notas agujeros negros cuanticos 2014-ii

AGUJEROS NEGROS CUANTICOS

Notas de Clase

Jose Robel Arenas Salazar

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE CIENCIAS

OBSERVATORIO ASTRONOMICO NACIONAL

Bogota, 2014

Indice general

PREFACIO III

I GENERALIDADES INTRODUCTORIAS 1

1. INTRODUCCION 2

2. LA GRAVEDAD COMO UNA MANIFESTACION METRICA 42.1. Postulado de imposibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Ecuaciones de las lneas geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Aproximacion de campo debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4. Ecuaciones de campo de Einstein en el vaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5. Solucion de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6. Escalar de Kretschmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7. Coordenadas de Kruskal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. CUANTIZACION SOBRE LAS VARIEDADES RIEMANNIANAS 133.1. Cuantizacion Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Cuantizacion Canonica en Campos Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. DINAMICA DE CAMPOS TERMICOS 194.1. Campos cuanticos como osciladores armonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2. Sentido fsico de la dinamica de campos termicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3. Formalismo de la dinamica de campos termicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4. Modelo de osciladores dobles para agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4.1. Matriz densidad termica reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II AGUJEROS NEGROS TERMICOS 28

5. TERMODINAMICA DE AGUJEROS NEGROS 295.1. Agujeros Negros Clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2. Agujeros Negros Cuanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2.1. Efecto Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2.2. Efecto Unruh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

i

INDICE GENERAL ii

6. ESTADOS DE VACIO 366.1. Estado de Boulware | 0 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2. Agujero Negro Eterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.3. Estado de Hartle-Hawking | 0 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.4. Estado de Unruh | 0 U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7. APROXIMACION EUCLIDIANA DE GIBBONS-HAWKING 41

8. MODELO DE LA PARED DE t Hooft 47

III ENTROPIA DE ENTANGLEMENT DE AGUJEROS NEGROS 53

9. ENTROPIA DE ENTANGLEMENT 549.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.2. Entropa proporcional al area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10.TERMODINAMICA DE ENTANGLEMENT DE AGUJEROS NEGROS 5610.1. Formulacion clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.2. Formulacion cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.3. Entropa termica de Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

IV EFECTO UNRUH 85

11.BANO TERMICO DE FULLING-DAVIES-UNRUH 8611.1. Aproximacion Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.1.1. Entropa de Rindler SR a partir de la accion Euclidiana G-H a 0-loop: . . . 8711.2. Aproximacion de Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.3. Consideraciones Formales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11.3.1. Efectos termicos de horizontes de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9511.3.2. Efecto Unruh en variedades curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9611.3.3. Detectores de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

V APENDICE 99

12.MODOS DE FRECUENCIA POSITIVA 10012.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.2. Extension a una funcion analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.3. Aplicacion al background geometrico de Agujero Negro extendido maximalmente . 10112.4. Relaciones utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Referencias 103

PREFACIO

Agujeros Negros Cuanticos es un curso introductorio a los efectos cuanticos asociados a los agujerosnegros en el marco de la teora de campos cuanticos sobre variedades curvas, con el objetivo princi-pal de aproximarse a una explicacion de la naturaleza fsica de la entropa Bekenstein-Hawking SBHcon base en la nocion de entropa de entanglementy la fsica del vaco derivada en el formalismode la teora de campos.

La teora de campos cuanticos sobre espacios-tiempo curvos puede entenderse como una aproxi-macion, aun inaccesible, a una teora de la gravedad cuantica. Tambien puede entenderse, el casode este curso, como una descripcion semiclasica de la Relatividad General.

La importancia de SBH esta en su sentido termodinamico que establece un profundo, misterioso yhasta ahora, desconocido puente entre la Teora General de la Relatividad y la Mecanica Cuantica.Para algunos esta entropa esta relacionada con un numero de estados microscopicos que podranaportar una aproximacion a los fundamentos de la gravedad cuantica. Para otros, la comprensionde su naturaleza indicara que la gravedad es intrnsecamente clasica y que no habra necesidad deuna teora cuantica de la gravedad.

Hasta el da de hoy son muchas y variadas las derivaciones de la entropa Bekenstein-Hawking.Entre estas, la calculada en el contexto de la teora de cuerdas, para agujeros negros extremales ycercanamente extremales, es una de las de mas impacto. Sin embargo, no describe la localizacionde los grados de libertad microscopicos con respecto al horizonte fsico de los agujeros negros.Complementariamente la entropa de entanglementde agujeros negros describe estos grados delibertad muy cercanos a los horizontes de eventos.

En los ultimos anos se ha investigado la entropa de los agujeros negros en dos direcciones princi-pales, considerando que para tal efecto no es necesario conocer detalles de la gravedad cuantica.Una de ellas se fundamenta en la asuncion que simetras clasicas sobre el background del agujeronegro pueden controlar la densidad de estados en gravedad cuantica y en esta forma derivar laentropa de un agujero negro. La otra direccion sugiere que el origen de SBH esta relacionada conlas propiedades de la fsica del vaco en la presencia de un campo gravitacional fuerte, donde unobservador estatico cerca al horizonte de eventos percibe el vaco como un estado mezclado porquelas fluctuaciones de vaco observables estan correlacionadas o entangladasen el horizonte. Justa-mente en este ultimo sentido se desarrollara el curso.

Este curso mnimo exige conocimientos en Mecanica Cuantica y Relatividad Especial. El desarro-llo del curso requerira como fundamentacion previa: Teora Cuantica de Campos y Relatividad

iii

PREFACIO iv

General con aplicaciones a los agujeros negros clasicos. Mas a fondo, el ideal sera que el lectorestuviese familiarizado con la Teora de Campos sobre Variedades Curvas y Teora de Campos aTemperatura Finita. Sin embargo, para este curso introductorio se estructuro la tematica en termi-nos de osciladores armonicos cuanticos para ensambles bosonicos y campos escalares, asociados aagujeros negros de Schwarzschild fundamentalmente, de tal forma que en terminos efectivos estees un curso autocontenido.

Con base en el teorema del no pelo de Israel y la Dinamica de Campos Termicos de Umezaway Takahashi se justifica de primeros principios la necesidad fundamental de considerar las solu-ciones de campo de Einstein en el vaco para comprender el caracter termico de los estados devaco cerca del horizonte de eventos. En ese escenario fsico se configura una unidad fundamen-tal del espacio-tiempo, conformada por el horizonte de eventos y una singularidad interior, queparadigmaticamente no debe existir. De la comprension de la fsica de horizonte emergente all,depende el significado fsico de la entropa Bekenstein-Hawking, la naturaleza del efecto Hawkingy la solucion de todas las paradojas e inconsistencias recientemente encontradas en la fsica gravi-tacional cuando se trata de salvar la unitariedad de la mecanica cuantica.

Los agujeros negros cuanticos podran ser las manifestaciones de la materia en el programa deinvestigacion de unificacion de campos que incipientemente desarrollo Einstein, consistentes con lafsica del colapso gravitacional iniciada por Oppenheimer y Sneider, donde lo observable de unaestrella congelada o un agujero negro es la vecindad del horizonte de eventos, dependiente de losobservadores externos.

Parte I

GENERALIDADESINTRODUCTORIAS

1

Captulo 1

INTRODUCCION

La sugestiva similitud formal entre la dinamica de los agujeros negros y la termodinamica, dondela gravedad superficial k corresponde a la temperatura y el area del horizonte A a la entropa,despues del descubrimiento de la radiacion Hawking, se transformo en una descripcion termica deestos objetos. Ademas, desde la formulacion de la segunda ley generalizada de la termodinamica,se considera que la entropa Bekenstein-Hawking SBH es una genuina entropa termica.Se han hecho diferentes investigaciones para establecer la fundamentacion de la entropa SBH. Enotras palabras, igual que la termodinamica usual tiene una descripcion microscopica bien esta-blecida, se espera que la entropa asociada a los agujeros negros este relacionada con un numerode estados microscopicos. Los primeros intentos de una explicacion microscopica de la entropaBekenstein-Hawking surgieron de dos criterios diferentes, uno de origen topologico-euclidiano pro-puesto por Gibbons y Hawking y el otro derivado de un ambiente termico con base en el modelode la pared de t Hooft.

A la fecha son muchas y variadas las derivaciones de la entropa Bekenstein-Hawking. Entre los masfuertes candidatos a consolidar una explicacion microscopica de SBH estan las teoras de cuerdas,con la dificultad de la fuerte dependencia de los detalles de la teora y lo poco que dicen acercade la segunda ley generalizada de la termodinamica. Por otra parte, Hawking ha encontrado quela aproximacion de cuerdas y D-branes no describen backgrounds con horizontes y topologas notriviales, donde las D-branes deben deformar el espacio-tiempo, cambiando la estructura causal.Quiza la mas promisoria y apropiada formulacion es la que identifica SBH con la Entropa de En-tanglement, asociada con modos y correlaciones ocultos de observadores externos cuando estanpresentes horizontes de eventos.

La investigacion del origen mecanico-cuantico estadstico de SBH desde el punto de vista de la apro-ximacion de entanglement ha tenido cuatro formulaciones seminales: (1) La Dinamica de CamposTermicos de Agujeros Negros, (2) SBH como Entropa de Entanglement segun el modelo de Bom-belli et al.(modelo BKLS), (3) El origen Dinamico de la Entropa de Agujeros Negros y (4) Lasaproximaciones de Entanglement Euclidianas y Formales. De las cuales, (1) y (3) son apropiadaspara describir la entropa termica de entanglement de agujeros negros, (2) no conduce a una ma-triz densidad termica de entanglement y (4) que en algunos casos lucen como aproximaciones deentanglement, pero realmente son aproximaciones ligeramente euclidianas no convencionales.

2

CAPITULO 1. INTRODUCCION 3

Aunque la aproximacion de Gibbons-Hawking ha probado ser util para calcular la entropa deagujeros negros en situaciones novedosas, esta en s misma no aporta una explicacion del origendinamico de SBH. Ademas, esperando que mas alla del nivel de arbol se manifiesten los aspectosestadsticos de la entropa, se adopto la entropa de entanglement, con la publicacion del modeloBKLS. Por otra parte, para investigar si esta nueva propuesta tena significado fsico, mas alla dela descripcion alentadora de una entropa proporcional al area, S. Mukohyama et. al. investigaronla estructura completa de la termodinamica de entanglement, puesto que esta entropa termicaadquiere significado fsico unicamente en relacion a la energa y temperatura del sistema. Sin em-bargo, ellos terminaron formulando dos clases de termodinamicas de agujeros negros, por no poderdefinir de manera unica la energa de entanglement. Cualquier intento por formular una entropatermica de entanglement con base en el modelo BKLS, conduce a inconsistencias y ambiguedades.En parte por las dificultades de la teora de cuerdas consideradas arriba y por las inconsistenciasde la entropa de entanglement, se presentan estas notas acerca de los agujeros negros cuanticos,con el fin de formar investigadores en este campo de la fsica teorica, con una propuesta clara quepretende precisar conceptos y establecer rigurosamente la fsica que soporta toda esta estructurateorica, que usualmente aparece confusa y contradictoria. Basicamente el objetivo principal de estetexto consiste en formular una termodinamica de entanglement de agujeros negros de caractertermico realmente, y que resuelva algunas de las dificultades mencionadas. La propuesta del textotiene la justificacion en un trabajo de investigacion que se ha venido realizando en el ObservatorioAstronomico Nacional de la Universidad Nacional de Colombia en colaboracion con Werner Israelde la Universidad de Victoria en Canada.El texto esta estructurado de la siguiente forma: para los lectores que no esten familiarizados con laTeora General de la Relatividad ni con la Teora de Campos Cuanticos, se incluyeron los capttulosdos, tres y cuatro en terminos de la metrica de Schwarzschild y osciladores armonicos.Los captulos cinco y seis contienen los conocimientos basicos de la fsica de agujeros negros ne-cesarios para el desarrollo de la tematica del texto. La aproximacion euclidiana y el modelo de lapared de t Hooft introducidos en los captulos siete y ocho son fundamentales para comprenderlos modelos mas cercanos a la fsica y menos comprometidos con la especulacion matematica.La parte III es el contenido principal de las notas acerca de los efectos cuanticos asociados a losagujeros negros en la imagen termica de la entropa de entanglement. El efecto Unruh se incluyo enel capttulo once porque es un test obligado para la fsica de agujeros negros y el primer paso degeneralizacion de una fsica emergente con implicaciones observacionales.

Por simplicidad, los calculos presentados en este trabajo se hicieron con base en un campo escalarreal. Salvo en algunas expresiones particulares, en general, se supuso que la constante gravitacionalG, la velocidad de la luz c, la constante de Planck h dividida por 2pi y la constante de BoltzmannKB satisfacen G = c = ~ = KB = 1. Con excepcion de la seccion 11.3, donde se uso la notacionabstracta, las ecuaciones tensoriales estan escritas en terminos de sus componentes.

Captulo 2

LA GRAVEDAD COMO UNAMANIFESTACION METRICA

2.1. Postulado de imposibilidad

La restriccion de la teora especial de la relatividad a los sistemas de referencia inerciales y la con-cepcion antirelativista de la accion a distancia de la teora de la gravitacion universal de Newtonllevaron a Einstein a formular una teora general de la relatividad. Esta generalizacion, en cuanto ala naturaleza de los campos gravitacionales relativistas, preliminarmente se puede construir sobrela base de un postulado de imposibilidad, fundamentado en la formulacion intuitiva no formal delPrincipio de Equivalencia Debil: ningun experimento mecanico con partculas libres al interior deun pequeno laboratorio en cada libre hacia una masa, puede manifestar diferencia alguna conrespecto al mismo experimento en otro laboratorio equivalente, uniformemente acelerado, situadoen el espacio vaco alejado de toda masa.Si al interior del primer laboratorio se colocan dos masas libres, separadas ligeramente, a la mismaaltura con respecto al piso del laboratorio, despues de cierto tiempo se notara que las masas se hanestado acercando una a la otra, sin considerar la atraccion gravitacional mutua entre sus masas.Observacion que no registra un observador en el segundo laboratorio. Asumiendo la validez delpostulado de imposibilidad, es necesario introducir en el segundo laboratorio un efecto que evitelas diferencias observables entre los dos experimentos.Para evitar tal diferencia observacional se recurre a la denominada paradoja de Ehrenfest, queintuitivamente muestra que el area del crculo de un disco rotatorio corresponde a un casquete deuna esfera. Es decir, que el costo de abondonar los sistemas de referencia inerciales se manifiestacomo curvatura del espacio y desincronizacion de relojes.Con la nocion de espacio curvo se pueden describir las diferencias observadas en el segundo labo-ratorio considerado en el postulado de imposibilidad, como un efecto de geometras no euclidianas.El laboratorio alejado de toda masa es un referencial inercial que se mueve libremente siguiendouna trayectoria geodesica sobre un espacio curvo.Para completar la equivalencia con el primer laboratorio en terminos de la fuente que genera losefectos gravitacionales, se asume que la geometra no euclidiana del espacio es resultado de lapresencia de una masa fuente como la del primer laboratorio.En la siguiente seccion se introduciran las ecuaciones de las lneas geodesicas que siguen las partcu-las de prueba para luego mostrar que con el postulado de imposibildad se puede pensar la gravedad

4

CAPITULO 2. LA GRAVEDAD COMO UNA MANIFESTACION METRICA 5

como una manifestacion metrica.

2.2. Ecuaciones de las lneas geodesicas

En esta seccion se calculara la ecuacion de las trayectorias geodesicas en un espacio-tiempo curvo,pensando en una descripcion relativista sobre geometras no euclidianas, para llevar hasta lasultimas consecuencias el postulado de imposibilidad introducido arriba.

Figura 2.1: Distancia entre dos puntos.

La distancia entre dos puntos 1 y 2 sobre una curva x() en un espacio-tiempo curvo, se expresapor:

S = 21

(g

dx

d

dx

d

) 12

d. (2.1)

La distancia mnima entre los dos puntos se obtiene de:

S = 0, (2.2)

con

S = 21

Fd, (2.3)

F = (g xx)12 , x :=

dx

d. (2.4)

De (2.2) se calcula:

d

d

F

x Fx

= 0, (2.5)

d

d

(1Fg x

) 1

2Fgx

xx = 0, (2.6)

g x 1

2gx

xx +gx

x x = g xF1dF

d. (2.7)

Escribiendo:


gx

x x =12

(gx

+gx

)x x

=12gx

x x +12gx

x x

=12

(gx

+gx

)x x

(2.8)

y finalmente de (2.7) y (2.8):

g x + [, ]x x = g x

F

F(2.9)

donde

[, ] :=12

(gx

+gx

gx

), (2.10)

considerando S , s = F , FF = SS , S = 0, (2.9) se puede escribir como:

ggx + g[, ]x x = 0 (2.11)

d2x

ds2+

dx

ds

dx

ds= 0, (2.12)

donde

:= g[, ]

[, ] = [, ] =

(2.13)

2.3. Aproximacion de campo debil

Considere una metrica estatica

g = + (2.14)

donde es una constante pequena y representa una perturbacion independiente del tiempo,debida a la presencia de una masa. Lejos de la masa g . Entonces, el elememto de lnea sepuede escribir como:

ds2 = (dx0)2 + (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 + dxdx . (2.15)Escribiendo (2.15) hasta terminos de primer orden en y = vc (es decir, no se consideraran losordenes 2, 2, y mas altos) se obtiene:(

ds

dt

)2 c2(1 + 00). (2.16)

Ahora se aplicara (2.16) a la ecuacion geodesica (2.12)


d2x

ds2+

dx

ds

dx

ds= 0, (2.17)

observe que

dx

ds

dx

ds=v

c

v

c

1(1 + 00) (2.18)

y que es constante en el espacio-tiempo. Entonces, para , 6= 0

dx

ds

dx

ds 2, (2.19)

y para 6= 0 o 6= 0 (no ambas nulas),

dx

ds

dx

ds . (2.20)

De (2.19) y (2.20), la expresion (2.17) hasta primer orden en y se puede escribir

d2x

dt200c

2 = 0. (2.21)

Como 000 = 0 y 00 =

1200x ,

d2x

dt2= c

2

200. (2.22)

(2.22) corresponde a la ecuacion de movimiento de Newton para un campo gravitacional clasico,derivada de un potencial escalar, si se identifica el potencial escalar como

=c2

200. (2.23)

Entonces, dado el potencial clasico = GMr , el movimiento de una partcula de prueba sera a lolargo de una geodesica sobre el cuadri-espacio-timepo si el termino g00 de la metrica tiene la forma

g00 = (

1 +2c2

). (2.24)

Con este calculo es claro que, al menos para campos debiles, la gravedad puede describirse enterminos geometricos.

2.4. Ecuaciones de campo de Einstein en el vaco

La aproximacion de campo debil implicara que la interaccion entre masas asociadas al primerlaboratorio considerado arriba, de acuerdo con la ley de la gravitacion universal de Newton, sepodra describir de una forma alternativa y equivalente para el segundo laboratorio, suponiendoque la masa atrayente de este ultimo segun la configuracion del primero, curvara al espacio-tiempo.As, la aproximacion de las masas de prueba dentro del segundo laboratorio se describira comouna aproximacion geodesica.


Con estas consideraciones se puede formular, de la aproximacion presentada arriba, una teoraintegralmente geometrica: la ecuacion de Laplace, de acuerdo con la manifestacion metrica de lospotenciales gravitacionales, se generaliza en terminos de un tensor de segundo orden en las deriva-das de la metrica.

Considerando que la gravedad se manifiesta como la curvatura del espacio-tiempo, ese tensor desegundo orden se debe derivar del tensor de Riemann:

R = R. (2.25)

Entonces se pueden proponer las ecuaciones

R = 0 R 1/2Rg = 0, (2.26)las cuales se conocen como las ecuaciones de Einstein en el vaco.

2.5. Solucion de Schwarzschild

El potencial gravitacional exterior a una distribucion de masa M con simetra esferica, a la distanciar medida radialmente desde el centro de la distribucion de masa, es una solucion de la ecuacion(2.26):para c = G = 1, en coordenadas esfericas (t, r, , ),

ds2 = (

1 2Mr

)dt2 +

(1 2M

r

)1dr2 + r2d2. (2.27)

2.6. Escalar de Kretschmann

La singularidad que presenta la solucion (2.27) en r = 2M es de tipo coordenado, es decir, nocorresponde a una divergencia en la variedad espacio-temporal. Para demostrar esta afirmacion seintroduce un objeto independiente de las coordenadas, denominado el escalar de Kretschmann. Elcual se calcula en terminos de las componentes del tensor de Riemann:

RR = k. (2.28)

Los elementos R se calculan con base en la relacion siguiente:

R = gR, (2.29)

y los elementos R mediante

R = ggg

= gggR.(2.30)

Para la solucion de Schwarzschild, con coordenadas (t, r, , ), las componentes no nulas del tensorde Riemann son:

R0101, R0202, R

0303, R

1212, R

1313, R

2323. (2.31)


Entonces,

k = 4{R0101R0101 +R0202R0202 +R0303R0303 +R1212R1212 +R1313R1313 +R2323R2323}

= 4{

4M2

r6+M2

r6+M2

r6+M2

r6+M2

r6+

4M2

r6

}=

48M2

r6.

(2.32)

Lo cual significa que la unica singularidad esencial se presenta en r = 0.

2.7. Coordenadas de Kruskal

En esta seccion se expresara la solucion de Schwarzschild en unas nuevas coordenadas (T,Z,,) talque no generen singularidades coordenadas en el horizonte de eventos y permitan aplicar claramenteefectos cuanticos con base en la teora Dinamica de Campos Termicosde Umezawa y Takahashi,suponiendo que la masa M colapsa y genera un agujero negro.Estas nuevas cooordenadas surgen de explorar la vecindad donde las coordenadas de Schwarzschildpresentan una sungularidad no esencial. La forma mas sencilla para hacer tal exploracion se reducea escoger partculas sin masa incidiendo radialmente hacia el horizonte, en decir, (2.27) se simplificaen la expresion siguiente

(

1 2Mr

)d2t+

(1 2M

r

)1d2r = 0, (2.33)

de la cual se encuentra la relacion funcional entre r y t:

t = r + 2M ln | r2M 1 | +cte. (2.34)

Puesto que se escogieron partculas sin masa, las coordenadas apropiadas para expresar la metricason las coordenadas nulas:

u = t rv = t+ r,

(2.35)

donde r = t = r + 2M ln | r2M 1 |. Con base en las consideraciones hechas arriba se puedereescribir (2.27), para la vecindad muy proxima a r = 2M , lo cual se notara

ds2 |r2M exp u4M du expv

4Mdv + r2d2, (2.36)

para r > 2M y r < 2M , donde

r |r2M 2M ln | 1 2Mr| (2.37)

es decir,


r =v u

2 2u ln | 1 2M

r|,

(1 2M

r

) exp v u

4Msi r > 2M,

(1 2M

r

) exp v u

4Msi r < 2M.

(2.38)

De (2.36), como efecto de la exploracion de la vecindad de la singularidad, se observa la presenciade unas nuevas coordenadas, que se denominan coordenadas de Kruskal:

U := exp u4M

V := expv

4M.

(2.39)

Con base en (2.36) es evidente que en r = 2M no existe una singularidad esencial. Entonces,regresando a (2.27), en terminos de las coordenadas nulas (2.35) se obtiene

ds2 = (

1 2Mr

)dudv + r2d2, (2.40)

la cual, usando (2.39) se transforma en

ds2 = (

1 2Mr

)16M2 exp

u

4Mexp v

4MdUdV +r2d2 para r > 2M y r < 2M. (2.41)

Para r > 0 de (2.41) se calcula

ds2 = 32M3

rexp( r

2M)dUdV + r2d2, (2.42)

la cual, introduciendo las coordenadas de Kruskal (T,Z):

U = T ZV = T + Z,

(2.43)

se reduce a

ds2 = (exp r2M

)32M3

r(dT 2 + dZ2) + r2d2, (2.44)

donde claramente, se hizo la transformacion de coordenadas de

(t, r, , ) (T,Z, , ), (2.45)que conduce a una metrica sin problemas en r = 2M .

De la propiedad


(expr

2M)( r

2M 1)

= UV valida para r > 0, (2.46)es directo encontrar las transformaciones entre las coordenadas consideradas:

T (r, t) = expr

4M

( r2M 1) 1

2sinh

(t

4M

Z(r, t) = expr

4M

( r2M 1) 1

2cosh

(t

4M

)para r > 2M.

(2.47)

Para 0 < r < 2M , de manera similar se obtiene

ds2 = (exp r2M

)32M3

r(dT 2 + dZ2) + r2d2, (2.48)

con las correspondientes transformaciones

T (r, t) = expr

4M

(1 r

2M

) 12

cosh(

t

4M

Z(r, t) = expr

4M

(1 r

2M

) 12

sinh(

t

4M

)para r < 2M.

(2.49)

Todo este analisis muestra la existencia de una variedad con tiempo global T ,como muestra lafigura del espacio-tiempo de Shwarzschild extendido maximalmente, que se subdivide en cuatrosubvariedades:

Z >| T | y su region isometrica (Z | Z | y su region isometrica. (2.50)


Figura 2.2: Espacio-tiempo de Schwarzschild extendido maximalmente.

Captulo 3

CUANTIZACION SOBRE LASVARIEDADES RIEMANNIANAS

Cuando se hace teora cuantica de campos sobre una variedad no explcitamente minkowskianasurge una ambiguedad intrnseca en la construccion del espacio de Fock. En general se presentauna no unicidad en el esquema de cuantizacion canonica.

En el espacio-tiempo de Minkowski el grupo de isometras es el grupo de Poincare, luego es posibleescoger un campo vectorial de Killing temporal tal que, algunos sistemas resultan invariantes bajotraslaciones temporales, lo que lleva a la conservacion de la energa. En particular, en el esquemade la cuantizacion canonica de un campo escalar el vaco es invariante bajo la accion del grupo dePoincare, es decir, para todos los observadores se define un estado de vaco comun.

La anterior descripcion es completamente diferente cuando la cuantizacion de los campos se llevaa cabo en presencia de campos externos como el campo gravitacional. Diferentes fenomenologasse presentan dependiendo si el campo externo es estacionario o no lo es. Si este es estacionario,generalmente se esperan efectos de polarizacion del vaco; o emision de partculas del vaco cuanticosi no es estacionario.

Respecto a la presencia de campos gravitacionales, el grupo de isometras del espacio-tiempo ya noes el grupo de Poincare. En general en los espacios-tiempo curvos no hay una unica escogencia deltiempo coordenado lo que lleva a la existencia de diferentes estados de vaco, es decir, no habra ununico estado de vaco para todos los observadores. Los efectos Hawking y Unruh son un directaconsecuencia de la no unicidad de la cuantizacion canonica en los espacios-tiempo Riemannianos.

3.1. Cuantizacion Canonica

La ambiguedad introducida por la presencia de un campo externo en la construccion del espacio deFock para el esquema de la cuantizacion canonica de un campo, esta principalmente relacionadacon la ausencia de una unica separacion del operador de campo en las partes de frecuencia positivay negativa. Una consecuencia general de esta mezcla de modos es la creacion de partculas del vacocuantico.

13

CAPITULO 3. CUANTIZACION SOBRE LAS VARIEDADES RIEMANNIANAS 14

Previamente a la consideracion de campos externos, es importante definir el papel de los modos defrecuencia positiva y negativa con respecto a un campo vectorial de Killing temporal en el esquemade la cuantizacion canonica de un campo, en particular un campo escalar libre (por simplicidad)sobre el espacio-tiempo de Minkowski.

Considerese que en general un campo vectorial de Killing satisface la ecuacion

; ; = R , (3.1)que para el caso particular del espacio-tiempo de Minkowski se reduce a la expresion

2x x

= 0 . (3.2)

Integrando las ecuaciones (3.2) se obtiene

(x) = a + bx , (3.3)

con a y b constantes y b = b.

Los campos vectoriales de Killing definidos por (3.3) determinan las isometras del espacio-tiempode Minkowski, y el grupo local de difeomorfismos generado por estos campos vectoriales es ungrupo de Lie de dimension n(n+1)2 .

Este grupo de isometras denominado de Poincare, junto con las isometras discretas, conforma elgrupo total de isometras que, caracterizan las propiedades de simetra maximal del espacio-tiempode Minkowski.

De los 10 campos vectoriales de Killing linealmente independientes, determinados por la expresion(3.3), se puede elegir un campo vectorial de Killing como de tiempo (0) , de tal manera que esposible introducir una coordenada temporal t, tal que (0)

(t , 0, 0, 0

)y la metrica sea inde-

pendiente de t.

El esquema de la cuantizacion canonica requiere un conjunto de soluciones de las ecuaciones decampo {

(+)~k

(t, ~x) ; ()~k (t, ~x) = (+)~k

(t, ~x)}, (3.4)

el cual sea completo y ortonormal con respecto al producto escalar definido por

(1 , 2) = iPt

1(X)t

2(X) d

3X , (3.5)

dondet denota una hipersuperficie como de espacio para el instante t definido arriba.

Notese que (3.5) se ha definido justo tal que ((+)~k , ()~k

) = 0.

Para interpretar correctamente energa, vaco de los campos e impulso, los modos de campo (+)~kdeben ser de frecuencia positiva con respecto al campo vectorial de Killing temporal escogido (0) .


Justamente los supersignos () denotan soluciones con energa positiva y negativa respecto al tescogido. En otras palabras: Considerese explcitamente los modos

(+)~k

(t , ~x) eiKX , (3.6)

()~k

(t , ~x) eiKX ,donde K , X R4 , K = (K0 , ~k) ,

KX := KK , : Tensor metrico de Minkowski .

En el esquema de la cuantizacion canonica las componentes K0 y ~k del c-vector de onda K seinterpretan como la energa y el impulso del campo, respectivamente.

La eleccion de la coordenada temporal t con base en el campo vectorial de Killing temporal (0) ,significa que el sistema es invariante bajo traslaciones temporales, lo que implica conservacion dela energa. Con la derivada de Lie a lo largo de la direccion del campo de Killing se definen lossignos de K0, consiguiendose que el campo siempre tenga energa positiva (lo cual se espera si sequiere un campo realizable fsicamente), es decir, los modos (3.6) deben ser funciones propias deloperador t ,

t

(+)~k

(t, ~x) = iK0 (+)~k (t, ~x)

t

()~k

(t, ~x) = iK0 ()~k (t, ~x) , (3.7)

con K0 = 0, elegido de la ecuacion de Klein-Gordon, la cual implica que k2 +m2 = 0 conducea K0 =

~k2 +m2.

En la ausencia de campos externos se tiene un procedimiento para construir un espacio de Fockcompletamente bien definido: Un campo escalar (t, ~x) en el espacio-tiempo de Minkowski puedeser expandido en terminos de los modos expresados por (3.4)

=~k

(a~k

(+)~k

(t, ~x) + a~k ()~k

(t, ~x)), (3.8)

donde, una vez se cuantiza , un estado de multiples partculas se puede construir del estado devaco |0, definido como

a~k |0 0 , ~k (3.9)por la aplicacion de los operadores a~k y a~k, de construccion y destruccion respectivamente. As, esnatural esperar el valor espresso

0N~k 0 = 0 ~k , (3.10)

donde N~k es el operador numero de partculas para el modo ~k.


3.2. Cuantizacion Canonica en Campos Externos

En general, la descripcion presentada en la seccion 3.1, cuando esta presente un campo externo,conduce a la existencia de diferentes conjuntos completos ortonormales de soluciones igualmentevalidos, es decir, se presentaran diferentes estados de vaco inequivalentes. En particular, en es-te numeral se considerara la presencia del campo gravitacional en una aproximacion semiclasica,es decir, ignorando los efectos cuanticos de la gravedad sobre los campos cuanticos de materia.La aproximacion de tratar cuanticamente los campos de materia sobre un background espacio-temporal curvo y clasico es una buena aproximacion en regiones donde el radio de curvatura seamucho mayor que la longitud de Planck.

En los espacio-tiempos curvos el grupo de Poincare ya no es el grupo de isometras de la variedad,entonces en general, no hay una unica escogencia del tiempo coordenado. Diferentes escogenciasconducen a diferentes definiciones de modos de frecuencia positiva y diferentes estados de vaco.Esta ambiguedad en la construccion del espacio de Fock esta relacionada basicamente con la au-sencia de una unica separacion del operador de campo en partes de frecuencia positiva y negativa.Una consecuencia general de esta mezcla de modos es la creacion de partculas del vaco cuantico.Existen diferentes formas de crear partculas del vaco, sin embargo todos los procedimientos tienenen comun la propiedad matematica de la mezcla de frecuencias positivas y negativas.

El metodo semiclasico ilustra dos aspectos de la cuantizacion canonica de campos definidos sobrevariedades curvas, la aproximacion al esquema de cuantizacion mostrada en la seccion 3.1 y unaimagen heurstica acerca de la creacion de partculas.

Siempre es posible construir un sistema coordenado localmente Gaussiano en una vecindad dealgun punto p sobre la variedad curva, valido hasta distancias del orden del radio de curvatura asociado a p, el cual se puede expresar en terminos del tensor de Riemann como

RabcdRabcd 4 . (3.11)

Con base en este sistema coordenado se puede definir un conjunto completo de soluciones de laecuacion de onda del campo para K0 1, con la division para los modos (+)~k y

()~k

, de acuerdocon la ecuacion de valores propios usual

t

()~k

(X) = iK0 ()~k (X) , (3.12)

donde, para frecuencias del orden K0 1 tal division ya no sera valida porque (la longitudde onda de los modos se extendera a regiones con conexion no nula).

Complementariamente a la descripcion local anterior, de esta puede modelarse heursticamente lacreacion de partculas. La incertidumbre en la densidad de la energa local causada por la am-biguedad en definir modos de longitud de onda mayores que el radio de curvatura local puedeconsiderarse como correspondiente a la densidad de energa local de partculas creadas por el cam-po gravitacional. Aunque los efectos de creacion de partculas pueden ser despreciables localmente,para el caso del campo gravitacional de un agujero negro, puede mostrarse que su adicion es sig-nificativa para tiempos del orden de 1017 s con una distribucion planckiana en el infinito.


En general, la construccion de la teora de campos cuanticos en espacios curvos requiere espacios-tiempo globalmente hiperbolicos para asegurar que la estructura causal este bien definida y que elespacio de soluciones de las ecuaciones clasicas de campo tengan la misma estructura basica comoen el espacio-tiempo de Minkowski. La unica diferencia significativa con el caso del espacio-tiempode Minkowski es que en general no se tiene una escogencia preferencial del espacio de Hilbert deuna partcula H.

En este caso se pueden escoger dos conjuntos completos ortonormales de modos de solucion{u(+)i , u()i }, {u(+)j , u()j }, de tal manera que se pueden expandir unos en terminos de los otros,

uj =i

(ji u(+)i + ji u

()i ) , (3.13)

ui =j

(ji u(+)j ji u()j ) , (3.14)

donde ij = (u(+)i , u()j ) ,

calculado con la generalizacion de (3.5) para cada escogencia temporal.

En el esquema de la cuantizacion canonica se definen los estados de vaco para cada escogenciaarriba

ai |0 = 0 , iaj |0 = 0 , j (3.15)

donde los ai y aj son los respectivos operadores de destruccion.

El valor esperado del operador numero de partculas Ni = ai ai en el estado de vaco de la otra

representacion |0,

0 |Ni | 0 =j

|ji|2 , (3.16)

indica claramente que una mezcla de modos de frecuencia positiva u(+)i y modos de frecuencia ne-gativa u()i en (3.13), debido a que cualquier ji 6= 0, conduce a estados de vaco inequivalentes. Laexpresion (3.16) significa que el vaco de los modos uj contiene

j |ji|2 partculas en el modo u(+)i .

En particular, una clara y estable separacion de los modos (+)~k y ()~k

dada por las ecuaciones (3.7)y (3.12), evitando la ambiguedad en la construccion del espacio de Fock (y su general consecuenciade creacion de partculas), se puede generalizar a algunos espacios curvos que admiten particularesgrupos de simetra, como los espacio-tiempos estacionarios.

Un espacio-tiempo globalmente hiperbolico (M, gab) que admita un grupo uniparametrico de iso-metras cuyas curvas integrales sean como de tiempo se denomina estacionario. A diferencia de losespacios-tiempo globalmente hiperbolicos en general, en los espacios-tiempo estacionarios existeuna prescripcion natural para definir H como el espacio de soluciones de frecuencia positiva con


respecto al tiempo de Killing que genera estas isometras.

En otras palabras, las ecuaciones de valores propios (3.7) y (3.12) se generalizan a la forma siguiente

L ()K (, x) = K0 ()K (, x) , (3.17)donde la derivada de Lie a lo largo de la direccion del campo de Killing determina los signosde las frecuencias. As la globalidad del campo vectorial de Killing garantiza que el vaco definidosera estable y no se presentara creacion de partculas.

Captulo 4

DINAMICA DE CAMPOSTERMICOS

El formalismo denominado Dinamica de Campos Termicos tiene por objetivo principal expresar elestado de vaco de los campos en funcion de la temperatura |0(), que satisfaga

0()|A|0() = Z1()n

n|A|neEn (4.1)

para una variable dinamica A, donde la Hamiltoniana H asociada satisface

H |n = En|n, (4.2)n|m = nm. (4.3)

En otras palabras, lo que formula la dinamica de campos termicos es una representacion en la cualel valor esperado para el vaco coincida con el promedio estadstico de una magnitud A, que parael ensamble gran canonico a la temperatura T esta dado por

A = Z1()Tr[eHA] = 0()|A|0(), (4.4)con

H = H N, Z() = Tr[eHA] y = 1kBT

.

Donde H es la Hamiltoniana total del sistema, el potencial qumico y kB la constante de Boltz-mann.

4.1. Campos cuanticos como osciladores armonicos

Intuitivamente la cuantizacion de los campos se puede describir en terminos de un modelo unidi-mensional de N osciladores acoplados, con N tendiendo a infinito, cuya energa total escrita encoordenadas normales permite su descripcion cuantica de la siguiente forma

E =Ni=1

(ni + 1/2)i, (4.5)

19

CAPITULO 4. DINAMICA DE CAMPOS TERMICOS 20

con modos de frecuencia i y ni enteros positivos o cero.En esta descripcion el estado de vaco |0 estandar se define con base en los operadores de destruc-cion ai como

ai|0 = 0, (4.6)considerando que la Hamiltoniana asociada se puede escribir usando el operador numero N = aiaique, se define en terminos de los operadoes de destruccion ai y creacion a

i

H =i=1

iaiai, (4.7)

donde no se ha considerado la contribucion de los sumandos 1/2i=1

i, recurriendo a la tecnica

denominada operacion orden normal, puesto que en espacios planos la energa no se mide enterminos absolutos sino en terminos de diferencias entre niveles de energa.

4.2. Sentido fsico de la dinamica de campos termicos

Si dos subsistemas son identicas copias uno del otro y estan entanglados cuanticamente de talmanera que conforman un estado puro para el sistema total, cada uno de ellos llega a ser ma-croscopicamente indistinguible de un cuerpo caliente a una temperatura definida T . Cada uno deellos llega a ser un bano de calor para el otro.

Considere un sistema compuesto de un par de subsistemas identicos, con Hamiltonianas H1 y H2iguales en forma y con valores propios comunes En:

H1,2 |n 1,2 = En |n 1,2 . (4.8)Se construye un estado puro |T del sistema total, caracterizado por un parametro real no negativoT que entangla los subsistemas como

|T = Z 12n

e12 1/T En |n 1 |n 2 . (4.9)

Si O1 es cualquier operador que actua unicamente sobre estados del subsistema 1, su promediotermico es igual a su valor esperado en el estado |T :

Tr (1O1) =n

e1/T En 1 n |O1 | n 1 = T |O1 | T . (4.10)

En esta forma se reduce la mecanica estadstica a la teora de campos cuanticos.

La aplicacion de esta concepcion a sistemas divididos por horizontes de eventos ha sido muy utilpara describir la naturaleza termica de los resultados de Fulling, Gibbons, Hawking y Unruh.


4.3. Formalismo de la dinamica de campos termicos

Para obtener la expresion (4.1) en el sentido de la seccion 4.2, se expande el estado de vaco termico|0() en terminos de una base {|n} de un espacio de Hilbert en la forma

|0() =n

|nn|0() =n

fn()|n, (4.11)

donde se recurrio a la completez del espacio de Hilbert. Sustituyendo (4.11) en el lado izquierdode la ecuacion (4.1), se obtiene

n

fn()n|Am

fm()|m = Z1()n

n|A|neEnn,m

fn()fm()n|A|m = Z1()n

n|A|neEn

n,m

fn()fm()n|A|m = Z1()n,m

nmn|A|meEn ,

fn()fm() = Z1()eEnnm. (4.12)

Esta ultima relacion presenta una dificultad, puesto que es imposible para los coeficientes dela expansion (4.11). Simples numeros complejos no satisfacen una relacion que requiere objetosvectoriales. Sin embargo, la relacion (4.12) se puede considerar como una condicion de ortogonalidaden un espacio de Hilbert en el cual el coeficiente fm() sea un vector. Es decir, el estado |0() es unvector en el espacio expandido por |n y fm(). Para llevar a cabo tal representacion es convenienteintroducir un sistema dinamico ficticio identico al que se esta considerando. De acuerdo con estarepresntacion, se denotaran las cantidades asociadas con el sistema ficticio con una tilde. As,el sistema ficticio se caracterizara por la Hamiltoniana H y el espacio de los vectores de estadosera expandido por los vectores |n que satisfacen las siguientes relaciones

H|n = En|n, n|m = nm, (4.13)

donde se establece que la energa es la misma del sistema fsico.

El vector de estado del sistema total se construye a partir del producto directo de los vectores deestado de cada uno de los subsistemas, fsico y ficticio:

|n, m = |n |m. (4.14)

De esta forma, los elementos de la matriz de los operadores A y A son dados respectivamente por

m, n|A|n , m = n|A|nmm , (4.15)m, n|A|n , m = m|A|mnn . (4.16)

Definiendo el coeficiente vectorial de la expansion (4.11) como

fn() = eEn/2Z1/2()|n, (4.17)


se verifica la relacion (4.12), pero sin la inconsistencia de ortogonalidad que se presentaba ante-riormente. As,

fn()fm() = eEn/2Z1/2()n|eEm/2Z1/2()|m

= e/2(En+Em)Z1()n|m= Z1()eEnnm.

(4.18)

Entonces, usando la definicion (4.17) se construye el estado de vaco termico a partir de la ecuacion(4.11) como sigue

|0() = Z1/2()n

eEn/2|n |n = Z1/2()n

eEn/2|n, n. (4.19)

Finalmente se verifica la relacion (4.1) teniendo en cuenta la ecuacion (4.19):

0()|A|0() = Z1/2()n

eEn/2n, n|AZ1/2()m

eEm/2|m, m

= Z1()n,m

e/2(En+Em)n|A|mnm

= Z1()n

n|A|neEn .

(4.20)

4.4. Modelo de osciladores dobles para agujeros negros

En esta seccion se presenta un modelo sencillo, en terminos de osciladores armonicos, para in-troducir los esquemas de cuantizacion Killing-Boulware y Kruskal-Hartle-Hawking, los cuales sedesarrollaran rigurosamente en captulos posteriores.Para un grado de libertad bosonico, apropiado para la mecanica estadstica de entanglement deagujeros negros, en terminos de dos osciladores acoplados, se definen:

Esquema Killling-Boulware: Dos osciladores: q+(t), q(t)

Esquema Kruskal-Hartle-Hawking: Dos osciladores: Q+(t), Q(t)

Estos 4 osciladores satisfacen las siguientes ecuaciones:

Q + 2Q(t) = 0, q + 2q(t) = 0, = 1. (4.21)cuyas soluciones se relacionan por medio de la transformacion de Bogoliubov

Q(t) = cosh()q(t) sinh()q(t), (4.22)donde = () esta definida en terminos de

tanh() = epi||/k, (4.23)

y k es la gravedad superficial.Los correspondientes modos de solucion son los siguientes:

Q(t) =12

(aeit + aeit),

q(t) =12

(beit + beit). (4.24)


A partir de (4.22) y (4.24) se obtienen

a = cosh()b senh()b,a = cosh()b

senh()b.

(4.25)

Donde se verifica el invariante cuadratico

Q2+ Q2 = q2+ q2. (4.26)

Ademas, se verifica la invariancia de la Lagrangiana L establecida por el formalismo de la dinamicade campos termicos

L =12

(q2 2q2 ) =12

(Q2 2Q2). (4.27)

De lo anterior se verifica la invariancia del Hamiltoniano

H =

pq L = 12

(p2 + 2q2 ) =

12

(b b + bb), (4.28)

H =

PQ L = 12

(P 2 + 2Q2) =

12

(a a + aa), (4.29)

dondep =

Lqq

= q, P =LQ

Q= Q. (4.30)

Considerando ddt de las ecuaciones (4.22) y (4.30) se obtienen

d

dtQ(t) = cosh()

d

dtq(t) sinh() d

dtq(t),

Q = cosh()q + sinh()q,

P(t) = cosh()p(t) + senh()p. (4.31)

Se establecen las relaciones de conmutacion dadas por

[q(t), p (t)] = i , [Q(t), P (t)] = i . (4.32)

[a, a

] = [b, b

] = . (4.33)

De (4.24) y (4.30) se obtienen

aeit =

12

(Q + iP), beit =12

(q + ip). (4.34)

Para el esquema Hartle-Hawking se define el estado base |0a:

a+|0a = a|0a = 0, (4.35)

donde a+ y a son operadores de aniquilacion.


De (4.34) y (4.35) se obtiene

(Q + iP)|0a = 0, ( = ). (4.36)

De igual manera para el esquema Killing-Boulware se define el estado base |0b:

b+|0b = b|0b = 0, (4.37)

donde b+ y b tambien son operadores de aniquilacion.

De manera similar a (4.36) se obtiene

(q + ip)|0b = 0, ( = ). (4.38)

En terminos de la funcion de onda 0b para el esquema Killing-Boulware es util introducir lassiguientes expresiones:

0b(q+, q

) = q

|0b,la cual satisface (

q +

q

)0b(q) = 0,

lo cual implica

0b(q) =

pie1/2(q

2+ +q

2 ). (4.39)

Donde para la representacion de Schrodinger

p = i q

. (4.40)

Igualmente para el otro esquema se establece(Q +

Q

)0a(Q) = 0,

lo cual implica de nuevo

0a(Q) =

pie1/2(Q

2+ +Q

2 ). (4.41)

De las relaciones (4.28), (4.29), (4.35) y (4.37) se encuentra que ambos estados base tienen energacero, es decir

H|0a = H|0b = 0. (4.42)

4.4.1. Matriz densidad termica reducida

Para el caso de un observador restringido a una de las regiones, la de la izquiera o la de la derechaen la variedad de Kruskal (figura 2.2), se hace necesario el calculo de la matriz densidad reducidaa partir de una matriz densidad total, es decir

0a(Q, Q) 0a(Q)0a(Q) =

pie 12

P

(Q2 +Q

2 ). (4.43)


De (4.22) y

(Q2 +Q

2 ) se obtiene

(Q2 +Q

2 ) = C2

(q2 + q

2 ) 2S2(q

+q + q

+q), (4.44)

donde

C = cosh,S = senh. (4.45)

Para la region no accesible por el observador restringido se calcula la traza, en este caso la sumasobre q

(Q2 +Q

2 )

q=q

=q

=C2(q2+ + q

2+ + 2q

2) 2S2q2q+

=C2(q2+ + q

2+ ) + 2C2{(q tanh2 q+)2 tanh22 q2+}, (4.46)

donde q+ 12 (q+ + q

+).

Si se define

red(q+, q

+) =

0a(Q

, Q)dq

q=q

=q

, (4.47)

se muestra que

red(q+, q

+) =

pi

pi

C2e 12 C2 {C

22(q

2+ +q

2+ ) 12S2(q

++q

+)

2}. (4.48)

Esta matriz densidad es termica como se mostrara abajo. Basicamente se demostrara que (3.48)es reexpresable como

red(q+, q

+) =

1C2

n=0

tanh2nn(q+)n(q

+), (4.49)

donde n(q) son funciones de onda de la forma

n(q, t) = n(q)ei(n+12 )t =

(

pi

) 14 1

2nn!Hn(q)e

12q

2ei(n+

12 )t, (4.50)

donde se puede observar que la expresion (4.49) satisface la estructura termica de la expresion(4.19) de la dinamica de campos termicos. Entonces, en los siguientes parrafos, basicamente, semostrara tal afirmacion.Considerando los cambios de variable:

x =q+, y =

q, tanh = tanh

2, (4.51)

se llega a

cosh2 =C22 12S22

C2,

senh2 =12S

22

C2. (4.52)


Con base en (4.51) y (4.52), la expresion (4.48) se simplifica de la siguiente forma

red(x, y) =

piC2e

12 (y

2x2)e(yCxS)2. (4.53)

Construyendo

red

red(x, y)Hn(y)e12y

2dy, (4.54)

y reemplazando (4.53) en (4.54) se obtiene

piC2e

12x

2

e(yCxS)2Hn(y)dy. (4.55)

Con base en la identidad

1pi

e(yCxS)2Hn(y)dy =

tanhn

coshHn(x), (4.56)

y la expresion (4.55) se obtieneC2

tanhn

coshHn()e

12x

2. (4.57)

Por otra parte se observa que de (4.49) y (4.50), en general, se puede proponer

red(x, y) =

pi

1C2

m=0

tanhm

2mm!Hm(x)Hm(y)e

12 (x

2+y2). (4.58)

Al evaluar (4.58) en (4.54), y usar la propiedad de ortogonalidad dada por

ey2Hm(y)Hn(y)dy =

pi2nn!mn, (4.59)

se llega a

C2tanhnHn()e

12x

2. (4.60)

As, claramente se ve que de (4.58) y (4.53) se obtiene la misma funcionalidad para todo n. De

(4.52) y cosh = C2C2

, se muestra que (4.57) es igual a (4.60). Lo anterior establece la igualdad

de (4.48) con (4.49).

Al retomar la funcion de onda (4.41) y escribir

Q = Cq Sq, (4.61)Q2+ Q2 = C2(q2+ q2) 2S2q+q, (4.62)

se puede establecer que

0a(Q) =1C

n=0

tanhnn(q+)n(q). (4.63)


Entonces, tomando x =q+ y y =

q, (4.41) y (4.61) conducen a

0a(x, y) =

pie

12 {C2(x2 + y2) 2S2xy}. (4.64)

As, (4.63) usando (4.50), se reduce a

0a(x, y) =1C

pi

n=0

tanhn

2nn!Hn(x)Hn(y)e

12 (x

2+y2). (4.65)

De la misma manera como se probo la equivalencia entre (4.53) y (4.58), se prueba la equivalenciaentre (4.64) y (4.65).Para concluir la descripcion en terminos de la dinamica de campos termicos, se considera lo si-guiente:Al usar (4.63) para 0a, y operar

0a(Q, Q) = 0a(Q

)0a(Q

),

se puede derivar la expresion (4.49) para red de manera mas simple.La expresion (4.63) es la funcion de onda equivalente de las identidades de la dinamica de campostermicos (4.19)

|T = Z1/2n

e12EnT |n1 |n2, (4.66)

y|0a = eiG|0b = Z1/2

n

e12En |n(+), n()b, (4.67)

donde

G = G = i(b+b b+b),a = eibei. (4.68)

Entonces el estado |0a es un bano termico de los b-modos, es decir, que los observadores asociadosa esta cuantizacion ven este vaco como un bano termico.Observe que la expresion (4.67) se puede probar directamente partiendo de a = Cb Sb .

Parte II

AGUJEROS NEGROSTERMICOS

28

Captulo 5

TERMODINAMICA DEAGUJEROS NEGROS

Un cuerpo en coplapso se describe por una gran cantidad de parametros, pero una vez confor-mado un agujero negro, su descripcion no depende de los tipos de materia ni de la mayora delos momentos de multipolo de la distribucion de masa, excepto de los momentos de monopolo yde dipolo, los cuales son la masa y el momentum angular, respectivamente. Para un observadorexterno de un agujero negro, este se presenta increblemente simple, todo lo que se puede saberde el es su masa, momentum angular y carga electrica (puede incluirse la carga magnetica). Esteresultado esta firmemente demostrado por el denominado teorema del no pelo, al cual se llego porun trabajo combinado de W. Israel, B. Carter, S. W. Hawking y D. C. Robinson.

El teorema del no pelo sugiere considerar a los agujeros negros como sistemas termodinamicos,puesto que estos seran objetos con muchos grados de libertad internos cuya configuracion externaesta completamente especificada por algunos pocos parametros. Efectvamente, J. M. Bardeen, B.Carter y S. W. Hawking desarrollaron sistematicamente leyes de la mecanica de agujeros negros,analogas a las leyes de la termodinamica, las cuales se relacionaron fsicamente con el descubri-miento de la radiacion Hawking.

5.1. Agujeros Negros Clasicos

La gravedad tiene una magnitud que se comporta como la entropa, la cual depende de la conjeturade la censura cosmica o imposibilidad de observar una singularidad desde el exterior de un agujeronegro.

Suponiendo la validez de la censura cosmica debil (es decir, suponiendo los infinitos nulos pasadoI y futuro I+ completos y el pasado de I+, I(I+), globalmente hiperbolico) y la condicion deenerga debil

Tvv 0 , (5.1)

(donde fsicamente se puede interpretar como el requerimiento de que la densidad de energa me-dida por cualquier observador temporal con cuadrivelocidad v sea positiva.), los generadores del

29

CAPITULO 5. TERMODINAMICA DE AGUJEROS NEGROS 30

horizonte de eventos no pueden ser convergentes. Esto implica que el area de la seccion transversaldel horizonte de eventos nunca puede decrecer con el tiempo, y en general se incrementara. Ademassi varios agujeros negros se fusionan, el area del agujero negro resultante es mayor o igual que lasuma de las areas de los agujeros negros originales. Este comportamiento es muy similar al de laentropa, de acuerdo con la segunda ley de la termodinamica.

La similitud del teorema del area, el cual afirma que el area A de un agujero negro nunca puededecrecer en cualquier proceso

A 0 , (5.2)con la segunda ley de la termodinamica, la cual sostiene que la entropa S de un sistema cerradonunca decrece en cualquier proceso

S 0 , (5.3)era una interesante analoga matematica antes que Bekenstein propusiera interpretar A como laentropa fsica.

Por otra parte, J. B. Bardeen et.al., casi al tiempo que Bekenstein, desarrollaron a partir de larelatividad general unas leyes de la fsica de los agujeros negros analogas a las cuatro leyes de latermodinamica.

Del radio r+ para el horizonte de eventos de un agujero negro de Kerr-Newman

r+ = GM + (M2 Q2 a2)1/2 , (5.4)donde M es la masa, Q la carga electrica, G la constante de gravitacion universal y ~a = ~LM elmomentum angular por unidad de masa, se calcula el area A del agujero negro

A = 4pi(a2 + r2+) , (5.5)

que conduce a

d = 2r+ dM + 2M dr+ 2QdQ , (5.6)donde es el area A racionalizada: = A4pi .

Finalmente, de (5.6) se encuentra

dM =k

2pidA

4+ ~ d~L+ dQ , (5.7)

donde la gravedad superficial k esta definida


k :=(M2 Q2 a2)1/2

= constante , (5.8)

~ :=~a

: frecuencia angular rotacional,

:=Qr+

: potencial electrico del agujero negro,

G = c = 1 .

Es interesante notar que la gravedad superficial k expresada por (5.8) es un parametro de equili-brio, esta es una constante sobre el horizonte de eventos para cualquier agujero negro en equilibrio.Ademas, k > 0 porque Q2 + a2 > M2 no es una solucion fsica y Q2 + a2 = M2 es un estadolmite que no se puede alcanzar en un numero finito de procesos (el crecimiento de la carga Q yel momentum angular ~L tienen un lmite. Q y ~L muy grandes, por efectos centrfugos, no permi-tiran la formacion de un horizonte de eventos estable y la singularidad quedara desnuda, lo cualno es permitido por la censura cosmica.) Luego, k se comporta justamente como la temperatura,cumpliendose leyes semejantes a la ley cero y tercera de la termodinamica.

Para completar la analoga termodinamica, resulta muy sugestiva la completa correspondenciaentre la expresion (5.7) y la primera ley de la termodinamica

dE = T dS P dV , (5.9)donde, ademas de las ya comentadas correspondencias entre (S, T ) y ( A, k), E se identifica to-talmente con M , y ~ d~L+ dQ con P dV , claramente representando el trabajo hecho sobre elagujero negro por un agente externo que incrementa el momentum angular del agujero negro y lacarga por d~L y dQ, respectivamente.

Asociar temperatura a un objeto que no puede radiar viola la segunda ley de la termodinamicageneralizada, no obstante la relacion de Bekenstein entre entropa y la informacion perdida tras unhorizonte de eventos al formarse un agujero negro. Para resolver las inconsistencias sera necesariointroducir efectos cuanticos.

La obtencion de las leyes de la mecanica de agujeros negros es completamente diferente de lacorrespondiente para las leyes de la termodinamica usual, quiza las primeras surjan en una teoracuantica fundamental de la gravedad como el lmite clasico de las leyes de la termodinamica aplicadaa un sistema conformado por un agujero negro. Por ahora, la derivacion de las leyes de la mecanicade agujeros negros parecen compartir, al menos, un importante aspecto con la termodinamicausual, una cierta universalidad. La forma basica de las leyes correspondientes a los agujeros negrosparecen ser independientes de los detalles precisos de la lagrangiana de la teora fundamental dela gravedad, de manera analoga a la universalidad de la forma de las leyes de la termodinamicausual.

5.2. Agujeros Negros Cuanticos

Considere un campo escalar definido sobre el background geometrico para una estrella que colapsaen agujero negro y que muestra la figura 5.1


NegroAgujero

ColapsanteEstrella

Horizonte de Eventos

Singularidad

I

I

+

Figura 5.1:Diagrama de Penrose para una estrella que colapsa en agujero negro.

Si el background espacio-temporal fuera independiente del tiempo, una solucion de la ecuacion deonda que estuviera expresada unicamente en terminos de modos de frecuencia positivos (+) sobreel infinito nulo pasado I, tambien sera de frecuencia positiva sobre el infinito nulo futuro I+.Entonces, de acuerdo con el numeral 3.1, no habra mezcla de modos (+) y (), luego no habracreacion de partculas. En este caso la metrica es dependiente del tiempo durante el colapso, locual significa que soluciones de frecuencia positiva en I sean parcialmente de frecuencia negativaen I+. En otras palabras, asumiendo que la masa colapsante en el remoto pasado esta lo suficientedifusa que el espacio-tiempo es aproximadamente plano, entonces el estado de vaco definido para cuantizado se construye con base en el numeral 3.2. Los modos incidentes sobre la masa en colapsose correran hacia el azul, pero al salir despues de haber pasado por la masa se habran corrido haciael rojo. Debido a que la masa esta en constante colapso no existe compensacion en los corrimientos,entonces los modos en el futuro remoto estaran netamente corridos al rojo. As, el estado de vacopara I+ no coincidira con el correspondiente a I y se tendra un resultado neto como lo indicala expresion general (3.16), en este caso con distribucion planckiana. Sorprende que este resultadono dependa de los detalles del colapso en el limite temporal futuro, depende unicamente de lagravedad superficial k.

Esta emision exactamente termica de partculas a una rata constante, mucho tiempo despues delcolapso, con temperatura

T =k

2pi, (5.10)

se conoce como radiacion Hawking.

Este resultado dio un sentido fsico a la termodinamica formal y matematica de los agujeros negrosconsiderada en el numeral 5.1.Comparando (5.7), (5.9) y (5.10), podemos expresar


S := SBH =14A , (5.11)

la cual se denominara entropa Bekenstein-Hawking.

Con el descubrimiento de Hawking fue posible generalizar la segunda ley de la termodinamica,resolviendo algunas inconsistencias fsicas,

S 0 , (5.12)donde la entropa generalizada S, se define

S := S + SBH , (5.13)

siendo S la entropa de la materia y radiacion externas del agujero negro.

As pareciere que los agujeros negros realmente tienen entropa gravitacional intrnseca. Esta en-tropa intrnseca significa que la gravedad introduce un nivel extra de impredecibilidad mas alla dela incertidumbre usualmente asociada con la teora cuantica.

5.2.1. Efecto Hawking

Una deduccion elegante de (5.10) y (5.11), sin las aproximaciones de la mezcla de frecuencias, fueintroducida por J. Hartle, G. Gibbons y S. Hawking:

Por simplicidad, considere la metrica de Schwarzschild eucldea, es decir, donde t = i . Debido a laaparente singularidad en r = 2M se define una nueva coordenada radial x = 4M(1 2Mr1)1/2,que transforma la metrica de Schwarzschild usual en la forma

ds2 = x2(d

4M

)2+(

r2

4M2

)dx2 + r2 d2 . (5.14)

Comparando la metrica (5.14) en el plano x con la metrica en coordenadas polares

ds2 = r2 d2 + dr2 ,

se encuentra que es una coordenada temporal con periodo 8piM .Por otra parte, recurriendo a la formulacion euclidiana de la funcion de particion Z para un campo a una temperatura T = 1,

Z =D[] eiI[] , (5.15)

considerando que t = i, donde es la periodicidad temporal, podemos interpretar 8piM como

T = 1 =1

8piM=

k

2pi. (5.16)

El significado fsico de este resultado es que debido a que la solucion eucldea de Schwarzschildes periodica en la direccion del tiempo imaginario, entonces los campos sobre un background deSchwarzschild se comportan como si estuvieran en un estado termico con temperatura T = k2pi .


Aproximadamente (5.16) en grados Kelvin K se puede calcular como

T 107(MM

)K , (5.17)

donde M es la masa del sol.

De acuerdo con (5.17), considerando que la energa emitida se compensa con una disminucion dela masa del agujero negro, los agujeros negros primero emiten unicamente partculas no masivascomo fotones y electrones y luego las mas pesadas cuando T sea muy grande (o M muy pequena),hasta que finalmente el agujero debe evaporarse completamente. Que pasara con la informacionperdida tras del horizonte una vez se evapore el agujero negro es uno de los grandes interrogantesde este proceso termodinamico.

5.2.2. Efecto Unruh

Casi al mismo tiempo del descubrimiento de Hawking, el trabajo de Fulling, Davies y Unruhmostro que efectos termicos tambien estan asociados con aceleracion uniforme en el espacio plano.Existen dos caractersticas importantes de estos efectos termicos o efecto Unruh: el comporta-miento de detectores acelerados de partculas y las propiedades de los campos restringidos a unasubregion del espacio-tiempo de Minkowski. El segundo aspecto parece mas fundamental, puestoque no depende de la estructura del detector y de los detalles de su interaccion con el campocuantico. Un modelo sencillo del efecto Unruh, en el segundo sentido es el siguiente:

Considerese la cuantizacion de un campo escalar en el espacio-tiempo de Minkowski y la cuan-tizacion alternativa en las regiones x < |t| y x > |t|.

La relacion entre los respectivos estados de vaco se expresa como

|0M = exp{

K

[ln(1 e 2pig )1/2 + epig b(1)K b(2)K

]}|0R , (5.18)

con los parametros de los modos de solucion asociados:

= |K| > 0 ; < K |t|,

respectivamente, y g es la aceleracion propia constante de un observador desplazandose en la regionx > |t|.

Cuando un observador restringido a la region x > |t|, mide un observable A, con operador asociadoA, en el estado cuantico |0M , en terminos de |0R de acuerdo a la ecuacion (5.18), se obtiene

0M A 0M = tr(A ) , (5.19)

con el operador definido

=K

n

eEnm eEm |nK nK | , (5.20)


donde |nK son estados de nK cuantos en la region x > |t|, En = n, = 2pig .

Si A = N: operador numero de partculas por modo ,

tr(N ) =1

e 1 , (5.21)En = n .

Este ultimo resultado es justamente el espectro planckiano para una radiacion a la temperatura

T =g

2pi. (5.22)

Entonces, de los analisis anteriores se puede decir que el efecto Unruh es la propiedad termicadel vaco minkowskiano debido a la restriccion de este a la region x > |t| del espacio-tiempo deMinkowski.

Captulo 6

ESTADOS DE VACIO

En el contexto del captulo tres se establecio que en un espacio-tiempo curvo, en general, no setiene una escogencia unica del tiempo coordenado. Diferentes escogencias conducen a diferentesdefiniciones de modos de frecuencia positiva, y por lo tanto a diferentes estados base. El calcu-lo de los valores esperados del operador energa-momentum para estos estados es generalmentecomplicado y no expresable en forma cerrada. Sin embargo, en (1 + 1)-dimensiones se encuentranresultados muy utiles:

Considere el espacio-tiempo, en general no estacionario,

ds2 = e2(u,v) du dv = e2(z,t)(dz2 dt2) , (6.1)donde se ha introducido el gauge conforme.

La curvatura esta dada por

R = 22 = 8e2u v , (6.2)

donde

2 4e2 u v , uuu = 2u , vvv = 2v , (6.3)

y los otros s son nulos.

(6.4)

Efectos cuanticos inducen un tensor momentum-energa no nulo debido a la curvatura. Entonces,para un campo escalar no masivo, su tensor momentum-energa cuantico Tab satisface

T ba;b = 0 y Taa =

~24pi

R , (6.5)

correspondientes a las leyes de conservacion y a la anomala de traza, respectivamente.

36

CAPITULO 6. ESTADOS DE VACIO 37

La solucion general de (6.5) para un estado cuantico arbitrario es

Tab = ab[] + F out(u)u,a u,b + F in(v) v,a v,b , (6.6)

donde el primer termino esta definido por

ab[] =~

12pi

[;ab + ,a ,b gab

(2+

12

()2)]

(6.7)

para cualquier funcion (u, v) en (6.1), con las funciones F in y F out arbitrarias.

(6.6) describe el tensor simetrico conservado mas general con traza dada por (6.5).

Los diferentes estados determinan completamente las tres componentes independientes de T ba ,por (6.5) y las condiciones de frontera apropiadas para cada estado.

Si un horizonte esta presente se requieren las coordenadas de Kruskal, entonces la metrica (6.1)toma la forma

ds2 = e2(U,V ) dU dV , (6.8)

donde

= 12

ln[U (u)V (v)] , (6.9)

la cual es una funcion regular en el horizonte si kin0 , kout0 son no nulos.

kout0 y kin0 estan relacionadas con las gravedades superficiales generalizadas k

in y kout por

[lnU (u)] = kout0 (u) kout(u, v = ) (6.10)[lnV (v)] = kin0 (v) kin(u = +, v) . (6.11)

De (6.9) y (6.7)

ab[] = ab[] +Hout(u)u,a u,b +H in(v) v,a v,b , (6.12)

donde

Hout(u) =~

48pi

[(kout0 )

2 12R(u, v = )

](6.13)

H in(v) =~

48pi

[(kin0 )

2 12R(u = +, v)

]. (6.14)

Los valores esperados Tab en los diferentes estados base del tensor momentum-energa escalar,deben tomar la forma general (6.6), con los flujos escogidos de acuerdo a las condiciones de fronteraapropiadas.


6.1. Estado de Boulware | 0 B

En cualquier espacio-tiempo estatico con parametro temporal de Killing t, un estado de Boulware| 0 B esta vaco de modos de frecuencia positiva con respecto a t, es decir, observadores estaticosno ven partculas en este estado.Ademas, en un espacio asintoticamente plano, | 0 B es indistinguible del vaco minkowskiano en elinfinito.

Para Tab B 0 en el infinito, se debe escoger F in = F out = 0. Entonces,

Tab B = ab[] . (6.15)El tensor momentum-energa de Boulware es singular en el horizonte, puesto que all.

El estado de Boulware sera inestable en un espacio-tiempo de agujero negro, este realmente esel estado base de temperatura cero apropiado para el espacio interno y alrededor de una estrellaestatica.

6.2. Agujero Negro Eterno

El objeto fsico real a considerar es el agujero negro resultante de un colapso gravitacional. Noobstante, un agujero negro mucho tiempo despues de su formacion es casi estacionario, es decir,su estado se puede describir como una geometra estatica y pequenas excitaciones de campos pro-pagandose sobre este background.

Entonces, formalmente se puede establecer una correspondencia entre el agujero negro real y unnuevo espacio-tiempo no fsico, que se obtendra del primero en la region de tiempos tardos porsu continuacion analtica. Tal continuacion analtica de la solucion de agujero negro estatico definela solucion extendida maximalmente que se conoce como un agujero negro eterno.

LP H

FH R

I

I

r=0

+

+

0

Figura 6.1:Diagrama de Penrose para un agujero negro eterno

Si 0 en la figura 6.1 se escoge en tiempos tardos, se puede tambien seguir hacia atras en el tiempotodas las excitaciones de campo presentes en la vecindad de 0, tal que el problema de especificarlos estados de un agujero negro pueden ser reformulados como un problema analogo para su version


eterna. Esta aproximacion es mucho mas simple para hacer las diferentes modelaciones.

6.3. Estado de Hartle-Hawking | 0 H

En el espacio-tiempo de un agujero negro eterno estacionario, el estado de Hartle-Hawking | 0 Hesta vaco de modos de frecuencia positiva con respecto a los tiempos de Kruskal U , V , es decir,observadores en cada libre no ven partculas en el horizonte para este estado.

A diferencia del estado de Boulware, en el estado de Hartle-Hawking el tensor momentum-energaesta acotado sobre los horizontes futuro y pasado H+, H.Puesto que esto tambien es cierto para , esta condicion de frontera se satisface por

Tab H = ab[] . (6.16)En el horizonte, este sera el tensor momentum-energa medido por un observador en cada libre,usando las coordenadas lorentzianas locales para definir su nocion de frecuencia positiva.

De (6.12), (6.15) y (6.16),

Tab H = Tab B +Hout(u)u,a u,b +H in(v) v,a v,b . (6.17)De (6.17) se observa una interesante relacion entre los estados de Boulware y Hartle-Hawking. Losterminos divergentes en el tensor momentum-energa de Boulware pueden verse como corrientes deenerga negativa como de luz corridas infinitamente hacia el azul, radialmente entrantes y salientes,en los horizontes pasado y futuro, respectivamente. Estas corrientes pueden ser neutralizadas y lasdivergencias corregidas, por flujos de energa positiva compensantes, incidentes desde y para elinfinito. As el estado resultante, el estado | 0 H, representa un agujero negro en equilibrio termicocon su propia radiacion en un confinamiento, tal como sera obtenido confinando el agujero negro enel interior de una cavidad perfectamente reflectora. La cavidad debe ser lo suficientemente pequenapara que el equilibrio sea estable.

6.4. Estado de Unruh | 0 U

Si el universo contiene un agujero negro eterno, unicamente la observacion puede revelar cual delos estados | 0 H o | 0 B, real y fsicamente se manifiesta. Sobre la variedad de Schwarzschild ma-ximalmente extendida es posible construir otro estado de vaco, el cual reproducira los efectos deuna masa en colapso, este es el estado de Unruh | 0 U.

Formalmente, | 0 U esta vaco de modos de frecuencia positiva con respecto al tiempo avanzadoordinario v y al tiempo retardado de Kruskal U , en el espacio-tiempo vaco del agujero negro,extendido analticamente. Es decir, | 0 U se define en terminos de modos entrantes del infinito defrecuencia positiva con respecto a t , mientras aquellos que emanan del horizonte pasado se tomande frecuencia positiva con respecto a U .


Entonces, el estado de Unruh es vaco en el infinito pasado I, carece del termino F in(v) en (6.6),lo cual hace que el tensor momentum-energa de Hartle-Hawking (6.17) sea regular en el horizontepasado:

Tab U = Tab B +Hout(u)u,a u,b . (6.18)De (6.18) se observa que en el infinito futuro I+, Tab B tiende a cero y unicamente sobrevive elsegundo termino, representando el flujo termico caracterstico de un agujero negro en evaporacion.

De (6.17) y (6.18) se encuentra

Tab U = Tab H H in(v) v,a v,b , (6.19)lo cual significa que existe un flujo entrante de energa negativa acompanante, a traves del horizontefuturo.

De acuerdo con lo considerado arriba podemos decir que el estado de Unruh es el que mejor seaproxima al vaco relevante para el colapso gravitacional de un cuerpo.

En este contexto es interesante hacer un modelo para un background geometrico estatico y mostrarque la diferencia entre los tensores momentum-energa de los estados Hartle-Hawking y Boulwaretiene exactamente una forma termica.

Captulo 7

APROXIMACION EUCLIDIANADE GIBBONS-HAWKING

La Teora General de la Relatividad Clasica tiene dos limitaciones importantes, no considera laposible naturaleza cuantica del campo gravitacional y no aportara condiciones de frontera paralas ecuaciones de campo en puntos singulares. Por estas razones debera desarrollarse una teoracuantica de la gravedad.

No existe aun una teora completa, consistente con la Teora General de la Relatividad y que satis-faga las dos exigencias mencionadas. Sin embargo se han encontrado algunos resultados parcialesen esa direccion, relacionados con la conexion entre agujeros negros y termodinamica.En el marco de las aproximaciones a una teora cuantica de la gravedad, la afinidad con la termo-dinamica de agujeros negros se ha descrito en terminos de integrales de camino:

Considere la amplitud para ir de un estado con una metrica g1 y campos de materia 1 sobre unasuperficie S1 a un estado con una metrica g2 y campos de materia 2 sobre una superficie S2,como una suma sobre todas las configuraciones de campo g y que toman los valores sobre lassuperficies S1 y S2:

g2, 2, S2|g1, 1, S1 =D[g, ]eiI[g,], (7.1)

donde D[g, ] es una medida sobre el espacio de todas las configuraciones de campo g y , I[g, ]es la accion de los campos.

En la Teora General de la Relatividad, usualmente se toma la accion:

I =1

16pi

(R 2)(g)1/2d4x+

Lm(g)1/2d4x, (7.2)

donde R es el escalar de curvatura, es la constante cosmologica, g el determinante de la metricay Lm es la lagrangiana de los campos de materia.

La accion para la metrica g sobre una region Y con frontera Y tiene la forma

41

CAPITULO 7. APROXIMACION EUCLIDIANA DE GIBBONS-HAWKING 42

I =1

16pi

Y

R(g)1/2d4x+Y

B(h)1/2d3x, (7.3)

donde B es un termino de superficie, que para el caso de metricas asintoticamente planas, se puedeescribir

B =1

8pi[], (7.4)

donde [] es la diferencia en la traza de la segunda forma fundamental de Y en la metrica g y lametrica para el espacio plano .

Para resolver el problema de convergencia generado por el caracter real de la accion I[g, ] yconstruir el ensamble canonico para el campo , se introduce la accion euclidiana:

IE = iI, (7.5)la cual permite expresar la amplitud

2, t2|1, t1 =D[]eiI[], (7.6)

usando la imagen de Schrodinger, como

2|eiH(t2t1)|1 = 2|eH |1 =D[]e

R 0 d

Rd3xL, (7.7)

donde se ha definido t2 t1 = i, = it. As, se esta haciendo una integral de camino sobretodos los campos sobre un espacio-tiempo que es periodico en la direccion del tiempo imaginariocon periodo .

Si se exige que 1 = 2 y se suma sobre una base completa ortonormal de configuraciones n, seobtiene la funcion de particion

Z =n

n|eH |n =D[]e

R 0 d

Rd3xL, (7.8)

correspondiente al resultado usual de la funcion de particion (de la radiacion de un cuerpo negro)

Z =n

eEn =D[]eiIE [], (7.9)

del campo a la temperatura

T = 1, (7.10)

donde En es la energa del estado n.

Es natural aplicar una complejificacion similar al campo gravitacional, es decir, la metrica:

Z =d[g]d[]eIE [g,]. (7.11)


Se espera que la contribucion dominante a la integral de camino proceda de las metricas y camposcercanos a los extremos de la accion g0, 0, es decir, a la solucion de los campos clasicos. Entonces,en principio, se puede expandir la accion en una serie de Taylor con respecto a los campos delbackground (fondo) g0, 0,

IE [g, ] = IE [g0, 0] + IE2 [g, ] + terminos de orden superior (7.12)

donde gab = g0ab + gab, = 0 + , y IE2 [g, ] es cuadratica en las perturbaciones g y .

Para calcular la derivacion de la entropa Bekenstein-Hawking SBH de este formalismo, se requierecalcular la accion de la metrica de fondo g0 a orden cero:

IE =1

16pi

Y

Rgd4x+

18pi

Y

[]d. (7.13)

De la expresion (7.11), se puede calcular la contribucion dominante a la funcion de particion

Z eIE [g0]lnZ IE (extremal). (7.14)

El caso mas simple no trivial es la solucion de Schwarzschild:

R = 0, E = M .

Para calcular la integral no nula en (7.13) considerese

ds2 = f(r)dt2 + dr2

f(r)+ r2(d2 + sen2d2) (7.15)

con

f(r) =(

1 2Mr

). (7.16)

K = ln

3gn

= f1/2(

2r

+12f

f

), (7.17)

donde

3g d3x =

4pir2f1/2d

n= f1/2

r = it, (7.18)

3g es el determinante de la metrica para r constante.

18pi

r=cte

3g K d3x =

18pi

2pi0

4pir2(

2rf + (r)

), (7.19)

donde


(r) =g00 (aceleracion propia)

=12f . (7.20)

18pi

Y

[K]d =1

8pi

r

3g(K Kplano)d3x, (7.21)

Con Kplano calculado de (7.19) cuando f(r) = 1,

Kplano =2r.

18pi

r

3g(K Kplano)d3x = pir

2

0

[2r

f(f 1) + (r)

]r

. (7.22)

Considerando que (r) Mr2 yf 1 Mr ,

18pi

Y

[K]d = pi0M = 1

2M =

2

16pi, (7.23)

donde = 8piM es el periodo de la solucion euclidiana de Schwarzschild, como se ilustrara acontinuacion.

En un colapso con simetra esferica el espacio-tiempo no depende de los angulos y , entonces,

ds2 = (

1 2Mr

)dt2 +

(1 2M

r

)1dr2. (7.24)

Para eliminar la singularidad aparente en r = 2M , se define la nueva coordenada radial

:= 4M(

1 2Mr

)1/2, (7.25)

lo cual permite escribir a (7.24) como

ds2 = 2

(4M)2dt2 +

(r2

4M2

)2d2. (7.26)

introduciendo la transformacion al tiempo imaginario, t = i , la metrica finalmente se reduce a

ds2 =2

(4M)2d2 +

(r2

4M2

)2d2. (7.27)


Para = cte : S =

4M

0

d =

4M = 2pi. (7.28)

De acuerdo con (7.10)

T =1

8piM= 1. (7.29)

Esto significa que los campos sobre un background de Schwarzschild se comportaran como siestuvieran en un estado termico con temperatura expresada por (7.29).

.

Respecto a la entropa asociada, de (7.14), (7.13) y (7.23) se obtiene

lnZ 2

16pi. (7.30)

Finalmente, recurriendo a expresiones usuales de la termodinamica, se calcula SBH:

E = lnZ

=

8pi, (7.31)

SBH = lnZ + E = 4piM2 =14A . (7.32)

La entropa gravitacional intrnseca dada por (7.32) no tiene paralelo en otras teoras de camposcuanticos porque la gravedad admite diferentes topologas para la variedad espacio-temporal.Es muy importante senalar que en este formalismo SBH surge como una contribucion de fronteraa la parte geometrica de la accion euclidiana, donde se excluye el termino de superficie asociadoal horizonte de eventos. Es decir, la aproximacion euclidiana de Gibbons y Hawking concibe laentropa SBH de origen topologico, dependiendo decisivamente de la presencia de un horizonte. Unhorizonte no extremal se representa por un punto regular en el sector euclidiano (Ver la figura 7.1),as la presencia de un horizonte corresponde a la ausencia de una frontera interior en ese sector.


M= pi8 =

=

r=2M

r=constante

2

1

Figura 7.1:Solucion Eucldea de Schwarzschild.

Captulo 8

MODELO DE LA PARED DE tHooft

Cuando se considera el numero de niveles de energa que una partcula puede ocupar en la vecin-dad de un agujero negro se encuentra una alarmante divergencia en el horizonte de eventos. Paraeleminar estas divergencias fsicamente inaceptables, G. t Hooft introdujo el ejercicio interesantede ver que ocurrira si asumieramos que todas las funciones de onda desaparecieran en alguna dis-tancia fija desde el horizonte de eventos. En consecuencia, t Hooft considero la termodinamicaestadstica de campos cuanticos en el estado de Hartle-Hawking propagandose sobre el backgrounddel espacio-tiempo de Schwarzschild. Para eliminar las divergencias cercanas al horizonte introdujouna superficie esferica estatica donde los campos satisfacen las condiciones de frontera de Dirichleto Neumann.

Es ilustrativo describir la naturaleza del modelo con la aproximacion corpuscupar a la termo-dinamica estadstica de los campos:

Para mantener la energa de campo acotada, considerese la termodinamica de campos cuanticosconfinados en un volumen centrado en una estrella esferica de masa M y entre dos superficiesesfericas reflectoras, una interior con radio R0 = r0 + r y la otra exterior con radio R R0,donde r0 es el radio del horizonte de eventos.

Supongase que los campos cuanticos estan definidos sobre el background geometrico de Schwarzs-child entre las dos superficies esfericas a la temperatura local (on-shell) T (r) dada por la ley deTolman

T (r) =k02pi

(1 2M

r

)1/2, (8.1)

donde k0 es la gravedad superficial.

Las longitudes de onda caractersticas de esta radiacion son pequenas comparadas con las otrasmagnitudes de longitud relevantes en la region de interes

47

CAPITULO 8. MODELO DE LA PARED DE T HOOFT 48

cerca al horizonte =1T

=2pik0

(1 2M

r

)1/2 r0

y a grandes distancias ' 2pik0 R. (8.2)

Por esta razon se espera que la descripcion corpuscular sea una buena aproximacion a la termo-dinamica estadstica de los campos.

La densidad de entropa s para partculas con masa en reposo m, energa E, velocidad v y mo-mentum p, de acuerdo con observadores localmente estacionarios, esta dada por

s = (+ P ), (8.3)

donde la densidad de energa y la presion P se expresan como

= N

0

E

eE 4pip2dp, (8.4)

P =N

3

0

vp

eE 4pip2dp, (8.5)

con = T1, = +1 para bosones y = 1 para fermiones y donde N da cuenta de las helicidadesy el numero de especies de las partculas.

La entropa total y la masa gravitacional de las excitaciones termicas se expresan por las integrales

S = RR0

s(r)4pir2(

1 2Mr

)1/2dr, (8.6)

M = RR0

(r)4pir2dr. (8.7)

Estas dos ultimas integrales tienen dos contribuciones dominantes, para r = R y r = R0 r0. Laprimera corresponde a un termino de volumen, proporcional a 43pir

3; lo cual representa la entropay energa de un gas cuantico homogeneo en un espacio plano a la temperatura uniforme k02pi .

La segunda es la contribucion del gas cuantico cerca a la pared interior r = R0. De la expresion (8.1)es evidente que, para describir esta ultima contribucion, es necesario introducir las aproximacionesultrarelativistas (E m,p ' E, v ' 1) en las integrales (8.4) y (8.5) porque la temperatura esmuy alta cerca de la pared interior para r pequeno. Entonces de esta aproximacion

s =4Npi2

T 3, =3Npi2

T 4. (8.8)

Sustituyendo (8.8) en (8.6) se obtiene la contribucion de la pared a la entropa total

Spared =4Npi2

4piR20

(k02pi

)3 R0+R0

dr(1 2Mr

)2 , (8.9)

CAPITULO 8. MODELO DE LA PARED DE T HOOFT 49

donde es una longitud arbitrariamente pequena sujeta a la condicion r R0.

La expresion (8.9) se puede escribir en terminos de la longitud propia del horizonte a la paredinterior:

Spared =N

90pi214A, (8.10)

donde A es el area de la pared.

Similarmente, de (8.8) y (8.7) se encuentra que las excitaciones termicas cerca de la pared contri-buyen con

Mpared =N

480pi2A

(k02pi

). (8.11)

Spared diverge en el lmite 0, pero con su apropiada escogencia es posible calcular la entropaBekenstein-Hawking.

De la expresion (8.10) se puede fijar tal que

Spared = SBH, (8.12)

introduciendo un corte (cutoff) por efectos de fluctuaciones cuanticas de la gravedad.

Si se escoge = lPlanckN/90pi, de (8.12) se obtiene el resultado problematico de t Hooft para

la energa debida a la contribucion de pared (excitaciones termicas cercanas a la pared)

M =38M. (8.13)

La anterior descripcion local es derivable rigurosamente de la teora de campos cuanticos sobrevariedades curvas:

Considere un campo escalar real (por simplicidad) descrito por la accion

I = 12

d4xg [g+m22], (8.14)

donde g es el determinante de la metrica.

Sobre

notas agujeros negros cuanticos 2014-ii

Documents