temas selectos 2

8/20/2019 Temas selectos 2

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Invariantes de Forma de las Texturas V́ıa S 3

Nelly Karina Pérez González

UAEH

Lic. en F́ısica Y Tecnoloǵıa Avanzada

Nelly Karina Pérez Gonz´ alez (UAEH) Texturas Lic. en F́ısica Y Tecnoloǵıa Avanzada 1 / 20

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Contenido

1 PreeliminaresMatrices similaresValores y vectores propiosMatrices diagonalizablesDiagonalización de matrices reales simétricas

2 Matrices de masaMatrices de masa de FritzschMatriz de masa simétricaMatriz que diagonaliza

3 Relaciones de equivalenciaClases de equivalencia


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Preeliminares Matrices similares

Matrices Similares

DeniciónUna matriz B es similar a otra A si existe una matriz no singular P tal que

B = P − 1AP

Si A y B son matrices similares, entonces[1]:

Tienen la misma trazaComparten el mismo determinanteA y B tienen el mismo polinomio caracteŕıstico


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Preeliminares Valores y vectores propios

Valores y vectores propios

Sea A una matriz n-cuadrada . Un escalar λ ∈ R se denomina valor propio de A siexiste un vector (columna) no nulo para el que ν ∈ R n tal que

Aν = λν

Todo vector ν que satisfaga esta relación es un vector propio de A pertenecienteal valor propio de λ . [1]


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Preeliminares Matrices diagonalizables

Matrices diagonalizables

Se dice que una matriz A es diagonalizable (bajo similaridad) si existe una matrizno singular P tal que D = P − 1AP es una matriz diagonal, es decir, A es similar auna matriz diagonal[1].

TeoremaLa matriz n-cuadrada A es similar a la matriz diagonal D si y solo si A tiene nvectores propios linealmente independientes. En tal caso, los elementos diagonalesde D son los valores propios correspondientes de P − 1AP , con P la matriz cuyascolumnas son los vectores propios [2].


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Preeliminares Diagonalizaci ón de matrices reales simétricas

Diagonalizaci ón de matrices reales simétricas

Hay muchas matrices reales A que no son diagonalizables (algunas de ellas sinningún valor propio real) [2].

TeoremaSea A una matriz real simétrica. Toda ráız λ de su polinomio caracteŕıstico es real.Ahora supongamos u, v vectores propios no nulos de A pertenecientes a valorespropios distintos. Entonces u y v son ortogonales, o sea, < u , v > = 0 [1].

Un resultado que es consecuencia del teorema anterior es el siguiente

Teorema

Sea A una matriz real simétrica. Existe una matriz ortogonal P tal queD = P − 1AP

es diagonal [1].


M t i d M t i d d F it h

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Matrices de masa Matrices de masa de Fritzsch

Matrices de masa de Fritzsch

En el año de 1977 para el estudio de las matrices de masa Harald Fritzsch propusoel formalismo de texturas. La idea central de Fritzsch es proponer y restringir lasentradas de las matrices de masa usando la información experimental, dejando aśı,el menor numero de parámetros libres[? ].Por la parte te órica tenemos que, no es posible determinar los elementos de lasmatrices de masa M u , M d ; las masas de los quarks estan denidas como (losvalores absolutos de) los valores propios de la matriz de masa, y en principiopediremos que sean reales [5].

M u =

0 C u 0C u ∗ B̃ u B u

0 B u ∗ Au , M d =

0 C d 0C d ∗ B̃ d B d

0 B d ∗ Ad (1)



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Omitiendo sub́ındices, denotamos las matrices de masa (hermı́ticas) anteriores por

M H =0 C 0

C ∗ B̃ B 0 B ∗ A

(2)

Es bien conocidos que M H puede ser descompuesta en

M = P †M H P q

dondeP = Diag {1, expφ C , expı(φ C + φ B )}

con φC y φB las fases de C y B respectivamente [5].


Matrices de masa Matriz de masa simétrica

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Matrices de masa Matriz de masa simetrica

Matriz de masa simétrica

Finalmente obtenemos M

M =0 |C | 0

|C | B̃ |B |0 |B | A

(3)

que es una matriz simétrica de entradas en los reales, donde, si u, v soneigenvalores pertenecientes a λ1, λ 2 (λ 1 = λ2) y u, v no nulos entonces u y v sonortogonales [3].Por tanto, existe una matriz O ortogonal tal que

D = O T MO

dondeO − 1 = O T

por ser ortogonal [1].



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yD =

λ 1 0 00 λ2 00 0 λ3

(4)

donde λ i (i = 1 , 2, 3) son los eigenvalores de las matrices de masa de los quarks y

pueden ser positivos o negativos (i.e., |λ 1 | = m1 | λ 2 | = m2 | λ 3 | = m3) [4].Por simplicidad, renombremos las entradas de la matriz M como sigue:

M =0 Z 0Z H I 0 I K

(5)





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Tenemos entonces que las matrices M y D son matrices similares que poseenmisma traza, determinante y el mismo polinomio caracteŕıstico [3].

tr M = tr D H + K = λ1 + λ 2 + λ 3

det M = det D

− Z 2K = λ 1λ 2λ 3P M (t ) = P D (t )

t 3 − (HK )t 2 + ( HK − I 2 − Z 2)t + Z 2K =

t 3

− (λ 1 + λ 2 + λ 3)t 2

− (λ 1λ 2 + λ 2λ 3 + λ 3λ 1)t − λ 1λ 2λ 3



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De las ecuaciones anteriores se obtienen las relaciones [4]

H = λ1 + λ 2 + λ 3 − K (6)

Z = − λ

1λ

2λ

3K (7)

I = (K − λ 1)(K − λ 2)(λ 3 − K )K (8)


Matrices de masa Matriz que diagonaliza



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Matriz que diagonaliza

Ahora estamos interesados en encontrar las entradas de la matriz ortogonal O. Las3 estradas de la primera columna de la matriz O las obtenemos calculando losvectores propios de la matriz M, es decir

(M − λ1

I )ν̄ = 0

− λ 1 Z 0Z H − λ 1 I 0 I K − λ 1

w x y

= 0 (9)

De donde resulta un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (w,x,y). De serposible se despeja cada incógnita o, a lo sumo, se expresan dos incógnitas entérminos de una tercera.



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Aśı, para la ultima expresión se obtiene la matriz

ν̄ 1 = 1 λ 1Z Z 2+ H λ 1− λ 12

ZI

T (10)

y normalizando esta matriz obtenemos los valores de la primera columna de lamatriz O

ν̄ 1n = 1| ν̄ 1 |λ 1

Z | ν̄ 1 |Z 2+ H λ 1− λ 12

ZI | ν̄ 1 |

T (11)

Note que H , I y Z pueden ser expresados en términos de λ i y K usando lasecuaciones (6), (7) y (8). Las dos columnas siguientes de la matriz O se obtienende manera similar.



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Finalmente obtenemos la matriz ortogonal O que diagonaliza a M [5]

O =

λ 2λ 3(K − λ 1)K (λ 2− λ 1)( λ 3− λ 1) λ 1λ 3(λ 2− K )K (λ 2− λ 1)( λ 3− λ 2) λ 1λ 2(K − λ 3)K (λ 3− λ 1)( λ 3− λ 2)

λ1(λ 1− K )(λ 2− λ 1)( λ 3− λ 1) λ

1(K − λ 2)K (λ 2− λ 1)( λ 3− λ 2) λ3(λ 3− K )K (λ 3− λ 1)( λ 3− λ 2)

λ 1(K − λ 2)( K − λ 3)K (λ 2− λ 1)( λ 3− λ 1) λ 2(K − λ 1)( λ 3− K )K (λ 2− λ 1)( λ 3− λ 2) λ 3(K − λ 1)( K − λ 2)K (λ 3− λ 1)( λ 3− λ 2)

(12)


Relaciones de equivalencia

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Relaciones de equivalencia

Las relaciones de equivalencia son relaciones entre los elementos de un conjuntocualquiera y su caracteŕıstica principal es que abstraen el concepto de igualdad. Laimportancia de estas relaciones consiste en que agrupan a los elementos delconjunto en diferentes clases, llamadas clases de equivalencia, de tal suerte quecada elemento pertenece a una y sólo una clase.

Deniciónuna relación R sobre un conjunto S se llama relaci´ on de equivalencia sobre S si esreexiva ( si a R a para todo a ∈ S ), simétrica (si cuando a R b también b R a) y

transitiva (si de a R b y b R a se sigue que a R c ).


Relaciones de equivalencia Clases de equivalencia

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Clases de equivalencia

La semejanza o similaridad es una relación de equivalencia en el espacio dematrices cuadradas. De esta manera el conjunto de matrices {A, B } tales que quecumplen que A = C · B · C − 1 queda dividido en clases llamadas clases deequivalencia.Recordemos la representación matricial del grupo S 3 dado por:

ρ0 =1 0 00 1 00 0 1

ρ1 =0 1 00 0 11 0 0

ρ2 =0 0 11 0 00 1 0

µ1 =1 0 00 0 10 1 0

µ2 =0 0 10 1 01 0 0

µ3 =0 1 01 0 00 0 1



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La siguientes es una representación de las matrices llamadas invariantes de forma ,las cuales ayudaran a hacer una clasicación de las texturas de 4 ceros.

Mρ 0 = ρ0T M ρ0 =0 Z 0Z H I 0 I K

M µ 1 = µ1T M µ1 =0 0 Z 0 K I Z I H

Mρ 1 = ρ1T M ρ1 =K 0 I 0 0 Z I Z H

M µ 2 = µ2T M µ2 =K I 0I H Z 0 Z 0

Mρ 2 = ρ2T M ρ2 =H I Z I K 0Z 0 0

M µ 3 = µ3T M µ3 =K I 0I H Z 0 Z 0



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Tabajo a futuro

Calcularemos la matriz O que diagonaliza a cada una de las matrices

obtenidas al aplicar el grupo S 3.Usando cada una de las matrices anteriores calcularemos la matriz V CKM queposteriormente sera comparada con lo te óricamente esperado.



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Referencias

Ayres, Frank. Álgebra Lineal. Ed. McGraw-Hill/Interamericana de México.Primera edición, 1991.

B. Fraleigh, John. ´ Algebra Abstracta . Ed. Adisson-Wesley Iberoamericana.Tercera edición, 1987.

Georgi, Howard. Lie Algebras in Particle Physics . Ed. Benjamin/CummingsPublishing Company. Segunda edición, 1982.

Criollo, A., Noriega-Papaqui, R. Foundations of texture Hermitic matrices and their implications in leptons and quarks .

Fritzsch, H., Xing, Z. Four-Zero Texture of Hermitian Quark Mass Matrices and Current Experimental Tests . (2002).

Young, H., Freedman, R. Fiśıca Universitaria, vol I . Ed. Adisson Wesley,Decimosegunda edición, 2011.


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