proyecto mate 3 final 1 1

7/23/2019 Proyecto Mate 3 Final 1 1

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DEDICATORIA

El presente informe está dedicado aDios por ser nuestro guía día a día, anuestros padres por darnos siempre suapoyo incondicional para seguir

adelante con nuestros estudios y al profesor Ing. Luis Zúñiga Fiestas porsus enseñanzas y el apoyo brindado enel transcurso del presente cicloacadémico 2015-I.



1. RESUMEN ....................................................................................................................... 5

1.1. Introducción ............................................................................................................ 5

2. OBJETIVOS .................................................................................................................... 6

2.1. Objetivo general ...................................................................................................... 6

2.2. Objetivos específicos ............................................................................................... 6

3. JUSTIFICACIÓN ........................................................................................................... 6

4. FUNDAMENTO TEÓRICO .......................................................................................... 7

AGUAS RESIDUALES .......................................................................................................... 7

4.1. Conceptos y definiciones básicas ........................................................................... 7

4.1.1. ¿QUÉ SON LAS AGUAS RESIDUALES?................................................... 7

4.1.2. TIPOS DE AGUAS RESIDUALES ............................................................... 7

4.1.2.1. SEGÚN SU PROCEDENCIA ................................................................ 74.1.2.1.1. Aguas blancas ....................................................................................... 8

4.1.2.1.2. Aguas Residuales Agrícolas (A.R.A) .................................................. 8

4.1.2.1.3. Aguas Residuales Industriales (A.R.I) ............................................... 8

4.1.2.1.4. Aguas Residuales Urbanas (A.R.U) .................................................... 8

4.2. CARACTERÍSTICAS DE LAS AGUAS RESIDUALES. .................................. 9

4.2.1. FÍSICO-QUÍMICAS ....................................................................................... 9

4.2.1.1. OLOR ....................................................................................................... 9

4.2.1.2. COLOR .................................................................................................... 9

4.2.1.3. SÓLIDOS TOTALES ........................................................................... 10

4.2.1.4. TEMPERATURA ................................................................................. 10

4.2.1.5. DEMANDA BIOQUÍMICA DE OXÍGENO (D.B.O) ........................ 11

4.2.1.6. DEMANDA QUÍMICA DE OXÍGENO (D.Q.B) ............................... 11

4.2.2. BIOLÓGICAS ............................................................................................... 11

4.2.2.1. Bacterias ................................................................................................. 11

4.2.2.2. Protozoarios ........................................................................................... 12

4.2.2.3. Virus ....................................................................................................... 12

4.2.2.4. Organismos coliformes y patógenos .................................................... 12

4.3. FUENTES DE CONTAMINACIÓN DEL AGUA ............................................. 13

4.3.1. Aguas residuales urbanas. ............................................................................ 13

4.3.2. Aguas residuales industriales. ...................................................................... 13



4.4. TIPOS DE CONTAMINANTES ......................................................................... 14

4.4.1. Contaminantes orgánicos ............................................................................. 14

4.4.2. Contaminantes inorgánicos .......................................................................... 14

4.5. EFLUENTES DE AGUA RESIDUALES ........................................................... 14

4.5.1. Drenaje Doméstico ........................................................................................ 15

4.5.2. Drenaje Sanitario .......................................................................................... 15

4.6. CONSTITUYENTES DEL AGUA RESIDUAL ................................................ 15

4.7. ETAPA DEL PROCESO DE TRATAMIENTO DE LAS AGUASRESIDUALES ................................................................................................................... 16

4.7.1. Tratamiento primario ................................................................................... 17

4.7.2. Tratamiento secundario ............................................................................... 17

4.7.3. Tratamiento terciario ................................................................................... 17

4.8. RÍO SURCO .......................................................................................................... 18

4.8.1. Recuperación del Río Surco ......................................................................... 18

4.9. ETAPAS DEL PROCESO DE RECUPERACIÓN DEL AGUA ..................... 18

4.9.1. PRIMERA ETAPA ....................................................................................... 18

4.9.1.1. CAPTACIÓN ........................................................................................ 18

4.9.1.2. CÁMARA DE BOMBEO ..................................................................... 19

4.9.1.3. DESARENADOR .................................................................................. 19

4.9.1.4. BOCATOMA ......................................................................................... 204.9.2. SEGUNDA ETAPA....................................................................................... 20

4.9.2.1. CALERA ................................................................................................ 20

4.9.2.2. FLOCULADOR DECANTADOR ....................................................... 21

4.9.2.3. FILTROS ............................................................................................... 22

4.10. INTEGRALES MÚLTIPLES .......................................................................... 23

4.10.1. Integrales dobles ............................................................................................ 24

4.10.1.1. Volumen de una región sólida con integral doble .............................. 24

4.10.2. Integrales triples ............................................................................................ 25

4.10.3. Reducción de integrales triples a integrales iteradas. ................................ 26

4.10.4. Hiperboloide. ................................................................................................. 27

4.10.4.1. Hiperboloide de una hoja. .................................................................... 27

4.10.4.2. Grafica de la ecuación de un hiperboloide. ......................................... 27



4.10.4.3. Intersección con los ejes coordenados. ................................................ 28

a) Intersección con el eje X. .............................................................................. 28

b) Intersección con el eje Y. ............................................................................. 28

c) Intersección con el eje Z. .............................................................................. 28

4.10.4.4. Trazas sobre los planos coordenados. ................................................. 28

a) Intersección con el plano XY. ....................................................................... 28

b) Intersección con el plano XZ ........................................................................ 29

c) Intersección con el plano YZ. ....................................................................... 30

4.10.4.5. Simetrías con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados yal origen. 31

A. Respecto a los planos coordenados. ............................................................ 31

a) Simetría respecto al plano XY. ................................................................ 31

b) Simetría respecto al plano XZ. ................................................................. 31

c) Simetría respecto al plano YZ. ................................................................. 32

B. Respecto a los ejes X, Y y Z. ......................................................................... 32

a) Simetría respecto al eje X. ........................................................................ 32

b) Simetría respecto al eje Y. ........................................................................ 33

c) Simetría respecto al eje Z. ........................................................................ 33

C. Respecto al origen ......................................................................................... 33

4.10.4.6. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados ................. 34

a) Sobre el plano XY.. ....................................................................................... 34

b) Sobre el plano XZ. ......................................................................................... 35

c) Sobre el plano YZ. ......................................................................................... 36

4.10.4.7. Hiperboloide de dos hojas (hiperboloide elíptico). ............................. 37

4.10.5. Tipos de coordenadas.................................................................................... 38

4.10.5.1. Coordenadas rectangulares .................................................................. 38

4.10.5.2. Coordenadas cilíndricas ....................................................................... 38

4.10.5.3. Coordenadas esféricas .......................................................................... 39

4.10.5.4. Jacobiano ............................................................................................... 39

4.10.6. Circunferencia ........................................................................................... 39

4.10.6.1. Ecuación general de la circunferencia ................................................. 40

5.1. TOMA DE DATOS. .............................................................................................. 41

6. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA .................................................................................. 43



6.1. APLICACIÓN DE MÉTODOS MATEMÁTICOS ........................................... 43

7. RESULTADOS ............................................................................................................. 45

8. CONCLUSIONES ......................................................................................................... 49

9. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................... 50

10. ANEXOS. ................................................................................................................... 52



5

1. RESUMEN

1.1.

Introducción

En el Perú se está poniendo en marca las construcciones de plantas de tratamientos de

agua especialmente en Lima, donde el agua está escaseando actualmente debido a alcalentamiento global y contaminación ambiental.

Las plantas de tratamiento pueden estar desde una escala como la planta de

tratamiento de la Chira (planta de tratamiento de agua más grande del Perú) a la

escala de la planta de tratamiento municipal como la de Surco.

En la planta de planta de tratamiento y recuperación de las aguas del Rio Surco –

Intihuatana podemos ver su funcionamiento para el beneficio de la zona del distrito

de Surco con el mantenimiento de las áreas verdes y el crecimiento de este.

Con los conocimientos de la matemática podremos demostrar en este proyecto de

investigación cual importantes son en el aporte para poder solucionar problemas

como los que están afectando al medio ambiente. En este caso en una planta de

tratamiento, específicamente se mostrará el uso de integrales dobles, el rediseño de

los tanques levándolos a figuras se superficies cuadráticas capaz con esto podríamos

mejorar el rendimiento de su funcionamiento.

En este trabajo se mostrara el cálculo del tanque rediseñado a un hiperboloide de una

hoja, aplicando integrales dobles para calcular el volumen de una figura en 3D,

obteniendo los resultados exactos, también haciendo el uso de software matemáticos

para la construcción de la figura y obtenciones de resultados para la previa

comparación.



6

2. OBJETIVOS

2.1.

Objetivo general

Aplicar los conocimientos adquiridos durante el presente ciclo académico en el curso

Matemática III, para hallar el volumen del tanque de floculación de la Planta deTratamiento y Recuperación de las Aguas del Rio Surco - Intihuatana.

2.2.

Objetivos específicos

Modificar el tanque de floculación de la planta de tratamiento de aguas del rio

Surco “Ing. Alejandro Vinces Araoz” para tener una mayor capacidad de

almacenaje total aprovechando la altura, con la finalidad de poder cumplir con

las demanda de agua para regadío de los distritos aledaños.

Calcular la máxima capacidad de almacenamiento volumétrico del TANQUE

DE FLOCULACIÓN de aguas tratadas por la Planta de Tratamiento y

Recuperación de las Aguas del Rio Surco “Ing. Alejandro Vinces Araoz”, antes

y después de la modificación estructural, rediseñado mediante el software de

modelamiento y diseño AutoCAD; así mismo, utilizar los diversos programas

de Software Matemático como Microsoft Mathematics 4.0, Casio ClassPad (fx-CP300), Casio ClassPad II (fx-CP400), Wolfram|Alpha para la verificación del

cálculo de volumen realizado mediante Integrales Dobles e Integrales Triples.

3. JUSTIFICACIÓN

En el presente trabajo nos permitirá ver como es el análisis con los respectivos

conocimientos de la matemática en una planta de tratamiento, respectivamente al

tanque de floculación.

En el análisis se verá el cálculo del volumen y el rediseño llevándolo a una figura

de superficie cuadrática de la forma de hiperboloide de una hoja, se tendrá mayor

claridad en cuanto al cómo se podría diseñar un tanque de floculación aplicando



7

integrales dobles, siendo esta de gran apoyo para los análisis. Además de ver que

estos diseños se pondrán calcular y computarizarlos en programas de software

matemáticos.

4. FUNDAMENTO TEÓRICO

AGUAS RESIDUALES

4.1. Conceptos y definiciones básicas

Todas las comunidades limeñas generan día a día residuos orgánicos, estos pueden

ser sólidos o líquidos. El agua residual (fracción líquida) está constituida

principalmente por el agua de abastecimiento después de haber sufrido un proceso decontaminación por los diversos usos que haya sufrido.

4.1.1. ¿QUÉ SON LAS AGUAS RESIDUALES?

Son aquellas aguas que pueden definirse como la combinación de desechos líquidos

procedentes de industrias, viviendas, instituciones, entre otros. Estas aguas

originalmente han sido modificadas por las actividades humanas y por su calidadrequieren un debido tratamiento antes de ser rehusadas.1

Factores que contribuyen a la contaminación del agua:

Diversidad de los procesos industriales.

El aumento de la población.

Los desechos arrojados en los ríos, lagunas, etc.

4.1.2.

TIPOS DE AGUAS RESIDUALES

4.1.2.1. SEGÚN SU PROCEDENCIA

1 Estudio de Factibilidad para la Construcción de una Planta de Tratamiento de Aguas Residuales en laUniversidad De Las Ámerica - Puebla, 2013, págs. 10-33. Obtenido en:http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lic/vazquez_r_d/capitulo2.pdf



8

4.1.2.1.1. Aguas blancas

Se les conoce como agua blanca a aquella agua sin filtrar que puede provenir de las

tuberías de algún suministro. Estas aguas son procedentes de la limpieza urbana, de

los deshielos, de las lluvias, en conclusión podemos decir que son aquellas que hantenido un mínimo contacto con las actividades del hombre y por eso no están

contaminadas es decir hay una mínima contaminación.

4.1.2.1.2. Aguas Residuales Agrícolas (A.R.A)

Estas aguas son generadas por la producción agropecuaria y agrícola, las cuales están

conformadas por los desechos animales, vegetales, fertilizantes, abonos en gran

cantidad, productos químicos presentes en los terrenos agrícolas.1

4.1.2.1.3. Aguas Residuales Industriales (A.R.I)

Estas aguas son generadas por las diversas industrias, su estructura es variada ya que

se puede encontrar todo tipo de contaminantes tales como productos químicos,

residuos biológicos, ácidos, tóxicos, metales entre otros.

Estas aguas varían de acuerdo a su composición ya que podemos encontrar aguas de

enjuague casi limpias mientras que otras se encuentran altamente cargadas por

sustancias corrosivas, materia orgánica, sustancias venenosas, explosivas oinflamables.

4.1.2.1.4. Aguas Residuales Urbanas (A.R.U)

A estas aguas también se les conoce con el nombre de “aguas negras”, son

procedentes en su mayoría de las actividades domésticas. Su composición no varía es

siempre constante y entre ellos tenemos a una gran cantidad de materia orgánica,

presencia de gran cantidad de microorganismos, los detritus (heces, orina) y los

residuos domésticos (jabones, detergentes, etc.).

1 (Vázquez Rossainz, 2013). Estudio de Factibilidad para la Construcción de una Planta deTratamiento de Aguas Residuales en la Universidad De Las Ámerica - Puebla, 2013, págs. 10-33.Obtenido en: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lic/vazquez_r_d/capitulo2.pdf



9

4.2. CARACTERÍSTICAS DE LAS AGUAS RESIDUALES.1

4.2.1.

FÍSICO-QUÍMICAS

Su temperatura se encuentra entre 10-20°C, siendo el promedio general de

15°C. Contienen cargas de contaminantes de en materias orgánicas y en materia en

suspensión.

Poseen compuestos como nutrientes nitrógeno (N), fósforo (P), detergentes,

cloruros, etc.

Nitrógeno amoniacal 3-10 gr/hab/día

Nitrógeno total 6.5-13 gr/hab/día

− 4-8 gr/hab/día

Detergente 7-12 gr/hab/día

Tabla 1: Valores de los nutrientes de la carga por habitante y día

Fuente: Metcalf Robert y McGraw-Hill

4.2.1.1.

OLOR

El agua residual tiene un olor desagradable, esto se debe a los gases producidos por la

descomposición de la materia orgánica, pero es más tolerante que el olor de las aguas

residuales sépticas.2

4.2.1.2. COLOR

El color de las aguas residuales suele ser de color gris, pero esto no es siempre ya queal descomponerse los compuestos orgánicos a causa de las bacterias hace que el

1 (Metcalf Y Eddy, INC., 1995). Ingeniería de Aguas Residuales: Tratamiento, Vertido y Reutilización,1995. Capitulo 3.2 (Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003). Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento secundario: el

proceso de lodos activos. (págs. 253-410)



10

oxígeno disuelto se reduzca a cero y el color del agua residual pasara a ser de color

negro (agua séptica).1

COLOR DESCRIPCIÓN

Café claroEl agua lleva 6 horas después de la

descarga.

Gris claro

Aguas que han sufrido algún grado

de descomposición o que han

permanecido un tiempo cortó en lossistemas de recolección.

Gris oscuro o negro

Aguas sépticas que han sufrido una

fuerte descomposición bacteria bajo

condiciones anaeróbicas.

Tabla 2: Descripción de los colores a condición general del agua residual

Fuente: Ron Crites y George Tchobanoglous, “Tratamiento de agua Residuales”, USA 2000

4.2.1.3. SÓLIDOS TOTALES

Los sólidos totales en las aguas residuales se definen como el total de la materia

orgánica que queda como el residuo de la evaporación a una temperatura a 103-

105°C. En su mayoría los sólidos totales provienen del uso doméstico e industrial y

de las aguas subterráneas.

4.2.1.4. TEMPERATURA

1 (Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003). Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento secundario: el




11

Cuando la temperatura aumenta a su vez aumenta la velocidad de las reacciones

químicas junto con la disminución del oxígeno en las aguas residuales. Hay

temperaturas anormales elevadas que pueden dar lugar a un crecimiento de hongos y

plantas acuáticas.

4.2.1.5. DEMANDA BIOQUÍMICA DE OXÍGENO (D.B.O)

Este es el parámetro que se utiliza para las aguas residuales y aguas superficiales a los

cinco días, esta medida nos indica el oxígeno disuelto utilizado por los diversos

microorganismos en el proceso de la oxidación de la materia orgánica.1

4.2.1.6. DEMANDA QUÍMICA DE OXÍGENO (D.Q.B)

Este parámetro se va utilizar para medir la cantidad de materia orgánica en las aguas

naturales y aguas residuales, en comparación con la D.B.O la demanda química de

oxígeno (D.Q.B) es mayor por el número de compuestos que pueden oxidarse

químicamente que biológicamente.

4.2.2.

BIOLÓGICAS

Las aguas residuales contienen numerosos microorganismos algunos de estos son

patógenos y otros no, tales como:

4.2.2.1. Bacterias

Para que las bacterias crezcan en un ambiente apto depende del pH y de latemperatura, pero la gran mayoría de bacterias no toleran el pH por encima de los 9.5

y por debajo de un pH igual a 4. Pero el pH óptimo para las bacterias está entre 6.5y

7.5.

1 (Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003) Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento secundario: el




12

4.2.2.2. Protozoarios

Estos microorganismos son aeróbicos heterótrofos en comparación con las bacterias

estos microorganismos son un grado mayor, esto le da la ventaja de alimentarse de

ellas.

Están presentes en las aguas residuales, son encargados de purificar los efluentes que

están en procesos biológicos de tratamiento de aguas residuales. Pero esto se dará

solo al consumir partículas inorgánicas y bacterias.1

4.2.2.3.

Virus

De todas las estructuras biológicas esta es la más pequeña, este posee la suficiente

información para su reproducción pero necesita de otros seres para poder vivir y en

ocasiones las células huésped se rompen liberando nuevas partículas de virus.

Se encuentran presentes en su gran mayoría en las aguas residuales domésticas

(A.R.D) por lo que es de vital importancia un debido control.2

4.2.2.4. Organismos coliformes y patógenos

Los coliformes son de gran ayuda para el tratamiento de aguas residuales ya que son

de vital importancia para facilitar la destrucción de la materia orgánica, el hombre

puede evacuar 100000 a 400000 millones de coliformes por día.

Los organismos patógenos generalmente son excretados por el hombre, estos

producen diversas enfermedades como diarrea, cólera, fiebre, tifoidea y disentería.

Estos están presentas en las aguas residuales y también en las aguas que están poco

contaminadas, pero son difíciles de aislar.

1 (Metcalf Y Eddy, INC., 1995). Ingeniería de Aguas Residuales: Tratamiento, Vertido y Reutilización. 2 (Metcalf Y Eddy, INC., 1995). Ingeniería de Aguas Residuales: Tratamiento, Vertido y Reutilización.



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4.3. FUENTES DE CONTAMINACIÓN DEL AGUA

La clasificación de las aguas residuales se hace con respecto a su origen ya que este

va a determinar su composición. Las mayores fuentes de contaminación de agua

suelen ser de origen urbano e industriales.

4.3.1.

Aguas residuales urbanas.

Son las aguas que tienen como origen, en su mayoría los diversos hogares de la

población y que son los desechos después de haber realizado diversas actividades.

Las aguas residuales urbanas por lo general demuestran cierta homogeneidad en

cuando a su composición química y carga de contaminantes, ya que casi siempre será

lo mismo.1

4.3.2. Aguas residuales industriales.

Son aquellas que tienen como origen cualquier tipo actividad o negocio en donde para

su producción, transformación o manipulación se utilice el agua. Son enormementevariables en cuanto a su composición y caudal a comparación de otras industrias en

otros rubros como en las del mismo rubro, por lo que suelen ser muy heterogéneas

este tipo de aguas.

Por lo general el caudal de este tipo de aguas puede variar ya que las industrias

emiten los vertidos en ciertas horas o en ciertas temporadas del año, dependiendo de

su producción y proceso industrial.

Las aguas residuales industriales son más contaminadas que la aguas residuales

urbanas, además con una contaminación muchos más difícil de eliminar por lo cual el

tratamiento de estas suelen ser más complicado y casi siempre se requiere un estudio

específico para cada caso.

1 Ron Crites y George Tchobanoglous 2010, “Tratamiento de agua Residuales” cap. 3



14

4.4. TIPOS DE CONTAMINANTES

La contaminación de los cauces naturales se origina por diversas fuentes, las cuales se

pueden generalizar en vertidos urbanos, industriales agroindustriales, químicos,

residuos clínicos, etc. Las sustancias contaminantes que pueden aparecer en agua

residual son muchas y diversas.

4.4.1. Contaminantes orgánicos1

Proteínas: Son de origen básicamente de excretas humanas o de desperdicios

de productos alimentarios. Son biodegradables, bastante inestables y

responsables de malos olores.

Carbohidratos: Este grupo esta constituidos por los azucares, almidones y

fibras celulósicas. Su fuente, al igual que las proteínas, son las excretas y

desperdicios.

Aceites y grasas: Son insolubles en agua debido a su composición química

(una parte polar y una cadena hidrocarbonada apolar), en su mayoría tienen

como raíz los desperdicios de alimentos a excepción de los aceites minerales

que proceden de otras actividades.

4.4.2. Contaminantes inorgánicos

Son de origen mineral y de composición química variada, estas pueden ser sales,

óxidos, ácidos y bases inorgánicas, metales, etc. Aparecen en cualquier tipo de agua

residual, aunque son más caudalosos en los vertidos generados por la industria. Los

componentes inorgánicos de las aguas residuales estarán en función del material

contaminante así como de la propia naturaleza de la fuente contaminante.

4.5.

EFLUENTES DE AGUA RESIDUALES2

Los efluentes de aguas residuales tienen distintas procedencias:

1 (Crites & Tchobanoglous, 2010). Tratamiento de agua Residuales, Cap. 4

2 (Crites & Tchobanoglous, 2010). Tratamiento de agua Residuales, Cap. 4



15

4.5.1. Drenaje Doméstico

Es aquella agua residual que proviene de baños, cocinas, lavados, lavanderías y

sanitarios.

4.5.2. Drenaje Sanitario

Es aquella agua que es desechada por las comunidades, estas pueden provenir de

distintas fuentes.

Estas aguas que son suministradas a las distintas comunidades se les agregan gran

cantidad de materias fecales, restos de alimentos (basura), jabón, papel, detergentes,

suciedad y diversas sustancias. Pero con el tiempo el color de estas aguas vacambiando progresivamente de un color gris a negro, esto es lo que ocasiona un olor

desagradable.

4.6. CONSTITUYENTES DEL AGUA RESIDUAL1

Los constituyentes de aguas residuales está dada por los siguientes porcentajes; el

99,9 % es de agua potable y el 0,1% le corresponde a los sólidos totales y sólidosdisueltos. Para que el agua sea apta nuevamente y reutilizada se tendrá que retirar este

0,1%.

Agua Potable Sólidos Gases

Disueltos

Componentes

Biológicos

99,9%

0,1% (por peso)

Sólidos

Suspendidos

Disueltos

O2

CO2

H2S

Bacterias

Microorganismos

Macroorganismos

1 Ron Crites y George Tchobanoglous 2010, “Tratamiento de agua Residuales” cap. 6



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Coloidales

Sedimentales

N2 Virus

Tabla 3: Porcentaje de los constituyentes de agua residual

4.7. ETAPA DEL PROCESO DE TRATAMIENTO DE LAS AGUAS

RESIDUALES

En lo que respecta al campo de tratamiento de aguas residuales ha habido un

importante crecimiento en el desarrollo tecnológico en lo que a técnicas de tratado

respecta, separándose en 3 áreas: física, química y biológicas. Estas áreas pueden

combinarse para formar sistemas de tratado físico-químico, bioquímico o físico

biológico.1

“Los tratamientos de tipo físico son aquellos en los que predominan la aplicaciones

de fuerzas físicas…”2. Algunos de estos tratamientos pueden ser cribados,

sedimentación, filtración, mezclado y flotación.

Metcalf & Eddy afirman también que los tratamientos químicos son aquellos en los

que al proceso que sigue el tratamiento de las aguas residuales se le deban incorporar

algún producto químico probando en este algún tipo de reacción tales como pueden

ser precipitación, absorción, purificación, transferencia de gases y floculación.

Y en lo que respecta al tratamiento biológico Metcalf & Eddy mencionan que para

este proceso se utilizan diferentes microorganismos tales como bacterias o plantas

donde especialmente se utilizan para remover materia orgánica biodegradable.

No todas las plantas de tratamiento de agua se rigen a un solo tipo de organización,

varía según el lugar en donde se encuentre y sobre todo según la demanda que deseesatisfacer puede darse que su producto sea de CATEGORÍA 1: POBLACIÓN Y

1 (Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003) Tratamiento de aguas residuales. En Caracterización de aguasresiduales indistriales y domésticas. (pags. 27-89) 2 (Metcalf Y Eddy, INC., 2004). Ingeniería de Aguas Residuales: Tratamiento, Vertido y Reutilización,1995.Cap. 9



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RECREACIÓN o CATEGORÍA 3: RIEGO DE VEGETALES Y BEBIDAS DE

ANIMALES.1

Para poder llegar a separar en las diferentes categorías las aguas residuales pasan por

las siguientes etapas: pre tratamiento, tratamiento primario, tratamiento secundario ytratamiento terciario.

4.7.1. Tratamiento primario

El tratamiento primario de aguas residuales se realiza para reducir lo más que se

pueda los sólidos (sedimentables, flotantes o coloidales) de gran tamaño suspendidos

para poder acondicionar las aguas hacia el próximo tratamiento. Mediante

mecanismos como rejas, desmenuzadores, floculación, tanques de remoción de grasas

y aceites, desarenadores, entre otros.

4.7.2. Tratamiento secundario

El tratamiento secundario de aguas residuales engloba a los procesos de filtración

así como tratamiento biológico aeróbicos o anaeróbicos con la finalidad de remover

la materia orgánica que pueda descomponerse (entrar en una fase de putrefacción).

Los métodos usados para este tratamiento pueden ser el de filtración biológica,

lagunas aeróbicas, anaeróbicas y facultativas, zanjas de oxidación, lodos activados,

entre otros.2

4.7.3. Tratamiento terciario

El tratamiento terciario de aguas residuales también se le conoce como tratamientoavanzado pues depende de este proceso para poder alcanzar parcialmente la calidad

que se desee obtener para el producto final, se considera parcial puesto que aún no

1 Estándar Nacional de Calidad Ambiental para Agua DECRETO SUPREMO N° 002-2008-MINAM2 (Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003). Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento secundario: el




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han sido eliminado los metales pesados o sustancias toxicas, para eso se debe

implementar un tratamiento de detoxificación adicional a los ya mencionados. Para

este tratamiento se utilizan los métodos de adsorción en carbono activo, intercambio

iónico, osmosis inversa, electrodiálisis, entre otros. 1

PLANTA DE RECUPERACIÓN DE AGUAS DEL RIO SURCO

4.8. RÍO SURCO

El Río Surco nace en el margen izquierdo del Río Rímac en Ate Vitarte y desemboca

en el Océano Pacífico en el Litoral perteneciente a Villa Chorrillos.

4.8.1. Recuperación del Río Surco

“El rio Surco tiene altos niveles de contaminación doméstica y de basura, antes

alimentaba un canal de regadío, poniendo en riesgo la salud de la población que

accedía a los parques y jardines del distrito.”

La municipalidad del distrito ordeno la construcción de la Planta de Recuperación delas aguas del Río Surco, para el tratamiento y descontaminación de sus aguas. 2

4.9. ETAPAS DEL PROCESO DE RECUPERACIÓN DEL AGUA

4.9.1. PRIMERA ETAPA

4.9.1.1. CAPTACIÓN

1 (Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003) Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento y evacuación de

lodos. (págs. 531-584) 2 (Torres, 2011). Planta de recuperación de aguas del Rio Surco. Obtenido dehttp://equipoindustrial.blogspot.com/2011/11/planta-de-recuperacion-de-las-aguas-del.html



19

Las aguas residuales que entran a la plana contienen materiales que pueden atascar o

dañar las bombas. Estos se eliminan por medio de enrejados o barras verticales que

permiten retirar las partículas gruesas y finas. En la cámara de rejas se tiene una malla

de 3/8” con inclinación de 60°, que se encuentra fija y otra movible para la limpieza.

Figura 1: Reja de captación de la Planta de recuperación de aguas del Río Surco

Fuente: Kelvin Gutiérrez

4.9.1.2. CÁMARA DE BOMBEO

Un pozo profundo que tiene un tubo de bomba de 2” de diámetro acanalado con

alambre tejido, una malla especial para atrapar sedimento fino. Tiene una plataforma

de bombeo donde se asientan dos bombas, que trabajan controladas por un tablero de

alternancia. 1

4.9.1.3.

DESARENADOR

Es una estructura diseñada para las partículas que no se hayan quedado retenidas en el

desbaste, y que tienen un tamaño superior a 200µ, sobre todo arenas pero también

otras sustancias como cáscaras, semillas, etc. Con este proceso se consiguen proteger

los equipos de procesos posteriores ante la abrasión, atascos y sobrecargas.

1 Ing. Torres Zelada, Betsy, Planta de recuperación de aguas del rio surco 2011.



20

Figura 2: Desarenador


4.9.1.4. BOCATOMA

Es una estructura hidráulica que está destinada a emanar una cantidad considerable

del agua que esta tiene disponible, para que la misma sea utilizada para una finalidad

específica. Por ejemplo abastecimiento de agua potable, riego, etc.

4.9.2. SEGUNDA ETAPA

4.9.2.1.

CALERA

Contiene una solución Hidróxido de Calcio Ca(OH)2 que se inyecta al agua para

aumentar su pH y Sulfato de Aluminio para que pueda entrar al floculador decantador

Al2(SO4)31

1 Ing. Torres Zelada, Betsy, Planta de recuperación de aguas del rio surco 2011.



21

Figura 3: Insumos utilizados en las aguas tratadas, previo paso al floculador decantador


4.9.2.2. FLOCULADOR DECANTADOR

Realiza el proceso de floculación para que las partículas de menor tamaño puedan

sedimentarse por efecto de la adición del sulfato de aluminio.

La floculación es la aglomeración de partículas desestabilizadas en microflóculos y

después en los flóculos más grandes que tienden a depositarse en el fondo de los

recipientes construidos para este fin, denominados sedimentadores.

La solución floculante más adaptada a la naturaleza de las materias en suspensión con

el fin de conseguir aguas decantadas limpias y la formación de lodos espesos se

determina por prueba, ya sea en laboratorio o en el campo. 1

1 (Vargas, 2015). Floculación (págs. 265-303)



22

Figura 4: Filtros N° 1 y N°2, y tanque de floculación

Fuente: www.porlascallesdelima.com

4.9.2.3. FILTROS

Contiene grava y arena para retener las últimas partículas.1

Figura 5: Filtros N° 1 y N°2, con grava y arena respectivamente


1FRESNO, Valves & Casting, http://www.fresnovalves.com/pdf/Media%20Book%20Spanish.pdf



23

MARCO TEÓRICO MATEMÁTICO

4.10. INTEGRALES MÚLTIPLES

Se denominan integrales múltiples a la integral de dos variables f(x,y) sobre unaregión en el plano, y a la integral de tres variables f(x,y,z) sobre una región en el

espacio, dichas integrales se definen como el límite de las sumas de Riemann, estas

integrales múltiples las podemos usar para calcular el volumen de sólidos con

fronteras curvas.1

Considérese una función continua f tal que , ≥ 0 para todo (x,y) en una región

R del plano xy, dada una superficie , . Como se muestra en la

z, los rectángulos que se encuentran dentro de R forman una partición interior ∆,cuya norma ‖∆‖ está definida como la longitud de la diagonal más larga de los n

rectángulos. Después se elige un punto f(x,y) en cada rectángulo y se forma el prisma

rectangular cuya altura es f(x,y),

. Como el área del i-ésimo rectángulo es ∆, se sigue que el volumen del prisma es

, ∆, y el volumen de la región solida se puede aproximar por la suma de

Riemann de los volúmenes de los n prismas. Figura 8: Volumen aproximado por

prismas.2

1 (Thomas & George, 2006). Cálculos varios variables, undécima edición. Integración múltiple. p.1067.2 (Larson & Edwards, 2010). Cálculo 2 de varias variables, novena edición. Integración múltiple. p.992.

Figura 7: Prisma con área ∆ y altura , .

: Larson & Edwards, 2010 Figura 6: Superficie , . : Larson & Edwards, 2010



24

Figura 8: Volumen aproximado por prismas.

Fuente: (Larson & Edwards, 2010).

4.10.1.

Integrales dobles

Si f está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral

doble de f sobre R está dada por

∬ , lim‖∆‖→ ∑ , ∆

=

Ecuación 1: Definición Integral Doble.1

siempre que el límite exista. Si existe el límite, entonces f es integrable sobre R.

4.10.1.1. Volumen de una región sólida con integral doble

Si f es integrable sobre una región plana R y , ≥ 0 para todo (x,y)

entonces el volumen de la región sólida se encuentra sobre R y bajo la gráfica de f se

define como

∬,

Ecuación 2: Volumen región sólida.1

1 y 2 (Larson & Edwards, 2010). Cálculo 2 de varias variables, novena edición. Integración múltiple. p.994.



25

4.10.2. Integrales triples

El procedimiento es similar a la integral doble. Considerar una función f(x,y,z), que es

continua acotada sobre una región sólida Q, a esta región Q se encierra por una red de

cubos y se forma una partición interna que consta de todos los cubos que quedan en

Q, como se muestra en la figura. Quedando como notación para el volumen de i-

ésimo cubo como

∆ ∆∆∇

Ecuación 3: Volumen del i-ésimo cubo.2

Figura 9: Región sólida Q. 3

Luego, se elige un punto ( , , ), en cada cubo, y se forma la suma de Riemann

(Ecuación 4: Suma de Riemann para el volumen4). La norma ‖∆‖ de la partición es lalongitud de la diagonal más larga de los n cubos dentro de Q.

1, 2 y 3 (Larson & Edwards, 2010). Cálculo 2 de varias variables, novena edición. Integrales triples yaplicaciones. p. 1027.



26

Figura 10: Volumen de Q, por sumatoria de cubos. 3

∑ , , ∆

=

Ecuación 4: Suma de Riemann para el volumen.1

Cuando el límite de ‖∆‖ → 0 se llega a la siguiente definición:

Si f es continua sobre una región sólida acotada Q, entonces la integral triple se define

como:

∭ ,, lim‖∆‖→ ∑ , , ∆

=

Ecuación 5: Definición de integral triple.2

Será válida esta definición, siempre y cuando el límite exista. El volumen de la región Q está

dado por:

∭

Ecuación 6: Volumen del sólido Q.3

4.10.3. Reducción de integrales triples a integrales iteradas.

1 , 2 y 3 (Larson & Edwards, 2010). Cálculo 2 de varias variables, novena edición. Integrales triples yaplicaciones. p. 1027. 4 (Larson & Edwards, 2010). Cálculo 2 de varias variables, novena edición. Integrales triples yaplicaciones. p. 1028.



27

Considerando a la función ,,, sea f continua, en una región sólida definida por Q

≤ ≤ ℎ ≤ ≤ ℎ , ≤ ≤ ,

Donde ℎ, ℎ, , son funciones. Entonces se tiene

∭ ,, ∫ ∫ ∫ ,,,,

Ecuación 7: Evaluación mediante integrales iteradas.4

4.10.4. Hiperboloide.

Se obtiene, luego de completar cuadrados, tres términos de segundo grado con doscoeficientes del mismo signo y uno distinto igualado a la unidad, generando la

ecuación típica general

101 ; siendo ,, ≠ 0

Ecuación 8: Ecuación cartesiana de un hiperboloide.1

4.10.4.1.

Hiperboloide de una hoja.El hiperboloide de una hoja (hiperboloide hiperbólico) es simétrico respecto a cada

uno de sus planos coordenados, se representa por la siguiente ecuación

1

Ecuación 9: Ecuación cartesiana de hiperboloide de una hoja.2

4.10.4.2. Grafica de la ecuación de un hiperboloide.

1 Universidad de Sevilla. Escuela Superior de Ingenieros. Departamento de Matemática Aplica II.Matemática I: 2010-2011. Tema: Cónicas y Cuadráticas. Edición electrónica enhttp://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1285246626_1262616935.pdf 2 (Thomas & George, 2006). Calculo varias variables, undécima edición. Capítulo 12: Los vectores y lageometría del espacio. pág. 894.



28

Tomando como ejemplo la siguiente ecuación cartesiana (Ecuación 9: Ecuación

cartesiana de hiperboloide de una hoja.), que pertenece a un hiperboloide de una hoja,

nos limitaremos a seguir los siguientes pasos.

4.10.4.3.

Intersección con los ejes coordenados.1

a) Intersección con el eje X. De la ecuación

1

Se hace 0, obteniéndose 1 ⟹ ⟹ ±

Entonces los puntos de intersección son ,0,0y ,0,0. b) Intersección con el eje Y. De la ecuación

1

Se hace

0, obteniéndose

1 ⟹

⟹ ±

Entonces los puntos de intersección son 0,,0y 0,,0.

c) Intersección con el eje Z. De la ecuación

1

Se hace 0, obteniéndose 1 ⟹ ⟹ √

Esta ecuación no tienes solución real, entonces la superficie no intercepta con el

eje Z. 4.10.4.4. Trazas sobre los planos coordenados.

Son las curvas que se obtienen cuando se intersecan cada plano coordenado con la

ecuación de la superficie. Utilizando para cada caso la ecuación del hiperboloide

(Ecuación 9: Ecuación cartesiana de hiperboloide de una hoja.), se tiene:

a) Intersección con el plano XY, cuando .

Dada la ecuación

1, con 0, se obtiene

1

1 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata. Estudio del hiperboloide de una hoja.pág. 66-67. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf



29

Si ≠ , la gráfica de la intersección con el plano cartesiano XY será una

elipse.1

Si

, la gráfica de la intersección con el plano cartesiano XY será una

circunferencia de .2

Figura 11: Gráfica de la traza en el plano XY.

Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pág. 67).

b) Intersección con el plano XZ, cuando .3

Dada la ecuación


1

La gráfica obtenida de la intersección con el plano XZ, cuando 0, es una

hipérbola con eje focal en el eje X y centro en el origen de coordenadas.

1 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata. Estudio del hiperboloide de una hoja.pág. 67 Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf 2 (Lázaro, 2009). Análisis Matemático III. Las Superficies. pág. 30.3 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una

hoja. pág. 68. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf

Z



30

Figura 12: Gráfica de la hipérbola en el plano XZ


c) Intersección con el plano YZ, cuando .1

Dada la ecuación


1

La gráfica obtenida de la intersección con el plano YZ, cuando 0, es una

hipérbola con eje focal en el eje Y, y centro en el origen de coordenadas.

Figura 13: Gráfica de la hipérbola en el plano YZ


Finalmente, el resultado de las tres intersecciones se obtiene en la figura

1 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una




31

Figura 14: Hiperboloide de una hoja.

Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pág. 68) .

4.10.4.5. Simetrías con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al

origen.

A. Respecto a los planos coordenados.1 2

a) Simetría respecto al plano XY.

Tomando como referencia la Ecuación 9: Ecuación cartesiana de hiperboloide de

una hoja., cambiamos el signo de la variable

por

1

1

Como la ecuación de la superficie no varía, afirmamos que existe simetría en el

plano XY.

b) Simetría respecto al plano XZ.

1 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una

hoja. pág. 65. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf 2 Lázaro, M. (2009). Análisis Matemático III. Superficies, pág. 30



32

De la misma ecuación de referencia (Ecuación 9), cambiamos el signo de la

variable por

1

1


plano XZ.

c) Simetría respecto al plano YZ.

Realizamos el mismo procedimiento, en la misma ecuación de referencia

(Ecuación 9), cambiando el signo de la variable por

1

1


plano YZ.

B.

Respecto a los ejes X, Y y Z.12

A partir de la ecuación de inicial de referencia (Ecuación 9), tenemos:

a) Simetría respecto al eje X.

Cambiamos el signo de las variables ,, por ,

1

1

1 Lázaro, M. (2009). Análisis Matemático III. Superficies, pág. 30-31.2 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una

hoja. pág. 65-66. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf



33

La ecuación de la superficie no se altera, entonces se afirma que existe simetría

en el eje X.

b) Simetría respecto al eje Y.


1

1

La ecuación de la superficie no varía, entonces se afirma que existe simetría en

el eje Y.

c) Simetría respecto al eje Z.


1

1

La ecuación de la superficie no varía, entonces se afirma que existe simetría en

el eje Z.

C. Respecto al origen

Al igual que los casos anteriores, cambiamos el signo de las variables, , por ,,, reemplazando en la Ecuación 9

1

1

La ecuación de la superficie no varía, entonces se afirma que existe simetría

respecto al origen.



34

4.10.4.6. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados1 2

a) Sobre el plano XY. Se hace

, en la ecuación inicial de referencia

(Ecuación 9).

1

⟹

1

Se obtiene

() ( ) 1

; ∈ ℝ3

Si ≠ , para cada valor de k independientemente de su signo, la intersección

sobre cualquier plano XY su gráfica será una elipse quién amentará la medida

de sus semiejes a medida que || aumenta. Formando una familia de hipérbolas

contenida en el plano . (Universidad Tecnológica Nacional. Facultad

Regional La Plata, 2015)

Si

, para cada valor de k independientemente de su signo, la intersección

sobre cualquier plano XY su gráfica será una circunferencia de ,

el valor de su radio aumentará a medida que || aumenta formándose una

familia de circunferencias en el eje Z (Lázaro, 2009).

1 Lázaro, M. (2009). Análisis Matemático III. Superficies, pág. 312 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una

hoja. pág. 69. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf 3 Lázaro, M. (2009). Análisis Matemático III. Superficies, pág. 31



35

Figura 15: Superficie sobre el plano XY.

Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pág. 69)

b) Sobre el plano XZ. Se hace , en la ecuación inicial de referencia

(Ecuación 9).

1

⟹ 1

Se obtiene

(1 ) (1 ) 1

; ∈ ℝ1

Para cada valor de , independiente de su signo; se obtiene como intersección

una hipérbola en el eje Y. Formando una familia de hipérbolas contenida en el

plano . 2

1 Lázaro, M. (2009). Análisis Matemático III. Superficies, pág. 312 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una




36

Figura 16: Hipérbola sobre el plano XZ.

Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pág. 72)

c) Sobre el plano YZ. Se hace , en la ecuación inicial de referencia

(Ecuación 9).

1

⟹

1

Se obtiene (1 ) (1 ) 1 ; ∈ ℝ1

Para cada valor de , independiente de su signo; se obtiene como intersección

una hipérbola en el eje X. Formando una familia de hipérbolas contenida en el

plano

.

Gráfica de la Ecuación 9: Ecuación cartesiana de hiperboloide de una hoja.

1 Lázaro, M. (2009). Análisis Matemático III. Superficies, pág. 31



37

Figura 17: Hiperboloide de una hoja. 1

4.10.4.7. Hiperboloide de dos hojas (hiperboloide elíptico).

1

Ecuación 10: Ecuación de Hiperboloide de dos hojas.

También es simétrico, con respecto a los tres planos coordenados. El plano

z=0 no corta a la superficie, si deseamos que un plano horizontal corte al

hiperboloide demos considerar que || ≥ . Las secciones transversales son

0 ;

1

1 (Thomas & George, 2006). Calculo varias variables, undécima edición. Capítulo 12: Los vectores y lageometría del espacio. Página 894.

Para la hipérbola 22 22 1

Para la hipérbola 22 22 1

La elipse 2

2 2

2 2

La elipse 22 22 1



38

0 ;

1.

Con vértices y focos en el eje z; queda dividido en dos partes, una por arriba del plano

y otra por debajo del plano

. Los planos perpendiculares al eje

por

encima y debajo de los vértices cortarán al hiperboloide en elipses; mientras, que los planos paralelos al eje z cortarán formando hipérbolas. 1

Figura 18: Hiperboloide de dos hojas

Fuente: (Cálculo. Una variable. Undécima edición., 2006, pág. 894) .

4.10.5. Tipos de coordenadas

4.10.5.1.

Coordenadas rectangulares

Este también es llamado sistema cartesiano (en conmemoración de René Descartes),

este sistema de referencia se forma por el corte perpendicular de dos rectas en un

punto que sería el origen. El corte de estas rectar divide en 4 secciones al plano cuales

van a determinar el cuadrante. Este punto de dos rectas que se cruzan se llama origen.

La recta horizontal la llamamos eje de las abscisas o el eje de X y a la recta vertical la

llamamos eje de las ordenadas o eje Y.2

4.10.5.2.

Coordenadas cilíndricas

1 (Thomas & George, 2006) Calculo varias variables, undécima edición. Capítulo 12: Los vectores y lageometría del espacio. Página 894.2 (Slideshare, 2015) http://es.slideshare.net/orckas/coordenadas-rectangulares-y-polares



39

Es utilizado para poder representar algunos puntos de un espacio euclidiano, se

refiere a un cierto espacio vectorial normado este es abstracto con normas de Euclides

es utilizado por muchas personas en matemática avanzada que tal vez pueda estar

compuesta en múltiples dimensiones, este sería tridimensional.

4.10.5.3. Coordenadas esféricas

Este sistema de coordenadas esféricas al igual que las coordenadas cilíndricas,

también se utiliza en espacios euclidianos tridimensionales. Este está constituido por

tres ejes estos se encuentran mutuamente perpendiculares y se cortan en el origen. La

primera coordenada mide la distancia entre un cierto punto y el origen. El ángulo que

se debe girar para poder tener la posición que tiene el punto, es determinado por las

otras dos coordenadas.

4.10.5.4. Jacobiano

Se llama jacobiano o matriz jacobiana, este nombre es en honor al matemático Carl

Gustav Jacobi. La matriz jacobiana esta es formada por derivadas parciales de primer

orden de una función. Se puede aplicar para aproximar linealmente a la función en un

punto.

4.10.6. Circunferencia

Figura 19: Matriz jacobiana



41

Figura 20: Circunferencia

5. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

5.1. TOMA DE DATOS.

Para esta toma de datos se tomó como referencia los ejes Z y X, siendo el eje X la base y Z la altura.

Por el lado del X+ obtenemos la siguiente gráfica



42

z x

0 4.761 3.9605

1.5 3.6507

2 3.401

2.5 3.2123 3.0815

3.5 3.0117

3.7 34 3.002

4.5 3.0522

5 3.1625

5.5 3.3327

6 3.563

6.5 3.8532

7 4.20357.5 4.6137

8 5.0848.4 5.58.5 5.6142

Y paraX−, tenemos

z x

0 -4.76

1 -3.9605

1.5 -3.6507

2 -3.401

2.5 -3.212

3 -3.0815

3.5 -3.0117

3.7 -3

4 -3.002

4.5 -3.0522

5 -3.1625

5.5 -3.3327

6 -3.563

6.5 -3.8532

7 -4.2035

7.5 -4.6137

8 -5.0848.4 -5.58.5 -5.6142

x = 0.12z2 - 0.9193z + 4.7598

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10

y

x = -0.12z2 + 0.9193z - 4.7598

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y

Figura 21: Gráfica de datos para X+

Figura 22: Gráfica de datos para X-



43

6. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

6.1. APLICACIÓN DE MÉTODOS MATEMÁTICOS

Sea la función del hiperboloide, de una hoja, el cual se desea calcular el volumen:

9

9 9 1

Ecuación 13: Ecuación del hiperboloide a calcular el volumen.

Despejamos:

9 … 1

Pasamos las coordenadas rectangulares a polares para 0

Figura 23: Representación geométrica de la circunferencia

formada en el origen de las coordenadas

Los límites para la integración del radio a ejecutar desde el eje z a la superficie delhiperboloide estarán dados por la función .

Dado que la función del radio no depende de la dirección, la integración con

respecto al ángulo se ejecutará a todo el camino alrededor del eje z 0 < < 2 .

Y el límite con respecto a la altura estará dada por < 0 < .

.

.

Reemplazando en (1)

9

. . 9

9

Por lo que la función del radio será:

9

9



44

2 ∫ ∫ ∫

En nuestro ejercicio necesitamos hallar solo la mitad del volumen puesto quetenemos diferentes alturas y sabemos que un paraboloide es simétrico partiendo

del origen.

Para . ∫ ∫ ∫ √ +

.

∫ ∫ ∫ .

.

∫ ∫ 2 ..

.

∫ ∫ 11.3288

.

∫ 11.3288. .

∫ 22.6576 .

22.6576 .

263.3695

Figura 24: Volumen



45

. ∫ ∫ ∫ √ +

.

∫ ∫ ∫ . .

∫ ∫ 2 ..

.

∫ ∫ 15.545

.

∫ 15.545. .

∫ 31.09 .

31.09 4.700

459.0589

7. RESULTADOS

El volumen total del hiperboloide será

; esto será

263.3695 459.0589

722.4284



46

VERIFICANDO RESULTADOS:

CASIO ClassPad II (fx-CP400)

Figura 25: Resultado de volumen con CASIO ClassPad II (fx-CP400)



47

Microsoft Mathematics 4.0

Figura 26: Resultado de volumen , con Microsoft Mathematics 4.0



48

Wolfram|Alpha (Para Z = 3.7)

Figura 27: Resultado de volumen con Wolfram|Alpha.

Wolfram|Alpha (Para Z = 4.7)

Figura 28: Resultado de volumen con Wolfram|Alpha.



49

Diseño en Autodesk AutoCAD 2016

Figura 29: Resultado de Autodesk AutoCAD 2016.

Ampliamos la imagen:

Figura 30: Resultado de Autodesk AutoCAD 2016.

8. CONCLUSIONES

De acuerdo a los cálculos matemáticos, se verifica que el nuevo tanque

propuesto contiene mayor capacidad volumétrica para almacenamiento de

agua tratada diferencia del tanque cilíndrico, la cual cumple para la posterior



50

distribución del recurso hídrico a los distritos aledaños que requieran de este

servicio.

En nuestra carrera ingeniería ambiental las integrales dobles y triples tienen

diversas maneras de ser aplicadas, pero en este proyecto en especial nos

pueden ser muy útiles en la parte de diseño como hemos podido apreciar, fue

utilizado para la mejorar el contenedor de agua de una planta de tratamiento

de agua.

La aplicación de programas de software matemático resulto ser muy esencial

para la identificación de gráficas en el cálculo de volúmenes.

9. BIBLIOGRAFÍA

Crites, R., & Tchobanoglous, G. (2010). Tratamiento de agua Residuales. MCGraw Hill.

Larson, R., & Edwards, B. H. (2010). Cálculo de una variable. Novenaedición. Volumen 1. México, D.F.: McGRAW-HILL/INTERAMERICANAEDITORES, S.A. DE C.V.

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51

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is.pdf Vázquez Rossainz, D. (2013). Estudio de Factibilidad para la Construcción

de una Planta de Tratamiento de Aguas Residuales en la Universidad De Las Ámerica - Puebla. Cholula, Puebla, México: Universidad de las AméricasPuebla.



52

10. ANEXOS.

Ilustración 1: Plano del Tanque de Floculación actual (cilíndrico)



53

Ilustración 2: Plano del Tanque de Floculación actual (hiperboloide)



54

Ilustración 3: Gráfico del hiperboloide de una hoja en Winplot



55

Foto 1: Maqueta del proyecto. Construido a escala 1/100.

Fuente: Jhonatan Juipa

Foto 2: Maqueta del proyecto. Construido a escala 1/100.

Fuente: Jhonatan Juipa.



56

Foto 3: Corte vertical del tanque de flucolación en la maqueta del proyecto. Construido a escala 1/100.Fuente: Jhonatan Juipa

Foto 4: Corte vertical del tanque de flucolación en la maqueta del proyecto. Construido a escala 1/100.Fuente: Jhonatan Juipa



CUADRO DE DISTRIBUCIÓN DE TRABAJO

GutiérrezGradosKelvin

HanampaMaquera

Grese

HoyosTrujilloMichelle

HuingoVargasJorge

JuipaSánchezJhonatan

Portada XDedicatoria X X X X X

Introducción XObjetivos X X X

Justificación XFundamento teórico:

aguas residuales X X

Fundamento teórico:marco matemático

X X

Toma de datos X X

Solución del problema XResultados XConclusiones X X X X X

Anexos X X XElaboración de

maquetaX X X X X

Villa El Salvador (Lima, Perú), agosto del 2015.

proyecto mate 3 final 1 1

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