guía de lógica matemática

1 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.

LÓGICA MATEMÁTICA

AUTOR: PROF ARACELIS M. NÚÑEZ R

NOVIEMBRE 2013


PREFACIO

La ENAHP-IUT es una Institución oficial de ámbito especial, perteneciente al

Subsistema de Educación Universitaria, dependiente del Ministerio del Poder

Popular para Planificación y Finanza cuyo objetivo principal es atender las

demandas del país en cuanto a la formación de profesionales capacitados para

desempeñarse en las áreas de Aduanas y Comercio Exterior, Finanzas Públicas y

Rentas, que respondan a las necesidades establecidas en los planes y programas

de desarrollo económico, de política comercial y de política fiscal, con el fin de

consolidar la autodeterminación y la soberanía nacional.

Con tal fin, otorga los títulos de Licenciado(a) en Ciencias Fiscales: Mención

Aduanas y Comercio Exterior, Mención Finanzas Públicas y Mención Rentas

Dentro del actual Pensum de Estudios (Pensum VI) de la ENAHP-IUT se

consideró que El Licenciado en Ciencias Fiscales requería de una formación que

incorporase el uso de la lógica para su aplicación en la solución de los problemas

administrativos, financieros, sociales y locales que le surgiesen en su entorno

laboral, personal y comunitario.

La Lógica es el estudio de los métodos y principios que se usan para distinguir el

razonamiento correcto del razonamiento incorrecto.

El Lógico, está interesado esencialmente en la corrección del proceso completo

de razonamiento. El lógico pregunta ¿Tiene solución el problema? ¿Se sigue la

conclusión de las premisas que se han afirmado o supuesto? ¿ Las premisas

proporcionan buenas razones para aceptar la conclusión? Si el problema queda

resuelto, si las premisas proporcionan las bases adecuadas para afirmar la

conclusión, si afirmar las premisas constituye una verdadera garantía para afirmar

la verdad de la conclusión, entonces el razonamiento es correcto. De lo contrario,

es incorrecto.


Esta distinción entre razonamiento correcto e incorrecto es el problema central con

el que trata la lógica. Ella ha desarrollado métodos y técnicas con el propósito

fundamental de aclarar esta distinción. Entre los métodos y técnicas utilizadas

tenemos: Las Tablas de la Verdad cuando se analizan pocas proposiciones y las

Reglas de Inferencia cuando el número de proposiciones simples es muy grande.

La presente guía teórico-práctica, en la Unidad I presenta una introducción al

mundo de la lógica, que no pretende sustituir los textos que sobre el tema existen,

pero que si permitirá tener una visión sencilla, general y amena de la misma. En

la Unidad II se incorporan elementos de la Teoría de Conjuntos con sus

operaciones y propiedades y finaliza en la Unidad III con la aplicación de lo

aprendido en ejercicios sobre ecuaciones. Sistemas de ecuaciones, inecuaciones,

porcentajes y regla de tres simple y compuesta

La Unidad Curricular Lógica Matemática proporciona un aporte importante al

estudiante de la ENAHP-IUT, ya que:

La elaboración de argumentos válidos es parte inicial del pensamiento

científico requerido en toda investigación.

En Economía y Estadística se requiere de comprender la teoría de

conjuntos, sus operaciones y propiedades, ya que son la base para la

comprensión de los axiomas del cálculo de probabilidades, con lo que estas

disciplinas ganan rigor y generalidad

Nos conduce a concebir al hombre como un individuo con un sentido crítico,

participativo, activo, que utiliza la tecnología a su servicio y está

preocupado por la democratización de la sociedad y la transformación

social de la misma


DEDICATORIA

Dedico esta guía en primer lugar a mis padres Juan Domingo Núñez Hernández y

Petra Aurora Rodríguez de Núñez seres ejemplares que con su amor, constancia

y paciencia formaron mi carácter y me permitieron alcanzar mis metas

profesionales y personales actuando siempre como el principal punto de apoyo

para mis decisiones y acciones

En segundo lugar a mi hijo Víctor Jesús Domingo Rodríguez Núñez y a mi nieto

Elián Ignacio Rodríguez Apolinar por ser las fuentes de inspiración y de alegría

que le dan sentido a mis logros profesionales.


INDICE

Unidad I. Algebra de Proposiciones.

1. Definición de enunciados, proposición simple y compuesta…………....Pág 6

principios básicos de la lógica y uso de los distintos tipos de conectivos lógicos .

2. Postulados de unicidad. Uso de tablas de verdad para los ……………..Pág 14

distintos conectivos lógicos. Cálculo proposicional. Tautologías, Contradicciones y Contingencias. Leyes de la Lógica

3. Ejercicios propuestos del tema …………………………………….….Pág 22

Unidad II. Teoría de Conjuntos.

1. Definición de conjuntos, subconjuntos, universal, vacío…………………Pag 27 Diagramas de Venn .Formas de determinar un conjunto

2. Operaciones con conjuntos: unión, intersección, diferencia,……………Pag 33 complemento. Partición, Cardinal, Producto cartesiano

3. Leyes fundamentales: de identidad, conmutativa, asociativa,………...Pág 42 distributivas. Leyes de Morgan aplicadas a conjuntos

4. Relación Entre La Teoría De Conjuntos Y La Lógica …………...….Pág 44 Proposicional

5. Ejercicios propuestos del tema………………………………………...Pág 46

Unidad III. Razonamiento Lógico Matemático.

1. Resolución De Problemas A Través De Ecuaciones, …………………...Pag 48 Sistemas De Ecuaciones, Inecuaciones, Razones, Proporciones Regla De Tres Simple Y Compuesta Y Porcentajes.

2. Ejercicios propuestos del tema ………………………………………….…Pág 61


INTRODUCCIÓN

En nuestro quehacer diario constantemente hacemos, deducciones. Esto significa,

que cada conclusión que obtenemos se deduce de algo. Este algo o punto de

partida se llama premisa. Por ejemplo si exponemos un trozo de hielo al calor, se

concluye que el hielo se derrite, o cuando un campesino ve una densa nube en el

cielo, deduce que va a llover, o también de "todos los mamíferos son vertebrados"

se puede concluir en "algunos mamíferos son vertebrados". Este proceso de pasar

de un conjunto de premisas a la conclusión se llama inferencia o deducción.

Cuando la conclusión se deduce correctamente del conjunto de premisas se dice

que la inferencia es válida, en caso contrario la inferencia no es válida. Sabemos

que la conclusión se deriva correctamente de sus premisas porque hay un

conjunto de leyes lógicas que garantizan dicha corrección. Justamente LA

LÓGICA estudia el modo de usar estas leyes, con las cuales podemos saber si

una inferencia es válida o no. De ahí que, la lógica es una ciencia que estudia los

métodos y las leyes que determinan la validez de la inferencia.

Así como existe una teoría para realizar cálculos con números (la aritmética) o con

objetos más complejos como diferencial e integral, también existen reglas precisas

para manejar proposiciones. Esto último corresponde al estudio de la lógica

proposicional

LOGICA MATEMATICA

UNIDAD I

http://www.monografias.com/trabajos15/transf-calor/transf-calor.shtml

http://www.monografias.com/trabajos33/el-campesino/el-campesino.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCE

http://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtml


Enunciado

Algunos enunciados indican expresiones imperativas, exclamativas, interrogativas,

otros en cambio, pueden ser verdaderos o falsos.

Ejemplo 1. Son enunciados:

¿Qué hora es?

¡Que viva la familia!

2 + 5 = 7

La estados Táchira, Mérida y Trujillo están en Venezuela

2x + 3 = 5

Proposición

Ejemplos 2: Las siguientes afirmaciones son proposiciones:

Venezuela está en la América del Sur.

Simón Bolívar nació en Caracas

1 + 1 = 3

1 + 6 = 7

El cuadrado de todo número par también es par.

Notación de las Proposiciones

Usaremos las letras minúsculas p, q, r,… para simbolizar las proposiciones

http://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtml


Las proposiciones pueden ser:

Simples (o atómicas) cuando en ella no interviene ningún conectivo lógico o

término de enlace. El término de enlace “no” se agrega cuando se niega esta

proposición ya que se redactan siempre en forma afirmativa

Compuestas cuando se unen una o varias proposiciones simples con un término

de enlace. Los términos de enlace son: "y", "o", "si... entonces...", "si y sólo si".

Ejemplos 3:

Las dos primeras afirmaciones son proposiciones simples y los restantes,

compuestas

El triángulo es un polígono

1 + 7 = 5

Si Juan va al cine, entonces tiene dinero

Un triángulo es equiángulo si, y solo si es equilátero

Marcos en ingeniero o Beatriz es profesora

Enunciado abierto

Ejemplo. Son enunciados abiertos:

X + 3 = 10

X 2 + Y 2 = 20

Z + 5 < 12

El tiene 20 años

http://www.monografias.com/trabajos14/cinehistor/cinehistor.shtml


Los enunciados que usan las palabras "él", "ella" son enunciados abiertos .Los

enunciados abiertos que contienen variables algebraicas se les denomina función

proposicional, que tienen la propiedad de convertirse en proposiciones, al

sustituirse la variable por una constante específica.

Ejemplo:

El enunciado abierto

2. X + 1 = 5

Es una función proposicional, el cual se convierte en proposición cuando:

i) Para x = - 3 (por ejemplo), se convierte en la proposición

2 .(-3) + 1 = 5……………………… (F) el cual tiene valor de verdad Falsa

ii) Para x = 2, entonces, será la proposición

2. (2) + 1 = 5 ……………………… (V) el cual tiene valor de verdad Verdadera

CONECTIVOS LÓGICOS:

Son aquellos símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples. Ellos

pueden ser: Conjunciones, Disyunciones (inclusiva y exclusiva), Condicionales y

Bicondicionales

http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTES

http://www.monografias.com/trabajos16/romano-limitaciones/romano-limitaciones.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml


PROPOSICIÓN COMPUESTA

Término de Enlace y Símbolo Lógico

Lenguaje Simbólico

Lenguaje Coloquial

CONJUNCIÓN “ y “ , “ pero “ En el lenguaje corriente se utiliza también una "," en vez del término de enlace "y". Símbolo ( ^ )

P ^ q Se lee p y q, p pero q, p sin embargo q, p incluso q, p tanto como q, p así mismo q, p también q, p al igual que q, No sólo p también q, p no obstante q

DISYUNCIÓN INCLUSIVA: Se usa cuando se desea incluir En este caso ambas proposiciones pueden ser verdaderas

“ó” Símbolo (v)

P v q Se lee P o q

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Las alternativas son excluyentes. Se cumple que una u otra proposición es verdadera, pero no ambas

“ó” Símbolo ( v )

P v q Se lee Ó p ó q

CONDICIONAL O IMPLICACIÓN

“ Si ..Entonces..” Símbolo

P q Se lee Si p entonces q

BICONDICIONAL

"si y sólo si" Símbolo

P q Se lee P si y solo si q

NEGACIÓN : se agrega a una sola proposición

“no” Símbolo ¬ y ~

¬ p ~p

Se lee No p No es cierto p

En proposiciones que tienen más de un término de enlace es preciso indicar la

manera de agruparse, pues distintas agrupaciones pueden tener distintos

significados. En el lenguaje corriente, las agrupaciones se presentan de acuerdo a

la colocación de ciertas palabras o mediante los signos de puntuación. En lógica

la agrupación se indica por medio de paréntesis.


Ejemplo:

O los soldados encontraron cerrado el paso, o si temieron un ataque enemigo, se

refugiaron en las montañas. Este texto se simboliza de la siguiente forma:

P: Los soldados encontraron cerrado el paso.

Q: Los soldados temieron un ataque enemigo.

R: Los soldados se refugiaron en las montañas.

La proposición compuesta es:

PvQR) La cual tiene un sentido distinto de la proposición:

(PQ) R. La cual se lee “Si los soldados encontraron cerrado el paso o temieron un ataque

enemigo, se refugiaron en las montañas

Cuando no hay lugar a ambigüedades, pueden omitirse los paréntesis y se adopta

una convención con respecto a la dominancia relativa de los diversos conectivos.

La convención es:

"" y "" dominan a "" y "".

así: S PR significa S (P R)

P Q r significa P (Q R)

ACTIVIDADES

1. Sean p, q y r las proposiciones siguientes:

p: "está lloviendo"……...q: "el sol esta brillando"……r: "hay nubes en el cielo"

http://www.monografias.com/trabajos12/sol/sol.shtml#sol


Traduciremos las siguientes oraciones a notación simbólica utilizando las letras

asignadas y los conectivos lógicos:

1 Está lloviendo y el Sol brillando p ^ q

2 Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo

P r

3 Si está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el cielo

p (¬ q ^ r )

4 El Sol está brillando si, y sólo si, no está lloviendo

q ¬ p

5 Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando

¬ r q

6 O está lloviendo o el sol está brillando P v q

2. Sean p, q y r del ejercicio 1. Traducir las siguientes proposiciones simbólicas a

oraciones en español:

(p ^ ¬q ) r Si está lloviendo y el sol no está brillando entonces hay nubes en el cielo

¬p (q v ¬ r ) No está lloviendo si y solo si el sol está brillando o no hay nubes en el cielo

P r ¬q Si está lloviendo entonces hay nubes en el cielo, de aquí que el sol no está brillando. Si está lloviendo entonces hay nubes en el cielo, de ser esto cierto entonces el sol no está brillando

3. Selecciona un artículo de periódico o de una revista: identifica, proposiciones

simples, conjunciones, disyunciones e implicaciones.

http://www.monografias.com/trabajos5/oriespa/oriespa.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/prens/prens.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/elcapneu/elcapneu.shtml#PRENSA


4. Construye funciones proposicionales, proposiciones verdaderas y falsas y

enunciados

La proposición: "si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo" se

simboliza:

Ejercicio: Simbolice y redacte la recíproca, inversa y contrarecíproca

Lenguaje Lógico o Simbólico

Lenguaje Español o Coloquial

Recíproca r p Si hay nubes en el cielo entonces está lloviendo

Inversa ¬p ¬r Si no está lloviendo entonces no hay nubes en el cielo

Contrarecíproca ¬r ¬p Si no hay nubes en el cielo entonces no está lloviendo

Negación de Proposiciones

NEGACION DE UNA PROPOSICION

LENGUAJE SIMBOLICO Y EQUIVALENCIA

Negación De Una Conjunción

¬ (P ^ q) equivale a ¬p v ¬ q

Negación De Una Disyunción ¬ ( p v q ) equivale a ¬ p ^ ¬ q

Negación De Un Condicional ¬ ( p q) equivale a p ^ ¬ q

Negación De Una Negación ¬ ( ¬ p ) equivale a p

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml


Traduzca las siguientes proposiciones simbólicas a lenguaje coloquial, con p,q y r

las proposiciones del ejercicio anterior

Negación De Una Conjunción ¬ (P ^ q) equivale a ¬p v ¬ q

No es cierto que “Está lloviendo y el sol está brillando” (¬ (P ^ q)) es equivalente a *NO ESTA LLOVIENDO O EL SOL NO ESTA BRILLANDO (¬p v ¬ q)

Negación De Una Disyunción ¬ ( p v q ) equivale a ¬ p ^ ¬ q

No es cierto que “Está lloviendo o que el sol está brillando” (¬ ( p v q )) es equivalente a *NO ESTA LLOVIENDO Y EL SOL NO ESTA BRILLANDO (¬ p ^ ¬ q) *NI ESTA LLOVIENDO, NI EL SOL ESTA BRILLANDO

Negación De Un Condicional ¬ ( p q) equivale a p ^ ¬ q

No es cierto que “Si está lloviendo entonces hay nubes en el cielo”( ¬ ( p q)) es equivalente a *ESTA LLOVIENDO Y NO HAY NUBES EN EL CIELO (p ^ ¬ q)

Negación De Una Negación ¬ ( ¬ p ) equivale a p

No es cierto que” No está lloviendo “ ( ¬ ( ¬ p )) es equivalente a *ESTA LLOVIENDO

La Negación de la conjunción y de la disyunción son conocidas como las Leyes de

Morgan

CÁLCULO PROPOSICIONAL

OBJETIVOS

Calcular el valor de verdad de proposiciones compuestas

Construir razonamientos válidos en matemática

La Lógica Proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica.

Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y

manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea.

La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que

primero evalúa proposiciones simples, las cuales que tienen un valor asociado ya


sea verdadero (V) , o falso (F) y dependiendo de la naturaleza de los conectivos

lógicos involucrados le asigna valores de veracidad a las proposiciones

compuestas,.

Ahora bien, ¿ qué procedimiento utiliza la lógica para asignar un valor de verdad a

una proposición compuesta? . Esto lo hace a través de las tablas de verdad ,las

cuales varían dependiendo de los conectivos lógicos involucrados

1. Tabla de la Negación

2. Tabla de la Disyunción (inclusiva o débil)

La Disyunción Inclusiva es verdadera, si al menos una de las proposiciones

componentes es verdadera, resultando falso únicamente cuando las dos

proposiciones son falsas.

3. Tabla de la Disyunción (exclusiva o fuerte)

La Disyunción Exclusiva es verdadera cuando sólo una de las proposiciones que

la compone es verdadera, resultando falso en cualquier otro caso.


4. Tabla de la Conjunción

La Conjunción es únicamente verdadera cuando los valores de las proposiciones

que la compone son ambas verdaderas, resultando falso en cualquier otro caso.

5. Tabla de la Condicional

y se lee: Si p, entonces q. A la proposición "p" se le llama antecedente

o hipótesis y a "q" consecuente o tesis.

Esta es su tabla de verdad:

Si analizamos la palabra "entonces", la podemos entender como

una deducción (que se puede realizar en base a la experiencia o por simple

razonamiento mental)

ACTIVIDAD

Justificaremos las líneas 3 y 4 de la tabla condicional mediante ejemplos. (Los dos

primeros quedaran como ejercicios)


http://www.monografias.com/trabajos15/hipotesis/hipotesis.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/tesisgrado/tesisgrado.shtml

http://www.monografias.com/trabajos28/induccion-deduccion/induccion-deduccion.shtml


¿Es posible deducir una verdad, partiendo de una falsedad?

Aunque esto contradiga nuestra intuición, si es posible. Veamos el siguiente

ejemplo:

Si ( 2 = 3 ), entonces ( 5 = 5 )

Falso Verdadero

Analizando el antecedente o hipótesis se tiene:

Si 2 = 3, podemos escribir como 3 = 2

Sumando miembro a miembro las igualdades

2 = 3 3 = 2 2 + 3 = 3 + 2 5 = 5

Entonces decimos que:

De la falsedad de (2 = 3) hemos deducido una verdad (5 = 5)

i. ¿Es posible deducir una falsedad a partir de una falsedad?

También es posible. Veamos el siguiente ejemplo:

Si ( 2 = 3 ) entonces ( 4 = 6 ) Falsa Falsa

Analizando la hipótesis se tiene:


i. Multiplicando ambos miembros por 2

2 x 2 = 3 x 2

4 = 6

ii. Hemos deducido que:

De la falsedad de (2 = 3), hemos deducido la falsedad (4 = 6)

6. Tabla de la Bicondicional o Doble Implicación

Dadas las proposiciones simples "p" y "q", se llama bicondicional a la proposición

definida por la conjunción de la proposición condicional con su recíproca.

La Bicondicional será verdadera solo si ambas proposiciones son falsas o ambas

proposiciones son verdaderas. Nótese que la bicondicional p q significa una

deducción doble: de "p" se puede deducir "q" y de "q" se puede deducir "p"


7. Cálculo De Valores De Verdad De Proposiciones Compuestas

Utilizando los conectivos lógicos, se pueden combinar cualquier número finito de

proposiciones simples, para obtener otras proposiciones cuyos valores de verdad

pueden ser conocidos construyendo sus tablas de verdad.

Para efectuar el número de combinaciones de los valores de las proposiciones,

recurrimos a la relación 2n, donde n representa el número de proposiciones.

Ejemplo 1. Construir la tabla de verdad de la proposición:

[¬ p (q ᶺ p) ] ¬ q Solución Las combinaciones posibles son 2n = 22 = 4, porque tenemos dos proposiciones

p q ¬p (q ᶺ p) [¬ p (q ᶺ p)] ¬q [¬ p (q ᶺ p)] ¬q

V V F V V F F

V F F F V V V

F V V F F F V

F F V F F V V

Ejemplo 2. Construir las tablas de la verdad de la proposición

[¬ p ᶺ (q v r ) ] [( p v r ) ᶺ q ]

Solución

Las combinaciones posibles son 2n = 23 = 8, porque tenemos tres proposiciones

http://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtml



p q r ¬p (q v r) [¬ p ᶺ (q v r ) ] (p v r ) [( p v r ) ᶺ q ]

[¬ p ᶺ (q v r ) ] [( p v r ) ᶺ q ]

V V V F V F V V F

V V F F V F V V F

V F V F V F V F V

V F F F F F V F V

F V V V V V V V V

F V F V V V F F F

F F V V V V V F F

F F F V F F F F V

Ejemplo 3. Dadas las proposiciones p, q r cuyos valores de verdad son: p = V,

q = F, r = F .Hallar el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta

¬ r ^ ( p v ¬ q)

Solución

¬ r ^ ( p v ¬ q) = ¬ F ^ (V v ¬ F) = V ^ (V v V ) = V ^ V = V

8. Proposiciones Lógicamente Equivalentes

Dos proposiciones son equivalentes cuando el resultado de sus tablas de verdad

son iguales.

Ejemplo. Las proposiciones ( p q) y (¬ p v q) son equivalente, ya que:

p q p q p q ¬ p ¬ p v q

V V V V V F V

V F F V F F F

F V V F V V V

F F V F F V V

Como observamos sus tablas de verdad son iguales


La equivalencia entre dos proposiciones p y q lo escribimos como p ≈ q

La proposición p q es equivalente a (p q ) ^ ( q p)

Nota: La relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva

9. TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS

Una expresión proposicional se llama Tautología, si los valores de verdad

de su operador principal son todos verdaderos.

Se llama Contradicción o anti tautología, si los valores de verdad de su

operador principal son todos falsos.

Se llama Contingencia, cuando los valores de verdad hay valores

verdaderos y falsos

LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

DENOMINACIÓN REPRESENTACIÓN LÓGICA

Leyes Equipotenciales A => B = ~A v B

A ^ ~A = F

A v ~A = V

Leyes Conmutativas A ^ B = B ^ A

A v B = B v A

Leyes Distributivas A ^ (B v C) = (A ^ B) v (A ^ C)


A v (B ^ C) = (A v B) ^ (A v C)

Leyes Asociativas A ^ (B ^ C) = (A ^ B) ^ C

A v (B v C) = (A v B) v C

Leyes Absortivas A ^ (A v B) = A

A v (A ^ B) = A

Leyes de DeMorgan ~(A ^ B) = ~A v ~B

~(A v B) = ~A ^ ~B

BIBLIOGRAFIA

Burgos ,Alfonso. Iniciación a la Lógica Matemática. Ediciones Vega S.R.L.

Huisa Sanizo , Rodolfo. Lógica Proposicional. Monografías. Com

http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/capitulo_01.html

www.educared.org/wikiEducared/Lógica_proposicional.html

1. De los siguientes enunciados cuales son de proposiciones y cuáles no.

Justifica tu respuesta

a) Todos los planetas giran alrededor del sol

b) Si un número es divisible por 8 también lo es por 2

c) a + b + 10 = 20

d) a + b + 10 = 20; donde a = 4, b= 7

e) Batman es el hombre murciélago

f) ¡Socorro!

g) Todo organismo viviente se adapta a su medio físico

h) ¿Habrá juicio final?

EJERCICIOS PROPUESTOS. TALLER DE LOGICA

PROPOSICIONAL

http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/capitulo_01.html

http://www.educared.org/wikiEducared/Lógica_proposicional.html

http://www.monografias.com/trabajos/sistsolar/sistsolar.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/fundamento-ontologico/fundamento-ontologico.shtml


2. Lectura

"Caía una espesa lluvia. Juan se despertó y lanzó un gemido ¡Aj,… aj,… el

colegio! Se levantó de la cama y se sentó en una silla. Oyó la bocina de un auto o

el silbato de un policía. Entonces se estremeció. Por causa del frío o del miedo.

Estaban haciendo tanto ruido. Repentinamente se le iluminó la cara. ¡Qué bien! Se

habían acordado de algo. Las clases no empiezan hoy, sino mañana"

Actividades

a). Señala 5 proposiciones simples ( p, q, r, s, t )de la lectura realizada

b). En base a lectura señala 5 proposiciones compuestas y escríbelas en lenguaje

simbólico

3. Dadas las siguientes proposiciones compuestas exprésalas en forma

simbólica como p,q,r , etc con sus correspondientes conectivos lógicos

a) O el barco se hundió por causa de un temporal o porque estaba mal

construido o porque choco con algo

b) si los chinos son amarillos y los alemanes tienen los pies grandes entonces

los cubanos son calvos

c) Juan es inteligente y Pedro es estudioso

d) Si a las ranas les gusta el agua entonces a las hormigas le gusta el vino

e) O a los elefantes le gusta bailar la rumba o a las tortugas le gusta la

velocidad

f) A los monos le gustan las bananas pero a los leones no

4. Si p: significa que Margarita es alta y q : significa que Margarita es

estudiosa escribir en lenguaje simbólico

a) a.-Margarita es alta y estudiosa

b) b.- No es cierto que Margarita sea baja y estudiosa

c) c.- Margarita es alta pero no es estudiosa

d) d.- Margarita es baja o es alta y estudiosa

http://www.monografias.com/trabajos/contamacus/contamacus.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/metodo-lecto-escritura/metodo-lecto-escritura.shtml


e) e.- Margarita no es ni alta ni estudiosa

f) f.-No es cierto que Margarita sea estudiosa ni alta

5. Si p: significa hace sol y q: significa está lloviendo se pide expresar en

lenguaje coloquial las siguientes proposiciones

a. p v q b. p ^ q c. p ^ ¬ q d. ¬ p v q e. ¬ p ^ ¬q f. ¬ ( ¬ q ) g. ¬ ( ¬p v ¬ q ) h. p ¬q i. ¬ ( p q) j. ¬ (p ¬ q)

6. Dado p : hace frio q : esta nublado y r : está lloviendo . Redacte en

lenguaje coloquial de dos formas diferentes las siguiente proposiciones

compuestas

¬(r p)

¬ ( p v q )

¬ ( p ^ r)

¬ (¬ q)

¬ ( q r )

¬ ( q v r )

¬ (r ^ p)


7.-Expresa en lenguaje simbólico las siguientes proposiciones

O no hace frio o no esta nublado

No es cierto que haga frio o que este nublado

No es cierto que si Juan no tiene tareas entonces va al cine

Luis este fin de semana ni va a la playa ni juega Softball

Margarita es inteligente pero no es alta

Margarita no es inteligente y no es gorda

Si Miguel no estudia entonces no aprueba el año escolar

No es cierto que Luis no es alto o no es gordo

8.-Señala el valor de verdad de las siguientes proposiciones

a) p v ¬p b) ¬ ( p ^ ¬ q) c) (p v q ) v ¬ p d) ¬ ( p ¬ q) e) ( p q ) v ¬ p f) ( p q ) ^ ¬ q g) ¬p ^ ( q v r) h) (p ^ q ) v ( q ^ r) i) ( p v r) ^ ( p q) j) ( p v q ) (q v r)

9.- Demuestre la equivalencia de las proposiciones usando las tablas de la verdad

p q es equivalente a (p q ) ^ ( q p)

10.- Demuestre que la proposición p q es equivalente a ¬ ( p ^ ¬ q )

mediante la construcción de sus tablas de verdad

11.- Demuestre que la proposición ¬ ( p v q) es equivalente a ¬ p ^ ¬ q



12.- Demuestre que la proposición ¬ ( p ^ q) es equivalente a ¬ p v ¬ q


13.- Señale si las siguientes proposiciones son tautologías, contradicciones o

contingencias

a.- (p ^ ¬ q ) (¬ p v ¬ q ) b.-( ¬ p ^ ( q v r )) ((p v r) ^ q ) c.- ¬ ( p ¬ q ) ( q ¬ p 14.- Dada la proposición p : Juan es inteligente y q: Juan es excelente estudiante, construye la proposición condicional, la recíproca , la inversa y la contrarecíproca 15.- Construye las tablas de la verdad de la proposición condicional, la recíproca, la inversa y la contrarecíproca y señala cuál de ellas son equivalente


TEORIA DE CONJUNTOS Y OPERACIONES

CONJUNTO

En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un

objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas,

números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es

un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del

arcoíris es:

A = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas cualesquiera: A, B, ,…..X, Y, Z.

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En

particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada

elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es

infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho

elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de

manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible

definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede

realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado,

son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el

resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su

estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría

de conjuntos.

UNIDAD II


ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

A los objetos que forman un conjunto lo llamaremos elementos de ese conjunto.

Se establece así una relación de pertenencia, en donde utilizaremos como

símbolo la letra griega épsilon (Є), para decir que el elemento “a” pertenece al

conjunto B, lo cual denotamos por “ a ∈ B “ .

Ejemplo

Dado el conjunto A = { a, b,c,d } podemos decir que “ b pertenece al conjunto A” y

se denota por b ∈ A , así también decimos que “ k no pertenece al conjunto A” lo

cual se denota como k ∉ A.

DETERMINACION DE CONJUNTOS

Decimos que un conjunto está bien determinado, cuando se puede decir , sin lugar

a dudas si un elemento cualquiera es o no es de ese conjunto .

Ejemplo

1.- El conjunto A = {Los días de la semana} está bien determinado, porque

podemos saber sin lugar a dudas cuáles son sus elementos

2.- El conjunto B = {Las muchachas feas} no está bien determinado, porque si

eliges una mujer no podrás decidir fácilmente hasta que edad se es “muchacha” ni

tampoco si es fea o no por cuanto esto es cuestión de gusto personal.

FORMAS DE DETERMINAR UN CONJUNTO

Utilizaremos dos formas de determinar un conjunto: Por extensión y por

comprensión

POR EXTENSION

Un conjunto está determinado por Extensión cuando se nombran cada uno de sus

elementos


Así los conjuntos

A = { 1,3,5,7 } B = {-2, -1, 0, 1, 2 } C= { Junio, Julio } D = { Lara, Mérida }

Están determinados por extensión

POR COMPRENSION

Un conjunto está determinado por Comprensión cuando se da una propiedad que

verifican todos sus elementos y solo ellos. Para determinar un conjunto por

comprensión se acostumbra el uso de la siguiente notación.

A = {x /x cumple la propiedad p} que se lee “A es el conjunto de todos los x, tal que

x cumple la propiedad p “

Así por ejemplo tenemos los siguientes conjuntos expresados por comprensión

E = {X Є N / X es impar}

M = { y / y es un animal cuadrúpedo } y N = { m / m es una ciudad de Venezuela }

Ejemplo.

Dado los siguientes conjuntos por Extensión expresarlos por Comprensión

A = { a ,e, i,o,u } B = { 4,6,8,10 }

Solución

A = { Las Vocales } B = { X Є N y X es número par / 4 ≤ X ≤ 10 }

Ejemplo .

Dados los siguientes conjuntos por Comprensión expresarlos por extensión

C = { Las capitales de: Táchira, Mérida y Trujillo} D= {X ∈ Z / -2 ≤ X < 4 }


Solución

C = { San Cristóbal, Mérida, Trujillo} D = { -2,-1,0,1,2,3 }

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS

Para representar los conjuntos suelen utilizarse los llamados DIAGRAMAS DE

VENN, que consisten en curvas cerradas, dentro de los cuales escribimos los

elementos del conjunto. Por ejemplo el conjunto A = {1, 2, 3,4} lo podemos

representar mediante un Diagrama de Venn , así:

A

CONJUNTO UNIVERSAL

El Conjunto Universal O Referencial, que normalmente se denota por las letras,

U, V ó E, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.

Anteriormente se consideraba al conjunto universal como el conjunto de todas las

cosas, sin embargo está demostrado que este conjunto no existe. Particularmente

porque suponer la existencia de dicho conjunto conduce a la paradoja de Russell.

Actualmente se debe dejar en claro sobre cuál conjunto se está tratando. Por

ejemplo, si estamos tratando conjuntos cuyos elementos son letras, el conjunto

referencial sería el conjunto formado por todas las letras del alfabeto.

.1

.2 .3


Propiedades

Todo conjunto A es subconjunto de U:

Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto universal da U:

Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto universal resulta

el mismo conjunto:

CONJUNTO VACIO

Se denomina así al conjunto que no posee elementos. Lo denotamos con el

símbolo ( )

Los siguientes conjuntos son vacíos

A = {x / x es un polígono de dos lados} B = {x/x es una vaca con alas}

Propiedades

El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío:

El complemento del conjunto vacío es el conjunto universal:


SUBCONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B diremos que “ B es Subconjunto de A”, si se cumple

que “Cada elemento del conjunto B es a su vez un elemento del conjunto A”

Simbólicamente A B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir,

a A a B.

Ejemplo .Dados los conjuntos A = { 1, 2, 4, 6 } y B = { 2,4 }, podemos decir que

B es subconjunto de A ya que :

“Todos los elementos del conjunto B pertenecen totalmente al conjunto A”. Usando un

Diagrama de Venn tenemos

A

Si un conjunto no es subconjunto de otro, se denota como:

CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos que no poseen elementos en común Ejemplo. Los conjuntos A = { 2,4,5 } y B = { 7,1,9 } son conjuntos disjuntos

B . 1

.6

.2

.4


OPERACIONES CON CONJUNTOS.

INTERSECCION DE CONJUNTOS

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

Simbólicamente = { X / X Є A y X Є B }

Graficamente

La zona sombreada es

Ejemplo 1

A = { 1,2,3,4,5,6,7,9 } y B = { 1,3,5,7,9,11,13 } .Calcula la intersección de ellos

La intersección de A y B será el conjunto formado por los elementos comunes a

los dos conjuntos

= { 1,3,5,7,9 }

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:DosConjuntos08.svg?uselang=es

http://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntos






Ejemplo 2

A = { X Є N / X ≤ 5} y B = { X Є Z / -1 ≤ X < 3 }. Calcula la intersección de

ellos

A = { 0, 1,2,3,4,5 } y B = { -1,-2,0,1,2 } = { 0, 1,2 }

UNION DE CONJUNTOS

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los

elementos de A y de B

Simbólicamente = { X / X Є A ó X Є B }

Gráficamente

La zona sombreada es

Ejemplo 1

A = { a,b,c,d } y B = { a,c,e,f } .Calcula la unión de ellos

La unión de A y B será el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al

conjunto A y al conjunto B

= { a,b,c,d,e,f, }


http://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntos







Ejemplo 2

A = { X Є N / X< 4 } y B = { X Є N / 2 < X ≤ 5 }. Calcula la unión de ellos

A= { 0, 1,2,3 } y B = { 3,4,5 } = { 0, 1,2,3,4,5 }

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO A

El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los

elementos que no pertenecen a A.

Simbólicamente A∁ = X / X ∉ A

Gráficamente tenemos

La zona sombreada es A∁


http://es.wikipedia.org/wiki/Complemento_de_un_conjunto






Ejemplo. Dado el siguiente gráfico tenemos:

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO A CON RESPECTO A OTRO CONJUNTO B

Dados dos conjuntos A y B , tales que “A С B” , ( A es subconjunto de B), se

denomina “ Complemento de A con respecto a B “ al conjunto formado por los

elementos de B que no pertenecen al conjunto A. El complemento de A con

respecto a B lo denotamos como sigue

Simbólicamente С AB = { X / X ∈ B y X ∉ A. siendo A C B } .








B

La zona sombreada representa al conjunto С AB

Ejemplo 1. Determina el complemento de A con respecto a B

Si A = { a, b, e } y B = { a, b, c, d, e, f } С AB = { c, d, f }

Ejemplo 2. Determina el complemento de B con respecto a G

G = { X Є N / X< 8 } y B = { X Є N / X < 5 }.

G = { 0,1,2,3,4,5,6,7 } y B = { 0,1,2,3,4 } luego С BG = { 5,6,7 }

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B , llamaremos “ Diferencia de A menos B

“al conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. La diferencia

entre A y B en ese orden la denotaremos A – B

Simbólicamente

A



La zona sombreada es A – B Ejemplo . Dado el siguiente gráfico se cumple que :

y además

Ejemplo

Dados los conjuntos A = { 2,3,4,5 } y B = { 3,0,4,-1 }. Determina A – B y B – A

A – B = { 2,5 } elementos de A que no están en B

B – A = { 0,-1 } elementos de B que no están en A












PARTICION DE UN CONJUNTO

Se denomina Partición de un Conjunto A , lo cual se denota por P { A } al

conjunto formado por los subconjuntos A1, A2,…,An del conjunto A, tales que se

cumple que:1) los subconjuntos son no vacíos, 2) los subconjuntos son disjuntos

dos a dos y 3) la unión de los subconjuntos nos da el conjunto A

Ejemplo 1. Dado el conjunto A = { a, b ,c, d ,e ,f, g } , consideremos los siguientes

subconjuntos de A, no vacíos

A1 = {a, b } A2 = { c, f, g } y A3 = { e, d }

En ellos se cumple que:

1.- A1, A2 y A3 son no vacíos

2.-A1 ∩ A 2 = , A2 ∩ A 3 = , A1 ∩ A 3 = ósea A1 , A 2 y A3 son disjuntos

dos a dos, ya que sus intersecciones nos da como resultado el conjunto vacío , en

todas las combinaciones posibles entre cada par de subconjuntos construidos

3. A1 U A 2 U A3 = { a, b ,c ,d ,e ,f ,g } = A

Se dice entonces que los subconjuntos A1 , A 2 y A3 forman una partición de A

P {A} = { A1 , A2 , A3 }

Ejemplo 2

Si consideramos el conjunto N = {números naturales} y los subconjuntos

P = {números pares} e I = {números impares} tendremos que

1.- P e I son conjuntos no vacíos

2.- P ∩ I =

3.- P U I = N


Luego los conjuntos P e I forman una partición del conjunto de los números

naturales N

P{N} = { P , I }

CARDINAL DE UN CONJUNTO

Dado un conjunto A cualquiera se denomina Cardinal al número de elementos

distintos entre sí, de ese conjunto, lo cual se denota con el símbolo # A

Ejemplo 1

Dado el conjunto A = { a, b ,c , d, e, f, g } su cardinal es # A = 7 ya que posee 7

elementos

Ejemplo 2. Dado el conjunto B = {x, x, e, e, a, a} su cardinal es #B = 3 ya que hay

3 elementos distintos entre sí

Si poseemos dos conjuntos se cumple que # ( A U B ) = # A + # B - # ( )

Ejemplo 3. Dado A = {1,3,6,9 } y B = {3,7,1,2,6}.Encuentra el cardinal de A U B. y

demuestra que la fórmula dada es correcta

A U B = {1,3,6,9,2,7} luego # (A U B ) = 6

Al aplicar la formula dada tenemos

# ( A U B ) = # A + # B - # ( ) = 4 + 5 – 3 = 6

lo que se corresponde con el cardinal de A U B calculado

= {1,3,6} de donde # = 3. Además tenemos que # A = 4 y

# B = 5

Si tenemos tres conjuntos utilizamos los Diagramas de Venn para resolver

problemas de cardinales


Ejemplo 4

Según la preferencia de 420 personas que ven los canales A, B ó C. Se observa

que 180 ven el canal A,240 ven el canal B, 150 no ven el canal C, los que ven por

lo menos dos canales son 230. ¿Cuántos ven los tres canales?

Solución


PRODUCTO CARTESIANO.

El Producto Cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y el segundo elemento pertenece a B

Ejemplo. Dado A = { a, b ,c } y B = { 1,2 }

Determina los Productos Cartesianos A x B y B x A

A x B = { (a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2) }

B x A = { (1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c) }

Algunas de las operaciones con conjuntos poseen propiedades similares a las operaciones con números. Por ejemplo:

la unión y la intersección son conmutativas y asociativas.

El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano.

El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión

Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional

LEYES FUNDAMENTALES

Dadas las operaciones binarias sobre conjuntos unión e intersección y la operación monaria complemento, se cumplen algunas leyes o propiedades que se agrupan del siguiente modo:

Proposición 1: para cualquier conjunto A, B y C se cumplen las siguientes proposiciones:

http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesiano

http://es.wikipedia.org/wiki/Pares_ordenados

http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_conmutativa

http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_asociativa

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo

http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro

http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_absorbente

http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_absorbente

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_universal

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole

http://es.wikipedia.org/wiki/Conectivas_l%C3%B3gicas

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional


Ley conmutativa:

Ley asociativa:

Ley distributiva

Proposición 2: Existe un conjunto universal U, para el que se cumple que dado un conjunto A, A es un subconjunto de U, existe un conjunto Ø que llamaremos conjunto vacío

Ley de identidad:

Ley de complemento:


Proposición 3: Dados los conjuntos A, B subconjuntos de U, se cumple:

Ley de idempotencia:

Ley de dominación:

Ley de absorción:

Ley De Morgan

RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL

Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional. Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y por las correspondientes minúsculas a, b ... sus propiedades características (es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto); entonces se tiene la siguiente correspondencia:

CONJUNTO A U B A C A - B A = B A B

PROPOSICION a v b a ^ b ¬ a a ^ ¬ b a b a b

La operación de unión de dos conjuntos es equivalente a la disyunción de proposiciones ,la operación de intersección de dos conjuntos es equivalente a la conjunción de proposiciones, la operación de complemento de un conjunto es


equivalente a la negación de una proposición , la operación de diferencia entre dos conjuntos es equivalente a la negación del condicional de proposiciones, la noción de igualdad de conjuntos es equivalente al bicondicional de proposiciones y la noción de subconjuntos es equivalente a la condicional de proposiciones

Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología

Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica proposicional y viceversa a modo de ejemplo:

A ( A B ) = A a ( b c ) a

A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) a ( b c ) ( a b ) ( a c )

( A B )C = A

C B

C ¬ ( a b ) ¬ a ¬ b

Ejemplo: Probar que (A – B) ∩ (A – C) = A – (B ∪ C)

Demostración

x ∈ (A – B) ∩ (A – C)

⇔ x ∈ (A – B) ∧ x ∈ (A – C) (def. de intersec.)

⇔ (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C) (def. de resta) ⇔ x ∈ A ∧ ~(x ∈ B) ∧ ~(x ∈ C) (Lóg. Prop.)

⇔ x ∈ A ∧ ~(x ∈ B ∨ x ∈ C) (Morgan)

⇔ x ∈ A ∧ ~(x ∈ (B ∪ C)) (def. de unión)

⇔ x ∈ A ∧ x ∉ (B ∪ C) (def. de ∉) ⇔ x ∈ A – (B ∪ C) (def. de resta)

Por lo tanto (A – B) ∩ (A – C) = A – (B ∪ C)

BIBLIOGRAFIA

1,. Salazar Jorge, Rodríguez Eduardo, Rojas Jiménez J y otros. (1972) MATEMATICA.(Segundo Año de Ciclo Básico). Ediciones CO – BO, Caracas. 2.- Wikipedia Enciclopedia Libre. es.wikipedia.org/wiki/Teoría de Conjuntos 3.- Wikipedia Enciclopedia Libre. es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_universal 4.- Wikipedia Enciclopedia Libre. es.wikipedia.org/wiki/Algebra de Conjuntos 5.- Wikipedia Enciclopedia Libre. es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_ 6.-Teoria de Conjuntos. wmatem.eis.uva.es/~matpag/.../Conjuntos/marco_conjuntos.htm.-


GUÍA DE EJERCICIOS DE TEORIA DE CONJUNTOS.

1. Dados los siguientes conjuntos por extensión expresarlos por comprensión

1.1 .- A = { amarillo, azul y rojo } 1.2 .- B = { gallina, pavo, codorniz, paloma} 1.3 .- C = { vaca, conejo, cordero, cerdo } 1.4 .- D= { 3,4,5,6,7,} 1.5 .- E = {-6,-5,-4,-3,-2} 1.6 .- F = { 1,3,5,7,9,11,….}

2. Dados los siguientes conjuntos por comprensión expresarlos por extensión

2.1 .- A = { X Є N/ X ≤ 5} 2.2 .- B = { X Є Z / -4 < X ≤ 2 } 2.3 .- C = { X Є N / X > 3 } 2.4 .- D= { Colores primarios que combinados forman el color verde} 2.5 .- E = { Valores de verdad que puede adoptar una proposición} 2.6 .- F = {Las cinco primeras letras del abecedario}

3.-Dados los siguientes conjuntos: A = {a, b, s , d, m} B = {d,m,1,2,3} C = {m,1,2,a} D = {2,4,6,s,d} E = {1,a,2,m,7,8,,h} F = {2,4,6} G = {b,s,3,7} H = {a,m,1,6,8} Efectúa las operaciones señaladas e indica su cardinal

3.1 .- A U B, C U D, E U F , G U H

3.2 .- La intersección de los conjuntos: A ∩ B , C ∩ B , E ∩ F , G ∩ H 3.3 .- A – B , B – C , C – D , D – E , E – F , F – H , 3.4 .- C F D , C C

E 3.5 .- El producto cartesiano de los conjuntos : A x F, B x G , D x F , G x H 3.6 .-Construye una partición de los conjuntos: A , E y H

3.7 .- ( B U H ) - F , ( A U B ) - (F U G ) , ( B ∩ C) U (A ∩ B),

3.8 .- (A – B) ∩ (A – C) , A – (B ∪ C), (E ∩

4.- Utilizando las propiedades de la lógica proposicional y de la Teoría de Conjuntos realice las siguientes demostraciones


A ( A B ) = A

( A B )C = A

C B

C

5.-Ejercicios de aplicación de cardinal de conjuntos Se hace una encuesta a 600 varones respecto del uso de tres marcas de camisas: Arrow, Van Heusen y McGregor. Se obtuvo la siguiente información : a)180 varones usan Arrow pero no Van Heusen. b)200 usan McGregor y Van Heusen. c)160 usan Van Heusen pero nunca usan Arrow. d)100 usan Arrow y Van Heusen pero nunca han usado McGregor. e)290 nunca han usado McGregor. f)50 sólo usan Van Heusen. g)200 han usado sólo una (cualquiera) de estas tres marcas. a) Distribuya la información en un Diagrama de Venn adecuado a la situación. b) Determine : i) ¿Cuántos encuestados no usan de estas camisas? ii) ¿Cuántos encuestados usan McGregor y Arrow? iii) ¿Cuántos encuestados usan solamente McGregor y Arrow? Respuestas: i) son 60 los encuestados que no usan de estas camisas. ii) son 130 los encuestados que usan McGregor y Arrow iii)son 40 los encuestados que usan solamente McGregor y Arrow Ejercicios de aplicación de cardinal de conjuntos

-En una encuesta realizada a 200 personas para saber del consumo de los refrescos A , B y C , se encontró que : a) 60 personas sólo consumen el refresco A , b) 22 personas consumen dos de los tres refrescos, c) 8 personas consumen los tres refrescos d) los que consumen B o C pero no A son 72 e) los que consumen B y C pero no A son 12 , f) la cardinal de la intersección de A y B es igual a la cardinal de la intersección de A y C , g) 50 personas consumen el refresco C, .i. Distribuya la información en un Diagrama de Venn adecuado a la situación ii)¿Cuántas personas consumen el refresco A ? iii)¿ Cuantas personas consumen uno de los tres refrescos? iv) ¿Qué porcentaje de personas no consume ningún refresco? Respuestas: ii) 78 personas consumen A iii) 150 personas consumen uno de los tres refrescos y iv) 50 personas no consumen ningún refresco lo que equivale al 25%.


Para plantear una ecuación debemos comprender las condiciones del problema, cuantas

variables están presentes en el mismo y como se relacionan entre sí.

En una primera etapa decodificamos la información y trasladamos el lenguaje coloquial a

lenguaje matemático, utilizando para ello los recursos que hemos aprendido de la lógica

proposicional, de la teoría de conjunto, así como de nuestras propias estrategias de

solución de problemas.

Cuando pasamos la información a un lenguaje matemático estamos en presencia de una

expresión algebraica que se transformará debido a nuestra destreza y creatividad en una

ecuación cuando las igualamos con algún valor dado en las condiciones del problema.

Con el fin de facilitar el planteamiento de ecuaciones se establecen las siguientes

relaciones entre el lenguaje coloquial y el lenguaje matemático

LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE MATEMÁTICO

(EXPRESIÓN ALGEBRAICA)

Un número cualquiera X

El doble de un número 2.X

El triple de un número, el cuádruple, etc 3.X , 4.X , 5.X , etc

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMATICO

PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E

INECUACIONES

UNIDAD III


La mitad de un número

La tercera parte, la cuarta , etc

Dos números naturales consecutivos X y ( X + 1 )

La suma de dos números naturales consecutivos X + ( X + 1 )

Un numero par 2. X

Un número impar 2 . X + 1

La suma de dos números pares consecutivos 2 . X + ( 2 . X + 2 )

La suma de dos números impares consecutivos ( 2.X + 1 ) + ( 2 . X + 3 )

Dos números naturales cualesquiera no consecutivos X y Y

Ejemplo 1

El doble de un número menos su cuarta parte es 14 . Encontrar el número

Planteamiento y Solución

= 14

8 . X – X = 56 (Se Eliminan denominadores)

7 . X = 56

X =

X = 8

Demostración

= 14

= 14

X = 8


16 - 2 = 14

14 = 14

Ejemplo 2

La suma de dos números impares consecutivos es 108 . Encuentra los números


( 2.X +1) + (2.X +3) = 108

2.X + 2.X = 108 - 1 - 3

4.X = 104

X =

Pero 26 no es un número impar, de aquí que los números solicitados serán

2.X + 1 = 2 . (26) + 1 = 52 + 1 = 53

2 . X + 3 = 2 . ( 26) + 3 = 52 + 3 = 55

Los números impares consecutivos son 53 y 55

Demostración

( 2.X + 1 ) + ( 2.X + 3) = 108

[2.(26) + 1 ] + [ 2. (26) + 3 ] = 108

53 + 55 = 108

14 = 14

X = 26

108 = 108


Ejemplo 3

Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace diez años tenía el doble de la edad de

ella. Cuantos años tiene el ?


En este problema están presentes dos variables

X= edad del hombre actualmente Y = edad de la esposa actualmente

X = Y + 7

( X – 10) = 2. (Y -10)

Este es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que resolvemos con

cualquiera de los métodos analíticos conocidos : Reducción, Igualación, Sustitución y

Cramer

Aplicando el método de Reducción tenemos

X - Y = 7 X - Y = 7

X – 10 = 2.Y - 20 X - 2.Y = -20 + 10

X - Y = 7 (-2) X – Y = 7

X - 2.Y = - 10 (1) X - 2.Y = -10

-2.X + 2.Y = -14

X – 2.Y = -10

-X = -24

X = 24


Sustituyendo X = 24 en la ecuación X = Y + 7 tenemos

X = Y + 7

X – 7 = Y

Y = X – 7 Y = ( 24 ) – 7

El hombre tiene 24 años y su esposa tiene 17

Demostración

X = Y + 7 (24) = (17) + 7

( X – 10) = 2. (Y -10) [ (24) - 10] = 2.[ (17) – 10 ]

24 = 24

14 = 2. ( 7 )

A través de estos ejemplos se ilustró el planteamiento de ecuaciones lineales ( Una sola

variable) y de sistemas de ecuaciones lineales ( Dos Variables). Pero también podemos

plantear Inecuaciones en ellas las expresiones algebraicas se relacionan con un intervalo

de números reales y para ello utilizamos las relaciones de orden ; esto es, las relaciones ≥ ,

≤ , > y <

Ejemplo 4

El costo total en bolívares de producción de x unidades de cierto artículo, está dado por la

ecuación de costos C (x) = 3100 + 25.X y cada unidad se vende en 37 Bs. El fabricante

quiere saber cuántas unidades deberá producir y vender para obtener una utilidad de al

menos 2000Bs

Y = 17

24 = 24

14 = 14



Debemos conocer ciertas fórmulas básicas relacionadas con el tema

Utilidad = Ingreso – Costos entonces U (x) = I (x) – C(x)

Ingreso = Precio x Número de artículos vendidos entonces I(x) = P. X

En este caso I(X) = 37. X

De donde U(X) = 37.X – ( 3100 + 25.X) ≥ 2000

37.X - 25.X ≥ 2000 + 3100

12.X ≥ 5100

X ≥

El fabricante deberá producir y vender 425 artículos para

obtener una utilidad de al menos 2000 Bs

Demostración

El Ingreso será I(X) = 37. X I(x) = 37.( 425 ) = 15725 Bs

Los Ingresos son de 15725 Bs

Los Costos de producción son C (x) = 3100 + 25.X = 3100 + 25 (425) = 13.725 Bs

La Utilidad será, Utilidad = Ingreso – Costos = 15725 Bs – 13.725Bs = 2000 Bs

X ≥ 425


RAZÓN: Denominamos así a la relación que guardan entre si dos cantidades al comparar

una con la otra. Una razón geométrica es una fracción, pues es el resultado de dividir el

numerador entre el denominador

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA: Denominamos así a la igualdad de dos razones

Geométricas .Cuando decimos razón nos referimos a dos cantidades y cuando decimos

proporción nos referimos a cuatro cantidades

Si partimos de una razón en la cual ampliamos o simplificamos sus términos para obtener

otra razón equivalente, podemos formar una proporción

Ejemplo

Si partimos de la razón

y la multiplicamos arriba y abajo por 3 obtendremos

siendo

ambas razones equivalentes

8 = 24 Se escribe 8 : 4 : : 24 : 12

4 12 Se lee “ 8 es a 4 como 24 es a 12 “

Ambas fracciones son equivalentes

VARIABLES DEPENDIENTES: Son aquellas cantidades que por estar una en función de

la otra al variar una de ellas también se modifica la otra

CANTIDADES VARIABLES DEPENDIENTES EN FORMA PROPORCIONAL: Es cuando

dos variables mantienen una relación constante de variación y ellas pueden ser

directamente proporcionales o inversamente proporcionales

DIRECTAMENTE PROPORCIONALES: Cuando al aumentar o disminuir una de ellas, la

otra aumenta o disminuye en la misma proporción

Ejemplo 1

Un metro de tela lo vendemos a 10 Bs, si vendemos 2 metros de la misma tela entonces

cuesta 20 Bs. La relación es de MAS a MAS en forma directamente proporcional pues a

más metros de tela vendidos más ganancia en bolívares

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA E INVERSA Y REGLA DE TRES

COMPUESTA DIRECTA, INVERSA Y MIXTA


Ejemplo 2

Si vendemos 20 metros de tela a Bs 10 cada metro, la ganancia será de Bs 200 Si

disminuimos los metros de tela vendidos disminuirá la ganancia en la venta En este caso

decimos que la variación va de MENOS a MENOS en forma directamente proporcional

INVERSAMENTE PROPORCIONALES: Es cuando al aumentar una variable la otra

disminuye y viceversa.

Ejemplo 1

Si un móvil a 50 Km/h necesita 4 horas para recorrer la distancia que existe entre dos

puntos. Si aumentamos su velocidad a 100 Km/h entonces disminuirá la cantidad de tiempo

que necesita para recorrer la misma distancia. La relación es de MAS a MENOS en forma

inversamente proporcional. pues a más velocidad menos tiempo

Ejemplo 2

Si un móvil a 100 Km/h necesita 2 horas para recorrer la distancia que existe entre dos

puntos. Si disminuimos su velocidad a 50 Km/h entonces aumentará la cantidad de tiempo

que necesita para recorrer la misma distancia. La relación es de MENOS a MAS en

forma inversamente proporcional. pues a menos velocidad más tiempo.

REGLA DE TRES SIMPLE: Tiene por objeto dado tres términos de una proporción,

encontrar el cuarto. Es decir, nos proporcionan tres cantidades conocidas para determinar

una cuarta desconocida .Ella puede ser: Directa o Inversa

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: Cuando le corresponden cantidades directamente

proporcionales (Relaciones de MAS a MAS o de MENOS a MENOS)

Ejemplo.

Si la venta de 40 máquinas ascendió a 52.000 Bs. Cuánto ascenderá la venta de 30

máquinas.

Solución

Se trata de una relación de MENOS a MENOS

40 máquinas 52.000 Bs 40 = 52.000

30 máquinas X 30 X

X = (52.000). 30 = 39.000 Bs

40


REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA: Cuando le corresponde cantidades inversamente

proporcionales (Relaciones de MAS a MENOS ó de MENOS a MAS)

Ejemplo

20 obreros necesitan de 60 días para hacer un trabajo. Cuántos días emplearán 5 obreros

para realizar el mismo trabajo.

Solución

Se trata de una relación de MENOS a MAS

20 obreros 60 días 5 = 60

5 obreros X

20 X

Dada la razón

su inversa será

X = (60). 20 = 240 Días

5

REGLA DE TRES COMPUESTA: Está formada por dos o más reglas de tres simples y

puede ser: Directa, Inversa y Mixta

REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA: Está formada por dos o más reglas de tres

simples directas

Ejemplo

Si 30 obreros trabajando en 10 horas diarias durante 20 días han producido 60 unidades

de un determinado artículo .Cuántas unidades producirán 40 obreros trabajando 8 horas

diarias durante 30 días

Solución

Hay tres Reglas de Tres Simple Directas

30 obreros 10 Horas 20 Días 60 unidades

40 obreros 8 Horas 30 Días X

Estas son

1) 30 Obreros 60 Unidades

40 Obreros X

Hay una relación de MAS a MAS donde surge la razón 30

40


2) 10 Horas 60 Unidades

8 Horas X

Hay una relación de MENOS a MENOS donde surge la razón 10

8

3) 20 Días 60 Unidades

30 Días X

Hay una relación de MAS a MAS donde surge la razón 20

30

La respuesta definitiva será 30 . 10 . 20 = 60

40 8 30 X

6000 = 60 X = ( 60).(9600) = 96 Unidades

9600 X 6000

REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA: Está formada por dos o más reglas de tres

simples inversas

Ejemplo

Si 15 obreros en 6 horas diarias realizaron una obra en 40 días .Cuántos días tardarán en

realizar la misma obra 20 obreros trabajando 4 horas diarias

Solución

Hay dos Reglas de Tres Simples Inversa

15 Obreros 6 Horas 40 Días

20 Obreros 4 Horas X

Estas son

1) 15 Obreros 40 Días

20 Obreros X

Hay una relación de MAS a MENOS y surge la razón 20 (Inversa de la razón

)

15


2) 6 Horas 40 Días

4 Horas X

Hay una relación de MENOS a MAS y surge la razón 4 (Inversa de la razón

)

6

La respuesta definitiva será 20 . 4 = 40 80 = 40

15 6 X 90 X

X = (40).(90) = 45 días

80

REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA: Es aquella que está formada por dos o más

reglas de tres simples directa o inversa

Ejemplo

Para construir 2 Kilómetros de carretera emplearon 6 máquinas trabajando 12 horas

diarias durante 36 días. Cuántos días se necesitarán para construir 6 Kilómetros de

carretera de la misma característica anterior, si empleamos 9 máquinas, trabajando 9

horas diarias

Solución

2 Km 6 máquinas 12 Hrs 36 Días

6 Km 9 máquinas 9 Hrs X

Hay una Regla de Tres Simple Directa y dos Reglas de Tres Simples Inversas:

1) 2 Km 36 Días

6 Km X

Se tiene una relación de MAS a MAS y surge la razón

2) 6 máquinas 36 Días

9 máquinas X

Se tiene una relación MAS a MENOS y surge la razón

(Inversa de la razón

)

3) 12 Hrs 36 Días

9 Hrs X


Se tiene la relación MENOS a MAS y surge la razón

(Inversa de la razón

)

La respuesta definitiva será 2 . 9 . 9 = 36

6 6 12 X

162 = 36 X = ( 36).( 432) = 96 Días

432 X 162

Para resolver problemas con porcentaje consideramos que la cantidad referenciada en el

ejercicio corresponde al 100% del total y planteamos así una regla de tres simple directa

ya que las magnitudes son directamente proporcionales. Sin embargo, se expondrá un

procedimiento alterno

Ejemplo 1

Un par de zapatos cuestan 1350 Bs , pero se vendieron con un descuento del 20%.Cuánto

se pagó por ellos


1350 Bs 100%

X 20%

El descuento es de 270 Bs .de aquí que, el precio de los zapatos es

1350 Bs – 270 Bs = 1080 Bs

Sin embargo , este problema se podría analizar así :

“ Si el par de zapatos cuesta un 100% y se le aplica un descuento de 20%, entonces el

nuevo precio es de ( 100% - 20% = 80 % ) “

Calculemos el 80% de 1350 Bs = 1350 Bs . ( 0,80 ) = 1080 Bs

Nota se multiplica por 0,80 porque 80% =

= 0,80

El precio de los zapatos es de 1080 Bs

PORCENTAJES


Ejemplo 2

Qué porcentaje de 350 manzanas es 70 manzanas

Planteamiento y solución

350 manzanas 100%

= 20%

70 manzanas X

Respuesta: 70 manzanas es el 20% del total de manzanas

Ejemplo 3

Una señora al morir deja Bs 10.000.000 con estas instrucciones: a) el 45% para una hija,

b) el 40% del resto para el nieto c) lo demás para su parroquia. Cuánto le corresponde a

cada uno


45% de 10.000.000 Bs = 10.000.000. (0.45) = 4.500.000Bs ( Para la hija)

Si el total de la herencia es el 100% y le dio 45% a su hija le queda entonces

100% - 45% = 55% de la herencia.

Pero de ese 55% tomo el 40% ; esto es , el 40% de 55 = 55. (0,40) = 22%

Luego 22% de 10.000.000 Bs = 10.000.000 .(0,22) = 2.200.000 Bs ( para el nieto)

Hasta ahora a repartido 45% para la hija + 22% para el nieto = 67% de la

herencia

Quiere decir que a la parroquia le queda como herencia 100% - 67% = 33%

En definitiva el 33% de 10.000.000 Bs = 10.000.000 . (0,33) = 3.300.000 Bs

(A la Parroquia le corresponden 3.300.000 Bs)

Ejemplo 4

María tiene cierta cantidad de dinero. Si gasta el 30% y gana el 28% de lo que le queda,

perdería 1.560 bolívares. La cantidad de dinero de María es:


Consideremos que la cantidad de dinero que posee María es 100%,

Gasta 30% entonces le queda 100% - 30% = 70%

Gana 28% de lo que le queda = 28% de 70% = (0,28). 70 = 19,6 %


La cantidad de dinero de María =( 70% de lo que tenía) + (19,6% que ganó)

= 89,6%

Ella está perdiendo de su dinero entonces: 100% - 89,6% = 10,4 %

Según el problema su perdida es de 1560Bs .De aquí que 10,4% .X = 1560Bs ,

donde X es la cantidad de dinero que deseamos conocer de María

Pero 10,4% =

= 0,104

10,4% .X = 1560Bs 0,104.X = 1560Bs X =

= 15.000 Bs

María tiene 15.000 Bs

Demostración

Gasto 30% de 15.000Bs = 15.000.(0,3) = 4500 Bs

Le queda 15.000 Bs – 4500 Bs = 10.500 Bs

Gana el 28% de lo que le queda = 28% de 10.500Bs = 10.500.(0,28) = 2940Bs

El dinero de María = 10.500Bs +2940 Bs = 13440 Bs

La pérdida de María será de 15.000Bs – 13440 Bs = 1560Bs tal como lo plantea el

ejercicio propuesto

Planteamiento y Solución de Ecuaciones de Primer Grado en R y Sistemas de

Ecuaciones con dos Incógnitas en R

1. La suma de tres números impares consecutivos es 27. Hallar los números R:7,9,11

2. La suma de tres números pares consecutivos es 246. Hallar los números R:

80,82,84

3. Un número más su doble es igual a 54. Cuál es el número R : 18

4. La suma de tres números impares consecutivos es 51. Hallar los números

R:15,17,19

5. El opuesto de un número más tres veces el mismo número es igual a 50. Cuál es el

número R :25

EJERCICIOS PROPUESTOS


6. La suma de dos números consecutivos es 19. Determina cada uno de ellos R :9,10

7. Determina una fracción tal que al restarle 4/5 a su duplo da

R : 83/120

8. Los

de una fracción menos

es igual a los

de la fracción. Hallar dicha fracción

R : 90/161

9. Dados dos números pares consecutivos, el menor es igual a

del mayor. Hallar los

números R : 14 , 16

10. En un salón de clases hay 48 alumnos. Si el número de hembras es el triple que el

de varones. Cuántos varones y cuántas hembras hay ? R : V=12 H = 36

11. El promedio de dos números es 30. Si uno de ellos es el doble del otro. Calcular los

números

R : Y = 20 X = 40

12. La edad de Juan más el doble de la edad de Pedro es 80. Si Juan es 10 años menor

que Pedro. Calcular la edad de ambos R : Pedro =30 Juan =20

13. La suma de dos números es 200. Dividiendo el primero entre 12 y el segundo entre

10 la suma de estos cocientes es 19. Cuáles son los números R: 60 y 140

14. En una boutique hay 50 carteras distribuidas en dos estantes. Si se pasan 5 carteras

del estante de abajo al de arriba. La cantidad de carteras del estante de arriba

sería el cuádruple de la del estante de abajo. Cuántas carteras hay en cada estante

R: arriba 35 abajo 15

15. Martín le dijo a Andrea “Pensé en un número de dos cifras y lo único que te diré es

que la suma de sus dígitos es 13 y que el número que ocupa el lugar de las decenas

es cinco unidades menor que la cifra que ocupa el lugar de las unidades”. Qué

número pensó Martín R : 49

16. En un colegio hay 80 personas entre profesoras y profesores. A una reunión asistió

2/3 de las profesoras y 1/5 de los profesores siendo en total 37 personas. Cuántos

profesoras y profesores tiene el colegio R: Profesoras 45 y Profesores 35

EJERCICIOS DE INECUACIONES

1. El costo total en bolívares de producción de x unidades de cierto artículo, está

dado por la ecuación de costos C (x) = 2800 + 13.X y cada unidad se vende en 45

Bs. El fabricante quiere saber cuántas unidades deberá producir y vender para

obtener una utilidad de al menos 5000Bs R.- 244 Artículos


2. El doble de un número menos su tercera parte es mayor o igual a 35. Qué conjunto

de números reales cumplen esta condición, Exprésalo además como un intervalo

R.- X ≥ 21 ; esto es, X ϵ [ 21,∞)

3. Un número impar más su doble es mayor o igual a 33. A partir de cuales números

impares es válida la anterior condición R.- A partir del número impar 11

4. La suma de dos números pares consecutivos es mayor o igual que 50 .A partir de

cuales números pares es válida la anterior condición R)A partir del número par 24

5. El costo total en bolívares de producción de x unidades de cierto artículo, está

dado por la ecuación de costos C (x) = 1500 + 12.X. El fabricante sólo posee

5000Bs para cubrir los costos de producción. Cuántos artículos deberá producir

como máximo para que los costos no superen el capital que posee R) 291

artículos

6. El triple de un número más su doble no supera 175 . . Qué conjunto de números

reales cumplen esta condición, Exprésalo además como un intervalo

R.- X < 35 ; esto es, X ϵ ( - ∞, 35 )

7. Un ascensor de carga pesa 375,3 Kg y se desean subir siete cajas iguales en él,

pero el peso máximo permitido es de 1000 Kg. Cuánto debe pesar cada caja ?

R) Cada caja debe pesar menos de 89,24 Kgr

Regla De Tres Simple Directa E Inversa Y Regla De Tres Compuesta Directa, Inversa Y

Mixta

1. Para cercar un terreno se necesitan 250 postes, colocados a una distancia de 4

metros uno del otro .Si colocamos los postes a una distancia de 2,5 metros.

¿Cuántos postes se necesitarán? R : 400

2. Un departamento produce 640 piezas trabajando a una capacidad del 80 % .

¿Cuántas piezas producirá si trabaja a una capacidad del 70%? R: 560

3. Una fábrica trabajando al 100% de su capacidad, tiene materia prima para 72

días. Si se desea que la materia prima alcance para 90 días ¿A qué capacidad

debería de trabajar? R : 80%

4. El costo de la construcción de un muro de 12 metros de largo, por 3 metros de

alto, por 0,5 de ancho ascendió a Bs 12.000 ¿Cuánto nos costará construir otro

de 7 metros de largo, por 3,5 de alto por 0,60 de ancho? R: Bs 9.800

5. Si un móvil a una velocidad de 120 Km/ h necesita 4 h y 20 min para recorrer la

distancia comprendida entre dos puntos ¿Cuánto tiempo necesitará si disminuye

la velocidad a 100 Km/ h ? R: 5 Horas y 12 minutos


6. Si 20 obreros trabajando 8 horas diarias en 20 días han producido 300 unidades

de un determinado artículo. ¿Cuántas unidades producirán 15 obreros

trabajando 10 horas diarias durante 30 días? R: 421,88 artículos

7. Si 30 obreros trabajando 6 horas diarias, terminaron una obra en 40 días.

¿Cuántos días tardaran en realizar la misma obra 40 obreros trabajando 4 horas

diarias? R: 45 Días

8. Hemos comprado un lote de cajas de jabón por Bs 7.000 . Si hubiéramos

comprado 120 cajas más, su costo hubiera ascendido a Bs 9.000. Determina el

número de cajas compradas R : 420 Cajas

9. Con 40 sacos de 50 Kgrs cada uno de un determinado producto, se han

alimentado a 30 animales durante 20 días. Suministrando la misma ración

¿Cuántos animales podré alimentar durante 32 días con 50 sacos de 96 Kgrs

cada uno? R : 45 animales

10. Para fabricar un toldo de 4 metros de ancho por 25 metros de largo se precisan

40 Kgr de hilo. Si se modifica el ancho a 5 metros y se utilizan los mismos 40

Kgrs de hilo. ¿Qué longitud tendrá el toldo? R: 20 m de Longitud

11. Un cuartel con 300 soldados, tiene provisiones para 40 días dando a cada

soldado 3 raciones diarias. Si llegan 100 soldados más y las provisiones deben

alcanzar para 50 días. ¿Cuántas raciones diarias se podrán dar a cada soldado?

R: 1,8 raciones diarias 12. Doce náufragos disponen de agua para 15 días .Al finalizar el séptimo murieron

4 náufragos. ¿Para cuántos días tendrán agua los sobrevivientes? R: 12 Días

13. Un departamento produce 150 piezas con 15 obreros trabajando 8 horas diarias.

Suponiendo que la producción aumenta o disminuye en forma proporcional al

número de obreros-hora trabajada. ¿Cuántas piezas se producirán si se despiden

a 4 obreros y se aumenta la jornada de trabajo a 10 horas diarias? R: 137,5

piezas

Ejercicios de Porcentajes

1. Si a una cantidad le quito el 40% y a lo quitado lo aumento en un 50%, se obtiene

la quinta parte de 180. ¿De qué cantidad se trata? R.- 45

2. Se ha vendido una mercancía por 7.500 bolívares. Si se hubiera vendido por

500 bolívares más, se habría ganado 2.000 bolívares. De hacerlo así, qué

porcentaje representa al precio de compra : R:_ 75%

3. En un depósito hay 900 kg. de granos, de los cuales 35% son caraotas y el resto son

lentejas. Si se desea que las caraotas sean el 60% del total, entonces, los

kilogramos de lentejas que hay que sacar son: R.- 375 Kgrs


4. Un vendedor recarga el precio de sus artículos en un 30% de su valor, pero antes

les hace una rebaja del 10%. El máximo descuento que puede ofrecer para venderlo

en el precio inicial es de: R.- 17% Rebaja

5. Dos cursos presentaron el mismo examen de matemática. En el primer curso de 20

estudiantes aprobó el 90%. En el segundo aprobó el 75%.Entre los dos cursos

aprobaron el 81%. ¿Cuántos estudiantes había en el segundo curso? R.- 30

alumnos 6. 99 muchachas y un muchacho están en un salón. ¿Cuántas muchachas deben salir

del salón para que el porcentaje de muchachas llegue a ser un 98%?

R.-50 Muchachas

7. Un empleado recibe un aumento salarial escalonado .Primero recibe 25% y al mes

siguiente 25% adicional .A los seis meses recibe un 15% y el siguiente mes 10% . A

cuánto asciende el aumento salarial del empleado? R .- 97,66%.

BIBLIOGRAFIA .

1. Jorge Salazar. (1987) Matemática. Séptimo Grado. Editorial Romor. Caracas

2. Arya , Lardner. (2002). Matemática aplicada a la Administración y a la

Economía. (IV Edición). Pearson Educación. México.

3. A Redondo (1989).Curso Práctico de Cálculo Mercantil para Auxiliares de

Contabilidad. Centro Contable Venezolano.IV Edición. Caracas-Venezuela

4. Guía de Razonamiento Matemático para Olimpiadas Matemáticas.

Compilado por Prof Neptalí Lugo. ENAHP. Caracas- Venezuela

guía de lógica matemática

Documents