ejercicios resueltos diagonalización de matrices

DIAGONALIZACIN

Ejercicio 1

Dada la matriz:

A =2 !1 30 1 20 0 3

"

#

$$

%

&

''

a) Prubese que es diagonalizable.

Una matriz es diagonalizable si:

1) Tiene todos sus autovalores distintos.2) Si la suma de las dimensiones de los subespacios asociados a los autovectores de la

matriz coincide con la dimensin de la matriz A.

Por tanto calculamos en primer lugar sus autovalores, que son las races del polinomio caractersticoP(!) de la matriz.

P(!) = A " !I =2 " ! "1 30 1" ! 20 0 3" !

= (2 " !)(1" !)(3" !)

Observando el polinomio, sus races son 1, 2 y 3. Puesto que son distintas, A es diagonalizable.

b) Bsquese una base de autovectores.

Para encontrar una base de autovectores es necesario buscar una base a cada subespacio vectorial L(!i ) asociado a cada autovalor !i . Por tanto, tenemos los siguientes subespacios:

Subespacio para el autovalor ! = 2

L(! = 2) = {x "!3 / (A # 2I )X= 0}0 #1 30 #1 20 0 1

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

)) *

#y + 3z = 0#y + 2z = 0z = 0

+,-

.-*

z = 0y = 0x= t

+,-

.-

Por tanto una base para dicho subespacio sera:

t00

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)=

100

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)


L(! = 1) = {x "!3 / (A # I )X= 0}1 #1 30 0 20 0 2

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

x # y + 3z = 02z = 02z = 0

+,-

.-*

z = 0y = tx= y = t

+,-

.-


tt0

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)=

110

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)


L(! = 3) = {x "!3 / (A # 3I )X= 0}#1 #1 30 #2 20 0 0

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

#x # y + 3z = 0#2y + 2z = 0

+,-

*z = ty = z = tx= 2y = 2t

+,.

-.


2ttt

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)=

211

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)

Una vez que hemos encontrado una base para cada subespacio, la base de autovectores obtenida es la formada por el conjunto de todos ellos. Dicha base se representa por medio de la matriz P:

P =1 1 20 1 10 2 1

!

"

##

$

%

&&

c) Comprubese que A = PDP!1

Sabemos que:

P =1 1 20 1 10 0 1

!

"

##

$

%

&&

D =2 0 00 1 00 0 3

!

"

##

$

%

&&

Necesitamos calcular P!1 , para lo cual empleamos la frmula:

P!1 = 1P (adj(P))t

P =1 1 20 1 10 0 1

= 1

adj(a11) = 1 adj(a12 ) = 0 adj(a13) = 0adj(a21) = !1 adj(a22 ) = 1 adj(a23) = 0adj(a31) = !1 adj(a32 ) = !1 adj(a33) = 1

(adj(A))t =1 !1 !10 1 !10 0 1

"

#

$$

%

&

''

Por tanto:

P!1 = 11 "1 !1 !10 1 !10 0 1

#

$

%%

&

'

((

Ahora ya solo queda comprobar que:

A =2 !1 30 1 20 0 3

"

#

$$

%

&

'' =

1 1 20 1 10 0 1

"

#

$$

%

&

''

2 0 00 1 00 0 3

"

#

$$

%

&

''

1 !1 !10 1 !10 0 1

"

#

$$

%

&

'' =

=1 1 20 1 10 0 1

"

#

$$

%

&

''

2 !2 !20 1 !10 0 3

"

#

$$

%

&

'' =

2 !1 30 1 20 0 3

"

#

$$

%

&

''

Ejercicio 2

Para cada una de las siguientes matrices:

A = 1 !10 1"#$

%&';B = 1 !1

!1 1"#$

%&';

C =1 0 40 2 02 0 !1

"

#

$$

%

&

'';

D =2 0 10 2 !10 0 3

"

#

$$

%

&

'';E =

1 0 20 !1 10 0 2

"

#

$$

%

&

''

Averiguar si es diagonalizable y en ese caso hallar la relacin entre la matriz y su matriz diagonal semejante.

a) A = 1 !10 1"#$

%&'

Calculamos su polinomio caracterstico:

P(!) = A " !I = 1" ! "10 1" ! = (1" !)(1" !)

Observamos que su nica raiz es ! = 1 por lo que para que fuese diagonalizable, el subespacio asociado a dicho autovalor debera tener dimensin 2.

Sea:

L(! = 1) = {x "!3 / (A # I )X= 0}0 #10 0

$%&

'()

xy

$

%&

'

() =

00

$%&

'()* #y = 0{ * y = 0x = t

+,-


t0

!"#

$%&

'()

*)

+,)

-)= 10

!"#

$%&

'()

*)

+,)

-)

Al tener dimensin 1, A no es diagonalizable.

b) B = 1 !1!1 1

"#$

%&'


P(!) = B " !I = 1" ! "1"1 1" ! = (1" !)(1" !) "1

Calculado el polinomio caracterstico obtenemos sus races:

P(!) = 01+ !2 " 2! "1 = 0# !2 " 2! = 0# !(! " 2) = 0

Observamos que sus races son ! = 0,! = 2 . Al tener races distintas la matriz B es diagonalizable.

A continuacin calcularemos una base para cada subespacio asociado a cada autovalor. Esto nos permitir obtener los autovectores.


Sea:

L(! = 0) = {x "!3 / (B # 0I )X= 0}1 #1#1 1

$%&

'()

xy

$

%&

'

() =

00

$%&

'()*

x # y = 0#x + y = 0

+,-

*x = ty = x = t

+,-


tt

!"#

$%&

'()

*)

+,)

-)= 11

!"#

$%&

'()

*)

+,)

-)


Sea:

L(! = 2) = {x "!3 / (B # 2I )X= 0}#1 #1#1 #1

$%&

'()

xy

$

%&

'

() =

00

$%&

'()*

#x # y = 0#x # y = 0

+,-

*x = ty = #x = #t

+,-


t!t

"#$

%&'

()*

+*

,-*

.*= 1

!1"#$

%&'

()*

+*

,-*

.*

Finalmente queda la siguiente relacin: A = PDP!1 , siendo:

D = 2 00 0!"#

$%&

P = 1 1!1 1

"#$

%&'

c) C =1 0 40 2 02 0 !1

"

#

$$

%

&

''


P(!) = C " !I =1" ! 0 40 2 " ! 02 0 "1" !

= (1" !)(2 " !)("1" !) " (4 #2 # (2 " !)) =

= (2 " ! " 2! + !2 )("1" !) " 8 # (2 " !) = "2 " 2! + ! + !2 + 2! + 2!2 " !2 " ! 3 "16 + 8! == "18 + 9! + 2!2 " ! 3

A continuacin calculamos las races del polinomio caracterstico. Es decir:

P(!) = 0

Para ello aplicamos Ruffini, obteniendo como autovalores:

! = 2! = 3! = "3

#$%

&%

Al tener autovalores distintos la matriz es diagonalizable.

A continuacin buscaremos la base de autovectores, para lo cual es necesario encontrar una base para cada uno de los subespacios asociados a los autovalores calculados.


L(! = 2) = {x "!3 / (C # 2I )X= 0}#1 0 40 0 02 0 #3

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

#x + 4z = 02x # 3z = 0

+,-

*y = tx = 0z = 0

+,.

-.


0t0

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)=

010

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)


L(! = 3) = {x "!3 / (C # 3I )X= 0}#2 0 40 #1 02 0 #4

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

#2x + 4z = 0#y = 02x # 4z = 0

+,-

.-*

y = 0z = tx = 2t

+,-

.-


2t0t

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)=

201

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)

Subespacio para el autovalor ! = "3

L(! = "3) = {x #!3 / (C + 3I )X= 0}4 0 40 5 02 0 2

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

4x + 4z = 05y = 02x + 2z = 0

+,-

.-*

y = 0z = tx = "z = "t

+,-

.-


!t0t

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*=

!101

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*

Finalmente queda la siguiente relacin: C = PDP!1 , siendo:

D =2 0 00 3 00 0 !3

"

#

$$

%

&

''

P =0 2 !11 0 00 1 1

"

#

$$

%

&

''

d) D =2 0 10 2 !10 0 3

"

#

$$

%

&

''


P(!) = D " !I =2 " ! 0 10 2 " ! "10 0 3" !

= (2 " !)(2 " !)(3" !);

Observamos que tiene como autovalores ! = 2,! = 2,! = 3 . Al estar repetidos, no podemos asegurar que sea diagonalizable, sino que es necesario comprobar que la suma de las dimensiones de los subespacios asociados a los autovalores de la matriz coincide con la dimensin de la matriz A, es decir, con 3.


L(! = 2) = {x "!3 / (D # 2I )X= 0}0 0 10 0 #10 0 1

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))* z = 0{ *

x = ty = vz = 0

+,-

.-


t00

!

"

##

$

%

&&,0v0

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)=

100

!

"

##

$

%

&&,010

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)

Al estar la base formada por dos elementos, la dimensin de este subespacio es 2.


L(! = 3) = {x "!3 / (D # 3I )X= 0}#1 0 10 #1 #10 0 0

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

#x + z = 0#y # z = 0

+,-

*x = ty = #z = #tz = t

+,.

-.


t!tt

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*=

1!11

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*

Al estar la base formada por un elemento, la dimensin de este subespacio es 1.

Sumando las dimensiones de ambos subespacios comprobamos que 3, que coincide con la dimensin de D y por tanto la matriz es diagonalizable, cumpliendo adems la relacin:

A = PDP!1

Siendo:

D =2 0 00 2 00 0 2

!

"

##

$

%

&&

P =1 0 10 1 !10 0 1

"

#

$$

%

&

''

e) E =1 0 20 !1 10 0 2

"

#

$$

%

&

''


P(!) = E " !I =1" ! 0 20 "1" ! 10 0 2 " !

= (1" !)("1" !)(2 " !);

Por tanto los autovalores son:

! = 1! "1! = 2

#$%

&%

Al ser todos distintos la matriz es diagonalizable. A continuacin encontraremos la base de autovectores analizando la base de cada uno de los subespacios asociados a los autovalores.


L(! = 1) = {x "!3 / (E # I )X= 0}0 0 20 #2 10 0 1

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

2z = 0#2y + z = 0

+,-

*x = ty = 0z = 0

+,.

-.


t00

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)=

100

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)


L(! = "1) = {x #!3 / E + I )X= 0}2 0 20 0 10 0 3

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

z = 02x + 2z = 0

+,-

*x = 0y = tz = 0

+,.

-.


0t0

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)=

010

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)


L(! = 2) = {x "!3 / E # 2I )X= 0}#1 0 20 #3 10 0 0

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

#3y + z = 0#x + 2z = 0

+,-

*x = 6y = 6ty = tz = 3y = 3t

+,.

-.


6tt3t

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)=

613

!

"

##

$

%

&&

'

()

*)

+

,)

-)

Finalmente queda la siguiente relacin: C = PDP!1 , siendo:

D =1 0 00 !1 00 0 2

"

#

$$

%

&

''

P =1 0 60 1 10 0 3

!

"

##

$

%

&&

Ejercicio 3

Calclese An , siendo

A =2 0 30 0 0!1 1 !2

"

#

$$

%

&

''

A la hora de calcular An es necesario en primer lugar obtener su matriz diagonal semejante, puesto que partiendo de:

A = PDP!1

Se deduce que:

An = (PDP!1)(PDP!1)(PDP!1)(PDP!1).....(PDP!1) = PDnP!1

Y adems por ser D diagonal su potencia ensima es trivial:

D =a1 0!

0 an

!

"

###

$

%

&&&' Dn =

an1 0!

0 ann

!

"

###

$

%

&&&

Para diagonalizar la matriz A primero obtendremos las races de su polinomio caracterstico:

P(!) = A " !I =2 " ! 0 30 "! 0"1 1 "2 " !

= (2 " !)("!)("2 " !) " 3! = "! 3 + 4! " 3! = "! 3 + !;

P(!) = 0# ! 3 " ! = 0# !(!2 "1) = 0

Es decir, tenemos como autovalores:

! = 0! = 1! = "1

#$%

&%

Hecho esto procederemos a construir la matriz P, que se obtiene a partir de los autovectores asociados a los autovalores obtenido. Dichos autovectores se calculan mediante los subespacios que se generan a partir de los autovalores.


L(! = 0) = {x "!3 / AX= 0}2 0 30 0 0#1 1 #2

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

2x + 3z = 0#x + y # 2z = 0

+,-

*x = #3ty = tz = 2t

+,.

-.


!3tt2t

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*=

!312

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*


L(! = 1) = {x "!3 / (A # I )X= 0}1 0 30 #1 0#1 1 #3

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

x + 3z = 0#y = 0#x + y # 3z = 0

+,-

.-*

x = #3ty = 0z = t

+,-

.-


!3t0t

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*=

!301

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*


L(! = "1) = {x #!3 / (A + I )X= 0}3 0 30 1 0"1 1 "1

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

3x + 3z = 0y = 0"x + y " z = 0

+,-

.-*

x = "ty = 0z = t

+,-

.-


!t0t

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*=

!101

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*

Por tanto ya podemos calcular las matrices:

D =0 0 00 1 00 0 !1

"

#

$$

%

&

''

P =!3 !3 !11 0 02 1 1

"

#

$$

%

&

''

Puesto que necesitamos P!1 , la calcularemos aplicando la frmula:

P!1 = 1P (adj(P))t

P =!3 !3 !11 0 02 1 1

= !(!2) = 2

adj(a11) = 0 adj(a12 ) = !1 adj(a13) = 1adj(a21) = 2 adj(a22 ) = !1 adj(a23) = !3adj(a31) = 0 adj(a32 ) = !1 adj(a33) = 3

(adj(P))t =0 2 0!1 !1 !11 !3 3

"

#

$$

%

&

''

Por tanto:

P!1 = 12 "0 2 0!1 !1 !11 !3 3

#

$

%%

&

'

((

De este modo:

An =!3 !3 !11 0 02 1 1

"

#

$$

%

&

'' (

0 0 00 (1)n 00 0 (!1)n

"

#

$$$

%

&

'''(12

0 2 0!1 !1 !11 !3 3

"

#

$$

%

&

''

Ejercicio 4

Tres empresas, A,B,C se dedican a proporcionar servicios de Internet a sus consumidores. Se ha observado que anualmente, la empresa A mantiene al 50% de sus clientes, pero el 30% pasa a la empresa B y el 20% a la empresa C.

La empresa B logra mantener al 80% de sus clientes y pierde un 20% repartido igualmente entre A y C.Finalmente, la empresa C conserva al 60% de su clientela, pero el 30% se va A y el 10% a B.

a) Expresar el nmero de clientes de cada empresa en el ao t+1 en funcin de los del ao t.

Si denominamos a,b,c a la clientela de cada una de las empresas dadas (A,B,C respectivamente) en el instante t, entonces se tiene que:

at+1bt+1ct+1

!

"

###

$

%

&&&=

0.5 0.1 0.30.3 0.8 0.10.2 0.1 0.6

!

"

##

$

%

&&

atbtct

!

"

###

$

%

&&&

b) Indicar la evolucin del mercado a lo largo del tiempo.

Para indicar la evolucin del mercado a lo largo del tiempo, consideramos la siguiente ecuacin:

atbtct

!

"

###

$

%

&&&=

0.5 0.1 0.30.3 0.8 0.10.2 0.1 0.6

!

"

##

$

%

&&

t a0b0c0

!

"

###

$

%

&&&

Por tanto es necesario calcular la matriz diagonal semejante a la dada con el fin de poder resolver la potencia ensima de forma sencilla.

Para ello calculamos los autovalores usando el polinomio caracterstico:

P(!) = A " !I =0.5 " ! 0.1 0.30.3 0.8 " ! 0.10.2 0.1 0.6 " !

;

P(!) = 0;

Obteniendo como autovalores:

! = 0.3! = 1! = 0.6

"#$

%$

Puesto que son distintos la matriz es diagonalizable de la forma:

A = PDP!1

Siendo

D =0.3 0 00 1 00 0 0.6

!

"

##

$

%

&&

Para calcular P es necesario obtener una base de autovectores. Por tanto, para cada subespacio asociado a cada autovalor calculamos su base.


L(! = 1) = {x "!3 / (A # I )X= 0}#0.5 0.1 0.30.3 #0.2 0.10.2 0.1 #0.4

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

#0.5x + 0.1y + 0.3z = 00.3x # 0.2y + 0.1z = 00.2x + 0.1y # 0.4z = 0

+,-

.-*

#0.5x + 0.1y + 0.3z = 00.3x # 0.2y + 0.1z = 0ecuacin3 = #ecuacin1# ecuacin2

+,-

.-

z = tx = #ty = #t

+,-

.-


!t!tt

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*=

!1!11

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*

Subespacio para el autovalor ! = 0.3

L(! = 0.3) = {x "!3 / (A # 0.3I )X= 0}0.2 0.1 0.30.3 0.5 0.10.2 0.1 0.3

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

0.2x + 0.1y + 0.3z = 00.3x + 0.5y + 0.1z = 0

+,-

*0.2x + 0.1y = #0.3t0.3x + 0.5y = #0.1zz = t

+,.

-.*

z = tx = #2ty = t

+,.

-.


!2ttt

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*=

!211

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*

Subespacio para el autovalor ! = 0.6

L(! = 0.6) = {x "!3 / (A # 0.6I )X= 0}#0.1 0.1 0.30.3 0.2 0.10.2 0.1 0

$

%

&&

'

(

))

xyz

$

%

&&&

'

(

)))=

000

$

%

&&

'

(

))*

#0.1x + 0.1y + 0.3z = 00.3x + 0.2y + 0.1z = 00.2x + 0.1y = 0

+,-

.-*

#0.1x + 0.1y + 0.3z = 00.3x + 0.2y + 0.1z = 0y = #2x

+,-

.-*

#0.1x # 0.2x + 0.3z = 00.3x # 0.4x + 0.1z = 0y = #2x

+,-

.-*

z = 1x = ty = #2t

+,-

.-


t!2t1

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*=

1!21

"

#

$$

%

&

''

(

)*

+*

,

-*

.*

Por tanto la matriz P queda como:

!1 !2 1!1 1 !21 1 1

"

#

$$

%

&

''

Finalmente calculamos la inversa de P para dejar expresada la evolucin a lo largo del tiempo de la forma:

A = PDP!1

P!1 = ! 133 3 3!1 !2 !3!2 !1 !3

"

#

$$

%

&

''

Siendo el resultado final:

atbtct

!

"

###

$

%

&&&= '

13

'1 '2 1'1 1 '21 1 1

!

"

##

$

%

&&

0.3t 0 00 1t 00 0 0.6t

!

"

###

$

%

&&&

3 3 3'1 '2 '3'2 '1 '3

!

"

##

$

%

&&

a0b0c0

!

"

###

$

%

&&&

ejercicios resueltos diagonalización de matrices

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