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PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

2013

MATEMÁTICAS II

TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

• Junio, Ejercicio 3, Opción A

• Junio, Ejercicio 3, Opción B

• Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A

• Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B




• Septiembre, Ejercicio 3, Opción A


R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz M:

2

1 0 10 1 0 0 0 ; 11 1 1

M m m m m mm

−= + = + = ⇒ = = −

−

Para todos los valores de 0 1m y≠ − , el determinante es distinto de cero y los vectores son linealmente independientes. b) Calculamos el rango de M según los valores de m.

Rango(M) 0m = 2 1m = − 2

0 1m y≠ − 3

c) Calculamos la inversa de M para 1m = :

( ) 1

0 0 2 0 1 2 10 11 1 1 0 1 0 22 0 2 2 1 2( ) 10 0

2 2 211 12

t

d tMMM

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Sea 1 0 10 1 01 1 1

M mm

−⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Determina los valores de m para que los vectores fila de M son linealmente independientes. b) Estudia el rango de M según los valores de m. c) Para 1m = , calcula la inversa de M. MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A


R E S O L U C I Ó N a) Comprobamos que 2 2A I=

2 1 1 1 1 2 0 1 02 2

1 1 1 1 0 2 0 1A I⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculamos la inversa:

( ) 1

1 1 1 1 1 11 1 1 1( ) 2 2

1 12 22 2

t

d tAAA

−

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = ⎜ ⎟

− − ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

También la podemos calcular de la siguiente forma:

2 1

1 11 1 2 22 2

1 12 22 2

A I A A I A A I A A−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

b)

1006 1006

2013 2012 2 1006 1006 1006 1006 10061006 1006

2 2( ) (2 ) 2 ( ) 2

2 2A A A A A I A I A A

⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟

−⎝ ⎠

2013 1 1 1 1 1

1007 10072013 1006

2013 2013 1007

1007 1007

( ) (2013 )1 1 1 1(2013 )2 2 2 2

1 11 1 1 2 22

1 12 2 22 2

A A A veces A A

A A veces A A

A A A

− − − − −= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⎛ ⎞⎜ ⎟

= = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

Sea 1 11 1

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Comprueba que 2 2A I= y calcula 1A − . b) Calcula 2013A y su inversa. MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B


R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la inversa:

( ) 1

0 2 0 0 1 0 10 01 1 1 2 1 0 20 0 2 0 1 2( ) 11 0

2 2 210 12

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = ⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 1 1t t tA X B C A A X A B C X A B C− − −⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ Calculamos la matriz X

1

10 02 0 1 1 1 0 8

1 2 1 211 0 2 2 1 2 1 141 6 1 62

1 0 0 1 1 610 12

tX A B C−

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

Calculamos

0 1 1 2 00 2 1

2 2 2 8 2 8 4 4 01 2 0

1 0 0 2 1

tB B⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = ⋅ = = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Luego: 2013

20132013 1 2013 1( ) 0t t tA B B A A B B B BA

−⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

Considera las matrices: 1 1 02 0 01 0 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A , 0 2 11 2 0⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

B y 1 21 6

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

C

a) Halla 1A − . b) Calcula la matriz X que satisface ⋅ = ⋅tA X B C ( tB es la traspuesta de B). c) Halla el determinante de 2013 1 2013( )−⋅ ⋅ ⋅tA B B A . MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A


R E S O L U C I Ó N

a) Si nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que nk A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 32 ( 2) ( 8) 4 32A A− = − ⋅ = − ⋅ = −

Por otro lado, sabemos que: 1 1 1 1 11A A I A A A A I AA

− − − −⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ = = ⇒ = ; luego en

nuestro caso será: 1 1 14

AA

− = =

b) 2 2 2 2 2 2 4 8a b c a b c a b cd e f d e f d e fp q r p q r p q r

− −− = ⋅ − = − ⋅ = − ⋅ = −− −

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”.

3 3 3( 3) ( 1) ( 3) ( 1) ( 1) 3 4 12

d e f d e f a b ca b c a b c d e fp q r p q r p q r

− − −= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ − = − ⋅ = −

− − −

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si en un determinante se cambian entre si dos filas o columnas, el determinante cambia de signo”.

Sabiendo que el determinante de una matriz ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a b cA d e f

p q res 4, calcula los siguientes

determinantes, indicando en cada caso, las propiedades que utilizas: a) det( 2 )− A y 1det( )−A

b) 2 2 2−−−

a b cd e fp q r

y 3 3 3− − −

− − −

d e fa b cp q r

MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



a) Planteamos el sistema matricial

1 02 1

1 12

1 0

X Y

X Y

− ⎫⎛ ⎞− = ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪⎬

−⎛ ⎞⎪− = ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎭

Si cambiamos la primera ecuación de signo y sumamos, tenemos que: 2 11 1

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠y

sustituyendo en la primera ecuación tenemos que: 2 1 1 0 3 11 1 2 1 3 2

Y Y− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) 1( ) ( )AZ BZ A A B Z A Z A B A−= + ⇒ − = ⇒ = − ⋅

Calculamos 1 2 1 1 2 3

( )0 1 1 0 1 1

A B− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculamos su inversa: 1

1 1( ) 1 33 2

( )1 21

t

tdA BA B

A B−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤− −− − ⎛ ⎞⎣ ⎦ ⎝ ⎠− = = = ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠

Luego, 1 1 3 1 2 1 1( )

1 2 0 1 1 0Z A B A− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Considera las matrices 1 20 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y 1 10 0

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Calcula X e Y tales que tX Y A− = y 2X Y B− = ( tA es la matriz traspuesta de A). b) Calcula Z tal que AZ BZ A= + . MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B



a) Planteamos el sistema matricial

2 32

3 5

1 43

9 5

X Y

X Y

− ⎫⎛ ⎞− = ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎪

⎬−⎛ ⎞ ⎪− = ⎜ ⎟ ⎪−⎝ ⎠ ⎭

Si multiplicamos la segunda ecuación por 2− y sumamos, tenemos que: 0 5 0 1

515 5 3 1

Y Y⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y sustituyendo en la segunda ecuación tenemos que: 1 4 0 1 1 1

39 5 3 1 0 2

X− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) 2 2 2 13 3 (3 )t t tB ZA B I ZA I B B Z I B B A −+ + = ⇒ = − − ⇒ = − − ⋅

Calculamos 2 3 0 1 4 1 4 1 9 35 33(3 )

0 3 9 5 9 5 4 5 58 63tI B B

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculamos su inversa: 1

5 35 33 2( )3 21

t

d tAAA

−

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Luego, 2 1 35 33 5 3 76 39(3 )

58 63 3 2 101 48tZ I B B A − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − − ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sean A y B las matrices 2 33 5

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ y

1 49 5

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Calcula las matrices X e Y para las que 2X Y A− = y 3X Y B− = . b) Halla la matriz Z que verifica 2 3tB ZA B I+ + = (I denota la matriz identidad y tB la matriz traspuesta de B). MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B


R E S O L U C I Ó N a) 3 2 2 2 8 0M M M M M M M= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ≠ ⇒ El rango es 3 b) Si nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que nk A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como M es una matriz de orden 3, tenemos que: 32 2 ( 2) (8) 2 16tM M M= = ⋅ = ⋅ =

c) Sabemos que: 1 1 1 1 11M M I M M M M I MM

− − − −⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ = = ⇒ = ; luego en nuestro

caso será: 21

21 1

4M

M− = =

d) Si en un determinante cambiamos dos filas o dos columnas el determinante cambia de signo, luego, el determinante de N vale 2−

Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det( ) 2M = . Calcula: a) El rango de 3M . b) El determinante de 2 tM ( tM es la matriz traspuesta de M). c) El determinante de 1 2( )M − . d) El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M. MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B


R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la matriz inversa de A.

( ) 1

2 2 0 2 0 1 11 00 2 0 2 2 1 21 1 1 0 0 1( ) 11 1

2 2 210 02

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

La matriz B no tiene inversa, ya que su determinante vale 0. b) 2013 2013 20132 0 2 0t tAB A A B A= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = c) Resolvemos la ecuación matricial.

1 1

11 02 1 1 1 1 1 11( ) 1 1 1 1 1 1 1 12

0 0 1 0 0 110 02

52 2213 3230 02

A X B AB X A B AB A B B− −

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ = + ⇒ = + = + = − ⋅ − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

Considera las matrices 1 0 11 1 00 0 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y 1 1 11 1 10 0 1

B−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Halla, si es posible, 1A − y 1B − . b) Halla el determinante de 2013 tAB A , tA la matriz traspuesta de A. c) Calcula la matriz X que satisface A X B AB⋅ − = . MATEMÁTICAS II. 2013. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A

PROBLEMAS RESUELTOS

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

2012

MATEMÁTICAS II







Sea la matriz 0 0 12 1 21 1

Ak

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a) ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A?. Justifica la respuesta. b) Para k , resuelve la ecuación matricial (0= ) tX I A A+ ⋅ = , donde I denota la matriz identidad y tA la matriz traspuesta de A. MATEMÁTICAS II. 2012. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


a) Calculamos el determinante de A.

12 1 02

A k k= − = ⇒ =

Luego, la matriz A no tiene inversa para 12

k = , ya que su determinante vale cero.

b) Calculamos la matriz inversa de A para 0k = .

( ) 1

1 0 1 1 0 10 1 0 0 1 2

1 0 11 2 0 1 0 0( ) 0 1 2

1 11 0 0

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = −⎜ ⎟− − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Resolvemos la ecuación matricial:

( ) t t tX I A A X A I A A X A A I A+ ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = − ⋅ Si multiplicamos por a la derecha, tenemos: 1A −

1 1 1 1t t tX A A I A X A A A A I A A X A A I− − − −⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ −

Calculamos la matriz que nos piden:

1

0 2 1 1 0 1 1 0 0 1 2 4 1 0 0 0 2 40 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 0 21 2 1 1 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 1 0 2 4

tX A A I−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= ⋅ − = ⋅ − − = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

− ⎞⎟⎟⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Considera las matrices: 1 2 00 1 21 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A C 0 11 0⎛

= ⎜⎝ ⎠

B⎞⎟

1 2 01 1 2

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Determina, si existe, la matriz X que verifica: ⋅ ⋅ = tA X B C , siendo C la matriz traspuesta de C.t

MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


1 1 1 1 1t t 1tA X B C A A X B B A C B X A C B− − − − − −⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ Calculamos la matriz inversa de A

( ) 1

3 2 1 3 2 42 1 0 2 1 2

3 2 44 2 1 1 0 1( ) 2 1 2

1 11 0 1

t

d tAAA

−

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = −⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠

Calculamos la matriz inversa de B

( ) 1

0 1 0 10 11 0 1 0( )1 01 1

t

d tBBB

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠

Calculamos la matriz X

1 1

3 2 4 1 1 1 3 3 10 1 0 1

2 1 2 2 1 0 1 1 01 0 1 0

1 0 1 0 2 1 1 1 1

tX A C B− −

− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠


Encuentra la matriz X que satisface la ecuación 3XA A B A+ = , siendo 0 0 10 1 01 0 0

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y 2 1 00 2 11 0 2

B−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠



Calculamos la inversa de A:

( ) 1

0 0 1 0 0 10 1 0 0 1 0

0 0 11 0 0 1 0 0( ) 0 1 0

1 11 0 0

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = =⎜ ⎟− − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

t

d tAA AA

Calculamos la matriz X: Si multiplicamos por 1−A a la derecha, tenemos:

3 1 3 1 13

3 1− − −⋅ + = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅X A A B A X A A A B A A A X I A B A−

⎞⎟

2

0 0 1 0 0 1 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 01 0 0 1 0 0 0 0 1

A A A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1 0 0 0 0 1 0 0 10 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 1 0 0 1 0 0

A A A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

0 0 1 2 1 0 1 0 20 1 0 0 2 1 0 2 11 0 0 1 0 2 2 1 0

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

A B − ⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟

3 1

1 0 2 0 0 1 2 0 10 2 1 0 1 0 1 2 02 1 0 1 0 0 0 1 2

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ = − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A B A

3 13

1 0 0 2 0 1 1 0 10 1 0 1 2 0 1 1 00 0 1 0 1 2 0 1 1

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= − ⋅ ⋅ = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

X I A B A

⎠


Dada la matriz 3 25 1

A−⎛

= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , sea B la matriz que verifica .

2 17 3

AB−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas. b) Resuelve la ecuación matricial 1A X B BA− − = . MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a) Calculamos la matriz 3 2

3 10 13 05 1

−= = + = ≠A ⇒ Tiene inversa

Sabemos que: 13 1 013

⋅ −⋅ = ⋅ ⇒ = = = − ≠ ⇒

A BA B A B B

A Tiene inversa

b) Si multiplicamos por A a la izquierda, tenemos:

1 1 2 1 3 2 2 1 3 67 3 5 1 7 3 43 8

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ = + = ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎞⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

A X B BA A A X A B ABA X ABA AB⎠




2011

MATEMÁTICAS II










• Septiembre, Ejercicio 3, Opción B

Dada la matriz 1 0

1 1A

λ +⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Calcula los valores de λ para los que la matriz 2 3A A+ no tiene inversa. b) Para λ = , halla la matriz X que verifica la ecuación 0 2A X A I⋅ + = , siendo I la matriz identidad de orden 2. MATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B


a) Calculamos la matriz 2 3+A A :

22 1 0 1 0 1 0 5 4 0

3 31 1 1 1 1 1 3 2

A Aλ + λ + λ + ⎛ ⎞λ + λ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = ⋅ + = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − λ + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculamos el determinante de dicha matriz

22 25 4 0

3 2 10 8 03 2

A Aλ + λ +

+ = = − λ − λ − = ⇒ λ = − λ = −λ + −

1 ; 4

Luego, la matriz 2 3+A A no tiene inversa para 1 4λ = − λ = −y

= −

, ya que su determinante vale cero. b) Resolvemos la ecuación matricial.

11 0 1 0 2 0 1 0 01 1 1 1 0 2 1 3 1

3

= ⎫⎪=⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⋅ + = ⇒ = ⇒ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪− = ⎭

aa b a b bc d a c b d a c

b d

Resolviendo el sistema, tenemos que la matriz que nos piden es: 1 02 3⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠X




a) 3 1 1 1 12 2 2 8

A A A A A A A= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

b) Sabemos que: 1 1 1 1 11A A I A A A A I AA

− − − −⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ = = ⇒ = ; luego en nuestro caso

será: 1 1 1 212

AA

− = = =

c) Si nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que nk A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 3 12 ( 2) ( 8) 42

A A− = − ⋅ = − ⋅ = −

d) 1 ( 2) 12

t tA B A B A B⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − = −

e) Como 2 0B = − ≠ , el rango de B es 3.

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son 12

A = y 2B = − .

Halla: a) 3A

b) 1A −

c) 2A−

d) tAB , siendo tB la matriz traspuesta de B. e) El rango de B. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


R E S O L U C I Ó N a)

2

0 3 4 0 3 4 1 0 11 4 5 1 4 5 1 4 41 3 4 1 3 4 1 3 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − ⋅ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A

3

0 3 4 1 0 1 1 0 01 4 5 1 4 4 0 1 01 3 4 1 3 3 0 0 1

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A

Luego, se cumple que 3A I= −

b) Calculamos 0 3 41 4 5 15 12 16 12 1 01 3 4

A = − − = + − − = − ≠ ⇒−

Tiene inversa

Calculamos la inversa

( ) 1

1 1 1 1 0 10 4 3 1 4 4

1 0 11 4 3 1 3 3( ) 1 4 4

1 11 3 3

t

d tAAA

−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = − − −⎜ ⎟− − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

c)

100 99 3 33 33

0 3 4( ) ( ) 1 4 5

1 3 4A A A A A I A A

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ = − ⋅ = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Dada la matriz 0 3 41 4 51 3 4

A⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Demuestra que se verifica la igualdad 3A I= − , siendo I la matriz identidad de orden 3. b) Justifica que A es invertible y halla su inversa. c) Calcula razonadamente 100A MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.




2 1 0A = λ + = ⇒ No hay ningún valor real de λ para el cual el determinante valga cero,

luego, siempre tiene inversa b) Calculamos la matriz X:

1 1 1 1 1A X A B A A X A A A B A X A B A− − − − −⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ Calculamos la inversa de A:

( ) 1

2 0 0 2 0 00 1 1 0 1 10 1 1 0 1 1( )

2 2

t

d tAAA

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

1

2 0 00 1 1

1 0 0 0 0 1 0 1 10 1 1 10 1 1 1 0 0 2 1 1

2 20 1 1 0 1 0 2 1 1

X A B A −

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Considera las matrices 1 0 00 10 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= λ⎜ ⎟⎜ ⎟− λ⎝ ⎠

y 0 0 11 0 00 1 0

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a) ¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa?. b) Para 1λ = , resuelve la ecuación matricial 1A X A B− ⋅ ⋅ = MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



a) Resolvemos el sistema: 4 23 2 6 6 3 3

2 ;2 4 1 22 4

1 2

A BA A

A B

⎫⎛ ⎞+ = ⎪⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎪⇒ = =⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪− = ⎜ ⎟⎪−⎝ ⎠⎭

Sustituyendo, tenemos: 3 3 2 4 1 11 2 1 2 2 0

B−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculamos: 4 2 2 4 6 20

( )( )3 2 1 2 4 16

A B A B ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 3 3 3 12 15

1 2 1 2 5 7A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1 1 1 1 1 12 0 2 0 2 2

B− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 12 15 1 1 13 165 7 2 2 3 9

A B− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Resolvemos la ecuación matricial: ( ) 2 ( ) ( ) 2t tXA XB A B I X A B A B I− − + = ⇒ − − + =

2 4 4 3 2 0 2 4 2 6 31 2 2 2 0 2 2 4 2 2 4

2 64 2 3 15 9; ; 1 ; 02 2 8 44 2 4

a b a b a bc d c d c d

a ba b

a b c dc dc d

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − = ⇒ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = ⎫⎪+ = ⎪⇒ = = − = =⎬− = ⎪⎪+ = ⎭

Luego, la matriz que nos piden es: 15 98 41 0

X⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Sean A y B dos matrices que verifican: 4 23 2

A B⎛ ⎞

+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

y 2 41 2

A B⎛ ⎞

− = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Halla las matrices ( )( )A B A B+ − y 2 2A B− b) Resuelve la ecuación matricial ( ) 2tXA XB A B I− − + = , siendo I la matriz unidad de orden 2 y ( ) tA B+ la matriz traspuesta de A B+ MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



a) Calculamos la matriz 3 0 2 0 0 1 0

2 5 5 0 2 0 5 2 50 3 0 0 2 0 1

A Iλ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = − λ − − = − λ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Igualamos el determinante de dicha matriz a cero:

3 2

1 05 2 5 2 2 0 1 ; 1 ; 2

0 1

λ− λ − − = λ − −λ + λ = ⇒ λ = λ = − λ =λ

Luego, la matriz tiene inversa para todos los valores de 1, 1 2yλ ≠ − b) Resolvemos la ecuación matricial:

12 2 ( 2 ) ( 2 )AX X I AX X I A I X I X A I I−= + ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = − ⋅

( ) 1

4 15 8 4 0 80 3 0 15 3 158 15 4 8 0 4(( 2 ) )2

2 12 12

t

d tA IA IA I

−

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− = = =

−

Luego, la matriz es 4 0 8

1 15 3 1512

8 0 4X

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Sea la matriz 3 05 5

0 3A

λ⎛ ⎞⎜ ⎟= − λ −⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

a) Determina los valores de λ para los que la matriz 2A I− tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3. b) Para 2λ = − , resuelve la ecuación matricial 2AX X I= + MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



a) 2 1 1 1 1 3 22 1 2 1 4 3

A− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 2 2 2 1 0

24 3 4 2 0 1

A A I− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + = = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Es cierto.

Multiplicamos la igualdad anterior por 1A− a la izquierda:

2 1 1 1 12 2 2A A I A A A A A A I A I A− − − −+ = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ + = ⇒Es cierto b) Vamos a resolver la ecuación matricial 2 5 4A XA A I+ + = : Multiplicamos por 1A− a la derecha.

2 1 1 1 1 1 15 4 5 4 5 4 4 5A XA A I A A A X A A A A I A A X I A X A A I− − − − − −+ + = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ + + = ⇒ = − − Sustituimos 1 2A A I− = +

1 1 1 1 0 0 34 5 4( 2 ) 5 3( ) 3

2 1 0 1 6 0X A A I A I A I A I− ⎡ − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = + − − = + = ⋅ + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦


A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Demuestra que 2 2A A I+ = y que 1 2A A I− = + , siendo I la matriz identidad de orden 2. b) Calcula la matriz X que verifica la ecuación: 2 5 4A XA A I+ + = MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de A y los igualamos a cero:

3

1 11 1 3 2 0 1 ; 21 1

Aα −

= α − = α − α + = ⇒ α = α = −− − α

Calculamos el rango de A para los distintos valores:

R(A)

1α = 1 2α = − 2

1 2yα ≠ − 3 b) Calculamos la matriz inversa de A para 2α = .

( ) 1

3 1 1 3 1 11 3 1 1 3 11 1 3 1 1 3( )

4 4

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

Resolvemos la ecuación matricial.

1

3 1 1 0 01 1 3 1 1 14

1 1 3 1 1A X B X A B−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = ⇒ = ⋅ = ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dadas las matrices 1 1

1 11 1

α −⎛ ⎞⎜ ⎟= α −⎜ ⎟⎜ ⎟− − α⎝ ⎠

A y 011

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

B

a) Calcula el rango de A dependiendo de los valores α . b) Para 2α = , resuelve la ecuación matricial ⋅ =A X B . MATEMÁTICAS II. 2011. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A


R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la matriz inversa de A

( ) 1

3 3 11( )4 4

t

d tAAA

−

α −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− α α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

α α

33 1 1 3 1 1 4 12

3 1 14 4 12 12 311 14 12 4 12

112 44 44 12

α ⎫= ⎪− α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α −α ⎪α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ = ⇒ − = ⇒ α = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬αα α⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪−⎜ ⎟⎜ ⎟ α ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠ = − ⎪⎭

El único valor que verifica todas las igualdades es 3α = −

b) Calculamos la matriz inversa de A para 3α = − : ( ) 1

3 1 3 13 3

4 12A −

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

α −

Por las propiedades de las matrices sabemos que: ( ) ( )1 1 ttA A

− −= , luego, la aplicamos para resolver la ecuación matricial

1 1 3 3 1 3 1 6 3 31 1( ) ( )1 3 1 4 2 2 15 712 12

t t tA X B X A B A B− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⇒ = ⋅ = ⋅ = − ⋅ ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sean las matrices 13

Aα⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−α⎝ ⎠ y

1 3 11 4 2

B⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es 112

A .

b) Para 3α = − , determina la matriz X que verifica la ecuación tA X B⋅ = , siendo tA la matriz traspuesta de A. MATEMÁTICAS II. 2011. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B



2010

MATEMÁTICAS II







• Septiembre, Ejercicio 3, Opción B



a) La matriz A tiene inversa si su determinante es distinto de cero, luego:

2

1 0 10 3 4 3 0 1 ; 34 1

A m m m m mm

−= = − + − = ⇒ = =

−

Por lo tanto, la matriz A tendrá inversa para todos los valores de 1 3m y m≠ ≠ . b) Calculamos la matriz inversa de A.

1

3 12 0 3 1 0 11 01 4 1 12 4 3 30 3 0 0 1 0( ) 44 1

3 3 310 03

t

d tAAA

−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = − −⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Resolvemos la ecuación matricial y calculamos la matriz X.

1

11 03

5 3 4 1 3 1 6 3 04( ) 4 13 2 2 0 2 1 3 0 03

10 03

t tXA B C X C B A −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎡ − − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− = ⇒ = + ⋅ = + ⋅ − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Sean las matrices1 0 10 34 1

A mm

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, 1 03 21 1

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

y C = 5 3 43 2 2

C−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

a) Indica los valores de m para los que A es invertible. b) Resuelve la ecuación tXA B C− = para 0m = . ( tB es la matriz traspuesta de B) MATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



a)

2

5 4 2 5 4 2 5 4 22 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1

4 4 1 4 4 1 4 4 1

10 8 4 9 8 4 1 0 04 2 2 4 3 2 0 1 08 8 2 8 8 3 0 0 1

A A− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = ⋅ − − − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) De la igualdad del apartado a se deduce que:

( )2 12 2 2A A I A I A I A I A−− = ⇒ ⋅ − = ⇒ = −

Luego: 1

1 0 0 5 4 2 3 4 22 0 1 0 2 1 1 2 3 1

0 0 1 4 4 1 4 4 3A−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ − − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sea la matriz 5 4 22 1 14 4 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

a) Comprueba que se verifica 22A A I− = b) Calcula 1A − . (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



a)

( ) 1

1 0 1 21 22 1 0 1( )0 11 1

t

d tAAA

−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −− − − ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠

b)

1 2 1 0 3 0 1 02

0 1 2 1 2 1 0 1

2 2 1 0 3 0 2 02 1 2 1 0 2

2 2 4 2 2 0 3 02 0 2 2 1

2 2 4 2 12

a bc d

a c b dc d

a c b d b dc d d

a c b d b dc d d

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + − + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ ⋅ − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − + − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − + − + −⎛ ⎞⇒ =⎜ ⎟− +⎝ ⎠

02 1

2 2 4 12 0

1 ; 2 ; 0 ; 12 2

1

a c b db d

a b c dc d

d

⎛ ⎞⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠− − + = − ⎫

⎪− + = ⎪⇒ ⇒ = − = = =⎬− + = ⎪⎪= ⎭

Luego: 1 20 1

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Considera las siguientes matrices 1 20 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y 3 02 1

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Calcula 1A − . b) Resuelve la ecuación matricial 2tA X A B I⋅ ⋅ − = , donde I es la matriz identidad de orden 2 y

tA es la matriz traspuesta de A. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



Para que el rango (A) = rango (B) = 2, sus determinantes deben valer cero, luego:

1 11 0 01 1

ab b a c b a cc= + − − = − =

2 00 1 2 3 2 03 1

ab c a bc

− = − + − =

Resolviendo el sistema, tenemos que:0

; ;3 2 2 0 2a c ca c b c ca b c− = ⎫

⇒ = = =⎬− − = ⎭

Luego, el vector que nos piden es , ,2cv c c⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, siendo c cualquier número distinto de cero.

Obtén un vector no nulo ( , , )v a b c= , de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2.

1 11 01 1

aA b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 00 13 1

aB b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠




a)

2det ( 3 ) ( 3) det( ) 9 det( ) 9 4 36t tA A A− = − = ⋅ = ⋅ =

2 2det 2 ( 3)det 6 ( 1)det 6 4 24

3 3b a b a a bd c d c c d

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Si en un determinante cambiamos dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. Si en un determinante hay un número que multiplica a una fila o columna, dicho numero sale fuera multiplicando al determinante.

b) 1 1 1det ( ) det( ) det( ) det( ) 1det( )

t tA A A A AA

− −⋅ = ⋅ = ⋅ =

c) [ ] 33 3det ( ) det( ) det( ) det( ) det( ) det( ) 1 det( ) 1 1B B B B B B B B B= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⇒ = =

De la matriz a b

Ac d

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

se sabe quedet ( ) 4A = . Se pide:

a) Halla det ( 3 )tA− y2 2

det3 3

b ad c

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

. Indica las propiedades que utilizas.

b) Calcula 1det ( )tA A− ⋅ c) Si B es una matriz cuadrada tal que 3B I= , siendo I la matriz identidad, halla det ( )B . MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



La ecuación que tenemos que resolver es: 1 0 0

1 0 3 1 20 1 1

1 1 0 1 20 1 2

a b cd e f

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 0 03 1 2

0 1 10 1 2

0 1 2

2 3 1 22 2 0 1 2

31

2 23 ; 3 ; 1 ; 0 ; 2 ; 4

01

2 2 2

a b ca d b e c f

a b c b ca d b e c f b e c f

ab cb c

a d c b f ea d

b e c fb e c f

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ − − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− + − + − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − − + − − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⎫

⎪− + = ⎪⎪− + =

⇒ ⇒ = = = = = − = −⎬− + = ⎪⎪− − + =⎪

− − + = − ⎭

Luego, la matriz que nos piden es: 3 0 13 4 2

X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Sean las matrices 1 01 1

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠,

1 0 00 1 10 1 2

B⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y 3 1 20 1 2

C⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB C= MATEMÁTICAS II. 2010. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2009

MATEMÁTICAS II


Junio, Ejercicio 3, Opción A

Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B

Reserva 2, Ejercicio 3, Opción A


Septiembre, Ejercicio 3, Opción B


a) Sabemos que: 1 1 1 1 11B B I B B B B I BB


será: 1 1 12

BB

− = = −

b) Sabemos que tB B= ; luego: 4 4 4( ) ( ) ( 2) 16tB B B B B B= = ⋅ ⋅ ⋅ = − = c) Si nB es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que nk B k B⋅ = ⋅ ; en

nuestro caso como B es una matriz de orden 3, tenemos que: 32 (2) 8 ( 2) 16B B= ⋅ = ⋅ − = −

d) 1 3 1 3 1 3

3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

5 53 3 3 15 3 15 (2) 3 0 30

F F F F F FF F F F F

F F F F F

−= − = ⋅ − = ⋅ − ⋅ =

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante puede descomponerse en suma de dos determinantes colocando en dicha fila o columna el primer y segundo sumando, respectivamente. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si en un determinante se cambian entre si dos filas o columnas, el determinante cambia de signo” y “Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el determinante vale 0”.

Sean 1F , 2F y 3F las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale 2− . Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) El determinante de 1B − . b) El determinante de 4( )tB . ( tB es la matriz traspuesta de B). c) El determinante de 2 B . d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 1 35 F F− , 33 F , 2F . MATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


6 23 ( 1)

CA X B C X

A B⋅ ⋅ = ⇒ = = = −

⋅ ⋅ −

32 2 16X X= ⋅ = −

b)

1 1 1 2 0 30 2 2 3 4 2

2 2 02 2 2 2 3 3 0 3 2 2 3 3 3 14 8

2 4 4 6 4 2 2 4 4 8 54 6 2

a bA X B C

c d

a c b da c b d a c b d a c b d

Xc d c d c d

c d

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + + = ⎫⎪+ + + − − − − − − − − = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪⇒ = ⇒ ⇒ =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + − − = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪+ = ⎭

Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican A X B C⋅ ⋅ = . a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es

1− y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2X.

b) Si1 10 2

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠,

1 22 3

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ y

0 34 2

C⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, calcula la matriz X.



( ) 1

2 1 2 72 77 3 1 3( )1 31 1

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −− − ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = ⎜ ⎟−− − ⎝ ⎠

b)

1 3 7 2 6 2 7 9 322 ( 2 )

1 2 8 4 1 3 20 67X A A B X A B A − ⎡ − ⎤ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + ⇒ = + ⋅ = + ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1 2 7 3 7 2 6 59 40

2 ( 2 )1 3 1 2 8 4 26 17

A Y A B Y A A B− − ⎡ − ⎤ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + ⇒ = + = ⋅ + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Dadas las matrices 3 71 2

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y 1 34 2

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Calcula, si existe, la matriz inversa de A. b) Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales 2X A A B⋅ = + y

2A Y A B⋅ = + . MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la matriz B

3 1 1 0 3 12 1 0 1 2 1

kB A kI k

k− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Para que tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. 23 1

4 1 0 2 32 1

kB k k k

k− −

= = + + = ⇒ = − ±− −

Luego, la matriz B tiene inversa para todos los valores de k distintos de 2 3− ± b)

( ) 1

0 2 0 1101 2 2 2( )2

2 2 1 1

t

d tBBB

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

c)

2

11 311 4 3 0 4 0

4 ; 18 3 2 0 8 2 0

3

A A I

− α = β ⎫⎪− − α α β − +α =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪+α = β ⇒ + = ⇒ ⇒α = β = −⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− α −α β − + α =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪−α = β ⎭

Se consideran las matrices 3 12 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ y B A kI= − , donde k es una constante e I la matriz

identidad de orden 2. a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa. b) Calcular 1B − para 1k = − . c) Determina las constantes α y β para las que se cumple 2A A I+ α = β MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


( )1

1 1 1 1 2 1 1 1 12 2 2 1 2 3 4 2 41 3 5 1 2 5 1 1 3

4 4 4 2 41 1 54 2 4

t

tdAA

A−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎜ ⎟− − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Como 1(2 )tX A C B−= + , vamos sustituyendo y operando:

1 1 1 7 14 2 4 4 24 2 3 11 1 3 5 92 4 1 24 2 4 4 2

0 6 0 11 1 5 7 154 2 4 4 2

X

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ − − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − ⋅ − + = − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sean las matrices1 2 12 1 11 0 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, 3 1 01 2 1

B⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ y

2 11 20 3

C−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Determina la matriz X que verifica: 2tA X B C⋅ − = . MATEMÁTICAS II. 2009. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2008

MATEMÁTICAS II







1 ( )t t tA P B C A P C B P A C B

−⋅ − = ⇒ ⋅ = + ⇒ = ⋅ +

Calculamos la matriz inversa de

1 1 1

0 1 0

1 2 2

A

=

1

2 0 1 2 0 1

0 1 1 0 1 02 0 1

1 0 1 1 1 1( )0 1 0

1 11 1 1

t

d tA

AA

−

− − − − − − − = = = =

− −

1

2 0 1 2 1 1 0 2 0 1 1 1 3 0

( ) 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 0 2

1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 3

tP A C B

−

− − − − −

= ⋅ + = ⋅ − + − = ⋅ − = − − − − − −

Dadas las matrices

1 1 1

0 1 0

1 2 2

A

====

,

1 0

0 1

2 1

B

= −= −= −= −

y 2 0 1

1 1 1C

− −− −− −− − ====

−−−−

Calcula la matriz P que verifica tA P B C⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − = ( t

C es la matriz traspuesta de C). MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.


0 1 2 0 0 1 2

1 0 2 0 0 1 2

1 1 3 0 0 1 1 3

k k

A kI k k

k k

− − − − −

− = − − − = − − − −

2

2 2

2

1 2 1 2 1 2 2 4 4

( ) 1 2 1 2 2 2 1 4 4

1 1 3 1 1 3 2 2 2 2 6 5

k k k k k

A kI k k k k k

k k k k k k

− − − − − − − − −

− = − − − ⋅ − − − = − − − − − − − − +

2

2

2

1 2 2 4 4 0 0 0

2 2 1 4 4 0 0 0 1

2 2 2 2 6 5 0 0 0

k k k

k k k k

k k k k

− − −

− − − = ⇒ = − − − +

Igualando cada expresión a cero tenemos tendríamos nueve ecuaciones. La única que verifica todas las expresiones es 1k = .

Sea I la matriz identidad de orden 3 y

0 1 2

1 0 2

1 1 3

A

− −− −− −− −

= − −= − −= − −= − −

. Calcula, si existe, el valor de k para el

cual 2( )A kI−−−− es la matriz nula. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 3.OPCIÓN A.


a) Calculamos la matriz inversa de

1 1 2

1 2 1

1 1 1

A

=

1

1 0 1 1 1 3

1 1 0 0 1 11 1 3

3 1 1 1 0 1( )0 1 1

1 11 0 1

t

d tA

AA

−

− − − − − − − − = = = = − − − −

La matriz B no tiene inversa, ya que su determinante vale cero. b)

1 ( )A X B A I A X A I B X A A I B−⋅ + = + ⇒ ⋅ = + − ⇒ = ⋅ + −

1

1 1 3 1 1 2 1 0 0 1 0 2 6 4 6

( ) 0 1 1 1 2 1 0 1 0 2 0 4 3 3 4

1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1

X A A I B−

− − −

= ⋅ + − = − ⋅ + − = − − − − − −

Dadas las matrices

1 1 2

1 2 1

1 1 1

A

====

y

1 0 2

2 0 4

1 1 1

B

==== −−−−

a) Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. b) Resuelve la ecuación matricial A X B A I⋅ + = +⋅ + = +⋅ + = +⋅ + = + , donde I denota la matriz identidad de orden 3. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.


a) El rango de A es al menos 2, ya que el determinante 1 3

1 7 es distinto de cero. Vamos a calcular

el determinante de A.

2

1 3

1 3 4 12 0 3

1 7

k

k k k

k

= − = ⇒ = ±

- Si 3k = ± ⇒ el rango de A es 2.

- Si 3k ≠ ± ⇒ el rango de A es 3.

b) Calculamos la matriz inversa de

1 3 0

0 1 3

1 7 0

A

=

1

21 3 1 21 0 9 7 300 0 4 3 0 3 4 4

9 3 1 1 4 1( ) 1 10

12 12 4 41 1 1

12 3 12

t

d tA

AA

−

− − − − − − − − − = = = = −

− − −

Dada la matriz

1 3

1 3

1 7

k

A k

k

====

a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. b) Para 0k ==== , halla la matriz inversa de A. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 4. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2007

MATEMÁTICAS II






Septiembre, Ejercicio 3, Opción A


2 2

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 12 2

1 1 1 1 1 1 1 2 1B

− − − − −λ − − −λ = ⋅ − ⋅ = − ⋅ =

λ λ λ + λ − + λ λ λ − λ − λ −

b) Calculamos el determinante de B.

22

2 12 3 0 1 ; 3

1 2 1B

− −λ= = −λ + λ + = ⇒ λ = − λ =λ − λ − λ −

Luego tiene inversa para todos los valores de 1 3yλ ≠ −

c) Calculamos la matriz inversa de 2 0

0 2B

− =

−

1

2 0 2 0 10

0 2 0 2( ) 214 4

02

t

d tBB

B

−

− − − − − = = = = −

Considera la matriz 1 1

1A

−−−− ====

λλλλ

a) Determina la matriz 2 2B A A= −= −= −= − . b) Determina los valores de λλλλ para los que la matriz B tiene inversa. c) Calcula 1

B−−−− para 1λ =λ =λ =λ = .

MATEMÁTICAS II. 2007. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de A.

1 23 2 0

2 3 3

α= α − = ⇒ α =

Luego, la matriz A tiene inversa para todos los valores de 2

3α ≠ .

b) Calculamos la matriz inversa de 1 1

2 3A

=

1

3 2 3 1

3 11 1 2 1( )

2 11 1

t

d tA

AA

−

− − −− − = = = = −

1 3 1 2 0 7 1

2 1 1 1 5 1A X B X A B

− − − ⋅ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =

− − −

Considera las matrices 1

2 3A

αααα ====

y 2 0

1 1B

====

−−−−

a) Determina los valores de αααα para los que la matriz A tiene inversa. b) Para 1α =α =α =α = , calcula 1

A−−−− y resuelve la ecuación matricial A X B⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = .

MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 1. EJERCICIO 3.OPCIÓN A.


2

2

2 1 01 0 1 0 1 0 1 0 12 2

1 1 1 0 1 22 1

mA A I m

m m m m m

+ = − = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⇒ = −

− =

Calculamos la matriz inversa de 1 0

11

2

A

= −

1

1 11 0

2 21 00 1 1 1( )

1 1 2 22 2

t

d tA

AA

−

− − −

− = = = = − − −

b)

2 2 1 1 1 12 2 2M M I M M M M I M M M I− − − −− = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⇒ = −

a) Calcula el valor de m para el que la matriz 1 0

1A

m

====

verifica la relación 22A A I− =− =− =− = y

determina 1A

−−−− para dicho valor de m. b) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 22M M I− =− =− =− = , determina la expresión de

1M

−−−− en función de M y de I. MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


3 0 1 0 0 1 0

2 5 5 2 0 1 0 5 2 5

0 3 0 0 1 0 1

A I

λ λ

− = − λ − − = − λ − − λ λ

3 2

1 0

2 5 2 5 2 2 0 2 ; 1 ; 1

0 1

A I

λ

− = − λ − − = −λ + λ + λ − = ⇒ λ = λ = λ = −

λ

b) Calculamos la matriz inversa de

1 0 2

2 5 4 5

2 0 1

A I

−

− = − − − −

1

4 15 8 4 0 8 1 200 3 0 15 3 15 3 3

8 15 4 8 0 4(( 2 ) ) 5 1 5( 2 )

2 12 12 4 4 42 1

03 3

t

d tA I

A IA I

−

− − − − − − − − − − − −− − = = = = −

− − −

Sea A la matriz

3 0

5 5

0 3

λλλλ − λ −− λ −− λ −− λ −

λλλλ

e I la matriz identidad de orden 3.

a) Calcula los valores de λλλλ para los que el determinante de 2A I−−−− es cero. b) Calcula la matriz inversa de 2A I−−−− para 2λ = −λ = −λ = −λ = − . MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


0 0 0 0 0 0 00

1 0 1 0 0 0 0 0 0

m m mm

m

⋅ = ⇒ = ⇒ =

b) Calculamos el determinante de B.

1 2 1 1 2 2 2 22 2

1 1 2 1 4 2

2 2

4 6 2

2 2 2 0

2

ta b a c b d

AX A Oc d a c b d

a c

a cX

b d

b d

+ + − = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ + +

+ = + =

⇒ ⇒ = + = −

+ =

Sean I la matriz identidad de orden 2 y 1

1 1

mA

====

a) Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que 2( )A I O− =− =− =− = , donde O es la matriz nula de orden 2. b) Para m = 2, halla la matriz X tal que 2 t

AX A O− =− =− =− = , donde tA denota la matriz traspuesta de A.

MATEMÁTICAS II. 2007. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A


PROBLEMAS RESUELTOS


2006

MATEMÁTICAS II








a) 1 1 1 12 1

0 0 0 0 20

a a a

a a a

− ⋅ − =

− − −

22

2 2

12 1 1214

0 200 20

a aa aa

a a a a

− − = − − = ⇒ ⇒ =

+ + =

b) 22 22 4

0 2

aA a

a= = −

−

20

1t

aA a

a= = −

−

c) Si A es una matriz simétrica t

A A⇒ =

1 0

0 1

a a

a a

= ⇒

− − No es posible.

Considera1

0

aA

a

====

−−−− , siendo a un número real.

a) Calcula el valor de a para que 2 12 1

0 20A A

−−−− − =− =− =− =

.

b) Calcula, en función de a, los determinantes de 2A y tA , siendo t

A la transpuesta de A. c) ¿Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica?. Razona la respuesta. MATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


a) Calculamos la matriz A I−λ

4 2 1 0 4 2

1 3 0 1 1 3A I

−λ −λ = −λ =

−λ

24 27 10 0 2 ; 5

1 3A I

−λ−λ = = λ − λ + = ⇒ λ = λ =

−λ b)

2 4 2 4 2 4 2 1 0 0 07 10 7 10

1 3 1 3 1 3 0 1 0 0A A I

− + = ⋅ − ⋅ + ⋅ =

Sea 4 2

1 3A

====

y sea I la matriz identidad de orden dos.

a) Calcula los valores λ∈λ∈λ∈λ∈�� tales que 0A I− λ =− λ =− λ =− λ = .

b) Calcula 2 7 10A A I− +− +− +− + . MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a) Calculamos primero la matriz A B C⋅ +

( )3 1 2 6 3 1 2 7 5

2 12 6 6 4 2 6 6 10 8

A B C− − − − − − − − −

⋅ + = ⋅ + = + =

1

1

8 10 8 5 8 57 5 5 7 10 7 6 6( )

7 510 8 10 76

6 610 8

t

A B C

−

−

− − − − − − − − ⋅ + = = = = − − −

b) 1 2 2 3 4 2 0

3 36 6 6 6 3 6 3 0 2

x x x x x y x x y x xC

y y y y x y y x y y x

− − − − − − = = ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ ⇒ + + = = −

Considera las matrices (((( ))))3 1 2

; 2 1 ;2 6 6

A B C− − −− − −− − −− − −

= = == = == = == = =

a) Halla, si existe, la matriz inversa de A B C⋅ +⋅ +⋅ +⋅ + .

b) Calcula, si existen, los números reales x e y que verifican: 3x x

Cy y

⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅



Tenemos que resolver la ecuación: 1 0

1 0 3 2 83 2

2 1 0 0 20 2

a b

c d

− − −

⋅ ⋅ = − −

Multiplicando, tenemos: 6 2

1 6 2 8 5 2 0

5 2 0 2 6 8

5 2 2

a c

a b a c

c d b d

b d

− − = −− − − − − − =

⋅ = ⇒ − − − − = −

− − =

Resolviendo, tenemos que la matriz X es:

11

75 3

14 2

X

− −

=

Resuelve 2tA B X C⋅ ⋅ = −⋅ ⋅ = −⋅ ⋅ = −⋅ ⋅ = − , siendo tB la matriz traspuesta de B y.

1 0 3 1 3 0 1 4;

2 1 0 0 2 2 0 1A B y C

−−−− = = == = == = == = =

− − −− − −− − −− − − .

MATEMÁTICAS II. 2006. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2005

MATEMÁTICAS II







R E S O L U C I Ó N a) Para que la matriz A tenga inversa su determinante tiene que ser distinto de cero.

2 14 3 7

3 2A = = − − = − ⇒

−La matriz A tiene inversa

1

2 3 2 1 2 11 2 3 2( ) 7 7

3 27 7

7 7

t

d tA

AA

−

− − − − − − = = = =

− − −

b)

1 1 1

( )

( ) ( )

t t t t t

t t

A X C B B B A X B B C B B C B

A A X A B C B X A B C B− − −

⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅

2 1 4 60 3

0 1 0 1 2 07 7 7 71 13 2 3 1 2 1 1 4 1 26

0 27 7 7 7

X

− = ⋅ − ⋅ − = − − − −

Sean las matrices: 2 1 0 1 0 1 2 0

A , B y C3 2 3 1 2 1 1 4

= = == = == = == = =

− − −− − −− − −− − −

a) ¿Tiene A inversa?. En caso afirmativo, calcúlala. b) Determina la matriz X que cumple que t t

A X C B B B⋅ + ⋅ = ⋅⋅ + ⋅ = ⋅⋅ + ⋅ = ⋅⋅ + ⋅ = ⋅ , siendo tB la matriz transpuesta de B. MATEMÁTICAS II. 2005. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


1 1 1

1 1 1 1 1

0 0

0 0A X A B B A A X A A B X A A B

X A A A B A X A B A

− − −

− − − − −

⋅ ⋅ = + = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Vamos a calcular la matriz inversa de A.

( )1

1 2 1 1

1 11 3 2 3

2 31 1

t

tdA

AA

−

− − − − = = = = − −− −

Por lo tanto, la matriz X será:

1 1 1 1 5 2 1 1 4 3

2 3 1 3 2 3 3 2X A B A

− − − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − − − − −

Halla la matriz X que cumple que: 0 0

0 0A X A B

⋅ ⋅ − =⋅ ⋅ − =⋅ ⋅ − =⋅ ⋅ − =

siendo

3 1

2 1A

==== − −− −− −− −

y 5 2

1 3B

−−−− ====



a)

0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0b b b

− − − − − ⋅ − − − ⋅ − − + =

2

0 0 2 0 0 0

0 0 2 0 0 0 2

2 0 2 0 0 0

b

b b

b b b

−

− = ⇒ = − −

b) 12 2t tA X A X A A

−⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ;

2 0 1 0 1 1 2 6 8

2 1 1 1 0 1 0 2 2 6

1 0 0 1 1 2 0 2 2

X

− − −

= ⋅ ⋅ = − − − − − −

Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea

0 0 1

1 1 1

1 0

A

b

−−−−

= − −= − −= − −= − −

a) Determina el valor de b para el que 2 2 0A A I− + =− + =− + =− + = . b) Para b = 2 halla la matriz X que cumple que 2 0t

A X A⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − = , donde tA denota la matriz

transpuesta de A. MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la matriz A xI−

2 1 1 0 2 1

1 2 0 1 1 2

xA xI x

x

− − = − ⋅ =

−

Dicha matriz no tendrá inversa para aquellos valores que anulen su determinante, luego:

22 1 14 3 0

1 2 3

x xx x

x x

− == − + = ⇒

− =

b) 2 1 2 1 2 1 1 0 0 0 4

1 2 1 2 1 2 0 1 0 0 3

aa b

b

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒

=

Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea 2 1

1 2A

====

a) Halla los valores de x para los que la matriz A x I− ⋅− ⋅− ⋅− ⋅ no tiene inversa. b) Halla los valores de a y b para los que 2 0A a A b I+ ⋅ + ⋅ =+ ⋅ + ⋅ =+ ⋅ + ⋅ =+ ⋅ + ⋅ = . MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


a) Si nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple quenk A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 33 ( 3) ( 27) 2 54A A− = − ⋅ = − ⋅ = −

Por otro lado, sabemos que: 1 1 1 1 11A A I A A A A I A

A

− − − −⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ = = ⇒ = ; luego en

nuestro caso será: 1 1 1

2A

A

−= =

b) 2 2 2 2 4

2 2 2

c b a c b a a b c

f e d f e d d e f

i h g i h g g h i

= ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = −


c) 0 2

a b a c a b a a b c a b c

d e d f d e d d e f d e f

g h g i g h g g h i g h i

− −

− = + − = − = −

− −

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante puede descomponerse en suma de dos determinantes colocando en dicha fila o columna el primer y segundo sumando, respectivamente. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el determinante vale 0”.

Sabiendo que 2

a b c

A d e f

g h i

= == == == = , calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes

determinantes:

a) 3A−−−− y 1A−−−− ; b)

2 2 2

c b a

f e d

i h g

; c)

a b a c

d e d f

g h g i

−−−−

−−−−

−−−−

MATEMÁTICAS II. 2005. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2004

MATEMÁTICAS II


Junio, Ejercicio 3, Opción B





1 01 0 1 1 0

0 10 1 2 0 1

0 0

A B

⋅ = ⋅ =

1 01 0 1 2 0

0 20 1 2 2 2

1 0

A C

⋅ = ⋅ =

1 0 1 0 01 0 0

0 1 0 1 00 1 0

1 2 1 2 0

t tA B

⋅ = ⋅ =

1 01 0 1 2 2

0 10 2 0 0 2

1 2

t tC A

⋅ = ⋅ =

b) Solamente la matriz A B⋅ tiene inversa ya que es cuadrada y su determinante es distinto de cero.

1 01

0 1A B⋅ = =

1

1 0 1 0

1 00 1 0 1(( ) )( )

0 11 1

t

d tA B

A BA B

−

⋅ ⋅ = = = = ⋅

Considera las matrices: A B y C

= = == = == = == = =

1 0 1 01 0 1

; 0 1 0 20 1 2

0 0 1 0

a) Calcula t t t tA B A C A B y C A⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅; ; , siendo t t tA B y C; las matrices transpuestas de A, B y C, respectivamente. b) Razona cuáles de las matrices A, B, C y A·B tienen inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa. MATEMÁTICAS II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Si

nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que n

k A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 2, tenemos que: 23 ( 3) 9 4 36t tA A− = − ⋅ = ⋅ = , ya que

también se cumple que: tA A=

2 2

2 ( 3) 6 ( 1) 6 4 243 3

b a b a a b

d c d c c d= ⋅ − ⋅ = − ⋅ − = ⋅ =

− −

b) 33 31 1 1B I B B B I B B= ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ = =

c) Sabemos que: 1 1 1C C I C C I− −⋅ = ⇒ ⋅ = =

Si 1 1 13

3 3t

C C C−= ⇒ = ⇒ = , lo cual es falso, ya que: t

C C=

Denotamos por tM a la matriz transpuesta de una matriz M.

a) Sabiendo que a b

Ac d

====

y que det(A) = 4; calcula los siguientes determinantes:

det ( 3 )tA−−−− y 2 2

3 3

b a

d c− −− −− −− −

b) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que 3B I==== . Calcula

det(B). c) Sea C una matriz cuadrada tal que 1 t

C C−−−− ==== . ¿Puede ser det(C) = 3? Razona la respuesta.



a) 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

3 3 15

5 3 5 15 ( 2) 30

5

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

= ⋅ ⋅ = ⋅ − = −


b) 21 22 23 21 22 23 11 12 13

11 12 13 11 12 13 21 22 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33

3 3 3

3 3 3 ( 2) 6

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

= ⋅ = − ⋅ = − ⋅ − =


c) 11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 31 22 32 23 33 21 22 23 31 32 33

31 32 33 31 32 33 31 32 33

2 0 2

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

− − − = − = − + = −

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante puede descomponerse en suma de dos determinantes colocando en dicha fila o columna el primer y segundo sumando, respectivamente. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el determinante vale 0”.

Se sabe que11 12 13

21 22 23

31 32 33

2

a a a

a a a

a a a

= −= −= −= − : Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes

determinantes:

a) 11 12 13

21 22 23

31 32 33

3 3 15

5

5

a a a

a a a

a a a

; b) 21 22 23

11 12 13

31 32 33

3 3 3a a a

a a a

a a a

; c) 11 12 13

21 31 22 32 23 33

31 32 33

a a a

a a a a a a

a a a

− − −− − −− − −− − −



a)

3

3 3 3 ( 6) 18

3

x y z x y z

t u v t u v

a b c a b c

− − −

= − ⋅ = − ⋅ − =


b)

2

2 2 2 ( 1) 2 ( 6) 12

2

y x z y x z x y z

u t v u t v t u v

b a c b a c a b c

−

− = − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = ⋅ − = −

−

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”.En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si en un determinante se cambian entre si dos filas o columnas, el determinante cambia de signo”. c)

2 2 0 ( 6) 6

2 2 2 2 2 2

x y z x y z x y z x y z x y z

t u v t u v t u v t u v t u v

x a y b z c x y z a b c x y z a b c

= − = ⋅ − = ⋅ − − =

− − −

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante puede descomponerse en suma de dos determinantes colocando en dicha fila o columna el primer y segundo sumando, respectivamente. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si una fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el tercer paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el determinante vale 0”.

Sabiendo que: 6

x y z

t u v

a b c

= −= −= −= − , calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes

determinantes: a)

3

3

3

x y z

t u v

a b c

− − −− − −− − −− − −

; b)

2

2

2

y x z

u t v

b a c

−−−−

−−−−

−−−−

; c)

2 2 2

x y z

t u v

x a y b z c− − −− − −− − −− − −



PROBLEMAS RESUELTOS


2003

MATEMÁTICAS II







Septiembre, Ejercicio 3, Opción A


a) Sabemos que 3 5 5 5 125A A A A= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

b) Sabemos que: 1 1 1 1 11A A I A A A A I A

A


será: 1 1 1

5A

A

−= =

c) Si

nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que n

k A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 32 (2) 8 5 40A A= ⋅ = ⋅ =

d)

1 3 3 2 1 3 2 3 3 2 1 3 2 3 3 2

1 2 3

3 2 3 2 2 6 2

6 2 0 6 5 30

C C C C C C C C C C C C C C C C

C C C

− = − = ⋅ − =

= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ = −

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante puede descomponerse en suma de dos determinantes colocando en dicha fila o columna el primer y segundo sumando, respectivamente. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: ”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si en un determinante se cambian entre si dos filas o columnas, el determinante cambia de signo” y “Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el determinante vale 0”.

Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) El determinante de A3. b) El determinante de A-1. c) El determinante de 2 A. d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1―C3; 2C3 y C2. MATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N Si vamos operando y aplicando las propiedades de las matrices, tenemos:

1 1( ) ( )t t t t t t t tA X B A A X A B A X A B A A X A A B X B

− −⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =

Luego la matriz X será:

5 1 2

0 1 4

3 1 3

X

− −

= − −

Dadas las matrices

1 1 0 5 0 3

3 2 0 1 1 1

1 5 1 2 4 3

A y B

− −− −− −− −

= − = −= − = −= − = −= − = − − − −− − −− − −− − −

halla la matriz X que cumple

que ( )t tA X B A⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅ . MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


a) La matriz A tendrá inversa para aquellos valores de m que no anulen el determinante de A. Vamos a calcular el determinante de A e igualarlo a cero.

| A | = 21 0 1m m− = ⇒ = ± . Luego admite inversa para todos los valores de 1m ≠ ± . b) Vamos a calcular la matriz inversa de A para m = 2.

1

1 2 2 1 1 0 1 101 1 2 2 1 3 3 3

0 3 3 2 2 3( ) 2 11

3 3 3 32 2

13 3

t

d tA

AA

−

− − − − − − − − − − − = = = = − − − −

Dada la matriz 2

1 1 1

1 1

0 1

A m

m

====

, se pide:

a) Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a) Si nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que

nk A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 34 (4) (64) ( 2) 128A A= ⋅ = ⋅ − = −

b) Vamos a calcular primero la matriz 3 B + B2

2

3 6 0 1 2 0 1 2 0

3 3 0 3 0 1 0 1

0 3 6 0 1 2 0 1 2

3 6 0 2 1 2 2 2 4 8 2

3 0 3 2 1 2 4 2 1 1

0 3 6 2 5 1 1

B B

⋅ + = λ + λ ⋅ λ = − − −

λ + λ +

= λ + λ λ + − = λ λ + − λ − λ −

A continuación calculamos el determinante de dicha matriz y lo igualamos a cero

2

2 4 8 21

4 2 1 1 8 34 8 0 44

1 1

ó

λ +

λ λ + = − λ + λ − = ⇒ λ =

λ −

Luego no tiene inversa para 1

44

yλ =

a) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale ―2. ¿Cuánto vale el determinante de la matriz 4 A ?.

b) Dada la matriz

1 2 0

0 1

0 1 2

B

= λ= λ= λ= λ −−−−

,¿ para qué valores de λλλλ la matriz 3 B + B2 no tiene inversa?.



a) Calculamos el determinante de ( )M x .

( ) 2 0x

M x = = ⇒ No tiene solución. Luego tiene inversa para todos los valores de x.

Calculamos la matriz inversa de A para 2λ =− .

( ) 1

1 0 0 1 0 0

0 2 0 0 2 22 0 0

0 2 2 0 0 2( ( ) )( ) 0 1

( ) 2 20 0 1

t

x x x

x

x x xd t

x x

x

xM xM x x

M x

−

−

− ⋅ − ⋅ = = = = −

b)

3 5 3 52 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0

0 1 3 0 1 0 1 5 0 1 3 0 1 5 2

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

x x

x x x

+

⋅ = ⇒ + = ⇒ =

Considera la matriz

2 0 0

( ) 0 1

0 0 1

x

M x x

====

, donde x es un número real.

a) ¿Para qué valores de x existe (((( )))) 1( )M x

−−−−?. Para los valores de x obtenidos, calcula la matriz

(((( )))) 1( )M x

−−−−.

b) Resuelve, si es posible, la ecuación (3) ( ) (5)M M x M⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Para que la ecuación matricial tenga solución, la matriz A debe de tener matriz inversa, luego su determinante tiene que ser distinto de cero.

1 0 0

1 0 0

1 1 1

m m m= ⇒ ≠ ⇒ tiene inversa y tiene solución la ecuación matricial.

b) 1 1 12 3 3 2 (3 2 ) (3 2 )A X B C A X C B A A X A C B X A C B

− − −⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = − Vamos a calcular la matriz inversa de A para m = 1

( )1

1 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 01 0 0

0 0 1 0 1 11 1 0

1 10 1 1

t

tdA

AA

−

− − − − = = = = −

−

Como 1(3 2 )X A C B−= − , vamos sustituyendo y operando:

1 0 0 3 0 0 0 2 2 1 0 0 3 2 2 3 2 2

1 1 0 0 3 0 2 0 0 1 1 0 2 3 0 5 5 2

0 1 1 3 0 3 0 0 0 0 1 1 3 0 3 5 3 3

X

− − − − = − ⋅ − = − ⋅ − = −

− − −

Considera las matrices:

1 0 0 0 1 1 1 0 0

1 0 ; 1 0 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 1 0 1

A m B y C

= = == = == = == = =

a) ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial A·X+2B = 3C? b) Resuelve la ecuación matricial dada para m = 1. MATEMÁTICAS II. 2003. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


PROBLEMAS RESUELTOS


2004

MATEMÁTICAS II









Como A es una matriz simétrica tiene que ser cuadrada de orden 2 y de la forma a b

Ab c

=

2 7a b

A ac bb c

= = − =

2 6 4 12 2 6 3 4 12 2 4

1 3 1 3 2 6 3 1 3 2 1

a b a b a b a b

b c b c b c b c

− − − − − − − = − ⋅ = ⇒ = ⇒ − − − − − =

Resolviendo el sistema

2 7

2 4

2 1

ac b

a b

b c

− = −

− = − − =

, obtenemos que 1; 2; 3a b c= − = =

Luego la matriz pedida es 1 2

2 3A

− =

Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que: 2 6 4 12

det ( ) 71 3 1 3

A y A− −− −− −− −

= − ⋅ == − ⋅ == − ⋅ == − ⋅ = − −− −− −− −

MATEMÁTICAS II. 2002. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


0 0 1 1 0 1 1 1

0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

a b c a b c g h i a b c

d e f d e f d e f

g h i g h i a b c g h i

− −

⋅ = − ⇒ = − − − − − − − − + +

Resolviendo el sistema que se obtiene al igualar las dos matrices, tenemos:

1 10

2 20 1 1

1 11

2 2

X

−

= − − −

Determina la matriz X que verifica la ecuación A·X = X―B, siendo: 0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1

A y B

= == == == = − − −− − −− − −− − −

MATEMÁTICAS II. 2002. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a) Sabemos que: 1

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 00 0 1

1 0 0 1 0 0( )0 1 0

0 0 1 11 0 0

0 1 0

1 0 0

t

d tAA

A

−

− − − − − − = = = = −

b)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

A

=

2

0 0 1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0 0 1

A A A I

= ⋅ = ⋅ = =

3 2A A A I A A= ⋅ = ⋅ = Por inducción vemos que:

127

0 0 1

0 1 0

1 0 0

A A

= =

128

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A I

= =

c)

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

y

x x x x

y y y

⋅ = ⋅ ⇒ =

Luego, vemos que: x = 0, y = 1

Considera las matrices:

0 0 1 0 0 1

0 1 0 ; 1 0

1 0 0 0 0

A B x

y

= == == == =

a) Calcula la matriz inversa de A. b) Calcula A127 y A128. c) Determina x e y tal que A B B A⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅ . MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a) Para que la matriz 3 A tenga inversa, su determinante tiene que ser distinto de cero y como 33 3A A⋅ = ⋅ , entonces el determinante de A tiene que ser distinto de cero.

2

1 0

0 1 1 0

2 1 1

a

A a a= − = − − = ⇒

−

No existe ningún valor. Por lo tanto, la matriz 3 A tiene inversa

para todos los valores de a.

b) Para a = 0, la matriz A es:

1 0 0

0 0 1

2 1 1

− −

Calculamos 2

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 2 1 1

2 1 1 2 1 1 4 1 2

A A A

= ⋅ = − ⋅ − = − − − − −

( )2

12

2

1 0 2 1 0 0

0 2 1 0 2 11 0 0

0 1 1 2 1 1(( ) )0 2 1

1 12 1 1

t

d tA

AA

−

− − = = = =

−

Considera la matriz

1 0

0 1

2 1 1

a

A a

= −= −= −= − −−−−

.

a) Halla los valores de a para los que la matriz 3 A tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz A2 para a = 0. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 2. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.


1 1

2 2 2 2 2 0

3 3 3 3 3

k x ax k x k x ax

k y ay k y k y ay

k z az k z k z az

+

+ = + =

+

Hemos aplicado la propiedad que dice: “Si todos los elementos de una línea de un determinante están formados por la suma de dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos

determinantes que tienen los mismos elementos que el determinante dado, excepto los

correspondientes a aquella línea que en el primer determinante está formada por los primeros

sumandos y en el segundo por los segundos”. Los dos determinantes resultantes valen cero, ya que en el primero la 1ª columna y la 3ª son proporcionales, y en el segundo determinante la 2ª y la 3ª columnas también son proporcionales, luego valen 0.

Sin desarrollarlo, calcula el valor del determinante de la matriz

1

2 2

3 3

k x ax

k y ay

k z az

++++

++++ ++++

y enuncia las

propiedades que hayas usado. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a) ( ) ( )1 1 4 3 1 2 1

2 1 4 3 2 8 6 4 8 4

1 1 4 3 3 6 3

t

A B A B

− ⋅ = ⋅ = ⇒ ⋅ = − − − − − −

( ) ( ) ( ) ( )1

1 4 3 2 6 6

1

t

B A B A

⋅ = ⋅ = ⇒ ⋅ = −

b) ( )1 1( ) ( ) 2 ( )

2 2t t t

X AB C X C AB X C AB+ = ⇒ = − ⇒ = ⋅ −

0 4 3 1 2 1 2 4 4

2 2 9 6 4 8 4 12 2 4

1 4 4 3 6 3 4 20 14

X

− − − − = ⋅ − − − − = − − − − − −

Denotamos por M t a la matriz traspuesta de una matriz M. Considera:

(((( ))))1 0 4 3

2 ; 1 4 3 ; 2 9 6

1 1 4 4

A B C

−−−− = = = − −= = = − −= = = − −= = = − − − −− −− −− −

a) Calcula (AB)t y (BA)t.

b) Determina una matriz X que verifique la relación: 1

( )2

tX AB C+ =+ =+ =+ =


PROBLEMAS RESUELTOS


2001

MATEMÁTICAS II












Para que la matriz A tenga inversa, su determinante tiene que ser distinto de cero.

2 2cos 1 0= + = ≠A sen x x Luego, la matriz A tiene inversa para cualquier valor de x.

1

cos 1 cos 0cos 1 cos 0

cos 00 0 1 1 1 1( ) cos 0

1 11 1 1

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = −⎜ ⎟

⎜ ⎟− −⎝ ⎠

t

d t

sen x x sen x xx sen x x sen x

sen x xAA x sen xA

Sea cos 0

cos 0cos cos 1

sen x xA x sen x

sen x x sen x x

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

.

¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A?. Calcula dicha matriz inversa. MATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


2

0 3 4 0 3 4 1 0 11 4 5 1 4 5 1 4 41 3 4 1 3 4 1 3 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − ⋅ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A

3

0 3 4 1 0 1 1 0 01 4 5 1 4 4 0 1 01 3 4 1 3 3 0 0 1

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A

3

1 0 0 1 0 0 0 0 00 1 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 1 0 0 0

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A I

b)

10 3 3 3

0 3 4( ) ( ) ( ) 1 4 5

1 3 4

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

A A A A A I I I A A

Considera la matriz 0 3 41 4 51 3 4

A⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Siendo I la matriz identidad 3x3 y 0 la matriz nula 3x3, prueba que A3 + I = 0 b) Calcula A10 MATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 4.OPCIÓN B.


La matriz B no tiene inversa porque no es cuadrada. La matriz C no tiene inversa porque su determinante vale cero.

1 1 1 12 2

− = = = −−

AA

1 1 1 1

1− = = =D

D

De las matrices: 1 2 3

1 2 1 2 3 1 1; ; ; 0 1 2

3 4 4 5 6 3 30 0 1

A B C D⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichas inversas. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


a)

2 2

2 1 2 2 2 2; ;

2 2 2 2( ,0, ) ( ,0, ) 0

A aba b ó a b

a b a b a b

⎫= − = ⎪⇒ = = − = − =⎬⋅ − = − + = ⎪⎭

b) Calculamos

( ) 1

0 01 10 2 0 0 2 0 0

2 20 0( ) 0 1 02 2

1 102 2

t

d t

b b b aab ab

a ba a b aAAA ab ab

a b

−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = −⎜ ⎟− − ⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎝ ⎠

00 1 0

0

t

a bA

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Efectivamente, para los valores de a y de b obtenidos en el primer apartado se cumple que:

1 tA A− =

Se sabe que la matriz 0

0 1 00

a aA

b b

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

verifica que det (A) = 1 y sus columnas son vectores

perpendiculares dos a dos. a) Calcula los valores de a y b. b) Comprueba que para dichos valores se verifica que A-1 = At, donde At denota la matriz traspuesta de A. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


Sabemos que: 13 3A X B X A B−⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Calculamos la matriz inversa de A.

( ) 1

1 4 2 1 1 31 2 1 4 2 5

1 1 33 5 3 2 1 3( ) 4 2 5

1 12 1 3

t

d tAAA

−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = − −⎜ ⎟− − ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Luego:

1

1 1 3 1 2 12 153 3 4 2 5 1 0 12 39

2 1 3 2 1 9 21X A B−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ − − ⋅ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Determina la matriz X tal que A·X―3·B = 0, siendo: 1 0 1 1 22 3 7 1 00 1 2 2 1

A y B−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠



a) 32 2 8 ( 1) 8A A= ⋅ = ⋅ − = −

31 31( 1) 1A = − = − 31 1( ) 1A − = −

b) Calculamos la matriz inversa de A.

( ) 1

1 1 0 1 2 22 2 1 1 2 3

1 2 22 3 1 0 1 1( ) 1 2 3

1 10 1 1

t

d tAAA

−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = − −⎜ ⎟− − ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Considera la matriz 1 0 21 1 11 1 0

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Calcula el determinante de las matrices: 2·A; 31A y 31 1( )A − . b) Halla la matriz 1A − . MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



21 0 1A = −λ = ⇒ λ = ±

Luego, la matriz A no tiene inversa para 1λ = ± . b) Calculamos la matriz inversa de A para 2λ =− .

( ) 1

3 2 4 3 0 30 1 2 2 1 0 1 0 13 0 3 4 2 3( ) 2 1 0

3 3 3 34 2 13 3

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = − −⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Considera la matriz 1 1

10 1

Aλ⎛ ⎞

⎜ ⎟= λ λ⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

a) Determina para qué valores del parámetro λ la matriz A no tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para λ = ―2. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.


1 2 3 1 1 1 2

2 7 92 9 1 2 2 9

2 3 53 4 1 3 4

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎧⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + =⎩⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

aA a

b cb c

rango (A) = 23 1 1

0 1 2 0 3 7 21

−⇒ = ⇒ = ⇒ − + − =

−A a a ac b c

b c

Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones, obtenemos que: a = 1; b = 2329

; c = 3329

Determina a, b y c sabiendo que la matriz3 1 11 21

A ab c

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, verifica:

1 22 93 4

A⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y rango (A) = 2.

MATEMÁTICAS II. 2001. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

PROBLEMAS RESUELTOS


2000

MATEMÁTICAS II









1 32 4

tA ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1

4 3 4 22 12 1 3 1( )3 12 22 2

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = =

⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

1 2 1 1 12 1 3 111 3 1 3

( ) 2 23 12 2 2 2 2 62 2

t t t t tA A A A A A A A A A A− − − −−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠


A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, calcula (At·A-1)2·A

MATEMÁTICAS II. 2000. JUNIO. EJERCICIO 4.OPCIÓN A.


3 3 15 5) 5 3 5 3 5 3 5 2 30

5 5

a b c a b c a b ca d e f d e f d e f

g h i g h i g h i= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

2 2

) 2 2 2 2 0 22 2

a b c b a c b b c b a c b b c b a b cb d e f e d f e e f e d f e e f e d e f

g h i h g i h h i h g i h h i h g h i

++ = + = + ⋅ = − + ⋅ = −+

Sabiendo que 2a b cd e fg h i

= ; calcula los siguientes determinantes y enuncia las propiedades

que utilices: 3 3 15 2

) 5 ; ) 25 2

a b c a b c ba d e f b d e f e

g h i g h i h

+++



a)

2

1 0 10 3 4 3 0 1 ; 34 1

A m m m m mm

−= = − + − = ⇒ = =

−

Luego, tiene inversa para todos los valores de 1 3m y≠ b) Calculamos la inversa para m = 2.

( ) 1

7 12 8 7 1 21 2 1 12 2 3

7 1 22 3 2 8 1 2( ) 12 2 3

1 18 1 2

t

d tAAA

−

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = −⎜ ⎟

⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Dada la matriz 1 0 10 34 1

A mm

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

averiguar para qué valores del parámetro m existe A-1 y calcular

A-1 para m = 2. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 2. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.


2 1 1 1 1 1 2

2 3 2 3 4 7A A A

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1 2 2 2 8 14 2 52

24 7 0 6 2 8 2 30

a b cA X B X

d e f− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Resuelve la ecuación matricial A2·X = 2·B, siendo: 1 1 1 1 42 3 0 3 1

A y B− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠



a)

3 2 7 3 2 73 ; 1

4 3 9 4 3 9x x y

x yy x y

+ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧⋅ = ⇒ ⇒ = = −⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩

b)

( ) 1

3 4 3 23 22 3 4 3( )4 31 1

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −− − ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 3 2 7 3

4 3 9 1A U− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c)

3 2 1 1 3 22

4 3 4 3m a

a mm m m am

+ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ = ±⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩

Considera las matrices: 3 2 7

; ;4 3 9

xA X U

y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) Halla los valores de x e y tales que A X = U b) Halla la matriz A-1 y calcula A-1 U

c) Encuentra los posibles valores de m para los que los vectores 1 1

A ym m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

son linealmente

dependientes. MATEMÁTICAS II. 2000. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.

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