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1
MATRICES
Matrices de números reales.
Definimos matriz real de elementos pertenecientes a R y de dimensión n filas por m
columnas, aquel conjunto de números reales escritos de la forma siguiente:
nmnn
m
m
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
En forma simplificada A = ( aij )nxm y se le denomina
matriz nxm
Ejemplos:
13
0122xA
101
423
051
33xA
2/3
1
0
13xA 02131 xA
Matriz rectangular.- Es aquella en la que no coinciden el numero de filas con el de
columnas. Se escribe Anxm donde n m.
Matriz fila es la que tiene por dimensiones 1xm
Matriz columna es la que tiene por dimensiones nx1
Matriz cuadrada.- es aquella en el que el numero de filas y de columnas coinciden.
Se escribe Anxn y diremos que son de orden n.
En una matriz cuadrada llamaremos diagonal principal a los elementos que van desde
el vértice superior izquierdo al vértice inferior derecho y serán todos los aij / i=j
En una matriz cuadrada llamaremos diagonal secundaria a los elementos que van
desde el vértice superior derecho al vértice inferior izquierdo y serán todos los aij / i+j
= n+1 donde n es el numero de filas o columnas.
Matriz nula.- Es aquella matriz que tiene todos sus elementos iguales a 0.
Puede ser cuadrada o no.
Se representa por Onxm y es tal que aij = 0 i,j
2
Matriz diagonal.- Es toda matriz cuadrada en la que todos sus elementos son nulos
excepto los de la diagonal principal que pueden ser ceros o no.
c
b
a
00
00
00
600
020
003
400
030
000
Matriz escalar.- es toda matriz cuadrada y diagonal que tiene todos los elementos de
la diagonal principal iguales.
k
k
k
A
00
00
00
k 0
Matriz unidad.- Es toda matriz cuadrada, diagonal y escalar en la que todos los
elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
aij = 0 si i j
Se representa por I y sus aij son tales que
aij = 1 si i = j
100
010
001
I
Matriz triangular.- Es toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos
situados por debajo o por encima de la diagonal principal.
400
160
543
es triangular inferior.
304
013
002
es triangular superior.
Operaciones con matrices.
Suma de matrices
Dadas dos matrices A y B de igual orden nxm, llamaremos matriz suma a otra matriz
de igual dimensión nxm y cuyos elementos se obtengan sumando los elementos
homólogos de A y de B.
cij = aij + bij
027
261
256
334625
422412
312342
342
421
324
365
242
132
3
Producto de una matriz por un número.
Dada una matriz A de dimensiones nxm y un numero real , el producto será otra
matriz .A , de igual orden nxm y cuyos elementos se obtengan multiplicando todos los
elementos de A por el numero
1055
5010
15105
211
102
321
5
Producto de matrices.
Dos matrices A y B son multiplicables solo si el número de columnas de la matriz
multiplicando es igual al número de filas de la matriz multiplicadora. Anxm.Bmxp
La matriz resultante tendrá igual número de filas que la matriz multiplicando y el
mismo numero de columnas que la matriz multiplicadora. Cnxp
Para calcular el elemento cij se multiplicara cada término de la fila i de A por cada
término correspondiente de la columna j de la matriz B y luego se sumaran todos los
productos obtenidos.
Ejemplos:
ba
ba
b
a
43
2
43
21 ;
ifchebgda
ifchebgda
ihg
fed
cba
654654654
323232
654
321
574635
544332
683358234813
673457244714
654
321
83
74
34
14
362712
312413
3
2
1
672
143
115228170322771302274312
172
014
201
732
4
Ejemplo:
Sean y
213
124
213
A
42
53
12
B Hallar A2 y A.B
9711
12123
9711
123
124
213
123
124
2132 AAA
613
184
613
42
53
12
213
124
213
BA
En general no es conmutativa A.B B.A bien por que no exista alguno de los dos
productos, bien porque sus resultados den matrices de diferentes ordenes o bien porque
aun siendo del mismo orden sus resultados sean distintos.
Sean las matrices
01
32A
012
201B
02
20
31
C
32
01D
A.C C.A ya que
02
20
31
01
32 no es multiplicable mientras que
64
02
35
01
32
02
20
31
si lo es.
B.C C.B ya que
82
35
02
20
31
012
201 mientras que
402
024
237
012
201
02
20
31
es de diferente orden.
A.D D.A ya que
01
94
32
01
01
32 mientras que
5
67
32
01
32
32
01 Los dos productos son realizables, sus resultados
tienen igual dimensión, pero son diferentes.
En los casos especiales en que A.B = B.A se dice que las matrices son permutables.
Matriz transpuesta.
Dada una matriz A de dimensiones nxm, llamaremos matriz transpuesta de A y la
designaremos por At o por A', a otra matriz de dimensiones mxn y que se obtiene
cambiando filas por columnas y columnas por filas, sin alterar su orden.
Si
10
42
31
143
021tAA
Matriz inversa.
Dada una matriz cuadrada A, llamaremos matriz inversa de A, a otra matriz X, si
existe, tal que A.X = X.A = I donde A,X e I tendrán el mismo orden. A dicha matriz
se le designa por A-1
A la matriz A se le llamara inversible y a la matriz A-1
matriz inversa.
También podemos asegurar que el producto es conmutativo y que las matrices A , X e I
deben ser cuadradas y del mismo orden . Si la matriz A no es cuadrada, no será
invertible y por tanto no poseerá matriz inversa.
Ecuaciones matriciales.
Una ecuación matricial es una ecuación en la que la incógnita es una matriz y no un
numero.
X·B + X·C = X· (B+C)
A·X + C·X = (A+C) · X
* A·X – B = X A·X – X = B (A – I) ·X = B (A – I)-1
· (A – I) ·X =
= (A – I)-1
·B X = (A – I)-1
· B
* A·X = A + B A-1
·A·X = A-1
· (A + B) X = A-1
·(A + B)
* A·X = B A-1
·(A.X) = A-1
·B (A-1
·A)·X = A-1
·B
I·X = A-1
·B X = A-1
·B
6
DETERMINANTES.
Determinante de 2º orden.
Llamamos determinante de la matriz cuadrada de 2º orden
2221
1211
aa
aaA al número
real
a11.a22 - a12.a21 que se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal principal y
restándole el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Se representa por A
Determinante de 3º orden.
Llamamos determinante de la matriz cuadrada de 3º orden
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A al
numero real (a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) - (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 +
a12.a21.a33)
Una manera practica de recordar estos sumandos es la regla de Sarrus
Ejemplo
143283275233584172
182
374
532
A =
= ( 14 - 160 - 18 ) - ( -70 - 48 + 12 ) = -164 - ( -106 ) = - 58
Ejemplo
913862754763814952
987
651
432
B
= 90 - 32 - 126 + 140 - 96 + 27 = 3
7
Menor complementario.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, llamaremos menor complementario del
elemento aij, al determinante de orden n-1, que se obtiene suprimiendo la fila i y la
columna j en el A. Se simboliza por ij.
Dada
3071
0432
1251
4312
A 38303149
371
032
151
13
1569442
071
432
312
24
2698312
301
121
432
32
Adjunto de un elemento.
Llamamos adjunto del elemento aij de una matriz cuadrada A, al valor del menor
complementa-rio correspondiente, afectado del signo + o - según que la suma de los
subíndices i + j sea par o impar
Se representa por Aij = (-1)i+j
.ij
En la matriz A4x4 anterior, calculemos A31 y A43
44556216
307
125
431
113
31
A
20640212
032
151
412
134
43
A
8
Calculo de la Matriz inversa.
La condición necesaria y suficiente para que exista matriz inversa es que dicha matriz
sea regular o lo que es lo mismo que su determinante sea distinto de cero.
Para calcular la inversa de una matriz A, calcularemos la matriz transpuesta de la
matriz adjunta de A y lo dividiremos por el valor del determinante de dicha matriz A.
A
AA
td
1
La matriz Ad se calcula, hallando todos los adjuntos de todos los elementos de la
matriz A
Si 0A no existiría matriz inversa pues todos sus términos tendrían que venir
divididos por 0 y me quedaría una matriz de elementos infinitos, con lo que no existiría.
También se puede calcular primero la matriz transpuesta de A y luego la matriz
adjunta de la At, para luego dividir por el valor del determinante.
Ejemplos:
Hallar la A-1
de la matriz
43
12A
0538 A
A11 = 4 A12 = - 3 A21 = - 1 A22 = 2
21
34dA
23
14tdA
5/25/3
5/15/4
23
14
5
11A
Hallar la inversa de la matriz
102
513
002
2A 110
5111 A 13
12
5312
A 2
02
1313
A
010
0021 A
212
0222
A
002
0223
A
051
0031 A 10
53
0232 A 2
13
0233 A
9
2100
020
2131
dA
202
10213
001tdA
101
512/13
002/11A
La matriz inversa facilita la resolución de ecuaciones matriciales de la forma:
A·X = B ==> A-1
·(A·X) = A-1
·B ==> (A-1
·A)·X = A-1
·B
I·X = A-1
·B ==> X = A-1
·B
Ejemplo: Resolver la ecuación A·X = B siendo
25
13A ;
23110
1316B
Como hemos visto X = A-1
.B Calculemos A-1
0156 A
31
52dA
35
121A
420
312
23110
1316
35
12X
10
RANGO DE UNA MATRIZ.
Calculo practico del rango de una matriz. Método de Gauss.
Dada una matriz, lo primero es eliminar las líneas que sean proporcionales a otras
paralelas o que sean combinación lineal de varias líneas paralelas, que se puedan
observar en primera instancia.
A continuación hay que conseguir ceros en todos los elementos de la primera columna
excepto el a11, dejando fija la 1ª fila. Para ello se buscaran las combinaciones lineales
necesarias entre todas las filas a partir de la segunda y la primera fila.
Fijamos la 2ª fila y hacemos ceros en todos los elementos de la 2ª columna excepto el
b22. Para ello se buscaran las combinaciones lineales necesarias entre todas las filas a
partir de la tercera y la segunda fila.
Así seguiremos con las restantes columnas hasta conseguir que todos los elementos
por debajo de la diagonal principal sean ceros.
Propiedades del rango de una matriz.
a) Si en la matriz A, se intercambian entre si dos líneas paralelas, se obtiene otra matriz
B, de igual rango que la de A.
b) Si una línea de la matriz A, esta formada por ceros, el rango de A es igual al rango
de la matriz B que se obtiene suprimiendo dicha línea de ceros.
c) Si en la matriz A, se suprime una línea que sea combinación lineal de otras varias
paralelas, se obtiene una nueva matriz B, de igual rango que la matriz A.
Llamamos rango por filas de una matriz A, al numero máximo de filas linealmente
independientes.
Llamamos rango por columnas de una matriz A, al numero máximo de columnas
linealmente independientes.
podemos eliminar dicha columna c2 por ser combinación lineal de c1.
principal en la 1ª columna con las siguientes combinaciones lineales. f2 + 2f1 ; f3 - f1 ;
f4 + 2f1 manteniendo fija la 1ª fila.
11
Suprimimos la 3ª fila por ser igual que la 2ª fila.
Hacemos ceros por debajo de la diagonal principal
en la 2ª columna con la siguiente combinación lineal. f3 - f2 manteniendo fijas la 1ª y
la 2ª fila.
Una vez conseguidos que por debajo de la diagonal
principal sean todos los elementos nulos, contaremos el numero de filas linealmente
independientes que nos quedan, en nuestro caso 3 filas.
Puede que en algún caso sea necesario cambiar entre si dos filas para que el elemento
de la diagonal principal no sea nulo.
Ejemplo:
Hacemos ceros por debajo de la diagonal
principal en la 2ª columna con la siguiente combinación lineal. f3 - f2 manteniendo
fijas la 1ª y la 2ª fila.
diagonal principal en la 1ª columna con las siguientes combinaciones lineales. f2 - 2f1 ;
f3 - 7f1 ; f4 - f1 manteniendo fija la 1ª fila.
Hacemos ceros por debajo de la
diagonal principal en la 2ª columna con las siguientes combinaciónes lineales. f3 - 2f2
y 5f4 + 2f2 manteniendo fijas la 1ª y la 2ª fila.
Ya hemos conseguido todos los ceros por debajo de la diagonal principal y han
quedado 3 filas l.i, por lo que rg A = 3 .
12
2.1 DIAGRAMA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Dado un sistema de ecuaciones lineales (m ecuaciones y n incógnitas), podemos
transformarlo en otro llamado triangular.
Sistema triangular es aquel en el que todos los coeficientes por debajo de a11, a22, ....
ann, son siempre ceros.
También se le denomina sistema en forma escalonada.
Se puede comprobar que si el sistema a resolver tiene forma triangular, la resolución
es casi inmediata.
De la ultima ecuación
==> z = 1
De la segunda ecuación y - 1 = 1 ; y = 1 + 1 ==> y = 2
De la 1ª ecuación x + 2·2 + 1 = 8 ; x = 8 - 4 - 1 ==> x = 3
Es pues conveniente ir transformando un sistema de ecuaciones en otro equivalente y
con forma triangular
Sea el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, el cual podremos escribirlo
en un diagrama de doble entrada de filas y columnas, teniendo en cuenta solo los coe-
ficientes de las incógnitas y los términos independientes.
x1 x2 xn
1ª ecuación a11 a12 ...... a1n b1
2ª ecuación a21 a22 ...... a2n b2
.................... .....
m ecuación am1 am2 ...... amn bm
a) Siempre podremos intercambiar entre sí dos o más filas por corresponder a los
coeficientes de mis ecuaciones.
b) Podremos intercambiar entre si las columnas, por poseer las ecuaciones la
propiedad conmutativa de la suma. No intercambiar la columna de los términos
independientes.
c) Podremos multiplicar o dividir, por un mismo número distinto de cero, todos los
elementos de una fila, ya que es como si simplificáramos o multiplicáramos por un
numero toda la ecuación.
13
Por ejemplo:
x y z x y z z y x z y x
2.2 RESOLUCION DE UN SISTEMA POR EL METODO DE GAUSS.
Es una variante del método de reducción. Consiste en:
a) Eliminar la 1ª incógnita, entre la 1ª ecuación y cada una de las m-1 ecuaciones
restantes, sustituyendo cada una de las m-1 ecuaciones por cada resultado de la
eliminación.
b) Suprimir la 2ª incógnita, entre la 2ª ecuación y cada una de las m-2 ecuaciones
restantes, sustituyendo cada una de las m-2 ecuaciones, por la ecuación que resulte de la
eliminación correspondiente.
c) Se prosigue hasta conseguir que aparezca una ecuación en la que exista solo una
incógnita con coeficiente distinto de cero.
d) Se llama pivote, a los coeficientes de las incógnitas, o variables libres, que se van a
eliminar, bien en la 1ª ecuación, bien en la 2ª, etc.
e) Si existe alguna ecuación con coeficiente 1, en alguna de las incógnitas, se tomara
dicha ecuación y dicha incógnita, como primera, tanto en la fila como en la columna, y
para ello aplicaremos las tres propiedades antes enunciadas.
- x – 3·2 = - 9 ; - x = - 9 + 6 ; - x = - 3 ===> x = 3
z + 3 + 2·2 = 8 ; z = 8 - 3 - 4 ===> z = 1
14
2.3 METODO DE GAUSS APLICADO A ALGUNOS TIPOS DE SISTEMAS.
Vamos a aplicar el método de Gauss a sistemas de ecuaciones no homogéneos (con
termino independiente distinto de 0), en los cuales aparezcan las tres clases de sistemas:
compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible.
a) Si se obtiene alguna ecuación de la forma 0 = c, siendo c 0
el sistema es incompatible ==> no admite soluciones reales.
b) Si se obtiene la ecuación 0 = 0 , el sistema será compatible indeterminado ==>
existirán infinitas soluciones, las cuales vendrán dadas a partir de uno o varios
parámetros.
c) Si al final de la forma triangular, sigue quedando el mismo número de ecuaciones que
de incógnitas, el sistema sera compatible determinado ==> existirá solución única.
0 = 0, nos quedaran 2
ecuaciones con 3 incognitas ==> sistema compatible indeterminado ==> existen
infinitas soluciones para los diferentes valores del parametro t.
15
6x + 11y = 20 ;
En el caso de que el sistema sea homogeneo (terminos independientes todos ceros),
el sistema admite siempre la solucion llamada trivial x1 = x2 = ...... = xn = 0
El sistema homogeneo puede ser que:
a) Admita solo la solucion trivial ( 0, 0, ... 0) siempre que el numero de ecuaciones
coincida con el de incognitas.
b) Admita ademas infinitas soluciones (compatible) siempre que el numero de
ecuaciones sea menor que el numero de incognitas.
16
Existen por ultimo una serie de problemas de sistemas de ecuaciones en los que
aparecen algunos coeficientes indeterminados y en los cuales hay que discutir el
sistema según los distintos valores del parámetro dado.
En todos ellos el método de Gauss, consigue un sistema de ecuaciones triangular
equivalente al inicial y donde se podrán discutir las diferentes soluciones segun los
valores del parámetro.
Si k - 5 0 ==> k 5 el sistema es compatible y determinado.
(k - 5)· x = 0 ==> x = 0
3y + 7· 0 = 5 ==> 3y = 5 ==>
- z + 2· (5/3) + 3· 0 = 1 ==> - z = 1 - 10/3 ==> - z = - 7/3 ==> z = 7/3
Si k - 5 = 0 ==> k = 5 , por ser todos los elementos de la última fila ceros, el sistema
será compatible indeterminado.
Haciendo x = t nos queda que 3y = 5 - 7t ==>
–
–
17
Al ser un sistema homogéneo, y discutiendo el sistema triangular aparecerán dos
casos:
a) Si k - 1 = 0 ==> k = 1 , las ecuaciones 2ª y 3ª se transforman en 0 = 0, con lo que
se pueden suprimir, quedando por tanto un sistema equivalente con una sola ecuación.
x + y + z = 0
Dicho sistema será compatible pero indeterminado ya que el numero de ecuaciones
es menor que el de incógnitas. Esto quiere decir que existirán infinitas soluciones, las
cuales dependerán de 2 parámetros.
Si despejamos x = - y - z y llamamos y = , z = podemos deducir que
b) Si k - 1 0 ==> k 1 , el sistema seguirá siendo de 3 ecuaciones con 3
incógnitas, por lo que el sistema será compatible y determinado. Esto implica que
posee solución única y al ser un sistema homogéneo dicha solución será la trivial, es
decir
x = 0 ; y = 0 ; z = 0
18
MATRICES.
Calcula la matriz X, tal que X · B + A = C siendo:
315
124A ,
230
102
030
B ,
642
531C (PAU).
Considera las matrices
100
212
111
A y
111
110
100
B , Calcula la
matriz X que verifica que X·A + B = I. (PAU).
Dada la matriz
016
102
211
A , calcula, si existen las siguientes
matrices: a) Una matriz X tal que 101 AX . b) Una matriz Y
tal que
010
101YA (PAU).
Dada la matriz
21
13A , determina otra matriz B, tal que:
A + B = A · B (PAU).
Dada la matriz
200
170
458
A , Halla A-1
.
Dada la matriz
43
21A calcula la expresión: (A
t · A
-1)
2 · A
19
Dada la matriz
a) Calcular A + A2 ,
b) Resuelve el sistema
Dada la matriz
x
xA
41
12
211
calcula para que valor de x, posee
inversa y para cuales no es inversible. Calcular A-1
. (PAU).
Dada la matriz inversible
110
523
412
A hallar: a) At·A , b) A·A
t ,
c) A·A-1
, d) A-1
·A , e) At·A
-1 , f) A
-1·A
t .
Dadas las matrices:
84
20
01
A ,
20
11B Calcula: a) A·B ;
b) 2A · 3B ; c) B3
Dadas las matrices
504
020
031
A ;
306
140
012
B Calcular a) A + B ;
b) A·B ; c) A – B ; d) A + 3B ; e) B2 ; f) A
3 – B
Dadas las matrices
a) Resuelve la ecuación X · A + X = 2B
b) Calcula la matriz inversa de A.
20
–
, d) calcular A50
.
Calcular a) a y b para que se verifique que A · B = C
b) Si a = b = 3 , calcular An por inducción.
c) Calcular P = B2 – 2C + B · I
Dadas las matrices:
calcular
a) A.B ; b) ; c) Resolver el sistema
Dadas las matrices:
30
12A ,
12
13B y
13
12C
comprueba las siguientes igualdades: a) CBACBA ;
b) CABACBA ; c) CBCACBA ; d) 2BA ;
e) ABBA 222
Dadas las matrices:
320
210
021
A ,
310
111
211
B Determinar a) la
matriz inversa de B. b) Determinar una matriz X tal que XBA
21
Dadas las matrices
Resolver a) la
ecuación A · X – B2 = A · B ; b) El sistema
–
–
Determina la matriz X que satisface la ecuación: 3X + I = A· B – A2 ,
siendo:
213
302
211
A y
123
112
201
B e I la matriz unidad de
orden 3. (PAU).
Encontrar las matrices X tales que A·X = X·A siendo
,
b) Calcular la matriz inversa de A.
Hallar la inversa de la matriz
39
47A y comprueba sí
(A-1
)2 = (A
2)
-1 .
Hallar la matriz inversa de I – A siendo:
000
100
010
A ;
100
010
001
I
Hallar las inversas de las matrices:
a)
150
013
101
A ; b)
1
111
111
111
B
Hallar x, y, z para que se verifique
Resolver el siguiente sistema matricial
188
11025
117
8432
BA
BA
(PAU).
22
Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales:
416
3723 YX
272
1263YX (PAU).
Resuelve los sistemas matriciales:
a)
11
012 YX b)
24
42YX
45
31YX
212
823 XY
Resuelve la ecuación X · A + X = 2B , siendo:
111
010
101
A y
211
110
112
B (PAU).
Resolver la ecuación matricial A·X = B siendo:
10
21A ;
110
321B
Resolver la ecuación matricial A.X + 2B = 3C siendo
b) Dada la matriz
23
Resuelve la ecuación matricial X · A + X = 2B, siendo
. b) Calcula la matriz
inversa de A.
Resolver la ecuación matricial A·B·X – C·X = 2C siendo
Resuelve la ecuación matricial 2A = A·X + B, siendo:
11
01A y
13
21B (PAU).
Resuelve la ecuación matricial, P·X + 3I = Q, donde I es la matriz
identidad de orden 2 y P y Q son las matrices:
22
01P ;
21
32Q
(PAU).
Sea A una matriz mxn. a) ¿Existe una matriz B tal que B·A sea una
matriz fila?. b) ¿Se puede encontrar una matriz B tal que A·B sea una
matriz fila?. Si existe, ¿que dimensión tiene?. c) Busca una matriz B
tal que 00 AB siendo
00
10
11
A (PAU).
Sea la ecuación A·X = B con :
115
203
011
A y
3
2
1
B
Hallar A-1
y X.
Sea la matriz
10
11A Calcular A
10 a partir de la A
n
(PAU MODELO 2008-09)
24
Sea la matriz
10
1 aA : a) Para cada numero natural n, hallar A
n.
b) Calcular A22
– 12A2 + 2A. (PAU).
Sea la matriz
010
001
100
A a) Comprueba que A-1
= At ; b) Utili-
zando el apartado anterior, calcula (At · A)
1998 . (PAU).
Sea la matriz
222
222
222
A Se pide: a) Comprobar que A3 - 2A
2 = 0.
b) Hallar An. (PAU MODELO 2004-05).
Sea la matriz
13
01A y sea n un numero natural . Encontrar el
valor de An para cada n y hallar A
350 – A
250 . (PAU).
Sean las matrices:
10
11A ,
76
98B . Hallar una matriz X tal
que BXAX 1 .
Sean las matrices:
Hallar la matriz X
que verifique A.B – 2X = A + 3B , b) Calcular
Sean las matrices A y B:
01
32A ,
22
31B Hallar la matriz X
que verifica la igualdad: 2X – A·B = A2 . (PAU).
Sean las matrices
a) Hallar la matriz X que verifique X·A – B = 2I ; b) A86
;
c) Calcular A-1
25
Se consideran las matrices
221
111
122
A y
200
315
110
B
calcula (A + B)2 , A
2 + 2AB + B
2 y A
2 + B
2 , ¿Por qué no coinciden sus
resultados?. ¿Cuál seria la formula correcta para el cuadrado de una
suma de matrices?.
Se consideran las matrices
a) Calcúlense los valores de a para los cuales no
existe la matriz inversa A-1
. b) Para a = - 1, calcúlese la matriz inversa
A-1
. c) Para a = 0, calcúlense todas las soluciones del sistema lineal
A·X = O (PAU Septiembre especifica 2009-10).
Una matriz X es idempotente si y solo si X2 = X. ¿Cuáles de las si-
guientes matrices son idempotentes?
321
431
422
A ;
31010
10210
10101
B ;
321
010
111
C (PAU).
26
PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO DE SISTEMAS DE
ECUACIONES.
Dos hermanos, tienen entre ambos 29 años y uno de ellos le dice al
otro: Dentro de 8 años, mi edad será el doble que la tuya. ¿Cuantos
años tienen cada uno en la actualidad?.
El testamento de un padre con 3 hijos contiene las siguientes disposi-
ciones: La parte de mi hijo mayor será la mitad de la parte de los otros
dos, mas 3000 €; la parte del más joven será la media de los otros dos,
menos 3000 €. Si hay que repartir 9000 €, ¿a cuánto toca cada hijo?.
El tío Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino. Al probarla,
observa que está muy aguada, por lo que decide añadirle una cierta
cantidad de vino y entonces la cantidad de agua es del 30 % del total.
Como sigue estando aguada, le añade de nuevo la misma cantidad de
vino que antes y entonces la cantidad de agua es del 20 % del total.
¿Cuantos litros de vino se añaden en cada ocasión y cuantas hay de
agua?.
En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas,
en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra, car-
bón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla, por uni-
dad de producto fabricado:
Acero Acero Aceros
Laminas rollos especiales
Chatarra 8 6 6
Carbón 6 6 4
Aleaciones 2 1 3
a) Si se desea fabricar 6 unidades de acero en láminas, 4 unidades de
aceros en rollos y 3 unidades de aceros especiales, obtén una matriz
que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones que serán
necesarias. b) Si se dispone de 34 unidades de chatarra, 28 de carbón
y 9 aleaciones, cuantas unidades de cada tipo de acero se podrán
fabricar con estos materiales?.
27
En una autonomía existen tres hospitales dedicados a urgencias. Se
sabe que en el primer hospital se han atendido en doble de casos que en
el segundo y que en el tercero se han atendido solo la mitad que en el
segundo, Si el total de urgencias ha sido de 3003, ¿cuántas prestaciones
ha realizado cada hospital? Plantear el sistema y resolverlo.
En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y
1 Kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más
de tamaño pequeño que de tamaño mediano. Sabiendo que el precio
del kg de bombones es de 40 euros y que el importe total de los bombo-
nes envasados es de 1250 euros: a) Plantea un sistema de ecuaciones
para determinar cuántas cajas se han envasado. b) Resuelve el sistema.
(PAU).
Juan le dice a Pedro: Yo tengo el doble de la edad que tú tenías
cuando yo tenía la edad que tú tienes. La suma del triple de la edad
que tu tienes con la que yo tendré cuando tu tengas la edad que yo ten-
go es de 280. ¿Cuáles son las edades actuales de Juan y Pedro?.
La suma de las edades en el momento actual, de un padre y sus dos
hijos es de 73 años. Dentro de 10 años, la edad del padre será el doble
de la edad del hijo menor. Hace 12 años, la edad del hijo mayor era el
doble de la edad de su hermano. Hallar la edad actual de cada uno.
La suma de las tres cifras de un número es 7. La cifra de las cente-
nas es igual a la suma de la cifra de las decenas más el doble de la cifra
de las unidades. Si se in-vierte el orden de las cifras, el nuevo número
ha disminuido en 297 unidades. Calcular el número.
Los gastos diarios de tres estudiantes, Marta, Raúl y Pedro, suman
15,45 €. Si a lo que gasta Marta se le suma el triple de la diferencia en-
tre los gastos de Raúl y Pedro obtendremos lo que gasta Pedro. Ade-
más, ocho veces la diferencia entre el gasto de Raúl y el de Marta es
igual al gasto de Marta. Averigua cuál es la cantidad que gasta cada
uno. (PAU).
28
Por 9 entradas de Butaca de Patio (BP), 6 de Anfiteatro I (AI) y 9 de
Anfiteatro II (AII) una persona ha pagado 480 euros. A otra persona le
han cobrado 140 euros por 4 de AI y 6 de AII , y una tercera persona
paga 160 euros por 3 de BP, 2 de AI y 3 de AII. a) Determina, solo con
estos datos, el precio de las Butacas de Patio. b) ¿Puede hallarse el
precio de las entradas de Anfiteatro I y II?. c) Si el precio de las entra-
das de anfiteatro I es el doble que el de las de Anfiteatro II, ¿pueden
saberse los respectivos precios?. Hállalos. (PAU).
Resuelve el sistema que se obtenga del siguiente enunciado: ¿Cuantos
litros de leche con 35% de grasa han de mezclarse con leche del 40%
de grasa, para obtener 20 litros de leche con el 25% de grasa?.
Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos A,B y C.
El A tiene 10 cal por cada 100 gr de alimento, el B tiene 30 cal por ca-
da 100 gr y el C 40 cal por cada 100 gr. A) Si la dieta consta de 4000 gr
de alimentos por día, dicha dieta está restringida a 840 cal exactas y la
cantidad de alimento A ingerido debe de ser doble en peso que la can-
tidad de alimento de C. Hallar las cantidades que debe de ingerir de
cada uno de los alimentos.
Se desea mezclar vino de 0,55 céntimos el litro con otro de 0,40 cén-
timos el litro, de modo que la mezcla resulte a 0,45 céntimos el litro.
¿Cuántos litros de cada clase deben de mezclarse para obtener 300
litros de mezcla.
Si a un numero de dos cifras se le suma 18, se obtiene un numero con
las cifras intercambiadas. Sabiendo que la suma de las cifras del núme-
ro es 16, encuentra dicho numero. (PAU).
Si la altura de Carlos aumentase el triple de la diferencia entre las al-
turas de Toni y de Juan, Carlos seria igual de alto que Juan. Las altu-
ras de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Toni es lo mismo
que nueve veces la altura de Carlos. Hallar las tres alturas.
29
Si la suma de las dos cifras de un número es 11 y al invertir el orden
de las cifras, el nuevo número aumenta en 27 unidades. Calcular el
número.
Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se
obtiene un vino del 10% de alcohol. Si, por el contrario se mezclan 20
litros de vino blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vino de 11 %
de alcohol. ¿Qué graduación tendrá una mezcla de 40 litros de vino
blanco y 40 litros de tinto?.
(Llamar x a la graduación del vino blanco, y a la graduación del vino
tinto, z a la graduación de la mezcla)
Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C, se ob-
tienen 50 años. Además, el doble de las antigüedades de B y de C es
igual al triple de la antigüedad de A, y la diferencia de antigüedad en-
tre B y C es igual al 30 % de la antigüedad de A. Determina los años de
antigüedad de cada empleado. (PAU).
Tres personas A, B y C van a hacer un regalo a un amigo común. El
regalo les cuesta 86 euros. Como no todos disponen del mismo dinero,
deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan
B y C juntos, y por cada 2 euros que paga B, C paga 3 euros. Se pide:
a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar
cuánto paga cada uno de ellos. b) Resuelve el sistema planteado por el
método de Gauss. (PAU).
Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas,
manzanas y naranjas a un precio de 1, 1,20 y 1,50 euros por kg respec-
tivamente. El importe total de la compra fue de 11,60 euros. Si el peso
total de la misma es de 9 kg y, además, compró 1 kg más de naranjas
que de manzanas: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determi-
nar la cantidad adquirida de cada producto, b) resuelve el sistema.
Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en
llano marcha a 80 km/h. Para ir de la ciudad A a la B tarda 2 horas y
30
30 minutos y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos. ¿Cuál es la
longitud del camino llano entre A y B si se sabe que A y B distan entre
sí 192 km?. (PAU).
Un estudiante hizo un examen que constaba de tres preguntas y ob-
tuvo un 8 de calificación. En la segunda pregunta saco 2 puntos más
que en la primera y en la tercera obtuvo 1 punto más que en la según-
da. Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método de
Gauss.
Un número de tres cifras verifica que: a) La suma de sus cifras es
24. b) La diferencia entre las cifras de las centenas y las decenas es 1.
c) Si se intercambian las cifras de las unidades y las centenas, el núme-
ro disminuye en 198 unidades. Encuentra dicho número. (PAU).
Un pastelero desea vender cajas que contengan al menos 12 unida-
des, con dulces de dos clases y a un precio menor de 5 . Si el precio de
coste de cada una de las clases de dulces es de 50 y 25 céntimos la uni-
dad: a) encuentra de forma gráfica el conjunto de soluciones. b) Si la
caja no puede estar vacía ni contener una sola clase de dulce, halla to-
das las posibles combinaciones de las cajas que satisfacen las condicio-
nes impuestas por el pastelero. (PAU).
Un viñatero posee tres tipos de vino con precios por litro de 3, 4 y 7
euros, respectivamente. ¿Cómo debería mezclarlos para obtener un li-
tro de vino cuyo precio fuese 5 euros el litro, teniendo en cuenta que
debe emplear doble cantidad del vino de 4 euros por litro que del vino
que solo cuesta 3 euros el litro?. (PAU).
Una madre y sus dos hijos tienen en total 60 años. El hijo mayor tie-
ne 3 veces la edad del menor y la madre tiene el doble de edad que la
suma de las edades de sus hijos. Plantear el sistema de 3 ecuaciones con
3 incógnitas y resolverlo por Gauss.
Una marca comercial utiliza tres ingredientes A, B y C en la elabora-
ción de tres pizzas P1, P2 y P3. P1 se elabora con 1 unidad de A, 2 de B
y 2 de C; P2 con 2 unidades d A, 1 de B y 1 de C, y P3, con 2 unidades
31
de A, 1 de B y 2 de C. El precio de venta al público es de 12 € para P1,
10,25 € para P2 y 12,25 € para P3. Sabiendo que el margen comercial
(beneficio) es de 4 € en cada una de ellas, ¿qué le cuesta a dicha marca
comercial cada unidad de A, B y C?. Justifica la respuesta. (PAU).
Una multinacional de seguros, tiene delegaciones en Madrid, Barce-
lona y Valencia. El número total de ejecutivos de las tres delegaciones
asciende a 31. Para que el número de ejecutivos de la delegación de
Barcelona fuese igual al de Madrid, tendrían que trasladarse tres de
ellos de Madrid a Barcelona. Además, el número de los ejecutivos de
Madrid excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciu-
dades. ¿Cuántos ejecutivos están destinados en cada ciudad?.
Una refinería compra petróleo a dos países A y B. Comprando 500
barriles al país A y 15500 barriles al país B, resulta un precio medio de
19´875 dólares el barril. Comprando 1000 barriles al país A y 1000 al
país B, el precio medio es de 18 dólares el barril. ¿Cuánto cuesta el ba-
rril de crudo de cada país?.
SISTEMAS DE ECUACIONES
Averigua si es posible escribir un sistema lineal homogéneo (sus tér-
minos independientes son nulos) de dos ecuaciones con dos incógnitas
32
que sea: a) compatible y determinado; b) compatible e indetermina-
do; c) incompatible. Razona la respuesta en cada caso y pon un ejem-
plo cuando la respuesta sea afirmativa. (PAU).
Clasifica y resuelve el siguiente sistema:
322336
6
5
422
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
(PAU).
Considera la matriz
m43
432
311
siendo m un parámetro real. Se pi-
de: a) Calcula el rango de A según los valores del parámetro m,
b) Considera el sistema de ecuaciones lineales
0
0
0
z
y
x
A Discute si
existe solución según los valores del parámetro m. En caso afirmativo
resuelve el sistema. c) Para m = 7, considera el sistema de ecuaciones
lineales
3
0
2
z
y
x
A discute si existe solución. (PAU).
Dado el sistema:
112
522
6
zyx
zyx
zyx
a) Obtén su matriz de coeficien-
tes. b) Calcula su inversa. c) Sin resolverlo, razona si tendrá una única
solución. (PAU).
Dado el sistema de ecuaciones lineales :
2
3
2
01
10
11
1
2
1
z
yx
a) Exprésalo en la forma matricial AX = B y calcula la A-1
.
b) Resuélvelo. (PAU).
Discute el sistema en función de los distintos valores de n, y resuélve-
lo cuando sea posible.
nyx
yx
yx
4
13
12
(PAU).
33
Discute los sistemas y resuelve donde proceda:
a)
94
742
12
yx
zyx
zyx
b)
1134
52
6
yx
yx
yx
(PAU).
Discute y resuelve el siguiente sistema según los distintos valores del
parámetro a:
azyx
zy
zx
azy
42
6
1123
2
(PAU).
Estudia según los valores del parámetro , es sistema de ecuaciones
lineales:
12
1
1
zyx
zy
yx
Resuélvelo en el caso de que sea compatible
indeterminado. (PAU).
Halla el valor del parámetro k para que las tres rectas del plano,
definidas por las siguientes ecuaciones, sean concurrentes en un punto.
0
032
42
yx
kxy
xy
(PAU).
Obten los valores x, y , z que verifican la siguiente ecuación matricial:
0
0
1
10
12
11
1
2
1
z
yx (PAU).
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
132
0
12
yx
zyx
zyx
Resuelve el sistema:
1523
932
6
zyx
zyx
zyx
(PAU).
34
Resuelve por el método de Gauss:
a)
13
11
16
zy
zx
zyx
b)
723
1154
12332
zyx
zyx
zyx
c)
453
432
1123
zyx
zyx
zyx
d)
362
1732
42
zyx
zyx
zyx
e)
1274
62
032
zyx
zyx
zyx
f)
043
02
0
zyx
zyx
zyx
g)
082
043
02
zyx
zyx
zyx
h)
0
0232
0
zyx
zyx
zyx
Resuelve, por el método de Gauss, este sistema:
22887
12
8423
zyx
zyx
zyx
(PAU).
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parámetro real a:
. a) Discútase el
sistema para los diferentes valores del parámetro a. b) Resuélvase el
sistema para el valor de a para el cual el sistema tiene infinitas
soluciones. c) Resuélvase el sistema para a = 0.
(PAU Septiembre común 2009-10)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parámetro k:
a) Discútase el sistema para los dife-
rentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso de que tenga
infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 3
(PAU modelo 2009-10).
Sea el siguiente sistema de ecuaciones, en función del parámetro m:
13
1323
ymx
ymx a) Exprésalo en forma matricial, siendo los elemen-
tos de una de las matrices que intervienen las variables x e y. b) Dis-
35
cútelo según los valores del parámetro m. c) Determina su solución
para m = 5 (PAU).
Sea el sistema de ecuaciones lineales:
2
1
022
zyx
zy
zyx
a) Escríbelo en
forma matricial. b) Justifica sin resolverlo que no tiene solución úni-
ca.
PROGRAMACIÓN LINEAL
36
Dibuja la región definida por las siguientes desigualdades y determi-
na en ella el punto en el que la función f(x,y) = 6x + y toma el valor má-
ximo:
0
222
029
475
x
yx
xy
yx
(PAU).
Doscientas personas quieren organizar una excursión con una em-
presa que dispone de 4 autobuses de 40 plazas cada uno y 5 autobuses
de 50 plazas cada uno. El alquiler de un autobús grande es de 180 €, y
el alquiler de uno pequeño es de 120 € . ¿Qué combinación de autobu-
ses minimiza el costo de la excursión si la empresa dispone de 5 con-
ductores?. (PAU).
Los alumnos y alumnas de primero de Bachillerato, con el objetivo
de recaudar fondos para el viaje fin de curso, deciden vender paquetes
de dulces navideños. Disponen de 10 kg de polvorenes y 8 kg de mante-
cados. Acuerdan hacer dos tipos de paquetes: uno, a un precio de 3 €,
formado por 100 gr de polvorones y 150 gr de mantecados, y otro, a un
precio de 4 €, y que contiene 200 gr de polvorenes y 100 gr de manteca-
dos. ¿Cuántos paquetes de cada tipo les interesa vender?. (PAU).
Me ofrecen la posibilidad de vender hasta un máximo de 24 tonela-
das de dos productos A y B, dándome una comisión de 150 € por tone-
lada vendida de A y 100 € por tonelada vendida de B. Averigua cuan-
tas toneladas debo vender de A y de B para maximizar la ganancia.
(PAU).
Se considera la región del primer cuadrante determinada por las ine-
cuaciones:
62
4
8
yx
yx
yx
a) Dibuja la región y determina sus vértices,
b) Dada la función objetivo f(x,y) = 3x + 2y , halla donde alcanza
dicha función su valor mínimo y calcúlalo. (PAU).
37
Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de ine-
cuaciones:
0
0
93
5
y
x
yx
yx
. Representa la región factible que determina el
sistema de inecuaciones y halla la solución mínima y máxima para que
cada una de las siguientes funciones: a) f(x,y) = 2x + 3y;
b) f(x,y) = y - x (PAU).
Se necesita una dieta que proporcione a un animal 3000 calorías y 80
unidades de proteínas diarias. En el mercado hay dos alimentos básicos
que pueden usarse para preparar la dieta. El alimento A cuesta 20
céntimos/kg, y contiene 600 calorías y 2 unidades de proteínas. Y el ali-
mento B cuesta 10 céntimos/kg, y contiene 50 calorías y 8 unidades de
proteínas. Determina la combinación de alimento más económica que
satisfaga las necesidades de la dieta. (PAU).
Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a
trabajar electricistas y mecánicos; por necesidades del mercado, es ne-
cesario que haya mayor o igual numero de mecánicos que de electricis-
tas, y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electri-
cistas. En total, hay disponibles 20 electricistas y 30 mecánicos. El be-
neficio de la empresa por jornada es de 250 € por electricista y de 200 €
por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben de elegirse
para obtener el máximo beneficio?. (PAU).
Un grupo inversor dispone de un máximo de 9 millones de euros para
invertir en dos tipos de fondos de inversión, A y B. El fondo de inver-
sión tipo A tiene una rentabilidad del 4% anual y una limitación legal
de 5 millones de euros de inversión máxima. El fondo de inversión del
tipo B tiene una rentabilidad del 3% anual, deben de invertirse al me-
nos 2 millones de euros y no hay límite superior de inversión. El grupo
inversor desea invertir en el fondo del tipo B, como máximo, el doble
de lo invertido en el fondo del tipo A. ¿Qué cantidad debe invertir el
grupo en cada tipo de fondo para obtener el máximo beneficio anual?.
Calcúlese dicho beneficio máximo.
(PAU Septiembre especifico 2009-10)
38
Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27,5 kg de
mantequilla para hacer dos tipos de pasteles, P y P´. Para elaborar una
docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y
1 kg de mantequilla, y para hacer una docena de tipo P´ necesita 6 kg
de harina, 0,5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que ob-
tiene por una docena del tipo P es 20 € y por una docena de tipo P´ es
30 €. Halla él numero de docenas que tiene que hacer de cada clase pa-
ra que el beneficio sea máximo. (PAU).
Un pintor necesita pintura par pintar como mínimo una superficie de
480 m2. Puede comprar la pintura a dos proveedores, A y B. El provee-
dor A le ofrece una pintura con un rendimiento de 6 m2 por kg. y un
precio de 1 € por kg. La pintura del proveedor B tiene un precio de 1,2
€ por kg y un rendimiento de 8 m2 por kg. Ningún proveedor le puede
proporcionar más de 75 kg de pintura y el presupuesto máximo del
pintor es de 120 €. Calcúlese la cantidad de pintura que el pintor tiene
que comprar a cada proveedor para obtener el mínimo coste. Calcúlese
dicho coste mínimo. (PAU Septiembre común 2009-10).
Una empresa constructora dispone de un total de 93000 m2 de terre-
no urbanizable. Decide construir dos tipos de viviendas unifamiliares:
unas, en parcelas de 400 m2, que albergaran a familias de una media de
5 miembros, y cuyo precio de venta será de 400000 €; y otras, en parce-
las de 300 m2, en donde vivirán familias de una media de 4 miembros,
y costaran 320000 €. Las autoridades del municipio le imponen dos
condiciones: (1) él número de casas no puede superar las 275; (2) el
número de habitantes esperado no puede ser superior a 1200 personas.
¿Cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para maximizar los
ingresos por ventas?. (PAU).
Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de ti-
tanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 m de cable de tipo A se
necesitan 10 kg de cobre, 2 kg de titanio y 1 kg de aluminio. Para fa-
bricar 100 m de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 kg de ti-
tanio y 1 kg de aluminio. El beneficio que obtiene la empresa por cada
100 m de cable de tipo A fabricados es igual a 1500 €, y por cada 100
metros de cable de tipo B es igual a 1000 €. Calcúlense los metros de
cable de cada tipo que han de fabricarse para maximizar el beneficio y
determínese dicho beneficio máximo. (PAU modelo 2009-10).
39
Una fábrica de adornos produce broches sencillos y broches de fiesta.
Sé obtiene un beneficio de 4 € por cada broche sencillo y de 6 € por ca-
da broche de fiesta. En un día no se pueden fabricar más de 400 bro-
ches sencillos ni más de 300 de fiesta, y tampoco pueden producirse
más de 500 broches en total. Suponiendo que se logra vender toda la
producción de un día, ¿cuál es él numero de broches de cada clase que
conviene fabricar para obtener el máximo beneficio?. Calcula la pro-
ducción necesaria para conseguir el máximo beneficio si se obtiene 6 €
para cada broche sencillo y 4,50 € para cada broche de fiesta.
Una fábrica textil elabora prendas de punto de calidades A y B. Las
prendas de calidad A se fabrican con 1 unidad de lana y 2 unidades de
fibra sintética, y las de calidad B con 2 unidades de lana y 1 de fibra
sintética. Los beneficios obtenidos en la venta de las prendas son de
15 € para las de calidad A y 10 € para las de calidad B. Sabiendo que
solo se dispone de 180 unidades de lana y 240 de fibra sintética, se pide:
a) Determina cuantas prendas de cada tipo deben de elaborarse para
obtener un beneficio máximo si la producción no puede ser superior a
1000 prendas. b) ¿A cuanto ascenderá dicho beneficio?. (PAU).
Una granja de aves cría pollos y patos con un coste por cada uno de
1 € y de 2 € respectivamente, y los vende a 1,80 € el pollo y a 2,30 € el
pato. Sabiendo que la capacidad máxima de la granja es de 2000 ani-
males y que solo se dispone de 3000 € para invertir en pollos y patos, se
pide: a) Determina él numero de pollos y patos que se pueden criar
para obtener un beneficio máximo. b) ¿Cuál será dicho beneficio má-
ximo?. (PAU).
40
MATRICES.
¿Cómo deben ser las matrices rectangulares M y N para que pue-
dan efectuarse las multiplicaciones M.N y N.M?. Razonarlo.
Si el orden de la matriz M es (m,n) y el de la matriz N es (p,q).
Para poder multiplicar M:N , el numero de columnas de M debe ser igual al número
de filas de N, es decir n = p.
De igual forma, para poder multiplicar N·M, el numero de columnas de N debe ser
igual al de filas de M, es decir q = m
Por tanto, para poder multiplicar la M·N y la N·M a la vez, deberá verificarse que el
orden de M sea (m,n) y el orden de N sea (n,m) respectivamente.
Dada la matriz A, ¿existe una matriz B, tal que el producto A.B, o
bien el B.A, sea una matriz de una sola fila?.
Siendo B de dimensiones (p,q) y A de dimensiones (3,4)
Si multiplicamos A·B será necesario que el nº de filas de B sea igual al nº de
columnas de A, es decir que p = 4
Esto nos indica que no existe ninguna matriz B de una sola fila.
Si multiplicamos B·A será necesario que el nº de columnas de B sea igual al nº de
filas de A, es decir que q = 3 y para que el resultado de B·A tenga una sola fila, será
necesario que la matriz B posea una sola fila, es decir p = 1
En este caso la matriz B tendrá de dimensiones (1,3)
Si tomamos B = (1 0 0) y multiplicamos B·A nos queda:
41
Obtén razonadamente la matriz An para n > 5 .
A4 = A
3 · A = O · A = O
A5 = A
4 · A = O · A = O
Como consecuencia An = O · A = O
42
Dada una matriz P 2x2 , a)¿existe una matriz Q tal que el producto
P·Q, o bien el producto Q·P sea una matriz de una sola fila?.
b) Calcular la matriz M = P2 – 3P – 2I, siendo I la matriz identidad
de orden 2 y
a) P2x2 · Qnxm = B1xm Nunca ya que si el resultado tiene una fila, el multiplicando
tambien y aquí P tiene 2 filas
Qn x m · P2x2 = B1 x m Si, siempre que m = 2 y n = 1 ya que asi, si m = 2, el nº de
columnas de la multiplicando coincidira con el nº de filas de la multiplicadora y con el
nº de columnas del resultado.
Ademas, si n =1 , el nº de filas de la multiplicando coincide con el nº de filas del
resultado.
m
a)
b)
+
= + =>
43
.
=>
rag C = rag A < nº incognitas => sistema
compatible indeterminado =>
y = 3 – 2z
x + 2·(3 – 2z) + 3z = 7 x + 6 – 4z + 3z = 7 x = 1 + z
–
–
La matriz resultante es
44
Si c = 0 ==> a2 = 1 ==> a = ± 1 y b = ± 1
Si a + b = 0 ==> a =
Con todas estas soluciones, las posibles matrices simétricas de segundo orden, serán
de la forma:
Estas dos últimas c 1
45
Si a = 1 y b = 0 0 = 1 + 0 No vale
Si a = 1 y b = 1 0 = 1 + 1 No vale
Si a = -1 y b = 0 0 = -1 + 0 No vale
Si a = -1 y b = 1 0 = - 1 + 1 Si vale y la c = 1 – b = 1 – 1 c = 0
La única matriz valida es
– –
– –
46
Obtén las matrices A y B que verifican el sistema:
–
–
–
–
–
–
Se puede comprobar que A·B B·A
47
48
.
–
49
(PAU JUNIO 2007)
–
– –
–
La solución es x = 3, y = 2 y z = 3.
50
Se consideran las matrices
51
52
Planteamiento y resolución de sistemas.
El empleo en el sector servicios en el 1987 representaba aproximada-
mente el 53% del empleo total, en el sector industrial el 35% y en el
sector agrícola el 12%. Si el empleo total del año fue de 11593900.
Calcular los empleos del sector.
Llamamos x a los empleos del sector servicio. Llamamos y a los empleos del sector
industrial. Llamamos z a los empleos del sector agrícola. Llamamos t a los empleos
totales
En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas,
en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra,
carbón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla, por
unidad de producto fabricado:
A. en laminas A. en rollos A. especiales
Chatarra 8 6 6
Carbón 6 6 4
Aleaciones 2 1 3
Si se disponen de 34 unidades de chatarra, 28 de carbón y 9
aleaciones, ¿Cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán
fabricar con estos materiales?
=
Por Gauss
=
3y – (1) = 5 ; 3y = 6 ; y = 2 unidades de acero en rollos
4x + 3 · (2) + 3 ·(1) = 17 ; 4x = 8 ; x = 2 unidades de acero en laminas
53
En una granja se venden pollo, pavos y perdices a razón de 2, 1,50 y
4 euros/kg, respectivamente. En una semana, los ingresos totales de la
granja ascendieron a 5700 €. Si se sabe que la cantidad de pollo
vendida es superior en 100kg a la de pavo, y que se vendió de perdiz la
mitad que de pavo:
a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad
vendida de cada tipo de carne. b) Expresa matricialmente el problema.
c) ¿Cuántos kilos se vendieron de cada tipo?
x pollos a 2€/kg
y pavos a 15€/kg
z perdices a 4€/kg
y = 2z ; y = 1000kg de pavos.
x= 100 + y ; x = 1100kg de pollos
Fulano de Tal quiere hacer una gran fiesta e invitar a sus amigos a
unas tortillas, así que va de tienda y compra una docena de huevos,
una bolsa de patatas y una botella de aceite. Dado el éxito obtenido,
decide repetir la fiesta y vuelve a comprar una docena de huevos y dos
botellas de aceite. Cuando llega a casa, se acuerda que no tiene patatas.
Vuelve a la tienda para comprar una bolsa de pata-tas y decide
comprar también otra docena de huevos. En la primera ocasión gasto 6
euros; en la segunda ocasión gasto 6,5 euros y en la ultima 3,5 euros.
Calcular si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite.
x precio de los huevos ; y precio de las patatas ; z precio del aceite
z = 2,5 € => x = 6,5 – 2·2,5 = 1,5 € => y = 3,5 -1,5 = 2 €
54
Hace tres años la edad del padre era el triple de la de su hijo. Dentro
de nueve años la edad del hijo será la mitad de la del padre. Hallar las
edades actuales de ambos.
Edad actual del padre: x Edad actual del hijo: y
Hace tres años ==> x - 3 = 3· (y - 3) Dentro de nueve años ==> y + 9 = (x
+ 9) / 2
Resolvamos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
=>
y = 15 años x = - 6 + 3 · 15 ==> x = - 6 + 45 ==> x = 42 años
Los alumnos de los tres cursos de un centro suman 260. La relación
entre los de cuarto de ESO y primero es de 19/18, y la relación de
primero y segundo es de 6/5. ¿Cuántos alumnos hay en cada curso?.
¿Cuántos grupos de cada curso hay, en el supuesto de que cada grupo
tenga 35 alumnos como máximo?.
x serán los alumnos de 4º ESO y serán los alumnos de 1º z serán los alumnos de 2º
y lo sustituimos en la 1ª ecuación =>
==> 52y = 4680 ==> y = 90 alumnos
x = 19 · (90 / 18) ==> x = 95 alumno; z = 5 · (90 / 6) ==> z = 75 alumnos
Para calcular los grupos por curso, dividiremos los alumnos de cada curso por 35
alumnos como máximo.
De 4º serán: 95 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
De 1º serán: 90 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
De 2º serán: 72 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
55
Mikel sale con un montón de cromos y vuelve a casa sin ninguno.
Su madre le pregunta que ha hecho con los cromos, a lo que Mikel
responde: A cada amigo que encontré le di la mitad de los cromos que
tenía en ese momento mas uno. Su madre le pregunta que con cuantos
amigos se ha encontrado, a lo que Mikel contesta que con cinco.
¿Cuántos cromos tenia Mikel al salir de casa? Razona la respuesta.
x cromos al salir de casa
Al primer amigo le da x/2 + 1 = (x + 2) / 2
y le queda x – (x + 2) / 2 = (x – 2) / 2
Al segundo amigo le da [(x - 2) / 2] / 2 + 1 = (x – 2) / 4 + 1 = (x + 2) / 4
y le queda (x – 2) / 2 - (x + 2) / 4 = (2x – 4 – x – 2) / 4 = (x – 6) / 4
Al tercer amigo le da [(x – 6) / 4] / 2 + 1 = (x – 6) / 8 + 1 = (x + 2) / 8
y le queda (x – 6) / 4 - (x + 2) / 8 = (2x – 12 – x – 2 ) / 8 = (x – 14) / 8
Al cuarto amigo le da [(x – 14) / 8] / 2 + 1 = (x – 14) / 16 + 1 = (x + 2) / 16
y le queda (x – 14) / 8 – (x + 2) / 16 = (2x – 28 – x – 2) / 16 = (x – 30) / 16
Al quinto amigo le da [(x – 30) / 16] / 2 + 1 = (x – 30) / 32 + 1 = (x + 2) / 32
y le queda (x – 30) / 16 – (x + 2) / 32 = (2x – 60 – x – 2) / 32 = = (x – 62) / 32
Como al final no le quedan cromos x – 62 = 0 x = 62 cromos
56
Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos: A, B, C.
El alimento del tipo A tiene 10cal. por cada 100gr., el de tipo B tiene
30cal. por cada 100gr., y el C tiene 40cal. por cada 100gr. Si la dieta
consta de 400gr. de alimento por cada día, si ducha dieta esta restringi-
da a 840cal., y si la cantidad de alimento del tipo A ingerido debe ser el
doble en peso que la cantidad de alimento C. Hallar las cantidades que
debe ingerir de cada uno de los alimentos.
A= X B=Y C=Z
=>
–
=>
=>
– –
–
– => X = 2400gr. de alimento de tipo A
– – Z= 1200gr. de alimento de tipo C
2400 + Y + 1200 = 4000 ; Y = 400gr. de alimento de tipo B
57
Se tienen tres tipos de café: el de clase A, que cuesta 980 pts/kg; el
de clase B, que cuesta 875 pts/kg, y el de clase C, que cuesta 950 pts/kg.
Se desea hacer una mezcla para vender 1050 kg a 940 pts/kg. ¿Cuántos
kg de cada clase se deben de poner si del tercer tipo debe entrar el do-
ble de los otros dos juntos?.
x kg de café A a 980 pts/kg
y kg de café B a 875 pts/kg 1050 kg de mezcla a 940 pts/kg
z kg de café C a 950 pts/kg
–
Resolviendo por Gauss
=>
–
z = 700 kg de café C
- 21y – 6·700 = - 8400 ; -21 y = - 4200 y = 210 kg de café B
x + 210 + 700 = 1050 x = 140 kg de café A
58
Según RENFE, el nº de viajeros que utilizaron el tren en Enero as-
cendió a 275700, en Febrero descendió en 25200 viajeros.
Las dos categorías que existen son de 1ª y 2ª. Si la relación para el
mes de Enero ha sido de un 30% de 1ª mas en Enero que en Febrero y
la 2ª clase en Enero representa el 60% del total. ¿Cuantos pasajeros de
1ª y de 2ª han utilizado el servicio?.
Llamamos x a los pasajeros de 1ª
Llamamos y a los pasajeros de 2ª
Llamamos x1 a los de 1ª en Enero y x2 a los de 1ª en Febrero
Llamamos y1 a los de 2ª en Enero y y2 a los de 2ª en Febrero
x2 + y2 = 250500
275700 - y1 = 1,3x2
y1 = 0,6 ·(275700 - y1) + 0,6y1 ==> y1 = 165420 viajeros
275700 - 165420 = 1,3 · x2 ==> x2 = 110280 / 1,3 ==> x2 = 84831 viajeros
y2 = 250500 - x2 = 250500 - 84831 = 165669 viajeros
x1 = 275700 - 165420 = 110280 viajeros
Los pasajeros de 1ª seran x = x1 + x2 = 110280 + 84831;
x = 195111 viajeros.
Los pasajeros de 2ª seran y = y1 + y2 = 165420 + 165669 ;
y = 331089 viajeros.
59
Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C, se ob-
tienen 50 años. Además, el doble de las antigüedades de B y de C es
igual al triple de la antigüedad de A, y la diferencia xde antigüedad en-
tre B y C es igual al 30 % de la antigüedad de A. Determina los años de
antigüedad de cada empleado.
x años el A, y años el B, z años el C
=>
=> z = 240 / 20 z = 12
y + 12 = 30 y = 18
x + 18 + 12 = 50 x = 20
20 años de antigüedad el empleado A, 18 años de antigüedad el empleado B y
12 años de antigüedad el empleado C.
60
Tres amigos, Marcos, Luisa y Miguel, son aficionados a la música.
Entre los tres poseen un total de CD comprendido entre 16 y 22 unida-
des. Marcos presta 4 CD a Miguel, Luisa presta 1 CD a Marcos y Mi-
guel presta 2 CD a Luisa, con lo cual los tres amigos tienen al final el
mismo número de CD. ¿Cuántos CD pueden tener en total?.
Marcos tiene x CD, Luisa tiene y CD y Miguel tiene z CD
16 ≤ x + y + z ≤ 22
Marcos se queda con x – 4 + 1 = x – 3 CD
Luisa se queda con y – 1 + 2 = y + 1 CD
Miguel se queda con z + 4 – 2 = z + 2 CD
Como los tres deben de acabar con el mismo numero de CD
x – 3 = y + 1 x – y = 4 y = x - 4
x – 3 = z + 2 x – z = 6 z = x – 5
Llamando
5
4
z
y
x
Para que x, y ,z sean positivos λ ≥ 6
λ = 6 x = 6; y = 2; z = 1 x + y + z = 9 no vale
λ = 7 x = 7; y = 3; z = 2 x + y + z = 12 no vale
λ = 8 x = 8; y = 4; z = 3 x + y + z = 15 no vale
λ = 9 x = 9; y = 5; z = 4 x + y + z = 18 si vale
λ = 10 x = 10; y = 6; z = 5 x + y + z = 21 si vale
λ = 12 x = 11; y = 7; z = 6 x + y + z = 24 no vale
Marcos 9 CD, Luisa 5 CD y Miguel 4 CD
Las soluciones son dos
Marcos 10 CD, Luisa 6 CD y Miguel 5 CD
61
Un agricultor tiene repartido sus 10 Ha de terreno en barbecho y
cultivos de trigo y cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 Ha
más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 Ha
menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y de cebada.
¿Cuántas Ha hay dedicadas a cada uno de los cultivos y cuantas están
en barbecho?
Sea x el nº de Ha de barbecho
y el nº de Ha de trigo
z el nº de Ha de cebada
62
Un autobús universitario transporta en hora punta 80 viajeros de
tres tipos: viajeros que pagan el billete entero, que vale 75 céntimos,
viajeros con bono de des-cuento del 20% y estudiantes con bono de
descuento del 40%. Si la recaudación del autobús en ese viaje fue de
39,75 euros, calcula el número de viajeros de cada clase sabiendo que
el numero de estudiantes era el triple que el del resto de viajeros.
(PAU).
x es el nº de viajeros sin descuento.
y es el nº de viajeros con el 20% de descuento.
z es el nº de viajeros con el 40% de descuento.
3975756,0758,075
3
80
zyx
yxz
zyx
536,08,0
033
80
zyx
zyx
zyx
536,08,01
0133
80111
rg
13
12 3
ff
ff
274,02,00
240400
80111
rg
2404
274,02,0
80
z
zy
zyx
z = 60
- 0,2 y – 0,4 · 60 = - 27 - 0,2 y = - 3 y = 3 / 0,2 y = 15
x + 15 + 60 = 80 x = 5
5 viajeros sin descuento, 15 viajeros con el 20% de descuento y 60 estudiantes.
63
Un número capicúa tiene cinco cifras. La suma de las cifras es 9. La
cifra de las centenas es la suma de las cifras de las unidades y las dece-
nas. Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número
que resulta disminuye en 9. Hallar el número.
El numero es xyzyx Al cambiar el numero xyzxy disminuye en 9 unidades
–
3z = 9 ; z = 3 -2y+z = -1 ; -2y+3 = -1 ; -2y = -4 ; y = 2
2x+2y+z = 9 ; 2x+4+3 = 9 ; 2x = 2 ; x = 1 El número es 12321
Una compañía de transportes tiene tres camiones diferentes, P, Q y
R, en los que caben exactamente un cierto número de contenedores de
tres tipos A, B y
Si se han de transportar 45 contenedores de tipo A, 44
de tipo B y 58 de tipo C, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión si
todos los viajes lo hacen totalmente llenos?. (PAU).
x nº de viajes el P ; y nº de viajes el Q ; z nº de viajes el R
z = 3 3 viajes realizo el camión R
19y + 3·3 = 85 19y = 76 y = 4 4 viajes realizo el camión Q
5x + 2·4 + 4·3 = 45 5x = 25 x = 5 5 viajes realizo el camión P
64
Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y
sofás. Para la fabricación de cada uno de estos muebles se necesitaron
unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la
tabla. Si la compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600
unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio, y utilizo todas sus
existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás
(PAU).
x sillas y mecedoras z sofás
==>
y + 600 = 700 y = 100 ; x + 100 + 200 = 400 x = 100
Hay 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.
Una empresa produce un bien, cuya función de oferta es
Qo = - 50 + 30p y su función de demanda viene dada por
Qd = 100 - 20p. ¿Cuales son el precio y la cantidad en el punto de
equilibrio Qo = Qd?.
Si Qo = Qd ; - 50 + 30p = 100 - 20p es decir una ecuación con una sola incógnita.
30p + 20p = 100 + 50 ==> 50p = 150 ==> p = 3
Qo = - 50 + 30.3 = - 50 + 90 ==> Qo = 40 pts sera el precio
En el equilibrio
Qd = 100 - 20.3 = 100 - 60 ==> Qd = 40 bienes demandados
65
Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barce-
lona y Valencia. El número total de ejecutivos de las tres delegaciones
asciende a 31. Para que el número de ejecutivos de la delegación de
Barcelona fuese igual al de Madrid, tendrían que trasladarse tres de
ellos de Madrid a Barcelona. Además, el número de los ejecutivos de
Madrid excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciu-
dades. ¿Cuántos ejecutivos están destinados en cada ciudad? (PAU).
x ejecutivos en Madrid y ejecutivos en Barcelona z ejecutivos en Valencia
–
x = 16 ejecutivos en Madrid.
16 – y = 6; y = 10 ejecutivos en Barcelona.
– – ; z = 5 ejecutivos en Valencia.
66
Una tienda vende una clase de calcetines a 12€ el par. Al llegar las
rebajas, realiza durante el primer mes un 30% de descuento sobre el
precio inicial y en el segundo mes hace un 40% también sobre el pre-
cio inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares de calcetines por
5976€ y que durante las rebajas ha vendido la mitad de dicho total, ¿a
cuántos pares de calcetines se les ha aplicado el descuento del 40%? .
X calcetines a 12€ .
Y calcetines al 30% de 12€ ; 30/100 · 12 = 3´6 ; 12 - 3´6 = 8´4 € .
Z calcetines al 40% de 12€ ; 40/100 · 12 = 4´8 ; 12 – 4´8 = 7´2 € .
==>
Por Gauss
==> Z = 120 pares al 40%
Y = 300 – 120 = 180 pares al 30%
X = 600 – 180 – 120 ==> X = 300 pares sin rebaja.
67
68
SISTEMAS DE ECUACIONES
Dado el sistema ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.
b) Resolver el sistema para 3a , c) resolver el sistema para el valor
de a que lo haga compatible indeterminado, por el método de Gauss.
(PAU Septiembre 2007)
a) Llamamos C a la matriz de los coeficientes y A a la matriz ampliada
aaaaa
a
C 22 22
111
20
11
Si 02 aaC 1
0
a
a
0a y 1a Rango (C) = Rango (A) = 3 = nº de incognitas El
sistema es compatible determinado. Solución única.
Si 0a
1
22
1
zyx
y
zx
1111
2020
1101
rg
13 ff
0010
2020
1101
rg
12
2 ff
2000
2020
1101
rg
20
1
1
z
y
zx
Sistema incompatible, no existe
solución.
b) Si 3a , resolvemos el sistema por el método de Gauss:
1111
2320
1131
rg
13 ff
0020
2320
1131
rg
23 ff
2300
2320
1131
rg
1
2 2
1
x ay z
y az
x y z
69
El sistema es:
23
232
13
z
zy
zyx
z = 2/3 2y = 2 -2 = 0 y = 0
x + 2/3 = 1 x = 1/3
c) Si 1a , el sistema es: 22
1
zy
zyx
70
Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parámetro real a:
los distintos valores de a. b) Resolver el sistema para a = 4.
(PAU Junio 2007)
a) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada:
–
–
71
)
72
PROGRAMACIÓN LINEAL.
En un taller se fabrican jerseys de lana de dos tipos. El primer tipo
consume, por jersey, 4 madejas de 350 pesetas y 2 madejas de 300 pe-
setas. El segundo tipo, 3 madejas de 350 pesetas y 3 de 320 pesetas. Los
gastos de fabricación son de 650 pesetas para el primer tipo y de 1900
pesetas para el segundo, siendo sus precios respectivos de venta 5000 y
6600 pesetas. Sabiendo que a la semana no se pueden fabricar más de
100 jerseys y que por limitaciones de tecnología, por cada jersey del se-
gundo tipo hay que confeccionar por lo menos tres del primero, se pide
obtener cual debe ser el número de jerseys de cada tipo, fabricados a la
semana, para obtener el máximo beneficio.
La función z es la del beneficio, que luego haremos máximo.
El beneficio por la venta de 1 jersey de cada tipo será:
precio venta (gastos fabricación + nº madejas . precio + nº madejas . precio)
1er tipo: 5000 - (650 + 4350 + 2300) = 500 - 2650 = 2350
2do tipo: 6600 – (1900 + 3350 +3320) = 6600 - 3910 = 2690
Si se fabrican x jerseys del 1er tipo e y jerseys del 2do tipo
Z = 2350 · x + 2690 · y función objetivo
Las restricciones serán:
No se pueden fabricar mas de 100 jerseys es decir x + y 100
Por cada jersey del 2do tipo hay que confeccionar al menos 3 del 1er tipo es decir
3y x
x 0
Por último como el nº de jerseys no puede ser negativo
y 0
El problema por tanto será maximizar la función la función Z = 2350x + 2690y
x + y 100
3y x
Cumpliendo las restricciones
x 0
y 0
x + y 100 ; x + y = 100 x y
73
0 100 El punto (0,0) 0 100 Es valido
100 0
3y x ; 3y – x = 0 x y
0 0 El punto (100,0) 0 100 Es valido
300 100
Z = 2350 x + 2690 y ;
A (100,0) ; C(0,0)
3 y = x
B
y + x = 100
y + 3y = 100 4y = 100
y = 25 ; x = 75 B( 75, 25)
La región factible es el triangulo ABC incluidos sus lados.
Z(A) = 2350 . 100 + 2690 . 0 = 235000
Z(B) = 2350 . 75 + 2690 . 25 = 176250 + 67250 = 243500
Z(C) = 0
B (75,25) es el punto máximo (optimo) , luego se fabricaran 75 jerseys del primer tipo y
25 jerseys del segundo tipo.
74
En una encuesta realizada por TV, se detecta que un programa A
con 20 minutos de variedades y 1 minuto de publicidad, capta 30000
espectadores, mientras que otro programa B con 10 minutos de varie-
dades y 1 minuto de publicidad capta 10000 espectadores. En un deter-
minado periodo de tiempo, TV decide dedicar 80 minutos de varieda-
des y los anunciantes 6 minutos de publicidad. ¿Cuántas veces deberá
de aparecer cada programa con objeto de captar el máximo número de
espectadores?.
Si x es el numero de veces que se emite el programa A.
Si y es el numero de veces que se emite el programa B.
La funcion objetivo a maximizar sera Z = 30000 · x + 10000 · y
En variedades 20 · x + 10 · y 80 x 0
y las restricciones:
En publicidad 1 · x + 1 · y 6 y 0
20x + 10y 80 2x + y = 8 x y Tomo (0,0) 0 80 si vale
0 8
4 0
x + y 6 x + y = 6 x y Tomo (0,0) 0 6 si vale
0 6
6 0
75
A(6,0) C(0,8)
x + y = 6
B: - x = - 2 x = 2 e y = 4 B(2,4)
2x + y = 8
Evaluemos la funcion objetivo z = 30000 x + 10000 y
Z(A) = 30000 · 6 + 10000 · 0 = 180000
Z(B) = 30000 · 2 + 10000 · 4 = 100000
Z(C) = 30000 · 0 + 10000 · 8 = 80000
Para captar el numero de espectadores maximo que seria de 180000, se necesita que
aparezca 6 veces el programa A y ninguna el programa B.
Sea Z = ½ x + 3y con las restricciones x + 6y 18 ; 8x + 3y 24 ;
x 0 ; y 0 Hallar los valores de x e y para que la Z sea maximo.
La region factible es la misma que antes
C(0,8) B(18,0) A(2,8/3) son los vértices que sustituiremos en Z
Z(A) = ½ ·2 + 3 ·8/3 = 1 + 8 = 9
Hay 2 puntos con la misma Z , en este caso las so-
Z(B) = ½ · 18 + 3 · 0 = 9
luciones seran todos los puntos de la recta x + 6y = 18
Z(C) = ½ · 0 + 3 · 8 = 24
76
Una empresa farmacéutica fabrica una vitamina en ampollas, que
debe contener, al menos, 10 unidades de vitamina p y 24 unidades de
vitamina q en cada ampolla. Dichas vitaminas se pueden obtener de
dos compuestos A y B. A contiene 1 unidad de vitamina p y 8 unidades
de vitamina q por cada gramo y B contiene 6 unidades de la p y 3 de la
q, también por cada gramo. Si el producto A cuesta 15 céntimos por
gramo y el B cuesta 30 céntimos por gramo, determinar las cantidades
de cada producto que se deben de tomar para cada ampolla, a fin de
que el coste sea mínimo.
Sea x la cantidad tomada de A e y la cantidad tomada de B.
La funcion objetivo sera Z = 15 x + 30 y
Para la vitamina p 1·x + 6·y 18 al menos
Las restricciones seran:
Para la vitamina q 8·x + 3·y 24 al menos
Ademas x 0 e y 0 como minimo.
1·x + 6·y 18 x + 6y = 18 x y Tomo (0,0) 0 18 no vale
0 3
18 0
8·x + 3·y 24 8x + 3y = 24 x y Tomo (0,0) 0 24 no vale
0 8
3 0
C(0,8) B(18,0)
77
x + 6y = 18 x + 6y = 18
A: - 15 x = - 30 x = 2 ; 2 + 6y = 18
8x + 3y = 24 - 16x – 6y = - 48 6y = 16 y = 8 / 3
A ( 2, 8/3)
Z(A) = 15·2 + 30· 8/3 = 30 + 80 = 110 centimos
Z(B) = 15·18 + 30·0 = 270 centimos
Z(C) = 15·0 + 30·8 = 240 centimos
El coste minimo sera de 110 centimos y para ello tomaremos 2 gramos de producto A y
8/3 gr de producto B
78
Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kgs de
titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo
A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras
que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de
cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100
metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable
tipo B, 1000 euros.
Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para
maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio máxi-
mo.
x = metros de cable A · 100 // y = metros de cable B · 100
-Función objetivo Z = 1500x + 1000y
-Restricciones:
10x + 15y ≤ 195 (÷5) 2x + 3y ≤ 39
2x + y ≤ 20 2x + y ≤ 20
x + y ≤ 14 x + y ≤ 14
x ≥ 0 x ≥ 0
y ≥ 0 y ≥ 0
2x + 3y = 39 x = 0 y = 13 / x = 39/2 y = 0
2x + y = 20 x = 0 y = 20 / x = 10 y = 0
x + y = 14 x = 0 y = 14 / x = 14 y = 0
x = 0
20
15
(1)
E
10 D
REGIÓN
C
5 FACTIBLE
A B
y = 0
(2) (3)
5 10 15 20
79
Rectas:
(1): 2x + 3y = 39
(2): 2x + y = 20
(3): x + y = 14
Puntos:
A (0,0)
B (10,0)
2x + y = 20
C = x = 6 ; y = 8 C (6,8)
x + y = 14
2x + 3y = 39
D = y = 11 ; x = 3 D (3,11)
x + y = 14
E (0,13)
Búsqueda de beneficio máximo
Z (A) = 0 €
Z (B) = 1500 · 10 + 1000 · 0 = 15000€
Z (C) = 1500 · 6 + 1000 · 8 = 17000€ MÁXIMO
Z (D) = 1500 · 3 + 1000 · 11 = 15500€
Z (E) = 1500 · 0 + 1000 · 13 = 13000€
El beneficio máximo es de 17000€ por cada 100 metros cuando se usan 600 metros de
cable de tipo A ( x = 6 · 100) y 800 metros de cable de tipo B ( y = 8 · 100)
80
Una papelería quiere liquidar hasta 78kg de papel reciclado y hasta
138 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los
lotes A están formados por 1 kg del papel reciclado y 3 kg de papel
normal y los lotes B por 2 kg de papel de cada clase. El pecio de venta
de cada lote A es de 0,9 euros y el de cada lote B es de 1 euro. ¿Cuántos
lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto
ascienden estos ingresos máximos?
Papel reciclado hasta 78 kg
Papel normal hasta 138 kg
A 1 kg papel reciclado → cada lote se vende a 0,9 €
3 kg papel normal
B 2 kg papel reciclado → cada lote se vende a 1 €
2 kg papel normal
x lotes de A , y lotes de B para maximizar ingresos
z = 0,9 x + 1 y
x + 2y ≤ 78 x + 2y = 78 3x + 2y = 138
3x + 2y ≤ 138
x ≥ 0
y ≥0
x y
0 39
78 0
x y
0 69
46 0
81
Los vértices son:
A (0,0)
B (46,0)
D (0,39)
C x + 2y = 78 → 2y = 78 – 30 = 48 ; y = 24 C (30,24)
3x + 2y = 138 → 2x = 60 ; x = 30
z (A) = 0+0 = 0 €
z (B) = 0,9 · 46 + 1 · 0 = 41,4 €
z(C) = 0,9 · 30 + 1 · 24 = 27 + 24 = 51 24 = 27 + 24 = 51 €
z (D) = 0,9 · 0 + 1 · 39 = 39 €
Para que los ingresos sean máximos se deben vender 30 lotes A y 24 lotes B.
Los ingresos ascienden a 51 €.
82
Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos
almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2.000 y 3.000
euros por tonelada, res-pectivamente. Cada almazara le vende un
mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda,
el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El
distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el doble de
aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el
distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo
coste? Determínese dicho coste mínimo.
X Tn de aceite al almacen A
Y Tn de aceite al almacen B
Z = 2000 · x + 3000 · y
2 ≤ x ≤ 7
2 ≤ y ≤ 7 x y x y
x + y ≥ 6 x + y = 6 0 6
6 0
x ≤ 2y x = 2y x y
0 0
2 1
A (4, 2) Z (A) = 14000
B (7, 7/2) Z (B) = 24500
C (7, 7) Z (C) = 35000
D (2, 7) Z (D) = 25000
E (2, 4) Z (E) = 16000
- El coste mínimo es en A, es de 14000 €
- Debe comprar 4 Tn a A y 2 Tn a B.
83
Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de man-
zanas. Dos mayoristas que pueden suministrarle, solo le venden la fru-
ta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contene-
dor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El B envía en
cada contenedor 2 cajas de manzanas, 1 de plátanos y 7 de manzanas.
Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km. de distancia y el
B se encuentra a 300 Km., calcula cuantos contenedores habrá que
comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, re-
duciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.
Si tomamos x contenedores de A e y contenedores de B.
La función objetivo a minimizar será la distancia a recorrer: z =150x + 300y
Restricciones:
Naranjas: 8 cajas · x contenedores + 2 cajas · y contenedores ≥
16 cajas necesarias.
Plátanos: 1 caja · x contenedores + 1 caja · Y contenedores ≥
5 cajas necesarias.
Manzanas: 2 cajas · x contenedores + 7 cajas · y contenedores ≥
20 cajas necesarias.
El problema es:
Minimizar la función z = 150x + 300y con las restricciones
8x + 2y ≥ 16 x ≥ 0
x + y ≥ 5 y ≥ 0
2x + 7y ≥ 20
8x + 2y ≥ 16; Represento 4x + y = 8 x + y ≥ 5; Represento x + y = 5
x y x y
0 8 0 5
2 0 5 0
2x + 7y ≥ 20; Represento 2x + 7y = 20
x y
10 0
3 2
84
La región factible es el plano abierto con los puntos A, B, C, D, E incluidos sus lados.
x + y = 5 x = 5 - y
B (0,8) E (10,0) C =
8x + 2y =16 8 (5 - y) + 2y = 16; 40 – 8y + 2y = 16
-6y = -24; y = 4 x = 5 – 4; x = 1 C (1,4)
x + y = 5 x = 5 - y
D =
2x + 7y = 20 2 (5 - y) + 7y = 20; 10 - 2y + 7y = 20; 5y = 10; y = 2
x = 5 – 2; x = 3 D (3,2)
Evaluemos la función objetivo z = 150x + 300y
Z (B) = 150 · 0 + 300 · 8 = 2400
Z (C) = 150 · 1 + 300 · 4 = 1350 El mínimo se alcanza en D (3,2).
Z (D) = 150 · 3 + 300 · 2 = 1050
Z (E) = 150 · 10 + 300 · 0 = 1500
Por tanto, el frutero compra 3 contenedores al mayorista A y 2 contenedores al
mayorista B.
85
Una aerolínea quiere optimizar el número de filas de clase preferen-
te y de clase turista en un avión. La longitud útil del avión para insta-
lar las filas de asientos es de 104 m, necesitándose 2 m para instalar
una fila de clase preferente y 1,5 para las de clase turista. La aerolínea
precisa instalar al menos 3 filas de clase preferente y que las filas de
clase turista sean como mínimo el triple de las de clase preferente. Los
beneficios por fila de clase turista son de 152 € y de 206 € para la clase
preferente. ¿Cuántas filas de clase preferente y cuántas de clase turista
se deben instalar para obtener el beneficio máximo? Indicar dicho
beneficio.
Sean x= Número de filas de clase preferente e y = Número de filas de clase turista.
Planteamos el sistema de inecuaciones, dibujamos la región factible y calculamos sus
vértices:
=>
4x + 3y = 208 =>
Se dibuja la recta
y el punto (0,0) => 0 , luego vale la región por debajo de la recta
y = 3x =>
Se dibuja la recta y el punto (10,0) => 0 ,
No vale la región por debajo de la recta , luego valdrá por encima
86
Tomando los valores de
Queda como región factible el triangulo de vértices A, B y C de la figura en azul
Los vértices de la región factible son:
=> A(3, 196/3)
=> B(16, 48)
=> C(3, 9)
La función beneficio es: f(x,y) = 206 x + 152 y
Estudiamos cómo se comportan los vértices de la región factible:
Z(A) = 206·3 + 152·196/3 = 10548,67 €
Z(B) = 206·16 + 152·48 = 10592 €
Z(C) = 206·3 + 152·9 = 1986 €
Para obtener el beneficio máximo se deben instalar: 16 filas de clase preferente y 48
filas de clase turista. El beneficio será de 10.592 €.