MATEMÁTICAS…¿ESTÁS AHÍ?

Milton David Monroy Huit

2014030P.E.5C.M.

PROBLEMAS• A continuación se presentara cinco problemas con solución • También un poco de combinatoria y probabilidades• Supuestos unos conocimientos mínimos, la mayoría de

los problemas matemáticos de entretenimiento se pueden resolver con el recurso de la lógica; es decir, utilizando el “sentido común”. Hay quien los clasifica en tres grandes grupos.

a) numéricos o algebraicos, en los que el cálculo matemático es importante.

b) “paradójicos”, de los que ya hemos puesto algún caso como "el misterio del triángulo o el cuadrado perdido”.

c) de “pensamiento lateral”, donde lo mejor es no pensar “de frente”, se precisan soluciones más "imaginativas”.

Problema #1• Problema de los tres interruptores: Se tiene una habitación vacía con una bombilla colgada del techo. El interruptor que

activa la luz se encuentra en la parte exterior de la habitación. Es más: no hay un único interruptor, sino tres iguales, indistinguibles entre sí. Eso sí, tan solo uno de ellos enciende la luz de la bombilla. El problema consiste en lo siguiente:

La puerta de la habitación está cerrada. Los tres interruptores iguales están en la misma posición: la de apagado. Se tiene todo el tiempo que se quiera para accionar los interruptores, se puede hacer cualquier combinación con ellos, pero solo se puede entrar una vez en la habitación. Ahora bien, tomada la decisión de entrar, en el momento de salir se debe estar en condiciones de poder decir “cual es el interruptor que enciende la bombilla”.

Para aclarar más la situación, aunque se supone que no es necesario, insistir en que el problema no tiene trampas, ni se ve nada por debajo de la puerta, ni hay una ventana que de al exterior que permita ver lo que pasa adentro. Nada de eso. Solo se trata de un problema para el que se requiere un poco de “pensamiento lateral” y no el “normal” que acostumbramos

Solución al problema #1• Para adivinar cual es el interruptor que enciende la bombilla, y lograrlo la primera vez sin

posibilidad de rectificación, debemos hacer lo siguiente: 1º) Accionar cualquiera de los tres interruptores a la posición "encendido” y esperar

quince minutos (el tiempo indicado sólo es para fijar ideas, no es que haga falta tanto). 2º) Pasado ese tiempo, volver a colocar el mismo interruptor en la posición “apagado”. 3º) Accionar uno de los otros dos interruptores a la posición "encendido” y entrar a

continuación en la habitación. Se pueden dar tres situaciones: a) La bombilla está encendida. Está claro cual es el interruptor: el último que hemos

accionado. b) La bombilla está apagada. En ese caso, a continuación nos acercamos y la tocamos. Si su

cuerpo aún está caliente significa que el interruptor que la enciende es el primero, el que mantuvimos durante quince minutos en esa posición (esa era la razón de mantenerle un tiempo: para que aumente la temperatura y se caliente la bombilla).

c) La bombilla está apagada, y al tocarla no se nota que ha subido su temperatura, sigue a temperatura ambiente. Significa que el interruptor que la activa es el tercero aún no utilizado

Problema #2• El problema del torneo de tenis: El siguiente problema tiene la particularidad de que pone a prueba nuestra

capacidad para pensar distinto. Es decir, usted verá que el enunciado es sencillo y su solución también. Sin embargo, el desafío es tratar de no hacer cuentas en forma bruta, sino en pensar alguna alternativa que, justamente, evite tener que embarrarse las manos.

Aquí, una pausa: cuando uno tiene un problema, lo que quiere es encontrar una solución. Si en el proceso se tiene que ensuciar las manos o lo que fuere, no tiene importancia. Una vez que uno lo resuelve, listo. Sin embargo, hay veces que mirar las cosas desde otro costado, y usar la capacidad para razonar, sirve para ahorrar tiempo y enfrentar dificultades con otra actitud. Acá va.

En un torneo de tenis, se inscriben 128 participantes. Como es bien sabido, se juega por simple eliminación. Es decir: el jugador que

pierde un partido, queda eliminado. La pregunta es: ¿cuántos partidos se jugaron en total hasta definir el campeón?

Solución al problema #2 La tentación que uno tiene es de dividir el número de participantes por dos, con lo que quedan 64 partidos

para la primera ronda. Como se elimina la mitad de ellos quedarán, después de esos 64 partidos, 64 competidores. Luego, los dividimos en dos otra vez y tendremos 32 partidos. Y así siguiendo. Resultaría que uno tiene que sumar la cantidad de partidos hasta llegar al partido final.

Pero le propongo pensar el problema de una forma distinta. Como hay 128 participantes, para que uno quede eliminado tiene que perder un partido. Nada más que uno. Pero tiene que perderlo. Luego, si hay 128 participantes al comienzo del torneo y al final queda uno sólo (el campeón, el único que no perdió ninguno de los partidos que jugó), esto significa que los restantes 127, para haber quedado eliminados, tienen que haber perdido exactamente un partido. Y como en cada partido siempre hay exactamente un ganador y un perdedor, lo que inevitablemente pasó es que tuvieron que jugarse 127 partidos para que quedaran eliminados todos y quedara uno solo, que fue el único que los ganó todos.

Moraleja: se jugaron exactamente 127 partidos. Si lo hubiéramos hecho de la otra forma, el resultado es (obviamente) el mismo: 64 partidos en la primera

ronda, 32 después, 16 en los dieciseisavos de final, 8 en los octavos de final, 4 en las cuartos de final, 2 en las semifinales y 1 en la final. Si uno suma todos estos partidos:

64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127 Nota: en el caso de ser únicamente 128 participantes, es fácil ir sumando o haciendo la cuenta. Pero la idea anterior serviría en el caso de que hubiera habido 1024 participantes, en cuyo caso el total de partidos a jugarse sería de 1023.

Problema #3

• El problema de las velas: En todo caso, el crédito le corresponde a Ileana Gigena, la sonidista del programa Científicos Industria Argentina. Una tarde, cuando me escuchó proponiendo cosas para pensar que yo dejaba planteadas al finalizar un programa y que terminaría resolviendo en el siguiente, salió de su cubículo y me dijo:

—Adrián, ¿conoces el problema de las velas? —No —le dije—. ¿Cuál es? Y me planteó lo siguiente para que pensara. Ahora, lo comparto con ustedes: Se tienen dos velas iguales, de manera tal que cada una tarda exactamente una

hora en consumirse. Si uno tiene que medir quince minutos y no tiene cronómetro, ¿cómo tiene que hacer para aprovechar lo que sabe de las velas?

Ella me aclaró, además, que no se las puede cortar con un cuchillo ni se las puede marcar. Sólo se puede usar el encendedor y los datos que uno tiene sobre cada vela.

Solución al problema #3

• Se toma una vela y se la enciende de los dos extremos. Al mismo tiempo, se enciende la otra vela. Cuando la primera se terminó de consumir, pasó media hora. Eso quiere decir que queda también exactamente media hora hasta que la segunda vela termine de consumirse. En ese momento, se prende el otro extremo de la segunda vela. En el instante en que se termina de consumir

esta segunda vela, se cumplen exactamente quince minutos desde que empezó el proceso.

Problema #4• Sentido común

¿Prestaron atención alguna vez a las "bocas de tormenta" que están en las calles? ¿Vieron que algunas veces los operarios las levantan y descienden para arreglar las cañerías? ¿Por qué es mejor que sean redondas y no cuadradas o rectangulares?

Solución al problema #4

• Como estas tapas son de metal (hierro) muy pesado y son muy gruesas, si cupiera la posibilidad de que "cayeran" en el mismo pozo que están tapando, podrían obviamente lastimar gravemente a un humano. La única "forma geométrica regular" que impide que la tapa "caiga" esté en la posición en que esté, es que la tapa sea redonda. Por ejemplo, si fuera cuadrada, uno podría rotarla hasta ponerla en diagonal y en ese caso, caería fácilmente por el agujero.

En consecuencia la respuesta es que Son redondas por razones de seguridad y simplicidad.

Problema #5• EL HOMBRE EN EL ASCENSOR. Un hombre

vive en un edificio en el décimo piso (10). Todos los días toma el ascensor hasta la planta baja para ir a su trabajo. Cuando vuelve, sin embargo, toma el ascensor hasta el séptimo piso y hace el resto del recorrido hasta el piso en el que vive (el décimo) por las escaleras. Si bien el hombre detesta caminar, ¿por qué lo hace?

Solución al problema #5

• Obviamente, el señor en cuestión sufre de enanismo. Ése es el problema por el cual no puede subir hasta su departamento por el ascensor: el señor no llega

con sus manos hasta el décimo piso.