algoritmos cuanticos

8/8/2019 ALGORITMOS CUANTICOS

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Si un sistema cuntico puede estar

en uno de dos estados, entonces puede

estar tambin en cualquier

Superposicin linear de esos dos

estados.


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sPueden ser nmeros

,cuando se normalizen

de forma que:


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Por ejemplo:

es un estado cunticoperfectamente vlido


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La superposicin

es la unidad bsica deinformacin codificada

en las computadorascunticas y es llamado

qubit.


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La amplitud

es una medida de su

inclinacin hacia el estadofundamental.


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Es tentador pensar que

es la probabilidad de que el

electrn est en estadofundamental o tierra.


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el estado si fuese negativoo un nmero imaginario?


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Esta superposicin lineal es

e mun o pr va o e e ec r nPara que nosotros podamosobtener una aproximacin

del estado del electrndebemos hacer una medicin


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,obtendremos un nico bit deinformacin (ya sea 0 o 1).


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Si el estado del electrn es

entonces la probabilidad deque la salida de la medicin

sea 0 es


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Cuando realizamos la

medicin forzamos al sistemaa cambiar su estado, es

decir, si la salida de lamedicin es 0, entonces

el nuevo estado delsistema es


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El principio de superposicinno se limita slo a

como el que acabamosde describir, sino que se

aplica en general asistemas de k-niveles.


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As podramos considerarun sistema de k niveles

denotado por:


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Y por el principio desuperposicin, el estado

de este sistema sera:


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Y por el principio desuperposicin, el estado

cuntico general

de este sistema sera:

donde:


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Si midiramos el estado delsistema obtendramos un

- ,salida j ocurra con

probabilidad:


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Para codificar n bits deinformacin podramos escoger

=

tomo de hidrogeno, pero paracomprenderlo bien,

comencemos usandosimplemente n qubits.


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Para empezar, consideremosel caso de 2 qubits, esto es,el estado de los electrones

de 2 tomos de hidrgeno.


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Debido a que cada electrn puedeestar en estado fundamental

o excitado, en fsica clsica,

este sistema tendra un totalde cuatro estados 00,01,10,11-

y debido a ello, es posible

almacenar 2 bits de informacinen este sistema.


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En fsica cuntica, el principio de

superposicin nos dice que el estadocuntico de 2 electrones va ms

ll n m in i n lin l

de los cuatro estados clsicos.

Normalizado a:


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Si medimos el estado del sistema,

obtendremos 2 bits de informacin.Como antes, si la salida de la

medicin es k , entonces el nuevo

estado del sistema es:

Si jk=10, por ejemplo, entonces

el primer electrn est enestado excitado y el segundo

electrn en estado fundamental.


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Ahora consideremos el casogeneral de n tomos de hidrgeno.

Pensemos en n como un nmero

relativamente pequeo de tomos,como n =500. De forma clsica

los estados de 500 electrones

serviran para almacenar 500bits de informacin en la forma obvia.


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Pero el estado cuntico de un

sistema de 500 qubits es lasuperposicin lineal de todos

los estados clsicos posibles!


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Es como si la naturaleza tuviera

pedazos de papel, cada uno

con un nmero complejo escritoen l, slo para llevar el registrodel estado de un sistema de

500 tomos de hidrgeno.


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Ahora que si hablamos de unsistema ue evoluciona en el

tiempo, la naturaleza deberatachar los nmeros y

remplazarlos con su nuevo valor.


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El nmero es mucho mayorque los estimados del nmero

e par cu as e emen a es queexisten en el universo.

Dnde almacena entonces

la naturaleza esta informacin?


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En este fenmeno se

encuentra la motivacin bsicade la computacin cuntica.

,computacin es tanextravagante al nivel

cuntico, porqu conformarnoscon la fsica clsica?


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En este fenmeno se

encuentra la motivacin bsicade la computacin cuntica.

,computacin es tanextravagante al nivel

cuntico, porqu conformarnoscon la fsica clsica?


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Aqu surge un problemafundamental:Esta ex onencialmente lar a

superposicin lineal es elmundo privado de los electrones.

Medir el sistema slo nosrevela n bits de informacin.


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Un algoritmo cuntico es unaestructura que refleja la tensin

exponencial de un sistema de

n-qubits y los meros n bits que

se obtienen con la medicin.


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La entrada de un algoritmocuntico consiste de n bitsclsicos la salida tambin

consiste de n-bits clsicos.Es mientras el sistema cuntico

no es observado donde los

efectos cunticos hacen lo suyo.


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Si la entrada es un string binario-

computadora cuntica tomarcomo entrada n-qubits en

estado


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Luego una serie de operacionessern ejecutadas para

transformar el estado de nqubits a la superposicin


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Finalmente se realiza unamedicin, y la salida ser un

string binario de n bits con probabilidad


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Observe, querido espectador,

que esta salida es aleatoria.Siempre y cuando

correcta con una probabilidadsuficientemente alta, podemos

repetir el proceso algunasveces para hacer el porcentajede error minsculo.


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Ahora veamos con mayornfasis la parte cuntica delalgoritmo. Algunas de las

operaciones cunticas clavepueden pensarse como la

bsqueda de ciertos

patrones en una superposicinde los estados.


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,

pensar en el algoritmo comosi tuviramos dos etapas.


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En la primera etapa, los n bitsclsicos son desempaquetados

hacia una superposicin linear

exponencialmente larga,la cual sabemos que tiene un

patrn escondido o una especie

de regularidad que, cuando sedetecte, solucionar el problema.


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La segunda etapa consiste en

cunticas, seguidas por unamedicin, que revelan el patrn

escondido.


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La operacin ms importanteque se puede ejecutar de forma

eficiente por una computadoracuntica es la versin cuntica

del algoritmo rpido de la

transformada de Fourier.


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La transformada rpida de

Fourier (FFT) tiene una entradade un vector de tamao M y

.

del vector debe ser potenciade 2, es decir M=

La salida es un vector

devalores complejos y detamao M.


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El algoritmo clsico FFT escapaz de realizar su clculo en

slo O( ) pasos.

Las computadoras cunticaspueden implementar un FFT

exponencialmente ms

rpido, en tiempoO( ).


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El algoritmo clsico FFT escapaz de realizar su clculo en

slo O( ) pasos.

Las computadoras cunticaspueden implementar un FFT

exponencialmente ms

rpido, en tiempoO( ).


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Pero cmo es posible que

cualquier algoritmo tomemenos tiempo que M,

el tamao de la entrada?


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Escribiramos estasuperposicin como:

donde sera la amplituddel string binario de m bits

que corresponde al nmeroen la forma natural.


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Aqu podemos ver que lanotacin

vector, donde el ndice de cadaentrada del vector se escribe

de forma explcita entreestos smbolos .


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Hasta ahora slo hemos

su velocidad.Pero veamos ahora la otra

cara de la moneda.


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El algoritmo clsico de FFT tiene

como output los M nmeroscomplejos:

En contraste, QFT prepara

una superposicin:


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Y como vimos con anterioridad,

estas amplitudes son parte delmundo privado de este sistema

. ,

manera de poner nuestrasmanos en el resultado es

midindolo, y midiendo el estadodel sistema slo nos dam = log M bits clsicos

.


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De forma especfica, la salida es -

(esto es, 0j M-1),de la distribucin de probabilidad

Pr[j]=

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