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Matrices Inversas. Rango

Matrices Elementales

Algebra

Araceli Guzman y Guillermo Garro

Facultad de CienciasUNAM

Semestre 2018-1

doyouwantmektalwar.wordpress.com

Matrices Algebra

Matrices identidad

La matriz identidad de tamano n, es la matriz cuadrada In = (δij)n tal que

δij =

{1 i = j,

0 i 6= j.

(Conocida como delta de Kronecker) Esto es, In tiene 1′s en su diagonal, y 0′s en el resto delas entradas.

Por ejemplo,

I1 = (1) I2 =

(1 00 1

)I3 =

1 0 00 1 00 0 1

I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Teorema

Si A es una matriz cuadrada de tamano n, entonces

AIn = InA = A.

Si no hay lugar a confusion, podemos escribir simplemente I y obviar el tamano. Lo mismoharemos si, dado el contexto, podemos entender con toda seguridad el tamano.

Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Algebra

Matrices invertibles y matrices inversas

Dada una matriz cuadrada A de tamano n, decimos que A es invertible si existe una matriz Btal que

AB = BA = In

Decimos en este caso que B es la inversa de A y usamos la notacion B = A−1. La nomenclaturay la notacion queda justificada con el siguiente

Teorema

La matriz inversa de una matriz invertible es unica

Demostracion.

Si B y B′ son inversas de A, entonces

B = BIn = B(AB′) = (BA)B′ = InB′ = B′.

Si una matriz cuadrada no es invertible decimos que es singular.



Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones

Teorema

Si una matriz cuadrada A de tamano n es invertible, entonces para todo b ∈ Rn, elsistema Ax = b tiene solucion unica.

Demostracion.

Solo hay que formalizar algunas de las observaciones que ya hemos hecho. (Prueba de existen-cia) Sea b un vector cualquiera en Rn. Sea x = A−1b. Tenemos

Ax = A(A−1b) = (AA−1)b = Inb = b.

(Prueba de unicidad) Supongamos ahora que y ∈ Rn cumple la igualdad

Ay = b.

Tenemos

A−1(Ay) = A−1b

(A−1A)y = A−1b

Iny = A−1b

y = A−1b

Una cadenita de implicaciones

A es invertible⇓

∀b ∈ Rn (Ax = b tiene solucion unica)



Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones

Corolario

Sea A una matrix cuadrada de tamano n. Si A es invertible, el sistema homogeneoAx = 0 tiene unicamente la solucion trivial x = 0.

Demostracion.

Para todo b ∈ Rn, el sistema Ax = b tiene solucion unica.

En particular, el sistema homogeneo Ax = 0 tiene solucion unica.

Pero la solucion trivial x = 0 es siempre solucion del sistema homogeneo, de manera que estadebe ser unica.


A es invertible⇓

∀b ∈ Rn (Ax = b tiene solucion unica)⇓

Ax = 0 tiene unicamente solucion trivial x = 0



Matrices inversas. Propiedades

Teorema

Supongamos que A es una matriz cuadrada invertible. Entonces:

1. A−1 es invertible y (A−1)−1 = A.

2. Si λ 6= 0, λA es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.

3. AT es invertible y (AT)−1 = (A−1)T.

4. Para cualquier natural m > 0, Am es invertible y (Am)−1 = (A−1)m.

Demostracion.

1. Inmediato, puesto que AA−1 = A−1A = I.

2. Tenemos que (1

λA−1

)(λA) =

λ

λA−1A = I.

3. Nuevamente,(AT)(A−1)T = (A−A)T = IT = I.

4. Se deja al estudiante.



Matrices inversas. Propiedades

Teorema

Si A y B son matrices cuadradas invertibles del mismo tamano, entonces el productoAB es invertible y

(AB)−1 = B−1A−1.

Demostracion.

(B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B = B−1IB = B−1B = I.

Corolario

Si A1, A2, ..., An son matrices cuadradas invertibles del mismo tamano, entonces B =A1A2 · · ·An es invertible y

B−1 = (A1 · · ·An)−1 = A−1n · · ·A

−12 A−1

1 .

Si A es una matriz cuadrada inveritible y n > 0 es un numero entero, entonces definimos

A−n = (A−1)n



Operaciones Elementales

Recordemos que las operaciones elementales por renglon sobre matrices son de tres tipos:

1. Intercambiar un renglon por otro.

2. Multiplicar un renglon por un escalar distinto de cero.

3. Sumar a un renglon un multiplo escalar de otro.

Decimos que dos matrices A y B son equivalentes (por renglon), lo que escribirmos A ∼ B, siB puede obtenerse de A mediante operaciones elementales. Es claro que A ∼ A.

Pero obsevamos que de hecho, toda operacion elemental es reversible con una operacion delmismo tipo. Ası que si B puede obtenerse de A mediante operaciones elementales, entonces Apuede obtenerse de B mediante operaciones elementales. Es decir, A ∼ B si y solo si B ∼ A.

Por otra parte, si A, B y C son matrices tales que A ∼ B y B ∼ C, entonces es claro queA ∼ B.

Por lo tanto, la equivalencia por renglon, es una relacion de equivalencia en el espacio de todaslas matrices.



Formas escalonadas

Una matriz esta en forma escalonada (por renglones) si tiene las siguientes propiedades

1. Todas las filas diferrentes de cero estan arriba de cualquier fila con puros ceros

2. Cada entrada principal de una fila esta en columna a la deracha de la entrada principal deuna fila superior.

3. Todas las entradas de una columna que esten debajo de una entrada principal son cero.

Si una matriz cumple ademas las siguientes propiedades, entonces esta en forma escalonadareducida (por renglones):

4. La entrada principal de cada fila diferente de cero es 1.

5. Cada 1 principal es la unica entrada diferente de cero en su columna.



Formas reducidas y sistemas de ecuaciones

Teorema : Existencia y Unicidad de la Forma Escalonada Reducida

Toda matriz es equivalente a una unica matriz escalonada reducida

Teorema : Existencia y unicidad de las soluciones de un sistema

Un sistema de ecuaciones lineales es consistente (tiene solucion) si y solo si, la formaescalonada reducida de la matriz aumentada no tiene un renglon de la forma

(0 0 0 · · · 0 b), con b 6= 0.

Si el sistema es consistente, entonces el conjunto solucion contiene ya sea una solucion,cuando no existen variables libres, o un numero infinito de soluciones, cuando existe almenos una variable libre.



Formas reducidas y sistemas de ecuaciones

Teorema

Sea A = (aij)n×n una matriz cuadrada de tamano n. El sistema homogeneo Ax = 0ntiene unicamente solucion trivial x = 0n si y solo si, A es equivalente por renglon a lamatriz identidad In.

Demostracion.

Supongamos que el sistema homogeneo Ax = 0n tiene unicamente la solucion trivial. Esto es,los siguientes sistemas son equivalentes

En otras palabras, si aplicamos al algoritmo de Gauss-Jordan a la matriz aumentada del sistmea,entonces

Ası que In es la forma reducida de A.


A es invertible⇓


Ax = 0 tiene unicamente solucion trivial x = 0m

A ∼ I



Matrices Elementales

Una matriz elemental (por renglon) E, de tamano n, es la que resulta de realizar alguna delas operaciones elementales sobre la matriz identidad In.



Operaciones y Matrices Elementales

Teorema : Operaciones elementales por producto de matrices

Si una matriz elemental E es el resultado de realizar una cierta operacion por renglonsobre la identidad Im, y A es una matriz de m×n, entonces el producto EA es la matrizque resulta cuando realizamos la misma operacion sobre A.



Matrices Elementales y Equivalencia por Renglon

Corolario

Sean A y B matrices. Entonces A ∼ B si y solo si, existe una sucesion finita E1, ..., Ekde matrices elementales tales que

B = E1E2 · · ·EkA.

Demostracion.

Supongamos que B se obtiene desde A mediante k operaciones elementales. Podemos haceruna interpretacion “algorıtmica”, en el sentido de que B se obtiene de A en k pasos sucesivos,cada paso corresponde a la aplicacion de una operacion elemental. Para cada 1 ≤ i ≤ k, seaEi la matriz elemental correspondiente a la operacion del i-esimo paso. La matriz B se obtienesucesicamente del modo siguiente

A,

E1A, paso 1: aplicamos la primera operacion elemental

E2E1A, paso 2: aplicamos la segunda operacion elemental

......

B = Ek · · ·E2E1A, paso k: aplicamos la k-esima (y ultima) operacion elemental



Inversas de Matrices Elementales

Teorema : Inversas de Matrices Elementales

Toda matriz elemental es invertile, y la inversa es tambien una matriz elemental. Masaun, la inversa de una matriz elemental E se obtiene con una operacion sobre la identidaddel mismo tipo con la que se obtuvo E.



Inversas de Matrices Elementales



Determinante de Matrices Elementales

Teorema

Si E es una matriz elemental, |E| 6= 0. Especifıcamente,

1. Si E se obtiene de multiplicar por λ 6= 0 el renglon i de I, entonces |E| = λ.

2. Si E se obtiene de intercambiar dos renglones de I, entonces |E| = −1.

3. Si E se obtiene de sumar λ ∈ R veces el renglon j al renglon i de I, entonces|E| = 1.

Ejemplos

Sean E1 =

(λ 00 1

), E2 =

(0 11 0

)y E3 =

(1 λ0 1

). Entonces

|E1| =∣∣∣∣λ 00 1

∣∣∣∣ = λ

|E2| =∣∣∣∣0 11 0

∣∣∣∣ = −1|E3| =

(1 λ0 1

)= 1.



Matrices Elementales y Sistemas Homogeneos de Ecuaciones

Teorema

Para toda matriz B, B ∼ I si y solo si, B es el producto de matrices elementales.

Demostracion.

Si B ∼ I, entonces existen matrices elementales E1, E2, ..., Ek tales que B = E1E2 · · ·EkI.Pero I es elemental. Ası que B es el producto de matrices elementales.

Por otra parte, si B = E1E2 · · ·Ek, donde cada Ei es elemental, i = 1, ..., k, entoncessimplemente escribimos B = E1E2 · · ·EkI. Por lo tanto B ∼ I.

Teorema

El sistema homogeneo tiene solucion unica (trivial) si y solo si A es el producto dematrices elementales


A es invertible⇓



A ∼ Im

A = E1E2 · · ·Ek, con E1, E2, ..., Ek son matrices elementales



Matrices Elementales y Matrices Invertibles

Teorema

Si A es un producto de matrices elementales, entonces A es invertible.

Demostracion.

Las matrices elementales son invertibles, ası que si A es un producto de matrices elementales,A es invertible.


A es invertible⇓



A ∼ Im

A = E1E2 · · ·Ek, con E1, E2, ..., Ek son matrices elementales⇓

A es invertible



Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles


Sea A una matriz cuadrada de tamano n. Son equivalentes:

1. A es invertible.

2. Ax = b tiene solucion unica para todo b ∈ Rn.

3. Ax = 0n tiene unicamente solucion trivial x = 0n.

4. La forma escalon reducida de A es In.

5. A es el producto de matrices elementales.



Ejemplo



Metodo de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa

Si A es una matriz cuadrada invertible de tamano n, entonces existe una sucesion finita dematrices elementales E1, ..., Ek tales que

In = Ek · · ·E2E1A

Por lo tanto, si multiplicamos (por la derecha) ambos lados de esta ultima igualdad por A−1,

A−1 = Ek · · ·E2E1In.

Esta ultima igualdad nos dice que la misma secuencia de operaciones por renglon que sirvenpara reducir A en In, sirven para reducir In en A−1.

En vista de esta observacion, podemos establecer un metodo para encontrar matrices inversasel cual ilustramos a continuacion con algunos ejemplos.



Metodo de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa



Determinantes y Matrices Elementales

Lema

Sean B una matriz cuadrada y E una matriz elemental del mismo tamano de B. Entonces

|EB| = |E||B|.

Ejemplos

Sean E1 =

(λ 00 1

), E2 =

(0 11 0

)y E3 =

(1 λ0 1

). Y sea. B =

(a bc d

). Entonces

|E1B| =∣∣∣∣(λ 0

0 1

)(a bc d

)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣λa λbc d

∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = |E1||B|.

|E2B| =∣∣∣∣(0 1

1 0

)(a bc d

)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣c da b

∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = |E2||B|

|E3B| =∣∣∣∣(1 λ

0 1

)(a bc d

)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a+ λc b+ λdc d

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣λc λdc d

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = |E3||B|.



Matrices Escalonadas

Lema

Si A es una matriz cuadrada en forma escalon reducida por renglon, entonces A = I, obien A tiene un renglon o una columna de ceros.

Demostracion.

Veamos el caso de una matriz cuadrada de tamano 3.

Sea pues A = (aij)3×3 una matriz cuadrada de tamano 3, y supongamos que A esta en formaescalon reducida y sin columnas ni renglones de ceros. En particular esto significa que a11 = 1(de lo contario, la primera columna serıa de ceros). Por lo tanto a21 = 0 = a31.

Ahora, si a22 = 0, entonces a32 = 0, y dado que A no tiene columnas ni renglones de ceros,tambien a12 6= 0 (de hecho a12 = 1) y a33 6= 0 (de hecho a33 = 1). Pero de ello tambien sesigue que a23 = 0. Luego, el renglon 2 es de ceros. Contradiccion.

Por tanto a22 = 1. Y en consecuencia, a12 = 0 = a32.

De ello se sigue finalmente que a33 = 1, y por tanto a31 = 0 = a32.

Esto es, A = I3.



Determinantes de matrices escalonadas

Lema

Si A es una matriz cuadrada en forma escalonada reducida por renglon, entonces |A| = 1si A = I o bien |A| = 0 en otro caso.

Demostracion.

Inmediato del lema anterior.

Lema

Sea A una matriz cuadrada y sea R su forma escalon reducida por renglon. Entonces|A| = 0 si y solo si |R| = 0 (o equivalentemente |A| 6= 0 si y solo si |R| 6= 0).

Demostracion.

Para una coleccion finita de matrices elementales E1, E2, ..., Ek, se cumple la igualdad R =EkEk−1 · · ·E2E1A. Luego,

|R| = |EkEk−1 · · ·E2E1A|= |Ek||Ek−1 · · ·E2E1A|

......

= |Ek||Ek−1| · · · |E2||E1||A|.

La conclusion del lema se sigue puesto que |Ei| 6= 0 para toda i = 1, ..., k.



Matrices Invertibles

Teorema

Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si |A| 6= 0.

Demostracion.

Sea R la forma escalon reducida de A.

Si A es invertible, entonces R = I, y por el lema anterior, |A| 6= 0 puesto que |I| = 1.

Recıprocamente, si |A| 6= 0, entonces nuevamente por el lema anterior, |R| 6= 0. Y como Resta en forma escalon reducida, se sigue que R = I, ası que A es invertible.

Observacion

Hay que notar que esta prueba no usa en absoluto la Regla de Cramer.






1. A es invertible.





6. |A| 6= 0.



Matrices Invertibles

Corolario

Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamano, tales que AB = I o BA = I,entonces A es invertible y B = A−1.

Demostracion.

Supongamos que BA = I. Consideremos el sistema homogeneo Ax = 0. (Recordemos que unsistema homogeneo tiene siempre solucion trivial). Multiplicamos por la derecha por B,

BAx = B0

Ix = 0

x = 0.

Esto implica que esl sistema homogeneo tiene una unica solucion x = 0.

Por el Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles (TFMI), A es invertible. Y si ahoramultiplicamos por la derecha ambos lados de BA = I, obtenemos

BAA−1 = IA−1

BI = A−1

B = A−1






1. A es invertible.





6. |A| 6= 0.

7. Existe una matriz B tal que AB = I.

8. Existe una matriz B tal que BA = I.



Regla del Producto del Determinante

Corolario

Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamano. Entonces

|AB| = |A||B|.

Demostracion.

Partiremos la demostracion en dos casos, a saber, A invertible y A no invertible.

Supongamos que A es invertible. Entonces, por el TFMI, A = E1E2 · · ·Ek, donde Ei eselemental para toda i = 1, 2, .., k. Luego, por uno de los lemas probado anteriormente,

|AB| = |E1E2 · · ·EkB|= |E1||E2 · · ·EkB|

......

= |E1||E2| · · · |Ek||B|= |E1E2||E3 · · ·EkB|

......

= |E1E2 · · ·Ek||B|= |A||B|.



Regla del Producto del Determinante

Corolario

Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamano. Entonces

|AB| = |A||B|.

Demostracion.

Supongamos que A no es invertible. Vamos a verificar que AB no es invertible. Si lo fuera,entonces para alguna matriz C se tiene

A(BC) = (AB)C = I.

Se sigue que A es invertible (por el corolario anterior). Contradiccion. Por lo tanto

|AB| = 0 = 0|B| = |A||B|.



Rango de una matriz

El rango de una matriz A = (aij)m×n es igual al numero de renglones distintos del rengloncero de la forma escalonada reducida de A. Usamos la notacion rank(A).

Observe que 0 ≤ rank(A) ≤ m. Pero se puede probar que rank(A) = rank(AT). Por lo tantotambien se cumple que 0 ≤ rank(A) ≤ n.



Rango de una matriz

Teorema

Una matriz cuadrada A de tamano n es invertible si y solo si, rank(A) = n.

Demostracion.

Si A es invertible, entonces por el TFMI, su forma escalon reducida es In. Y desde luego, elnumero de renglones distintos del renglon cero de In es n.

Recıprocamente, si rank(A) = n, entonces la forma escalon reducida de A tiene n renglonesdistintos del renglon cero. Pero ya probamos que la forma escalon reducida de una matrizcuadrada es la identidad In o bien tiene al menos un renglon de puros ceros. Como no sucedelo segundo, se tiene que la forma escalon reducida de A es In. Por el TFMI, A es invertible.

Teorema

Sea A una matriz de n ×m tal que rank(A) = r, y sea b ∈ Rn. Supongamos que elsistema Ax = b es consistente. Entonces la solucion general del sistema tiene n − rparametros (variables libres).






1. A es invertible.





6. |A| 6= 0.

7. Existe una matriz B tal que AB = In.

8. Existe una matriz B tal que BA = In.

9. rank(A) = n.


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