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Hênio Delfino

Lógica Matemática Para Concursos

São Paulo1ª Edição -

Hênio Delfino


São Paulo - 2012


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Copyright ©2011 – Todos os direitos reservados a: Hênio Delfino ISBN: 978-19-3610-885-5 1ª Edição Janeiro 2012 Direitos exclusivos para Língua Portuguesa cedidos à Biblioteca24horas, Seven System International Ltda. Rua Luís Coelho 320/32 Consolação São Paulo – SP – Brasil CEP 01309-000 (11) 3259-4224 [email protected] Vendas: www.biblioteca24horas.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte do conteúdo deste livro poderá ser utilizada ou reproduzida em qualquer meio ou forma, seja ele impresso, digital, áudio ou visual sem a expressa autorização por escrito da Biblioteca24horas sob penas criminais e ações civis.

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ógica Matemática Para Concursos


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Sumário

CAPÍTULO 1 ESTRUTURAS LÓGICAS ---------------------------------7 1.1 INTRODUÇÃO ----------------------------------------7 1.2 PROPOSIÇÕES LÓGICAS -------------------------- 7 1.3 PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS ----------9 1.3.1 Proposição Simples -------------------------------9 1.3.2 Proposição composta -----------------------------9 1.4 CONECTIVOS 10 1.5 TRANSFORMANDO PROPOSIÇÕES EM SÍMBOLOS -------------------------------------------

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CAPÍTULO 2 TABELA VERDADE --------------------------------------14 2.1 PRINCÍPIOS DO PENSAMENTO LÓGICO -----------14 2.2 CONCEITUANDO TABELA-VERDADE ---------------14 2.3 CONSTRUINDO UMA TABELA VERDADE ----------15 2.3.1 Tabela-verdade da conjunção (∧) ---------------15 2.3.2 Tabela-verdade da disjunção (∨) --------------- 16 2.3.3 Tabela-verdade da disjunção exclusiva (∨)----------------------------------------------

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Tabela-verdade da Condicional (→) --------------------17 2.3.5 Tabela-verdade da Bicondicional(↔) ------------18 A TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA ------------------------------

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2.4.1 Ordem de operação lógica na tabela-verdade -----20 CAPÍTULO 03 TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO, CONTIGÊNCIA -----------26 3.1.1 TAUTOLOGIA -------------------------------------26 3.1.2 CONTRADIÇÃO OU CONTRAVÁLIDA ---------------26 3.2.3 CONTINGÊNCIA ------------------------------------27 CAPÍTULO 04 ARGUMENTOS LÓGICOS --------------------------------32 3.1 ARGUMENTO DEDUTIVO E INDUTIVO ---------------32



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3.1.1 Argumento dedutivo -----------------------------32 3.1.2 Argumento indutivo ---------------------------------32 3.2 VALIDADE DE ARGUMENTOS E TABELA- VERDADE -------------------------------------------------

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CAPÍTULO 05 EQUIVALÊNCIA LÓGICA ---------------------------------45 5.1 CONCEITO ------------------------------------------45 5.2 IDENTIFICANDO UMA EQUIVALÊNCIA LÓGICA ----45 5.3 EQUIVALÊNCIA LÓGICA NOTÁVEL ------------------46 5.3.1 Dupla Negação --------------------------------------46 5.3.2 Idempotência ------------------------------------ 46 5.3.3 Comutação -----------------------------------------47 5.3.4 Associação ----------------------------------------48 CAPÍTULO 06 OPERAÇÕES COM PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS ------58 6.1 SENTEÇA ABERTA ----------------------------------58 6.2 NEGAÇÃO DE UMA SENTENÇA ABERTA ------------59 6.3 VALIDADE DE UM ARGUMENTO COM PROPOSIÇÕES ABERTAS ----------------------------

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CAPÍTULO 07 RACIOCINIO LÓGICO ESPACIAL ------------------------69 GABARITO -----------------------------------------------78

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CAPÍTULO 1 ESTRUTURAS LÓGICAS

1.1 INTRODUÇÃO Lógica proposicional é a parte da matemática que tem como objeto de estudo as formas de argumentação e suas estruturas, sendo que na sua forma contemporânea, cada vez mais simbólica, deixa de ter preocupação com conteúdo material das proposições, pois este não importa. Quando falamos em lógica pensamos em raciocínio, pois podemos dizer que o uso da lógica nos traz a possibilidade de garantir a veracidade ou falsidade de um encadeamento de fatos ou premissas. Primeiramente, caro leitor, tente julgar em válida ou não válida a seguinte conclusão desta afirmação: Percebo que um gato gosta de leite, outro gato gosta de leite, outro também gosta de leite, então todo gato gosta de leite. Essa conclusão é válida ou não válida? Para você que julgou ser não válida, certo. É não válida, pois ao ver um gato que gosta de leite não garante que todo e qualquer gato goste de leite, devemos ter o cuidado para não nos deixar levar pelo senso comum, pois cada situação é única e isso nós temos de lembrar sempre. 1.2 PROPOSIÇÕES LÓGICAS Quando nos comunicamos, usamos frases de diversas formas, exclamativas, negativas, interrogativas, afirmativas dentre outras, na lógica nem toda frase pode ser utilizada, vejamos as seguintes frases: - O gato é fofinho. - Vamos tomar um café? - Venha tomar banho menino! - O jogador Pelé é loiro. Para que a frase tenha utilidade na lógica, esta tem de ser afirmativa, portanto frases interrogativas e exclamativas não são usadas como é o caso dos exemplos, “Vamos tomar um café?”, “Venha tomar banho menino!” Já as



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frases: “O gato é fofinho” e “O jogador Pelé é loiro”, são chamadas de proposições, observe que elas não são obrigatoriamente verdadeiras, neste último caso temos uma proposição falsa. PROPOSIÇÃO é uma sentença declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa, não havendo outra possibilidade.

EXERCÍCIO 01 Classifique as seguintes frases em (P) proposições ou (N) não proposições. a. ( ) O jantar esta pronto. b. ( ) O jantar esta pronto? c. ( ) Gosto de vegetais e cereais. d. ( ) Coma logo isso menino! e. ( ) João correu e nadou. f. ( ) Se Marcos andar ele vai cair? g. ( ) Se Marcos andar então vai cair. h. ( ) Hoje é um dia da semana. i. ( ) Camila gosta de suco de tomate. j. ( ) Carlos não come carne crua. k. ( ) O animais são felizes? l. ( ) O dia tem sol e a noite tem estrelas. m. ( ) O dia não tem sol e a noite não tem sol. n. ( ) A casa esta imunda! o. ( ) A casa esta imunda? p. ( ) A casa esta imunda. q. ( ) Camila arrumou a casa. 02 (PM/AC 2008) Considere as seguintes sentenças: I- O Acre é um estado da Região Nordeste. II- Você viu o Cometa Halley? III- Há vida no plante Marte. IV- Se x<2, então x+3>1 Neste caso, quais dessas sentenças são proposições? 03 (TRT/ES 2010) Julgue Certo ou Errado. Na sequência de frases abaixo, há três proposições.

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- Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil? - O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. - Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES. - Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. 04 Classifique as proposições em verdadeira (V) ou falsa (F): a) ( ) Brasília é capital do Brasil. b) ( ) Frutas e verduras são vegetais. c) ( ) O Sol é frio. d) ( ) A lua é de queijo. e) ( ) 13 de julho é dia Internacional do Rock. 05 Responda as seguintes perguntas:

a) O que a lógica matemática estuda? b) O que é proposição?

1.3 PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS 1.3.1 Proposição Simples Seja a proposição “João estuda todos os dias”, perceba que nesta proposição temos o sujeito “João” o verbo estudar e o complemento “todos os dias”, para que uma proposição seja simples não se pode ter outra proposição como parte dela como é o caso desta:” João estuda todos os dias e depois vai se divertir”, neste caso podemos reescrevê-la em duas proposições simples “João estuda todos os dias” e “João depois vai se divertir”, uma proposição deste tipo é chamada de proposição composta. 1.3.2 Proposição composta É uma proposição que tem mais de uma proposição simples fazendo parte dela, veja os exemplos: O menino canta e brinca. Podemos escrever duas frases:



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p: O menino canta. q: O menino brinca. Se Maria acordar cedo então o café é fresco. Podemos escrever duas frases: p: Maria acorda cedo. q: O café é fresco. PROPOSIÇÃO SIMPLES: Sentença simples que não é formada por mais de um predicado. PROPOSIÇÃO COMPOSTA: Sentença formada por mais de uma simples, unidas pelos chamados conectivos. 1.4 CONECTIVOS Para construirmos uma proposição composta temos de usar os chamados conectivos lógicos são eles: { e, ou, ou...ou, se...então se, se somente se}. Temos também o chamado modificador ~(negação). Conjunção “e” (∧) Maria é bonita e alta. Disjunção “ou” (∨) Maria é bonita ou alta. Disjunção exclusiva “ou ... ou” (∨) Ou Maria é bonita ou alta. Condicional ou Implicação “Se... então” (→) Se Maria é bonita então é alta. Bicondicional ou Bi-implicação “Se e somente se” (↔) Maria é bonita se e somente se for alta. Negação “Não” (~ ou ¬) Podemos exemplificar a aplicação da negação, vamos negar esta proposição: “Vini é muito rápido”. Negação: “Não é verdade que Vini é muito rápido”. “Vini não é muito rápido”.

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Quadro Resumo Conectivo Como se lê Símbolo Conjunção e ∧

Disjunção ou ∨ Disjunção exclusiva Ou ... ou ∨

Condicional Se ... então se →

Bicondicional Se e somente se

↔

Negação não ~ ou ¬ 1.5 TRANSFORMANDO PROPOSIÇÕES EM SÍMBOLOS Já sabemos que uma proposição pode ser simples ou composta, vamos representar uma proposição simples por uma letra minúscula de nosso alfabeto e uma proposição composta por uma letra maiúscula, também de nosso alfabeto, assim temos o seguinte exemplo: “O menino canta e brinca”, proposição composta A: O menino canta e brinca, esta proposição é composta de duas simples: p: O menino canta. q: O menino brinca. Assim usando o símbolo da conjunção (∧) e a proposição A: O menino canta e brinca, é o mesmo que p∧q. Transformando outras proposições: B: Se Maria acordar cedo então o café é fresco. p: Maria acorda cedo. q: O café é fresco. B: p→q C: André joga futebol se e somente se estiver com sua chuteira. a: André joga futebol. b: André está com a chuteira. C: a↔b



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EXERCÍCIOS 06 Transforme as proposições escritas em proposições simbólicas: p: Eu economizo água. q: Eu preservo o planeta. a. Eu economizo água e preservo o planeta . b. Se eu economizo água então preservo o planeta. c. Se não economizo água então não preservo o planeta. d. Preservo o planeta se e somente se economizo água. e. Não preservo o planeta se e somente se não economizo água. 07 Transforme as proposições simbólicas em proposições escritas: p: Marcos recicla papel com seus amigos. q: As meninas acham Marcos muito interessante. a. p∧q b.p→q c.p↔(p∧q) d.p∨(q�p) e. (p∨q)→q 08 (TRT 2010) Considere as proposições seguintes. Q: “Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cairá para a segunda divisão”; A: “O Estrela Futebol Clube vence”; B: “O Estrela Futebol Clube perde”; C: “O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão”. Nesse caso, a proposição Q pode ser expressa, simbolicamente, por A∧B→C? 09 (TRT 2010) Considere as proposições a seguir. R: “Ou o Saturno Futebol Clube vence ou, se perder, cairá para a segunda divisão”; A: “O Saturno Futebol Clube vence”; B: “O Saturno Futebol Clube perde”; C: “O Saturno Futebol Clube cairá para a segunda divisão”.

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Nesse caso, a proposição R pode ser expressa, simbolicamente, por A ∨(B→C). 10 (TRT 2010) Considere as proposições abaixo. T: “João será aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas não em ambos”; A: “João será aprovado no concurso do TRT”; B: “João será aprovado no concurso do TSE”. Nesse caso, a proposição T estará corretamente simbolizada por (A∨B)∧¬(A∧B). 11 (TRT ES 2009) A sequência de frases a seguir contêm exatamente duas proposições. - A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. - Por que existem juízes substitutos? - Ele é um advogado talentoso. 12 Escreva quatro proposições simples com os verbos “plantar” ou “viver”, sendo duas proposições verdadeiras e duas falsas.



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CAPÍTULO 2 TABELA VERDADE

2.1 PRINCÍPIOS DO PENSAMENTO LÓGICO No pensamento lógico temos três princípios que o rege são eles: 1° - Principio da Identidade: Se temos uma proposição verdadeira e outra idêntica a esta, então a proposição idêntica será verdadeira, o mesmo vale para uma proposição falsa. 2° - Principio da Não-Contradição: Se uma proposição é verdadeira então esta não pode ser também falsa, se ela é falsa então não pode ser verdadeira. 3° - Principio do terceiro excluído: Uma proposição pode ser classificada em verdadeira ou falsa, sendo que não há outra possibilidade, ou terceira opção, para esta. 2.2 CONCEITUANDO TABELA-VERDADE Quando temos uma proposição “p”, sabemos que pelo 2° Principio do pensamento lógico existem dois valores lógicos possíveis para classificar uma proposição, Verdadeiro ou Falso, geralmente não sabemos se uma proposição é verdadeira ou falsa e por isso temos de conhecer todas as possibilidades. Uma proposição simples “p” pode ser verdadeira ou falsa:

p V F

Em uma proposição composta “A”, temos de saber quais são suas simples e assim achar todas as possibilidades. Exemplo A: p∧q.

p q p∧q V V V V F F F V F F F F

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Esta é a organização dos possíveis valores lógicos da proposição composta p∧q, podemos perceber com esta estrutura onde ficam os possíveis valores lógicos de uma proposição simples ou composta, esta é chamada tabela-verdade. TABELA-VERDADE é uma tabela onde organizamos todos os possíveis valores lógicos de uma proposição. 2.3 CONSTRUINDO UMA TABELA VERDADE Para construir uma tabela-verdade temos de saber a quantidade de linhas que esta terá, é bem simples, contamos a quantidade de proposições simples diferentes e assim usarmos a fórmula:

2� Com n referente à quantidade de proposições simples, assim a proposição composta com duas proposições simples terá quatro linhas, a que tem três proposições simples terá oito linhas assim para n proposições teremos 2� linhas na tabela-verdade. 2.3.1 Tabela-verdade da conjunção (∧) R: Vitor é rico e inteligente. p: Vitor é rico. q: Vitor é inteligente. Se eu te falo Vitor é rico e inteligente e depois disso Vitor chega e você percebe que Vitor é rico e inteligente mesmo, então eu falei a verdade. Se eu falo Vitor é rico, mas não inteligente e Vitor chega e você percebe que ele é rico e inteligente então eu mentir, se eu falo Vitor não é rico, mas é inteligente e após isso Vitor chega e você percebe que ele é rico e inteligente então eu mentir novamente, e se eu falo Vitor não é rico e nem inteligente e Vitor chega rico e inteligente então eu mentir mais ainda, sendo assim eu poderia ter falado de quatro formas, assim ficaria a tabela-verdade desta proposição:



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Observe a maneira como foram colocados os valores lógicos nas proposições p e q, podemos concluir que a conjunção só será verdadeira se ambas a proposições simples forem verdadeiras. 2.3.2 Tabela-verdade da disjunção (∨) S: O vento ou a chuva derrubaram o avião. p: O vento derrubou o avião. q: A chuva derrubou o avião. No noticiário fomos informados que “O vento ou a chuva derrubaram o avião”, ai um amigo que trabalhou no caso me contou que somente o vento poderia ter derrubado o avião e que somente a chuva poderia ter derrubado o avião e que ambos juntos também poderiam ter derrubado o avião, depois disso podemos concluir que se somente o vento derrubou o avião e se eu falo o vento ou a chuva derrubaram o avião eu estarei mentindo? Não. Este “ou” não é chamado exclusivo e sim inclusivo, basta que uma das possibilidades aconteça para que a proposição seja verdadeira.

p q p∨q V V V V F V F V V F F F

Assim em uma disjunção só teremos uma proposição falsa quando todas as simples forem falsas. 2.3.3 Tabela-verdade da disjunção exclusiva (∨∨∨∨) T: Marco nasceu em São Paulo ou Brasília. r: Marcos nasceu em São Paulo. s: Marcos nasceu em Brasília.

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Observe que este “ou” não pode ser inclusivo, pois não se pode nascer em Brasília e em São Paulo ao mesmo tempo, neste tipo de exemplo percebermos claramente isso pelo contexto, porem em outros casos não é assim, como Camila faz maquiagem ou se hidrata, se eu quero passar a mensagem que ela faz somente uma coisa de cada vez então temos que escrever “Ou Camila faz maquiagem ou se hidrata”.

p q p∨q V V F V F V F V V F F F

Neste caso só será verdadeira se tiver uma e somente uma proposição simples verdadeira. 2.3.4 Tabela-verdade da Condicional (→) U: Se Larissa for à padaria eu vou. f: Larissa vai à padaria. g: Eu vou à padaria. Observe as seguintes situações e me fale se eu cumprir com o dito em U. - Larissa foi à padaria e eu fui também. - Larissa foi à padaria e eu não fui. - Larissa não foi à padaria e eu fui à padaria. -Larissa não foi à padaria e eu não fui à padaria. Quais dessas situações eu faço o que eu disse em U? Vejamos agora: - Larissa foi à padaria e eu fui também. Cumprir com o que eu disse, pois Larissa ir a padaria é condição suficiente para eu ir, então se ela foi e eu também, logo cumprir com o que eu disse. - Larissa foi à padaria e eu não fui. Neste caso eu não cumprir, pois eu ir é condição necessária de Larissa ir a padaria então se ela foi eu teria de ter ido para cumprir com o dito inicialmente. - Larissa não foi à padaria e eu fui à padaria. Nesse caso eu cumprir com o que eu disse no começo. Sabe por quê? Porque eu não disse o que eu faria caso ela



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não fosse à padaria somente se ela fosse, então eu poderia ter ido ou não se ela não fosse. -Larissa não foi à padaria e eu não fui à padaria. Como eu não disse o que faria caso ela não fosse, então eu cumprir com o dito em U. Seja a tabela-verdade:

p q p→q V V V V F F F V V F F V

2.3.5 Tabela-verdade da Bicondicional(↔) W: Rui joga Sudoku se e somente se chover. d: Rui joga Sudoku. e: Chove. Agora vamos ver se Rui seguiu o que diz a proposição W. - Rui jogou Sudoku e choveu. -Rui jogou Sudoku e não choveu. - Rui não jogou Sudoku e choveu. -Rui não jogou Sudoku e não choveu. Vamos analisar se ele cumpriu com o que disse. - Rui jogou Sudoku e choveu. Nesse caso ele cumpriu com o que disse, pois choveu e ele jogou Sudoku. -Rui jogou Sudoku e não choveu. Nesse caso ele não cumpriu, pois jogou e não choveu e ele só joga se chover. - Rui não jogou Sudoku e choveu. Não cumpriu, pois choveu e ele não jogou. -Rui não jogou Sudoku e não choveu. Cumpriu, pois não jogou e não choveu. A tabela verdade da Bicondicional é:

p q p↔q V V V V F F F V F F F V

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2.4 CONSTRUINDO A TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Agora já sabemos como cada proposição se comporta na tabela-verdade, vejamos agora como construir a tabela verdade de uma proposição composta maior. Exemplo 01 ~(p^q) Temos a conjunção entre p e q, depois a negação da conjunção. 1° Descobrimos a quantidade de linhas que tem essa tabela, como temos duas proposições simples então 2� � 4 linhas.

p q

2° preenchemos os valores lógicos da 1° e 2° colunas.

p q V V V F F V F F

3° Começamos com a operação conjunção.




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4° negar (p∧q) Lembrando que quando negamos estamos mudando os valores lógicos, se é V então se torna F.

p q p∧q ~(p∧q) V V V F V F F V F V F V F F F V

Essa é a tabela verdade da proposição composta: ~(p∧q). 2.4.1 Ordem de operação lógica na tabela-verdade Quando temos uma proposição com vários operadores lógicos temos de seguir uma ordem de prevalência. Se tivermos parênteses então esses têm prioridades são resolvidos primeiro depois temos as condicionais e as bicondicionais, conjunção e disjunção e a negação. ( ), ↔ →, ^ v, ~. Vejamos agora um exemplo maior. Exemplo 2; p∧(~r ∨ (p →q)) 1° vamos determinar a quantidade de linhas para esta tabela, como temos três proposições simples então teremos 2 � 8 linhas.

p q r

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2° vamos preencher as primeiras colunas, observe como é feito, desta forma podemos encontrar todas as possibilidades.

p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

3° Como sabemos vamos começar com a operação dentro dos parênteses (p →q).

p q r p →q V V V V V V F V V F V F V F F F F V V V F V F V F F V V F F F V

4° próxima operação é ~r.

p q r ~r p →q V V V F V V V F V V V F V F F V F F V F F V V F V F V F V V F F V F V F F F V V



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5° Resolvemos a operação ~r ∨(p →q).

p q r ~r p →q ~r ∨ (p →q) V V V F V V V V F V V V V F V F F F V F F V F V F V V F V V F V F V V V F F V F V V F F F V V V

6° agora resolvemos p∧(~r∨(p →q)). p q r ~r p →q ~r ∨ (p →q) p∧(~r ∨ (p →q)) V V V F V V V V V F V V V V V F V F F F F V F F V F V V F V V F V V F F V F V V V F F F V F V V F F F F V V V F

Esta é a tabela verdade da proposição composta de p∧(~r∨(p→q)).

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EXERCÍCIOS 13 Construa a tabela-verdade de cada proposição composta seguinte:

1- p↔q∧~p 2- (p∨q)↔r 3- (~p↔q)∧(~r∨p) 4- ~(~p)↔q 5- p∧(~p→q) 6- q∧r∨p

Julgue os seguintes itens 11, 12 e 13: 14 (TRT 2010) Na tabela abaixo, a última coluna da direita corresponde à tabela-verdade da proposição (¬A) �B→¬(A�B).

A B ¬A (¬A)�B ¬(A �B) (¬A) �B → ¬(A �B) V V V V F F F V V F F V

15 (TRT 2010) Na tabela abaixo, a última coluna da direita corresponde à tabela-verdade da proposição ¬(A∧B)→A∧(¬B).

A B ¬B ¬(A∧B) A∧(¬B) ¬(A∧B) → A∧(¬B) V V F V F V F V V F F V

16 (PREFVV 2008) Considere que as proposições listadas abaixo sejam todas V. I Se Clara não é policial, então João não é analista de sistemas. II Se Lucas não é policial, então Elias é contador. III Clara é policial.



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Supondo que cada pessoa citada tenha somente uma profissão, então está correto concluir que a proposição “João é contador” é verdadeira. 17 (TRE/MG 2009) Um argumento é uma afirmação na qual uma dada sequência finita — p1, p2,..., pn, n≥1 — de proposições tem como consequência uma proposição final q. A esse respeito, considere o seguinte argumento. - Ou Paulo fica em casa, ou ele vai ao cinema. - Se Paulo fica em casa, então faz o jantar. - Se Paulo faz o jantar, ele vai dormir tarde. - Se Paulo dorme tarde, ele não acorda cedo. - Se Paulo não acorda cedo, ele chega atrasado ao seu trabalho. Sabendo-se que Paulo não chegou atrasado ao seu trabalho, de acordo com as regras de raciocínio lógico, é correto deduzir-se que Paulo:

a) Não acordou cedo. b) ficou em casa. c) foi ao cinema. d) fez o jantar. e) dormiu tarde.

18 Classifique em Verdadeira ou Falsa:

A) A tabela-verdade das proposições simples p, q e r tem 2 linhas.

B) A tabela-verdade das proposições simples p, q e r tem 2 linhas

19 (UNIPAMPA 2010) O artigo 5.º, XL, da Constituição Federal de 1988 estabelece que a lei penal não retroagirá, salvo para beneficiar o réu, isto é, “se a lei penal

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retroagiu, então a lei penal beneficiou o réu”. À luz dessa regra constitucional, considerando as proposições p: “A lei penal beneficiou o réu” e q: “A lei penal retroagiu”, ambas verdadeiras, e as definições associadas à lógica sentencial, julgue os itens a seguir.

a) 1 A proposição “Ou a lei penal retroagiu, ou a lei penal não beneficiou o réu” tem valor lógico F.

b) 2 A proposição “É necessário que a lei penal não retroaja para não beneficiar o réu” tem valor lógico V.

c) 3 A proposição “Embora a lei penal não tenha retroagido, ela beneficiou o réu” tem valor lógico F.

20 (EMBASA 2009) Considerando que as proposições A, B, B�C e [A∧B]→[C→D] sejam V, então a proposição D será, obrigatoriamente V. 21 Considerando que, além de A e B, C, D, E e F também sejam proposições, não necessariamente todas distintas, e que N seja o número de linhas da tabela-verdade da proposição [A→(B∨C)]↔[(D∧E)→F], então 2 ≤ N ≤ 64. 22 (PREFVV 2008) A proposição “Se a vítima não estava ferida ou a arma foi encontrada, então o criminoso errou o alvo” poderia ser corretamente simbolizada na forma (¬A)∨B→C.



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CAPÍTULO 03 TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO, CONTIGÊNCIA

3.1 O uso da tabela-verdade para organizar os valores lógicos das proposições é muito útil para o estudo das proposições, de acordo com os valores lógicos apresentados na coluna resposta podemos classificar a tabela-verdade em três tipos: tautologia, contradição e contingência. 3.1.1 TAUTOLOGIA Chamamos a tabela-verdade de tautológica aquela que apresenta somente valores lógicos verdadeiros em sua coluna resposta, neste caso a proposição será sempre verdadeira independentemente dos valores das proposições simples que a compõe. Vamos demonstrar que essa proposição composta é uma tautologia: “Maria é bonita ou Maria não é bonita”. Sabemos que essa proposição é do tipo “p∨~p”, sua tabela-verdade tem apenas duas linhas, pois usando a fórmula apresentada no capítulo 1 temos, 2� � 2.

p ~p p∨~p V F V F V V

Observe que na coluna resposta temos apenas valores verdadeiros e isso é uma tautologia. Outro exemplo:

p q p→q (p→q)∧p [(p→q)∧p]→q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V

3.1.2 CONTRADIÇÃO OU CONTRAVÁLIDA Chamamos de tabela-verdade contraditória a que apresenta somente valores lógicos falso em sua coluna

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resposta, neste caso a proposição será sempre falsa independentemente de suas proposições simples. Vamos demonstrar que essa proposição composta é uma contradição: “Agora é dia e não é dia”. Sabemos que essa proposição é do tipo “p∧~p”, a tabela-verdade será:

p ~p p∧~p V F F F V F

3.2.3 CONTINGÊNCIA Quando temos uma tabela-verdade que não é tautologia e nem contradição então temos uma contingência, pois esta pode assumir valores lógicos verdadeiros e falsos em sua coluna resposta. Vamos demonstrar que essa proposição composta é uma contingência: “p∨q→ p∧q” p q p∨q p∧q p∨q→ p∧q V V V V V V F V F F F V V F F F F F F V

TREINAMENTO Agora observe a construção de algumas tabelas. (p↔p∧~p)↔~p p q ~p ~q p↔p p↔p∧~p (p↔p∧~p)↔~p V V F F V F V V F F V V F V F V V F V V V F F V V V V V



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(p→q)∧p→q p q p→q (p→q)∧p→q V V V V V F F F F V V V F F V V Perceba que foi feito primeiro p→q, para depois fazer a disjunção, caso você fizesse primeiro a disjunção perceba a diferença. p q p→q (p→q)∧p [(p→q)∧p]→q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V A coluna resposta fica diferente. (p→q)∧~q→~p p q ~p ~q p→q ~q→~p (p→q)∧~q→~p V V F F V V V V F F V F F F F V V F V V V F F V V V V V p↔p∧(p∨q) p q p↔p p∨q p↔p∧(p∨q) V V V V V V F V V V F V V V V F F V F F

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~(p∨~p)∨(q∨~q) p q ~

p ~q

p∨~p

~(p∨~p)

q∨~q

~(p∨~p)∨(q∨~q)

V V F F V F V V V F F V V F V V F V V F V F V V F F V V V F V V p∨(p∧q)↔p p q p∧q (p∧q)↔p p∨(p∧q)↔p V V V V V V F F F V F V F V V F F F V V ~(p∨q)→(p↔q) p q p∨q ~(p∨q) p↔q ~(p∨q)→(p↔q) V V V F V V V F V F F V F V V F F V F F F V V V



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EXERCÍCIOS 23 Mostrar que as seguintes proposições são tautológicas:

a) (p→p)∨(p→~p) b) p∨(q∨~p) c) ~(p∨~p)∨(q∨~q) d) ((p→q)∧p)→q

24 Determinar quais das seguintes proposições são tautológicas, contraditórias ou contingentes.

a) p→(~p→q) b) p∧q→(p↔q∨r) c) p∨~q→(p→~q) d) p→(q↔(q→p)) e) ~p∨~q→(p→q)

Julgue os seguintes itens. 25 (TRT 2010) A proposição A∧(¬B)→¬(A∧B) é uma tautologia. 26 (TRT 2010) A proposição [A→B]↔[(¬B)→(¬A)] é uma tautologia. 27 (TRT 2010) A proposição ¬(A∨B)→(¬A)∨B é uma tautologia. 28 (TRT ES 2009) Para todos os possíveis valores lógicos atribuídos às proposições simples A e B, a proposição composta [A∧(¬B)]∨B tem exatamente 3 valores lógicos V e um F.

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29 (TRT ES 2009) Considere que uma proposição Q seja composta apenas das proposições simples A e B e cujos valores lógicos V ocorram somente nos casos apresentados na tabela abaixo.

A B Q V F V F F V

Nessa situação, uma forma simbólica correta para Q é [A∧(¬B)]∨[(¬A)∧(¬B)]. 30) Sejam as proposições simples: p: Alimentação saudável é importante. q: Vivo melhor. Escreva a proposição composta de acordo com as simples apresentadas. p∨(q∨~p) 31) Faça o mesmo de exercício anterior: p→ (~p→q) 32) Faça o mesmo de exercício anterior: p∨~q→(p→~q)

33) Faça o mesmo de exercício anterior: ~p∨~q→(p→q)



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GABARITO 01. a) P b) N c) P d) N e) P f) N g) P h) P i) P j) P k) N l) P m) P n) N o) N p) P q) P 02. I, III, IV 03. CORRETA, são elas: - O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. - Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES. - Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. 04 a) (V) Brasília é capital do Brasil. b) (V) Frutas e verduras são vegetais. c) (F) O Sol é frio. d) (F) A lua é de queijo. e) (V) 13 de julho é dia Internacional do Rock.

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a- As formas de argumentação e suas estruturas. b- É uma sentença declarativa que pode ser

classificada em verdadeira ou falsa, não havendo outra possibilidade.

06. a) p∧q b) p→q c) ~p→~q d) q↔p e) ~q↔~p 07. a) Marcos recicla papel com seus amigos e as meninas o acham muito interessante. b) Se Marcos recicla papel com seus amigos então as meninas o acham muito interessante. c) Marcos recicla papel com seus amigos se e somente se recicla papel com seus amigos e as meninas o acham muito interessante. d) Marcos recicla papel com seus amigos ou as meninas o acham muito interessante se e somente se marcos recicla papel com seus amigos. e) Se Marcos recicla papel com seus amigos ou as meninas o acham muito interessante então as meninas o acham muito interessante. 08. Q: “Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cairá para a segunda divisão”. Podemos escrever Q desta forma: Se (O Estrela Futebol Clube vence) ou (O Estrela Futebol Clube perde) então (O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão). Com referência às proposições simples apresentadas e suas respectivas letras temos: A∨B→C, como a questão diz que é A∧B→C então esta questão é julgada ERRADA.



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09. R: “Ou o Saturno Futebol Clube vence ou, se perder, cairá para a segunda divisão”. Podemos escrever R desta forma: Ou (O Saturno Futebol Clube vence) ou se (O Saturno Futebol Clube perde) então (O Saturno Futebol Clube cairá para a segunda divisão). Com referência às proposições simples apresentadas e suas respectivas letras temos: A∨(B→C), portanto esta questão esta CORRETA. 10. T: “João será aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas não em ambos”. Podemos escrever t desta forma: (João será aprovado no concurso do TRT) ou (João será aprovado no concurso do TSE) e não [(João será aprovado no concurso do TRT) e (João será aprovado no concurso do TSE)]. Com referência às proposições simples apresentadas e suas respectivas letras temos: (A∨B)∧~(A∧B), portanto esta questão esta CORRETA. 11. CORRETA, são elas: - A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. - Ele é um advogado talentoso. 12. Use a sua criatividade. 13.

1- p↔q∧~p p q ~p p↔q (p↔q)∧~p V V F V F V F F F F F V V F F F F V V V

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2- (p∨q)↔r p q r p∨q (p∨q)↔r V V V V V V V F V F V F V V V V F F V F F V V V V F V F V F F F V F F F F F F V

3- (~p↔q)∧(~r∨p)

p q r ~p

~r

~p↔q

~r∨p

(~p↔q)∧(~r∨p)

V V V F F F V F V V F F V F V F V F V F F V V V V F F F V V V V F V V V F V F F F V F V V V V V F F V V F F F F F F F V V F V F

4- ~(~p)↔q p q ~p ~(~p) ~(~p)↔q V V F V V V F F V F F V V F F F F V F V

5- p∧(~p→q) p q ~p ~p→q p∧(~p→q) V V F V V V F F F F F V V V F F F V F F



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6- q∧r∨p p q r q∧r q∧r∨p V V V V V V V F F V V F V F V V F F F F F V V V V F V F F F F F V F F F F F F F

Outra forma de fazer esta tabela-verdade é desta forma:

p q r r∨p q∧r∨p V V V V V V V F V V V F V V V V F F V F F V V V V F V F F F F F V V F F F F F F

14. A B ¬A (¬A)�B ¬(A �B) (¬A) �B→¬(A �B) V V F V F F V F F F F V F V V V F F F F V V V V ERRADA, pois a coluna resposta é diferente da apresentada na questão. 15. A B ¬B ¬(A∧B) A∧(¬B) ¬(A∧B)→A∧(¬B) V V F F F V V F V V V V F V F V F F F F V V F F

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ERRADA, pois a coluna resposta é diferente da apresentada na questão. 16. Sabendo que as proposições I, II e III são todas verdadeiras, vamos iniciar com a proposição III, que nos fala “Clara é policial” e aplicando essa verdade na proposição I, concluímos que “Se Clara não é policial, então João não é analista de sistemas” como Clara é policial então João é analista de sistema, e pela proposição II “Se Lucas não é policial, então Elias é contador”, sabemos que Lucas não é policial, logo Elias é contador, assim fica: Clara: policial João: analista Lucas: contador Como a questão fala que “João é contador” é verdadeira, e isso nós sabemos que é falsa, então a questão é ERRADA 17 (TRE/MG 2009) Considere o seguinte argumento e sabemos que Paulo não chegou atrasado ao seu trabalho, assim pela proposição “Se Paulo não acorda cedo, ele chega atrasado ao seu trabalho”, concluímos que Paulo acorda cedo, pela proposição “Se Paulo dorme tarde, ele não acorda cedo” como ele acordou cedo então eu não dormiu tarde, pela proposição “Se Paulo faz o jantar, ele vai dormir tarde”, já sabemos que eu não dormiu tarde assim ele não fez o jantar, pela proposição “Se Paulo fica em casa, então faz o jantar”, sabemos que Paulo não fez o jantar assim ele não ficou em casa, pela proposição “Ou Paulo fica em casa, ou ele vai ao cinema”, já sabemos que Paulo não ficou em casa, logo ele foi ao cinema. É correto deduzir-se que Paulo: C) foi ao cinema.



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18. A) E B) C 19. Sabemos que p: “A lei penal beneficiou o réu” e q: “A lei penal retroagiu”, ambas verdadeiras. a) “Ou a lei penal retroagiu, ou a lei penal não beneficiou o réu”, q∨~p

V ∨ F = V Como a questão afirma que tem valor F, então a questão é ERRADA.

b) C c) C 20. Temos a informação que essas proposições são verdadeiras: A, B, B�C e [A∧B]→[C→D], temos de concluir se D é verdadeira obrigatoriamente [A∧B]→[C→D] = V [V ∧ V]→[C→D] = V V→[C→D] = V

O que nos falta analisar é [C→D], e sabemos que na condicional só será falsa quando a proposição antecedente, antes do conectivo, for verdadeira e a consequente, que está depois do conectivo, for falsa, como já temos que V→[C→D] = Verdadeira então temos duas possibilidades, pois V→F=V e V→V=V, assim C→D, pode ser verdadeira ou falsa, o que significa que D pode assumir valor verdadeiro ou falso. Portando a questão é ERRADA. 21. Temos 6 proposições simples e achamos o número de linhas pela formula 2 � n é o número de proposições simples, então temos 2 � � 64 linhas, como a alternativa fala que 2≤N≤64 está CORRETO. 22. “Se a vítima não estava ferida ou a arma foi encontrada, então o criminoso errou o alvo”, vamos

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separar essa proposição composta em quantas simples formem simples: A: “A vitima estava ferida” B: “A arma foi encontrada” C: “O criminoso errou o alvo” Reescrevendo a proposição composta desta forma: (~A)∨B→C. CORRETA. 23.

a) (p→p)∨(p→~p)

p ~p p→p p→~p (p→p)∨(p→~p) V F V F V F V V V V

b) p∨(q∨~p)

p q ~p q∨~p p∨(q∨~p) V V F V V V F F F V F V V V V F F V V V

c) ~(p∨~p)∨(q∨~q)

p q ~p

~q

p∨~p

~(p∨~p)

(q∨~q)

~(p∨~p)∨(q∨~q)

V V F F V F V V V F F V V F V V F V V F V F V V F F V V V F V V



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d) ((p→q)∧p)→q

p q p→q (p→q)∧p [(p→q)∧p]→q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V

24.

a) p→(~p→q)

p q ~p ~p→q p→(~p→q) V V F V V V F F V V F V V V V F F V F V Tautológica.

b) p∧q→(p↔q∨r) p q r p∧q p↔q p↔q∨r p∧q→(p↔q∨r) V V V V V V V V V F V V V V V F V F F V V V F F F F F V F V V F F V V F V F F F F V F F V F V V V F F F F V V V Tautológica

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c) p∨~q→(p→~q)

p q ~q pv~q p→~q pv~q→(p→~q) V V F V F F V F V V V V F V F V V V F F V F V V Contingente

d) p→(q↔(q→p))

p q q→p q↔(q→p) p→(q↔(q→p)) V V V V V V F V F F F V F F V F F V F V Contingente

e) ~p∨~q→(p→q) p q ~p ~q ~p∨~q p→q ~p∨~q→(p→q) V V F F F V V V F F V V F F F V V F V V V F F V V V V V Contingente 25. A proposição A∧(¬B)→¬(A∧B) é uma tautologia. CORRETA A B ¬B A∧(¬B) A∧B ¬(A∧B) A∧(¬B)→¬(A∧B) V V F F V F V V F V V F V V F V F F F V V F F V F F V V



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26. A proposição [A→B]↔[(¬B)→(¬A)] é uma tautologia. CORRETA. A B ¬

A ¬B

A→B

(¬B)→(¬A)

[A→B]↔[(¬B)→(¬A)]

V V F F V V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V 27. A proposição ¬(A∨B)→(¬A)∨B é uma tautologia. CORRETA. A B ¬A A∨B ¬(A∨B) (¬A)∨B ¬(A∨B)→(¬A)∨B V V F V F F V V F F V F F V F V V V F V V F F V F V V V 28. Construindo a tabela-verdade da proposição [A∧(¬B)]∨B A B ¬B A∧(¬B) [A∧(¬B)]∨B V V F F V V F V V V F V F F V F F V F F CORRETA 29. Temos como referência a seguinte tabela-verdade:

A B Q V F V F F V

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A proposição Q é [A∧(¬B)]∨[(¬A)∧(¬B)]. A B ¬A ¬B A∧(¬B) (¬A)∧(¬B) [A∧(¬B)]∨[(¬A)∧(¬B)]. V V F F F F F V F F V V F V F V V F F F F F F V V F V V Perceba que podemos retirar a tabela do enunciado da tabela-verdade de Q. CORRETA. p: Alimentação saudável é importante. q: Vivo melhor. 30 p∨(q∨~p) A alimentação saudável é importante ou Vivo melhor ou alimentação saudável não é importante. 31 p→ (~p→q) Se alimentação saudável é importante então se a alimentação não é saudável então vivo melhor. 32 p∨~q→(p→~q)

Se a alimentação saudável é importante ou não vivo melhor então se a alimentação saudável é importante então não vivo melhor.

33 ~p∨~q→(p→q)

Se a alimentação saudável não é importante ou não vivo melhor então se a alimentação é importante então vivo melhor.

34 (Pref. Mun. Guarulhos 2009) O número de andares do Solar é inferior ao do Novo Horizonte. O Independência não é o mais alto e o Aquarius não é o mais baixo.



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O número de andares do Independência é superior ao do Solar. O Novo Horizonte é o segundo mais alto. Vamos organizar em uma tabela. De “O número de andares do Solar é inferior ao do Novo Horizonte”, portando solar está “abaixo” em quantidade de andares do que Novo Horizonte. Novo Horizonte Solar De “O Independência não é o mais alto e o Aquarius não é o mais baixo”, essa informação não vai ser aplicada agora, mas temos de nos lembrar dela quando aplicarmos as próximas proposições. Da proposição “O número de andares do Independência é superior ao do Solar”, surge uma dúvida e um certeza, sabemos que o Independência tem mais andares que Solar, porem nada nos fala em relação do Novo Horizonte por isso vamos representar desta forma: Independência Novo Horizonte Independência Solar Com a proposição “O Novo Horizonte é o segundo mais alto”, sabemos que só há um edifico com mais andares que ele e de acordo com a última organização esse edifício é o Independência, porem pela proposição “O Independência não é o mais alto e o Aquarius não é o mais baixo” o Independência não será o mais alto e sim o terceiro mais alto: Novo Horizonte Independência Solar

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Agora nos resta identificar onde fica o Aquarius, sabendo que ele não é o mais baixo, então ele pode está nos seguintes lugares: Aquarius Novo Horizonte Aquarius Independência Aquarius Solar Agora vamos testar as posições para tentar achar alguma contradição, se ele está uma posição acima do Solar então o Novo Horizonte será o mais alto e isso é uma contradição, pois sabemos que é verdade que o Novo Horizonte é o 2° mais alto, o mesmo vale quando supomos o Aquarius em 3° mais alto, portanto só resta ser o mais alto. Aquarius Novo Horizonte Independência Solar Agora podemos identificar a resposta correta. Qual das alternativas apresenta os edifícios em ordem crescente de altura? C) Edifício Solar, Edifício Independência, Edifício Novo Horizonte, Edifício Aquarius. 35 (Pref. Mun. Guarulhos 2009) Organizando as informações dadas temos: Cosme café alfajor Emiliano suco pudim Damião capuccino brigadeiro - Quem come pudim bebe café. - Damião sempre pede alfajor. - Cosme não pediu suco. - Aquele que come brigadeiro não bebe capuccino.



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Da proposição “Quem come pudim bebe café”. Cosme café alfajor Emiliano suco pudim Damião capuccino brigadeiro Da proposição “Damião sempre pede alfajor”, segue que Damião não bebe café e nem comeu pudim. Cosme café alfajor Emiliano suco pudim Damião capuccino brigadeiro Analisando a proposição “Aquele que come brigadeiro não bebe capuccino” nos levar a concluir que quem comeu ou brigadeiro bebeu o suco, pois quem pediu o café comeu o pudim e assim quem pediu capuccino comeu alfajor. Cosme café alfajor Emiliano suco pudim Damião capuccino brigadeiro Sabemos que quem comeu alfajor foi Damião, logo Damião pediu capuccino. Cosme café alfajor Emiliano suco pudim Damião capuccino brigadeiro Da proposição “Cosme não pediu suco.”, deduzimos que Cosme pediu café, pois não pediu suco e capuccino quem pediu foi Damião. Cosme café alfajor Emiliano suco pudim Damião capuccino brigadeiro E completando a analise finalizamos concluindo que Emiliano pediu suco e comeu brigadeiro. Cosme café alfajor Emiliano suco pudim Damião capuccino brigadeiro

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Logo: A) Cosme pediu pudim e café, Damião pediu alfajor e capuccino, Emiliano pediu brigadeiro e suco. 36 (Pref. Mun. Guarulhos/MG 2010) considere as seguintes informações: -Roberto não é o dono de Rex. -A raça de Rex não é Golden Retriever. -Robin é o cachorro de Rogério. -O Golden Retriever não é o cachorro de Roberto. -O cachorro de Rodrigo é da raça Labrador. Organizando os dados: Rodrigo Dálmata Ringo Rogério Golden Retriever Rex Roberto Labrador Robin Com a proposição: “Robin é o cachorro de Rogério”, assim fica: Rodrigo Dálmata Ringo Rogério Golden Retriever Rex Roberto Labrador Robin Com a proposição: “O cachorro de Rodrigo é da raça Labrador”, assim fica: Rodrigo Dálmata Ringo Rogério Golden Retriever Rex Roberto Labrador Robin Temos mais informações: Robin não é labrador, já que Robin não é de Rodrigo. Com a proposição: “O Golden Retriever não é o cachorro de Roberto”, percebemos que se ele não é de Roberto e nem de Rodrigo, pois Rodrigo tem um labrador, então só resta Rogério, logo o Golden é de Rogério e seu nome é Robin. Rodrigo Dálmata Ringo Rogério Golden Retriever Rex Roberto Labrador Robin



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Com a proposição: “Roberto não é o dono de Rex”, percebemos que o dono de Rex também não será Rogério, pois Rogério é dono de Robin, logo o dono de Ringo é Roberto. Rodrigo Dálmata Ringo Rogério Golden Retriever Rex Roberto Labrador Robin Agora para concluir percebemos que o Labrador chama-se Rex e o Dálmata é o Ringo. Rodrigo Dálmata Ringo Rogério Golden Retriever Rex Roberto Labrador Robin Assinale a alternativa correta: E) Rex é da raça Labrador. 37 (CODIUB 2010) O carro preto foi comprado por um homem. Frederico não comprou o carro prata. Kátia não comprou o carro azul. Azul Vítor Prata Frederico Preto Kátia Com a proposição: “O carro preto foi comprado por um homem”, então Kátia não comprou o carro azul. Com a proposição: “Frederico não comprou o carro prata”, então Vitor só pode ter comprado o carro azul, pois como só tem Vitor e Frederico e este último comprou o prata e Vitor o azul então Kátia comprou o preto. Vítor Azul Frederico Prata Kátia Preto é CORRETO afirmar que C) Vítor não comprou o carro prata.

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38 (FURP 2010) Mas se sabe que: I – Alexandre e Sandra não vão para o mesmo país; II – Marcos e Renata vão para a França; III – Vanessa vai para a Itália. Organizando os dados Alexandre Renata França Marcos Sandra Inglaterra Maurício Vanessa Itália Da proposição I “Alexandre e Sandra não vão para o mesmo país”, logo Alexandre e Sandra não são casados. Da proposição II “Marcos e Renata vão para a França”, logo Marcos e Renata são casados. Alexandre Renata França Marcos Sandra Inglaterra Maurício Vanessa Itália Já sabemos que dentre as pessoas Alexandre, Maurício, Sandra e Vanessa, Alexandre não é casado com Sandra e nem com Renata, logo Alexandre é casado com Vanessa e Maurílio é casado com Sandra. Alexandre Renata França Marcos Sandra Inglaterra Maurício Vanessa Itália Da proposição III “Vanessa vai para a Itália”, concluímos que Alexandre e Vanessa vão para a Itália e Sandra e Maurício vão para Inglaterra. Alexandre Renata França Marcos Sandra Inglaterra Maurício Vanessa Itália Pode-se afirmar que: E) Alexandre é casado com Vanessa, e eles vão para a Itália. 39 (FURP 2010) -apenas um deles é culpado. -apenas um dos acusados mentiu.



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Antônio afirmou - Não fui eu. João afirmou - Foi o Pedro. Pedro afirmou - Foi o Marcos. Marcos afirmou - João esta mentindo. Carlos afirmou – Não fui eu. Vamos usar o teste da hipótese. Como apenas um mentiu, vamos considerar como hipótese que Antônio mentiu. Antônio afirmou - Não fui eu. F (logo a verdade seria “fui eu”) João afirmou - Foi o Pedro. V Se Antônio mentiu então todos os outros falaram a verdade, como Antônio mentiu então ele é o culpado, porem quando João fala uma verdade, ele diz que Pedro é o culpado e agora temos dois culpados, contradição, logo Antônio não mentiu e sim disse a verdade. Vamos considerar João como o mentiroso: Antônio afirmou - Não fui eu. V João afirmou - Foi o Pedro. F (então Pedro não é o culpado) Pedro afirmou - Foi o Marcos. V (como João estava mentido logo não é contradição) Marcos afirmou - João está mentindo. V (nó percebemos isso anteriormente) Carlos afirmou – Não fui eu. V (certo, pois o culpado foi João) Observe que não houve contradição desta vez, logo quem mentiu foi João e ele é o culpado, a resolução da questão termina aqui, porem vamos continuar para você perceber as outras contradições. Vamos considerar que Pedro mentiu, logo ele é o culpado. Antônio afirmou - Não fui eu. V João afirmou - Foi o Pedro. V

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Pedro afirmou - Foi o Marcos. F (então a verdade seria “não foi Marcos”) Marcos afirmou - João está mentindo. V (porem como Pedro esta mentindo então João esta falando a verdade e Marcos também, como Marcos disse que João esta mentindo, isso é uma contradição) Vamos considerar que Marcos mentiu desta vez: Antônio afirmou - Não fui eu. V João afirmou - Foi o Pedro. V Pedro afirmou - Foi o Marcos. V Marcos afirmou - João esta mentindo. F (a verdade seria “João esta falando a verdade, se João está mentindo então ele não pode falar a verdade, logo João mentiu e achamos o culpado novamente). Vamos testar afirmando que Carlos é o culpado: Carlos afirmou – Não fui eu. F (a verdade seria “fui eu”) Antônio afirmou - Não fui eu. V João afirmou - Foi o Pedro. V (mas se Carlos já era o culpado e agora João fala que Pedro é o culpado então temos dois culpados, contradição). O roubo foi cometido por: C) João.

40 (Pref. Itabaiana/SE 2010) -“Somente nos finais de semana não é servido carne de porco com salpicão”. -“Se é servido peixe com batata frita, então não é servido frango com palmito”. -“Ou servem frango com palmito, ou macarrão com almôndegas”. -“Se bife de boi não é servido com purê de batata, então peixe é servido com batata frita”. -“Somente nas segundas-feiras é servido macarrão com almôndegas.”



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Jean almoçou neste restaurante num sábado logo pela proposição “Somente nos finais de semana não é servido carne de porco com salpicão” sabemos que Jean não comeu carne de porco com salpicão, pela proposição “Somente nas segundas-feiras é servido macarrão com almôndegas.”, Jean também não comeu macarrão com almôndegas, pela proposição “Ou servem frango com palmito, ou macarrão com almôndegas”. Sabemos que foi feito o uso do “ou” exclusivo, logo como era sábado e não serviu macarrão com almôndegas então serviram frango com palmito, pela proposição “Se é servido peixe com batata frita, então não é servido frango com palmito”, como sabemos que foi servido frango com palmito, logo não foi servido peixe com batata frita, pela proposição “Se bife de boi não é servido com purê de batata, então peixe é servido com batata frita”, sabemos que peixe com batata frita não foi servido, logo bife de boi com purê de batata foi servido. Então o pedido de Jean foi: C) Bife de boi com purê de batata e frango com palmito. 41 (DNOCS 2010) Sabendo que o Diretor não participou de tal reunião e que as três declarações são verdadeiras vamos analisar: Pela proposição “Se Divina participou da reunião, então o Diretor também participou”, mas sabemos que o Diretor não participou, logo Divina não participou da reunião. Pela proposição “Se Coriolano não participou da reunião, então Divina participou.”, mas sabemos que Divina não participou, logo Coriolano participou da reunião. Pela proposição “Se Argemiro participou da reunião, então Belisário e Coriolano não participaram”, sabemos que Coriolano participou e para a proposição “Belisário e Coriolano não participaram” ser verdadeira então ambos teriam de ter faltado a reunião como Coriolano participou então esta é falsa, assim concluídos da proposição “Se Argemiro participou da reunião, então Belisário e

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Coriolano não participaram”, concluímos que Argemiro não participou da reunião, logo: É correto afirmar que, com certeza, também não participaram (B) Argemiro e Divina. 42 (SMTT 2010) Preta chá Branca café com açúcar Azul café sem açúcar Marrom leite A garrafa marrom não contém café sem açúcar A garrafa branca contém chá A garrafa preta não contém café com açúcar e nem leite A garrafa azul não contém leite. Da proposição “A garrafa branca contém chá”, destacamos: Preta chá Branca café com açúcar Azul café sem açúcar Marrom leite Da proposição “A garrafa preta não contém café com açúcar e nem leite”, sabemos que na garrafa preta também não tem chá, pois o chá está na garrafa branca, logo na garrafa preta tem café sem açúcar.

Preta chá Branca café com açúcar Azul café sem açúcar Marrom leite Da proposição “A garrafa azul não contém leite”, significa que na garrafa azul só pode ter café com açúcar, pois café sem açúcar está na garrafa preta e o chá está na garrafa branca.



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Preta chá Branca café com açúcar Azul café sem açúcar Marrom leite E para concluir na garrafa marrom tem leite. As garrafas com leite, café com açúcar, café sem açúcar e chá são, respectivamente as de cores: C) Marrom, azul, preta e branca. 43 (Pref. Munic. De Rio Branco 2010) Samuel barba arquiteto Vitor bigode engenheiro Gabriel não barba eletricista -O que tinha barba era arquiteto. -Vitor era engenheiro. -O que era eletricista não tinha bigode nem se chamava Samuel. Pela proposição “O que tinha barba era arquiteto”, marcamos: Samuel barba arquiteto Vitor bigode engenheiro Gabriel não barba eletricista Pela proposição “Vitor era engenheiro”, marcamos: Samuel barba arquiteto Vitor bigode engenheiro Gabriel não barba eletricista Pela proposição “O que era eletricista não tinha bigode nem se chamava Samuel”, concluímos que o eletricista não tem barba e se chama Gabriel, pois não pode se chamar Vitor, já que Vitor não tem barba. Samuel barba arquiteto Vitor bigode engenheiro Gabriel não barba eletricista Para finalizar, Samuel tem barba e é arquiteto e Vitor tem bigode e é engenheiro.

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Samuel barba arquiteto Vitor bigode engenheiro Gabriel não barba eletricista Como se chamava o que não tinha barba e qual era sua profissão? E) Gabriel – Eletricista 44(Pref. Munic. De Rio Branco 2010) Manoel disse: Pedro ganhou e Fábio chegou em segundo lugar. Fábio disse: Pedro chegou em segundo lugar e Antônio em terceiro lugar. Pedro disse: Antônio foi o último e Manoel o segundo. Cada um dos rapazes disse uma verdade e uma mentira, podemos afirmar que: Vamos usar o teste da hipótese: Manoel disse: Pedro ganhou(F) e Fábio chegou em segundo lugar(V). Considero, dentro da proposição, uma verdadeira e outra falsa. Fábio disse: Pedro chegou em segundo lugar(F) e Antônio em terceiro lugar(V) nessa proposição tivemos de considerar “Pedro chegou em segundo lugar” falsa, pois já consideramos verdadeira a proposição “Fábio chegou em segundo lugar”. Pedro disse: Antônio foi o último(F) e Manoel o segundo(F). Na proposição anterior deduzimos que Antônio chegou em terceiro lugar, como são quatro amigos então ele não foi ultimo, assim “Antônio foi o último”(F), sabemos que “Manoel o segundo”(F), pois já sabíamos que Fábio chegou em segundo lugar, como não se pode ter dois em segundo lugar e nenhum em primeiro isso é uma contradição, assim temos de iniciar novamente trocando o valor lógico considerado anteriormente.



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Manoel disse: Pedro ganhou(V) e Fábio chegou em segundo lugar(F). Fábio disse: Pedro chegou em segundo lugar (F) e Antônio em terceiro lugar(V), como a fala de Manoel nos trás que Pedro ganhou então falar que Pedro chegou em segundo lugar é falso. Pedro disse: Antônio foi o último (F) e Manoel o segundo(V). Da fala anterior sabemos que Antônio chegou em terceiro, por isso ele não foi o último de quatro amigos, logo a verdade é Manoel chegou em segundo. Perceba que desta vez não chegamos a uma contradição, portanto temos a resposta: 1° colocado: Pedro 2° colocado: Manoel 3° colocado: Antônio 4° colocado: Fábio B) Pedro foi o primeiro colocado e Fábio o último colocado. O raciocínio será correto. 45 Prove esta equivalência. p ∨ �q ∨ r� � �p ∨ q� ∨ r p q r � ∨ � � ∨ �� ∨ �� ∨ � �� ∨ �� ∨ � V V V V V V V V V F V V V V V F V V V V V V F F F V V V F V V V V V V F V F V V V V F F V V V F V F F F F F F F

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46 Prove esta equivalência p ∨ �q ∧ r� � �p ∨ q� ∧ �p∨ r) p q r q ∧ r p ∨ �q ∧ r� p ∨ q p∨ r �p ∨ q� ∧ �p∨ r) V V V V V V V V V V F F V V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F F F V F F F F V F F F V F F F F F F F F F 47 Prove esta equivalência ~(p∨q) �~p∧~q p q ~p ~q p∨q ~(p∨q) ~p∧~q V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V 48 Prove esta equivalência p↔q�(p→q)∧(q→p) p q p↔q p→q q→p (p→q)∧(q→p) V V V V V V V F F F V F F V F V F F F F V V V V 49 Prove esta equivalência p↔q�(p∧q)∨(~p∧~q) p q ~p ~q p↔q p∧q ~p∧~q (p∧q)∨(~p∧~q) V V F F V V F V V F F V F F F F F V V F F F F F F F V V V F V V



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50 (TREPR 2009) • 2 pentágonos regulares de lado L e 3 pentágonos regulares de lado l, com l < L; • 2 círculos de raio R e 1 círculo de raio r, com r < R; • 4 caretas iguais e 4 triângulos iguais.

1. “Existem pelo menos um pentágono de lado l e três círculos de raio R”, esta proposição pode ser escrita na forma p∧q sabemos que p é V e q é F assim V ∧ F = F. A questão diz que é verdade, porem concluímos que é falsa, portanto é ERRADA. 2. “Se todas as caretas são diferentes, então todos os círculos são do mesmo tamanho”, esta proposição pode ser escrita na forma p→q P é F e q é F assim F→F = V, o item diz que esta proposição é valorada verdadeira, portanto ela esta CORRETA. 3. “Se todos os triângulos são isósceles, então existe um círculo de raio R”, escrevendo a contra-recíproca temos “Se nenhum dos círculos é de raio R, então existe em triangulo que não é isósceles”. p→q �~q→~p (contra-recíproca) CORRETA. 51. “No Brasil havia, em média, em 2007, seis juízes para cada 100 mil habitantes na justiça do trabalho estadual, mas, no estado do Espírito Santo, essa média era de 13 juízes” V Podemos escrever essa proposição na forma p∧q. p: “No Brasil havia, em média, em 2007, seis juízes para cada 100 mil habitantes na justiça do trabalho estadual” q: “No estado do Espírito Santo, essa média era de 13 juízes”, Escrevendo a contra-reciproca é “Se no Brasil havia, em média, em 2007, seis juízes para cada 100 mil habitantes na justiça estadual, então, no estado do Espírito Santo, essa média não era de 13 juízes”. A contra recíproca de p→q é ~q→~p. ~q→~p F →F = V, portanto esta CORRETA.

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52 (SMTT 2010) “Se Cristóvão come carne vermelha, então Luíza come peixe”, aplicando o teorema da contra-recíproca temos: “Se Luíza não come peixe, então Cristóvão não come carne vermelha”. Pode-se concluir que: D) Se Luíza não come peixe, então Cristóvão não come carne vermelha. 53 (TRE/MG 2009) p: “É dever do servidor promover o atendimento cordial a clientes internos e externos”, q: “O servidor deverá instruir procedimentos administrativos de suporte gerencial” r:“É tarefa do servidor propor alternativas e promover ações para o alcance dos objetivos da organização”. Opção correta. A) A tabela-verdade completa das proposições simples p, q e r tem 2 linhas. ERRADA, pois temos 2 linhas nesta tabela-verdade. B) ~(p∨q∨r) é equivalente a ~p∧~q∧~r. CORRETA p q r ~p ~q ~r (p∨q∨r) ~(p∨q∨r) ~p∧~q∧r V V V F F F V F F V V F F F V V F F V F V F V F V F F V F F F V V V F F F V V V F F V F F F V F V F V V F F F F V V V F V F F F F F V V V F V V C) p → q é equivalente a ~p → ~q. ERRADA p q ~p ~q p → q ~p → ~q V V F F V V V F F V F V F V V F V F F F V V V V



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D) p ∨( q ∧ r ) é equivalente a p ∧ q ∧ r. ERRADA p q r ~p ~q ~r q ∧ r p ∨( q ∧ r ) p ∧ q ∧ r V V V F F F V V V V V F F F V V V F V F V F V F F V F V F F F V V F V F F V V V F F F F F F V F V F V F F F F F V V V F F F F F F F V V V F F F E) ~ (~ (~ r)) equivale a r. ERRADA r ~r ~ (~ r) ~ (~ (~ r)) V F V F F V F V 54 (SENADO FEDERAL 2002) julgue se a proposição apresentada em cada item a seguir é equivalente à sentença abaixo.

Se um indivíduo está inscrito no concurso do Senado Federal, então ele pode ter acesso às provas desse concurso.

1 Se um indivíduo não pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele não está inscrito nesse concurso. CORRETA, pela contra-recíproca. 2 O conjunto de indivíduos que não podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal e que estão inscritos nesse concurso é vazio. CORRETA, pois se está inscrito então pode ter acesso às provas, é uma condição “suficiente” para ter acesso às provas.

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3 Se um indivíduo pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele está inscrito nesse concurso. ERRADA, pois está inscrito é condição suficiente e não necessária. Exemplo o chefe de sala ter acesso à prova, no dia é claro, mas não está inscrito no concurso. 4 O conjunto de indivíduos que podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal é igual ao conjunto de indivíduos que estão inscritos nesse concurso. ERRADA, pois existe pessoas que transportam, organizam e participam de outras etapas do processo do concurso e que não estão escritos para o mesmo. 5 O conjunto de indivíduos que estão inscritos no concurso do Senado Federal ou que podem ter acesso às provas desse concurso está contido neste último conjunto. CORRETA, pois dentro do conjunto dos que tem acesso à prova temos o conjunto dos que estão inscrito para respondê-la no dia. 55 Use sua criatividade e para saber se está correto aplique o método da tabela verdade para mostrar a equivalência. 56 (EMBASA 2010) “Se a EMBASA promover ações de educação ambiental, então a população colaborará para a redução da poluição das águas” (V),esta proposição está no formato p → q. Sabemos que p → q é equivalente a ~p → ~q “Se a EMBASA não promover ações de educação ambiental, então a população não colaborará para a redução da poluição das águas”, esta proposição está no formato ~p →q, fazendo a tabela-verdade temos: p q ~p ~q ~p → ~q ~p →q V V F F V V V F F V V V F V V F F V F F V V V F ERRADA



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57 (DNOCS 2010) “Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional.”p→q Uma proposição logicamente equivalente, pela Transposição p→q�~q→~p, à proposição dada é: (E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. ~q∨~p

58 (PREFVV 2008) As proposições A→B e (¬B)→(¬A) têm a mesma tabela-verdade. A B ¬B ¬A A→B (¬B)→(¬A) V V F F V V V F V F F F F V F V V V V F V V V V CORRETA 59 (TRT ES 2009) p: “A Constituição brasileira é moderna” q: “A Constituição brasileira precisa ser refeita” “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” ~p∧~q (V) “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” p∨q (F) p q ~p ~q ~p∧~q p∨q V V F F F V V F V F F F F V F V F F V F V V V F CORRETA 60 (TRT/ES 2009) ERRADA “O juiz determinou a libertação de um estelionatário e de um ladrão” p∧q

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Pela Regra de De Morgam ~(p∧q) �~p∨~q, então a negação ficaria na forma “O juiz não determinou a libertação de um estelionatário ou não determinou a libertação de um ladrão”. E não na forma “O juiz não determinou a libertação de um estelionatário nem de um ladrão”. 61 (CODESP 2010) A negação da sentença “Se tenho dinheiro, então sou feliz” é: “Se tenho dinheiro, então sou feliz” p→q ~(p → q) � p ∧ ~q Então a negação da proposição “Se tenho dinheiro, então sou feliz” é “Tenho dinheiro e não sou feliz”. e)Tenho dinheiro, e não sou feliz. 62 (BASA 2010) E “se Paulo está entre os 40% dos homens com mais de 30 anos, então Luísa tem mais de 30 anos”, esta proposição é do tipo p→q e a negação é p ∧ ~q assim a negação desta proposição “Paulo não está entre os 40% dos homens com mais de 30 anos e Luísa tem mais de 30 anos” como o item dizia que a negação é “se Paulo não está entre os 40% dos homens com mais de 30 anos, então Luísa não tem mais de 30 anos”, então o item é ERRADO. 63 (UNEB 2010) “Se faço uma boa ação, fico feliz”. p→q “Faço uma boa ação e não fico feliz” p ∧ ~q a)Faço uma boa ação e não fico feliz. 64 (TRT ES 2009) “Carlos é juiz e é muito competente” p∧q ~(p ∧ q) � ~p ∨ ~q Negação: “Carlos não é juiz nem é muito competente”, essa proposição é o mesmo que “Carlos não é juiz e não é muito competente”. Por isso está ERRADA



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65 (TRT ES 2009) CORRETA. “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” (F) Então sabemos que ~p∧~q (F) p: “A Constituição brasileira é moderna” (V) q: “A Constituição brasileira precisa ser refeita” (V) “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” p∨q com os valores lógicos das proposições simples concluímos que V ∨ V = V Podemos concluir isso negando ~(~p∧~q) é p∨q = V ∨ V = V 66 (SMTT 2010) “Se Cristóvão come carne vermelha, então Luíza come peixe”, negando esta proposição temos: “Se Luíza não come peixe, então Cristóvão não come carne vermelha”, como vimos neste capítulo.

A) Se Luíza não come peixe, então Cristóvão não come carne vermelha.

Julgue os itens que se seguem

67 (UNIPAMPA 2010) “existe um triângulo eqüilátero e não isósceles”, para negar o quantificador “existe um” ou “algum”, usamos o quantificador “todo”, então a negação da proposição apresentada é “todo triângulo eqüilátero é isósceles”. CORRETA 68 (EMBASA 2010) “As pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar são ambientalmente educadas” (V) “Existem crianças ambientalmente educadas” (V) Construindo dos diagramas:

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Percebemos que no conjunto de crianças e conjuntos de pessoas que fecham a torneira possui uma interseção logo, como toda pessoa que fecha a torneira é ambientalmente educada então é verdade que existem crianças que no banho fecham a torneira ao se ensaboar. 69 (CETURB 2010) A negação da proposição “Todos os semáforos estão ligados ou o semáforo B está no vermelho” é “Nenhum semáforo está ligado e o semáforo B não está no vermelho”. Esta questão esta errada por um simples motivo, a negação do quantificador “todos” é “Algum” e não “Nenhum”, se modificasse isso então estaria correta. ERRADA 70 (SENADO FEDERAL) Algumas mulheres não são religiosas. Todas as freiras são mulheres. Logo, algumas freiras não são religiosas.



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Como podemos ver no diagrama então é CORRETO. 71 (TREPR 2009) Nenhum universitário é analista judiciário Todo analista judiciário faz curso de informática Logo, nenhum universitário faz curso de informática. Construindo o diagrama temos:

Percebemos que pode ter universitários que fazem curso de informática e não são analista judiciário, portanto item ERRADO. 72 (TREPR 2009) Todos os dinossauros são animais extintos Existem mamíferos que são animais extintos Portanto, existem mamíferos que são dinossauros. Construindo o diagrama temos:

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ou

Perceba que não é garantia de que existirão sempre dinossauros mamíferos, portanto ERRADA. 73 (TREPR 2009) Todas as mulheres são pessoas vaidosas. Todas as pessoas vaidosas são caprichosas. Existem pessoas tímidas que são mulheres. Logo, existem pessoas tímidas que são caprichosas. Construindo o diagrama temos: Essa é a primeira parte do diagrama, como temos a informação de que todas as pessoas vaidosas são caprichosas então o grupo de pessoas caprichosas é maior do que o grupo de vaidosas, pois não nos fala que toda pessoa caprichosa é vaidosa e sim o contrario.



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CORRETA 74 (TRT/ES 2009) A proposição “Mara é formada em direito e é juíza” é verdadeira. ERRADA, pois pelo diagrama sabemos que Mara é formada em direito, mas não é juíza.

75 (TREPR 2009) A proposição “Se Jonas não é um juiz, então Mara e Jonas são formados em direito” é falsa. F→(V ∧ V) F→V V Como o item afirma que é falsa então está ERRADO.

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76 (TRT 2010) Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição (�x)(x�Q e x>0)(��>x) é valorada como F. Basta um contra-exemplo, seja x= �

�, sabemos que �

� > 0,

porem (�

�� = �

e �

> �

� é falsa, pois 0,25 <0,5 então o item

está CORRETO, pois afirma que é valorada como falsa. 77 Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição (�x)(x�Q)( ��=2) é valorada como V. Para que a igualdade seja verdadeira teríamos que x=√2, porem √2 não está contido no conjunto dos números racionais, pois este é irracional, por isso não existe número racional que satisfaça essa igualdade. ERRADA. 78(SMTT 2010) Numa determinada rua, toda casa de número par é azul e as demais são verdes ou amarelas, portanto: D) Toda casa azul é par. Como ele informou que “as demais são verdes ou amarelas”, isso no garante que uma casa de número impar não vai ser azul, caso o contrario todas as casas de número par seria azul e algum impar poderia ser azul também sem problemas. 79 Considerando que P seja a proposição “Todo jogador de futebol será craque algum dia”, então a proposição ¬P é corretamente enunciada como “Nenhum jogador de futebol será craque sempre”. ERRADA, pois a negação de “Todo” é “Algum”. 80 Os conectivos são: Efetua operações entre os conjuntos apresentados. Os quantificadores são: Determina o espaço ou sua totalidade do conjunto apresentado.



70

81 Use sua criatividade. 82. Considere que a seqüência de figuras seguinte foi construída obedecendo a uma lei de formação.

Temos os três primeiros quadrados como referidentificar a lei de formação para então aplicar a identificar o desenho do quarto quadrado. Perceba características comuns nos quadrados, todos to ponto central e dele sai segmentos até o lado do quadrado, no primeiro quadrado temos três formando, comparando com o segundo quadrado temos as hipóteses, o segmento à direita moveu no sentido horário em um ângulo de 45° e podemos supor que o segmento da esquerda moveu no sentido horário em um ângulo de 90° e sobrepor o segmento que já estava, essas suposições são validas então temos dmesmo movimento e chegar na terceira figura.A partir da segunda figura temos o segmento à direita, se ele girar em 45° no sentido horário ele ficará na posição indicada na terceira figura, se a partir do segmento direcionado para cima, girar 90° ele ficará na posição indicada na terceira figura e o segmento que estava parado na primeira figura ainda permanece, essa etapa confirma a lei de formação, agora é só aplicar e achar o quadrado pretendido, estamos agora na figura três e aplicando a lei encontrada já sabemos que o segmento direcionado para cima ficará parado, o próximo vai girar em 90° no sentido horário e o outro vai girar 45° no sentido horário e chegará na figura:



82. Considere que a seqüência de figuras seguinte foi construída obedecendo a uma lei de formação.

Temos os três primeiros quadrados como referência para

formação para então aplicar a identificar

Perceba características comuns nos quadrados, todos têm o ponto central e dele sai segmentos até o lado do quadrado, no primeiro quadrado temos três segmentos formando, comparando com o segundo quadrado temos as hipóteses, o segmento à direita moveu no sentido horário em um ângulo de 45° e podemos supor que o segmento da esquerda moveu no sentido horário em um ângulo de 90° e sobrepor o segmento que já estava, para saber se

ições são validas então temos de aplicar esses mesmo movimento e chegar na terceira figura. A partir da segunda figura temos o segmento à direita, se ele girar em 45° no sentido horário ele ficará na posição

gura, se a partir do segmento direcionado para cima, girar 90° ele ficará na posição indicada na terceira figura e o segmento que estava parado na primeira figura ainda permanece, essa etapa confirma a lei de formação, agora é só aplicar e achar o

agora na figura três e aplicando a lei encontrada já sabemos que o segmento direcionado para cima ficará parado, o próximo vai girar em 90° no sentido horário e o outro vai girar 45° no sentido horário e chegará na figura:

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83 (PMSDC/2010) Observe a seqüência apresentada no esquema seguinte:

Observe que termo até o 7º elemento, o 1° temos 1 e 1, percebamos que 1.1=1, 4.2=8, 9.3=27, 16.4=64, 25.5=125, 36.6=216, 49.7=343, observe que a posição do elemento é o fator que multiplica o quque alterna a posição de uma posição para outra.Assim, x + y é um número compreendido entre (C) 250 e 300 84 (PMSDC/2010) Neste exercício já foi dada a lei de formação é só aplicáGirando o disco abaixo no sentido horário três volta e, em seguida, no sentido antium quarto de volta e, finalmente, efetuandovoltas e um terço de volta no sentido horário, a nova posição ocupada pelo disco será:

Hênio Delfino

2010) Observe a seqüência apresentada no

Observe que termo até o 7º elemento, o 1° temos 1 e 1, percebamos que 1.1=1, 4.2=8, 9.3=27, 16.4=64,

, 49.7=343, observe que a posição do elemento é o fator que multiplica o quadrado perfeito que alterna a posição de uma posição para outra. Assim, x + y é um número compreendido entre

Neste exercício já foi dada a lei de formação é só aplicá-la. Girando o disco abaixo no sentido horário três quartos de volta e, em seguida, no sentido anti-horário duas voltas e um quarto de volta e, finalmente, efetuando-se mais duas voltas e um terço de volta no sentido horário, a nova posição ocupada pelo disco será:



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85 (Pref. Mun. Guarulhos 2009) Na squais letras correspondem às lacunas “respectivamente:

Temos letras e símbolos, sendo que a cada duas letras tem um símbolo e inicia-se com A, a após o segundo símbolo temos a letra B, após o terceiro símbolo temos a letra C a assim até chegar na letra E que fica antes do H, se partimos da letra H e voltarmos temos I logo após o símbolo e assim J ocupa o outro traço. Seguindo a ordem dos “−”, temos então as letras J,E.B) J, E

86 (Pref. Mun. Guarulhos 2009) Marque a alternativcorresponde à figura omitida em “?” na gravura apresentada:

Este desenho nada mais é do que uma Torre de Hanói, assim a posição procurada é a letra B.



2009) Na sequência a seguir, quais letras correspondem às lacunas “−”,

Temos letras e símbolos, sendo que a cada duas letras se com A, a após o segundo

símbolo temos a letra B, após o terceiro símbolo temos a assim até chegar na letra E que fica antes do H,

se partimos da letra H e voltarmos temos I logo após o símbolo e assim J ocupa o outro traço. Seguindo a ordem

ão as letras J,E.

2009) Marque a alternativa que corresponde à figura omitida em “?” na gravura

Este desenho nada mais é do que uma Torre de Hanói, assim a posição procurada é a letra B.

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87 (Pref. Mun. Guarulhos 2009) Analise as proposições a seguir:

Substituindo os desenhos por letras temos, baseando no I, X – Y + Z = 14

I) X – Y + Z = 14 II) Y + Z – X = 2 III) = 2

IV) X. Y. Z =?

2.Z=16 Z=8 Usando III, temos:

= 2

= 2

X + Y = 16 X = 16 –Y

Hênio Delfino

2009) Analise as proposições a

por letras temos, baseando no I,



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Usando I, temos: X – Y + Z = 14 (16 –Y) – Y + Z = 14 (16 –Y) – Y + 8 = 14 16 –Y – Y + 8 = 14 -2.Y +24 = 14 -2.Y= 14-24 Y=5 Usando II, temos: Y + Z – X = 2 5 + 8 – X = 2 13 – X = 2 – X = 2 -13 – X = -11 X=11 Queremos X. Y. Z =? 11 . 5 . 8 = 440 88 (CAIP/USCS 2010) O número que falta no sentido anti-horário é:

Perceba da diferença inicial 6 – 1 = 5

1 +5 6 6 +6 12 12 +7 19 19 +8 27 36 +10 46 46 +11 57

D) 57.

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89 (CAIP/USCS 2010) O número que falta é:

Soma os números que estão nas pontas no interior do triangulo e subtrai pela soma dos lado de fora do triangulo. 15- (4+2) = 9 A) 9. 90 (CAIP/USCS 2010) Observe a representação:

Perceba que sem quadrado é unidade, com um quadrado é dezena, com dois quadrados é centena e assim continua, logo o terceiro quadrado sede milhar, logo temos que colocar o zero, 4037.B) 4.037. 91 (PMSDC/2010) Na sucessão de triângulos seguintes, o número no interior de cada um é resultado de operações efetuadas com os números que se encontram em sua parte externa.

(5.8)/10 = 4 (4.9)/3 = 12 (6.14)/12 = 7 Logo X = 7 (D) 7

Hênio Delfino

89 (CAIP/USCS 2010) O número que falta é:

Soma os números que estão nas pontas no interior do triangulo e subtrai pela soma dos que estão nas pontas do

90 (CAIP/USCS 2010) Observe a representação:

Perceba que sem quadrado é unidade, com um quadrado é dezena, com dois quadrados é centena e assim continua, logo o terceiro quadrado será 4 que é unidade de milhar, logo temos que colocar o zero, 4037.

91 (PMSDC/2010) Na sucessão de triângulos seguintes, o número no interior de cada um é resultado de operações efetuadas com os números que se encontram em sua



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92 (CEAL 2010) Na figura abaixo temcomposto por algumas letras do alfabeto e por alguns espaços vazios, nos quais algumas letras deixaram de ser colocadas.

Que letra ficará no lugar de (?)? Perceba que a ordem alfabética se mantém e segue da esquerda para a direita e de baixo para cima, assim temos I, J, L, M, N, ..., X. A letra que procuramos é L (B) L 93 (FCSBC 2010) c Complete a espiral, partindo do centro para descobrir o número a ser colocado no seu final (?)

8 + 2 = 10 10 + 4 = 14 14 + 8 = 22 22 + 16 = 38 38 + 32 = 70 70 + 64 = 134 94 A sequencia é a chamada Sequencia de Fibonacci, que tem lei de formação dada: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, 13+21= 34, formado pelos dois algarismos o 3 e o 4.Os dois próximos algarismos na sequência serão:a)34



92 (CEAL 2010) Na figura abaixo tem-se um triângulo composto por algumas letras do alfabeto e por alguns espaços vazios, nos quais algumas letras deixaram de ser

Perceba que a ordem alfabética se mantém e segue da esquerda para a direita e de baixo para cima, assim temos

93 (FCSBC 2010) c Complete a espiral, partindo do centro número a ser colocado no seu final (?)

A sequencia é a chamada Sequencia de Fibonacci, que

1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, formado pelos dois algarismos o 3 e o 4.

Os dois próximos algarismos na sequência serão:

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95 (CEAL 2010) Os termos da seqüência (77,74,37,34,17,14,...) são obtidos sucessivamente através de uma lei de formação. A soma do sétimo e oitavo termos dessa seqüência, obtidos segundo essa lei é

77 -3 74 74 - !

� 37

37 -3 34 34 -

� 17

17 -3 14 14 - �

� 7

7 -3 4 4 -

� 2

7° =7 8° = 4 7+4=11 (E) 11 96 (FURP 2010) O próximo termo da sequência 10, a, B, 12, d, E, 14, g, H, 16, ... é: A cada número somamos duas unidades para chegar no próximo, as letras alternam entre maiúsculas e minúsculas, iniciando com a letra a percebe-se que onde tem um número existiria uma letra que é contada mas não escrita, assim após o 16 temos o j, minúsculo pois após um número temos uma letra minúscula. A) j. 97 (FURP 2010) O próximo número da sequência 0, 1, -1, 0, 1, 2, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... é (0, 1) (-1, 0, 1, 2) perceba que foi acrescentado um número antes e outro após 0 e 1 (-2, -1, 0, 1, 2, 3) agora acrescentamos -3 antes de -2 e 4 após 3, porem logo após o 3, na seqüência será -3. A) -3.



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98 (PMSDC/2010)Considere a sucessão de letras: CON (...) AR. A palavra que, colocada no espaço (...), forma uma palavra com as letras à esquerda do parênteses e outra palavra com as letras à direita é (D)SORTE Essas são as palavras: CONSORTE : Segundo “dicionarioweb”:Companheiro na mesma sorte ou destino SORTEAR 99 (FCSBC 2010) Complete a sequência: 3 – 5 – 9 – 17 – 33 - ? 3 +2 5 5 +4 9 9 +8 17 17 +16 33 33 +32 65

C) 65

100 Escreva o número que falta.

6 – 10 – 18 – 34 - ?

Primeiro buscamos a lei de formação da sequência, perceba que a partir do número 6 para chegar no número 10 temos de somar 4 unidades, do 10 para o 18 temos de somar 8 unidades, do 18 para o 34 temos de somar 16 unidades, perceba uma nova sequência 4 – 8 – 16 -? Sei que está dobrando logo o próximo desta sequência será 32, mas queremos saber a primeira sequência assim temos 34 + 32 = 66.

Login de Acesso Pessoal e Intransferível Como ativar seu login

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