temas selectos de matematicas

Temas selectos dematemáticas

1ª EdiciónJulio 2011

Impreso en México

Dirección y realización del proyectoLCC. Gabriel Barragán CasaresDirector General del Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatán Planeación y coordinaciónLic. Alejandro Salazar OrtegaDirector Académico Metodología y estrategia didácticaLic. Lorenzo Escalante PérezJefe del Departamento de Servicios Académicos CoordinaciónLic. Lorenzo Escalante Pérez

ColaboradoresLM. Davy Alejandro Pérez ChanLic. Albert Jesús Herguera LoríaLM. Alfonso de Jesús García González

DERECHOS RESERVADOS

Queda prohibida la reproducción o trans-misión total o parcial del texto de la pre-sente obra, bajo cualquier forma electró-nica o mecánica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Temas selectos dematemáticas

III

LA REFORMA INTEGRAL DE LA EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

La Educación Media Superior (EMS) en México enfrenta desafíos que podrán ser

permita a sus distintos actores avanzar ordenadamente hacia los objetivos propues-tos. Es importante saber que la EMS en el país está compuesta por una serie de subsistemas que operan de manera independiente, sin correspondencia a un pano-

es encontrar los objetivos comunes de esos subsistemas para potenciar sus alcances y de esta manera lograr entre todos, reglas claras de operación. Es importante para el desarrollo de la EMS, que ustedes docentes y estudiantes conozcan los ejes que la regulan, cómo opera y los retos que enfrenta en la actualidad para asumir a partir de dicho conocimiento, una actitud diferente que nos permita coadyuvar en este esfuerzo.

Los diferentes subsistemas de la EMS han realizado cambios en sus estruc-

que la población a la que atiende ( jóvenes entre los 15 y 21 años aproximadamente) adquiriera conocimientos y habilidades que les permitan desarrollarse de manera satisfactoria, ya sea en sus estudios superiores o en el trabajo y, de manera más ge-neral, en la vida. En esta misma línea, no se debe perder de vista el contexto social de la EMS: de ella egresan individuos en edad de ejercer sus derechos y obligaciones como ciudadanos, y como tales deben reunir, en adición a los conocimientos y ha-

tengan un impacto positivo en su comunidad y en el país en su conjunto.

Es en este contexto que las autoridades educativas del país, han propuesto la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos objetivos con-sisten en dar identidad, calidad, equidad y pertinencia a la EMS, a través de me-canismos que permitan articular los diferentes actores de la misma en un Sistema Nacional de Bachillerato dentro del cual se pueda garantizar además de lo anterior,

de los mismos.

Lo anterior será posible a partir del denominado Marco Curricular Común (MCC) de la RIEMS, el cual se desarrolla considerando el modelo de competencias, y que incluye: Competencias Genéricas, Competencias Disciplinares (básicas y exten-didas) y Competencias Profesionales (básicas y extendidas). Esta estructura permite observar de manera clara, los componentes comunes entre los diversos subsistemas, así como aquellos que son propios de cada uno y que por consiguiente, los hace dis-tintos. Lo anterior muestra como la RIEMS respeta la diversidad del nivel educativo del país, pero hace posible el Sistema Nacional del Bachillerato, conformado por las distintas instituciones y subsistemas que operan en nuestro país.

Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y acti-

programas de estudio existentes y se adapta a sus objetivos; no busca reemplazarlos,

Nuestro subsistema pertenece al conjunto de los que ofrecen bachillerato

en los estudiantes capacidades que les permitan adquirir competencias genéricas, competencias disciplinares básicas y extendidas, además de competencias profesio-nales básicas.

Temas selectos de matemáticas

IV

Las competencias genéricas son las que todos los bachilleres deben estar

en él; les capacitan para continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de sus vidas, y para desarrollar relaciones armónicas con quienes les rodean, así como par-

las once competencias genéricas, agrupadas en sus categorías correspondientes:

Se autodetermina y cuida de sí

1) Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2) Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3) Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y comunica

4) Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

5) Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6) Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia gene-

Aprende de forma autónoma

7)

8) Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad

9) Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10) Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11) Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones res-ponsables.

V

Las competencias disciplinares son las nociones que expresan conocimien-tos, habilidades y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada campo

contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares pueden ser básicas o extendidas.

Las competencias disciplinares básicas procuran expresar las capacidades que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del plan y programas de estudio que cursen y la trayectoria académica o laboral que elijan al terminar sus estudios de bachillerato. Las competencias disciplinares básicas dan sustento a la

de egreso de la EMS y pueden aplicarse en distintos enfoques educativos, conteni-dos y estructuras curriculares; se organizan en los campos disciplinares siguientes: Matemáticas, Ciencias Experimentales (Física, Química, Biología y Ecología), Ciencias

-gica, Ética, Filosofía y Estética) y Comunicación (Lectura y Expresión oral y escrita, Literatura, Lengua extranjera e Informática).

Las competencias disciplinares extendidas dan sustento a las competencias -

elementos disciplinares correspondientes y en su caso, incrementando la compleji-

en los campos de conocimiento del Bachillerato General.

Competencias disciplinares extendidas

1) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o forma-les.

2) Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfo-ques.

3) Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones rea-les.

4) --

temático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5) natural para determinar o estimar su comportamiento.

6) magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7) Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un pro-ceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.

8) -


VI

ESTRATEGIA DIDÁCTICA

Para contribuir al desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula, se estableció una estrategia que permita integrar los elementos del programa de la asignatura, con los materiales de apoyo y la actividad de docentes y estudiantes.

-tende ser un algoritmo que el docente deba seguir al pie de la letra, sino que debe adaptarlo a las características propias del contexto en el que se desarrollan las sesio-nes de aprendizaje.

La estrategia consta de siete pasos o etapas, mismas que deberán cono-cerse en las primeras sesiones, para un mejor desarrollo de las mismas. Los pasos se listan y describen a continuación:

Dinamización.

Contextualización.

Problematización.

Síntesis

Realimentación

Evaluación de la competencia

Dinamización

En el proceso de construcción del aprendizaje, es indispensable para el facilitador tener evidencia de los aprendizajes previos que el alumno ha adquirido y considerar que es a partir de los mismos que se desarrollarán los nuevos, motivando a la cola-boración del estudiante en el mismo proceso.

VI

Contextualización

En el desarrollo de competencias se hace necesario el aprendizaje contextual, es -

tudiantes. La contextualización deberá realizarse al inicio de cada bloque en los que se organizan los contenidos en los programas de estudio.

Problematización

En el modelo de competencias que la RIEMS establece, el contenido toma un sig-

por tanto la problematización debe estar presente a lo largo de toda la estrategia en el aula.

Formación, Adquisición, Desarrollo y Construcción de Competencias

Etapa en la cual el facilitador a partir de diversas experiencias de aprendizaje facilita el quehacer del estudiante para lograr las competencias. En esta etapa de la estra-tegia, estudiantes y docentes deben estar pendientes del proceso de asimilación. Galperin lo describe como un proceso de etapas y no como un fenómeno inmediato.

VII

Las distintas etapas del proceso de asimilación que el alumno experimenta para desarrollar el aprendizaje son: la etapa de motivación la cual debe fomentarse y mantenerse durante todo el curso, recordemos que si un alumno no está motiva-do, difícilmente aprenderá. La segunda etapa de este proceso es la formación de la

competencia. La RIEMS sugiere la creatividad como método o forma de enseñanza

importantes, la orientación al alumno, que como ya dijimos debe estar precedida por una buena carga de motivación, dicha orientación puede ser de dos tipos, completa en la que el maestro le proporciona al alumno todos los aspectos de un contenido, e incompleta en la cual se dejan ciertos aspectos de un contenido para que el alumno pueda descubrir o investigar por sí mismo. La generalidad es otro aspecto impor-

docente puede mostrar hechos concretos relativos a algún contenido o puede abar-car el mismo contenido pero por medio de hechos generales, que tengan alguna relación con el concepto que se expone al alumno.

se presenta de dos formas pre-elaborada e independiente. En el primero, el alumno llega a obtener el aprendizaje de manera conjunta con el facilitador y en la segunda los alumnos adquieren el conocimiento en forma independiente.

Síntesis

de conocimiento, desempeño, producto y actitud de manera que el docente cuente con estrategias para la evaluación formativa logrando involucrar al estudiante en procesos de coevaluación.

Para llevar a cabo la evaluación sumativa de las competencias que se indican en los programas de estudio, se contempla esta etapa la cual debe verse como parte del proceso, es decir, no debe en ningún momento separarse de la formativa. La mejor forma de lograr esta unidad será integrando un portafolio de evidencias de apren-dizaje.


VIII

Contenido

Bloque I: Resuelves sistemas de ecuaciones lineales en general 2

y el método de Gauss 7Ecuación lineal y soluciones de una ecuación lineal 8

Sistemas de ecuaciones lineales y soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 8

Relación entre la consistencia de un sistema de ecuaciones y el determinante de la matriz asociada 13

Bloque II: Sistemas de ecuaciones de segundo grado 34

Sesión 1: La ecuación cuadrática 36Propiedades de la ecuación cuadrática 42

Ecuaciones de forma cuadrática 43

Ecuaciones con radicales 46

Sesión 2: Sistemas de ecuaciones cuadráticos 50

Sistema lineal–cuadrática 52

Sistema cuadrática–cuadrática sin términos lineales ni término xy 53

Sistema cuadrática–cuadrática sin términos lineales pero con término xy 55

Otros sistemas de ecuaciones 57

Rúbrica del bloque 62

IX

Bloque III: Determinas fracciones parciales 64

Dinamización y motivación 66

Sesión 1: Fracciones parciales 68Problematización 68

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de competencias 69

Síntesis de la sesión 80

Realimentación 80

Mi proyecto del bloque 81

Bloque IV: Aplicas la inducción matemática 86

Inducción matemática 90

Teorema del Binomio 101

Bloque V: Empleas números complejos 112

Sesión 1: Propiedades y operaciones básicas. 114

Operaciones básicas 117

Propiedades de los complejos 119

Sesión 2: Representación rectangular y polar. Teorema de DeMoivre 123

Representación rectangular 124

Representación polar 128

Potencias y raíces 131

Rúbrica del bloque 135

Bloque I: Resuelves sistemas de ecuaciones lineales en general

Desempeños del estudianteResuelve situaciones del contexto mediante la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, por medio del método de Gauss, interpretando y contrastando la solución obtenida con la realidad.

-pleando el determinante asociado al mismo.

Objetos de aprendizajeMatriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Naturaleza de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Modelado y solución de situaciones que implican un sistema de ecuacio-nes lineales.

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Competencias disciplinares extendidasConstruye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o forma-les.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfo-ques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos ma-temáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

natural para determinar o estimar su comportamiento.

B1Temas selectos de matemáticas

4

Es importante que antes de iniciar con el desarrollo de nuestro bloque te cuestiones lo que has aprendido a lo largo de tus cursos escolares, sobre todo en primer se-mestre cuando trabajaste los bloques VI, VII y VIII, ya que has llegado a un punto en donde la intensión es acrecentar toda aquella gama de conocimientos, habilidades y estrategias que has adquirido en la resolución de ecuaciones lineales y de los sis-temas que con ello se puede conformar. Yo se que has manejado de manera regular las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales mediante la aplicación de diversos métodos, recuerdas ¿cuáles eran? o ¿dónde lo aplicabas? Cuando habla-

ecuaciones lineales o bien uno que tenga tres ecuaciones lineales y seguro podrás debatir en este momento de qué vamos hablar en este bloque. Pero sería interesante cuestionarte en otra cosa más, ¿Solo hay sistemas de 2 o 3 ecuaciones lineales?, o bien, ¿Habrá sistemas de 4, 5 o más ecuaciones lineales?. Estoy seguro que si tu res-

un sistema con tantas ecuaciones? Si pensaste en métodos algebraicos tradicionales como el de reducción, igualación o sustitución habrás concluido diciéndote, ¡Me voy a tardar mucho! o ¿Conoces de alguna estrategia que nos permita resolver éstos sistemas de un modo más rápido? Pues bien el objetivo de este bloque es mostrarte que existe otra alternativa para la solución de sistema de ecuaciones, más aún que esos sistemas son mayores a los de tres ecuaciones que viste en tu primer semestre.

Como te mencione, nuestro objetivo es conocer un método que nos per--

ción de obtener otra alternativa, independientemente de las ya vistas en semestres pasados. Sin embargo, no descartamos con ello el buen funcionamiento y lo valioso que han sido los métodos algebraicos. Pero como en todo comienzo, es necesario recordar elementos que te servirán y te permitirán entender con mayor facilidad lo que más adelante desarrollaremos.

Voy a retomar un problema que te fue propuesto en el bloque VIII en don-de se menciona a un padre y sus dos hijos que fueron de compras y donde el hijo

“En una compra, fuimos mi papá, mi hermanita y yo por un par de zapatos de la marca F, un par de sandalias de la marca T y una par de tenis de la marca N y pagué $620; mi padre se compró 2 pares de zapatos de vestir de la marca F y 3 pares de sandalias de la marca T y pagó $1,020 y a mi hermanita le compró 2 pares de tenis de la marca N y un par de sandalias de la marca T y pagó $420. Pero debido a mis

el valor de mis tenis; ¿qué cantidad de dinero me debe devolver mi padre?”

Estoy seguro que ya estás pensando la manera en cómo lo vas a resolver y puedo asegurarte que pensaste en el método de reducción para encontrar el valor deseado. Pero yo te quiero rescatar el método de Cramer, y te preguntarás ¿Por qué?, eso es sencillo de comentar, ya que este método emplea ciertos términos y elemen-tos que retomaremos y utilizaremos. Veamos:

Interpretando lo que el problema nos plantea podemos con ello determi-nar 3 ecuaciones lineales y las tres incógnitas que se presentan: Llamemos x al precio de un par de zapatos de la marca F, y al precio de un par de sandalias de la marca T, y z al precio de un par de tenis de la marca N.

B1

5Bloque I: Resuelves sistemas de ecuaciones lineales en general

No. de la ecuación Escribiendo la ecuación

1“Un par de zapatos de la marca F, un par de sandalias de la marca T y una par de tenis de la marca N y pagué $620”

x + y + z = $620

2 “2 pares de zapatos de vestir de la marca F y 3 pares de sandalias de la marca T y pagó $1,020” 2x + 3y = $1020

3 “2 pares de tenis de la marca N y un par de sandalias de la marca T y pagó $420” 2z + y = $420

Te recuerdo que para trabajar con el método de Cramer se tiene que veri-3 3² × , entonces

que acabas de formar y formemos la matriz

por la columna de términos independientes (los números 620, 1020, 420) y tendremos

-ces aplicando el método Cofactores de Cramer que consistía en aumentar las dos pri-

-ria con los valores de las sumas de las multiplicaciones de las diagonales secundarias.

x


6

y

z

Encontrando los valores de cada una las incógnitas tendremos:

Lo que nos indica que el valor del par de tenis es $160, cantidad que le

Como podrás apreciar, hasta el momento ha sido recordarte parte de la herramienta que has trabajo en matemáticas 1 y que retomaremos en los siguientes apartados.

B1


lineales y el método de GaussDel saber

-neales.

Comprendo el concepto de consistencia de un sistema de ecuaciones lineales.

Explico las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales.

Describo el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones linea-les.

Del saber hacer

Determino el valor del determinante correspondiente a la matriz asocia-da a un sistema de ecuaciones lineales.

Establezco la consistencia de un sistema de ecuaciones lineales a partir del valor del determinante.

Resuelvo sistemas de ecuaciones lineales empleando el método de Gauss.

Modelo de situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ésta, estableciendo un sistema de ecuaciones lineales.

Resuelvo los modelos establecidos y contrasto las soluciones obtenidas con la realidad.

Del saber ser

Valoro los elementos asociados a un sistema de ecuaciones lineales, para determinar la naturaleza de las soluciones del mismo.

Participo de manera colaborativa en la solución de una situación del con-texto, a partir de la modelación de la misma.

Muestro apertura hacia las alternativas propuestas para resolver un siste-ma de ecuaciones y situaciones que los implican.

Recordarás que en primer semestre aprendiste a resolver sistemas de ecuaciones lineales de orden 2 y 3 mediante distintos métodos, ahora nos interesa aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales de cualquier orden, mediante el método de Gauss; para esto será necesario repasar lo visto en cursos anteriores pero con un enfoque un poco más analítico, empecemos recordando algunas cosas.


8

Ecuación lineal y soluciones de una ecuación linealUna ecuación lineal con dos variables, x y y, es una ecuación de la forma ax+by=c,

a,b y c -ción de tal ecuación es una pareja de valores de x y y para la cual la ecuación lineal se cumple y se acostumbra representar a la solución en forma de vector (x,y). De modo similar se tiene que una ecuación lineal con tres variables, x,y y z, es una ecuación de la forma ax+by+cz=d a,b,c y d son constantes; una solución de tal ecuación es una terna de valores x,y y z para la cual la ecuación lineal se cum-ple, también suele escribirse a una tal solución en forma de vector (x,y,z). De manera

n incognitas.

Ejemplo 1. Las siguientes ecuaciones son lineales

Ejemplo 2. Las siguientes ecuaciones no son lineales

Sistemas de ecuaciones lineales y soluciones de un sistema de ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales, en donde cada una tiene las mismas variables; en este bloque solo nos dedicaremos a sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número ecuaciones y variables. Una solución de un sistema de ecuaciones es un vector que es simultáneamente una solución de cada una de las ecuaciones del sistema.

Sistemas consistentes e inconsistentesCuando resolviste sistemas de ecuaciones de orden 2, por ejemplo, probablemente notaste que podía darse uno de los tres casos presentados en los ejemplos:

Ejemplo 1. (El sistema no tiene solución). Consideremos el siguiente sistema

En este caso podemos darnos cuenta a simple vista que el sistema anterior no tiene solución ya que no existen dos números cuya suma sea 2 y 5 a la vez. Un sistema que no tiene solución se llama inconsistente.

Ejemplo 2. (El sistema tiene una única solución). Consideremos el siguien-te sistema

B1


Resolviendo este sistema por cualquiera de los métodos aprendidos en cur-sos anteriores podemos ver que tiene una única solución dada por (6, 1). Un sistema de ecuaciones que tiene una única solución se llama consistente determinado.

Ejemplo 3. -te sistema

Observando ambas ecuaciones del sistema podemos notar que la segunda ecuación es simplemente un múltiplo de la primera, ya que se obtiene al multiplicar la primera ecuación por 2, así cualquier solución de la primera ecuación será también

de soluciones. Ejemplos de tales soluciones son las parejas (7,0),(0,-7),(8,1),(-3,-10) y consistente

indeterminado.

En realidad estos tres casos son los únicos que se pueden presentar al re-solver un sistema de ecuaciones cualquiera, de modo que un sistema de ecuaciones

-quier número de ecuaciones y variables). Es decir, todo sistema de ecuaciones es inconsistente, consistente indeterminado o consistente determinado.

Otro concepto visto en primer semestre es el de matriz y vimos que cada sistema de

variables en cada ecuación y llamaremos a dicha matriz, la del sistema, por ejemplo el sistema

3

A

-gunda matriz llamada matriz aumentada, la cual se obtiene al agregarle a la matriz

las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, utilizando el mismo sistema del ejemplo anterior vemos que los términos independientes de las ecuaciones del sistema son 1, 3 y 5 de modo que la matriz aumentada es


10

-tes de las variables y los términos independientes.

DeterminantesTambién recordarás que cada matriz cuadrada tiene asociado un número

real, llamado determinante. En el caso de una matriz de 2x2, , su de-

terminante, el cual representábamos por X

de orden 3, mediante cofactores:

Consideremos la matriz , entonces su determinante vie-ne dado por la expresión

4 o más. De la expresión anterior podemos ver que |Y| es la suma de los elementos Y, cada uno multiplicado por el determinante de la matriz de

podría causarnos un poco de inquietud es el signo “ “delante del segundo término, pero esto se hará claro más adelante. De la misma manera en la que un determinante de orden 3 se representa como una suma de 3 determinantes de orden 2 un deter-minante de orden 4 puede ser representado como una suma de 4 determinantes de orden 3, un determinante de orden 5 puede ser representado como una suma de 5 determinantes de orden 4 y en general un determinante de orden n puede ser representado como una suma de n determinantes de orden n

que es un menor de una matriz.

Si A es una matriz de n n, entonces la matriz de (n-1) (n-1) que se obtiene de A i y la columna j la llamaremos menor ij de A y la representaremos como Mij .

B1


Ejemplo 4. Consideremos la matriz

A

de la cual obtenemos que

M M

Es importante que distingas el orden de los subíndices ya que como te habrás dado cuenta M23 y M32 están muy lejos de ser iguales.

de una matriz de orden n.

Si A es una matriz de n n entonces su determinante, de-notado por |A

donde a1ky la k-ésima columna.

de n n se obtiene al sumar los n términos obtenidos al multiplicar cada elemento de

Ejemplo 5. Consideremos la matriz del ejemplo anterior, su determinante es dado por

A

-nantes de orden 3:

A

De modo que |A|= 1665.


12

-na sobre las preguntas que a continuación se te hacen.

1) A

Nota: Este ejercicio hace referencia a una pro-piedad de los determinantes. ¿Notaste por qué?

2) las siguientes matrices cumplan la misma relación .

Nota: Este ejercicio hace referencia a otra pro-piedad de los determinantes. ¿Notaste por qué?

3) A


4) A


5) A

Una vez resuelto el ejercicio, analiza tu solu-ción y observa la matriz que tienes, ¿Existe al-guna manera más rápida de encontrar el valor del determinante observando alguna caracte-rística especial en su matriz?

6) Encuentra el valor de x en la si-guiente matriz, si el valor de su de-terminante es cero.

B1


Relación entre la consistencia de un sistema de ecuaciones y el determinante de la matriz asociadaHemos visto que resolver un sistema de ecuaciones lineales se vuelve una labor más difícil conforme va aumentando el tamaño del sistema, es decir, conforme el sistema tiene más ecuaciones y más variables. Una de las aplicaciones de los determinantes puede ser apreciada a través de una relación muy importante que existe entre la consistencia de un sistema de ecuaciones y el valor del determinante de la matriz de

Si un sistema de ecuaciones tiene a A -tonces el sistema es consistente determinado (el sistema tienen una única solución) si y sólo si |A

distinto de cero; sin embargo, si dicho determinante vale cero entonces no podemos

puede darse cualquiera de ambos casos. Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 6. Consideremos el siguiente sistema

A

y con determinante

|A|= -ces el sistema tienen una única solución.


En este caso tenemos que la matriz de c B1 11 1

y con

determinante |B|=0, además en el ejemplo 1 vimos que el sistema es inconsistente.



14

C , tienen determinante |C|=0 y

como vimos en el ejemplo 1 el sistema es consistente indeterminado.

Sistemas de ecuaciones equivalentesSi comparamos los siguientes sistemas

-ben ser sus soluciones; sin embargo, podemos ver que ambos sistemas tienen una

cero y también podemos notar, al resolver ambos sistemas, que sus soluciones son (-1,2), así ambos sistemas tienen el mismo conjunto de solución. Este tipo de siste-mas son especiales, de modo que reciben un nombre.

Diremos que dos sistemas de ecuaciones son equivalen-tes si ambos tienen el mismo conjunto de soluciones, es decir, si cada solución de uno de esos sistemas es también una solución del otro y viceversa.

Ejemplo 9. (Dos sistemas que no son equivalentes). De los siguientes sistemas

el primero tiene como única solución al vector (1,7), además este vector es también una solución del segundo sistema; sin embargo, esto

cada solución del segundo sistema es también una solución del primero, pero esto

sistemas no pueden tener el mismo conjunto solución.

Operaciones elementalesComo se mencionó al principio del bloque, el objetivo principal del mismo es apren-der a resolver sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss, pero en rea-lidad podemos decir que esto es algo que ya has hecho desde el primer semestre ya que el método de eliminación que utilizas para resolver sistemas de ecuaciones de orden 2 y 3 coincide con el método de Gauss a excepción de la notación. Es por eso que observaremos a detalle el método de eliminación aplicado a un sistema de

-

B1


Si resolvemos el sistema anterior por el método de “eliminación” obtene-mos la solución mediante los siguientes pasos:

Paso 1: Multiplicamos la ecuación (1) por 7 obteniendo así la ecuación (3), similarmente multiplicamos (2) por 2 obteniendo (4), después de esto obtenemos el siguiente sistema:

Paso 2: Restamos (4) de (3) y con la ecuación resultante, (5), obtenemos otro sistema dado por:

y

Paso 3: Resolvemos este último sistema de manera directa:

De (5) se tiene que y=2 y sustituyendo este valor de y en (4) obtenemos que 14x+8=22 es decir x=1 y la solución de este sistema es entonces el vector (1, 2).

del último sistema, el cual ha sido resuelto. Es decir la solución del sistema originales el vector (1, 2).

Probablemente te habrás preguntado por que la solución del último sis-tema es también la solución del sistema original y la razón es porque todos los sistemas obtenidos en los distintos pasos son equivalentes

sistemas tienen la misma solución.

son equivalentes? La respuesta a tal pregunta es que cada uno de los sistemas se puede obtener de cualquier otro al aplicarle “ciertas operaciones”; pero no cualquier tipo de operaciones aplicadas a un sistema nos produce otro sistema equivalente, a este tipo de operaciones especiales las llamaremos operaciones elementales y veremos que a un sistema dado podemos aplicarle tantas operaciones elementales como se desee y el resultado será un sistema equivalente. Es decir, veremos que dos sistemas son equivalentes si uno de tales sistemas puede convertirse en el otro al aplicarle solo operaciones elementales.

Para determinar cuáles son estas operaciones elementales haremos uso de dos propiedades algebraicas elementales:

1) Si a=b y c=d entonces a+c=b+d.

2) Si a=b y k es cualquier número real entonces ka=kb.

La propiedad 1 nos dice que si se suman dos ecuaciones miembro a miem-bro, entonces el resultado es una ecuación válida. La propiedad 2 nos dice que si se multiplican ambos lados de una ecuación por una constante entonces el resultado es una ecuación también válida. Supondremos que k


16

Con estas dos propiedades en mente podemos determinar la “operaciones elementales”, empecemos considerando un sistema de ecuaciones de orden 2 de manera general:

ecuación de (1) nos dicen que para cualquier número real k, distinto de cero, la ecua-ción kax+kby=ke también es válida, de modo que el siguiente sistema

también es válido. De lo anterior podemos concluir que cualquier solución de (1) es también una solución de (2); o lo que es lo mismo, si (x,y) es una solución de un sistema, entonces cualquier sistema obtenido del primero al reemplazar una de sus ecuaciones por un múltiplo de esta también tiene a (x,y) como solución. Por ejemplo: El siguiente sistema

tiene como solución a la pareja ( 1,3), la cual también es solución del sistema:

ya que el segundo sistema se obtiene del primero al multiplicar su segunda ecuación por 2.

Del mismo modo podemos ver que cualquier solución de (2) es también una solución de (1) (nota que aquí es importante el hecho kque los sistemas (1) y (2) son equivalentes, ya que ambos tienen el mismo conjunto

-da que por una operación elemental nos referimos a operaciones que se les pueden aplicar a un sistema de ecuaciones de modo que nos produzcan un sistema de ecua-ciones equivalente).

Operación elemental 1. En un sistema de ecuaciones al “multiplicar cualquier ecuación por una constante distinta de cero” obtenemos un siste-ma de ecuaciones equivalente.

satisface y al aplicar la propiedad 2 en ambas ecuaciones de (2) obtenemos que

es una ecuación válida y por tanto el sistema:

B1


una solución de (3). Por ejemplo el vector (0,2) es solución del sistema:

y también es solución del sistema

ya que el segundo sistema se obtiene del primero al sumarle a su primera ecuación dos veces la segunda ecuación. Del mismo modo podemos ver que cualquier solu-ción de (3) es una solución de (2) y por tanto también será solución de (1); luego los sistemas de ecuaciones (1) y (3) son equivalentes. Hemos obtenido nuestra segunda operación elemental:

Operación elemental 2. En un sistema de ecuaciones al “sumarle a alguna ecuación un múltiplo de otra ecuación del mismo sistema” obtene-mos un sistema de ecuaciones equivalente.

Por último, es claro que cualquier solución del sistema

también será una solución del sistema

el mismo argumento nos hace ver que cualquier solución de (4) es también una so-lución del sistema (1). Ésta será la última operación elemental:

Operación elemental 3. En un sistema de ecuaciones al “intercambiar el orden de dos ecuaciones” obtenemos un sistema de ecuaciones equivalente.

Esta última operación elemental puede parecer en un principio inútil, pero su utilidad será apreciada en el método de Gauss.

Probablemente notaste que aunque la obtención de las operaciones ele-mentales se ilustró a través de un sistema de ecuaciones de orden 2 al momento de enunciar tales operaciones no se indicó el orden del sistema, esto fue hecho de modo intencional ya que las operaciones elementales son válidas para cualquier

prácticamente el mismo argumento que se utilizó en esta sección.


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Operaciones elementales de renglón

matriz aumentada; además si tenemos la matriz aumentada de un sistema entonces podemos determinar las ecuaciones que conforman dicho sistema. Por ejemplo la matriz aumentada

1 0 53 1 01 1 1

234

|

corresponde al sistema de ecuaciones lineales

3 3

4

Y también podemos notar que al aplicar operaciones elementales a un -

pendientes, no con las variables. Luego, podemos ahorrar tiempo, espacio y esfuerzo si trabajamos con las matrices aumentadas de cada sistema, en lugar de escribir cada sistema completo. Por tanto adecuamos las operaciones elementales a la notación de matrices, que por tratarse de matrices las llamaremos operaciones elementales de renglón y las enunciamos a continuación:

En una matriz se pueden efectuar las siguientes operaciones elementales de renglón:

1) Intercambiar dos renglones.2) Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero.

3) Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.

Habrás notado que las operaciones elementales por renglón son las ope-raciones que se pueden aplicar a una matriz aumentada de modo que la matriz aumentada resultante de cada operación corresponde a un sistema equivalente al sistema que le corresponde a la primera matriz aumentada. De manera similar a los sistemas equivalentes diremos que dos matrices son equivalentes si una se puede obtener de la otra mediante la aplicación de operaciones elementales por renglón. Es entonces inmediato que dos sistemas son equivalentes si y sólo si sus matrices aumentadas lo son

Método de Gauss Primero presentaremos la idea principal del método de Gauss; como mencionamos anteriormente el método de Gauss es en cierto modo la generalización del método de eliminación ya que la idea principal en ambos métodos es la misma; recordemos que aplicar el método de eliminación al sistema

nos produce, a través de operaciones elementales, el sistema equivalente

y

B1


en donde este último sistema es “fácil de resolver” ya que se puede hacer de manera directa despejando y de (5) para obtener y=2 y sustituyendo dicho valor en (4) para que se determine el valor de x el cual es x=1.

Bueno, pues el método de Gauss conserva estas ideas, ya que dado un sistema de ecuaciones se desea obtener otro sistema de ecuaciones que sea equiva-lente pero “fácil de resolver” y el modo en el que se consigue dicho sistema es me-diante la aplicación de operaciones elementales, lo cual garantiza que los sistemas

la forma del sistema de orden 2 obtenido por el método de eliminación. Por ejemplo los sistemas que corresponden a las matrices aumentadas

2 1 19 4 11 5 4

141

1 5 40 1 10 0 1

153

y| |es que el segundo sistema se puede resolver de manera fácil y directa ya que dicho sistema es:

5

z 3

de la tercera ecuación tenemos que z=3, reemplazando este valor de z en la segunda ecuación obtenemos que y=2 y al reemplazar estos valores en la primera ecuación resulta que x=1, de modo que la solución es (1,2,3). La manera en la que se resolvió el sistema anterior se llama sustitución hacia atrás debido a que empezamos de la última ecuación y la solución de esta ecuación la sustituimos en la ecuación anterior y continuamos de esta manera hasta haber resuelto todas las ecuaciones. De igual modo los sistemas correspondientes a cada una de las siguientes matrices aumentadas

y

se pueden resolver utilizando la sustitución hacia atrás. Por la forma que tienen las matrices anteriores reciben el nombre de matrices escalonadas y podemos ver que si un sistema de ecuaciones tiene asociada una matriz aumentada que sea escalo-nada entonces este sistema se puede resolver empleando la sustitución hacia atrás.

del sistema que se desea resolver y mediante operaciones elementales por renglón

correspondiente a esta última matriz empleando la sustitución hacia atrás.

Notemos que al emplear solamente operaciones elementales por renglón garantizamos que las matrices aumentadas son equivalentes de modo que corres-ponden a sistemas equivalentes y por lo tanto realmente estamos obteniendo las soluciones del sistema original.


20

una matriz en una matriz escalonada. Tal método lo describimos a continuación:

Paso 1. Transformar la matriz en una que tenga como elemento de su pri-mer renglón y primera columna un 1.

Paso 2. Transformar la matriz en una en la que todos los elementos debajo del 1, conseguido en el paso anterior, sean 0

Paso 3. Repetir los pasos 1 y 2 pero con el elemento ubicado en el segundo renglón y segunda columna.

Paso 4. Continuar de esta manera hasta convertir cada elemento de la dia-

La manera en la que se acostumbra a realizar cada paso es la siguiente:

Paso 1. Se pueden dar 4 sencillos casos:

Caso 1. Si el elemento ubicado en el primer renglón y primera columna es 1, entonces el paso 1 obviamente es omitido.

Caso 2. Si no se da el caso pero algún elemento de la primera columna es 1 entonces el renglón al que pertenece dicho 1 se intercambia con el primer renglón. (Notemos que ésta es simplemente una operación elemental.) Por ejemplo al inter-cambiar el primer y el tercer renglón de la siguiente matriz

2 1 19 4 11 5 4

141|

Obtenemos

1 5 49 4 12 1 1

141

|y con esto el paso 1 ha sido realizado.

Caso 3. Si ningún elemento de la primera columna es 1 y el elemento del primer renglón y primera columna no es cero, entonces dividimos el primer renglón entre este elemento. (Notemos que ésta es una operación elemental, ya que dividir entre un número (distinto de cero) es lo mismo que multiplicar por su inverso). Por ejemplo en la matriz

2 1 19 4 14 2 2

145

|Dividimos el segundo renglón entre 2 y obtenemos

1 1 2 1 29 4 11 5 4

1 241

/ / /|Caso 4. Si ningún elemento de la primera columna es 1 y el elemento del

primer renglón y columna es cero, entonces intercambiamos el primer renglón por

B1


alguno que tenga como primer elemento un número distinto de cero, obteniendo de esta manera una matriz que pertenece al caso 3.

Paso 2. Si a es un elemento ubicado debajo del 1 obtenido en el paso anterior que no es 0, es decir, acon el que se trabajó en el paso anterior (el renglón al que pertenece el 1 obtenido en el paso anterior) por a, y restárselo al renglón de a; después de esta operación habremos conseguido que tal elemento se vuelva 0. Debemos repetir este procedi-miento con cada elemento que debamos volver 0. (Notemos que este procedimiento consiste en efectuar una operación elemental, ya que se está sumando un múltiplo de un renglón distinto de cero a otro renglón).

Los demás pasos se efectúan de manera similar, solo que con los elemen-

elementales de renglón podemos llevar una matriz a una equivalente, es por eso que antes de ir a un ejemplo en el que apliquemos el método de Gauss introduciremos una notación para representar las operaciones elementales de renglón con la inten-ción de ahorrar tiempo y espacio, del mismo modo en que empleamos la notación matricial, tal notación es la siguiente

Ri Rj indica que los renglones i y j son intercambiados.

Ri kRi indica que el renglón i se multiplica por el número k.

Ri Ri+kRj indica que al renglón i se le suma el múltiplo del renglón j que se obtienen al multiplicarlo por k.

Con la notación recién indicada, procedemos a resolver tres sistemas de

Ejemplo 11. (Un sistema consistente determinado.) Resuelva el siguien-te sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss:

cuya matriz aumentada es

2 11 2

1 23 4

3 14 1

1 11 1

11

61

2|tenemos la siguiente cadena de matrices equivalentes (en donde cada matriz se ha


22

2 11 2

1 23 4

3 14 1

1 11 1

11

61

1 22 1

3 42| 2R1R 11 2

3 14 1

1 11 1

1161

1 20 5

3 45

2

2R 12R2R| 1103 14 1

1 11 1

156

1

2|1 20 5

3 45 10

0 74 1

10 111 1

1501

2

|1 20 5

3 45 10

0 70 7

10 1113 15

21507

|3R 13R3R 4R 14R4R

R R2 2

15

1 20 1

3 41 2

0 70 7

10 1113 15

0

23

7|

1 20 1

3 41 2

0 00 7

3 313 15

23

217

|1 20 1

3 41 2

0 00 0

3 36 1

23

2114|3R 27R3R 4R 27R4R

1 20 1

3 41 2

0 00 0

1 16 1

714

23|

1 20 1

3 41 2

0 00 0

1 10 7

23728

|1 20 1

3 41 2

0 00 0

1 10 1

74

23|1

33R

3R 17

4R4R

4R 36R4R

Hemos obtenido una matriz escalonada correspondiente al siguiente sistema

7w 4

y utilizando la sustitución hacia atrás tenemos que w = 4, z = 3, y = 2 y x = 1.

Ejemplo 12. (Un sistema inconsistente.) Consideremos ahora el siguiente sistema

con su correspondiente matriz aumentada dada por

2 11 2

1 23 4

3 14 2

1 12 4

11

62

2|

B1


-ción, tenemos que

2 11 2

1 23 4

3 14 2

1 12 4

11

62

1 22 1

3 42| 11 2

3 14 2

1 12 4

1162

1 20 5

3 45 1

2| 003 1

4 21 12 4

1562

2|2R1R 2R 12R2R

1 20 5

3 45 10

0 74 2

10 112 4

1502

2

|1 20 5

3 45 10

0 70 10

10 1110 20

15

010

2|3R 13R3R 4R 14R4R

R R2 2

15

1 20 1

3 41 2

0 70 10

10 1110 20

010

23|

1 20 1

3 41 2

0 00 10

3 310 20

2110

23|3R 27R3R

1 20 1

3 41 2

0 00 0

3 30 0

21

23

20|

1 20 1

3 41 2

0 00 0

1 10 0

23

720

|4R 210R4R13 3R3R

Es claro que el sistema correspondiente es inconsistente, ya que de la últi-ma matriz se tiene

7

en donde la última ecuación es absurda, de modo que podemos concluir que no existen números x, y, z, w que cumplan dicho sistema; por tanto, el sistema no tiene solución.

Ejemplo 13. (Un sistema consistente indeterminado.) Por último considere-mos el sistema


24

cuya correspondiente matriz aumentada es dada por

2 11 2

1 23 4

3 14 2

1 12 4

11

622

2|2 11 2

1 23 4

3 14 2

1 12 4

11

622

1 22 1

32| 44

1 23 1

4 21 12 4

11622

1 20 5

3 42| 55 103 1

4 21 12 4

15622

2

|2R1R 2R 12R2R

1 20 5

3 45 10

0 74 2

10 112 4

15022

2

|1 20 5

3 45 10

0 70 10

10 1110 20

215030

|3R 13R3R 4R 14R4R

R R2 2

15

1 20 1

3 41 2

0 70 10

10 1110 20

030

23|

1 20 1

3 41 2

0 00 10

3 310 20

2130

23|3R 27R3R

R RR R R

Hasta aquí es donde se puede llegar con el algoritmo presentado, de modo que el sistema asociado es

7

Este sistema es consistente indeterminado, ya que por tener más variables -

narle cualquier valor a alguna de las variables que aparezcan en todas las ecuaciones del sistema (en este caso tales variables son z y w ); elijamos w y hagamos w=0, de modo que el sistema anterior se reduce al siguiente

z 7

3

B1


y cuya solución, que se obtiene fácilmente empleando la sustitución hacia atrás, es z=7,y=-10 y x= 3. De modo que la solución del sistema en este caso es ( 3, 10,7,0). En general a cada valor de w corresponde una solución distinta al sistema.

I. En los siguientes problemas, utilice el método de Gauss para encontrar, todas las soluciones, si existen, para los sistemas de ecuaciones dados.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

II. Resuelve las siguientes situaciones cotidianas donde emplearás los sistemas de ecuaciones y que resolverás utilizando el método de Gauss. Lee con atención para evitar cualquier tipo de confusión.

1) Lucía acaba de regresar de vacaciones de Cancún, Playa del Carmen y Cozumel en donde gastó $30 diarios en Cancún, $20 diarios en Playa del Carmen y $20 diarios en Cozumel en concepto de hospedaje. En comidas gastó $20 diarios en Cancún, $30 diarios en Playa del Carmen y $20 dia-rios en Cozumel. En transporte gastó $5 diarios en Cancún, $10 diarios en Playa del Carmen y $3 diarios en Cozumel. De acuerdo con las notas que Lucía guardaba se dio cuenta que en Cancún gasto en total $3,400, en Playa del Carmen gasto $3,200 y en Cozumel gasto $1,400. Calcule el número de días que paso en cada uno de los puertos señalados.

2) Jorge, Manuel y Carlos compraron rosas, claveles y margaritas para hacer -

veles y 10 margaritas pagando $149. Manuel compró 5 rosas, 2 claveles y 5 margaritas pagando $75. Carlos compro 5 rosas, 10 claveles y 8 marga-


26

SíntesisEn el siguiente ejercicio resuelve el sistema de ecuaciones lineales de 5 incógnitas aplicando el método de Gauss y posteriormente utiliza el método de Cramer para

No es opcional, se tiene que realizar los dos procesos.

1)

Proyecto-

ce y buen desempeño que tienen esos alumnos después de presentar todas sus actividades de los primeros 15 días del curso escolar. Orgullosa del gran potencial que presentan sus 5 alumnos de la especialidad de matemáticas, aprovechando que están en el tema de sistemas de ecuaciones decide ponerles dos retos, que gustosos han aceptado.

El primero es descifrar un acertijo, pero para hacerlo más emocionante de-cide dividir el acertijo en 5 partes y es por ello que los llama por separado y les dice:

Luis, dime el valor de 5 números de tal forma que el primero al aumentarle el cuádruple del segundo, disminuirle el triple del tercero, aumentarle el doble del cuarto y disminuirle el triplo del quinto en total obtengo 2.

Carlos, dime el valor de 4 de los 5 números que le mencioné a Luis, de tal forma que el doble del primero, menos el quíntuple del tercero, menos el triplo del cuarto y aumentado el doble del quinto en total me da – 2.

Jorge, dime el valor de 4 de los 5 números que le mencioné a Luis, de tal forma que el triple del primero, aumentado en el doble del segundo, aumentado en el séptuplo del tercero, más el cuarto número tienes en total 6.

Manuel, dime el valor de 4 de los 5 números que me mencioné a Luis, de tal modo que el primero, menos el triple del segundo, menos el doble del cuarto más el triple del quinto, tienes en total 1.

Erick, dime el valor de 4 de los 5 números que le mencioné a Luis, de tal modo que el doble del primero, menos el quíntuplo del segundo, más el triple del tercero, menos el quinto, en total obtengo 7.

El segundo es ampliar el método de Gauss y por ello les pide que al mo-mento de resolver su problema y sacar la matriz aumentada para resolver un sistema de ecuación, la transformen de tal modo que lleguen a la matriz unitaria, ¿Sabes cuál es?

Manos a la obra.

B1


Rúbrica del proyecto

ESTRUCTURA DE LA EVALUACIÓN DEL PROYECTO

NIVELES DE DOMINIO

CRITERIOSPRE-FORMAL INICIAL

RECEPTIVORESOLUTIVO

BÁSICO AUTÓNOMO ESTRATÉGICO

1 2 3 4 5

CON

OCI

MIE

NTO

S

No describe el concepto de matriz unitaria y las propiedades que de ella emanan.

correctamente la matriz aumentada al sistema de ecuaciones lineales y no puede interpretar la consistencia de la matriz aumentada unitaria.

No explicó las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales de 5 5 al momento de obtener la matriz unitaria asociada.

No describo la ampliacióndel método de Gauss (Gauss – Jordan) para resolver sistemas de ecuaciones lineales con la matriz asociada unitaria.

vagamente las variables asociadas a la situación real y su relación lineal para la conformación del sistema de ecuación.

Describe vagamente el concepto de matriz unitaria y las propiedades que de ella

con mucha

matriz aumentada al sistema de ecuaciones lineales y no puede interpretar la consistencia de la matriz aumentada unitaria.

Explico con

operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales de 5 5 al momento de obtener la matriz unitaria asociada. Describo con

la ampliación del método de Gauss (Gauss – Jordan) para resolver sistemas de ecuaciones lineales con la matriz asociada unitaria.

vagamente las variables asociadas a la situación real y su relación lineal para la conformación del sistema de ecuación.

Describe con

el concepto de matriz unitaria y las propiedades que de ella emanan.

matriz aumentada al sistema de ecuaciones lineales y no puede interpretar la consistencia de la matriz aumentada unitaria.

Explico con pocas

operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales de 5 5 al momento de obtener la matriz unitaria asociada. Describo con

y con apoyo del facilitador, la ampliación del método de Gauss (Gauss – Jordan) para resolver sistemas de ecuaciones lineales con la matriz asociada unitaria.

variables asociadas a la situación real y su relación lineal para la conformación del sistema de ecuación.

Describe el concepto de matriz unitaria y las propiedades que de ella

la matriz aumentada al sistema de ecuaciones lineales e interpreta la consistencia de la matriz aumentada unitaria.

Explico las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales de 5 5 al momento de obtener la matriz unitaria asociada. Describo con

y con apoyo del facilitador, la ampliación del método de Gauss (Gauss – Jordan) para resolver sistemas de ecuaciones lineales con la matriz asociada unitaria.

variables asociadas a la situación real y su relación lineal para la conformación del sistema de ecuación.

Describe plenamente el concepto de matriz unitaria y las propiedades que de ella

plenamente la matriz aumentada al sistema de ecuaciones lineales e interpreta la consistencia de la matriz aumentada unitaria.

Explico correctamente las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales de 5 5 al momento de obtener la matriz unitaria asociada. Describo correctamente la ampliación del método de Gauss (Gauss – Jordan) para resolver sistemas de ecuaciones lineales con la matriz asociada unitaria.

correctamente las variables asociadas a la situación real y su relación lineal para la conformación del sistema de ecuación.


28


NIVELES DE DOMINIO


RECEPTIVORESOLUTIVO


1 2 3 4 5

No logro aplicar la matriz unitaria asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

No logro resolver el sistema de ecuación lineal de 5 5 empleando el método extendido de Gauss (Gauss – Jordan) al manejar la matriz aumentada unitaria.

No logro plantear correctamente el sistema de ecuación lineal a situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ella.

Resuelvo con

el modelo indicado (Gauss – Jordan) y no logro contrastarlo con la realidad.

Logro aplicar, con

la matriz unitaria asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Logro resolver con

y con apoyo del facilitador, el sistema de ecuación lineal de 5 5 empleando el método extendido de Gauss (Gauss – Jordan) al manejar la matriz aumentada unitaria.

Logro plantear

el sistema de ecuación lineal a situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ella.

Resuelvo con

el modelo indicado (Gauss – Jordan) y escasamente logro contrastarlo con la realidad.

Logro aplicar, con

matriz unitaria asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Logro resolver con apoyo del facilitador, el sistema de ecuación lineal de 5 5 empleando el método extendido de Gauss (Gauss – Jordan) al manejar la matriz aumentada unitaria.

Logro plantear

el sistema de ecuación lineal a situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ella.

Resuelvo con

modelo indicado (Gauss – Jordan) y logro contrastarlo con la realidad.

Logro aplicar la matriz unitaria asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Logro resolver con apoyo del facilitador, el sistema de ecuación lineal de 5 5 empleando el método extendido de Gauss (Gauss – Jordan) al manejar la matriz aumentada unitaria.

Logro plantear el sistema de ecuación lineal a situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ella.

Resuelvo con

modelo indicado (Gauss – Jordan) y logro contrastarlo con la realidad.

Logro aplicar plenamente la matriz unitaria asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Logro resolver correctamenteel sistema de ecuación lineal de 5 5 empleando el método extendido de Gauss (Gauss – Jordan) al manejar la matriz aumentada unitaria.

Logro plantear correctamente el sistema de ecuación lineal a situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ella.

Resuelvo correctamente el modelo indicado (Gauss – Jordan) y logro contrastarlo siempre con la realidad.

B1



NIVELES DE DOMINIO


RECEPTIVORESOLUTIVO


1 2 3 4 5

No valoro la importancia que tiene la matriz unitaria en la resolución del sistema de ecuación lineal en el método ampliado de Gauss.

Participo muy escasamente y de manera colaborativa en la solución de la situación del acertijo, a partir de la modelación de la misma.

Muestro nula apertura hacia el método alternativo propuesto para resolver un sistema de ecuaciones y la situación que lo implica.

Valoro escasamente la importancia que tiene la matriz unitaria en la resolución del sistema de ecuación lineal en el método ampliado de Gauss.

Participo escasamente y de manera colaborativa en la solución de la situación del acertijo, a partir de la modelación de la misma.

Muestro poca apertura hacia el método alternativo propuesto para resolver un sistema de ecuaciones y la situación que lo implica.

Valoro la importancia que tiene la matriz unitaria en la resolución del sistema de ecuación lineal en el método ampliado de Gauss, pero muestro resistencia en su aplicación.

Participo cuando me lo piden y de manera colaborativa en la solución de la situación del acertijo, a partir de la modelación de la misma.

Muestro poca apertura hacia el método alternativo propuesto para resolver un sistema de ecuaciones y la situación que lo implica.

Valoro la importancia que tiene la matriz unitaria en la resolución del sistema de ecuación lineal en el método ampliado de Gauss.

Participo de manera colaborativa en la solución de la situación del acertijo, a partir de la modelación de la misma.

Muestro apertura hacia el método alternativo propuesto para resolver un sistema de ecuaciones y la situación que lo implica.

Valoro siempre la importancia que tiene la matriz unitaria en la resolución del sistema de ecuación lineal en el método ampliado de Gauss.

Participo siempre de manera colaborativa en la solución de la situación del acertijo, a partir de la modelación de la misma.

Muestro siempre apertura hacia el método alternativo propuesto para resolver un sistema de ecuaciones y la situación que lo implica.

PO

ND

ER

AC

ION

3 6 9 12 15


30

alcanzado a lo largo de todo este bloque y para ello te presento la siguiente rúbrica. Léela y analiza con mucha honestidad lo que has logrado y lo que aún no.

ESTRUCTURA DE LA EVALUACIÓN DEL BLOQUE

NIVELES DE DOMINIO


RECEPTIVORESOLUTIVO


1 2 3 4 5

CON

OCI

MIE

NTO

S

correctamente el concepto de matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

el determinante que corresponde a una matriz.

Comprendo vagamente el concepto de consistencia de un sistema de ecuaciones lineales.

Explico vagamente las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales.

No describo el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

variables asociadas a una situación real y su relación lineal.

el concepto de matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

apoyo del facilitador el determinante que corresponde a una matriz.

Comprendo vagamente el concepto de consistencia de un sistema de ecuaciones lineales.

Explico vagamente las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales.

Describo vagamente el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

algunas de las variables asociadas a una situación real y su relación lineal.

pidiendo apoyo, el concepto de matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

apoyo del facilitador, el determinante que corresponde a una matriz.



Describo con apoyo, el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

mayoría de las variables asociadas a una situación real y su relación lineal.

concepto de matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

determinante que corresponde a una matriz.



Describo con apoyo del facilitador, el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

mayoría de las variables asociadas a una situación real y su relación lineal.

plenamente el concepto de matriz asociada a un sistema de ecuaciones

completamente el determinante que corresponde a una matriz.

Comprendo completamente el concepto de consistencia de un sistema de ecuaciones lineales.

Explico correctamente las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales.

Describo completamente el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

variables asociadas a una situación real y su relación lineal.

B1



NIVELES DE DOMINIO


RECEPTIVORESOLUTIVO


1 2 3 4 5

No logro determinar el valor del determinante correspondiente a la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

No establezco la consistencia de un sistema de ecuaciones lineales a partir del valor del determinante.

No logro resolver sistemas de ecuaciones lineales empleando el método de Gauss.

Modelo con mucha

del contexto a partir de variables relacionadas a ésta, estableciendo un sistema de ecuaciones lineales.

Resuelvo con

los modelos establecidos y no logro contrastarlo a las soluciones obtenidas con la realidad.

Logro con muchas

determinar el valor del determinante correspondiente a la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Establezco con

consistencia de un sistema de ecuaciones lineales a partir del valor del determinante.

No logro Resolver sistemas de ecuaciones lineales empleando el método de Gauss.

Modelo con

situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ésta, estableciendo un sistema de ecuaciones lineales.

Resuelvo con

los modelos establecidos y vagamente lo contrastado a las soluciones obtenidas con la realidad.

Presento algunas

al determinar el valor del determinante correspondiente a la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.


Resuelvo con ayuda los sistemas de ecuaciones lineales empleando el método de Gauss.

Modelo con

situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ésta, estableciendo un sistema de ecuaciones lineales.

Resuelvo los modelos establecidos y vagamente lo contrastado a las soluciones obtenidas con la realidad.

Determino el valor del determinante correspondiente a la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.


Resuelvo con ayuda los sistemas de ecuaciones lineales empleando el método de Gauss.

Modelo situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ésta, estableciendo un sistema de ecuaciones lineales.

Resuelvo los modelos establecidos y vagamente lo contrastado a las soluciones obtenidas con la realidad.

Determino completamente el valor del determinante correspondiente a la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Establezco correctamente la consistencia de un sistema de ecuaciones lineales a partir del valor del determinante.

Resuelvo correctamente los sistemas de ecuaciones lineales empleando el método de Gauss.

Modelo situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ésta, estableciendo un sistema de ecuaciones lineales.

Resuelvo correctamente los modelos establecidos y logro contrastarlo plenamente a las soluciones obtenidas con la realidad.


32


NIVELES DE DOMINIO


RECEPTIVORESOLUTIVO


1 2 3 4 5

No valoro los elementos asociados a un sistema de ecuaciones lineales, para determinar la naturaleza de las soluciones del mismo.

Participo muy escasamente y de manera colaborativa en la solución de una situación del contexto, a partir de la modelación de la misma.

Muestro nula apertura hacia las alternativas propuestas para resolver un sistema de ecuaciones y situaciones que los implican.

Valoro poco los elementos asociados a un sistema de ecuaciones lineales, para determinar la naturaleza de las soluciones del mismo.

Participo muy escasamente y de manera colaborativa en la solución de una situación del contexto, a partir de la modelación de la misma.

Muestro poca apertura hacia las alternativas propuestas para resolver un sistema de ecuaciones y situaciones que los implican.

Valoro la mayoría de los elementos asociados a un sistema de ecuaciones lineales, para determinar la naturaleza de las soluciones del mismo.

Participo poco y de manera colaborativa en la solución de una situación del contexto, a partir de la modelación de la misma.

Muestro apertura hacia las alternativas propuestas para resolver un sistema de ecuaciones, pero las cuestiono de modo inadecuado y situaciones que los implican.

Valorolos elementos asociados a un sistema de ecuaciones lineales, para determinar la naturaleza de las soluciones del mismo.

Participo de manera colaborativa en la solución de una situación del contexto, a partir de la modelación de la misma.

Muestro apertura hacia las alternativas propuestas para resolver un sistema de ecuaciones, pero las cuestiono de modo inadecuado y situaciones que los implican.

Valoro siempre los elementos asociados a un sistema de ecuaciones lineales, para determinar la naturaleza de las soluciones del mismo.

Participo siempre de manera colaborativa en la solución de una situación del contexto, a partir de la modelación de la misma.

Muestro siempre apertura hacia las alternativas propuestas para resolver un sistema de ecuaciones, y situaciones que los implican.

PO

ND

ER

AC

ION

3 6 9 12 15

B1


Notas

Bloque II: Sistemas de ecuaciones de segundo grado

Desempeños del estudianteResuelve situaciones teóricas y del contexto a través del método que co-rresponda al sistema planteado.

Objetos de aprendizajeNaturaleza de las soluciones de un sistema de ecuaciones cuadráticas

Lugar geométrico que corresponde a una ecuación cuadrática

Ecuaciones con radicales

Sistemas de ecuaciones cuadráticas

Situaciones que implican un sistema de ecuaciones cuadráticas.

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.




Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfo-ques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones rea-les.

--


natural para determinar o estimar su comportamiento.


36

Dinamización y motivaciónYa has abundado en la resolución de ecuaciones de primer grado mediante diferen-tes métodos. Es más comprenderás la relación entre dichos métodos o mecanismos que has estudiado, con los métodos de resolución de ecuaciones lineales vistos en el primer semestre de bachillerato.

En esta ocasión comprenderemos un estudio de las ecuaciones cuadráticas así como sus propiedades inherentes a ella y más aún los algoritmos para resolver los sistemas de ecuaciones formados por ecuaciones de este tipo. Como parte de la comprensión del manejo de los elementos algebraicos que realizarás en este bloque también será necesario tener una visualización geométrica de los que estarás obte-niendo.

Las ecuaciones cuadráticas tienen un sinnúmero de utilidades en las cien-cias, ya que muchos modelos matemáticos tienen la característica de tener una forma cuadrática. Ejemplos de tales ecuaciones cuadráticas es la ecuación de tiro parabólico en física y de manera semejante las ecuaciones parabólicas vistas en Matemáticas 4.

Sesión 1: La ecuación cuadráticaCriterios:

-

Comprendo los distintos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y ecuaciones con radicales.

Resuelvo ecuaciones cuadráticas y con radicales mediante el empleo de métodos adecuados.

Participo y colaboro con el grupo en la solución de las problemáticas dadas.

ContextualizaciónDesde el primer semestre de tu bachillerato fuiste inducido al estudio de las ecua-

básicas así como los métodos de resolución de estas mismas. Te preguntarás por qué tanta importancia a estas ecuaciones cuadráticas (así como en el bloque anterior se indicó lo mismo respecto a las ecuaciones lineales), bueno para tener una breve vi-sualización de su uso en tu vida escolar recuerda que estudiaste a éstas en el primer semestre, en el segundo semestre las aplicaste de nuevo quizás al resolver proble-mas de geometría o trigonometría; en tercer semestre las usaste al momento de manejar las ecuaciones de las cónicas y quizás al momento de resolver un problema de distancia entre dos puntos; en cuarto semestre se dedicó un bloque completo a las ecuaciones de segundo grado así como su empleo en la determinación de valores

del uso, tan solo en bachillerato, de las ecuaciones cuadráticas.

Un modelo matemático es

una representación en lenguaje matemáti-co, es decir, mediante expresiones algebrai-cas, de una situa-

describir la situación o problema a símbo-los matemáticos. Consulta el bloque 1 de la obra cálculo diferencial.

B2

37Bloque II: Sistemas de ecuaciones de segundo grado

Es probable que continúes tus estudios superiores en alguna carrera afín a las matemáticas, por ello es muy útil que comprendas las características de estas ecuaciones.

ProblematizaciónRecuerda que una función cuadrática de segundo grado puede tener la forma:

2

Donde a, b y c son valores constantes y además a 0

al igualar a cero esta relación. Es decir, una ecuación de segundo grado tiene la es-tructura siguiente:

Sobre esta última línea, responde:

¿Recuerdas los métodos algebraicos para resolver una ecuación cuadrática?

¿Cumplirán alguna característica estas raíces?

¿Cómo podrías resolver ecuaciones del tipo ,

?

Discute las posibles respuestas con tus compañeros y con la guía de tu docente que será el mediador de este debate.

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competenciasComo ya se había indicado antes,

Una ecuación cuadrática tiene la forma en donde a, b y c son valores constantes y a 0 . Esta forma se llama forma ca-nónicax que representan las raíces.


38

Las formas de resoluciones básicas, que seguramente has visto en cursos anteriores, son:

Métodos de resoluciónde ecuación cuadrática

Fórmula general GráficoFactorización

No vamos a detallar en estos tres métodos pero sí vamos a considerar un ejemplo sobre su uso al momento de querer resolver una ecuación de tipo cuadrático.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación cuadrática x x por el método:

a) De factorización

b) De fórmula general

c)

Solución. En primer lugar es más sencillo tratar a estas ecuaciones si las pasamos a la forma canónica, de manera que tenderemos

x x xx x xx x

a) En este caso la factorización de la ecuación quedará:

x xx x

Igualando a cero los factores con la incógnita y despejando se tiene en cada caso

xx

y x

x

Por lo tanto las raíces de la ecuación son -2 y -1/2

b) Es digno de recalcar la fórmula general para ecuaciones cuadráticas, la cual es

Repasa con detalle estos tres

métodos que has manejado desde los primeros cursos de matemáticas.

B2


Donde obviamente los valores a, b y c son los que surgen a partir de la for-

ma canónica . Teniendo esto como base observamos que en nuestro caso a=4, b=10 y c=4, con lo que al aplicar la fórmula obtendremos

x

la segunda solución el signo negativo:

x y x

Por lo tanto al igual que en el inciso a, las soluciones son: -2 y -1/2.

c) Para este caso conviene recordar que

Una ecuación, en este caso cuadrática,

tiene dos soluciones si posee dos intersecciones con dicho eje;

de modo contrario no tiene soluciones en los números reales si la

Crearemos una tabla de valores positivos y negativos con la relación que nos da la ecuación, a saber,

x y

-2.5 4

-2 0

-1.5 -2

-1 -2

-0.5 0

0 4

0.5 10

Representa junto con tus compañe-ros diferentes casos

-ciones que cumplan algunos de los puntos dados anteriormente.


40

–3.5 –2.5 –1.5 –0.5–3 –2 –1 3.52.51.50.5 32

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

–1

–2

–3

y

y=4x2+10x+4

x

Figura 2.1. Trazo de la función y sus dos raíces.

Observamos que las soluciones a esta ecuación coinciden con las previa-mente obtenidas con los dos métodos señalados.

Ejemplo 2. Discutir las raíces de la ecuación xx

xx

Solución. La convertimos en primer lugar al modo canónico

xx

xx

x x x x x xx x

x x x x x xx x

x x

a=1, b=-3 y c= 4:

x

B2


Resalta el hecho en este ejemplo que la relación anterior no tiene solución en

los números reales ya que no nos es posible calcular en este campo el valor 7 , las formas de resolver estas situaciones las detallaremos en un bloque posterior relativo al campo de los números complejos

parábola que no toca al eje X. Compruébalo.

Existe una amplia aplicación de las ecuaciones cuadráticas, tal y como se

ejemplo relativo a la ecuación cuadrática.

En parejas planteen la resolución de la ecuación cuadrática

x xx

con los tres métodos señalados, de forma que pue-

dan explicar a la clase algunos de sus resultados que tu docente sugiera.

Ejemplo 3. Un cateto de un triángulo rectángulo es 15 unidades mayor que el otro y se sabe también que la hipotenusa mide 30 unidades. Determina la longitud de los catetos.

Solución. Denotemos al cateto menor con la variable x, de manera que el mayor será x+15. De esta forma por el teorema de Pitágoras se comprende la rela-ción siguiente:

x xx x xx x

Resolviéndola por la fórmula nos da las soluciones

x y x

Pero el valor -27.34 no es válido ya que estamos tratando de distancias positivas, así que la solución de la ecuación es 12.43 con lo que los catetos serán: el menor 12.43 y el mayor (12.43+15)=27.34 unidades.

Investiga en diferentes fuentes de información cinco situaciones o problemáticas reales que se planteen usando ecuaciones cuadráticas así como la obtención de su solución por el método apropiado.


42

Propiedades de la ecuación cuadráticaHasta ahora se han indicado los métodos de solución de una ecuación cuadrática, mas sin embargo las soluciones o raíces tienen la forma

Éstas cumplen ciertas propiedades que se enlistan a continuación, a modo de teoremas:

Teorema 2.1. Sea la ecuación cuadrática , en donde a, b y c son valores constantes reales y a 0 , entonces el discriminante

Indica las características de las soluciones de manera que si:

D>0 entonces habrán dos raíces reales y diferentes

D=0 entonces habrán dos raíces reales e iguales

D<0 entonces no hay solución en los reales (habrán dos raíces ima-ginarias o complejas)

Teorema 2.2. Para la ecuación cuadrática , donde a, b y c son valores constantes reales y a 0 , entonces cumple que:

La suma de sus raíces es –b/a

El producto de sus raíces es c/a

Teorema 2.3. Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación cuadrática

entonces se cumple que

Veamos algunas aplicaciones de estos teoremas.

Ejemplo 4. Determina la naturaleza de las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones con el uso del discriminante D.

a) 3x2 - 2 x + 5=0

b) x2 – =0

Solución.-

a) Se tiene a=3, b=- 2 y c=5, por lo que D . Se tienen dos raíces complejas.

B2


b) Aquí a=1, b=0 y c=- entonces D . Existen dos raíces reales y distintas.

Ejemplo 5. Calcula el valor de k para que las raíces de la ecuación

,

a) sumen 6

b) sean recíprocas

Solución.

a) La suma de las raíces será

k

kk

kk

b) El que sean recíprocas una de la otra indica que al multiplicarlas den la unidad, es decir:

kkk k

k

Ejemplo 6. Si las raíces de una ecuación cuadrática son ¾ y -2 halla la ecuación debida.

Solución. Puesto que las raíces son ¾ y -2 tendremos que la ecuación de donde provienen es:

x x x x x x

Si deseamos quitar los denominadores multiplicamos todo por 4 obtenien-do la ecuación deseada 4x2 +5x - 6=0

Ecuaciones de forma cuadrática

Una ecuación de la forma , donde a 0 , se llama ecuación de forma cuadrática.


44

Cabe señalar que no necesariamente se trata de una ecuación cuadrática, pero tras unos cambios de variable se puede ordenar como si lo fuera. Por ejemplo la

ecuación x x es de forma cuadrática ya que si consideramos la función y=f(x)=x3, entonces se obtiene

Lo cual es sin duda una ecuación cuadrática. Del mismo modo la ecua-

ción x

xx

x puede convertirse si hacemos el cambio de variable con

, pues con este cambio obtenemos: yy

+ − =2 1 3 0

De la cual obtenemos la siguiente ecuación cuadrática 3y y− + =2 02

De manera que para resolver estos tipos de ecuaciones en forma cuadrática:

1. Se realiza el cambio de variable necesario

2. Se resuelve la ecuación cuadrática resultante tras el cambio de variable

3. Se obtienen las soluciones con el uso del cambio de variable utilizado

4. Se comprueba de que no existan raíces extrañas (que satisfagan la ecua-ción original)

Ejemplo 7. Resolver las dos ecuaciones de forma cuadrática dadas ante-riormente.

Solución.

a) Se tiene x x y el cambio de variable fue 3 , de manera que obtuvimos

y y

Procedemos a resolverlo mediante factorización

y y y y

Las raíces son entonces, y1 1 y y

B2


x, mediante el uso del cambio de va-

riable 3 . Para el valor de y1 1 se obtendrá:

Para el valor y :

son efectivamente

raíces de x x

b) Para este segundo caso tenemos xx

xx

que con el cambio de

variable se obtuvo la relación cuadrática

y y

Procedemos a resolver ésta también con factorización

y y y y

Cuyas raíces son: y1 1 y y2 2

Finalmente resolvemos para x con el cambio de variable y cada una de las

soluciones de y. Para y1 1

Por fórmula general se tienen las soluciones respectivas, y

Aunque los radicales pueden ser de cualquier tipo, cuadráticos, cúbicos, etc. Solo nos basare-mos en los radicales cuadráticos.


46

Para el caso y2 2

Que mediante la fórmula general se tienen las soluciones, y

xx

xx

son , , y .

Ecuaciones con radicalesRelacionado a las ecuaciones cuadráticas tenemos un tipo de ecuaciones que po-

Una ecuación que posea al menos un radical contenien-do la incógnita se conoce como ecuación radical.

Ejemplos de estos tipos de ecuaciones pueden ser las expresiones,

x

x x

x x

Para resolver estas ecuaciones se precede como sigue:

1) Se aísla un radical para elevar a la potencia adecuada ambos miem-bros de la ecuación y así eliminar el radical asilado.

2) Se procede a reordenar la ecuación resultante para asilar, si es nece-sario, algún radical que permanezca aún y repetir el paso 1.

3) Resolver la ecuación resultante que esté libre de radicales.

4)

B2


Ejemplo 8. Hallar la solución de la ecuación radical x x x1 1

Solución. En primer lugar aislamos el radical que aparentemente es más complejo de manera que así podemos elevar al cuadrado ambos términos y así eli-minarlo.

x x x1 1

x x x

x x x x

Se usó el binomio al cuadrado en el segundo miembro. Ya que aún posee-mos radicales vamos a aislar el más complejo, pero antes hemos de realizar algunos ajustes algebraicos:

x x x x

x x

x x

x x x

Nuevamente procedemos a aislar el radical restante, elevamos al cuadrado y resolvemos la ecuación resultante

x x x

x x

x xx xx x

x x

x 0 y x

Para x=0

x x x− − − = −

− − − = −

− − =

− − =

1 1

0 1 0 1 0

1 1 0

1 1 0!

Se observa que esto conduce a una falsedad, razón por la que x=0 es una raíz extraña y la eliminamos.


48

Para x=16/25

x x x

x=16/25 es la única solución de la ecuación

x x x1 1

En equipos de tres compañeros obtengan por separado la solución a la siguiente ecuación con radicales, pero cada uno despejando un radical diferente. De manera

error en el proceso de resolución por medio de una coevaluación entre ustedes.

Síntesis

las competencias de esta sesión.

1) Con cada ecuación cuadrática representada a continuación determínales sus soluciones por los tres métodos vistos en este bloque:

a. x x

b. x x

c. x x x

d. x x

e. xx

x x

f. x x

g. xx

x

h. x xx

B2


2) Resuelve las ecuaciones cuadráticas literales.

a. 2 2 22

b. 2 22 2

c.

d.

e.

3) En cada inciso determina (sin resolver las ecuaciones) si la ecuación tiene dos, una o ninguna raíz real además de investigar el valor de la suma y producto de sus raíces (si las hay).

a. x x

b. x x

c. x x

d. x x

e. xx

4) En cada inciso determina el valor de k para que la ecuación tenga.

i. raíces iguales

ii. una suma de raíces igual a 1

iii. raíces recíprocas

a.

b.

c.

5) Resuelve las siguientes ecuaciones como ecuación de forma cuadrática.

a. x x

b. x x

c. x x

d. x

xx

x

e. x

xx

x

6) Halla las soluciones de las ecuaciones con radicales siguientes.

a. x x

b. x x

c. x x x

d. x x x

e. xx

f. x x


50

Sesión 2: Sistemas de ecuaciones cuadráticosCriterios

-nes que conforman el sistema en cuestión.

Conozco el número posible de soluciones de un sistema de ecuaciones, a partir de las relaciones que lo conforman.

Reconozco las variables asociadas a una situación teórica o contextual.

Determino el número posible de soluciones de un sistema de ecuaciones

Resuelvo sistemas de ecuaciones cuadráticas mediante el empleo de mé-todos adecuados.

Modelo situaciones del contexto, a partir de las variables asociadas a ésta.

de un sistema de ecuaciones cuadráticas.

ContextualizaciónDesde el primer curso de matemáticas en bachillerato has resuelto sistemas de ecua-ciones lineales de dos incógnitas, que podrían verse del tipo

Donde a1, a2, b1, b2, c1y c2

Incluso analizaste en el bloque uno métodos de cómo llegar a tener las so-luciones (que son representadas por coordenadas cartesianas) ya que la intersección de dos rectas diferentes en un plano generan un punto coordenado de la forma (x, y).

-ción de sistemas de ecuaciones de dos incógnitas, pero ya no de forma puramente lineal si no de forma cuadrática con sus combinaciones respectivas.

ProblematizaciónRecuerda que una ecuación lineal de dos incógnitas se puede ver de la forma

, con a, b y c a o b son diferentes de cero. De manera que ampliando esta ecuación podemos dar la forma de una ecuación cuadrática de dos incógnitas, la cual es:

En donde a, b, c, d, e y fa, b o c no sea cero. De manera general esta última

ecuación genera las ecuaciones de las secciones cónicas vistas en Matemáticas III. Por ello responde las siguientes preguntas con base numérica o algebraica:

B2


1)

2) -cal y una horizontal?

3) y una horizontal?

4) -bola y una horizontal?

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competencias

-ta un sistema cuadrático de dos variables.

Un sistema de la forma

cuadrático de dos incógnitas.

Los métodos o algoritmos algebraicos para solucionarlos son variados y dependen del tipo de ecuaciones que interactúen, por ejemplo puede tenerse un sis-tema lineal-cuadrático, es decir una de las ecuaciones es lineal y la otra es cuadrática, puede tenerse un sistema cuadrático-cuadrático sin términos xy o puede haber un sistema cuadrático-cuadrático con al menos un término xy. Cada uno de estos casos

es lo que estaremos analizando a continuación.

Puedes reali-zar una consulta

preguntas puesto que serán de importancia en el transcurso de esta sesión.


52

Sistema lineal–cuadráticaEstos sistemas tienen la forma:

Entonces si tenemos un sistema lineal–cuadrático hemos de seguir este procedimiento:

1) Despejar una de las variables en la ecuación lineal

2) Sustituir el despeje anterior en la ecuación de segundo grado y re-solverla

3) Obtener las parejas coordenadas que representan las soluciones del sistema

Ejemplo 9. Resolver el sistema lineal–cuadrático siguiente e interpretar los

Solución. Despejemos la variable y de la primera ecuación obteniendo

y en la segunda ecuación, de manera que llegaremos a:

x xx xx x xx

Resolviendo esta ecuación para x

xx

Se obtienen así dos valores para x,

x=1 y x= 1

Nos resta determinar los valores de las ordenadas de las coordenadas de solución, esto proviene al sustituir las soluciones de x en el despeje y=x, con lo que obviamente tendremos:

Para x=1 entonces y=1. La coordenada solución (x, y) es (1, 1).

Para x=-1 entonces y=-1. La coordenada solución es ( 1, 1).

ambas representan las dos soluciones para tal.

B2


x

y

0.2 0.4 0.6

–0.5

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8–0.2–0.4–0.6–0.8–1–1.2–1.4–1.6–1.8

0.5

1

1.5

–1

–1.5

(–1,–1)

(1,1)

2x2-xy+2y2=3

x-y=0

Figura 2.2. Representación del sistema lineal-cuadrático y sus soluciones.

La primera ecuación del sistema se trata de una recta y la segunda de una elipse con una rotación de sus ejes. Este trazo indica que los puntos solución del

ecuaciones del sistema se intersecan. En este caso en los puntos (1, 1) y ( 1, 1).

Nota:

señala que son las soluciones del sistema. Si solo presenta un punto de tangencia

caso de que las dos ecuaciones no se intersecten o corten, entonces analíticamente el sistema no tiene solución.

Sistema cuadrática–cuadrática sin términos lineales ni término xySe tratan de sistemas con la forma siguiente:

Consideramos el método de resolución de estos sistemas que básicamente se le puede tratar como un sistema de ecuaciones lineales, solo que con las variables x2 y y2.


54

1) Eliminar una de las variables cuadráticas

2) Resolver la ecuación resultante

3) Obtener las parejas coordenadas que representan las soluciones del sistema

Ejemplo 10. Resolver el sistema cuadrático–cuadrático siguiente e inter-

Solución. Eliminaremos a la variable cuadrática y al multiplicar por 16 la primera de las ecuaciones y la sumamos a la segunda.

Con estas soluciones de las abscisas obtendremos las ordenadas al susti-tuirlas en cualquiera de las ecuaciones originales, digamos en la primera:

Para x=3,

De forma que las parejas ordenadas surgidas hasta ahora son (3, 2) y (3, 2)

Para x=-3, es semejante obteniendo las parejas ( 3, 2) y ( 3, 2). De mane-ra tras comprobar estas parejas se concluye que las cuatro satisfacen el sistema de ecuaciones así que las soluciones son: ( 3, 2), ( 3, 2), (3, 2) y (3, 2).

para la segunda una elipse, como se muestra a continuación.

B2


x

y

–1

–2

–3

–4

–5

–2 –1 1 2 3 4 5–3–5 –4

1

2

3

4

5

(3,2)(–3,2)

(3,–2)(–3,–2)

9x2+16y2=145

x2-y2=5

Figura 2.3. Representación del sistema cuadrático–cuadrático y sus cuatro soluciones.

Sistema cuadrática – cuadrática sin términos lineales pero con término xySe caracteriza por presentar un modelo como este:

El método de resolución de estos sistemas se basa en la eliminación del

1) En caso de haber una ecuación sin término independiente facto-rizarla para obtener dos ecuaciones lineales. Por el contario si am-bas ecuaciones poseen términos independientes, se han de eliminar éstos por medio de suma y resta, la ecuación resultante he de ser factorizada para obtener dos ecuaciones lineales.

2) Sustituir cada una de las ecuaciones lineales obtenidas en cualquiera -

denadas de la solución del sistema (como en los sistemas lineal-cuadráticos)

Se te presenta un ejemplo relacionado a estos sistemas.


56

Ejemplo 11. -tico – cuadrático:

Solución. Eliminaremos los términos independientes al multiplicar por 2 a la primera ecuación de manera que factorizamos la ecuación resultante de la suma y resta.

Las ecuaciones lineales obtenidas serán: x=0 y x+y=0. Empleamos el mé-todo lineal–cuadrático para cada una de estas ecuaciones lineales con una de las cuadráticas originales, digamos con la primera, que es la más sencilla.

Para la ecuación lineal x=0, o sea x=0, la sustituimos en x2 + y2 = 8 para obtener:

Entonces las posibles soluciones serán y

Para la ecuación lineal x + y =0, de donde x= y, la sustituimos en x2 + y2 = 8 para obtener:

Con lo que para y=2, se tiene x= (2)= 2. Para y= 2, se tiene x= ( 2)=2. Entonces las posibles soluciones serán y

--

das, es decir , , y .

La primera ecuación del sistema representa una circunferencia con centro

en el origen de radio 8 y la segunda ecuación es una elipse rotada. Esto se muestra

B2


x

y

0.5–0.5–1–1.5–2–2.5–3–3.5–4–4.5 1 2.5 3.5 4 4.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

–0.5

–1

–1.5

–2

–3

–2.5

–3.5

3.5

1.5 32

(2,–2)

(–2,2)

x2-xy+2y2=16

x2+y2=8

(0,2√2)

(0,–2√2)

Figura 2.4. Representación del sistema cuadrático–cuadrático y sus cuatro soluciones.

Consideremos un ejemlo aplicativo de los sistemas de ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 12. Encuentra el valor de dos números positivos de manera que al aumentarle a su producto su suma de 34 y al restarle su suma de la suma de sus cuadrados de 42.

Solución. Se considera a los números por x y y. De manera que la primera relación genera la ecuación , la segunda parte se entiende matemá-ticamente por . De forma que el sistema será

Tras resolverlo (realízalo) se llega a que la única solución real es (6, 4).

Otros sistemas de ecuacionesTerminamos esta sección y el bloque con algunos de los sistemas que no son pro-piamente cuadráticos pero que pueden resolverse al utilizar una ecuación cuadrática.

con ellas para obtener una ecuación cuadrática auxiliar, por ejemplo el sistema

Es cuadrático–cúbico, pero podemos obtener una expresión auxiliar tras un manejo algebraico. Esto se deriva de que al dividir los miembros de la ecuación cúbica entre los miembros respectivos de la cuadrática se obtiene la ecuación

4


58

La cual junto con la ecuación cuadrática se puede resolver ya que se obten-drá un sistema lineal–cuadrático

De manera que se puede resolver como ya se ha visto antes. Cabe señalar también que tras el manejo algebraico de estas ecuaciones pueden surgir raíces extrañas razón por lo que está de más recalcar que se revise que las respuestas real-mente satisfagan las ecuaciones originales.

Una ecuación que tras intercambiar las variables x y y no se altera se co-noce como simétrica. Sobre esta misma línea un sistema de ecuaciones compuesta por ecuaciones simétricas se puede resolver mediante un cambio de variable, este es:

u y v. Después se regresa a las variables x y y. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 13. Resolver por cambio de variable la ecuación simétrica

Solución. Con los cambios de variable tendremos

Lo resolveremos por suma y resta al eliminar v2 multiplicando por 3 a la primera ecuación.

Para u se tiene v . También para u se obtiene v . De manera que se llega a las siguientes parejas vistas en una tabla para mayor comprensión.

u 3/2 3/2 3/2 3/2

v 1/2 1/2 1/2 1/2

2 1 1 2

1 2 2 1

B2


Con esto se establece, tras su comprobación, que las soluciones de este sistema simétrico son los pares coordenados: (2, 1), (1, 2), ( 1, 2) y ( 2, 1).

Investiga, en diversas fuencuadráticos que provengan tras aplicarlos a problemáticas relacionadas con las cien-

-tancia de estos sistemas en situaciones reales.

SíntesisFinalmente te proporciono a -rrollo de las competencias correspondientes.

1) Resuelve algebraicamente cada uno de los siguientes sistemas de ecua-ciones con el método apropiado y obtén su trazo cuando tu docente lo indique.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

2) Plantea y resuelve las siguientes situaciones con ecuaciones cuadráticas.

a. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Hallar los números.

b. -tado en el cuadrado de la edad de B es igual a 317 años. Hallar las dos edades.

c. Determina el valor de dos números consecutivos de manera que el cuadrado del mayor es 57 unidades mayor que el triple del menor.

d. Obtén las edades.


60

e. La resta de dos números es 7 y al multiplicar el número menor por la suma de ambos da 184. ¿Qué números son?

f. Determina el valor de 3 números consecutivos sabiendo que el co-ciente entre el mayor y el menor es igual a 3/10 del valor interme-dio.

g. Se compran dos cuerdas que suman 20m. El metro de cada pieza costó un número de pesos igual al número de metros de la pieza. Se sabe también que una de las piezas costó 9 veces lo que la otra. Halla la longitud de cada una de las piezas de cuerda.

h. El perímetro de un triángulo isósceles es 36 y la altura es 12. Hallar las longitudes de los lados.

RealimentaciónPara resolver los siguientes ejercicios puedes apoyarte de los recursos vistos para cada planteamiento y obtención de la solución. No olvides de escribir todos los pro-

I. Resuelve analíticamente cada una de las ecuaciones cuadráticas literales.

a)

b)

c)

d)

e)

II. En cada inciso determina el valor de k para que la ecuación tenga.

i. raíces iguales

ii. una suma de raíces igual a 1

iii. raíces recíprocas

a.

b.

c.

B2


III. Halla las soluciones de las ecuaciones con radicales siguientes.

a) x x

x

b) x x x

c) x x x

IV. Resuelve algebraicamente cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones con el método apropiado y obtén su trazo cuando tu docente lo indique.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

V. Resuelve los problemas con ecuaciones cuadráticas.

a) Un auto recorre 200km en cierto tiempo. Para haber recorrido esa misma distancia en una hora menos, la velocidad debió haber sido 10km/h más del que tuvo. Determina la velocidad de ese auto.

b) -

c) El cociente de dividir 84 entre cierto valor excede en 5 a ese mismo valor. Determina ese valor.

d) Hallar las dimensiones de una sala rectangular si se sabe que la longitud de esta excede en 4m a su ancho y que al aumentar en 4m cada lado el área se duplica.


62


Rúbrica del bloqueobjetivos a considerar durante el mismo.

Producto, logro o

desempeño5

ESTRATÉGICO

4

AUTÓNOMO

3

BÁSICO

2

INICIAL

1

PRE-FORMAL

CON

OCI

MIE

NTO

S

correctamente el lugar geométrico que corresponde a una ecuación cuadrática, a partir

de los términos cuadráticos.

Comprendo todos los distintos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y ecuaciones con radicales.

ayuda, el método de solución más adecuado, de acuerdo a las ecuaciones que conforman el sistema en cuestión.

Conozco el número total posible de soluciones de un sistema de ecuaciones, a partir de las relaciones que lo conforman.

Reconozco todas las variables asociadas a una situación teórica o contextual.

el lugar geométrico que corresponde a una ecuación cuadrática, a partir de

términos cuadráticos.

Comprendo todos los distintos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y ecuaciones con radicales.

de solución más adecuado, de acuerdo a las ecuaciones que conforman el sistema en cuestión.

Conozco algunas de las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones, a partir de las relaciones que lo conforman.

Reconozco todas las variables asociadas a una situación teórica o contextual.

geométrico que corresponde a una ecuación cuadrática, a partir


Comprendo la mayoría de los distintos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y ecuaciones con radicales.

método de solución más adecuado, de acuerdo a las ecuaciones que conforman el sistema en cuestión.

Conozco algunas de las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones, a partir de las relaciones que lo conforman.

Reconozco la mayoría de las variables asociadas a una situación teórica o contextual.

geométrico que corresponde a una ecuación cuadrática, a partir de los

términos cuadráticos.

Comprendo uno de los distintos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y ecuaciones con radicales.

el método de solución más adecuado, de acuerdo a las ecuaciones que conforman el sistema en cuestión.

número posible de soluciones de un sistema de ecuaciones, a partir de las relaciones que lo conforman.

Reconozco algunas de las variables asociadas a una situación teórica o contextual.

correctamente el lugar geométrico que corresponde a una ecuación cuadrática, a partir


No comprendo ninguno de los distintos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y ecuaciones con radicales.

método de solución más adecuado, de acuerdo a las ecuaciones que conforman el sistema en cuestión.

número posible de soluciones de un sistema de ecuaciones, a partir de las relaciones que lo conforman.

No reconozco variable alguna de las asociadas a una situación teórica o contextual.

B2


Producto, logro o

desempeño5

ESTRATÉGICO

4

AUTÓNOMO

3

BÁSICO

2

INICIAL

1

PRE-FORMAL

Determino correctamente

corresponde a una ecuación cuadrática, a partir

cuadráticos.

Resuelvo correctamente ecuaciones cuadráticas y con radicales mediante el empleo de métodos adecuados.

Determino el número total posible de soluciones de un sistema de ecuaciones cuadráticas a partir

correspondientes.

Resuelvo todos los sistemas de ecuaciones cuadráticas mediante el empleo de métodos adecuados.

Modelo cualquier situación del contexto, a partir de las variables asociadas a ésta.

Determino correctamente


cuadráticos.

Resuelvo correctamente ecuaciones cuadráticas y con radicales mediante el empleo de métodos adecuados.

Determino el número total posible de soluciones de un sistema de ecuaciones cuadráticas a partir

correspondientes.

Resuelvo algunos sistemas de ecuaciones cuadráticas mediante el empleo de métodos adecuados.

Modelo algunas situaciones del contexto, a partir de las variables asociadas a ésta.

Determino parcialmente


cuadráticos.

Resuelvo parcialmente ecuaciones cuadráticas y con radicales mediante el empleo de métodos adecuados.

Determino el número parcial posible de soluciones de un sistema de ecuaciones cuadráticas a partir

correspondientes.

Resuelvo algunos sistemas de ecuaciones cuadráticas mediante el empleo de métodos adecuados.

Modelo una o dos situaciones del contexto, a partir de las variables asociadas a ésta.

Determino

que corresponde a una ecuación cuadrática, a partir

cuadráticos.

Resuelvo ecuaciones cuadráticas y con radicales mediante el empleo de métodos alternativos.

Determino el número parcial posible de soluciones de un sistema de ecuaciones cuadráticas a partir

correspondientes.

Resuelvo solo un tipo de sistema de ecuación cuadrática mediante el empleo de su método adecuado.

No modelo situaciones del contexto, a partir de las variables asociadas a ésta.

No determino


cuadráticos.

No resuelvo correctamente ecuaciones cuadráticas ni con radicales por método alguno.

No determino el número posible de soluciones de un sistema de ecuaciones cuadráticas a partir

correspondientes.

No resuelvo sistemas de ecuaciones cuadráticas de ningún tipo.

No modelo situaciones del contexto, a partir de las variables asociadas a ésta.

Siempre participo y colaboro con el grupo en la solución de las problemáticas dadas.

iniciativa e interés propios los distintos métodos de solución de un sistema de ecuaciones cuadráticas.

Participo y colaboro con el grupo, la mayoría de las veces, en la solución de las problemáticas dadas.

propia, los distintos métodos de solución de un sistema de ecuaciones cuadráticas.

En contadas ocasiones participo y colaboro con el grupo en la solución de las problemáticas dadas.

poco interés, los distintos métodos de solución de un sistema de ecuaciones cuadráticas.

En contadas ocasiones participo o colaboro con el grupo en la solución de las problemáticas dadas.

y sin interés propios, los distintos métodos de solución de un sistema de ecuaciones cuadráticas.

No participo o no colaboro con el grupo en la solución de las problemáticas dadas.

No aprendo los distintos métodos de solución de un sistema de ecuaciones cuadráticas.

15 12 9 6 3

Bloque III: Determinas fracciones parciales

Desempeños del estudianteTransforma una fracción impropia en propia, en situaciones que lo re-quieren.

Emplea el Teorema de Descomposición de Fracciones Parciales, para ob-tener las fracciones simples que correspondan.

Objetos de aprendizajeFracciones propias e impropias.

Descomposición de una fracción en sus fracciones parciales simples.

El Teorema de Descomposición de Fracciones Parciales.




Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones rea-les.




66

Dinamización y motivación-

ten algunos temas que debes dominar para comenzar a adquirir los nuevos aprendi-zajes. Te pedimos que resuelvas los siguientes ejercicios.

1) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

a. b. x x x

c.

d.

e. x x x

f. z z

2) Resuelve los siguientes productos de expresiones algebraicas

a. x x

b. y y

c. x

d.

e. x x

f. x x x

3) Realiza las sumas y restas de expresiones racionales.

a. x x

b. x x x

c. xx

x

d. x

x x4) Divide las siguientes expresiones

a. x x

x

b. x

x x

c. x x x

x x

d. x x x

x

profesor ubica en qué nivel de comprensión te ubicas de acuerdo a la tabla siguiente,

Importante: Tu profesor sólo va a examinar tus soluciones y va a dar de

en cursos anteriores.

B3

67Bloque III: Determinas fracciones parciales

realizó o no hay ningún argumento cercano al correcto.

NIVEL Coloca una X en el puntaje que alcanzaste.

Nivel Estratégico 9 a 10 puntos

El estudiante domina correctamente los procedimientos algebraicos requeridos en el bloque como factorización y operaciones con expresiones algebraicas.

7 a 8 puntos

El estudiante domina la mayoría de los procedimientos algebraicos requeridos en el bloque como factorización y operaciones con expresiones algebraicas.

Nivel Básico 5 a 6 puntos

El estudiante logra resolver correctamente el 50% de los ejercicios y se le presentan

procedimientos algebraicos requeridos en el bloque como factorización y operaciones con expresiones algebraicas..

Nivel Inicial 2 a 4 puntos

El estudiante resuelve correctamente menos de 10 ejercicios de procedimientos algebraicos requeridos en el bloque como factorización y operaciones con expresiones algebraicas.

Nivel Preformal 0 a 1 puntos

El estudiante no resuelve correctamente los ejercicios algebraicos requeridos en el bloque como factorización y operaciones con expresiones algebraicas.

del bloque retomaremos este aspecto importante de tus avances.


68

Sesión 1: Fracciones parcialesCriterios

Saber

Idenumerador y denominador.

Comprende el teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples: Factores lineales y cuadráticos simples y re-petidos.

Conozco situaciones de aplicación de la descomposición de fracciones parciales simples.

HacerConvierte una fracción impropia en propia, para estar en condiciones de aplicar el teorema de descomposición.

-ciones parciales simples.

Determina las fracciones parciales simples que corresponden a una des-composición adecuada.

Ser

Valoro la utilidad de la descomposición de una fracción propia en algunas situaciones.

simples correspondientes.

ProblematizaciónDurante todos los semestres en los que has cursado matemáticas, te habrás dado cuenta de la importante aplicación de esta ciencia en nuestra vida cotidiana debido a que modela situaciones reales en términos generalmente algebraicos. Dentro de estas expresiones algebraicas, es común trabajar con fracciones y más aún, con frac-ciones algebraicas, también llamadas expresiones racionales.

Por ejemplo, en física aprendiste que para hallar la velocidad media de un objeto en movimiento, usarás el siguiente modelo:

2

Y recién aprendiste en cálculo que, si , entonces la derivada se calcula de la siguiente manera:

B3


Observa que los dos ejemplos anteriores son expresiones racionales y que -

darás que desde tu primer momento en el bachillerato, aprendiste a operar expresio-nes racionales; es decir, a sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas. Puedes revisar las guías didácticas del primer año o investigar en otras fuentes para recordar mejor estos procedimientos que te serán necesarios para adquirir los nue-vos aprendizajes que se pretenden en este bloque, en el que aprenderás a expresar una expresión racional como sumas de fracciones llamadas parciales.

Por ejemplo, si tenemos la expresión

xx

Y por diversos motivos, como por la facilidad para realizar operaciones, se desea representar dicha expresión como una suma de fracciones parciales que son más simples, entonces tendremos que

xx x x

¿Podrías comprobar este resultado? ¡Claro!

conoces, obtendrás

x x

x x

x xx

x

Y con lo anterior, se ha demostrado nuestro resultado. Pero la pregunta más importante es, ¿cómo obtuvimos esa suma de fracciones? Durante este bloque, aprenderás a representar expresiones racionales como una suma de fracciones par-

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de competencias

Expresiones racionales, fracciones propias e impropiasRecordemos que una expresión racional es un cociente de dos polinomios, es decir, es una expresión de la forma

en donde tanto como son polinomios y además no es constante; usaremos el nombre de fracción para referirnos a una expresión racional y diremos que una fracción es propia si el grado del numerador es menor que el gra-do del denominador, de otro modo diremos que se trata de una fracción impropia; así, por ejemplo

xx x x

xx x x x

x x xx


70

son fracciones propias, mientras que

x xx

xx

xx x x x x

x x xx x

son fracciones impropias.

Fracciones parcialesDesde el primer semestre aprendiste a sumar y restar dos o más expresiones racio-nales. Por ejemplo

x xx

x x

En ocasiones tendremos la necesidad de realizar el proceso inverso, esto es, dada una expresión racional necesitaremos representarla como la suma de dos o más expresiones racionales más simples, llamadas fracciones parciales. La primera necesidad la verás surgir en tu curso de cálculo integral con la intención de poder efectuar la operación de integración de ciertas funciones racionales, es por eso que dedicamos este bloque al estudio de la descomposición de una expresión racional en una suma de sus fracciones parciales.

De manera general, este método consiste en expresar una fracción propia

como una suma de sus fracciones parciales, en donde además los denomi-nadores de estas fracciones parciales se obtienen al factorizar en un producto de factores lineales y cuadráticos, esto siempre es posible debido a un resultado muy importante de álgebra el cual nos garantiza que todo polinomio puede ser fac-torizado como el producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles. Debido a este resultado el estudio del método de las fracciones parciales se divide en cuatro casos, los cuales corresponden a la forma en que se factoriza Q(x), y en cada caso se indicará el método correspondiente; antes de ver estos cuatro casos es importante volver a mencionar que cada uno de los métodos usados en estos casos trabajan con fracciones propias, de modo que si estamos tratando con una fracción impro-

(cociente de la división) y una fracción propia (residuo de la división) y a este residuo será al que se le aplique el método correspondiente de representación en fracciones parciales. Por ejemplo, consideremos la siguiente fracción impropia

x xx

la cual, al realizar la división indicada, queda de la siguiente manera

x xx

x xx

-remos los cuatro casos de representación de fracciones parciales.

B3


Caso IEl primer caso se debe a las fracciones propias cuyo denominador se puede facto-rizar como el producto de factores lineales distintos, esto es, factores de la forma

donde a y b es una fracción pro-

pia en donde el denominador se factoriza en n factores lineales distintos, di-

gamos en este caso a cada factor le corresponde una fracción propia de la forma

en donde es una constante que debemos determinar y además puede

representarse como la suma de estas fracciones propias

Es decir, se representa como la suma

P xQ x

ca x b

ca x b

ca x b

n

n n

( )( )

( )=+

++

+ …++

1

1 1

2

2 2

1

En donde lo único que resta por hacer para determinar por completo la

representación de en fracciones parciales es determinar los valores de las

constantes y . Para encontrar los valores de estas constantes notemos

que al despejar de la ecuación 1 obtenemos la siguiente ecuación

P x c Q xa x b

c Q xa x b

c Q xa xn

n1

1 12

2 2

( ) ( ) ( )bn

( )2

y que al efectuar las operaciones en el miembro derecho de (2) obtenemos un poli-x en ambos

miembros de dicha ecuación podemos conseguir un sistema de ecuaciones lineales

en términos de las n constantes ; así, al resolver tal sistema obtendremos

los valores de y por tanto obtendremos la representación en fracciones

parciales de .

Ejemplo 1. Represente la siguiente fracción

x xx x x

como una suma de fracciones parciales.


72

Solución. Podemos ver que se trata de una fracción propia cuyo denomi-

nador x x x se factoriza como x x x , los cuales son factores linea-les distintos y según el método descrito anteriormente tendremos que

y al multiplicar la ecuación anterior por el denominador x x x obtenemos

( )+ +2 8 6 1 3 3 1 321 2 3x x c x x c x x c x x− − = +( ) −( ) + −( ) ( )

x obtenemos el siguiente sistema

c c c

c c c

c

cuya solución es c c c y por tanto la representación es

x xx x x x x x

las constantes de una manera más sencilla, la cual consiste en evaluar la

ecuación (2) en los números 1

1

, ,.., 2

2

y , (esto es, evaluar (2) en las

raíces de ), lo cual nos permitirá conseguir dichos valores mediante un simple despeje.

Ejemplo 2. Representa la siguiente fracción

x xx x x


Solución. denominador se factoriza como el producto de factores lineales distintos, de manera que pasamos directamente a la ecuación (3)

( )+ +2 8 6 1 3 3 1 321 2 3x x c x x c x x c x x− − = +( ) −( ) + −( ) ( )

B3


x x x x x x podemos notar que sus raíces son − 0 1 3, y , de modo que al evaluar dichos valores en (3) se tiene que

Para x 0 :

c c

Para x 1 :

c c

Para x 3 :

c c

y así estos valores de c c y c3 coinciden con los encontrados en la primera mane-ra, de modo que la representación en fracciones parciales es la misma.

Es importante que recuerdes que esta forma de encontrar los valores de las constantes únicamente funciona en este primer caso; sin embargo, siempre que el denominador tenga al menos un factor lineal se puede utilizar parcialmente el mismo procedimiento (esto es, evaluar en las raíces de ) en los demás casos, que si bien no sirve para determinar todos los valores de las constan-

lo veremos en ejemplos posteriores.

Caso IIEl segundo caso trata sobre aquellas fracciones propias cuyo denominador tienen

una factorización en la que todos los factores son lineales y algunos se repiten. Con-

sideremos primero el caso de un solo factor repetido, es decir, supongamos que

es una fracción propia en la que se factoriza en n factores lineales dis-

tintos, digamos , pero que además el factor lineal

aparece repetido m veces en tal factorización, esto es, se factoriza de la siguien-

te manera

Entonces se dice que es un factor de multiplicidad m, y en este caso la fracción propia se puede representar de una manera muy similar al caso I, ya

que el único cambio se debe a que al factor le corresponde una “suma de m fracciones parciales” de la forma


74

en donde son constantes. Es decir, la representación de en fracciones parciales se obtienen de (1) al reemplazar la fracción propia, correspon-diente al factor :

por la suma de las m fracciones parciales

Por tanto, en este caso se tiene que

P xQ x

ca x b

ka x b

k

a x b

c

i i

m

i i

m

( )( )

1

1 1

nn

n na x b( )41

en la cual la expresión en corchetes reemplaza al término , en la ecuación

los determinamos utilizando la primera manera descrita en el caso I, esto es, despe-

jamos de la ecuación (4) :

P x c Q xa x b

k Q xa x b

k Qi

i ii m1

1 11

( ) ( ), ,

(( ) ( ) ( )x

a x bc Q x

a x bi i

m nn n

5

después efectuamos todas las operaciones del lado derecho de (5) para conseguir un x para

obtener un sistema de ecuaciones en términos de y las k k k, , ,1 2 … m

aparece repetido, por ejemplo podemos suponer (reordenando los factores si

es necesario) que y son r factores repetidos

con multiplicidades y respectivamente, o lo que es lo mismo se factoriza como

entonces, de manera similar a lo que se hizo para un factor lineal repetido, a cada

uno de los r factores le corresponde una suma de mj fracciones parcia-les de la forma

B3


De modo que tiene una representación en fracciones parciales de la forma

donde

A xk

a x bk

a x b

k

a x b

m

m22 1

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

2

2( ) =

++

+( )+ …

… … … …

++( )

, , ,

y los valores de las constantes se determinan de la misma manera indicada x .

Ejemplo 3. Exprese la fracción

x x xx x x


Solución.

x x x x x de modo que el denominador se factoriza como el pro-

ducto de los dos factores lineales x y x 2 de multiplicidades 3 y 2 repectivamente

y por tanto la fracción tendrá una representación de la forma

x x xx x x

ax

bx

cx

dx

e

x

4 2

5 4 3 2 3 2

16 124 4 2 2

6+ + −− +

= + + +−

+−( )

( )

x x y efectuar las operaciones del lado derecho, obtenemos

x x x ax x bx x c x dx x ex4 2 2 2 2 2 3 316 12 2 2 2 2 7+ + − = −( ) + −( ) + −( ) + −( ) + ( )

= +( ) + − + − +( ) + − +( ) + −( ) +a d x a b d e x a b c x b c x c4 3 24 2 4 4 4 4 4 8( )


76

x obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

1

c

cuya solución es . Con estos valores y la ecuación (6) se tiene

x x xx x x x x x x x

CASO I, todo el procedimiento hasta la ecuación (7) es el mismo lo único diferente es que al tener factores lineales entonces el sistema obtenido anteriormente puede

, es decir, debemos evaluar tal ecuación en 0 y 2 obteniendo

Para x 0 :

c c

Para x 2 :

Reemplazando estos valores en (8) obtendremos un sistema un poco mas simple y fácil de resolver.

Caso IIIEl tercer caso corresponde a las fracciones propias cuya factorización del denomina-dor contiene tanto factores lineales como cuadráticos irreducibles y ninguno de estos últimos se repite, con respecto a los factores lineales ya no hay nada más que agregar y lo único distinto en este caso se debe a los factores cuadráticos. Supongamos que

es una fracción propia en donde contiene factores cuadráticos irredu-

cibles y ninguno se repite. Si 2 es un factor cuadrático de , entonces a este factor le corresponde una fracción parcial de la forma

2

Con d y ese determinan de la misma manera al caso anterior.

B3


Observa que a un factor cuadrático le corresponde una fracción parcial en donde el numerador es una expresión lineal y no una constante como en los casos anteriores.

Ejemplo 4. Represente la fracción

x x x xx x x

como la suma de fracciones parciales.

Solución. Del denominador podemos observar que los factores x y x son cuadráticos irreducibles y ninguno se repite, por tanto la representación de la fracción dada como suma de fracciones parciales es de la forma

2 4 13 10 82 1 4 2 1 4

4 3 2

2 2 2 2

x x x xx x x

ax

bx cx

dx ex

− + − +−( ) +( ) +

=−

+ ++

+ ++( )

( )9

x x x y se tiene

2 4 13 10 8 1 4 2 44 3 2 2 2 2x x x x a x x bx c x x dx e x− + − + = +( ) +( ) + +( ) −( ) +( ) + +( ) −−( ) +( )2 12x (*)

= + +( ) + − + − +( ) + + − + −( ) + − + − +( )a b d x b c d e x a b c d e x b c d e x4 3 22 2 5 4 2 2 8 4 2 ++ − −( )4 8 2a c e (**)

x obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

2

cuya solución es y e 2 . De modo que por (9) y la solución anterior se tiene que

x x x xx x x x

xx x

También pudimos hacer un poco más simple el sistema a resolver, notando que el denominador contiene un factor lineal cuya raíz es x 2 ; asi evaluando la ecuación (*) en dicha raíz obtenemos

a a

y al usar dicho valor en (**) obtenemos un sistema más pequeño.


78

Caso IVEl cuarto y último caso, como habrás imaginado, trata de las fracciones propias que

contienen en la factorización de su denominador algún factor cuadrático repetido.

Si es una fracción propia y contiene al factor cuadrático irreduci-

ble 2 con multiplicidad m entonces, de manera similar al caso II, al factor 2 le corresponde una suma de m fracciones parciales de la forma

y una suma similar corresponde a cada factor cuadrático irreducible repetido. Las constantes se determinan de la misma manera que en los casos anteriores.

Ejemplo 5. Descompón la fracción

x x x xx x x

en fracciones parciales.

Solución. Podemos darnos cuenta de que el factor cuadrático repetido

x x del denominador es en realidad irreducible (¿Por qué?) y por tanto la re-presentación en fracciones parciales de la fracción anterior es de la forma

3 12 4 11 43 2 3 2 3 2

4 3 2

2 2 2 2

x x x xx x x

ax

bx cx x

dx ex x

− + + +− −

= + +− −

+ +− −( ) ( )22

10( )

Multiplicando la ecuación (10) por el denominador x x x obtene-mos

ecuaciones

3

4 4a

B3


cuya solución es y e 1 , con estos valores reemplazados en la ecuación (10) se tiene

x x x xx x x x

xx x

xx x

Representa las siguientes fracciones, que corresponden al caso I, como una suma de fracciones parciales.

1) x x

x x x

2) x

x x

3) x x x

x x

Representa las siguientes fracciones, que corresponden al caso II, como una suma de fracciones parciales.

1)

x xx x

2)

x xx x

3)

x xx x x

Representa las siguientes fracciones, que corresponden al caso III, como una suma de fracciones parciales.

1) x xx x

2) x x

x x x

3) x

x x


80

Representa las siguientes fracciones, que corresponden al caso IV, como una suma de fracciones parciales.

1)

xx

2) x x

x x

3) x x

x x x

Síntesis de la sesión-

senten las siguientes fracciones como una suma de fracciones parciales.

Posteriormente, tu docente los organizará para exponer sus resultados ante el grupo.

1) x

x x

2) x xx x

3) x x

x x

4) x x

x x x

5) x x x

6) x

x x

7)

xx x x

8) x

x x

Realimentaciónuna suma de fracciones parciales.

1)

x xx x x

2)

x xx x

3)

xx x x

4)

xx x

5)

xx x x

6)

x x x xx x

7)

xx x x

8)

x x x xx x x

B3


Mi proyecto del bloqueProyecto: Represento con fracciones parciales una expresión para derivarla

Problema:

Este proyecto pretende que el estudiante represente una expresión racional como una

un principio, por lo que tendrá que aplicar un procedimiento algebraico y aritmético para lograr la demostración.

Duración: Una semana

Puntuación: 15 puntos

Competencias:

Convierte una fracción impropia en propia, para estar en condiciones de aplicar el teorema de descomposición.

Comprende y aplica el teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples: Factores lineales y cuadráticos simples y repetidos.

Determina las fracciones parciales simples que corresponden a una descomposición adecuada.

Conozco situaciones de aplicación de la descomposición de fracciones parciales simples.


correspondientes.

e te presenta una serie de funciones racionales.

Expresa cada una de ellas como suma de fracciones parciales y después, deriva dicha suma de fracciones para obtener la derivada de la función original.

lo harías normalmente. Realiza todos los procedimientos que consideres necesarios para obtener la misma respuesta en ambos casos.

xx x

x xx x x

xx x

x xx x x

xx x x

Entregarás tu procedimiento en una carpeta limpia, en hojas en blanco, puede ser elaborado a mano o a computadora, de acuerdo a las instrucciones de tu profesor. Escribe tu procedimiento completo, de manera clara y ordenada.

Recursos: Libro de texto, libros de consulta de la biblioteca, hojas, computadora, Software Word.

Normas: Deberá de entregarse en la fecha indicada por el docente y cada alumno explicará lo necesario cuando se le pregunte.


82

Rúbrica del proyecto

Producto, logro o

desempeño 5 3 1

CON

OCI

MIE

NTO

S Comprendo y aplico correctamente el teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples, en los cinco ejercicios planteados.

Comprendo y aplico correctamente el teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples, en tres de los cinco ejercicios planteados.

Comprendo y aplico correctamente el teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples, en uno de los cinco ejercicios planteados.

Determino las fracciones parciales simples que corresponden a una descomposición adecuada en los cinco ejercicios planteados.

Determino las fracciones parciales simples que corresponden a una descomposición adecuada en tres de los cinco ejercicios planteados.

Determino las fracciones parciales simples que corresponden a una descomposición adecuada en uno de los cinco ejercicios planteados.

Respeto las ideas de mis compañeros, aporto mis ideas y participo activamente en la elaboración del proyecto.


Propongo estrategias

determinación de las fracciones simples correspondientes

Respeto algunas veces las ideas de mis compañeros, aporto mis ideas y participo poco en la elaboración del proyecto.

Le doy poco valor a la utilidad de la descomposición de una fracción propia en algunas situaciones.

Propongo algunas estrategias

la determinación de las fracciones simples correspondientes

No respeto las ideas de mis compañeros, no aporto mis ideas ni participo activamente en la elaboración del proyecto.

No valoro la utilidad de la descomposición de una fracción propia en algunas situaciones.

No propongo estrategias

determinación de las fracciones simples correspondientes

15 9 3

B3


Rúbrica del bloque

Producto, logro o

desempeño5

ESTRATÉGICO

4

AUTÓNOMO

3

BÁSICO

2

INICIAL

1

PRE-FORMAL

CON

OCI

MIE

NTO

S

fracciones parciales propias e impropias a partir del grado del numerador y denominador.

Comprendo el teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples: Factores lineales y cuadráticos simples y repetidos.

mayoría de las fracciones parciales propias e impropias a partir del grado del numerador y denominador.

Comprendo en la mayoría de los ejercicios el teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples: Factores lineales y cuadráticos simples y repetidos.

de las fracciones parciales propias e impropias a partir del grado del numerador y denominador.

Comprendo en algunos ejercicios el teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples: Factores lineales y cuadráticos simples y repetidos.

de las fracciones parciales propias e impropias a partir del grado del numerador y denominador.

Comprendo en pocos ejercicios el teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples: Factores lineales y cuadráticos simples y repetidos.

fracciones parciales propias e impropias a partir del grado del numerador y denominador.

No comprendo el teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples: Factores lineales y cuadráticos simples y repetidos.

Convierto una fracción impropia en propia, para estar en condiciones de aplicar el teorema de descomposición.

teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples.

Determino las fracciones parciales simples que corresponden a una descomposición adecuada.

Convierto una fracción impropia en propia la mayoría de las veces, para estar en condiciones de aplicar el teorema de descomposición.

teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples la mayoría de las veces.

Determino las fracciones parciales simples que corresponden a una descomposición adecuada, en la mayoría de los ejercicios.

Convierto una fracción impropia en propia, algunas veces, para estar en condiciones de aplicar el teorema de descomposición.

teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples, en algunos ejercicios.

Determino las fracciones parciales simples que corresponden a una descomposición adecuada, en algunos ejercicios.

Convierto una fracción impropia en propia pocas veces, para estar en condiciones de aplicar el teorema de descomposición.

teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples, en pocos ejercicios.

Determino las fracciones parciales simples que corresponden a una descomposición adecuada, en pocos ejercicios.

No convierto una fracción impropia en propia, para estar en condiciones de aplicar el teorema de descomposición.

No aplico el teorema de descomposición de una fracción propia en sus fracciones parciales simples.

No determino las fracciones parciales simples que corresponden a una descomposición adecuada.


84

Rúbrica del bloque

Producto, logro o

desempeño5

ESTRATÉGICO

4

AUTÓNOMO

3

BÁSICO

2

INICIAL

1

PRE-FORMAL

Valoro la utilidad de la descomposición de una fracción propia en todas las situaciones.


la determinación de las fracciones simples correspondientes.

Colaboro siempre para crear un clima adecuado en el aula que favorezca mi aprendizaje.

Valoro la utilidad de la descomposición de una fracción propia en la mayoría de las situaciones.


la determinación de las fracciones simples correspondientes, en la mayoría de los ejercicios.

Colaboro, la mayor parte del tiempo, para crear un clima adecuado en el aula que favorezca mi aprendizaje.



la determinación de las fracciones simples correspondientes, en algunos ejercicios.

Colaboro, algunas veces, para crear un clima adecuado en el aula que favorezca mi aprendizaje.

Valoro la utilidad de la descomposición de una fracción propia en pocas situaciones.


la determinación de las fracciones simples correspondientes, en pocos ejercicios.

Colaboro pocas veces para crear un clima adecuado en el aula que favorezca mi aprendizaje.

No valoro la utilidad de la descomposición de una fracción propia.


la determinación de las fracciones simples correspondientes.

No colaboro para crear un clima adecuado en el aula que favorezca mi aprendizaje.

15 12 9 6 3

B3


Notas

Bloque IV: Aplicas la inducción matemática

Desempeños del estudianteArgumenta la naturaleza y validez de la Inducción Matemática como una poderosa herramienta en la demostración de ciertas fórmulas.

Reconoce situaciones teóricas que pueden resolverse mediante la Induc-ción Matemática.

Aplica de manera adecuada el Método de Inducción Matemática en pro-blemas que correspondan, advirtiendo el dominio de tales situaciones.

Objetos de aprendizajeNúmeros naturales.

La validez de la Inducción Matemática.

La demostración de la inducción matemática.

El teorema del binomio.

Atributos de las competencias genéricasSe conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.


Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.


Competencias disciplinares extendidasConstruye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos ma-temáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.


88

Estoy seguro que has llegado a un punto en donde tu capacidad, lógica y habilidad de pensamiento ha incrementado con toda la herramienta que en matemáticas se te ha proporcionado. Parte de esa herramienta tiene que ver con las fórmulas matemá-ticas que utilizas en la resolución de tus ejercicios y el buen funcionamiento de las mismas, pero a caso te has preguntado en algún momento, ¿Dónde surgieron estas fórmulas?, ¿Cómo las obtuvieron?, o bien ¿Cómo sé que esta fórmula es correcta?

Pues bien de eso se trata este bloque, que tú emplees los razonamientos que te conduzcan a realizar conjeturas observando o analizando el comportamiento de algunos casos particulares, logrando así la generalización de lo que observaste.

En muchas ocasiones has empleado, de modo intuitivo y sin saberlo, el proceso que los matemáticos han utilizado para llegar a importantes conjeturas: Cuando observas el clima y analizas diversos factores como el color de las nubes, la intensidad del viento, la temperatura que sientes en ese instante para poder deter-minar si lloverá o no. O bien al notar sensaciones diferentes en tu cuerpo como do-lor de cabeza, estornudos, temperatura corporal elevada y dolor en todo el cuerpo, concluiremos que tenemos gripe.

Como podrás analizar, emplearemos un método donde consideraremos premisas particulares para llegar a conjeturas generales. En matemáticas existe la costumbre, muchas veces, que este proceso sea todo lo contrario, partes de una conclusión general o fórmula para que determines el comportamiento o encuentres la solución de una situación en particular (deducción).

En este bloque analizarás todo lo contrario a la deducción, es decir estudia-remos la inducción que parte de premisas particulares para llegar a una conclusión general.

Para empezar a adentrarte en el manejo del método de la inducción, te pro-pongo la siguiente actividad que consiste en analizar algunas situaciones particulares

alguna conjetura que describa el proceso que se observa.

Completa la siguiente tabla llenando los espacios vacíos, pero analiza a detalle la situación y responde los cuestionamientos que se te realizan en la parte de abajo:

Cantidad de valores Suma de valores Resultado ¿Qué puedes

generalizar?

n = 1 1 1

n = 2 1 + 3

n = 3 1 + 3 + 5

n = 4 1 + 3 + 5 + 7

n = 5 1 + 3 + 5 + 7 + 9

1) ¿A qué conjetura has llegado analizando los primeros 5 casos?

B4


2) ¿Qué sucederá con el lugar 120?

3) ¿Se seguirá cumpliendo el mismo proceso hasta el número 1000?

4) ¿Cómo puedes determinar la veracidad de tu conjetura?

Nuestro objetivo a perseguir en este bloque es dar con certeza la respuesta correcta a la pregunta 4, ya que podemos determinar diversas conjeturas a una situa-ción planteada, pero ¿Quién nos puede garantizar que esa conjetura sea la correcta

-zar y determinar los primeros 5 o los primeros 100? porque en el siguiente nos puede fallar y no cumplir. La cantidad de veces en que podemos probar nuestra conjetura

Vamos a validar nuestras conjeturas, demostrándolas y para ello te pro-pongo un método que nos permita el análisis partiendo de casos particulares hasta

admitir duda alguna.

Sesión A: Inducción matemáticaDel saber

conjunto de los números naturales, a partir de los axiomas que lo rigen.

Comprendo la validez de la inducción matemática, a partir de su razona-miento lógico.

Reconozco proposiciones que pueden demostrarse empleando el méto-do de inducción matemática, considerando el dominio que corresponde.

rema del binomio y los elementos asociados a él.

Del saber hacer

Modelo l

Aplico el método de inducción matemática para demostrar proposicio-nes, adecuando al dominio que corresponda.

Determino todos los elementos del desarrollo de un binomio, a partir del teorema correspondiente.

Del saber ser

Aprendo por iniciativa e interés propio el alcance del método de induc-ción matemática y su aplicación en diversas situaciones.

-ción matemática.


90

Inducción matemáticaEs claro que en matemáticas has empleado demasiadas fórmulas, y posiblemente sin saber el origen de éstas o incluso lo que es más importante, sin estar convencido de su validez. Por ejemplo, en geometría para calcular el número total de diagona-les que se pueden trazar en un polígono convexo de n lados utilizabas la fórmula

n n , cuando estudiaste sucesiones en primer semestre y te pedían calcular la

suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética con termino inicial a1

y diferencia d utilizabas la fórmula a d n n1

1

2+ −( )

, en cálculo integral será necesaria

la formula 1 2 31 2 16

2 2 2 2+ + + …+ =+( ) +

nn n n( )

, incluso, como un ejemplo sim-

ple, si ahorras dinero en un banco en el cual cada mes depositas la cantidad de C pe-sos y esta cantidad a su vez genera un interés mensual del 2% entonces la cantidad de dinero que tendrás ahorrado, al cabo de n meses de haber empezado, la obten-

drás al emplear la fórmula Cn

( ) /1 150

11

− ( () )−+ 1

50; podemos seguir mencionando

áreas. La razón de que tales formulas sean utilizadas con gran seguridad es porque se ha logrado demostrar que éstas son válidas para cualquier número natural n.

-to es normal preguntarse: ¿cómo se puede demostrar, por ejemplo, que

nn n n se cumple para todos los enteros positivos

n -ros números naturales, incluso si lográsemos demostrar que la fórmula anterior es

n; es en casos como este en donde un método de demostración conocido como inducción matemática nos resulta de una gran ayuda. Hablando de manera un poco más general, cuando una proposición requiere ser demostrada y depende de los números naturales, entonces el método de inducción suele ser el más adecuado para efectuar dicha tarea. Antes de estudiar dicho método, recordemos lo que son los números naturales.

Los números naturales Recordarás que el conjunto de los números naturales, representado por , es el conjunto formado por todos los enteros positivos; es decir

Una propiedad de los naturales es que si x (el símbolo indica perte-nencia y la expresión x se lee “ pertenece a ”) entonces x 1 ; es decir si xes un número natural, entonces x 1 también es un número natural. Ésta es una de las propiedades que forman la base de la inducción matemática.

B4


Proposiciones

Una proposición es una expresión que es verdadero o bien falso pero no ambas.

Por ejemplo, las siguientes expresiones son proposiciones

La Luna es más grande que el sol.

La suma de números pares es siempre un número par.2 2y representa una circunferencia para cualquier valor de c.

La raíz cuadrada de un número negativo es otro número negativo.

Un sistema de ecuaciones linealeses consistente determinado si y sólo si

De las cuales claramente podemos ver que las proposiciones (2) y (5) son verdaderas mientras que las demás son falsas (¿Por qué?).

En este bloque trabajaremos con proposiciones abiertas, damos por tanto su

Una proposición abierta es una expresión que contiene una varia-ble de modo que al sustituir dicha variable por un valor determinado, hace que la expresión se convierta en una proposición.

Por ejemplo, las siguientes expresiones están en términos de proposicio-nes abiertas.

Si x entonces

Si x 1 entonces x 12 >

Si x entonces

Si x entonces x 2

Si n es impar entonces n

De las cuales podemos observar que x 9 2 > para todo >x 3 de modo que (1) es una proposición verdadera; x 12 > no se cumple si x = 1 por tanto (2) es una proposición falsa; (3) es una proposición verdadera pues no tiene raíces reales, (4) es una proposición falsa ya que la única raíz de x 8−³ es 2; por último es claro

Además, en este bloque trabajaremos con proposiciones abiertas cuyas variables solo toman valores en . Así, cada vez que mencionemos la palabra pro-posición pensaremos en proposiciones abiertas de este tipo.

Existen muchas proposiciones que son parcialmente verdaderas, es decir, son válidas sólo para determinados valores, por ejemplo, se puede comprobar fá-

cilmente que la proposición: “si n es un número natural, entonces n n ” resulta válida si consideramos sólo para n ; sin embargo la proposición es


92

falsa ya que para n ≥ 4 se tiene que . Otro ejemplo es la siguiente pro-

posición “si n es un número natural, entonces n n es un número primo” que para nla proposición es verdadera, lo cual sería incorrecto, ya que para n se obtiene

el numero el cual claramente no es primo, de modo que esta proposición también es falsa.

Vemos entonces que si deseamos demostrar que cierta proposición es ver-número -

culares, sin importar lo grande de este número. Es por tanto necesario contar con otra herramienta para poder hacer frente a problemas de este tipo, esta herramienta, como mencionamos anteriormente, es el método de inducción matemática.

Principio de inducción matemáticaLa base de la inducción matemática consiste en el siguiente axioma de los números naturales:

Si K es un subconjunto de (los números naturales), tal que

1) 1 K

2) Si implica que

Entonces concluimos que K

Lo que el axioma anterior nos dice es que si K es un subconjunto de los números naturales que contiene al 1 y al elemento k siempre que contenga al elemento k , entonces K debe ser el conjunto de los números naturales; esto es in-tuitivamente claro, ya que 1 K debido a la propiedad 1 del axioma, de modo que 2 K utilizando la propiedad 2, del mismo modo 3 K empleando nuevamente la propiedad 2, continuando de esta manera podemos comprobar que cualquier ele-mento en esta en realidad en K, siendo por tanto conjuntos iguales.

Podemos ver que la importancia de este axioma esta en el hecho de que cualquier subconjunto de los números naturales que cumpla las 2 propiedades mencionadas es necesariamente el conjunto . Por tanto si queremos demostrar la validez de una proposición (en los números naturales) y denotamos por S al subcon-junto de números naturales para los cuales la proposición es verdadera; y si logra-mos demostrar 1 S (es decir, la proposición es válida para n 1 ), y que además

siempre que (es decir, la proposición es válida para k 1 siempre que lo sea para k ), entonces el axioma anterior nos dice que Sla proposición es válida para todo n . Enunciamos ahora el

Una proposición es verda-dera para todo n si se cumplen las siguientes condiciones:

La proposición es verdadera para n 1 , o bien, p es verdadera.

Se supone que es verdadera, donde k es un natural cualquiera.

Se demuestra que es verdadera, a partir de la hipótesis de inducción.

B4


El principio de inducción matemática nos dice que si se necesita demos-trar la validez de una proposición para todos los números naturales n, entonces es

ejemplos de la aplicación de la inducción matemática.

Determina el valor de la siguiente proposición: “Si n en-

tonces n n n “.

Paso 1. Debemos mostrar que la proposición es verdadera para n 1 , lo cual es fácil ya que si n 1 entonces la suma del lado izquierdo claramente es 1,

mientras que la expresión del lado derecho se reduce a , así ambos

lados son iguales y por tanto la proposición es válida para n 1 .

Paso 2. Hipótesis de inducción. Supongamos que la proposición es válida para k , es decir, para k se cumple:

k k k

Paso 3. Tesis de inducción. Debemos demostrar que la proposición es váli-da para k 1 , a partir de la hipótesis de inducción, esto es, debemos demostrar que

k kk k

suponiendo que k k k

Esto lo podemos hacer, notando que

k k k k k k k

donde hemos utilizado la hipótesis de inducción en la expresión contenida en los

k k kk k k k( ) ( )( ) ( )+ + + =

+( ) +=

+( ) +( ) +12

11 2

2

1 1 1

2

y utilizando estos dos últimos resultados vemos que

k kk k

es decir, la proposición es verdadera para k 1 , suponiendo que lo es para k . Así, el prin-

cipio de inducción nos garantiza que n n n es verdadera para todo n .

Determina el valor de la siguiente proposición: “Para todo

n se tiene n n ”.


94

Paso 1. Para n 1 tenemos que y por tanto la proposición es verdadera en este caso.

Paso 2. Supongamos que para algún k se cumplek k

Paso 3. Debemos demostrar que la proposición es válida para k 1 supo-niendo que lo es para k , es decir debemos demostrar que

k k k

a partir de la suposiciónk k

de manera similar al ejemplo anterior tenemos quek k k k k k

donde también hemos utilizado la hipótesis de inducción a la expresión entre parén-tesis, además el extremo derecho se reduce a

k k k k

de estas dos expresiones obtenemos que k k k

así, hemos logrado demostrar que la proposición es verdadera para k 1 , suponien-

do la validez para k . Por tanto hemos demostrado que n n

es verdadera para todo n .

Determina el valor de la siguiente proposición:

n n n n nn+( ) +( ) +( ) = −1 2 2 1 3 5 2 1( ) para todo n .

Paso 1. Si n 1 entonces 1 1 2 2 11+( ) = = , y por tanto la proposición es válida en este caso.

Paso 2. Supongamos que la proposición es válida para algún k , de modo que

k k k k kk+( ) +( ) +( ) = −1 2 2 1 3 5 2 1( )

Paso 3. Debemos demostrar que la proposición es verdadera para k 1 , suponiendo que lo es para k , de modo que debemos demostrar

( ) ( ) ( ) ( ( ) )k k k k kk+ +( ) + +( ) +( ) + +( ) = + −+1 1 1 2 1 1 2 1 3 5 2 1 11

Suponiendo que

k k k k kk+( ) +( ) +( ) = −1 2 2 1 3 5 2 1( )

B4


para esto, notemos que

k k k k

k k k k k k k k

( )( ) ( )k k k k k kk

k

k

2 3 2 1 2 22 1 3 5 2 1

12 1 2 2k k( )

donde hemos aplicado la hipótesis de inducción en la expresión que se encuentra

2 1 3 5 2 1

12 1 2 2

2 1 3 5 2 1k kk

kk k

k

k 112 1 2 1k k( )

= −( ) +( ) = −( ) +( ) −+ +2 1 3 5 2 1 2 1 2 1 3 5 2 1 2 1 11 1k kk k k k( )

De esta cadena de igualdades obtenemos que

( ) ( ) ( ) ( ( ) )k k k k kk+ +( ) + +( ) +( ) + +( ) = + −+1 1 1 2 1 1 2 1 3 5 2 1 11

es decir, hemos mostrado que la proposición es verdadera para k 1 , suponiendo que

lo es para k n n n n nn+( ) +( ) +( ) = −1 2 2 1 3 5 2 1( )

es verdadera para todo n , debido al método de inducción.

(Una desigualdad) Determina el valor de la siguiente proposi-ción: Si n entonces

nn

Paso 1. Para n 1 tenemos que y por tanto la proposición es verdadera en este caso.

Paso 2. Supongamos que para algún k se cumple

kk

Paso 3. Debemos demostrar que la proposición es válida para k 1 supo-niendo que lo es para k, es decir debemos demostrar que

kk

a partir de la suposición

kk


96

Para esto, veamos que

k k kk

k

donde hemos aplicado la hipótesis de inducción en la expresión que se encuentra entre paréntesis; y el extremo derecho se reduce a

2 1 1

1

2 1 1

1

2

kk

k k k

k− +

+= + − + +

+(*)

además, al ser k 0 tenemos que

k k k k k k k k k

de modo que k k k y al utilizar esta desigualdad en el numerador de (*), vemos que

k k k

k

k k

kk

con todo lo anterior conseguimos la siguiente desigualdad

kk

así, hemos logrado demostrar que la proposición es verdadera para k 1 , suponiendo la validez para k. Por tanto, debido al método de inducción, hemos demostrado que

nn

es verdadera para todo n .

Actividad 1Aplique la fórmula de inducción matemática para demostrar que la fórmula es válida para todos los valores enteros positivos de n, (1, 2, 3, 4,…)

1) n n n2) n

n n

3) n n

4)

5) n n n n n

B4


6) n n

nn

7) n n con n = 0, 1, 2, 3, …

En realidad el principio de inducción tiene dos variantes que deben ser considerados. La primera variante se debe a aquellas proposiciones que no involu-cran a todos los naturales, sino a todos aquellos naturales que son mayores o igua-

les que un cierto natural, como por ejemplo la proposición “para todo n n

se tienen que n n n ” es un ejemplo de tales proposiciones ya que esta proposición involucra solo a los números naturales mayores o iguales que 7. Este tipo de proposiciones también pueden ser demostradas empleando la inducción

proposición, a este tipo de inducción suele llamarse inducción incompleta; así, el principio de inducción aplicado a este tipo de proposiciones quedaría como sigue:

Una proposi-

ción es verdadera para todo si se cumplen las si-guientes condiciones:

La proposición es verdadera para 0 , o bien, es ver-dadera.

Se supone que es verdadera,

donde .

Se demuestra que es verdadera, a partir de la hipótesis de inducción.

Demuestra que si n n entonces nn

.

Queremos probar que

si n n entonces nn

Paso 1. Aquí el menor valor admisible en la proposición es n , para el cual tenemos

De modo que la proposición es verdadera en este caso.

Paso 2. Supongamos que la proposición es verdadera para algún k k ;

es decir, para este k supongamos que se tiene kk

.


98

Paso 3. Debemos demostrar que la proposición es verdadera para k 1 , suponiendo que lo es para k, de modo que debemos demostrar

kk

suponiendo que

kk

observemos que

kk

k k kk k

donde la primera desigualdad se debe al hecho de que k , y en la última des-igualdad hemos aplicado la hipótesis de inducción. De esta cadena de igualdades obtenemos

kk

es decir, hemos mostrado que la proposición es verdadera para k 1 , suponiendo

que lo es para k nn

para todo n n

debido al método de inducción.

En todos los ejemplos anteriores hemos logrado efectuar el tercer paso solo a partir de la suposición de la validez de la proposición para algún k , es de-

cir, hemos podido demostrar que es válida utilizando solo la suposición de

que es verdadera para algún ; sin embargo, existen proposiciones en las

cuales no podemos concluir que es verdadera utilizando solo la suposición

de la validez de y en cambio es necesario que la hipótesis de inducción inclu-ya la validez de la proposición para más de un valor. Es debido a esto que surge la

-gundo paso (hipótesis de inducción), en el cual se supone la validez de la proposición

“hasta” algún k , es decir se supone la validez de y obviamente el tercer paso (tesis de inducción) se adecua a este cambio en el cual se demuestra que

es verdadera a partir de la validez de . Este tipo de induc-ción es llamada inducción completa, el principio de inducción en este caso quedaría de la siguiente manera

B4


Una proposición

es verdadera para todo n si se cumplen las siguientes con-diciones:

La proposición es verdadera para n 1 , o bien, p es verdadera.

Se supone que

son validas, donde k es un natural cualquiera.

Se demuestra que es verdadera a partir de la hipótesis de inducción, esto es, a partir de la suposición de la validez

de .

» Observación 1. El principio de inducción matemática y el principio de inducción matemática completa son equivalentes.

» Observación 2. Si bien la validez de p 1 no es una suposición, de-bido a que se debe demostrar su validez en el paso 1, se toma como parte de la hipótesis ya que también se utiliza en la demos-

tración de la validez de 1 .

» Observación 3. Para usar el principio de inducción matemática completa no es necesario que en la demostración de la tesis de in-

ducción debamos utilizar cada una de las .

Demuestra que si x es un número real para el cual x x1 es un

número entero, entonces 1 es también un número entero para todo n .

Queremos probar que

Si x x1

entonces x

xn

n1

para todo n

Paso 1. Para n 1 tenemos que la expresión xx

x x1

11 1 es un entero

por hipótesis (cuando decimos por hipótesis no nos referimos a la hipótesis de in-

ducción sino a la hipótesis de la proposición, ya que se supone que x es un real que

hace de la expresión x x1 un entero).

Paso 2. Supongamos que la proposición es válida para para

algún k ; es decir, supongamos que 1 es un entero para .

Paso 3. Debemos demostrar que la proposición es verdadera para k 1 a

partir de la suposición de que la proposición es válida para ; es decir,

debemos demostrar que 11

1 es un entero, suponiendo que 1 es un


100

entero para . Así, podemos notar que

11

11

11

11

1 1 1 1 1 11 111

donde la expresión de la derecha es sin duda un número entero por ser la dife-

rencia de dos enteros, ya que por la hipótesis de inducción x x1 , 1 y

11

1 son enteros; de modo que 1

11 es un número entero y hemos

por tanto demostrado que la proposición es verdadera para 1 a partir de la

hipótesis de inducción. Luego hemos demostrado que si x es un número real tal que

x x1 es un número entero, entonces 1 es también un número entero para

todo n .

Como en muchas cosas, en las matemáticas, la práctica es la parte más im-portante en el proceso de aprendizaje y es claro que lo visto en este bloque ha sido muy distinto a todo con lo que habíamos trabajado hasta el momento y puede que incluso haya sido un poco difícil de asimilar, es por eso que terminaremos el bloque con más ejemplos. Además puede resultar un poco molesto el modo repetitivo de estar redactando cada uno de los pasos, así como la terminología empleada; por

de proceder del método de inducción matemática, realizaremos cada prueba escri-biendo solo lo indispensable sin enunciar los pasos. Recuerda que el propósito de los siguiente ejercicios es el de servir como una herramienta de estudio, por eso es recomendable que intentes resolverlos antes de ir directo a la solución.

Demuestra que 1 1 2 2 3 3 1 1! ! ! ! !+ + + …+ = +( ) −n n n para todo n .

Para n 1 , tenemos que 1 1 1 1 1 1! != = +( ) − , de modo que la fórmula es válida para n 1 ; supongamos que la fórmula es válida para algún , entonces tenemos que

1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1! ! ! ! ! ! !k k k k k k

( )! ! ! !k k k k k k1 1 1 1 1 2 1 2 1

donde hemos utilizado la hipótesis de inducción en la expresión que se encuentra

entre los corchetes; de modo que 1 1 2 2 1 1 2 1! ! ! !+ + …+ +( ) +( ) = +( ) −k k k y por tanto será válida para todo n .

Demuestra que n n n n .

Para n 4 tenemos que , y la fórmula es válida en este caso; supongamos que también es válida cierto k k , de modo que

2 2 2 2 1 11k k k k k k+ = < < +( ) = +( )! ! !

B4


donde la primera desigualdad se debe a la hipótesis de inducción y la segunda al hecho de que k 4 ; así, hemos demostrado que la fórmula es válida para k 1 , por tanto será válida para todo n n .

Demuestra que

1 3 2 4 3 5 21 2 7

6n nn n n

n( ) N .

Para n 1 vemos que 1 3 3 1 2 96= = y la fórmula es válida en este

caso; supongamos ahora que la fórmula es válida para algún k y veamos que

1 3 2 4 3 5 1 3 1 3 2 4 2 1 3( ) ( )k k k k k k

k k kk k

k k k

k k k k k k

En donde la hipótesis de inducción fue aplicada en la expresión que se encuentra entre corchetes; al ser válida la fórmula para k 1 podemos concluir que será válida para todo n .

Demuestra que n n n .

Para n 1 , tenemos que , de modo que la fórmula es válida paran 1 ; supongamos que la fórmula es válida para algún k y veamos que

k k k

k k k k k

donde hemos utilizado la hipótesis de inducción en la expresión que se encuentra entre los corchetes y hemos mostrado que la fórmula es válida para k 1 , por tanto será válida para todo n .

Actividad 2En los siguientes ejercicios, utilice la inducción matemática para demostrar que la desigualdad es válida para todos los valores enteros positivos de n

1) n n

2) Demuestra que 2 2n n para todos los valores enteros positivos de n

3) Demuestre que 2 2n n , cuando n 4


102

4) Comprueba que es un factor de para todos los valores en-teros positivos de n

5) Comprueba que es un factor de para todos los valo-res enteros positivos de n

6) Demostrar que 3 es un factor de n

Teorema del BinomioComo has de recordar en tu curso de Matemáticas 1 tratamos el tema de productos notables y de forma especial el binomio al cuadrado y el binomio al cubo, ¿recuerdas cómo obtenías el resultado?, pero ¿qué sucederá si deseas obtener el binomio a la cuarta, a la quinta o a cualquier otro exponente?, o bien ¿cómo calcularías el desa-rrollo de un binomio de cualquier otro exponente entero positivo mayor de tres?

En el presente apartado estudiaremos el proceso mediante el cual podrás obtener el desarrollo de un binomio de cualquier exponente y para ello analizarás el comportamiento de binomios de primero, segundo, tercero y cuarto grado y en base a ello recurrirás a la generalización o conjetura matemática que te permita el desarrollo de cualquier binomio elevado a cualquier potencia, es decir llegarás a determinar el

El teorema de binomio es una fórmula (también conocida como la fórmula del binomio) que te permitirá escribir de forma directa cada elemento que es parte del desarrollo del binomio elevado a una potencia entera positiva, es decir estructu-raremos una metodología que te permita determinar los elementos de un binomio

de la forma , donde n

Te invito a que observes características entre los exponentes, entre los tér-minos y cantidad de términos que tiene el desarrollo. En base a los primeros tres binomios, ¿cómo obtienes el binomio a la cuarta potencia?

Observa que cada uno de los binomios que se desarrollaron presenta las siguientes características:

1) El total de términos que desarrollaste es uno más que le exponente al que se elevó el binomio en cuestión. Es decir que si tenemos un binomio de exponente n, el desarrollo del binomio tendrá n + 1 términos. Ejemplo: En

el binomio 3se tiene 4 términos en el desarrollo.

2) El primer término del desarrollo es el primer término del binomio con el mismo exponente y a partir de ello empieza a decrecer hasta desaparecer y el segundo término del binomio empieza a crecer apareciendo por pri-

B4


mera vez en el segundo término hasta culminar solo en el último término con el mismo exponente del binomio. Ejemplo:

Aparece en el segundo término y empieza a crecer

Mismo exponente del binomio y decrece

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

3) La suma de los exponentes de cada uno de los términos del desa-rrollo es igual al exponente del binomio. Ejemplo: En el desarrollo

, tenemos que la suma de los exponentes de x e y de cada término del desarrollo es

4) -ta simetría ya que presentan cierta equidistancia entre el término o térmi-nos de en medio y los extremos. Ejemplo:

Coeficientes simétricos

Término de en medio

x 4 +4 x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

5) del segundo término y del penúltimo coinciden con el exponente del bi-

nomio: Ejemplo: -ro y último es la unidad es 3, es decir el mismo que el exponente del binomio.

6) -minos del binomio, no parecerá tan evidente, pero estoy seguro que si

6 del término tercero en el binomio 4

? Observa detenidamente el término anterior, es decir el término segundo y encuentra alguna relación

el exponente de x y lo divides entre el exponente de y aumentado en 1 obtienes el


104

Ejemplo 1 Si consideramos el término segundo del binomio se realizan las siguientes operaciones:

Retomando el término segundo del binomio a la cuarta y realizan-

binomio:

Este último paso es el más importante para el desarrollo del binomio de Newton, pero antes de que llegues a la generalidad, te invito a que trabajes sobre al-gunos problemas de desarrollo de manera intuitiva antes de que realices conjeturas.

Actividad 3En cada uno de los ejercicios propuestos, efectúa el desarrollo indicado en el binomio

1) 2) 3)

4) 5)

Antes de describir la fórmula para el desarrollo del binomio requerimos de que nos ayudará a entender nuestra conjetura.

Si (n es un entero no negativo), el producto de los n primeros números naturales, esto es, el producto 1×2×3× ×n… se le conoce como “el factorial de n” o “n factorial” y lo representamos mediante el símbolo n! Es decir:

!y convenimos en que 0! = 1.

Ahora bien retomemos nuestro propósito al inicio de esta sección, el Teorema de Newton y para ello suponemos que para cualquier valor entero y positivo de n, el

desarrollo de tiene las mismas características que observamos en los bino-mios de 1, 2, 3 y 4 grado tendremos que se cumple:

donde n es el exponente del binomio, r representa el lugar que ocupa o posición

O bien, si recurrimos a la fórmula de las combinaciones que trabajaste en el tema de las combinaciones de Matemática V, podemos constatar con un sencillo compa-

B4


En donde el término que ocupa el lugar r esta dado por

Al que se le conoce con el nombre de término general.

Ejemplo 12:

Obtener el cuarto término del desarrollo del binomio sin tener que realizar todo el desarrollo.

Solución:

Empleando el término general tendremos

4 3 21 2 3 2 4 2 8

44 1

2

4 4 1 4 1 3 3

y x

x y x y xy

ó

x44 4 1 4 1 3 34 2 20y xy

El cuarto término del desarrollo de Newton es 8×y3

Ejemplo 13:

En el binomio obtén el término que contiene a la x11 sin que desarrolles cada término del binomio

Solución:

En éste ejemplo no se nos indica el orden del término que vamos a locali-zar, es por ello que en primer lugar nos daremos a la tarea de encontrar dicho orden. Llamemos r al orden del término, por consiguiente las literales de nuestro término

quedarán expresadas como , de acá podremos determinar el ex-

ponente de la x, x x x x x xr r r r r r r2 10 1 1 20 2 2 1 20 2 2 1 21 siendo que el

término a encontrar sea el que tenga x11 tendremos:

x x r rr 21 11 21 11 10

En segundo, como ya sabemos que el orden del término es el que ocupa el lugar 10, aplicando el término general


106

Actividad 4En cada uno de los siguientes ejercicios efectuar el desarrollo indicado

1)

2)

3)

4) m m

Determina únicamente el término que se te indica en cada uno de los siguientes binomios sin que recurras al desarrollo de cada uno para encontrar el señalado.

1) El octavo término de

2) El quinto término de

3) El séptimo término de 11

4) El término central de

Determina únicamente el término que se te indica en cada uno de los siguientes binomios sin que recurras al desarrollo de cada uno para encontrar el señalado.

1) El término que contiene a x7 de

2) El término que contiene a y4 de

3) El término que contiene a x de

4) El término que contiene a x8 de x

B4


SíntesisDemuestra la siguiente identidad trigonométrica utilizando la inducción matemática.

ProyectoTe propongo una actividad en donde demostrarás una herramienta básica manejada siempre en los cursos de Matemáticas: Las leyes de los exponentes. ¡Manos a la obra!

Demostrar las siguientes leyes de los exponentes usando únicamente la inducción matemática.

Si m y n son enteros positivos y además se sabe que a y b son números reales donde b 0 entonces determina la veracidad de los siguientes incisos:

1)

2)

3)

4)


108

Rúbrica del proyectoAnalicemos qué tal te fue en tu actividad

1 2 3 4 5

CON

OCI

MIE

NTO

S

conjunto de los números naturales al momento de plantear los problemas de las leyes de los exponentes.

No comprendo la validez de la inducción matemática a partir de la validación de las leyes de los exponentes

Reconozco con

el método de inducción matemática al presentarse la validación de las leyes de los exponentes.


Comprendo con

la validez de la inducción matemática a partir de la validación de las leyes de los exponentes

Reconozco con

el método de inducción matemática, al presentarse la validación de las leyes de los exponentes.


Comprendo con

la validez de la inducción matemática a partir de la validación de las leyes de los exponentes

Reconozco con

el método de inducción matemática al presentarse la validación de las leyes de los exponentes.

conjunto de los números naturales, al momento de plantear los problemas de las leyes de los exponentes.

Comprendo la validez de la inducción matemática, a partir de la validación de las leyes de los exponentes

Reconozco con

el método de inducción matemática, al presentarse la validación de las leyes de los exponentes.

plenamente el conjunto de los números naturales, al momento de plantear los problemas de las leyes de los exponentes.

Comprendo completamente la validez de la inducción matemática, a partir de la validación de las leyes de los exponentes

Reconozco siempre el método de inducción matemática, al presentarse la validación de las leyes de los exponentes.

HAB

ILID

ADES

No aplico el método de inducción matemática para demostrar las leyes de los exponentes.

No resuelvo de forma adecuada cada paso del proceso de inducción que permite demostrar las leyes de los exponentes.

Aplico con

el método de inducción matemática para demostrar las leyes de los exponentes.

Resuelvo con

paso del proceso de inducción que permite demostrar las leyes de los exponentes.

Aplico con

el método de inducción matemática para demostrar las leyes de los exponentes.

Resuelvo con apoyo del facilitador cada paso del proceso de inducción que permite demostrar las leyes de los exponentes.

Aplico el método de inducción matemática para demostrar las leyes de los exponentes.

Resuelvo con escaso apoyo del facilitador cada paso del proceso de inducción que permite demostrar las leyes de los exponentes.

Aplico siempre el método de inducción matemática para demostrar las leyes de los exponentes.

Resuelvo correctamente cada paso del proceso de inducción que permite demostrar las leyes de los exponentes.

B4


1 2 3 4 5

ACTI

TUD

ES

No aprendo por iniciativa e interés propio el alcance del método de inducción matemática en la demostración de las leyes de los exponentes.


la aplicación del método de inducción matemática en la demostración de las leyes de los exponentes.

Aprendo por obligación el alcance del método de inducción matemática en la demostración de las leyes de los exponentes.

Propongo escasas estrategias


Aprendo con cierto interés el alcance del método de inducción matemática en la demostración de las leyes de los exponentes.

Propongo pocas estrategias


Aprendo con interés el alcance del método de inducción matemática en la demostración de las leyes de los exponentes.



Aprendo con mucho interés y por iniciativa propia el alcance del método de inducción matemática en la demostración de las leyes de los exponentes.

Propongo en todo momento estrategias


PO

ND

ER

AC

ION

3 6 9 12 15

alcanzado a lo largo de todo este bloque y para ello te presento la siguiente rúbrica. Léela y analiza con mucha honestidad lo que has logrado y lo que aún no.


110

1 2 3 4 5

CO

NO

CIM

IEN

TOS


No comprendo la validez de la inducción matemática, a partir de su razonamiento lógico.

Reconozco con

proposiciones que pueden demostrarse empleando el método de inducción matemática, considerando el dominio que corresponde.

el teorema del binomio y los elementos asociados a él.

el conjunto de los números naturales, a partir de los axiomas que lo rigen.

Comprendo con

la validez de la inducción matemática, a partir de su razonamiento lógico.

Reconozco con

proposiciones que pueden demostrarse empleando el método de inducción matemática, considerando el dominio que corresponde.



Comprendo con

la validez de la inducción matemática, a partir de su razonamiento lógico.

Reconozco con apoyo del facilitador las proposiciones que pueden demostrarse empleando el método de inducción matemática, considerando el dominio que corresponde.



Comprendo la validez de la inducción matemática, a partir de su razonamiento lógico.

Reconozco con apoyo del facilitador las proposiciones que pueden demostrarse empleando el método de inducción matemática, considerando el dominio que corresponde.

teorema del binomio y los elementos asociados a él.

plenamente el conjunto de los números naturales, a partir de los axiomas que lo rigen.

Comprendo siempre la validez de la inducción matemática, a partir de su razonamiento lógico.

Reconozco siempre las proposiciones que pueden demostrarse empleando el método de inducción matemática, considerando el dominio que corresponde.

plenamente el teorema del binomio y los elementos asociados a él.

B4


1 2 3 4 5

HA

BIL

IDA

DE

S

No modelo la fórmula correspondiente a una proposición y

No aplico el método de inducción matemática para demostrar proposiciones adecuando al dominio que

Determino con

todos los elementos del desarrollo de un binomio a partir del teorema

Modelo con

la fórmula correspondiente a una proposición y

Aplico el método de inducción matemática con

para demostrar proposiciones, adecuando al dominio que

Determino con mucha

los elementos del desarrollo de un binomio, a partir del teorema

Modelo con

la fórmula correspondiente a una proposición y


para demostrar proposiciones adecuando al dominio que

Determino con

todos los elementos del desarrollo de un binomio a partir del teorema

Modelo la fórmula correspondiente a una proposición y


y con apoyo del facilitador para demostrar proposiciones adecuando al dominio que

Determino todos los elementos del desarrollo de un binomio a partir del teorema

Modelo correctamente la fórmula correspondiente a una proposición y

Aplico correctamente el método de inducción matemática para demostrar proposiciones adecuando al dominio que

Determino plenamente todos los elementos del desarrollo de un binomio a partir del teorema correspondiente

AC

TITU

DE

S

No aprendo por iniciativa e interés propio el alcance del método de inducción matemática y su aplicación en diversas


la aplicación del método de inducción

Aprendo de forma obligatoria y sin interés propio el alcance del método de inducción matemática y su aplicación en diversas

Propongo escasamente estrategias


Aprendo parcialmente convencido y con cierto interés propio el alcance del método de inducción matemática y su aplicación en diversas



Aprendo por iniciativa y con cierto interés propio el alcance del método de inducción matemática y su aplicación en diversas



Aprendo siempre por iniciativa y con cierto interés propio el alcance del método de inducción matemática y su aplicación en diversas

Propongo siempre y en todo momento estrategias


PO

ND

ER

AC

ION

3 6 9 12 15

Bloque V: Empleas números complejos

Desempeños del estudiante-

dades y operaciones en diversas situaciones teóricas

Realiza operaciones básicas con números complejos, suma, resta, multi-plicación y división, empleando los algoritmos correspondientes

Representa números complejos en su forma rectangular y polar

Determina las potencias y raíces de un número complejo, a través del teorema de DeMoivre

Objetos de aprendizajeLos números complejos

Operaciones básicas con números complejos

Representación rectangular y polar

Potencias y raíces de un número complejo




Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfo-ques.

--



114

Dinamización y motivaciónComo ya has analizado en cursos iniciales de matemáticas en bachillerato, el conjun-to de los números naturales surgió ante la necesidad de contar objetos

y multiplicación sin problema alguno, ya que la suma y el producto de números naturales es siempre un número natural. Sin embargo, al tratar de resolver ciertas ecuaciones en tales como , podemos ver que dicha ecuación no tiene so-lución dentro de , es decir, no existe ningún número natural x que sea solución de tal ecuación; así, surgió la necesidad de “ampliar” a un nuevo conjunto numérico de modo que este nuevo conjunto contenga todas las soluciones de las ecuaciones del tipo con , este nuevo conjunto, es el conjunto de los enteros y

-nocemos como resta o sustracción. De manera similar a como ocurrió con , ecua-ciones tales como tampoco tienen solución dentro de y por tanto, también surgió la necesidad de “extender” a un nuevo conjunto numérico que contenga todas las soluciones de las ecuaciones del tipo con , el conjunto que cumplió con lo buscado fue el conjunto de los números racionales , en este nuevo

es cero), esto es, la operación inversa a la multiplicación. Por otro lado, al tratar de resolver problemas que involucran medidas se pudo notar que no era un conjunto numérico lo bastante adecuado, ya que por ejemplo, ningún número racional pue-de representar la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1. Dicho de otra manera, no existe ningún número racional x , tal que . Para poder representar estas cantidades mediante “números”, surgió nuevamente la necesidad de “ampliar”

; esta ampliación se logró agregándole a el conjunto de los números irracio-

nales c obteniendo de esta forma los tan conocidos números reales R Q Qc .

Sesión 1: Propiedades y operaciones básicasCriterios:

a+bi.

Comprendo las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos.

Determino los elementos de un número complejo en diversas situaciones.

Realizo operaciones básicas con números complejos.

Muestro claridad en el manejo de números complejos, sus elementos y propiedades.

Puedes am-pliar y así recordar

-raciones en las obras de Matemáticas uno a

B5

115Bloque V: Empleas números complejos

ContextualizaciónTras resolver diferentes tipos de ecuaciones y trabajar con operaciones algebraicas de diferentes tipos nos hemos estado ubicando en un los campos de números seña-lados al inicio de este bloque. Mas sin embargo como veremos paso a paso, es ne-cesario tener un campo o conjunto de números en donde ciertas ecuaciones tienen solución, tal como se señaló en el bloque 2.

Este campo se trata de los números complejos o imaginarios que pueden te-ner una representación rectangular o trigonométrica mayormente conocida como polar.

Éstos son algunos de los tópicos que estaremos visualizando en el presen-te bloque. Ya que es de suma importancia en la resolución de ciertos sistemas de ecuaciones que hasta ahora nos resultan imposibles de solucionar nos vemos en la necesidad de analizar todo lo antedicho.

ProblematizaciónTrabajando en los números reales resuelve con los métodos disponibles las siguien-tes ecuaciones:

a) x

b) x

c) x x

d) x

e) x

De las anteriores ecuaciones ¿cuáles te resultaron fáciles de solucionar y cuáles fueron sus resultados?

¿Cuáles te resultaron complicadas o imposibles de solucionar y por qué?

Lleva a cabo con tu docente una pequeña discusión sobre la forma de poder resolver la o las ecuaciones que te resultaron complicadas o imposibles de solucionar. Escribe las conclusiones pertinentes a las que llegaron de forma intuitiva.

Debido a estas “inconsistencias” en la solución de ciertas ecuaciones cuadrá-ticas nos vemos en la necesidad de recurrir a una extensión de los números reales .

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competenciasLa razón por la que los números reales nos resultan tan conocidos es porque siem-

-jar con ellos, una muestra de esto es que en ocasiones nos hemos encontrado con


116

ecuaciones cuadráticas tales como , que no tiene soluciones reales, puesto que al tratar de encontrar estas soluciones mediante la fórmula general, obtenemos una expresión como esta:

Pero esta expresión no tiene sentido en el conjunto de los reales, pues sa-bemos que no existen (hasta ahora) las raíces cuadradas de los números negativos. Entonces como se señaló al inicio, para que las ecuaciones de este tipo tengan una solución es fundamental realizar lo que se hizo con cada uno de los sistemas numé-ricos anteriores, es decir, es necesario ampliar al conjunto a uno nuevo en el que existan las soluciones de todas las ecuaciones cuadráticas (incluyendo por supuesto las que tienen raíces cuadradas negativas). Para tratar de explicar la forma de estos

nuevos “números” y su conjunto, observemos que puede ser escrito como

Esta expresión carece de sentido en debido a que el término 1 no es

.- El valor se llama unidad imaginaria y tiene la propiedad de que .

osible construir el conjunto buscado, el cual se trata de los números llama-dos números complejos o imaginarios, representado en conjunto por , cuyos elementos son todas las combinaciones de la forma

Donde a y b son números reales.

De modo que todo número complejo está formado por dos partes las cuales se llaman parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente, y las

que representaremos mediante la notación e .

Por lo tanto dos números imaginarios son iguales si y solo si sus partes real e

imaginaria son iguales respectivamente. Esto es, si y son dos números complejos, entonces

.

Un número imaginario es igual a cero si y solo si sus partes real e imaginaria son cero.

Un número imaginario de la forma , b 0 se llama número imaginario puro.

El negativo del número imaginario es

B5


de la unidad imaginaria y por tanto siempre es un número real.

Ejemplo 1. Determina e si :

a) .

b) Solución.

a) Su parte real es 3 y la parte imaginaria es 2, es decir, e

.

b) , por tanto

e .

Observamos que por ejemplo el número es un número complejo con

; este caso nos muestra que todos los números reales son también nú-meros complejos, hacemos referencia a esto diciendo que los números reales son entonces un subconjunto de los números complejos, en símbolos:R C .

Operaciones básicasde igual forma en el campo de los números complejos se pueden llevar a cabo estas operaciones. Las operaciones de suma, resta y multiplicación en los números com-plejos se realizan de manera idéntica a las de los polinomios.

. En

primer lugar se sabe que i 1 y que i ; pero ¿que se obtiene con i i i , etc.?

Veámoslo de este modo:

Estos datos serán de utilidad cuando realicemos operaciones de multipli-cación y división de complejos.

La suma aritmética de dos números complejos es de nuevo un número complejo cuya parte real es la suma aritmética de las partes reales de los números complejos que se están sumando, y de manera similar la parte imaginaria es la suma


118

aritmética de las partes imaginarias de los números complejos que se están suman-

do. Más precisamente, si y son dos números complejos, en-

tonces la suma de con , representada por , es el número complejo.

y son dos números complejos, entonces el número comple-

jo que se obtiene al restar de , denotado por viene dado por:

Ejemplo 2. Si y , determina y .

Solución. En este caso tenemos que y

de manera similar tenemos que .

Consideremos la multiplicación de complejos. Si y

son dos números complejos, entonces el producto de y , denotado por z z1 2 es el número complejo

z z a a b b a b a b i1 2 1 2 1 2 1 2 2 1= −( ) + +( )

podemos obtener fácilmente si recordamos que la multiplicación en los números complejos se realiza de manera idéntica a los polinomios, de modo que:

z z a b i a b i a a a b a b i b b i1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 22= +( ) +( ) = + +( ) + ( )

y como , entonces y al reemplazar por en la expresión anterior obtenemos lo descrito antes

Ejemplo 3. Determina z z1 2 si:

a) y .

b) y .

c) y .

B5


Solución.

a) Tenemos que: i i1 2 1 3 7 2 1 2 7 3 11 23= − − −( ) + ( )( ) + −( ) −( ) = +( )( ) ( )( ) ( )

b) Similarmente: z z i i1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 5= − − −( ) + ( )( ) + −( ) −( ) =( )( ) ( )( ) ( )

c) En este caso obtenemos: z z i i1 2 4 11 4 3 44 12= −( ) −( ) + −( )( ) = −

Del inciso c podemos ver que para multiplicar un número real por un nú-mero complejo, solo debemos de multiplicar tanto la parte real como la imaginaria de este último por el número real, para determinar respectivamente la parte real e imaginaria del producto.

-dades de los números imaginarios.

Propiedades de los complejoscon el propósito de sim-

en , esto no debe extrañarnos, ya que como se ha señalado, los números reales son también números complejos.

Para la suma

Si son números complejos, en-tonces

Esta propiedad nos dice que no importa el orden en que se sumen las parejas de números complejos, mientras no se cambie el orden de los números, el resultado siempre será el mismo.

Si , entonces

Esta propiedad nos dice que no importa el orden de los sumandos, pues el resultado siempre será el mismo.

Propiedad del elemento neutro. El número complejo sa-tisface que

para todo z .

Si , entonces el numero complejo , llamado de z , cumple


120

Con la ayuda de todas estas propiedades, podemos calcular grandes ex-presiones en donde aparezcan sumas y restas de números complejos.

Pasamos a las propiedades de la multiplicación.

Para la multiplicación

Si , entonces

z z z z z z .1 2 3 1 2 3( ) = ( )

Si entonces

z z z z .1 2 2 1=

Propiedad del elemento neutro. El número complejo 1 es el ele-mento neutro del producto, es decir

1 1z z z= =

para todo z .

Para todo ( z es un número complejo distinto de cero), existe un número complejo, llamado el in-verso de z y denotado por , tal que

z z z z− −= =1 1 1

Si , entonces se satisfacen las siguientes relaciones:

( )z z z z z z z .1 2 3 1 3 2 3+ = +

de división.

. Si es un número complejo, entonces el con-

jugado complejo de z , denotado por z

z .

Si es un número complejo, entonces el módulo de z , deno-

tado por z real dado por .

B5


a su conjugado si y sólo si dicho número es real. De manera más precisa, si z

entonces z z z .

Ejemplo. El conjugado de es el numero complejo

. El módulo de es es un número complejo, entonces tenemos que

z z a b ab ab i a b= − −( )( ) + − +( ) = +2 2 2 2

Por tanto podemos relacionar este producto con el módulo de z mediante la igualdad

z z z=2

En parejas formadas por tu docente demuestren algebraicamente que si ,

entonces z z z z1 2 1 2= .

En particular la propiedad de la actividad anterior nos dice que si z y = .

Entramos ahora a la división de complejos.

Como en los números reales existe la operación de división (siempre y cuando el denominador sea distinto de cero) y además, todo número real es tam-bién número complejo; esto nos sugiere que también debe de existir la operación de división en . Pero ¿Cómo se efectúa la división entre números complejos? Para averiguar la forma en la que se realiza dicha operación, notemos que si y

son números complejos y entonces también debe ser un nú-mero complejo, es decir, existen tales que

a bic di

x yi ++

= +

Vemos entonces, que la situación está en hacer que el miembro izquierdo

de la ecuación anterior tome la forma canónica de un número complejo. Sin embargo, observemos que esto es muy sencillo cuando w es un número real ya que en este caso sólo debemos multiplicar la parte real e imaginaria del numerador por

el número real . Este caso particular nos sugiere una manera en la que podemos efectuar la división cuando w sea un complejo cualquiera. Dicha manera la explica-mos a continuación.


122

Sean w , deseamos calcular , una tarea sencilla si el de-

nominador es real. Con esta idea recordemos que por tanto tenemos que

En donde el extremo derecho es una fracción en donde el denominador es un número real.

Entonces, para efectuar la división de dos números complejos sólo de-bemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, obteniendo así, una fracción cuyo denominador es un real y por tanto la división es fácil de efectuar.

Ejemplo 4. Si y entonces calcular z/w y w/z

Solución.-

zw

z w

w

i i i i= =+( ) − −

−( ) += − − = − −

2 2 2

2 5 3

3 1

1 1710

110

1710

( )

wz

w z

z

i i i i= =− +( ) −

+= − + = − +

2 2 2

3 2 5

2 51 1729

129

1729

( )

-

. Sea , entonces es el número com-plejo dado por

Realiza las operaciones indicadas con los números complejos de manera que tus resultados queden en la forma a + bi.

a) i

b) i

c) i

B5


SíntesisUna vez que has analizado las teorías respectivas a los números complejos así como su uso algebraico, es oportuno realizar los siguientes ejercicios.

1) Determina los valores de las incógnitas faltantes de acuerdo a la relación que cumplen.

a.

b.

c.

d.

2) En cada inciso realiza las operaciones con los números complejos en su forma canónica.

a. i i

b. i i

c. i i

d.

e. i i i

f. i

g. i

h. i i

i. i

j. ii

k.

ii

l. i i

3) Demuestra que el número complejo i es una raíz de la ecuación

x x x x

Sesión 2: Representación rectangular y polar. Teorema de DeMoivreCriterios

Explico los conceptos de potencia y raíz de un número complejo.

Comprendo el Teorema de DeMoivre para determinar las potencias y raí-ces de un número complejo.

Determino el argumento y el módulo de un número complejo.

Represento un número complejo en sus formas rectangular y polar.

Empleo el Teorema de DeMoivre para determinar las potencias y raíces de un número complejo.

-jos en diversas situaciones.


124

ContextualizaciónYa sabemos que los números reales tienen una representación geométrica, la cual se obtiene asignando a cada número real un punto en una recta, a la que llamamos recta real. También es posible dar una representación geométrica de los números complejos usando un sistema de coordenadas cartesianas, idéntico con el que tra-bajaste en geometría analítica y cuya única diferencia es que los ejes Y y X reciben los nombres de eje imaginario y eje real respectivamente.

ProblematizaciónDado este referente cómo podrías representar en el plano cartesiano los siguientes complejos:

a) 3 – 5ib) 2 + 7ic) - 4i

Represéntalos a continuación en este sistema.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Probablemente algunos de tus compañeros presenten diferencias o dudas respecto a la representación intuitiva de estos números imaginarios, por ello es ne-cesario sentar las bases para este proceso.

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competencias

Representación rectangularSi al número complejo le asignamos el punto del plano de coordenadas

entonces se obtienen una representación geométrica de z.

B5


se le asigna el punto del plano cuya abscisa y ordenada son e respectivamente. De acuerdo a esta asignación, podemos ver que dos números complejos son iguales si y sólo si sus representaciones en el plano son iguales, es por esta razón que frecuentemente llamaremos al número complejo como punto z y escribiremos .El conjunto de todos estos puntos recibe el nombre de plano complejo.

x

y

a

b

z=(a,b)

Figura 5.1. Representación del complejo a+bi en el plano complejo.

Un complejo de la forma recibe el nombre de for-ma canónica o forma rectangular.

Determina la representación en el plano complejo de los números complejos

y .

Una vez establecida esta representación para los números complejos, sur-ge de manera inmediata la interpretación geométrica para el conjugado y el módulo

de un número complejo. Si , entonces su conjugado es y en el

plano complejo tenemos que y de modo que z no es más que


126

x

y

a

b

–b

z=(a,b)

z=(a,–b)

Figura 5.2. Trazo de z y su conjugado z .

Si , entonces el punto del plano complejo que le corresponde

a z es y cuya distancia al origen es , pero esta cantidad es precisamente

el módulo de z. De modo que z es la distancia entre el origen y el punto z. Denota-

remos 2 2 .

x

y

θa=rcosθ

b=rsenθ

z=(a,b)

r=|z|

Figura 5.3. Elementos de la representación de un número complejo.

De la misma manera podemos observar que si y son números complejos entonces

B5


es decir, la distancia entre los puntos y del plano complejo,

viene dada por .

Utilizando la representación geométrica de los complejos también pode-mos darle una interpretación geométrica a la suma de dos números complejos. Sean

y dos números complejos y junto con estos consideremos

a los dos números complejos y y veamos en la

x

y

O(0,0)

z2=(a2,b2)

z1+z2=(a1+a2, b1+b2)

z1=(a1,b1)

Figura 5.4. Representación rectangular de la suma de los complejos z1 y z2.

Es decir, la pendiente de los segmentos y son iguales y por tanto, tales segmentos son paralelos. Del mismo modo podemos ver que los seg-

mentos y también son paralelos. Luego, el cuadrilátero

es un paralelogramo (¿Por qué?) del cual el segmento representa una dia-

gonal. Es por eso que, dados los puntos y entonces, geomé-

tricamente podemos conseguir el punto empleando la regla del paralelogra-mo que utilizaste durante tu curso de física para determinar un vector resultante.

con respecto a los módulos, conocida como la desigualdad triangular. Sean , y


128

dos números complejos y su suma respectivamente, por el resultado anterior

sabemos que los segmentos , y son los lados de un triángulo

de longitudes , y respectivamente, y como en todo triángulo se tiene que la longitud de un lado es menor que la suma de los otros dos, obtenemos la siguiente desigualdad

con la igualdad si y sólo si Z1 o Z2 es cero.

z1-z2.

Representación polarEl producto de dos números complejos también tiene una interpretación geométri-ca, pero ésta no parece clara utilizando la representación de un número complejo mediante coordenadas rectangulares en el plano complejo. En cambio, dicha inter-pretación surge de manera clara si consideramos otro tipo de representación de los números complejos, llamada representación polar.

Si

triángulo determinado por los puntos y es rectángulo cuya longitud

de la hipotenusa es zpositiva del eje real y medido en sentido contrario a las manecillas del reloj hasta el

segmento , entonces tenemos que:

= =a z z

y al utilizar estas expresiones, se tiene que

= +( )= +z a bi z cosθ z s zenθ cosθ isenθ= +

Pero si utilizamos que , entonces

Esta representación del número complejo z se conoce como la repre-sentación de z en forma polar. r se llaman coordenadas polares de z. El

argumento de z .

para cualquier entero n se tiene que

= +( ) = +

B5


zargumento principal de z si 0 2 0 360≤ ≤ ≤ ≤ o θ oDe aquí en adelante se en-tenderá que estamos trabajando con el argumento principal de cada número com-plejo.

La representación geométrica de z en su forma polar es dada por el seg-

mento

De la representación polar podemos obtener las coordenadas rectangula-

res y viceversa al considerar que = , de modo que

r z a b= ( ) = = +−

la expresión dada prestando atención a los signos de las coordenadas rectangulares.

Ejemplo 6. Determina la forma polar del número complejo z i= − +6 2 y represéntalo geométricamente en el plano complejo.

Solución. Utilizando las fórmulas de respectivas notamos que

,

de modo que al localizarse el punto en el segundo cuadrante, enton-ces = o

r

Luego, o o y su representación geométrica es:

y

x

Figura 5.5. Representación del

complejo z i= − +6 2


130

-

meros complejos sea una tarea fácil de realizar. Sean = +z z y

= +z z dos números complejos, entonces

( )1 1= +z z z z senθ1 2 1 2 2 2+co osθ θsenθ

z z

usando las identidades trigonométricas:

+( ) = − ( )+ = +

y la propiedad z z z z1 2 1 2= , obtenemos que

= +z z z z isen1 2 1 2 1 2 1 2( ) + +( )( )coscos

O sea

-lar solo debemos multiplicar sus módulos y sumar sus argumentos.

También es posible obtener una relación en forma polar para la división de números complejos utilizando de igual forma identidades trigonométricas, pero

obtendremos tal fórmula de otra manera. Si z z= +( ) es un número com-

plejo, entonces z z con respecto al eje real y se tienes que

Nota: arg (Z) representa el argumento principal del número complejo Z

z z= se tiene que

+ −( )2 2 = −) cz z zisen isen= − + −( )cos( ) ( os( ) ( )θ θθθ

z z= + y z z= + son dos números

complejos, entonces z z= − + −( ) y por tanto

z

( )( )− + −( )z zz z

zzz

= =

B5


de la derecha, se tiene

( )( )( ) + −zz

z

z= −

O sea

zz

rr

isen1

2

1

21 2 1 2= − + −(cos( ) ( ))

-dulos respectivos y se restan sus argumentos respectivos.

Consideremos ejemplos más adelante.

Potencias y raícesYa sabemos que si z z= +( ) es un número complejo, entonces

= =z z z z +( )En general se cumple el siguiente teorema, el cual es muy útil para calcular

cualquier potencia de un número complejo.

Si z r= +( ) es un número comple-jo, entonces

z r= +( )Para todo n N .

Demuestra el Teorema de DeMoivre usando inducción matemática.

Si z y w son números complejos que cumplen z wn= para algún n N, entonces

decimos que w es una raíz n-ésima de z , y se denota mediante w z n=1

.

Recordemos que los números complejos surgieron de la necesidad de resolver ecua-

ciones del tipo x2 1 0+ = las cuales no tenían solución en los reales, debido a que los números negativos no tenían raíces de orden par. En no sólo ocurre que todos los números complejos tienen raíces n-ésimas, sino que además todo número complejo tiene exactamente n raices n-ésimas para todo n N. Por ejemplo, las cuatro raíces cuartas de 1 son los números complejos y – ya que cada uno de ellos satis-face la ecuación z4 1= .Esto lo enunciamos mediante el siguiente teorema.


132

Teorema. Todo número imaginario diferente de cero tiene exacta-mente n raíces n-ésimas.

-mero complejo, también existe una fórmula para hallar las n raíces n-ésimas de un número complejo.

Sea z r= +( ) es un número complejo, entonces las n raíces n-ésimas de z se obtienen de la fórmula siguiente que es una extensión del teorema de DeMoivre.

En radianes

z rn n

Para k n= … −0 1 2 1, , , , .

O en grados

z rn n

o o

Para = …2 1, ,k n −0 1, , .

Terminamos nuestra consideración de los números complejos mediante ejemplos ilustrativos.

Ejemplo 7. Calcula en forma polar.

Solución. Primero representamos al número , en su forma polar.

Para esto notemos que = −( )− , y al ser z un punto del cuarto cuadrante, te-

nemos que = (desde el eje X positivo); además, r de modo que

1 3 2 503

503

210

10 10i isensencoscos cosscos 23

23

isensen

Ejemplo 8. Determina el valor de 2

12 12

44

7

cos

cos

isen

enis n4

3

B5


Solución. Usando las fórmulas necesarias tanto en el numerador como el denominador la expresión anterior se transforma en

128 712

712

64 34

3

cos

cos

isen

isen44

s c2 712

34

712

34

26

co osisen iisen i6

3

Ejemplo 9. Encuentra las tres raíces cúbicas del número complejo .

Solución. Primero debemos pasar este número a su forma polar. El argu-

mento es = −( )− y como el número está en el segundo cuadrante, se tiene que

= 2 , de modo que ) (− + = +( )1 2 34

34i isencos( )

y las tres raíces cúbicas, , se obtienen de

1 23

4 2

3

34 2

3

13

16i

kisen

kcos

. Por tanto

k z isen0 2 4 41

16 cos

1 2k z isen1112

11122

16 cos

2 2k z isen1912

19123

16 cos

Síntesis1) Representa tus resultados del ejercicio 2 de la sesión anterior en al plano

complejo.

2) Realiza cada uno de las operaciones con complejos del ejercicio 2 de la sesión anterior, pero transformando primero cada número a su forma po-lar. Dejar el resultado en esta forma polar.

3) Obtén las siguientes potencias y raíces de números complejos utilizando el teorema de DeMoivre (recuerda pasar primero a la forma polar si es necesario).


134

a. i

b. i

c. i

d. i

e. Las tres raíces cúbicas de 12

f. Las tres raíces cúbicas de 2 2i

g. Las seis raíces cúbicas de i

h. Las cinco raíces cúbicas de i

i. Las nueve raíces de –i

Realimentación I) Demuestra que si n y k son enteros positivos tales que n=4k+m,

donde m=1, 2 o 3.

II) Demuestra que el conjugado de la suma de dos complejos es igual a la suma de los conjugados de esos números.

III) Demuestra que el conjugado del producto de dos complejos es igual al producto de los conjugados de esos números.

IV) Demuestra que si la suma y el producto de dos complejos dan números reales entonces dichos números complejos son conjugados.

V) Muestra que el módulo de un complejo y el módulo de su conjugado son iguales.

VI) Muestra que el módulo del producto de dos complejos es igual al pro-ducto de sus módulos.

VII) que

z z z z

B5



Rúbrica del bloquede parte tuya a analizar por tu docente.

Producto, logro o

desempeño5

ESTRATÉGICO

4

AUTÓNOMO

3

BÁSICO

2

INICIAL

1

PRE-FORMAL

CON

OCI

MIE

NTO

S

elementos de un número complejo a+bi.

Comprendo todas las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos.

Explico detalladamente los conceptos de potencia y raíz de un número complejo.

Comprendo correctamente el Teorema de DeMoivre para determinar las potencias y raíces de un número complejo.

mayoría de los elementos de un número complejo a+bi.

Comprendo la mayoría de las reglas para sumar, restar, multiplicar o dividir números complejos.

Explico los conceptos de potencia y raíz de un número complejo.

Comprendo el Teorema de DeMoivre para determinar las potencias y raíces de un número complejo.

unos cuantos elementos de un número complejo a+bi.

Comprendo dos de las reglas para sumar, restar, multiplicar o dividir números complejos.

Explico con

conceptos de potencia y raíz de un número complejo.

Comprendo parcamente el Teorema de DeMoivre para determinar las potencias y raíces de un número complejo.

los elementos de un número complejo a+bi.

Comprendo una de las reglas para sumar, restar, multiplicar o dividir números complejos.

Explico incorrectamente los conceptos de potencia y raíz de un número complejo.

Comprendo parcialmente el Teorema de DeMoivre para determinar las potencias y raíces de un número complejo.

los elementos de un número complejo a+bi.

No comprendo las reglas para sumar, restar, multiplicar ni dividir números complejos.

No explico los conceptos de potencia y raíz de un número complejo.

No comprendo el Teorema de DeMoivre para determinar las potencias y raíces de un número complejo.


136

Producto, logro o

desempeño5

ESTRATÉGICO

4

AUTÓNOMO

3

BÁSICO

2

INICIAL

1

PRE-FORMAL

Determino todos los elementos de un número complejo en diversas situaciones.

Realizo todas las operaciones básicas con números complejos.

Determino correctamente el argumento y el módulo de un número complejo.

Represento claramente y correctamente un número complejo en sus formas rectangular y polar.

Empleo correctamente el Teorema de DeMoivre para determinar las potencias y raíces de un número complejo.

Determino la mayoría de los elementos de un número complejo en diversas situaciones.

Realizo tres operaciones básicas con números complejos.

Determino parcialmente el argumento y el módulo de un número complejo.

Represento correctamente un número complejo en sus formas rectangular y polar.

Empleo correctamente el Teorema de DeMoivre para determinar las potencias o raíces de un número complejo.

Determino uno de los elementos de un número complejo en diversas situaciones.

Realizo dos operaciones básicas con números complejos.

Determino parcialmente el argumento o el módulo de un número complejo.

Represento con errores un número complejo en sus formas rectangular y polar.

Empleo parcialmente el Teorema de DeMoivre para determinar las potencias y raíces de un número complejo.

No determino los elementos de un número complejo en ninguna situación.

Realizo una de las operaciones básicas con números complejos.

Determino con errores el argumento o el módulo de un número complejo.

Represento con errores un número complejo en su forma rectangular o polar.

Empleo parcialmente el Teorema de DeMoivre para determinar las potencias o raíces de un número complejo.

No determino los elementos de un número complejo en ninguna situación.

No realizo ninguna de las operaciones básicas con números complejos.

No determino ni el argumento ni el módulo de un número complejo.

No represento correctamente un número complejo en sus formas rectangular ni polar.

No puedo emplear el Teorema de DeMoivre para determinar las potencias ni las raíces de un número complejo.

Muestro correcta claridad en el manejo de números complejos, sus elementos y propiedades.

iniciativa e interés propio la utilidad de los números complejos en diversas situaciones.

Muestro buena claridad en el manejo de números complejos, sus elementos y propiedades.

iniciativa o interés propio la utilidad de los números complejos en diversas situaciones.

Muestro poca claridad en el manejo de números complejos, sus elementos y propiedades.

poca iniciativa y poco interés, la utilidad de los números complejos en diversas situaciones.

en el manejo de números complejos, sus elementos y propiedades.

iniciativa o con poco interés, la utilidad de los números complejos en diversas situaciones.

Muestro errores en el manejo de números complejos, sus elementos y propiedades.

No aprendo la utilidad de los números complejos en diversas situaciones.

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