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Diagonalización de matrices.

1. Diagonalización de matrices.

Definición 1.1

Sea A una matriz cuadrada, , decimos que es un autovalor de A si existe un vector no

nulo tal que En esta situación decimos que es un autovector de A

asociado al autovalor

Análogamente:

Sea A una matriz cuadrada, , decimos que un vector no nulo

autovector de A si existe un escalar tal que . En esta situación decimos que es un

autovalor de A asociado al autovector

Ejemplo 1.2 Consideremos la matriz

Comprobamos que es un autovalor de A asociado al autovector

Observaciones:

1) Por definición, NUNCA ES AUTOVECTOR

2) Por definición, un autovector tiene asociado un solo autovalor, pero un autovalor puede tener

asociado más de un autovector.

3) , es un autovalor de A existe un vector no nulo tal que

A existe un vector no nulo tal que existe un vector

no nulo tal que existe un vector no nulo

solución del sistema lineal homogéneo es compatible

indeterminado

Por tanto , es un autovalor de A

Proposición 1.3 (Cálculo de autovalores)

Sea A una matriz cuadrada, , los autovalores de A son las raíces del polinomio de grado n:

que recibe el nombre de polinomio característico de A.

Es decir, son las soluciones de la ecuación denominada ecuación característica de A.

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Nota: El número de veces que aparece un autovalor como solución de la ecuación característica recibe el

nombre de multiplicidad del autovalor y lo denotamos por .

Ejemplo 1.4 Vamos a ver cuáles son los autovalores de la matriz

Observación, para las matrices de orden 3x3 A= el polinomio característico se puede

calcurlar como:

donde:

Aplicando esta técnica al ejemplo anterior, si

= 4

= 0

Luego ⇨

3

Observación: Vamos a estudiar matrices en los que todas las soluciones de la ecuación característica son

números reales.

Proposición 1.5 (Cálculo de autovectores)

Sea A una matriz cuadrada, . Si es un autovalor de A entonces:

es un subespacio vectorial de denominado subespacio de autovectores de A asociado a .

está formado por todos los autovectores asociados a y por el vector nulo (que no es autovector).

Nota: Los autovectores asociados a un autovalor dado se calculan resolviendo el sistema de ecuaciones

homogéneo

Ejemplo 1.6

Volviendo al ejemplo 1.4, los autovalores de la matriz son

Vamos a calcular los autovectores asociados a , es decir, vamos a calcular

También podemos calcular las ecuaciones paramétricas de :

Una base y la dimensión de serán y

Vamos a calcular los autovectores asociados a , es decir, vamos a calcular

4

También podemos calcular las ecuaciones paramétricas de :

Una base y la dimensión de serán y

Proposición 1.7 Sea A una matriz cuadrada,

Autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes.

Si es un autovalor con multiplicidad , entonces

Consecuencia:

1) Si es un autovalor simple

2) Si es un autovalor doble

3) Si es un autovalor triple

Definición 1.8 Sea A una matriz cuadrada, .

Decimos que A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D= una

matriz regular, P , tal que .

La matriz P recibe el nombre de matriz de paso y la matriz D se llama matriz diagonal semejante a A.

Obsevación:

A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D= una matriz regular, P, tal

que ⇨ AP=PD.

Sean , , … , los vectores cuyas componentes son las columnas de P , es decir, P=

Por tanto como AP=PD ⇨ A ⇨

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= por tanto igualando columna a columna tenemos:

Además como , , … , son los vectores cuyas componentes son las columnas de P, se verifica

que , , … , son linealmente independientes, y como cada uno tiene n componentes, tenemos n vectores

linealmente independientes en se tiene B= es una base de formada por autovectores

de A. Además el proceso anterior es reversible, por tanto:

es diagonalizable existe una base de , B= formada por autovectores

de A

Por tanto para poder conseguir una base de formada por autovectores de A y teniendo en cuenta que

autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes , esto sólo será posible si para

cada autovalor podemos obtener tantos autovectores linealmente independientes como su multiplicidad.

Proposición 1.9 Sea A una matriz cuadrada, .

Sean sus autovalores con multiplicidades respectivas

A es diagonalizable si y sólo si

Nota:

1) Si un autovalor es simple, es decir tiene multiplicidad 1, se verifica que . Por lo tanto

para saber si una matriz es diagonalizable sólo hay que analizar los autovalores múltiples.

2) Si todos los autovalores de una matriz son simples entonces la matriz es diagonalizable.

3) Como :

Nota: Las matrices simétricas son siempre diagonalizables.

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Obtención de la matriz de paso

Sea

1) Se calculan los autovalores y su multiplicidad resolviendo la ecuación:

2) Para cada autovalor estudiamos el subespacio de autovectores asociado .

⟹

Nota:

Si el autovalor es simple no hace falta comprobarlo porque siempre se verifica que

Se recomienda empezar el estudio por los autovalores múltiples que son los que pueden fallar.

Si sólo nos interesa saber si la matriz es o no diagonalizable, el problema se termina aquí. En el caso de

ser diagonalizable hay que continuar si también queremos saber la matriz de paso.

3) Para cada autovalor resolvemos el sistema

Los pasos 2 y 3 se suelen hacer simultáneamente.

4) La matriz diagonal está formada por los autovalores colocados en la diagonal principal y repetidos tantas

veces como indica su multiplicidad, siendo el resto de elementos nulos.

5) La matriz de paso tiene por columnas los autovectores colocados en el mismo orden que los autovalores a los

que están asociados en la matriz diagonal.

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Ejercicio 1.10 Dada la matriz A, estudiar si es diagonalizable. En caso afirmativo obtener la matriz de paso

P de paso y la matriz diagonal D tal que .

Solución:

Paso 1: Se calculan los autovalores y su multiplicidad resolviendo la ecuación:

Paso 2: Para cada autovalor estudiamos el subesp. de autovectores asociado

Empezamos por el autovalor doble que es el que puede fallar:

Buscamos una base de

Por tanto: La matriz de paso es y la matriz diagonal D=

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Ejercicio 1.11 Dada la matriz A, estudiar si es diagonalizable. En caso afirmativo obtener la matriz P de

paso tal que .

Solución:

Paso 1: Se calculan los autovalores y su multiplicidad resolviendo la ecuación característica:

Paso 2: Para cada autovalor estudiamos el subesp. de autovectores asociado

Empezamos por el autovalor doble que es el que puede fallar:

Buscamos una base de

Por tanto:

La matriz de paso es y la matriz diagonal semejante D =

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Ejercicio 1.12 Dada la matriz A, estudiar si es diagonalizable. En caso afirmativo obtener la matriz de

paso

Solución:

Paso 1: Se calculan los autovalores y su multiplicidad resolviendo la ecuación característica:

Paso 2: Para cada autovalor estudiamos el subesp. de autovectores asociado .

Buscamos una base de

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Por tanto:

La matriz de paso es y la matriz diagonal semejante D =

Otra posibilidad: matriz de paso es y la matriz diagonal semejante D =

Otra posibilidad: matriz de paso es y la matriz diagonal semejante D =

etc….

Ejercicio 1.13 Dada la matriz A, estudiar si es diagonalizable. En caso afirmativo obtener la matriz P de

paso tal que .

Solución:

Paso 1: Se calculan los autovalores y su multiplicidad resolviendo la ecuación característica:

Paso 2: Para cada autovalor estudiamos el subesp. de autovectores asociado

Empezamos por el autovalor doble que es el que puede fallar:

.