14, ya que nos servirá para comprobar si los alumnosya han asimilado lo que es una solución de un sistemade ecuaciones lineales.


Básico 18, 19 y 42 a 45

Medio 46


Básico 47 a 54

Medio 21 a 26 y 55 a 63

Alto 27 y 64 a 72


Básico 41

Medio 15

Alto 75

24. Podemos aprovechar esta actividad para trabajar lacompetencia cultural y artística, indicando que estas dosobras son un importante patrimonio cultural.

9



En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.

– Para trabajar los diferentes métodos de resolución, sepuede pedir a los alumnos que elijan al menos dos sis-temas resueltos en el tema y los resuelvan por un pro-cedimiento diferente al empleado.

– Es interesante proponer a los alumnos que escribandos ecuaciones con dos incógnitas, en las que los coe-ficientes de las incógnitas sean bien iguales, bien pro-porcionales, pero de manera que el término indepen-diente sea diferente en el primer caso, o no seaproporcional en el segundo, y estudien las solucionesdel sistema.

Pon a prueba tus competencias

INTERPRETA Y REFLEXIONA. LA LISTAEsta actividad y la siguiente son una continuación de laentrada de la unidad.

En el texto se describe brevemente la lista TOP500, en la quese recoge la nacionalidad de los 500 ordenadores más rápi-dos del mundo. Esta lista es bimensual; así, al igual quecomentamos al principio que sería interesante que losalumnos buscasen cuál es el ordenador más rápido en elmundo actual, podríamos pedirles que busquen la listamás reciente y comprobar si ha habido mucha variación.

En la actividad 1, los alumnos deberán aplicar cálculo deporcentajes, lo que no les supondrá ningún problema, ya quese ha visto en la unidad 4.

Para la actividad 2 sería conveniente que elaborasen unatabla de cinco columnas, colocando en cada una de ellas unode los cinco continentes. Con ayuda de un atlas irán situan-

Actividades de ampliación

Con estas actividades desarrollamos las competencias deaprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal.Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, deci-diendo cuáles son los más apropiados para resolver cadauna de las actividades.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias pararesolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajus-tan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo quepuede resultarles muy estimulante, aunque al comienzoles asuste un poco.

do en su columna correspondiente los diferentes países dela lista TOP500, acompañados por el número de superor-denadores con los que cuentan, con el fin de facilitar elrecuento de ordenadores por continente.

En la actividad 3 les pediremos que elaboren un pequeñoinforme, para posteriormente iniciar un pequeño debate.

Las actividades 2 y 3 podrían realizarse en grupos, fomen-tando así el trabajo en equipo.

INVESTIGA Y CALCULA. GRANDES NÚMEROSEsta actividad amplía la información sobre la velocidad delos ordenadores, desarrollando el sistema de medidas quese emplea para cuantificar dicha velocidad.

Aunque en el texto de entrada se puede extraer a qué equi-vale un petaflop, en la actividad 1 los alumnos pueden encon-trarlo. El enlace se corresponde con el BOE en el que seindican las unidades de medida legales en España. En con-creto, en la tabla 5 se recogen los prefijos empleados paralos múltiplos y submúltiplos. Al pie de esta tabla se indicaque los prefijos del SI representan estrictamente poten-cias de 10, y que no deben emplearse para expresar poten-cias de 2, aunque habitualmente se empleen.

En la actividad 2 se concreta lo indicado anteriormentesobre la relación entre los prefijos de las unidades del SI conlos prefijos de las unidades empleadas en tecnología. En elenlace podremos ver una tabla con las correspondenciasentre los diferentes prefijos.

La última actividad puede ser de gran utilidad para losalumnos en su vida diaria, ya que les va a permitir averiguarlas capacidades de memoria de las herramientas tecnoló-gicas que están a su alcance.

OBSERVA E INTERPRETA. EFICIENCIA ENERGÉTICAEsta actividad aborda la eficiencia energética de las máqui-nas. A través de la interpretación correcta de la tabla, losalumnos podrán contestar a las tres primeras preguntasempleando para ello sistemas de ecuaciones lineales.

Las dos últimas cuestiones nos permitirán trabajar la com-petencia de interacción con el mundo físico realizando unapequeña reflexión sobre la influencia de la actividad huma-na en el medioambiente. Además, en la actividad 5 tam-bién trabajaremos la subcompetencia escrita, ya que losalumnos deberán elaborar un pequeño informe para pos-teriormente leerlo en la clase.

10

Actividades de refuerzo

Unidad 7 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son:

• Conocer el concepto de sistema de ecuaciones y determinar cuándo un par de valores son soluciones de dicho sis-tema.

• Resolver sistemas de ecuaciones sencillos.

• Utilizar los sistemas de ecuaciones para resolver problemas cotidianos.

Orientadas a aquellos alumnos que tengan dificultades con esta unidad se proponen actividades más guiadas. Se inten-ta que adquieran cierta destreza en la resolución de sistemas y pierdan el miedo a la parte algebraica de las matemáticas.

1. (15, 20). No existe ningún otro par de valores que cum-pla las condiciones impuestas por el sistema.

2. La ecuación que describe el gasto de Raúl es: x + y = 1,40.

La ecuación que describe el gasto de Marcos es:

x + 2y = 2.

3. La solución es x = 3 e y = −1, y la tabla:

4. La solución es x = 1 e y = 2.

5.

6. Andrea tiene 13 años, y Carmen, 12.

7. Hay 26 conejos y 74 gallinas.

x y= =−19

229

e

x −1 0 1 2 3 4

y = 5 − 2 7 5 3 1 −1 −3

x − 2y −15 −10 −5 0 5 10

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Haz tus propios sistemas

Se trata de que ellos mismos planteen y resuelvan ecuaciones en las que sean los protagonistas. No importa que sepanel resultado de antemano, ya que lo que interesa es el proceso y que piensen con qué variables pueden construirse ecua-ciones y con cuáles no.

Por ejemplo, si formamos grupos de ocho alumnos (cinco chicos y tres chicas), un problema con sistema de ecuacionespodría ser:

“En clase somos ocho alumnos entre chicos y chicas. La media obtenida en el último examen por el grupo de chicasfue de 6,7, la de chicos fue de 5,6, y la de todo el grupo, de 6,01. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas forman el grupo?”.

Evidentemente, sabrán la respuesta con solo contar a su alrededor, pero lo interesante es que planteen el problema, queelijan correctamente las incógnitas (x chicas e y chicos, por ejemplo), que vean que una de las ecuaciones es inmediata(x + y = 8) y que la otra deben obtenerla con los datos que da el problema pensando un poco (6,7x + 5,6y = 6,01 · 8), yque comprueben que no todas las magnitudes admiten una inclusión fácil en un sistema de ecuaciones, por lo que nosería posible resolver un problema del tipo:

“En clase somos ocho alumnos entre chicos y chicas: dos son rubios, cuatro morenos y uno pelirrojo. ¿Cuántos chi-cos y cuántas chicas forman el grupo?”.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.


11

1. Determina qué pareja de valores (a, b) es solución del siguiente sistema de ecuaciones:

(10, 30) (5, 40) (15, 20) (20, 5) (12, 26)

¿Se te ocurre algún otro par de valores que sea también solución de dicho sistema?

2. Raúl y Marcos han comprado golosinas. Raúl sale de la tienda con una bolsa de palomitas y una de pipasy se ha gastado 1,40 euros. Marcos ha comprado una bolsa de palomitas y dos de pipas, gastando 2 euros.

Completa:

• Llamamos x al valor de la bolsa de palomitas, e y al de la de pipas.

• La ecuación que describe el gasto de Raúl es: x + y = ?

• La ecuación que describe el gasto de Marcos es: x + ?y = ?

• Comprueba sustituyendo que la bolsa de palomitas cuesta x = 0,80 euros, y la de pipas, y = 0,60 euros.

3. Completa la tabla y da la solución del sistema de ecuaciones:

4. Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución:

Comprueba, sustituyendo los valores de x e y en el sistema, que son correctos.

5. Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción:

6. Las edades de Andrea y Carmen suman 25 años, y la diferencia entra la edad de Andrea y la de Carmenes 1.

¿Cuántos años tiene cada una?

7. En una granja hay gallinas y conejos; en total 100 cabezas y 252 patas. ¿Cuántos animales de cada tipohay?

x yx y+ =−− =2 5

4 2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2 43 1

x yx y+ =− =

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2 52

x yx y+ ==⋅

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2 502 55

a ba b+ =+ =

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

x −1 0 1 2 3 4

y = 5− 2x 5

x− 2y 0


Pági

na

foto

cop

iab

le

ACTIVIDADES de REFUERZO


12

Actividades de ampliación

Unidad 7 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Como los alumnos saben resolver ecuaciones de segundo grado, una ampliación inmediata puede ser plantearles sis-temas en los que aparece este tipo de ecuación. Guiados por el profesor, algunos alumnos han de ser capaces deresolver estos sistemas.

Otra ampliación posible consiste en introducir algún sistema no demasiado complicado con tres ecuaciones y tresincógnitas, resolviéndolo por el método de sustitución.

1. x = 2 e y = 1

2. a) x = 5 e y = 2; x = −4 e y =

b) x = 2 e y = 3; x = e y =

3. a) x = 1 e y = 4b) x = 1 e y = −3; x = −3 e y = 1

4. x = 1, y = 1 y z =1

5. x = 1, y = 2 y z =1

6.

7. 4 billetes de 50 €

35 monedas de 0,50 €

27 monedas de 0,20 €

8. Todos los números de dos cifras que cumplen que ladiferencia entre la cifra de las unidades y la de las dece-nas es 2.

13, 24, 35, 46, 57, 68, 79

215

45

x y= =12

4e

−52

415

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Murales

Se propone resolver sistemas gráficamente.

Se divide a los alumnos en tres grupos proporcionándoles cartulinas y papel cuadriculado.

Cada grupo ha de realizar la gráfica de un sistema diferente, cubriendo los tres casos que pueden darse: solución úni-ca cuando las rectas se cortan, infinitas soluciones cuando coinciden y sin solución cuando son paralelas. Luego, el res-to de grupos deberá resolver el sistema algebraicamente y comprobar el resultado.

Es necesario hacerles ver las ecuaciones que forman el sistema como rectas. Y se da por supuesto que al menos estosalumnos recordarán de 1.º de ESO cómo se representan rectas en unos ejes.

Es interesante pintar cada recta de un color diferente.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.


13

1. Resuelve el sistema siguiente:

Para ello sigue los siguientes pasos:

• Despeja y de la primera ecuación.

• Sustituye en la segunda.

• Opera y obtén una ecuación de segundo grado.

• Resuelve la ecuación.

2. Sigue los pasos de la actividad anterior para resolver los sistemas siguientes.

a) b)

3. Resuelve los siguientes sistemas.

a) b)

4. Resuelve el sistema siguiente:

Aplicamos el método de sustitución que conocemos, pero ahora para tres incógnitas.

• Despeja z en la primera ecuación.

• Sustituye z en las otras dos ecuaciones.

• Opera y obtén un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

• Resuelve el sistema por el método que prefieras.

5. Sigue los pasos de la actividad anterior para resolver:

6. ¿Qué fracción es igual a cuando se suma 1 al numerador y es igual a cuando se suma 1 al deno-

minador?

7. Un hombre tiene 222,90 € en billetes de 50 euros y monedas de 50 y 20 céntimos. La mitad de los bille-tes de 50 euros y la quinta parte de las monedas de 50 céntimos suman 103,50 euros. La séptima partede las monedas de 50 céntimos y la tercera parte de las monedas de 20 céntimos suman 4,30 euros.

¿Cuántos billetes y cuántas monedas de cada tipo tiene?

8. La diferencia entre la cifra de las unidades de un número y la de las decenas es 2. Si al número le añadi-mos 18 unidades, el número resultante es el formado por las cifras en orden inverso. Halla el número.

5 2 144

x yxy+ ==

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

x yxy− ==

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2 110

x y zx y zx y z

− + =+ − =− + =

12 2

2 2 1

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

14

13

x y zx y zx y

+ + =+ + =− =−

42 2 7

1

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

x xxy

2 2 3 03

+ − ==−

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

x xx y

2 2 1 05

− + =+ =

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2 52

x yx y+ ==⋅

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

Pági

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Señala los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes del siguiente sistema.

2. ¿Cuál de los siguientes pares de valores es solución del sistema: ?

(0, −1) (4, 3) (1, 2) (−1, 2)

¿Cuáles de los siguientes sistemas son equivalentes al anterior?

3. Plantea un sistema de ecuaciones que corresponda al siguiente enunciado: “El doble de la suma dedos números es 10, mientras que la diferencia entre el doble del primero y el segundo es 1”.

4. La diferencia de dos números es 1, y el doble del primero menos el segundo es 4. Halla los dos núme-ros mediante una tabla.

5. Aplica el método de sustitución para resolver el sistema siguiente.

6. Resuelve el siguiente sistema por reducción.

7. Realiza las operaciones con las ecuaciones de cada sistema y resuélvelo por el método más adecuado.

8. La base de un rectángulo es el doble de la altura y su perímetro es de 42 centímetros. Halla las dimen-siones del rectángulo.

9. La edad actual de un padre es dos veces la de su hijo. Si hace 20 años la edad del padre era 6 veces ladel hijo, ¿cuántos años tiene cada uno?

10. El mejor encestador de un equipo de baloncesto ha anotado 57 puntos en tiros de dos, triples y tiros libresde media por partido en la última liga, pasando el balón por el aro en 31 ocasiones. Si en tiros libres lan-zó el doble de veces que en triples, ¿cuántas veces anotó de cada tipo de lanzamiento?

5 2 2 42

22

x y xx y

x y

− + −− − −

( )⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

10 3 3x y5 3 0x y− =+ =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

x y+ =x y+ =2 122 3 19

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

− + =+ =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪x yx y

32 3x y− =−

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪x y+ =1

3x yx y

+ =− =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

54

2 4x y− =−3 5x y+ =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

3 2 175 7 13x yx y− =+ =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Pági

na

foto

cop

iab

le


PROPUESTA de EVALUACIÓN


15

1. Primera ecuación: coeficiente de x: 3, de y: −2, término independiente: 17

Segunda ecuación: coeficiente de x: 5, de y: 7, término independiente: 13

2. (−1, 2)

Los dos últimos sistemas son equivalentes, ya que tienen la misma solución.

3.

4.

Solución: x = 3, y = 2

5.

6.

7.

8. Base, 14 cm; altura, 7 cm

9. Edad del padre, 50 años. Edad del hijo, 25 años.

10. El jugador encestó 5 triples, 10 tiros libres y 16 lanzamientos de dos puntos de media por partido

y x=− =−4 8,

x yx y

y

− =− + =

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

− =

4 82 0

2 8

x −1 0 1 2 3

y = x − 1 −2 −1 0 1 2

2x − y 0 1 2 3 4

5 4 2 42

22

4 82 0

x y xx y

x yx y

x y

− + =−

= −

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

→− =

− + =

( ) ⎧⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Sumamos las ecuaciones

5 3 010 3 3

x yx y− =+ =

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪⎯Sumamos las ecuaciones→→⎯⎯⎯⎯⎯⎯

− =+ =

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪=

5 3 010 3 3

15

x yx y

x 3315

13

x y= =,

x yx y

x y y y y+ =

+ =

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪→ = − ⇒ − + = ⇒

2 122 3 19

12 2 212 2 3 19( ) == =5 2y x

x yx y− =− =

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

12 4

2 102 1( )x yx y

+ =− =

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación



Sistemas d

e ecuacio

nes co

n d

os in

cógn

itas

Un

idad

7

COMPETENCIA YSUBCOMPETENCIA DESCRIPTOR DESEMPEÑO

LOCONSIGUE(4 puntos)

NOTOTALMENTE(3 puntos)

CON DIFICULTAD(2 puntos)

NO LO CONSIGUE (1 punto)

LingüísticaComunicación escrita

Conocer y comprender diferentes tipos detextos con distintas intencionescomunicativas.

– Interpreta textos con contenido matemático y extraeinformación para responder de forma razonada.Investiga y calcula, 2Observa e interpreta

Leer, procesar y sintetizar la informacióncontenida en un texto para contribuir aldesarrollo del pensamiento crítico.

– Elabora informes a partir de textos científicos.Observa e interpreta, 5

Lingüística Reflexión sobre

el lenguaje

Ser consciente de que el lenguaje es unaherramienta de interpretación ycomprensión de la realidad.

– Conoce e identifica los prefijos de las unidades decapacidad de memoria.Investiga y calcula, 2 y 3

MatemáticaRazonamiento y argumentación

Interpretar y expresar distintos tipos deinformación, datos y argumentaciones,utilizando vocabulario matemático.

– Extrae e interpreta información de diferentes tablas.Interpreta y reflexionaObserva e interpreta, 1

MatemáticaUso de elementos y herramientas

matemáticos

Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos en situaciones realeso simuladas de la vida cotidiana.

– Realiza cálculos necesarios aplicando herramientas yaconsolidadas, como el cálculo de porcentajes.Interpreta y reflexiona, 1

Interacción con el mundo físicoConocimiento y valoración del

desarrollo científico-tecnológico

Conocer y valorar la aportación deldesarrollo de la ciencia y la tecnología a lasociedad.

– Valora la utilidad del GPS.– Valora positivamente la evolución y el desarrollo del

rendimiento de los ordenadores.Desarrolla tus competencias

Interacción con el mundo físicoMedio natural y desarrollo

sostenible

Comprender la influencia de las personasen el medioambiente y valorar los paisajesresultantes.

– Investiga sobre la contaminación en su ciudad.Observa e interpreta, 4

Social y ciudadanaDesarrollo personal y social

Desarrollar el juicio moral y social pararazonar críticamente sobre la realidad.

– Estudia la diferencia tecnológica entre países.Interpreta y reflexiona

Información y competencia digital Obtención, transformación y

comunicación de la información

Buscar y seleccionar información condistintas técnicas según la fuente o elsoporte, valorando su fiabilidad

– Visita la página librosvivos.net.Actividades 9, 13, 16 y 20

– Utiliza internet para realizar actividades.Desarrolla tus competenciasObserva e interpreta, 4 y 5

Aprender a aprenderManejo de estrategias para

desarrollar las propias capacidadesy generar conocimiento

Fomentar el manejo de las herramientasinformáticas como recurso de aprendizaje.

– Utiliza programas informáticos para conocer la calidaddel aire.

Observa e interpreta, 4

Matriz d

e evaluación

de com

petencias

16

SOLUCIONARIO

2 ES

O

2esomapi gd esu07.pdf

Documents