tema 4 empréstitos definición y magnitudes...
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Tema 4 Empréstitos
Definición y magnitudes fundamentales
Un empréstito es un préstamo de gran cuantía con un único deudor (Estado,
Comunidades Autónomas, Ayuntamientos, Entidades Públicas, Sociedades
privadas, etc.) y un número elevado de prestamistas (intermediarios
financieros e inversores particulares). Se trata de un préstamo dividido en
varios de igual cuantía, que se instrumentan en forma de títulos.
El título representativo de cada operación de préstamo recibe el nombre de
obligación (cada una de las partes iguales en que se divide el préstamo) y el
conjunto de los títulos, empréstito.
La fracción de capital que representa un título se llama valor nominal y
puede coincidir o no con el precio al que se oferta denominado valor o
precio de emisión.
Si denotamos por C el valor nominal de cada obligación y N1 el número de
obligaciones emitidas, la cuantía del empréstito sería de C0 = C N1 .
Los derechos de cada titulo-obligación son:
1) Si los títulos son préstamos americanos el tenedor de la obligación
percibirá intereses periódicamente (calculados sobre el valor
nominal) y cuando corresponda, la cantidad que cancela la deuda,
llamada valor de reembolso del título.
2) Cuando los títulos son préstamos elementales, el poseedor del título
tendrá derecho al valor de reembolso en el que estarán incluidos los
intereses acumulados hasta el momento de la amortización.
Notación y magnitudes.-
Además del capital prestado (C0) y los términos amortizativos (as) vamos a
denotar por:
C : valor nominal de una obligación
Rs : valor de reembolso de las obligaciones que se amortizan en s
Cs: Capital pendiente de amortizar en s
s : nº de títulos que se amortizan en los s primeros periodos
As : a la cuota de amortización del periodo s
Is : a la cuota de interés del periodo s
N1 : nº de títulos emitidos
Ms : nº de títulos que se amortizan en el periodo s
Ns : nº de títulos vivos o pendientes de amortización al principio del
periodo s (en s-1)
n : nº de periodos que dura la emisión del empréstito
as : término amortizativo que vence en s
Modalidades de empréstitos
Dependiendo de que la forma de pago de los intereses sea pospagable,
prepagable o acumulada, se clasifican los empréstitos en tres modalidades:
Modalidad a) Empréstitos con pago periódico de intereses pospagables o
vencidos: en ellos cada título-obligación es una operación de préstamo
americano con duración aleatoria o fija, formada por una prestación de
cuantía C y una contraprestación formada por pagos al final de cada
periodo C is en concepto de intereses y abono del valor de reembolso Cs en
el momento de la amortización.
Modalidad b) Empréstitos con pago periódico de intereses prepagables o
anticipados: en ellos cada título-obligación es una operación de préstamo
americano con duración aleatoria o fija, formada por una prestación de
cuantía C y una contraprestación formada por pagos al principio de cada
periodo C is en concepto de intereses y abono del valor de reembolso Cs en
el momento de la amortización.
Modalidad c) Empréstitos con pago de intereses acumulados: en ellos cada
título-obligación es un préstamo elemental con una prestación inicial C y
una contraprestación única Rs en el momento de la amortización, que
incluye los intereses acumulados hasta el vencimiento y la devolución del
principal prestado.
Empréstitos normales o puros (Rs = C)
Modalidad a) Empréstitos con pago periódico de intereses pospagables
Se caracterizan porque cada título-obligación es un préstamo americano
que da derecho al cobro periódico de intereses sobre el nominal del título y
a la devolución del capital prestado en la amortización del título.
Tipo I: as = a (constantes), is = i (constante). Se caracteriza porque el capital prestado C0 = C N1 se amortiza mediante el pago de una renta de términos amortizativos constantes (as = a) con un tipo de interés constante (is = i) a lo largo del plazo de amortización del préstamo. Podemos representar el préstamo de la forma:
Conocidos C0, i y n, se puede calcular a estableciendo la equivalencia entre prestación y contraprestación en el origen:
10 NCC
n
in
ini
iNC
a
NCaaaNC
)1(1
111
Análogamente se puede calcular Cs:
in
isns
in
isn
sn
isnss
a
aNN
a
aNC
i
iaaaNCC
111
)(
1
)1(1
Veamos que las cuotas de amortización As varían en progresión geométrica de razón 1+i siendo i el tanto de interés periódico del préstamo:
ssss MCiNCAIa
1111 ssss MCiNCAIa
Al coincidir los primeros miembros de las dos ecuaciones anteriores podemos igualar los segundos miembros de esas ecuaciones:
)1()( 11
11
iMMCiNNCM
MCiNCMCiNC
ss
M
sss
ssss
s
Aplicando la recurrencia s veces podemos expresar Ms+1 en función de M1:
s
sss iMiMiMM )1()1()1( 1
2
11
siendo:
in
n
n
in
s
N
iC
iiNCiNC
C
iNCa
NC
C
iNCaM
111
11
11
))1(1(
))1(1(
Para calcular Is+1 podemos usar:
])1(1[ )(
111
sn
sss iaMCaiNCI
El nº de títulos amortizados en los s primeros periodos será:
in
is
in
isnss
s
sN
a
aNNN 1111 )1(
Se cumplirán también:
sss
sss
MNN
M
1
1
Tipo II: 1) términos amortizativos variables en progresión aritmética.-
Se caracteriza porque la contraprestación es una renta de términos amortizativos variables en progresión aritmética de diferencia d, es decir:
1,,2,11 nsparadaa ss
Podemos representar gráficamente éste método de amortización de la siguiente manera:
Conocidos C0, n, i y d se puede calcular a1 a partir de la equivalencia entre prestación y contraprestación en el origen:
i
ndand
i
daNC in)( 11
De donde:
ndi
d
a
i
ndNC
ain
)( 1
1
Y por tanto:
daadaadaa nn 12312 ,,,
Análogamente se puede calcular el capital pendiente:
i
sndasnd
i
daNC isnss
)())(( 11
Para calcular las cuotas de amortización As :
sss MCiNCa
111 sss MCiNCa
Y restando la primera ecuación a la segunda:
C
diMM
MCMCiNNCaad
ss
ss
M
ssss
s
)1(
)(
1
111
Podemos calcular:
C
iNCaM 11
1
y a partir de él los demás Ms:
C
diMM
C
diMM
C
diMM nn )1(,,)1(,)1( 12312
Para calcular Is podemos usar:
sssss MCaIbienóiNCI :1
Tipo II: 2) términos amortizativos variables en progresión geométrica.-
Se caracteriza porque la contraprestación es una renta de términos amortizativos variables en progresión geométrica de razón q, es decir:
1,,2,11 nsparaqaa ss
Podemos representar gráficamente éste método de amortización de la siguiente manera:
Conocidos C0, n, i y q se puede calcular a1 a partir de la equivalencia entre prestación y contraprestación en el origen:
qisiqi
iqaNC
nn
1,1
)1(111
De donde:
qisiiq
qiNCa
nn1,
)1(1
)1(11
O bien:
qisii
naNC 1,
1
11
De donde:
qisin
iNCa 1,
)1(11
Y por tanto:
qaaqaaqaa nn 12312 ,,,
Análogamente se puede calcular el capital pendiente:
qisiqi
iqaNC
snsn
ss 1,1
)1(1 )(
11
O bien:
qisii
snaNC s
s 1,1
)(11
Para calcular los títulos a amortizar Ms :
sssss MCiNCAIa
11111 sssss MCiNCAIa
Y restando la primera ecuación a la segunda:
ssssssssss MCMCiNNCAIAIaa 11111 )(
De donde:
C
aaiNNMM ss
M
ssss
s
111 )(
Podemos calcular M1:
C
iNCaM 11
1
y a partir de él los demás Ms:
C
aaiMM
C
aaiMM
C
aaiMM nn
nn1
123
2312
12 )1(,,)1(,)1(
Para calcular Is podemos usar:
sssss MCaIbienóiNCI :1
Tipo II: 3) amortización del mismo número de títulos en cada periodo.-
Se caracteriza porque todos los Ms son de la misma cuantía, por tanto:
n
NMMMM n
121
Luego se puede calcular fácilmente:
n
Nsy
n
NsnN ss
111 )(
Veamos que los términos amortizativos varían en progresión
aritmética decreciente de diferencia n
iNCd 1
:
in
NC
n
NCiNC
n
NCi
n
NNC
n
NCiNCAIa
sa
ss
ssss
1111
11111
)(
Por tanto:
in
NCsai
n
NCaa ss
11
11
siendo:
n
NCiNCa 1
11
Análogamente se puede demostrar que las cuotas de interés siguen la misma ley de formación:
in
NCIi
n
NC
n
NCa
n
NCi
n
NCaAaI
ss
ssss
111
11111
siendo:
iNCI 11
Tipo III: as variables e is variables.-
Veamos cómo sería el proceso para el cálculo de magnitudes para el caso de una renta de 10 términos amortizativos de periodicidad anual que cumplen:
a1= a; a2 = a + h; a3 = a + h + k
Si la contraprestación está formada por los capitales financieros: (a1,1), (a1,2), (a1,3), (a2,4), (a2,5), (a2,6), (a3,7), (a3,8), (a3,9) y (a3,10) Y los tipos de interés pactados son i1 durante los 5 primeros años e i2 durante los 5 últimos años.
Si se conocen C, N1, i1, i2, h y k, se podrían calcular las cuantías de los términos amortizativos a partir de la equivalencia financiera entre prestación y contraprestación en el origen:
1
2
5
143
1
2
5
1
3
122311 )1()1(])1()1()1([211
iiaaiiiaaaaNC iii
Sustituyendo a1= a; a2 = a + h; a3 = a + h + k calcularíamos a y después a + h y a + h + k. Capital pendiente en distintos momentos de valoración:
En s = 2: 121
2
113 )1( isaiNCNC por el método retrospectivo.
En s = 5: 1
24326 )1(][2
iaaaNC i por el método prospectivo.
En s = 7: 2338 iaaNC por el método prospectivo.
Cálculo del nº de títulos a amortizar en cada vencimiento:
C
iNCaM 111
1
Aplicando la recurrencia válida en el caso de término amortizativo constante y tipo de interés constante (Tipo I), se pueden calcular:
)1()1( 123112 iMMyiMM
Para calcular M4 a partir de M3 despejaremos teniendo en cuenta la relación entre los términos amortizativos que vencen en 4 y en 5:
41412
3131
MCiNChaa
MCiNCa
Restando la 2º ecuación menos la 1ª tendremos:
C
hiMM
NNiCMCMCaah
M
)1(
)(
134
4313412
3
O sea la misma recurrencia obtenida en el caso de términos amortizativos variables en progresión aritmética de diferencia h y tipos de interés constantes (Tipo II: 1)). Seguiríamos calculando:
)1( 145 iMM
Para calcular M6 a partir de M5 despejaremos teniendo en cuenta la relación entre los términos amortizativos que vencen en 5 y en 6:
6262
5152
MCiNCa
MCiNCa
Igualando los segundos miembros de las ecuaciones anteriores:
)()1( 215256
626515
iiNiMM
MCiNCMCiNC
Calcularíamos M7 a partir de M6 de la misma manera que M4 a partir de M3 por cumplir las mismas condiciones de término que varia en
progresión aritmética de diferencia k en este caso y tipo de interés constante i2 en este caso:
C
kiMM
NNiCMCMCaak
M
)1(
)(
267
7626723
6
Terminaríamos calculando:
)1()1(;)1( 2910289278 iMMyiMMiMM
Modalidad c) Empréstitos con pago de intereses acumulados (cupón cero)
Se caracterizan porque cada título-obligación son préstamos elementales con una contraprestación única que comprende la devolución del principal prestado y el pago de intereses acumulados hasta el momento de la amortización del título.
Tipo I: as = a (constantes), is = i (constante). Se caracteriza porque el capital prestado C0 = C N1 se amortiza mediante el pago de una renta de términos amortizativos constantes (as = a) con un tipo de interés constante (is = i) a lo largo del plazo de amortización del préstamo. Podemos representar el préstamo de la forma:
Cada as consta de la cuantía necesaria para amortizar los Ms títulos que vencen en s, pagando los intereses acumulados hasta el momento de su amortización:
s
ssss iCCsiendoMCa )1(
Conocidos C0, i y n, se puede calcular a estableciendo la equivalencia entre prestación y contraprestación en el origen:
10 NCC
n
in
ini
iNC
a
NCaaaNC
)1(1
111
Análogamente se puede calcular Cs , teniendo en cuenta que el pago de intereses es acumulado, es decir, no se pagan intereses hasta el momento de amortización de la obligación:
s
in
isns
in
isn
sn
isns
s
s
ia
aNN
a
aNC
i
iaaaNiCC
)1(
)1(1)1(
111
)(
1
Veamos que el nº de títulos que se amortizan en s, Ms, varían en progresión geométrica de razón (1+i)-1 siendo i el tanto de interés periódico del préstamo:
1
1)1(
)1(
s
s
s
s
MiCa
MiCa
Igualando los segundos miembros de las dos ecuaciones y despejando obtenemos:
)1()1( 1
1
1iC
aMsiendoiMM ss
Se podrían calcular los Ms:
1
1
1
23
1
12 )1(;;)1(;)1( iMMiMMiMM nn
Conocidos los Ms se podrían calcular:
sss MNN 1
Tipo II: 1) términos amortizativos variables en progresión aritmética.-
Se caracteriza porque la contraprestación es una renta de términos amortizativos variables en progresión aritmética de diferencia d, es decir:
1,,2,11 nsparadaa ss
Podemos representar gráficamente éste método de amortización de la siguiente manera:
Conocidos C0, n, i y d se puede calcular a1 a partir de la equivalencia entre prestación y contraprestación en el origen:
i
ndand
i
daNC in)( 11
De donde:
ndi
d
a
i
ndNC
ain
)( 1
1
Y por tanto:
daadaadaa nn 12312 ,,,
Análogamente se puede calcular el capital pendiente en s:
i
sndasnd
i
daNiC isnss
s )())(()1( 11
Para calcular el nº de títulos a amortizar en s, Ms :
s
s
s MiCa )1(
1
1
1 )1( s
s
s MiCa
Y dividiendo la segunda ecuación entre la primera y despejando:
s
ss
s
sss
a
daiM
a
aiMM 111
1 )1()1(
Podemos calcular:
)1(
11
iC
aM
y a partir de él los demás Ms:
1
1
1
2
31
23
1
21
12 )1(,,)1(,)1(n
nnn
a
aiMM
a
aiMM
a
aiMM
Tipo II: 2) términos amortizativos variables en progresión geométrica.-
Se caracteriza porque la contraprestación es una renta de términos amortizativos variables en progresión geométrica de razón q, es decir:
1,,2,11 nsparaqaa ss
Podemos representar gráficamente éste método de amortización de la siguiente manera:
Conocidos C0, n, i y q se puede calcular a1 a partir de la equivalencia entre prestación y contraprestación en el origen:
qisiqi
iqaNC
nn
1,1
)1(111
De donde:
qisiiq
qiNCa
nn1,
)1(1
)1(11
O bien:
qisii
naNC 1,
1
11
De donde:
qisin
iNCa 1,
)1(11
Y por tanto:
qaaqaaqaa nn 12312 ,,,
Análogamente se puede calcular el capital pendiente en s:
qisiqi
iqaNiC
snsn
ss
s 1,1
)1(1)1(
)(
11
O bien:
qisii
snaNiC s
s
s 1,1
)()1( 1
1
Para calcular los títulos a amortizar Ms :
s
s
s MiCa )1(
1
1
1 )1( s
s
s MiCa
Y dividiendo la segunda ecuación entre la primera:
qiMa
aiMM s
s
sss
111
1 )1()1(
Podemos calcular M1:
)1(
11
iC
aM
y a partir de él los demás Ms:
qiMMqiMMqiMM nn
1
1
1
23
1
12 )1(,,)1(,)1(
Tipo II: 3) amortización del mismo número de títulos en cada periodo.-
Se caracteriza porque todos los Ms son de la misma cuantía, por tanto:
n
NMMMM n
121
Luego se puede calcular fácilmente:
n
Nsy
n
NsnN ss
111 )(
Veamos que los términos amortizativos varían en progresión geométrica de razón (1+i) al ser Ms constante:
1
1
1 )1(
)1(
s
s
s
s
s
s
MiCa
MiCa
Por tanto:
)1(1 iaa ss
siendo:
n
NiCa 1
1 )1(
Tipo III: as variables e is variables.-
Veamos cómo sería el proceso para el cálculo de magnitudes para el caso de una renta de 9 términos amortizativos de periodicidad anual que cumplen: a1= a; a2 = 2a ; a3 = 3a
Si la contraprestación está formada por los capitales financieros: (a1,1), (a1,2), (a1,3), (a2,4), (a2,5), (a2,6), (a3,7), (a3,8) y (a3,9) Si los tipos de interés pactados son i1 durante los 3 primeros años e i2 durante los 3 años siguientes e i3 durante los 3 últimos años.
Si se conocen C, N1, i1, i2, i3, se podrían calcular las cuantías de los términos amortizativos a partir de la equivalencia financiera entre prestación y contraprestación en el origen:
3
2
3
13
3
1331 )1()1(3)1(2321
iiaaiaaaaNC iii
Podríamos calcular los términos amortizativos a, 2 a y 3 a. Capital pendiente en distintos momentos de valoración: En s = 2:
1
1
3
23
1
13
1
13
2
1 )1()1(3)1(2)1()1(32
iiaaiaaiaNiC ii
por el método prospectivo.
En s = 5: 1
236
2
2
3
1 )1(]32[)1()1(3
iaaaNiiC i
por el método prospectivo.
En s = 7: 3283
3
2
3
1 3)1()1()1( iaaNiiiC
por el método prospectivo. Cálculo del nº de títulos a amortizar en cada vencimiento:
)1(1
iC
aM
;)1(;)1( 1
123
1
112 iMMiMM
a
aiMM
a
aiMM
a
aiMM
2)1(;
2)1(;
2)1( 1
256
1
245
1
234
a
aiMM
a
aiMM
a
aiMM
2
3)1(;
2
3)1(;
2
3)1( 1
389
1
378
1
367