Eje 2. Razonamiento lgico matemtico

Razonamiento inductivo y deductivo

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Razonamiento deductivo e inductivo

La historia de las matemticas se remonta al antiguo Egipto y Babilonia. Ante la necesidad

de resolver problemas a travs de errores y victorias, estas culturas lograron determinar

tcnicas que despus utilizaron constantemente, como recetas de cocina, lo cual se repiti

una y otra vez en problemas similares.

Al observar que esta tcnica funcionaba con ciertos tipos de problemas, concluyeron que

este mtodo funcionaba para problemas del mismo tipo.

Cuando resolvemos un problema, podemos llamar a la solucin conjetura, que es una

hiptesis, (conclusin no demostrada), que se fundamenta en observaciones repetidas de

un proceso o patrn determinado. A este tipo de procesos, por su parte, se le llama

razonamiento inductivo.

El razonamiento inductivo se define como obtener una conclusin general, o conjetura, a

partir de observaciones repetidas en ejemplos especficos; dicha conclusin puede llegar a

ser verdadera o no. Es fcil demostrar que la solucin a estos ejemplos es falsa, pues basta

con encontrar un ejemplo que as lo compruebe; a ese tipo se le conoce como

contraejemplo. Podemos mencionar, adems, el siguiente ejemplo para ilustrar mejor el

punto.

Conjetura: Todos los nmeros primos son impares

Ejemplo: 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

Si observamos el conjunto de nmeros, todos son nmeros primos, pero no todos

son impares, por lo que podemos crear un contraejemplo para refutar la conjetura.

Contraejemplo: El nmero 2 es un nmero primo, pero no un nmero impar.

Observa el siguiente ejemplo de razonamiento inductivo:

Premisa 1: Alberto tiene 25 aos, vive en la ciudad de Mxico y siempre vota por

partidos de izquierda.

Premisa 2: Juan tiene 23 aos, vive en la ciudad de Mxico y siempre vota por

partidos de Izquierda.

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Premisa 3: Alejandro tiene 22 aos, vive en la ciudad de Mxico y siempre vota por

partidos de izquierda.

Conclusin: Los ciudadanos entre 20 y 25 aos que viven en la ciudad de Mxico

siempre votan por partidos de izquierda.

Las premisas anteriores pueden ser refutadas, es decir, demostrarse su falsedad con

tan slo encontrar a una persona de entre 20 y 25 aos, que viva en la ciudad de

Mxico y que no vote por un partido de izquierda, el cual sera un Contraejemplo.

Y es un hecho que no todas las personas de entre 20 y 25 aos que viven en la ciudad

de Mxico votarn por partidos de izquierda.

Este tipo de razonamiento inductivo es un mtodo potencialmente fuerte para llegar a una

conclusin, mas no existe la certeza de que sea verdadera. Por esta razn, algunos

matemticos no aceptan una verdad como absoluta en tanto que no se demuestre de

manera formal por medio del razonamiento deductivo.

Por su parte, el razonamiento deductivo inici con los matemticos griegos, como revelan

los trabajos de Pitgoras, Arqumedes y Euclides, entre otros, quienes aplicaron conceptos

generales a problemas especficos, lo que dio como resultado un desarrollo lgico y

estructurado de las matemticas.

Un razonamiento deductivo se define como la aplicacin de principios generales a

ejemplos especficos. En los siguientes ejemplos se muestra la diferencia entre un

razonamiento inductivo y otro deductivo.

Ahora te presentamos un ejemplo de razonamiento deductivo, el cual es el ms utilizado

en problemas lgico-matemticos. Sin embargo, no dejamos de lado el razonamiento

inductivo, que nos lleva a resolver de manera parcial o total algunos problemas.

Premisa 1: Todos los panecillos tardan una hora en hornearse.

Premisa 2: Son las 2 de la tarde y Adriana mete los panecillos al horno.

Conclusin: Los panecillos estarn listos a las 3:00 pm.

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Ahora revisa algunos ejemplos de los dos tipos de razonamientos, en los cuales se

utilizarn los nmeros naturales o nmeros cardinales.

Considera la siguiente secuencia de nmeros: 1, 8, 15, 22, 29.

Cul es el nmero que sigue en la lista?, cul es el patrn? Si observamos y analizamos

los nmeros, vemos que 1+7= 8, y 8+7=15. Sumamos 15 y 7 para obtener 22?, sumamos

22 y 7 para obtener 29? S, efectivamente. Sumamos 7 a todo nmero precedente, de modo

que el nmero siguiente de la secuencia es 36, puesto que 29+7=36.

Considerando el ejemplo anterior, para identificar el siguiente nmero de la secuencia,

utilizamos la observacin, y se determina tanto el patrn como el nmero que sigue en la

secuencia. Este es un ejemplo de razonamiento inductivo.

Usando el razonamiento inductivo se concluye que 43 era el nmero siguiente, pero, qu

pasa si se presenta otra respuesta, por ejemplo, se relaciona con las fechas de los meses

Junio y Julio?

Junio

D L M M J V S

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30

Julio

D L M M J V S

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31

Entonces, la secuencia quedara de manera diferente:

1, 8, 15, 22, 29, 6, 13, 20, 27

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Si analizamos la secuencia, el patrn sigue siendo 7, pero el consecutivo cambia. Aqu se

muestra una falla importante en la conclusin a partir de la aplicacin del razonamiento

inductivo, la verdad en un caso especfico no garantiza la verdad en lo general, por lo tanto,

el razonamiento inductivo no garantiza un resultado verdadero, pero ofrece los medios para

hacer una conjetura.

En matemticas es comn utilizar la expresin exponencial, que no es otra cosa que

representar la multiplicacin repetida:

Base = 3.3 = 9

Exponente

En el razonamiento deductivo se usan enunciados generales para aplicarlos en situaciones

especficas, por ejemplo el teorema de Pitgoras:

En un tringulo rectngulo, la suma del cuadrado de los

catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Cateto

opuesto

Hipotenusa

=+

Cateto adyacente

Si los catetos miden 6 y 8 metros, podemos calcular la longitud de la hipotenusa,

representada por .

2=2+2

2=(6)2+(8)2

2=36+64

=100

=10

Por lo tanto, la hipotenusa mide10 metros, aplicando la regla general del teorema de

Pitgoras. Y sta bajo las condiciones dadas, nunca arrojar una conclusin falsa Claro, si

se realizan bien las cuentas!

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El razonamiento de un problema normalmente requiere de algunas premisas, lo cual puede

ser un supuesto, una ley, un teorema, una definicin matemtica, observacin o idea.

Despus, con el razonamiento inductivo o deductivo, se puede obtener la solucin, misma

que se vuelve un argumento lgico.

Podemos concluir que el razonamiento inductivo se utiliza con frecuencia para predecir la

respuesta de ejercicios de clculo, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Predice la multiplicacin y el producto que sigue en esta lista de operaciones:

21 5=105

218=168

2111=231

2114=294

Primero, debemos identificar que el 21 se repite en todas las operaciones; en tanto que en

el segundo factor, el incremento entre 5 y 8 es 3, por lo tanto, la siguiente multiplicacin

sera:

2117=357 - por lo cual puede ser verdadero, esto depende del contexto, como en el

caso del calendario.

Cuando utilizamos el razonamiento inductivo, corremos ciertos riesgos asociados al

razonamiento. Un ejemplo clsico es el de dividir por regiones una circunferencia, partiendo

de puntos. Veamos la siguiente grfica:

Puntos = 1

Regiones = 1

Puntos = 2

Regiones = 2

Puntos =3

Regiones = 4

Si observamos la figura, en la primera se coloc un punto sobre la superficie, y se denota

una regin; si en cambio, colocamos dos puntos sobre la circunferencia y los unimos con

una lnea recta, formamos dos regiones.

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Si finalmente, colocamos tres puntos sobre la circunferencia y los unimos por medio de

lneas rectas, no se crean tres regiones, sino cuatro. Esto se puede representar por medio

de una progresin geomtrica: 1,2,4,

Qu pasara si colocamos cuatro puntos en la circunferencia, o cinco?, cuntas regiones

tendramos?

Representando cuatro y cinco puntos en la circunferencia, quedaran de la siguiente

manera:

Si volvemos a representarlo en la progresin geomtrica, quedara de la siguiente manera:

1,2,4,8,16

Analicemos

Cul sera el nmero de regiones si colocamos 6 puntos en la circunferencia?

Si respondemos por medio de una conjetura tomada de un razonamiento inductivo, la

progresin quedara de la siguiente manera: 1,2,4,8,16,

Representndolo grficamente, sera:

Nos han robado! Slo tenemos 31 regiones.

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Ahora probemos con siete puntos en la circunferencia. Razonando inductivamente,

tendramos: 1,2,4,8,16,32,64

Representndolo grficamente, tendramos:

Nos han vuelto a robar! Ahora tenemos 57 regiones, cuando deberamos tener 64.

Conclusin:

Este tipo de ejemplos ilustran que en matemticas no podemos simplemente guiarnos por

observaciones; en su lugar, necesitamos argumentos lgicos y rigurosos que constituyen

una prueba que demuestra la veracidad del proceso.