tema 5 Álgebra lineal: diagonalización de endomorfismos

IntroduccionDiagonalizacion

Vectores y valores propios de una matrizMatrices diagonalizables

Diagonalizacion ortogonal

Diagonalizacion de endomorfismosEstudios de Ingenierıa

Juan Gabriel Gomila

Frogames

[email protected]

10 de febrero de 2016

Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizacion de endomorfismos




Indice

1 Introduccion

2 Diagonalizacion

3 Vectores y valores propios de una matrizDefinicionesCalculo de los valores y de los vectores propiosSubespacio propio asociado a un valor propioPropiedades de los valores y vectores propios

4 Matrices diagonalizablesCalculo de la matriz diagonal

5 Diagonalizacion ortogonal





1 Introduccion

2 Diagonalizacion

3 Vectores y valores propios deuna matriz

DefinicionesCalculo de los valores y delos vectores propios

Subespacio propioasociado a un valor propioPropiedades de los valoresy vectores propios

4 Matrices diagonalizablesCalculo de la matrizdiagonal






Introduccion

Antes de entrar matematicamente en el tema de la diagonalizacionde matrices cuadradas, se expondran algunas de las aplicacionesque tienen las matrices diagonales.Recuerdese que una matriz diagonal es una matriz cuadrada quetiene ceros en todos los elementos fuera de su diagonal principal.





Introduccion

La factoritzacion de una matriz dada A en funcion de otra matrizdiagonal D permite resolver problemas de analisis y estudio de lossistemas electricos, vibraciones, economıa, etcetera, que suelenvenir modelizados por ecuaciones diferenciales y en derivadasparciales.En esta factorizacion juegan un papel muy importante unosescalares denominados valores propios y unos tipos especiales devectores denominados vectores propios





Introduccion

Un tipo de aplicacion de la diagonalizacion de matrices seencuentra en el analisis de la solucion de un sistema dinamico a lolargo del tiempo.Un sistema se caracteriza por el estado de un conjunto de nvariables que lo determinan. Este conjunto se puede expresar comoun vector de Rn las componentes del cual expresan los valores deestas variables

(x1, x2, · · · , xn)

Si el estado evoluciona a lo largo del tiempo modificando su valor acada periodo (cada hora, dıa, mes,...) es muy comun que larelacion entre los estados del sistema se presenten de formarecursiva:





Introduccion

Xp+1 = A · Xp, donde A es una matriz cuadrada de orden n

Xp representa el estado del sistema en el periodo p

Xp+1 representa el estado del sistema en el periodo siguientep + 1

Entonces, basta con conocer el estado en el periodo inicial X0

(estado inicial del sistema) para poder calcular el estado delsistema en cualquier periodo.





Introduccion

En efecto, si se conoce el estado inicial X0, se puede conocer:

X1 = A · X0

X2 = A · X1 = A · (A · X0) = A2 · X0

· · ·

Xm = Am · X0

Por tanto, para conocer el estado del sistema en el periodo m esnecesario el calculo de la matriz Am. Este calculo, como ya sehabra imaginado, es bastante complicado y es difıcil noequivocarse. En cambio se simplifica bastante en el caso de que Asea diagonalizable (como se recordara del Tema 1 de matrices).





1 Introduccion

2 Diagonalizacion










Matrices semejantes

Matrices semejantes

Dos matrices A y A′ son semejantes si existe una matriz Pcuadrada invertible (con |P| 6= 0) tal que A′ = P−1 · A · P





Matrices semejantes

Piensese que todas las matrices semejantes constituyen las diversasrepresentaciones analıticas de un mismo endomorfismo f de unespacio vectorial E de dimension n en diferentes bases de E .





Matrices semejantes

Ası se plantea el problema de buscar la base de E en la cual f sepresenta de la forma mas sencilla posible. Debido a lascaracterısticas tan buenas que presentan las matrices diagonales, seintenta encontrar una base de E en la cual f este representada poruna matriz diagonal, es decir, dada una matriz A en una basecualquiera, se va a buscar una matriz diagonal semejante a ella.Este proceso recibira el nombre de diagonalizar la matriz o elendomorfismo.





Matrices diagonalizables

Matriz diagonalizable

Una matriz A es diagonalizable si es semejante a una matriz D; esdecir, si existe una matriz P regular tal que D = P−1 · A · P.No siempre es posible. Habra que estudiar en que condicionesexiste una matriz ası y respecto de que base representara elendomorfismo.





DefinicionesCalculo de los valores y de los vectores propiosSubespacio propio asociado a un valor propioPropiedades de los valores y vectores propios

1 Introduccion

2 Diagonalizacion












La teorıa que se vera a continuacion esta pensada para conseguirllegar a diagonalizar una matriz, pero no se ha de olvidar que estamatriz realmente representa un cierto endomorfismo en unadeterminada base.






Vectores propios

Vector propio (o autovector)

Dada una matriz cuadrada A ∈ Mn×n de tamano n los vectorescolumnas de la cual pertenecen a un espacio vectorial E dedimension n, un elemento ~x ∈ E es un vector propio de A si:

1 ~x 6= ~0 no es el vector nulo

2 Existe un escalar λ ∈ R tal que verifica A · ~x = λ~x

Geometricamente, un vector propio ~x es aquel que tiene la mismasdireccion que el vector A · ~x transformado por la matriz A.






Vectorer propios

Ejercicio 1

Demuestrese que ~x = (2,−1) es un vector propio de la matriz

B =

(4 41 4

).

Resulta que ~x sera un vector propio de la matriz si se cumple queB · ~x = λ~x para algun escalar λ.(

4 41 4

)(2−1

)=

(4−2

)Y como el vector (4,−2) resulta ser 2(2,−1), se dira B · ~x = 2~x ,entonces ~x es un vector propio de B.






Valores propios

Valor propio (o autovalor)

El escalar λ de la definicion anterior se denomina valor propioasociado al vector propio ~x . El conjunto de todos los vectores quesatisfacen la relacion A · ~x = λ~x reciben el nombre de conjunto devectores propios asociados al valor propio λ.






1 Introduccion

2 Diagonalizacion











Calculo de los valores y de los vectores propios

Se parte de la ecuacion matricial anterior:

A · ~x = λ~x

Que tambien se puede expresar como:

A · ~x − λ~x = ~0

O bien:(A− λI ) · ~x = ~0

Esta ecuacion representa un sistema homogeneo de n ecuacionesy n incognitas, con matriz de coeficientes A− λI







Si este sistema de ecuaciones de Cramer (n ecuaciones, nincognitas, de rango n con |A− λI | 6= 0) es compatible ydeterminado, su unica solucion sera la solucion trivial ~x = ~0.Si en cambio el sistema ha de tener soluciones diferentes de lasolucion trivial, entonces el determinante de A− λI ha de ser cero:

|A− λI | = 0

Es decir, existiran vectores propios de la matriz, unicamente en elcaso en que |A− λI | = 0.







Ejercicio 2

¿Tiene vectores propios la matriz A? 4 −1 62 1 62 −1 8







Se construye la matriz A− λI : 4− λ −1 62 1− λ 62 −1 8− λ

Se calculara el determinante:

|A− λI | = (9− λ)(2− λ)2

Por tanto el determinante es nulo para los valores de λ ∈ {2, 9}.Estos seran los dos valores propios de la matriz.

Los vectores ~x que verifiquen (A− 2I ) · ~x = ~0 seran losvectores propios asociados al propio λ1 = 2.

Los vectores ~x que verifiquen (A− 9I ) · ~x = ~0 seran losvectores propios asociados al valor propio λ2 = 9.







En el ejercicio que se acaba de hacer, se ha visto que el resultadode desarrollar el determinante |A− λI | es un polinomio en lavariable λ.

Polinomio caracterıstico de la matriz A

El polinomio caracterıstico de una matriz A es el polinomio degrado n que surge al calcular el determinante |A− λI |.

Ecuacion caracterıstica de una matriz A

La ecuacion caracterıstica de una matriz A es la que se obtiene aligualar su polinomio caracterıstico a cero: |A− λI | = 0.Las n soluciones de esta ecuacion son los valores propios de lamatriz.







Cuando la ecuacion caracterıstica es de grado n, tiene exactamenten soluciones, no necesariamente diferentes entre ellas. Por tanto, esconveniente acompanar cada raız del polinomio del numero deveces que esta es repetida.

Multiplicidad algebraica de los valores propios

Dado un valor propio λi de una matriz caracterıstica A− λI , sedenomina multiplicidad algebraica de λi al numero de veces queaparece como solucion de la ecuacion caracterıtica.

En el ejercicio anterior, el polinomio caracterıstico era(9− λ)(2− λ)2, por tanto:

El valor propio λ1 = 2 tiene multiplicidad algebraica 2

El valor propio λ2 = 9 tiene multiplicidad algebraica 1







Ejercicio 3

Calculense los autovalores de la matriz:

A =

1 1 01 −1 −10 2 1







A− λI =

1− λ 1 01 −1− λ −10 2 1− λ

El polinomio caracterıstico es λ2(1− λ).

La ecuacion caracterıstica es λ2(1− λ) = 0.

Los valores propios son λ1 = 0 con multiplicidad algebraica 2,y λ2 = 1 con multiplicidad algebraica algebraica 1.







Una vez se han calculado todos los valores propios tocara calcularel conjunto de vectores propios asociados a cada valor propio. Paraello se resolvera para cada valor propio λi el sistema homogeneosiguiente:

(A− λi I ) · ~x = ~0







Ejericio 4

Calculense los vectores propios de la matriz:

A =

2 −2 12 −8 −21 2 2







A− λI =

2− λ −2 12 −8− λ −21 2 2− λ

Los valores propios son λ1 = 0, λ2 = 3, λ3 = −7 con multiplicidadalgebraica 1 los tres.

Los vectores propios ~x asociados al valor propio λ1 = 0 sonlos que cumplen (A− 0I ) · ~x = ~0.

Los vectores propios ~x asociados al valor propio λ2 = 3 sonlos que cumplen (A− 3I ) · ~x = ~0.

Los vectores propios ~x asociados al valor propio λ3 = −7 sonlos que cumplen (A + 7I ) · ~x = ~0.







Para λ1 = 0:(A− 0I ) · ~x = ~0

Tiene por solucion la familia de vectores:

(−z ,−z/2, z)







Para λ2 = 3:(A− 2I ) · ~x = ~0


(z , 0, z)







Para λ3 = −7:(A + 7I ) · ~x = ~0


(−z ,−4z , z)






1 Introduccion

2 Diagonalizacion











Subespacio propio asociado a un valor propio

Se puede demostrar que:

Si ~x , ~x ′ son dos vectores propios cualesquiera de la matriz Aasociada al mismo valor propio λ, entonces su suma ~x + ~x ′

tambien es un vector propio de A asociado al mismo valorpropio λ.

Si ~x es un vector propio de la matriz A asociada al valorpropio λ, tambien lo es cualquier otro vector de la forma µ~xdonde µ es un escalar no nulo.







Tengase en cuenta el teorema de caracterizacion del subespacio (lasuma de dos vectores del subconjunto pertenece al subconjunto, yel producto de un escalar por un vector del subconjunto es delsubconjunto):


Los conjuntos de los vectores propios asociados al mismo valorpropio λ junto con el vector ~0, constituyen un subespacio vectorialde E denominado subespacio propio asociado al valor propio λ.

Multiplicidad geometrica de un valor propio

La multiplicidad geometrica de un valor propio λi es la dimensionde su subespacio propio asociado.







Ejercicio 5

Dada la matriz:

A =

4 1 11 4 11 1 4

Encuentrense los autovalores, y los subespacios propios asociados acada uno de ellos.







A− λI =

4− λ 1 11 4− λ 11 1 4− λ

El polinomio caracterıstico es |A− λI | = (3− λ)2(6− λ), que tieneel autovalor λ1 = 3 con multiplicidad algebraica 2 y el autovalorλ2 = 6 con multiplicidad algebraica 1.







Los vectores propios ~x asociados al valor propio λ1 = 3 son los quecumplen (A− 3I )~x = ~0

A− 3I =

1 1 11 1 11 1 1

Entonces, (A− 3I )~x = ~0 dara la misma ecuacion tres veces, un SCIcon dos grados de libertad:

x + y + z = 0⇒ x = −y − z







El subespacio propio asociado a λ1 = 3 sera:

H1 = 〈(x , y , z)〉 = 〈(−y − z , y , z)〉 = 〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉

Como son dos vectores no proporcionales, son LI y por tanto sonuna base de H1, donde dim H1 = 2







Los vectores propios ~x asociados al valor propio λ1 = 6 son los quecumplen (A− 6I )~x = ~0

A− 6I =

−2 1 11 −2 11 1 −2

Entonces, (A− 6I )~x = ~0 dara dos ecuaciones diferentes, un SCIcon un grado de libertad:

x = y = z







El subespacio propio asociado a λ2 = 6 sera:

H2 = 〈(x , y , z)〉 = 〈(x , x , x)〉 = 〈(1, 1, 1)〉

Como solo se tiene un vector no nulo, es LI y por tanto es unabase de H2, donde dim H2 = 1






1 Introduccion

2 Diagonalizacion











Propiedades de los valores y vectores propios

Propiedades

La suma de los n valores propios de una matriz es igual a sutraza.

Los valores propios de una matriz y de su transpuestacoinciden.

El product de los n valores propios de una matriz es igual alde su determinante.







Propiedades

Dos matrices tienen la misma ecuacion caracterıstica, y portanto los mismos valores propios con el mismo grado demultiplicidad.

Una matriz triangular tiene como valores propios loselementos de la diagonal principal.

A valores propios diferentes les corresponden vectores propioslinealmente independientes.

Un mismo vector propio no puede estar asociado a dos valorespropios diferentes.







Teorema

La dimension del subespacio propio Hi asociado al valor propio λies mayor o igual que 1 y menor o igual que el orden multiplicidad(o multiplicidad algebraica), ni del valor propio.

1 ≤ dim(Hi ) ≤ ni

Corolario

Si la multiplicidad algebraica del valor propio es 1 (ni = 1), ladimension del correspondiente subespacio propio (multiplicidadgeometrica) sera tambien 1:

1 ≤ dim(Hi ) ≤ ni = 1⇒ dim(Hi ) = 1







Teorema

Dados λ1, λ2, · · · , λr , valores propios diferentes de la matrizA ∈ Mn×n(R) y ~u1, ~u2, · · · , ~ur los vectores propios asociados a ella,entonces ~u1, ~u2, · · · , ~ur son linalmente independentes.

Teorema

Si la matriz A ∈ Mn×n(R) formada por vectores de un espaciovectorial E tiene n valores propios, tambien tendra n vectorespropios que seran linealmente independientes: ~u1, ~u2, · · · , ~un.Ademas, como n vectores LI de un espacio de dimension finita nson base, ~u1, ~u2, · · · , ~un seran una base de E .





Calculo de la matriz diagonal

1 Introduccion

2 Diagonalizacion











Definicion

Recuerdese el comentario que se ha hecho sobre que una matriz Aes diagonalizable si existe una matriz D diagonal semejante a ella.A y D son semejantes si se peude establecer entre ellas unaigualdad D = Q−1 · A · Q, donde Q es una matriz regular.

Teorema

Una matriz A ∈ Mn×n es diagonalizable si y solo si tiene n vectorespropios linealmente independentes.Equivalentmente, la condicion necesaria y suficiente para que unamatriz sea diagonalizable es que exista una base del espaciovectorial formada por los vectores propios de la matriz dada.







Corolario

Si la matriz A tiene n valores propios diferentes. Habra n vectorespropios LI, y como consecuencia A sera diagonalizable.

Ejercicio 6

Estudiense los valores propios de la matriz B:

B =

2 0 20 −1 02 0 −1

¿Es B diagonalizable?







B − λI =

2− λ 0 20 −1− λ 02 0 −1− λ

El polinomio caracterıstico es:

−(1 + λ)(λ− 3)(λ+ 2)

Por tanto los valores propios son λ1 = −1, λ2 = 3, λ3 = −2. Comose esta en un espacio vectorial de dimension 3, si hay 3 valorespropios reales y diferentes, la matriz sera diagonalizable.







Llegados a este punto, se esta en condiciones de enunciar elteorema que permite saber que ha de pasar para que una matrizsea diagonalizable:

Teorema

La condicion necesaria y suficiente para que una matriz A seadiagonalizable es que para cada valor propio λi su orden demultiplicidad ni coincida con su multiplicidad geometrica dim(Hi ):

dim(Hi ) = ni ∀ λi







De esta manera, si la matriz tiene valores propios diferentesλ1, λ2 · · · , λr uniendo las bases de todos los subespaciosvectoriales propios H1,H2, · · · ,Hn se obtiene una base en E

{BH1 ∪ BH2 ∪ · · · ∪ BHr } = BE







En resumen, A es diagonalizable si todos los valores propiospertenecen a los numeros reales y:

Todos ellos son diferentes o bien,

son multiples y las multiplicidades algebraicas y geometricasson iguales.

Ademas la matriz D tiene como elementos de la diagonal principallos valores propios de la matriz A y cumplen la igualdad

D = (VP)−1 · A · (VP)

donde la matriz VP es la matriz que tiene por columnas los nvectores propios LI de la matriz A.






1 Introduccion

2 Diagonalizacion












Procedimiento para diagonalizar una matriz A

1 Encontrar el polinomio caracterıstico

2 Obtener las raıces de la ecuacion caracterıstica, es decir losvalores propios λi y sus ordenes de multiplicidad ni .

3 Resolver para cada λi el sistema (A− λi I )~x = ~0 paraencontrar los vectores propios y los subespacios propios.

4 Si ni = dim(Hi ) ∀λi , entonces la matriz diagonalizable.

5 La matriz D tiene como elementos de la diagonal principal losvalores propios de la matriz A y D = (VP)−1 · A · (VP) dondela matriz VP es la matriz que tiene por columnas los nvectores propios LI de la matriz A colocados siguiendo elmismo orden que los valores propios en la matriz D.







Ejercicio 7

Diagonalizar la matriz

B =

2 0 20 −1 02 0 −1







De un ejemplo anterior se sabe que los valores propios sonλ1 = −1, λ2 = 3, λ3 = −2 y los subespacios propios:

H1 = 〈(0, 1, 0)〉,H2 = 〈(2, 0, 1)〉,H3 = 〈(1, 0,−2)〉

Por tanto:

D =

−1 0 00 3 00 0 −2

,VP =

0 2 11 0 00 1 −2

Ejercicio 8

Calculese (VP)−1 y demuestrese que D = (VP)−1 · A · (VP)







La solucion es:

VP−1 =1

5

0 5 02 0 11 0 −2

Y si se hace el producto (VP)−1 · A · (VP) se compruebafacilmente que la solucion es D.







Ejercicio 9

Diagonalıcese la matriz

C =

−1 3 03 −1 00 0 2








(2− λ)(λ− 2)(λ+ 4)

Y por tanto los valores popios son λ1 = −4 con multiplicidadn1 = 1 y λ2 = 2 con n2 = 2. Los espacios propios son:

H1 = 〈(1,−1, 0)〉,H2 = 〈(1, 1, 0), (0, 0, 1)〉Por tanto, dim(Hi ) = ni para ambos y:

D =

−4 0 00 2 00 0 2

,VP =

1 1 0−1 1 00 0 −1

Ejercicio 10

Calculese (VP)−1 y demuestrese que D = (VP)−1 · A · (VP)







La solucion es:

VP−1 =1

2

1 −1 01 1 00 0 2

Y si se hace el producto (VP)−1 · A · (VP) se compruebafacilmente que la solucion es D.







Ejercicio 11

Diagonalıcese la matriz

A =

6 0 02 6 02 2 8








(8− λ)(6− λ)2

Y por tanto los valores propios son λ1 = 6 con multiplicidadn1 = 2 y λ2 = 8 con n2 = 1.Si se calcula, el subespacio propio H1 viene generado por el vector(0,−1, 1) y por tanto:

1 = dim(H1) < 2 = n1

Por ello, los valores son diferentes y se puede concluir que la matrizA no es diagonalizable.





1 Introduccion

2 Diagonalizacion











Las matrices reales simetricas son siempre diagonalizables es decir,tienen una base de vectores propios. Y no solo eso, sino quesiempre tienen una base de vectores propios ortonormales (es decir,sus vectores son ortogonales dos a dos y unitarios).






Matriz ortogonal

Una matriz cuadrada Q dıcese ortogonal si se cumple que suinversa y su transpuesta son iguales:

Qt = Q−1






Matriz ortogonalmente diagonalizable

Dıcese que una matriz cuadrada A es ortogonalmentediagonalizable si existe una base de vectores propios ortonormales.Esto equivale a decir que existe una matriz Q ortogonal tal que

Qt · A · Q

es una matriz diagonal formada por los valores propios de A






Teorema

Si A es una matriz cuadrada real simetrica de tamano n, entoncesse verifica:

1 Todos los valores propios de la matriz son reales.

2 Los vectores propios asociados a los valores propios diferentesson ortogonales.

3 Tiene n vectores propios, es decir es diagonalizable.

4 Tiene n vectores propios ortonormales; es decir, esortogonalmente diagonalizable.






Ejercicio 12

Diagonalıcese ortogonalmente la matriz

B =

2 0 20 −1 02 0 −1






En un ejercicio anterior se ha visto que los valores propios de estamatriz eran λ1 = −1, λ2 = 3, λ3 = −2 y que los subespaciospropios vienen generados por:

BH1 = {~u1} = {(0, 1, 0)}

BH2 = {~u2} = {(2, 0, 1)}

BH3 = {~u3} = {(1, 0,−2)}

Uniendo las tres bases se tiene una base del espacio vectorial total:

B = {~u1, ~u2, ~u3}






Si se hacen los productos escalares pertinentes resulta que:

~u1 · ~u2 = (0, 1, 0) · (2, 0, 1) = 0

~u1 · ~u3 = (0, 1, 0) · (1, 0,−2) = 0

~u2 · ~u3 = (2, 0, 1) · (1, 0,−2) = 0

B es una base ortogonal. Para que sea ortogonalmentediagonalizable, solo resta comprobar que sean unitarios.

||~u1|| = 1, ||~u2|| =√

5, ||~u3|| =√

5






Por tanto, una base ortonormal es:

B =

{(0, 1, 0),

(2√5, 0

1√5

),

(1√5, 0,−2√

5

)}Y por ello la matriz ortogonal de vectores propios es:

(VP)ort =

0 2√5

1√5

1 0 00 1√

5−2√

5






Finalmente, se puede comprobar que (VP)tort · B · (VP)ort = D 0 1 02√5

0 1√5

1√5

0 −2√5

2 0 2

0 −1 02 0 −1

0 2√

51√5

1 0 00 1√

5−2√

5

=

−1 0 00 3 00 0 −2






Ejercicio 13

Diagonalizar ortogonalmente la matriz

A =

4 1 11 4 11 1 4






En un ejercicio anterior se ha visto que los valores propios de estamatriz eran λ1 = 3 con multiplicidad algebraica n1 = 2 y λ2 = 6con n2 = 1

BH1 = {(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)}

BH2 = {(1, 1, 1)}

Si se unen las dos bases se tiene una base del espacio vectorialtotal:

B = {~u1, ~u2, ~u3} = {(−1, 1, 0), (−1, 0, 1), (1, 1, 1)}






Si se hacen los productos escalares pertinentes, resulta que:

~u1 · ~u2 = (−1, 1, 0) · (−1, 0, 1) = 1 6= 0

~u1 · ~u3 = (−1, 1, 0) · (1, 1, 1) = 0

~u2 · ~u3 = (−1, 0, 1) · (1, 1, 1) = 0

B no es una base ortogonal. Habra que comenzar porortogonalizarla con el teorema de Gram-Smith.






~c1 = ~u1 = (−1, 1, 0)

~c2 = ~u2 −~c1 · ~u2

~c1 · ~c1~c1 =

= (−1, 0, 1)− (−1, 1, 0) · (−1, 0, 1)

(−1, 1, 0) · (−1, 1, 0)(−1, 1, 0) =

(−1

2,−1

2, 1

)Como ~u3 ya era ortogonal a ~u1 y ~u2, por definicion tambien los es,ya que~c1, ~c2:

Bort =

{(−1, 1, 0),

(−1

2,−1

2, 1

), (1, 1, 1)

}






Se halla la norma de cada uno de los vectores y se dividen por estevalor para obtener los vectores unitarios.

Bort−uni =

{(−1√

2,

1√2, 0),

(−1√

6,−1√

6,

2√6

), (

1√3,

1√3,

1√3

)

}La matriz ortogonal de vectores propios resulta:

A =

−1√

2−1√

61√3

1√2−1√

61√3

0 2√6

1√3

Finalmente, se recuerda que se puede comprobar(VP)tort · A · (VP)ort para ver si se ha incurrido en algun error.


tema 5 Álgebra lineal: diagonalización de endomorfismos

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