productos notables y factorización

Unidad 4. Productos Notables y Factorización.

Productos Notables.

Productos Notables. Son aquellas multiplicaciones de expresiones

algebraicas, cuyos productos tienen características muy específicas y

que nos permite realizar dichas multiplicaciones de manera más rápida

aplicando la propiedad distributiva.

Producto de binomios conjugados.

٠ Binomios Conjugados: Se denominan binomios conjugados aquellos

binomios en donde los términos de uno y los términos del otro difieren sólo en un signo. Ejemplos:

1) 4x – 1 y 4x + 1, son binomios conjugados.

2) 6m2 + 7n y 6m2 – 7n, son binomios conjugados

Pasos para obtener el producto de dos binomios conjugados,

1) Eleva al cuadrado el primer término de los binomios conjugados.

2) Coloca el signo negativo (–).

3) Eleva al cuadrado el segundo término de los binomios conjugados.

(a + b) (a – b) = (a)2 – (b)2 = a2 – b2

Al producto obtenido de la multiplicación de binomios conjugados se le

denomina diferencia de cuadrados porque es la diferencia o resta de dos

términos cuadrados exactos.

Binomios Conjugados

Diferencia de Cuadrados

Ejemplos:

1) Obtén el producto de: (3x + 5) (3x – 5) = (3x)2 – (5)2 = 9x2 – 25

2) Obtén el producto de: (mn – 6p) (mn + 6p) = (mn)2 – (6p)2 = m2n2 – 36p2

3) Obtén el producto de: (11z + 1) (11z – 1) = (11z)2 – (1)2 = 121z2 – 1

4) Obtén el producto de:

(

) (

) (

)

(

)

Ejercicio 9.

Efectúa los siguientes productos de binomios conjugados.

1) (y + 5) ( y – 5 ) =

2) (2a4 + 3b5) (2a4 – 3b5) =

3) (p + 4q) ( p – 4q) =

4) (8x2 + y)(8x2 – y)=

5) (5e + f) (5e – f) =

6) (7m4 + 4n2)(7m4 – 4n2)=

7) (3x + 6z) (3x –6z) =

8) (7v + 9w)(7v – 9w)=

9) (

) (

) 10) (

) (

)

Cuadrado de un binomio

٠ Binomio elevado al cuadrado: La expresión (a + b)2 es un binomio elevado al cuadrado; resolverlo significa multiplicar el binomio por sí mismo.

Ejemplos:

1) Desarrolla (x – 3)2= (x – 3) (x – 3) = x2 – 3x – 3x + 9

Simplificando términos semejantes: = x2 – 6x + 9

2) Desarrolla (2x + 5)2= (2x + 5) (2x + 5) = 4x2 + 10x + 10x + 25

Simplificando términos semejantes: = 4x2 + 20x + 25

Otro método para desarrollar el cuadrado de un binomio es utilizar el siguiente

modelo o fórmula:

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 (Binomio positivo)

(a – b) 2 = a2 – 2ab + b2 (Binomio negativo)

Binomio al cuadrado

Trinomio Cuadrado Perfecto

Binomio al cuadrado


El resultado de elevar un binomio al cuadrado es lo que se denomina un

trinomio cuadrado perfecto.

Regla para desarrollar un binomio al cuadrado.

1) Elevar el primer término al cuadrado.

2) Agregar con signo positivo o negativo (dependiendo del signo del

binomio) el resultado del doble producto del primer término por el

segundo.

3) Elevar el segundo término elevado al cuadrado

Ejemplos:

1) Desarrolla (x – 3)2= (x)2 – 2(x)(3) + (3)2 = x2 – 6x + 9

2) Desarrolla (2x + 5)2= (2x)2 + 2(2x)(5) + (5)2 = 4x2 + 20x + 25

3) Desarrolla (1 + 8y2)2= (1)2 + 2(1)(8y2) + (8y2)2 = 1 + 16y2 + 64y4

4) Desarrolla (3a3 – 4b4)2= (3a3)2 – 2(3a3)(4b4) + (4b4)2 = 9a6 – 24a3b4 + 16b8

5) Desarrolla (

)

(

) (

) (

) (

)

Ejercicio 10.

Desarrolla los siguientes binomios.

1) (a + 2b)2 =

2) (4m – 5n)2 =

3) (7k + 3j)2 =

4) (5a – 9b)2 =

5) (4h + 2k)2 =

6) (9u – 8v)2 =

7) (5r3 + 2s2)2 =

8) (2a6 – 9c5)2 =

9) (2m3 + 4n6)2 =

10) (6b7 – 5s5)2 =

11) (

)

12) (

)

Cubo de un binomio

Para desarrollar cualquier binomio elevado al cubo podemos seguir los

siguientes pasos:

1) Elevar al cubo el primer término del binomio,

2) Agregar el triple producto del cuadrado del primer término por el

segundo.

3) Agregar el triple producto del cuadrado del segundo término por el

primero,

4) Por último, agregar el cubo del segundo término del binomio.

Regla para desarrollar un binomio al cubo.

(x + y) 3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Si el binomio es positivo, todos los términos son positivos.

(x – y) 3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

Si el binomio es negativo, los signos de los términos van alternados, es decir,

positivos, negativos, positivos, negativos.

Ejercicio 11.

Desarrolla los siguientes binomios.

1) ( a + 3)3=

2) (x – 2)3=

3) (m + 1)3 =

4) (n – 5)3 =

5) (4x + 1)3 =

6) (7 – 2y)3 =

7) (5 + y3)3 =

8) (4n – 9)3 =

9) (m2 – 2n)3 =

10) (3x + 2y)3 =

11) (

)

12) (

)

Producto de binomios que tienen un término común

Te vamos a presentar primeramente algunos ejemplos y luego haremos un análisis del procedimiento y de los resultados obtenidos. Ejemplos:

1) Multiplica (x – 8) (x + 2) x2 + 2x – 8x – 16

x2 – 6x – 16

2) Multiplica (x + 5) (x + 9) x2 + 9x + 5x + 45

x2 + 14x + 45

3) Multiplica (x2 – 7) (x2 – 3) x4 – 3x2 – 7x2 + 21

x4 – 10x2 + 21

4) Multiplica (x4 + 6) (x4 – 4) X8 – 4x4 + 6x4 – 24

x8 + 2x4 – 24

Como puedes observar, en los ejemplos anteriores se cumplen las siguientes reglas:

1) El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios.

2) Al sumar algebraicamente los segundos términos de los binomios se obtiene el coeficiente del segundo término y en el cual la variable está elevada a un exponente que es la mitad del que tiene la variable en el primer término del producto.

3) El tercer término del producto se obtiene haciendo la multiplicación algebraica de los segundos términos de los binomios.

Supongamos que vas a multiplicar dos binomios como (2x – 1) (3x + 4), para ello te plantearemos la forma rápida de efectuar la operación:

1) Multiplica cada término del segundo paréntesis por 2x

(2x – 1)(3x + 4) = 6x2 + 8x...

2) Multiplica cada término del segundo paréntesis por –1

(2x – 1)(3x + 4) = 6x2 + 8x – 3x –4

3) Reduce términos semejantes

(2x – 1)(3x + 4) = 6x2 + 5x – 4

Ejemplos:

1) Multiplica (7x – 4) (x + 6) 7x2 + 42x – 4x – 24 7x2 + 38x – 24

2) Multiplica (3x + 8) (10x + 2) 30x2 + 6x + 80x + 16 30x2 + 86x + 16

3) Multiplica (5y2 – 4) (3y2 – 9) 15y4 – 45y2 – 12y2 + 36

15y4 – 57y2 + 36

4) Multiplica (z4 + 11) (2z4 – 7) 2z8 – 7z4 + 22z4 – 77

2z8 + 15z4 – 77

Ejercicio 12

Obtén el producto de los siguientes binomios de manera más directa. Trata

de hacer las operaciones en medida de lo que te sea posible mentalmente.

1) ( a + 3) ( a + 5) = 2) ( a2 + 7) ( a2 – 11) =

3) ( z + 6 ) ( z – 7) = 4) ( x3 – 2) ( x3 – 6) =

5) ( m – 10 ) ( m – 9) = 6) (d4 – 8) (d4 + 13) =

7) ( n – 12) ( n + 8) = 8) (mn + 3) (mn – 2) =

9) ( y – 4) ( y – 2) = 10) (w3z2 – 11) (w3z2 + 15) =

11) (2x – 9) (x – 5) = 12) (3y – 9) (5y + 2) =

13) ( 4z3 + 15) ( 6z3 + 7) = 14) ( 5w2 + 4) ( 8w2 – 2) =

Factorización: factorizar una expresión algebraica significa escribirla como el producto de otras expresiones algebraicas. En esta manual estudiaremos las siguientes factorizaciones:

Diferencia de cuadrados. Trinomio cuadrado perfecto. Suma y diferencia de cubos. Trinomios cuadráticos de la forma ax2 + bx + c

٠ Cuando a = 1

٠ Cuando a ≠ 1 Polinomios que tienen factores comunes.

Binomios con factor común.

Agrupamiento o asociación.

Diferencia de cuadrados.

Ya habíamos mencionado al inicio de esta unidad que al producto obtenido

de la multiplicación de binomios conjugados se le denomina diferencia de

cuadrados porque es la diferencia o resta de dos términos cuadrados exactos.

(a + b) (a – b) = (a)2 – (b)2 = a2 – b2

Ahora vamos a realizar la factorización de una diferencia de cuadrados cuyo

resultado será el producto de dos binomios conjugados.

Binomios Conjugados


a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Pasos para factorizar una diferencia de cuadrados.

1) Se extrae la raíz cuadrada de cada uno de los dos términos cuadrados exactos.

2) Con esas dos raíces se forman los dos binomios conjugados, que como ya dijimos, son binomios que difieren únicamente en un signo.

Ejemplos:

1) 49x2 – 25 = (7x – 5) ( 7x + 5)

√ √

2) 1 – 81y2 = (1 – 9y)(1 + 9y)

√ √

3) 121a2b4 – 64c6= (11ab2 – 8c3) (11ab2 + 8c3)

√ √

Ejercicio 13

Factoriza las siguientes Diferencias de Cuadrados.

1) c2 – 9 = 2) 25 – 36z4 =


Binomios Conjugados

3) 16 – g2 = 4) 100a2b4 – 121c6 =

5) 1 – 25n2 = 6) 100m2n4 – 169p6 =

7) 81 – 49x6 =

8) 144n12 –196m10 =

9) 9m2 – 64y4 =

10) 49v2w8 – 121z12 =


٠ Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando

el primero y tercer término tiene raíz cuadrada exacta y son positivos, y el

segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplos:

1) x2 – 6x + 9, es un cuadrado perfecto porque:

√ √ ( )( )

2) x2 + 8x + 36, NO es cuadrado perfecto porque:

√ √ ( )( )

Entonces, un trinomio NO es cuadrado perfecto si:

1) El primer y/o el tercer término son negativos.

2) Cuando el primer y/o tercer término NO tienen raíz cuadrada exacta.

3) Cuando no coincide el doble producto de las raíces con el término de

en medio del trinomio.

٠ Pasos para factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto

1) Se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer término del trinomio.

2) Se separan estas raíces por el signo del segundo término.

3) El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se

multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.

Ejemplos:

1) Factoriza: x2 –24x + 144 =

√ √ ( )( )

Entonces: x2 –24x + 144 = (x – 12)2

2) Factoriza: 25y4 +30y2z + 9z2 =

√ √ ( )( ) Entonces:

25y4 +30y2z + 9z2 = (5y2 + 3z)2

3) Factoriza:

–

=

√

√

(

) (

)

Entonces:

–

= (

)

Ejercicio 14

Factoriza los siguientes Trinomios Cuadrados Perfectos.

1) b2 – 2b +1 = 2) a8 + 18a4 + 81=

3) z4 + 2z2 +1 = 4) 4m2 – 12mn + 9n2 =

5) 9 + 24x2 + 16x4 = 6) 4b2 – 28a3b + 49a6 =

7) 25p2 – 10p + 1 =

8)

9) 100 + 160m2 + 64m4 =

10)

=

٠ Suma o diferencia de cubos.

٠ Suma de cubos

La suma de cubos se descompone en dos factores formados de la siguiente

manera:

1) En el primer factor debe ir la suma de sus raíces cúbicas.

2) En el segundo factor se coloca el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b) (a)2 – (a) (b) + (b)2 = (a + b) (a2 –ab + b2)

٠ Procedimiento para factorizar una suma de cubos.

1) Se extrae la raíz cúbica de cada término de la suma

2) Se enlazan estos dos términos con la operación de suma formando un binomio.

3) Se complementa la factorización construyendo a continuación un trinomio que tenga como términos: el cuadrado del 1er. término del binomio, el opuesto del producto de los dos términos del binomio, el cuadrado del 2º. término del binomio.

Ejemplos:

1) Factoriza: a3 + 8 =

√

√

, Se extrae la raíz cúbica de los términos y obtenemos el primer factor: (a + 2) Para formar el segundo factor seguimos la regla:

(a + 2)(a)2 – (a)(2) + (2)2 Entonces:

a3 + 8 = (a + 2)(a2 – 2a + 4)

2) Factoriza: 27w6 + 125y3 =

√

√

, Se extrae la raíz cúbica de los términos y obtenemos el primer factor: (3w2 + 5y) Para formar el segundo factor seguimos la regla:

(3w2 + 5y) (3w2)2 – (3w2)(5y) + (5y)2 Entonces:

27w6 + 125y3 = (3w2 + 5y)(9w4 –15w2y +25y2)

٠ Procedimiento para factorizar una diferencia de cubos.

La diferencia de cubos se descompone en dos factores formados de la siguiente

manera:

1) En el primer factor debe ir la diferencia de sus raíces cúbicas. 2) En el segundo factor se coloca el cuadrado de la primera raíz, más el

producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Diferencia de cubos: a3 – b3 = (a – b) (a)2 + (a) (b) + (b)2 = (a – b) (a2 +ab + b2)

٠ Procedimiento para factorizar una diferencia de cubos.

1) Se extrae la raíz cúbica de cada término de la diferencia de cubos, 2) Se enlazan estos dos términos con la operación de resta formando un

binomio. 3) Se complementa la factorización construyendo a continuación un

trinomio que tenga como términos: el cuadrado del 1er. término del binomio, el opuesto del producto de los dos términos del binomio, el cuadrado del 2º. término del binomio.

Ejemplos:

1) Factoriza: 64x6 – 216 =

√

√

, Se extrae la raíz cúbica de los términos y obtenemos el primer factor: (4x2 – 6) Para formar el segundo factor seguimos la regla:

(4x2 –6)(4x2)2 + (4x2)(6) + (6)2 Entonces:

64x6 – 216 = (4x2 – 6)(16x4 + 24x2 + 36)

2) Factoriza: 1 – z15 =

√

√

, Se extrae la raíz cúbica de los términos y obtenemos el primer factor: (1 – z5) Para formar el segundo factor seguimos la regla:

(1 – z5) (1)2 + (1)(z5) + (z5)2 Entonces:

1 – z15 = (1–z5)(1 + z5 + z10)

Ejercicio 15

Factoriza las siguientes sumas o diferencias de cubos.

1) x3 + 8y3 =

2) 64 + 27a6 =

3) 216b9 + 125 =

4) 8a6 + 27b9 =

5) 1 +343n3 =

6) 1 – 8y3 =

7) 27a3 – b12 =

8) 64z3 – 729 =

9) x6 – 8y12 =

10) 512m15 – 343n9 =

Trinomios cuadráticos de la forma ax2 + bx + c, donde a = 1

Factorizar un trinomio cuadrático significa transformarlo en el producto de dos

binomios con términos comunes o semejantes.

٠ Técnica para factorizar un trinomio cuadrático de la forma ax2 + bx + c,

donde a = 1

1) El trinomio se descompone en dos binomios en los cuales el primer

término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

2) En el primer binomio, después de la raíz cuadrada del primer término se

escribe el signo del segundo término del trinomio.

3) En el segundo binomio, después de la raíz cuadrada del primer término

se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo

término del trinomio por el del tercer término del trinomio.

4) Si en medio los dos binomios contienen signos iguales, se buscan dos

números en donde la suma sea el valor absoluto del segundo término y

su producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio.

5) Si en medio los dos binomios tienen signos diferentes, se buscan dos

números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término y su

producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio.

*Importante: El número mayor se coloca en el primer paréntesis y el

número menor en el segundo paréntesis.

6) Para efectuar la comprobación, se multiplican los binomios obtenidos lo

cual debe dar por resultado el trinomio cuadrático.

Ejemplos:

1) Factoriza: x2 + 9x + 18

( )( ) 18 = 9 x 2 9 + 2 = 11 6 x 3 6 + 3 = 9 18 x 1 18 + 1 = 19

Solución:

( )( )

a) √ , es el primer término de los binomios:

( )( ) b) Se colocan los signos de ambos

binomios, recordando que el signo del primer binomio es el signo del 2º. Término del trinomio y el signo del segundo binomio es la multiplicación de los signos del 2º. Y 3er. término del trinomio.

c) Se buscan los factores que multiplicados den el tercer término y sumados den el término de en medio.

2) Factoriza: x2 –7x – 30

( )( ) 30 = 30 x 1 –30 + 1 = –29 10 x 3 –10 + 3 = –7 6 x 5 –6 + 5 = –1 15 x 2 –15 + 2 = –13

Solución:

( )( )




c) Se buscan los factores que multiplicados den el tercer término y sumados o restados den el término de en medio.

3) Factoriza: x2 + 8x – 20

( )( ) 20 = 20 x 1 20 – 1 = 19 5 x 4 5 – 4 1 10 x 2 10 – 2 = 8

Solución: ( )( )




c) Se buscan los factores que multiplicados den el tercer término y sumados o restados den el término de en medio.

Ejercicio 16.

Factoriza los siguientes trinomios cuadráticos o determina si es un trinomio

primo.

1) x2 + 7x + 10 =

2) y2 + y – 30 =

3) p2 – 5p + 6 =

4) z2 + 15z + 56 =

5) b2 + 3b – 10 = 6) m2 – 11m – 60 =

7) a2 – 9a + 8 = 8) c2 + 24c + 135 =

9) n2 + 6n – 16 = 10) y2 + 50y + 336 =

٠ Trinomios cuadráticos de la forma ax2 + bx + c, donde a ≠1

Ejemplo 1:

Factoriza 6x2 + 5x –6

1) El trinomio se descompone en dos binomios: 6x2 +5x –6 = ( ) ( )

2) Encontrar dos términos que multiplicados den 6x2, dichos términos son

los primeros términos de los binomios. Se colocan al principio de cada

paréntesis.

3) Los términos son 2x y 3x porque su producto nos da 6x2.

6x2 +5x – 6 = (2x ) (3x )

4) Buscar dos números que multiplicados den –6

Así que las opciones son:

1, –6 –1, 6 6, –1 –6, 1 2, –3 –2, 3 3, –2 –3, 2

5) Buscar dos números que sumados o restados den el término lineal. El par

correcto es el que da +5x que es el término lineal del trinomio cuando

multiplicas los dos binomios. Ese par es +3, –2.

6) Colocamos estos dos números como segundos términos,

respectivamente, de cada binomio. 6x2 +5x –6 = (2x + 3) (3x –2)

7) Solución: 6x2 + 5x –6 = (2x + 3) (3x – 2)

8) Para comprobar sólo tienes que multiplicar los dos binomios.

(2x + 3) (3x –2) =

= 6x2 –4x + 9x –6

= 6x2 +5x –6

Ejemplo 2:

Factoriza 3x2 – 19x –14

1) El trinomio se descompone en dos binomios: 3x2 –19x –14 = ( ) ( )

2) Encontrar dos términos que multiplicados den 3x2, dichos términos son

los primeros términos de los binomios. Se colocan al principio de cada

paréntesis.

3) Los términos son 3x y x porque su producto nos da 3x2.

3x2 –19x – 14 = (3x ) (x )

4) Buscar dos números que multiplicados den –14

Así que las opciones son:

1, –14 –1, 14 14, –1 –14, 1 2, –7 –2, 7 7, –2 –7, 2

5) Buscar dos números que sumados o restados den el término lineal. El par

correcto es el que da –19x que es el término lineal del trinomio cuando

multiplicas los dos binomios. Ese par es +2, –7.

6) Colocamos estos dos números como segundos términos,

respectivamente, de cada binomio. 3x2 –19x –14 = (3x + 2) (x –7)

7) Solución: 3x2 – 19x –14 = (3x + 2) (x –7)

8) Para comprobar sólo tienes que multiplicar los dos binomios.

(3x + 2) (x –7) =

= 3x2 –21x + 2x –14

= 3x2 –19x –14

Ejercicio 17.

Factoriza los siguientes trinomios cuadráticos o determina si es un trinomio

primo.

1) 3x2 – 16x + 5 =

2) 4u2 + 8u – 5 =

3) 3p2 +16p + 16 =

4) 2z2 + 5z – 3 =

5) 6b2 – 5b – 4 =

6) 3m2 + 11m + 10 =

7) 5a2 + 8a + 3 =

8) 9c2 – 39c + 40 =

9) 2n2 + 15n + 18 =

10) 2y2 + 7y + 5 =

٠ Polinomios que tienen factores comunes.

MÁXIMO FACTOR COMÚN.

Una de las principales factorizaciones que debemos manejar y que es muy

útil en otros procesos de factorización es el de la obtención de máximo

factor común.

Ejemplos:

1) Encuentre el máximo factor común de 4a4x6, 20a2x8 y 40a5x4.

La manera más sencilla para encontrar el MFC de los coeficientes de una

expresión algebraica es colocarlos en una tabla y obtener sus factores, es

decir, simplificarlos verificando si todos los coeficientes tienen mitad, tercera,

cuarta, quinta, etc., hasta que ya no tengan un factor común , y al finalizar se

multiplican dichos factores.

4 20 40 2 2 10 20 2 1 5 10 4

MFC 2) Buscar el MFC de las variables.

El MFC de un conjunto de variables es el producto de las variables que se

repiten con exponente menor.

En este ejemplo las variables que tenemos son a y x, y ambas se repiten en

todos los términos y deben formar parte del MFC.

a5, a4 y a2: la de menor exponente es a2.

x4, x5, x6: la de menor exponente es x4.

Solución: MFC= 4a2 x4.

Multiplicar

Ahora vamos a considerar que los tres términos anteriores forman un

polinomio y obtengamos el máximo factor común del mismo.

2) Obtener el M. F. C. del polinomio 4a4x6 + 20a2x8 –40a5x4

Aprovechemos el procedimiento y el resultado que acabamos de obtener en

el ejemplo anterior.

Buscamos el MFC y dividimos cada término del polinomio por el MFC.

Solución: 4a4x6 + 20a2x8 –40a5x4 = 4a2 x4 (a2x2 + 5x4 – 10 a3)

3) Encuentra el MFC del polinomio 24x3 – 36xy2

Busca primero el MFC entre los coeficientes numéricos

24 36 2 12 18 2 6 9 3 2 2 12

MFC

Buscar el MFC entre las variables.

La variable “x” se repite en ambos términos, siendo x la de menor

exponente, la "y" no es factor común, por lo tanto no puede ser parte del

MFC. Por lo tanto el MFC es 12x.

Multiplicar

Buscamos el MFC y dividimos cada término del polinomio por el MFC.

(

) ( )

Solución: = 24x3 – 36xy2 = 12x (2x2 – 3y2)

Ejercicio 18.

Factoriza completamente las siguientes expresiones algebraicas.

1) a2 + ab = 2) b3 – b2x + bx2 =

3) 3a3 – a2 = 4) 2a2x + 2ax2 – 3ax =

5) 5m2 + 15m3 = 6) 14x2y2 – 28x3 + 56x4 =

7) 8m2 – 12mn = 8) 10c2 – 5c + 15c3 =

9) 9a3x2 – 18ax3 =

10) 4p2 + 28p + 48 =

11) 35m2n3 – 70m3 = 12) 6c2 – 54c + 120 =

13) a3 + a2 + a = 14) 3m2 + 30m + 72 =

15) 4x2 – 8x + 2 = 16) m4 – 8m3 + 12m2 =

17) 15y3 + 20y2 – 5y =

18) 3k2 – 27m2 =

19) 96 – 48mn2 + 144n3 = 20) 10w2 – 160z2 =

٠ Binomios con factor común.

Ejemplos:

1) Factoriza: (a + 3)b –10(a + 3) Buscamos el MFC y dividimos cada término del polinomio por el

MFC que en este caso es (a + 3)

( ) (( )

( ) ( )

( )) = (a + 3) (b – 10)

2) Factoriza: (2x + 5)y + 6(2x + 5)

Buscamos el MFC y dividimos cada término del polinomio por el

MFC que en este caso es (2x + 5)

( ) (( )

( ) ( )

( )) = (2x + 5) (y + 6)

3) Factoriza: x2(1 + z) – 9(1 +z)

Buscamos el MFC y dividimos cada término del polinomio por el

MFC que en este caso es (1 + z)

( ) ( ( )

( ) ( )

( )) = (1 + z) (x2 – 9)

En el resultado obtenido, observa que aparece una diferencia de cuadrados en el segundo factor, por lo cual es necesario se factorice como lo vimos en las secciones anteriores, por lo tanto: Solución:

x2(1 + z) – 9(1 +z) = (1 + z) (x2 – 9) = (1 + z)(x – 3) (x + 3)

Ejercicio 19.


1) r(t + 1) + s (t + 1 ) = 2) m(x – y) + (x – y)n =

3) 4(y + 3) + z( y + 3) = 4) (1 – x) – 2a ( 1 – x) =

5) 6x(x – 2) – 5y( x – 2 ) = 6) 9(m +n) + 7x( m + n) =

7) 9v( x + y + z) – 10w( x + y + z ) =

8) 4a( a2 + x – 1) – 3b( a2 + x – 1) =

9) 4x2(c – d) – (c – d)= 10) x3(a + 1) – (a + 1) =

٠ Factorización por agrupamiento o asociación.

La asociación de pares de términos es una técnica llamada "Factorización por

Agrupamiento" o "Factorización por Asociación".

La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal de que

los dos términos que se agrupan tengan algún factor común, y siempre que las

cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor

común en cada binomio, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograr

entonces la expresión dada no se puede factorizar por este método.

Algunas opciones para agrupar un polinomio de cuatro términos a + b + c + d

son:

٠ Opción 1: (a + b) + (c + d)

٠ Opción 2: (a + c) + (b + d)

٠ Opción 3: (a + d) + (b + c)

Ejemplos:

1) Factorizar el polinomio 6xy +10x –21wy –35w.

Los primeros dos términos tienen "2x" como factor común. Los últimos dos

términos tienen "7w" como factor común. Asociando términos y luego

haciendo la factorización tenemos:

Asociamos términos ¡Atención!: Al agrupar el tercer término con el cuarto, observamos que el tercer término tiene signo negativo, por lo cual es necesario cambiar los signos de ambos términos

(6xy +10x) –(21wy –35w)

Obteniendo el MFC de cada binomio formado

2x (3y + 5) –7w (3y + 5)

Sacamos (3y + 5) como factor común

(3y + 5) (2x – 7w)

2) Factorizar el polinomio a3– 5a2– 9a + 45

Los primeros dos términos tienen "a2" como factor común. Los últimos dos

términos tienen "9" como factor común. Asociando términos y luego haciendo

la factorización tenemos:

Asociamos términos ¡Atención!: Al agrupar el tercer término con el cuarto, observamos que el tercer término tiene signo negativo, por lo cual es necesario cambiar los signos de ambos términos

(a3– 5a2) –( 9a – 45)

Obteniendo el MFC de cada binomio formado

a2 (a – 5) –9 (a – 5)

Sacamos (a – 5) como factor común

(a – 5) (a2 – 9)

Observa que uno de los binomios obtenidos es una diferencia de cuadrados, la cual hay que factorizar

(a – 5) (a – 3)(a + 3)

Otros ejemplos de factorización por agrupamiento:

3) Factoriza completamente: x2 + 6x + 9 – y2

Con el polinomio x2+ 6x +9 – y2 no puede procederse como en los casos

anteriores, sino que nos encontramos que la asociación debe hacerse con los

primeros tres términos que forman un trinomio cuadrado perfecto

Se agrupan los tres primeros términos y el cuarto se queda independiente.

x2 + 6x + 9 – y2 = ( x2+ 6x + 9 ) – y2

Al factorizar el trinomio cuadrado perfecto la expresión queda:

(x +3)2 – y2

Esta última expresión es a su vez una diferencia de cuadrados que al factorizar queda:

(x +3)2 – y2= (x + 3 + y) (x + 3 – y)

4) Factoriza completamente: x2 + 5x + 6 – ax –3a

Con el polinomio x2 + 5x + 6 – ax –3a no puede procederse como en los casos

anteriores, sino que nos encontramos que la asociación debe hacerse con los

primeros tres términos que forman un trinomio cuadrático de la forma ax2 + bx

+ c. donde a = 1 y los términos restantes, el cuarto y el quinto tienen un factor

común.

Se agrupan los tres primeros términos en un primer paréntesis y el cuarto y el quinto en segundo paréntesis

= (x2 + 5x + 6) – (ax + 3a)

Al factorizar ambos términos la expresión queda como:

= (x+3) (x+2) –a (x+3) ↑ ↑

Obtenemos (x + 3) como binomio como factor común:

(x + 3) (x + 2 – a)


Binomio como Factor Común

Trinomio Cuadrado

Perfecto

Trinomio cuadrático de la

forma ax2 +bx + c, donde a = 1

Máximo

Factor

Común

Ejercicio 20.


1) a2 + 3a + ab + 3b =

2) ax + 4ex – 3ad – 12de =

3) 6ax – 14x + 15a – 35 =

4) 5rz + 2sz – 5r – 2s =

5) x2 + 8xz + x + 8z =

6) 2x3 – 7x2 – 10x + 35 =

7) 24x3 – 18x2 + 60x – 45 =

8) 6x3 – 6x2 – 24x + 24 =

9) 12x2 + 18x + 10x + 15 =

10) 24mx + 36m + 30x + 45 =

“Persevera. Si persistes sólo un segundo más que tu competidor,

serás el ganador”

Anónimo

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