PISL.docx

ESCUELA POLITCNICA DEL LITORAL CURSO DE NIVELACIN DE CARRERA-SENESCYT

PROYECTO DE AULA DE MATEMTICASLEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

AUTORES:

APOLO PERALTA CARLOS JAVIER. DVILA MORN TEDDY GUSTAVO. GUZMN PORTILLA ANGIE NICOLE. HOLGUN RODRGUEZ MEREIDY BELEM.

PROFESORING. JOHNNY RAMOS.

Guayaquil- Ecuador

NDICE

INTRODUCCIN3DESCRIPCIN DEL PROBLEMA4OBJETIVOS 5MARCO TERICO6PROPUESTA DE SOLUCIN17CONCLUSIN20RECOMENDACIONES21BIBLIOGRAFA22ANEXOS23

1. INTRODUCCINEste trabajo est realizado con el propsito de conocer ms sobre las funciones y ecuaciones exponenciales; que son, como se expresan y diversa informacin sobre estas, as como tambin saber sobre los temas que tienen que ver con las funciones y ecuaciones exponenciales como por ejemplo; las asntotas ya sean vertical u horizontal dependiendo de cada funcin y los datos que te dan en cada problema, como se determinan cada una de las asntota y por qu se sabe que es esa y que es la discontinuidad y que factores nos lo indican.

En este trabajo encontraran ejemplos, informacin y la pgina de donde fue tomada la informacin con el propsito de que pueda ampliar su investigacin, si no le es necesaria, tomando solo en cuenta la informacin ms importante y verdica.

Las funciones y ecuaciones exponenciales tienen diversas aplicaciones en el campo delanlisis numricoparainterpolaro aproximar los resultados de otras funciones ms complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

2. DESCRIPCIN DEL PROBLEMA

El presente proyecto se basa en cumplir la primera ley de Newton; que consiste en calentar agua y calcular su temperatura minuto a minuto con el fin de obtener un plano cartesiano de temperatura T versus tiempo t (T vs t).

El problema de este proyecto es buscar la manera de llegar a una ecuacin cuya grafica sea semejante a la que se nos presenta con los datos tabulados, siguiendo ciertas condiciones que esta misma nos da; por lo que el verdadero problema es que el alumno se ingenie la forma como se puede modificar la ecuacin, y mediante errores poder fijarse si nos estamos alejando o acercando a la grfica que queremos finalmente. Es un trabajo donde el anlisis profundo es lo que se debe tomar en cuenta, ya que cada vez que nos acercamos a una posible forma de la funcin, nos damos cuenta que es un mtodo para llegar a nuestro objetivo.

En consecuencia para llegar a una ecuacin semejante, existen diversas formas de hacerlo, por lo que no hay una sola ecuacin definida para esto, sino varias maneras que irn dependiendo de la forma como trabaje cada alumno con las condiciones y variables elegidas a su gusto, pero que al final cumplir los mismos requisitos.

3. OBJETIVOS

3.1 Objetivo General:

Determinar regla de correspondencia aproximada de una funcin exponencial, a partir de los datos tabulados con mediciones reales.

3.2 Objetivo Especfico:

Dada la grfica de una funcin de variable real Reconocer la existencia de sus asntotas verticales y horizontales. Reconocer grficamente la continuidad o discontinuidad de funciones definida por tramos. Definir una funcin de variable real

4. MARCO TERICO

FuncionesUna funcin, en matemticas, es el trmino usado para indicar la relacin o correspondencia entre dos o ms cantidades. El trmino funcin fue usado por primera vez en 1637 por el matemtico francs RenDescartespara designar unapotenciaxn de la variable x. En 1694 el matemtico alemn Gottfried Wilhelm Leibniz utiliz el trmino para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso ms generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemtico alemn, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribi: "Una variable es un smbolo que representa un nmero dentro de un conjunto de ello. DosvariablesX y Y estn asociadas de tal forma que al asignar unvalora X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automticamente un valor a Y, se dice que Y es una funcin (unvoca) de X. La variable X, a la que se asignan librementevalores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.Los valorespermitidos de X constituyen eldominiode definicin de la funcin y los valores que toma Y constituye su recorrido".Una funcin f de A en B es una relacin que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamadoimagende x por f, que se escribe y=f (x).Ensmbolos, f: A B. Es decir que para que una relacin de un conjunto A en otro B sea funcin, debe cumplir dos condiciones, a saber:Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.La imagen de cada elemento x E A debe ser nica. Es decir, ningn elemento del dominio puede tener ms de una imagen.El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algn elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.Ley de Enfriamiento de Newton.La transferencia de calor est relacionada con los cuerpos calientes y fros llamados; fuente y receptor, llevndose a cabo en procesos como condensacin, vaporizacin, cristalizacin, reacciones qumicas, etc. en donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos cuenta con sus peculiaridades. La transferencia de calor es importante en los procesos, porque es un tipo de energa que se encuentra en trnsito, debido a una diferencia de temperaturas (gradiente), y por tanto existe la posibilidad de presentarse el enfriamiento, sin embargo esta energa en lugar de perderse sin ningn uso es susceptible de transformarse en energa mecnica por ejemplo; para producir trabajo, generar vapor, calentar una corriente fra, etc. En virtud de lo anterior es importante hacer una introduccin al conocimiento de los procesos de transferencia de calor a travs de la determinacin experimental de la ecuacin emprica que relaciona la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con respecto al medio.La ley de enfriamiento de Newton enuncia que, cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido por unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conduccin, conveccin y radiacin, es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y dicho medio externo, siempre y cuando este ltimo mantenga constante su temperatura durante el proceso de enfriamiento.La genialidad de Newton se pone de manifiesto nuevamente cuando utilizando un horno de carbn de una pequea cocina, realiz un sencillo experimento: calent al rojo vivo un bloque de hierro, al retirarlo lo coloc en un lugar fro y observ cmo se enfriaba el bloque de metal en el tiempo. Sus conjeturas sobre el ritmo al cual se enfriaba el bloque dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de enfriamiento de Newton.Observaciones:En una funcin f: A B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.Un elemento y E B puede:-No ser imagen de ningn elemento x E A-Ser imagen de un elemento x E A-Ser imagen de varios elementos x E A.-La relacin inversa f-1 de una funcin f puede no ser una funcin.Formas de expresin de una funcin Mediante el uso de tablas:XY

-10121014

Grficamente: cabe aclarar que llamamos grfica de una funcin real de variable real al conjunto de puntos del plano que referidos a unsistemade ejes cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E AASNTOTAS DE UNA FUNCINLas asntotas ayudan a la representacin de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto quelneas rectas, la ecuacin de una asntota es simplemente la de una recta, y su expresin analtica depender de la eleccin delsistema de referencias(y = mx + ben coordenadas cartesianas).Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asntotasnoforman parte de la expresin analtica de la funcin, por lo que -en numerosos ejemplos- no estn incluidas explcitamente dentro de la grfica, o bien se las indica con una lnea punteada.En muchos casos, las asntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones encoordenadas cartesianassern:x = 0, y = 0.Se distinguen tres tipos: Asntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuacinx = cte. Asntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuaciny = cte. Asntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuaciny = mx + b.Nota: cte=constante.

DETERMINACIN ANALTICA DE ASNTOTASEnanlisis,clculoygeometra analtica, el comportamiento de funciones no triviales en las cercanas de puntos de indefinicin (tales como la divisin por ceroo lasformas indeterminadas), aportan informacin valiosa sobre su grfica, y en este contexto las asntotasSurgen naturalmente como soluciones (odirecciones) en estos puntos. En este sentido, una funcin puede tener una asntota por la derecha pero no por la izquierda (o viceversa); o bien una recta puede intersecar a una curva en un nmero finito (o infinito) de puntos, y presentar de todos modos un comportamiento asinttico.CLCULO DE ASNTOTAS POR MEDIO DE LMITES Asntota Vertical: Se llama Asntota Vertical de una rama de una curvay = f(x), a la recta paralela al ejey que hace que la rama de dicha funcin tienda a infinito. Si existe alguno de estos dos lmites:

A la rectax = ase la denominaasntota vertical.Ejemplos:logaritmo neperiano,tangente Asntota horizontal: Se llama Asntota Horizontal de una rama de una curva y = f(x)a la recta paralela al eje x que hace que la rama de dicha funcin tienda a infinito. Si existe el lmite:

Siendoaun valor finito la rectay = aes unaasntota horizontal.Ejemplos:funcin exponencial,tangente hiperblicaTCNICAS PARA GRAFICAR FUNCIONES ELEMENTALESTrazar la grfica de una funcin, consiste en mostrar las caractersticas esenciales de la funcin en un plano coordenado.Generalmente, se localizan algunos puntos que determinan su representacin grfica.Pasos para trazar la grfica de una funcin:1. Identificar el tipo de funcin.2. Determinar el dominio de la funcin.3. Determinar el corte con el ejex. Para esto, se resuelve la ecuaciny=f(x), considerandoy=0.Esto es,f(x)=0, se despeja la variablexy se obtiene el punto(x,0).4. Determinar el corte con el ejey. Para esto se resuelve la ecuaciny=f(x), considerandox=0.Esto es,f(0)=y, se despeja la variabley, y se obtiene el punto(0,y).

5. Elegir algunos valores(x)del dominio y evaluar cadaxen la funcinf(x)=y, para obtener los respectivos valoresy.Es recomendable organizar estos datos en una tabla como la siguiente:Xy=f(x)Pares ordenados(x,y)

6. Representar cada par ordenado en el plano cartesiano.7. Trazar la grfica de la funcin segn su identificacin.8. Determinar el rango de la funcin.ECUACIN EXPONENCIALSe denominaecuacin exponencialaquella en la cual laincgnitaaparece nicamente en los exponentes de potencias para ciertas bases constantes.1La incgnita se halla en un exponentede un o unos de los trminos. Es decir, unnmero(u otra variable) est elevada a la incgnita a despejar, comnmente representada por x. Pararesolverdichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciacin, radicacin, de logaritmos y cambio de la incgnita por otra.

Ecuacin exponencial

FORMAS DE RESOLUCINDepende del tipo de ecuacin exponencial del que se trate, hay diversas formas de resolverla, por su nivel de complejidad. Las ms fciles son por simple inspeccin, es decir se descompone la parte numrica en sus factores primos y aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad. A continuacin se brindan algunos ejemplos.

IGUALACIN DE BASESSea la ecuacin del siguiente ejemplo:

Si el primer miembro slo tiene un trmino y el trmino del segundo miembro es potencia de la base del trmino del primer miembro, entonces el segundo miembro, se expresa como potencia de la base de la expresin que contiene la incgnita. En el ejemplo 16 es potencia de la base dos de.

Luego, por la siguiente propiedad:, tenemos:

Un ejemplo algo variado42x-1= 2xPuesto que 4 = 22en la ecuacin dada resulta22(2x-1)= 2xFinamente, resolviendo 2(2x-1) =x, se obtiene x = 2/3.

CAMBIO DE VARIABLESSea la ecuacin exponencial del ejemplo:

Vamos a escribirla as:

Aplicamos el cambio de variable, y escribimos:

Ahora, al reemplazar, se tiene:

Despejamos:

Ahora, recordemos que, luego:

PASANDO A UNA ALGEBRAICAResolver la ecuacin229x- 3x+1-2 = 0Puesto que la ecuacin propuesta puede ser escrita en la forma2(3x)2- 33x- 2 = 0Luego con la sustitucin y = 3x, se tiene respecto a y la ecuacin algebraica de segundo grado2y2- 3y-2 = 0.Resolviendo resultay= 2;y= -1/2. La ltima solucin es imposible, pues 3x> 0. En tal caso 3x= 2;x= log32 = ln2 : ln3 = 0.6309 ( logaritmos naturales);

USANDO LOGARITMOS

Sea la ecuacin:

Usamos logaritmo a ambos lados de la ecuacin:

Por propiedades de los logaritmos, tenemos:

Operando:

De donde sale:

Otra manera de resolverSea la ecuacin 4x+18x= 4096, pasando las bases de potencia: 4 y 8 a potencias de 2, como tambin 4096 = 212, se tiene22x+223x= 212, igualando los exponentes, resulta(2x+2) + 3x= 12, finalmente5x= 10; por tantox= 2

ECUACIONES EXPONENCIALES MS COMPLEJASCuando la incgnita se encuentra en el ndice de una raz, tambin se la considera exponencial, ya que slo basta escribirla como exponente fraccionario. Sea la ecuacin:

Vemos que la variable se encuentra tambin en el exponente de unaraz. Por laspropiedades de la radicacin, vamos a escribirla as:

Aplicamos el mtodo de igualacin de bases:

O sea:

Operando, obtenemos:

5. PROPUESTA DE SOLUCIN1. Luego de calentar el agua y calcular su temperatura minuto a minuto se obtuvo los puntos que ayudaran para bosquejar la grfica.Temperatura TTiempo t (minutos)

98C0

97C1

94C2

91C3

88C4

85C5

82C6

80C7

79C8

77C9

75C10

74C11

72C12

70C13

67C14

65C15

63C16

63C17

62C18

62C19

62C20

2. Luego de bosquejar la grfica se puede notar que est en la el primer cuadrante y es una fraccin exponencial.

3. Ubicamos la serie de puntos obtenidos en el programa graficador.

4. Al graficar por completo los datos obtenidos, obtendremos la siguiente grfica.

6. CONCLUSIN

El objetivo planteado en laintroduccinde este proyecto era determinar regla de correspondencia aproximada de una funcin exponencial, a partir de los datos tabulados con mediciones reales, dicho objetivo fue cumplido, para ello estudiamos el enfriamiento de un cuerpo, en nuestro caso con termmetro de mercurio. Medimos la temperatura en funcin del tiempo y observamos que la temperatura decae en funcin tiempo. Analizamos este caso usando la expresin de la Ley de Enfriamiento de Newton.

7. RECOMENDACIONES

Creemos que el resultado obtenido trasel trabajode investigacin fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la informacin terica, y creemos que tambin nos ser til en la prctica, puesto que se pudo observar a lo largo deldesarrollolos diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber tambin estudiado las ecuaciones matemticas, nos queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemtica.

Para ello recomendamos un estudio anticipado acerca del tema a fin de que su realizacin no genere mayores dudas durante el proceso de este sino ms bien que los resultados que se piden en este proyecto puedan ser obtenidos sin mayores inconvenientes y que estos sean positivos.

8. BIBLIOGRAFA

Fundamentos de Matemticas para bachillerato, ESPOL. http://es.slideshare.net/SrtaBriggitte/tcnicas-de-graficacin-de-funciones http://acadmate.blogspot.com/2011/01/tecnica-grafica-funciones.html Anlisis matemticoI, Notas deTeoray prctica; 2daedicin. Enciclopedia Clarn, Tomo 20 http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto8/punto8.html

9. ANEXOS

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