problemas resueltos selectividad...

PROBLEMAS RESUELTOS

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

2000

MATEMÁTICAS II

TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

• Junio, Ejercicio 4, Opción A

• Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A

• Reserva 2, Ejercicio 4, Opción B


• Septiembre, Ejercicio 4, Opción A

http://emestrada.wordpress.com

R E S O L U C I Ó N

1 32 4

tA ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1

4 3 4 22 12 1 3 1( )3 12 22 2

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = =

⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

1 2 1 1 12 1 3 111 3 1 3

( ) 2 23 12 2 2 2 2 62 2

t t t t tA A A A A A A A A A A− − − −−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dada la matriz 1 23 4

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, calcula (At·A-1)2·A

MATEMÁTICAS II. 2000. JUNIO. EJERCICIO 4.OPCIÓN A.


3 3 15 5) 5 3 5 3 5 3 5 2 30

5 5

a b c a b c a b ca d e f d e f d e f

g h i g h i g h i= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

2 2

) 2 2 2 2 0 22 2

a b c b a c b b c b a c b b c b a b cb d e f e d f e e f e d f e e f e d e f

g h i h g i h h i h g i h h i h g h i

++ = + = + ⋅ = − + ⋅ = −+

Sabiendo que 2a b cd e fg h i

= ; calcula los siguientes determinantes y enuncia las propiedades

que utilices: 3 3 15 2

) 5 ; ) 25 2

a b c a b c ba d e f b d e f e

g h i g h i h

+++

MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


a)

2

1 0 10 3 4 3 0 1 ; 34 1

A m m m m mm

−= = − + − = ⇒ = =

−

Luego, tiene inversa para todos los valores de 1 3m y≠ b) Calculamos la inversa para m = 2.

( ) 1

7 12 8 7 1 21 2 1 12 2 3

7 1 22 3 2 8 1 2( ) 12 2 3

1 18 1 2

t

d tAAA

−

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = −⎜ ⎟

⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Dada la matriz 1 0 10 34 1

A mm

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

averiguar para qué valores del parámetro m existe A-1 y calcular

A-1 para m = 2. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 2. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.


2 1 1 1 1 1 2

2 3 2 3 4 7A A A

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1 2 2 2 8 14 2 52

24 7 0 6 2 8 2 30

a b cA X B X

d e f− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Resuelve la ecuación matricial A2·X = 2·B, siendo: 1 1 1 1 42 3 0 3 1

A y B− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a)

3 2 7 3 2 73 ; 1

4 3 9 4 3 9x x y

x yy x y

+ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧⋅ = ⇒ ⇒ = = −⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩

b)

( ) 1

3 4 3 23 22 3 4 3( )4 31 1

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −− − ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 3 2 7 3

4 3 9 1A U− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c)

3 2 1 1 3 22

4 3 4 3m a

a mm m m am

+ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ = ±⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩

Considera las matrices: 3 2 7

; ;4 3 9

xA X U

y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) Halla los valores de x e y tales que A X = U b) Halla la matriz A-1 y calcula A-1 U

c) Encuentra los posibles valores de m para los que los vectores 1 1

A ym m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

son linealmente

dependientes. MATEMÁTICAS II. 2000. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.

PROBLEMAS RESUELTOS


2001

MATEMÁTICAS II



• Junio, Ejercicio 4, Opción B









Para que la matriz A tenga inversa, su determinante tiene que ser distinto de cero.

2 2cos 1 0= + = ≠A sen x x Luego, la matriz A tiene inversa para cualquier valor de x.

1

cos 1 cos 0cos 1 cos 0

cos 00 0 1 1 1 1( ) cos 0

1 11 1 1

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = −⎜ ⎟

⎜ ⎟− −⎝ ⎠

t

d t

sen x x sen x xx sen x x sen x

sen x xAA x sen xA

Sea cos 0

cos 0cos cos 1

sen x xA x sen x

sen x x sen x x

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

.

¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A?. Calcula dicha matriz inversa. MATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a)

2

0 3 4 0 3 4 1 0 11 4 5 1 4 5 1 4 41 3 4 1 3 4 1 3 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − ⋅ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A

3

0 3 4 1 0 1 1 0 01 4 5 1 4 4 0 1 01 3 4 1 3 3 0 0 1

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A

3

1 0 0 1 0 0 0 0 00 1 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 1 0 0 0

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A I

b)

10 3 3 3

0 3 4( ) ( ) ( ) 1 4 5

1 3 4

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

A A A A A I I I A A

Considera la matriz 0 3 41 4 51 3 4

A⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Siendo I la matriz identidad 3x3 y 0 la matriz nula 3x3, prueba que A3 + I = 0 b) Calcula A10 MATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 4.OPCIÓN B.


La matriz B no tiene inversa porque no es cuadrada. La matriz C no tiene inversa porque su determinante vale cero.

1 1 1 12 2

− = = = −−

AA

1 1 1 1

1− = = =D

D

De las matrices: 1 2 3

1 2 1 2 3 1 1; ; ; 0 1 2

3 4 4 5 6 3 30 0 1

A B C D⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichas inversas. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


a)

2 2

2 1 2 2 2 2; ;

2 2 2 2( ,0, ) ( ,0, ) 0

A aba b ó a b

a b a b a b

⎫= − = ⎪⇒ = = − = − =⎬⋅ − = − + = ⎪⎭

b) Calculamos

( ) 1

0 01 10 2 0 0 2 0 0

2 20 0( ) 0 1 02 2

1 102 2

t

d t

b b b aab ab

a ba a b aAAA ab ab

a b

−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = −⎜ ⎟− − ⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎝ ⎠

00 1 0

0

t

a bA

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Efectivamente, para los valores de a y de b obtenidos en el primer apartado se cumple que:

1 tA A− =

Se sabe que la matriz 0

0 1 00

a aA

b b

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

verifica que det (A) = 1 y sus columnas son vectores

perpendiculares dos a dos. a) Calcula los valores de a y b. b) Comprueba que para dichos valores se verifica que A-1 = At, donde At denota la matriz traspuesta de A. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


Sabemos que: 13 3A X B X A B−⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Calculamos la matriz inversa de A.

( ) 1

1 4 2 1 1 31 2 1 4 2 5

1 1 33 5 3 2 1 3( ) 4 2 5

1 12 1 3

t

d tAAA

−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = − −⎜ ⎟− − ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Luego:

1

1 1 3 1 2 12 153 3 4 2 5 1 0 12 39

2 1 3 2 1 9 21X A B−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ − − ⋅ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Determina la matriz X tal que A·X―3·B = 0, siendo: 1 0 1 1 22 3 7 1 00 1 2 2 1

A y B−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠



a) 32 2 8 ( 1) 8A A= ⋅ = ⋅ − = −

31 31( 1) 1A = − = − 31 1( ) 1A − = −

b) Calculamos la matriz inversa de A.

( ) 1

1 1 0 1 2 22 2 1 1 2 3

1 2 22 3 1 0 1 1( ) 1 2 3

1 10 1 1

t

d tAAA

−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = − −⎜ ⎟− − ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Considera la matriz 1 0 21 1 11 1 0

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Calcula el determinante de las matrices: 2·A; 31A y 31 1( )A − . b) Halla la matriz 1A − . MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a) Calculamos el determinante de A.

21 0 1A = −λ = ⇒ λ = ±

Luego, la matriz A no tiene inversa para 1λ = ± . b) Calculamos la matriz inversa de A para 2λ =− .

( ) 1

3 2 4 3 0 30 1 2 2 1 0 1 0 13 0 3 4 2 3( ) 2 1 0

3 3 3 34 2 13 3

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = − −⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Considera la matriz 1 1

10 1

Aλ⎛ ⎞

⎜ ⎟= λ λ⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

a) Determina para qué valores del parámetro λ la matriz A no tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para λ = ―2. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.


1 2 3 1 1 1 2

2 7 92 9 1 2 2 9

2 3 53 4 1 3 4

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎧⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + =⎩⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

aA a

b cb c

rango (A) = 23 1 1

0 1 2 0 3 7 21

−⇒ = ⇒ = ⇒ − + − =

−A a a ac b c

b c

Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones, obtenemos que: a = 1; b = 2329

; c = 3329

Determina a, b y c sabiendo que la matriz3 1 11 21

A ab c

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, verifica:

1 22 93 4

A⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y rango (A) = 2.

MATEMÁTICAS II. 2001. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


PROBLEMAS RESUELTOS


2004

MATEMÁTICAS II


Junio, Ejercicio 3, Opción A

Junio, Ejercicio 3, Opción B

Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B





Como A es una matriz simétrica tiene que ser cuadrada de orden 2 y de la forma a b

Ab c

=

2 7a b

A ac bb c

= = − =

2 6 4 12 2 6 3 4 12 2 4

1 3 1 3 2 6 3 1 3 2 1

a b a b a b a b

b c b c b c b c

− − − − − − − = − ⋅ = ⇒ = ⇒ − − − − − =

Resolviendo el sistema

2 7

2 4

2 1

ac b

a b

b c

− = −

− = − − =

, obtenemos que 1; 2; 3a b c= − = =

Luego la matriz pedida es 1 2

2 3A

− =

Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que: 2 6 4 12

det ( ) 71 3 1 3

A y A− −− −− −− −

= − ⋅ == − ⋅ == − ⋅ == − ⋅ = − −− −− −− −

MATEMÁTICAS II. 2002. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


0 0 1 1 0 1 1 1

0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

a b c a b c g h i a b c

d e f d e f d e f

g h i g h i a b c g h i

− −

⋅ = − ⇒ = − − − − − − − − + +

Resolviendo el sistema que se obtiene al igualar las dos matrices, tenemos:

1 10

2 20 1 1

1 11

2 2

X

−

= − − −

Determina la matriz X que verifica la ecuación A·X = X―B, siendo: 0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1

A y B

= == == == = − − −− − −− − −− − −

MATEMÁTICAS II. 2002. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a) Sabemos que: 1

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 00 0 1

1 0 0 1 0 0( )0 1 0

0 0 1 11 0 0

0 1 0

1 0 0

t

d tAA

A

−

− − − − − − = = = = −

b)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

A

=

2

0 0 1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0 0 1

A A A I

= ⋅ = ⋅ = =

3 2A A A I A A= ⋅ = ⋅ = Por inducción vemos que:

127

0 0 1

0 1 0

1 0 0

A A

= =

128

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A I

= =

c)

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

y

x x x x

y y y

⋅ = ⋅ ⇒ =

Luego, vemos que: x = 0, y = 1

Considera las matrices:

0 0 1 0 0 1

0 1 0 ; 1 0

1 0 0 0 0

A B x

y

= == == == =

a) Calcula la matriz inversa de A. b) Calcula A127 y A128. c) Determina x e y tal que A B B A⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅ . MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a) Para que la matriz 3 A tenga inversa, su determinante tiene que ser distinto de cero y como 33 3A A⋅ = ⋅ , entonces el determinante de A tiene que ser distinto de cero.

2

1 0

0 1 1 0

2 1 1

a

A a a= − = − − = ⇒

−

No existe ningún valor. Por lo tanto, la matriz 3 A tiene inversa

para todos los valores de a.

b) Para a = 0, la matriz A es:

1 0 0

0 0 1

2 1 1

− −

Calculamos 2

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 2 1 1

2 1 1 2 1 1 4 1 2

A A A

= ⋅ = − ⋅ − = − − − − −

( )2

12

2

1 0 2 1 0 0

0 2 1 0 2 11 0 0

0 1 1 2 1 1(( ) )0 2 1

1 12 1 1

t

d tA

AA

−

− − = = = =

−

Considera la matriz

1 0

0 1

2 1 1

a

A a

= −= −= −= − −−−−

.

a) Halla los valores de a para los que la matriz 3 A tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz A2 para a = 0. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 2. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.


1 1

2 2 2 2 2 0

3 3 3 3 3

k x ax k x k x ax

k y ay k y k y ay

k z az k z k z az

+

+ = + =

+

Hemos aplicado la propiedad que dice: “Si todos los elementos de una línea de un determinante están formados por la suma de dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos

determinantes que tienen los mismos elementos que el determinante dado, excepto los

correspondientes a aquella línea que en el primer determinante está formada por los primeros

sumandos y en el segundo por los segundos”. Los dos determinantes resultantes valen cero, ya que en el primero la 1ª columna y la 3ª son proporcionales, y en el segundo determinante la 2ª y la 3ª columnas también son proporcionales, luego valen 0.

Sin desarrollarlo, calcula el valor del determinante de la matriz

1

2 2

3 3

k x ax

k y ay

k z az

++++

++++ ++++

y enuncia las

propiedades que hayas usado. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a) ( ) ( )1 1 4 3 1 2 1

2 1 4 3 2 8 6 4 8 4

1 1 4 3 3 6 3

t

A B A B

− ⋅ = ⋅ = ⇒ ⋅ = − − − − − −

( ) ( ) ( ) ( )1

1 4 3 2 6 6

1

t

B A B A

⋅ = ⋅ = ⇒ ⋅ = −

b) ( )1 1( ) ( ) 2 ( )

2 2t t t

X AB C X C AB X C AB+ = ⇒ = − ⇒ = ⋅ −

0 4 3 1 2 1 2 4 4

2 2 9 6 4 8 4 12 2 4

1 4 4 3 6 3 4 20 14

X

− − − − = ⋅ − − − − = − − − − − −

Denotamos por M t a la matriz traspuesta de una matriz M. Considera:

(((( ))))1 0 4 3

2 ; 1 4 3 ; 2 9 6

1 1 4 4

A B C

−−−− = = = − −= = = − −= = = − −= = = − − − −− −− −− −

a) Calcula (AB)t y (BA)t.

b) Determina una matriz X que verifique la relación: 1

( )2

tX AB C+ =+ =+ =+ =



PROBLEMAS RESUELTOS


2003

MATEMÁTICAS II



Reserva 2, Ejercicio 3, Opción A




Septiembre, Ejercicio 3, Opción A


a) Sabemos que 3 5 5 5 125A A A A= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

b) Sabemos que: 1 1 1 1 11A A I A A A A I A

A

− − − −⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ = = ⇒ = ; luego en nuestro caso

será: 1 1 1

5A

A

−= =

c) Si

nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que n

k A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 32 (2) 8 5 40A A= ⋅ = ⋅ =

d)

1 3 3 2 1 3 2 3 3 2 1 3 2 3 3 2

1 2 3

3 2 3 2 2 6 2

6 2 0 6 5 30

C C C C C C C C C C C C C C C C

C C C

− = − = ⋅ − =

= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ = −

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante puede descomponerse en suma de dos determinantes colocando en dicha fila o columna el primer y segundo sumando, respectivamente. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: ”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si en un determinante se cambian entre si dos filas o columnas, el determinante cambia de signo” y “Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el determinante vale 0”.

Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) El determinante de A3. b) El determinante de A-1. c) El determinante de 2 A. d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1―C3; 2C3 y C2. MATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N Si vamos operando y aplicando las propiedades de las matrices, tenemos:

1 1( ) ( )t t t t t t t tA X B A A X A B A X A B A A X A A B X B

− −⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =

Luego la matriz X será:

5 1 2

0 1 4

3 1 3

X

− −

= − −

Dadas las matrices

1 1 0 5 0 3

3 2 0 1 1 1

1 5 1 2 4 3

A y B

− −− −− −− −

= − = −= − = −= − = −= − = − − − −− − −− − −− − −

halla la matriz X que cumple

que ( )t tA X B A⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅ . MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


a) La matriz A tendrá inversa para aquellos valores de m que no anulen el determinante de A. Vamos a calcular el determinante de A e igualarlo a cero.

| A | = 21 0 1m m− = ⇒ = ± . Luego admite inversa para todos los valores de 1m ≠ ± . b) Vamos a calcular la matriz inversa de A para m = 2.

1

1 2 2 1 1 0 1 101 1 2 2 1 3 3 3

0 3 3 2 2 3( ) 2 11

3 3 3 32 2

13 3

t

d tA

AA

−

− − − − − − − − − − − = = = = − − − −

Dada la matriz 2

1 1 1

1 1

0 1

A m

m

====

, se pide:

a) Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a) Si nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que

nk A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 34 (4) (64) ( 2) 128A A= ⋅ = ⋅ − = −

b) Vamos a calcular primero la matriz 3 B + B2

2

3 6 0 1 2 0 1 2 0

3 3 0 3 0 1 0 1

0 3 6 0 1 2 0 1 2

3 6 0 2 1 2 2 2 4 8 2

3 0 3 2 1 2 4 2 1 1

0 3 6 2 5 1 1

B B

⋅ + = λ + λ ⋅ λ = − − −

λ + λ +

= λ + λ λ + − = λ λ + − λ − λ −

A continuación calculamos el determinante de dicha matriz y lo igualamos a cero

2

2 4 8 21

4 2 1 1 8 34 8 0 44

1 1

ó

λ +

λ λ + = − λ + λ − = ⇒ λ =

λ −

Luego no tiene inversa para 1

44

yλ =

a) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale ―2. ¿Cuánto vale el determinante de la matriz 4 A ?.

b) Dada la matriz

1 2 0

0 1

0 1 2

B

= λ= λ= λ= λ −−−−

,¿ para qué valores de λλλλ la matriz 3 B + B2 no tiene inversa?.



a) Calculamos el determinante de ( )M x .

( ) 2 0x

M x = = ⇒ No tiene solución. Luego tiene inversa para todos los valores de x.

Calculamos la matriz inversa de A para 2λ =− .

( ) 1

1 0 0 1 0 0

0 2 0 0 2 22 0 0

0 2 2 0 0 2( ( ) )( ) 0 1

( ) 2 20 0 1

t

x x x

x

x x xd t

x x

x

xM xM x x

M x

−

−

− ⋅ − ⋅ = = = = −

b)

3 5 3 52 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0

0 1 3 0 1 0 1 5 0 1 3 0 1 5 2

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

x x

x x x

+

⋅ = ⇒ + = ⇒ =

Considera la matriz

2 0 0

( ) 0 1

0 0 1

x

M x x

====

, donde x es un número real.

a) ¿Para qué valores de x existe (((( )))) 1( )M x

−−−−?. Para los valores de x obtenidos, calcula la matriz

(((( )))) 1( )M x

−−−−.

b) Resuelve, si es posible, la ecuación (3) ( ) (5)M M x M⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Para que la ecuación matricial tenga solución, la matriz A debe de tener matriz inversa, luego su determinante tiene que ser distinto de cero.

1 0 0

1 0 0

1 1 1

m m m= ⇒ ≠ ⇒ tiene inversa y tiene solución la ecuación matricial.

b) 1 1 12 3 3 2 (3 2 ) (3 2 )A X B C A X C B A A X A C B X A C B

− − −⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = − Vamos a calcular la matriz inversa de A para m = 1

( )1

1 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 01 0 0

0 0 1 0 1 11 1 0

1 10 1 1

t

tdA

AA

−

− − − − = = = = −

−

Como 1(3 2 )X A C B−= − , vamos sustituyendo y operando:

1 0 0 3 0 0 0 2 2 1 0 0 3 2 2 3 2 2

1 1 0 0 3 0 2 0 0 1 1 0 2 3 0 5 5 2

0 1 1 3 0 3 0 0 0 0 1 1 3 0 3 5 3 3

X

− − − − = − ⋅ − = − ⋅ − = −

− − −


1 0 0 0 1 1 1 0 0

1 0 ; 1 0 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 1 0 1

A m B y C

= = == = == = == = =

a) ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial A·X+2B = 3C? b) Resuelve la ecuación matricial dada para m = 1. MATEMÁTICAS II. 2003. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


PROBLEMAS RESUELTOS


2004

MATEMÁTICAS II







1 01 0 1 1 0

0 10 1 2 0 1

0 0

A B

⋅ = ⋅ =

1 01 0 1 2 0

0 20 1 2 2 2

1 0

A C

⋅ = ⋅ =

1 0 1 0 01 0 0

0 1 0 1 00 1 0

1 2 1 2 0

t tA B

⋅ = ⋅ =

1 01 0 1 2 2

0 10 2 0 0 2

1 2

t tC A

⋅ = ⋅ =

b) Solamente la matriz A B⋅ tiene inversa ya que es cuadrada y su determinante es distinto de cero.

1 01

0 1A B⋅ = =

1

1 0 1 0

1 00 1 0 1(( ) )( )

0 11 1

t

d tA B

A BA B

−

⋅ ⋅ = = = = ⋅

Considera las matrices: A B y C

= = == = == = == = =

1 0 1 01 0 1

; 0 1 0 20 1 2

0 0 1 0

a) Calcula t t t tA B A C A B y C A⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅; ; , siendo t t tA B y C; las matrices transpuestas de A, B y C, respectivamente. b) Razona cuáles de las matrices A, B, C y A·B tienen inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa. MATEMÁTICAS II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Si

nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que n

k A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 2, tenemos que: 23 ( 3) 9 4 36t tA A− = − ⋅ = ⋅ = , ya que

también se cumple que: tA A=

2 2

2 ( 3) 6 ( 1) 6 4 243 3

b a b a a b

d c d c c d= ⋅ − ⋅ = − ⋅ − = ⋅ =

− −

b) 33 31 1 1B I B B B I B B= ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ = =

c) Sabemos que: 1 1 1C C I C C I− −⋅ = ⇒ ⋅ = =

Si 1 1 13

3 3t

C C C−= ⇒ = ⇒ = , lo cual es falso, ya que: t

C C=

Denotamos por tM a la matriz transpuesta de una matriz M.

a) Sabiendo que a b

Ac d

====

y que det(A) = 4; calcula los siguientes determinantes:

det ( 3 )tA−−−− y 2 2

3 3

b a

d c− −− −− −− −

b) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que 3B I==== . Calcula

det(B). c) Sea C una matriz cuadrada tal que 1 t

C C−−−− ==== . ¿Puede ser det(C) = 3? Razona la respuesta.



a) 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

3 3 15

5 3 5 15 ( 2) 30

5

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

= ⋅ ⋅ = ⋅ − = −

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”.

b) 21 22 23 21 22 23 11 12 13

11 12 13 11 12 13 21 22 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33

3 3 3

3 3 3 ( 2) 6

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

= ⋅ = − ⋅ = − ⋅ − =

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si en un determinante se cambian entre si dos filas o columnas, el determinante cambia de signo”.

c) 11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 31 22 32 23 33 21 22 23 31 32 33

31 32 33 31 32 33 31 32 33

2 0 2

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

− − − = − = − + = −

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante puede descomponerse en suma de dos determinantes colocando en dicha fila o columna el primer y segundo sumando, respectivamente. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el determinante vale 0”.

Se sabe que11 12 13

21 22 23

31 32 33

2

a a a

a a a

a a a

= −= −= −= − : Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes

determinantes:

a) 11 12 13

21 22 23

31 32 33

3 3 15

5

5

a a a

a a a

a a a

; b) 21 22 23

11 12 13

31 32 33

3 3 3a a a

a a a

a a a

; c) 11 12 13

21 31 22 32 23 33

31 32 33

a a a

a a a a a a

a a a

− − −− − −− − −− − −



a)

3

3 3 3 ( 6) 18

3

x y z x y z

t u v t u v

a b c a b c

− − −

= − ⋅ = − ⋅ − =


b)

2

2 2 2 ( 1) 2 ( 6) 12

2

y x z y x z x y z

u t v u t v t u v

b a c b a c a b c

−

− = − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = ⋅ − = −

−

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”.En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si en un determinante se cambian entre si dos filas o columnas, el determinante cambia de signo”. c)

2 2 0 ( 6) 6

2 2 2 2 2 2

x y z x y z x y z x y z x y z

t u v t u v t u v t u v t u v

x a y b z c x y z a b c x y z a b c

= − = ⋅ − = ⋅ − − =

− − −

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante puede descomponerse en suma de dos determinantes colocando en dicha fila o columna el primer y segundo sumando, respectivamente. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si una fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el tercer paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el determinante vale 0”.

Sabiendo que: 6

x y z

t u v

a b c

= −= −= −= − , calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes

determinantes: a)

3

3

3

x y z

t u v

a b c

− − −− − −− − −− − −

; b)

2

2

2

y x z

u t v

b a c

−−−−

−−−−

−−−−

; c)

2 2 2

x y z

t u v

x a y b z c− − −− − −− − −− − −



PROBLEMAS RESUELTOS


2005

MATEMÁTICAS II






Septiembre, Ejercicio 3, Opción B

R E S O L U C I Ó N a) Para que la matriz A tenga inversa su determinante tiene que ser distinto de cero.

2 14 3 7

3 2A = = − − = − ⇒

−La matriz A tiene inversa

1

2 3 2 1 2 11 2 3 2( ) 7 7

3 27 7

7 7

t

d tA

AA

−

− − − − − − = = = =

− − −

b)

1 1 1

( )

( ) ( )

t t t t t

t t

A X C B B B A X B B C B B C B

A A X A B C B X A B C B− − −

⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅

2 1 4 60 3

0 1 0 1 2 07 7 7 71 13 2 3 1 2 1 1 4 1 26

0 27 7 7 7

X

− = ⋅ − ⋅ − = − − − −

Sean las matrices: 2 1 0 1 0 1 2 0

A , B y C3 2 3 1 2 1 1 4

= = == = == = == = =

− − −− − −− − −− − −

a) ¿Tiene A inversa?. En caso afirmativo, calcúlala. b) Determina la matriz X que cumple que t t

A X C B B B⋅ + ⋅ = ⋅⋅ + ⋅ = ⋅⋅ + ⋅ = ⋅⋅ + ⋅ = ⋅ , siendo tB la matriz transpuesta de B. MATEMÁTICAS II. 2005. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


1 1 1

1 1 1 1 1

0 0

0 0A X A B B A A X A A B X A A B

X A A A B A X A B A

− − −

− − − − −

⋅ ⋅ = + = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Vamos a calcular la matriz inversa de A.

( )1

1 2 1 1

1 11 3 2 3

2 31 1

t

tdA

AA

−

− − − − = = = = − −− −

Por lo tanto, la matriz X será:

1 1 1 1 5 2 1 1 4 3

2 3 1 3 2 3 3 2X A B A

− − − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − − − − −

Halla la matriz X que cumple que: 0 0

0 0A X A B

⋅ ⋅ − =⋅ ⋅ − =⋅ ⋅ − =⋅ ⋅ − =

siendo

3 1

2 1A

==== − −− −− −− −

y 5 2

1 3B

−−−− ====



a)

0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0b b b

− − − − − ⋅ − − − ⋅ − − + =

2

0 0 2 0 0 0

0 0 2 0 0 0 2

2 0 2 0 0 0

b

b b

b b b

−

− = ⇒ = − −

b) 12 2t tA X A X A A

−⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ;

2 0 1 0 1 1 2 6 8

2 1 1 1 0 1 0 2 2 6

1 0 0 1 1 2 0 2 2

X

− − −

= ⋅ ⋅ = − − − − − −

Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea

0 0 1

1 1 1

1 0

A

b

−−−−

= − −= − −= − −= − −

a) Determina el valor de b para el que 2 2 0A A I− + =− + =− + =− + = . b) Para b = 2 halla la matriz X que cumple que 2 0t

A X A⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − = , donde tA denota la matriz

transpuesta de A. MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la matriz A xI−

2 1 1 0 2 1

1 2 0 1 1 2

xA xI x

x

− − = − ⋅ =

−

Dicha matriz no tendrá inversa para aquellos valores que anulen su determinante, luego:

22 1 14 3 0

1 2 3

x xx x

x x

− == − + = ⇒

− =

b) 2 1 2 1 2 1 1 0 0 0 4

1 2 1 2 1 2 0 1 0 0 3

aa b

b

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒

=

Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea 2 1

1 2A

====

a) Halla los valores de x para los que la matriz A x I− ⋅− ⋅− ⋅− ⋅ no tiene inversa. b) Halla los valores de a y b para los que 2 0A a A b I+ ⋅ + ⋅ =+ ⋅ + ⋅ =+ ⋅ + ⋅ =+ ⋅ + ⋅ = . MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


a) Si nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple quenk A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 33 ( 3) ( 27) 2 54A A− = − ⋅ = − ⋅ = −

Por otro lado, sabemos que: 1 1 1 1 11A A I A A A A I A

A

− − − −⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ = = ⇒ = ; luego en

nuestro caso será: 1 1 1

2A

A

−= =

b) 2 2 2 2 4

2 2 2

c b a c b a a b c

f e d f e d d e f

i h g i h g g h i

= ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = −


c) 0 2

a b a c a b a a b c a b c

d e d f d e d d e f d e f

g h g i g h g g h i g h i

− −

− = + − = − = −

− −

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante puede descomponerse en suma de dos determinantes colocando en dicha fila o columna el primer y segundo sumando, respectivamente. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el determinante vale 0”.

Sabiendo que 2

a b c

A d e f

g h i

= == == == = , calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes

determinantes:

a) 3A−−−− y 1A−−−− ; b)

2 2 2

c b a

f e d

i h g

; c)

a b a c

d e d f

g h g i

−−−−

−−−−

−−−−

MATEMÁTICAS II. 2005. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2006

MATEMÁTICAS II








a) 1 1 1 12 1

0 0 0 0 20

a a a

a a a

− ⋅ − =

− − −

22

2 2

12 1 1214

0 200 20

a aa aa

a a a a

− − = − − = ⇒ ⇒ =

+ + =

b) 22 22 4

0 2

aA a

a= = −

−

20

1t

aA a

a= = −

−

c) Si A es una matriz simétrica t

A A⇒ =

1 0

0 1

a a

a a

= ⇒

− − No es posible.

Considera1

0

aA

a

====

−−−− , siendo a un número real.

a) Calcula el valor de a para que 2 12 1

0 20A A

−−−− − =− =− =− =

.

b) Calcula, en función de a, los determinantes de 2A y tA , siendo t

A la transpuesta de A. c) ¿Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica?. Razona la respuesta. MATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


a) Calculamos la matriz A I−λ

4 2 1 0 4 2

1 3 0 1 1 3A I

−λ −λ = −λ =

−λ

24 27 10 0 2 ; 5

1 3A I

−λ−λ = = λ − λ + = ⇒ λ = λ =

−λ b)

2 4 2 4 2 4 2 1 0 0 07 10 7 10

1 3 1 3 1 3 0 1 0 0A A I

− + = ⋅ − ⋅ + ⋅ =

Sea 4 2

1 3A

====

y sea I la matriz identidad de orden dos.

a) Calcula los valores λ∈λ∈λ∈λ∈�� tales que 0A I− λ =− λ =− λ =− λ = .

b) Calcula 2 7 10A A I− +− +− +− + . MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a) Calculamos primero la matriz A B C⋅ +

( )3 1 2 6 3 1 2 7 5

2 12 6 6 4 2 6 6 10 8

A B C− − − − − − − − −

⋅ + = ⋅ + = + =

1

1

8 10 8 5 8 57 5 5 7 10 7 6 6( )

7 510 8 10 76

6 610 8

t

A B C

−

−

− − − − − − − − ⋅ + = = = = − − −

b) 1 2 2 3 4 2 0

3 36 6 6 6 3 6 3 0 2

x x x x x y x x y x xC

y y y y x y y x y y x

− − − − − − = = ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ ⇒ + + = = −

Considera las matrices (((( ))))3 1 2

; 2 1 ;2 6 6

A B C− − −− − −− − −− − −

= = == = == = == = =

a) Halla, si existe, la matriz inversa de A B C⋅ +⋅ +⋅ +⋅ + .

b) Calcula, si existen, los números reales x e y que verifican: 3x x

Cy y

⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅



Tenemos que resolver la ecuación: 1 0

1 0 3 2 83 2

2 1 0 0 20 2

a b

c d

− − −

⋅ ⋅ = − −

Multiplicando, tenemos: 6 2

1 6 2 8 5 2 0

5 2 0 2 6 8

5 2 2

a c

a b a c

c d b d

b d

− − = −− − − − − − =

⋅ = ⇒ − − − − = −

− − =

Resolviendo, tenemos que la matriz X es:

11

75 3

14 2

X

− −

=

Resuelve 2tA B X C⋅ ⋅ = −⋅ ⋅ = −⋅ ⋅ = −⋅ ⋅ = − , siendo tB la matriz traspuesta de B y.

1 0 3 1 3 0 1 4;

2 1 0 0 2 2 0 1A B y C

−−−− = = == = == = == = =

− − −− − −− − −− − − .



PROBLEMAS RESUELTOS


2007

MATEMÁTICAS II








2 2

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 12 2

1 1 1 1 1 1 1 2 1B

− − − − −λ − − −λ = ⋅ − ⋅ = − ⋅ =

λ λ λ + λ − + λ λ λ − λ − λ −

b) Calculamos el determinante de B.

22

2 12 3 0 1 ; 3

1 2 1B

− −λ= = −λ + λ + = ⇒ λ = − λ =λ − λ − λ −

Luego tiene inversa para todos los valores de 1 3yλ ≠ −

c) Calculamos la matriz inversa de 2 0

0 2B

− =

−

1

2 0 2 0 10

0 2 0 2( ) 214 4

02

t

d tBB

B

−

− − − − − = = = = −


1A

−−−− ====

λλλλ

a) Determina la matriz 2 2B A A= −= −= −= − . b) Determina los valores de λλλλ para los que la matriz B tiene inversa. c) Calcula 1

B−−−− para 1λ =λ =λ =λ = .

MATEMÁTICAS II. 2007. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de A.

1 23 2 0

2 3 3

α= α − = ⇒ α =

Luego, la matriz A tiene inversa para todos los valores de 2

3α ≠ .

b) Calculamos la matriz inversa de 1 1

2 3A

=

1

3 2 3 1

3 11 1 2 1( )

2 11 1

t

d tA

AA

−

− − −− − = = = = −

1 3 1 2 0 7 1

2 1 1 1 5 1A X B X A B

− − − ⋅ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =

− − −

Considera las matrices 1

2 3A

αααα ====

y 2 0

1 1B

====

−−−−

a) Determina los valores de αααα para los que la matriz A tiene inversa. b) Para 1α =α =α =α = , calcula 1

A−−−− y resuelve la ecuación matricial A X B⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = .

MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 1. EJERCICIO 3.OPCIÓN A.


2

2

2 1 01 0 1 0 1 0 1 0 12 2

1 1 1 0 1 22 1

mA A I m

m m m m m

+ = − = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⇒ = −

− =

Calculamos la matriz inversa de 1 0

11

2

A

= −

1

1 11 0

2 21 00 1 1 1( )

1 1 2 22 2

t

d tA

AA

−

− − −

− = = = = − − −

b)

2 2 1 1 1 12 2 2M M I M M M M I M M M I− − − −− = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⇒ = −

a) Calcula el valor de m para el que la matriz 1 0

1A

m

====

verifica la relación 22A A I− =− =− =− = y

determina 1A

−−−− para dicho valor de m. b) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 22M M I− =− =− =− = , determina la expresión de

1M

−−−− en función de M y de I. MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


3 0 1 0 0 1 0

2 5 5 2 0 1 0 5 2 5

0 3 0 0 1 0 1

A I

λ λ

− = − λ − − = − λ − − λ λ

3 2

1 0

2 5 2 5 2 2 0 2 ; 1 ; 1

0 1

A I

λ

− = − λ − − = −λ + λ + λ − = ⇒ λ = λ = λ = −

λ

b) Calculamos la matriz inversa de

1 0 2

2 5 4 5

2 0 1

A I

−

− = − − − −

1

4 15 8 4 0 8 1 200 3 0 15 3 15 3 3

8 15 4 8 0 4(( 2 ) ) 5 1 5( 2 )

2 12 12 4 4 42 1

03 3

t

d tA I

A IA I

−

− − − − − − − − − − − −− − = = = = −

− − −

Sea A la matriz

3 0

5 5

0 3

λλλλ − λ −− λ −− λ −− λ −

λλλλ

e I la matriz identidad de orden 3.

a) Calcula los valores de λλλλ para los que el determinante de 2A I−−−− es cero. b) Calcula la matriz inversa de 2A I−−−− para 2λ = −λ = −λ = −λ = − . MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


0 0 0 0 0 0 00

1 0 1 0 0 0 0 0 0

m m mm

m

⋅ = ⇒ = ⇒ =

b) Calculamos el determinante de B.

1 2 1 1 2 2 2 22 2

1 1 2 1 4 2

2 2

4 6 2

2 2 2 0

2

ta b a c b d

AX A Oc d a c b d

a c

a cX

b d

b d

+ + − = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ + +

+ = + =

⇒ ⇒ = + = −

+ =

Sean I la matriz identidad de orden 2 y 1

1 1

mA

====

a) Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que 2( )A I O− =− =− =− = , donde O es la matriz nula de orden 2. b) Para m = 2, halla la matriz X tal que 2 t

AX A O− =− =− =− = , donde tA denota la matriz traspuesta de A.

MATEMÁTICAS II. 2007. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A


PROBLEMAS RESUELTOS


2008

MATEMÁTICAS II







1 ( )t t tA P B C A P C B P A C B

−⋅ − = ⇒ ⋅ = + ⇒ = ⋅ +

Calculamos la matriz inversa de

1 1 1

0 1 0

1 2 2

A

=

1

2 0 1 2 0 1

0 1 1 0 1 02 0 1

1 0 1 1 1 1( )0 1 0

1 11 1 1

t

d tA

AA

−

− − − − − − − = = = =

− −

1

2 0 1 2 1 1 0 2 0 1 1 1 3 0

( ) 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 0 2

1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 3

tP A C B

−

− − − − −

= ⋅ + = ⋅ − + − = ⋅ − = − − − − − −

Dadas las matrices

1 1 1

0 1 0

1 2 2

A

====

,

1 0

0 1

2 1

B

= −= −= −= −

y 2 0 1

1 1 1C

− −− −− −− − ====

−−−−

Calcula la matriz P que verifica tA P B C⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − = ( t

C es la matriz traspuesta de C). MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.


0 1 2 0 0 1 2

1 0 2 0 0 1 2

1 1 3 0 0 1 1 3

k k

A kI k k

k k

− − − − −

− = − − − = − − − −

2

2 2

2

1 2 1 2 1 2 2 4 4

( ) 1 2 1 2 2 2 1 4 4

1 1 3 1 1 3 2 2 2 2 6 5

k k k k k

A kI k k k k k

k k k k k k

− − − − − − − − −

− = − − − ⋅ − − − = − − − − − − − − +

2

2

2

1 2 2 4 4 0 0 0

2 2 1 4 4 0 0 0 1

2 2 2 2 6 5 0 0 0

k k k

k k k k

k k k k

− − −

− − − = ⇒ = − − − +

Igualando cada expresión a cero tenemos tendríamos nueve ecuaciones. La única que verifica todas las expresiones es 1k = .

Sea I la matriz identidad de orden 3 y

0 1 2

1 0 2

1 1 3

A

− −− −− −− −

= − −= − −= − −= − −

. Calcula, si existe, el valor de k para el

cual 2( )A kI−−−− es la matriz nula. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 3.OPCIÓN A.


a) Calculamos la matriz inversa de

1 1 2

1 2 1

1 1 1

A

=

1

1 0 1 1 1 3

1 1 0 0 1 11 1 3

3 1 1 1 0 1( )0 1 1

1 11 0 1

t

d tA

AA

−

− − − − − − − − = = = = − − − −

La matriz B no tiene inversa, ya que su determinante vale cero. b)

1 ( )A X B A I A X A I B X A A I B−⋅ + = + ⇒ ⋅ = + − ⇒ = ⋅ + −

1

1 1 3 1 1 2 1 0 0 1 0 2 6 4 6

( ) 0 1 1 1 2 1 0 1 0 2 0 4 3 3 4

1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1

X A A I B−

− − −

= ⋅ + − = − ⋅ + − = − − − − − −

Dadas las matrices

1 1 2

1 2 1

1 1 1

A

====

y

1 0 2

2 0 4

1 1 1

B

==== −−−−

a) Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. b) Resuelve la ecuación matricial A X B A I⋅ + = +⋅ + = +⋅ + = +⋅ + = + , donde I denota la matriz identidad de orden 3. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.


a) El rango de A es al menos 2, ya que el determinante 1 3

1 7 es distinto de cero. Vamos a calcular

el determinante de A.

2

1 3

1 3 4 12 0 3

1 7

k

k k k

k

= − = ⇒ = ±

- Si 3k = ± ⇒ el rango de A es 2.

- Si 3k ≠ ± ⇒ el rango de A es 3.

b) Calculamos la matriz inversa de

1 3 0

0 1 3

1 7 0

A

=

1

21 3 1 21 0 9 7 300 0 4 3 0 3 4 4

9 3 1 1 4 1( ) 1 10

12 12 4 41 1 1

12 3 12

t

d tA

AA

−

− − − − − − − − − = = = = −

− − −

Dada la matriz

1 3

1 3

1 7

k

A k

k

====

a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. b) Para 0k ==== , halla la matriz inversa de A. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 4. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2009

MATEMÁTICAS II








a) Sabemos que: 1 1 1 1 11B B I B B B B I BB


será: 1 1 12

BB

− = = −

b) Sabemos que tB B= ; luego: 4 4 4( ) ( ) ( 2) 16tB B B B B B= = ⋅ ⋅ ⋅ = − = c) Si nB es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que nk B k B⋅ = ⋅ ; en

nuestro caso como B es una matriz de orden 3, tenemos que: 32 (2) 8 ( 2) 16B B= ⋅ = ⋅ − = −

d) 1 3 1 3 1 3

3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

5 53 3 3 15 3 15 (2) 3 0 30

F F F F F FF F F F F

F F F F F

−= − = ⋅ − = ⋅ − ⋅ =

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante puede descomponerse en suma de dos determinantes colocando en dicha fila o columna el primer y segundo sumando, respectivamente. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si en un determinante se cambian entre si dos filas o columnas, el determinante cambia de signo” y “Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el determinante vale 0”.

Sean 1F , 2F y 3F las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale 2− . Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) El determinante de 1B − . b) El determinante de 4( )tB . ( tB es la matriz traspuesta de B). c) El determinante de 2 B . d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 1 35 F F− , 33 F , 2F . MATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


6 23 ( 1)

CA X B C X

A B⋅ ⋅ = ⇒ = = = −

⋅ ⋅ −

32 2 16X X= ⋅ = −

b)

1 1 1 2 0 30 2 2 3 4 2

2 2 02 2 2 2 3 3 0 3 2 2 3 3 3 14 8

2 4 4 6 4 2 2 4 4 8 54 6 2

a bA X B C

c d

a c b da c b d a c b d a c b d

Xc d c d c d

c d

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + + = ⎫⎪+ + + − − − − − − − − = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪⇒ = ⇒ ⇒ =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + − − = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪+ = ⎭

Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican A X B C⋅ ⋅ = . a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es

1− y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2X.

b) Si1 10 2

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠,

1 22 3

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ y

0 34 2

C⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, calcula la matriz X.



( ) 1

2 1 2 72 77 3 1 3( )1 31 1

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −− − ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = ⎜ ⎟−− − ⎝ ⎠

b)

1 3 7 2 6 2 7 9 322 ( 2 )

1 2 8 4 1 3 20 67X A A B X A B A − ⎡ − ⎤ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + ⇒ = + ⋅ = + ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1 2 7 3 7 2 6 59 40

2 ( 2 )1 3 1 2 8 4 26 17

A Y A B Y A A B− − ⎡ − ⎤ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + ⇒ = + = ⋅ + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Dadas las matrices 3 71 2

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y 1 34 2

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Calcula, si existe, la matriz inversa de A. b) Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales 2X A A B⋅ = + y

2A Y A B⋅ = + . MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la matriz B

3 1 1 0 3 12 1 0 1 2 1

kB A kI k

k− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Para que tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. 23 1

4 1 0 2 32 1

kB k k k

k− −

= = + + = ⇒ = − ±− −

Luego, la matriz B tiene inversa para todos los valores de k distintos de 2 3− ± b)

( ) 1

0 2 0 1101 2 2 2( )2

2 2 1 1

t

d tBBB

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

c)

2

11 311 4 3 0 4 0

4 ; 18 3 2 0 8 2 0

3

A A I

− α = β ⎫⎪− − α α β − +α =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪+α = β ⇒ + = ⇒ ⇒α = β = −⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− α −α β − + α =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪−α = β ⎭

Se consideran las matrices 3 12 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ y B A kI= − , donde k es una constante e I la matriz

identidad de orden 2. a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa. b) Calcular 1B − para 1k = − . c) Determina las constantes α y β para las que se cumple 2A A I+ α = β MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


( )1

1 1 1 1 2 1 1 1 12 2 2 1 2 3 4 2 41 3 5 1 2 5 1 1 3

4 4 4 2 41 1 54 2 4

t

tdAA

A−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎜ ⎟− − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Como 1(2 )tX A C B−= + , vamos sustituyendo y operando:

1 1 1 7 14 2 4 4 24 2 3 11 1 3 5 92 4 1 24 2 4 4 2

0 6 0 11 1 5 7 154 2 4 4 2

X

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ − − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − ⋅ − + = − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sean las matrices1 2 12 1 11 0 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, 3 1 01 2 1

B⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ y

2 11 20 3

C−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Determina la matriz X que verifica: 2tA X B C⋅ − = . MATEMÁTICAS II. 2009. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

2010

MATEMÁTICAS II







• Septiembre, Ejercicio 3, Opción B



a) La matriz A tiene inversa si su determinante es distinto de cero, luego:

2

1 0 10 3 4 3 0 1 ; 34 1

A m m m m mm

−= = − + − = ⇒ = =

−

Por lo tanto, la matriz A tendrá inversa para todos los valores de 1 3m y m≠ ≠ . b) Calculamos la matriz inversa de A.

1

3 12 0 3 1 0 11 01 4 1 12 4 3 30 3 0 0 1 0( ) 44 1

3 3 310 03

t

d tAAA

−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = − −⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Resolvemos la ecuación matricial y calculamos la matriz X.

1

11 03

5 3 4 1 3 1 6 3 04( ) 4 13 2 2 0 2 1 3 0 03

10 03

t tXA B C X C B A −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎡ − − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− = ⇒ = + ⋅ = + ⋅ − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Sean las matrices1 0 10 34 1

A mm

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, 1 03 21 1

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

y C = 5 3 43 2 2

C−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

a) Indica los valores de m para los que A es invertible. b) Resuelve la ecuación tXA B C− = para 0m = . ( tB es la matriz traspuesta de B) MATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



a)

2

5 4 2 5 4 2 5 4 22 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1

4 4 1 4 4 1 4 4 1

10 8 4 9 8 4 1 0 04 2 2 4 3 2 0 1 08 8 2 8 8 3 0 0 1

A A− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = ⋅ − − − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) De la igualdad del apartado a se deduce que:

( )2 12 2 2A A I A I A I A I A−− = ⇒ ⋅ − = ⇒ = −

Luego: 1

1 0 0 5 4 2 3 4 22 0 1 0 2 1 1 2 3 1

0 0 1 4 4 1 4 4 3A−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ − − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sea la matriz 5 4 22 1 14 4 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

a) Comprueba que se verifica 22A A I− = b) Calcula 1A − . (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



a)

( ) 1

1 0 1 21 22 1 0 1( )0 11 1

t

d tAAA

−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −− − − ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠

b)

1 2 1 0 3 0 1 02

0 1 2 1 2 1 0 1

2 2 1 0 3 0 2 02 1 2 1 0 2

2 2 4 2 2 0 3 02 0 2 2 1

2 2 4 2 12

a bc d

a c b dc d

a c b d b dc d d

a c b d b dc d d

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + − + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ ⋅ − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − + − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − + − + −⎛ ⎞⇒ =⎜ ⎟− +⎝ ⎠

02 1

2 2 4 12 0

1 ; 2 ; 0 ; 12 2

1

a c b db d

a b c dc d

d

⎛ ⎞⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠− − + = − ⎫

⎪− + = ⎪⇒ ⇒ = − = = =⎬− + = ⎪⎪= ⎭

Luego: 1 20 1

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Considera las siguientes matrices 1 20 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y 3 02 1

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Calcula 1A − . b) Resuelve la ecuación matricial 2tA X A B I⋅ ⋅ − = , donde I es la matriz identidad de orden 2 y

tA es la matriz traspuesta de A. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



Para que el rango (A) = rango (B) = 2, sus determinantes deben valer cero, luego:

1 11 0 01 1

ab b a c b a cc= + − − = − =

2 00 1 2 3 2 03 1

ab c a bc

− = − + − =

Resolviendo el sistema, tenemos que:0

; ;3 2 2 0 2a c ca c b c ca b c− = ⎫

⇒ = = =⎬− − = ⎭

Luego, el vector que nos piden es , ,2cv c c⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, siendo c cualquier número distinto de cero.

Obtén un vector no nulo ( , , )v a b c= , de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2.

1 11 01 1

aA b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 00 13 1

aB b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠




a)

2det ( 3 ) ( 3) det( ) 9 det( ) 9 4 36t tA A A− = − = ⋅ = ⋅ =

2 2det 2 ( 3)det 6 ( 1)det 6 4 24

3 3b a b a a bd c d c c d

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Si en un determinante cambiamos dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. Si en un determinante hay un número que multiplica a una fila o columna, dicho numero sale fuera multiplicando al determinante.

b) 1 1 1det ( ) det( ) det( ) det( ) 1det( )

t tA A A A AA

− −⋅ = ⋅ = ⋅ =

c) [ ] 33 3det ( ) det( ) det( ) det( ) det( ) det( ) 1 det( ) 1 1B B B B B B B B B= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⇒ = =

De la matriz a b

Ac d

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

se sabe quedet ( ) 4A = . Se pide:

a) Halla det ( 3 )tA− y2 2

det3 3

b ad c

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

. Indica las propiedades que utilizas.

b) Calcula 1det ( )tA A− ⋅ c) Si B es una matriz cuadrada tal que 3B I= , siendo I la matriz identidad, halla det ( )B . MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



La ecuación que tenemos que resolver es: 1 0 0

1 0 3 1 20 1 1

1 1 0 1 20 1 2

a b cd e f

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 0 03 1 2

0 1 10 1 2

0 1 2

2 3 1 22 2 0 1 2

31

2 23 ; 3 ; 1 ; 0 ; 2 ; 4

01

2 2 2

a b ca d b e c f

a b c b ca d b e c f b e c f

ab cb c

a d c b f ea d

b e c fb e c f

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ − − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− + − + − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − − + − − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⎫

⎪− + = ⎪⎪− + =

⇒ ⇒ = = = = = − = −⎬− + = ⎪⎪− − + =⎪

− − + = − ⎭

Luego, la matriz que nos piden es: 3 0 13 4 2

X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Sean las matrices 1 01 1

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠,

1 0 00 1 10 1 2

B⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y 3 1 20 1 2

C⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB C= MATEMÁTICAS II. 2010. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



2011

MATEMÁTICAS II











Dada la matriz 1 0

1 1A

λ +⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Calcula los valores de λ para los que la matriz 2 3A A+ no tiene inversa. b) Para λ = , halla la matriz X que verifica la ecuación 0 2A X A I⋅ + = , siendo I la matriz identidad de orden 2. MATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B


a) Calculamos la matriz 2 3+A A :

22 1 0 1 0 1 0 5 4 0

3 31 1 1 1 1 1 3 2

A Aλ + λ + λ + ⎛ ⎞λ + λ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = ⋅ + = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − λ + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculamos el determinante de dicha matriz

22 25 4 0

3 2 10 8 03 2

A Aλ + λ +

+ = = − λ − λ − = ⇒ λ = − λ = −λ + −

1 ; 4

Luego, la matriz 2 3+A A no tiene inversa para 1 4λ = − λ = −y

= −

, ya que su determinante vale cero. b) Resolvemos la ecuación matricial.

11 0 1 0 2 0 1 0 01 1 1 1 0 2 1 3 1

3

= ⎫⎪=⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⋅ + = ⇒ = ⇒ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪− = ⎭

aa b a b bc d a c b d a c

b d

Resolviendo el sistema, tenemos que la matriz que nos piden es: 1 02 3⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠X




a) 3 1 1 1 12 2 2 8

A A A A A A A= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

b) Sabemos que: 1 1 1 1 11A A I A A A A I AA


será: 1 1 1 212

AA

− = = =

c) Si nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que nk A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 3 12 ( 2) ( 8) 42

A A− = − ⋅ = − ⋅ = −

d) 1 ( 2) 12

t tA B A B A B⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − = −

e) Como 2 0B = − ≠ , el rango de B es 3.

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son 12

A = y 2B = − .

Halla: a) 3A

b) 1A −

c) 2A−

d) tAB , siendo tB la matriz traspuesta de B. e) El rango de B. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



2

0 3 4 0 3 4 1 0 11 4 5 1 4 5 1 4 41 3 4 1 3 4 1 3 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − ⋅ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A

3

0 3 4 1 0 1 1 0 01 4 5 1 4 4 0 1 01 3 4 1 3 3 0 0 1

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A

Luego, se cumple que 3A I= −

b) Calculamos 0 3 41 4 5 15 12 16 12 1 01 3 4

A = − − = + − − = − ≠ ⇒−

Tiene inversa

Calculamos la inversa

( ) 1

1 1 1 1 0 10 4 3 1 4 4

1 0 11 4 3 1 3 3( ) 1 4 4

1 11 3 3

t

d tAAA

−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = − − −⎜ ⎟− − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

c)

100 99 3 33 33

0 3 4( ) ( ) 1 4 5

1 3 4A A A A A I A A

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ = − ⋅ = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Dada la matriz 0 3 41 4 51 3 4

A⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Demuestra que se verifica la igualdad 3A I= − , siendo I la matriz identidad de orden 3. b) Justifica que A es invertible y halla su inversa. c) Calcula razonadamente 100A MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.




2 1 0A = λ + = ⇒ No hay ningún valor real de λ para el cual el determinante valga cero,

luego, siempre tiene inversa b) Calculamos la matriz X:

1 1 1 1 1A X A B A A X A A A B A X A B A− − − − −⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ Calculamos la inversa de A:

( ) 1

2 0 0 2 0 00 1 1 0 1 10 1 1 0 1 1( )

2 2

t

d tAAA

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

1

2 0 00 1 1

1 0 0 0 0 1 0 1 10 1 1 10 1 1 1 0 0 2 1 1

2 20 1 1 0 1 0 2 1 1

X A B A −

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Considera las matrices 1 0 00 10 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= λ⎜ ⎟⎜ ⎟− λ⎝ ⎠

y 0 0 11 0 00 1 0

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a) ¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa?. b) Para 1λ = , resuelve la ecuación matricial 1A X A B− ⋅ ⋅ = MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



a) Resolvemos el sistema: 4 23 2 6 6 3 3

2 ;2 4 1 22 4

1 2

A BA A

A B

⎫⎛ ⎞+ = ⎪⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎪⇒ = =⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪− = ⎜ ⎟⎪−⎝ ⎠⎭

Sustituyendo, tenemos: 3 3 2 4 1 11 2 1 2 2 0

B−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculamos: 4 2 2 4 6 20

( )( )3 2 1 2 4 16

A B A B ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 3 3 3 12 15

1 2 1 2 5 7A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1 1 1 1 1 12 0 2 0 2 2

B− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 12 15 1 1 13 165 7 2 2 3 9

A B− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Resolvemos la ecuación matricial: ( ) 2 ( ) ( ) 2t tXA XB A B I X A B A B I− − + = ⇒ − − + =

2 4 4 3 2 0 2 4 2 6 31 2 2 2 0 2 2 4 2 2 4

2 64 2 3 15 9; ; 1 ; 02 2 8 44 2 4

a b a b a bc d c d c d

a ba b

a b c dc dc d

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − = ⇒ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = ⎫⎪+ = ⎪⇒ = = − = =⎬− = ⎪⎪+ = ⎭

Luego, la matriz que nos piden es: 15 98 41 0

X⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Sean A y B dos matrices que verifican: 4 23 2

A B⎛ ⎞

+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

y 2 41 2

A B⎛ ⎞

− = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Halla las matrices ( )( )A B A B+ − y 2 2A B− b) Resuelve la ecuación matricial ( ) 2tXA XB A B I− − + = , siendo I la matriz unidad de orden 2 y ( ) tA B+ la matriz traspuesta de A B+ MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



a) Calculamos la matriz 3 0 2 0 0 1 0

2 5 5 0 2 0 5 2 50 3 0 0 2 0 1

A Iλ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = − λ − − = − λ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Igualamos el determinante de dicha matriz a cero:

3 2

1 05 2 5 2 2 0 1 ; 1 ; 2

0 1

λ− λ − − = λ − −λ + λ = ⇒ λ = λ = − λ =λ

Luego, la matriz tiene inversa para todos los valores de 1, 1 2yλ ≠ − b) Resolvemos la ecuación matricial:

12 2 ( 2 ) ( 2 )AX X I AX X I A I X I X A I I−= + ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = − ⋅

( ) 1

4 15 8 4 0 80 3 0 15 3 158 15 4 8 0 4(( 2 ) )2

2 12 12

t

d tA IA IA I

−

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− = = =

−

Luego, la matriz es 4 0 8

1 15 3 1512

8 0 4X

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Sea la matriz 3 05 5

0 3A

λ⎛ ⎞⎜ ⎟= − λ −⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

a) Determina los valores de λ para los que la matriz 2A I− tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3. b) Para 2λ = − , resuelve la ecuación matricial 2AX X I= + MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



a) 2 1 1 1 1 3 22 1 2 1 4 3

A− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 2 2 2 1 0

24 3 4 2 0 1

A A I− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + = = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Es cierto.

Multiplicamos la igualdad anterior por 1A− a la izquierda:

2 1 1 1 12 2 2A A I A A A A A A I A I A− − − −+ = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ + = ⇒Es cierto b) Vamos a resolver la ecuación matricial 2 5 4A XA A I+ + = : Multiplicamos por 1A− a la derecha.

2 1 1 1 1 1 15 4 5 4 5 4 4 5A XA A I A A A X A A A A I A A X I A X A A I− − − − − −+ + = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ + + = ⇒ = − − Sustituimos 1 2A A I− = +

1 1 1 1 0 0 34 5 4( 2 ) 5 3( ) 3

2 1 0 1 6 0X A A I A I A I A I− ⎡ − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = + − − = + = ⋅ + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦


A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Demuestra que 2 2A A I+ = y que 1 2A A I− = + , siendo I la matriz identidad de orden 2. b) Calcula la matriz X que verifica la ecuación: 2 5 4A XA A I+ + = MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de A y los igualamos a cero:

3

1 11 1 3 2 0 1 ; 21 1

Aα −

= α − = α − α + = ⇒ α = α = −− − α

Calculamos el rango de A para los distintos valores:

R(A)

1α = 1 2α = − 2

1 2yα ≠ − 3 b) Calculamos la matriz inversa de A para 2α = .

( ) 1

3 1 1 3 1 11 3 1 1 3 11 1 3 1 1 3( )

4 4

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

Resolvemos la ecuación matricial.

1

3 1 1 0 01 1 3 1 1 14

1 1 3 1 1A X B X A B−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = ⇒ = ⋅ = ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dadas las matrices 1 1

1 11 1

α −⎛ ⎞⎜ ⎟= α −⎜ ⎟⎜ ⎟− − α⎝ ⎠

A y 011

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

B

a) Calcula el rango de A dependiendo de los valores α . b) Para 2α = , resuelve la ecuación matricial ⋅ =A X B . MATEMÁTICAS II. 2011. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A


R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la matriz inversa de A

( ) 1

3 3 11( )4 4

t

d tAAA

−

α −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− α α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

α α

33 1 1 3 1 1 4 12

3 1 14 4 12 12 311 14 12 4 12

112 44 44 12

α ⎫= ⎪− α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α −α ⎪α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ = ⇒ − = ⇒ α = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬αα α⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪−⎜ ⎟⎜ ⎟ α ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠ = − ⎪⎭

El único valor que verifica todas las igualdades es 3α = −

b) Calculamos la matriz inversa de A para 3α = − : ( ) 1

3 1 3 13 3

4 12A −

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

α −

Por las propiedades de las matrices sabemos que: ( ) ( )1 1 ttA A

− −= , luego, la aplicamos para resolver la ecuación matricial

1 1 3 3 1 3 1 6 3 31 1( ) ( )1 3 1 4 2 2 15 712 12

t t tA X B X A B A B− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⇒ = ⋅ = ⋅ = − ⋅ ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sean las matrices 13

Aα⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−α⎝ ⎠ y

1 3 11 4 2

B⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es 112

A .

b) Para 3α = − , determina la matriz X que verifica la ecuación tA X B⋅ = , siendo tA la matriz traspuesta de A. MATEMÁTICAS II. 2011. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B

PROBLEMAS RESUELTOS


2012

MATEMÁTICAS II







Sea la matriz 0 0 12 1 21 1

Ak

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a) ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A?. Justifica la respuesta. b) Para k , resuelve la ecuación matricial (0= ) tX I A A+ ⋅ = , donde I denota la matriz identidad y tA la matriz traspuesta de A. MATEMÁTICAS II. 2012. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



12 1 02

A k k= − = ⇒ =

Luego, la matriz A no tiene inversa para 12

k = , ya que su determinante vale cero.

b) Calculamos la matriz inversa de A para 0k = .

( ) 1

1 0 1 1 0 10 1 0 0 1 2

1 0 11 2 0 1 0 0( ) 0 1 2

1 11 0 0

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = −⎜ ⎟− − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Resolvemos la ecuación matricial:

( ) t t tX I A A X A I A A X A A I A+ ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = − ⋅ Si multiplicamos por a la derecha, tenemos: 1A −

1 1 1 1t t tX A A I A X A A A A I A A X A A I− − − −⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ −

Calculamos la matriz que nos piden:

1

0 2 1 1 0 1 1 0 0 1 2 4 1 0 0 0 2 40 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 0 21 2 1 1 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 1 0 2 4

tX A A I−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= ⋅ − = ⋅ − − = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

− ⎞⎟⎟⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Considera las matrices: 1 2 00 1 21 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A C 0 11 0⎛

= ⎜⎝ ⎠

B⎞⎟

1 2 01 1 2

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Determina, si existe, la matriz X que verifica: ⋅ ⋅ = tA X B C , siendo C la matriz traspuesta de C.t



1 1 1 1 1t t 1tA X B C A A X B B A C B X A C B− − − − − −⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ Calculamos la matriz inversa de A

( ) 1

3 2 1 3 2 42 1 0 2 1 2

3 2 44 2 1 1 0 1( ) 2 1 2

1 11 0 1

t

d tAAA

−

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = −⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠

Calculamos la matriz inversa de B

( ) 1

0 1 0 10 11 0 1 0( )1 01 1

t

d tBBB

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠

Calculamos la matriz X

1 1

3 2 4 1 1 1 3 3 10 1 0 1

2 1 2 2 1 0 1 1 01 0 1 0

1 0 1 0 2 1 1 1 1

tX A C B− −

− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠


Encuentra la matriz X que satisface la ecuación 3XA A B A+ = , siendo 0 0 10 1 01 0 0

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y 2 1 00 2 11 0 2

B−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠



Calculamos la inversa de A:

( ) 1

0 0 1 0 0 10 1 0 0 1 0

0 0 11 0 0 1 0 0( ) 0 1 0

1 11 0 0

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = =⎜ ⎟− − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

t

d tAA AA

Calculamos la matriz X: Si multiplicamos por 1−A a la derecha, tenemos:

3 1 3 1 13

3 1− − −⋅ + = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅X A A B A X A A A B A A A X I A B A−

⎞⎟

2

0 0 1 0 0 1 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 01 0 0 1 0 0 0 0 1

A A A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1 0 0 0 0 1 0 0 10 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 1 0 0 1 0 0

A A A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

0 0 1 2 1 0 1 0 20 1 0 0 2 1 0 2 11 0 0 1 0 2 2 1 0

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

A B − ⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟

3 1

1 0 2 0 0 1 2 0 10 2 1 0 1 0 1 2 02 1 0 1 0 0 0 1 2

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ = − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A B A

3 13

1 0 0 2 0 1 1 0 10 1 0 1 2 0 1 1 00 0 1 0 1 2 0 1 1

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= − ⋅ ⋅ = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

X I A B A

⎠



A−⎛

= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , sea B la matriz que verifica .

2 17 3

AB−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas. b) Resuelve la ecuación matricial 1A X B BA− − = . MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


a) Calculamos la matriz 3 2

3 10 13 05 1

−= = + = ≠A ⇒ Tiene inversa

Sabemos que: 13 1 013

⋅ −⋅ = ⋅ ⇒ = = = − ≠ ⇒

A BA B A B B

A Tiene inversa

b) Si multiplicamos por A a la izquierda, tenemos:

1 1 2 1 3 2 2 1 3 67 3 5 1 7 3 43 8

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ = + = ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎞⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

A X B BA A A X A B ABA X ABA AB⎠




2013

MATEMÁTICAS II











R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz M:

2

1 0 10 1 0 0 0 ; 11 1 1

M m m m m mm

−= + = + = ⇒ = = −

−

Para todos los valores de 0 1m y≠ − , el determinante es distinto de cero y los vectores son linealmente independientes. b) Calculamos el rango de M según los valores de m.

Rango(M) 0m = 2 1m = − 2

0 1m y≠ − 3

c) Calculamos la inversa de M para 1m = :

( ) 1

0 0 2 0 1 2 10 11 1 1 0 1 0 22 0 2 2 1 2( ) 10 0

2 2 211 12

t

d tMMM

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Sea 1 0 10 1 01 1 1

M mm

−⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Determina los valores de m para que los vectores fila de M son linealmente independientes. b) Estudia el rango de M según los valores de m. c) Para 1m = , calcula la inversa de M. MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A


R E S O L U C I Ó N a) Comprobamos que 2 2A I=

2 1 1 1 1 2 0 1 02 2

1 1 1 1 0 2 0 1A I⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculamos la inversa:

( ) 1

1 1 1 1 1 11 1 1 1( ) 2 2

1 12 22 2

t

d tAAA

−

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = ⎜ ⎟

− − ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

También la podemos calcular de la siguiente forma:

2 1

1 11 1 2 22 2

1 12 22 2

A I A A I A A I A A−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

b)

1006 1006

2013 2012 2 1006 1006 1006 1006 10061006 1006

2 2( ) (2 ) 2 ( ) 2

2 2A A A A A I A I A A

⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟

−⎝ ⎠

2013 1 1 1 1 1

1007 10072013 1006

2013 2013 1007

1007 1007

( ) (2013 )1 1 1 1(2013 )2 2 2 2

1 11 1 1 2 22

1 12 2 22 2

A A A veces A A

A A veces A A

A A A

− − − − −= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⎛ ⎞⎜ ⎟

= = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

Sea 1 11 1

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Comprueba que 2 2A I= y calcula 1A − . b) Calcula 2013A y su inversa. MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B


R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la inversa:

( ) 1

0 2 0 0 1 0 10 01 1 1 2 1 0 20 0 2 0 1 2( ) 11 0

2 2 210 12

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = ⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 1 1t t tA X B C A A X A B C X A B C− − −⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ Calculamos la matriz X

1

10 02 0 1 1 1 0 8

1 2 1 211 0 2 2 1 2 1 141 6 1 62

1 0 0 1 1 610 12

tX A B C−

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

Calculamos

0 1 1 2 00 2 1

2 2 2 8 2 8 4 4 01 2 0

1 0 0 2 1

tB B⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = ⋅ = = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Luego: 2013

20132013 1 2013 1( ) 0t t tA B B A A B B B BA

−⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

Considera las matrices: 1 1 02 0 01 0 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A , 0 2 11 2 0⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

B y 1 21 6

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

C

a) Halla 1A − . b) Calcula la matriz X que satisface ⋅ = ⋅tA X B C ( tB es la traspuesta de B). c) Halla el determinante de 2013 1 2013( )−⋅ ⋅ ⋅tA B B A . MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A



a) Si nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que nk A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 32 ( 2) ( 8) 4 32A A− = − ⋅ = − ⋅ = −

Por otro lado, sabemos que: 1 1 1 1 11A A I A A A A I AA

− − − −⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ = = ⇒ = ; luego en


AA

− = =

b) 2 2 2 2 2 2 4 8a b c a b c a b cd e f d e f d e fp q r p q r p q r

− −− = ⋅ − = − ⋅ = − ⋅ = −− −


3 3 3( 3) ( 1) ( 3) ( 1) ( 1) 3 4 12

d e f d e f a b ca b c a b c d e fp q r p q r p q r

− − −= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ − = − ⋅ = −

− − −


Sabiendo que el determinante de una matriz ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a b cA d e f

p q res 4, calcula los siguientes

determinantes, indicando en cada caso, las propiedades que utilizas: a) det( 2 )− A y 1det( )−A

b) 2 2 2−−−

a b cd e fp q r

y 3 3 3− − −

− − −

d e fa b cp q r




a) Planteamos el sistema matricial

1 02 1

1 12

1 0

X Y

X Y

− ⎫⎛ ⎞− = ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪⎬

−⎛ ⎞⎪− = ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎭

Si cambiamos la primera ecuación de signo y sumamos, tenemos que: 2 11 1

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠y

sustituyendo en la primera ecuación tenemos que: 2 1 1 0 3 11 1 2 1 3 2

Y Y− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) 1( ) ( )AZ BZ A A B Z A Z A B A−= + ⇒ − = ⇒ = − ⋅

Calculamos 1 2 1 1 2 3

( )0 1 1 0 1 1

A B− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculamos su inversa: 1

1 1( ) 1 33 2

( )1 21

t

tdA BA B

A B−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤− −− − ⎛ ⎞⎣ ⎦ ⎝ ⎠− = = = ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠

Luego, 1 1 3 1 2 1 1( )

1 2 0 1 1 0Z A B A− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Considera las matrices 1 20 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y 1 11 0

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Calcula X e Y tales que tX Y A− = y 2X Y B− = ( tA es la matriz traspuesta de A). b) Calcula Z tal que AZ BZ A= + . MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B



a) Planteamos el sistema matricial

2 32

3 5

1 43

9 5

X Y

X Y

− ⎫⎛ ⎞− = ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎪

⎬−⎛ ⎞ ⎪− = ⎜ ⎟ ⎪−⎝ ⎠ ⎭

Si multiplicamos la segunda ecuación por 2− y sumamos, tenemos que: 0 5 0 1

515 5 3 1

Y Y⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y sustituyendo en la segunda ecuación tenemos que: 1 4 0 1 1 1

39 5 3 1 0 2

X− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) 2 2 2 13 3 (3 )t t tB ZA B I ZA I B B Z I B B A −+ + = ⇒ = − − ⇒ = − − ⋅

Calculamos 2 3 0 1 4 1 4 1 9 35 33(3 )

0 3 9 5 9 5 4 5 58 63tI B B

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculamos su inversa: 1

5 35 33 2( )3 21

t

d tAAA

−

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Luego, 2 1 35 33 5 3 76 39(3 )

58 63 3 2 101 48tZ I B B A − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − − ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sean A y B las matrices 2 33 5

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ y

1 49 5

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Calcula las matrices X e Y para las que 2X Y A− = y 3X Y B− = . b) Halla la matriz Z que verifica 2 3tB ZA B I+ + = (I denota la matriz identidad y tB la matriz traspuesta de B). MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B


R E S O L U C I Ó N a) 3 2 2 2 8 0M M M M M M M= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ≠ ⇒ El rango es 3 b) Si nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que nk A k A⋅ = ⋅ ; en nuestro

caso como M es una matriz de orden 3, tenemos que: 32 2 ( 2) (8) 2 16tM M M= = ⋅ = ⋅ =

c) Sabemos que: 1 1 1 1 11M M I M M M M I MM

− − − −⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ = = ⇒ = ; luego en nuestro

caso será: 21

21 1

4M

M− = =

d) Si en un determinante cambiamos dos filas o dos columnas el determinante cambia de signo, luego, el determinante de N vale 2−

Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det( ) 2M = . Calcula: a) El rango de 3M . b) El determinante de 2 tM ( tM es la matriz traspuesta de M). c) El determinante de 1 2( )M − . d) El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M. MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B


R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la matriz inversa de A.

( ) 1

2 2 0 2 0 1 11 00 2 0 2 2 1 21 1 1 0 0 1( ) 11 1

2 2 210 02

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

La matriz B no tiene inversa, ya que su determinante vale 0. b) 2013 2013 20132 0 2 0t tAB A A B A= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = c) Resolvemos la ecuación matricial.

1 1

11 02 1 1 1 1 1 11( ) 1 1 1 1 1 1 1 12

0 0 1 0 0 110 02

52 2213 3230 02

A X B AB X A B AB A B B− −

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ = + ⇒ = + = + = − ⋅ − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

Considera las matrices 1 0 11 1 00 0 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y 1 1 11 1 10 0 1

B−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Halla, si es posible, 1A − y 1B − . b) Halla el determinante de 2013 tAB A , tA la matriz traspuesta de A. c) Calcula la matriz X que satisface A X B AB⋅ − = . MATEMÁTICAS II. 2013. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A


PROBLEMAS RESUELTOS


2014

MATEMÁTICAS II











La matriz A tiene inversa ya que es cuadrada y su determinante es distinto de cero.

1

0 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 10 1 0

0 1 1 0 0 1( )1 0 1

1 10 0 1

t

d tAA

A


2 1 1 2 1 1

0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1

1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 2 3 2 1 3 2

0 0 1 0 0 1 1 2 3 0 0 1 1 2 3 1 2 2

A X A B A A X A A A B X A A B

Luego, la matriz que nos piden es:

1 2 1

1 3 2

1 2 2

X

Considera las matrices

0 1 1

1 0 0

0 0 1

A

;

1 1 1

1 1 0

1 2 3

B

Determina, si existe, la matriz X que verifica 2A X B A




a) Si nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que nk A k A ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 32 ( 2) ( 8) ( 3) 24A A


A

; luego en

nuestro caso será: 1 1 1 1

3 3A

A

b)

21 22 23 21 22 23 11 12 13

11 12 13 11 12 13 21 22 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33

7 7 7 7 2 7 2 7 2 ( 3) 42

2 2 2

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o

columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos

sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad

que dice: “Si en un determinante cambiamos entre si dos filas o dos columnas el determinante

cambia de signo”.

11 21 31 31 11 21 31 11 31 31 11 21 31 11 31 31

12 22 32 32 12 22 32 12 32 32 12 22 32 12 32 32

13 23 33 33 13 23 33 13 33 33 13 23 33 13 33 33

11 21 31

12 22 32

13 23

2 5 5 2 5

2 5 5 2 5 5 2 5

2 5 5 2 5

5

a a a a a a a a a a a a a a a a



a a a

a a a

a a

33

2 5 0 5 ( 3) 15

a


columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante se puede descomponer

en suma de dos determinantes”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si una

fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos

sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el tercer paso hemos aplicado la propiedad: “Si

un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales, el determinante vale cero”.

Se sabe que el determinante de la matriz

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

es 3 , calcula, indicando las

propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

a) det( 2 ) A y 1det( )

A

b)

21 22 23

11 12 13

31 32 33

7 7 7

2 2 2

a a a

a a a

a a a

y

11 21 31 31

12 22 32 32

13 23 33 33

2 5

2 5

2 5

a a a a

a a a a

a a a a




a) La matriz A tiene inversa ya que es cuadrada y su determinante es distinto de cero.

1

3 2 1 3 6 2

6 4 3 2 4 13 6 2

2 1 1 1 3 1( )2 4 1

1 11 3 1

t

d tAA

A

b) Calculamos la matriz que nos piden:

1 1 1

1 1 1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

t t t t t t

t t t t

A X B I A X I B A A X A I A B

X A I A B A A B

1 1

3 2 1 3 2 1 2 0 3

( ) ( ) 6 4 3 6 4 3 3 1 3

2 1 1 2 1 1 1 2 1

3 2 1 1 4 2 2 6 1

6 4 3 3 10 3 3 14 0

2 1 1 2 3 2 0 4 1

t tX A A B


1 0 2

1 1 1

2 3 0

A

;

2 0 3

3 1 3

1 2 1

B

a) Calcula 1A

.

b) Hallar la matriz X que verifica tA X B I , siendo I la matriz identidad y t

A la matriz

traspuesta de A.




a) Calculamos

2 2

2

2 2

1 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 2 2 2

1 1 1 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 2 2 2

m m m m m m mA

m m m m m m m

2 2 2 1 0 3 2 22

2 2 2 0 1 2 3 2

m mA I

m m

22

2

2 2

3 2 2 2 2 3 22 2 22 1

2 3 22 2 2 2 2 3 2

m m m mm mA A I m

mm m m m m

b) Calculamos la matriz inversa de A.

1

0 1 0 1

0 11 2 1 2( )

1 21 1

t

d tAA

A

Calculamos la matriz X que nos piden:

1 1 1 1A X B A B A A X A B A A B X A B B

10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1

1 2 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1X A B B

Considera las matrices 1 1

1 1

mA

m

;

1 1

1 0B

a) ¿Para qué valores de m se verifica que 22A A I ?.

b) Para 1m , calcula 1A

y la matriz X que satisface A X B A B .




Calculamos la matriz inversa de A

1

1 0 0 1 0 0

0 3 5 0 3 11 0 0

0 1 2 0 5 2( )0 3 1

1 10 5 2

t

d tAA

A


1 1

1 1 1 1

A X A B A A A X A A B A A X A A B A A

X A A A B A A A A X A B A A

1

1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0

0 2 1 1 1 1 0 3 1 0 2 1

0 5 3 1 0 0 0 5 2 0 5 3

0 0 1 1 0 0 1 0 0

1 2 2 0 3 1 0 2 1

2 5 5 0 5 2 0 5 3

0 5 2 1 0

1 16 6

2 40 15

X A B A A

0 1 5 2

0 2 1 1 18 7

0 5 3 2 45 18


1 0 0

0 2 1

0 5 3

A

y

0 0 1

1 1 1

1 0 0

B

Halla la matriz X que verifica: 1A X A B A

.




a) 3 3 3 3 27A A A A


A

; luego en


3A

A

La matriz que nos dan es simétrica, por lo tanto, 2t tA A A A A

Si nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que nk A k A ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 32 (2) 8 3 24A A

b) 2 2 2 (3) 6

2 2 2

a b c a b c a b c

c e f c e f b d e

b d e b d e c e f


columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos

sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad

que dice: “Si en un determinante cambiamos entre si dos filas o dos columnas el determinante

cambia de signo”.

c)

4 4

4 4 4 4 0 3 3

4 4

a b a c a b a a b c a b a a b c

b d b e b d b b d e b d b b d e

c e c f c e c c e f c e c c e f



en suma de dos determinantes”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si una

fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos

sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el tercer paso hemos aplicado la propiedad: “Si

un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales, el determinante vale cero”.

Se sabe que el determinante de la matriz

a b c

A b d e

c e f

es 3 , calcula los siguientes

determinantes, indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

a) 3det( )A , 1

det( )

A y det( )t

A A ; b)

2 2 2

a b c

c e f

b d e

; c)

4

4

4

a b a c

b d b e

c e c f




a) Si nA es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que nk A k A ; en nuestro

caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 33 (3) (27) (2) 54A A

b) Sabemos que: 1 1 1 1 11A A I A A A A I A

A

; luego en nuestro caso

será: 1 1 1

2A

A

c)

3 0 1 1 0 1 1 0 1

3 2 3 2 3 2 3 2 ( 2) 12

3 4 3 1 4 3 1 2 3

x y z x y z x y z

En el primer paso y en el segundo hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si

una fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número

podemos sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el tercer paso hemos aplicado la

propiedad que dice: “Si en un determinante cambiamos entre si dos filas o dos columnas el

determinante cambia de signo”.

d)

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 4 6 2 4 6 2

1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1

x y z x y z x y z



en suma de dos determinantes”. Y también la propiedad: “Si un determinante tiene dos filas o dos

columnas proporcionales, el determinante vale cero”.

Sabiendo que el determinante de la matriz 1 0 1

1 2 3

x y z

A

es 2, calcula los siguientes

determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

a) det(3 )A .b) 1det( )A

.c)

3 0 1

3 2

3 4 3

x y z .d)

1 2 3

2 4 6

1 0 1

x y z

MATEMÁTICAS II. 2014. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B

PROBLEMAS RESUELTOS


2000

MATEMÁTICAS II

TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES









R E S O L U C I Ó N a ) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

⎮A⎮ = 2

1 2 11 0 2 2 0 0 ; 1

0 1λ = − λ + λ = ⇒ λ = λ =

λ

Luego, la matriz no tiene inversa para λ = 0 y λ = 1. b) El sistema que tenemos que resolver es:

2 00

x zx y z

y zx y

z z

=⎧+ + = ⎫ ⎪⇒ = −⎬ ⎨+ = ⎭ ⎪ =⎩

y, además, la solución trivial

Considera la matriz 1 2 1

1 00 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= λ⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

a) Halla los valores de λ para los que la matriz A no tiene inversa.

b) Tomando λ = 1, resuelve el sistema escrito en forma matricial 000

xA y

z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


R E S O L U C I Ó N a y c) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

⎮A⎮ = 2

2 01 0 2 2 12 14 0 1 ; 73 1 7

λ− λ = λ + λ − = ⇒ λ = λ = −

− −

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M)

1λ = 2 2 S. Compatible Indeterminado

7λ = − 2 3 S. Incompatible 1 7yλ ≠ − 3 3 S. Compatible Determinado

b) 1λ = ⇒ Sistema compatible indeterminado.

1 22 3

12 1

x zx y

y zx z

z z

= +⎧+ = ⎫ ⎪⇒ = −⎬ ⎨− + = − ⎭ ⎪ =⎩

Considera el sistema de ecuaciones: 2 3

2 13 7 1

x yx zx y z

λ + =⎧⎪− + λ = −⎨⎪ − − = λ +⎩

a) Halla todos los valores del parámetroλ para los que el sistema correspondiente tiene infinitas soluciones. b) Resuelve el sistema para los valores de λ en el apartado anterior. c) Discute el sistema para los restantes valores de λ. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

⎮A⎮ = 3 2 5

444 1 2 5 44 05

2 3a a

a

−− = − + = ⇒ =

−

Calculamos el determinante de la matriz ampliada y lo igualamos a cero

⎮M⎮ = 3 2 14 1 3 5 25 0 52 3

b bb= − + = ⇒ =

−

b) El sistema que tenemos que resolver es:

55

3 2 1 5 5 144 3 2 5

zx

x y z zyx y z

z z

−⎧ =⎪⎪+ = + ⎫ − +⎪⇒ =⎬ ⎨+ = + ⎭ ⎪

=⎪⎪⎩

Considera el sistema de ecuaciones: 3 2 5 14 2 32 3

x y zx y zx y az b

+ − =⎧⎪ + − =⎨⎪ − + =⎩

a) Determina a y b sabiendo que el sistema tiene infinitas soluciones. b) Resuelve el sistema resultante. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 2. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Vamos a hacer la discusión del sistema. Para ello calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

⎮A⎮ = 3

1 11 1 3 2 1 ; 2

1 1

λλ = −λ + λ − ⇒ λ = λ = −

λ

A continuación, calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M)

1λ = 1 1 S. Homogéneo compatible

2λ = − 2 2 S. Homogéneo compatible 1 2yλ ≠ − 3 3 S. Homogéneo incompatible

Para 1λ = , el sistema que tenemos que resolver es:

}0x y z

x y z y yz z

= − −⎧⎪+ + = ⇒ =⎨⎪ =⎩

y ,además, la solución trivial

Para 2λ = − , el sistema que tenemos que resolver es:

2 02 0

x zx y z

y zx y z

z z

=⎧− + = ⎫ ⎪⇒ =⎬ ⎨− + + = ⎭ ⎪ =⎩

y ,además, la solución trivial

Para 1 2yλ ≠ − , el sistema sólo tiene la solución trivial.

Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores de λ : 000

x y zx y z

x y z

+ λ + =⎧⎪λ + + =⎨⎪ + + λ =⎩


R E S O L U C I Ó N a) Vamos a hacer la discusión del sistema. Para ello calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

⎮A⎮ = 2

10 1 1 0 1 ; 11 1

b bb b b bb

= − + = ⇒ = = −


R(A) R(M)

1b = 2 2 S. Compatible indeterminado

1b = − 2 3 S. incompatible 1 1b y≠ − 3 3 S. Compatible Determinado

b) El sistema que tenemos que resolver es:

220

xx y z

y zy z

z z

= −⎧+ + = − ⎫ ⎪⇒ = −⎬ ⎨+ = ⎭ ⎪ =⎩

Considera el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial: 1 2

0 1 01 1 2

b b xb yb z

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) Discute el sistema según los valores del parámetro b. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Si llamamos x = al precio del Kg de Moka.

y = al precio del Kg de Brasil. z = al precio del Kg de Colombia.

El sistema es:

15 30 15 60 4 15 30 15 240 2 16 430 10 20 60 4 '5 30 10 20 270 3 2 27 312 18 30 60 4 '7 12 18 30 282 2 3 5 47 6

x y z x y z x y z xx y z x y z x y z yx y z x y z x y z z

+ + = ⋅ + + = + + = =⎫ ⎫ ⎫ ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = ⋅ ⇒ + + = ⇒ + + = ⇒ =⎬ ⎬ ⎬ ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = ⋅ + + = + + = =⎭ ⎭ ⎭ ⎩

Un mayorista de café dispone de tres tipos base, Moka, Brasil y Colombia, para preparar tres tipos de mezcla, A, B y C, que envasa en sacos de 60 Kg. Con los siguientes contenidos en Kilos y precio del Kilo en euros:

Mezcla A Mezcla B Mezcla C Moka 15 30 12 Brasil 30 10 18

Colombia 15 20 30 Precio (cada Kg.) 4 4’5 4’7

Suponiendo que el preparado de las mezclas no supone coste alguno, ¿cuál es el precio de cada uno de los tipos base de café?. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.


a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

⎮A⎮ = 1 10 1 1 02 1 1

λ λ −=

−

Calculamos el determinante de la matriz ampliada.

⎮M⎮ = 1 10 1 1 2 6 0 32 1 3

λ= λ − = ⇒ λ =

−

Luego, para que el sistema tenga al menos dos soluciones distintas 3λ = b) El sistema que tenemos que resolver es:

23 2 1

11

x zx y z

y zy z

z z

= − +⎧+ + = ⎫ ⎪⇒ = −⎬ ⎨+ = ⎭ ⎪ =⎩

c) Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M)


3λ ≠ 2 3 S. Incompatible

Considera el sistema de ecuaciones: ( 1) 1

12 3

x y zy z

x y z

+ λ + λ − =⎧⎪ + =⎨⎪ + − = −⎩

a) Halla todos los posibles valores del parámetro λ para los que el sistema correspondiente tiene al menos dos soluciones distintas. b) Resuelve el sistema para los valores de λ obtenidos en el apartado anterior. c) Discute el sistema para los restantes valores de λ. MATEMÁTICAS II. 2000. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.

PROBLEMAS RESUELTOS


2001

MATEMÁTICAS II








⎮A⎮ = 2

1 2 310 2 4 6 2 0 1;2

1 2a a a a a

a a

− −= − + = ⇒ = =

− −

a = 1 y 12

⇒ Rango (A) = 2

a ≠ 1 y 12

⇒ Rango (A) = 3

b) Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M)

1a = 2 2 S. Compatible Indeterminado 12

a = 2 3 S. Incompatible

112

a y≠ 3 3 S. Compatible Determinado

c) 1a = ⇒ Sistema compatible indeterminado.

12 3 1

22 0

x zx y z

y zy z

z z

= −⎧− − = ⎫ ⎪⇒ = −⎬ ⎨+ = ⎭ ⎪ =⎩

Considera: 1 2 3 10 2 ; 0 ;

1 2 1

xA a B X y

a a z

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) Determina el rango de A en función del parámetro a. b) Discute en función de a el sistema, dado en forma matricial A · X = B c) Resuelve A · X = B en los casos en que sea compatible indeterminado. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



⎮A⎮ = 3

1 11 1 3 0 01 1

mm m m m

m

−− = − − = ⇒ =

R(A) R(M)

0m = 2 3 S. Incompatible

0m ≠ 3 3 S. Compatible Determinado b)

R(A) R(M)

0m = 2 3 Planos secantes dos a dos

0m ≠ 3 3 Planos secantes en un punto

Considera el sistema de ecuaciones: 14

mx y zx my zx y mz m

+ − = ⎫⎪− + = ⎬⎪+ + = ⎭

a) Discútelo según los valores de m. b) ¿Cuál es, según los valores de m, la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones respectivas son las tres que forman el sistema. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


1122

A X A X B A X B X A B−⋅ = − ⋅ + ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅

Calculamos la matriz inversa de A.

( ) 1

3 7 4 3 2 2 3 2 22 2 1 7 2 3 5 5 52 3 1 4 1 1( ) 7 2 3

5 5 5 5 54 1 15 5 5

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = −⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

1

3 2 2 95 5 5 101

1 1 7 2 3 442 2 5 5 5 10

14 1 1 75 5 5 10

X A B−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Luego, la solución del sistema es: 9 4 7; ;10 10 10

x y z= − = =

Resuelve el sistema de ecuaciones, dado en forma matricial, A·X = ―A·X + B, siendo: 1 0 2 11 1 1 ; 4 ;3 1 4 1

xA B X y

z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



⎮A⎮ = 2 2

2 01 0 3 2 5 0 0; 51 1 3

mm m m m m m m m= − − = − = ⇒ = =


R(A) R(M)

0m = 2 2 S. Compatible Indeterminado

5m = 2 3 S. Incompatible 0 5m y≠ 3 3 S. Compatible Determinado

b) 6m = ⇒ Sistema compatible determinado.

2 6 0 126 6 4

3 1 3

x y xx z yx y z z

+ = = −⎫ ⎧⎪ ⎪+ = ⇒ =⎬ ⎨⎪ ⎪+ + = =⎭ ⎩

a) Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro m: 2 0

3 1

x myx mz m

x y z

+ = ⎫⎪+ = ⎬⎪+ + = ⎭

b) Resuelve el sistema para m = 6 MATEMÁTICAS II. 2001. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



2002

MATEMÁTICAS II








R E S O L U C I Ó N Llamamos x = al precio en la empresa A.

y = al precio en la empresa B. z = al precio en la empresa C.

Leyendo el enunciado del problema podemos plantear un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

0 '62 2 1'2

2 0 5 ; 5 '4 ; 5 '82

6 5 15 302 125 3

y zxx y z

x zy x y z x y zx y z

z x y

+ ⎫+ = ⎪− − = − ⎫⎪

+ ⎪ ⎪= ⇒ − + = ⇒ = = =⎬ ⎬⎪ ⎪+ − = − ⎭⎪= + + ⎪⎭

En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C, se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones: - El precio de la empresa A es 0’6 € menos que la media de los precios establecidos por B y C. - El precio dado por B es la media de los precios de A y C.

- El precio de la empresa C es igual a 2 € mas 25

del precio dado por A mas 13

del precio dado por

B. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



⎮A⎮ = 2

1 11 3 2 2 8 0 0 ; 42 1 3

α− = α + α = ⇒ α = α = −

−α


R(A) R(M)

0α = 2 2 S. Compatible Indeterminado 4α = − 2 3 S. Incompatible

0 4yα ≠ − 3 3 S. Compatible Determinado b) Vamos a hacer la discusión del sistema. Para ello calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

⎮B⎮ = 2

1 0 111 1 2 2 0 0 ;2

0 0

α − −− = α −α = ⇒ α = α =−α


R(B) R(M)

0α = 2 2 S. Compatible Indeterminado 12

α = 2 3 S. Incompatible

102

yα ≠ 3 3 S. Compatible Determinado

Luego, la solución es para 0α = .

Sean: 1 1 1 0 1 1 2

1 3 2 ; 1 1 2 ; 5 ; 5 ;2 1 3 0 0 3 0

xA B b c X y

z

α α − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− α −α⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Determina α, si es posible, para que los sistemas de ecuaciones (dados en forma matricial) A·X = b , B·X = c

Tengan infinitas soluciones (cada uno de ellos). MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 2. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.



⎮A⎮ = 2

1 11 1 1 1 0 1 ; 11 1

mm m m

m

−= − = ⇒ = = −


R(A) R(M)

1m = − 2 2 S. Compatible Indeterminado

1m = 2 3 S. Incompatible 1 1m y≠ − 3 3 S. Compatible Determinado

b) Resolvemos el sistema para 1m = −

521

432

x yx y z

y yx y z

z

⎧ = −⎪+ + = ⎪⎫

⇒ =⎬ ⎨+ − = ⎭ ⎪⎪ = −⎩


24

x my zx y z mx y mz

− + = ⎫⎪+ + = + ⎬⎪+ + = ⎭

a) Clasifícalo según los valores del parámetro m. b) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



⎮A⎮ = 2

1 132 1 2 3 0 1 ;2

3 2 2

mm m m m m

−− = + − = ⇒ = = −−

Luego, la matriz A tiene inversa para todos los valores de 312

m y≠ −

b) Resolvemos el sistema para m = 2.

2 25 5 12 2 1 ; ;7 7 7

3 2 2 1

x y zx y z x y zx y z

− + = ⎫⎪+ − = ⇒ = = − = −⎬⎪+ − = ⎭

Considera: 1 1 2

2 1 ; ; 13 2 2 1

m xA m X y C

z

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) ¿Para qué valores de m tiene inversa la matriz A?. b) Resuelve, para m = 2, el sistema de ecuaciones A·X = C. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

⎮A⎮ = 2

1 3 12 1 9 14 0 2; 73 5

m m m m mm

= − + = ⇒ = =


R(A) R(M)


7m = 2 2 S. Compatible Indeterminado 2 7m y≠ 3 3 S. Compatible Determinado

a) 2 7m y≠ ⇒ Sistema compatible determinado (1 solución). b) 2m = y 7m = ⇒ Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones). c) Ningún valor.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: 3 3

23 5 5

x y zx my z mx y mz

+ + = ⎫⎪+ + = ⎬⎪+ + = ⎭

a) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga una y sólo una solución. b) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga al menos dos soluciones. c) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema no tenga solución. MATEMÁTICAS II. 2002. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2003

MATEMÁTICAS II







R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz A.

2

1 0 1

0 3 4 3 0 1 ; 3

4 1

A m m m m m

m

−

= = − + − = ⇒ = =

−

Luego, la matriz tiene inversa para todos los valores de 1 3m y≠ b) Calculamos la matriz inversa para m = 2.

( ) 1

7 12 8 7 1 2

1 2 1 12 2 37 1 2

2 3 2 8 1 2( )12 2 3

1 18 1 2

t

d tAA

A

−

− − − − − − − − − − − − = = = = −

− −

1

7 1 2 1 0

12 2 3 1 1

8 1 2 3 1

X A B−

− − = ⋅ = ⋅ − ⋅ − = − − −

Luego, la solución del sistema es: 0; 1; 1x y z= = = −

c) Resolvemos el sistema

11

1 33 1

x zx z

y zy z

z z

= +− =

⇒ = − − + = − =


1 0 1 1

0 3 , 1

4 1 3

x

A m B y X y

m z

−−−− = = − == = − == = − == = − = −−−−

a) ¿Para qué valores de m existe A-1 ?. b) Siendo m = 2, calcula A-1 y resuelve el sistema A·X = B. c) Resuelve el sistema A·X = B para m = 1. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Llamamos x = espectadores de la sala A.

y = espectadores de la sala B. z = espectadores de la sala C.


3 4 5 720

200 100 ; 80 ; 20

4 3 5 740

x y z

x y z x y z

x y z

+ + =

+ + = ⇒ = = =+ + =

Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 €, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 € y el número total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudación de 20 € más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada una de las salas. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


Lo primero que hacemos es ordenar el sistema.

2 (2 ) 0

2 (2 ) 0

2 4 2 (4 ) 0

x y z mx m x y z

x y z my x m y z

x y z mz x y m z

+ + = − + + =

+ + = ⇒ + − + = + + = + + − =


A = 3 2

2 1 17 13

1 2 1 8 16 9 0 1 ;2

1 2 4

m

m m m m m m

m

−±

− = − + − + = ⇒ = =

−

Luego, el sistema homogéneo tiene más de una solución si 7 13

12

m ó m±

= =

Determina razonadamente los valores de m para los que el sistema de ecuaciones 2

2

2 4

x y z mx

x y z my

x y z mz

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ + =+ + =+ + =+ + = + + =+ + =+ + =+ + =

tiene más de una solución. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


a) Lo primero que hacemos es ordenar el sistema

2 2 2

4 5 2 2 5

6 10 1 6 10 1

x my z my x my z

mx y z z mx y z

x y z x y z

+ − = − + − − = −

− + = + ⇒ − + = − − = − − − = −


A = 2 2 15 0 3 ; 5m m m m− + − = ⇒ = = − A continuación, calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M) 5m = − 2 3 S.I. 3m = 2 2 S.C.I.

3 5b y≠ − 3 3 S.C.D.

b) Resolvemos el sistema para 3m =

17 7

83 2 3 2 11 5

3 2 5 3 5 2 8

zx

x y z x y z zy

x y z x y z

z z

−=

− − = − − = − + −

⇒ ⇒ = − + = − = −

=

Considera el sistema de ecuaciones:

2 2

4 5 2

6 10 1

x my z my

mx y z z

x y z

+ − = − ++ − = − ++ − = − ++ − = − +

− + = +− + = +− + = +− + = + − − = −− − = −− − = −− − = −

a) Discute las soluciones del sistema según los valores de m. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la matriz A+λ I .

2 2 1

2 1 2

1 2 2

A I

− + λ −

+ λ = − + λ − − − + λ

Su determinante vale:

3 2

2 2 1

2 1 2 3 9 27 0 3

1 2 2

A I

− + λ −

+ λ = − + λ − = λ − λ − λ + = ⇒ λ = ±

− − + λ

Luego, la matriz tiene inversa para todos los valores de 3λ ≠ ±

b) Resolvemos el sistema

5 2 0

2 2 2 0

2 5 0

x y z

x y z

x y z

− − + =

− − − = − − =

Es un sistema homogéneo cuya solución es: x = z; y = ―2z; z = z y solución trivial


2 2 1

2 1 2

1 2 2

x

A y X y

z

− −− −− −− −

= − − == − − == − − == − − = − −− −− −− −

a) Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λλλλ para los que la matriz A+λλλλ I no tiene inversa. b) Resuelve el sistema A·X = 3 X e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones. MATEMÁTICAS II. 2003. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2004

MATEMÁTICAS II











A = 211 0 1 ; 1

1

mm m m

m

−= − + = ⇒ = = −

−


R(A) R(M)


1m = − 1 3 S. Incompatible

1 1m y≠ − 2 2 S. Compatible Determinado

b) Resolvemos el sistema para 3x =

23 1 43 1 3 (3 1) 2 1 3 4 0 1;

3 2 1 3

m yy m m m m m m m m

my m

− = ⇒ = − ⇒ − − = − ⇒ + − = ⇒ = = −

− = −


2 1

mx y

x my m

− =− =− =− =

− = −− = −− = −− = −

a) Clasifica el sistema según los valores de m. b) Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que x = 3. MATEMÁTICAS II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


A = 3 2

1 0

1 1 1 0 1 ; 1

1 0

λ

λ λ − = λ −λ −λ + = ⇒ λ = λ = −

λ


R(A) R(M)

1λ = − 2 2 S. Compatible Indeterminado

1λ = 2 3 S. Incompatible

1 1yλ ≠ − 3 3 S. Compatible Determinado

b) Resolvemos el sistema para 1λ = −

11

2 10

x xx y

y xx y z

z

=− = −

⇒ = + − + − = =

Considera el sistema de ecuaciones: ( 1) 1

2

x y

x y z

x y

+ λ = λ+ λ = λ+ λ = λ+ λ = λ

λ + + λ − =λ + + λ − =λ + + λ − =λ + + λ − = λ + = + λλ + = + λλ + = + λλ + = + λ

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λλλλ . b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) Llamamos x = botellas del tipo A.

y = botellas del tipo B. z = botellas del tipo C.


3 4 20

3 6 25

x y z

x y z

+ + =

+ + =

b) Resolvemos el sistema.

10 33 4 20

3 6 255

2

x yx y z

y yx y z

z

= −

+ + = ⇒ =

+ + = =

c) No, ya que 5

2z =

Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El mencionado tendero observa que si vende a 1 € las botellas del tipo A, a 3 € las del tipo B y a 4 € las del tipo C, entonces obtiene un total de 20 €. Pero si vende a 1 € las del tipo A, a 3 € las del B y a 6 € las del C, entonces obtiene un total de 25 €. a) Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el número de botellas de cada tipo que posee el tendero. b) Resuelve dicho sistema. c) ¿Puede determinarse el número de botellas de cada tipo de que dispone el tendero?. (Ten en cuenta que el número de botellas debe ser entero y positivo). MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


A = 3

2 1

1 0 4 0 0 ; 2 ; 2

2 0

m

m m m m m m

m

= − = ⇒ = = = −


R(A) R(M)



2m = − 2 2 S. Compatible Indeterminado

0,2 2m y≠ − 3 3 S. Compatible Determinado

a) Para cualquier valor b) Ningún valor c) 0, 2 2y −


2 2

2 0

mx y z

x my m

x mz

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ =+ =+ =+ = + =+ =+ =+ =

a) Determina los valores de m para los que x = 0, y = 1 y z = 0 es solución del sistema. b) Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible. c) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


A =

1 3 1

2 13 2 19 190 0 10

2 12 12

a a

a

− = − = ⇒ =

+ −

Luego, si a = 10, el sistema tiene soluciones distintas de la trivial. Resolvemos el sistema y nos queda:

3 0; 0 ;

2 13 2 0

x y zx z y z z

x y z

+ + = ⇒ = − = =

− + =


3 0

2 13 2 0

( 2) 12 12 0

x y z

x y z

a x y z

+ + =+ + =+ + =+ + =

− + =− + =− + =− + = + − + =+ − + =+ − + =+ − + =

Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la solución trivial y resuélvelo para dicho valor de a. MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


A =

1 0

1 0 2 0 0

0 1 1

α

α = α = ⇒ α =


R(A) R(M)

0α = 2 2 S. Compatible Indeterminado

0α ≠ 3 3 S. Compatible Determinado

b) resolviendo el sistema, tenemos que: 22; ;

2 2 2x y z

− +α α α= = =

−

Se sabe que el sistema de ecuaciones:

1

1

x y

x z

y z

+ α =+ α =+ α =+ α =

+ α =+ α =+ α =+ α = + = α+ = α+ = α+ = α

tiene una única solución.

a) Prueba que 0α ≠α ≠α ≠α ≠ . b) Halla la solución del sistema. MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) El sistema tiene que ser compatible indeterminado, luego: ( ) ( ) 2Rango A Rango M= =

1 3 1

1 1 2 5 3 4 0

14 ; 8

1 3 1

1 1 1 4 16 0

4

A a b

a ba b

M a

a b

= − = − − = ⇒ = =

= − − = − + =

Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones

3 1

2 1

4

x y z

x y z

ax by z

+ + =+ + =+ + =+ + =

− + + = −− + + = −− + + = −− + + = − + + =+ + =+ + =+ + =

tiene al menos dos

soluciones distintas. MATEMÁTICAS II. 2004. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) Si el rango de A es 2, esto quiere decir que el determinante de orden 3 tiene que valer 0, luego:

3 2 1

1 4 2 12 4 1 4 2 6 6 3 15 0 5

1 1

a a a a a a

a a

−

− − = − − + − − + + − = − − = ⇒ = −

− −

b)

4 8

103 2 13 2 1 1 7

4 2 04 2 0 10

6 5 1

zx

x y zx y z z

x y z yx y z

x y zz z

− += −− + =

− + = − + − − = ⇒ ⇒ =

− − = − − − − = − =

a) Sabiendo que la matriz

3 2 1

1 4 2

1 1

A

a a

−−−−

= − −= − −= − −= − − − −− −− −− −

tiene rango 2, ¿cuál es el valor de a?.

b) Resuelve el sistema de ecuaciones

3 2 1 1

1 4 2 0

1 6 5 1

x

y

z

−−−−

− − ⋅ =− − ⋅ =− − ⋅ =− − ⋅ = − − − −− − − −− − − −− − − −



PROBLEMAS RESUELTOS


2005

MATEMÁTICAS II










A = 2

1 1 1

3 1 3 2 0 1; 2

1 2 2

−λ = λ + λ + = ⇒ λ = − λ = −

λ +


R(A) R(M)

1λ = − 2 3 S. Incompatible


1 2yλ ≠ − − 3 3 S. Compatible Determinado

b) 2λ = − ⇒ Sistema compatible indeterminado. Como el rango es 2, nos tenemos que quedar con dos ecuaciones y dos incógnitas, luego el sistema a resolver será:

1 22

32 3 7

x zx y z

y zx y z

z z

= −+ = − −

⇒ = − + + = − − =


x y z

x y z

x y z

+ + = −+ + = −+ + = −+ + = −

− λ + + = −− λ + + = −− λ + + = −− λ + + = − + + λ + = −+ + λ + = −+ + λ + = −+ + λ + = −

2

3 7

2 ( 2) 5

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λλλλ . b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. MATEMÁTICAS II. 2005. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N Vamos a hacer la discusión del sistema y luego iremos contestando las preguntas del problema. Para ello calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

A = 2

1 3 1

0 2 0 1; 0

0 1

m m m m m

m

= + = ⇒ = − =

−


R(A) R(M)

1m = − 2 3 S. Incompatible


1 0m y≠ − 3 3 S. Compatible Determinado

a) Si 1 0m y≠ − ⇒ Sistema compatible determinado y tiene una solución. Si 1m = , el sistema que tenemos que resolver es:

3 5

2 0 2; 2; 1

1

x y z

x z x y z

y z

+ + =

+ = ⇒ = − = =− =

b) Si 0m = ⇒ Sistema compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Como el rango es 2, nos quedamos con un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas.

5 35 3 ; ; 0

2 0

x z yx t y t z

z

+ = − ⇒ = − = =

=

c) Si 1m = − ⇒ Sistema incompatible y no tiene solución.

Considera el sistema de ecuaciones

3 5

2 0

x y z

mx z

my z m

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ =+ =+ =+ = − =− =− =− =

a) Determina los valores de m para los que el sistema tiene una única solución. Calcula dicha solución para m = 1. b) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcula dichas soluciones. c) ¿Hay algún valor de m para el que el sistema no tiene solución? MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


A = 3 2

1 1 1

1 1 1 3 0 3; 0

1 1 1

b

b b b b m

b

+

+ = + = ⇒ = − =

+


R(A) R(M)

0b = 1 2 S. Incompatible

3b = − 2 2 S. Compatible Indeterminado

0 3b y≠ − 3 3 S. Compatible Determinado

b) Si 3b = − ⇒Sistema compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Como el rango es 2, nos quedamos con un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas.

2 22; 2;

2 2

x y zx t y t z t

x y z

− + = − ⇒ = − = − =

− = −


( 1) 2

( 1) 2

( 1) 4

b x y z

x b y z

x y b z

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + = + + + = −+ + + = −+ + + = −+ + + = −

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro b. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Si llamamos al dinero de Álvaro = x ; al dinero de Marta = y ; al dinero de Guillermo = z. El sistema resultante es:

84

4 1

5 54

5

x y z

x y x

z x

+ + =

= +

=

Resolviendo dicho sistema, obtenemos como solución: 35; 21; 28x y z= = =

Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros. MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


A = 3 3 2 0 1; 2m m m m− + = ⇒ = = − A continuación, calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M)

1m = 1 2 S.I.

2m = − 2 2 S.C.I.

1 2m y≠ − 3 3 S.C.D.

Como nos dice que el sistema admite al menos dos soluciones quiere decir que es compatible indeterminado, luego 2m = − .

b) Si 1x = , el sistema es:

1 0 1

1 2 1

0

my z my z

y mz y mz

m y z m y z

+ + = + = −

+ + = ⇒ + = + + = + =

Calculamos el determinante A = 211 0 1; 1

1

mm m m

m= − = ⇒ = = −


R(A) R(M)

1m = 1 2 S.I.

1m = − 2 2 S.C.D.

1 1m y≠ − 2 2 S.C.D.

Luego para cualquier valor de 1m ≠ el sistema tiene como solución 1x = .


0

2

x my z

x y mz

mx y z m

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ + =+ + =+ + =+ + = + + =+ + =+ + =+ + =

a) ¿Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones?. b) ¿Para qué valores de m el sistema admite solución en la que x = 1?. MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


A = 12 84 0 7m m+ = ⇒ = − Si 7m ≠ − , este sistema homogéneo es incompatible y solo tiene la solución trivial. b) Si 7m = − , el sistema homogéneo es compatible y tiene infinitas soluciones. El sistema que tenemos que resolver es:

195 2 7

2 3 19

zx

x y z zy

x y z

z z

=

+ =

⇒ = − =

=

Si 19 1; 7z x y= ⇒ = =


5 2 0

( 4)

2 3 0

x y z

x y m z my

x y z

+ − =+ − =+ − =+ − =

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + = − + =− + =− + =− + =

a) Determina los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución. b) Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una solución en la que z = 19. MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N Llamamos x = al peso de una sortija

y = al peso de una moneda z = al peso de un pendiente

Leyendo el enunciado del problema podemos plantear 3 posibles sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

18 18 18

30 30 30

4 3 2 90 4 3 2 90 4 3 2 90

x y z

x y z ó x y z ó x y z

x y z x y z x y z

= = =

+ + = + + = + + = + + = + + = + + =

De estos tres posibles sistemas, sólo será válido aquel que tenga solución única y además los tres valores sean positivos, ya que el peso no puede ser negativo.

1812

30 18; 6; 183 2 18

4 3 2 90

xy z

x y z x y zy z

x y z

= + =

+ + = ⇒ ⇒ = = − = ⇒ + = + + =

Solución no válida

18

1230 6; 18; 6

4 2 364 3 2 90

yx z

x y z x y zx z

x y z

= + =

+ + = ⇒ ⇒ = = = ⇒ + = + + =

Solución correcta, luego el objeto es

una moneda

1812

30 18; 6; 184 3 54

4 3 2 90

zx y

x y z x y zx y

x y z

= + =

+ + = ⇒ ⇒ = = − = ⇒ + = + + =

Solución no válida

En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo. MATEMÁTICAS II. 2005. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



2006

MATEMÁTICAS II











El sistema que tenemos que resolver es: 2 5 7

2 21

x zx y z

x y z

+ = ⎫⎪+ − = − ⎬⎪− + + = − ⎭

Como el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, podemos resolverlo por Cramer.

7 0 52 1 21 1 1 16 12 0 5 161 1 21 1 1

x

− −−

= = =

−−

;

2 7 51 2 21 1 1 16 12 0 5 161 1 21 1 1

y

− −− − −

= = = −

−−

;

2 0 71 1 21 1 1 16 12 0 5 161 1 21 1 1

z

−− −

= = =

−−

Resuelve 2 0 5 2 51 1 2 2 01 1 1 3 2

xyz

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠





⎮A⎮ = 3 0 0, 1λ − λ = ⇒ λ = − y 1


R(A) R(M) 0λ = 2 3 S.I. 1λ = − 2 2 S.C.I.

1λ = 2 2 S.C.I. 0, 1,1λ ≠ − 3 3 S.C.D.

b) Lo resolvemos para 2λ = . El sistema es 2 1

2 22 4

x y zx y zx y z

+ − = ⎫⎪+ + = ⎬⎪+ + = ⎭

1 1 12 2 14 1 2 9 32 1 1 6 21 2 11 1 2

x

−

= = =−

;

2 1 11 2 11 4 2 3 12 1 1 6 21 2 11 1 2

y

−

−= = = −

−;

2 1 11 2 21 1 4 9 3

2 1 1 6 21 2 11 1 2

z = = =−

Considera el sistema de ecuaciones lineales 2

1x y zx y zx y z

⎫λ + − =⎪+ λ + = λ ⎬⎪+ + λ = λ ⎭

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetroλ . b) Resuélvelo para 2λ = . MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



⎮A⎮ = 2

1 1 10 3 3 6 0 2 ; 3

1 2 0m m m m m

m

−− = + − = ⇒ = = −

+

Luego, la matriz tiene inversa para todos los valores de 2 3m y≠ −

b)

( ) ( ) ( )1 1 1 3 2

3 1 1 0 3 3 3 1 1 3 2 1 11 2 0 3 1 1

x z xX A x y z x y z y

x y z

− + = =⎛ ⎞ ⎫ ⎧⎪ ⎪⎜ ⎟⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒ − + = ⇒ =⎬ ⎨⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ − + = =⎝ ⎠ ⎭ ⎩

Sea 1 1 10 3 3

1 2 0A m

m

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

a) Determina los valores de m ∈ para los que la matriz A tiene inversa. b) Para m = 0 y siendo ( )X x y z= , resuelve ( )3 1 1X A⋅ = . MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.




⎮A⎮ 0= para cualquier valor deλ , ya que tiene dos columnas iguales, por lo tanto rango(A) < 3 siempre.

Con la matriz ampliada del sistema formamos el determinante

2

1 1 21 8 2 2 4 0 1 ; 2

1 10

−λ = − λ + λ + = ⇒ λ = − λ =

λ


R(A) R(M) 1λ = − 1 2 S.I.

2λ = 2 2 S.C.I. 1, 2λ ≠ − 2 3 S.I.

b) Lo resolvemos para 2λ = . El sistema es 4

2 22

2 8 2 8

x zx y z x y z

yx y z x y z

z z

= −⎧− + = − = −⎫ ⎫ ⎪⇒ ⇒ =⎬ ⎬ ⎨+ + = + = −⎭ ⎭ ⎪ =⎩


10

x y zx y zx y z

− + = ⎫⎪+ λ + = ⎬⎪λ + + λ = ⎭

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetroλ . b) Resuelve el sistema para 2λ = MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz y lo igualamos a cero

⎮A⎮ = 1 1 02 1 1 2 6 0 3

4 1 1m m

m m= − = ⇒ =

− −

Luego, la matriz A no tiene inversa para m = 3. b) El sistema que tenemos que resolver es:

02 0

x zx y

y zx y z

z z

=⎧+ = ⎫ ⎪⇒ = −⎬ ⎨+ + = ⎭ ⎪ =⎩

y además, tiene la solución trivial.

Considera las matrices: 1 1 0 02 1 1 ; ; 0

4 1 1 0

xA X y O

m m z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) Halla el valor de m ∈ para el que la matriz A no tiene inversa. b) Resuelve A X O⋅ = para m = 3. MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.




⎮A⎮ 2 2 0 1= − λ + = ⇒ λ =


R(A) R(M) 1λ = 2 2 S.C.I. 1λ ≠ 3 3 S.C.D.


4 46 2

3 0 3

x zx y z x y z

y zx y z x y z

z z

= −⎧+ − = − + = − +⎫ ⎫ ⎪⇒ ⇒ = − +⎬ ⎬ ⎨+ + = + = −⎭ ⎭ ⎪ =⎩


3 12 2

x y zx y z

x y

+ − = − ⎫⎪+ λ + = λ − ⎬⎪+ λ = − ⎭

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetroλ . b) Resuelve el sistema para 1λ = . MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.




⎮A⎮ = 2

1 11 1 1 0 1; 11 1 1

λ − −λ = λ − = ⇒ λ = λ = −


R(A) R(M)


1λ = − 2 2 S. Compatible Indeterminado 1 1yλ ≠ − 3 3 S. Compatible Determinado

b) 2λ = ⇒ Sistema compatible determinado. Luego lo resolvemos por Cramer.

1 1 14 2 14 1 1 3 1

2 1 1 31 2 11 1 1

x

− − −

= = =− −

;

2 1 11 4 11 4 1 0 02 1 1 31 2 11 1 1

y

− −

= = =− −

;

2 1 11 2 41 1 4 9 32 1 1 31 2 11 1 1

z

− −

= = =− −


2

x y zx y zx y z

λ − − = − ⎫⎪+ λ + = ⎬⎪+ + = λ + ⎭

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetroλ . b) Resuelve el sistema para 2λ = . MATEMÁTICAS II. 2006. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


PROBLEMAS RESUELTOS


2007

MATEMÁTICAS II









R E S O L U C I Ó N a) Vamos a calcular la matriz inversa de A.

1

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 2 2 21 1 1 1 1 1( ) 1 1 1

2 2 2 2 21 1 1

2 2 2

t

d tAA

A

−

− − − − − − − = = = = −

−

b) El sistema escrito en forma matricial es:

1 1 0 1

0 1 1 2

1 0 1 3

x

y

z

⋅ = −

Resolviendo el sistema, tenemos:

1 1 1

2 2 2 1 31 1 1

2 22 2 2

3 01 1 1

2 2 2

x

y

z

−

= − ⋅ − = −

−

Luego, la solución del sistema es: 3 ; 2 ; 0x y z= = − =

a) Calcula la matriz inversa de

1 1 0

0 1 1

1 0 1

A

====

b) Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz 1A −−−− hallada en el

apartado anterior,

1

2

3

x y

y z

x z

+ =+ =+ =+ =

+ = −+ = −+ = −+ = − + =+ =+ =+ =

MATEMÁTICAS II. 2007. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B



A = 2

1 1 1

2 1 3 2 0 1 ; 2

1 1

λ = λ − λ + = ⇒ λ = λ =

λ


R(A) R(M)



1 2yλ ≠ 3 3 S. Compatible Determinado

b) Vamos a resolverlo para

20

1 22 2

xx y z

y zx y z

z z

=+ + =

λ = ⇒ ⇒ = − − + + = =


0

2 2

1

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ λ + =+ λ + =+ λ + =+ λ + = + + λ = λ −+ + λ = λ −+ + λ = λ −+ + λ = λ −

a) Determina el valor de λλλλ para que el sistema sea incompatible. b) Resuelve el sistema para 1λ =λ =λ =λ = . MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 1. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.


Lo primero que hacemos es ordenar el sistema

0 0

( 1) 2 2 0

2 (2 ) 2 2 0

x y z x y z

a y z y ay z

x y a z z x y az

+ + = + + =

+ + = ⇒ + = − + − = − − =


A = 2

1 1 1

0 2 6 0 2 ; 3

1 2

a a a a a

a

= − − + = ⇒ = = −

− −

A continuación, calculamos el rango de la matriz de los coeficientes y hacemos la discusión:

R(A)

2a = 2 S. Homogéneo compatible

3a = − 2 S. Homogéneo compatible

2 3a y≠ − 3 S. Homogéneo incompatible

Vamos a resolverlo:

Caso 1:

00

22 2 0

xx y z

a y zy z

z z

=+ + =

= ⇒ ⇒ = − + = =

y solución trivial.

Caso 2:

5

30 2

33 2 0 3

zx

x y z za y

y z

z z

= −

+ + =

= − ⇒ ⇒ = − + =

=

y solución trivial

Caso 3: 2 3a y≠ − ⇒ Solución trivial

Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a, 0

( 1) 2

2 (2 ) 2

x y z

a y z y

x y a z z

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ + =+ + =+ + =+ + = − + − =− + − =− + − =− + − =



a) Para que el sistema tenga más de una solución, el determinante de la matriz de los coeficientes tiene que valer cero, luego:

A = 2

1 1

1 1 1 2 0 0 ; 2

1 0

−λ λ +

= −λ − λ = ⇒ λ = λ = −

−λ −λ

A continuación, calculamos el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada y hacemos la discusión:

R(A) R(M)


2λ = − 2 2 S. Homogéneo compatible

0 2yλ ≠ − 3 3 S. Compatible determinado

b) Vamos a resolverlo:

22 0

2 30

x zx y z

y zx y z

z z

=+ − =

λ = − ⇒ ⇒ = − + + = =

y solución trivial.

Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales:

( 1) 2

0

(1 ) 0

x y z

x y z

x y

−λ + + λ + = λ +−λ + + λ + = λ +−λ + + λ + = λ +−λ + + λ + = λ +

+ + =+ + =+ + =+ + = − λ − λ =− λ − λ =− λ − λ =− λ − λ =

tiene más de una

solución. a) Calcula, en dicho caso, el valor de la constante λλλλ . b) Halla todas las soluciones del sistema. MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


Calculamos el determinante de la matriz ampliada

M = 3 2

11

1 2 3 1 0 1 ;2

1

m m

m m m m m m

m m

= − + = ⇒ = = −


R(A) R(M)

1m = 1 1 S. Compatible indeterminado

1

2m = − 2 2 S. Compatible determinado

11

2m y≠ − 2 3 S. Incompatible

Vamos a resolverlo:

Caso 1: }1

1 1x y

m x yy y

= −= ⇒ + = ⇒

=

Caso 2:

1 111 2 2

1 1 12

2 2

x yx

my

x y

− = − = −= − ⇒ ⇒ = −− + = −

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los valores de m que lo hacen compatible:

1

x my m

mx y m

mx my

+ =+ =+ =+ = + =+ =+ =+ = + =+ =+ =+ =



a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes

A = 2

1 1

0 1 2 1 0 1

1 2 0

m

m m m m

m

− = − + − = ⇒ =


R(A) R(M)

1m = 2 2 S. Compatible indeterminado

1m ≠ 3 3 S. Compatible determinado

b) Vamos a resolverlo:

2 21

1 11

x zx y z

m y zy z

z z

= −+ = −

= ⇒ ⇒ = − + = − + =


1

1

2 0

x y mz

my z

x my

+ + =+ + =+ + =+ + =

− = −− = −− = −− = − + =+ =+ =+ =

a) Clasifica el sistema según los valores de m. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



A = 2 2

1 1

1 1 1 1 1 1 1 ; 1

1 1 1

a

a a a a a a a− = − + + + − − = − + ⇒ = = −


R(A) R(M)

1a = 2 3 S. Incompatible

1a = − 2 2 S. Compatible Indeterminado

1 1a y≠ − 3 3 S. Compatible Determinado

Vamos a resolverlo para

3

24 5 2

11 2

x

x y z za y

x y z

z z

= −

− + + = −

= − ⇒ ⇒ = + + =

=

b) 2a = − ⇒ Sistema compatible determinado. Luego lo resolvemos por Cramer.

4 1 1

1 2 1

0 1 1 4 42 1 1 3 3

1 2 1

1 1 1

x = = = −− −

;

2 4 1

1 1 1

1 0 1 31

2 1 1 3

1 2 1

1 1 1

y

−

−= = =

− −;

2 1 4

1 2 1

1 1 0 1 12 1 1 3 3

1 2 1

1 1 1

z

−

−= = =

− −


4

1

2

ax y z

x ay z

x y z a

+ + =+ + =+ + =+ + =

− + =− + =− + =− + = + + = ++ + = ++ + = ++ + = +

a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) Resuelve el sistema que se obtiene para 2a = −= −= −= − . MATEMÁTICAS II. 2007. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2008

MATEMÁTICAS II










R E S O L U C I Ó N a) No es posible ya que el sistema resultante resulta ser incompatible. En efecto:

130 1 1 1 130 1 1 1 130 1 1 1 130

10 20 50 3000 1 2 5 300 0 1 4 170 0 1 4 170

3 0 1 0 3 0 0 1 4 130 0 0 0 40

x y z

x y z

x z

+ + =

+ + = ⇒ → → ⇒ − = − − − −

No

tiene solución. b)

130 1 1 1 130 1 1 1 130 1 1 1 130

10 20 50 3000 1 2 5 300 0 1 4 170 0 1 4 170

2 0 1 0 2 0 0 1 3 130 0 0 1 40

80 ; 10 ; 40

x y z

x y z

x z

x y z

+ + =

+ + = ⇒ → → ⇒ − = − − − −

⇒ = = =

Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros. a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?. b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada tipo. MATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz A y lo igualamos a cero.

2 2 2 2

2

1 1 1

( 2 1) 0 0 ; 1m m m m m m m m

m m m

= − + = ⇒ = =

Luego, para 0 1m y m= = el rango de A es menor que 3. b) Hacemos la discusión del sistema

R(A) R(M) 0m = 1 2 S.Incompatible 1m = 1 1 S.Compatible Indeterminado

Luego, el sistema tiene solución para 1m =

La solución para 1m = , es: }1

1

x y z

x y z y y

z z

= − −

+ + = ⇒ = =


2

1 1 1

A m m m

m m m

====

a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.

b) Estudia si el sistema

1

1

1

x

A y

z

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =

tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos

en el apartado anterior. MATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B



A = 2

1 1

2 1 3 6 9 0 3 ; 1

1 5

λ −

λ = λ − λ − = ⇒ λ = λ = −

−λ


R(A) R(M)



1 3yλ ≠ − 3 3 S. Compatible Determinado


2

30

12 0 3

zx

x y z zy

x y z

z z

=

− − =

λ = − ⇒ ⇒ = − + − =

=

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

0

2 0

5 1

x y z

x y z

x y z

+ λ − =+ λ − =+ λ − =+ λ − =

+ + λ =+ + λ =+ + λ =+ + λ = + − λ = λ ++ − λ = λ ++ − λ = λ ++ − λ = λ +

a) Clasifícalo según los valores del parámetro λλλλ . b) Resuelve el sistema para 1λ = −λ = −λ = −λ = − . MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 3.OPCIÓN A.



A = 2

1 1 0

0 1 0 0 ; 1

1 1

k k k k k

k k

= − = ⇒ = =

+


R(A) R(M)

1k = 2 3 S. Incompatible

0k = 2 2 S. Compatible Indeterminado

0 1k y≠ 3 3 S. Compatible Determinado

b) Vamos a resolverlo, sabiendo que 2z = :

1

2 0

( 1) 2 1

x y

ky

x k y k k

+ =

+ = + + + = +

Para que el sistema tenga solución, el determinante de la matriz ampliada debe valer cero, luego:

1 1 1

0 2 0 0 ; 2

1 1 1

k k k

k k

− = ⇒ = =

+ −

Como en el apartado a) hemos visto que para 0k = el sistema era incompatible, sólo nos queda como solución posible que 2k =

Dado el siguiente sistema de ecuaciones 1

0

( 1) 1

x y

ky z

x k y kz k

+ =+ =+ =+ =

+ =+ =+ =+ = + + + = ++ + + = ++ + + = ++ + + = +

a) Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible. b) Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga 2z ==== . MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes

A =

1 2 2

2 1 1 0

1 3 1

− −

=

−

El rango de la matriz de los coeficientes es 2, luego, para que el sistema tenga solución el rango de la matriz ampliada también debe ser 2.

2

2

1 2 2

2 1 5 5 10 0 1 ; 2

1 3

m m m m m

m

−

= − + + = ⇒ = − =

Halla los valores del parámetro m que hacen compatible el sistema de ecuaciones:

2

2 2 2

2

3

x y z

x y z m

x y z m

− + − =− + − =− + − =− + − =

+ + =+ + =+ + =+ + = + − =+ − =+ − =+ − =



a) Lo primero que hacemos es ordenar el sistema.

2 (2 ) 0

2 (2 ) 0

2 4 2 (4 ) 0

x y z mx m x y z

x y z my x m y z

x y z mz x y m z

+ + = − + + =

+ + = ⇒ + − + = + + = + + − =


A = 3 2

2 1 17 13

1 2 1 8 16 9 0 1 ;2

1 2 4

m

m m m m m m

m

−±

− = − + − + = ⇒ = =

−

Luego, este sistema homogéneo tiene más de una solución para los valores 7 13

12

m y m±

= =

b) Vamos a resolverlo Caso1: 0m = ⇒ Sistema homogéneo incompatible, sólo tiene la solución trivial 0x y z= = = Caso2: 1m = ⇒ Sistema homogéneo incompatible, sólo tiene la solución trivial 0x y z= = =

02

2 3 0 2 3

x zx y z x y z

y zx y z x y z

z z

=+ + = + = −

⇒ ⇒ = − + + = + = − =

y solución trivial

a) Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

2

2

2 4

x y z mx

x y z my

x y z mz

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ + =+ + =+ + =+ + = + + =+ + =+ + =+ + =

b) Resuelve el sistema anterior para el caso 0m ==== y para el caso 1m ==== . MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 4. EJERCICIO 3.OPCIÓN A.



A = 2

1 1 1

2 1 3 2 0 1 ; 2

1 1

a a a a a

a

= − + − = ⇒ = =


R(A) R(M)

1a = 2 3 S. Incompatible

2a = 2 2 S. Compatible Indeterminado

1 2a y≠ 3 3 S. Compatible Determinado


11

2 02 2 2

x zx y z

a yx y z

z z

= −+ = −

= ⇒ ⇒ = + = − =

Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

1

2

1

x y z a

x y az a

x ay z

+ + = −+ + = −+ + = −+ + = −

+ + =+ + =+ + =+ + = + + =+ + =+ + =+ + =

a) Discútelo según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo en el caso 2a ==== . MATEMÁTICAS II. 2008. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3.OPCIÓN A.


a) El determinante de la matriz de los coeficientes del sistema formado con las tres ecuaciones debe valer cero, luego:

A =

2 1 3

1 2 1 5 40 0 8

1 7

a a

a

−

− = − + = ⇒ =

b) Vamos a resolver el sistema

4 5

52 1 3 3 5

2 2 5

zx

x y z zy

x y z

z z

−=

− = − +

⇒ = + = +

=

Como la suma de las incógnitas tiene que valer 1, tenemos:

6

54 5 3 5 2 1

1 15 5 5 5

2

5

x

z zx y z z z y

z

=

− +

+ + = ⇒ + + = ⇒ = − ⇒ =

= −

Sabemos que el sistema de ecuaciones: 2 3 1

2 2

x y z

x y z

− + =− + =− + =− + =

+ − =+ − =+ − =+ − =

tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación 7 7ax y z+ + =+ + =+ + =+ + = a) Determina el valor de a. b) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad. MATEMÁTICAS II. 2008. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N Planteamos un sistema de ecuaciones. x = cajas de 30 € y = cajas de 20 € z = cajas de 40 €

150030 20 40 40500 450 ; 750 ; 300

450

x y zx y z x y z

x

+ + = ⎫⎪+ + = ⇒ = = =⎬⎪= ⎭

Luego, en el primer mercado se ha pagado30 450 13.500 €⋅ = , en el segundo mercado se ha pagado 20 750 15.000 €⋅ = y en el tercer mercado se ha pagado 40 300 12.000 €⋅ = .

Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros, respectivamente. El coste total de la operación ha sido 40.500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30% DE LAS CAJAS. MATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B


a) 2 118 1 2 3

( 3) 3 390 3 3A B C

AnA n B C n n

+ + = ⎫ ⎛ ⎞⇒ =⎬ ⎜ ⎟+ + + = +⎭ ⎝ ⎠

Para 3n = , el sistema resulta incompatible, ya que 1Rango A = y 2Rango M = .

b) Resolvemos el sistema.

2 1184 7 3 390 23 ; 13 ; 69

3

A B CA B C A B C

C A

+ + = ⎫⎪+ + = ⇒ = = =⎬⎪= ⎭

Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, B y C. Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 €. Pista 2: Si compramos n unidades de A, n+3 unidades de B y 3 de C gastamos 390 €.

a) ¿Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles?. b) Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de cada producto. MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



⎮A⎮ = 2

1 11 3 1 4 3 0 1 ; 3

1 1

λ= λ − λ + = ⇒ λ = λ =

λ


R(A) R(M)


3λ = 2 3 S. Incompatible 1 3yλ ≠ 3 3 S. Compatible Determinado


72

4 113 5 2

x z

x y zy

x y zz z

⎧ = −⎪⎪+ = − ⎫ ⎪λ = ⇒ ⇒ =⎬ ⎨+ = − ⎭ ⎪

=⎪⎪⎩

Dado el sistema de ecuaciones lineales: 4

3 54

x y zx y zx y z

+ λ + = ⎫⎪+ + = ⎬⎪λ + + = ⎭

a) Discútelo según los valores del parámetroλ . b) Resuélvelo en el caso 1λ = . MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 2. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) El sistema es compatible indeterminado

2 22

2 0 2 32

2 5 2

x z x zx z

x y z y zx y z

x y z z z

+ = = −⎫ ⎧= − ⎫⎪ ⎪− + + = ⇒ ⇒ = −⎬ ⎬ ⎨− + = − ⎭⎪ ⎪− + + = =⎭ ⎩

b)

⎮A⎮ = 1 1 11 1 3 2 6 0 31 2

− = λ − = ⇒ λ =λ


R(A) R(M)


Resolvemos el sistema compatible determinado

1 1 11 1 33 2 10 51 1 1 2 6 31 1 31 2

x− λ − −

= = =λ − λ −

−λ

;

1 1 11 1 31 3 2 14 71 1 1 2 6 31 1 31 2

y

−− λ λ + λ +

= = =λ − λ −

−λ

;

1 1 11 1 11 2 3 10 51 1 1 2 6 31 1 31 2

z

−− − −

= = =λ − λ −

−λ

a) Resuelve el sistema de ecuaciones: 2

2 02 5 2

x zx y zx y z

+ = ⎫⎪− + + = ⎬⎪− + + = ⎭

b) Calculaλ sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del

apartado (a) 1

3 12 3

x y zx y zx y z

+ + = ⎫⎪− + + = ⎬⎪+ + λ = − ⎭

MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 3. EJERCICIO 3.OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la matriz inversa.

( ) 1

6 6 3 6 6 3 2 2 16 3 6 6 3 6 9 9 93 6 6 3 6 6( ) 2 1 2

27 27 9 9 91 2 29 9 9

t

d tAAA

−

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = = = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Resolvemos el sistema 2 2 3 5 2 02 2 3 0

2 2 3 2 5 0

x y z x x y zx y z y x y z

x y z z x y z

− − + = − − + =⎫ ⎧⎪ ⎪− + − = ⇒ − − − =⎬ ⎨⎪ ⎪− − = − − =⎭ ⎩

Como Rango(A) = Rango(M) = 2 ⇒ Son tres planos distintos que se cortan en una recta

5 2 05 2

0 ; 2 ;2 5 0

x y zx y z

x y z x z y z z zx y z

x y z

− − + = ⎫+ = ⎫⎪− − − = ⇒ ⇒ = = − =⎬ ⎬− − = ⎭⎪− − = ⎭

Considera las matrices 2 2 12 1 21 2 2

xA y X y

z

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) Calcula, si existe, A-1. b) Resuelve el sistema 3AX X= e interpreta geométricamente el conjunto de sus soluciones. MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

Sea el sistema de ecuaciones lineales: 1

1x y m

x my zmx y z m

+ = + ⎫⎪+ + = ⎬⎪+ − = ⎭

a) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible. b) Resuelve el sistema en el caso 1m = − . MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 4. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.


⎮A⎮ = 1 1 01 1 0 ( )

1 1m Rango A

m= ⇒ =

−2 para cualquier valor de m

Calculamos el determinante de la matriz ampliada y lo igualamos a cero

⎮M⎮ = 2

1 0 11 1 1 0 0 ;

1

+1= − − = ⇒ = = −

−

mm m m m

m m

R(A) R(M)

0m = 2 2 S. Compatible Indeterminado 1m = − 2 2 S. Compatible Indeterminado

0,1, 1m ≠ − 2 3 S. Incompatible


12

0 111 2

zx

x y zm yx y z

z z

−⎧ =⎪⎪+ = ⎫ − +⎪= − ⇒ ⇒ =⎬ ⎨− = − ⎭ ⎪

=⎪⎪⎩



⎮A⎮ 2 6 0 0 ; 6=λ − λ = ⇒ λ = λ =


R(A) R(M) 0λ = 2 2 S. Compatible Indeterminado 6λ = 2 3 S. Incompatible

0 6yλ ≠ 3 3 S. Compatible Determinado


3 01 3

3 1

xx

y zx y z

z z

=⎧= ⎫ ⎪⇒ = −⎬ ⎨+ + = ⎭ ⎪ =⎩

a) Discute según los valores del parámetro λ el siguiente sistema 3 0

3 1

x yx zx y z

+ λ = ⎫⎪+ λ = λ⎬⎪+ + = ⎭

b) Resuélvelo para 0λ = . MATEMÁTICAS II. 2009. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



2010

MATEMÁTICAS II










⎮A⎮ = 3

1 12 1 1 0 11 1

λ−λ = −λ − = ⇒ λ = −− λ

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada y hacemos la discusión del sistema.

R(A) R(M) 1λ = − 2 2 S. Compatible indeterminado 1λ ≠ − 3 3 S. Compatible Determinado

Luego, el sistema siempre tiene solución. b) Resolvemos el sistema para 1λ = − .

13

1 1 4 32 2 2 2 3

x

x y z x y z zyx y z x y z

z z

⎧ =⎪⎪− + + = − + = −⎫ ⎫ −⎪⇒ ⇒ =⎬ ⎬ ⎨+ + = + = −⎭ ⎭ ⎪

=⎪⎪⎩

Sea el siguiente sistema de ecuaciones 2

2 2x y z

x y zx y z

λ + + = λ + ⎫⎪− λ + = ⎬⎪− + λ = λ ⎭

a) Discútelo según los valores deλ . ¿Tiene siempre solución? b) Resuelve el sistema para 1λ = − . MATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



⎮A⎮ = 2 2

2 1 11 1 1 2 1 1 1 2 0 1 0 1 ; 11 1

mm m m m m m m

m

+ − −− − = + − + − + − − = ⇒ − + = ⇒ = = −

−


R(A) R(M)

1m = 2 2 S. Compatible Indeterminado 1m = − 2 3 S. Incompatible

1 1m y≠ − 3 3 S. Compatible Determinado b) 1m = ⇒ Sistema compatible indeterminado.

12

3 1 11 2

zx

x y z zyx y z

z z

+⎧ =⎪⎪− = + ⎫ +⎪⇒ =⎬ ⎨− − = − − ⎭ ⎪

=⎪⎪⎩

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: ( 2) 1

1m x y z

x y zx my z m

+ − − = ⎫⎪− − + = − ⎬⎪+ − = ⎭

a) Discútelo según los valores de m. b) Resuélvelo para el caso 1m = . MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



⎮A⎮ = 3 2 12 3 1 9 2 2 3 3 4 0 5 0 01 1

−− = − λ − + + − + λ = ⇒ − λ = ⇒ λ =

λ


R(A) R(M)


0λ ≠ 3 3 S. Compatible Determinado b) No hay ningún valor de λ para el cual el sistema no tenga solución.

Considera el sistema: 3 2 52 3 4

x y zx y z− + = ⎫

⎬− + = − ⎭

a) Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al añadirle la ecuación 9x y z+ + λ = sea compatible indeterminado. b) ¿Existe algún valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solución?. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



a) Calculamos el determinante de la matriz A.

⎮A⎮ = 2 2

1 2 331 3 6 2 6 0 2 7 6 0 2 ;2

0 2α = α + α − α − = ⇒ − α + α − = ⇒ α = α =

α

Luego, tiene inversa para todos los valores de 2α ≠ y 32

α ≠

b)

( ) 1

5 1 2 5 4 34 1 2 1 1 0

5 4 33 0 1 2 2 1( ) 1 1 0

1 12 2 1

t

d tAAA

−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = −⎜ ⎟− − ⎜ ⎟−⎝ ⎠

c)

1

5 4 3 2 341 1 0 3 52 2 1 4 14

AX B X A B−

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⇒ = ⋅ = − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sean las matrices 1 2 3

1 30 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= α⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠

y 234

B−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Determina los valores de α para los que A tiene inversa. b) Calcula la inversa de A para 1α = c) Resuelve, para 1α = , el sistema de ecuaciones AX B= . MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.



⎮A⎮ = 2 2 2

2 62 4 6 16 12 12 24 4 0 2 8 0 2 ; 22 6

λλ = λ + + λ − λ − − λ = ⇒ λ − = ⇒ λ = λ = −λ


R(A) R(M)

2λ = 2 2 S. Compatible Indeterminado 2λ = − 2 3 S. Incompatible

2 2yλ ≠ − 3 3 S. Compatible Determinado b) 2λ = ⇒ Sistema compatible indeterminado.

32 2 6 0 2 6 22 2 4 2 2 4 2 2

1

x yx y z x z y

y yx y z x z y

z

= −⎧+ + = + = −⎫ ⎫ ⎪⇒ ⇒ =⎬ ⎬ ⎨+ + = + = −⎭ ⎭ ⎪ = −⎩

Considera el sistema de ecuaciones: 2 6 0

2 4 22 6 2

x y zx y zx y z

λ + + = ⎫⎪+ λ + = ⎬⎪+ λ + = λ − ⎭

a) Discútelo según los valores del parámetro λ . b) Resuélvelo para 2λ = . MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.



⎮A⎮ = 2

1 12 2 8 0 0 ; 8

1 3 2

− λλ λ + = −λ + λ = ⇒ λ = λ =


R(A) R(M)

0λ = 2 2 S. Compatible indeterminado


b) Resolvemos el sistema para 0λ = .

0 4 2 22 2 4 2 4 2 2

x zx z x z zy zy z y z

z z

=⎧⎪− + = − = −⎫ ⎫ −⎪⇒ ⇒ = = −⎬ ⎬ ⎨+ = = −⎭ ⎭ ⎪

=⎪⎩

a) Discute según los valores del parámetroλ , el siguiente sistema de ecuaciones

2 ( 2) 43 2 6

x y zx y zx y z

− + λ + = λ ⎫⎪λ + + λ + = ⎬⎪+ + = − λ⎭

b) Resuelve el sistema anterior para 0λ = . MATEMÁTICAS II. 2010. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A



2011

MATEMÁTICAS II







⎮A⎮ = 2

1 11 1 2 2 0 0 ; 1

1 1

−λλ = − λ + λ = ⇒ λ = λ =

λ


R(A) R(M)


1λ = 2 3 S. Incompatible 0 1λ ≠ y 3 3 S. Compatible Determinado

b) 0λ = ⇒ Sistema compatible indeterminado.

21

12

= −⎧+ = ⎫ ⎪⇒ = −⎬ ⎨+ = ⎭ ⎪ =⎩

x zy z

y zx z

z z

Dado el sistema de ecuaciones lineales: 121

x y zx y zx y z

−λ + + = ⎫⎪+ λ + = ⎬⎪λ + + = ⎭

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetroλ . b) Resuelve el sistema para 0λ = . MATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.




2

1 1 02 1 1 3 2 0 1 ; 2

2 1 0 3A t t t t t t

t t= + − = − + − = ⇒ = =

− − +

R(A)

1t = 2

2t = 2 1 2t y≠ 3

b) El sistema homogéneo tiene más de una solución cuando el rango de A sea 2, es decir, para 1t = y 2t = .

Considera las matrices 1 1 02 1 1

2 1 0 3A t t

t t

⎛ ⎞⎜ ⎟= + −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎝ ⎠

y x

X yz

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Calcula el rango de A según los diferentes valores de t. b) Razona para qué valores de t el sistema homogéneo A X O⋅ = tiene más de una solución. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes.

⎮A⎮ = 2 2 42 0 1 6 24 12 6 03 3 3

−= − + + =

− −

Luego el rango de A es 2. Calculamos el determinante de la matriz ampliada del sistema.

2 2 42 0 6 24 12 6 0 33 3 3

M a a a a−

= = − − + = ⇒ =− − −


R(A) R(M)

3a = 2 2 S. Compatible Indeterminado

3a ≠ 2 3 S. Incompatible b) 3a = ⇒ Sistema compatible indeterminado.

32

2 2 4 4 2 2 4 4 1 32 3 2 3 2

zx

x y z x y z zyx z x z

z z

−⎧ =⎪⎪− + = − = −⎫ ⎫ − +⎪⇒ ⇒ =⎬ ⎬ ⎨+ = = −⎭ ⎭ ⎪

=⎪⎪⎩

Considera el sistema de ecuaciones: 2 2 4 423 3 3 3

x y zx z ax y z

− + = ⎫⎪+ = ⎬⎪− − + = − ⎭

a) Discútelo según los valores del parámetro a . b) Resuélvelo cuando sea posible. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

PROBLEMAS RESUELTOS


2012

MATEMÁTICAS II











R E S O L U C I Ó N b) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

⎮A⎮ = 1 1 10 3 2 3 6 9 2 2 03 1 1

1= + − − λ + = ⇒ λ =λ −


R(A) R(M)

1λ = 2 2 S. Compatible Indeterminado 1λ ≠ 3 3 S. Compatible Determinado

Luego, el sistema tiene solución única si 1λ ≠ .

a) Vamos a resolverlo para

13

2 5 213 2 5 3

tx

x y z tyy z

z t

−⎧ =⎪⎪+ + = ⎫ −⎪λ = ⇒ ⇒ =⎬ ⎨+ = ⎭ ⎪

=⎪⎪⎩

c) Sustituimos la solución en el sistema.

1 10 12 2 1

13 0 2 2 3 12

11 13 ( 1) 02 2

⎫− + + = λ + ⎪

⎪ λ = − ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞⋅ + ⋅ = λ + ⇒ λ = −⎬ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪ ⎪λ = − ⎭⎪⎛ ⎞⋅ − + λ − ⋅ + = λ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎭

Luego, vemos que para , la solución del sistema es: 1λ = −1 1,0,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠



3 2 23 ( 1)

x y zy z

x y z3

+ + = λ + ⎫⎪+ = λ + ⎬⎪+ λ − + = λ ⎭

a) Resuelve el sistema paraλ = . 1b) Halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución.

c) ¿Existe algún valor de para el que el sistema admite la soluciónλ1 1,0 ,2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟ ?. −⎝ ⎠

MATEMÁTICAS II. 2012. JUNIO. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.


⎮A⎮ = 2

2 01 0 2 2 12 14 0 1 ; 73 1 7

kk k k k k− = + − = ⇒ =

− −= −


R(A) R(M)

1k = 2 2 S. Compatible Indeterminado 7k = − 2 3 S. Incompatible

1 7k y≠ − 3 3 S. Compatible Determinado b) Sistema compatible indeterminado. 1k = ⇒

1 22 3 2 3

12 1 1 2

x tx y x y

y tx z x z

z t

= +⎧+ = + =⎫ ⎫ ⎪⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎨− + = − − = − −⎭ ⎭ ⎪ =⎩

= −


Dado el sistema de ecuaciones: 2 3

2 13 7

kx yx kzx y z k

+ = ⎫

1

⎪− + = − ⎬⎪− − = + ⎭

a) Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k. b) Resuélvelo para 1k = . MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.


⎮A⎮ = 2

1 1 21 1 2 0 0 ;

1 2 1

+2= − = ⇒ = =

− −

kk k k k k


R(A) R(M)

0=k 2 3 S. Incompatible

2=k 2 2 S. Compatible Indeterminado 0 2≠k y 3 3 S. Compatible determinado

b) Sistema compatible indeterminado. 2= ⇒k

75

3 2 1 3 1 2 4 32 2 2 2 5

−⎧ =⎪⎪+ + = − + = − −⎫ ⎫ − −⎪⇒ ⇒ =⎬ ⎬ ⎨+ + = + = −⎭ ⎭ ⎪

=⎪⎪⎩

zx

x y z x y z zyx y z x y z

z z


Considera el sistema de ecuaciones: kx( 1) 2 1

22 1

x k y zy z

x y z k

+ + + = − ⎫⎪+ + = ⎬⎪− − = + ⎭

a) Clasifícalo según los distintos valores de k. b) Resuélvelo para 2k = . MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A


⎮A⎮ = 3 2

1 21 2 6 0 0 ; 2 ; 3

1 1 1= + − = ⇒ = = = −

+

kk k k k k k k

k


R(A) R(M)

0=k 2 2 S. Compatible Indeterminado

2=k 2 2 S. Compatible Indeterminado 3= −k 2 2 S. Compatible Indeterminado

0, 2 3≠ −k y 3 3 S. Compatible determinado b) No hay ningún valor de k para el cual el sistema no tenga solución. c) Sistema compatible indeterminado. 0= ⇒k

1 22 1 1 2

12 3 2 3

= −⎧+ = = −⎫ ⎫ ⎪⇒ ⇒ =⎬ ⎬ ⎨+ = + =⎭ ⎭ ⎪ =⎩

+x z

x z x zy z

x y x yz z



2 3( 1) 2

x ky z kx y kz

k x y z k

+ + = + ⎫⎪+ + = ⎬⎪+ + + = + ⎭

a) Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución. b) ¿Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución?. c) Resuelve el sistema para k 0=MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a ) Llamamos =x Precio del libro, Precio de la calculadora, =y =z Precio del estuche Planteamos el sistema de ecuaciones:

57 572( ) 2 2 0

+ + = + + =⎫ ⎫⇒⎬ ⎬= + − − =⎭ ⎭

x y z x y zx y z x y z

Si multiplicamos la primera ecuación por 2, tenemos:

57 2 2 2 1143 114 38 €

2 2 0 2 2 0+ + = + + =⎫ ⎫

⇒ ⇒ = ⇒⎬ ⎬− − = − − =⎭ ⎭

x y z x y zx x

x y z x y z=

⎫⇒⎬

Luego, el precio del libro es 38 €. Vamos a ver si podemos calcular el precio de la calculadora:

38 57 1938 2 2 0 2 2 38

+ + = + =⎫⇒⎬− − = − − = −⎭ ⎭

y z x yy z y z

No podemos, ya que es un sistema compatible

indeterminado y tiene infinitas soluciones. b) Planteamos el sistema con la nueva ecuación que nos dan y lo resolvemos:

57 572( ) 2 2 0 38 €; 15 €; 4 €

0 '5 0 '8 0 '75 34 50 80 75 3400

+ + = + + =⎫ ⎫⎪ ⎪= + ⇒ − − = ⇒ = = =⎬ ⎬⎪ ⎪+ + = + + =⎭ ⎭

x y z x y zx y z x y z x y z

x y z x y z


Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos. a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro?. ¿Y el de la calculadora?. Razona las respuestas. b) Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo. MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

http://emestrada.wordpress.com/


⎮A⎮ = 1 12 0 2 2 4 00 1 2

1= + − = ⇒ =k

k k k k


R(A) R(M)

1=k 2 2 S. Compatible Indeterminado

1≠k 3 3 S. Compatible determinado b) Sistema compatible indeterminado. 1= ⇒k

1 11 2

2 1 2 1

=⎧+ + = + = −⎫ ⎫ ⎪⇒ ⇒ =⎬ ⎬ ⎨+ = + =⎭ ⎭ ⎪ =⎩

x zx y z x y z

y zx y x y

z z−

c) k Sistema compatible determinado. 1= − ⇒

11 12 1 ; 0 ;2 2

2 1

+ − = ⎫⎪− = ⇒ = = = −⎬⎪+ = − ⎭

x y zx y x y z

y z



2

x y kzx ky+ + = ⎫

⎪+ = ⎬y z k⎪+ = ⎭

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro k. b) Resuélvelo para 1k = . c) Resuélvelo para 1k = − . MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz ampliada del sistema

⎮M⎮ = 2 2

2 22 2 4 21 1 1

kk k k k k k4 0= − + − − + + =

− −

Luego, el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada y el sistema siempre es compatible para cualquier valor del parámetro k. b) Calculamos el determinante

⎮A⎮ = 224 0 2

2k

k kk= − = ⇒ =±


R(A) R(M)

2k = 2 2 S. Compatible Determinado 2k = − 1 1 S. Compatible Indeterminado

2 2k y≠ − 2 2 S. Compatible Determinado Resolvemos el sistema para . 2k = −

}2 2 2 2 2 12

x xx y xy x

=⎧⎪− + = ⇒ ⎨ +

= = +⎪⎩

Resolvemos el sistema para . 2k ≠ −

2

2

2

2 20 0

2 422 2

2 22 4 1

2 42

k kx

k kkkx y

x ky k kk ky

k kk

⎧⎪⎪ = = =⎪ −⎪

+ = ⎫ ⎪⇒⎬ ⎨+ = ⎭ ⎪⎪ −

= = =⎪−⎪

⎪⎩


Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas 2 2

21

kx yx ky kx y

+ = ⎫⎪+ = ⎬⎪− = − ⎭

a) Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k. b) Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado. c) Halla las soluciones en cada caso. MATEMÁTICAS II. 2012. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A



⎮A⎮ = 2

1 1 00 2 2 2 0 0 ; 11 1

−λ λ = λ + λ = ⇒ λ = λ = −

− − λ


R(A) R(M)

0λ = 1 1 S. Compatible indeterminado 1λ = − 2 2 S. Compatible indeterminado

0 1yλ ≠ − 3 3 S. Compatible Determinado b) Resolvemos el sistema para . 0λ =

}0x y

x y yz z

y=⎧

⎪− = ⇒ =⎨⎪ =⎩

Resolvemos el sistema para . 1λ = −

11

2 11 2

x yx y

y yy z

z y

= − +⎧− = − ⎫ ⎪⇒ =⎬ ⎨− − = − ⎭ ⎪ = −⎩


Considera el siguiente sistema de ecuaciones con tres incógnitas 20

x yy z

x y z

− =λ ⎫⎪λ + λ = λ⎬⎪− − + λ = ⎭

a) Clasifícalo según los distintos valores del parámetroλ . b) Resuélvelo para λ = y λ = . 0 1−MATEMÁTICAS II. 2012. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B




2013

MATEMÁTICAS II







R E S O L U C I Ó N a) El sistema que nos dan es un sistema compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones, para que tenga las mismas soluciones al añadirle la nueva ecuación el rango de la matriz de los coeficientes tiene que valer 2, luego, el determinante tiene que valer 0. Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

⎮A⎮ = 1 1 12 3 1 12 1 2 3 8 0 3 18 0 61 4

m m m mm

−− = + + − + + = ⇒ + = ⇒ = −


R(A) R(M) 6m = − 2 2 S. Compatible Indeterminado

Luego, para 6m = − , los dos sistemas tienen las mismas soluciones.

b) Nos están pidiendo que 6x y z+ + = , luego, resolvemos el sistema: 0

2 3 36

x y zx y zx y z

− + = ⎫⎪+ − = ⎬⎪+ + = ⎭

Lo resolvemos por Cramer:

0 1 13 3 16 1 1 6 11 1 1 62 3 11 1 1

x

−−

−= = =−

−−

;

1 0 12 3 11 6 1 18 3

1 1 1 62 3 11 1 1

y

−

= = =−

−

;

1 1 02 3 31 1 6 24 4

1 1 1 62 3 11 1 1

z

−

= = =−

−

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales 0

2 3 3x y zx y z− + = ⎫

⎬+ − = ⎭

a) Determina el valor de m para el que al añadir la ecuación 4 3x my z+ + = − al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones. b) Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6. MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A


R E S O L U C I Ó N a y b) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

⎮A⎮ = 2 2 2

2 1 311 2 4 2 3 2 4 6 2 0 1 ;2

0 2m m m m m m m m m m

m

− −− − = − + − + + = − + = ⇒ = =


R(A) R(M)

1m = 2 2 S. Compatible indeterminado 12

m = 2 3 S. Incompatible

112

m y≠ 3 3 S. Compatible Determinado

b) Resolvemos el sistema para 1m = .

22 1 3

11

x zx y z

y zx y z

z z

= −⎧− + = + ⎫ ⎪⇒ = −⎬ ⎨− + = + ⎭ ⎪ =⎩

Sean 2 1 31 2

0 2A m m

m

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 110

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y x

X yz

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Determina el rango de A según los valores del parámetro m. b) Discute el sistema AX B= según los valores del parámetro m. c) Resuelve el sistema AX B= para 1m = . MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A



⎮A⎮ = 2

1 2 11 1 2 8 0 2 ; 2

1 3m m m m

m− = − = ⇒ = = −


R(A) R(M)

2m = 2 2 S. Homogéneo compatible 2m = − 2 3 S. Incompatible

2 2m y≠ − 3 3 S. Compatible Determinado b) Resolvemos el sistema para 2m = .

53

22 3

zx

x y z zyx y z

z z

−⎧ =⎪⎪+ = − ⎫ ⎪⇒ =⎬ ⎨− = − ⎭ ⎪

=⎪⎪⎩

y solución trivial 0x y z= = =

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2 0

23 2

x y zx y mz m

mx y z m

+ + = ⎫⎪− + = − ⎬⎪+ + = − ⎭

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) Resuélvelo, si es posible, para 2m = . MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A



⎮A⎮ = 2

2 4 60 2 6 18 0 0 ; 33 6 3

m m m m mm

−= − + = ⇒ = =

− −


R(A) R(M)

0m = 2 3 S. Incompatible

3m = 2 2 S. Compatible indeterminado 0 3m y≠ 3 3 S. Compatible Determinado

b) Resolvemos el sistema para 3m = .

6 1322 4 6 6

3 2 44 3

2

yxx y z

y yy z

yz

− +⎧ =⎪− + = ⎪⎫

⇒ =⎬ ⎨+ = ⎭ ⎪ −⎪ =⎩

Nos piden una solución para 0 3 ; 0 ; 2y x y z= ⇒ = − = = .

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2 4 6 6

2 13 6 3 9

x y zmy z m

x y mz

− + = ⎫⎪+ = + ⎬⎪− + − = − ⎭

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) Resuélvelo para 3m = . Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que

0y = . MATEMÁTICAS II. 2013. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B


PROBLEMAS RESUELTOS


2014

MATEMÁTICAS II









a) El sistema que nos dan es un sistema compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones, para

que tenga las mismas soluciones al añadirle la nueva ecuación el rango de la matriz de los

coeficientes tiene que valer 2, luego, el determinante tiene que valer 0.


A =

1 2 3

2 3 1 21 2 6 9 28 1 0 11 0 0

1 7

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos

la discusión:

R(A) R(M)

0 2 2 S. Compatible Indeterminado

Luego, para 0 , los dos sistemas tienen las mismas soluciones.

b) Nos están pidiendo que 4x y z , luego, resolvemos el sistema:

2 3 3

2 3 5

4

x y z

x y z

x y z

Lo resolvemos por Cramer:

3 2 3

5 3 1

4 1 1 25

1 2 3 3

2 3 1

1 1 1

x

;

1 3 3

2 5 1

1 4 1 11

1 2 3 3

2 3 1

1 1 1

y

;

1 2 3

2 3 5

1 1 4 2

1 2 3 3

2 3 1

1 1 1

z

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2 3 3

2 3 5

x y z

x y z

a) Calcula de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma 7 1x y z el

sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original.

b) Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea

4.

MATEMÁTICAS II. 2014. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A




A = 2

1 1 21

1 1 2 5 2 0 ; 22

1 2 1

m

m m m m m

m

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos

la discusión:

R(A) R(M)

1

2m 2 3 S. Incompatible

2m 2 2 S. Compatible Indeterminado

12

2m y 3 3 S. Compatible determinado

b) Resolvemos el sistema para 2m :

3 1 2 7 4 3; ;

2 2 5 5

x y z z zx y z z

x y z

Calculamos la solución para 2z : 7 2 4 3 2

1 ; 2; 25 5

x y z

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

( 1) 2 1

(1 ) 2 1

x m y z

mx y z m

m x y z m

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Resuélvelo para 2m . Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que

2z .

MATEMÁTICAS II. 2014. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A




A = 3

0 1

0 1 0 0 ; 1 ; 1

1 0

Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes y hacemos la discusión del sistema.

R(A) R(M)

0 2 2 S. Homogéneo Compatible

1 2 2 S. Compatible Indeterminado

1 2 3 S. Incompatible

0,1, 1 3 3 S. Compatible determinado

b) Resolvemos el sistema para 1 . Cogemos 1ª y 2ª ecuación.

12 1

1 21

x zy z

y zx z

z z

c) Resolvemos el sistema para 0 . Cogemos 2ª y 3ª ecuación.

00

00

xz

y yx

z

Damos tres posibles soluciones: (0,1,0) ; (0,2,0) ; (0,3,0)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

( 1)y z

x z

x z

a) Discute el sistema según los valores del parámetro .

b) Resuelve el sistema para 1 .

c) Para 0 , si es posible, da tres soluciones distintas.





A = 3

2 1

1 2 1 2 6 4 0 1 ; 2

1 2

m

m m m m m

m

R(A) R(M)

1m 1 2 S. Incompatible

2m 2 2 S. Compatible Indeterminado

1, 2m 3 3 S. Compatible determinado

b) Vamos a resolverlo para 2m . Cogemos 1ª y 2ª ecuación

2 2 1 1

4 2 2

x z

x y z zy

x y z

z z

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2 1

2 2

2 1

mx y z

x my z

x y mz

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Si es posible, resuelve el sistema para 2m .

MATEMÁTICAS II. 2014. RESERVA 4. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.




A = 2

1 1

2 1 3 6 0 0 ; 2

1 1 2

m

m m m m m

m

Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes y hacemos la discusión del sistema.

R(A)

0m 2 S. Homogéneo compatible

2m 2 S. Homogéneo compatible

0 2m y 3 S. Homogéneo incompatible

a) Para 0m y 2m el sistema sólo tiene la solución trivial 0x y z

b) Para 0m y 2m el sistema tiene otras soluciones además de la trivial.

c) Resolvemos el sistema para 2m

2

2 20

x xy z x

y xy z x

z

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

0

2 0

2 0

x y mz

mx y z

x y mz

a) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución.

b) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene alguna solución distinta de

la solución nula.

c) Resuelve el sistema para 2m .

MATEMÁTICAS II. 2014. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A

problemas resueltos selectividad...

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