CAPITULO I

Facilitar el acceso de líquido vital mediante la construcción de una cisterna para las

personas y familias que habitan en zonas de difícil acceso y requieren el debido

abastecimiento en ciertas poblaciones del ecuador.

Como se sabe no todas las poblaciones del ecuador son de fácil acceso, hay poblaciones

que quedan en montañas selvas o bosques donde no proceden un sistema el cual los provea

de agua potable y las familias que ahí habitan requieren abastecerse de líquido vital de

diversas maneras ya sea en tanques, baldes, tinas de agua, o simplemente de la mejor

manera la cual ellos posean, tomando en cuenta que no son métodos correctos para su

obtención y simplemente se podría desarrollar un sin nu7mero de enfermedades y virus los

cuales afectarían no solo a la personas si no a la población donde ellos habitan.

Las causas que generan el problema de obtención de agua en algunas poblaciones del

ecuador se viene suscitando de diversas maneras las cuales podrían ser, la ubicación

geográfica de estas poblaciones, la difícil construcción de un sistema adecuado de tuberías

o simplemente el escaso recurso monetario del gobierno el cual no soluciona estos

problemas para con la comunidad.

Es por eso que se presenta un estudio el de uno de varios métodos por el cual sería más

fácil la obtención y la adecuada utilización del líquido vital para esas personas sin embargo

aunque la solución es muy optima siempre se requerirá la inclusión del valor monetario el

cual mediante este proyecto será optimizado para observar y analizar las dimensiones de la

cisterna de agua para que el costo de la construcción sea el más adecuado.

Se realizara un análisis de acuerdo a la cantidad de agua que el ser humano necesita ingerir

en el día y se procederá a desarrollar en diferentes ámbitos como un problema a nivel

familiar, de esta manera se podara saber cuánto es la cantidad mínima de líquido vital que

la persona o la familia debe almacenar y con estos datos se procederá a desarrollar la

construcción de la cisterna de agua.

- 4 -

OBJETIVOS

Objetivo General

Aplicar los temas de cálculo diferencial y optimización para realizar un estudio acerca de

la construcción de una cisterna de agua que ayudara a almacenar el líquido vital y facilitara

el acceso al mismo para las personas y familias que habitan en zonas de difícil acceso y

requieren el debido abastecimiento en ciertas poblaciones del ecuador.

Objetivos Específicos

Analizar diferentes métodos de construcción de la cisterna de agua.

Aplicar los conocimientos adquiridos sobre el tema en cuestión.

Ejecutar un método adecuado para la explicación del problema.

- 5 -

JUSTIFICACIÓN

Durante los últimos meses se ha venido ejecutando la enseñanza de temas trascendentales y

de suma importancia en la matemática y a su vez adoptando el respectivo aprendizaje de

dichas teorías para la formación de los estudiantes de arquitectura.

Uno de estos temas el cual conlleva una amplia teoría la cual nos ayudara a resolver

problemas por medio de otros métodos es el Cálculo diferencial, el cual con un desenlace

en la Optimización, habrán de analizar cuestionar y solucionar el problema planteado

acerca de la creación o construcción de la cisterna de agua. Las prácticas y ejercicios,

como ninguna otra forma de enseñanza, permiten explotar mucho más las potencialidades

de los alumnos y del propio proceso de enseñanza-aprendizaje, para lograr una mayor

aproximación al modo de actuación profesional, de acuerdo a los objetivos previstos, se

procederá al desarrollo del proyecto con los conocimientos adquiridos para el análisis en

cuestión y se procederá a una extensa investigación, de manera que se obtengan los

resultados esperados y se pueda profundizar en los estudiantes conocimientos, dudas, y

actitudes.

La matemática es una ciencia formal la cual se define como un proceso que estudia las

propiedades y relaciones entre entidades abstractas como números, figuras geométricas o

símbolos, y como tal, los ejercicios matemáticos juegan un papel importante en el

desarrollo del estudiante. Las prácticas y talleres son uno de los ejes principales en su

estudio, en el proceso enseñanza – aprendizaje, también con la utilización de la tecnología.

Apoyándose en el método científico, el cual toma en cuenta los siguientes aspectos: la

observación y la inducción, enlistándose de acuerdo a los contenidos necesarios y

adoptados en la enseñanza del primer semestre que ayudará afianzar los contenidos

propuestos por el docente.

La experimentación se enfocara en el primer semestre, en matemáticas, con las siguientes

temáticas:

Calculo diferencial.

Optimización.

6

CAPITULO II

MARCO REFERENCIAL

MARCO TEÓRICO

¿Cuantos litros de agua debe ingerir el ser humano al día?

El agua es esencial para el ser humano. Más de un 70% de nuestro cuerpo está formado por

H2O y debe ser repuesta continuamente, pues nuestra propia actividad vital consume gran

parte de esta reserva. Entonces, ¿cuántos litros de agua debemos ingerir cada día para estar

sanos?

La cantidad varía esencialmente en función de la edad y el sexo.

Por ejemplo, según los datos proporcionados durante el III congreso Nacional de

Hidratación, los niños de entre 9 y 13 años deben consumir unos 2,1 litros diarios, mientras

que las niñas deben tomar, al menos unos 1,9 litros. En el caso de los adultos la cantidad

también varía según el sexo. Mientras que las mujeres deben tomar alrededor de 2 litros

diarios, en el caso de los hombres esta cantidad aumenta hasta los 2,5 litros. Eso sí, en caso

de que la mujer esté embarazada o en periodo de lactancia deben consumir 0,3 litros y 0,7

litros más respectivamente.

Pero al hablar de ingesta de agua no se trata únicamente de agua propiamente dicha, sino de

cualquier líquido que contenga agua o incluso del H2O que tomamos a través de la comida.

De hecho se recomienda que un 75% - 80% de líquido provenga de las bebidas y un 20% -

25% sea a través de los alimentos.

Las consecuencias de la deshidratación, sobre todo en periodos de mucho calor, pueden ser

nefastas para nuestro cuerpo. Como apuntan desde la Fundación para la Investigación

Nutricional, la pérdida de más del 2% de agua en el cuerpo puede provocar disminución de

la memoria a corto plazo, descenso del rendimiento físico e incluso dolor de cabeza y

fatiga.

7

¿Qué es un pie cubico y cuantos litros contienes?

El pie cúbico es una unidad de volumen, equivalente al volumen de un cubo de un pie de

lado.

1 pie cúbico equivale a:

1 728 pulgadas cúbicas

0,037037037037037 yardas cúbicas

0,00002295684113865932 acre-pies

0,000000000006793572780143 millas cúbicas

exactamente 28 316,846592 mililitros o centímetros cúbicos

exactamente 28,316846592 litros o decímetros cúbicos

exactamente 0,028316846592 kilolitros o metros cúbicos

Como diseñar una cisterna:

Se calcula el número de personas que habitaran la vivienda.

Se calcula tanto la demanda por día (d/d) como la reserva (r) para conocer la

capacidad mínima de la cisterna.

Con los valores obtenidos en los dos puntos anteriores y de acuerdo a las

características del terreno, se diseña la cisterna definiendo sus valores en cuanto a

profundidad, largo y ancho.

Con el valor calculado de la capacidad de la cisterna se diseña esta, indicando medidas

interiores y tomando en cuenta el piso y muros de concreto reforzado, sin olvidar que para

cisternas de poco volumen y como consecuencias de profundidades que no rebasen los 2.0

m ni sean menores de 1.60 m de altura interior; la altura del agua en su máximo llenado no

debe de rebasar las 3/4 partes.

Considerando que no se tiene problema con la dureza del terreno ni con los niveles

freáticos y tomando en cuenta el reducido volumen requerido, se dará para este caso un

valor a la altura total interior de la cisterna de H=1.60 m para la mayoría de los casos.

8

Hay muchas cosas que se deben considerar, atención a las siguientes

recomendaciones:

Capacidad: Depende del gasto diario promedio y de cuanta reserva se desea tener

en el caso de que el suministro se suspendiera. Por ejemplo, para una casa

habitación de 5 habitantes podemos considerar un gasto diario de un metro cúbico y

necesitaríamos una cisterna de 30 m3 si queremos reservas para un mes.

Ubicación: Si es posible, no construirla totalmente bajo el nivel del suelo. Pero no

tan arriba que se afecte demasiado la presión con que llega de la calle para llenarla y

además se reduce la distancia a un tanque elevado al que haya que bombearla. Esto

también facilita su limpieza, ya que en el fondo se debe colocar una salida

(mediante una válvula) para que periódicamente se desagüe hacia el drenaje, pero

no tan directamente para evitar una contaminación, al piso habrá que darle una

inclinación hacia la salida de un 2% como mínimo.

Material: Preferiblemente que sea de concreto reforzado, así se denomina al

concreto cuando se le coloca acero de refuerzo. Si es posible cuando se esté

preparando agregar al concreto un aditivo impermeabilizante.

Acceso: Dejar en la parte superior un acceso por el que se pueda entrar a hacerle

limpieza. Esa entrada deberá tener una tapa muy segura (con candado) para evitar

que algún menor se meta y ocurra un accidente.

Cierre automático: Mediante una válvula con flotador se consigue que la entrada

del agua se cierre cuando ha llegado a una determinada altura en la cisterna.

La fabricación:

La deben hacer personas con conocimientos en el área.

Se requiere tener mucho cuidado a la hora de empezar a rellenar.

Una buena cisterna demanda tiempo, es preferible construirla de hormigón.

No se recomienda colocar cerámica en lo que servirá como piso, ya que este

material es más propenso a recibir hongos, y aunque se le dé una buena limpieza la

bacteria se reproduce rápidamente.

Construir la cisterna con cemento de calidad para evitar que se cuarteen las paredes.

9

Nunca deje niños cerca de una cisterna abierta, para evitar alguna desgracia.

Debe cerrar la cisterna con una tapa hermética e instalar una bomba de agua.

Constantemente debe limpiar su fondo manualmente para evitar que se ensucie.

Procedimiento de construcción de la cisterna:

Colocar o bañar con una lechada dentro de las paredes de la cisterna.

Para el cálculo de bloques que se necesita puedes revisar este artículo: Cálculo de

bloques y mortero en paredes

Para aplicar el repello siempre se tirará la mezcla fuerte con la cuchara para

asegurar que se pegue bien.

Tenemos que asegurarnos que las paredes estén a plomo.

Aplicar siempre varias capas delgadas de repello hasta llegar a un espesor de

aproximadamente 2 cm; no es recomendable aplicar una capa gruesa ya que esta

capa se caerá debida a su peso en muy poco tiempo, causando grietas rápidamente.

El repello se aplicara comenzando de abajo hacia arriba.

Después de aplicar la última capa de repellado se pasa la regla de madera apoyada

en posición vertical para tener un mejor nivelado en las paredes de la cisterna.

La regla se pasara después de aplicar la última capa de repellado sin dejar pasar

tiempo para que la capa no se endurezca.

MARCO REFERENCIAL

CÁLCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de

cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio

en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de

diferencial de una función.

10

El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en

concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho

cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial

se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal

herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia

claramente del álgebra.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una

función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme

un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una

tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de en cada

punto . Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función

en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la

concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

Noción de derivada

Recta secante entre los puntos f(x+h) y f(x).

Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme

se van aproximando a la recta tangente.

11

Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo

conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello,

aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las

pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.

Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que

llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como

negativo. La pendiente de la recta entre los puntos y es

Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada defenx es el límite del

valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada def como la función

cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.

Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero,

calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el

numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy

sencillo con funciones polinómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta

demasiado complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la

diferenciación de la mayoría de las funciones descritas.

12

El cociente diferencial alternativo

La derivada de f(x) (tal como la definió Newton) se describió como el límite, conforme h se

aproxima a cero. Una explicación alternativa de la derivada puede ser interpretada a partir

del cociente de Newton. Si se utiliza la fórmula anterior, la derivada en c es igual al límite

conforme h se aproxima a cero de [f(c + h) - f(c)] / h. Si se deja que h = x - c (por ende c +

h = x), entonces x se aproxima a c (conforme h tiende a cero). Así, la derivada es igual al

límite conforme x se aproxima a c, de [f(x) - f(c)] / (x - c). Esta definición se utiliza para

una demostración parcial de la regla de la cadena.

Funciones de varias variables

Para funciones de varias variables las condiciones de diferenciabilidad

son más estrictas y requieren más condiciones a parte de la existencia de derivadas

parciales. En concreto se requiere la existencia de una aproximación lineal a la función en

el entorno de un punto. Dada una base vectorial esta aproximación lineal viene dada por la

matriz jacobiana:

Historia

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse

en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), con conceptos de tipo geométrico

como el problema de la tangente a una curva de Apolonio de Perge, pero no se encontraron

métodos sistemáticos de resolución hasta el siglo XVII por la obra de Isaac Newton y

Gottfried Leibniz.

Ellos sintetizaron dos conceptos y métodos usados por sus predecesores en lo que hoy

llamamos «diferenciación» e «integración». Desarrollaron reglas para manipular las

derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema

fundamental del cálculo).

13

Desde el siglo XVII, muchos matemáticos han contribuido al cálculo diferencial. En el

siglo XIX, el cálculo tomó un estilo más riguroso, debido a matemáticos como Augustin

Louis Cauchy (1789–1857), BernhardRiemann (1826–1866), y Karl Weierstrass (1815–

1897). Fue también durante este periodo que el cálculo diferencial fue generalizado al

espacio euclídeo y el plano complejo.

Aplicaciones importantes del cálculo diferencial

Recta tangente a una función en un punto

La recta tangente a una función f(x) es como se ha visto el límite de las rectas secantes

cuando uno de los puntos de corte de la secante con la función se hace tender hacia el otro

punto de corte. También puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximación

lineal a la función en su punto de tangencia, esto es, la recta tangente es la función

polinómica de primer grado que mejor aproxima a la función localmente en el punto de

tangencia que consideremos.

Si conocemos la ecuación de la recta tangente Ta(x) a la función f(x) en el punto a podemos

tomar Ta(x) como una aproximación razonablemente buena de f(x) en las proximidades del

punto a. Esto quiere decir que si tomamos un punto a + h y lo evaluamos tanto en la

función como en la recta tangente, la diferencia será despreciable

frente a h en valor absoluto si h tiende a cero. Cuanto más cerca estemos del punto a tanto

más precisa será nuestra aproximación de f(x).

Para una función f(x) derivable localmente en el punto a, la recta tangente a f(x) por el

punto a es:

Ta(x)= f(a) + f '(a)(x-a).

14

Uso de las derivadas para realizar gráficos de funciones

Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. En

particular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que

llevan a dicha función a un extremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin

embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales. Por ejemplo, f(x)=x³ tiene un

punto crítico en x=0, pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. El criterio de la

primera derivada y el criterio de la segunda derivada permiten determinar si los puntos

críticos son máximos, mínimos o ninguno.

En el caso de dominios multidimensionales, la función tendrá una derivada parcial de cero

con respecto a cada dimensión en un extremo local. En este caso, la prueba de la segunda

derivada se puede seguir utilizando para caracterizar a los puntos críticos, considerando el

eigenvalor de la matriz Hessiana de las segundas derivadas parciales de la función en el

punto crítico. Si todos los eigenvalores son positivos, entonces el punto es un mínimo local;

si todos son negativos es un máximo local. Si hay algunos eigenvalores positivos y algunos

negativos, entonces el punto crítico es un punto silla, y si no se cumple ninguno de estos

casos, la prueba es no concluyente

Aproximación local de Taylor

Hemos visto que podemos aproximar mediante su recta tangente a una función derivable

localmente en un punto. Si se cumple que la función es suficientemente suave en el punto o

dominio de estudio (esto es, la función es de clase ) se puede aproximar la función no por

polinomios de grado uno, sino por polinomios de grado dos, tres, cuatro y sucesivamente.

Donde P(x) es el polinomio de grado n que mejor aproxima a la función en el punto x=a.

Nótese que si evaluamos P(x) en x=a todos los términos salvo el f(a) se anulan, luego P(a)

= f(a). Nótese también que la ecuación de la recta tangente del apartado anterior

corresponde al caso en el que n=1.

15

Cuando a=0 el desarrollo se denomina desarrollo de MacLaurin. En la práctica la mayoría

de las veces se emplean desarrollos de MacLaurin. Ejemplos de desarrollos importantes de

MacLaurin son:

Nótese el símbolo que denota aproximación que no igualdad. Si la función a aproximar

es infinitamente derivable ( ) y agregamos infinitos términos al desarrollo entonces el

se convierte en un y el desarrollo anterior se convierte en una serie de Taylor. Las

funciones que son igual a su serie de Taylor se denominan funciones analíticas

Generalización del cálculo diferencial

Cuando una función depende de más de una variable, se utiliza el concepto de derivada

parcial. Las derivadas parciales se pueden pensar informalmente como tomar la derivada de

una función con respecto a una de ellas, manteniendo las demás variables constantes. El

concepto de derivada puede ser extendido de forma más general. El hilo común es que la

derivada en un punto sirve como una aproximación lineal a la función en dicho punto.

Quizá la situación más natural es que las funciones sean diferenciables en las variedades.

La derivada en un cierto punto entonces se convierte en una transformación lineal entre los

correspondientes espacios tangentes y la derivada de la función se convierte en un mapeo

entre los grupos tangentes.

Para diferenciar todas las funciones continuas y mucho más, se puede definir el concepto de

distribución.

16

Para las funciones complejas de una variable compleja, la diferenciabilidad es una

condición mucho más fuerte que la simple parte real e imaginaria de la función diferenciada

con respecto a la parte real e imaginaria del argumento. Por ejemplo, la función

satisface lo segundo, pero no lo primero.

OPTIMIZACIÓN

Gráfico de un paraboloide dado por f(x,y) = -(x²+y²)+4. El máximo global en (0, 0, 4) está

indicado por un punto rojo.

En matemáticas, estadísticas, ciencias empíricas, ciencia de la computación, o economía,

optimización matemática (o bien, optimización o programación matemática) es la selección

del mejor elemento (con respecto a algún criterio) de un conjunto de elementos disponibles.

En el caso más simple, un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar

una función real eligiendo sistemáticamente valores de entrada (tomados de un conjunto

permitido) y computando el valor de la función. La generalización de la teoría de la

optimización y técnicas para otras formulaciones comprende un área grande de las

matemáticas aplicadas. De forma general, la optimización incluye el descubrimiento de los

"mejores valores" de alguna función objetivo dado un dominio definido, incluyendo una

variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios.

Problemas de Optimización

Un problema de optimización puede ser representado de la siguiente forma

Dada: una función f: A R donde A es un conjunto de números reales.

Buscar: un elemento x0 en A tal que f(x0) ≤ f(x) para todo x en A ("minimización") o tal

que f(x0) ≥ f(x) para todo x en A ("maximización").

17

Tal formulación es llamada un problema de optimización o un problema de programación

matemática (un término no directamente relacionado a la programación de computadoras,

pero todavía en uso por ejemplo en la programación lineal - ver Historia debajo). Muchos

problemas teóricos y del mundo real pueden ser modelados en este esquema general.

Problemas formulados usando esta técnica en los campos de física y visión por

computadora se refieren a la técnica como minimización de la energía, hablando del valor

de la función f representando la energía del sistema que está siendo modelado.

Típicamente, A es algún subconjunto del espacio Euclidiano Rn, con frecuencia

especificado por un conjunto de restricciones, igualdades o desigualdades que los

elementos de A tienen que satisfacer. El dominio A de f es llamado el espacio de búsqueda

o el conjunto de elección, mientras que los elementos de A son llamados soluciones

candidatas o soluciones factibles.

La función f es llamada, diversamente, una función objetivo, función de costo

(minimización), función de utilidad indirecta (minimización), función de utilidad

(maximización), o, en ciertos campos, función de energía, o energía funcional.

Una solución factible que minimice (o maximice, si este es el propósito) la función

objetivo, es llamada una solución óptima.

Por convenio, el formato estándar de un problema de optimización está declarado en

términos de minimización. Generalmente, a menos que ambas, la función objetivo y la

región factible sean convexas en un problema de minimización, puede haber varios

mínimos locales, donde un mínimo local x* se define como un punto para el cual existe

algún δ > 0, donde para todo x tal que

La expresión

Es verdadera; es decir, en alguna región alrededor de x todos los valores de la función son

mayores que o iguales al valor en ese punto. El máximo local se define de modo similar.

18

Un gran número de algoritmos propuestos para resolver problemas no-convexos

incluyendo a la mayoría de los solucionadores disponibles comercialmente no son capaces

de hacer una distinción entre soluciones óptimas locales y soluciones óptimas rigurosas, y

tratan a las primeras como soluciones actuales del problema original. La rama de las

matemáticas aplicadas y el análisis numérico que se responsabiliza con el desarrollo de

algoritmos deterministas que son capaces de garantizar convergencia en tiempo finito a la

solución óptima real de un problema no convexo se llama optimización global.

Historia

Pierre de Fermat y Joseph Louis Lagrange encontraron cálculos basados en fórmulas

identificadas como óptimas, mientras que Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss propusieron

métodos iterativos para el movimiento hacia un óptimo. Históricamente, el primer término

para la optimización fue programación lineal, debido a George B. Dantzig, aunque mucho

de la teoría había sido introducido por Leonid Kantorovich en 1939. Dantzig publicó el

algoritmo Simplex (Simple) en 1947 y John von Neumann desarrolló la teoría de la

dualidad en el mismo año.

El término programación en este contexto no se refiere a la programación de computadoras.

Más bien, el término viene del uso de programa por el ejército de Estados Unidos al

referirse a la propuesta de entrenamiento y planificación logística, el cual fue el

Factibilidad del problema

La satisfabilidad del problema, también llamada la factibilidad del problema, es justo el

problema de encontrar alguna solución factible de todas sin hacer caso del valor objetivo.

Este puede ser considerado como el caso especial de la optimización matemática donde el

valor objetivo es el mismo para toda solución, y así cualquier solución es óptima.

Muchos algoritmos de optimización necesitan comenzar a partir de un punto factible. Una

vía para obtener tal punto es relajar las condiciones de factibilidad usando una variable de

holgura; con suficiente holgura, cualquier punto de partida es factible. Entonces, se

minimiza esa variable de holgura hasta que la holgura sea nula o negativa.

19

Existencia

El teorema del valor extremo de Karl Weierstrass afirma que una función real y continua en

un conjunto compacto alcanza su valor máximo y mínimo. De forma más general, una

función semi-continua inferior en un conjunto compacto alcanza su mínimo; una función

semi-continua superior en un conjunto compacto alcanza su máximo.

Condiciones necesarias de optimalidad

Uno de los teoremas de Fermat asegura que los óptimos de los problemas irrestrictos son

encontrados en los puntos estacionarios, donde la primera derivada o el gradiente de la

función objetivo es cero. De forma más general, ellos pueden ser encontrados en los puntos

críticos, donde la primera derivada o el gradiente de la función objetivo es cero o está

indefinido, o en la frontera del conjunto de elección. Una ecuación (o conjunto de

ecuaciones) indicando que la(s) primera(s) derivada(s) es (son) igual(es) a cero en un

óptimo interior se llama una condición de primer orden o un conjunto de condiciones de

primer orden.

Los óptimos de los problemas con restricciones de desigualdad son en cambio encontrados

mediante el método de los multiplicadores de Lagrange. Este método computa un sistema

de desigualdades llamado Condiciones de Karush–Kuhn–Tucker o condiciones de holguras

complementarias, las cuales se usan entonces para calcular el óptimo.

Condiciones suficientes de optimalidad

Mientras la prueba de la primera derivada identifica los puntos que pueden ser extremos,

esta prueba no distingue si un punto es mínimo, máximo, o ninguno de los dos. Cuando la

función objetivo es dos veces diferenciable, estos casos pueden ser distinguidos estudiando

la segunda derivada o la matriz de las segundas derivadas (llamada matriz Hessiana) en

problemas irrestrictos, o la matriz de las segundas derivadas de la función objetivo y las

restricciones llamada la frontera Hessiana en problemas restrictos.

20

Las condiciones que distinguen a los máximos, o mínimos, de otros puntos estacionarios

son llamadas condiciones de segundo orden. Si un candidato a solución satisface las

condiciones de primer orden y las condiciones de segundo orden también, es suficiente para

establecer, al menos, optimalidad local.

Problemas de optimización

Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable.

En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de

una función de una variable.

Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser

expresada como función de otra de las variables relacionadas en el problema. En ocasiones

es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que éstas generan

igualdades entre las variables que permiten la obtención de la función de una variable que

se quiere minimizar o maximizar.

En este tipo de problemas se debe contestar correctamente las siguientes preguntas:

¿Qué se solicita en el problema?

¿Qué restricciones aparecen en el problema?

La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la función que deberá ser

minimizada o maximizada.

La respuesta correcta a la segunda pregunta dará origen a (al menos) una ecuación que será

auxiliar para lograr expresar a la función deseada precisamente como una función de una

variable.

21

CAPITULO III

PROPUESTA DEL PROYECTO

Aquí se dará a conocer como tal el proyecto como análisis de un estudio para la

construcción de una cisterna de agua para las casa de familias que habitan en zonas de

difícil acceso en las diferentes partes del Ecuador.

Tomando en cuenta el análisis de una familia promedio que está conformada por cinco

personas, padre madre hijo e hija. Se procede a analizar los datos los cuales indican que:

Adultos ingieren 2.5 litros de agua diariamente.

Niños ingieren 2 litros de agua diariamente.

La familia en total necesitaría de un total de 9 litros diarios de líquido vital solo para

ingerir.

A este dato sumamos otros factores como serian: cocinar, lavar (vajilla y ropa), factores

biológicos, otros, y obteniendo un promedio en suposición de 8 litros diarios. Llevando en

consecuencia la necesidad de más líquido vital para abastecerse durante un periodo

promedio de 15 días.

Entonces durante este periodo promedio de 15 días una familia necesitaría 15 litros de agua

diarios los cuales si realizamos los cálculos necesarios nos darían un total de 225 litros de

agua en el periodo propuesto.

Para la resolución del proyecto se hará una conversión la cual nos dato como obtención

que:

225 litros de agua equivalen a 7.9458 pies cúbicos de agua.

Entonces una vez que se tienen los datos se procede a la propuesta del estudio que hace

referencia a lo siguiente:

22

Se va a construir una cisterna rectangular con base y tapa cuadradas para almacenar 7.9458

pies3 de agua. Si el concreto para construir la base y los lados tiene un costo de $100 por

pie2 y el material para construir la tapa cuesta $ 200 por pie

2. ¿Cuáles son las dimensiones

de la cisterna que minimizan el costo de su construcción?

¿Qué se quiere en el problema?

Determinar las dimensiones de la cisterna que minimizan el costo de su construcción.

Suponiendo que las dimensiones de la cisterna son: x pies el lado de la base cuadrada y h

pies su altura. ¿Cuál es el costo de su construcción?

La siguiente figura representa a la cisterna:

h

h

x

x

Para encontrar las dimensiones (x & h) que minimizan el costo de su construcción se

necesita la expresión del costo de la cisterna.

Usamos la tabla siguiente:

23

Costo Unitario ($) por pie2 Área (pie

2) Costo Total ($)

Base 100 X2

100x2

Tapa 200 X2

200x2

Caras Laterales 100 4xh 400xh

Costo de la Cisterna: 300x2 + 400xh

El costo total de la construcción de la cisterna es:

C = 300x2 + 400xh

En el problema aparece la siguiente restricción: el volumen de la cisterna debe ser igual a

7.9458 pies3, es decir, que x

2h es igual a 7.9458.

Tenemos pues:

Una función 300x2 + 400xh y una ecuación x

2h = 7.9458.

De la ecuación despejamos una de las variables (la que más con venga) para sustituirla en la

función.

Conviene despejar (h)

x2 *h = 7.9458 entonces h =

7.9458

𝑥2

Sustituyendo en la función se obtiene:

C = 300x2 + 400xh = 300x

2 + 400x (

7.9458

𝑥2)

C(x) = 300x2 +

3178.32

𝑥

Ésta es la función (de una sola variable: x) que se quiere minimizar.

C(x) = 300x2 + 3178.32𝑥−1 entonces C′(x) = 600x - 3178.32𝑥−2

Derivando y calculando sus puntos críticos:

24

C′(x) = 0 600x - 3178.32

𝑥2 = 0 x

3 =

3178.32

600 = 5.2972 ∛5.2972 = 1.7432

Es decir la función C(x) tiene un punto crítico en x = 1.7432. Entonces

C′(x) = 600x - 3178.32𝑥−2

C′′ (x) = 600 - 6356.64𝑥−3

Lo que implica que el punto crítico es un mínimo para C(x) por el criterio de la segunda

derivada)

El costo de la cisterna es mínimo cuando x= 1.7432 pies y por lo tanto.

h = 7.9458

𝑥2 =

7.9458

(1.7432)2 =

7.9458

3.0387 = 2.6148

Esto es, el costo mínimo es cuando x = 1.7432 pies y h = 2.6148 pies, con lo cual:

C = 300x2 + 400xh

Cmin = C (20)= 300(1.7432)2 + 400(1.7432) (2.6148) = 911.61 + 1823.2477 entonces;

Cmin = $ 2734.85 dólares.

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BIBLIOGRAFÍA

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http://www.metric-conversions.org/es/volumen/tabla-de-conversion-de-litros-a-pies-

cubicos.htm

http://www.nationalgeographic.es/noticias/ciencia/salud-y-cuerpo-humano/cu-ntos-vasos-

de-agua-se-deben-beber-al-d-a

http://www.muyinteresante.es/curiosidades/preguntas-respuestas/cuanta-agua-debemos-

beber-al-dia-321406298436

http://ingenieriareal.com/diseno-y-construccion-de-una-cisterna/

http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Optimizacion/FTOptimizacion.pdf

http://es.slideshare.net/JulioLp00/calculo-diferencial-en-la-vida-de-un-ingeniero

https://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_%28matem%C3%A1tica%29#Subcam

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