Universidad Católica Redemptoris MatersUNICA

I año Sabatino

Catedrático: Lic. Francisco S. Hernández Mendoza. Carrera: Matemática.

¿Qué es la Lógica Matemática?

Aprender matemáticas, “es muy difícil”; así se expresan la mayoría de nuestros estudiantes en todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación del porqué no aprenden las ciencias exactas los alumnos. Nuestra teoría es la siguiente:

“Los alumnos no aprenden ciencias exactas, porque se les hace difícil relacionar las conocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, fórmulas) con los problemas que se le presentan en la vida real”.

La “lógica matemática”, ayuda al estudiante a encontrar estas relaciones entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructura cognitiva. Si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticos que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas.

La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente la utilización de los mismos.

Cuando enseñamos Matemática, uno de nuestro objetivos es que el estudiante aprenda a realizar demostraciones formales por el método directo y el método por contradicción o reducción al absurdo, etc. Por esta razón se hace necesario que el educando aprenda lógica matemática, y así no tendrá problemas para aprender ciencias exactas y será capaz a través de pasos lógicos, resolver un problema determinado.

 

Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá llegar al

resultado. Esto permite que el estudiante tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas de acuerdo a las reglas de inferencia que él aplica para relacionar sus conocimientos y así obtener el resultado deseado.

Pero, qué es la Lógica Matemática?

La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias  física  y  naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

Proposiciones Lógicas

Una Proposición Lógica: es un enunciado que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

 

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones lógicas válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la oración.

Ejemplos:  

p:         Un triangulo es una figura plana que tiene tres lados.

q:         -17 + 38 = 21

r:          x > y-9

s:         El Madriz será campeón de fútbol.

t:          Hola ¿como estas?

w:         Lava el coche por favor.

 

Los enunciados p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El  enunciado r no es una proposición valida, el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento, pero puede llegar a serlo, a este tipo de expresiones se les llama formas proposicionales. La proposición s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fútbol, por lo tanto no es una proposición lógica. Finalmente los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

En este curso nuestra meta, en la medida en que se pueda, consiste en:

1. Traducir las proposiciones del lenguaje ordinario a la forma simbólica.

2. Simplificar la forma simbólica.

3. Traducir la forma simplificada de nuevo a proposiciones del lenguaje ordinario.

Para fines prácticos, supondremos que las traducciones en un sentido y en otro entre el lenguaje ordinario y el simbólico se pueden efectuar de manera sencilla. Aunque en la realidad, no siempre sucede así, desafortunadamente. Al traducir, debemos preguntarnos que significa la oración en el lenguaje natural, y luego tratar de encontrar una proposición en el lenguaje simbólico que tenga, hasta donde sea posible, el mismo significado.

Valor de Verdad de una Proposición Lógica.

La cualidad de verdadera o falsa de una proposición lógica se llama Valor de Verdad.

Para indicar que una proposición es verdadera, usaremos la letra “V”, y si es falsa se usará la letra “F”.

Conectivos o Conectores Lógicos y Modificadores.

Se denominan Conectivos o Conectores Lógicos, a ciertas expresiones gramaticales tales como: “y”, “o”, “sí…entonces…”, “…si y sólo si…”, las cuales se usan para enlazar proposiciones.

Principales Conectivos Lógicos:

Conector Símbolo Interpretación

Conjunción

Disyunción

Condicional

Bicondicional

y, pero

o

sí …entonces …

… implica …

… si y sólo si …

… equivale a …

Existen otras interpretaciones de los conectivos lógicos, pero estas son las más comunes.

Las expresiones gramaticales como “no es cierto que…”, “no ocurre que…”, “es falso que…”, “no”, que se usan para modificar el valor de verdad de una proposición, se llaman modificador negativo o modificador no.

Símbolo Interpretación

~

No

No es cierto que…

No ocurre que …

Es falso que …

El modificador negativo no es un conectivo lógico porque no enlaza proposiciones.

Proposiciones Simples y Compuestas.

Las proposiciones lógicas, según su estructura, se clasifican en:

Proposiciones simples, también llamadas atómicas.

Proposiciones compuestas, también llamadas moleculares.

Proposiciones Simples: Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir en otra mas sencilla, y no poseen conectivos lógicos en su estructura.

Ejemplo:

p : El cielo es azul

Proposiciones Compuestas: Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los conectores lógicos. Ejemplo:

q: Fui al colegio, pero el colegio estaba cerrado.

r: Los lectores de este documento son jóvenes o universitarios.

w: Si el martes próximo me saco la lotería entonces te regalaré una moto.

Bibliografía Consultada:

Introducción a la Lógica, Karl. J. Smith, Grupo Editorial Iberoamérica.

Matemática 1 Educ. Secundaria SGS, Luís Sáenz, Luís Gutiérrez, Róger Sequeira, Farben Grupo Editorial Norma.