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CONTENIDO DE LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICA PARA INGENIERÍAS

1. LOGICA MATEMATICA

1.1. RESEÑA HISTÓRICA

Los principios formales de las matemáticas se desarrollan en Grecia. Platón, Aristóteles y Euclides proponen las primeras ideas hacia la lógica: Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el razonamiento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el método axiomático.

El trabajo de Aristóteles contiene el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento. Representan el primer intento serio que funda la lógica como ciencia.

Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.

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La disciplina de la lógica matemática recibió este nombre gracias a Giuseppe Peano, quien reformó y complementó la lógica tradicional Aristotélica, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática. El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. LÓGICA MATEMÁTICA.- La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado un ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica. QUE PRETENDE LA LÓGICA MATEMÁTICA.- La lógica matemática es el intento de dar una “forma universal” al pensamiento, expresándolo por un sistema unívoco de signos (estos quiere decir, un sistema en el que cada signo tenga un solo significado en un mismo contexto), con un sistema de relaciones entre esos signos comparable al cálculo matemático, para alcanzar así todas las verdades. La lógica matemática pretende hacer que todas las relaciones reales se vuelvan formales; pretende reducirlas a una “expresión matemática” que pueda ser calculada como en las matemáticas. Por esa razón es que se le llama también “álgebra de la lógica”.

1.2. PROPOSICIONES.

ENUNCIADOS ABIEROS Y ENUNCIADOS CERRADOS.- Un enunciado: es un conjunto de símbolos por medio de los cuales expresamos lo pensado en un juicio, ya sea en formal, oral o escrita. Enunciados Abiertos o simples: son aquellos que tiene un único valor de verdad. Es el que no tiene otro enunciado como parte componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas”.

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Enunciados Cerrados o compuestos: un enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas y las violetas son azules”. PROPOSICIONES LÓGICAS.- Se entiende como tal a una frase en la que se declara algo y a la que podemos asignar un valor de verdadero o falso; pero no ambos al mismo tiempo. Las proposiciones son el lenguaje formal de la lógica simbólica por el cual están regidas todas las leyes de esta matemática que utiliza la simbología como su principal fuente de estudio. En si las proposiciones son oraciones literarias o matemáticas en la cual tiene sentido establecer un valor de verdad o falsedad. Es decir una proposición puede ser verdadera o falsa y no ambas a la vez. Y por lo tanto una oración que no tenga sentido o carezca de valor no será considerada proposición. Hay dos clases de proposiciones: simples y compuestas, también llamadas atómicas y moleculares respectivamente. a. Proposiciones Simples.- También denominadas atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. Ejemplo: El cielo es azul. (verdadero) Nomenclatura: p b. Proposiciones Compuestas.- También denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos. Ejemplo: Fui al banco, pero el banco estaba cerrado. Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios. Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalaré un auto. Oraciones que no son consideradas Proposiciones.- Las siguientes Oraciones nunca serán consideradas proposiciones:

a) Oraciones Interrogativas (¿?) Este tipo de Oraciones llamadas "Interrogativas" indican alguna pregunta dentro del lenguaje literario y por este motivo estas oraciones carecen de un valor de verdad es decir no pueden ser ni verdaderas ni falsas. Al no ser consideradas ni falsas ni verdaderas no pueden ser proposiciones. Ejemplos: 1.- ¿Cómo te llamas? No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso 2.- ¿A dónde Vas? No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso 4.- ¿Que te gusta tomar? No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso 5.- ¿Cuántos años tienes? No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso

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Por lo tanto llegamos a la conclusión de que cualquier oración interrogativa no puede ser considerada una proposición.

b) Oraciones de Admiración (¡!) Estas oraciones de "Admiración" tampoco son consideradas proposiciones ya que este tipo de oración indica algo admirable y por ende no tiene sentido afirmar si dicha oración es verdadera o falsa. Al tener estas características no podrán ser consideradas proposiciones Ejemplos: 1.- ¡Viva Ecuador! No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso 2.- ¡Viva La Mama Negra! No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso 3.- ¡es Linda mi tierra! No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso 4.- ¡Que sin das flores! No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso

c) Oraciones de Deseo Estas oraciones de "Deseo" también no son consideradas proposiciones ya que cuando uno expresa un deseo este deseo puede ser falso y verdadero al mismo tiempo. Al tener esta característica no pueden ser consideradas proposiciones Ejemplos: 1.- Deseo helados 2.- Quiero ir a la plaza 3.- Quiero que gane la selección 4.- Quiero darte un beso

d) Oraciones de Orden Es otro tipo de oraciones las cuales entran en el grupo de las no pertenecientes a las proposiciones ya que una oración literal de orden no tendrá sentido afirmar si es verdadera o falsa por el mismo hecho de que se trata de una oración de orden al tener esta característica no será considerada Proposición. Ejemplos: 1.- Tráeme una silla 2.- Búscame un lápiz 3.- Traigan todos los documentos 4.- Acomoden en aula

1.3. OPERADORES LÓGICOS.

Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada proposición molecular. Conectivos lógicos más empleados son:

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NEGACIÓN.- Es un elemento lógico que actúa independientemente de la proposición. Regla.- La negación de una proposición verdadera es falsa. La negación de una proposición falsa es verdadera. Nomenclatura: Se lee no p.

Ejemplo: p.- Juan conversa -p.- Juan no conversa

CONJUNCIÓN.- Es la unión de dos o más proposiciones mediante el conectivo lógico “y”, “pero”, “también”, “sin embargo”, “además”, etc. Regla.- Es verdadera la proposición conjuntiva únicamente cuando las dos proposiciones son verdaderas (p y q), en cualquier otro caso es falsa. Nomenclatura: Se lee p y q.

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Ejemplo: P: La casa está sucia. Q: La empleada la limpia mañana P Q: La casa está sucia y la empleada la limpia mañana

DISYUNCIÓN.- Une proposiciones mediante el conectivo lógico “o”. Regla.- Una proposición disyuntiva es verdadera cuando por lo menos uno de sus componentes es verdadero. Es falsa sólo cuando todos sus componentes son falsos (p o q). Nomenclatura.- Se lee p o q.

Ejemplo: P: Pedro juega básquet Q: María juega fútbol PvQ: Pedro juega básquet o María juega fútbol.

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CONJUNCIÓN NEGATIVA.- Es la unión de dos o más proposiciones por “ni”. Regla.- El resultado es verdadero únicamente cuando las dos proposiciones son falsas (ni p ni q), en cualquier otro caso es falsa. Nomenclatura.- Se lee ni p ni q.

Ejemplos: “ni 3 + 2 = 5, ni 2 + 4 = 6” Simbólicamente tenemos:

p q p: 3 + 2 = 5 V (p) = V q: 2 + 4 = 6 V (q) = V Consecuentemente tenemos que:

V (p q) = F

p: 3 + 2 5 V ( p) = F

q: 2 + 4 6 V ( q) = F; Consecuentemente:

V ( p q) = F Entonces se deduce que:

(p q) ( p q ) Su tabla de verdad es:

p q ( p q )

V V F F

V F V F

F F F V

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DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.- Es la unión de dos o más proposiciones mediante el conectivo lógico “o”. Regla.- Es verdadera la proposición cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa o cuando la primera proposición es falsa y la segunda verdadera. Nomenclatura.- Se lee o p o q, pero no ambos.

Ejemplos: Carmen es hija de José ó de Vicente Simbólicamente tenemos: p: Carmen es hija de José V(p) = V q: Carmen es hija de Vicente V (q) = V

En consecuencia: V (p q) = F

(p q) que se lee: p ó q, pero no ambas.

25 = 6 o 3 + 9 = 7

p: 25 = 6 V (p) F q: 3 + 9 = 7 V 8q) = F

En consecuencia: V (p q) = F DISYUNCIÓN NEGATIVA.- Regla.- El enunciado es falso cuando las proposiciones simples que la forman son verdaderas. Nomenclatura.- p / q; que se lee no ó no q. Ejemplo: No eres pintor o no eres artista p / q p: eres artista V (p) = V q: eres pintor V ( q) = V En consecuencia: V (p / q) = F

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p: no eres artista V (p) = F

q: no eres pintor V (q ) = F Consecuentemente:

V (p q) = F

Luego: p / q (p q ) Su tabla de verdad es:

p q ( p / q )

V V F F

V F V F

F V V V

CONDICIONAL.- Viene a ser la combinación de dos proposiciones con “si… entonces”. Regla.- Una proposición condicional es falsa cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa. Es verdadera en cualquiera de las otras formas Nomenclatura.- Se lee si p entonces q.

Ejemplo: P: Si me saco la lotería Q: Te regalaré un carro P Q: Si me saco la lotería entonces te regalaré el carro.

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BICONDICIONAL.- Es la unión de dos proposiciones por “si y sólo si”. Regla.- Una proposición bicondicional es verdadera cuando, o sus dos componentes son verdaderos o sus dos componentes son falsos. Nomenclatura.- Se lee p si y sólo si q.

Ejemplo P: Simón Bolívar vive Q: Montalvo está muerto P Q: Simón Bolívar vive si y solo si Montalvo está muerto. Tabla resumen:

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1.4. POLINOMIOS BOOLEANOS.

VARIABLES LÓGICAS

Si las letras p, q, r, etc. Designan un elemento cualquiera del conjunto de proposiciones, es decir pueden designar indistintamente a cualquier elemento, entonces se dice que p, q, r, etc. Son variables lógicas.

EJEMPLO:

p: Quito es la capital del Ecuador

q: Quito es Luz de América

r: Todo triángulo tiene cuatro lados

p: Todo triángulo tiene cuatro lados

q: Quito es la capital del Ecuador

r: Quito es Luz de América

Como podemos observar si las letras p, q, r, con o sin subíndices, designan a cualquier proposición,

entonces se llaman Variables Lógicas

Podemos construir Polinomios Booleanos, coordinando proposiciones mediante los operadores o términos

lógicos.

EJEMPLO:

1. P ˆ ~q

2.(p v q) ~ (~ p)

3.(p v q) (p q)

4.(p v q) (q p)

5.p q ≡ ~ p v q

6.P p q ˆ q p

En general, los polinomios booleanos se construyen combinando las variables lógicas con los operadores o

términos lógicos.

Es decir, al polinomio booleano se le conoce también como proposición compuesta o con el nombre de

fórmula. FUENTE: http://cafpolinomiosbooliano.blogspot.com/2013/05/booliano-variables-logicas-si-las.html

1.5. TABLAS DE VERDAD.

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgensteinen su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921. La tabla de los "valores de verdad", es usada en el ámbito de la lógica, para obtener la verdad (V) o falsedad (F), de una expresión o de una proposición. Además sirven para determinar si es que un determinado esquema de inferencia es formalmente válido como un argumento, llegando a la

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conclusión de que éste es una tautología (cuando todos los valores de la tabla mencionada son "V" o sea verdadero). Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento. Ejemplo: Video.

p ̂ q --> p

p q p^q p^q-->p

V V V V

V F F V

F V F V

F F F V

TAUTOLOGÍA

Ejercicio: Juan partirá para Japón, si María se queda en Venecia. Rosa viajará a Luxemburgo o Juan

no partirá para Japón. O María no se queda en Venecia o Rosa no viajará a Luxemburgo. Por

consiguiente, María no se queda en Venecia.

Juan Japón: p

María Venecia: q

Rosa Luxemburgo: r

((q -> p) & (r v ¬p)) & (¬q v ¬r) -> ¬q

( ( q -> p ) & ( r v ¬ p ) ) & ( ¬ q v ¬ r ) -> ¬ q

V V V

V

V V F V

F

F V F F V

V F V

V V V

F

F F F V

F

F V V V F

V F V

F V V

V

V V F V

V

V F V F V

V V F

F V V

F

F F F V

F

V F V V F

V V F

V F F

F

V V V F

F

F V F F V

V F V

V F F

F

F V V F

F

F V V V F

V F V

F V F

V

V V V F

V

V F V F V

V V F

F V F

V

F V V F

V

V F V V F

V V F

TAUTOLOGÍA

Ejercicios para resolver:

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1. p ^ q --> p

2. p v p --> r

3. p v (q --> r)

4. (p --> q) ^ (q --> r) --> (p --> r)

5. p --> (q --> r)

6. p v q --> (r v s --> p)

7. p ^ q --> q ^ p

8. (p --> q) ^ p --> q

9. (p --> q) ^ p ^ ¬q

10. (p --> q) ^ (p --> q)

11. (p --> q) ^ q --> p

12. (p --> q) ^ ¬q --> ¬p

13. (p --> q) ^ ¬p --> ¬q

14. ¬(p ^ q) <--> ¬p ^ ¬q

15. ¬(p ^ q) <--> ¬p v ¬q

16. [(p --> q) ^ (q --> r)] ^ ¬(p --> r)

17. p --> (q ^ ¬r) --> ¬q)

18. ¬(p v q) <--> ¬r v ¬q

19. ¬(p v q) <--> ¬p v ¬r

20. ¬(p --> q) <--> p ^ r)

1.6. ORDEN DE LOS OPERADORES LÓGICOS.

OPERADOR LÓGICO LÓGICA SIMBÓLICA TERMINOLOGÍA LÓGICA

Negación no

Conjunción y

Disyunción o

Disyunción exclusiva v o en sentido excluyente

Conjunción negativa ni….ni

Disyunción negativa / no…no

Condicional Si…., entonces

Bicondicional Si y sólo si

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1.7. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA

TAUTOLOGÍA.- Son los polinomios booleanos cuyos valores de verdad en la columna de la respuesta

son todos verdaderos, se le conoce también como verdad lógica.

CONTRADICCIÓN Son los polinomios booleanos cuyos valores de verdad en la columna de la respuesta

son todos falsos, se le conoce también como antitautología, contradicción, falsedad lógica o falacia.

CONTINGENCIA Son los polinomios booleanos cuyos valores de verdad en la columna de la respuesta son

verdaderos y falsos.

FUENTE: http://cafpolinomiosbooliano.blogspot.com/2013/05/booliano-variables-logicas-si-las.html http://auladefilosofia.net/2008/10/25/ejercicios-resueltos-de-tablas-de-verdad-y-formalizacion/

1.8. EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN LÓGICA

Existe un conjunto de equivalencias e implicaciones lógicas que pueden utilizarse como esquemas de sustitución en procesos de razonamiento, o como esquemas de razonamientos válidos respectivamente. A continuación se muestra un breve resumen de las más importantes:

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1.9. LEYES DEL ÁLGEBRA DE LAS PROPOSICIONES

ALGEBRA PROPOSICIONAL. Una proposición es una declaración la cual puede ser verdadera o falsa, por ejemplo: 5 > 4, 2+2=5, “Pedro comió a las 3″, “Me gusta la sopa”. Algunas veces es más difícil que otras determinar si la declaración o proposición es verdadera o falsa, en otras palabras, si toma el valor de verdad o falsedad. Sin embargo, esto no cambia el hecho de que existe sólo una posibilidad, ya sea que la propuesta puede que sea verdadera o sea falsa.

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Algunas declaraciones que no califican con este criterio son “Tu sweater es bonito”, ײ = 9, “¿Cómo dijiste?”. Esta definición propuesta es una definición formal, esto es, una definición que se ha hecho cuidadosamente para que todas las posibilidades queden cubiertas; se ha hecho de este modo con el fin de que no existan ambigüedades ni malentendidos. En muchas ocasiones, se utilizan letras para representar las proposiciones. Se dice que una proposición es simple o atómica, si no está compuesta por otra proposición. Las Proposiciones compuestas se pueden crear combinando conectores con proposiciones simples. LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES Las leyes de la algebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del bicondicional. Las leyes del algebra de proposiciones son las siguientes: 1. EQUIVALENCIA P⇔P 2. INDEPOTENCIA P∧P ⇔P P∨ P ⇔P 3. ASOCIATIVA P∨Q ∨R ⇔ (P∨Q) ∨R ⇔ P∨(Q∨R) P∧Q ∧R ⇔ (P∧Q) ∧R ⇔ P∧(Q∧R) 4. CONMUTATIVA P∧Q⇔ Q∧P P∨Q⇔ Q∨P 5. DISTRIBUTIVAS P∧(Q∨R)⇔ (P∧Q)∨(P∧R) P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R) 6. IDENTIDAD P∧F ⇔ F P∧V⇔ P P∨F⇔ P P∨V⇔V 7. COMPLEMENTO P∧¬P⇔F P∨¬P⇔V ¬(¬P)⇔P ¬F⇔V ¬V⇔F 8. DE MORGAN ¬(P∧Q)⇔ ¬P∨¬Q ¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q

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9. ABSORCION P∧(P∨Q)⇔P P∨(P∧Q)⇔P

FUENTE: http://lgicaepn.blogspot.com/2011/12/leyes-del-algebra-de-proposiciones.html

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1.10. APLICACIONES CUANTIFICADOR EXISTENCIAL Y UNIVERSAL (VIDEO) Cuantificadores: En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general,los cuantificadores son símbolos utilizados

para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad.

Cuantificadores Existenciales: La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un

elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”.

Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal que…)”, “hay al menos un x tal que..." o

"para algún x...".

Ejemplo:

Sea A= {1,2,3,4,5} Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes:

a) (∃ x ∈ A)(x+3=10)

sol: es falso porque ningún número de A es una solución de x+3=10.

b) (∀ x ∈ A)(x+3<10)

sol: es Verdadero. cualquier número de A cumple que x+3<10

Cuantificadores Universales: Indican que algo es cierto para todos los individuos.

Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x,

escribiremos (∀x) A.

Ejemplos:

Todos los humanos respiran

(∀ x) (H(x) → R(x)) donde el predicado H significa humanos, R respiran y x es un elemento de un dominio general que

podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado.

Todos los alumnos son estudiosos

(∀ x) (A(x) → E(x)) donde el predicado A significa alumno, E estudioso y x es un elemento de un dominio general que

podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado.

Representación de cada cuantificador

Cuantificador Universal (∀)

Cuantificador Existencial (∃)

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FUENTES.- http://estructuradiscretaunerg.blogspot.com/2013/06/cuantificadores-cuantificadores.html ANÁLISIS MATEMÁTICO: Jorge Lara y Jorge Arroba, Centro de Matemática Universidad Central del Ecuador. LÓGICA MATEMÁTICA: http://lgicaepn.blogspot.com/2011/12/logica-matematica.html RESEÑA HISTÓRICA: http://logicamatematica1.wordpress.com/2010/08/07/historia-de-la-logica-

matematica/

PROPOSICIONES: http://www.monografias.com/trabajos81/algebra-logica-introduccion-

proposiciones/algebra-logica-introduccion-proposiciones.shtml

ALGEBRA PROPOSICIONAL: http://lgicaepn.blogspot.com/2011/12/leyes-del-algebra-de-

proposiciones.html, http://lgicaepn.blogspot.com/2011/12/logica-matematica.html