LGICA MATEMTICA INTRODUCCIN. La lgica matemtica es la disciplina que trata de mtodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no vlido un argumento dado. El razonamiento lgico se emplea en matemticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computacin para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias fsica y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lgico para realizar cualquier actividad o tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lgico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lgico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lgico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pint la parte alta porque se manchara lo que ya tiene pintado, tambin dependiendo si es zurdo o derecho, l puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda segn el caso, todo esto es la aplicacin de la lgica. EJEMPLOS: Escriba dos ejemplos de la vida cotidiana, explicando el proceso lgico aplicado. PROPOSICIONES: una proposicin o enunciado es una oracin que puede asignrsele un valor de verdad falso o verdadero; pero no ambos a la vez. Las proposiciones se indican por medio de una letra minscula, dos puntos y la proposicin propiamente dicha. A continuacin se tienen algunos ejemplos de proposiciones vlidas y no vlidas, y se explica el porqu algunos enunciados no son proposiciones. PROPOSICIN p: La tierra es plana. q: -17 + 38 = 21 VALOR DE VERDAD Si es proposicin, y su valor de verdad es Falso Si es proposicin, y su valor de verdad es Verdadero r: x > y-9 No es proposicin, porque no se puede asignar su valor de verdad s: El Nacional ser campen en la presente temporada del campeonato ecuatoriano de ftbol. t: Hola como estas? w: Lava el coche por favor. No es proposicin, porque no se puede asignar su valor de verdad No es proposicin, porque es un saludo No es proposicin, porque es una orden

TRMINOS LGICOS: los trminos lgicos son: y, no, o, Si, entonces, Si y slo si PROPOSICIN SIMPLE: se llama as cuando no se pueden descomponer en dos o ms proposiciones, por ejemplo: ~1~

a: b:

Hoy es un da soleado 2+2=5

PROPOSICIN COMPUESTA: cuando est formado varias proposiciones simples a la vez, afectadas por trminos lgicos. Por ejemplo: p: q: 1. a. b. c. d. 2. 2+7=9 y 10-5=5 4-3=6 o 4-3=2 INDIQUE CULES DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES SON PROPOSICIONES: Que linda est! x+1=4 2+3=9 Por favor! e. f. g. h. Deme la hora Arjona es el mejor cantante del mundo El ajo es exquisito Deme un clavel

APLICACIONES:

ESCRIBA 2 EXPRESIONES QUE PARA UNOS SEA VERDADERO Y PARA OTROS SEA FALSO. (A DICHAS EXPRESIONES NO SE CONSIDERA PROPOSICIONES) a. b. Juanes es mejor cantante que Luis Miguel. Ronaldinho es el mejor jugador del mundo.

3.

ESCRIBA EL VALOR DE VERDAD DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES: PROPOSICIN VALOR DE VERDAD F V V F V

p: Riobamba es la Perla del Pacfico. q: 18 > 10 r: 7 es un nmero primo s: (-10) = -100 t: 16+4 = 4+162

REFUERZO Escriba 10 expresiones que no sean proposiciones. Escriba 6 expresiones que para unos sea verdadero y que para otros pueda ser falso. Escriba 5 proposiciones cuyo valor de verdad sea Verdadero, y 5 proposiciones cuyo valor de verdad sea Falso.

OPERACIONES LGICAS FUNDAMENTALES. Las operaciones lgicas fundamentales son:

1. NEGACIN: es una operacin Unaria, su operador lgico es no y se representaEjemplos: ENUNCIADO Hoy es lunes 2+37 TABLA LGICA:

F F

3>1 47

V V

p V F F V

2. CONJUNCIN: es una operacin Binaria, la unin de las proposiciones se realiza con el operador y y serepresenta Ejemplos: p: q: Juan es bueno Mara es feliz Juan es bueno y Mara es feliz .

TABLA LGICA: la conjuncin solamente es Verdadera cuando las dos proposiciones son Verdaderas, en los dems casos es Falsa. p V V F F q V F V F V F F F

3. DISYUNCIN: es una operacin Binaria, la unin de las proposiciones se realiza con el operador o y serepresenta Ejemplos: q: p: 3-7=-4 .

4 es un nmero par 3-7=-4 o 6 es un nmero par

TABLA LGICA: la disyuncin solamente es Falsa cuando las dos proposiciones son Falsa, en los dems casos es Verdadera.

p

q

~3~

V V F F

V F V F

V V V F

4. CONDICIONAL: es una operacin Binaria, la unin de las proposiciones se realiza con el operador Si,entonces y se representa Ejemplos: q: p: Yo estudio Si yo estudio, entonces voy al cine .

Voy al cine

TABLA LGICA: la implicacin solamente es Falsa cuando la primera proposicin es Falsa y la segunda proposicin es Verdadera, en los dems casos es Verdadera. p V V F F q V F V F V F V V

5. BICONDICIONAL: es una operacin Binaria, la unin de las proposiciones se realiza con el operador si yslo si y se representa Ejemplos: q: p: Es buen estudiante .

Tiene promedio de veinte Es buen estudiante, si y slo si tiene promedio de veinte

TABLA LGICA: la biimplicacin es verdadera cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad p V V F F APLICACIONES: ~4~ q V F V F V F F V

1.

HALLAR EL VALOR DE VERDAD DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES APLICANDO LAS TABLAS DE VERDAD, SABIENDO QUE p, q, r SON PROPOSICIONES:

a.p V V F F Q V F V F

b.

q p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F

2.

SEAN p, q, r PROPOSICIONES: SUPONGAMOS QUE p SEA VERDADERA, q FALSA Y r VERDADERA, DETERMINAR EL VALOR DE VERDAD DE LA SIGUIENTE PROPOSICIN:

p V q F r V

p V q F r V

p V q F r V

REFUERZO Calcular el valor de verdad de las siguientes proposiciones aplicando las tablas de verdad: v

Sean p, q, r y s proposiciones. Calcular el valor de verdad de las siguientes proposiciones suponiendo qu p y q son verdaderas y que r y s son falsas. p TAUTOLOGA Y CONTRADICCIN.

TAUTOLOGA Y CONTRADICCIN. ~5~

TAUTOLOGA: es aquella proposicin compuesta que es VERDADERA para todos los valores de verdad. Las tautologas son muy importantes en lgica matemtica ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones. CONTRADICCIN O FALACIA: es aquella proposicin compuesta que siempre es FALSA para todos los valores de verdad. NOTA: Una proposicin compuesta cuyos resultados en sus diferentes lneas de la tabla de verdad dan como resultado V y F se denomina CONTINGENTE. APLICACIONES: APLICANDO LAS TABLAS DE VERDAD, DETERMINE SI SON TAUTOLOGAS LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES:

a. b. c. d. e.REFUERZO Utilizando las tablas de verdad, determinar cules de las siguientes proposiciones son tautologas: t

EQUIVALENCIA LGICA. Se dice p es lgicamente equivalente a q, o simplemente p es equivalente a q, si coinciden con los mismos valores de verdad. Se denota . PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON ENUNCIADOS Las propiedades que se cumplen en las operaciones lgicas fundamentales son:

1. Conmutativa: 2. Asociativa: 3. Distributiva 4. Absorcin:~6~ :

5. Idempotencia: 6. Leyes de Morgan:

APLICACIONES: UTILIZANDO LAS TABLAS DE VERDAD, DEMUESTRE QUE LAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON ENUNCIADOS SON TAUTOLOGAS.

Distributivap V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

REFUERZO Utilizando las tablas de verdad, demuestre que las propiedades de las Operaciones con enunciados son tautologas.

RAZONAMIENTO.

~7~

Se llama as a un proceso en el cual se infiere de un juicio a partir de otros; o consiste en pasar de verdades conocidas llamadas PREMISAS INICIALES a una verdad no conocida llamada CONCLUSIN. JUICIO: es un pensamiento en el cual se afirma o se niega algo. CERTEZAS LGICAS: son proposiciones verdaderas independientes de los valores de verdad de las proposiciones que la conforman. Las tautologas y los teoremas (proposiciones ya demostradas) constituyen casos de certezas lgicas. DIAGRAMAS DE VALORES DE VERDAD: es un proceso por el cual se determina si una proposicin compuesta es Verdadero o Falso.

APLICACIONES: SEAN LAS PROPOSICIONES: a (VERDADERO); b (FALSO); c (FALSO). DETERMINE EL VALOR DE VERDAD DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES COMPUESTAS:

a)

b)

REFUERZO ~8~

1.

Demuestre cuales de las proposiciones siguientes son ciertas, si se supone que: Verdadero Verdadero Falso

n: Nueva York es ms grande que Chicago w: Nueva york est en el norte de Washington c: Chicago es ms grande que Nueva York

a) d) g)

b) e) h)

c) f)

2. Seasiguientes proposiciones:

. Hallar los valores de certeza de las

a) c) e) 3. Suponga quecompuesta: son falsas, y

b) d)

es verdadera. Encuentre los valores de verdad de cada proposicin

a) d) g)

b) e) h)

c) f)i)

ARGUMENTO, PREMISAS Y CONCLUSIN. Un ARGUMENTO O TESIS es un conjunto de dos o ms proposiciones relacionadas unas con las otras de tal manera que las proposiciones llamadas PREMISAS se supone que dan soporte a la proposicin denominada CONCLUSIN La transicin o movimiento desde las premisas hasta la conclusin, es decir, la conexin lgica entre las premisas y la conclusin es la INFERENCIA O DEDUCCIN sobre la que descansa el argumento. ~9~

REGLAS DE INFERENCIA. Para inferir un juicio a partir de otros se requiere de un proceso en el que se aplican propiedades o leyes fijadas de antemano y que no hayan sido obtenidas de casos particulares o para casos particulares. Estas propiedades nos dan la certeza de que solo es posible obtener conclusiones ciertas, de premisas ciertas. Estas reglas son:Modus ponendo ponens (PP): p q Simplificacin (S): p q Modus tollendo tollens (TT): p q ~q ~p Modus tollendo ponens (TP): p q ~p Q Conmutativa (C): qr p r Silogismo disyuntivo (S.Disy): p q Adicin (A): P p q Doble negacin (DN): ~~ p ; p ~~p p r qs rs Bicondicional (B): p q (p q) ( q p) p q Simplificacin disyuntiva (SD): p p p Silogismo hipottico (SH): pq p pq

Adjuncin (Adj.): p q

De Morgan (DM):

MTODOS DE DEMOSTRACIN La demostracin de una proposicin tiene por objeto establecer que es verdadera, infirindola de verdades conocidas o ya demostradas. Existen 3 mtodos de demostracin: Mtodo Directo Mtodo de demostracin Condicional y Mtodo de Demostracin Indirecta ~ 10 ~

1. MTODO DIRECTO: consiste en inferir o deducir una conclusin, partiendo nicamente de premisas dadas.APLICACIONES: APLQUE EL MTODO DIRECTO EN LAS DEMOSTRACIONES SIGUIENTES: ~ P1 P2

Demuestre(q p) r ~r

de:

Demuestre s de:p q p s q s

REFUERZO APLIQUE EL MTODO DIRECTO Y DEMUESTRE: Demuestre ~q de: Demuestre ~ t de: Demuestre a c de: Demuestre ~ (t s) de: (p q) r r ~t a ~b ~ (p ~q) ~r sr ~c b ~( r s) s t ~q Demuestre a b de: demuestre p de: Demuestre r q Demuestre ~p ca ~p q ~r ~s r ~p c q ~r pq (r s) t cb r s ps t (q u) ~s ~q ~u Demuestre q de: Demuestre t q Demuestre ~s Demuestre ~s de. ~s s ~ (p q) p (q r) ts (p q) t ~q t q ~p (~t r) q s (p q) s ~t s ~r p Demuestre ~ (a b) de: Demuestre ~ p de: Demuestre p s Demuestre s de: c ~d pq pq rs c ~a ~r qr ~p d ~b q q ~r pq

~ 11 ~

2. MTODO DE DEMOSTRACIN CONDICIONAL (D.C): si de un conjunto de premisas y de P se deduce q,entonces de tal conjunto de premisas se deduce p q. En las demostraciones se procede aadiendo la hiptesis, para al final emplear un condicional y as llegar a la demostracin indicada. APLICACIONES: ~

Demuestrepq ps P1 P2

:

Demuestre t ~ (p q)~s ~p q ~r t s r P1 P2 P3

Demuestre c ~ db ~c ~ (d ~b)

REFUERZO APLIQUE EL MTODO CONDICIONAL Y DEMUESTRE: Demuestre d c de: demuestre p ~ (q r) de: Demuestre c ~d a (b c) s (~p m) b ~c ~d a m (q r) ~ (d ~b) b ~p m Demuestre r ~q de: Demuestre: ~q t de: Demuestre s q de: ~r ~s s r rq q s sp tr pq st rt Demuestre ~ (r s)t de. Demuestre (t ~s) r Demuestre t ~ (p q) ~p ~r q ~s ~p ~r t t ~q q ~r ~s p ~ s ~q tsr

~ 12 ~

3. MTODO DE DEMOSTRACIN INDIRECTA (D.I): si de un conjunto de premisas y de la negacin de p,se infiere una contradiccin, entonces de dicho conjunto se infiere p. Si el consecuente es una contradiccin, se sabe que es lgicamente falso, as: p (q ~ q) ~p PASOS A UTILIZARSE DENTRO DE UNA DEMOSTRACIN INDIRECTA 1. Se procede aadiendo la negacin de la conclusin como una nueva premisa.

2. De sta nueva premisa y del conjunto de premisas dadas se debe deducir una contradiccin3. Al final se aplica la demostracin condicional e inmediatamente la demostracin indirecta

APLICACIONES:

Demuestre~qr p~r q

: P1 P2 P3

DemuestreQ~s pq pr s~r

: P1 P2 P3 P4

Demuestre :pq p~q P1 P2

REFUERZO APLIQUE EL MTODO DE DEMOSTRACIN INDIRECTA Y DEMUESTRE: Demuestre ~p de: Demuestre ~d de: Demuestre ~ b de: ~q r dw jbs P ~r a ~w ~s t q ~ (d a) ~t j Demuestre ~p de: Demuestre r de: Demuestre ~t de: ~ (p q) ~ (p q) t ~s Pr ~r q f ~t Q ~r ~p r sf Demuestre ~ (a d) de: Demuestre ~ (t s) abc ~r ~b b ~a tsr d ~c b ~s ~ 13 ~

FUNCIN ENUNCIATIVA Y CUANTIFICADORES FUNCIN ENUNCIATIVA (F.E): se llama funcin enunciativa de una, dos,, n variables, y se denota a la expresin que tiene una, dos o n variables. Por ejemplo:

,

se lee: P de equis es equivalente a, equis ms uno ,

F.E de una variable F.E de tres variables F.E de n variables

La caracterstica fundamental de una Funcin Enunciativa es que no se puede indicar su valor de verdad, DEFINICIN: el conjunto de donde tomamos los elementos para reemplazar en las variables de la funcin enunciativa se llama Dominio de la Funcin Enunciativa, y se denota D. CUANTIFICADORES: los cuantificadores usados en la lgica son: Universal El Universal propiedad. El Existencial con la propiedad. Los cuantificadores se leen de la siguiente forma: se utiliza cuando existe al menos un elemento en el Dominio de la Funcin Enunciativa cumple y Existencial

se utiliza cuando todos los elementos del Dominio de la Funcin Enunciativa cumplen con la

: por todo : existe al menos ,, : para cada,, existe existe,, para todo

NOTA: Al anteponer un Cuantificador a una Funcin Enunciativa indicando a la vez el Dominio, la expresin se convierte en enunciado. APLICACIONES: SI EL DOMINIO ES EL CONJUNTO DE NMEROS REALES VALOR DE VERDAD: , CONVIERTA EN ENUNCIADOS LAS

SIGUIENTES FUNCIONES ENUNCIATIVAS, ESCRIBA COMO SE LEE LA EXPRESIN INDIQUE EL

a) Sea, se lee: por todo elemento equis que pertenece al conjunto de Nmeros Reales se cumple que equis ms tres es igual a cinco. (F)

~ 14 ~

, se lee: existe al menos un elemento equis que pertenece al conjunto de Nmeros Reales tal que equis ms tres es igual a cinco. (V)

b) Sea

REFUERZO CONVIERTA EN ENUNCIADOS LAS SIGUIENTES FUNCIONES PROPOSICIONALES UTILIZANDO LOS CUANTIFICADORES, ESCRIBA COMO SE LEE LA EXPRESIN E INDIQUE EL VALOR DE VERDAD:

NEGACIN DE ENUNCIADOS CON CUANTIFICADORES: Para negar enunciados con cuantificadores se intercambia el universal por el existencial, y viceversa, y se niega la propiedad. APLICACIONES: ENCUENTRE LA NEGACIN DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS Y ESCRIBA SU VALOR DE VERDAD Y COMO SE LEE LA EXPRESIN: ENUNCIADO V,V F Existe al menos un elemento equis que pertenece al conjunto de los Nmeros Reales tal que equis elevado al cuadrado es mayor que cero. V NEGACIN V.V V Por todo elemento equis que pertenece al conjunto de los Nmeros Reales se cumple que equis elevado al cuadrado es mayor que cero.

F

V

~ 15 ~

~ 16 ~

REFUERZO ENCUENTRE LA NEGACIN DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS, ESCRIBA COMO SE LEE LA EXPRESIN E INDIQUE EL VALOR DE VERDAD:

SI DETERMINE EL VALOR DE VERDAD Y LA NEGACIN DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS:

~ 17 ~

TEORA DE CONJUNTOS CONJUNTO: conjunto es un trmino primitivo. Intuitivamente se considera como conjunto una coleccin de entes u objetos que tienen una propiedad o caracterstica comn. A los conjuntos se los denota generalmente con letras maysculas y por medio de llaves minsculas separados por una coma. Por ejemplo: La propiedad comn de los elementos del conjunto A es ser vocales La propiedad comn de los elementos del conjunto B es ser nmeros dgitos . Los objetos que

constituyen o forman un conjunto se denominan ELEMENTOS, y se los representa generalmente con letras

RELACIN DE PERTENENCIA: para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el smbolo y se lee pertenece a y para indicar que un elemento no pertenece a un conjunto se usa el smbolo y se lee no pertenece a. Por ejemplo: Sean los conjuntos , se tiene que:

DETERMINACIN DE CONJUNTOS Existen dos modos de determinar conjuntos:

1. POR EXTENSIN, TABULACIN O LISTA: consiste en enumerar cada uno de los elementos de unconjunto. Por ejemplo: a) Conjunto formado por los das de la semana.

b) Conjunto formado por los nmeros enteros mayores que -4 y menores que o iguales que 5

2. POR COMPRESIN, DESCRIPCIN O REGLA: cuando los elementos se conocen slo por lacaracterstica de la clase a la que se pertenecen. Por ejemplo: a) Conjunto formado por los cantones de la provincia de Chimborazo.

b) Conjunto formado por los nmeros naturales 4,5,6,7,8

~ 18 ~

REFUERZODEFINIR POR TABULACIN LOS SIGUIENTES CONJUNTOS FORMADOS POR: Los colores del arco iris Los nmeros impares comprendidos entre 4 y 14 Los meses del ao Los mltiplos de 3 mayores que 5 y menores que 17 Los pases de Amrica del Sur El nevado ms alto del Ecuador Los ocanos del mundo Tringulos por sus lados Los signos del zodaco Los divisores de 30 D DEFINIR POR COMPRENSIN LOS SIGUIENTES CONJUNTOS:

T TABULE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS:

REPRESENTACIN GRAFICA DE CONJUNTOS: un conjunto se lo puede ilustrar grficamente por medio de diagramas de Venn, que son figuras geomtricas planas o curvas cerradas, donde todos los elementos que pertenecen al conjunto se encuentran en su interior y los elementos que no pertenecen al conjunto se encuentran fuera de ella. Por ejemplo:

a)2 8

U

4 10

b)U

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS INCLUSIN DE CONJUNTOS: sean A y B dos conjuntos, se dice que A est Incluido en B o que A es Subconjunto de B y se denota denota: Grficamente se representa: B A , cuando todo elemento de A es tambin elemento de B. Simblicamente se

~ 19 ~

IGUALDAD DE CONJUNTOS: sean

dos conjuntos, se dice que A es igual a B y se denota

si y solo s

tienen los mismos elementos. Simblicamente se denota:

Grficamente se representa:

A

B

DEFINICIN: dos conjuntos

son INTERSECANTES si existe al menos un elemento que pertenece a los

dos conjuntos, a ste elemento se llama elemento comn. En smbolos se tiene:

Grficamente se representa: A B

DEFINICIN: dos conjuntos se tiene:

son DISJUNTOS cuando no tienen ningn elemento en comn. En smbolos

A

B

APLICACIONES: SEAN LOS CONJUNTOS , INDIQUE LA RELACIN QUE SE ESTABLECE ENTRE CADA PAR DE CONJUNTOS Y REPRESNTE EN DIAGRAMAS DE VENN: a) A y B b) C y D c) ByD ~ 20 ~

d) A y E

Dados los conjuntos , , UyT PyQ PyS TyV

, ,

,

REFUERZO , Encuentre la relacin que existe entre los conjuntos: PyR VyR XyR SyW PyX RyT

XyQ WyU

CLASES DE CONJUNTOS

CONJUNTO UNIVERSO: y se denota U, al conjunto que contiene a todos los elementos de una mismacaracterstica en comn.

CONJUNTO UNITARIO: al conjunto con un solo elemento. CONJUNTO VACO: al conjunto sin elementos, se denota .Si simblicamente se puede indicar:

CONJUNTO FINITO: si de alguna manera se puede determinar que tiene n elementos. CONJUNTO INFINITO: un conjunto es infinito cuando no se puede determinar n elementos que posee.APLICACIONES: 1. 2. ESCRIBA 3 EJEMPLOS DE LAS DISTINTAS CLASES DE CONJUNTOS QUE HAY TABULE LOS CONJUNTOS E INDIQUE QUE CLASE DE CONJUNTOS SON:

a) b) c) d) e)OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Sean A y B dos conjuntos, a continuacin se definen las principales operaciones entre conjuntos:

UNIN: INTERSECCIN: DIFERENCIA: COMPLEMENTO:~ 21 ~

DIFERENCIA SIMTRICA:APLICACIONES: DADOS LOS CONJUNTOS , , , ,

REALICE LAS SIGUIENTES OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:

a)

b) c) d) e)

f)EN LA SIGUIENTE FIGURA, DETERMINE POR MEDIO DE UN RAYADO LAS SIGUIENTES OPERACIONES:

a) b) c) d) ( e) f) C A B

SEAN , HALLE:

REFUERZO

EJERCICIOS DE APLICACION DE TEORIA DE CONJUNTOS.~ 22 ~

Los problemas sobre conjuntos se resuelven tomando en cuenta las siguientes consideraciones:, elemento slo de , elemento slo de , elemento slo de , elemento slo de , elementos de , elemento slo de elementos de , elemento slo de elementos de elementos de , elemento de , no es elemento de , elemento de , elementos de , nmero total de elementos

REFUERZO.

1. Si en un total de 50 alumnos de primer ingreso, 30 estudian Basic, 25 Pascal y 10 estudian ambos lenguajes. Cuntos alumnos de primer ingreso estudian al menos un lenguaje de Computacin? R/45

2. Una compaa tiene 350 empleados, de los cuales 160 obtuvieron un aumento de salario, 100 fueron promovidos y 60 fueron promovidos y obtuvieron un aumento de salario. a) Cuntos empleados obtuvieron un aumento pero no fueron promovidos? b) Cuntos empleados fueron promovidos pero no obtuvieron un aumento? c) Cuntos empleados no obtuvieron ni aumento de salarios ni fueron promovidos? R/100. R/40. R/150.

3. El diagrama representa un grupo de estudiantes que fueron encuestados y a los cuales se les pidi su opinin respecto de los temas A, B y C.

~ 23 ~

Al respecto se desea saber: a) Nmero de estudiantes de la muestra? b) Nmero de estudiantes que opinaron del tema B o C? c) Cuntos no opinaron? e) Nmero de estudiantes que opinaron de los temas A y B? f) Cuntos dieron su opinin slo referente al tema A? g) Cuntos manifestaron su opinin sobre los tres temas? h) Cuntos opinaron sobre el tema C pero no sobre el tema B? R/64. R/51. R/0. R/7. R/13. R/3. R/12.

d) Cuntos estudiantes que haban opinado sobre el tema B opinaron sobre los temas A o C? R/12.

4. En un grupo de 165 estudiantes, 8 toman Clculo, Sicologa y Computacin; 33 toman Clculo y Computacin; 20 toman Clculo y Sicologa; 24 toman Sicologa y Computacin; 79 estn en Clculo; 83 estn en Sicologa y 63 toman Computacin. Determine: a) Cuntos estudiantes toman exclusivamente Sicologa? b) Cuntos estudiantes toman solamente dos materias? c) Cuntos estudiantes toman Clculo y Computacin? d) Cuntos estudiantes toman al menos una de las tres materias? e) Cuntos estudiantes no toman ninguna de estas asignaturas? R/47. R/53. R/33. R/156. R/9.

5. En una encuesta realizada a 120 pasajeros, una lnea area descubri que a 48 les gustaba el vino (V) con sus alimentos, a 78 les gustaba las bebidas preparadas (P) y a 66 el t helado (T). Adems, a 36 les gustaba cualquier par de estas bebidas y a 24 pasajeros les gustaba todo. Encuentre: a) Cuntos pasajeros solamente les gusta el t? b) A cuntos de ellos solamente les gusta el vino con sus alimentos? c) A cuntos de ellos solamente les gusta las bebidas preparados? d) Cuntos de ellos les gusta al menos 2 de las bebidas para acompaar sus alimentos? e) Cuntos de los pasajeros no beben ni vino. ni t, ni bebidas preparadas? R/18. R/0. R/30. R/60. R/12.

~ 24 ~

6. Un grupo de primer semestre de una Escuela de Ingeniera tiene 300 estudiantes. Se sabe que 180 pueden programar en Pascal, 120 en Fortran, 30 en Apl, 12 en Pascal y Apl, 18 en Fortran y Apl, 12 en Pascal y Fortran y 6 en los tres lenguajes. Conteste: a) Cuntos estudiantes pueden programar exactamente en dos lenguajes? b) Cuntos estudiantes pueden programar a lo menos en dos lenguajes? c) Cuntos estudiantes pueden programar a lo sumo en tres lenguajes? R/24. R/30. R/294.

d) Cuntos estudiantes de la escuela de Ingeniera no saben ninguno de estos tres lenguajes? R/6.

7. En un curso compuesto de 22 alumnos; 12 estudian alemn, 11 estudian ingls, y 11 francs, 6 estudian alemn e ingls, 7 estudian ingls y francs, 5 estudian alemn y francs y 2 estudian los tres idiomas. a) Cuntos alumnos slo estudian ingls? b) Cuntos alumnos slo estudian un lenguaje? c) Cuntos alumnos slo estudian dos idiomas al mismo tiempo? d) Cuntos alumnos no estudian ninguno de estos tres idiomas? R/0. R/4. R/12. R/4.

8. El nmero de lectores de ciertas revistas se muestra en la siguiente tabla:Revista Lectores (en miles)

C Slo Slo Slo

a) Cuntos leen al menos dos revistas? b) Cuntos leen slo una de las revistas? c) Cuntos leen exclusivamente la revista B? d) Cuntos leen A y B, o ambos?

R/330. R/1115. R/270. R/150.

9. En un curso de 50 alumnos de la ESPOCH tienen que aprobar EE.FF y para eso deben escoger entre tres deportes, Tenis, Vley y Bsquet con las siguientes condiciones: 8 alumnos prefieren solo Vley, 6 alumnos prefieren Vley y Bsquet, el numero de alumnos que eligen Bsquet es la mitad de los~ 25 ~

que eligen Tenis y es el doble de los que eligen Tenis y Vley; no hay alumnos que eligen Tenis y Bsquet. a) Cuntos eligen Tenis? b) Cuntos eligen Vley? c) Cuntos eligen solo Bsquet?

10. Se realiza una encuesta a 64 personas sobre cual de los siguientes colores les gusta mas, rojo azul y plomo y se obtuvieron los siguientes datos: las personas que les gusta solo el color rojo exceden en 4 a las personas que les gusta el azul y en 3 a las personas que no lesgusta ninguno; hay 4 personas que les gusta los tres coloresny esta es el doble de los que les gusta solo el rojo y el plomo. a las personas que les gusta solo el rojo y plomo son la mitad de los que les gusta el azul y plomo. A 9 personas les gusta dos colores. Cul es el color favorito y el que menos les gusta? a) Cul es el color favorito? b) Cul es el color que menos les gusta?

11.en la Universidad Interamericana del Ecuador se realiza una encuesta a 80 estudiantes, obteniendo los siguientes resultados: 40 reciben Matematicas, 15 reciben Investigacion, 36 reciben Contabilidad, 10 reciben Matematicas y Contabilidad, pero, ninguno recibe Matematicas e Investigacion. Determine: a) Cuntos estudian solo Matematicas? b) Cuntos estudian solo Investigacion? c) Cuntos estudian solo Contabilidad?

12. se realiza una encuesta a 80 personas sobre sus gustos en los generos de pelculas de accin, comedia y terror, obteniendo los siguientes resultados: a 16 pesonas les gusta accin y comedia, a 10 personas les gusta solo comedia, a 11 personas les gusta los tres gneros, a 45 personasles gusta pelculas de accin,a 39 personas les gusta pelculas de terror, a 30 les gusta comedia, a 3 personas no les gusta nigun tipo de pelcula y el numero de personas que les gusta solo accin son el doble de olos que les gusta solo comedia, se pregunta: a) A cuntas personas les gusta solo accin? b) A cuntas personas les gusta solo terror? c) A cuntas personas les gusta accin y terror? d) A cuntas personas les gusta comedia y terror? 13. se realizo una encuesta a 150 personas sobre que tipo de medicamentos son los mas usados y se obtuvo que: 70 personas consumen apronax, 98 personas consumen novalgina, 54 personas consumen~ 26 ~

misulina, 44 personas consumen apronax y novalgina, 20 personas consumen apronax y misulina, 14 personas consumen los tres medicamentos y 32 personas consumen novalgina y misulina, determine: a) Cuntas personas consumen solo misulina? b) Cuntas personas consumen solo novalgina? c) Cuntas personas consumen solo apronax? d) Cuntas personas no consumen ninguno de estos medicamentos?

~ 27 ~