razonamiento deductivo lectura m2

Módulo 2

Unidad 2

Razonamiento

Deductivo

Materia: Lógica Simbólica

Profesor: Marcelo Smrekar

Lógica Simbólica – Marcelo Smrekar | 2

“En realidad, Einstein desarrollaba su teoría de una manera

totalmente diferente a estos autores, deduciendo hechos

experimentales a partir de principios fundamentales y no dando

una explicación fenomenológica a observaciones desconcertantes. El

mérito de Einstein estaba por lo tanto, en explicar lo sucedido en el

experimento de Michelson y Morley, como consecuencia final de una

teoría completa y elegante, basada en principios fundamentales y

no como una explicación ad-hoc o fenomenológica de un fenómeno

observado. Su razonamiento se basó en dos axiomas simples: en el

primero reformuló el principio de simultaneidad, introducido por

Galileo siglos antes, por el que las leyes de la Física deben ser

invariantes para todos los observadores que se mueven a

velocidades constantes entre ellos, y el segundo, que la velocidad de

la luz es constante” …

Wikipedia - Albert Einstein: http://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

(Visita: marzo de 2011)

2.1- Razonamiento Deductivo Los humanos viven delineando argumentos de forma cotidiana. Pablo y Carlos pueden argumentar acerca de qué película quieren ir a ver. José y su vecino pueden desarrollar un argumento en torno a las horas de viaje de José. La argumentación puede pensarse como un fenómeno de comunicación que debe entenderse como un modo de discurso, caracterizado por el uso del lenguaje para resolver, por ejemplo, una diferencia de opinión.

Estudiando la argumentación, se encuentra cuán necesaria resulta para resolver diferencias de opinión y cómo también se la puede reconocer como una forma de manipular a través del lenguaje. El estudio de la argumentación en el lenguaje coloquial se basa sólo en el discurso real, pues esto es lo que el lenguaje coloquial es. Este estudio podría señalarse como un tipo de Lógica Informal, en cambio, el estudio riguroso de la argumentación, se podrá realizar sólo si es posible determinar una estructura en la misma.

El Razonamiento Deductivo se contrapone al Razonamiento Inductivo. En el primero, se parte de cuestiones generales para concluir cuestiones particulares, en el segundo el proceso es a la inversa, de lo particular, se concluye sobre lo general. La inducción es el razonamiento, a partir de uno

La construcción de complejas proposiciones a partir de proposiciones más simples, siguiendo patrones que nos aseguren la veracidad de las últimas a partir de las primeras, es el principio de lo que llamaremos Razonamiento Deductivo y que utilizaremos coloquialmente como argumentación.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ad_hoc

http://es.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei


o varios juicios particulares, que obtiene una conclusión de aplicación general. El razonamiento inductivo tiene dos formas: inducción por analogía y la inducción por causa y efecto.

Ejemplo de inducción por analogía:

A Julio, a Juan y a mí nos gustan la música, la pintura y la

escultura. A mí me gusta también la literatura; luego, a Julio y a

Juan debe gustarles también la literatura.

Ejemplo de inducción por relación causa y efecto:

Una vez mi esposa se asustó mucho a causa de una tormenta

igual a la de esta noche. Mejor me voy a casa, porque debe estar

muy asustada.

Es importante notar que naturalmente los humanos comenzamos a aprender mediante el razonamiento inductivo. Lo que comúnmente llamamos métodos de prueba y error, tras varios ejemplos, inferimos que una proposición es verdadera por analogía y la testeamos realizando las acciones “para ver qué pasa”. Este método de aprendizaje es el método que generalmente estamos acostumbrados a usar y es a través de él que nos guiamos. Sin embargo, para las cuestiones científicas, se trata de un método que no nos asegura leyes generales sino algún tipo de probabilidad de ocurrencia de algunos eventos particulares.

El razonamiento deductivo en cambio, parte de un juicio general para

obtener conclusiones en casos y hechos concretos, particulares.

Definición

Se podría considerar como definición de Razonamiento deductivo de acuerdo a Robert Audi, ed., «Deduction» (en inglés), The Cambridge Dictionary of Philosophy (2nd Edition), Cambridge University Press que

En su definición formal, una deducción, entonces, es una secuencia finita de fórmulas, oraciones o preposiciones de las cuales la última es designada como la conclusión (la conclusión de la deducción), y todas las demás fórmulas en la secuencia son llamadas premisas.

Otra palabra relacionada con Deducción que utilizaremos frecuentemente es la palabra inferencia. Según la Real Academia Española Inferencia es la

“Un razonamiento deductivo es un argumento donde la

conclusión se sigue necesariamente de las premisas.”

http://es.wikipedia.org/wiki/Secuencia_%28matem%C3%A1ticas%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_finito


acción de Inferir, que para nuestro propósito define en su primera y segunda acepción como:

Si en un discurso, entonces, no encontramos indicadores de inferencia u otras señales de razonamiento y la única deducción posible que se puede encontrar en el mismo, indica un mal razonamiento, entonces se clasificaría el discurso como sin argumento. Pero para poder identificar los buenos o malos argumentos, será necesario estudiar previamente la estructura que debe tener un buen razonamiento.

Estructura

Como vimos entonces, una deducción debe estar integrada por proposiciones consideradas puntos de partida o premisas y una proposición considerada punto de llegada o conclusión. Las proposiciones, tal como recordamos de la lectura del módulo 1, son oraciones declarativas o descriptivas y por lo tanto concatenaciones gramaticales u oraciones autocontenidas, es decir, con sentido completo en si mismas. En estas oraciones, un verbo indica una proposición simple. Si hay dos o más verbos relacionados entre sí, existe una proposición compuesta, lo que denota dos o más proposiciones simples relacionadas.

Entonces, diremos que la estructura de un razonamiento está determinada

por dos partes, la primera “las premisas” compuesta por alguna proposición

generalmente compuesta; y “la conclusión” una proposición generalmente

simple pero no es excluyente.

Premisas

Las premisas son las proposiciones sobre las cuales se basa o se explica la conclusión. Éstas ofrecen la evidencia y el fundamento y cuyas aserciones sirven para demostrar la conclusión. Las premisas brindan entonces, las

“Inferir.

(Del lat. inferre, llevar a).

1. tr. Sacar una consecuencia o deducir algo de otra cosa. U. t. c. prnl.

2. tr. Llevar consigo, ocasionar, conducir a un resultado.”

Estructura de un razonamiento:

Las premisas

La conclusión


razones, con las cuales se puede explicar la conclusión. Si pensando en la conclusión se hace la pregunta: "¿por qué?", entonces son las premisas las que deben responder esa pregunta.

También podemos reconocer a las premisas por palabras o frases claves. No siempre están presente, pero por lo general hay palabras o frases como: dado que, en vista de, desde, para, puesto que, pues, en tanto que, por razón de que, tal y como, porque, se muestra por, como quiera, a causa de que, ya que y algunas otras que indican que las proposiciones que siguen son premisas de algún argumento o razonamiento. En el sentido de la sintaxis del lenguaje gramatical, las premisas son conjunciones subordinantes causales, puesto que expresan una causa.

Dado que siempre tomo un vaso de vino en los asados y hoy hay asado,

entonces tomo un vaso de vino.

En otros casos, en cambio, estas conjunciones subordinantes son consecutivas o ilativas como: pues, luego, con que, que pueden ir encabezando la proposición, aunque con frecuencia van detrás de la conclusión.

Hoy hay asado, entonces tomo un vaso de vino. Pues siempre tomo un

vaso de vino en los asados.

Los indicadores que presentamos para las premisas no representan una lista completa, pero estimamos que son los indicadores más utilizados comúnmente para cada caso.

Todo razonamiento está formado por premisas, algunas veces éstas están

explícitas y otras sólo implícitas, pero siempre están presentes.

Conclusión

Un razonamiento, por más complicado que sea siempre tiene una y nada más que una conclusión. La conclusión es sin duda el punto más importante del razonamiento. En cambio, las otras proposiciones que integran el razonamiento implican u otorgan los elementos de juicio del que se nutre la conclusión.

Los argumentos, también como con las premisas, pueden contener palabras, frases clave o conectivos que sirven esencialmente para introducir la conclusión de un razonamiento. Los siguientes son algunos de los indicadores de conclusión: así, por lo tanto, por ende, consecuentemente, se sigue que, puede ser inferido que, así pues, se puede inferir, se puede concluir.

En el sentido coloquial o gramatical también, estos indicadores son conjunciones subordinantes, tal que relacionan dos o más oraciones, de manera que una se expresa como consecuencia de lo dicho en las otras.


Diferentes esquemas en los

razonamientos

No tienen mucho que ver las premisas y la conclusión con las oraciones en sí de cada razonamiento, es decir que una proposición puede ser premisa en un razonamiento y conclusión en otro. Por ejemplo:

Razonamiento A

1. Todos los comercios tienen cajas. Premisa 1

2. Todas las tiendas que venden ropa son comercios. Premisa 2

3. Por lo tanto, todas las tiendas que venden ropa tienen caja. Conclusión

Razonamiento B

4. Todas las tiendas donde se vende algún artículo son comercios. Premisa 1

5. Hay tiendas que venden ropa. Premisa 2

6. Por lo tanto, todas las tiendas que venden ropa son comercios.

Conclusión 2

En este ejemplo, como se puede ver, la proposición 2 aparece como premisa en el primer razonamiento (razonamiento A), mientras en que en el segundo, razonamiento B, aparece como conclusión. En algunos razonamientos, como por ejemplo los presentados anteriormente se enuncian primeros las premisas y luego se enuncian las conclusiones. Pero en la mayoría de los casos, este orden no tiene por qué cumplirse. Tal es el caso que sigue, donde se dispone primero la conclusión y luego las premisas que la explican. El siguiente es un ejemplo (Algunos de los ejemplos de esta sección son extraídos de http://ccognoscitiva.iespana.es):

“En una democracia, los pobres tienen más poder que los ricos,

porque son más, y la voluntad de la mayoría es suprema.”

(Aristóteles, La política) 1

Aquí el razonamiento sería:

1) En una democracia, los pobres son más que los ricos.

2) En una democracia, la voluntad de la mayoría es suprema

3) Por lo tanto, en una democracia los pobres tienen más poder que los

ricos

También puede pasar que la conclusión se encuentre entre las diferentes

premisas ofrecidas, por ejemplo:

1 Rodolfo J- Rodríguez R, Estructura de los razonamientos http://ccognoscitiva.iespana.es/rrr_estructura.pdf (enero de 2011)


“Puesto que los principios éticos.-.tienen influencias sobre las acciones y los afectos, se desprende de ello que no pueden ser derivadas de la razón, y esto porque la razón sola, como ya hemos probado, nunca puede ejercer tal influencia.” (Hume, D. Tratado de la naturaleza humana)

Aquí tenemos que:

1) Como "los principios éticos tienen influencias sobre las acciones y los

afectos"

2) Como "la razón sola, como ya hemos probado, nunca puede ejercer tal

influencia".

3) tenemos que "los principios éticos no pueden ser derivados de la razón",

En un razonamiento puede ocurrir que no todo lo que se sostiene sea una premisa o una conclusión del mismo. Puede haber pasajes que contengan referencias que no tengan nada que ver con el caso, haga referencia a otra situación, pero que brindan información importante, colateral si se quiere pero importante y que permita a quien analiza el razonamiento comprender con más facilidad de qué trata tal argumento. El siguiente es un ejemplo:

“Si el código penal prohíbe el suicidio, esto no es un argumento válido para la Iglesia: además, la prohibición es ridícula, pues, ¿qué pena puede tener un hombre que no teme a la muerte misma?” (Schopenhauer, A. Estudios sobre el pesimismo)

En el razonamiento anterior, lo informado hasta el primer punto y coma, no es parte del razonamiento, esto es no es ni premisa ni conclusión. Pero sin esa información no sería posible saber a que "prohibición" se refiere en la conclusión. Aquí, la conclusión es que es ridículo prohibir el suicidio por el código penal o bajo amenaza de cualquier pena. La premisa que se involucra, dice que un hombre que no teme a la muerte misma no puede temer, por lo tanto, a ninguna pena.

En otros casos se tienen proposiciones donde aparecen dos o más

razonamientos yuxtapuestos, el siguiente es un ejemplo:

“No es necesario -en modo alguno, ni tampoco es conveniente- que el legislativo funciones de manera permanente; pero si es absolutamente necesario que el poder ejecutivo funcione permanentemente, porque no siempre hay necesidad de elaborar nuevas leyes, pero siempre se necesita poner en práctica las leyes elaboradas.” (Locke,J.,Ensayo sobre el gobierno civil)

En la proposición anterior, se mezclan dos razonamientos, y como

consecuencia hay dos conclusiones. Una por cada uno de los

razonamientos.

1.a) Conclusión es: "no es necesario que el Poder Legislativo esté en sesión

permanentemente"

2.a) Su premisa es "siempre hay necesidad de elaborar nuevas leyes".


El otro razonamiento tiene como conclusión la siguiente:

1.b)"Es absolutamente necesario que el Poder Ejecutivo funcione

permanentemente"

2.b) Su premisa es: "siempre hay necesidad de poner en práctica leyes

elaboradas".

Otra situación es cuando se encuentra que la conclusión de un

razonamiento es la premisa de otro:

Dado que no hay resistencia eléctrica en las bobinas que

transportan la corriente de un imán superconductor, no se

disipa ninguna energía en forma de calor, y es posible

mantener campos intensos prácticamente sin ninguna energía.

En el razonamiento anterior:

1.a) “No hay resistencia eléctrica en las bobinas que transportan la corriente

de un imán superconductor”, es la premisa del primer razonamiento,

2.a y 1.b ) “No se disipa ninguna energía en forma de calor” es la conclusión

del primer razonamiento y la premisa del segundo razonamiento

2.b) “Es posible mantener campos intensos prácticamente sin ninguna

energía” es la conclusión del segundo razonamiento.

2.2- Razonamientos

deductivos válidos y no válidos

Las proposiciones, de acuerdo a sus características semánticas, pueden ser verdaderas o falsas. Los razonamientos en cambio no son ni verdaderos ni falsos. En el caso de los razonamientos deductivos por ejemplo, son válidos o en otro caso son inválidos. Sin embargo hay una relación que existe entre la validez e invalidez de los razonamientos y la veracidad o falsedad de las proposiciones. Como ejemplo podemos ver distintos ejemplos:

Aquí tenemos el siguiente razonamiento que es válido con

proposiciones verdaderas:

Todos los delfines son mamíferos.

Todos los mamíferos tienen pulmones.

Por lo tanto, todos los delfines tienen pulmones.

En cambio este es un razonamiento válido con proposiciones falsas:


Todos los gatos tienen dos cabezas.

Todos los seres de dos cabezas vuelan.

Por lo tanto, todos los gatos vuelan.

Sabemos que es posible que en esta vida el que no corre, vuele, pero de todas maneras, resulta claro que en el razonamiento anterior se parte de premisas falsas y se llega por lo tanto a una conclusión falsa, sin embargo la conclusión es consecuencia necesariamente de las premisas, por lo que se puede decir que el razonamiento es válido.

El siguiente, en cambio, es un razonamiento que damos por inválido

pero que tiene premisa y conclusión verdadera:

Si yo tuviera el Tesoro de la isla Encantada, entonces sería

un hombre rico.

No tengo el Tesoro de la isla Encantada.

Por lo tanto, no soy un hombre rico.

En este caso, aunque la premisa y la conclusión pueden ser

verdaderas, esta última no se puede concluir de la primera.

El que sigue es un razonamiento inválido pero con premisas

verdaderas y conclusión falsa:

Si Repsol fuera dueña de la Petrobras, haría mucho

dinero.

La Repsol no es dueña de la Petrobras.

Por lo tanto, Repsol no tiene mucho dinero.

Se trata de un razonamiento claramente inválido, donde se presenta

el caso que la premisa es verdadera y la conclusión es claramente

falsa.

Pero también se puede dar el caso donde los razonamientos son inválidos con conclusiones verdaderas y esto es posible, si por lo menos hay una premisa falsa. Cuando un razonamiento es válido, y todas sus premisas son verdaderas, se dice que el razonamiento es sólido.

Entonces, la validez es una cuestión de cuál es la forma en la que están enlazadas las proposiciones simples con sus conectivos. Es decir que es la 'forma de razonamiento' lo que debemos analizar como válida. Sin embargo, la validez también depende del valor de verdad de las premisas y la conclusión, puesto que un razonamiento será inválido con seguridad, si las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa. Y ésta debería ser la primera prueba que debemos hacerle a un razonamiento para corroborar que es un razonamiento válido o inválido.


Resulta importante en particular, poder diferenciar la verdad de la validez,

es decir la verdad empírica de la verdad lógica, porque son los conceptos

que más fácilmente pueden confundirse.

En Lógica, nos referimos al razonamiento como una máquina o un autómata que genera proposiciones verdaderas a partir de proposiciones verdaderas. Si se le introducen proposiciones verdaderas (es decir si las premisas son verdaderas), entonces el razonamiento generará una verdad (la conclusión será sin duda también verdadera). Por otro lado, si de entrada se le introducen proposiciones falsas (es decir si las premisas son falsas), la máquina de razonar o autómata no funciona, es decir, podrá generar tanto conclusiones verdaderas como falsas, aún cuando el razonamiento pueda seguir siendo válido.

Por lo tanto, definiremos un razonamiento como inconsistente cuando sus premisas sean contradictorias entre sí. Entonces, si son contradictorias, al menos una de esas premisas será falsa. Teniendo en cuenta entonces que en razonamiento de este tipo las premisas son falsas y además teniendo en cuenta que un razonamiento es inválido sólo cuando las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa, resulta que estos razonamientos inconsistentes son en principio siempre válidos y de ellos puede sacarse cualquier conclusión, aunque sea ajena al tema de las premisas. Por ejemplo: "Hoy 22 es par y 22 es impar; por lo tanto, un colibrí es un exégeta". Entonces, con premisas inconsistentes puede derivarse cualquier conclusión con validez, es decir, un razonamiento inconsistente (con premisas contradictorias) no puede garantizar la verdad de ninguna conclusión (es decir que la conclusión puede ser, entonces, tanto verdadera como falsa), ya que las premisas con seguridad son falsas.

Entonces, la validez de un razonamiento no tiene que ver, como dijimos, con el valor de verdad de la proposición. Si citamos textualmente a “Lógica dinámica”: de NUDLER Y NUDLER por ejemplo dice que: “El razonamiento deductivo..., la conclusión es forzosa, se desprende necesariamente de las premisas. Así como una proposición puede ser verdadera o falsa, un razonamiento puede ser válido (correcto) o inválido (incorrecto) La validez de un razonamiento deductivo no depende de que las proposiciones componente sean verdaderas. Un razonamiento puede ser correcto y contener una o varias afirmaciones falsas. Ej. Todo insecto es mamífero. Toda mosca es insecto. Por lo tanto todo mosca es mamífero. La validez de un razonamiento deductivo depende de su estructura o forma.” 2

2 Barreiro de Nudler, Telma ; Nudler, Oscar (revisión) Lógica dinámica : nociones teóricas y ejercicios de lógica tradicional y simbólica Buenos Aires : Kapelusz, 1993

Tanto la verdad como la validez se definen mediante una relación entre dos entidades: la verdad relaciona a una proposición con la realidad, mientras que por otro lado la validez relaciona las consecuencias de una proposición en otra proposición, y más concretamente, entre la oración llamada premisa y la oración llamada conclusión.


Con respecto a esto debe señalarse lo siguiente: 3

3 Blogía http://aigua2005.blogia.com/2005/062901-verdad-y-validez.php (Enero de 2011)

“1)- Un razonamiento deductivo es válido si su forma o estructura lógica es correcta.

2)- Su estructura es correcta sólo cuando garantiza que nunca será posible construir un razonamiento (con esa forma) tal que de premisas verdaderas se obtenga una conclusión falsa.

3)- Es decir, que una forma correcta de razonamiento deductivo permite inferir correctamente la conclusión a partir de las premisas, y garantiza que si las premisas (que son algo así como la materia prima del razonamiento) son verdaderas (son de buena calidad en cuanto a la afirmación que contienen) la conclusión (es decir el producto obtenido) también lo será.

4)- Por lo tanto, si un razonamiento tiene premisas verdaderas y conclusión falsa, podemos determinar, sin más análisis que es inválido, pues su estructura lo es (no cumple con la condición fijada en II). Ej. Todo hombre es mortal. Todo mortal es ser vivo. Por lo tanto, todo ser vivo es hombre. Este razonamiento tiene una forma inválida.

5)- Pero la forma o estructura correcta no puede garantizar la verdad de la conclusión si se parte de alguna afirmación falsa (una premisa o varias). Así puede ocurrir, como en el ejemplo dado al comienzo de este párrafo, que la falsedad de la conclusión sea imputable a la falsedad de alguna premisa.

6)- Una forma o estructura correcta de un razonamiento deductivo es, pues, como una máquina perfecta de lo bueno (verdadero, en este caso) se obtiene lo bueno. Pero es imprevisible qué puede obtenerse de lo malo. La máquina no puede responsabilizarse por la calidad del producto si se ha empleado mala materia prima.


Razonamientos deductivos válidos.

Por lo tanto, podemos determinar que un razonamiento válido es una proposición compuesta entre premisas y conclusión, unidas por un condicional, de tal forma que la premisa y la conclusión están relacionadas de manera que la veracidad de la proposición compuesta (del condicional) no está supeditada a la veracidad de la premisa. Y de manera tal, que si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión es verdadera.

Por ejemplo, pensemos en las proposiciones p y q cuales quiera sean y no

necesariamente verdaderas. Entonces el razonamiento:

[(p=>q) ^ p] =>q

es un razonamiento válido, ya que la veracidad de la proposición compuesta (en este caso el razonamiento), no depende de los valores de verdad de la premisa. Esta proposición es una tautología y lo que vemos que la veracidad de la conclusión, es consecuencia de la veracidad de las premisas. Veamos su tabla de verdad:

p q p => q (p=>q)^p [(p=>q)^p]=>q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

7)- Ahora bien, todo razonamiento deductivo que presenta premisas y conclusión verdadera ¿es, por ese solo hecho válido? No, pues ello puede deberse a una casualidad, al contenido particular de las afirmaciones que aparecen en ese razonamiento. Pero la validez, como vimos, no depende de los contenidos. sino de la estructura lógica, y puede ocurrir que esa misma forma, que en esta ocasión, por casualidad, permitió inferir de verdad, verdad, falle en algún otro caso, permitiendo inferir de verdad, falsedad.

Ej: (el sig. razonamiento presenta premisas verdaderas y conclusión

verdadera):

Todo pájaro tiene plumas. Ningún gato es pájaro. Por lo tanto ningún gato tiene plumas. Pero su estructura Todo M es P. Ninguna S es M. Por lo tanto ningún S es P, es inválida; como lo muestra el siguiente razonamiento de premisas verdaderas y conclusión falsa: Todo hombre tiene sangre.

Ningún perro es hombre. Por lo tanto ningún perro tiene sangre.”

8)- Por consiguiente, para determinar la validez de un razonamiento deductivo será necesario poseer criterios independientes de la cuestión relativa a la verdad o falsedad de las proposiciones que lo constituyen. La elaboración y estudio sistemático de tales criterios que permitan decidir la validez de los razonamiento deductivos teniendo en cuenta exclusivamente sus características formales, es precisamente el objeto de la lógica.”


Es decir que independientemente de la veracidad de p y q, que son las proposiciones simples involucradas, las premisas (p=>q) y p pueden tener cualquier valor de verdad, pero la proposición final es verdadera y el razonamiento es correcto.

Un ejemplo podría ser:

p = Me levanto temprano

q = Tengo tiempo de ir al gimnasio

Entonces el razonamiento válido es:

Cuando me levanto temprano tengo tiempo de ir al gimnasio,

como hoy me levanté temprano entonces tengo tiempo de ir al

gimnasio

(p=>q) =Cuando me levanto temprano tengo tiempo de ir al gimnasio,

p = Hoy me levanté temprano

entonces

q = tengo tiempo de ir al gimnasio

Razonamientos deductivos no válidos.

En contraposición con los razonamientos como el que presentáramos en la lectura anterior, podemos decir que hay razonamientos que están mal estructurados. Es el caso en el que la proposición compuesta que forma el razonamiento es una contingencia, es decir que puede ser falsa para alguna combinación de valores de verdad de las proposiciones simples que lo componen.

Como ejemplo podríamos analizar la siguiente proposición compuesta:

Cuando me levanto temprano tengo tiempo de ir al gimnasio,

como hoy tengo tiempo de ir al gimnasio entonces me levanté

temprano

La cual podríamos resumir en lenguaje lógico de la siguiente manera:

p = Me levanto temprano

q = Tengo tiempo de ir al gimnasio

(p=>q) =Cuando me levanto temprano tengo tiempo de ir al gimnasio,

q = tengo tiempo de ir al gimnasio

entonces

p = Hoy me levanté temprano


Y por lo tanto, la proposición resultante a la que hace referencia el

razonamiento es

[(p=>q) ^ q] =>p

Cuya tabla de verdad está expresada por:

p q p => q (p=>q)^q [(p=>q)^q]=>p

V V V V V

V F F F V

F V V V F

F F V F V

Como vemos, tiene una posibilidad de ser falsa y corresponde a la situación donde p es falsa y q verdadera. Es decir que es posible que a pesar de que no me levantara temprano, lo mismo hubiera tenido tiempo de ir al gimnasio, ya que el antecedente no dice nada al respecto de lo que pasa si p es falsa. En ese caso, es posible que haya tenido tiempo de ir al gimnasio, pero no indica de ninguna manera que eso implique que me levantara temprano.

En la sección dedicada a las reglas de inferencia, que tenemos unas páginas

más adelante, se detallan los tipos de razonamiento válidos más comunes.

La estructura de los razonamientos en el

lenguaje coloquial (razonamientos

informales)

El ejercicio cotidiano de determinar cuáles son los razonamientos (y su estructura) del lenguaje cotidiano es cuanto menos interesante. Este ejercicio, resulta fundamental para todas las actividades racionales de los seres humanos. Sin lugar a dudas, se trata del principal medio de comunicación entre los individuos de una sociedad, a través de una herramienta lingüística de cualquier tipo.

En primer lugar hay que reconocer si el párrafo en estudio es en realidad un razonamiento, es decir si éste tiene una conclusión que puede sostenerse por sus premisas. Entonces, de esta forma se puede recomendar el procedimiento siguiente, a manera de receta, para poder reconocer un razonamiento y expresarlo de manera sintética:

1) Identificar el Razonamiento y los componentes del mismo. Es decir, reconocer la estructura del razonamiento:


Se recomienda:

Dividir el párrafo en la mayor cantidad de proposiciones posibles, diferenciando entre éstas y las que no son proposiciones, es decir otro tipo de oraciones no propositivas, no declarativas.

Diferenciar entre las proposiciones propias del razonamiento y la

información adicional.

Detectar los indicadores de premisas y de conclusión utilizando las

palabras propias para ese fin, que se introdujeran anteriormente.

Esto lo realizamos para descubrir las premisas y conclusiones

explícitas y con ello determinar la línea argumentativa.

Descubrir aquellas conclusiones y premisas no explícitas, que se

presentan sin los indicadores mencionados.

Determinar cuáles premisas explicitas están relacionadas con que

conclusiones. Esto es posible por ejemplo preguntándole a la

conclusión preguntas tipo como: ¿Por qué?, ¿Cómo?, ¿Cuándo? y

buscando cuáles son las premisas que contestan estas preguntas.

Por último, se debe organizar estructuradamente el o los

razonamientos descubiertos.

2. Además, se pueden suponer premisas tácitas, faltantes u olvidadas.

3. Luego, determinar el proceso de inferencia involucrado.

Una vez realizada la parte analítica y habiendo determinando la estructura,

significados y procesos inferenciales involucrados dentro de un

razonamiento, es posible contrastarlo con otros razonamientos

relacionados y enfrentarlos metódicamente a la crítica. Para analizar un

razonamiento se debe tomar en cuenta si es:

1. Convergente (razonamiento simple) - Aquí muchas proposiciones

independientes entre sí soportan una conclusión.

2. Divergente - Si una sola proposición es el soporte de muchas

conclusiones (razonamientos múltiples).

3. Argumentos seriales - Si contiene cadenas, es decir, una proposición

que sea tanto conclusión en un primer razonamiento, como premisa para

una conclusión posterior.

El análisis detallado de los razonamientos es el primer paso para desarrollar

un sentido crítico sobre la argumentación oral o escrita de carácter

informal, es decir en el contexto del lenguaje coloquial. El pensamiento

crítico (pues a esto nos referimos) es una actitud mental permanente, cuya

aplicación no requiere límites disciplinarios. Cualquier materia que

involucra al intelecto o a la imaginación, puede ser examinada desde la

perspectiva del pensamiento crítico.


Si nos referimos a las argumentaciones y las discusiones que se realizan en

distintos ámbitos como podrían ser: medios de prensa, centros académicos,

foros políticos, inclusive coloquios informales, es posible distinguir entre un

pensamiento crítico, que podríamos llamar débil, el que sería atacar al

oponente y no sus argumentos y defender un punto de vista; y el

pensamiento crítico fuerte, que sería cuestionar posiciones ideológicas y

argumentos para mostrar sus perspectivas al margen de defender una

determinada posición. Así entonces, el pensamiento crítico es un hábito

intelectual necesario e ideal educativo. La Teoría de la Lógica, en este

contexto, resulta fundamental para el ejercicio del pensamiento Crítico.

2.3- Implicación lógica

En el ejercicio de tareas científicas, es de vital importancia la

argumentación para la demostración de proposiciones, que a priori, son de

veracidad incierta. Es aquí y debido a la importancia que tiene en los

procesos demostrativos y argumentativos, que se torna determinante mirar

con detenimiento, los principales conceptos vinculados con la implicación.

Vimos en el apartado anterior, que un razonamiento puede escribirse en

cierto sentido como una proposición, en donde las premisas son la primera

proposición de un condicional, con la segunda proposición compuesta por

la conclusión del razonamiento. Entonces, una implicación lógica, es un

enunciado compuesto por dos proposiciones lógicas enlazadas por las

palabras "Si... entonces..." u otras que tengan el mismo sentido. La

proposición que precede al "entonces", se llama el antecedente (premisa) y

la que le sigue se llama el consecuente (conclusión) y no se pueden

intercambiar sin que se cambie el sentido.

Veremos que algunas proposiciones, aunque no estén separadas por un

“si… entonces…” constituyen una implicación puesto que pueden ser tácitos

estos conectivos. Por ejemplo la proposición:

Los gatos son felinos

Es equivalente a la implicación:

Si es gato, entonces es felino.

p => q,

Aunque siempre tiene el sentido condicional del "Si se cumple lo que dice p

entonces se cumplirá necesariamente lo que dice q", se lee simplemente "si

p entonces q". La implicación lógica p => q es falsa en el único caso en el

que p sea verdadera y q sea falsa, y es verdadera en todos los demás casos

(tres de cuatro posibilidades).


Lo expresado en el párrafo anterior, significa que si p es falsa, la

implicación siempre es verdadera. Por eso, implicaciones como:

Si ese pájaro de cenizas es de acero, entonces los canguros son

todos objeto de deseo

Son verdaderas porque significan que a partir de algo falso podemos sacar

cualquier conclusión, lo que ciertamente no nos sirve de mucho, pero es así.

Ya que no se puede saber cuál es el valor de verdad de una conclusión que

tiene un precedente falso (puede que de verdad los canguros sean objeto de

deseo, ¿quién sabe?).

De modo que, para concluir o demostrar verdades, no tienen para nada

utilidad las implicaciones que parten de antecedentes falsos. Por el

contrario, si se parte de alguna proposición verdadera y el razonamiento es

válido, la conclusión es necesariamente verdadera, y es en esta situación

donde se encuentra la utilidad de la implicación lógica, para avanzar en el

descubrimiento de nuevas verdades a partir de verdades conocidas.

Dada una implicación, se pueden obtener otras cambiando la posición o

negando sus componentes tal cual lo hiciéramos en la lectura del módulo

uno con la recíproca, la contrarrecíproca y la contraria.

Ejercicio 1: Con las siguientes proposiciones, construya 3 implicaciones

verdaderas.

1. Luis es colombiano.

2. Colombia está en el polo norte.

3. En el Sahara viven africanos.

4. Hay dinosaurios vivos en el Sahara.

5. Luis es suramericano.

6. Los dinosaurios murieron hace 50 millones de años.

7. El Sahara es un desierto de África.

Ejercicio 2: Construya la contraria, recíproca, y contrarecíproca de la

implicación:

"Agustín es Cordobés, entonces Agustín es argentino"

En síntesis, diremos que una implicación es un razonamiento válido.


Evalúe lógicamente todas estas implicaciones.

Ejercicio 3: Escriba F o V de acuerdo al valor de verdad de cada

implicación dentro del paréntesis que le sigue:

1. 3+6=9=>9-6=3 ( );

2. 3+6=9=>9-6=1 ( );

3. 15<9 => 5+7=8 ( );

4. 15<9=>5+7=12 ( );

5. Si Pedro es Paraguayo => Pedro es Americano ( );

6. Si Alí es Africano => Alí es egipcio ( )

Solución: 1.-V; 2.- F; 3.- V; 4.- V; 5.- V 6.- F

2.4- Leyes de Inferencia

No siempre las proposiciones constituyen un razonamiento, aún cuando

haya un condicional involucrado. Es decir que el hecho de contener

proposiciones es condición necesaria pero de ninguna manera suficiente

para ser un razonamiento. Puede verse el siguiente ejemplo:

• Si un grupo de personas se expresan en una misma lengua, constituyen

una comunidad lingüística.

El anterior es un condicional que no es de alguna manera un razonamiento,

pues no se encuentra estructurado. La misma expresión, pero estructurada

como razonamiento, tal como lo vimos, sería la siguiente:

• Puesto que un grupo de sujetos se expresan en una misma lengua, por lo

tanto constituyen una comunidad lingüística.

La manera de argumentar que implica obtener una conclusión, es lo que

llamamos inferencia. Recordemos que al principio de la lectura dimos la

definición de Inferencia de acuerdo a la Real Academia Española e

invitamos a los desmemoriados a releerla.

Existen varios tipos básicos de inferencia, las más frecuentes son la

deductiva, la inductiva y la abductiva. Estas inferencias generan los tipos de

razonamientos respectivos.

La lógica deductiva, que es la que nos compete en esta lectura, busca

aclarar la naturaleza de la relación existente entre las premisas y la


conclusión, discriminando los razonamientos válidos de los inválidos.

Como vimos, en un razonamiento deductivamente válido, es imposible que

las premisas sean verdaderas sin que la conclusión también lo sea.

En los razonamientos inductivos, en cambio, no se pretende que las

premisas ofrezcan fundamento concluyente para la veracidad de su

conclusión, éstas sólo ofrecen algún fundamento para ella. En el sentido

deductivo los razonamientos inductivos no son válidos o inválidos, es decir,

no son razonamientos.

En cambio, la inferencia abductiva es el proceso de razonamiento mediante

el cual se engendran las nuevas ideas, las hipótesis explicativas y las teorías

científicas. Por ejemplo, se afirma en Wikipedia, con respecto de los

razonamientos abductivos: “En la abducción a fin de entender un fenómeno

se introduce una Regla que opera en forma de hipótesis para considerar

dentro de tal regla al posible resultado como un Caso particular.

En otros términos: en el caso de una deducción se obtiene una Conclusión

« q » de una Premisa « p », mientras que el razonar abductivo consiste en

explicar « q » mediante « p » considerando a p como hipótesis explicativa”.4

“En muchos casos, las abducciones no son sino las conjeturas espontáneas

de la razón. Para que esas hipótesis surjan, se requiere el concurso de la

imaginación y del instinto. La abducción es como un destello de

comprensión, un saltar por encima de lo sabido; para la abducción es

preciso dejar libre a la mente. Peirce habla en ese sentido del musement, un

momento más instintivo que racional en el que hay un flujo de ideas, hasta

que de pronto se ilumina la sugerencia. Según el mismo Peirce, la

abducción es el primer paso del razonamiento científico ya que desde el

inicio, se efectúa una restricción de hipótesis aplicables a un fenómeno.

Según ese filósofo estadounidense, “el pensar humano tiene tres

posibilidades de crear inferencias o tres diversos modos de razonar: el

deductivo, el inductivo y el abductivo.”5

Un razonamiento deductivo, entonces, es aquel en el que se parte de al

menos una proposición de carácter general y como conclusión se llega a una

de carácter particular. Como vimos, la conclusión en un razonamiento

deductivo se desprende de sus premisas con absoluta necesidad. Es decir,

no es posible que sea otra conclusión.

4 Wikipedia, razonamiento abductivo, http://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento_abductivo (enero de 2011) 5 Wikipedia, razonamiento abductivo, http://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento_abductivo (enero de 2011)

De este modo, la abducción es la operación lógica por la que surgen hipótesis

novedosas.

http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis

http://es.wikipedia.org/wiki/Imaginaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Instinto

http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Pensamiento_%28mente%29


Dentro de las reglas de inferencia podemos considerar algunas muy

frecuentes e intensamente estudiadas. Por ejemplo:

Modus Ponendo Ponens (Que afirmando afirma)

El modus ponendo ponens (del latín, modo que afirmando afirma), es

también llamado modus ponens y generalmente es abreviado como MPP o

MP, es una regla de inferencia que tiene la siguiente forma:

Si A, entonces B

A

Por lo tanto, B

Esta ley de inferencia indica que dado que A implica B y A se da, entonces

se da q. Se podría escribir esta ley como

[(A=>B) ^ A] =>B


A B A =>B (A=>B)^A [(A=>B)^A]=>B

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

Es interesante percibir que es una ley lógica, de acuerdo a lo definido en el

Módulo 1, puesto que su tabla de verdad indica que es una tautología y por

lo tanto, verdadera, independientemente de los valores de verdad de las

proposiciones que la forman.

Un ejemplo de este razonamiento, podría ser de esta forma, en este caso

decimos que el razonamiento sigue la forma del modus ponens:

Si está estrellado, entonces es de noche.

Está estrellado.

Por lo tanto, es de noche.

Otro ejemplo sería:

Si Felipe tiene un frasco, es una ardilla.


Javier tiene un frasco.

Por lo tanto, Javier es una ardilla.

Otra manera de presentar el modus ponens con el condicional es:

A B

A

B

Se expresa en Wikipedia que “en la axiomatización de la lógica

proposicional propuesta por Jan Łukasiewicz, el modus ponens es la única

regla de inferencia primitiva. Esto ha motivado que mucha de la discusión

en torno al problema de la justificación de la deducción se haya centrado en

la justificación del modus ponens” 6. En la lectura del próximo módulo

veremos con profundidad este concepto.

Por otra parte, es importante que se evidencia la relación que existe entre la

ley MPP y el condicional. Esto es importante para asociar las variantes del

condicional con las otras leyes de inferencia.

Modus Ponendo Tollens (Que afirmando niega)

El modus ponendo tollens (del latín, modo que afirmando niega) o MPT es

una forma válida de razonamiento, que utiliza la disyunción excluyente y

dice:

O bien A, o bien B

A

Por lo tanto, no B

Esta ley de inferencia indica que dado que A implica B y A se da, entonces

se da q. Se podría escribir esta ley como

[(AB) ^ A] =>B


6 Wikipedia: modus ponens http://es.wikipedia.org/wiki/Modus_ponendo_ponens (Enero de 2011)

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional



http://es.wikipedia.org/wiki/Jan_%C5%81ukasiewicz

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_justificaci%C3%B3n_de_la_deducci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Lat%C3%ADn


A B A B (AB)^A [(AB)^A]=>B

V V F F V

V F V V V

F V V F V

F F F F V

Es interesante percibir que es una ley lógica, de acuerdo a lo definido en el


lo tanto, verdadera independientemente de los valores de verdad de las


Un ejemplo de este razonamiento, siguiendo la forma del modus ponendo

tollens, podría ser:

O bien es de día, o bien es de noche.

Es de día.

Por lo tanto, no es de noche.

Otra manera de presentar el modus ponendo tollens es:

A B

A

B

Es importante notar que la disyunción excluyente se puede utilizar para

expresar el bicondicional, de acuerdo a lo que expusiéramos en el Módulo 1.

Modus Tollendo Tollens (Que negando niega)

El modus tollendo tollens (del latín, modo que negando niega), también

llamado modus tollens y generalmente abreviado MTT o MT, es otra ley que

tiene la siguiente forma:

si A entonces B

No B

Por lo tanto, no A



Esta ley de inferencia indica que dado que A implica B y B no se da,

entonces no se puede dar A. Se podría escribir esta ley como

[(A=>B) ^ ¬B] =>¬A


A B A =>B (A=>B)^ ¬B [(A=>B)^¬B]=>¬A

V V V F V

V F F F V

F V V F V

F F V V V

Es interesante percibir que es una ley lógica de acuerdo a lo definido en el




Esta ley está asociada a la contrarrecíproca del condicional. Por ejemplo, un

razonamiento que sigue la forma del modus tollens podría ser:

Si está soleado entonces es de día.

No es de día.

Por lo tanto, no está soleado.

Es importante notar que este razonamiento es incorrecto:

Si tiene permiso de conducir entonces es mayor de edad

No tiene permiso de conducir

Por lo tanto, no es mayor de edad.

Ya sabemos que es inválido puesto que podría ser mayor de edad y no tener

permiso de conducir como la contraria dice. Pero según lo trabajado en

Módulo 1, sabemos que la contraria no es equivalente al condicional. De ahí

la importancia de no confundir el condicional (si p, entonces q) con la

contraria ni con el bicondicional (p si y sólo si q).

Otra manera de presentar el modus tollens es:


A B

B

A

Lo que indica el MTT es que si B es consecuencia de A y sabemos que B es

falsa entonces A deberá ser falsa, puesto que si no lo fuera entonces B sería

verdadera, ya que es una consecuencia de A. Como la consecuencia es falsa,

entonces la causa debe ser falsa. Este razonamiento es también una

consecuencia de trabajar en una lógica con sólo dos valores de verdad, es

importante notar que en una lógica polivalente, esta manera de razonar es

inválida. Por suerte, la lógica que elegimos es la bivalente.

A su vez, se sostiene en Wikipedia “El modus tollens es central al modelo

falsacionista de la ciencia propuesto por Karl Popper en su libro ¨La lógica

de la investigación científica¨. Según Popper, la ciencia nunca puede

confirmar definitivamente una hipótesis, pero sí puede refutarla

definitivamente, deduciendo una consecuencia observable de la misma y

mostrando que dicha consecuencia no se cumple. Este procedimiento de

refutación sigue la forma de un modus tollens:

La hipótesis H implica la consecuencia observable O.

La consecuencia observable O no es el caso.

Por lo tanto, la hipótesis H tampoco es el caso.

La validez de este razonamiento, contrasta con la invalidez de los intentos

de confirmación de una hipótesis:

La hipótesis H implica la consecuencia observable O.

La consecuencia observable O es el caso.

Por lo tanto, la hipótesis H también es el caso.

Este razonamiento es un caso de afirmación del consecuente, y por lo tanto

no es un razonamiento válido. En consecuencia, mientras las refutaciones

tienen la forma de un argumento deductivamente válido, las

confirmaciones tienen la forma de un argumento deductivamente inválido,

y a lo sumo tienen la fuerza de un razonamiento inductivo”. 7

7 Wikipedia: modus ponens http://es.wikipedia.org/wiki/Modus_tollendo_tollens (Enero de 2011)

http://es.wikipedia.org/wiki/Falsacionismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Karl_Popper

http://es.wikipedia.org/wiki/Afirmaci%C3%B3n_del_consecuente

http://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento_inductivo


Modus Tollendo Ponens (Que negando afirma)

El modus tollendo ponens (del latín, modo que negando afirmo) o MTP, es

una forma válida de razonamiento, que utiliza la disyunción excluyente y

dice:

O bien A, o bien B

¬A

Por lo tanto, B

Esta ley de inferencia indica que, dado que A implica B y A se no se da,

(como no pueden ser ambos falsos), entonces se da B. Se podría escribir

esta ley como:

[(AB) ^ ¬A] =>B


A B A B (AB)^¬A [(AB)^¬A]=>B

V V F F V

V F V F V

F V V V V

F F F F V

Es interesante percibir que es una ley lógica de acuerdo a lo definido en el




Esta forma es considerando la disyunción excluyente, pero no es

imprescindible que lo sea. Con la disyunción inclusiva también es válido.

Por ejemplo:

[(AvB) ^ ¬A] =>B




A B A v B (AvB)^¬A [(AB)^¬A]=>B

V V V F V

V F V F V

F V V V V

F F F F V

Un ejemplo de este razonamiento, siguiendo la forma del modus ponendo

tollens, podría ser:

O bien es de día, o bien es de noche.

No es de día.

Por lo tanto, es de noche.

Otra manera de presentar el modus ponendo tollens es:

A B

A

B

O bien

A B

A

B

Es fundamental notar que la disyunción excluyente se puede utilizar para

expresar el bicondicional, de acuerdo a lo que expusiéramos en el Módulo 1.

Ejemplos y Ejercicios

En los ejemplos siguientes hay un solo razonamiento, es decir que los

ejemplos son convergentes. Identifique las premisas y la conclusión de cada

uno de los razonamientos y organícelos con una estructura adecuada. (Los


ejemplos son tomados del apunte Estructura de los razonamientos de

Rodolfo Rodríguez http://ccognoscitiva.iespana.es/rrr_estructura.pdf) 8

Razonamientos Simples.

1. Debe haber sustancias simples, puesto que las hay compuestas, ya que una sustancia compuesta no es nada más que una colección o agregado de sustancias simples. G. Leibniz, La monado logia.

2. Se piensa que todo arte y toda indagación, así como toda acción y prosecución, tienden a algún bien, y por esta razón se ha declarado correctamente que el bien es aquello a lo cual tienden todas las cosas. Aristóteles, Ética a Nicómaco.

3. Destruir un libro es casi como matar a un hombre; quien mata a un hombre mata a un ser de razón, imagen de Dios; pero quien destruye un buen libro, mata la razón misma. John Milton, Areopagítica

4. Puesto que la lógica es uno de los medios principales que aseguran la disciplina y la integridad intelectuales, si se la aplica apropiadamente sólo puede promover el logro de fines sociales deseables. Imar Tammelo,Esbozo de lógica legal moderna

5. Puesto que la felicidad consiste en la paz del espíritu, y puesto que la paz durable del espíritu depende de la confianza que tengamos en el futuro, y puesto que la confianza se basa en la ciencia que debemos tener acerca de la naturaleza de Dios y el alma, se sigue que la ciencia es necesaria para la verdadera felicidad. G. Leibniz, Prefacio a la ciencia general.

6. El ciudadano que valora tanto su "independencia" que no se enrola en ningún partido político, en realidad está enajenando su independencia, pues renuncia a compartir la adopción de decisiones en el nivel primario: la elección de un candidato. B.L. Felknor,Política sucia.

Leyes de Inferencias.

Indique si en alguno de los ejercicios anteriores se realiza alguna de los razonamientos vistos MPP, MPT, MTP o MTT.

Respuestas a ejercicios:

1. p=Hay sustancias compuestas. q= Hay sustancias simples.

(p=>q ^p) => q MPP

8 Rodolfo J- Rodríguez R, Estructura de los razonamientos http://ccognoscitiva.iespana.es/rrr_estructura.pdf (enero de 2011)


2. p=Todo arte tiende a un bien. q=Toda indagación tiende a un bien. r= Toda acción tiende a un bien. s= Toda prosecución tiende a un bien.

(p^q^r^s)=>( p^q^r^s)

3. p= Alguien destruye un libro. q= Alguien mata un hombre. r=Alguien mata la razón.

[(pq)^(q=>r)] =>(p=>r)

4. p= se aplica lógica q=se asegura la disciplina y la integridad intelectual r=se logran fines sociales

(p=>q)^(qs)=>(p=>s)

5. s= Somos felices r= Tenemos paz espiritual, q= Tenemos confianza en el futuro. p= Tenemos ciencia acerca de la naturaleza de Dios y el alma

[(p=>q)^(q=>r)^(r<=>s)]=>(p=>s)

6. Si el ciudadano renuncia a compartir la adopción de decisiones en el nivel primario: la elección de un candidato, entonces no valora su independencia. El ciudadano no se enrola en ningún partido político. Luego, enajena su independencia.

p=El ciudadano valora la independencia q=El ciudadano no participa

((q=>¬p) ^q)=>¬p MPP


Bibliografía Lectura 2

Copi, Irving M. “Introducción a la Lógica”, Traduce Néstor Míguez. 7ma Ed. (1969) EUDEBA

Ralph P. Grimaldi, "Matemáticas Discretas y Combinatoria" - 1. - s/d - 2000 - s/d - Argentina.

Rodolfo Rodríguez http://ccognoscitiva.iespana.es/rrr_estructura.pdf

Ross, K. A. y Wright Ch. R. "Matemáticas Discretas" - 2. - s/d - 2000 - s/d –Argentina

Wikipedia http://es.wikipedia.org (Enero de 2011)

Algunos ejemplos extraídos del sitio web: http://ccognoscitiva.iespana.es

www.uesiglo21.edu.ar

razonamiento deductivo lectura m2

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