4. Variables aleatorias y distribucin de probabilidad.Sergio Vzquez Razo.4.1 Introduccin.Se han considerado las distribuciones de frecuencias de conjuntos de datos, y los fundamentos de probabilidades. Ahora se combinaran estas ideas para elaborar distribuciones de probabilidad, las cuales se asemejan a las distribuciones de frecuencias, la diferencia bsica entre estos dos tipos de distribuciones es el uso de la variable aleatoria o las medidas de ciertas magnitudes. Estas medidas se representan mediante variables aleatorias discretas o continuas. La variable aleatoria de una distribucin de probabilidad corresponde a la variable de respuesta de una distribucin de frecuencias.4.2 Variables aleatorias.Al describir el espacio muestral de un experimento, no se especfica que un resultado individual necesariamente tiene que ser un nmero. Por ejemplo, al clasificar un artculo manufacturado simplemente podramos usar las categoras "defectuoso" y "no defectuoso". En otro caso, para observar latemperaturaduranteunperodode24horassencillamentepodramosmantenerunregistrodela curva trazada por el termgrafo. Sin embargo, en muchas situaciones experimentales vamos a interesarnos enmedir algoyanotarlocomounnmero. Anenlos casoscitados anteriormente podremos asignar unnmeroacadaunodelos resultados (nonumricos) del experimento. Por ejemplo,puede asignar el valor 1 a artculos no defectuosos y el valor cero a los defectuosos. Pudimos anotar latemperaturamximadel da, olamnima, oel promediodelastemperaturasmximay mnima. Se ha definido un experimento como el proceso que culmina con la toma de una medicin (o una observacin). La mayora de los experimentos producen una medicin numrica que desde luego varaalconsiderardistintos puntosmustrales y esta variacin es aleatoria. La medicin es llamada unavariablealeatoriaX, queel hechodequetomeunvalor particular esensmismounevento aleatorio. As en muchas situaciones experimentales deseamos asignar un nmero real x a cada uno de loselementossdelespaciomuestralS. Esto es,x = X(s) eselvalorde unafuncin Xdelespacio muestral a los nmeros reales.Por ejemplo si se lleva a cabo un experimento aleatorio y ocurre el evento correspondiente a un nmero a, entonces se dice que, en esta prueba, la variable aleatoria Xcorrespondiente a ese experimento ha tomado el valor a. Tambin se dice que se ha observado el valor X = a. En lugar de el evento correspondiente a un nmero a se dice, ms brevemente, el evento X = a,De acuerdo a esto damos la siguiente definicin:Sea un experimento y S el espacio muestral asociado con el experimento. Una funcin X que asigna a cada uno de los elementos s S, un nmero real X(s), se llama variable aleatoria.Unavariable aleatoriaes unafuncindevalores reales cuyodominioes unespacio muestral.1Una variable aleatoria discreta es aquella que toma, a lo ms, una cantidad numerable de valores distintos, el espacio muestral de un experimento probabilstico.Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor de entre todos los contenidos en un intervalo.Observaciones: (a)La terminologa anterior es algo desafortunada, pero como es tan universalmente aceptada, nosotros no nos apartaremos de ella. Es claro que X es una funcin y todava la llamamos variable aleatoria. (b) Resulta que no toda funcin que se conciba puede ser considerada como una variable aleatoria. Una exigencia (aunque no la ms general) es que para todo nmero real x el suceso {X(s) = x} y para todo intervalo I, el suceso {X(s) I} tiene probabilidades bien definidas y consecuentes con los axiomas bsicos. (c) En algunos casos el resultado s del espacio muestral es ya la caracterstica numrica que queremos anotar. Sencillamente tomemos X(s) = s, la funcin de identidad. (d) Enlamayoradelasdiscusionesdevariablesaleatoriasquesiguen, nonecesitamosindicar la naturalezafuncional deX. GeneralmentenosinteresamosenlosvaloresposiblesdeX, envezde indagar dedondeprovienenesosvalores. Por ejemplo, supongamosquelanzamosdosmonedasy consideremos el espacio muestral asociado con este experimento.Eje. Sea el experimento aleatorio de lanzar tres monedas. Los resultados posibles son:S = {(a, a, a), (a, a, s), (a, s, a), (s, a, a), (a, s, s), (s, a, s), (s, s, a), (s, s, s)}Se puede definir, la variable aleatoria:X: Nmero de guilas al tirar las tres monedas.La variable aleatoria x asigna un nmero real a cada elemento de S:X(a, a, a) = 3,X(a, a, s) = X(a, s, a)=X(s, a, a) = 2,X(a, s, s) = X(s, a, s)=X(s, s, a) = 1, X(s, s, s) = 0El conjunto de los posibles valores de X es {0, 1, 2, 3}.S = espacio muestral de RX = valores posibles de X (recorrido)2El espacioRX, el conjuntodetodos los valores posiblesdeX, sellamaalgunasvecesel recorrido. Enciertos sentidos podemos considerar aRXcomootroespaciomuestral. El espacio muestral (original) Scorrespondealos resultados nonumricos (posiblemente) del experimento, mientras queRXes el espaciomuestral asociadoconla variable aleatoria X, que representa la caracterstica que puede ser de inters. Si X(s) = s, tenemos S = RX.(e) Es muy importante comprender que una exigencia bsica de una funcin (uni-variada): a cada s S le corresponde exactamente un valor X(s). Valores diferentes de s pueden dar el mismo valor de X. Por ejemplo en la ilustracin anterior encontramos que X(a, s) = X(s, a) = 1.Concepcin de una variable aleatoria X:(a) Realizamos el experimento que tiene como resultado s S. Luego evaluamos en nmero X(s).(b) Efectuamos,y obtenemos el resultado s, e inmediatamente calculamos X(s). El nmero X(s) se considera entonces como el resultado obtenido en el experimento.Teniendoencuentaquelosvalores deunavariablealeatoriaquedandeterminados por el resultado de un experimento aleatorio, es posible asignar probabilidad a cada uno de ellos en el caso de las variables aleatorias discretas o bien definir una funcin para evaluar la probabilidad en intervalos en el caso de las continuas.Ascomonos interesamos por los sucesos asociados con el espacio muestral S, tambin ser necesariotratar suceso con respecto a la variable aleatoria X, esto es, subconjunto del recorrido RX. Muy a menudo ciertos sucesos asociados con S estn "relacionados" con sucesos asociados con RX de la manera siguiente.Sea un experimento y S su espacio muestral. Sea X una variable aleatoria definida en S y sea RX su recorrido. Sea B un suceso respecto a RX, esto es, B RX. Supongamos que A se defineA = {s S | X(s) B}3Fig. 4.1A consta de todos los resultados en S para los cuales X(s) B. En este caso decimos que A y B son sucesos equivalentesPara denotar las variables aleatorias se emplea maysculas, como X, y minsculas como x, para representar valores particulares que puede tomar una variable aleatoria. Por ejemplo, supongamos que X denota cualquiera de los seis valores posibles que pueden observarse en la cara superior al lanzar un dado. Elnmero que seobserva, despus de arrojar el dado, se representar mediante el smbolo x. ObservequeXesunavariablealeatoria,peroel valorespecficoobservado, x, noes de naturaleza aleatoria.La expresin (X = x) puede leerse: el conjunto de todos los puntos de S asignados al valor x mediante la variable aleatoria.La probabilidad de que Xadopte el valor x, P(X=x), se define como la suma de las probabilidades de los puntos muestrales de S asignados al valor x.La probabilidad correspondiente de un valor observado x en un experimento se denota por P(X = x) = P(x) o bien F(x) donde X denota el valor abstracto o general, mientras que x denota un valor especfico o concreto. De manera semejante, la probabilidad del eventoX toma cualquier valor en el intervalo a < X < bSe denota por P(a < X< b). La probabilidad del evento) ( c a l a u g i o menor sea e u q r o l a v r e i u q l a u c a m o T X c X se denota por P(X) c y la probabilidad del eventoX > c(X toma cualquier valor mayor que c)Se denota por P(X>c).Los dos ltimos eventos son mutuamente exclusivos. De donde1 ) ( ) ( ) ( < < > + X P c X P c X Py4) ( 1 ) ( c X P c X P >Por ejemplo, si X es el nmero que queda arriba al lanzar un dado perfecto, P(X = 1) = 1/6, P(X = 2) = 1/6, etc., P(1 0 10 0) (x exx FxEntonces F(x) = e-x para x>0, y as la fdp f es dada por' valor otro cualquierx ex fx00) (4.6 Esperanza matemtica.Elconceptodeesperanza matemtica se origino en relacin con los juegos de azar. El valor promedio de una variable aleatoria es conocido como el valoresperado (o esperanza matemtica) de la variable aleatoria en consideracin.Eje. Seaxel nmerodeguilasresultantesal lanzar dosmonedas, cuyasdistribucionesse identifican de la tablax 01 2 P(x) donde0es:s-s1 es:a-s, s-a2 es:a-aSupongamos que se repite el experimento un nmero muy grande de veces, por ejemplo 4 000 000, intuitivamente se esperara observar 1 milln de veces el 0, 2 millones de veces el 1 y 1 milln de veces el 2. El valor promedio sera entonces,1 ) 4 / 1 )( 2 ( ) 2 / 1 )( 1 ( ) 4 / 1 )( 0 (000 , 000 , 4) 000 , 000 , 1 )( 2 ( ) 000 , 000 , 2 )( 1 ( ) 000 , 000 , 1 )( 0 ( + + + +nvalores de suma

20Recordando que la media de una distribucin de frecuencias es j jj j jn f x x f xnx ) / ( ) (1y la probabilidad de un evento es la frecuencia relativa esperada de su ocurrencia. De modo que P(x) = f/n, entonces; jj jx P x x x E ) ( ) ( Esta ecuacin significa simplemente que el valor esperado de la v.a. X es el producto de cada valor de xi por la probabilidad de que X asuma este valor xi y sumados para todos los valores de xi en el conjunto X. Para una variable aleatoria continua, ) ( ) ( x xf x E siempre que exista.Ntesequesi P(x) proporcionaunadescripcinprecisadelas frecuencias relativas dela poblacin real de las mediciones, entonces E(x) = , la media de la poblacin.Eje. Si se tiene uno de 10000 boletos de una rifa en la cual el premio mayor es un reloj fino valuadoen$4800, supongaqueelcostodelboletoesde$15, culeslaesperanzadeobtenerel premio?Una verdadera esperanza matemtica debe tomar en cuenta el costo incurrido en el boleto, que se pierden, se gane o no se gane el premio.Distribucin de probabilidad para X:Ganancia (xi) Probabilidad (pi)4785 1/10000-15 9999/1000052 . 14 $ )100009999)( 15 ( )100001)( 4785 () ( ) ( + jj jx P x x x EEl riesgo de que pierda dinero es altsimo, aunque si gana el rendimiento es enorme. La gente que participa en estos esquemasesperando altsimos (desproporcionados) rendimientos, son amantes del riesgo.Eje. Sea V la velocidad del viento (kph) y supongamos que V est distribuida uniformemente en el intervalo [0, 10]. La presin, W (lb/pie2), sobre la superficie del ala de un aeroplano est dada por la relacin: W = 0.003V2. Para encontrar el valor esperado de W, E(W), procedemos como:21 100221002/ 1 . 0101003 . 0 ) ( 003 . 0 ) ( pie lb dv v dV V f V W EEje. En muchos problemas nos interesa slo la magnitud de una variable aleatoria sin consideracinasusignoalgebraico. Esdecir, nosinteresa|X|. SupongamosqueXesunavariable aleatoria continua con la siguiente fdp:'>0202) (x siex siex fxxSea y = |X|. Para obtener E(Y) debemos proceder como sigue:[ ] 1 1 121) ( ) (21) ( | | ) (00 + 1]1

+ dx e x dx e x dx x f x Y Ex xEje. Enlosconcursosparaobtencindecontratos, esusualqueloscontratistassometanlos precios de sus proyectos si sus expectativas, tomando en cuenta el tipo de proyecto y al resto de los participantes, lesindicanquesusgananciasestarnporencimadeciertacantidad. Supongaqueun contratistaconsideraunproyectoenel cul ganar50,000pesossileesotorgado. El costodela preparacindel proyecto, si losomete, es de5,000pesos yel propiocontratistapiensaquela probabilidad en esas circunstancias, de que gane el concurso es de 0.4. Finalmente, el contratista ha decidido someter propuesta para proyectos cuya ganancia esperada sea de por lo menos 12,000 pesos. Debe someter propuesta en este proyecto?La ganancia x del contratista puede tomar cualquiera de los valores: x = -$5,000, si pierde; o si lo gana x = $45,000. Las probabilidades de estos valores son 0.6 y 0.4 respectivamente. La distribucin de probabilidad de su ganancia x se muestra en la tabla siguiente;x-$5,000.00$45,000.00P(x)0.6 0.4La ganancia esperada esE(x) = x P(x) = (-$5,000)(0.6) + ($45,000)(0.4) = $15,000.00Como E(x) = $15,000.00 excede a $12,000.00, el contratista debe someter su propuesta.Eje. Considere el problema de determinar la prima anual para un seguro de daos de automvil de $100,000 pesos. La pliza cubre un tipo de eventos que por experiencia previa se sabe que ocurre a 3 por cada 5,000 automovilistas cada ao.Sea x la ganancia anual de la compaa resultante de la venta de una pliza y sea C la cantidad (desconocida) que representa al valor de la prima anual. Se desea calcular C de modo que la ganancia esperada E(x) sea 0. En otras palabras se desea calcular C para no ganar ni perder. Al valor calculado, desde luego, la compaa agregar los gastos administrativos correspondientes y un margen de utilidad.22Seha supuestoque la gananciaesperada E(x) depende de C, y utilizando este hecho slo se requiere encontrar C de manera que esta ganancia esperada sea 0, o sea E(x) = x P(x) = 0Elprimerpasoparaencontrarlasolucineseldedeterminarlosvaloresquelagananciax puedetomar ydespusdeterminar P(x). Si el eventoquecubrelaplizanoocurreenel ao, la compaa gana x = C pesos. Si el evento ocurre, la ganancia ser negativa, esto es ser de hecho una prdida; x = C - 100,000 pesos. Las probabilidades asociadas a estos dos valores de x son 4997/5000 y 3/5000 respectivamente. La distribucin de probabilidad de la ganancia se muestra en la tabla. x, ganancia C-(100,000-C)p(x)4997/5000 3/5000Igualando el valor esperado de x a cero y resolviendo para C se tieneE(x) = x P(x) = C(4997/5000) + [-(100,000-C)](3/5000) = 0C = $60.00Loanteriorquieredecirquesila compaacobra una prima anualde 60 pesos, entonces su gananciapromediosobreunnmerograndedeplizassimilaressercero. Laprimafinal quela compaa debe cobrar ser $60.00 ms los gastos administrativos y la utilidad.La esperanza de una funcin aleatoria.Sea X una variable aleatoria discreta con funcin de probabilidad p(x) y sea g(X) una funcin del valor real de X, entonces la siguiente expresin da el valor esperado de g(X):[ ]xx p x g X g E ) ( ) ( ) (Dem. Si X toma un nmero finito de valores nx x x ,..., ,2 1. Como es posible que la funcin g(x) noestablezcaunacorrespondenciabiunvoca(unoauno), supongamosqueg(X) adoptalos valores ng g g ,..., ,2 1(donden m ). Se infiere que g(X) es una variable aleatoria tal que para i = 1,2,..,m,[ ] ) ( * ) ( ) () (ig x gq u e t a l e s x l a s t o d a sj ig p x p g X g Pi jj Por consiguiente,23[ ])'njj jmig x gque tales x las todasj imig x gque tales x las todasj imii ix p x gy p gx p gg p g X g Ej jjj jj11) (1) (1) ( ) () () () ( * ) (Para una funcin continua:[ ] dx x f x g X g E ) ( ) ( ) (Eje. Un vendedor minorista de un producto derivado del petrleo vende una cantidad aleatoria, X, cada da. Suponga que X, medida en miles de galones, tiene una funcin de densidadde probabilidad' p o cx xx f. . , 02 0 ,83) (2Las utilidades del minorista ascienden a 100 dlares por cada 1000 galones vendidos (10 centavos por galn) si1 X , y a $40 ms por cada 1000 galones (4 centavos ms por galn) si X > 1. Calcule las ganancias esperadas por el minorista un da cualquiera.Si g(X) es la ganancia del minorista, entonces' < 2 1 1401 0 100) (X XX XX gDeseamos calcular la ganancia esperada; por lo tanto, el valor esperado es de[ ]25 . 206 ) 15 (321420) 1 (32300) 4 )( 8 (420) 4 )( 8 (3008314083100) ( ) ( ) (214104212102 + + 1]1

+1]1

x xdx x x dx x xdx x f x g X g EAs el vendedor puede esperar utilidades de $206.25 por la venta diaria de su producto.Propiedades del valor esperado.1. Si X = C en donde C es una constante, entonces E(X) = C o[ ] [ ] ) ( ) ( X g cE X cg E .242. SupongamosqueCesunaconstante y X es una variablealeatoria. Entonces E(CX) = C E(X).3. Sean X y Y dos variables aleatorias cualquiera. Entonces E(X + Y) = E(X) + E(Y).4. Sean X y Y variables aleatorias independientes. EntoncesE(XY) = E(X) E(Y).Demostracin: + + ++ + + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (,Y E X E y g y x f x y g x f y x XY EY E X E y f y x f x Y X Ek X E x kf x f x x f k x k X EX E k x f x k x f kx kX Ei jj j i i j i j ij ii i i ii i i i ii i i iLa mediana de una distribucin continua F(x) es aquel valor que verifica:{ } { }21 > < X P X PLa moda, se define como el valor x para el que f(x) o P(xi) toman el valor mximo.Eje- Dos urnas contienen, cada una, bolitas numeradas del 1 a 10. Se saca una bolita de cada urna y se suman los nmeros obtenidos, cul es el valor medio de la suma?Si anotamos todas las combinaciones posibles, obtenemos la tabla siguiente:Urna 1 Urna 2 Suma1 1 21 2 31 3 41 4 51 5 61 6 71 7 81 8 91 9 101 10 112 1 32 2 42 3 5. . .10 9 1910 10 2025Suma, X Frec. P(X) XP(X)2 1 1/100 2/1003 2 2/100 6/1004 3 3/100 12/1005 4 4/100 20/1006 5 5/100 30/1007 6 6/100 42/1008 7 7/100 56/1009 8 8/100 72/10010 9 9/100 90/10011 10 10/100 110/10012 9 9/100 108/10013 8 8/100 104/10014 7 7/100 98/10015 6 6/100 90/10016 5 5/100 80/10017 4 4/100 68/10018 3 3/100 54/10019 2 2/100 38/10020 1 1/100 20/100 1100/100=11Si X e Y son las variables aleatorias que expresan el nmero sacado de cada urna, Es E(X) = E(Y) = (1/10)(1+2++10) = 11/2 y por tanto la solucin es E[X+Y] = 11.Eje. Dos urnas contienen, cada una, 5 bolitas numeradas del 1 al 5. Si se saca una bolita de cada urna y se multiplican los nmeros obtenidos, cul es el valor medio de este producto?Si anotamos todas las combinaciones posibles, obtenemos la tabla siguiente:Urna 1 Urna 2 Producto1 1 11 2 21 3 31 4 41 5 52 1 22 2 42 3 62 4 82 5 103 1 33 2 63 3 93 4 123 5 154 1 4264 2 84 3 124 4 164 5 205 1 55 2 105 3 155 4 205 5 25x frec P(x) xP(x)1 1 1/25 1/252 2 2/25 4/253 2 2/25 6/254 3 3/25 12/255 2 2/25 10/256 2 2/25 12/258 2 2/25 16/259 1 1/25 9/2510 2 2/25 20/2512 2 2/25 24/2515 2 2/25 30/2516 1 1/25 16/2520 2 2/25 40/2525 1 1/25 25/2525 225/25=9ComolasvariablesaleatoriasXe Y que representan los nmerossacados de cada urna, son independientes, y E(X) = E(Y) = (1/5)(1+2++5) = 3, resulta E(XY) = 9.Eje. Unaurnacontiene5bolitas numeradasdel 1a5. Sesacandosbolitas al azar yse multiplican los nmeros obtenidos. Cul es el valor medio del producto?Ahora las variables X e Y son dependientes y por tanto se tiene que hacer el clculo directo. Los casos posibles son (1, 2), (1, 3), , (4, 5), y de cada uno de ellos la probabilidad es 1/10.2720 4 515 3 510 2 55 1 520 5 412 3 48 2 44 1 415 5 312 4 36 2 33 1 310 5 28 4 26 3 22 1 25 5 14 4 13 3 12 2 1 8520 5 415 5 312 4 310 5 28 4 26 3 25 5 14 4 13 3 12 2 1) ( ) ( XY XYP XY E Por tanto, E(XY) = 8.5. Lo que resulta diferente del problema anterior.4.7 La varianza de una variable aleatoria.El valor esperado de una variable aleatoria es una medida de tendencia central de su distribucin de probabilidad del mismo modos que x es tambin una medida de tendencia central del histograma de frecuencias relativas de una muestra. El trmino valor esperado tiene una interpretacinintuitivaenel sentidodequeseesperaquelosvaloresdexseobservencercadel centro de la distribucin de probabilidad.Al igual quexproporcionaunadescripcinsloparcial del correspondientehistogramade frecuencias relativas de la muestra, el valor esperadoslo da una descripcin parcial del comportamiento de la variable aleatoria. Para una descripcin ms adecuada se requiere una medida de dispersin de la distribucin de probabilidad P(x).Parailustrarestehecho, supongamosquecomoadministradordeunaclnicadesalud, debe decidir el nmero de vacunas contra el ttano que hay que mantener constantemente almacenadas. Ms an suponga que el abastecimiento de vacunas debe ser suficiente para satisfacer tres das de demanda y que la distribucin de probabilidad para esta demanda x, de tres das es28Fig. 4.7 Distribucin de probabilidad de xPuede observarse en la figura 4.7 que la demanda esperada no proporciona informacin sobre el nmero mximo de vacunas que podran ser requeridas durante el periodo. Se requiere, entonces un valor parax, porejemploxa, aladerechadelagrficadeP(x) tal quelaprobabilidaddequela demanda exceda a xa sea suficientemente pequea.El encontrar el valor xadevacunasquedebenmantenersealmacenadasserarelativamente sencillo si se conociese P(x), ya que podra ir evaluando P(x xa) para valores cada vez ms grandes de xahasta lograr que dicha probabilidad fuese suficientemente pequea. Si P(x) no es conocida, una medidadesudispersinpodrasatisfacernos. Estamedidapermitirencontrar aproximadamenteel valor xa.SeaxunavariablealeatoriadiscretacondistribucindeprobabilidadP(x)yvaloresperado E(x) = . La varianza de la distribucin de probabilidad P(x) (o de la variable aleatoria x) es, ( ) ( ) ) ( ) (2 2 2i i ix P x x E X V en donde la suma se extiende sobre todos los valores de la variable aleatoria x.o[ ]2) ( ) ( X E X E X V ( )( ) [ ] ) () (22X V X EX X g Asimismo[ ][ ] ( ) [ ][ ][ ]2 22 22 22) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( 2) ( ) (X E X EX E X E X E X EX E X XE X EX E X E X V + + + La desviacin estndar de una variable aleatoria es la raz cuadrada de su varianza.Para una distribucin continua:29 dx x f x ) ( ) (2 2 Eje. Encuentre la varianza de la poblacin asociada al ejemplo del lanzamiento de dos monedas. El valor esperado de x en este ejemplo se encontr ser igual a 1.La varianza es igual al valor esperado de (x - )2 , esto esE (x - )2 = (x - )2 P(x)

= (0-1)2 P(0) + (1-1)2 P(1) + (2-1)2 P(2) = (1)(1/4) + (0)(1/2) + (1)(1/4) = std. = 1/2 = 0.707Eje. En un estudio sobre la movilidad de los ejecutivos en el rea de compras, se encontr que la distribucin que se describe a continuacin con suficiente aproximacin a la distribucin de probabilidaddex, los nmeros decompaas enlas queunejecutivoactualmenteempleadoha prestado sus servicios como jefe de compras.x1 234 5 P(x)0.52 0.220.19 0.04 0.03Encuentre la media y la desviacin estndar de x.La media es igual a E(x) = x P(x)= (1)(0.52) + (2)(0.22) + (3)(0.19) + (4)(0.04) + (5)(0.03) = 1.84La varianza es igual al valor esperado de (x - )2, esto es 2 = E(x - )2 = (1-1.84)2(0.52) + (2-1.84)2(0.22) + (3-1.84)2(0.19) + (4-1.84)2(0.04)+ (5-1.84)2(0.03) = 1.1144La desviacin estndar de la distribucin es = 1.1144 = 1.055La media = 1.84 y la desviacin estndar = 1.055 se pueden utilizar junto con el teorema de Tchebysheffparadescribir ladistribucindeprobabilidaddelnmerodecompaasenlasqueun ejecutivo actualmente empleado ha prestado sus servicios en el rea de compras.Eje. El gerente de una planta industrial planea adquirir una nueva mquina del tipo A o B. Si t denota el nmero dehorasde funcionamiento diario, y el nmero de reparaciones diarias X1que se tienenquehaceraunamquinadeltipoA es una variable aleatoria con una media yunavarianza iguales a 0.10t. La cantidad de reparaciones diarias X2 que requiere una mquina del tipo B constituye una variable aleatoria con una media y una varianza iguales a 0.12t. El costo diario de operacin de la 30mquina tipo A es de 2130 10 ) ( X t t CA+ , el de la tipo B es de 2230 8 ) ( X t t CB+ . Suponga que las reparaciones toman un mnimo de tiempo, y que cada noche las mquinas se alternan de tal manera que funcionen como nuevas al comienzo del siguiente da Cul de ellas reduce al mnimo el costo diario esperado si un da laboral consta de a) 10 horas y b) 20 horas?El costo diario esperado para la mquina A es de:[ ] [ ] ( )[ ] { } [ ]22 21 121213 . 0 13) 1 . 0 ( 1 . 0 30 10 ) ( ) ( 30 1030 10 30 10 ) (t tt t t X E X V tX E t X t E t C EA+ + + + + + + De la misma manera:[ ] [ ] ( )[ ] { } [ ]22 22 22222432 . 0 6 . 11) 12 . 0 ( 12 . 0 30 8 ) ( ) ( 30 830 8 30 8 ) (t tt t t X E X V tX E t X t E t C EB+ + + + + + + Por lo tanto, para a) donde t = 10[ ] [ ] 2 . 159 ) 10 ( 160 ) 10 ( B AC E y C EPara el inciso b) donde t = 20,[ ] [ ] 8 . 404 ) 20 ( 380 ) 20 ( B AC E y C EEn resumen, las mquinas tipo B son ms econmicas en periodos cortos debido a su reducido costo de operacin por hora. Sin embargo, en periodos largos son ms econmicas las tipo A, ya que tienden a requerir reparaciones con menos frecuencia.Eje. Cien empleados de una empresa tienen salarios anuales cuyo promedio es 22, desviacin estndar 3, ymediana20. Conayudadel teoremadeTchebyshev, vlidoparadatosdemuestras, determinar unintervaloquecontengaporlomenosel75%delossalarios. Quinterpretacinse puede dar a la media del salario?El teorema de Tchebyshev establece que por lo menos (1 1/k2) de las mediciones deben estar dentro de k desviaciones estndar de su promedio. Para k = 2,1 1/k2 = 1 = o 75%. Ahora bien, x = 22 y s = 3; yx t 2s da como resultado 22 t6. Al menos, el 75% de los sueldos deben estar entre 16 y 28 inclusive.La mediana de 20 nos dice que el 50% de lossueldos debe ser menor que 20. Con estos datos se podra deducir que de los 100 originales hay muchos salarios, pero no ms del 50%, en el intervalo de 16 a 20.31Eje. Unproveedor depetrleotieneuntanquede200galonesllenoal principiodecada semana. Sus demandas semanales tienenuncomportamiento de frecuencia relativa queaumenta constantemente hasta llegar a 100 galones, y a continuacin permanece igual entre 100 y 200 galones. Si X representa la demanda semanal en cientos de galones, suponer que las frecuencias relativas de la demanda se modelan en forma adecuada mediante:'> < < +2 12 1 2 / 2 / ) 1 ( 2 / 1) (bb b bb FLa grfica de esta funcin es una lnea continua, aun cuando f(b) tenga dos discontinuidades.La probabilidad de que la demanda supere los 150 galones es P(X >1.5) = 1 P(X 1.5) = 1 F(1.5) = 1 1.5/2 = 0.25Eje.Sea Xelporcentajedeltiempo que trabaja un torno en un taller de maquinaria, de una semana de trabajo de 40 horas, que es el tiempo que debera trabajar el torno. Supngase que X tiene una funcin de densidad de probabilidad dada por32' p o cx xx f. . 01 0 3) (2Calcular el promedio y la varianza de X.75 . 0 ) 3 ( ) ( ) (102 dx x x dx x xf x EAs, en promedio, el torno se usa el 75% del tiempo.60 . 052) 3 ( ) ( ) (102 2 2 2 dx x x dx x f x x EEntonces0375 . 0 ) 75 . 0 ( 60 . 0 ) ( ) (2 2 2 x E x VEje. La cantidad semanal Y invertida en sustancias qumicas en una empresa tiene una media de $445yunavarianza de$236. Dentrodequintervalosedebeesperar quequedenlos costos semanales de productos qumicos cuando menos el 75% de las veces?Paradeterminar unintervaloquegaranticecontener cuandomenosel 75%delamasade probabilidad para Y, se obtiene1 1/k2 = 0.75;k = 2As, el intervalo- 2a+2contendrpor lomenosel 75%delaprobabilidad. Este intervalo est dado por 445 t 2 236 = 445 t30.62.Eje. La oficina meteorolgica clasifica el tipo de cielo que es visible en relacin con los grados denubosidad. Seusaunaescalacon11categoras:0, 1, 2, ..., 10, endonde0representauncielo perfectamenteclaro, 10representauncielocompletamentecubierto, mientrasquelosotrosvalores representan diversas condiciones intermedias. Supongamos que tal clasificacin se hace en una estacinmeteorolgicadeterminadaenundayhoradeterminados.SeaXla variable aleatoriaque toma uno de los 11 valores anteriores. Supongamos que la distribucin de probabilidades de X espo = p10 = 0.05;p1 = p2= p8 = p9 = 0.15p3 = p4 = p5 = p6 = p7= 0.06Por tantoE(X) = 1(0.15) + 2(0.15) + 3(0.06) + 4(0.06) + 5(0.06) +6(0.06) + 7(0.06) + 8(0.15) + 9(0.15) + 10(0.05) = 5.0E(X2) = 1(0.15) + 4(0.15) + 9(0.06) + 16(0.06) + 25(0.06) +36(0.06) + 49(0.06) + 64(0.15) + 81(0.15) + 100(0.05) = 35.6V(X) = E(X2) (E(X))2 = 35.6 25 = 10.633Eje. Supongamos que X es una variable aleatoria continua con fdp' +1 0 10 1 1) (x xx xx fDebido a la simetra de la fdp, E(X) = 0. Ms an, + + 102012 26 / 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( dx x x dx x x X Epor lo tanto V(X) = 1/6.Propiedades de la varianza de una variable aleatoria.1. Si C es una constante,V(X + C) = V(X)2. Si C es una constante,V(CX) = C2V(X)3. Sean X1, X2, ..., Xn n variables aleatorias independientes. EntoncesV(X1 + X2 + ... + Xn) = V(X1) + V(X2) + .... + V(Xn)4. Sea X una variable aleatoria con varianza finita. Luego para cualquier nmero real a,V(X) = E[(X a)2] [E(X) a]2Demostracin:34( ) + + + + + + + + + + + + + + + + + +++i jY j j X i ii jY Y XjX j j j jii i i ij i j iY X j i jj ij i j i j i ij iY X j i j iX i i X i iX i i kX i iX i iX X X i iX i i i i ik X i iY V X V y g y x f xy g y y g y x f x x f xy x h y y x h y x y x h xy x h y x Y X VX V k x f x k k x f x kk x f x k x f kx kX VX V x f xk k k k x f xk x f k x f x k x f xx f k x k X V) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( ) ( ) ( 2 ) () ( ) , ( ) , ( 2 ) , () , ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () 2 ( 2 ) () ( ) ( ) ( 2 ) () ( ) ( ) (2 2 2 22 2 2 2, ,2 2,2,2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 222 2 2 22 2 22 2 Para dos variables aleatorias X e Y no necesariamente independientes:) , cov( 2 ) ( ) ( ) (2 2 2Y X Y X Y X + + + Se llama covarianza de dos variables aleatorias X e Y a la expresin{ } j ij i Y j X iY Xy x P y xY X E Y X,) , ( ) )( () )( ( ) , cov( Otra forma de la covarianza, que se obtiene desarrollando { } { }Y x Y X Y XX Y XY E Y X E + ) )( (, es) ( ) ( ) ( ) , cov( Y E X E XY E Y X De aqu se deduce que, en el caso de variables aleatorias dependientes) , cov( ) ( ) ( ) ( Y X Y E X E XY E + El trmino covarianza hace referencia a una variacin conjunta de las variables que entran en juego. Quedosvariablesvarendeformaconjuntasignificaquelasvariacionesqueexperimenta cualquiera de ellas son parejas o solidarias con las variaciones que experimenta la otra.En particular, si X e Y son independientes, se verifica0 ) , cov( Y X4.8 Transformacin de variables.35Suponer quesetransformanlasmedicionesx1, x2, ..., xn, aotrasmedicionesy1, y2, ..., yn medianteyi = a xi + bSi x1, ..., xntienen el promediox y la variancia s2xentonces es fcil demostrar que y1, ..., yntienen promedio y y variancia s2y dados pory = ax+ by pors2y = a2 s2xEje. Es importante para una estructura sencilla de un andamio de acero, estudiar el aumento de lalongituddelosmiembrosquetrabajanatensinbajocarga. Paraunacargade2,000Kg., diez miembros iguales que trabajan a tensin mostraron aumentos de longitud como sigue (mediciones en centmetros):2.5 2.2 3.0 2.1 2.7 2.5 2.8 1.9 2.2 2.6(a) Calcular la media y la desviacin estndar de esas mediciones.(b) Suponer que las mediciones se hubieran tomados en metros, y no en centmetros. Determinar el promedio y la desviacin estndar de las mediciones correspondientes en metros.El promedio es x= 1/10 (2.5 + 2.2 +... + 2.6) = 2.45y la variancia es ( ) 1183 . 0 5 . 2410109 . 6191111) (11221 1212 21]1

11]1

,_

,_

,_

niiniinii xxnxnx xnsy sx = 0.34Si yi representa la medicin correspondiente en metros, entonces yi = 0.01xiSe infiere que 10110110101 . 0 01 . 0iiiiiix x y0245 . 0 ) 45 . 2 ( 01 . 0 ) 01 . 0 ( x y36y( )2 21 012 21 012 221 01 12) 0 1 . 0 ( ) (91) 0 1 . 0 ( ) ( ) 0 1 . 0 (910 1 . 0 0 1 . 091xiiii i ys x x x x x x s sy = (0.01)sx = (0.01)(0.34) = 0.0034.4.9 Momentos de una variable aleatoria.Los parmetros y son medidas numricas descriptivas importantes que localizan el centro y describenladispersinrelacionadaconlosvaloresdeunavariablealeatoriaX. Sinembargo, no proporcionan una representacin nica de la distribucin X. Muchas distribuciones distintas poseen las mismas medias ydesviaciones estndar. Ahora analizaremos unconjuntodemedias numricas descriptivas que (por lo menos en condiciones generales) determinan de forma nica a p(x).Se llaman momentosa lasesperanzas de algunos tipos importantes de funciones. El nombre vienedebidoaciertaanalogaconlosmomentosenfsica, suponiendoquelascantidadesdef(x) fuesenmasasdiscretas depuntosque actan de manera perpendicular al eje X se ha introducido en probabilidad y estadstica el trmino momento.Sea X una variable aleatoria y sea Y = g(X) otra variable aleatoria funcin de X. Se calcula la esperanza o valor esperado de Y como [ ] discreta es X si x P x g X g E Y Ei i) ( ) ( ) ( ) ([ ] continua es X si dx x f x f X g E Y E ) ( ) ( ) ( ) (Tiene especial inters el caso en que g(x) = xk, para k = 1, 2, 3, .....El r-simo momento inicial (tambin llamado r-simo momento aleatorio alrededor del origen) de la variable aleatoria X, representado por r , es el valor esperado de Xr, es decir,( )rrX E , r N. Evidentemente, el primer momento inicial de una variable aleatoria es su media o valor esperado, esto es:( ) X Er. El r-simo momento central(o momento alrededor de la media) de una variable aleatoria X, representado por *r, se define como sigue:( ) [ ]rrX E *En particular *22 .Existe tambin el llamado r-simo momento absoluto,aunque es poco comn, el cual es igual al r-simo momento inicial de la variable aleatoria h(X) = |X|.Los momentos centrales pueden expresare en trminos de los momentos iniciales (o del origen) mediante la siguiente relacin37

,_

,... 2 , 1 , 0 , ) 1 (*kkrk rk kr Si el primermomento central existe, debe ser necesariamente cero0*1 ; por otra parte, el segundo momentocentral de una variable aleatoria X se denomina varianza(si es que existe), y se denota por( ) [ ]2 2) ( X E X V . La raz cuadrada no negativa de la varianza se llama desviacin estndar.Es muy fcil probar que, tanto para una variable aleatoria discreta como para una continua, se cumple la relacin:22 22* esto es:( ) [ ] ( )2 2 2 2 X E X ELo anterior se generaliza como sigue:( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( )4 2 2 3 4 43 2 3 33 6 42 3 + + X E X E X E X EX E X E X Ey as sucesivamente.Una condicin necesaria, pero no suficiente, para que la grfica de una funcin de densidad de probabilidadseasimtricaconrespectoalaperpendiculardel ejeX trazada en lamedia, esqueel tercer momento central sea cero. En otras palabras, si la grfica de f(x) es simtrica con respecto a la media, entonces 0*3 , perolorecproconosiempreesverdad. Cuandolagrficadef(x) noes simtrica con respecto a la media, entonces se llama sesgada.Si X es una variable aleatoria, entonces el sesgo (o asimetra) de X se denota por cualquiera de los smbolos siguiente: 3, 3 Y se define en trminos del tercer momento central:( )3*33331 X ESi = 0, la grfica de f(x) es perfectamente simtrica respecto de la media, si es positiva, la grfica presentaunaespeciedecolaalargadadel ladoderecho;mientrasquesiesnegativa, entoncesla grficapresentaunacolanotoriadellado izquierdo.El motivo para definir el sesgo mediante , en lugar de hacerlo directamente con *3estriba en que es independiente de las unidades de medicin, mientras que el tercer momento central *3no lo es.38En particular,1 se llama tipificacin de la variable X, 3 es el sesgo, 4 = es el Kurtossis (o exceso)( )4*44441 X ELamagnitud=4proporcionaunindicador dequtanpicudaeslagrficadelafuncinde densidadf(x). Mientrasmayorsealacantidad, tantomspicudaopronunciadaserlacrestaenla grfica de f(x). Es pertinente sealar, sin embargo, que la Kurtossis de una distribucin es poco usual, por considerarse que la interpretacin que se tiene de ella es vaga y de valor dudoso.Eje. El dimetro (en centmetros) de unos balines metlicos para uso industrial, es una variable aleatoria continua x, cuya funcin de densidad esta dada por: ' < < . . . , 01 . 1 9 . 0 99 . 0 2) (2p o cx c cx cxx fa) Obtenga el valor de la constante c.b) La media.c) Halle la varianza y la desviacin estndar.d) Mediana. e) La moda.a)7501 0013333 .1 )] 9 . 0 ( 99 . 03) 9 . 0 () 9 . 0 ( ) 1 . 12 ( 99 . 03) 1 . 1 () 1 . 1 [(1 ] 99 . 03[ 1 ) 99 . 0 2 (1 ) 99 . 0 2 (32321 . 19 . 0321 . 19 . 021 . 19 . 02 + + cccxxx c dx x x cdx x x cb)112) 9 . 0 ( 99 . 04) 9 . 0 (3) 9 . 0 ( 22) 1 . 1 ( 99 . 04) 1 . 1 (3) 1 . 1 ( 2750299 . 04 32750 ) 99 . 0 2 ( ) 99 . 0 2 (2 4 3 2 4 31 . 19 . 02 4 3 1 . 19 . 01 . 19 . 03 2 21]1

+ + 1]1

x x xdx x x x c dx x x x cc)393 23 5 4 3 5 421 . 19 . 03 5 42 2 4 3 2 2 2213) 9 . 0 ( 99 . 05) 9 . 0 (4) 9 . 0 ( 23) 1 . 1 ( 99 . 05) 1 . 1 (4) 1 . 1 ( 2750399 . 05 42) 99 . 0 2 ( ) (1]1

+ + 1]1

x x xc dx x x x c dx x f x04472 . 0 23 d)173 . 118267 . 0:03009799 . 032 / 1) 99 . 03750 ) 99 . 0 2 ( ) 99 . 0 2 (321329 . 0329 . 0 9 . 02 + 1]1

xxxsolucionesxxxigualamosttt dt t t c dx x x c mxx xeCon estos resultados podemos observar que x 1 y x3 no pueden ser considerados dado que se encuentran fuera de los limites sealados y por lo tanto la solucin es: me = 1e)112 20 ] 2 2 [ ) (0 ) 99 . 0 2 ( ) (2 omxxx c x fx x c x fUna grfica de esta funcin 5 . 742 750 15002 x x yes:0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15012345678xygrafica de y=1500x-750x2-742.540Teorema de Chbyshev.En el siglo XIX, el matemtico ruso Pafnuty L. Chbyshev (1821-1894) obtuvo una importante desigualdadqueaseguralomenosquepuedevaler laprobabilidaddequeunavariablealeatoria cualquiera(discretaocontinua) asumaunvalor dentrodekdesviacionesestndar alrededor dela media ( k>1). Aunquelagaranta mnima propuestapor Chbyshevnosiemprees precisaal compararla con el valor verdadero, la ventaja de este teorema es su gran generalidad, pues es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribucin de probabilidad, ya sea discreta o continua, y generalmente es til cuando la distribucin de probabilidad es desconocida.El teorema de Tchebysheff. Dados un nmero k, y un conjunto de observaciones x1, x2, ...., xn, al menos(1- 1/k2) delasobservacionescaendentrodekdesviacionesestndar delamedia. La probabilidad de que cualquier variable aleatoria X tome un valor dentro de k desviaciones estndar de la media es al menos 1 1/k2. Es decir.211 ) (kk X k P + < < o ( )21kk X P Dem. Por la definicin de varianza de X podemos escribir[ ] + ++ + + + + kkkkkkdx x f x dx x f xdx x f x dx x f x dx x f xdx x f xX E) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () (2 22 2 222 2debidoaquelasegundadelastresintegralesesnonegativa. Ahorabien, como k x para cualquier( ) ( ) ( )111]1

+ + k x k x k xk xx k x k x o k x + , tenemos que 2 2 2) ( k x en ambas integrales. Se sigue que + + kkdx x f k dx x f k ) ( ) (2 2 2 2 2y que21) ( ) (kdx x f dx x fkk + + 41De aqu211 ) ( ) (kdx x f k X k Pkk + < < + .ElteoremadeTchebysheffserefiere a cualquierconjunto de observaciones, por lo tanto se puede aplicar tanto a una muestra como a la poblacin independientemente de que el histograma de probabilidades tenga o no forma de campana. Los resultados del teorema son muy conservativos en el sentido de que la probabilidad real de que X se localice en el intervalo k t por lo comn rebasa la cota o lmite inferior par la probabilidad, 211k , por una cantidad considerable.Eje. Lacantidaddeclientesquellegacada da aunmostrador, X, observadapor unperiodo prolongadotieneunamediade20yunadesviacin estndarde2.Sedesconocela distribucinde probabilidad Qu se puede decir de la probabilidad de que, maana, X est entre 16 y 24?Deseamos calcular) 24 16 ( < < X P, del teorema de Chebyshev, sabemos que, para cualquier 0 k ,211 ) (kk X k P + < < , Como20 y 2 , se infiere que16 ky 24 + k si k = 2. Por lo tanto,( ) ( ) [ ]43211 2 2 ) 24 16 (2 + < < < < X P X PEn otras palabras, la cantidad total de clientes que llegar maana estar entre 16 y 24 con una probabilidad al menos de .Eje. La funcin de distribucin acumulada exponencial es' e e T PLa probabilidad de que el segundo viajero haya de esperar todava ms de tres minutos sabiendo que han pasado ya cinco desde que parti el ltimo autobs es:22313 . 0) 5 () 8 () 5 () 5 8 () 5 | 8 (3 * 5 . 05 * 5 . 08 * 5 . 0 >>>> > > >eeeT P T PT PT T PT T PEl sabercuntotiempollevasinpasarelautobsnoaportaningunainformacinacercadeloque puede todava tardar en pasar. Esta es una propiedad de la distribucin exponencial; se dice por eso que no tiene memoria.54Eje. SeanX1, ..., X5variablesaleatoriasgeneradasmedianteel lanzamientodecincodados perfectos. Sea X = max{X1, ..., X5}. Cul es la funcin de distribucin de X? Coincide con la de cualquiera de las variables aleatorias X1, ..., X5 consideradas?La variable aleatoria X puede tomar valores enteros entre 1 y 6. La probabilidad de que X tome el valor x es la probabilidad de que todas las variables aleatorias X1, ..., X5 tomen valores entre 1 y x y no todas tomen valores entre 1 y (x 1). Por tanto,( ) ( )0001286 . 0611 1 ) 1 (55151 ,_

< iiiiX P X P X P( ) ( )003987 . 061622 2 ) 2 (5 55151 ,_

,_

< iiiiX P X P X Py anlogamente se obtienen los restantes valores de la funcin de cuanta:59812 . 0 ) 6 ( 27019 . 0 ) 5 ( 10043 . 0 ) 4 ( 02713 . 0 ) 3 ( x X X XP P P PLa funcin de distribucin se obtiene sumando la de cuanta para cada Xi: xkX XXk P x Fyk k Pi ii1) ( ) (), 6 ,..., 1 ( , 6 / 1 ) (Eje. Una v.a. X sigue una distribucin especificada as:'< < < X X PLlamamos funcin de cuanta de una distribucin discreta a:55) ( ) ( ) ( x F x F x PX X xes decir, PX(x) es el salto de la funcin de distribucin en el punto x.i) la funcin de cuanta es igual al salto de FX(x) en los puntos 0, 1, 2 y 3. Y de acuerdo con la especificacin de FX(x) tenemos que 1 . 0 ) 3 ( , 3 . 0 ) 2 ( , 5 . 0 ) 1 ( , 1 . 0 ) 0 ( X X x xP P P Pii){ }{ } { }{ } { }{ } { }{ } { } { } { }3 . 0 1 . 0 3 . 0 9 . 0 1) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 (3 2 3 2 ) 3 , 2 [0 3 . 0 6 . 0 9 . 0 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 (2 2 12 1 ) 2 , 1 (3 . 0 6 . 0 9 . 0 ) 1 ( ) 2 ( 2 1 ] 2 , 1 (9 . 0 1 . 0 1 ) 0 ( ) 3 ( 3 0 ]} 3 , 0 {( + + < < < < < x X X XX X XX XX XP P F FX P X P X P PP F FX P X PX P PF F X P PF F X P Piii){ }{ }{ }436 . 0 16 . 0 9 . 0) 1 ( 1) 1 ( ) 2 (1] 2 , 1 (1 | ] 2 , 0 (> > XX XFF FX PX PX X PEje. Dada una muestra aleatoria simple X1, ..., Xn procedente de una distribucin con media y varianza 2 , hllese la media y varianza de . / ) ... (1n X X Xn+ + Tomando valor medio deXtenemos: + + + + 1]1

+ +n nn X E n X EnX XE X Enn/ ... // ] [ ... / ] [...) (11Anlogamente, tomando varianzas:56nn nn X V n X VnX XV X Vnn// ... // ] [ ... / ] [...] [22 2 2 22 211 + + + + 1]1

+ +Eje.Una emisin de bonos a un ao tiene un inters del 5%. Adems, la cuarta parte de los bonos, seleccionada por sorteo, recibe una prima del 25% de su valor nominal. Cul es el rendimiento esperadodeunbono?Si sehubieradeinvertir unacantidadmuygrandededinero, qusera preferible: invertir en los bonos indicados, o en otros al mismo plazo con un rendimiento del 11%? (se suponequeel riesgo,liquidez, ydems factores distintos de la rentabilidad sonidnticos en ambos casos.)Si llamamos X e Y a los rendimientos totales respectivos de ambos tipos de bonos (expresados en %) tenemos que:11 . 0 ] [1125 . 0 25 . 0 *41) 05 . 0 ( 1 ] [ + Y EX EEl primer bonoespreferiblesi seinviertemuchodinero, esdecir, secompramultituddebonos. Obsrvese que solo en este caso podremos comparar ambas opciones de inversin en trminos de su rendimiento medio. Si solo se puede comprar un bono de la primera clase, no tendra sentido pensar en un rendimiento del 11.25%; obtendramos el 5% o el 30%. Un inversor averso al riesgo preferir el segundo tipo de bono (con el que sabe que obtendr un 11% seguro). Un inversor proclive al riesgo preferirel segundotipodebono(conel quepuedeobtener unagananciatanaltacomoel 30%, aunque con gran probabilidad acabe percibiendo solo el 5%).Eje. Consideremos una variable aleatoria Xcuya funcin de cuanta viene especificada mediante la siguiente tabla:'+2 / ) (12 / ) (222c ad probabilid con c mc ad probabilid con mc ad probabilid con c mXComprubese que para una variable aleatoria como X la desigualdad de Chebysheff es una igualdad.La varianza de X se calcula. Por simetra, la media es m, y:42222 2 22 2] ) [( ccccc m X E

,_

+

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La desigualdad de Chebysheff establece que:57{ }21| |kk m X P Substituyendo por c2 y k por 1/c obtenemos:2 21| | c ccm X P )' Pero esta relacin se verifica con igualdad, pues de la especificacin de la distribucin de X se deduce que el lado izquierdo es precisamente c2. El ejemplo anterior es interesante porque pone de manifiesto queladesigualdaddeChebysheffnopuedesermejoradasinimponercondicionesadicionalesala variable aleatoria X.Eje. Comprubese que la distribucin de Cauchy[ ] < < + x x x f , 1 ) (12 1carece de momentos.Basta comprobar que: + dxxxdx x f x X Ekk kk211) ( ] [diverge si k 1. Esto es fcil de ver ; si x > 1, 1 + x2 < 2x2 y por tanto: +dxxxdxxxk k2 22111 la integral del lado derecho se ve sin dificultad que diverge siempre que k 1.Obsrvese que la carencia de media y de todos los momentos de orden superior- se produce a pesar de la forma simtrica en torno al origen de la funcin de densidad, lo que sugerir = 0.Eje. Calclese la media y varianza de una v.a. con distribucin exponencial de parmetro :' < 0.La funcin de densidad de X se obtiene derivando:) 0 ( , ) ( < x e x fx El clculo directo de media y varianza es:58202 201) (1 dx e xe xxxEje. Considrese la distribucin exponencial. Coincide la media con la mediana?La mediana de una distribucin continua F(x) es aquel valor que verifica:{ } { }21 > < X P X PEn el caso que nos ocupa, ha de suceder que: 2 ln21ln21211 ) (

,_

ee FComo quiera que 1y ln 2 = 0.6931, la mediana siempre ser inferior a la media en el caso de una distribucin exponencial.Eje. Mustrese que la varianza es el mnimo momento de segundo orden (es decir,[ ] [ ]2 2 2c X E X E para cualquier otro c .)[ ] [ ][ ] [ ] [ ]2 22 22 22 2) (0 ) () )( ( 2ccc X E c E X Ec X E c X E + + + + + + ya que[ ] [ ] 0 ) ( ) )( ( X E c c X EDe lo anterior se deduce, habida cuenta de que( ) , 02 cque[ ] .2 2c c X E 59Eje. Una variable aleatoria R toma el valor r con la probabilidad kr, r = 0, 1, 2, ..., l. Encontrar k y ) 1 ( l R P.Seark r P ) ( . Ahora bien 1 ) 1 /( ) 1 ( ) (10 + llk r P . De donde ) 1 /( ) 1 (1 + lk y) ( 111) ( ) 1 (110l R P r P l R Pll l +Eje. Una variable aleatoria X, que toma valores en (0, a), tiene la funcin de distribucin kx2, 0 ,_

a F a X PaaaFa x x fEje.Una variable aleatoria X tiene la funcin de densidad de probabilidad f(x) = 2x, 0 0. Para una tarea determinada, se requiere un hombre fuerte que tenga una resistencia de por lo menos s0y cada uno de los hombres seleccionados al azar se someter a una prueba hasta encontrar el hombre fuerte que se necesita. Determinar la probabilidad de que se pongan a prueba exactamente n hombres.La probabilidad de que un hombre puesto a prueba al azar sea el hombre fuerte requerido es 00ssse ds e . Para que el n-simo hombre sea el primer hombre fuerte, todos los (n-1) hombres anteriores deben haber sido no fuertes. Ya que la probabilidad de que un hombre puesto a prueba al azar no sea fuerte es01se , la probabilidad requerida es( )0 011snse e Eje. El tiempo de falla de un sistema tiene la funcin de densidad de probabilidad f(t), t > 0. La falla slo puede detectarse inspeccionando el sistema en los tiempos x1, x2, x3, ..., xi, ... Estos tiempos de inspeccin son tales queP[el sistema falle en (xi-1, xi)| el sistema haya funcionado en xi-1] = p, para i 0 1, 2, 3, ...; x0 = 0. Calcular el i-simo tiempo de inspeccin xi en trminos de p. Demostrar que si la funcindetasafallaesmontonacreciente, entonceslosintervalosentrelostiempossucesivosde inspeccin forman una sucesin decreciente.La condicin sobre los tiempos de inspeccin xi significa que61,... 3 , 2 , 1 ,) ( 1) ( ) (1 +i px Fx F x Fii ide modo que F(xi+1) = p + qF(xi), donde q = 1- p. La substitucin repetida da0 ) ( 0 , 1)] ( [ ... ) (0 0101 21 + + + + + + ++x F da x para qx qF p q pq pq pq p x Fii iide donde se hallara xi a partir de xi = F-1(1-qi).Sea di = xi xi-1 de manera que di > 0. Ahora se desea demostrar que di >di+1, i = 1, 2, 3, .... Sea S(t) = 1 F(t) y r(t) = f(t)/S(t) una funcin montona creciente. Ahora se tiene + F(xi+1), de modo que xi + di > xi+1; es decir, di > di+1.Eje. La probabilidad condicional P(A|x) de un evento A, est disponible dado que una variable aleatoria X ha tomado el valor x. Encontrar P(A).Suponer que Xes discretaysus valores posibles son xi, i = 1, 2, 3, ...y P(X=xi) P(xi). Los eventos Axi son mutuamente exclusivos, de modo que ii iiix P x A P x A P A P ) ( ) | ( ) ( ) (Si X es continua con la funcin de densidad de probabilidad f(x), se tiene dx x f x A P A P ) ( ) | ( ) (Eje. Enunexperimento, el nmerodepruebas, R, quesellevarnacaboesunavariable aleatoriaconP(R=r) =(1-)r-1, r =1, 2, 3, ... Laprobabilidaddequeel experimentoresulte socialmente til, dado que se llevaron a cabo r prueba, es ! rer . Calcular dicha probabilidad.62Sea A el evento en que se logra el resultado socialmente til, de manera que ! / ) | ( r e r A Pr ( )[ ]( ) ) 1 /() 1 /( 1) 1 ( ! / ) () 1 (11 e ee er e A Pr rEje. Hay que ajustar una mquina para que produzca un lote grande de piezas. Para un ajuste dado, cadaunadelaspiezasproducidas por la mquina tiene una probabilidad constante p de salir defectuosa;sinembargo, elprocesodeajuste es tal que esta probabilidadvara de ajuste a ajustey puede tomarse como una variable aleatoria con la funcin de densidad de probabilidad (1-p)m(m+1), 0 0, x E R. Encuentre la moda sin necesidad de calcular el valor de la constante .Paraencontrarlamodaderivamoslafuncindedensidadeigualamosaceroparaobtenerasabscisas crticas. Cualquier abscisa crtica pude ser evaluada en la segunda derivada ya que si resulta 117un nmero negativo, abra un mximo y si es positivo abra un mnimo y por lo tanto el valor de X quede un mximo es la moda. 12 ) 0 ( 4 2 ) 1 () 1 ( 4 2 ) (10 10 ) 1 (0 ) 1 ( 2 ) (2 2222 222 + + ox x x xx xx xme e e fe x e x fxxe xe x x f 843.- Una funcin importante es la llamada funcin de error erf(x) = dt ext02 2 Esta funcin es impar, ya que erf(-x)=-erf(x). Si x mente respectiva tiemde x erf x , 1 ) ( ,++ . A dems es continua y erf(0)=0.Use esta informacin y haga), (2) (2x erf dx e dx x espx para calcular:dxxbdx x a

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2exp )) exp( )22)solucin:2 506 . 2)7724 . 1)222 dx ebdx eaxxNOTA: Para resolver estas integrales se utilizo el matlab 845.- Exprese erf( x ) mediante la integral de tipo xdt t0. ) ( [sugerencia: haga t = t(u) = u2 en la integral]202du exu118Solucin:tetdt t dttedttedu e x erftx x tx ttt xu ) () (122 2) (0 0) () 0 ( 02849.- Sea X una v.a. continua con f.d.p. f(x) = c exp.

,_

22x a) Determine el valor de la constante c.b) Determine P (-a < X < a) en trminos de la funcin erf.c) Exprese la f.d.a.F(x) en trminos de la funcin erf, y obtenga entonces F (2) y

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22 3F, dado que: erf ( ) 2= 0.9545 y erf (1.5) = 0.9661 (correctoa cuatro dgitos decimales).Para(a) 202022 2c dx e c dx cex x 2 1 c 21 cPara(b)

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< < 2 21) (22aerf dx e a x a PaaxPara(c);212121) (221]1

+

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xerf dt e x Fxt[ ] 97725 . 0 2 121) 2 ( erf F119( ) [ ] 98305 . 0 5 . 1 12122 3 +

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erf F850.- Considere la v.a.c. X, con f.d.p.f(x) = 21 xc+, x R.a) Obtenga el valor de la constante c.b) Determine la f.d.p. F(x).c) Demuestre que no existe valor esperado para esta variable aleatoria.Para(a)[ ] ( ) 1]1

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++ 1 1 1 1 12 2tan tan tan tan1tan111 1c c c x cxcxdxc dxxc c c c 1]1

+ 1]1

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2 2 2 2 c 11 cPara(b)[ ] ( ) 1]1

++ 1 1 1 12 2tan tan tan1tan111 1) ( ) ( c x c t ctctdtc dttcdt t f x Fxx x x xx x x c1 1 1tan1212tan12tan + 1]1

+ 1]1

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Para(c) [ ] ( ) [ ] + ++ ,_

+ 22 2 212 2 2 122 1 1) ( x LncLnucudu cxxdx cxxdxc dxxcx dx x xf u = 1 + x2du = 2xdx( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + + 2 212112121 122 2cLn Lnc851.- Dada la v.a.c. X con f.d.p.:120 2(1 x)si 0 < x < 1f (x) =0 en otro casoHalle el coeficiente de sesgo = 33.1]1

1]1

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1]1

312123020312123 22 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) ( ) (1010103 22x xdx x x dx x x dx x xf X E 3333 . 061262 32 ,_

,_

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ]31 2 1 3103 3 332 3 1 2 3333 . 0 ) ( + dx x x dx x f x X E( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 074051 . 0 9999 . 0 2 23333 . 0 2 1 2 ) 3333 . 0 ( 3 1 2103 2104 3331021033+ + dx x x dx x xdx x x dx x x0740518 . 0 49995 . 0 6666 . 0 4 . 0 5 . 0 0740518 . 04 39998 . 15 42104 3105 43+ + +1]1

1]1

x x x x0074018 . 03 ( ) ( ) ( ) ( ) 1111 . 0 2 3333 . 0 1 2 ) ( ) (103 2 2102 2 2 2 dx x x dx x x dx x f x X V 0555 . 0 1111 . 0 5 . 0 6666 . 0 1111 . 04 32104 32 1]1

x x235584379 . 0 ( ) 013074932 . 0 235584379 . 03 3 566106 . 0013074932 . 00074018 . 033 852.- Sea la v.a.c. X conf.d.p.:2 2x aa Si|x|< af(x) = 0 si |x| a121Halle:a) el valor de a.b) P ,_

< < a Xa2Para (a)aaaaaaaaaaaxsen aausen au aduax a dxa dxx aa 1]1

1]1

1 12 2 2 2 2 2u = xdu = dx( ) ( ) ( ) a a a a a asen asenaaasenaaasen 180 90 90 90 90 1 11 1 1 1 + ,_

a 180 1 005555 . 01801 aPara (b) F(X)=axasenaasenaxasenatsen at adta dtt a adt t fx x x x1 1 10102 202 20) ( 1]1

( ) ( ) ,_

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180160 60 30 90211221 1 1 1a a aaaasen asenaaasenaaasenaF a F3333 . 031 853.- Sea X una v.a.c. con f.d.p. dada por:43xx Si 0 x 2f(x) = 0en otro casoHalle la mediana (me).F(X) = 21122( ) 1]1

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xx x x xs sds s s dss sdsss ds s f X F04 20303034 2441441444) ( ) (( ) 16816 2 16 2 444 2 4 204 2x x x x s sx 1]1

211684 2 x x

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2116 84 2x x8 84 2 x x0 8 82 4 + x xsi 2x w 0 8 82 + w w( ) ( ) ( )( )( )( )2 2 422 4 8216 2 8232 81 28 1 4 8 82t ttt t wSustituyendo 2x por w2 2 42t x2 2 4 t t x6131 . 2 2 2 41 + x0823 . 1 2 2 42 xEl valor que cae dentro del intervalo[0,2]es 1.0823=22 2 4 x quees igual a la mediana.m e= 1.0823854.- Suponga que X y Yson dos variables aleatoriastales que E(X) = 5, E (Y) = 3. Si Z = X + 2Y,obtenga E (Z).E (Z) = E(X + 2Y) = E(X) + E (2Y) = E(X) + 2E (Y)= 5 + 2(3) = 5 + 6= 11855.- Dado que E(X) = 2, E(Y) = 6, y suponiendo que Z = 3X + 4Y, halle E(Z).123Z = 3X + 4YE (Z) = E (3X + 4Y) = E (3X) + E (4Y) = 3E(X) + 4E (Y)= 3(2) + 4(6) = 6 + 24= 30856.- Si X es una variable aleatoria discreta que solo puede tomar los valoresX1 = -1, X2 = 0 y X3=1, con probabilidades de p1, p2y p3, respectivamente, y si se sabe adems que E(X) = 0.1; E(X2) = 0.9, encuentre los valores de p1, p2 y p3.xi-1 0 1pip1p2P3E(X) = = 0.1E(X2) = 2 = 0.9(1) p1 + p2 + p3 = 1(2) (-1)p1 + (0)p2 + (1)p3 = 0.1 = E(X)(3) (-1)2p1 + (0)2p2 + (1)2p3 = 0.9 = E(X2)t5 . 0 , 1 . 0 , 4 . 05 . 01 . 04 . 05 . 0 1 0 01 . 0 0 1 04 . 0 0 0 15 . 0 1 0 01 . 0 0 1 01 . 0 1 0 11 2 0 01 . 0 0 1 01 . 0 1 0 11 2 0 01 . 1 2 1 01 . 0 1 0 19 . 0 1 0 11 . 1 2 1 01 . 0 1 0 19 . 0 1 0 11 . 1 2 1 01 1 1 19 . 0 1 0 11 . 0 1 0 11 1 1 13 2 13212 3 133 2 1 3 2 1 1 2

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+ +p p pentoncespppPR RRR R R R R R R R857.-Una variable aleatoria discreta X tiene la siguiente distribucin de probabilidad:xi4 6 x3pi0.5 0.3 p3 Si se sabe que E(X) = 8, halle x3 y p3.124( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )212 . 02 . 42 . 4 8 . 1 2 8 2 . 02 . 0 8 . 1 2 8) 2 . 0 ( ) 3 . 0 ( 6 5 . 0 4 8) (2 . 0 33 . 0 5 . 0 1 33 3 . 0 5 . 0 13 2 1 ) (1 % 100333331 + + + + + + + + xxxxxp x X EPPPP P P x P x Pnii i858.- SeaXuna variable aleatoriadiscreta con la siguiente distribucin de probabilidad:xi1 2 3pip1p2p3Si se sabeque E(X) = 2.3; E(X2) = 5.9, determine los valores de p1, p2 y p3.(4) p1 + p2 + p3 = 1(5) (1)p1 + (2)p2 + (3)p3 = 2.3 = E(X)(6) (1)2p1 + (2)2p2 + (3)2p3 = 5.9 =E(X2)1255 . 0 , 3 . 0 , 2 . 0:5 . 03 . 02 . 05 . 0 1 0 03 . 0 0 1 02 . 0 0 0 11 2 0 03 . 0 0 1 02 . 0 0 0 11 2 0 03 . 0 0 1 04 . 0 0 0 213 . 03 . 02010100011 2 0 03 . 1 2 1 03 . 0 1 0 19 . 4 8 3 03 . 1 2 1 03 . 0 1 0 19 . 4 8 3 03 . 1 2 1 01 1 1 19 . 5 9 4 13 . 1 2 1 01 1 1 19 . 5 9 4 13 . 2 3 2 11 1 1 13 2 1321222 3313 1 3 2 2 32 1 1 3 1 2

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+ +p p pEntoncespppPRRR R R R R RR R R R R R859.-Un lote de 10 potentes computadoras nuevas fue adquirido para los investigadores del instituto de Astronoma de la UNAM. De esas maquinas,7 son Silicn Graphicsy 3 sonPower Mac.Se escoge un conjunto de dos computadoras al azar del lote, para asignarlas a dos nuevos profesores. Halle el nmero esperado de Power Mac en ese conjunto.P (P.M.) = 103= Pi53531061032 ) (1 ,_

nii i p x X E860.-Si las variables aleatorias X1, X2,......Xntoman solo valores positivos, son independientes y ademsestn igualmentedistribuidas, demuestre que:( ) n in X X XXEni,..., 2 , 1 ,1....2 1 1]1

+ + Definimos las variables aleatorias Y1, Y2,, Yn como sigue:nnnn nX X XXYX X XXYX X XXY+ + ++ + ++ + +...,...,...,...2 1 2 1222 111Las variablesXi (i = 1,n) estn igualmente distribuidas. Se tiene que E (Y1) = E (Y2) ==E (Yn)Adems:1261.........2 12 12 1+ + ++ + + + + +nnnX X XX X XY Y YLuego, E (Y1 +Y2 ++ Yn) = E (1) = 1. Por consiguiente, E (Y1) + E (Y2) ++ E (Yn) = nE (Yi) = 1, es decir, nY Ei1) ( .861.- Suponga que se tienensiete variables aleatoriasX1, X2,........ X7,las cuales solo toman valorespositivos, ademsdequesonindependientesyestnigualmentedistribuidas.Obtengael valor esperadode la variable aleatoria Z definida como sigue:( )73731462 2 2 2 2 2 22 2 220...7 6 5 4 3 2 17 2 13 2 1 + + + + + ++ +> + + + ++ +ZZtenemosXparaX X X X X X X XdondeX X XX X XZii862.- Se tienen dos variables aleatorias independientes X, Y. Si Var (X) = 5 y Var (Y) = 6, halle la varianza de la variable aleatoria Z = 3X + 2Y.Var(X2) = cVar (Z) = Var (3X + 2Y) = Var (3X) + Var (2Y) = 9Var(X) + 4Var (Y)Var (Z) = 9(5) + 4(6) = 45 + 24 = 69Var (Z) = 69863.-Si X es una variable aleatoria discreta que solo puede tomar dos valores: x1y x2, cada uno de elloscon idntica probabilidad,encuentre la varianza de X.xi1 2pi1/2 1/2127( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43435 . 0 25 . 0 2 5 . 0 5 . 0 2 5 . 1 2 1 5 . 1 1) (235 . 1 5 . 0212211 ) (22 2 2 2 22 21 + + + + ,_

+ ,_

i inii ip x X Vp x X E864.- Suponga que X y Y son variables aleatorias, tales que E(X) = a, E (Y) = b, Var (X) = 21 , Var (Y) = 22 . Demuestre que Var (XY) =222 212 2221 a b + + .Tenemos: Var (XY) = E [(XY)2] [E (XY)]2. Pero, E [(XY)2] = E(X2) E (Y2). Puesto que X2 y Y2 son variables aleatoriasindependientes, si X y Y lo son. Por otra parte, [E (XY)]2 = [E(X) E (Y)]2 = a2 b2. Adems:2 2 21) ( a X E y . ) (2 2 22b Y E De aqu que,212 2) ( + a X E ,222 2) ( + b Y E. As que finalmente, se obtiene:222 212 22212 2 222 212) )( ( ) ( a b b a b a XY Var + + + + 865.-Si X es una variable aleatoria con media E(X) =, entonces para cualquier c se verifica que 2= E [(X -)2] < E [(X c)2]. Demuestre esta interesante propiedad. A los momentos alrededor decualquier puntodistintodel origen(ydelamedia) selesuelellamar momentos ordinarios. De acuerdo con esta desigualdad,entonces el momento central de orden dos es el menor de todos los momentos ordinarios de segundo orden (incluyendo el momento inicial de segundo orden). Esto es otra forma de expresar el hecho de que la media es el valor que minimiza el error cuadrtico medio.E [(X c)2] = E [(X + c)2] = E [(X )2 + 2(X ) ( c) + ( c)2] = E [(X )2] + 2( c) E [(X )] + ( c)2.Sin embargo,E [(X )] = 0. En consecuencia, queda probado que E [(X c)2] = E [(X )2] + ( c)2 = 2 + ( c)2. De aqu que2 < E [(X c)2].Incidentalmente,si se hace c = 0,entonces se tiene una relacin ya conocida:2 = 2 + 2, esto es: Var (X) = E(X2) [E(X)]2.128866.-UnavariablealeatoriaXtienemedia igual a 12 yvarianza iguala 9. Estime el valor mnimo con la desigualdad de Chebyshev, de P (3 < X < 21).- k = 12 3k = 3 + k = 12 + 3k = 21En ambos casos se obtiene k = 3. De aqu que,P ( k < X < + k) = P (3 < X < 21) 1 - 98 12k867.- Una forma alternativa (y equivalente) del Teorema de Chbyshev establece que si k > 0, entonces 221 ) | (|kk X P < .Dada una v. a. X en la que004 . 0 ) (2 x , use esta forma de la desigualdad de Chbyshev para proporcionar una cota inferior de ) 2 . 0 | ) ( (| < x E X PSolucin:Datos del problema Desarrollo) 2 . 0 | ) ( (| , 2 . 01 ) | (|004 . 0222< < X e X P kkk X P d DesigualdaX) 04 . 0 () 004 . 0 (1 ) 2 . 0 | ) ( (|) 2 . 0 (1 ) 2 . 0 | ) ( (|) 2 . 0 (1 ) 2 . 0 | ) ( (|2222 < < < X e X PX e X PX e X PSu cota inferior es: 9 . 0 ) 2 . 0 | ) ( ( < x E X P868.-Para cualquier k>0, un < + 3 / 1 13 / 1 1 ) 1 ( 4 / 31 0) (sixx si xsixx F) 3 / 1 0 ( < < 4 14 2 1212 0) (x x xparaxx F) 6 5 () 4 3 () 3 () 5 / 1 ( X PX PX PX P0 ) 6 5 (1 1 ) 6 5 ( )2 / 1 ) 4 3 (2 / 1 1 ) 4 3 ( )0 ) 3 (1 ) 3 ( 2 / 1 ) 3 ( )0 ) 5 / 1 ( ) X PX P dX PX P cX PX P bX P aSu probabilidades son: 0 ) 6 5 (2 / 1 ) 4 3 (0 ) 3 (0 ) 5 / 1 ( X PX PX PX P876.-Unav. a. c. X, definida para toda R x tiene la f. d. deprobabilidad dada por x xe ex f+ 4) ( . Determine el valor constante de .Datos del problema Desarrollox xe ex f+ 4) (De la definicin de una f. d. p. 1 ) ( dx x f ++1 414x xx xe edxdxe eLa evolucin obtenida de la integral es:1 ] 2 / [ 41 )] ( [ 41 xe tgDespejando obtenemos:21133La constante es: 21 877.- La v. a .c. X tiene f. d. p. definida por:' < X PX Pdt t f x Fxdxxxx F ax16) 3 4 () 1 ( 5120) ( )La evolucin obtenida de la integral es:' 1 01) 3 4 () 19 20 ( 1616) () 3 4 () 19 20 ( 1616 ) (51 5x parax parax xx Fx xx Fx8925 . 15 ) 2 () 3 ) 2 ( 4 () 19 ) 2 ( 20 ( 1616 ) 2 ( )5 > >X PX P b09642 . 0 ) 3 2 (8925 . 15 9889 . 15 ) 3 2 () 3 ) 2 ( 4 () 19 ) 2 ( 20 ( 1616) 3 ) 3 ( 4 () 19 ) 3 ( 20 ( 1616 ) 3 2 ( )5 5 1]1

1]1

X PX PX P cLa f. d. a. es: '1 01) 3 4 () 19 20 ( 1616) (5x parax parax xx FLa probabilidad es: 8925 . 15 ) 2 ( > X PLa probabilidad es: 09642 . 0 ) 3 2 ( X P882.-Sea X la v. a. c. con f. a. p. dada por:' . . . 03 5 . 2 11 021) (p o cxxx FDetermine la mediana o mediana de X, si es que hayDatos del problema Desarrollo' . . . 03 5 . 2 11 021) (p o cxxx FDe la definicin de una f. d. p. xedt t f m21) ( 215 . 2211 ) (21221) (5 . 2021 x mdt x Fxmdt x FexexObtenemos los cero de la ec. Obtenida anteriormente:13931eemmExisten una infinidad de medias, solo se expresan algunas de las que existen entre estos intervalos que existen entre] 5 . 2 , 1 [ xes adecuada para ser emde X883.-Si Xes unav. a. c. confuncingeneratriz demomentot te e t+ 4143) ( , para ) , 8 t, determine el valor esperado y la varianza de XDatos del problema Desarrollot te e t+ 4143) ( Formageneral paraobtener los momentos normales de X:0,) (t x rrrt Mdtd21) (414341434143,1,10,10 11,1

,_

,_

+ x Ee ee edtdtt ttt t( )43) (211 ) () (414341434143,22,22,1,2,2,20,20 22,2

,_

+

,_

+

,_

+ x Vx Vx Ve ee edtdtt ttt t La esperanza es: 21) (,1 x E La varianzaza es: 43) (,2 x V 884.-Si lamedia, varianzayfuncingeneratrizdemomentosdeunav. a. Xestndadas, respectivamente, por) ( , ,12t , para ), , ( ty si Y es otra v. a. cuya funcin generatriz de momentos est dada por ) 1 (21) (ce t , < < t , donde c es una constante positiva, exprese la media y la varianza de Y en trminos de la media y la varianza de X.140Datos del problema Desarrollo2 , ,,) () (11 tt) 1 (21) (ce tFormageneral paraobtener los momentos normales de X:0,) (t x rrrt Mdtd( )c ttcedtdt M e ttct xc ) () () () (,1,1,1,10) 1 (11,10,1) 1 (2( )) ( ) () ( ) () () (2 2 2 .,12 2 2 .,12 ,20) 1 (22,20,2) 1 (2 c tc c tcedtdt Me ttct xcLa esperanza es:c t ) (,1La varianzaza es:) ( ) (2 2 2 .,1 c t887.- Si la v. a. c. X tiene f. d. p. dada por :'< < 0 00) (2xx e cxx fbxdonde b es un parmetro positivo:a) Encuentre el valor de la constante cb) Calcule P(0