proyecto de educ mate dic 23, 2015
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MAESTRÍA EN MATEMÁTICA EDUCATIVAEDUCACIÓN MATEMÁTICA Y NUEVAS
TECNOLOGÍAS
RESPONSABLES DEL CURSO: Dr. Francois PluvinageDra. Ana Isabel Sacristán Rock
Propuesta de Secuencia Didáctica realizada por:Ernesto Bravo Díaz
México, D.F., diciembre 10, 2015.
TEMA:
PROPUESTA DE SECUENCIA DIDÁCTICA PARA LOGRAR UN APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DEL
CONCEPTO DE FUNCIÓN LINEAL
POR MEDIO DEL EMPLEO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES
Sesión 1
Act. 1M
Sesión 2
Act. 2M
Antecedentes Prerrequisitos Objetivos
Índice General
Introducción
ANTECEDENTES: La Unidad de Aprendizaje Matematicas I del bachillerato de la
UAGro, contempla el tema FUNCIÓN LINEAL. En mi experiencia personal docente he observado que a los
alumnos se les dificulta interpretar significativamente el valor de la pendiente y la ordenada al origen cuando la representación gráfica de la función lineal se presenta de manera estática.
Diversos estudios en Educación Matemática señalan que el adecuado empleo de herramientas computacionales puede ofrecer diferentes caminos y oportunidades para los estudiantes en beneficio de sus procesos de comprensión y conceptualización matemática.
El presente trabajo propone una secuencia didáctica para desarrollar el tema, empleando tecnologías digitales y esta diseñada para alumnos del primer semestre.
A ÍNDICE
PRERREQUISITOS
El alumno: Cuenta con conocimientos relativos a ecuaciones de primer grado con una incógnita, conoce el plano cartesiano, ha resuelto problemas que generan ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
El profesor: Es un facilitador y mediador de aprendizajes con disposición a entrar en el mundo de la tecnología y hacer de ésta una herramienta para diseñar estrategias y ambientes de aprendizaje. En su interacción con los alumnos propicia que haya un intercambio de experiencias, conocimientos y aprendizajes.
A ÍNDICE
OBJETIVOS
Que los alumnos adquieran un aprendizaje significativo del concepto FUNCIÓN LINEAL.
Impactar al Maestro respecto a su decisión a favor del diseño e implementación de estrategias de aprendizaje dentro de un entorno computacional empleando las tecnologías digitales adecuadas.
Dar una nueva visión a los alumnos del potencial que tiene el uso racional de las herramientas tecnológicas a favor de su propio aprendizaje.
A ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
Dados conjuntos cualesquiera, una función con dominio en y contradominio en , es toda ley o regla de asociación, que asigna a cada elemento que pertenece al conjunto uno y sólo un elemento que pertenece al conjunto .
Una manera muy común de referirnos a esta asociación es mediante la expresión , que se lee “ es igual a de ”.
Las funciones pueden estar expresadas de forma simbólica, tabular, gráfica, o verbal.
Las funciones cuya representación simbólica es de la forma reciben el nombre de FUNCIONES LINEALES.
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La función lineal , es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta.
En la forma simbólica, y son constantes reales y es una variable real. La constante es la pendiente que tiene la recta y representa la relación que existe entre los valores de y de (se expresa como un cociente), y es el punto de corte de la recta con el eje y (llamada ordenada al origen).
Un dato sumamente importante es que el exponente de y de es 1.
Las funciones a trozos quedan fuera del alcance de éste curso.
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SESIÓN 1
Si a una máquina revolvedora (en operación) le viertes dentro arena, grava, cemento y agua (en
el orden adecuado), al vaciar la máquina revolvedora obtendrás una mezcla llamada concreto.
Si, ahora, esos mismos materiales (arena, grava, cemento y agua) los viertes dentro de un horno
de fundición a alta temperatura ¿crees que también obtengas como resultado final la misma
mezcla llamada concreto?
En matemáticas una función es una regla para “convertir” un elemento dado (por ejemplo un
número) en otro elemento (en otro número, siguiendo con el mismo ejemplo). Al elemento dado se
le llama “entrada” y al otro elemento se le llama “salida”.
La regla puede estar dada no solo como una formula (representación simbólica), sino también de
manera implícita en una tabla, en una gráfica, o por medio de una expresión verbal.
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En programación LOGO el comando DEV (o DEVUELVE) sirve para dar salida a un valor dado al que se le aplica cierta regla. Recuerda que LOGO reconoce una variable si el nombre de la variable es precedido por dos puntos “:”El siguiente problema es una función expresada de manera verbal y lo usaremos para construir un procedimiento en LOGO (archivo PAGAR) usando DEV y ES.
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Un estudiante de tercer año de preparatoria que trabaja en el departamento de telefonía celular de Coppel gana semanalmente $350.00 de salario fijo, más una bonificación de $35.00 por cada teléfono celular que venda. ¿Cuánto ganaría si vendiera en la semana 15, 16,…19 o 20 teléfonos celulares?
1) Crea en LOGO un procedimiento (llámale SALARIOCOPEL) que te permita resolver el problema anterior. Llena la tabla siguiente con los valores obtenidos. Se ha convenido que en la tabla se llame al valor de “entrada” y que se llame al valor de “salida”.
¡Ahora te toca a ti!Act. 1A
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PARA___________________________ DEV ____________________________ FIN
Procedimiento en LOGO
teléfonos vendidos Función Salario Total
15 Gana semanalmente $350.00 de salario fijo, mas una bonificación de $35.00 por cada teléfono celular que venda.
16
17
18 Escribe en el recuadro la forma simbólica de la función
19
20
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Con relación a lo que acabas de hacer, contesta:• ¿Qué valor(es) cambia(n) durante éste procedimiento?________________________________________________________________________• ¿Qué valor(es) NO cambia(n) durante éste procedimiento?________________________________________________________________________
2) Ubica los puntos (teléfonos vendidos, salario total) en un sistema rectangular. Únelos de izquierda a derecha (prolonga en ambas direcciones). Y responde:• ¿Qué figura se forma? _______________________________________________• ¿Qué relación encuentras entre el valor $ 350 que aparece en la
función y el eje de las ordenadas (eje Y)?_____________________________
• ____________________________________________________
3) Construye en LOGO un procedimiento que reciba 3 valores de entrada, (como el del
ejemplo mostrado).
• Elabora para los casos I y II sus respectivas tablas y grafícalas en un mismo sistema
rectangular (Ver Tablas y sistema rectangular).
• Elabora para los casos III y IV sus respectivas tablas y grafícalas en un mismo sistema
rectangular (Ver Tablas y sistema rectangular).
Ingresa valores de entrada para x = {0,3,…12,15}, pero previamente: Caso I. Cambia 450 por 250 y
corre el programa. Caso II. Cambia ahora 250 por
150 y corre nuevamente el programa.
Caso III: Mantén 450 y cambia 25 en lugar de 35, corre el procedimiento.
Caso IV: Mantén 450, cambia ahora 15 en lugar de 25 y corre el procedimiento.
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Con respecto a las graficas de los casos I y II:• ¿Las representaciones graficas de las funciones (las líneas rectas) son
paralelas? Justifica tu respuesta._________________________________________________________________________________• ¿Qué relación encuentras entre el valor de 250 y 150 con el eje de las?_________________________________________________________________________________
Con respecto a las graficas de los casos III y IV:• ¿Las representaciones graficas de las funciones (las líneas rectas) son paralelas? Justifica tu respuesta. _________________________________________________________________________________• ¿Qué relación encuentras entre los valores 15 y 25 y la inclinación de las rectas?________________________________________________________________________
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Act. 1MDESCRIPCIÓN:
Introducción a las ideas intuitivas de los conceptos: función, variable dependiente, variable
independiente y regla de correspondencia, mediante el empleo de las primitivas DEVUELVE y
ESCRIBE del programa LOGO en la creación de un procedimiento.
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APERTURA
Apoyándose en la comparación con las máquinas revolvedoras y hornos de fundición, hacer ver
al alumno que las funciones operan de manera similar. Es recomendable solicitar a los estudiantes
que den ejemplos similares.
DESARROLLO
A través de la idea de “máquinas de función” que transforman un valor de entrada, mediante una
regla, en un valor de salida, acercar al alumno a la idea intuitiva del concepto FUNCIÓN.
Construir en LOGO el procedimiento llamado PAGAR para mostrar el uso de las primitivas
DEVUELVE y ESCRIBE, haciendo ver a los alumnos que:
En programación LOGO el comando DEV (o DEVUELVE) sirve para dar salida a un valor
de entrada al que se le aplica cierta regla.
LOGO reconoce una variable si el nombre de la variable es precedido por dos puntos “:” Para que LOGO te de el valor de salida ingresa ES, deja un espacio, ingresa SALIDA, deja
un espacio, e ingresa finalmente el valor de entrada que desees.
Deben llenar la Tabla 1
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CIERRE.
Con apoyo en las ideas intuitivas desarrolladas por los alumnos (lluvia de ideas)
formalizar los conceptos: función, variable dependiente, variable independiente y
regla de correspondencia.
Solicitar que efectúen la Act. 1A
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SESIÓN 2
1. Un comerciante va al D.F. a comprar camisas y pantalones para surtir su tienda de
ropa. Cada camisa le cuesta $ 300.00 y cada pantalón $ 400.00. Si él invierte
exactamente $ 120,000.00, puede comprar 27 camisas y 4 pantalones, o 40 camisas y
ningún pantalón.
2. En un servicio de telefonía celular de prepago el costo de un mensaje de texto
enviado es de $0.88. Lo que significa que si mandas 5 mensajes estarás consumiendo
$ 4.40 de tu saldo, si mandas 8 mensajes estarás consumiendo $ 7.04.
3. El costo del servicio de taxi en la ciudad de Guadalajara es de $14.00 por abordarlo
mas $2.00 por cada minutos que dure tu viaje. Es decir que por un viaje que dure 10
minutos pagarás $14.00 + $2.00 (10). Si tu viaje dura 27 minutos pagaras $14.00 +
$2.00 (27).
¡Situaciones como las anteriores son innumerables en la vida cotidiana y pueden ser
modeladas por medio de funciones !
CONTINUAR
La situación 1 puede representarse simbólicamente con la función:
Mediante el software de geometría dinámica GeoGebra participaremos en actividades
exploratorias que resultan de arrastrar o mover objetos particulares dentro de la
representación grafica de la situación 1 con la idea de detectar y explorar invariantes o
relaciones matemáticas y si dichas relaciones son válidas para una familia de casos o
son casos aislados.
El archivo correspondiente se denomina GeoGebra 1
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Actividad 2
Propósito(s) de la Actividad 2
Mediante la exploración de la gráfica de una función lineal acercar al alumno a la interpretación, y posterior conceptualización de: pendiente (m) y ordenada al origen (b).
Que el alumno adquiera ideas relativas a nociones de dominio y contradominio de una función.
Requisitos Tecnológicos
De GeoGebra Uso de VISTA GRÁFICA. Uso de comando PUNTO. Uso de HOJA DE CÁLCULO. Uso de DESLIZADORES
Prerrequisitos Matemáticos
Conocimiento del plano cartesiano. Ubicación de puntos en plano cartesiano.
Contenidos Matemáticos correspondientes con el
programa de Matemáticas I
Noción de pendiente Noción de ordenada al origen Noción de Función Lineal Representación gráfica de una función lineal.
De manera general se pretende que mediante las ideas intuitivas que los alumnos desarrollen respecto a pendiente (m), ordenada al origen (b), dominio, contradominio de una función y función lineal; se formalicen sus definiciones.
Act. 2MDESCRIPCIÓN
Mediante ideas intuitivas llegar a la conceptualización de: pendiente, ordenada al origen, forma de
la función lineal, representación gráfica de la función lineal, dominio y contradominio.
CONTINUAR
APERTURA
Mencionar a los alumnos varios ejemplos de situaciones reales que pueden modelarse como
funciones lineales y pedir a ellos que mencionen más ejemplos.
DESARROLLO
Mediante el archivo GeoGebra 1 realizar actividades exploratorias que resultan de arrastrar o mover
objetos particulares de la gráfica, con la idea de detectar y explorar invariantes o relaciones
matemáticas y si dichas relaciones son válidas para una familia de casos.
Por ejemplo: Manipular un punto móvil (A) a lo largo de la gráfica de la función lineal y resaltar
que en la ventana gráfica se muestran las coordenadas del punto en cada nueva posición. Hacer ver a
los alumnos que cada par de coordenadas (x, y) dan solución a la función, pero eso no implica que
cada uno de ellos den solución al problema planteado.
CIERRE
• Con apoyo en las ideas intuitivas desarrolladas por los alumnos (lluvia de ideas) formalizar los
conceptos: pendiente (m), ordenada al origen (b), dominio, contradominio y función lineal.
• Solicitar que efectúen la Act. 2A
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¡Ahora te toca a ti! Act. 2A
Dado el siguiente problema:
• Obtén la función lineal,
• Construye su gráfica en GeoGebra (guarda el archivo con el nombre GeoGebra 2),
• Y en la hoja de cálculo de GeoGebra obtén las parejas ( x, f(x) ) para x = 1, 2,…19, 20.
CONTINUAR
¿Cualquier pareja de puntos sobre la recta da solución al problema? Justifica tu respuesta.
¿Qué intervalo de valores puede tomar x , en relación a la función? Justifica tu respuesta.
¿Qué intervalo de valores puede tomar y , en relación a la función? Justifica tu respuesta.
Con respecto a la cantidad de libros y paquetes de útiles escolares, ¿Qué interpretación le
das a “m”?
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Cantidad de libros Cantidad de paquetes de
útiles escolares
Total a pagar
0 32 0($80) + 32($50) = 1,600.00
Interpreta correctamente la gráfica y con base en ella rellena la tabla siguiente: