resolver problemas de geomertria

Cmo resolver problemas de

Geometra?

por

Mara Molero Aparicio, IES Juan de la Cierva de Madrid

Al principio, toda la Matemtica se reduca a problemas de Geometra y Arit-

mtica. Los avances de la Matemtica en Egipto y Mesopotamia estaban asociados

a problemas prcticos de la vida cotidiana y posteriormente en Grecia, asociados

a la Filosofa, pasaron a ser problemas tericos.

En la antigua Grecia el origen de las Matemticas se puede situar en el siglo

VI a. C. con Tales (escuela jnica) y Pitgoras (escuela pitagrica), aunque no

tenemos documentos escritos anteriores a la poca de Platn en el siglo IV a. C.

Para los pitagricos la palabra nmero slo designaba a los naturales, una frac-

cin era slo una relacin o razn entre dos magnitudes del mismo tipo. Un grave

problema en la escuela fue conocer la existencia de segmentos inconmensurables

ya que contradeca su losofa basada en que el nmero y sus relaciones eran la

esencia del universo, pero esto ms que un inconveniente fue el descubrimiento de

los nmeros irracionales.

Los tres problemas clsicos de la Matemtica griega: la cuadratura del crculo,

la duplicacin del cubo y la triseccin de un ngulo han persistido durante siglos

hasta demostrar que no tienen solucin.

El problema de la cuadratura del crculo consiste en construir con regla y com-

ps un cuadrado de igual rea que un crculo dado, propuesto por Anaxgoras (siglo

V a.C.), cuando estaba en prisin, no fue resuelto hasta 1882 por Lindemann que

demostr que el problema no tiene solucin ya que es trascendente.El problema la duplicacin del cubo est asociado a una leyenda. En el siglo V

a. C. se hace una consulta al orculo de Delfos para combatir una horrible peste

en Atenas, la respuesta del orculo fue que haba que duplicar el altar cbico de

Apolo. Los atenienses duplicaron la arista del altar, pero la peste no ces, lo cual

117

118 Un Paseo por la Geometra

se interpret como que el volumen haba aumentado ocho veces y no dos. Menecmo

(siglo IV a. C.) observ que el problema consiste en encontrar el punto de corte de

dos cnicas, pero no se puede resolver con regla y comps, esta demostracin junto

con la imposibilidad de dividir en tres partes un ngulo cualquiera, la triseccin

de un ngulo, se deben a Wantzel

1

(1837).

No resulta fcil fechar con precisin el nacimiento del razonamiento deductivo

pero es evidente que surgi entre los siglos VI y IV a. C. y se consolid en la gran

obra de la Matemtica griega, Los Elementos, escrita por Euclides (300 a. C.), que

era una especie de libro de texto que contena los fundamentos de lo que en la

poca se consideraba matemtica elemental.

Esta obra, la ms famosa de las matemticas, escrita con mucho rigor y desa-

rrollada en un perfecto orden lgico, no slo ha sido el libro de texto para muchos

estudiantes, sino que tambin ha sido el modelo para escribir y difundir una teora

matemtica y para determinar el modo de comunicar y ensear conocimientos del

profesorado de matemticas a lo largo de la historia.

En las clases de matemticas, durante muchos siglos, nos hemos olvidado de

los problemas, cuya solucin fue un elemento clave para construir y desarrollar

una teora matemtica, y hemos enseado como habamos aprendido, desarrollan-

do conocimientos con mucho rigor y en un perfecto orden lgico, priorizando el

razonamiento deductivo, es decir, con la metodologa de Los elementos, relegando

la resolucin de problemas a una tarea personal en la que el estudiante bucea de

forma intuitiva la mejor forma de resolver un problema.

1. Qu es un problema?

Un problema matemtico es una situacin en la que hay un objetivo que con-

seguir superando una serie de obstculos, siempre que el sujeto que afronta la

situacin no conozca procedimientos o algoritmos que le permitan alcanzar el ob-

jetivo.

Un problema tiene distinta calicacin en funcin de la persona que se lo

plantee, y es evidente que lo que son problemas para unos no lo son para otros. As

cuando una persona sabe los rudimentos del lenguaje algebraico, un problema que

pueda resolverse planteando una ecuacin de primer o segundo grado o un sistema

de ecuaciones no es un problema, sino un ejercicio al que se le aplica una regla

ja que es la notacin algebraica y los algoritmos para resolver las ecuaciones que

resultan. Tambin es distinto un problema de una investigacin, que al ser un pro-

ceso ms abierto, es la persona quien se plantea el objetivo que quiere conseguir.

As, cuando un estudiante al resolver un problema se hace preguntas, intentando

generalizar el resultado o modicar las condiciones iniciales, est realizando una

1

Artculo: Recherches sur les moyens de reconnatre si un problme de gomtrie peut se

rsoudre avec la rgle et le compas

Cmo resolver problemas de Geometra? 119

investigacin. Podemos pues distinguir entre ejercicio, problema, e investigacin.

Las caractersticas de un buen problema, el que consigue involucrarnos en el

proceso de su resolucin, dependen de los conocimientos y las habilidades de la

persona que se lo plantea, y desde esta perspectiva, existen rasgos que caracterizan

los buenos problemas:

Es una tarea abordable que creemos poder resolver.

Parece un reto interesante, sin trampas.

Supone un desafo a las capacidades matemticas de un buen resolutor de

problemas.

Su resolucin proporciona el tipo de placer asociado a un desafo intelectual.

2. La heurstica

El trmino fue introducido por Polya (1945) en su primer libro sobre resolucin

de problemas How to solve it en el captulo Breve diccionario de heurstica en el

que matiza el concepto, que hasta entonces tena, ars inveniendi, como la rama

del saber que estudia los mtodos de la invencin y del descubrimiento y con el

nombre de heurstica moderna le atribuye un contenido ms preciso que consiste

en descubrir el conjunto de procesos mentales que intervienen en la resolucin de

problemas y es ste el signicado que ha prevalecido desde entonces.

La heurstica como arte de resolver problemas trata de desvelar el conjunto

de actitudes, procesos generales, estrategias y pautas que favorecen la resolucin

de problemas en general y en particular de los problemas matemticos.

El mtodo heurstico favorece la adquisicin de conceptos, que se van formando

paulatinamente mediante pruebas y refutaciones, frente al mtodo deductivo en el

que se pretende dotar de signicado a una palabra mediante una denicin formal.

En cierta forma la heurstica, respecto a su mtodo y no necesariamente a con-

tenidos explcitos, asume la ley biogentica segn la cual, la ontognesis (desarrollo

del ser) repite la lognesis (desarrollo de la especie). Es decir, el proceso de desar-

rollo del pensamiento matemtico en cada persona debe ser similar a su desarrollo

histrico. Esto no implica que cada concepto matemtico haya que introducirlo

necesariamente mediante su gnesis histrica (aunque muchas veces estas referen-

cias pueden ser muy beneciosas e instructivas para la formacin y consolidacin

de conceptos), sino que se reere esencialmente a repetir el mtodo y los procesos

generales de razonamiento que han hecho surgir histricamente el pensamiento

matemtico.


3. Historia de la resolucin de problemas

En la historia de la resolucin de problemas hay un antes y un despus, deter-

minados por los trabajos de G. Polya desde 1945 hasta los aos sesenta

2

.

Como antecedentes histricos podemos remontarnos al primer gran estudioso

de heurstica conocido Pappus de Alejandra (320. Libro VI) con reexiones propias

sobre procesos de razonamiento, utilizando un mtodo de anlisis-sntesis. Leibniz

(1646-1716), en su publicacin Arte de la invencin de la que slo se conservan

anotaciones y B. Bolzano (1781-1848) que dedica especial atencin a la heurstica

en sus trabajos de lgica.

Como precursor para establecer fases en el proceso de resolucin de problemas

se puede citar a Wallas que en The Art of Thought (1929) describe el proceso de

invencin dividido en cuatro fases:

1) Preparacin: Recogida de informacin y primer intento de solucin; 2) In-

cubacin: Dejar el problema de lado; 3) Iluminacin: Aparicin de una idea clave;

4) Vericacin: Se comprueba la solucin.

El verdadero impulsor del proceso de resolucin de problemas, como antes se ha

comentado, fue G. Polya. El modelo terico que desarrolla incluye un diccionario de

heurstica que agrupa las estrategias, las pautas, los procesos generales, los mtodos

de demostracin, las emociones,... que intervienen en la resolucin de problemas.

Considera que el razonamiento heurstico, aunque poco riguroso, resulta un mtodo

muy plausible para resolver un problema y compara la intuicin y la demostracin

formal con la percepcin de un objeto por dos sentidos diferentes.

Considera la resolucin de problemas como un proceso lineal en el que establece

cuatro fases:

1) Comprender el problema; 2) Concebir un plan; 3) Ejecutar un plan; 4)

Examinar la solucin obtenida. En cada una de estas fases hay una serie de pautas

o sugerencias heursticas que pretenden jar la atencin sobre aspectos concretos

del problema, para sugerir ideas que permitan avanzar en su resolucin.

A nales de los sesenta el trabajo de Kilpatrick introduce el concepto de proto-

colo que es el acta en que queda constancia de los fenmenos interesantes que han

ocurrido a lo largo de nuestra ocupacin en el problema y el trabajo de I. Lakatos

3

es una crtica al pensamiento formalista de la poca.

Despus de Polya, los trabajos ms importantes son los de A. Schoenfeld, que

en Mathematical problem solving (1985) introduce una nueva perspectiva en el

proceso. Mientras Polya estudia y describe al resolutor ideal, Schoenfeld basa su

estudio en resolutores reales e intenta categorizar sus conductas y describir el

proceso como un conjunto de episodios.

2

Mathematics and Plausible Reasoning (1954) y Mathematical Discovery (1962 -1965)

3

Proofs and Refutations. The Logics of Mathematical Discovery (1976)


Tambin en la dcada de los ochenta se desarrolla el trabajo de L. Burton que

aparece en Thinking Things Through (1984) y Thinking Matemathecally (1882) de

J. Mason, L. Burton y K. Stacey. Lo ms relevante de este modelo es diferenciar

el proceso de pensamiento de la propia conciencia del proceso, y la importancia

que tienen las emociones del resolutor, que consideran elementos indispensables

en el proceso de razonar matemticamente. A pesar de que se considera que la

resolucin de problemas es una tarea compleja, que no se lleva a cabo de forma

lineal, se presenta dividida en tres fases: Abordaje, Ataque y Revisin.

Entre los modelos de resolucin de problemas de esta dcada est el que propone

Goldin (1983), que no es un modelo de fases sino de los lenguajes implicados en

el proceso, formulado como un modelo de competencia o el de J. D. Bransford

y B. S. Stein Solucin ideal de problemas. Gua para mejor pensar, aprender y

crear (1986), en el que los problemas matemticos son un caso particular de los

cotidianos, el proceso queda divido en 5 fases utilizando las letras de la palabra

IDEAL: I = Identicacin, D = Denicin, E = Exploracin, A = Actuacin, L

= Logros alcanzados.

En Espaa en 1991 se publica Para pensar mejor de Miguel de Guzmn en el

que se destaca la identicacin de los distintos tipos de bloqueos, la importancia de

la actividad subconsciente en el proceso de resolucin de problemas, el desarrollo de

la creatividad, y la importancia de realizar un protocolo en el proceso de resolucin.

En Cmo hablar, demostrar y resolver en Matemticas (2003) reexiona sobre la

organizacin de una clase de problemas y las tcnicas que la facilitan como el

torbellino de ideas o el trabajo en grupo.

4. Fases de los modelos de resolucin de problemas

Algunos modelos de resolucin de problemas consideran el proceso dividido en

fases, que el resolutor recorre de forma ms o menos lineal, ya que es conveniente

concluir cada fase para pasar a la siguiente. Estas fases no siempre se presentan

explcitamente, depende del tipo de problema y de su dicultad. Adems tampoco

se presentan aisladas, sino que cada fase interere con la anterior y con la siguiente.

4.1. Modelo de Polya

En el modelo de resolucin de problemas que propone Polya se establecen

cuatro fases: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y examinar

la solucin. En cada una de estas fases hay una serie de pautas o sugerencias

heursticas que pretenden jar la atencin sobre aspectos concretos del problema,

para sugerir ideas que permitan avanzar en su resolucin. No todas las pautas sirven

para todos los problemas, sino que forman un conjunto de posibilidades entre las

que debemos elegir aquellas que se adaptan a cada problema determinado. No

pretende enfrentarse a un problema con una lista de sugerencias heursticas, sino


interiorizarlas para que posteriormente surjan de forma espontnea.

Comprender el problema. Es una fase de preparacin donde se examina

la situacin, se manipula para entenderla mejor y se relaciona con situaciones

semejantes. En esta fase se pretende que despus de leer el enunciado del problema

y aceptar el reto de resolverlo seamos capaces de contestar las siguientes preguntas:

Cules son los datos? Cul es la incgnita? Cul es la condicin?.

Concebir un plan. Consiste en determinar las estrategias que transforman

el problema, facilitan la solucin y averiguar las conexiones entre los datos y las

incgnitas. Si nos encontramos atascados las preguntas que nos pueden ayudar a

superar el bloqueo son las siguientes: Qu relacin tienen los datos entre s? Qu

se puede deducir a partir de los datos? Se puede dividir el problema en partes?

Se puede enunciar el problema de forma diferente? Y si el problema no tiene

solucin? Hay algn dato contradictorio en el problema? Hay alguno redundante

o irrelevante? Al nal de esta fase se debe tener un plan de resolucin.

Ejecutar un plan. En esta fase se realizan los clculos y operaciones nece-

sarios para aplicar los procedimientos y estrategias elegidos en la fase anterior.

Es importante tener en cuenta las siguientes sugerencias: Se ha comprobado cada

uno de los pasos? Se puede justicar que cada paso es correcto?.

Ante las dicultades no hay que desistir hasta ver claramente que el plan no

es vlido y en ese caso hay que ser exible, abandonarlo y volver a la fase anterior

de bsqueda.

Examinar la solucin. Consiste en examinar a fondo el camino seguido, com-

probar clculos, razonamientos, que la solucin corresponde al problema propuesto,

localizar rutinas tiles, resolverlo de una forma ms sencilla o ms elegante, as

como intentar generalizarlo a un contexto ms amplio, buscar nuevos problemas

relacionados y la posible transferencia de resultados, mtodos y procesos.

Las pautas heursticas asociadas a esta fase son: Se puede vericar el resultado

y el razonamiento? Puede haber otra solucin? Se puede resolver de otra forma?

Se puede generalizar el resultado? Se puede plantear con datos ms generales?.

4.2. Problema Regiones, con el modelo de Polya

Como ejemplo, de este modelo, se analiza el siguiente problema, poniendo de

maniesto las fases de resolucin.

Problema Regiones: Si n rectas de un mismo plano se cortan dos a dos enpuntos distintos, se parte as el plano en regiones distintas. Cul es el nmero de

esas regiones?


Comprender el problema.

El primer paso es comprender bien el enuncia-

do. Lo normal cuando se plantea este problema en

clase, es que comiencen a dibujar casos particula-

res.

Cuando se dibujan tres rectas se observan: tres

puntos, tres segmentos nitos, seis semirrectas y

siete regiones, una nita y 6 innitas.

Concebir un plan. Lo primero que intenta el alumnado es relacionar los

puntos, las semirrectas y los segmentos con las regiones para lo que tiene que

analizar casos particulares de forma sistemtica.

Suelen llegar a diferentes conclusiones como que el nmero de semirrectas es el

doble que el nmero de rectas y que adems este valor coincide con el nmero de

regiones innitas. A veces tambin observan que el nmero de segmentos nitos

e innitos que hay en cada recta coincide con el nmero de rectas, por lo que el

nmero total de segmentos es el cuadrado del nmero de rectas.

Sin embargo no parece fcil relacionar el nmero de puntos y segmentos con el

de regiones por lo que parece adecuado realizar una tabla para buscar regularidades

en funcin de los resultados.

Rectas Puntos Regiones Segmentos Semirrectas

2 1 4 4 4

3 1 + 2 = 3 4 + 3 = 7 9 6

4 3 + 3 = 6 7 + 4 = 11 16 8

5 6 + 4 = 10 11 + 5 = 16 25 10

6 10 + 5 = 15 16 + 6 = 22 36 12

Ejecutar un plan. Dadas n rectas, sea Pn el nmero de puntos, Rn el nmerode regiones y Sn el nmero de segmentos (los nitos y las semirrectas), entonces:

Nmero de puntos con n rectas, Pn:


Ley de recurrencia: Pn = Pn1 + n 1, Hiptesis: Pn = Cn;2,donde Cn;m es el nmero combinatorio

n

m

=

n!

m!(nm)! .

Nmero de regiones con n rectas, Rn:

Ley de recurrencia: Rn = Rn1 + n, Hiptesis: Rn = 1 + Cn+1;2,

Rn = 4 + 3 + 4 + 5 + 6 + + nRn = 1 + (1 + 2 + 3 + + n)Rn = 1 + (n+ 1)

n

2Rn = 1 + Cn+1;2:

El nmero de segmentos (incluyendo las semirrectas) con n rectas es Sn = n2.

El nmero de semirrectas coincide con el nmero de regiones innitas, y es

2n.

Examinar la solucin.

Cada punto es la interseccin de dos rectas, por lo tanto, Pn = Cn;2.

El nmero de segmentos es el cuadrado del nmero de rectas: en cada una

de las rectas hay n 1 puntos y n segmentos (nitos y semirrectas) y comohay n rectas se tiene que Sn = n

2.

El nmero de semirrectas es el doble que el nmero de rectas, 2n, y, esevidente, que este valor coincide con el nmero de regiones innitas.

La hiptesis respecto al nmero de regiones es cierta demostrada por induc-

cin.

Para n = 2 el nmero de regiones es 4. Supuestacierta para n rectas, aadimos una nueva recta. Seobserva que con la nueva recta se aaden n nuevospuntos y n+ 1 nuevos segmentos (2 son semirrec-tas) que dividen en dos n+1 regiones por lo tantohay n+ 1 regiones ms y

Rn+1 = Rn + n+ 1

Rn+1 = 1 + (n+ 1)n

2+ n+ 1 = 1 +

(n+ 1)(n+ 2)

2= 1 + Cn+2;2:

Y queda demostrada la hiptesis de induccin.


Generalizacin el resultado: Qu ocurrira si p de las n rectas fueran paralelas?Y si q rectas de las n convergen en un mismo punto?

4.3. Modelo de Mason-Burton-Stacey

Este modelo analiza el pensamiento y la experiencia matemtica en general, que

engloba como un caso particular la resolucin de problemas. Adems muestra la

inuencia que tiene el desarrollo del razonamiento matemtico en el conocimiento

de nosotros mismos y del mundo que nos rodea.

Las emociones de quien resuelve el problema, son elementos indispensables en

el proceso de razonar matemticamente, ya que surge una situacin en la que se

mezclan contradiccin, tensin y sorpresa en una atmsfera de preguntas, retos y

reexiones.

Otra caracterstica es el enfoque positivo que se concede al hecho de estar

atascado o atascada, que se considera una situacin muy digna y constituye una

parte esencial del proceso de mejora del razonamiento, valorando ms un intento

de resolucin fallido que una cuestin resuelta rpidamente y sin dicultades. Ya

que lo que importa no son las respuestas sino los procesos.

Una sugerencia importante es dejar por escrito todo el proceso de resolucin

con objeto de poder recordar y reconstruir un momento determinado del problema

y como un mtodo para superar el bloqueo, cuando el resolutor/a se encuentra

sin saber que hacer. Tambin son importantes los rtulos que son smbolos que

indican los estados de nimo por los que se pasa, las ideas felices, los bloqueos y

las situaciones delicadas en las que hay peligro de equivocarse.

La actividad de razonar se describe, como si hubiera un agente externo dentro

de nosotros mismos, que nos aconseja lo que tenemos que hacer, lo denominan mo-

nitor interior y acta como un tutor que vigila los clculos y los planes a ejecutar,

identica los estados emocionales sugiriendo alternativas, examina crticamente

los razonamientos y el proceso, y nos recuerda que hay que revisar y generalizar

resultados, en denitiva controla el proceso de resolucin desde fuera.

A pesar de que los autores reconocen que la resolucin de problemas es una

tarea compleja, que no se lleva a cabo de una forma lineal, consideran tres fases:

Abordaje, Ataque y Revisin.

Abordaje. Esta fase est encaminada a comprender, interiorizar y familiar-

izarnos con el problema.

Despus de leer cuidadosamente el problema es necesario contestar las siguien-

tes preguntas: Qu es lo que s? Qu es lo que quiero? Qu es lo que puedo

usar?.

La fase puede darse por concluida cuando somos capaces de representar y

organizar la informacin mediante smbolos, diagramas, tablas o grcos.

Ataque. Es la fase ms compleja ya que en ella se trata de asociar y com-


binar toda la informacin de la fase anterior. Es en esta fase donde intervienen

las distintas estrategias heursticas que nos permiten acercarnos a la solucin del

problema.

Los estados de nimo ms caractersticos son el de estar Atascado! y el de las

ideas Aja! Los procesos matemticos fundamentales, que aparecen en esta fase,

son la induccin, que se materializa en el hecho de hacer conjeturas orientadas a

conseguir la solucin del problema, y la deduccin que pretende justicar dichas

conjeturas mediante las leyes lgicas a travs de los teoremas matemticos.

Revisin. Cuando se consigue una solucin es conveniente revisarla e intentar

generalizarla a un contexto ms amplio, para esto es necesario:

Comprobar la solucin, los clculos, el razonamiento y que la solucin corres-

ponde al problema.

Reexionar en las ideas, en los momentos clave, en las conjeturas y en la

resolucin.

Generalizar a un contexto ms amplio, buscar otra forma de resolverlo o

modicar los datos iniciales.

Tambin es importante redactar la solucin dejando claro qu es lo que se

ha hecho y porqu.

4.4. Problema Vaya corte!, con el modelo de Mason-Burton-Stacey

Como ejemplo de este modelo se considera el si-

guiente problema, intentando plasmar la situacin

que tiene lugar cuando se propone en una clase con

estudiantes.

Problema Vaya corte!: En una cuadricula

trazamos rectngulos que tengan un nmero entero

de cuadraditos en cada lado.Cul es el nmero de

cuadrados a los que corta la diagonal de un rectngu-

lo?

Fase de Abordaje. El primer paso es comprender bien el enunciado. La dia-

gonal del rectngulo puede cortar o no a los cuadrados que atraviesa, se considera

que no corta si slo contiene un vrtice.

Lo normal, cuando se plantea este problema en clase, es que comiencen a dibujar

casos particulares. Trazan distintos rectngulos y cuentan el nmero de cortes, a

veces hay que aconsejarles que realicen una tabla con los datos obtenidos. Tambin

es importante que elijan una buena notacin para los datos y la incgnita llamando,


por ejemplo, a y b al nmero de cuadrados de los lados del rectngulo y c al nmero

de cortes.

Otra forma de particularizar ms sistemtica, que aparece

usualmente cuando se propone este problema, es confeccionar

una tabla considerando el caso de un cuadrado y a contin-

uacin dejando un lado jo ir variando el otro.

En esta tabla la primera regularidad que observan es que

al aumentar una unidad uno de los lados, el corte va tambin

aumentando en una unidad. Y despus de esta observacin lo

normal es lanzarse a formular hiptesis.

a b c3 1 33 2 43 3 33 4 63 5 7

Fase de Ataque. La primera conjetura que establecen es que el nmero de

cortes c es igual a a+ b1 salvo en el caso especco de un cuadrado que entoncesno se verica.

Aunque parece correcta la solucin encontrada, no resulta satisfactorio ya que

no se verique para un cuadrado, es decir, que no se cumpla para un caso lmite.

Una vez que han formulado esta conjetura se les aconseja volver a leer el enun-

ciado y a particularizar ms con otros datos por ejemplo cambiando a = 3 pora = 4. Despus de considerar a = 4 con b = 5, b = 6, b = 7, b = 8, llegan a laconclusin de que si a+ b es impar c es igual a a+ b 1, si es par c vale a+ b 2y si uno es mltiplo del otro c es igual al mayor. Cuando se pregunta qu pasacuando dos nmeros verican dos de las condiciones? o cul de ellas hay que

aplicar primero?, se observa que el objetivo que tienen es encontrar rpidamente

una frmula general, sin la menor intencin de justicarla, haciendo gala del prin-

cipio de que si una frmula se verica para cinco casos se verica para todos. Ante

este bloqueo y con la suerte de tener quien les dirija, cosa que a todos nos gustara

tener cuando nos enfrentamos a un problema, se les propone considerar a = 12y b = 9 y se obtiene c = 18. An as les cuesta mucho aceptar que cualquierhiptesis ha de estar justicada. En este caso lo importante es considerar los casos

en los que la diagonal pasa por el punto vrtice comn de dos de los cuadraditos

y esto ocurre precisamente cuando los nmeros de cuadraditos de los lados tienen

divisores comunes.

Por ejemplo en el caso a = 4 y b = 8 el nmero de cortes es 8, y cada doscuadrados consecutivos, el corte es el mismo que en los dos cuadrados siguientes.

Luego, la solucin es cuatro veces lo que ocurre en el rectngulo a = 1 y b = 2, yc = 4(1 + 2 1). Por tanto la hiptesis c = a + b 1 es vlida cuando a y b sonprimos entre s. En caso contrario como a=mcd(a; b) y b=mcd(a; b) son primos entres, se tiene que el valor de c es igual a (mcd(a; b))(a=mcd(a; b)+ b=mcd(a; b)1), yel valor de c es a+bmcd(a; b). De esta manera, al intentar justicar la conjetura,se obtiene la solucin.

Fase de Revisin. Es muy difcil conseguir que los alumnos y alumnas, una


vez que han conseguido resolver el problema, comprueben clculos, razonamientos,

soluciones y revisen el proceso. Sin embargo, les gusta especialmente inventarse

nuevos problemas que lo generalicen.

En este caso, un problema ms general, en el que adems podemos utilizar los

logros conseguidos en ste, es considerar una cuadrcula formada por rectngulos.

5. Elementos del proceso de resolucin de problemas

En el modelo de resolucin de problemas que presentamos, consideramos en

primer lugar los procesos generales del pensamiento matemtico como son la gene-

ralizacin, la particularizacin, la inferencia, la deduccin, la creatividad, el trabajo

subconsciente y las tcnicas de demostracin matemtica, que son los ejes que

articulan la resolucin de problemas; las estrategias heursticas son herramientas

que nos permiten transformar el problema en otra situacin que nos acercan hacia

la solucin; las pautas heursticas son sugerencias que nos prestan una gran ayuda

en aspectos muy concretos del problema y en momentos de bloqueo.

Por ltimo hay actitudes que facilitan positivamente el proceso como son la

exibilidad, la perseverancia, el gusto por el riesgo y por afrontar situaciones que

supongan un reto, y la prctica de reexionar sobre la experiencia acumulada.

Al investigar a los buenos resolutores de problemas se han obtenido dos con-

clusiones: la primera es que la capacidad para resolver problemas mejora con la

prctica, la segunda es que el anlisis de los mtodos matemticos, as como el

de las distintas estrategias que intervienen en la resolucin de problemas tambin

mejora dicha capacidad.

5.1. Procesos generales del pensamiento matemtico

Particularizar. Particularizar consiste en concentrar la atencin en ejemplos

concretos, para entender mejor el signicado del problema. Es, adems, una sug-

erencia muy til para salir de una situacin en la que nos encontramos atascados,

porque proporciona seguridad en momentos clave en los que hay peligro de aban-

donar la tarea, tambin se utiliza para vericar una solucin. En este caso es con-

veniente, que aunque pensemos que una hiptesis es cierta, tengamos la habilidad

suciente de encontrar, si existen, las excepciones para refutar la regla.

Cuando elegimos ejemplos, podemos hacerlo de forma aleatoria, para hacernos

una idea del signicado del problema. Si lo hacemos de forma sistemtica, con

la vista puesta ms en el porqu que en el qu, preparamos el camino a la gene-

ralizacin y cuando los elegimos hbilmente estamos comprobando si el esquema

descubierto es o no el correcto.

Generalizar. Generalizar signica pasar de un conjunto de objetos a otro

conjunto ms amplio que contenga al primero. Es tambin descubrir una ley general


que permita justicar una conjetura, as como buscar un planteamiento ms amplio

del problema, cambiando el contexto, los datos o la solucin.

La generalizacin permite hacer conjeturas a partir de unos pocos ejemplos. Ser

sistemtico y ordenado a la hora de particularizar ayuda mucho para generalizar,

aunque es fcil engaarse y es preciso conseguir el equilibrio entre el crdulo que

acepta toda generalizacin y el demasiado escptico que no es capaz de dar un

salto en el vaco.

A veces generalizar un problema puede ser til para resolverlo si ste es un

caso particular de uno ms general que conocemos, como ocurre en el siguiente

problema de geometra del espacio que propone G. Polya: Dada una recta y un

octaedro regular en el espacio, determina un plano que contenga a la recta y divida

al octaedro en dos partes de igual volumen.

Este problema puede sugerirnos otro ms general: Dada una recta y un slido

en el espacio con centro de simetra, determinar el plano que contiene a la recta y

divide al slido en dos partes iguales.

El plano que tenemos que hallar pasa por el centro de simetra del slido. Luego

el problema inicial se reduce a calcular un plano que contiene a la recta y al centro

de simetra del octaedro.

Esto sugiere lo que llama G. Polya La paradoja del inventor: El plan ms

ambicioso puede ser tambin el mejor . Y aunque resulte paradjico ocurre a veces

que un problema ms general se resuelve ms fcilmente que uno particular.

Otra idea importante sobre el proceso de generalizacin, es que muchas veces es

conveniente transformar un problema numrico en uno literal, ya que con una di-

cultad similar, tener una solucin general en funcin de unos parmetros, permite

variar los datos para vericar los resultados.

Inferencia. La inferencia es una forma de razonar que conduce al descubri-

miento de leyes generales a partir de la observacin de casos particulares. Lo hemos

llamado inferencia, aunque podramos llamarlo induccin o accin de conjeturar.

La inferencia trata de descubrir, a partir de la observacin, la regularidad y la

coherencia, basndose en la particularizacin, la generalizacin y la analoga.

Para que surja una conjetura ante un problema se necesita conanza en s

mismo y valenta, que se consigue con el poso que dejan los xitos anteriores al

resolver otros problemas, y relajando las tensiones que produce el hecho de querer

encontrar una solucin y haber agotado las posibles sugerencias.

Deduccin. Justicar una conjetura es descubrir una estructura subyacente o

una relacin que une los datos con la solucin mediante una serie de razonamientos.

Es responder por qu? mediante una serie de razonamientos lgicos o teoremas

matemticos.

Si recordamos el problema Vaya corte!, las conjeturas que proponan los

alumnos y alumnas no eran denitivas, porque surgan del resultado de considerar


una serie de particularizaciones, y en ningn momento se preguntaban el por qu

de esa conjetura.

Conseguir que alumnos y alumnas de Secundaria justiquen las hiptesis que

realizan es bastante difcil. Una vez que han hecho una conjetura y la han compro-

bado para varios casos, ya es cierta para ellos. Por lo que, si no conseguimos que

la justiquen, si podemos ensearles a ser crticos en la comprobacin, intentando

refutarlas, eligiendo hbilmente casos particulares para adquirir cierto grado de

escepticismo con respecto a nuestros razonamientos y los de los dems.

Creatividad. La creatividad es un fenmeno raro y muy escaso. Cuando se

presenta se encuentra tan impregnado de azar, casualidad y trabajo que nos resulta

muy difcil determinar las conductas y procedimientos que la facilitan. Lo que s

podemos asegurar es que cuando se produce un descubrimiento el inventor o la

inventora posee las habilidades necesarias para lograr dar el salto en el vaco que

separan un conjunto de conocimientos conocidos de uno nuevo y desconocido.

Probablemente valoramos tanto la creatividad por las ventajas que todo des-

cubrimiento tiene para la sociedad, y porque conocemos poco los mecanismos que

hacen surgir el pensamiento creativo. Sin embargo, lo que s parece posible es

aprender a desarrollar nuestra creatividad de forma parecida a como aprendemos

a leer o hablar.

Tambin hay rasgos caractersticos de la personalidad creativa como son la ori-

ginalidad, la exibilidad, la autoconanza, la curiosidad intelectual y la capacidad

de analizar, sintetizar e imaginar. Muchas veces cuando se establecen relaciones a

partir de distintas ideas tenemos la sensacin de estar construyendo algo nuevo.

La pregunta es es esto pensamiento creativo o son simplemente modicaciones de

razonamientos o pensamientos preexistentes?. Sin embargo, al formular hiptesis,

o visualizar ideas que nos conducen hacia la solucin de un problema, y cuando ge-

neralizamos el resultado, o modicamos los datos para obtener un nuevo problema,

tenemos la sensacin de haber realizado un descubrimiento.

Trabajo subconsciente. Quin no ha tenido alguna experiencia en la que,

despus de una noche de descanso o de varios das sin pensar conscientemente

en un problema, como por arte de prestidigitacin se nos ocurre la solucin? La

sensacin que tenemos est muy cerca del mundo mgico y sorprendente de la

mente, del que slo conocemos una mnima parte de su capacidad y posibilidades,

aunque normalmente lo explicamos racionalmente con argumentos relacionados

con el hecho de seguir trabajando en el problema de forma inconsciente. Pero

para que surja una idea durante el sueo, es necesario que previamente hayamos

realizado un trabajo consciente, y que ste nos haya provocado una tensin mental

producida por el ardiente deseo de resolverlo.

Tcnicas de demostraciones matemticas. El mtodo matemtico de re-

duccin al absurdo consiste en partir de una hiptesis falsa, deducir consecuen-


cias correctamente derivadas pero igualmente falsas, hasta llegar a una consecuen-

cia evidentemente falsa. Para G. Polya La demostracin indirecta establece la

verdad de una armacin demostrando la falsedad de la contraria.

Una demostracin indirecta es ms fcil de realizar y, en muchas ocasiones, no

es difcil convertir una demostracin indirecta en una demostracin directa.

Existen ejemplos clsicos de demostraciones indirectas en la historia de las

Matemticas, que ya fue utilizada por Euclides en Los Elementos. Un ejemplo que

utiliza este mtodo es el siguiente.

Problema Los lados de un cuadriltero: En un cuadriltero convexo se

puede inscribir una circunferencia si y slo s la suma de las longitudes de los lados

opuestos coincide.

Si en un cuadriltero se puede ins-

cribir una circunferencia a partir de la

gura adjunta es evidente que la suma

de las longitudes de los lados opuestos

coincide, es decir, a+ c = b+ d.Adems el centro de la circunferen-

cia inscrita es el punto en el que se cor-

tan las cuatro bisectrices por lo tanto

podemos inscribir una circunferencia si

y slo s las bisectrices concurren en un

punto.

Para demostrar que si la suma de las

longitudes de los lados opuestos coinci-

de entonces se puede inscribir una cir-

cunferencia utilizamos el mtodo de re-

duccin al absurdo.

Suponemos que no se puede ins-

cribir, entonces las bisectrices no con-

curren en un mismo punto y a partir

de la gura adjunta es evidente que

la suma de las longitudes de los lados

opuestos no coincide.

La induccin matemtica es el mtodo que se utiliza para demostrar con-

jeturas sobre nmeros naturales. Como ejemplo de este mtodo es el que se ha

utilizado en el problema llamado Regiones, otro problema que se resuelve fcil-

mente con este mtodo es el siguiente.

Problema Los dos colores: Una particin del plano con n rectas puede ser

coloreada con dos colores distintos de modo que dos regiones que tienen una fron-

tera comn tengan colores diferentes.


Un mtodo de demostracin matemtica que Dirichlet utiliz en teora de

nmeros y con el que logr resultados asombrosos es el principio del palomar

o principio de Dirichlet que podemos formular del siguiente modo: Si m palomasocupan n nidos y m > n, entonces hay al menos un nido con ms de una paloma.Un ejemplo concreto en el que podemos aplicar esta tcnica es el siguiente.

Problema: En un tringulo equiltero de lado 1, seeligen cinco puntos en su interior, prueba que hay como

mnimo dos cuya distancia es menor que 1=2.La solucin es evidente al dividir el tringulo en cu-

atro tringulos equilteros de lado 1/2 y aplicar el prin-

cipio del palomar.

5.2. Estrategias heursticas de la resolucin de problemas geomtricos

Las estrategias de resolucin de problemas son, ms que reglas, tcnicas gene-

rales que nos ayudan a comprender el problema y favorecen el xito en encontrar

la solucin.

Vamos a examinar algunas de las estrategias de resolucin de problemas geo-

mtricos: codicar, organizar, experimentar, explorar, buscar problemas anlogos,

introducir elementos auxiliares, dividir el problema en partes y suponer el problema

resuelto.

Para cada una, elegimos un problema que se resuelva, casi exclusivamente,

mediante esa estrategia. Aunque es evidente que la relacin entre un problema y

la estrategia utilizada para resolverlo no es unvoca, lo normal es que distintas

estrategias resuelvan un mismo problema y que en la resolucin de un problema

intervengan distintas estrategias.

Codicar. Usar una buena notacin. Muy a menudo la resolucin de un

problema depende de la utilizacin de un lenguaje o una notacin adecuados. La

importancia de una buena de notacin en un problema de geometra se pone de

maniesto si tratamos de resolverlo sin nombrar los datos o los elementos que

construimos de un modo adecuado.

Hay reglas implcitas, que todos tenemos asumidas, y que nos ayudan a entender

y a resolver un problema geomtrico como que los puntos se nombran con letras

maysculas y las rectas con minsculas, los segmentos mediante sus extremos, los

ngulos y los planos con letras griegas, los lados de un tringulo con la misma letra

en minscula que el vrtice opuesto. Una buena notacin debe ser clara, concisa

y que no plantee ambigedades. Los smbolos que utilizamos deben recordarnos el

objeto que representan. Elegir una buena notacin es un paso decisivo en el camino

hacia la solucin de un problema.


Organizar: hacer una gura, un esquema o una tabla.

Hacer una gura. Una gura nos presta una gran ayuda para resolver un

problema, ya que facilita la comprensin del mismo y hace surgir ideas que nos

acercan a la solucin.

La importancia que tiene una gura en los problemas geomtricos es evidente,

sin embargo tambin hay muchos problemas algebraicos, en los que una gura nos

permite llegar a la solucin de forma ms rpida y elegante.

El siguiente problema es un ejemplo de la importancia de

una gura en la resolucin de un problema.

Problema La or: Calcula el rea de la or de cuatro

ptalos de la gura inscrita en un cuadrado de lado a.

La gura adjunta resuelve el problema. Se trata

de calcular el rea A1 restando al rea del cuadrado,la del tringulo y la de los dos sectores.

rea del cuadrado = a2; rea del tringulo =p3

4a2; rea de un sector =

a2

12; rea de la or =

a2p

3 +2

3 3:

Al utilizar guras para resolver problemas tenemos el peligro de llegar a una

solucin falsa al razonar sobre ellas, por lo que es conveniente tener en cuenta las

siguientes consideraciones:

Una gura inexacta puede sugerir una solucin errnea.

Una gura debe actuar como una representacin de relaciones lgicas.

Las guras no deben incluir ninguna relacin que no est indicada en el

enunciado del problema.

En el libro Errores en las demostraciones geomtricas, citado en la bibliografa,

se encuentran muchos ejemplos. Este es el primero.

Problema: Un cuadrado de lado 21 cm tiene la misma rea que un rectngulo

de lados 34 cm y 13 cm.


El cuadrado se descompone en dos trapecios y en dos tringulos de las dimen-

siones indicadas. Con los cuatro trozos componemos el rectngulo. Y sin embargo

212 = 441 cm2 y 34 13 = 442 cm2. Cmo es que el rea del rectngulo tiene uncentmetro ms?

Un mtodo para asegurarnos de no cometer errores al realizar una gura es

utilizar un programa informtico de geometra dinmica. Estos programas nos

permiten construir todas las guras que realizamos con regla y comps de una

forma rpida y precisa. La construccin se lleva a cabo a partir de objetos ini-

ciales entre los que se establecen relaciones de dependencia de tipo geomtrico de

manera que al mover los objetos iniciales se desplazan tambin los que dependen

de estos pero permanece la construccin realizada, esta propiedad lo diferencia

esencialmente de los clsicos programas de dibujo. Pero quizs lo ms importante

es que acercan la Geometra a la realidad, transformando un teorema matemtico

en una realidad observable.

Hacer un esquema o una tabla. En los problemas en los que es necesario

contar, es preciso disponer de mtodos que nos aseguren que hemos considerado

todas las posibilidades y que no hemos repetido ninguna. Un esquema permite

sintetizar la informacin, que en muchos casos no sera posible realizar sin su

ayuda.

Una tabla esquematiza los datos del problema adems de los resultados que

obtenemos al considerar casos particulares. En el problema que hemos llamado

Regiones la solucin se obtena a partir de las regularidades que observbamos

al analizar casos particulares que se resuman de forma sistemtica en una tabla.

Tambin en el problema Vaya corte! el anlisis exhaustivo de los casos particu-

lares resumidos en una tabla era un paso decisivo para obtener la solucin.

Es ms seguro tener xito al resolver un problema si adoptamos un mtodo

sistemtico que analice toda la informacin del enunciado del problema de forma

esquemtica as como aquella que generamos a partir de los datos.

Experimentar. Ensayo y error. Consiste en llevar a cabo una operacin


sobre los datos, y probar si se ha conseguido el objetivo. Si no, repetir hasta

conseguirlo o probar que es imposible. Hay varios tipos de ensayo y error.

Fortuito. Es muy fcil de utilizar pero no siempre resulta ecaz porque se

van eligiendo casos de forma aleatoria.

Sistemtico. Es ms eciente que el anterior porque se va realizando la

operacin de forma ordenada.

Dirigido. Consiste en elegir casos que estn cada vez ms cerca del objetivo.

Sin embargo, aunque ste es el mejor mtodo, hay que tener en cuenta casos

particulares en los que para llegar a la solucin hay que dar un pequeo

rodeo.

Como ejemplo de problema en el que se puede utilizar el mtodo de ensayo y

error para obtener la solucin se ha elegido el siguiente.

Problema Cien cuadrados: Cul es el menor nmero de lneas rectas que

tenemos que dibujar para tener exactamente 100 cuadrados?Si se empieza de forma sistemtica a contar los cuadrados que hay en una

malla cuadrada n n, o por ejemplo recuerdas que en un tablero de ajedrez hay204 cuadrados puedes adoptar el mismo mtodo sistemtico de contar cuadrados.La solucin se obtiene por ensayo y error ya que est entre un cuadrado 6 6 enel que hay 91 cuadrados y uno 7 7 en el que hay 140.La estrategia de ensayo y error se considera a veces inecaz para la resolucin

de problemas, sin embargo existen casos en los que el ensayo y error dirigido es

especialmente til al limitar los elementos entre los que est la solucin. Por otra

parte cuando el nmero de casos es nito, si analizamos sistemticamente todos

los casos, podemos estar seguros de conseguir la solucin.

Explorar: Buscar simetras. Son muchos los problemas geomtricos que se

resuelven mediante la simetra expresada explcita o implcitamente.

La simetra puede entenderse en su sentido geomtrico, que es el ms usual, y

en su sentido lgico ms amplio, as la expresin xy+xz+yz es simtrica respectoa las letras x, y, z.Como ejemplo de problema que se resuelve utilizando la simetra se ha elegido

el siguiente.

Problema Permetro mnimo: De todos los tringulos que tienen la misma

base y la misma rea, determina el que tiene permetro mnimo.

Este problema, que se puede resolver utilizando el clculo diferencial, es sor-

prendente lo elegante y sencilla que resulta la demostracin utilizando la simetra.

Si los tringulos tienen la misma base, AB, y la misma rea, tambin tienen lamisma altura, h.


La solucin resulta al calcular el

simtrico de uno de los extremos de la

base, por ejemplo, A respecto a la rectad, paralela a la base, a una distancia h,el tercer vrtice del tringulo C es la in-terseccin de la recta d con el segmentoque une el simtrico del punto A y elotro extremo de la base, el punto B.La simetra en el ms amplio senti-

do de la palabra nos permite simplicar

problemas y casi siempre est asociada

con la bsqueda de la solucin ptima.

Explorar: Analizar casos lmite. El anlisis de los casos lmite es muy

efectivo cuando intentamos refutar una conjetura y antes de intentar justicarla.

Si recordamos el problema Vaya corte la razn por la que desechamos la primera

hiptesis que planteamos era que no se vericaba para un caso lmite, el cuadrado.

Cuando tenemos que demostrar una hiptesis y dudamos de su certeza, antes

de embarcarnos en intentar demostrar una falsedad, resulta muy til refutarla

analizando los casos lmite. Como ejemplo se propone el siguiente problema.

Problema: Calcula el permetro del tringulo determinado por dos tangentes

a una circunferencia en dos puntos B y C que se cortan en un punto G y unatercera tangente en un punto del arco CB, tal como muestra la gura, conociendola longitud del segmento BG.

A partir del dibujo y trazando la

tercera tangente en el punto medio del

arco CB la solucin es evidente, elpermetro del tringulo IGH es el doblede la longitud del segmento BG.Este resultado sigue siendo vlido

para cualquier punto del arco CB porun razonamiento similar al que hemos

utilizado en el caso lmite. Ahora nos

podemos plantear que ocurre cuando

elegimos un punto del arco BC.

Explorar: Buscar regularidades. Formular hiptesis es el resultado de ob-

servar regularidades en una serie de casos particulares. Buscar regularidades es

encontrar leyes generales que constituyen la organizacin y estructura profunda de

un problema.


Cuando formulamos hiptesis, debemos tener cuidado con el sentimiento de

certidumbre que tenemos habitualmente ante una hiptesis que surge como gene-

ralizacin de una serie de casos particulares, ya que la belleza de una conclusin

general siempre nos parece verdadera, y hay que tener en cuenta que estas hiptesis

son simples conjeturas, que tendremos que refutarlas o conrmarlas mediante el

razonamiento. En el problema Vaya corte! era difcil convencer al alumnado de

que la hiptesis a+ b 1 si a o b son impares y a+ b 2 si a y b son pares no eracorrecta y era necesario buscar un ejemplo especialmente elegido que refutara su

conjetura.

Despus de formular una hiptesis, debemos intentar refutarla considerando

casos lmites, o casos estratgicamente buscados para que no se verique. Sin em-

bargo, si nuestra conjetura supera todas estas pruebas, para tener la certeza de

que es verdadera tenemos que encontrar una razn por la que es as y no de otra

manera. En denitiva, hay que encontrar la relacin lgica entre el enunciado del

problema y la conjetura formulada.

En el problemaRegiones las regularidades observadas en el estudio sistemtico

de una serie de casos particulares sugera la hiptesis que permita encontrar la

solucin.

De una serie de casos concretos se puede conjeturar una hiptesis a partir de las

regularidades de las observaciones realizadas, y aunque al aumentar el nmero de

casos analizados aumenta nuestra conanza en ella, slo la demostracin garantiza

su certeza.

Buscar problemas anlogos. La analoga ocupa todo nuestro pensamiento,

desde los dilogos de la vida cotidiana, hasta las actividades artsticas y cientcas.

Consiste en una concordancia de relaciones entre los elementos de objetos seme-

jantes. La analoga entra en juego cuando te ves sorprendido por un parecido con

algn problema estudiado anteriormente, por lo que es plausible sugerir conjeturas

parecidas.

Aunque a veces no nos damos cuenta, en la mayora de los problemas que

resolvemos, utilizamos la analoga. As, cuando nos encontramos con un problema

de lgebra lo primero que consideramos es plantear una ecuacin, en un problema

de Probabilidad o de Combinatoria realizar un diagrama en rbol o una tabla de

contingencia, y ante un problema de Geometra dibujamos la gura intentando

encontrar las relaciones lgicas que se establecen entre sus elementos.

Un problema con una estrategia similar al que hemos llamado Vaya corte, es

el siguiente.

Problema Una mesa de billar: Se tiene una mesa rectangular en la que las

dimensiones son nmeros enteros a y b, por lo que se puede suponer dividida encuadrados. Se lanza una bola desde uno de los vrtices siguiendo las diagonales de

los cuadrados y que rebota siguiendo una reexin perfectamente elstica. A qu


esquina llegar? Cuntos rebotes habr hecho?

La solucin surge al represen-

tar grcamente los rebotes de la

bola en una cuadrcula de rectn-

gulos de longitudes a y b utilizan-

do la simetra hasta que la poli-

gonal de los rebotes se transfor-

ma en una recta, el problema se

reduce a determinar cuando es-

ta recta encuentra por primera

vez un vrtice de la cuadrcula.

La conjetura que surge al analizar

este planteamiento es anloga a

la utilizada en el problema Vaya

corte.

Buscar problemas anlogos es una estrategia muy til cuando se tiene cierta

experiencia en la resolucin de problemas. Consiste en recordar otros problemas

semejantes, en los que las relaciones entre sus elementos sean concordantes con las

de nuestro problema

Introducir elementos auxiliares. Los elementos auxiliares son un conjunto

muy diverso, formado por incgnitas, teoremas, rectas, ngulos, planos..., que nos

permiten establecer lazos lgicos, entre los datos del enunciado y las incgnitas del

problema.

Un ejemplo en el que introducir elementos auxiliares nos descubre un plan

de resolucin es el que acabamos de citar, Una mesa de billar. La cuadrcula

de rectngulos y la recta que cortaba a los distintos rectngulos son elementos

auxiliares que nos ayudan a encontrar la solucin.

En un problema de geometra plana son casi siempre rectas, segmentos y cir-

cunferencias, los elementos auxiliares que nos permiten acercarnos a la solucin.

Adems no hay que olvidar que un teorema matemtico que nos ayuda a resolver

un problema, estableciendo lazos lgicos entre los datos y la incgnita, es tambin

un elemento auxiliar.

Un ejemplo en el que son los resultados matemticos los elementos auxiliares

es el siguiente.

Problema: La gura adjunta est formada por dos tringulos y dos cuadrados.

Calcula el rea del tringulo JCI sabiendo que el valor del rea del tringulo ABCes 9cm2.

Los tringulos ABC y JCI tienen dos lados iguales y los ngulos comprendidosson suplementarios por lo tanto tienen la mismo rea.


Otro problema que se resuelve introduciendo elementos auxiliares y utilizando

la simetra es el que presentamos a continuacin.

Problema Qu camino debe seguir la mosca?: En el interior de un vaso

cilndrico de cristal de 20 cm de alto y 10 cm de dimetro hay una gota de mielsituada a tres centmetros del borde superior. En la pared exterior, en la generatriz

opuesta a dos cm del borde superior se ha parado una mosca. Cul es el caminoms corto que debe seguir la mosca para llegar hasta la gota de miel?.

La solucin surge al desarro-

llar el cilindro, la parte interior y

la exterior y utilizar la simetra,

con los datos del cilindro se puede

calcular la distancia minima que

recorre la mosca.

Subobjetivos. Dividir el problema en partes. Aunque no sepamos resolver

un problema, puede ocurrir que podamos hallar la solucin de partes aisladas, y que

luego seamos capaces de engarzarlas para construir con ellas la solucin. Tambin

podemos sustituirlo por otro anlogo pero ms fcil, con menos variables o con

nmeros ms pequeos.

Un problema clsico que se puede utilizar como ejemplo es el siguiente

4

.

4

Este problema es un caso particular del conocido como teorema de Routh que establece

la razn entre el rea de un tringulo ABC y el formado por las intersecciones de tres de suscevianas conocidas las razones entre los segmentos en los que cada ceviana divide a cada uno

de los lados a, b y c. Cuando estas razones son iguales a un valor la razn entre las reas es( 1)3=(3 1). Como corolarios de este teorema se pueden obtener los teoremas de Menelaoy Ceva.


Problema Tringulo dentro de

un tringulo: En un tringulo cualquiera

ABC, determina los seis puntos que divi-den cada lado en tres partes iguales y dibuja

los tres segmentos que unen cada vrtice con

el punto del lado opuesto, determinado ante-

riormente, ms prximo al vrtice contiguo.

Cul es el rea del tringulo A0B0C 0 cuyosvrtices son los puntos de interseccin de es-

tos tres segmentos?.

Aparentemente los segmentos A0C 0 y C 0C son iguales, lo mismo que los seg-mentos AA0 y A0B0 y los segmentos C 0B0 y B0B, hecho que podemos conrmarcon un programa de geometra dinmica.

El problema se puede dividir en dos partes, la primera es demostrar esta con-

jetura que parece que se verica y la segunda consiste en resolver el problema

suponiendo que la primera es cierta, la solucin de esta segunda parte resulta

evidente en la siguiente gura:

La primera parte es fcil de demostrar con mtodos de geometra elemental

pero dividir el problema en partes nos ha permitido avanzar en la resolucin del

problema.

Dividir un problema en partes es una de las posibles estrategias para resolver

un problema, no es un mtodo en s mismo porque necesita de otros para lle-

gar a la solucin y es especialmente ecaz para resolver problemas con relaciones

recurrentes.

Suponer el problema resuelto o trabajar marcha atrs. Es muy til

para resolver problemas en los que conocemos la incgnita, pero no conocemos las

operaciones o condiciones que producen el objetivo o a veces el estado inicial.

Un ejemplo muy llamativo de lo til que puede ser esta estrategia es el que

propone Polya en su libro Cmo plantear y resolver problemas :


Problema: Construir un tringulo, dados un ngulo, la altura correspondiente

al ngulo dado y el permetro del tringulo.

Sea al ngulo conocido y a; b; c los lados del tringulo con a + b + c = p,siendo p el permetro.Supongamos el problema resuelto. Aadimos a la base a, dos segmentos delongitudes b y c en la misma direccin del lado a, uno a la derecha y otro a laizquierda. Con esta base a+ b+ c, que es conocida, construimos un tringulo de lamisma altura que el de la solucin, de esta forma el tringulo inicial se encuentra

orlado por dos tringulos issceles, cuyos lados iguales son respectivamente b y c ylos tres forman el tringulo de base p, altura h, y el ngulo correspondiente =2. Laconstruccin de este tringulo es mucho ms fcil y a partir de l est determinado

el problema inicial.

Muchas veces, al suponer el problema resuelto aparecen los datos ms cercanos

y es ms fcil establecer las relaciones entre los datos y la solucin.

Otro problema que utiliza esta estrategia es el siguiente.

Problema: Construir un tringulo conociendo las longitudes de sus tres me-

dianas.

Supuesto construido el tringulo ABCdibujamos sus medianas y las rectas pa-

ralelas a estas que pasan por un punto

diferente por el que pasa la mediana has-

ta obtener el tringulo ABC, cada uno desus lados mide el doble que el de su me-

diana paralela. A partir de este tringulo

la construccin de ABC es evidente.

5.3. Las emociones y los bloqueos en la resolucin de problemas

Las emociones. La primera recomendacin para resolver un problema es com-


prenderlo lo mejor posible. Pero esto no es suciente, hay que concentrarse por

completo en el problema y desear intensamente resolverlo. Si no se consigue, ms

vale abandonarlo.

No se puede considerar un problema como algo meramente intelectual, ya que

las emociones juegan un papel muy importante y cuando surgen desilusiones y

fracasos slo un intenso deseo de llegar a la solucin permite superarlos. Por otra

parte, alcanzar el resultado de un problema favorece la autoestima y con la prctica

se van acumulando una serie de xitos que actuarn como refuerzo en momentos

de desaliento, cuando no se tenga ninguna idea para resolver el problema.

Entre los estados emocionales ms ligados a la resolucin de problemas est

el producido por una idea feliz, que nos permite hacer una conjetura y aunque

posteriormente comprobemos que no es vlida, momentneamente, es un estado

difcil de describir ligado a la ilusin. La excitacin que produce este estado, se

convierte en una conanza ciega en la solucin, por lo que es necesario mostrar

escepticismo, comprobarlo todo y ser muy crtico, ya que si posteriormente obser-

vamos que la idea ha sido total o parcialmente falsa, la desilusin ser mayor y es

ms fcil abandonar por no tener sucientes fuerzas para superar el fracaso.

Otro estado muy caracterstico es el de estar bloqueado/a, o atascado/a, que

va acompaado de desilusin, ganas de abandonar, tensin, frustracin, etc. Sin

embargo puede llegar a ser un estado positivo, del que se puede aprender mucho,

por lo que la mejor recomendacin es reconocerlo y reexionar sobre todo aquello

que estimule hacer algo dirigido a encontrar la solucin, es decir, actuar, y en

este momento es cuando inuyen el cmulo de xitos adquiridos en la experiencia

pasada, recordando que este estado lo hemos tenido muchas veces y lo hemos

superado, y eso nos anima a continuar.

Tipos de bloqueos. Para conseguir superar los bloqueos que surgen al resolver

problemas es importante conocer los distintos tipos y los diferentes mtodos que

nos ayudan a superarlos.

Bloqueos emocionales o afectivos. Pueden ser debidos a cierta apata o

pereza para comenzar la tarea, en denitiva falta de motivacin. Tambin pueden

producirse por miedo al fracaso a equivocarse o al ridculo. La ansiedad por obtener

la solucin y la hiperactividad son tambin elementos que bloquean el camino hacia

la solucin.

Bloqueos culturales y ambientales. Los bloqueos de tipo ambiental se

deben a la falta de cooperacin, las prisas y los agobios que son tan comunes

en la sociedad actual y los de tipo cultural se derivan, por ejemplo, de pensar que

hay que ser muy prcticos, que resolver problemas matemticos es un juego de

nios o que ser creativo es tan raro que no vale perder el tiempo con los procesos

que lo facilitan. Un ejemplo en el que se maniesta un bloqueo de este tipo es el

siguiente.


Problema El tringulo mgico: Por qu en la segunda gura adjunta sobra

un cuadrado blanco?

En este problema el bloqueo est en la percepcin del enunciado hay dos trin-

gulos que parecen iguales y son distintos o son iguales y parecen diferentes.

Un consejo para superar el bloqueo es realizar las construcciones con un pro-

grama informtico de geometra dinmica o bien utilizar el teorema de Tales o la

trigonometra para descubrir el gazapo.

Bloqueos cognoscitivos. Se pueden producir por carecer de las herramientas

matemticas necesarias para resolverlo, o bien por falta de prctica en resolver

problemas debido a desconocer o no saber utilizar las estrategias heursticas. Re-

solver muchos problemas y conocer las estrategias heursticas son los consejos ms

efectivos que nos permiten controlarlos.

Se van a analizar algunos bloqueos que se plantean en la percepcin y en el

ataque al problema.

Bloqueos en la percepcin del problema. Son los que se plantean en la

comprensin del problema. Pueden ser debidos a cierta incapacidad para conside-

rar el problema desde distintos puntos de vista o a una visin estereotipada del

problema, de modo que slo vemos lo que esperamos ver. Entre los bloqueos de

este tipo ms comunes estn los que se denominan suposiciones ocultas.

Suposiciones ocultas. Es muy fcil quedar atascado en un problema por

lo que llamamos suposiciones ocultas que son limitaciones innecesarias que nos

inventamos y nos impiden considerar otras posibilidades entre las que se encuentra

el camino que hay que seguir para avanzar hacia la solucin de nuestro problema.

Las suposiciones ocultas son la base de muchos acertijos, pero lo cierto es que no

se limitan a estos, sino que estn en la base de nuestra percepcin y pueden llegar

a modicar el rumbo de una investigacin matemtica. Citaremos unos ejemplos

conocidos.

Problema Palillos: Cmo podemos construir cuatro tringulos equilteros

iguales con seis palillos con la condicin de que el lado de cada tringulo sea la

longitud del palillo?

La suposicin oculta de este problema es que nos limitamos a soluciones planas

y no consideramos el paso al espacio. El problema se resuelve al construir un

tetraedro.


Problema Nueve puntos: Cmo unir

nueve puntos, distribuidos en los vrtices de

una cuadrcula 2x2, por medio de cuatro seg-mentos rectilneos, sin levantar el lpiz del

papel ni recorrer dos veces parte del mismo

camino.

La suposicin oculta consiste en dar por hecho que no se puede salir del cuadra-

do determinado por los puntos, cuando se observa que en ningn momento se

impone esta condicin, la solucin es evidente.

Bloqueos en el ataque al problema. Se pueden producir por carecer de las

herramientas matemticas necesarias para resolverlo, o bien por falta de prcti-

ca en resolver problemas debido a desconocer o no saber utilizar las estrategias

heursticas. Resolver muchos problemas y conocer las estrategias heursticas son

los consejos ms efectivos que nos permiten controlarlos.

Un ejemplo de este tipo de bloqueo es el llamado efecto tnel.

Aparece cuando nos encontramos tan absorbidos por la ejecucin de una ac-

cin que nos impide considerar otras alternativas del problema entre las que est

el camino hacia la solucin. Como ejemplo de una situacin de este tipo, citare-

mos la que se produce muchas veces cuando intentamos resolver un problema que

no tiene solucin. Normalmente pasa mucho tiempo hasta que consideramos esta

posibilidad. La forma de evitar estos bloqueos es considerar todas las alternati-

vas, probarlas sistemticamente y evaluarlas crticamente para determinar si el

contexto del problema nos ofrece otras posibilidades.

Cuando al resolver un problema se formula una conjetura hay que ser muy

escpticos, analizando crticamente sus posibles fallos. Frente a un bloqueo es re-

comendable saber por qu, lo que supone detectar los distintos tipos de bloqueo y

plantear las acciones necesarias para superarlos.

Como ejemplo de una situacin de este tipo, est la que se produce, cuando

se intenta resolver un problema que no tiene solucin, normalmente pasa mucho

tiempo hasta considerar esta posibilidad, como en el siguiente acertijo.

Problema Agua, luz y gas:

En un vecindario hay tres casas

y tres fuentes una de agua, una

de luz y una de gas. Se trata

de conectar cada casa con ca-

da fuente de suministro mediante

lneas que no se crucen entre s.

Este acertijo, que no tiene solucin, es un resultado conocido de teora de grafos.

Se puede demostrar con el teorema de Euler.


6. Conclusiones

La importancia de la resolucin de problemas geomtricos en el desarrollo del

pensamiento matemtico, en general, y del razonamiento matemtico en cada per-

sona.

La resolucin de problemas es una actividad mental que incluye diversos pro-

cesos que rigen el razonamiento matemtico, modulada por estados emocionales.

El xito en la resolucin de problemas mejora con la prctica, mediante la re-

exin sobre el estudio del proceso en s mismo, conociendo los modelos tericos de

resolucin de problemas, las estrategias heursticas que proporcionan herramien-

tas para afrontarlo con conanza y las pautas heursticas que sirven para jar la

atencin en aspectos concretos del problema.

Aprender a resolver problemas geomtricos es aprender a hacer matemticas.

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Mara Molero Aparicio

IES Juan de la Cierva

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