teoria de campos cuanticos

8/19/2019 TEORIA DE CAMPOS CUANTICOS

1/321

Arcadi Santamaria

TEORIA QUÀNTICADE CAMPS

UNA INTRODUCCIÓ

UNIVERSITAT DE VALÈNCIA

2005


2/321


3/321

Índex


4/321


5/321

Índex

PREÀMBUL ................................................................................................... 11

CAPÍTOL 1. Equacions d’ona relativistes: èxits i fracassos .................................. 15

1.1 Dualitat ona-corpuscle ........ .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ... 171.2 L’equació de Klein-Gordon .......... ........ ......... ......... .......... ......... ......... ..... 19

1.2.1 L’equació de Klein-Gordon i l’àtom d’hidrogen .... .... ... .... .... ... .... .... .. 201.2.2 La densitat de probabilitat en l’equació de Klein-Gordon .. ... ... .. ... .. ... .. 211.2.3 El problema de les solucions amb energia negativa .... ... .... .... ... .... .... .. 22

1.3 L’equació de Dirac ......... ......... ......... ......... ......... ........ ......... ........ ......... . 231.3.1 L’equació de Dirac i la densitat de probabilitat .... .... .... .... .... .... .... .... .. 251.3.2 L’àtom d’hidrogen en l’equació de Dirac .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .. 261.3.3 La teoria dels forats i els estats d’energia negativa ..... ... .... .... ... .... .... .. 27

1.4 Necessitat d’una teoria de moltes partícules .... .... ... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .. 28

CAPÍTOL 2. Sistemes Continus i Mecànica Quàntica.......................................... 33

2.1 Introducció .......................................................................................... 352.2 Transició al continu d’un sistema discret ........ ......... ........ ......... ........ ......... . 36

2.3 Formulacions lagrangiana i hamiltoniana de medis continus .... .... .... .... ... .... ... . 412.3.1 Teorema de Noether ........ ......... ......... ......... .......... ......... ......... ..... 43

2.4 Quantització dels modes longitudinals d’una barra elàstica. .. ... .. ... ... ... .. ... .. ... .. 462.5 Quantització canònica. ........ .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ... 51

CAPÍTOL 3. El camp de Klein-Gordon ............................................................. 53

3.1 Quantització canònica del camp de Klein-Gordon real ....... .... .... .... .... ... .... ... . 553.2 El camp de Klein-Gordon complex ........ ......... ......... .......... ........ ......... ...... 633.3 Regles de commutació covariants i causalitat .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 66

7


6/321

Arcadi Santamaria

3.3.1 Expressions explícitament invariantsde les funcions D( x), ∆( x) i relacióamb les funcions de Green: propagador de Feynman ... .. ... ... ... .. ... .. ... .. 73

CAPÍTOL 4. El camp de Dirac......................................................................... 81

4.1 Introducció: commutadors o anticommutadors (spin i estadística)... ... ... .. ... ... .. . 834.2 Covariància Lorentz de l’equació de Dirac.. .... .... ... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .. 864.3 El lagrangià de Dirac ........ ......... ......... ......... ......... .......... ........ ......... ...... 894.4 Solucions de l’equació de Dirac ........ ......... ......... ......... ......... ......... ......... . 91

4.4.1 Spinors d’helicitat........... ......... ......... ......... .......... ........ ......... ...... 984.5 Quantització del camp de Dirac: regles d’anticommutació i causalitat ... .. .. .. .. .. . 101

4.5.1 Invariància sota transformacions de fase .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 1024.5.2 Invariància sota translacions... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... . 102

4.5.3 Invariància sota transformacions de Lorentz ...... .... .... .... .... .... ... .... ... . 1034.5.4 El propagador fermiònic ........... ......... ......... .......... ........ ......... ...... 1094.6 Simetries discretes ......... ......... ......... ......... ......... ........ ......... ........ ......... . 110

4.6.1 Paritat ..................................................................................... 1114.6.2 Conjugació de càrrega ........ ......... ......... ......... ......... ......... ......... ... 1144.6.3 Inversió temporal ......... ......... ......... ......... ........ ......... ........ ......... . 116

CAPÍTOL 5. Matriu S i seccions eficaces ........................................................... 121

5.1 Matriu S.............................................................................................. 1245.2 Teoria de pertorbacions. Desenvolupament de la matriu S ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. . 127

5.2.1 Un exemple en mecànica quàntica no relativista. ... .. ... .. ... ... ... .. ... .. ... .. 1305.3 Seccions eficaces i amplades de desintegració ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 1375.3.1 Secció eficaç i integral d’espai fàsic.... .... ... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .. 1405.3.2 Ritmes de desintegració ........ ......... ......... ......... ......... ......... ......... . 142

CAPÍTOL 6. Camps amb interaccions .............................................................. 147

6.1 Camps amb interaccions .......... ........ ......... ......... ......... ......... ......... ......... . 1496.2 Quantització i teoria de pertorbacions.... .... .... .... ... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .. 1526.3 Teorema de Wick i regles de Feynman.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... . 159

6.3.1 Regles de Feynman per a λ φ 4 ....................................................... 167

6.3.2 Generalització a teories amb vàries interaccions. ... .. ... .. ... ... ... .. ... .. ... .. 1686.3.3 Camps escalars complexos ................ ......... ........ ......... ......... ........ 1696.3.4 Regles de Feynman per a camps de Dirac ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 170

6.4 Regles de Feynman per al lagrangià de Yukawa .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... . 1776.4.1 Sumes sobre spins de fermions ........ ......... ......... ......... ......... ......... . 1786.4.2 Interacció el bosó de Higgs amb fermions: regles de Feynman ... ... .. ... .. 180

6.5 Aplicacions ......... ......... ......... ......... ......... ......... ........ ......... ........ ......... . 1816.5.1 Desintegració d’un escalar en fermions ...... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .. 1816.5.2 Secció eficaç fermió-fermió i potencial de Yukawa .. ... .. ... ... ... .. ... .. ... .. 182

6.6 Acoblaments amb derivades ........ ......... ......... ......... .......... ......... ......... ..... 185

8


7/321

CAPÍTOL 7. Camps “ gauge”: fotons i camps de Proca ........................................ 191

7.1 La interacció electromagnètica i invariància“gauge”: el lagrangià de QED .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... . 1937.2 Quantització canònica covariant de fotons lliures ...... .... .... .... .... .... .... ... .... ... . 198

7.2.1 Quantització del lagrangià de Fermi per a fotons lliures ... ... ... .. ... .. ... .. 2007.3 El propagador de fotons.............. ......... ......... ......... .......... ........ ......... ...... 2057.4 Regles de Feynman de QED ........ ......... ......... ......... .......... ........ ......... ...... 206

7.4.1 Sumes sobre polaritzacions de fotons .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 2087.5 Camps Vectorials Massius................ ......... ......... ......... ......... ......... ......... . 210

7.5.1 Interacció dels bosons de gauge electrofebles amb fermions: regles deFeynman .................................................................................. 212

CAPÍTOL 8. Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca. .... ... 217

8.1 e−e+ → f ¯ f en QED .............................................................................. 2198.1.1 e+e− → hadrons ........................................................................ 2238.1.2 Polaritzacions en e+e− → µ +µ − .................................................. 223

8.2 e−µ − → e−µ −: simetria de creuament ........ ......... ......... ......... ......... ......... . 2268.3 Col·lisió Compton i anihilació de parells .... .... .... ... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .. 228

8.3.1 Anihilació de parells e−e+ → γγ .................................................... 2348.4 e−e+ → f ¯ f al pic del Z .......................................................................... 236

8.4.1 Z → f ¯ f .................................................................................... 2368.5 e−e

+

→ W −W +

: necessitat del Z i el vèrtex triple ...... .... ... .... .... .... .... .... .... .. 241

CAPÍTOL 9. Més enllà del nivell arbre.............................................................. 245

9.1 Necessitat de renormalització de masses, funcions d’ona i constants d’acoblament.2479.1.1 N-ordenar o no N-ordenar? ........ ......... ......... .......... ........ ......... ...... 255

9.2 Renormalització a un llaç de λ φ 4 ............................................................. 2579.2.1 Comportament per a s ≫ 4m2 : grup de renormalització .... .... .... .... .... .. 261

9.3 Interacció de contacte en mecànica quàntica no relativista: dispersió per unadelta de Dirac tridimensional. .................................................................. 262

9.4 Un altre exemple: la teoria de Yukawa.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... ... . 268

9.4.1 El lagrangià... ......... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ... 2689.4.2 El propagador de l’escalar: La part imaginària i l’amplada de desinte-gració ...................................................................................... 269

9.4.3 El propagador del fermió........... ......... ......... .......... ........ ......... ...... 2769.4.4 El vèrtex........ ........ .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ... 2779.4.5 Col·lisió fermió-antifermió a un loop .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 280

9.5 Renormalització de QED ......... ........ ......... ......... ......... ......... ......... ......... . 2819.5.1 L’autoenergia de l’electró: estructura i renormalització .. ... ... ... .. ... .. ... .. 2829.5.2 El vèrtex: estructura i renormalització.. .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... . 2839.5.3 Identitats de Ward.. ......... ......... ......... ......... .......... ......... ......... ..... 284

9


8/321

Arcadi Santamaria

9.5.4 La polarització del buit ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... . 2859.5.5 Factors de forma de l’electró: El moment magnètic anòmal de l’electró

i el radi de càrrega ... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ... 2939.6 Teories renormalitzables i no renormalitzables: lagrangians efectius ... .. .. .. .. .. .. . 293

CAPÍTOL 10. Mètodes Funcionals ..................................................................... 295

10.1 La integral de camí en mecànica quàntica. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 29710.2 Quantització funcional de camps escalars .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... . 29710.3 El teorema de Wick com a derivades funcionals. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 29710.4 Quantització de fermions .......... ......... ......... ......... ........ ......... ........ ......... . 29710.5 Quantització funcional de QED i rederivació de les regles de Feynman .... .. .. .. .. . 29710.6 Simetries en el formalisme funcional .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 297

APÈNDIX A. Notació ...................................................................................... 299

A.1 Sistema natural d’unitats........... ......... ......... ......... ........ ......... ........ ......... . 301A.2 Propietats d’algunes funcions especials ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... . 301

A.2.1 El logaritme ......... ......... ......... ......... ......... .......... ......... ......... ..... 301A.2.2 La funció escaló o de Heaviside.. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... . 302A.2.3 La funció (distribució) delta de Dirac .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 303

A.3 Notació relativista ........ ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... . 304A.4 Matrius i spinors de Dirac ......... ......... ......... ......... ........ ......... ........ ......... . 306

A.4.1 Les matrius de Pauli.... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... . 306

A.4.2 Les matrius de Dirac ................ ......... ......... .......... ........ ......... ...... 306A.4.3 Spinors de Dirac i les seues propietats ..... ... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .. 308A.5 Vectors de polarització de fotons i camps de Proca ... .. ... ... .. ... .. ... ... ... .. ... .. ... .. 309

A.5.1 Fotons .......... ......... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ... 309A.5.2 Camps de Proca ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... . 310

A.6 Espai fàsic, seccions eficaces i amplades de desintegració .. ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. . 310A.6.1 Convencions per a l’element de matriu i l’espai fàsic. ... ... .. ... ... .. ... ... .. . 310A.6.2 Espai fàsic ......... ......... ......... ......... ......... ........ ......... ........ ......... . 310A.6.3 Fórmula de la secció eficaç ........ ......... ......... .......... ........ ......... ...... 311A.6.4 Ritmes de desintegració ........ ......... ......... ......... ......... ......... ......... . 311

A.7 Integrals de Feynman .......... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ... 312A.7.1 Parametrització de Feynman .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 312A.7.2 Integrals sobre moments: rotació de Wick... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .. 314

BIBLIOGRAFIA ............................................................................................. 319

ÍNDEX ANALÍTIC .......................................................................................... 320

10


9/321

Preàmbul


10/321


11/321

Preàmbul

El curs és una introducció elemental a la Teoria Quàntica dels Camps (TQC) , emfasitzant lesseues aplicacions a la teoria de les partícules elementals. El curs pretén ser autocontingut:aspectes importants de la teoria com són el formalisme Lagrangià i Hamiltonià en medis con-tinus, o la construcció de la matriu S i càlcul de seccions eficaces, que s’han vist en altresassignatures com ara la Teoria Clàssica dels Camps, la Teoria de Col·lisions I i les PartículesElementals I, es tractaran d’una forma breu, però es tractaran. Així els únics coneixementsnecessaris seran aquells que s’han explicat en les assignatures troncals de la Llicenciatura deFísica com són la mecànica clàssica, l’electromagnetisme clàssic i la mecànica quàntica. Espretén que l’estudiant puga arribar al final del curs a calcular processos elementals a l’ordremés baix en qualsevol teoria i tinga els elements necessaris per atacar processos al següent or-dre en teoria de pertorbacions. També es pretén, però, que l’estudiant tinga clar els conceptesque s’estan utilitzant i per què són necessaris els diferents elements introduïts. Així, encara queno es tractaran aplicacions de la TQC a problemes no relativistes, s’emfasitzarà la separacióentre la TQC i la seua aplicació a la construcció de teories quàntiques relativistes.

13


12/321

Arcadi Santamaria

14


13/321

Capítol I

Equacions d’ona relativistes: èxits i fracassos


14/321


15/321

1. Equacions d’ona relativistes:èxits i fracassos

1.1 Dualitat ona-corpuscle

Abans de començar a construir una teoria quàntica relativista és convenient recordar quinesvan ser les idees mestres que van portar al desenvolupament de la mecànica quàntica, i com elsprincipis de la relativitat van ser determinants des dels primers moments.

Al començament del segle XX algunes propietats de la llum, com són els fenòmens dedifracció o interferència, es podien explicar amb una interpretació ondulatòria i descriure’s

mitjançant camps clàssics, mentre d’altres, com ara l’efecte fotoelèctric o el bremsstrahlung,eren molt més difícils d’entendre. Poc a poc es va anar obrint camí la idea que aquests fenòmenses podien explicar si la llum se suposava formada per un conjunt de partícules, els fotons, ambenergia i moment relacionats amb la freqüència i la longitud d’ona de la llum, respectivament.Semblava, per tant, que els fotons es comportaven en alguns casos com a ones i en altres coma partícules. D’altra banda, de feia temps s’havia observat una analogia entre l’equació deFermat, que descriu la trajectòria de la llum, i l’equació de Hamilton-Jacobi, que descriu latrajectòria de les partícules. Així, era prou natural suposar que no sols els fotons, sinó potsertotes les partícules, gaudeixen d’aquest comportament dual ona-corpuscle. Així ho semblavademostrar l’èxit de la teoria de Bohr per a explicar l’espectre de l’àtom d’hidrogen.

Però, com associar moment i energia als fotons que formen la llum? Si per simplificar notenim en compte la polarització, un raig de llum es pot descriure mitjançant una ona plana

ψ ≈ ei( k · x−ω t ), k = 2π

λ , ω = 2πν

on λ i ν són la longitud d’ona i la freqüència de la llum. ψ satisfà l’equació d’ones

∂ 2

∂ t 2ψ = c2 ∇2ψ , (1.1)

si la freqüència i la longitud d’ona estan relacionades amb la velocitat de la llum, c, per ν = c/λ .ψ ha de ser invariant relativista perquè els fotons es propaguen a la velocitat de la llum i no

17


16/321

Arcadi Santamaria

estem tenint en compte la polarització, llavors k i ω s’han de transformar sota el grup de Lorentzde la mateixa forma que ho fan x i t , respectivament. Si es volen associar quantitats mecàniquesal fotó com són l’energia, E , i el moment, p, necessàriament haurem d’escriure

k = ph̄

, ω = E h̄

,

amb h̄ una constant que ha de ser la mateixa per a l’energia i el moment per tal de mantenir lainvariància relativista. Així, els fotons es podrien descriure també amb

ψ ≈ e ih̄ ( p x−Et ) . (1.2)En termes de la longitud d’ona, λ , i la freqüència ν , tindrem que | p| = h/λ i que E = hν , onh ≡ 2π ̄h és l’anomenada constant de Planck.

Òbviament, ψ també obeeix l’equació d’ones (1.1) si se satisfà que E = c | p|, que no ésmés que la relació relativista entre energia i moment per a partícules sense massa. Si totes lespartícules també tenen un comportament ondulatori, és natural assignar aquesta forma de lafunció d’ona no només al fotó sinó a qualsevol partícula amb energia E i moment p. Ara bé, sila partícula té massa la relació entre l’energia i el moment ja no és E = c | p| sinó que depèn dela massa. En el límit no relativista per a una partícula lliure tenim

E ≈ mc2 + | p|2

2m , (1.3)

o si està sotmesa a un potencial V ( x)

E ≈ | p|22m

+V ( x) ,

on, com que el potencial està definit a banda d’una constant arbitrària, hem reabsorbit el termemc2 en el potencial. D’altra banda (1.2) satisfà que

ih̄ ∂

∂ t ψ = E ψ , −ih̄ ∇ψ = pψ , (1.4)

així, en el límit no relativista la funció d’ona (1.2) d’una partícula lliure satisfarà

i¯h

∂

∂ t ψ

= −h̄2

2m ∇2ψ

,

on, un altra vegada, podem eliminar el terme de massa mc2 si ara identifiquem E amb l’energiacinètica de la partícula. La generalització al cas d’una partícula sotmesa a un potencial ésl’equació d’Schrödinger

ih̄ ∂

∂ t ψ =

− h̄

2

2m ∇2 +V ( x)

ψ ,

que és l’equació que descriu l’evolució de l’estat d’una partícula sotmesa a un potencial. Aque-sta equació, però, no és aplicable als fotons, perquè els fotons són relativistes. L’equació equiv-alent per a fotons seria l’equació d’ones (1.1). Ara bé, com veurem a les seccions següents, la

18


17/321


interpretació d’aquesta equació com una equació d’ones que descriu una única partícula téproblemes molt importants, problemes que d’altra banda, seran generals de totes les equacionsd’ona relativistes. Així ens trobem en la situació paradoxal que els principis de la relativitatespecial, i en particular el comportament dels fotons que, com hem vist, van ser fonamentalsa l’hora d’arribar a la formulació de la mecànica quàntica, no es poden incorporar en el for-malisme tradicional de la mecànica ondulatòria. A les seccions següents veurem quins són elsproblemes de les equacions d’ona relativistes i com la seua solució porta naturalment a unateoria de moltes partícules: la teoria quàntica dels camps.

1.2 L’equació de Klein-Gordon

Quina seria l’equació d’ones d’un electró que es mou a velocitats relativistes? Fent una analogia

amb el cas no relativista, utilitzant la relació relativista entre energia i moment

E =

c2 p2 + m2c4 .

i l’equació (1.4) immediatament podem escriure la següent equació d’ones

ih̄ ∂

∂ t ψ =

−h̄2c2 ∇2 + m2c4 ψ . (1.5)

Aquesta equació es redueix a l’equació d’Schrödinger en el límit de massa molt gran (exceptepel terme de massa). Ara bé, la dependència en l’arrel quadrada li dóna un comportament pecu-

liar i fa que no siga una equació útil en la majoria de les aplicacions. A més, el fet que continganomés una derivada en el temps, mentre en conté dues respecte a posicions, fa que trenque lacovariància Lorentz explícita de la teoria. Alternativament, podem utilitzar el quadrat1 de larelació entre energia i moments, i escriure la següent equació

−h̄2 ∂ 2

∂ t 2ψ =

−h̄2c2 ∇2 + m2c4

ψ . (1.6)

En el cas de massa nul·la aquesta equació es redueix a l’equació d’ones original, (1.1), quedescriu el comportament d’ones que es propaguen a la velocitat de la llum. L’equació (1.6) esconeix com l’equació de Klein-Gordon i en principi hauria de descriure l’evolució de l’estat

d’una partícula relativista de massa m. Si ara utilitzem el sistema natural d’unitats, h̄ = c = 1i escrivim xµ = ( x0, xi), i = 1,2,3, (vegeu l’apèndix A per més detalls sobre la notació queutilitzem) l’equació de Klein-Gordon es pot escriure de forma totalment covariant

∂ 2 + m2

ψ = 0. (1.7)

On ∂ 2 ≡ ∂ µ ∂ µ ≡ ∂ 2t − ∇2amb ∂ t = ∂ ∂ t .1Com sabem, això en general introdueix solucions espúries, ja que el quadrat admet els dos signes de l’energia.

Com veurem més endavant, en aquest cas, les solucions amb energia negativa no són espúries i tenen un profundsignificat físic.

19


18/321

Arcadi Santamaria

Aquesta equació descriu partícules que es mouen lliurement, és a dir, partícules que nopateixen cap tipus d’interacció. Per tenir en compte les interaccions electromagnètiques entreles partícules recorrerem una altra vegada a l’equació clàssica que relaciona l’energia i el mo-ment de les partícules en presència d’un camp electromagnètic (en el sistema natural d’unitatsi suposant que les partícules són electrons)2

(E + eφ )2 = ( p + e A)2 + m2 .

E és l’energia de l’electró, φ el potencial electrostàtic i A el potencial vector. Fent les mateixessubstitucions que hem utilitzat en el cas lliure E → i∂ t , p → −i ∇ s’obté

(i∂ t + eφ )2ψ =

(−i ∇+ e A)2 + m2

ψ , (1.8)

o en notació covariant (i∂ + eA)2 −m2ψ = 0 , (1.9)

on els índexs Lorentz s’han suprimit. El quadrat en aquest cas indica (i∂ + eA)2 = (i∂ t +eA0)2 − (−i ∇+ e A)2, ja que, com sempre, Aµ = ( A0 ≡ φ , A), mentre ∂ µ = (∂ t ,− ∇). El tipusd’interacció en (1.9), que es pot obtenir de l’equació lliure, (1.7), fent la substitució3 ∂ µ →∂ µ − ieAµ , es coneix com acoblament mínim.

1.2.1 L’equació de Klein-Gordon i l’àtom d’hidrogen

Ara aplicarem l’equació de Klein-Gordon amb interacció electromagnètica per intentar explicar

els àtoms del tipus hidrogenoide. Per això en (1.8) suposarem estats estacionarisψ = ψ ( x)e−iEt ,

i prendrem el camp electrostàtic creat per una càrrega puntual eZ ,

φ = eZ 4π r

.

Així obtenim

(E + Z α

r )2ψ ( x) = (− ∇2 + m2)ψ ( x) .

On α ≡

e2/(4π ) és la constant d’estructura fina (en el sistema natural d’unitats). Aquestaequació es pot resoldre utilitzant separació de variables en coordenades esfèriques. Si escrivimels estats propis com ψ ( x) = Y ℓm(θ , ϕ ) Rnℓ(r ) arribem a la següent equació per a la part radial

∂ 2

∂ r 2 +

2r

∂

∂ r − ℓ(ℓ + 1) − Z

2α 2

r 2 +

2 Z α E nℓr

+ (E 2nℓ −m2)

Rnℓ(r ) = 0,

2En aquest curs prendrem e > 0, i per tant la càrrega de l’electró serà −e.3Notem que hi ha una varietat de notacions en la literatura al respecte. El signe pot canviar per la convenció

que es pren en l’acoblament mínim i per la convenció que es pren per a e. Nosaltres prendrem e > 0 i la substituciómínima com ∂ µ → ∂ µ + ieQAµ , on Q és la càrrega de la partícula en qüestió. En el cas de l’electró Q = −1 i,llavors, l’acoblament mínim tindrà un signe negatiu.

20


19/321


que és formalment anàloga a l’equació d’Schrödinger per a un àtom hidrogenoide fent lessubstitucions

ℓ(ℓ + 1) → ℓ(ℓ + 1) − Z 2α 2 ≡ λ (λ + 1), α → α E nℓm

, E nℓ → E 2nℓ −m

2

2m .

A causa de la presencia del terme Z 2α 2 en la primera equació es produeix un canvi en el valordel moment angular efectiu λ = ℓ − δ ℓ, on

δ ℓ = ℓ + 12

−

(ℓ + 12

)2 − Z 2α 2 ≈ Z 2α 2

2ℓ + 1 .

La condició de quantització de l’equació d’Schrödinger exigeix que n− (ℓ +1) siga un nombreenter no negatiu. Per tant, si ℓ canvia en δ ℓ, n haurà de canviar exactament en la mateixaquantitat. Així trobem que

E 2nℓ −m22m

= − mZ 2

2(n− δ ℓ)2

α E nℓm

2,

o equivalentment

E nℓ = m

1 + Z 2α 2/(n −δ ℓ)2 = m

1− Z

2α 2

2n2 − Z

4α 4

2n4

2n2ℓ + 1

− 34

+ · · ·

. (1.10)

Aquesta equació dóna correctament el terme no relativista, però la primera correcció no re-produeix correctament l’estructura fina ni tampoc la multiplicitat d’estats. A més, per a Z >1/(2α )

≈68, tan δ ℓ com l’energia es fan complexos. Llavors el resultat obtingut no té sentit. En

realitat, com veurem, el problema de l’estructura fina de l’àtom d’hidrogen no ve de la incon-sistència de l’equació de Klein-Gordon com a equació d’ones relativista, sinó del fet que descriupartícules d’spin 0 i no partícules d’spin 1/2 com l’electró. Així, en principi, l’estructura fina espot obtenir afegint termes addicionals a l’equació de Klein-Gordon que tinguen en compte elspin de l’electró i el seu moment magnètic. De totes formes, no resulta gens satisfactori l’haverd’anar introduint les interaccions a mà a mesura que són necessàries per descriure els fenòmensobservats.

1.2.2 La densitat de probabilitat en l’equació de Klein-Gordon

A banda de l’estructura fina de l’àtom d’hidrogen hi ha un altre tipus de problemes més fon-amentals en la interpretació de l’equació de Klein-Gordon com una equació d’ones d’unapartícula.

En efecte, en l’equació d’Schrödinger hi ha una densitat definida positiva i un corrent con-servat

ρ = |ψ |2 , j = − i2m

ψ ∗ ∇ψ −ψ ∇ψ ∗

,

que satisfan una equació de continuïtat:

∂

∂ t ρ + ∇ j = 0 ,

21


20/321

Arcadi Santamaria

de forma que si integrem en un volum,V , i utilitzem el teorema de Gauss en el terme del corrent,obtenim

−∂

∂ t

V d 3

xρ =

S d S · j ,

que es pot interpretar com a l’equació de conservació de la probabilitat, ja que la densitat, ρ , ésdefinida positiva.

Que passa amb l’equació de Klein-Gordon? L’únic corrent conservat és

jµ = i2m

ψ ∗∂ µ ψ − ψ∂ µ ψ ∗

= (ρ,− j) ,

amb

ρ = i2mψ

∗ ∂ ∂ t

ψ −ψ ∂ ∂ t

ψ ∗ , j = − i

2m

ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗

.

La densitat, ρ , en aquest cas no és definida positiva i, per tant, no es pot interpretar com unadensitat de probabilitat. De fet, en el cas de les solucions reals de l’equació de Klein-Gordon,tant la densitat com el corrent són idènticament nuls. Així sembla que la interpretació del’equació de Klein-Gordon com una equació d’ones, amb la interpretació habitual de la funciód’ona, sembla inviable. Com veurem més endavant, aquesta densitat, ρ , és podrà reinterpretaren el formalisme de camps com una densitat de càrrega que no necessita ser definida positiva.Camps reals representaran partícules neutres i camps complexos partícules carregades.

1.2.3 El problema de les solucions amb energia negativa

Finalment la interpretació de l’equació de Klein-Gordon com una equació d’ones d’una únicapartícula té un problema fonamental que apareix en totes les equacions d’ona relativistes:l’equació relativista que relaciona l’energia amb el moment és

E 2 = p2 + m2 .

Aquesta equació té dues solucions

E =± p

2 + m2 .

En una teoria clàssica això no representa cap problema perquè els canvis d’energia són continusi no es pot superar contínuament l’interval d’energies des de m a −m. En una teoria quànticaaixò ja no és cert. Una partícula pot canviar d’energia de forma discreta. Per exemple, unapartícula en un estat amb E = m podria passar a un estat d’energia E = −m emetent un fotód’energia 2m. Partícules regides per l’equació de Klein-Gordon no serien estables, anirienperdent energia assolint energies cada vegada més negatives. Això no té sentit, la mecànicaquàntica requereix l’existència d’un estat fonamental amb una energia mínima.

Tots aquests problemes van obligar a abandonar la interpretació de l’equació de Klein-Gordon com una equació d’ones en el sentit habitual de la mecànica quàntica.

22


21/321


-m

m

E

Figure 1.1: Estats estacionaris d’una equació d’ones relativista. En principi podrien havertransicions des dels estats d’energia positiva als estats d’energia negativa.

1.3 L’equació de Dirac

Dirac va arribar a la conclusió que tots els problemes de l’equació de Klein-Gordon veniendel fet que és una equació de segon ordre en el temps. En efecte, això fa que la densitat, ρ ,continga derivades respecte el temps i que, llavors, no siga definida positiva. Així va pensar quela solució dels problemes de l’equació de Klein-Gordon podria estar en trobar una equació quefóra només de primer ordre en el temps. La covariància relativista requereix, però, que totesles coordenades, espacials i temporals, es tracten de forma similar, llavors, l’equació correctatambé ha de ser de primer ordre en les coordenades espacials. Finalment l’equació buscada hade satisfer la relació relativista entre energia i moment E 2 = p2 +m2. Amb aquestes condicionsl’equació només pot ser de la forma

i∂ ψ ∂ t

= H ψ =−i α ∇+ β m

ψ . (1.11)

Com veurem immediatament, α i β no poden ser senzillament nombres reals, han de ser matriusque no commuten entre elles (i per tant ψ serà un vector de les mateixes dimensions que lesmatrius α i β ). A més, el fet que el Hamiltonià H haja de ser hermític, implica que tant α comβ han de ser matrius hermítiques, és a dir

α † = α , β † = β ,

L’equació de Dirac (1.11) es pot escriure d’una forma explícitament covariant: si multipliquem(1.11) per β −1 i si definim

γ 0 = β −1, γ i = β −1α i ,podem escriure l’equació de Dirac com

iγ µ ∂ µ −m

ψ ≡ (i∂ / −m) ψ = 0 , (1.12)on hem introduït la notació a/ ≡ γ µ aµ . Ara només queda demanar que les solucions d’aquestaequació satisfacen l’equació relativista per a l’energia E 2 = p2 +m2, o el que és el mateix, ψ hade satisfer també l’equació de Klein-Gordon. Així si multipliquem (1.12) per (i∂ / + m) obtenim

−(γ µ γ ν ∂ µ ∂ ν + m2)ψ = −(12(γ µ γ ν + γ µ γ ν )∂ µ ∂ ν + m

2)ψ = 0.

23


22/321

Arcadi Santamaria

Per arribar a aquesta equació hem descomposat el producte de matrius gamma en les compo-nents simètrica i antisimètrica, γ µ γ ν = 12 (γ

µ γ ν +γ ν γ µ )+ 12(γ µ γ ν −γ ν γ µ ), i hem utilitzat que la

component antisimètrica contreta amb el producte de derivades parcials ∂ µ ∂ ν , que és simètric,s’anul·la idènticament. Si aquesta equació ha de ser equivalent a l’equació de Klein-Gordon,(∂ 2 + m2)ψ = 0, és necessari que

(γ µ γ ν + γ ν γ µ ) ≡ {γ µ , γ ν } = 2gµν , (1.13)on hem definit l’anticommutador de dues matrius A, B com { A, B} ≡ AB + BA. Per a µ = ν tenim que γ µ γ ν = −γ ν γ µ , propietat que no es pot satisfer mai amb nombres reals que com-muten, llavors les γ µ han de ser matrius. Per a µ = ν tindrem que

(γ 0)2 = I , (γ i)2 = − I .

A més l’hermiticitat de α i β , implica que

γ 0† = γ 0, γ i† = γ 0γ iγ 0 = −γ i ,o en quatre components

γ µ † = γ 0γ µ γ 0 . (1.14)

És possible trobar matrius de dimensió 4 × 4 que satisfan totes aquestes propietats. De fet,aquesta és la dimensió de les matrius més baixa4 en què es pot construir una representació deles matrius γ µ . Si les matrius γ µ són de dimensió 4 × 4, les funcions d’ona ψ tindran tambéquatre components. Com veurem més endavant, el spinor de Dirac ψ conté dos spinors de dues

components. No s’han de confondre les quatre components de ψ amb les quatre coordenadesd’espai-temps. De fet, quan siga necessari utilitzar explícitament els índexs de Dirac utilitzaremlletres llatines, així escriurem (γ µ )ab i ψ a amb a, b = 1,2, 3, 4. El conjunt de matrius 4 × 4complexes formen un espai vectorial complex de dimensió 4 ×4 = 16. Així, per a completar labase de l’espai vectorial, a banda de la identitat5, I , i les quatre matrius γ µ , podem escriure 11matrius més linealment independents. En particular tenim

γ 5 = iγ 0γ 1γ 2γ 3 = γ †5 ,

que satisfà les següents relacions

γ 25 = I , {γ 5, γ

µ

} = 0.L’índex 5 només és una etiqueta i no representa cap índex espacial.

4Naturalment es podria pensar en les matrius de Pauli per buscar una representació de dimensió 2 × 2, peròen aquest cas, a més de les matrius de Pauli que podrien jugar el paper de les γ i, només tenim una altra matriulinealment independent que és la identitat, i que llavors commuta amb les tres matrius de Pauli i no pot jugar elpaper de la γ 0.

5Notem que moltes vegades no escriurem explícitament la matriu identitat de l’espai de les matrius de Dirac,i s’entendrà implícitament que està present quan siga necessari pel context de l’equació. De fet, ja hem utilitzataquesta notació en l’equació (1.13), on en el terme de la dreta s’entén que la gµν multiplica una identitat de Dirac,

ja que el terme de l’esquerra és una matriu de Dirac.

24


23/321


També és convenient introduir les matrius

σ µν = i

2[γ µ , γ ν ] .

Notem que hi ha 6 matrius d’aquest tipus ja que el commutador fa que siguen antisimètriquesen els índexs µ ↔ ν . Així podem construir les 16 matrius (1 + 1 + 4 + 4 + 6)

I , γ 5, γ µ , γ 5γ µ , σ

µν ,

que són linealment independents (com és fàcil de comprovar calculant la traça de les matriusper parelles) i que, per tant, formen una base de l’espai vectorial de les matrius 4 ×4.

La forma explicita de les matrius no és molt important. De fet, si unes matrius γ µ don-ades formen una representació de les matrius de Dirac, en el sentit que satisfan les relacions

d’anticommutació, (1.13), i d’hermiticitat, (1.14), llavors, és evident, que les matrius U γ µ U †,amb U una matriu 4 ×4 unitària arbitrària, també formaran una representació de les matrius deDirac. Dues realitzacions concretes són les següents:1) Representació de Dirac

γ 0 =

I 00 − I

, γ i =

0 σ i

−σ i 0

, γ 5 =

0 I I 0

, (1.15)

on els sub-blocs són matrius 2 ×2: I és la identitat 2×2 i σ són les matrius de Pauli6.2) Representació de Weyl7

γ 0 =

0 I I 0

, γ i =

0 σ i−σ i 0

, γ 5 =

− I 00 I

. (1.16)

És útil definirσ µ ≡ ( I , σ ) , σ̂ µ ≡ ( I ,− σ ) (1.17)

de forma que les matrius de Dirac en la representació de Weyl s’escriuen senzillament com

γ µ Weyl =

0 σ µ

σ̂ µ 0

.

1.3.1 L’equació de Dirac i la densitat de probabilitat

Vegem ara si l’equació de Dirac ens permet definir una densitat de probabilitatdefinida positiva.Per això buscarem un corrent conservat.

L’equació hermítica conjugada de l’equació de Dirac (1.12) és:

ψ †(iγ µ †←−∂ µ + m) = 0.

6A l’apèndix A.4 podeu trobar algunes propietats addicionals i la definició i propietats de les matrius de Pauli.7Notem que és freqüent trobar també la representació de Weyl amb les matrius γ 0 i γ 5 canviades de signe.

25


24/321

Arcadi Santamaria

Definint ψ ≡ ψ †γ 0, inserint el nombre de γ 0 necessari i utilitzant (1.14), es pot escriure com

ψ i←−∂ / + m = 0,Combinant les dues equacions, l’equació de Dirac i l’equació de Dirac hermítica conjugada,trobem que:

ψ

i←−∂ / + i

−→∂ /

ψ = i∂ µ (ψγ µ ψ ) = 0 ,

i, per tant, un corrent conservat és:

jµ = ψγ µ ψ =

j0 = ρ = ψ †ψ > 0 ji = ψγ iψ = ψ †α iψ

. (1.18)

La component j0 és definida positiva i, llavors, es pot interpretar com una densitat de probabili-

tat. Aquesta va ser la motivació fonamental de Dirac per estudiar aquesta equació. Així, semblaque el problema de la densitat de probabilitat de l’equació de Klein-Gordon queda resolt perl’equació de Dirac.

1.3.2 L’àtom d’hidrogen en l’equació de Dirac

Vegem que passa amb l’espectre dels àtoms del tipus hidrogenoide.Si introduïm el camp electromagnètic, com vam fer en el cas de l’equació de Klein-Gordon,

és a dir, imposant l’acoblament mínim

∂ µ →

∂ µ −

ieAµ ,

obtenim l’equació(i∂ / + eA/ −m) ψ = 0 .

Multiplicant aquesta equació per (i∂ / + eA/ + m) i reordenant un poc el resultat arribem a(i∂ + eA)2 −m2 + e

2σ µν F µν

ψ = 0,

que no és més que l’equació de Klein-Gordon amb interacció electromagnètica més un termeaddicional que depèn de l’spin de la partícula i del tensor camp electromagnètic, F µν = ∂ µ Aν −∂ ν Aµ . Aquest terme representa la contribució d’un moment magnètic intrínsec de l’electró amb

un factor giromagnètic g = 2, com es veu clarament desenvolupant el darrer termee2

σ µν F µν = 2e2

i α · E + σ · B

.

Aquest tipus d’interacció era just el que s’havia d’afegir a l’equació de Klein-Gordon per poderexplicar l’espectre de l’àtom d’hidrogen. En efecte, la solució de l’equació de Dirac en presèn-cia d’un camp central donat per un potencial A0 = Ze/4π r porta als següents valors de l’energiadels estats estacionaris:

E n j = m

1 + Z 2α 2/(n −δ j)2 = m

1− Z

2α 2

2n2 − Z

4α 4

2n4

2n2 j + 1

− 34

+ · · ·

(1.19)

26


25/321


amb

δ j = j + 12

− ( j +

12

)2

− Z 2α 2

≈

Z 2α 2

2 j +

1 ,

on

n = 1, 2, · · · j = 12

, 32

, · · · , n− 12

,

que són les mateixes energies que s’obtenen amb l’equació de Klein-Gordon però on el momentangular orbital ℓ s’ha substituït pel moment angular total j. Aquesta equació dóna els nivells iles multiplicitats correctes.

Així i tot per a Z > 137, la funció δ 12

es fa complexa i l’equació perd tot el sentit. A con-tinuació veurem que, a diferència del que passa en la mecànica quàntica no relativista, en unateoria relativista les partícules es poden crear i anihilar. Això vol dir que en algunes circum-

stàncies pot resultar energèticament més econòmic crear partícules addicionals que formar unestat lligat estable. Aquest fenomen no es pot tenir en compte en el marc d’una equació d’onescom la que estem considerant. En aquest sentit el desenvolupament de parts imaginàries enl’energia per a Z ’s grans ens suggereix que quan les energies de lligadura són comparables ala massa de les partícules involucrades, la creació i anihilació de noves partícules és possible, iles equacions d’ona amb la interpretació habitual perden tot el sentit.

1.3.3 La teoria dels forats i els estats d’energia negativa

Que passa amb el problema de les energies negatives? Veient l’estructura de l’equació de Dirac,al cap i a la fi l’equació de Dirac no és més que l’arrel quadrada de l’equació de Klein-Gordon,es podria pensar que aquest problema també estarà solucionat, ja que sembla que d’algunaforma s’ha triat una de les dues arrels. És fàcil veure que no és així i que l’equació de Diracté solucions tant d’energia positiva com d’energia negativa, exactament igual com li passava al’equació de Klein-Gordon. En efecte, si escrivim l’equació de Dirac, en la representació deDirac, per a una ona plana i separem la funció ψ en spinors de dues components χ i ϕ

ψ =

χ ϕ

,

immediatament trobem

(E −m) χ − σ p ϕ = 0 ,(E + m) ϕ − σ p χ = 0 ,

que per a partícules en repòs, p = 0, conté les dues solucions E = m per a χ i E = −m per a ϕ .Així veiem que encara que l’equació de Dirac semble l’arrel quadrada de l’equació de Klein-Gordon, descriu tant solucions amb energia positiva com negativa. Les quatre components delsspinors de Dirac descriuen al mateix temps una partícula d’spin 1/2 amb energia positiva i unapartícula d’spin 1/2 amb energia negativa. El problema de la definició de l’estat fonamental,per tant, roman intacte.

27


26/321

Arcadi Santamaria

Dirac, però, va saber trobar una solució imaginativa a aquest problema. Els electrons sónfermions i obeeixen el principi d’exclusió de Pauli que estableix que dos electrons no podenestar exactament en el mateix estat. Les funcions d’ona han de ser anti-simètriques. Si imag-inem el buit, és a dir, l’estat de mínima energia, com un estat completament ple amb els estatsd’energia negativa, els electrons amb energia positiva serien estables perquè no podrien caurea estats que ja estan plens. D’altra banda, la manca d’un electró del buit, és a dir un forat en elmar d’electrons d’energia negativa, es manifestarà com una partícula d’energia positiva però decàrrega positiva (es mou en sentit contrari a com ho faria un electró d’energia positiva). Així,la teoria de Dirac prediu l’existència d’antipartícules: els forats, que serien partícules ambla mateixa massa i propietats que les partícules, però amb carrega contrària. L’anti-electró,l’anomenat positró, es va descobrir posteriorment, amb exactament aquestes característiques,després d’un període un poc confús en que es va voler identificar l’antipartícula de l’electróamb el protó.

Com hem vist l’equació de Dirac soluciona el problema de la interpretació de la funciód’ona com una amplitud de probabilitat, porta naturalment incorporat l’spin de l’electró, semblaque prediu naturalment el moment magnètic de l’electró i, en part com a conseqüència d’això,prediu correctament l’espectre de l’àtom d’hidrogen i, finalment, amb la teoria dels forats, nosols sembla solucionar el problema dels estats d’energia negativa sinó que prediu l’existènciad’antipartícules. Tots aquests èxits li van donar a la teoria de Dirac un prestigi sense precedents.

Així i tot, com veurem immediatament, l’equació de Dirac, entesa com una equació d’onesen el sentit habitual de la mecànica quàntica, no pot ser la solució final per a construir una teoriaquàntica relativista consistent.

1.4 Necessitat d’una teoria de moltes partícules

La teoria dels forats de Dirac soluciona el problema dels estats d’energia negativa per alsfermions, partícules d’spin 1/2, però, que passa amb els bosons? En el cas dels bosons noes pot recórrer al principi d’exclusió per omplir els estats d’energia negativa. Una solució rad-ical consisteix en pensar que els bosons no poden existir, o almenys no són tan “elementals”com els fermions. El concepte d’elementalitat, però, no està ben definit. Totes les partículessemblen elementals mentre no es té prou resolució per poder mirar dins d’elles (que pel principi

d’incertesa implica intercanvi de moments grans i per tant energies grans). D’altra banda hi ha ja una bona fauna de partícules que són bosons, com per exemple els pions, els bosons W , i Z o el fotó mateix. Seria extremadament negatiu renunciar a entendre totes aquestes partículesi les seues interaccions fins saber de que estan compostes. És, per tant, necessari trobar unadescripció relativista dels bosons, en general i, en particular, dels fotons que ens envolten i sónla font d’informació més important que tenim.

Un dels èxits de l’equació de Dirac va ser l’explicació del moment magnètic de l’electróamb un factor giromagnètic g = 2. Com hem vist aquest acoblament apareix en l’equació deDirac quan imposem l’acoblament mínim. Res no prohibeix, però, que afegim termes addi-cionals a l’equació de Dirac. Podríem escriure per exemple

28


27/321


i∂ / + eA/ −m +∆g

2

e

4mσ µν F µν ψ = 0 .

El terme addicional que hem afegit respecta totes les simetries i propietats que cal imposar auna equació d’aquest tipus i, en canvi, porta a una predicció del factor giromagnètic que ésg = 2 +∆g. És a dir, el factor giromagnètic pot ser qualsevol cosa si afegim aquest terme. Enparticular, el factor giromagnètic del protó és prou diferent de 2 i la introducció d’aquest termeés imprescindible si volem descriure correctament el protó. Més dramàtic encara els el cas delneutró sí que té moment magnètic, i que, per ser neutre, en la teoria de Dirac mínima no entindria. Com veurem, aquests aspectes, que en la teoria de Dirac no estan clars, es clarificaranquan s’estudien en el marc de la teoria quàntica de camps.

Finalment està el problema dels estats lligats dels àtoms hidrogenoides quan Z > 137 que

tenen energies complexes tant en la teoria de Dirac com en la de Klein-Gordon.Així, malgrat el seu èxit enorme, l’equació de Dirac no dóna una solució completa i general

al problema de la formulació d’una teoria quàntica relativista. En particular està el problema dela descripció dels fotons, que d’alguna manera són els que van portar al desenvolupament de lamecànica ondulatòria i que, en canvi, no es poden descriure amb una equació d’ones d’una solapartícula. En efecte, els fotons no tenen massa i són sempre relativistes, qualsevol interacciódels fotons porta quasi inevitablement a la producció de fotons addicionals. De fet, aquestproblema és molt més general i està lligat al principi d’incertesa i a l’existència d’una velocitatmàxima. Per exemple, si volem mesurar la posició d’una partícula no relativista de massa m(amb velocitat petita comparada amb la velocitat de la llum) amb una incertesa, ∆ x, menor que

la seua longitud d’ona Compton, el principi d’incertesa ens diu que necessàriament l’aparellde mesura haurà d’involucrar l’intercanvi de moments8 p ∼ mc i energies E ∼ mc2. Si lesenergies utilitzades són tan grans, llavors, en una teoria relativista és possible crear partículesaddicionals (o parells partícula-antipartícula) i la descripció en termes d’una única partícula jano es correcta. Aleshores, trobem que la descripció mecano-quàntica en termes de funcionsd’ona i probabilitat conservades només pot ser vàlida si no intentem localitzar la partícula endistàncies més petites que la seua longitud d’ona Compton,

∆ x ≥ h̄mc

.

Per a partícules en moviment, podem utilitzar l’argument anterior passant a un sistema de refer-ència on la partícula ja no estiga en repòs. La contracció de Lorentz de la longitud ens diu que∆ x ≥ (h̄/mc)(mc2/E ) = h̄c/E . En el cas de partícules ultra-relativistes, E ≈ pc i ∆ x ≥ h̄/ p.És a dir, partícules ultra-relativistes no es poden localitzar, aïlladament d’unes altres, amb unaprecisió major que la seua longitud d’ona de de Broglie. Així, en una teoria relativista les co-ordenades d’una partícula no són bones variables dinàmiques. El mateix concepte de funciód’ona, amb la interpretació probabilística habitual, només té sentit, i només de forma aproxi-mada, per a distancies molt més grans que ∆ x ≫ h̄/mc en el cas de partícules no relativistes i∆ x ≫ h̄/ p = λ /2π en el cas de partícules ultra-relativistes.

8Per claredat, en aquesta secció tornem a recuperar els factors c i h̄.

29


28/321

Arcadi Santamaria

El problema fonamental de les equacions d’ona relativistes sembla estar en l’intent de de-scriure una única partícula. De fet, com a mínim, una teoria quàntica relativista ha de descriurepartícules i antipartícules al mateix temps. És fàcil veure que una teoria relativista sense an-tipartícules viola causalitat. Per exemple, l’amplitud de probabilitat de trobar una partícula enla posició x en un temps t quan en t = 0 estava en x0, per a partícules lliures ve donada per

U (t ) ≡ x|e−iHt | x0 =

d 3 p x|e−iHt | p p| | x0 =1

(2π )3

d 3 pe−iE ( p)t ei p·( x− x0) .

En el cas no relativista tenim que E ( p) = p2/(2m) i immediatament trobem que

U (t ) = m

2π it 32

e

i m2t ( x

− x0)2

.

U (t ) és diferent de zero ∀ x, x0, t . En una teoria no relativista on la propagació dels senyalspot ser tan ràpida com vulguem això no representa cap problema. En canvi, en una teoriarelativista, on els senyals no es poden propagar a velocitats majors que la velocitat de la llum,aquest resultat seria un desastre total. Es podria pensar que en utilitzar les relacions relativistesentre energia i moment el problema se soluciona. Vegem que passa en el cas relativista si nomésconsiderem els estats d’energia positiva E ( p) =

p2 + m2.

U (t ) = 1

2π 2

| x

− x0

|

∞0

d | p| | p| sin(| p| | x− x0|)e−it

| p2|+m2

≈ e−m√ | x− x0|2−t 2 | x− x0|2 ≫ t 2 ,que és diferent de zero per a punts tant distants que no poden estar connectats causalment ambun senyal que es propague a velocitats menors o iguals que la velocitat de la llum. La solucióa aquest problema vindrà donada per l’existència de les antipartícules. Com veurem, quan esconsidera al mateix temps propagació d’estats d’energia positiva i d’energia negativa hi hauràuna cancel·lació entre les dues contribucions i no hi haurà intercanvi d’informació a velocitatsmajors que la velocitat de la llum. Per tant, l’existència d’antipartícules en una teoria quànticarelativista serà essencial per preservar la causalitat.

De la discussió anterior arribem a la conclusió que una teoria quàntica relativista necessàri-

ament ha de ser una teoria de moltes partícules. Però, com caracteritzar una teoria quàntica demoltes partícules? La definició més precisa la va donar Wigner: un estat d’una partícula noés més que un vector d’una representació irreduïble unitària del grup de Lorentz inhomogeni(Poincaré). Així, en principi és suficient classificar les representacions del grup de Poincaré itindrem classificades les partícules. Al mateix temps, l’espai de representació serà l’espai deHilbert dels estats. Els estats de moltes partícules lliures es poden construir com a productedirecte dels estats d’una partícula. A partir de la definició dels estats i l’existència d’un op-erador d’evolució temporal (un Hamiltonià), es pot definir l’anomenada matriu S , que és lapeça fonamental per poder calcular observables físics, com ara seccions eficaces o ritmes dedesintegració.

30


29/321


Aquest punt de vista, encara que és completament general i basat únicament en els principisde la relativitat especial i de la mecànica quàntica, és purament cinemàtic i no permet el càlculdels elements de matriu de la matriu S . Es poden explotar les simetries, en particular la invar-iància Poincaré, per obtenir relacions entre els elements de la matriu S , però, en últim termeno es poden calcular completament. Només quan s’especifica la forma concreta de l’operadord’evolució temporal, és a dir el Hamiltonià del sistema, s’especifica la dinàmica, i només lla-vors es poden calcular els elements de la matriu S , i per tant, els observables de la teoria. Lesrestriccions sobre la forma dels possibles Hamiltonians són molt fortes: el Hamiltonià ha de sertal que la teoria resultant satisfaça tots els principis de la mecànica quàntica i de la relativitatespecial. Això porta quasi inevitablement a les teories quàntiques de camps (veure Weinberg Iper més detalls sobre aquest punt de vista). Com veurem a continuació les teories quàntiques decamps satisfan automàticament tots aquests requeriments al temps que resolen el problema dela causalitat amb la introducció de les antipartícules. Veurem que també ens ajuden a entendre

certes qüestions que no es poden entendre de cap forma fora del marc de la teoria quàntica decamps, com ara la la connexió que hi ha entre l’spin de les partícules i l’estadística que obeeixeno perquè la teoria de Dirac prediu correctament el moment magnetic de l’electró i, en canvi,no el del protó o del neutró. Però, el que és més important, les teories quàntiques de campsens permeten construir naturalment estats de moltes partícules i calcular les probabilitats detransició entre estats amb diferent nombre de partícules, càlculs que han estat corroborats perinfinitat d’experiments en els més variats rangs d’energies.

Problemes Proposats

Problema 1.1 Comproveu, utilitzant les equacions de moviment, que els següents corrents esconserven en el sentit ∂ t ρ + ∇ j = 0 :ii) Schrödinger:

i ψ̇ = −∇2

2mψ , ρ = |ψ |2 , j = − i

2m

ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗

ii) Klein-Gordon:

(∂ 2 + m2)φ = 0

ρ =

i

2m

ψ ∗ ∂

∂ t ψ − ψ ∂

∂ t ψ ∗

,

j = − i

2m

ψ ∗

∇ψ − ψ

∇ψ ∗

iii) Dirac:(i∂ / −m)ψ = 0, ρ = ψ †ψ , j = ψ γψ

Problema 1.2 Comproveu que les matrius de Dirac, tant en la representació de Dirac com enla de Weyl, satisfan l’àlgebra:

{γ µ , γ ν } = 2gµν

i la condició d’hermiticitat:γ µ † = γ 0γ µ γ 0

31


30/321

Arcadi Santamaria

Problema 1.3 Comproveu que si es multiplica l’equació de Dirac amb interacció electromag-nètica

(i∂ / + eA/−

m) ψ = 0

per (i∂ / + eA/ + m) s’obté (i∂ + eA)2 −m2 + e

2σ µν F

µν

ψ = 0.

Discutiu el significat físic dels diferents termes en aquesta equació.

32


31/321

Capítol II

Sistemes Continus i Mecànica Quàntica


32/321


33/321

2. Sistemes Continus i MecànicaQuàntica

2.1 Introducció

En el desenvolupament de la mecànica quàntica va tenir un papel molt important l’anomenat“principi de dualitat ona-corpuscle”. Les ones, però, són una propietat dels medis continus (vi-bracions d’una corda, un sòlido gas o variacions del camp electromagnètic), sistemes en els quèl’energia, el moment i les altres magnituds físiques estan repartides en regions grans de l’espai.D’altra banda, les partícules són quantitats discretes, sistemes en els què tota l’energia, el mo-

ment i les altres magnituds estan concentrades en un punt, que és la posició de la partícula. Hemvist com la mecànica quàntica associa propietats ondulatòries a les partícules i com l’equació deSchrödinger i les regles de quantització expressen de forma matemàtica clara i precisa aquestespropietats ondulatòries de les partícules. D’altra banda, encara que hem associat certes propi-etats de les partícules a les ones electromagnètiques, aquesta connexió no està ben definida deforma matemàtica. Diem que el camp electromagnètic està format per quanta que tenen unacerta energia i moment, però no hem definit amb precisió com surten les partícules de les equa-cions del camp electromagnètic. La qüestió ens la podem replantejar de forma més general:sabem com passar d’un sistema clàssic discret a un sistema quàntic, però com es pot passard’un sistema clàssic continu (per exemple una corda, un sòlid, el camp electromagnètic) al

sistema quàntic equivalent? Es podria pensar que, després de tot, una corda o un sòlid estanformats per àtoms, i que sabent quantitzar aquests tenim quantitzats la corda i el sòlid. Aquestpunt de vista no acaba de ser satisfactori, ja que hi ha sistemes, com per exemple el camp elec-tromagnètic, que no estan formats per res, o almenys de moment, no sabem si estan formatsper entitats discretes més fonamentals. Resultaria molt frustrant que per poder quantitzar unsistema haguérem de conèixer amb tot detall de què està format. Al cap i a la fi, per a saberde què està fet un sistema a distàncies de l’ordre de a , pel principi d’incertesa, necessitemutilitzar energies de l’ordre de h̄c/a. Clarament, com que no podem assolir energies infinites,tampoc podem explorar distàncies infinitament petites. Fins i tot en el cas de sistemes en quèsí que sabem de què estan fets, té sentit quantitzar el sistema com un tot i no haver d’entrar en

35


34/321

Arcadi Santamaria

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 i−1 i i+1 N2

a

(a) Un sistema de masses amb una una foça entre elles tipus harm‘onic esf‘eric

Figure 2.1: Un sistema de masses puntuals amb una força entre elles proporcional a la desviaciódel punt d’equilibri.

els detalls de la seua estructura. Després de tot, si les energies involucrades són petites (o leslongituds d’ona utilitzades per a estudiar el sistema són grans comparades, per exemple, amb ladistancia entre àtoms) esperem, una altra vegada pel principi d’incertesa, que el comportamentglobal del sistema siga insensible als detalls de la seua estructura. Així arribem a la preguntaque intentarem contestar en aquest capítol: com es quantitza un sistema continu? Com es

pot quantitzar una corda, una barra de ferro o també el camp electromagnètic? Notem que laqüestió, en principi, no té res a veure amb els problemes de la mecànica quàntica relativista quehem discutit al capítol anterior i és molt més general. Curiosament, veurem que la resposta aaquesta pregunta condueix inevitablement a teories de moltes partícules i que aquestes teorieses poden utilitzar naturalment per a construir teories quàntiques relativistes consistents.

La transició de sistemes clàssics discrets a sistemes quàntics discrets esta basada en elformalisme canònic. És natural, per tant, utilitzar les mateixes tècniques en el cas de sistemescontinus. A continuació repassarem ràpidament com es formula el formalisme canònic en elcas de sistemes continus i després veurem com utilitzar-lo per quantitzar sistemes continus.

2.2 Transició al continu d’un sistema discret

Siga un conjunt de N partícules de massa m separades, en equilibri, una distància a i unidesper un material elàstic de massa menyspreable que genera una força recuperadora proporcionala l’estirament (figura 2.1). Els extrems del material elàstic estan connectats a dos punts fixesde manera que la longitud total del sistema és ℓ = a( N + 1). Les partícules es poden moure,en principi, en dues direccions, vertical i horitzontal. Per simplificar considerarem només elmoviment en la direcció horitzontal, és a dir considerarem només les vibracions longitudinalsde la cadena de partícules. Les vibracions transversals porten a equacions que són similars a

les que estudiarem a continuació.Encara que aquest sistema semble un cas molt particular és molt general, ja que si tenimuna cadena de masses unides per algun tipus de força, les desviacions de la posició d’equilibrivenen regides, en primera aproximació, per un potencial quadràtic que dóna una força lineal.Això és perquè la posició d’equilibri és un mínim del potencial i per tant el primer terme nonul del desenvolupament de Taylor al voltant del punt d’equilibri és quadràtic (a banda d’unaconstant). És a dir, aquest sistema podria representar perfectament les oscil·lacions al voltantdel punt d’equilibri d’una cadena d’àtoms en un material sempre que les desviacions del puntd’equilibri siguen petites comparades amb la distancia entre àtoms.

Si les ηi són els desplaçaments respecte la posició d’equilibri tindrem que l’energia cinètica

36


35/321


del sistema és

T = 12

N

∑i=1

m η̇2i ,

On η̇i ≡ d ηi/dt .L’energia potencial, d’altra banda, és la suma de las energies potencials del material que

separa les partícules per haver-se estirat o comprimit respecte a la posició d’equilibri:

V = 12

N

∑i=0

α (ηi+1 − ηi)2 ,

on α és la constant d’elasticitat del material que separa les partícules. Per escriure aquestaequació de forma compacta hem definit η0 = 0, i η N +1 = 0, ja que els punts dels extrems no esmouen.

D’aquestes equacions immediatament obtenim (altra vegadautilitzem que η̇0 = 0 per començarels dos sumatoris en i = 0) el lagrangià del sistema

L = T −V = 12

N

∑i=0

m η̇2i − α (ηi+1 −ηi)2

,

Igualment podem escriure el hamiltonià

H = T + V = 12

N

∑i=0

m η̇2i + α (ηi+1 − ηi)2

.

Per poder fer el límit al continu convé escriure el lagrangià (i equivalentment també el hamil-tonià) com

L = 12

N

∑i=0

a

ma

η̇2i − α a

ηi+1 − ηia

2=

N

∑i=0

aLi .

Les equacions de moviment per a les coordenades ηi són

m ..η i −α (ηi+1 −2ηi + ηi−1) = 0. i = 1, · · · N , , η0 = 0, η N +1 = 0.

Aquest és un sistema d’equacions diferencials acoblades que no es resol fàcilment. Ara bé, lateoria d’oscil·ladors lineals acoblats ens diu que aquest sistema és equivalent a un sistema de

N oscil·ladors independents de freqüències ω k a determinar. En aquest cas (veure el problema2.1) es pot demostrar que les freqüències pròpies són

ω k = 2

α

m sin

k π 2( N + 1)

, k = 1,2, · · · N . (2.1)

Notem que per a freqüències petites k ≪ N + 1 podem utilitzar una expressió aproximada peraquestes freqüències

ω k ≈

α

mk π

N + 1 =

α am/a

k π ℓ

, k ≪ N + 1 .

37


36/321

Arcadi Santamaria

Com que aquest sistema és una suma d’oscil·ladors harmònics i com que els oscil·ladors har-mònics els sabem quantitzar, podem dir que sabem quantitzar aquest sistema. En particular, elsestats estacionaris del sistema tindran energies

E n1n2···n N = N

∑k =1

h̄ω k

nk +

12

,

on nk etiqueta l’estat de l’oscil·lador de freqüència ω k .Com canviaran aquests resultats quan fem el límit al continu, a → 0. N → ∞? Per fer el

límit al continu, altra vegada, re-escriurem les equacions de moviment com

ma

..η i −α a

ηi+1 −2ηi + ηi−1

a2

= 0. i = 1, · · · N , , η0 = 0, η N +1 = 0 .

Ara fem el límit

a → 0 , m/a = ρ = constant N → ∞ , a( N + 1) = ℓ = constant (2.2)m → 0 , α a = Y = constant

α → ∞ ,on ρ és la densitat lineal de massa, Y és el mòdul de Young i ℓ és la longitud total del sistema.Per fer aquest límit és convenient definir la variable x ≡ ia que dóna la posició de la partículai. També és convenient definir la funció de x (i també de t ), η ( x, t ) = η(ia, t ) ≡ ηi que dóna eldesplaçament del punt d’equilibri de la partícula i .Amb aquestes definicions podem veure que

lima→0

ηi+1 −ηia

= lima→0

η( x + a, t ) −η( x, t )a

= ∂ η

∂ x .

Igualment

lima→0

ηi+1 −2ηi + ηi−1a2

= lima→0

η( x + a, t ) −2η( x, t ) + η( x−a, t )a2

= ∂ 2η

∂ x2 .

Així l’equació de moviment en el continu s’escriu com

ρ∂ 2η

∂ t 2 − Y ∂

2η

∂ x2 = 0 , η(0, t ) = 0, η(ℓ, t ) = 0.

Dividint per ρ i definint v =

Y /ρ tenim finalment

∂ 2η

∂ t 2 − v2 ∂

2η

∂ x2 = 0, η(0, t ) = 0, η(ℓ, t ) = 0 , (2.3)

que no és més que l’equació d’ones amb velocitat v i descriu la propagació d’ones longitudinalsen una barra rígida. La solució d’aquesta equació, tenint en compte les condicions de contornimposades, es pot obtenir fàcilment per separació de variables,

η( x, t ) =∞

∑k =1

qk (t )sinω k x

v (2.4)

38


37/321


on

ω k = k π v

ℓ k = 1,2, · · · ,∞ , (2.5)

mentre les qk (t ) satisfan l’equació de l’oscil·lador harmònic amb freqüència ω k :..qk (t ) + ω

2k qk (t ) = 0. (2.6)

és a dir qk (t ) són funcions periòdiques de freqüència ω k . Notem que les freqüències pròpies enel continu es poden obtenir també a partir de la fórmula obtinguda en el discret, eq. (2.1), fentel límit a → 0:

ω k = lima→0 2

α m sin

k π 2( N +1) (2.7)

= lima→

0 2 α am/a

1

a

sin k π a

2ℓ = Y

ρ

k π

ℓ

= k π v

ℓ

, k = 1,2,· · ·∞ . (2.8)

A més, com hem vist abans, aquest resultat és també vàlid fins i tot quan la distància entrepartícules, a, siga finita, sempre que les freqüències no siguen massa grans (k ≪ N + 1), ésa dir, sempre i quan les longituds d’ona siguen grans comparades amb la distància entre lespartícules puntuals. Per tant, la descripció en el continu serà útil també en el cas de sistemesdiscrets sempre i quan la contribució de les freqüències grans no siga important. En aquestcas haurem de tenir en compte que no hi ha un nombre infinit de freqüències pròpies sinó quenomés n’hi ha N ≈ ℓ/a, essent la freqüència màxima de l’ordre de ω max ≈ 2v/a, on, en aquestcas, hem utilitzat la fórmula exacta per a les freqüències pròpies. A més a més, en el cas d’unaa finita, les equacions utilitzades per a fer el pas al continu no són exactes i les equacions de

moviment rebran correccions de l’ordre a. Per exempleηi+1 − ηi

a → ∂ η

∂ x +

12

∂ 2η

∂ x2 a + · · · ,

i, encara que es pot seguir utilitzant una descripció en termes de variables continues, és obvique a mesura que ens apropem a ω max, s’hauran d’anar afegint termes que tinguen en comptel’estructura a distàncies petites fins que arribarà un moment en què ja no es podrà continuarsense tenir en compte l’estructura discreta del sistema.

D’altra banda, si fem el mateix límit en el lagrangià i tenim en compte que

lima→0

N

∑i=0a → ℓ

0 dx ,

obtenim que en el continu

L = 12

ℓ0

dx

ρ

∂ η

∂ t

2−Y

∂ η

∂ x

2,

o redefinint el lagrangià dividint-lo per ρ (que per a ρ constant òbviament du a les mateixesequacions de moviment)

L ≡ ℓ

0dxL ,

39


38/321

Arcadi Santamaria

on hem definit la densitat lagrangianaL

L = 12∂ η

∂ t 2 − v2∂ η∂ x

2, (2.9)

De forma semblant arribem a que el hamiltonià es pot escriure com

H ≡ ℓ

0dxH ,

amb

H = 12

∂ η

∂ t

2+ v2

∂ η

∂ x

2. (2.10)

A més, si, en complet paral·lelisme amb el cas discret, definim la densitat de moment conjugat,π , associat a la variable η com

π = ∂ L

∂ η̇ ,

immediatament trobem que, en aquest cas, se satisfà

H = π η̇ −L ,

d’acord també amb el que cabia esperar.

Notem el paper jugat per les coordenades x. No són variables dinàmiques, de fet, són inde-pendents del temps, només juguen el paper d’etiquetar el punt on s’està avaluant la funció η .En efecte, de la forma que les hem introduïdes x ≡ ai, clarament es veu que juguen el paperd’un índex, un índex continu en el cas que fem el límit a → 0, però al cap i a la fi un índex. Lesúniques variables dinàmiques són els camps η .

Aquests resultats es poden generalitzar fàcilment a sistemes continus tridimensionals. Lla-vors les variables dinàmiques η ( x, y, z, t ) són funcions de les tres coordenades espacials i deltemps i el lagrangià s’escriu en termes de la densitat lagrangiana com

L = L dxdydz . (2.11)Insistim una vegada més en el fet que les coordenades espacials i el temps són totes inde-

pendents les unes de les altres i, en particular, les coordenades espacials només serveixen peretiquetar els camps.

Utilitzant aquest exemple senzill hem vist com obtenir les equacions de moviment en elcontinu i com escriure un lagrangià en termes de la densitat lagrangiana. Ara bé, seria interes-sant construir un formalisme lagrangià en el continu que ens permetera obtenir directament lesequacions de moviment en el continu a partir d’un principi de mínima acció sense haver de pas-sar per la discretització. En la següent secció veurem com fer-ho i re-deduirem les equacionsde moviment en l’exemple que ja hem vist.

40


39/321


2.3 Formulacions lagrangiana i hamiltoniana de medis con-tinus

Per simplificar suposarem que només tenim una variable espacial i que la densitat lagrangianaes pot escriure com

L =L

η,

∂ η

∂ x ,

∂ η

∂ t

,

de forma que el lagrangià és

L = x1

x0L dx ,

mentre l’acció serà

S =

t t 0

x1

x0L dxdt .

Notem que en aquesta expressió les variables espacials i temporals apareixen de forma com-pletament simètrica. Això fa que aquesta formulació siga especialment apropiada per a tractarproblemes relativistes.

El principi de mínima acció ens diu que les equacions de moviment s’obtenen en demanarque l’acció siga estacionària respecte deformacions de les variables dinàmiques, en aquest casdels camps η , és a dir demanant δ S = 0 per a deformacions arbitràries, satisfent les condi-cions de contorn, dels camps δ η . Així, suposant que L no té dependències explícites en lescoordenades x o t , tenim

0 = δ S = t 1

t 0

x1 x0

dtdx

∂ L

∂ η δ η +

∂ L

∂ (∂ η/∂ t )δ (∂ η/∂ t ) +

∂ L

∂ (∂ η/∂ x)δ (∂ η/∂ x)

.

Ara podem integrar per parts en t i en x el segon i el tercer terme respectivament. Per exemple,utilitzant el fet que les variacions δ η s’anul·len en els extrems d’integració tenim que

t 1t 0

dt ∂ L

∂ (∂ η/∂ t )δ (∂ η/∂ t ) = −

t 2t 1

dt ∂

∂ t

∂ L

∂ (∂ η/∂ t )

δ η,

i, igualment x1

x0dx

∂ L

∂ (∂ η/∂ x) δ ((∂ η/∂ x) = − x1

x0dx

∂

∂ x∂ L

∂ (∂ η/∂ x) δ η.

D’ací obtenim t 2t 1

x2 x1

dtdx

∂ L

∂ η − ∂

∂ t

∂ L

∂ (∂ η/∂ t )

− ∂

∂ x

∂ L

∂ (∂ η/∂ x)

δ η = 0 ,

i com que aquesta equació s’ha de satisfer per a variacions arbitràries δ η, tindrem

∂

∂ t

∂ L

∂ (∂ η/∂ t )

+

∂

∂ x

∂ L

∂ (∂ η/∂ x)

− ∂ L

∂ η = 0

41


40/321

Arcadi Santamaria

Aquestes són les equacions d’Euler–Lagrange, les equacions de moviment per a sistemes con-tinus. En el cas de les vibracions longitudinals d’una barra, veiem que és immediat obtenir lesequacions de moviment correctes, (2.3), a partir de la densitat lagrangiana, (2.9). La general-ització al cas de tres dimensions espacials és

∂

∂ t

∂ L

∂ (∂ η/∂ t )

+

3

∑k =1

∂

∂ xk

∂ L

∂ (∂ η/∂ xk )

− ∂ L

∂ η = 0 .

Encara que aquesta equació és completament general i no involucra per a res la relativitat, siutilitzem la notació relativista habitual es pot escriure d’una forma extremadament compacta iexplícitament covariant

∂ µ ∂ L

∂ (∂ µ η)− ∂ L

∂ η = 0. (2.12)

Si en compte de tenir només un camp en tenim més, representats per ηa, la generalització tambéés immediata. Tindrem una equació d’Euler-Lagrange per a cadascun d’ells.

La formulació hamiltoniana es fa del tot en paral·lel a la formulació lagrangiana. Com hemcomprovat en l’estudi de la barra elàstica, en general podrem definir el moment conjugat de lavariable η

π = ∂ L

∂ η̇ , (2.13)

i a partir d’ací calcular una densitat Hamiltoniana

H = π

˙η −

L .

La extensió al cas de més d’un camp és trivial. A partir d’ací podem desenvolupar el for-malisme Hamiltonià complet i escriure les equacions de moviment de Hamilton en termes deles variables η i π en complet paral·lelisme a com es fa en el cas discret. Per exemple, lesequacions de Hamilton són

∂ H

∂ π = η̇ ,

∂ H

∂ η −

3

∑k =1

∂

∂ xk ∂ H

∂ (∂ η/∂ k k ) = −π̇ .

La primera equació ens donarà la definició de π en termes de η̇ , mentre la segona, combinadaamb la primera, ens donarà les mateixes equacions de moviment obtingudes amb el formal-

isme lagrangià. Igualment podrem generalitzar els parèntesis de Poisson, escriure les equa-cions de moviment en termes de parèntesis de Poisson, estudiar els teoremes de conservació,etcètera, etcètera. De moment no insistirem més en aquesta formulació; ja tornarem al formal-isme hamiltonià en el moment de la quantització. Notem, però, que mentre que la formulaciólagrangiana tracta de forma similar les variables espacials i temporals, com es pot veure clara-ment en l’equació d’Euler-Lagrange escrita en notació relativista, la formulació hamiltonianadistingeix ja d’entrada el temps de les altres coordenades (per exemple en la definició del mo-ment conjugat). Així, encara que la formulació hamiltoniana és en tot equivalent a la formu-lació lagrangiana, presenta més problemes a l’hora de construir un formalisme explícitamentcovariant.

42


41/321


2.3.1 Teorema de Noether

Una qüestió fonamental en teoria de camps és com trobar les quantitats conservades. Per això

utilitzarem el teorema de Noether que permet relacionar les simetries d’un sistema amb lesquantitats conservades.

Direm que una transformació dels camps, η ( x) → η ′( x) és una simetria si deixa invariantsles equacions de moviment, és a dir, si les equacions de moviment escrites en termes delscamps η ′( x) tenen la mateixa forma que les equacions de moviment escrites en termes delscamps η( x). Com que les equacions de moviment s’obtenen en demanar que l’acció tingaun extrem, és evident que si l’acció és invariant, les equacions de moviment també ho seran.És important remarcar, però, que la invariància de l’acció sota el canvi η ( x) → η ′( x) s’ha desatisfer independentment de que els camps siguen solució de les equacions de moviment o no1. En forma infinitesimal escriurem

δ S = 0 , per a η( x) → η ′( x) = η( x) + δ η( x) , δ η =∑i

α iF i(η) .

On les x representen genèricament les coordenades, espai i temps, α i són paràmetres infinites-imals i F i(η) funcions conegudes dels camps que caracteritzen la transformació. Hi ha sime-tries més generals que involucren transformacions dels camps i també de les coordenades.Per exemple, la equació de Klein-Gordon, en un espai infinit, és invariant sota desplaçamentsde les coordenades espacials i temporals, xµ → x′µ = xµ + aµ , és a dir, l’origen de posi-cions i temps és arbitrari. Llavors η ′( x′)=η( x) i η ′( x) = η ( x − a), de forma infinitesimalη ′( x) ≈ η( x) −aµ ∂ µ η( x). Així, transformacions d’aquest tipus també es podran escriure en laforma considerada (en aquest cas δ η( x) =

−aµ ∂

µ η( x)).

En general sota una simetria la densitat lagrangiana no serà invariant ja que, com es potveure, densitats lagrangianes que es diferencien en una divergència porten a les mateixes equa-cions de moviment i, per tant, sota una simetria tindrem (en aquesta secció, per simplicitatutilitzarem notació relativista, essent el pas a problemes en només una dimensió espacial triv-ial)

δ L = ∂ µ ω µ .

Les quantitats ω µ depenen de la simetria considerada i de la forma de la densitat lagrangiana.Per a transformacions infinitesimals es podrà escriure com

ω µ =∑i

α iω µ i .

Vegem quin és el canvi en l’acció induïda per una transformació infinitesimal de la simetriaconsiderada

δ S =

d 4 x

∂ L

∂ η δ η +

∂ L

∂ (∂ µ η)δ (∂ µ η)

. (2.14)

1Per exemple, l’acció de la barra elàstica que hem considerat es invariant si fem el canvi η ( x) → η ′( x) =η( x) + c, on c és una constant. Notem, però, que les condicions de contorn que imposem als camps poden trencaraquesta invariància.

43


42/321

Arcadi Santamaria

Aquesta expressió és en tot idèntica a la què hem obtingut abans per deduir les equacions demoviment, ara, però, el significat de les variacions és diferent, no són deformacions arbitràriesdels camps que s’anul·len en l’infinit sinó aquelles produïdes per la transformació i que engeneral no s’anul·len en l’infinit. Per això no podem integrar per parts i eliminar el terme desuperfície.

Restant i sumant la quantitat

∂ µ

∂ L

∂ (∂ µ η)

δ η ,

que es pot combinar amb el darrer terme de (2.14) per escriure’ls com la divergencia d’una

funció, ∂ µ

∂ L ∂ (∂ µ η)

δ η

, així obtenim

δ S = d 4 x∂ L ∂ η −

∂ µ ∂ L ∂ (∂ µ η)

δ η + ∂ µ ∂ L

teoria de campos cuanticos

Documents